小波分析作业

学号：2009202056 姓名：孟云霞
小波分析与应用作业
----五个名词
Riesz 基：在无穷维Hilbert 空间中，称向量族{e n }n ∈N 是H 的一个Riesz 基，如果他是线性无关的，且存在A ＞0，B ＞0使得对任意的f ∈H,总可以找到u n 满足:
0n n n f u e +∞
==∑，
且 22211n n f u f B A ≤≤
∑.
由Riesz 表示定理可以证明存在ˆn e ，使得ˆ,n n u f e =, 且有 00ˆˆ,,n n n n n n f f e e f e e +∞+∞
====∑∑. 注意这里Riesz 基没有正交性的要求。

框架：在Hilbert 空间里的一族函数
}{j
j J φ∈成为一个框架，如果存在0,A B 〈〈∞ ，使得对于所有的f ∈H 有： 222,j
j J A f f B f φ∈≤≤∑
称A 与B 是框架界。

如果两个框架界相等，还称框架是紧框架。

但是框架，甚至是紧框架也不是正交基。

只有在紧框架条件下，框架界A=1，并且如果1j φ=对于所有的j J ∈成立，那么}
{j φ才能构成H 的一个正交基。

：
尺度函数：尺度函数又称为小波父函数。

根据双尺度方程，可以由尺度函数生成小波。

进行信号处理时，先要对信号进行副近。

也就是用尺度函数对信号进行分解。

尺度函数的频带与待分析信号的频带相同，然后将逼近函数分别在尺度空间和小波空间中进行分解，就得到了信号的低频粗略部分和高频细节部分，此时新的尺度函数频带是原信号频带的一半，小波函数的频带是另一半(高频部分)，由此实现了对原信号的按频带分解！
尺度函数和小波函数分别是尺度空间（近似空间）和细节空间的基函数，两者通过双尺度方程联系，但是，并不是说每一种小波函数都有相应的尺度函数，有的小波是没有对应的尺度函数的。

以多尺度分析或者多分辨分析为例。

尺度函数一般是整个框架的生成元，它生成整个框架，也生成小波函数，另外，尺度函数的傅立叶变换一般可做低通滤波器，而小波函数的傅立叶变换一般是用作带通或高通滤波器！利用相互正交的简单函数，构建一个表达信号的空间“坐标系”，然后就可以用这些系数和正交函数来表示f(t),这就是小波的核心思想，在小波分析中这个构建坐标系的函数，就是小波函数，但是在小波函数来表示一个信号的时候，它其实是将信号映射在了时频平面内的，这里面就有一个问题，在实现过程中需要对需要一个
频域的底座和平台，来让信号f(t)与之做映射后是在一定的频率分辨率上进行的，这个起到底座的函数就是尺度函数，在尺度函数的平台下对频率的分析，或者说对信号的f(t)的表达就是在小波函数的作用了。

在滤波实现中低频滤波就相当于尺度函数的作用，小波函数的实现就是高频滤波器的使用。

消失矩： 小波函数()t ψ具有n 阶消失矩，如果
()0k R t t dt ψ=⎰，0k n ≤<
由上面的定义可知，具有n 阶消失矩的小波与任何n-1阶多项式1011()n n x t a a t a t --=++的内积(),()t x t <ψ>为零。

一个具有n 阶消失矩的小波可写成一个平滑函数的第n 阶导数：
()()(1)n n
n
d t t dt θψ=- 因此小波的消失矩越高，光滑函数在小波展开式中的系数为零（或者近似零）的个数就越多。

Daubechies （简称db ）小波就是按照消失矩来分类的，它是由Daubechies 构造出的具有不同消失矩的紧支撑正交小波，可以进行连续小波变换、离散小波变换，但是不具有对称性，消失矩为N 时，支撑宽度为2N-1，正则性系数随阶数的增大而增大，对于较大的N ，正则性系数大约为0.3N 。

Haar 小波就是消失矩为1 的Daubechies 小波。

我们通常用的函数dbn 中的n 就是这个小波函数的消失矩。

消失矩越大，它的支撑长度就越大，通常是支撑长度不少于2*n-1的。

消失矩越大，对应的滤波器越平坦，而且小波函数的振荡很强。

光滑函数在利用小波展开后的零点越多，也就是说小波的消失矩的大小，决定了小波逼近光滑信号的能力。

这一点也可以用来进行图像压缩。

越大的消失矩将使高频系数越小，小波分解后的图像能量也就很集中，压缩比例就越高。

通常我们都愿意采用消失矩较高的小波函数。

我们可以对一个信号，采用不同的消失矩的小波函数来分解，就可以更加感性的了解它。

离散小波变换：在连续小波变换中，考虑族 12,()()a b x b x a a
ψψ-= 其中：,b R a R +∈∈，并且ϕ是容许的。

为了方便，只限制a 取正值，所以容许性条件变成：
1022
1
0ˆˆ()()C x d x d ψωψωωψω-∞--∞==〈∞⎰⎰ 在二进小波变换中，只取a 为一些离散值，1,2
j j a a j N ==∈。

现在，进一步限制a,b 都是离散的值，这时，对于固定的伸缩步长01a ≠，可选取0,m a a m N =∈，不失其一般性可
假定01a 〉。

在m=0时，取固定0b 整数倍离散化b 是很自然的，当然要选取b 0使得0()
x nb ψ-覆盖整个实数轴。

因此，选取0m a a =，000m b nb a =，其中m,n 取整数，01a 〉，00b 〉是固定
的。

对于不同的小波ψ，a 0,b 0可以适当的选取。

这时，相应的离散族就是：
0022,00000
()()m m m m m n m x nb a a a a x nb a ψψψ----==- 离散小波变换又称离散余弦变换，是经典的谱分析工具，他考察的是整个时域过程的频域特征或整个频域过程的时域特征，因此对于平稳过程，他有很好的效果，但对于非平稳过程，
他却有诸多不足。

在JPEG中，离散余弦变换将图像压缩为8×8 的小块，然后依次放入文件中，这种算法靠丢弃频率信息实现压缩，因而图像的压缩率越高，频率信息被丢弃的越多。

在极端情况下，JPEG图像只保留了反映图像外貌的基本信息，精细的图像细节都损失了。

小波变换是现代谱分析工具，他既能考察局部时域过程的频域特征，又能考察局部频域过程的时域特征，因此即使对于非平稳过程，处理起来也得心应手。

他能将图像变换为一系列小波系数，这些系数可以被高效压缩和存储，此外，小波的粗略边缘可以更好地表现图像，因为他消除了DCT压缩普遍具有的方块效应。