2015海淀高三数学理科二模试题及答案

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北京各区2015届高三二模理科数学分类汇编(函数逻辑)

北京各区二模理科数学分类汇编函数充要(2015届西城二模) 3．设命题p ：函数在R上为增函数；命题q：函数为奇函数．则下列命题中真命题是(D)(2015届西城二模)7．若“ x ＞1 ”是“不等式成立”的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是（A）A．a ＞3 B．a ＜3 C．a ＞4 D．a ＜4(2015届西城二模)14．如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记，OP 所经过的在正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S ＝f （x），那么对于函数f （x）有以下三个结论：①；②任意，都有③任意其中所有正确结论的序号是．答案：①②(2015届海淀二模)答案：（2）D （4）A （7）C (2015届东城二模) （2）设4log a =π，14log b =π，4c =π，则a ，b ，c 的大小关系是（D ）（A ） b c a>> （B ）a c b >> （C ） a b c >> （D ）b a c >>(2015届东城二模) （5）已知p ，q 是简单命题，那么“p q ∧是真命题”是“p ⌝是真命题”的（D ）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 (2015届东城二模) （7）定义在R 上的函数()f x 满足)()6(x f x f =+.当)1,3[--∈x 时，2)2()(+-=x x f ,当)3,1[-∈x 时，x x f =)(，则(1)(2)(3)(2015)f f f f ++++=（A ）（A ）336 （B ）355 （C ）1676 （D ）2015(2015届丰台二模) 2．“a =0”是“复数i za b =+(a ，b ∈R)为纯虚数”的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 “复数i z a b =+(a ，b ∈R)为纯虚数”成立的充分不必要条件是(A) a =0，b ≠0(B) a =0(C) b =0(D) a =0，b =2(2015届丰台二模) 4．函数1,0,()2cos 1,20x f x x x ≥=--π≤<⎪⎩的所有零点的和等于(A) 1-2π (B)312π-(C)1-π(D)12π-(2015届昌平二模) 4. “||2b <是“直线y b =+与圆2240x y y +-=相交”的（A ）A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C ．充要条件 D. 既不充分也不必要条件 (2015届昌平二模) 7. 已知函数()y f x =（x ∈R ）是奇函数，其部分图象如图所示,则在(2,0)-上与函数()f x 的单调性相同的是（ D ）A.21y x =+ B. 2log y x= C.(0)(0)x x e x y e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ D. cos y x =框图(2015届西城二模)4．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的s 属于（A ）6,aA ． {1‚ 2}B ．{1‚ 3}C ．{2 ‚ 3}D ．{1‚ 3‚ 9}(2015届昌平二模) 5. 在篮球比赛中，某篮球队队员投进三分球的个数如表所示：右图是统计上述6名队员在比赛中投进的三分球总数s 的程序框图，则图中的判断框内应填入的条件是（A. 6i < B. 7i < C. 8i < D. 9i <12．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是．向量(2015届西城二模) 2．已知平面向量，则实数k ＝（D ）A ．4B ．－4C ．8D ．－8(2015届东城二模)（13）已知非零向量,a b 满足||1=b ，a 与-b a 的夹角为120，则||a 的取值范围是．答案：]332,0( (2015届丰台二模)6．平面向量a 与b的夹角是3π，且1a =，2b =，如果AB a b =+，3AC a b =-，D 是BC 的中点，那么AD =(A)(B)(C) 3 (D) 6(2015届昌平二模) 12.如图,在菱形ABCD 中,1AB =,60DAB ∠=,E 为CD 的中点,则AB AE ⋅的值是 . 答案：1不等式线性规划(2015届西城二模)5．某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y （万元）与x 满足函数关BCDEA系，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x 为（B ）A ．3B ．4C ．5D ．6(2015届东城二模)（10）已知正数,x y 满足x y xy +=，那么x y +的最小值为．答案：4(2015届东城二模)（6）若实数y x ,满足不等式组330101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，，，则2||z x y =+的取值范围是（D ）（A ）[1,3]- （B ）[1,11] （C ）]3,1[ （D ）]11,1[-(2015届丰台二模)7．某生产厂家根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按5天计算）生产A ，B ，C 三种产品共15吨（同一时间段内只能生产一种产品），已知生产这些产品每吨所需天数和每吨产值如下表：(A) 30 (B) 40 (C) 47.5 (D) 52.5某生产厂家根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按5天计算）生产A ，B ，C 三种产品共15吨（同一时间段内只能生产一种产品），且C 种产品至少生产5吨，已知生产这些产品每吨所则每周最高产值是(A) 40 (B) 42.5(C) 45(D) 50说明：这两个题没有本质区别，主要差一句话（且C 种产品至少生产5吨），这句话意味着什么？考题希望交给学生遇到问题应如何思考。

2015届高三二模理科数学分类汇编(导数)

北京各区二模理科数学分类汇编导数(2015届西城二模)18．（本小题满分13 分）已知函数则211)(ax x x f +-=，其中a ∈ R ．⑴ 当41-=a 时，求 f (x )的单调区间； ⑵ 当a ＞ 0时，证明：存在实数m ＞ 0，使得对于任意的实数x ，都有｜ f (x )｜≤m 成立． 18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当14a=-时，函数21()114xf x x -=-，其定义域为{|2}x x ∈≠±R . ……………… 1分求导，得22222224(1)3()0114(1)4(1)44x x x f x x x -+----'==<--， ……………… 4分所以函数()f x 在区间(,2)-∞-，(2,2)-，(2,)+∞上单调递减. ……………… 5分（Ⅱ）证明：当0a >时，21()1x f x ax -=+的定义域为R .求导，得22221()(1)ax ax f x ax --'=+， ……………… 6分令()0f x '=，解得110x =，211x =+>， ……………… 7分当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表：……………… 10分所以函数()f x 在1(,)x -∞，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减.又因为(1)0f =，当1x <时，21()01x f x ax -=>+；当1x >时，21()01x f x ax -=<+，所以当1x ≤时，10()()f x f x ≤≤；当1x >时，2()()0f x f x <≤. ……………… 12分记12max{()|,()|}||M f x f x =，其中12max{()|,()|}||f x f x 为两数1()||f x ，2()||f x中最大的数，综上，当0a>时，存在实数[,)m M∈+∞，使得对任意的实数x，不等式|()|f x m≤恒成立.………………13分(2015届海淀二模)（18）（共13分）解：（Ⅰ）令()0f x=，得ex=.故()f x的零点为e. ………………1分22231()(1ln)22ln3'()()x x x xxf xx x-⋅--⋅-==（0x>）. ………………3分令'()0f x=，解得32ex=.当x变化时，'()f x，()f x的变化情况如下表：()f x32(0,e)32e32(e,)+∞'()f x-0+()f x↘↗所以()f x的单调递减区间为32(0,e)，单调递增区间为32(e,)+∞. ………………6分（Ⅱ）令ln()xg xx=.则2211ln1ln'()()x x xxg x f xx x⋅-⋅-===. ………………7分因为11()44ln244622f=+>+⨯=，(e)0f=，且由（Ⅰ）得，()f x在(0,e)内是减函数，所以存在唯一的1(,e)2x∈，使得00'()()6g x f x==.当[e,)x∈+∞时，()0f x≤.所以曲线ln xy x=存在以00(,())x g x 为切点，斜率为6的切线. ………………10分由0021ln '()6x g x x -==得：200ln 16x x =-. 所以20000000ln 161()6x x g x x x x x -===-.因为012x >, 所以12x <，063x -<-. 所以00()1y g x =<-. ………………13分(2015届东城二模)（18）（本小题共13分）已知函数()e x f x x a -=+⋅．（Ⅰ）当2e a=时，求()f x 在区间[1,3]上的最小值；（Ⅱ）求证：存在实数0[3,3]x ∈-，有0()f x a >.（18）（共13分）解：（Ⅰ）当2e a=时，2()e x f x x -=+，]3,1[∈x .因为2'()1e x f x -=-，由0)(='x f ，2=x .则x ，)(x f '，)(x f 关系如下：所以当2=x 时，)(x f 有最小值为3. ………5分（Ⅱ）“存在实数0[3,3]x ∈-，有a x f >)(”等价于()f x 的最大值大于a .因为'()1e x f x a -=-，所以当0≤a 时，]3,3[-∈x ，0)('>x f ，)(x f 在)3,3(-上单调递增，所以()f x 的最大值为(3)(0)f f a >=.所以当0≤a 时命题成立.当0>a时，由0)(='x f 得a x ln =.则x ∈R 时，x ，)(x f '，)(x f 关系如下：（1）当3e a ≥时，3ln ≥a ，)(x f 在)3,3(-上单调递减，所以()f x 的最大值(3)(0)f f a ->=.所以当3e a≥时命题成立.（2）当33e e a -<<时，3ln 3<<-a ，所以)(x f 在)ln ,3(a -上单调递减，在)3,(ln a 上单调递增.所以()f x 的最大值为(3)f -或(3)f .且a f f =>-)0()3(与a f f =>)0()3(必有一成立，所以当33e e a -<<时命题成立.（3）当30e a -<≤时，3ln -≤a ，所以)(x f 在)3,3(-上单调递增，所以()f x 的最大值为(3)(0)f f a >=.所以当30e a -<≤时命题成立.综上：对任意实数a 都存在]3,3[-∈x 使a x f >)(成立. ……13分(2015届丰台二模) 20.（本小题共13分）已知函数ln 1()ax f x x+=(0a >). （Ⅰ）求函数()f x 的最大值；（Ⅱ）如果关于x 的方程ln 1x bx +=有两解，写出b 的取值范围（只需写出结论）；（Ⅲ）证明：当*N k ∈且2k ≥时，1111lnln 2234k k k<+++⋅⋅⋅+<． 20.（本小题共13分）解：（Ⅰ）函数的定义域为{0}xx >．因为ln 1()ax f x x+=，所以2ln ()axf x x-'=．因为0a >，所以当()0f x '=时，1x a=．当1(0,)x a∈时，()0f x '>，()f x 在1(0,)a 上单调递增；当1(,)x a∈+∞时，()0f x '<，()f x 在1(,)a +∞上单调递减．所以当1xa=时，1()()f x f a a ==最大值． ……………………6分（Ⅱ）当01b <<时，方程ln 1x bx +=有两解． ……………………8分（Ⅲ）由（Ⅰ）得ln 11x x +≤，变形得11ln x x-≤，当1x =等号成立．所以 11ln 22-<，231ln 32-<，……11ln 1k kk k --<-，所以得到当*N k ∈且2k≥时，1111ln 234k k+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+<． ……………………10分由（Ⅰ）得ln 11x x+≤，变形得 ln 1x x ≤-，当1x =等号成立．所以 33ln 122<-， 44ln 133<-， 55ln 144<-， ……11ln1k k k k++<-，所以得到当*N k ∈且2k ≥时，11111ln2234k k+<+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+．又因为1lnln 22k k +<，所以当*N k ∈且2k≥时，1111lnln 2234k k k<+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+<． ……………………13分(2015届昌平二模) 18.（本小题满分13分）已知函数2()ln ,.f x x ax x a =-+∈R（I ）若函数()f x 在(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴，求实数a 的值；(II) 在（I ）的条件下，求函数()f x 的单调区间；(III) 若1,()0x f x >>时恒成立，求实数a 的取值范围. 18.（本小题满分13分）解：（I ）2()ln ,.f x x ax x a =-+∈R 定义域为(0,)+∞'1()2,.f x x a a x=-+∈R依题意，'(1)0f =.所以'(1)30f a =-=，解得3a = ……………4分（II ）3a=时，2()ln 3f x x x x =+-，定义域为(0,)+∞，21123()23x xf x x x x+-'=+-=当102x <<或1x >时,()0f x '>，当112x <<时，()0f x '<，故()f x 的单调递增区间为1(0,),(1,)2+∞，单调递减区间为1(,1)2.----8分（III ）解法一：由()0f x >，得2ln x x a x+<在1x >时恒成立，令2ln ()x x g x x+=，则221ln ()x xg x x +-'=令2()1ln h x x x =+-，则2121()20x h x x x x -'=-=> ()h x 所以在(1,)+∞为增函数，()(1)20h x h >=> .故()0g x '>，故()g x 在(1,)+∞为增函数.()(1)1g x g >=，所以1a ≤，即实数a 的取值范围为(,1]-∞. ……………13分解法二：2112()2x axf x x a x x+-'=+-=令2()21g x xax =-+，则28a ∆=-，（i ）当0∆<，即a -<<时，()0f x '>恒成立，1,()x f x >因为所以在(1,)+∞上单调递增，()(1)10f x f a >=-≥，即1a ≤，所以(a ∈-；(ii)当0∆=，即a=±()0f x '≥恒成立，1,()x f x >因为所以在(1,)+∞上单调递增，()(1)10f x f a >=-≥，即1a ≤，所以a =-(iii)当0∆>，即a<-a >方程()0g x =有两个实数根12x x ==若a<-120x x <<，当1x >时，()0f x '>，()f x 所以在(1,)+∞上单调递增，则()(1)10f x f a >=-≥，即1a ≤，所以a <-；若a>()0g x =的两个根120x x <<，()10f x a =-<因为，且()f x 在(1,)+∞是连续不断的函数所以总存在01x >，使得0()0f x <，不满足题意.综上，实数a 的取值范围为(,1]-∞. ……………13分（2015届朝阳二模）19.（本题14分）已知函数R a e a x x f x∈-=,)()(2。

北京各区2015届高三二模理科数学分类汇编(概率统计)

北京各区二模理科数学分类汇编概率统计(2015届西城二模)16．（本小题满分13 分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10 个卖场的销售量（单位：台），并根据这10 个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）当a ＝b ＝3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n ，比较m ，n 的大小关系；（Ⅱ）在这10 个卖场中，随机选取2 个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望．（Ⅲ）若a ＝1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达到最小值．（只需写出结论）16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：根据茎叶图，得甲组数据的平均数为101014182225273041432410+++++++++=，………1分乙组数据的平均数为1018202223313233334326.510+++++++++=. …………2分由茎叶图，知甲型号电视机的“星级卖场”的个数5m=，………………3分乙型号电视机的“星级卖场”的个数5n=，所以m n=. ………………4分（Ⅱ）解：由题意，X的所有可能取值为0，1，2，………………5分且0255210C C2(0)C9P X===，1155210C C5(1)C9P X===，2055210C C2(2)C9P X===，…………8分所以X的分布列为：X0 1 2P295929………………9分所以252()0121999E X=⨯+⨯+⨯=. ………………10分（Ⅲ）解：当b=0时，2s达到最小值．………………13分(2015届海淀二模)答案：A(2015届海淀二模)（16）（共13分）解：（Ⅰ）20名女生掷实心球得分如下：5，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10．所以中位数为8，众数为9．………………3分（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2．………………4分73 5 5 284 5 519 7 8 乙甲()21222033095C P X C ===；()1112822048195C C P X C ===；()2822014295C P X C ===；………………10分（Ⅲ）略. ………………13分评分建议：从平均数、方差、极差、中位数、众数等角度对整个年级学生掷实心球项目的情况进行合理的说明即可；也可以对整个年级男、女生该项目情况进行对比；或根据目前情况对学生今后在该项目的训练提出合理建议.(2015届东城二模) （4）甲、乙两名同学8次数学测验成绩如茎叶图所示，12,x x 分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的平均数，12,s s 分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的标准差，则有（B ）（A ）12x x >，12s s < （B ）12x x =，12s s <（C ）12x x =，12s s = （D ）12x x <，12s s >(2015届东城二模) （16）（本小题共13分）某校高一年级开设A ，B ，C ，D ，E 五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选A 课程，不选B 课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．（Ⅰ）求甲同学选中C 课程且乙同学未选中C 课程的概率；（Ⅱ）用X 表示甲、乙、丙选中C 课程的人数之和，求X 的分布列和数学期望．（16）（共13分）解：（Ⅰ）设事件A 为“甲同学选中C 课程”，事件B 为“乙同学选中C 课程”．则1223C 2()C 3P A ==，2435C 3()C 5P B ==．因为事件A 与B 相互独立，所以甲同学选中C 课程且乙同学未选中C 课程的概率为224()()()()[1()]3515P AB P A P B P A P B ==-=⨯=． …………………4分（Ⅱ）设事件C 为“丙同学选中C 课程”．1=6,a则2435C 3()C 5P C ==．X 的可能取值为：0,1,2,3．1224(0)()35575P X P ABC ===⨯⨯=． (1)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++2221321232035535535575=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=． (2)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++2322231333335535535575=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=． 23318(3)()35575P X P ABC ===⨯⨯=． X 为分布列为：420331814028()0123757575757515E X =⨯+⨯+⨯+⨯==．………13分(2015届昌平二模) 5. 在篮球比赛中，某篮球队队员投进三分球的个数如表所示：右图是统计上述6名队员在比赛中投进的三分球总数s A. 6i < B. 7i < C. 8i < D. 9i <(2015届昌平二模) 16. （本小题满分13分）某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，其中表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业．．．．”的概率为25.现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动（每位同学被选到的可能性相同）.（I ）求,m n 的值；（II ）求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生．．的概率；（III ）设ξ为选出的3名同学中“女生或数学专业．．．．．．．”的学生的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ.16. (本小题满分13分)解：（I ）设事件A ：从10位学生中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”．由题意可知，“数学专业”的学生共有(1)m +人．则12()105m P A +==．解得 3m =．所以1n =． …………… 4分（II ）设事件B ：从这10名同学中随机选取3名同学为专业互不相同的男生．则123331011()12C C P B C +==． ……………7分（III ）由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3．由题意可知，“女生或数学专业”的学生共有7人．所以333101(0)120C P C ===ξ，1273310217(1)12040C C P C ====ξ， 21733106321(2)12040C C P C ====ξ，37310357(3)12024C P C ====ξ．所以ξ的分布列为所以 012312040402410E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ． ……………13分(2015届丰台二模) 16.（本小题共13分）长时间用手机上网严重影响着学生的健康，某校为了解A ，B 两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周手机上网时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．如果学生平均每周手机上网的时长超过21小时，则称为“过度用网”．（Ⅰ）请根据样本数据，估计A ，B 两班的学生平均每周上网时长的平均值；（Ⅱ）从A 班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度用网”的概率；（Ⅲ）从A 班、B 班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度用网”的学生人数为ξ，写出ξ的分布列和数学期望ξE ．(2015届昌平二模) 16. （本小题满分13分）某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，其中表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业．．．．”的概率为25.现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动（每位同学被选到的可能性相同）. （I ）求,m n 的值；（II ）求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生．．的概率；（III ）设ξ为选出的3名同学中“女生或数学专业．．．．．．．”的学生的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ. 解：（I ）设事件A ：从10位学生中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”．A 班B 班 0 1 2 39 1 0 73 41 1 62 57由题意可知，“数学专业”的学生共有(1)m +人．则12()105m P A +==．解得 3m =．所以1n =． …………… 4分（II ）设事件B ：从这10名同学中随机选取3名同学为专业互不相同的男生．则123331011()12C C P B C +==． ……………7分（III ）由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3．由题意可知，“女生或数学专业”的学生共有7人．所以333101(0)120C P C ===ξ，1273310217(1)12040C C P C ====ξ， 21733106321(2)12040C C P C ====ξ，37310357(3)12024C P C ====ξ．所以ξ的分布列为所以1721721012312040402410E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ． ……………13分。

北京各区2015届高三二模理科数学分类汇编(三角)

北京各区二模理科数学分类汇编三角(2015届西城二模)11．已知角α的终边经过点（－3，4），则cos α＝；cos 2α＝．答案：257,53--(2015届西城二模)15．（本小题满分13 分）在锐角△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a 7 ，b ＝3，32sin sin 7=+A B ．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求△ABC 的面积．（Ⅰ）解：在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a b AB=， ……………… 2分得73sin sin AB=73sin B A =， ……………… 3分7sin 23B A +=，解得 3sin 2A =……………… 5分因为ABC ∆为锐角三角形，所以π3A =. ……………… 6分（Ⅱ）解：在ABC ∆中，由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=， ……………… 8分得219726c c+-=，即2320c c -+=，解得 1c = 或 2c =. ……………… 10分当1c =时，因为222cos 270c b B aca +-==<，所以角B 为钝角，不符合题意，舍去. ……………… 11分当2c =时，因为222cos 27014c b B aca +-==>，且b c >，b a >，所以ABC ∆为锐角三角形，符合题意.所以ABC ∆的面积11333sin 322222S bc A ==⨯⨯⨯=. ……………… 13分(2015届海淀二模)答案：B(2015届海淀二模)（15）（共13分）解：（Ⅰ）因为 36a A =，所以 222362b c a a bc+-=. ………………3分因为 5c =，6b = 所以 23404930a a +-⨯=. 解得：3a =，或493a =-（舍）. ………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：6cos 3336A ==. 所以 21cos 22cos 13A A =-=. ………………9分因为 3a =，5c =，26b =所以 2221cos 23a cb B ac +-==. ………………11分所以cos2cos A B =. ………………12分因为 c b a >>，所以 (0,)3A π∈. 因为 (0,)B ∈π，所以 2B A ∠=∠. ………………13分另解：因为 (0,)A ∈π，所以 sin A ==.由正弦定理得：sin B =所以 sin 3B =.所以 sin 22sin A B ===. ………………12分因为 c b a >>，所以 (0,)3A π∈，(0,)2B π∈. 所以 2B A ∠=∠. ………………13分(2015届东城二模) （1）23sin()6π-=（C ）（A ）2-（B ）12- （C ）12（D ）2 (2015届东城二模) （15）（本小题共13分）已知函数2sin 22sin ()sin x xf x x-=．（Ⅰ）求()f x 的定义域及其最大值；（Ⅱ）求()f x 在(0,π)上的单调递增区间．（15）（共13分）解：（Ⅰ）由sin 0x ≠，得x k k ≠π(∈)Z ．所以()f x 的定义域为{|}x x k k ∈≠π,∈R Z ． …………………2分因为2sin 22sin ()sin x xf x x-=，2cos 2sin x x =-)4x π=+， …………………6分所以()f x 的最大值为 …………………7分（Ⅱ）函数cos y x =的单调递增区间为[22k k π+π,π+2π]（k ∈Z ）由224k x k ππ+π≤+≤π+2π，x k k ≠π(∈)Z ，且(0,x ∈π)，所以()f x 在(0,π)上的单调递增区间为3[,4ππ)． ……13分(2015届昌平二模) 11. 在ABC ∆中，若a =b =，5π6B ∠=，则边c =__________. 答案：1(2015届昌平二模) 15. (本小题满分13分) 已知函数()sin()(0,0,||,)2f x A x A x ωϕωϕπ=+>><∈R 的部分图象如图所示. （I ）求函数()f x 的解析式；（II ）求函数()()()123g x f x f x ππ=+-+ 的单调递增区间.解：（I ）由题意可知，2A =,39412T π=，得T =π,2T ωπ==π，解得2=ω.()2sin(2)233f ϕππ=⨯+=，即2232k k ϕππ+=+π,∈Z ，||2ϕπ<，所以 6ϕπ=-，故()2sin(2)6f x x π=-. ……………7分(II)ππππ()2sin(2(+)-)-2sin(2(+)-)12636g x x x =π2sin2-2sin(2+)2=2sin22cos2)4x x x -x =x =π-由 222,242k x k k πππ-+π≤-≤+π∈Z,,88k x k k π3π-+π≤≤+π∈Z. 故()g x 的单调递增区间是[,],88k k k π3π-+π+π∈Z..……………13分 (2015届丰台二模)15.（本小题共13分）在△ABC 中，30A ︒=，52=BC ，点D 在AB 边上，且BCD ∠为锐角，2CD =，△BCD 的面积为4．（Ⅰ）求cos BCD ∠的值；（Ⅱ）求边AC 的长． 15.（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为1sin 42BCD S BC CD BCD ∆=⋅⋅∠=，所以552sin =∠BCD ．因为BCD ∠为锐角，所以cos BCD ∠==． ……………………6分（Ⅱ）在BCD ∆中，因为BCD BC CD BC CD DB ∠⋅⋅-+=cos 2222，所以4=DB ．因为222BC CD DB =+，所以︒=∠90CDB ．所以ACD ∆为直角三角形．因为30A ︒=，所以24AC CD ==，即4AC =． (13)分。

北京市海淀区高三二模数学理科含答案

海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理科） 2013.5本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.集合{}|(1)(2)0A x x x =-+≤，B ={}0x x <，则A B =A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ． [1,2]D ．[1,)+∞2.已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且134a a ⋅=，48a =，则1a q +的值为 A ．3 B ．2 C ．3或2- D ．3或3-3. 如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω. 向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ，则图形Ω面积的估计值为A.ma nB.na mC. 2ma nD. 2na m4.某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 A.180 B.240 C.276 D.3005.在四边形ABCD 中，“λ∃∈R ，使得,AB DC AD BC λλ==”是“四边形ABCD 为平行四边形”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为A. 32B. 36C. 42D. 487.双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，且2F 恰为抛物线24y x =的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为B.112俯视图8. 若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T . 已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>，11, 1=1, 0 1.n n n n na a a a a +->⎧⎪⎨<≤⎪⎩，则下列结论中错误．．的是 A. 若34a =，则m 可以取3个不同的值 B.若m ={}n a 是周期为3的数列C.T ∀∈*N 且2T ≥，存在1m >，{}n a 是周期为T 的数列D.Q m ∃∈且2m ≥，数列{}n a 是周期数列二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 在极坐标系中，极点到直线cos 2ρθ=的距离为_______.10.已知1211ln ,sin ,222a b c -===，则,,a b c 按照从大到小．．．．排列为______. 11.直线1l 过点(2,0)-且倾斜角为30，直线2l 过点(2,0)且与直线1l 垂直，则直线1l 与直线2l 的交点坐标为____.12.在ABC ∆中，30,45,2A B a ∠=∠==，则_____;b = C _____.AB S ∆=13.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，若动点P 在线段1BD 上运动，则DC AP ⋅的取值范围是______________.14.在平面直角坐标系中，动点(,)P x y 到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，记点P 的轨迹为曲线W . (I) 给出下列三个结论： ①曲线W 关于原点对称； ②曲线W 关于直线y x =对称；③曲线W 与x 轴非负半轴，y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于12；其中，所有正确结论的序号是_____; (Ⅱ)曲线W 上的点到原点距离的最小值为______.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数cos2()1π)4x f x x =--.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域； (Ⅱ) 求函数()f x 的单调递增区间.16.（本小题满分13分）福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业,现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为50%；（2）每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；（3）顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p ，获得50元奖金的概率为2%.(I) 假设某顾客一次性花10元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率；（II ）为了能够筹得资金资助福利事业, 求p 的取值范围.17. （本小题满分14分）如图1，在直角梯形ABCD 中，90ABC DAB ∠=∠=，30CAB ∠=，2BC =，4AD =. 把DAC ∆沿对角线AC 折起到PAC ∆的位置,如图2所示,使得点P 在平面ABC上的正投影H 恰好落在线段AC 上，连接PB ,点,E F 分别为线段,PA AB 的中点． (I) 求证：平面//EFH 平面PBC ；(II) 求直线HE 与平面PHB 所成角的正弦值；(III)在棱PA 上是否存在一点M ,使得M 到点,,,P H A F 四点的距离相等？请说明理由.CDBA图1H E CPBAF图218. （本小题满分13分）已知函数()e x f x =,点(,0)A a 为一定点,直线()x t t a =≠分别与函数()f x 的图象和x 轴交于点M ,N ,记AMN ∆的面积为()S t . （I ）当0a =时,求函数()S t 的单调区间；（II ）当2a >时, 若0[0,2]t ∃∈,使得0()e S t ≥, 求实数a 的取值范围.19. （本小题满分14分）已知椭圆:M 22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60的菱形的四个顶点.（I ）求椭圆M 的方程；（II ）直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且线段AB 的垂直平分线经过点1(0,)2-，求AOB ∆（O 为原点）面积的最大值.20. （本小题满分13分）设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”(Ⅰ) 数表A 如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；表1(Ⅱ) 数表A 如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数．．a 的所有可能值；(Ⅲ)对由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的任意一个数表A ，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之表2和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由.22221212a a a a a a a a ------海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理科）参考答案及评分标准 2013.5一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）解：（I）因为πsin()04x -≠所以ππ,4x k -≠Z k ∈ ……………………2分所以函数的定义域为π{|π+,4x x k ≠Z}k ∈ ……………………4分（II ）因为22cos sin ()1sin cos x xf x x x-=-- ……………………6分= 1(cos sin )x x ++1sin cos x x =++π= 1)4x + ……………………8分又sin yx =的单调递增区间为 ππ(2π,2π)22k k -+ ，Z k ∈令πππ2π2π242k x k -<+<+解得 3ππ2π2π44k x k -<<+ ……………………11分又注意到ππ+,4x k ≠9． 2 10．c b a >> 11. 12． 13．[0,1]14．②③;2所以()f x 的单调递增区间为3ππ(2π,2π)44k k -+， Z k ∈ …………………13分16. 解：（I ）设至少一张中奖为事件A则2()10.50.75P A =-= …………………4分(II) 设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为ξ则ξ可以取5,0,45,145-- …………………6分 ξ的分布列为…………………8分所以ξ的期望为550%0(50%2%)(45)2%(145)E p p ξ=⨯+⨯--+-⨯+-⨯ 2.590%145p =-- …………………11分所以当 1.61450p ->时，即8725p < …………………12分所以当80725p <<时，福彩中心可以获取资金资助福利事业…………………13分17.解：（I ）因为点P 在平面ABC 上的正投影H 恰好落在线段AC 上所以PH ⊥平面ABC ，所以PH ⊥AC …………………1分因为在直角梯形ABCD 中，90ABC DAB ∠=∠=，30CAB ∠=，2BC =，4AD =所以4AC =，60CAB ∠=，所以ADC ∆是等边三角形，所以H 是AC 中点，…………………2分所以//HE PC …………………3分同理可证//EF PB 又,HEEF E CP PB P ==所以平面//EFH 平面PBC …………………5分（II ）在平面ABC 内过H 作AC 的垂线如图建立空间直角坐标系，则(0,2,0)A -，P ，B …………………6分因为(0,E -，(0,HE =- 设平面PHB 的法向量为(,,)n x y z =因为(3,1,0)HB =，HP =所以有00HB n HP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y z +==⎪⎩，令x =则3,y =- 所以 (3,3,0)n =- …………………8分cos ,||||22n HE n HE n HE ⋅<>===⋅⋅…………………10分所以直线HE 与平面PHB …………………11分 (III)存在，事实上记点E 为M 即可 …………………12分因为在直角三角形PHA 中，122EH PE EA PA ====， …………………13分在直角三角形PHB 中，点4,PB =122EF PB == 所以点E 到四个点,,,P O C F 的距离相等 …………………14分 18.解: (I) 因为1()||e 2t S t t a =-，其中t a ≠ …………………2分当0a =，1()||e 2t S t t =，其中0t ≠ 当0t >时，1()e 2t S t t =，1'()(1)e 2tS t t =+，所以'()0S t >，所以()S t 在(0,)+∞上递增， …………………4分当0t <时，1()e 2t S t t =-，1'()(1)e 2tS t t =-+，令1'()(1)e 02tS t t =-+>，解得1t <-，所以()S t 在(,1)-∞-上递增令1'()(1)e 02tS t t =-+<，解得1t >-，所以()S t 在(1,0)-上递减 ……………7分综上，()S t 的单调递增区间为(0,)+∞，(,1)-∞-()S t 的单调递增区间为(1,0)- （II ）因为1()||e 2t S t t a =-，其中t a ≠当2a >，[0,2]t ∈时，1()()e 2t S t a t =- 因为0[0,2]t ∃∈，使得0()e S t ≥，所以()S t 在[0,2]上的最大值一定大于等于e1'()[(1)]e 2t S t t a =---，令'()0S t =，得1t a =- …………………8分当12a -≥时，即3a ≥时1'()[(1)]e 02t S t t a =--->对(0,2)t ∈成立，()S t 单调递增所以当2t =时，()S t 取得最大值21(2)(2)e 2S a =-令21(2)e e 2a -≥ ，解得 22e a ≥+ ，所以3a ≥ …………………10分当12a -<时，即3a <时1'()[(1)]e 02t S t t a =--->对(0,1)t a ∈-成立，()S t 单调递增1'()[(1)]e 02t S t t a =---<对(1,2)t a ∈-成立，()S t 单调递减所以当1t a =-时，()S t 取得最大值11(1)e 2a S a --=令11(1)e e 2a S a --=≥ ，解得ln22a ≥+所以ln223a +≤< …………………12分综上所述，ln22a +≤ …………………13分19.解:(I)因为椭圆:M 22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60 的菱形的四个顶点,所以1a b ==,椭圆M 的方程为2213x y += …………………4分(II)设1122(,),(,),A x y B x y 因为AB 的垂直平分线通过点1(0,)2-，显然直线AB 有斜率，当直线AB 的斜率为0时,则AB 的垂直平分线为y 轴,则1212,x x y y =-=所以111111=|2||||||||2AOB S x y x y x ∆===2211(3)322x x +-≤=，所以AOB S ∆≤1||x =时，AOB S ∆ ………………7分当直线AB 的斜率不为0时,则设AB 的方程为y kx t =+所以2213y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，代入得到222(31)6330k x ktx t +++-= 当224(933)0k t ∆=+->, 即2231k t +>①方程有两个不同的解又122631ktx x k -+=+，1223231x x kt k +-=+ …………………8分所以122231y y tk +=+，又1212112202y y x x k ++=-+-，化简得到2314k t += ② 代入①，得到04t << …………………10分又原点到直线的距离为d =12|||AB x x =-=所以1=||||2AOB S AB d ∆=化简得到AOB S ∆ …………………12分因为04t <<，所以当2t =时，即k =AOB S ∆综上，AOB ∆…………………14分 20.（I ）解：法1：42123712371237210121012101-−−−−−→−−−−−→----改变第列改变第行法2：14123712371237210121012101----−−−−−→−−−−−→--改变第列改变第列…………………3分(II) 每一列所有数之和分别为2，0，2-，0，每一行所有数之和分别为1-，1; ①如果首先操作第三列，则22221212a a a a a a a a -----则第一行之和为21a -，第二行之和为52a -，这两个数中，必须有一个为负数，另外一个为非负数，所以 12a ≤或52a ≥ 当12a ≤时，则接下来只能操作第一行， 22221212a a a a a a a a ------此时每列之和分别为2222,22,22,2a a a a --- 必有2220a -≥，解得0,1a =- 当52a ≥时，则接下来操作第二行 22221212a a a a a a a a ------此时第4列和为负，不符合题意. …………………6分 ② 如果首先操作第一行22221212a a a a a a a a -----则每一列之和分别为22a -，222a -，22a -，22a当1a =时，每列各数之和已经非负，不需要进行第二次操作，舍掉当1a ≠时，22a -，22a -至少有一个为负数，所以此时必须有2220a -≥，即11a -≤≤，所以0a =或1a =- 经检验，0a =或1a =-符合要求综上：0,1a =- …………………9分（III ）能经过有限次操作以后，使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数。

2015-2016年北京市海淀区高三(上)期末数学试卷和参考答案(理科)

2015-2016学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知（1+bi）i=﹣1+i，则b的值为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i2．（5分）抛物线x2=4y的准线与y轴的交点的坐标为（）A．B．（0，﹣1）C．（0，﹣2）D．（0，﹣4）3．（5分）如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若，则λ﹣μ的值为（）A．3 B．2 C．1 D．﹣34．（5分）某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的a值为1，则输出的a 值为（）A．1 B．2 C．3 D．55．（5分）已知数列A：a1，a2，a3，a4，a5，其中a i∈{﹣1，0，1}，i=1，2，3，4，5，则满足a1+a2+a3+a4+a5=3的不同数列A一共有（）A．15个B．25个C．30个D．35个6．（5分）已知圆C：（x﹣2）2+y2=4，直线，l 2：y=kx﹣1，若l1，l2被圆C所截得的弦的长度之比为1：2，则k的值为（）A．B．1 C．D．7．（5分）若x，y满足，则z=y﹣2|x|的最大值为（）A．﹣8 B．﹣4 C．1 D．28．（5分）已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′，记过点A与三条直线AB，AD，AA′所成角都相等的直线条数为m，过点A与三个平面AB′，AC，AD′所成角都相等的直线的条数为n，则下面结论正确的是（）A．m=1，n=1 B．m=4，n=1 C．m=3，n=4 D．m=4，n=4二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知双曲线的一条渐近线过点（1，2），则b=，其离心率为．10．（5分）在（x+）6的展开式中，常数项为（用数字作答）11．（5分）已知等比数列{a n}的公比为2，若a2+a3=4，则a1+a4=．12．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥中最长棱的棱长为．13．（5分）已知函数，若f（x）的最小值是a，则a=．14．（5分）已知△ABC，存在△A1B1C1，满足==，则称△A1B1C1是△ABC的一个“友好”三角形．（1）在满足下列条件的三角形中，存在“友好：三角形的是；（请写出符合要求的条件的序号）①A=90°，B=60°，C=30°；②A=75°，B=60°，C=45°；③A=75°，B=75°，C=30°（2）若△ABC存在”友好“三角形，且A=70°，则另外两个角的度数分别为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值与最小值的和．16．（13分）已知某种动物服用某种药物一次后当天出现A症状的概率为．为了研究连续服用该药物后出现A症状的情况，做药物试验．试验设计为每天用药一次，连续用药四天为一个用药周期．假设每次用药后当天是否出现A症状的出现与上次用药无关．（Ⅰ）如果出现A症状即停止试验”，求试验至多持续一个用药周期的概率；（Ⅱ）如果在一个用药周期内出现3次或4次A症状，则这个用药周期结束后终止试验，试验至多持续两个周期．设药物试验持续的用药周期数为η，求η的期望．17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AD∥BC，AD⊥AB，且PB=AB=AD=3，BC=1．（Ⅰ）若点F为PD上一点且，证明：CF∥平面PAB；（Ⅱ）求二面角B﹣PD﹣A的大小；（Ⅲ）在线段PD上是否存在一点M，使得CM⊥PA？若存在，求出PM的长；若不存在，说明理由．18．（13分）已知函数．（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）求证：当0＜k＜1时，关于x的不等式f（x）＞1在区间[1，e]上无解．（其中e=2.71828…）19．（14分）已知椭圆的离心率为，其左顶点A在圆O：x2+y2=16上．（Ⅰ）求椭圆W的方程；（Ⅱ）若点P为椭圆W上不同于点A的点，直线AP与圆O的另一个交点为Q．是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．20．（13分）若实数数列{a n}满足，则称数列{a n}为“P数列”．（Ⅰ）若数列{a n}是P数列，且a1=0，a4=1，求a3，a5的值；（Ⅱ）求证：若数列{a n}是P数列，则{a n}的项不可能全是正数，也不可能全是负数；（Ⅲ）若数列{a n}为P数列，且{a n}中不含值为零的项，记{a n}前2016项中值为负数的项的个数为m，求m所有可能取值．2015-2016学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知（1+bi）i=﹣1+i，则b的值为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【解答】解：∵（1+bi）i=﹣1+i，∴i﹣b=﹣1+i，∴b=1，故选：A．2．（5分）抛物线x2=4y的准线与y轴的交点的坐标为（）A．B．（0，﹣1）C．（0，﹣2）D．（0，﹣4）【解答】解：抛物线x2=4y的准线方程为y=﹣1，∴抛物线x2=4y的准线与y轴的交点的坐标为（0，﹣1），故选：B．3．（5分）如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若，则λ﹣μ的值为（）A．3 B．2 C．1 D．﹣3【解答】解：由题意，因为E为DC的中点，所以，所以，即，所以λ=﹣1，μ=2，所以λ﹣μ=﹣3；故选：D．4．（5分）某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的a值为1，则输出的a 值为（）A．1 B．2 C．3 D．5【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=1i=1a=2×1﹣1=1，i=2，不满足条件i＞3，a=2×2﹣1=3，i=3不满足条件i＞3，a=2×3﹣3=3，i=4满足条件i＞3，退出循环，输出a的值为3．故选：C．5．（5分）已知数列A：a1，a2，a3，a4，a5，其中a i∈{﹣1，0，1}，i=1，2，3，4，5，则满足a1+a2+a3+a4+a5=3的不同数列A一共有（）A．15个B．25个C．30个D．35个【解答】解：由题意，a1，a2，a3，a4，a5，由2个0，3个1组成，或1个﹣1，4个1组成，∴满足a1+a2+a3+a4+a5=3的不同数列A一共有=15．故选：A．6．（5分）已知圆C：（x﹣2）2+y2=4，直线，l 2：y=kx﹣1，若l1，l2被圆C所截得的弦的长度之比为1：2，则k的值为（）A．B．1 C．D．【解答】解：圆C：（x﹣2）2+y2=4的圆心为（2，0），半径为2，圆心到线的距离为，l 1被圆C所截得的弦的长度为2=2，圆心到l2的距离为，l2被圆C所截得的弦的长度为2，结合l1，l2被圆C所截得的弦的长度之比为1：2，可得2=2×2，求得k=，故选：C．7．（5分）若x，y满足，则z=y﹣2|x|的最大值为（）A．﹣8 B．﹣4 C．1 D．2【解答】解：由约束条件作出可行域如图，当x≥0时，可行域为四边形OACD及其内部区域，A点是目标函数取得最大值的点；当x≤0时，可行域为三角形OAB及其内部区域，A点是目标函数取得最大值的点．∴z=y﹣2|x|的最大值为2．故选：D．8．（5分）已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′，记过点A与三条直线AB，AD，AA′所成角都相等的直线条数为m，过点A与三个平面AB′，AC，AD′所成角都相等的直线的条数为n，则下面结论正确的是（）A．m=1，n=1 B．m=4，n=1 C．m=3，n=4 D．m=4，n=4【解答】解：正方体ABCD﹣A′B′C′D′，过点A与三条直线AB，AD，AA′所成角都相等的直线有：AC′，过A作BD′的平行线，过A作A′C的平行线、过A作B′D的平行线，共4条，故m=4；过点A与三个平面AB′，AC，AD′所成角都相等的直线分两类：第一类：通过点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC1，第二类：在图形外部和每面所成角和另两个面所成角相等，有3条，合计4条，故n=4．故选：D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知双曲线的一条渐近线过点（1，2），则b=2，其离心率为．【解答】解：双曲线的一条渐近线y=bx，过点（1，2），可得b=2，a=1，c=，可得双曲线的离心率为：e=．故答案为：2；．10．（5分）在（x+）6的展开式中，常数项为15（用数字作答）=•x6﹣3r，【解答】解：（x+）6的展开式的通项公式为T r+1令6﹣3r=0，求得r=2，可得常数项为=15，故答案为：15．11．（5分）已知等比数列{a n}的公比为2，若a2+a3=4，则a1+a4=6．【解答】解：∵等比数列{a n}的公比为2，a2+a3=4，∴=4，解得a1=，∴a1+a4==6．故答案为：6．12．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥中最长棱的棱长为．【解答】解：由四棱锥的三视图得到该四棱锥是如右图所示的四棱锥P﹣ABCD，其中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，PA=2，AB∥CD，AB=1，AD=2，∴该四棱锥中最长棱的棱为PC，∴PC==2．故答案为：2．13．（5分）已知函数，若f（x）的最小值是a，则a=﹣4．【解答】解：当x≥0时，f（x）=a+2x≥a+1，即x=0时，f（x）的最小值为a+1；当x＜0时，f（x）=x2﹣ax=（x﹣）2﹣，由题意可得f（x）在x＜0时取得最小值a，即有＜0，即a＜0，则f（）=a，即﹣=a，解得a=﹣4．故答案为：﹣4．14．（5分）已知△ABC，存在△A1B1C1，满足==，则称△A1B1C1是△ABC的一个“友好”三角形．（1）在满足下列条件的三角形中，存在“友好：三角形的是②；（请写出符合要求的条件的序号）①A=90°，B=60°，C=30°；②A=75°，B=60°，C=45°；③A=75°，B=75°，C=30°（2）若△ABC存在”友好“三角形，且A=70°，则另外两个角的度数分别为65°，45°．【解答】解：（1）①若存在友好三角形，则，显然不成立，故①不存在友好三角形．②若存在友好三角形，则，∴a1：b1：c1=sinA1：sinA2：sinA3=：2：2．∴a1+b1=＞2，③若存在友好三角形，则，∴a1：b1：c1=sinA1：sinA2：sinA3=：：2．∴a1+b1=2（﹣）＜2．与三角形两根之和大于第三边矛盾．故③不存在友好三角形．综上，存在友好三角形的是②．（2）C=180°﹣70°﹣B=110°﹣B．∴，即，∴，∵，∴sinA1=sin20°，sinB1=sin（90°﹣B），sinC1=sin（B﹣20°），∴A1=20°或160°，B1=90°﹣B，或B1=90°+B，C1=B﹣20°或200°﹣B．∵A1+B1+C1=180°，∴20°+90°﹣B+200°﹣B=180°，或20°+90°+B+B﹣20°=180°，解得B=65°，或者B=45°．∴C=45°，或C=65°．故答案为65°，45°．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值与最小值的和．【解答】解：（Ⅰ）化简可得==2cosx（sinx﹣cosx）+1=2cosxsinx﹣2cos2x+1=sin2x﹣cos2x=，∴函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）∵，∴，∴．当时，函数f（x）取得最小值；当时，函数f（x）取得最大值，由诱导公式计算可得，∴函数f（x）在区间上的最大值与最小值的和为0．16．（13分）已知某种动物服用某种药物一次后当天出现A症状的概率为．为了研究连续服用该药物后出现A症状的情况，做药物试验．试验设计为每天用药一次，连续用药四天为一个用药周期．假设每次用药后当天是否出现A症状的出现与上次用药无关．（Ⅰ）如果出现A症状即停止试验”，求试验至多持续一个用药周期的概率；（Ⅱ）如果在一个用药周期内出现3次或4次A症状，则这个用药周期结束后终止试验，试验至多持续两个周期．设药物试验持续的用药周期数为η，求η的期望．【解答】解：（Ⅰ）法一：设持续i天为事件A i，i=1，2，3，4，用药持续最多一个周期为事件B，…．（1分）所以，…．（5分）则．…．（6分）法二：设用药持续最多一个周期为事件B，则为用药超过一个周期，…．（1分）所以，…．（3分）所以．…．（6分）（Ⅱ）随机变量η可以取1，2，…．（7分）所以，，….11分所以．…．（13分）17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AD∥BC，AD⊥AB，且PB=AB=AD=3，BC=1．（Ⅰ）若点F为PD上一点且，证明：CF∥平面PAB；（Ⅱ）求二面角B﹣PD﹣A的大小；（Ⅲ）在线段PD上是否存在一点M，使得CM⊥PA？若存在，求出PM的长；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）证明：过点F作FH∥AD，交PA于H，连接BH，因为，所以．…．（1分）又FH∥AD，AD∥BC，所以HF∥BC．…．（2分）所以BCFH为平行四边形，所以CF∥BH．…．（3分）又BH⊂平面PAB，CF⊄平面PAB，…．（4分）（一个都没写的，则这（1分）不给）所以CF∥平面PAB．…．（5分）（Ⅱ）因为梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，所以BC⊥AB．因为PB⊥平面ABCD，所以PB⊥AB，PB⊥BC，如图，以B为原点，BC，BA，BP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，…．（6分）所以C（1，0，0），D（3，3，0），A（0，3，0），P（0，0，3）．设平面BPD的一个法向量为，平面APD的一个法向量为，因为，所以，即，…．（7分）取x=1得到，…．（8分）同理可得，…．（9分）所以，…．（10分）因为二面角B﹣PD﹣A为锐角，所以二面角B﹣PD﹣A为．…．（11分）（Ⅲ）假设存在点M，设，所以，…．（12分）所以，解得，…．（13分）所以存在点M，且．…．（14分）18．（13分）已知函数．（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）求证：当0＜k＜1时，关于x的不等式f（x）＞1在区间[1，e]上无解．（其中e=2.71828…）【解答】解：（Ⅰ）因为，所以，…．（1分）当时，．…．（2分）令，得x1=1，x2=2，…．（3分）所以f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：…．（6分）所以f（x）在x=1处取得极大值，在x=2处取得极小值．…．（7分）函数f（x）的单调递增区间为（0，1），（2，+∞），f（x）的单调递减区间为（1，2）．…．（8分）（Ⅱ）证明：不等式f（x）＞1在区间[1，e]上无解，等价于f（x）≤1在区间[1，e]上恒成立，即函数f（x）在区间[1，e]上的最大值小于等于1．因为，令f′（x）=0，得．…．（9分）因为0＜k＜1时，所以．当时，f'（x）≤0对x∈[1，e]成立，函数f（x）在区间[1，e]上单调递减，…．（10分）所以函数f（x）在区间[1，e]上的最大值为f（1）=k﹣1＜1，所以不等式f（x）＞1在区间[1，e]上无解；…．（11分）当时，f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：所以函数f（x）在区间[1，e]上的最大值为f（1）或f（e）．…．（12分）此时f（1）=k﹣1＜1，，所以=．综上，当0＜k＜1时，关于x的不等式f（x）＞1在区间[1，e]上无解．…．（13分）19．（14分）已知椭圆的离心率为，其左顶点A在圆O：x2+y2=16上．（Ⅰ）求椭圆W的方程；（Ⅱ）若点P为椭圆W上不同于点A的点，直线AP与圆O的另一个交点为Q．是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆W的左顶点A在圆O：x2+y2=16上，令y=0，得x=±4，所以a=4．…．（1分）又离心率为，所以，所以，…．（2分）所以b2=a2﹣c2=4，…．（3分）所以W的方程为．…．（4分）（Ⅱ）法一：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），设直线AP的方程为y=k（x+4），…．（5分）与椭圆方程联立得，化简得到（1+4k2）x2+32k2x+64k2﹣16=0，…．（6分）因为﹣4为上面方程的一个根，所以，所以．…．（7分）所以．…．（8分）因为圆心到直线AP的距离为，…．（9分）所以，…．（10分）因为，…．（11分）代入得到．…．（13分）显然，所以不存在直线AP，使得．…．（14分）法二：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），设直线AP的方程为x=my﹣4，…．（5分）与椭圆方程联立得化简得到（m2+4）y2﹣8my=0，由△=64m2＞0得m≠0．…．（6分）显然0是上面方程的一个根，所以另一个根，即．…．（7分）由，…．（8分）因为圆心到直线AP的距离为，…．（9分）所以．…．（10分）因为，…．（11分）代入得到，…．（13分）若，则m=0，与m≠0矛盾，矛盾，所以不存在直线AP，使得．…．（14分）法三：假设存在点P，使得，则，得．…．（5分）显然直线AP的斜率不为零，设直线AP的方程为x=my﹣4，…．（6分）由，得（m2+4）y2﹣8my=0，由△=64m2＞0得m≠0，…．（7分）所以．…．（9分）同理可得，…．（11分）所以由得，…．（13分）则m=0，与m≠0矛盾，所以不存在直线AP，使得．…．（14分）20．（13分）若实数数列{a n}满足，则称数列{a n}为“P 数列”．（Ⅰ）若数列{a n}是P数列，且a1=0，a4=1，求a3，a5的值；（Ⅱ）求证：若数列{a n}是P数列，则{a n}的项不可能全是正数，也不可能全是负数；（Ⅲ）若数列{a n}为P数列，且{a n}中不含值为零的项，记{a n}前2016项中值为负数的项的个数为m，求m所有可能取值．【解答】解：（Ⅰ）因为{a n}是P数列，且a1=0，所以a3=|a2|﹣a0=|a2|，所以a4=|a3|﹣a2=|a2|﹣a2，所以|a2|﹣a2=1，解得…．（1分）所以．…．（3分）证明：（Ⅱ）假设P数列{a n}的项都是正数，即a n＞0，a n+1＞0，a n+2＞0，所以a n+2=a n+1﹣a n，a n+3=a n+2﹣a n+1=﹣a n＜0，与假设矛盾．故P数列{a n}的项不可能全是正数，…．（5分）假设P数列{a n}的项都是负数，则a n＜0，而a n+2=|a n+1|﹣a n＞0，与假设矛盾，….7分故P数列{a n}的项不可能全是负数．解：（Ⅲ）由（Ⅱ）可知P数列{a n}中项既有负数也有正数，且最多连续两项都是负数，最多连续三项都是正数．因此存在最小的正整数k满足a k＜0，a k+1＞0（k≤5）．设a k=﹣a，a k+1=b（a，b＞0），则a k+2=b+a，a k+3=a，a k+4=﹣b，a k+5=b﹣a．a k+6=|b﹣a|+b，a k+7=|b﹣a|+a，a k+8=a﹣b，a k+9=﹣a，a k+10=b，故有a k=a k+9，即数列{a n}是周期为9的数列…．（9分）由上可知a k，a k+1，…，a k+8这9项中，a k，a k+4为负数，a k+5，a k+8这两项中一个为正数，另一个为负数，其余项都是正数．因为2016=9×224，所以当k=1时，m=224×3=672；当2≤k≤5时，a1，a2，…，a k﹣1这k﹣1项中至多有一项为负数，而且负数项只能是a k﹣1，记a k，a k+1，…，a2016这2007﹣k项中负数项的个数为t，当k=2，3，4时，若a k﹣1＜0，则b=a k+1=|a k|﹣a k﹣1＞|a k|=a，故a k+8为负数，此时t=671，m=671+1=672；若a k﹣1＞0，则b=a k+1=|a k|﹣a k﹣1＜|a k|=a，故a k+5为负数．此时t=672，m=672，当k=5时，a k必须为负数，t=671，m=672，…．（12分）﹣1综上可知m的取值集合为{672}．…．（13分）。

2015海淀区高三二模数学(理科)

2015海淀区高三二模数学（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．1．（5分）已知全集U=Z，集合A={1，2}，A∪B={1，2，3，4}，那么（∁U A）∩B=（）A．∅B．{x∈Z|x≥3} C．{3，4}D．{1，2}2．（5分）设a=0.23，b=log20.3，c=20.3，则（）A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c3．（5分）在极坐标系中，过点且平行于极轴的直线的方程是（）A．ρcosθ=B．ρcosθ=﹣ C．ρsinθ=1D．ρsinθ=﹣14．（5分）已知命题p，q，那么“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知函数f（x）=cos（2x+φ）（φ为常数）为奇函数，那么cosφ=（）A．﹣B．0 C．D．16．（5分）已知函数f（x）的部分图象如图所示．向图中的矩形区域随机投出100粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数．通过10次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为33，由此可估计f（x）dx的值约为（）A．B．C．D．7．（5分）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≤0时，f（x）=（x+1）3e x+1，那么函数f（x）的极值点的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．28．（5分）若空间中有n（n≥5）个点，满足任意四个点都不共面，且任意两点的连线都与其它任意三点确定的平面垂直，则这样的n值（）A．不存在B．有无数个C．等于5 D．最大值为8二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若等比数列{a n}满足a2a6=64，a3a4=32，则公比q=；a12+a22+…+a n2=．10．（5分）如图，在△ACB中，∠ACB=120°，AC=BC=3，点O在BC边上，且圆O与AB相切于点D，BC与圆O相交于点E，C，则∠EDB=，BE=．11．（5分）右图表示的是求首项为﹣41，公差为2的等差数列{a n}前n项和的最小值的程序框图．①处可填写；②处可填写．12．（5分）若双曲线M上存在四个点A，B，C，D，使得四边形ABCD是正方形，则双曲线M的离心率的取值范围是．13．（5分）用红、黄、蓝三种颜色对如图所示的三个方格进行涂色．若要求每个小方格涂一种颜色，且涂成红色的方格数为偶数，则不同的涂色方案种数是．（用数字作答）14．（5分）设关于x、y的不等式组表示的平面区域为D，已知点O（0，0）、A（1，0），点M是D上的动点，=λ||，则λ的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，c=5，b=2，a=cosA．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求证：∠B=2∠A．16．（13分）某中学为了解初三年级学生“掷实心球”项目的整体情况，随机抽取男、女生各20名进行测试，记录的数据如下：已知该项目评分标准为：注：满分10分，且得9分以上（含9分）定为“优秀”．（Ⅰ）求上述20名女生得分的中位数和众数；（Ⅱ）从上述20名男生中，随机抽取2名，求抽取的2名男生中优秀人数X的分布列；（Ⅲ）根据以上样本数据和你所学的统计知识，试估计该年级学生实心球项目的整体情况．（写出两个结论即可）17．（13分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=AP=2CD=2，M是棱PB上一点．（Ⅰ）若BM=2MP，求证：PD∥平面MAC；（Ⅱ）若平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若二面角B﹣AC﹣M的余弦值为，求的值．18．（14分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的零点及单调区间；（Ⅱ）求证：曲线y=存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标y0＜﹣1．19．（13分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点．（Ⅰ）求圆O和椭圆C的方程；（Ⅱ）已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N．求证：∠MQN为定值．20．（14分）对于数列A：a1，a2，…，a n，经过变换T：交换A中某相邻两段的位置（数列A中的一项或连续的几项称为一段），得到数列T（A）．例如，数列A：a1，…，a i，（p≥1，q≥1）经交换M，N两段位置，变换为数列T（A）：a1，…，a i，．=T（A k）（k=0，1，2，…）．设A0是有穷数列，令A k+1（Ⅰ）如果数列A0为3，2，1，且A2为1，2，3．写出数列A1；（写出一个即可）（Ⅱ）如果数列A0为9，8，7，6，5，4，3，2，1，A1为5，4，9，8，7，6，3，2，1，A2为5，6，3，4，9，8，7，2，1，A5为1，2，3，4，5，6，7，8，9．写出数列A3，A4；（写出一组即可）（Ⅲ）如果数列A0为等差数列：2015，2014，…，1，A n为等差数列：1，2，…，2015，求n的最小值．参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．1．【解答】全集U=Z，集合A={1，2}，A∪B={1，2，3，4}，∴集合B⊆A∪B，并且一定有3，4，∴∁U A也一定有3，4，∴（∁U A）∩B={3，4}．故选：C．2．【解答】∵0＜0.23＜1，20.3＞1，log20.3＜0，∴b＜a＜c，故选：D．3．【解答】点化为直角坐标，即．∴过点且平行于极轴的直线的方程是y=﹣1，化为直角坐标方程为：ρsinθ=﹣1．故选：D．4．【解答】若p∧q为真命题，则p，q都为真命题，∴p∨q为真命题；若p∨q为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，而如果p，q中只有一个为真命题，则得不到p ∧q为真命题；∴“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件．故选：A．5．【解答】由于函数f（x）=cos（2x+φ）（φ为常数）为奇函数，则φ=kπ+，k∈z，∴cosφ=0，故选：B．6．【解答】由题意设阴影部分的面积为S，则，所以S=；故选：A．7．【解答】当x≤0时，f（x）=（x+1）3e x+1，∴f′（x）=（x+4）（x+1）2e x+1，∴x＜﹣4时，f′（x）＜0，﹣4＜x≤0时，f′（x）＞0，∴x=﹣4是函数的极值点，∵f（x）是定义域为R的偶函数，∴x=4是函数的极值点，又f（0）=e，x＞0递增，x＜0递减，即为极值点．故选：C．8．【解答】显然n=5时成立，若n≥6，空间中三个点确定一个平面，又任意四点都不共面，则其余点都在该平面外，而过平面外一点有且只有一条直线垂直平面，则其余各点共线，由公里3推论可知，存在四点共面，这与已知矛盾，故n≥6不成立，故选：C二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】∵a3a4=32，∴q＞0，且a n＞0，∵a2a6=64，∴a2a6=（a4）2=64，∴a4=8，则a3=，则公比q==2，则a n=a4q n﹣4=8×2n﹣4=2n﹣1，则a n2=（2n﹣1）2=4n﹣1，即数列{a n2}是公比q=4的等比数列，则a12+a22+…+a n2==，故答案为：2，10．【解答】连接OD，则OD⊥AB，∵△ACB中，∠ACB=120°，AC=BC，∴∠B=∠A=30°，∴∠DOB=60°，∴△ODE为等边三角形，∴∠EDB=30°，∴DE=EB=CE，∵BC=3，∴BE=1故答案为：30°；1．11．【解答】由程序设计意图可知，S表示此等差数列{a n}前n项和，故②处应该填写a=a+2，又因为此数列首项为负数，公差为正数，求前n项和的最小值只需累加至最后一个非正项即可，故①处可填写：a＞0．故答案为：a＞0，a=a+2．12．【解答】∵双曲线M上存在四个点A，B，C，D，使得四边形ABCD是正方形，∴＞1，∴e=＞，即e∈．故答案为：．13．【解答】因为涂成红色的方格数为偶数，即涂成红色的方格数为0，或2，3个格涂一种颜色，有2种，（全黄或全蓝）3个格涂2颜色且涂0个红色时，C21C32=6种，3格涂2颜色且涂2个红色时，C21C32=6种，根据分类计数原理，可得共有2+6+6=14种，故答案为：14．14．【解答】由不等式组得：，或；∴平面区域D如下图阴影部分所示：由得，λ=cos∠MOA；如图所示，若设直线x=和y=﹣3x+6的交点为B，则B点坐标为（，2），所以|OB|=，当M点从B点开始向x轴靠近的过程中，∠MOA不断减小，并减小到0，当∠MOA=0°时对应的λ的值达到最大值，而当M从x轴并在阴影部分远离x轴时，∠MOA又逐渐增大，可知∠MOA的最大值（极限值）一定在直线y=﹣3x+6上取得，比较此极限值和M在B点对应的λ值即可求出λ的最小值；当M点在B点时，cos∠MOA==；当M点在第四象限且在直线上时，设M（x，﹣3x+6），则cos∠MOA=，当x趋近于正无穷时，cos∠MOA=，∵＞；∴λ的取值范围是（，1]．故答案为：（，1]．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．【解答】（Ⅰ）因为，所以，因为c=5，，所以3a2+40a﹣49×3=0，解得：a=3或（舍）．…（6分）证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：，所以，因为a=3，c=5，，所以，所以cos2A=cosB．…（12分）因为c＞b＞a，所以，因为B∈（0，π），所以∠B=2∠A．…（13分）16．【解答】（Ⅰ）20名女生掷实心球得分如下：5，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10．所以中位数为8，众数为9．…（3分）（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2．…（4分），，，所以抽取的2名男生中优秀人数X的分布列为：…（10分）（Ⅲ）由茎叶图得20名男生掷实心球得分如下：4，4，4，6，6，6，7，7，8，8，8，8，9，9，9，9，9，10，10，10．所以中位数为8，众数为9．20名女生掷实心球得分的平均数为：=（5+6+7+7+7+7+7+7+8+8+8+9+9+9+9+9+9+9+10+10）=8，20名男生掷实心球得分的平均数为：=（4+4+4+6+6+6+7+7+8+8+8+8+9+9+9+9+9+10+10+10）=7.55．∴该年级学生实心球项目的整体情况为：①男生和女生的得分的中位数和众数相等；②男生得分的平均数小于女生得分的平均数．…（13分）评分建议：从平均数、方差、极差、中位数、众数等角度对整个年级学生掷实心球项目的情况进行合理的说明即可；也可以对整个年级男、女生该项目情况进行对比；或根据目前情况对学生今后在该项目的训练提出合理建议．17．【解答】（Ⅰ）连结BD交AC于点O，连结OM．因为AB∥CD，AB=2CD，所以．因为BM=2MP，所以．所以．所以OM∥PD．…（2分）因为OM⊂平面MAC，PD⊄平面MAC，所以PD∥平面MAC．…（4分）（Ⅱ）因为平面PAD⊥平面ABCD，AD⊥AB，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD．…（6分）因为PA⊂平面PAD，所以AB⊥PA．同理可证：AD⊥PA．因为AD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD∩AB=A，所以PA⊥平面ABCD．…（9分）解：（Ⅲ）分别以边AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由AB=AD=AP=2CD=2，得A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，1，0），D（2，0，0），P（0，0，2），则，．由（Ⅱ）得：PA⊥平面ABCD．所以平面ABCD的一个法向量为．…（10分）设（0≤λ≤1），即．所以．设平面AMC的法向量为，则，即令x=λ﹣1，则y=2﹣2λ，z=﹣2λ．所以．因为二面角B﹣AC﹣M的余弦值为，所以，解得．所以的值为．…（14分）18．【解答】（Ⅰ）令f（x）=0，得x=e．故f（x）的零点为e，（x＞0）．令f′（x）=0，解得．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：（0，）（，+∞）所以f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为．（Ⅱ）令．则，因为，f（e）=0，且由（Ⅰ）得，f（x）在（0，e）内是减函数，所以存在唯一的，使得g′（x0）=f（x0）=6．当x∈[e，+∞）时，f（x）≤0．所以曲线存在以（x0，g（x0））为切点，斜率为6的切线．由得：．所以．因为，所以，﹣6x0＜﹣3．所以y0=g（x0）＜﹣1．19．【解答】（Ⅰ）依题意得解得：a=2，．所以圆O的方程为x2+y2=2，椭圆C的方程为．（Ⅱ）证法一：如图所示，设P（x0，y0）（y0≠0），Q（x Q，y0），则即，又由得．由得．所以，．所以．所以QM⊥QN，即∠MQN=90°．（Ⅱ）证法二：如图所示，设P（x0，y0），AP：y=k（x+2）（k≠0）．由得（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣4=0．所以，即．所以，即．所以直线BP的斜率为．所以．令x=0得：M（0，2k），．设Q（x Q，y0），则，．所以．因为，所以．所以QM⊥QN，即∠MQN=90°．20．【解答】（Ⅰ）A1：2，1，3或A1：1，3，2．（Ⅱ）A3：5，6，7，2，3，4，9，8，1；A4：5，6，7，8，1，2，3，4，9．（Ⅲ）考虑数列A：a1，a2，…，a n，满足a i＜a i+1的数对a i，a i+1的个数，我们称之为“顺序数”．则等差数列A0：2015，2004，…，1的顺序数为0，等差数列A n：1，2，…，2015的顺序数为2014．首先，证明对于一个数列，经过变换T，数列的顺序数至多增加2．实际上，考虑对数列…，p，a，…，b，c，…，d，q，…，交换其相邻两段a，…，b和c，…，d的位置，变换为数列…，p，c，…，d，a，…，b，q，…．显然至多有三个数对位置变化．假设三个数对的元素都改变顺序，使得相应的顺序数增加，即由p＞a，b＞c，d＞q变为p＜c，d＜a，b＜q．分别将三个不等式相加得p+b+d＞a+c+q与p+b+d＜a+c+q，矛盾．所以经过变换T，数列的顺序数至多增加2．其次，第一次和最后一次变换，顺序数均改变1．设n的最小值为x，则2+2（x﹣2）≥2014，即x≥1008．最后，说明可以按下列步骤，使得数列A1008为1，2， (2015)对数列A0：2015，2014， (1)第1次交换1，2，…，1007和1008，1009位置上的两段，得到数列A1：1008，1007，2015，2014，…，1010，1009，1006，1005，…，2，1；第2次交换2，3，…，1008和1009，1010位置上的两段，得到数列A2：1008，1009，1006，1007，2015，2014，…，1011，1010，1005，1004，…，2，1；第3次交换3，4，…，1009和1010，1011位置上的两段，得到数列A3：1008，1009，1010，1005，1006，1007，2015，2014，…，1012，1011，1004，1003，…，2，1；…，以此类推第1007次交换1007，1008，…，2013和2014，2015位置上的两段，得到数列A1007：1008，1009，…，2013，2014，1，2，…，1006，1007，2015；最终再交换1，2，...，1007和1008，1009，...，2014位置上的两段，即得A1008：1，2， (2015)所以n的最小值为1008．。

2015届高三二模理科数学分类汇编(解析)

北京各区二模理科数学分类汇编解析(2015届西城二模)10．双曲线 C ：的离心率为；渐近线的方程为．答案：x y 22,26±= (2015届西城二模)19．（本小题满分14 分）设F 1、F 2分别为椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点A 为椭圆E 的左顶点，点B 为椭圆E 的上顶点，且｜AB ｜＝2．⑴ 若椭圆E 的离心率为26，求椭圆E 的方程；⑵ 设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线与y 轴相交于点Q ，若以PQ 为直径的圆经过点F 1，证明：|OP|>则219．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设22c a b =-，由题意，得224a b +=，且6c a =……………… 2分解得3a =1b =，2c = ……………… 4分所以椭圆E 的方程为2213x y +=. ……………… 5分（Ⅱ）解：由题意，得224a b +=，所以椭圆E 的方程为222214x y a a +=-，则1(,0)F c -，2(,0)F c ，22224c a b a =--设00(,)P x y ，由题意，知0x c ≠，则直线1F P 的斜率10F P y k x c=+， ……………… 6分直线2F P 的斜率20F Py k x c =-，所以直线2F P 的方程为0()y y x c x c=--，当0x =时，00y c y x c -=-，即点00(0,)Q y cx c--，所以直线1F Q 的斜率为1F Qy k c x =-， ……………… 8分因为以PQ为直径的圆经过点1F，所以11PF F Q⊥.所以1100001F P F Qy yk kx c c x⨯=⨯=-+-，………………10分化简，得22200(24)y x a=--，○1又因为P为椭圆E上一点，且在第一象限内，所以22002214x ya a+=-，x>，y>，○2由○1○2，解得202ax=，2122y a=-，………………12分所以2222200||1(2)22OP x y a=+=-+，………………13分因为22242a b a+=<，所以22a>，所以||2OP>. ………………14分(2015届海淀二模)答案：(2,)+∞(2015届海淀二模)（19）（共14分）解：（Ⅰ）依题意得22224,,.ac ba b c⎧=⎪=⎨⎪-=⎩解得：2a=，2b c==………………3分所以圆O 的方程为222x y +=，椭圆C 的方程为22142x y +=. ………………5分（Ⅱ）解法一：如图所示，设00(,)P x y （00y ≠）， 0(,)Q Q x y ，则22002201,422,Q x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩即220022042,2.Q x y x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ ………………7分又由00:(2)2y AP y x x =++得002(0,)2y M x +. 由00:(2)2y BP y x x =--得002(0,)2y N x --.………………10分所以0000002(,)(,)22Q Q y x y QM x y x x x =--=--++uuu r ,0000002(,)(,)22Q Q y x yQN x y x x x =---=----uuu r .所以222222000002200(42)2042Q x y y y QM QN x y x y -⋅=+=-+=--uuu r uuu r . 所以QM QN ⊥，即90MQN ∠=︒. ………………14分（Ⅱ）解法二：如图所示，设00(,)P x y ，:(2)AP y k x =+（0k ≠）.由221,42(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2222(21)8840k x k x k +++-=.所以20284221k x k --=+，即222421kx k -=+. 所以02421ky k =+，即222244(,)2121k k P k k -++.所以直线BP 的斜率为2224121242221kk k kk +=---+.所以 1:(2)2BP y x k=--. 令0x=得:(0,2)M k ，1(0,)N k. ………………10分设0(,)Q Q x y ，则0(,2)Q QM x k y =--uuu r ，01(,)Q QN x y k=--uuu r .所以22220000121(2)()2Q Q k QM QN x k y y x y y k k+⋅=+--=++-⋅uuu r uuu r .因为2200242,21Q kx y y k +==+，所以 0QM QN ⋅=u u u r u u u r.所以 QM QN ⊥，即90MQN ∠=︒. ………………14分(2015届东城二模)（12）若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>截抛物线24y x =的准线所得线段长为b ，则a = ．答案：552(2015届东城二模) （19）（本小题共13分）已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在xC上的点到两个焦点的距离之和为4．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设A 为椭圆C 的左顶点，过点A 的直线l 与椭圆交于点M ，与y 轴交于点N ，过原点与l 平行的直线与椭圆交于点P ．证明：2||||2||AM AN OP ⋅=．（19）（共13分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由题意知222,24,a b c ca a ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩解得2a =，1b =．所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．……………………………5分（Ⅱ）设直线AM 的方程为：(2)y k x =+，则(0,2)N k ．由22(2)44,y k x x y =+⎧⎨+=⎩，得2222(1+4)161640k x k x k ++-=（*）．设(2,0)A -，11(,)M x y ，则2-，1x 是方程（*）的两个根，所以2122814k x k -=+．所以222284(,)1414k kM k k -++．||AM ===．||AN =2228(1)||||1414k AM AN k k +==++．设直线OP 的方程为：y kx =．由2244,y kx x y =⎧⎨+=⎩，得22(14)40k x +-=．设00(,)P x y ，则202414x k =+，2202414k y k =+．所以22244||14k OP k +=+，222882||14k OP k +=+．所以2||||2||AM AN OP ⋅=． ……………13分(2015届丰台二模)19.（本小题共14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2，其两个焦点与短轴的一个顶点是正三角形的三个顶点．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）动点P 在椭圆C 上，直线l ：4x=与x 轴交于点N ，PM l ⊥于点M （M ，N 不重合），试问在x 轴上是否存在定点T ，使得PTN ∠的平分线过PM 中点，如果存在，求定点T 的坐标；如果不存在，说明理由．(2015届昌平二模) 19.（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)+=>>x y a b a b，右焦点F，点D 在椭圆上.（I ）求椭圆C 的标准方程；(II) 已知直线kx y l=:与椭圆C 交于,A B 两点，P 为椭圆C 上异于,A B 的动点.（i ）若直线,PA PB 的斜率都存在，证明：12PA PB k k ⋅=-; (ii) 若0k=，直线,PA PB 分别与直线3x =相交于点,M N ，直线BM 与椭圆C 相交于点Q （异于点B ），求证：A ,Q ,N 三点共线.解：（Ⅰ）依题意，椭圆的焦点为12(F F ，则12||||2DF DF a +=，解得{a c ==2222b a c =-=.故椭圆C 的标准方程为22142x y +=. ……………5分（Ⅱ）(i)证明：设001111(,),(,),(,)P x y A x y B x y --，则22001,42x y +=2211 1.42x y += 两式作差得22220101042x x y y --+=. 因为直线,PA PB 的斜率都存在，所以0212≠-x x .所以2201220112y y x x -=--，即010*******y y y y x x x x +-⨯=-+-. 所以，当,PA PB 的斜率都存在时，12PA PB k k ⋅=-. ……………9分 (ii) 证明：0k=时， 00(,),(2,0),(2,0)P x y A B -.设PA 的斜率为n ，则PB 的斜率为12n-，直线:(2)PA y n x =+，(3,5)M n ，直线1:(2)2PB y x n =--, 1(3,)2N n-，所以直线:5(2)BM y n x =-，直线1:(2)10AN y x n=-+，联立，可得交点2222(501)20(,)501501n nQ n n --++. 因为222222(501)20[]2()4501501n n n n --+=++，所以点2222(501)20(,)501501n n Q n n --++在椭圆22142x y +=上. 即直线MB 与直线NA 的交点Q 在椭圆上，即A ，Q ，N 三点共线. ……………14分。

北京各区2015届高三二模理科数学分类汇编(函数逻辑)

北京各区二模理科数学分类汇编函数充要(2015届西城二模) 3．设命题p ：函数在R上为增函数；命题q：函数为奇函数．则下列命题中真命题是(D)(2015届西城二模)7．若“ x ＞1 ”是“不等式成立”的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是（A）A．a ＞3 B．a ＜3 C．a ＞4 D．a ＜4(2015届西城二模)14．如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记，OP 所经过的在正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S ＝f （x），那么对于函数f （x）有以下三个结论：①；②任意，都有③任意其中所有正确结论的序号是．答案：①②(2015届海淀二模)答案：（2）D （4）A （7）C(2015届东城二模) （2）设4log a =π，14log b =π，4c =π，则a ，b ，c 的大小关系是（D ）（A ） b c a >> （B ）a c b >> （C ） a b c >> （D ）b a c >>(2015届东城二模) （5）已知p ，q 是简单命题，那么“p q ∧是真命题”是“p ⌝是真命题”的（D ）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 (2015届东城二模) （7）定义在R 上的函数()f x 满足)()6(x f x f =+.当)1,3[--∈x 时，2)2()(+-=x x f ,当)3,1[-∈x 时，x x f =)(，则(1)(2)(3)(2015)f f f f ++++= （A ）（A ）336 （B ）355 （C ）1676 （D ）2015(2015届丰台二模) 2．“a =0”是“复数i za b =+(a ，b ∈R)为纯虚数”的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 “复数i z a b =+(a ，b ∈R)为纯虚数”成立的充分不必要条件是(A) a =0，b ≠0(B) a =0(C) b =0(D) a =0，b =2(2015届丰台二模) 4．函数1,0,()2cos 1,20x f x x x ≥=--π≤<⎪⎩的所有零点的和等于(A) 1-2π (B)312π-(C)1-π(D)12π-(2015届昌平二模) 4. “||2b <是“直线y b +与圆2240x y y +-=相交”的（A ）A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C ．充要条件 D. 既不充分也不必要条件 (2015届昌平二模) 7. 已知函数()y f x =（x ∈R ）是奇函数，其部分图象如图所示,则在(2,0)-上与函数()f x 的单调性相同的是（ D ）A.21y x =+ B. 2log y x= C.(0)(0)x x e x y e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ D. cos y x =框图(2015届西城二模)4．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的s 属于（A ）A ． {1‚ 2}B ．{1‚ 3}C ．{2 ‚ 3}D ．{1‚ 3‚ 9}(2015届昌平二模) 5. 在篮球比赛中，某篮球队队员投进三分球的个数如表所示：右图是统计上述6名队员在比赛中投进的三分球总数s 的程序框图，则图中的判断框内应填入的条件是（A. 6i < B. 7i < C. 8i < D. 9i <12．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是．向量(2015届西城二模) 2．已知平面向量，则实数k ＝（D ）A ．4B ．－4C ．8D ．－8(2015届东城二模)（13）已知非零向量,a b 满足||1=b ，a 与-b a 的夹角为120，则||a 的取值范围是．答案：]332,0( (2015届丰台二模)6．平面向量a 与b 的夹角是3π，且1a = ，2b = ，如果AB a b =+ ，3AC a b =- ，D 是BC 的中点，那么AD =(A) (B)(C) 3 (D) 6(2015届昌平二模) 12.如图,在菱形ABCD 中,1AB =,60DAB ∠= ,E 为CD 的中点,则AB AE ⋅的值是 . 答案：1不等式线性规划(2015届西城二模)5．某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y （万元）与x 满足函数关BCDEA系，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x 为（B ）A ．3B ．4C ．5D ．6(2015届东城二模)（10）已知正数,x y 满足x y xy +=，那么x y +的最小值为．答案：4(2015届东城二模)（6）若实数y x ,满足不等式组330101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，，，则2||z x y =+的取值范围是（D ）（A ）[1,3]- （B ）[1,11] （C ）]3,1[ （D ）]11,1[-(2015届丰台二模)7．某生产厂家根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按5天计算）生产A ，B ，C 三种产品共15吨（同一时间段内只能生产一种产品），已知生产这些产品每吨所需天数和每吨产值如下表：(A) 30 (B) 40 (C) 47.5 (D) 52.5某生产厂家根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按5天计算）生产A ，B ，C 三种产品共15吨（同一时间段内只能生产一种产品），且C 种产品至少生产5吨，已知生产这些产品每吨所则每周最高产值是(A) 40 (B) 42.5(C) 45(D) 50说明：这两个题没有本质区别，主要差一句话（且C 种产品至少生产5吨），这句话意味着什么？考题希望交给学生遇到问题应如何思考。

北京市海淀区高三二模数学理科含答案[1]

海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理科） 2013.5本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.集合{}|(1)(2)0A x x x =-+≤，B ={}0x x <，则A B = A ．(,0]-∞ B ．(,1]-∞ C ．[1,2] D ．[1,)+∞2.已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且134a a ⋅=，48a =，则1a q +的值为 A ．3 B ．2 C ．3或2- D ．3或3-3. 如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω. 向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ，则图形Ω面积的估计值为A.ma nB.na mC. 2ma nD. 2na m4.某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 A.180 B.240 C.276 D.3005.在四边形ABCD 中，“λ∃∈R ，使得,AB DC AD BC λλ==”是“四边形ABCD 为平行四边形”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为 A.32 B. 36 C. 42 D.487.双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，且2F 恰为抛物线24y x =的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为B.112俯视图8. 若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T . 已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>，11, 1=1, 0 1.n n n n na a a a a +->⎧⎪⎨<≤⎪⎩，则下列结论中错误．．的是 A. 若34a =，则m 可以取3个不同的值 B.若m ={}n a 是周期为3的数列C.T ∀∈*N 且2T ≥，存在1m >，{}n a 是周期为T 的数列D.Q m ∃∈且2m ≥，数列{}n a 是周期数列二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.在极坐标系中，极点到直线cos 2ρθ=的距离为_______.10.已知1211ln ,sin ,222a b c -===，则,,a b c 按照从．大到小．．．排列为______. 11.直线1l 过点(2,0)-且倾斜角为30，直线2l 过点(2,0)且与直线1l 垂直，则直线1l 与直线2l 的交点坐标为____.12.在ABC ∆中，30,45,2A B a ∠=∠==，则_____;b =C _____.AB S ∆=13.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，若动点P 在线段1BD 上运动，则DC AP ⋅的取值范围是______________.14.在平面直角坐标系中，动点(,)P x y 到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，记点P 的轨迹为曲线W . (I) 给出下列三个结论： ①曲线W 关于原点对称； ②曲线W 关于直线y x =对称；③曲线W 与x 轴非负半轴，y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于12；其中，所有正确结论的序号是_____; (Ⅱ)曲线W 上的点到原点距离的最小值为______.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数cos2()1π)4x f x x =--.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域； (Ⅱ) 求函数()f x 的单调递增区间.16.（本小题满分13分）福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业,现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为50%；（2）每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；（3）顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p ，获得50元奖金的概率为2%.(I)假设某顾客一次性花10元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率；（II ）为了能够筹得资金资助福利事业, 求p 的取值范围.17. （本小题满分14分）如图1，在直角梯形ABCD 中，90ABC DAB ∠=∠=，30CAB ∠=，2BC =，4AD =. 把DAC ∆沿对角线AC 折起到PAC ∆的位置,如图2所示,使得点P 在平面ABC上的正投影H 恰好落在线段AC 上，连接PB ,点,E F 分别为线段,PA AB 的中点． (I) 求证：平面//EFH 平面PBC ； (II)求直线HE 与平面PHB 所成角的正弦值；(III)在棱PA 上是否存在一点M ,使得M 到点,,,P H A F 四点的距离相等？请说明理由.CDBA图1H E CPBAF图218.（本小题满分13分）已知函数()e x f x =,点(,0)A a 为一定点,直线()x t t a =≠分别与函数()f x 的图象和x 轴交于点M ,N ,记AMN ∆的面积为()S t . （I ）当0a =时,求函数()S t 的单调区间；（II ）当2a >时, 若0[0,2]t ∃∈,使得0()e S t ≥, 求实数a 的取值范围.19. （本小题满分14分）已知椭圆:M 22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60的菱形的四个顶点.（I ）求椭圆M 的方程；（II ）直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且线段AB 的垂直平分线经过点1(0,)2-，求A O B ∆（O 为原点）面积的最大值.20.（本小题满分13分）设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”. (Ⅰ) 数表A 如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；表1(Ⅱ) 数表A 如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数．．a 的所有可能值；(Ⅲ)对由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的任意一个数表A ，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之表2和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由.22221212a a a a a a a a ------海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理科）参考答案及评分标准2013.5一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）解：（I ）因为πsin()04x -≠所以ππ,4x k -≠Z k ∈……………………2分所以函数的定义域为π{|π+,4x x k ≠Z}k ∈……………………4分（II ）因为22cos sin ()1sin cos x xf x x x -=--……………………6分= 1(cos sin )x x ++1sin cos x x =++π= 1)4x +……………………8分又sin yx =的单调递增区间为 ππ(2π,2π)22k k -+ ，Z k ∈令πππ2π2π242k x k -<+<+解得 3ππ2π2π44k x k -<<+……………………11分又注意到ππ+,4x k ≠9． 2 10．c b a >> 11.12． 13．[0,1]14．②③;2所以()f x 的单调递增区间为3ππ(2π,2π)44k k -+， Z k ∈…………………13分16. 解：（I ）设至少一张中奖为事件A则2()10.50.75P A =-=…………………4分(II) 设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为ξ 则ξ可以取5,0,45,145--…………………6分ξ的分布列为…………………8分所以ξ的期望为550%0(50%2%)(45)2%(145)E p p ξ=⨯+⨯--+-⨯+-⨯2.590%145p =--…………………11分所以当 1.61450p ->时，即8725p <…………………12分所以当80725p <<时，福彩中心可以获取资金资助福利事业…………………13分17.解：（I ）因为点P 在平面ABC 上的正投影H 恰好落在线段AC 上所以PH ⊥平面ABC ，所以PH ⊥AC …………………1分因为在直角梯形ABCD 中，90ABC DAB ∠=∠=，30CAB ∠=，2BC =，4AD =所以4AC =，60CAB ∠=，所以ADC ∆是等边三角形，所以H 是AC 中点， …………………2分所以//HE PC …………………3分同理可证//EF PB 又,HEEF E CP PB P ==所以平面//EFH 平面PBC …………………5分（II ）在平面ABC 内过H 作AC 的垂线如图建立空间直角坐标系，则(0,2,0)A -，P ，B …………………6分因为(0,E -，(0,HE =- 设平面PHB 的法向量为(,,)n x y z = 因为(3,1,0)HB =，HP =所以有00HB n HP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y z +==⎪⎩，令x =则3,y =-所以(3,3,0)n =-…………………8分cos ,||||22n HE n HEn HE ⋅<>===⋅⋅10分所以直线HE 与平面PHB …………………11分 (III)存在，事实上记点E 为M 即可 …………………12分因为在直角三角形PHA 中，122EH PE EA PA ====，…………………13分在直角三角形PHB 中，点4,PB =122EF PB == 所以点E 到四个点,,,P O C F 的距离相等…………………14分 18.解: (I) 因为1()||e 2t S t t a =-，其中t a ≠…………………2分当0a =，1()||e 2t S t t =，其中0t ≠ 当0t >时，1()e 2t S t t =，1'()(1)e 2t S t t =+，所以'()0S t >，所以()S t 在(0,)+∞上递增，…………………4分当0t <时，1()e 2t S t t =-，1'()(1)e 2t S t t =-+，令1'()(1)e 02t S t t =-+>，解得1t <-，所以()S t 在(,1)-∞-上递增令1'()(1)e 02t S t t =-+<，解得1t >-，所以()S t 在(1,0)-上递减……………7分综上，()S t 的单调递增区间为(0,)+∞，(,1)-∞-()S t 的单调递增区间为(1,0)-（II ）因为1()||e 2t S t t a =-，其中t a ≠ 当2a >，[0,2]t ∈时，1()()e 2t S t a t =-因为0[0,2]t ∃∈，使得0()e S t ≥，所以()S t 在[0,2]上的最大值一定大于等于e1'()[(1)]e 2t S t t a =---，令'()0S t =，得1t a =-…………………8分当12a -≥时，即3a ≥时1'()[(1)]e 02t S t t a =--->对(0,2)t ∈成立，()S t 单调递增所以当2t =时，()S t 取得最大值21(2)(2)e 2S a =-令21(2)e e 2a -≥，解得22ea ≥+，所以3a ≥…………………10分当12a -<时，即3a <时1'()[(1)]e 02t S t t a =--->对(0,1)t a ∈-成立，()S t 单调递增1'()[(1)]e 02t S t t a =---<对(1,2)t a ∈-成立，()S t 单调递减所以当1t a =-时，()S t 取得最大值11(1)e 2a S a --=令11(1)e e 2a S a --=≥，解得ln22a ≥+所以ln223a +≤<…………………12分综上所述，ln22a +≤…………………13分19.解:(I)因为椭圆:M 22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60的菱形的四个顶点,所以1a b ==,椭圆M 的方程为2213x y +=…………………4分(II)设1122(,),(,),A x y B x y 因为AB 的垂直平分线通过点1(0,)2-，显然直线AB 有斜率，当直线AB 的斜率为0时,则AB 的垂直平分线为y 轴,则1212,x x y y =-=所以111111=|2||||||||2AOB S x y x y x ∆====2211(3)322x x +-≤=，所以AOB S ∆≤1||x =时，AOB S ∆………………7分当直线AB 的斜率不为0时,则设AB 的方程为y kx t =+所以2213y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，代入得到222(31)6330k x ktx t +++-= 当224(933)0k t ∆=+->, 即2231k t +>①方程有两个不同的解又122631kt x x k -+=+，1223231x x ktk +-=+…………………8分所以122231y y tk +=+，又1212112202y y x x k ++=-+-，化简得到2314k t +=② 代入①，得到04t <<…………………10分又原点到直线的距离为d =12|||AB x x =-=所以1=||||2AOB S AB d ∆=化简得到AOB S ∆12分因为04t <<，所以当2t =时，即k =时，AOB S ∆综上，AOB ∆…………………14分 20.（I ）解：法1：42123712371237210121012101-−−−−−→−−−−−→----改变第列改变第行法2：14123712371237210121012101----−−−−−→−−−−−→--改变第列改变第列…………………3分(II) 每一列所有数之和分别为2，0，2-，0，每一行所有数之和分别为1-，1; ①如果首先操作第三列，则22221212a a a a a a a a -----则第一行之和为21a -，第二行之和为52a -，这两个数中，必须有一个为负数，另外一个为非负数，所以12a ≤或52a ≥ 当12a ≤时，则接下来只能操作第一行， 22221212a a a a a a a a ------此时每列之和分别为2222,22,22,2a a a a --- 必有2220a -≥，解得0,1a =- 当52a ≥时，则接下来操作第二行 22221212a a a a a a a a ------此时第4列和为负，不符合题意. …………………6分 ②如果首先操作第一行22221212a a a a a a a a -----则每一列之和分别为22a -，222a -，22a -，22a当1a =时，每列各数之和已经非负，不需要进行第二次操作，舍掉当1a ≠时，22a -，22a -至少有一个为负数，所以此时必须有2220a -≥，即11a -≤≤，所以0a =或1a =- 经检验，0a =或1a =-符合要求综上：0,1a =-…………………9分（III ）能经过有限次操作以后，使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数。

北京市海淀区2015--2016学年度高三年级第二次模拟数学(理科)试卷及答案

海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案数学（理科）2016.5 阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．解：（Ⅰ）因为()2sin cos2f x x x =--所以 πππ()2sin cos2444f =--⋅=2分 πππ3()2sin cos26662f =--⋅=-…………………4分因为 32>-,所以 ππ()()46f f >…………………6分（Ⅱ）因为 2()2sin (12sin )f x x x =---…………………9分22sin 2sin 1x x =--2132(sin )22x =-- 令 sin ,[1,1]t x t =∈-，所以2132()22y t =--,…………………11分因为对称轴12t =, 根据二次函数性质知，当 1t =-时，函数取得最大值3 …………………13分16解: (I)A 型空调前三周的平均销售量111015125x ++==台…………………2分（Ⅱ）因为C 型空调平均周销售量为10台，所以451051581215c c +=⨯---=…………………4分60 32又222222451[(1510)(810)(1210)(10)(10)]5s c c =-+-+-+-+- 化简得到22411591[2()]522s c =-+…………………5分因为4c ∈N ，所以当47c =或48c =时，2s 取得最小值所以当4578c c =⎧⎨=⎩ 或4587c c =⎧⎨=⎩时，2s 取得最小值…………………7分（Ⅲ）依题意，随机变量X 的可能取值为0,1,2，…………………8分20255(0)304012P X ==⋅=, 1025201511(1)+=3040304024P X ==⋅⋅, 10151(2)30408P X ==⋅=, …………………11分随机变量X 的分布列为随机变量X 的期望511117()0121224824E X =⨯+⨯+⨯=.…………………13分17解:（Ⅰ）证明：连结NG NE ，.在MCD ∆中，因为,N G 分别是所在边的中点，所以1CD 2NG，…………………1分又1CD 2EH , 所以 NG EH , …………………2分所以NEHG 是平行四边形，所以EN GH ,…………………3分又EN ⊂平面DEM ，GH ⊄平面DEM , …………………4分所以GH 平面DEM . …………………5分（Ⅱ）证明：方法一：在平面EFCD 内，过点H 作DE 的平行线HP ，因为,,DE EM DE EF ⊥⊥,EM EF E =所以DE ⊥平面EFM ,所以HP ⊥平面EFM ，所以HP ⊥EF .又在EMF ∆中，因为EM MF EF ==，所以MH EF ⊥.以H 为原点，,,HM HF HP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系…………………6分所以1(0,1,0),(0,1,2),,1)2E M C N --…………………7分所以33(3,1,0),(,,1)22EM CN ==--，…………………8分所以0EM CN ⋅=，所以EM CN ⊥. …………………9分方法二：取EM 中点K ，连接,NK FK .又NK 为EMD ∆的中位线，所以NKDE 又DE CF ，所以NK CF ，所以NKFC 在一个平面中. …………………6分因为EMF ∆是等边三角形，所以EM FK ⊥,又DE EM ⊥，所以NK EM ⊥, …………………7分且NK FK K =，所以EM ⊥平面NKFC ，…………………8分而CN ⊂平面NKFC ,所以EM CN ⊥. …………………9分（Ⅲ）因为(0,0,2)CF =-,所以0EM CF ⋅=, 即EM CF ⊥,又CF CN C =, 所以EM ⊥平面NFC ，所以EM 就是平面NFC 的法向量. …………………11分又31(,1)22HG =，设GH 与平面NFC 所成的角为θ，则有312sin |cos ,|2||||HG EM HG EM HG EM θ+⋅=<>===13分所以GH 与平面NFC 所成的角为π4.…………………14分18解: （Ⅰ）函数()f x 的定义域为R .当1a =时，'()e (2)(1)x f x x x =++…………………2分当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：…………………4分函数()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-，(1)-+∞，，函数()f x 的单调递减区间为(2,1)--. …………………5分（Ⅱ）解：因为()e a f x ≤在区间[,)a +∞上有解，所以()f x 在区间[,)a +∞上的最小值小于等于e a .因为'()e (2)()x f x x x a =++, 令'()0f x =,得122,x x a =-=-. …………………6分当2a -≤-时，即2a ≥时，因为'()0f x >对[,)x a ∈+∞成立，所以()f x 在[,)a +∞上单调递增，此时()f x 在[,)a +∞上的最小值为(),f a所以22()e ()e a a f a a a a =++≤，解得112a -≤≤，所以此种情形不成立，…………………8分当2a ->-，即2a <时，若0a ≥, 则'()0f x >对[,)x a ∈+∞成立，所以()f x 在[,)a +∞上单调递增，此时()f x 在[,)a +∞上的最小值为(),f a 所以22()e ()e a a f a a a a =++≤，解得112a -≤≤，所以102a ≤≤ . …………………9分若0a <，则'()0f x <对(,)x a a ∈-成立，'()0f x >对[,)x a ∈-+∞成立.则()f x 在(,)a a -上单调递减，在[,)a -+∞上单调递增，此时()f x 在[,)a +∞上的最小值为(),f a -而22()e ()e 0e a a a f a a a a a -=-+=<≤，所以0a <.…………………11分综上，a 的取值范围是1(,]2-∞…………………12分法二：因为()e a f x ≤在区间[,)a +∞上有解，所以()f x 在区间[,)a +∞上的最小值小于等于e a ，当0a ≤时，显然0[,)a ∈+∞，而(0)0e a f a =≤≤成立，…………………8分当0a >时,'()0f x >对[,)x a ∈+∞成立，所以()f x 在[,)a +∞上单调递增，此时()f x 在[,)a +∞上的最小值为()f a ，所以有22()e ()e a a f a a a a =++≤，解得112a -≤≤，所以102a ≤≤.…………………11分综上，1(,]2a ∈-∞.…………………12分（Ⅲ）a 的取值范围是2a ≠.…………………14分19解：（Ⅰ）因为(1,0)B ，所以1(1,),A y代入24y x =，得到12y =，…………………1分又||2BC =，所以212x x -=，所以23x =，…………………2分代入24y x =，得到1y =3分所以21211AD y y k x x -===-. …………………5分（Ⅱ）法一：设直线AD 的方程为y kx m =+. 则1211|()|||.2OMD OMA S S S m x x m ∆∆=-=-=…………………7分由24y kx my x =+⎧⎨=⎩, 得222(24)0k x km x m +-+=, 所以2221222122(24)41616042km k m km km x x k m x x k ⎧⎪∆=--=->⎪-⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩…………………9分又21221121214()()2S y y x x y y kx m kx m k=+-=+=+++=,…………………11分又注意到1204km y y =>，所以0,0k m >>，所以12124S m km S y y ==+，…………………12分因为16160km ∆=->，所以01km <<,所以12144S km S =<.…………………13分法二：设直线AD 的方程为y kx m =+.由24y kx my x =+⎧⎨=⎩, 得222(24)0k x km x m +-+=, 所以2221222122(24)41616042km k m km km x x k m x x k ⎧⎪∆=--=->⎪-⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩…………………7分1212|||||AD x x x x =-=-= …………………8分点O 到直线AD的距离为d =, 所以11||||||2S AD d m m =⋅==………………9分又21221121214()()2S y y x x y y kx m kx m k=+-=+=+++=, …………………11分又注意到1204km y y =>，所以0,0k m >>，所以1212=4S m km S y y ==+，…………………12分因为16160km ∆=->，所以01km <<,所以12144S km S =<. …………………13分法三：直线OD 的方程为22y y x x = , …………………6分所以点A 到直线OD的距离为d =…………………7分又||OD = …………………8分所以1122111||||22S OD d x y x y ==- 又21221121()()2S y y x x y y =+-=+，…………………9分所以122111*********||||2()2()x y x y S x y x y S y y y y --==++22122112121212||||442()8()y y y y y y y y y y y y --==++…………………10分因为21122244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩, 所以2221214()8y y x x -=-=…………………11分代入得到，22112121212221212||||8()8()S y y y y y y y y S y y y y --==++12212()y y y y =+…………………12分因为12y y +≥ 当且仅当12y y =时取等号，所以112212144S y y S y y <=. …………………13分20解：（Ⅰ）(1,0,0),(1,1,1)Z W ==…………………2分（Ⅱ）对于X n ⊆Ω，考虑元素'X =)1,,1,,1,1(21n i x x x x ---- ，显然，'n X ∈Ω，',,X Y X ∀，对于任意的{}n i ,,2,1 ∈，i i i x y x -1,,不可能都为1，可得,'X X 不可能都在好子集S 中…………………4分又因为取定X ，则'X 一定存在且唯一，而且'X X ≠，且由X 的定义知道，,n X Y ∀∈Ω，''X Y X Y =⇔=，…………………6分这样，集合S 中元素的个数一定小于或等于集合n Ω中元素个数的一半，而集合n Ω中元素个数为2n ，所以S 中元素个数不超过12n -；…………………8分（Ⅲ）121(,,,,)n n X x x x x -∀=，121(,,,,)n n n Y y y y y -=∈Ω定义元素,X Y 的乘积为：112211(,,,,)n n n n XY x y x y x y x y --=，显然n XY ∈Ω. 我们证明:“对任意的121(,,,,)n n X x x x x S -=∈，121(,,,,)n n Y y y y y S -=∈，都有XY S ∈.” 假设存在,X Y S ∈, 使得XY S ∉，则由（Ⅱ）知，112211()'(1,1,,1,1)n n n n XY x y x y x y x y S --=----∈ 此时，对于任意的{1,2,...,}k n ∈，,,1k k k k x y x y -不可能同时为1, 矛盾，所以XY S ∈.因为S 中只有12n -个元素，我们记121(,,,,)n n Z z z z z -=为S 中所有元素的乘积，根据上面的结论，我们知道121(,,,,)n n Z z z z z S -=∈，显然这个元素的坐标分量不能都为0，不妨设1k z =,根据Z的定义，可以知道S中所有元素的k坐标分量都为1…………………11分下面再证明k的唯一性：z=,即S中所有元素的t坐标分量都为1,若还有1t2n-个，矛盾.所以此时集合S中元素个数至多为2所以结论成立…………………13分。

2015年北京海淀高三第一学期期末数学理试题与答案

海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理）答案及评分参考 2015.1一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）D （3）B （4）C （5）B （6）A （7）C （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。

有两空的小题，第一空2分，第二空3分）（9）15 （10）23 （11）3（12）2π3（13）13；4 （14）11,,A B D三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）ϕ的值是π6. ………………2分 0x 的值是53. ………………5分（Ⅱ）由题意可得：11ππ()cos(π())cos(π)sin π3362f x x x x +=++=+=-.………………7分所以 1π()()cos(π)sin π36f x f x x x ++=+- ππcos πcos sin πsin sin π66x x x =-- ………………8分31cos πsin πsin π22x x x =-- 33πcos πsin π3cos(π)223x x x =-=+. ………………10分因为 11[,]23x ∈-，所以 ππ2ππ633x -≤+≤.所以当ππ03x +=，即13x =-时，()g x 取得最大值3；当π2ππ33x +=，即13x =时，()g x 取得最小值32-. ………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）抽取的5人中男同学的人数为530350⨯=，女同学的人数为520250⨯=. ………………4分（Ⅱ）由题意可得：2323551(3)10A A P X A ===. ………………6分因为 321105a b +++=，所以 15b =. ………………8分所以 113232101105105EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………10分（Ⅲ）2212s s =. ………………13分（17）（共14分）证明：（Ⅰ）连接1BC .在正方形11ABB A 中，1AB BB ^. 因为平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，平面11AA B B 平面111BB C C BB =，AB Ì平面11ABB A ，所以 AB ^平面11BB C C . ………………1分因为 1B C Ì平面11BB C C ，所以 1AB B C ^. ………………2分在菱形11BB C C 中，11BC BC ^. 因为 1BC Ì平面1ABC ，AB Ì平面1ABC ，1BC AB B =，所以 1B C ^平面1ABC . ………………4分因为 1AC Ì平面1ABC ，所以 1B C ⊥1AC . ………………5分（Ⅱ）EF ∥平面ABC ，理由如下： ………………6分取BC 的中点G ，连接,GE GA .CBC 1B 1A 1A因为 E 是1BC 的中点，所以 GE ∥1BB ，且GE 112BB =. 因为 F 是1AA 的中点，所以 AF 112AA =. 在正方形11ABB A 中，1AA ∥1BB ，1AA 1BB =. 所以 GE ∥AF ，且GE AF =. 所以四边形GEFA 为平行四边形. 所以EF∥GA .………………8分因为 EF Ë平面ABC ，GA Ì平面ABC ，所以 EF ∥平面ABC . ………………9分（Ⅲ）在平面11BB C C 内过点B 作1Bz BB ^.由（Ⅰ）可知：AB ^平面11BB C C . 以点B 为坐标原点，分别以1,BA BB 所在的直线为,x y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，设(2,0,0)A ，则1(0,2,0)B .在菱形11BB C C 中，11=60BB C ∠，所以 (0,1,3)C -，1(0,1,3)C . 设平面1ACC 的一个法向量为(,,1)x y =n .因为 10,0AC CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即(,,1)(2,1,3)0,(,,1)(0,2,0)0,x y x y ⎧⋅--=⎪⎨⋅=⎪⎩所以 3,20,x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩即3(,0,1)2=n .………………11分由（Ⅰ）可知：1CB 是平面1ABC 的一个法向量.………………12分所以GF ECBC 1B 1A 1A zyxFECBC 1B 1A 1A1113(,0,1)(0,3,3)72cos ,731934CB CB CB ⋅-⋅<>===-⋅+⋅+n n n . 所以二面角1B AC C --的余弦值为77. ………………14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）由22143x y +=得：2,3a b ==.所以椭圆M 的短轴长为23. ………………2分因为 221c a b =-=，所以 12c e a ==，即M 的离心率为12. ………………4分（Ⅱ）由题意知：1(2,0),(1,0)C F --，设000(,)(22)B x y x -<<，则2200143x y +=.………………7分因为 10000(1,)(2,)BF BC x y x y ⋅=---⋅---2200023x x y =+++ ………………9分 20013504x x =++>， ………………11分所以 π(0,)2B ∠∈.所以点B 不在以AC 为直径的圆上，即：不存在直线l ，使得点B 在以AC 为直径的圆上.………………13分另解：由题意可设直线l 的方程为1x my =-，1122(,),(,)A x y B x y .由221,431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩可得：22(34)690m y my +--=. 所以 122634m y y m +=+，122934y y m -=+. ………………7分所以 1122(2,)(2,)CA CB x y x y ⋅=+⋅+ 21212(1)()1m y y m y y =++++ 22296(1)13434mm m m m -=++⋅+++ 25034m -=<+. ………………9分因为 cos (1,0)CA CBC CA CB⋅=∈-⋅，所以 π(,π)2C ∠∈. ………………11分所以 π(0,)2B ∠∈.所以点B 不在以AC 为直径的圆上，即：不存在直线l ，使得点B 在以AC 为直径的圆上.………………13分（19）（共13分）解：（Ⅰ）函数()f x 是偶函数，证明如下： ………………1分对于ππ[,]22x ∀∈-，则ππ[,]22x -∈-. ………………2分因为 ()cos()sin()cos sin ()f x a x x x a x x x f x -=---=+=，所以 ()f x 是偶函数. ………………4分（Ⅱ）当0a >时，因为 ()cos sin 0f x a x x x =+>，ππ[,]22x ∈-恒成立，所以集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为0. ………………5分当0a =时，令()sin 0f x x x ==，由ππ[,]22x ∈-，得 0x =.所以集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为1. ………………6分当0a <时，因为 π'()sin sin cos (1)sin cos 0,(0,)2f x a x x x x a x x x x =-++=-+>∈，所以函数()f x 是π[0,]2上的增函数. ………………8分因为 ππ(0)0,()022f a f =<=>，所以 ()f x 在π(0,)2上只有一个零点.由()f x 是偶函数可知，集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为2. ………………10分综上所述，当0a >时，集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为0；当0a =时，集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为1；当0a <时，集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为2.（Ⅲ）函数()f x 有3个极值点. ………………13分（20）（共14分）解：（Ⅰ）因为 123224(,),(,),(,)a a a a a a T ∈，所以 21(,)0T d a a =，23(,)0T d a a =，24(,)1T d a a =，故2()1T l a =.………………1分因为 24(,)a a T ∈，所以 42(,)0T d a a =.所以 4414243()(,)(,)(,)1012T T T T l a d a a d a a d a a =++≤++=.所以当244143(,),(,),(,)a a a a a a T ∈时，4()T l a 取得最大值2. ………………3分（Ⅱ）由(,)T d a b 的定义可知：(,)(,)1T T d a b d b a +=.所以122113311()[(,)(,)][(,)(,)]nTi T T T T i la d a a d a a d a a d a a ==+++∑1111[(,)(,)][(,)(,)]T n T n T n n T n n d a a d a a d a a d a a --+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++21(1)2n C n n ==-. ………………6分设删去的两个数为(),()T k T m l a l a ，则1()()(1)2T k T ml a l a n n M +=--. 由题意可知：()1,()1T k T m l a n l a n ≤-≤-，且当其中一个不等式中等号成立，不放设()1T k l a n =-时，(,)1T k m d a a =，(,)0T m k d a a =.所以 ()2T m l a n ≤-. ………………7分所以()()1223T k T m l a l a n n n +≤-+-=-.所以 1()()(1)232T k T ml a l a n n M n +=--≤-，即1(5)32M n n ≥-+. ………………8分（Ⅲ）对于满足()1T i l a n <-（1,2,3,,i n =）的每一个集合T ，集合S 中都存在三个不同的元素,,e f g ，使得(,)(,)(,)3T T T d e f d f g d g e ++=恒成立，理由如下：任取集合T ，由()1T i l a n <-（1,2,3,,i n =）可知， 12(),(),,()T T T n l a l a l a ⋅⋅⋅中存在最大数，不妨记为()T l f （若最大数不唯一，任取一个）.因为 ()1T l f n <-，所以存在e S ∈，使得(,)0T d f e =，即(,)e f T ∈. 由()1T l f ≥可设集合{|(,)}G x S f x T =∈∈≠∅.则G 中一定存在元素g 使得(,)1T d g e =. 否则，()()1T T l e l f ≥+，与()T l f 是最大数矛盾. 所以 (,)1T d f g =，(,)1T d g e =，即(,)(,)(,)3T T T d e f d f g d g e ++=.………………14分。

2015届海淀一模理科数学附答案

海淀区高三年级第二学期期中练习数学〔理〕 2015.4本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每题5分，共40分。

在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

〔1〕设集合1{|}A x x >=∈R ，2{|4}B x x =∈R ≤，则A B =〔〕〔A 〕[2,)-+∞〔B 〕(1,)+∞ 〔C 〕(1,2]〔D 〕(,)-∞+∞〔2〕抛物线2=4x y 上的点到其焦点的最短距离为〔〕〔A 〕4〔B 〕2〔C 〕1〔D 〕12〔3〕已知向量a 与向量b 的夹角为60︒，1||||==a b ，则-=a b 〔〕〔A 〕3〔B〔C〕2〔D 〕1〔4〕“sin 0α>”是“角α是第一象限的角”的〔〕〔A 〕充分而不必要条件〔B 〕必要而不充分条件〔C 〕充分必要条件〔D 〕既不充分也不必要条件〔5〕圆1,1x y ⎧=-θ⎪⎨=+θ⎪⎩〔θ为参数〕被直线0y =截得的劣弧长为〔〕〔A〕2〔B 〕π〔C〕〔D 〕4π〔6〕假设,x y 满足0,1,0,x y x x y +≥⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩则以下不等式恒成立的是〔〕〔A 〕1y ≥ 〔B 〕2x ≥ 〔C 〕220x y ++≥〔D 〕210x y -+≥〔8〕某地区在六年内第x 年的生产总值y 〔单位：亿元〕与x 之间的关系如下图，则以下四个时段中，生产总值的年平均增长率．．．．．．最高的是〔〕〔A 〕第一年到第三年〔B 〕第二年到第四年〔C 〕第三年到第五年〔D 〕第四年到第六年〔7〕某三棱锥的正视图如下图，则这个三棱锥的俯视图不可能．．．是〔〕〔A 〕〔B〕〔C〕〔D 〕正视图二、填空题共6小题，每题5分，共30分。

〔9〕已知i1i 1ia =-+-，其中i 是虚数单位，那么实数a = . 〔10〕执行如下图的程序框图，输出的i 值为______．〔11〕已知,4,m n 是等差数列，那么mn⋅=______；mn 的最大值为______．〔12〕在ABC ∆中，假设π4a c A ==∠=，则B ∠的大小为 . 〔13〕社区主任要为小红等4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，小红必须与2位老人都相邻，且两位老人不排在两端，则不同的排法种数是 . 〔用数字作答〕〔14〕设32,,(),.x x a f x x x a ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩假设存在实数b ，使得函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是 .三、解答题共6小题，共80分。

2015海淀区高三二模数学(理)试题及答案

海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理）2015.5本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集U Z ，集合{1,2}A ，{1,2,3,4}A BU ，那么()U C A B I =（）（A ）（B ）{3}xx Z （C ）{3,4}（D ）{1,2}（2）设30.320.2,log 0.3,2a bc，则（）（A ）bc a （B ）cb a （C ）ab c（D ）b a c（3）在极坐标系中，过点π(2,)6且平行于极轴的直线的方程是（）（A ）cos 3（B ）cos 3（C ）sin 1（D ）sin 1（4）已知命题p ，q ，那么“p q 为真命题”是“p q 为真命题”的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知函数()cos(2)f x x （为常数）为奇函数，那么cos（）（A ）22（B ）0（C ）22（D ）1（6）已知函数()f x 的部分图象如图所示.向图中的矩形区域随机投出100粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数.通过10次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为33，由此可估计10()d f x x 的值约为（）13xOy （A ）99100（B ）310（C ）910（D ）1011（7）已知()f x 是定义域为R的偶函数，当0x 时，31()(1)ex f x x .那么函数()f x 的极值点的个数是（）（A ）5（B ）4 （C ）3 （D ）2（8）若空间中有(5)n n个点，满足任意四个点都不共面，且任意两点的连线都与其它任意三点确定的平面垂直，则这样的n 值（）（A ）不存在（B ）有无数个（C ）等于 5 （D ）最大值为8二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。