第七讲函数的对称性和周期性

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函数对称性和周期性的一些重要结论

函数对称性和周期性的一些重要结论1.函数的对称性函数的对称性可以分为自对称和互对称。

其中，自对称指函数图像关于某一条直线对称，互对称指两个函数图像关于某一条直线对称。

自对称的函数满足以下条件：满足f(x) = f(-x)的函数y = f(x)的图像关于y轴对称，对称轴为x = 0.满足f(a+x) = f(a-x)的函数y = f(x)的图像关于直线x = a对称。

互对称的函数满足以下条件：满足f(x) = f(2a-x)或f(-x) = f(2a+x)的函数y = f(x)的图像关于直线x = a对称。

满足f(a+x) = f(b-x)的函数y = f(x)的图像关于直线x = (a+b)/2对称。

满足f(a+wx) = f(b-wx)的函数y = f(x)的图像关于直线x = (b-a)/(2w)对称。

满足f(a+x) + f(b-x) = c的函数y = f(x)的图像关于直线x = (a+b)/2对称。

2.函数的周期性函数的周期性指函数满足f(x+T) = f(x)的性质，其中T为函数的周期。

常见的函数周期有以下几种：周期为T的函数，其图像在横轴上每隔T个单位长度就会重复一次。

周期为2T的函数，其图像在横轴上每隔2T个单位长度就会重复一次。

周期为2T的奇函数，其图像关于原点对称，即满足f(x+2T) = -f(x)。

周期为2T的偶函数，其图像关于y轴对称，即满足f(x+2T) = f(x)。

3.函数的一些结论周期为T的函数f(x)的平均值为f(x)在一个周期内的积分除以T。

两个周期为T的函数f(x)和g(x)满足f(x) + g(x) = c的解析式为f(x) = (c/2) + h(x)，g(x) = (c/2) - h(x)，其中h(x)为周期为T的函数。

如果y = f(x)和y = f(-x)的图像关于y轴对称，则f(x)为奇函数，其图像关于原点对称。

如果y = f(x)和y = f(-x) + b的图像关于y轴对称，则f(x)为奇函数，其图像关于原点上下平移b个单位。

函数的对称性与周期性奇偶性导数关系

1函数的周期性与对称性（奇偶性）一.概念1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。

分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。

把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。

[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=③成中心对称。

关于点与（函数),(0)2,2(0),b a y b x a F y x F =--= “横纵坐标和为常数，平均数为中心”。

（2）轴对称：①点(,)(2,)x=A x y B a x y a -与关于对称；()(2)x=y f x y f a x a ==-函数与关于对称；,)0(2,)0x=F x y F a x y a =-=函数（与关于对称。

“横纵坐标和为常数，平均数为中心”。

“横纵坐标和为常数，纵坐标相等，横纵坐标平均数为对称轴”。

（同理可得关于y=b 对称）②对称轴方程为：0=++C By Ax 。

))(2,)(2(),(),(2222//B A C By Ax B y B A C By Ax A x B y x B y x A +++-+++-=与点关于直线成轴对称；0=++C By Ax函数))(2()(2)(2222B A C By Ax A x f B A C By Ax B y x f y +++-=+++-=与关于直线 0=++C By Ax 成轴对称。

函数的周期性与对称性

函数的周期性与对称性函数是数学中的重要概念之一，它描述了数值之间的对应关系。

在函数的研究中，周期性与对称性是两个重要的性质。

本文将从理论和实际应用的角度，探讨函数的周期性与对称性。

一、周期性函数的周期性是指在一定的范围内，函数的值以一定的规律重复出现。

如果存在一个正数T，对于函数f(x)的定义域内的任意x，有f(x+T) = f(x)，则称函数f(x)具有周期T，T是函数的周期。

周期性在数学中广泛应用于波动现象的研究中，如正弦函数和余弦函数就是典型的周期性函数。

以正弦函数为例，函数f(x) = sin(x)的周期为2π，即在每一个2π的区间内，函数的值重复出现。

这种周期性的特征在物理学中非常重要，可以用于描述电磁波、声波等的传播规律。

在实际应用中，周期性函数经常用于天文学、物理学、电路分析等领域。

例如，利用函数的周期性可以预测天体运动的规律，分析电子元件的交流电路，优化信号处理等。

二、对称性函数的对称性是指在某种变换下，函数的值保持不变。

常见的对称性有奇偶对称性和轴对称性。

1. 奇偶对称性函数f(x)具有奇对称性，如果对于定义域内的任意x，有f(-x) = -f(x)。

奇对称函数在坐标系中以原点为对称中心，左右两侧关于y轴对称。

以奇对称函数f(x) = sin(x)为例，可以观察到f(x)关于原点对称。

当x取正值时，f(x)在正半轴上取正值；当x取负值时，f(x)在负半轴上取负值。

函数的奇对称性在数学和工程中都具有广泛应用。

例如在电力系统中，交流电流的正弦波形就是一种典型的奇对称函数。

2. 轴对称性函数f(x)具有轴对称性，如果对于定义域内的任意x，有f(-x) = f(x)。

轴对称函数关于y轴对称，即函数图像关于y轴对称。

以轴对称函数f(x) = x^2为例，可以观察到函数图像在y轴上是对称的。

当x取正值时，f(x)在正半轴上取正值；当x取负值时，f(x)在正半轴上同样取正值。

轴对称函数在几何学和图像处理中有广泛应用。

函数的对称性与周期性

函数的对称性与周期性函数是数学中的重要概念之一，也是实际问题建模时必不可少的工具。

在函数的研究中，对称性和周期性是两个重要的特性，它们在解决问题时具有重要的意义。

一、对称性对称性是指当函数中存在一些特定的点、直线或面对称时，函数会出现相应的特征变化。

在函数研究中，对称性分为奇偶对称性、轴对称性和中心对称性三种类型。

1.1 奇偶对称性在定义域上对函数进行某种变换，若此时函数值不变，则称函数具有对称性。

其中，奇偶对称是一种特殊的对称性。

若函数$f(x)$满足$f(-x)=f(x)$，即对于定义域上任意一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$成立，则函数$f(x)$具有奇函数对称性。

若函数$f(x)$满足$f(-x)=f(x)$且$f(x)$具有偶函数性质，即对于定义域上任意$x$都有$f(-x)=f(x)$，且对于定义域上任意$x$都有$f(-x)=f(x)$成立，则$f(x)$具有偶函数对称性。

1.2 轴对称性对于定义域上的任意一个$x$，若函数$f(x)$等于一个定值减去该点处的函数值，则称函数$f(x)$具有轴对称性。

定义域上的这条轴称为对称轴。

轴对称性表明函数$f(x)$在对称轴两侧的函数值相等。

1.3 中心对称性对于定义域的任意一个$x$，若函数$f(x)$与以坐标系原点为中心的另一个点对称，则称函数$f(x)$具有中心对称性。

中心对称性表明函数$f(x)$在以原点为中心的圆形中的两侧具有对称性。

二、周期性周期性是指函数具有在某一定量级范围内重复的规律性。

对于函数$f(x)$，若存在正数$T$，使得对于定义域上的任何一个$x$，都有$f(x+T)=f(x)$成立，则函数$f(x)$是周期函数，其中最小正周期为$T$。

具有周期性的函数，其解析式通常为三角函数式。

结论函数在解决实际问题时，对称性和周期性的特性具有重要的意义。

它们可以用来研究函数的性质、求函数的极值、判别函数的奇偶性、求证某些理论结论等。

函数周期性与对称性

函数周期性与对称性函数周期性和对称性是数学中重要的概念，它们在函数的图像以及数学建模中都起着关键的作用。

在本文中，我将详细介绍函数的周期性和对称性，并探讨它们在实际问题中的应用。

一、周期性周期性是指函数具有重复性质，在一定区间内的函数值是相同的或者是呈规律性变化的。

如果存在一个正数T，使得对于任意的x，有f(x+T)=f(x)，则称函数f具有周期T。

例如，正弦函数sin(x)是一个周期为2π的函数。

无论x取何值，sin(x+2π)的值与sin(x)的值相同。

同样地，余弦函数cos(x)也是一个周期为2π的函数。

周期性在物理学和工程学等领域中有广泛的应用。

例如，声音波动、机械振动和电信号的周期性都可以用周期函数进行建模。

通过分析周期性可以得到这些现象的规律和特性。

二、对称性对称性是指函数图像在某种变换下具有不变性。

常见的对称性有轴对称和中心对称两种。

1. 轴对称：如果对于函数f(x)，存在一个实数a，使得对于任意的x，有f(2a-x)=f(x)，则称函数f具有轴对称。

例如，抛物线函数y=x^2是一个关于y轴对称的函数。

对于任意的x，有x^2=(-x)^2，即函数值关于y轴对称。

2. 中心对称：如果对于函数f(x)，存在一个实数a，使得对于任意的x，有f(2a-x)=-f(x)，则称函数f具有中心对称。

例如，奇函数f(x)=sin(x)是一个关于原点对称的函数。

对于任意的x，有sin(-x)=-sin(x)，即函数值关于原点对称。

对称性在几何学、物理学和图像处理等领域中有重要的应用。

例如，通过分析图像的对称性，可以简化计算或者提取图像中的关键特征。

综上所述，函数周期性和对称性是数学中两个重要的概念。

周期性描述了函数重复规律的特性，对于模拟和分析周期性现象非常有用；而对称性则描述了函数图像在变换下不变的性质，对于建模和处理图像有重要应用。

通过理解和应用函数周期性和对称性，我们能更好地理解数学背后的规律，并将其用于实际问题的解决。

函数的对称性和周期性

函数的对称性和周期性一、单个函数的对称性性质1：函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-时，函数()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称。

证明：在函数()y f x =上任取一点11(,)x y ，则11()y f x =，点11(,)x y 关于直线2a bx +=的对称点11(,)a b x y +-，当1x a b x =+-时 11111()[()][()]()f a b x f a b x f b b x f x y +-=+-=--==故点11(,)a b x y +-也在函数()y f x =图象上。

由于点11(,)x y 是图象上任意一点，因此，函数的图象关于直线2a bx +=对称。

（注：特别地，a =b =0时，该函数为偶函数。

）性质2：函数()y f x =满足()()f a x f b x c ++-=时，函数()y f x =的图象关于点（2a b +，2c）对称。

证明：在函数()y f x =上任取一点11(,)x y ，则11()y f x =，点11(,)x y 关于点（2a b +，2c ）的对称点（1a b x +-，c －y 1），当1x a b x =+-时，1111()[()]()f a b x c f b b x c f x c y +-=---=-=-即点（1a b x +-，c －y 1）在函数()y f x =的图象上。

由于点11(,)x y 为函数()y f x =图象上的任意一点可知函数()y f x =的图象关于点（2a b +，2c）对称。

（注：当a =b =c =0时，函数为奇函数。

）性质3：函数()y f a x =+的图象与()y f b x =-的图象关于直线2b ax -=对称。

证明：在函数()y f a x =+上任取一点11(,)x y ，则11()y f a x =+，点11(,)x y 关于直线2b ax -=对称点（1b a x --，y 1）。

函数与函数的对称性与周期性

函数与函数的对称性与周期性函数是数学中的重要概念，它描述了一种关系，将一个自变量映射到一个因变量。

而函数的对称性和周期性是函数研究中的两个重要性质。

它们不仅在数学中有广泛的应用，而且在日常生活中也有很多实际的例子。

一、函数的对称性函数的对称性是指函数在某个特定的变换下保持不变。

常见的对称性有奇偶性、轴对称性和中心对称性。

首先，奇偶性是指当自变量取相反数时，函数值不变。

如果函数f(x)满足f(-x) = f(x)，则该函数是偶函数；如果函数f(x)满足f(-x) = -f(x)，则该函数是奇函数。

例如，常见的二次函数y = x²就是一个典型的偶函数，而正弦函数sin(x)则是一个典型的奇函数。

奇偶函数通过其特定的对称性带来了许多在数学和物理领域中的应用。

其次，轴对称性是指函数相对于某一条直线对称。

这条直线称为对称轴。

如果函数f(x)满足f(-x) = f(x)，则对称轴为y轴；而如果函数f(x)满足f(x) = f(-x)，则对称轴为x轴。

例如，二次函数y = x²是以y轴为对称轴的轴对称函数。

最后，中心对称性是指函数相对于一个点对称。

这个点称为中心。

如果函数f(-x) = -f(x)，则中心对称。

例如，正弦函数sin(x)就是以原点为中心的中心对称函数。

二、函数的周期性函数的周期性是指函数在特定距离上具有相同的性质或数值。

一个函数f(x)是周期函数，如果存在一个正数T使得对于任意自变量x，有f(x+T) = f(x)。

这个最小的正周期T被称为函数的周期。

常见的周期函数有三角函数（如正弦函数、余弦函数）和指数函数。

以正弦函数为例，它的周期是2π。

即对于任意自变量x，有sin(x+2π)= sin(x)。

而指数函数f(x) = eˣ的周期是无穷大，即对于任意自变量x，有f(x+T) = f(x)，其中T可以是任意实数。

周期函数在自然科学和工程技术中有着广泛的应用。

例如，交流电的电流和电压可以被建模为周期函数，这是交流电工程中的一个重要应用。

函数的周期性与对称性

函数的周期性与对称性函数是数学中的重要概念，它描述了因变量与自变量之间的关系。

而函数的周期性与对称性是函数特性中的两个重要方面。

本文将通过介绍周期性和对称性的概念、性质和应用，探讨函数在周期性和对称性方面的重要性。

一、周期性在数学中，周期性是指函数在一定范围内具有重复的规律。

一个函数被称为周期函数，当且仅当对于某个正数T（常称为周期），对于所有的x，有f(x+T)=f(x)成立。

周期函数的图像在周期T内会重复出现。

周期性的性质有以下几点：1. 周期函数的图像在一个周期内具有相同的形状，只是位置不同。

例如，正弦函数sin(x)是一个周期函数，其周期为2π，在每个周期内，函数的图像呈现出相同的波形。

2. 周期函数的周期可以是任意正数T，且T可以大于函数定义域的长度。

例如，正弦函数的定义域为实数集R，但其周期为2π。

这意味着正弦函数在每个2π的间隔内都重复。

3. 余弦函数cos(x)也是一个周期函数，其周期也为2π。

不同的是，余弦函数与正弦函数的图像关于y轴对称。

周期函数的应用十分广泛，例如在物理学、工程学和信号处理等领域中都有重要的应用。

周期函数可以用来描述周期振动、交流电信号的变化以及周期性运动等现象。

二、对称性对称性是指函数在某种变换下具有不变性。

主要有以下几种对称性：1. 奇函数：如果对于函数的每一个定义域上的x，都满足f(-x)=-f(x)成立，则称该函数为奇函数。

奇函数的图像关于原点对称。

例如，正弦函数sin(x)是一个奇函数。

2. 偶函数：如果对于函数的每一个定义域上的x，都满足f(-x)=f(x)成立，则称该函数为偶函数。

偶函数的图像关于y轴对称。

例如，余弦函数cos(x)是一个偶函数。

3. 周期函数的对称性：周期函数的图像具有一定的对称性。

例如，正弦函数与余弦函数在每个周期内具有对称性。

对称函数具有一些重要的性质和应用。

在数学中，奇函数和偶函数具有一些特殊的性质，可以简化函数的运算和分析。

函数的对称性、周期性以及之间的关系

函数的对称性、周期性以及之间的关系对称性、奇偶性、周期性、单调性函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础．在研究函数图象的对称性时，一定要区分是一个图象自身的对称（称之为“自对称”），还是两个函数图象间的对称（称之为“互对称”）。

函数的对称性指的是函数的图象的对称性，通常包括点对称和直线对称，即中心对称和轴对称。

自对称一、函数的对称性关于函数图象的对称性，我们有这样两个命题。

命题1：如果函数y=f(x)的图像关于点M(m, n)对称，那么f (m +x) + f (m－x)=2n 即f(x)+f(2m-x)=2n命题2：如果函数y=f(x)的图像关于直线x=m对称，那么f (m +x) = f (m－x)即f (x) = f (2m－x)二、函数的奇偶性与对称性的联系命题1：函数y=f(x)的图像关于点M(0, 0)对称的充要条件是函数y= f (x)是奇函数，即f (x) + f (－x) = 0命题2：函数y=f(x)的图像关于点直线x=0对称的充要条件是函数y= f (x)是偶函数，即f (x) = f (－x)三、函数的周期性与对称性的联系包括点点对称、线线对称、点线对称的周期性命题：①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (m ,c)和点B (n ,c)成中心对称（m ≠n），则y = f (x)是周期函数，且2| m－n|是其一个周期．②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = m 和直线x = n成轴对称（m≠n），则y = f (x)是周期函数，且2| m－n|是其一个周期．③若函数y = f (x)图像既关于点A (m ,c) 成中心对称又关于直线x =n成轴对称（m≠n），则y = f (x)是周期函数，且4| m－n|是其一个周期．（同为中心对称或同为轴对称乘2；一中心对称一轴对称乘4）四、函数的奇偶性、周期性和对称性的联系奇偶性只是特殊的点线对称。

函数的基本性质(对称性、周期性)

函数的基本性质(对称性、周期性)1、周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。

如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期.2、对称性：（1）轴对称()()f a x f a x +=-⇔函数)(x f y =关于a x =对称注意：)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称.得证.若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2a b x +=对称. （2）点对称 ()()2f a x f a x b ++-=⇔函数)(x f y =关于点),(b a 对称 b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称.得证.若写成：c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2,2(c b a + 对称.3、周期性（1）如果()f x 满足()()()f x a f x b a b +=+≠，则()f x 是周期T a b =-的周期函数.（2）如果()f x 满足()()(0)f x a f x a +=-≠，则()f x 是周期2T a =的周期函数.（3）如果()f x 满足1()(0,()0)()f x a a f x f x +=≠≠且，或1()()f x a f x +=-，则()f x 是周期2T a =的周期函数.（4）若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f -=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期.（5）若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f --=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期.（6）若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -4为周期.4、例题讲解例1、已知定义为R 的函数()x f满足()()4x f x f +-=-，且函数()x f 在区间()∞+,2上单调递增.如果21x 2x <<，且4x x 21<+，则()()21x f x f +的值（）A. 恒小于0B.恒大于0 C ．可能为0 D ．可正可负例2、在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()f x (2)f x =-.若()f x 在区间[1,2]上是减函数，则()f x ( )A.在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是增函数B.在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数C.在区间[2,1]--上是减函数，在区间[3,4]上是增函数D.在区间[2,1]--上是减函数，在区间[3,4]上是减函数例3、已知()113x f x x+=-，()()1f x f f x =⎡⎤⎣⎦，()()21f x f f x =⎡⎤⎣⎦，…，()()1n n f x f f x +=⎡⎤⎣⎦，则()20042f -=（）. A.17- B. 17C. 35-D.3 例4、已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有(1)(1)()xf x x f x +=+，则5(())2f f 的值是（）A.0B.12C.1D.52例5、()y f x =定义域为R ，且对任意x R ∈都有()()()111f x f x f x ++=-，若()21f =(2009)f =________例6、已知函数f(x)的定义域为N ，且对任意正整数x ，都有f(x)＝f(x －1)＋f(x ＋1)若f(0)＝2004，求f(2004).例7、已知对于任意a ，b ∈R ，有f(a ＋b )＋f(a －b )＝2f(a )f(b )，且f(x )≠0 ⑴求证：f(x )是偶函数；⑵若存在正整数m 使得f(m)＝0，求满足f(x ＋T)＝f(x )的一个T 值(T≠0).例8、已知f (x )是R 上的奇函数，且11()()22f x f x +=-,则f (1)+f (2)+f (3)=_______.例9、设奇函数y=f(x)的定义域为R ，f(1)=2，且对任意R x x ∈21,，都有),f(x )f(x )x f(x 2121+=+当x ＞0时，f(x)是增函数，则函数)(f y 2x －=在区间[-3，-2]上的最大值是____.例10、设)(x f 是定义在区间),(+∞-∞上且以2为周期的函数，对Z k ∈，用k I 表示区间),12,12(+-k k 已知当0I x ∈时，2()f x x =，求)(x f 在k I 上的解析式.例11、设定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)(2)f x f x -=+，且当[2,0]x ∈-时()f x 为增函数，若(2)0f -≥.求证:当[4,6]x ∈时，|()|f x 为减函数. 例12、设函数)(x f 定义于R 上，且函数)(x f 不恒为零，0)2(=πf ，若对于任意实数x 、y ，恒有：)2()2(2)()(y x f y x f y f x f -⋅+=+ 求证：①)()2(x f x f =+π ②)()(x f x f -= ③ 1)(2)2(2-=x f x f变式、设函数)(x f 定义于R 上，函数)(x f 不恒为零，且对于任意实数1x 、2x ，有)()()2()2(212121x x f x x f x f x f -⋅+=+求证：)()(x f x f -=.。

(完整版)函数的对称性与周期性

函数的对称性与周期性吴江市盛泽中学数学组徐建东对称性：函数图象存在的一种对称关系，包括点对称和线对称。

周期性：设函数)(x f 的定义域是D ，若存在非零常数T ，使得对任何D x ∈，都有D T x ∈+且)()(x f T x f =+，则函数)(x f 为周期函数，T 为)(x f 的一个周期。

对称性和周期性是函数的两大重要性质，他们之间是否存在着内在的联系呢？本文就来研究一下它们之间的内在联系，有不足之处望大家批评指正。

一、一个函数关于两个点对称。

命题1：如果函数)(x f y =的图象关于点)0,(a 和点)0,(b )(a b ≠对称，那么函数)(x f y =是周期函数，)(2b a T -=为函数)(x f y =的一个周期。

证明：∵函数)(x f y =的图象关于点)0,(a 对称，∴)2()(x a f x f --=对定义域内的所有x 成立。

又∵函数)(x f y =的图象关于点)0,(b 对称，∴)2()(x b f x f --=对定义域内的所有x 成立。

从而)2()2(x b f x a f -=-∴)()]2(2[)]2(2[x f x b b f x b a f =--=-- 即：)()])22[(x f x b a f =+- ∴)(x f y =是周期函数，)(2b a T -=为函数)(x f y =的一个周期。

特例：当0=a 时，)(x f y =为奇函数，即奇函数)(x f y =如果又关于点)0,(b )0(≠b 对称，那么函数)(x f y =是周期函数，b T 2=为函数)(x f y =的一个周期。

命题1'：如果函数)(x f y =的图象关于两点),(b a 和),(d c 对称，那么：当d b =，c a ≠时，)(x f y =是周期函数，)(2c a T -=为函数)(x f y =的一个周期。

当d b ≠，c a ≠时，)(x f y =不是周期函数。

函数的对称性与周期性

函数的对称性与周期性补充高一数学知识点——函数的对称性与周期性一、对称性（轴对称、中心对称）函数的对称性是指函数自身具有的对称性，可以分为轴对称和中心对称两种类型。

命题1：若函数y=f(x)对定义域中任意x均有f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=(a+b)/2对称。

特别地，当f(x) = f(-x)时，函数y=f(x)的图象关于y轴对称；当f(a+x) = f(a-x)时，函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。

命题2：若函数y=f(x)对定义域中任意x均有f(x+a)+f(b-x)=c，则函数y=f(x)的图象关于点(a+b/c,0)成中心对称图形。

特别地，当f(x) + f(-x) = 0时，函数y=f(x)的图象关于原点对称；当f(x) + f(2a-x) = 2b时，函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称图形。

二、周期性1.定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，则称T为这个函数的一个周期。

2.如果函数f(x)是R上的奇函数，且最小正周期为T，那么f(x)=f(-x)。

关于函数的周期性的几个重要性质：1）如果y=f(x)是R上的周期函数，且一个周期为T，那么f(x±nT)=f(x)(n∈Z)。

2）如果f(x+a)=f(x-a)，则f(x)的周期T=2a；如果f(x+a)=f(x-a)，则f(x)的周期T=2a/T。

三、例题讲解例1]若f(x+a)=f(x)-f(x-a)，则f(x)的周期T=6a，请推导。

例2]设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=-f(x)，当-1≤x≤1时，f(x)=x，则f(7.5)=-5.5.例3]已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x+2)=-f(x)，当2≤x≤3时，f(x)=x，则f(105.5)=103.5.例4]设函数y=f(x)的定义域为R，且满足f(x+1)=f(1-x)，则y=f(x)图象关于直线x=1/2对称，y=f(x+1)的图象关于y轴对称。

函数的对称性和周期性

函数的对称性和周期性函数的对称性是对整个定义域而言，是函数的一个整体性质1．一个函数的对称轴⑴若函数y = f (x)恒满足f (m + x) = f (m－x)，（m 为常数）则它的图像关于直线x = m对称⑵若函数y = f (x)恒满足f (２m－x) = f (x)，（m为常数）则它的图像关于直线x = m对称⑶特殊地，当m=0时，函数y = f (x)恒满足f (－x) = f (x)，即f (x)是偶函数，图像关于y轴对称⑷若函数y = f (x)恒满足f (a + x) = f (b－x)，（a，b为常数）则y = f (x)的图像关于直线x =2ba+对称例：设函数f (x)满足条件f (x) = f (2－x) ，(x∈R)，当x>1时，f (x)是增函数，则a = f(0)，b = f (log 241)，c = f (π)的大小关系是__________例：已知f (x)为偶函数，当－１≤x<0时，f (x) = x + 1，求０<x ≤1时，f (x)的表达式例：已知函数y = f (x)的图像关于直线x = 1对称，且x ≤1时函数解析式为y = x 2 + 1，求x ≥1时函数的解析式．例：已知函数y = f (x)在其定义域上满足f (4 + x) = f (4－x) 且f (x) = 0有且只有６个不同的根，求这６个根的和．例：已知函数y = sin2x +acos2x (a ≠0)的图像关于直线x ＝－8π对称，a ＝ ______2． y = f (|x|) 的图像是去掉y 轴左侧部分，将y 轴右侧图像沿着y 轴翻折得到，它一定是偶函数y = f (|x－b|)的对称轴是x＝b，是由y = f (|x|)左右平移得到的例：画出y = x2－2|x|－１的图像例：函数y = ３| x – b |是偶函数，则b=_____例：函数y = log a |ax－1| (a>0且a≠1)的图像关于直线x = 2 对称，则a 等于______例：若函数f (x)＝a|x－b|+2在[),0上为增函数，+∞求实数a、b的取值范围答案：显然a≠0 f (x) 的对称轴是x＝b，所以b≤0，又由单调性知a>03．⑴若一个函数关于点（a，b）对称，则f (a－x)－b＝b－f (a＋x)，即f (a－x) + f (a＋x) = 2b⑵若一个函数关于点（a，0）对称，则f (a－x)＝－f (a＋x)，即f (a－x) + f (a＋x) = 0⑶特殊地，若一个函数关于点（０，０）对称，则f (－x)＝－f (x)，即f (－x) + f (x) =０，即此函数为奇函数，图像关于原点对称例：f (x+3)为奇函数，可得到函数f (x )的什么性质例：函数y = 121+-x x的图像的对称中心的坐标是___________，渐近线方程为__________（y = 121+-x x =132++-x ）例：已知定义域为R 的函数f (x)满足f (—x) = —f (x+4)，且当x>2时，f (x)单调递增，如果x 1+x 2<4且（x 1－2）(x 2 －2)<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值（）Ａ．恒小于０Ｂ．恒大于０Ｃ．可能为０Ｄ．可正可负答案：Ａ数形结合由f (—x) = —f (x+4)知中心为：（２，０）４．周期性⑴f (x+T) = f (x) 周期：T⑵f (x+T) = －f (x)f (x+T) =)(1x f f (x+T) =)(1x f - 周期：２T⑶f (x+T) = f (x －T) 周期：２T ⑷f (x+T) = －f (x －T) 周期：４T ⑸⎩⎨⎧-=+-=+)()()()(x b f x b f x a f x a f 周期：２(b-a ）特殊地， ⎩⎨⎧-=+是偶函数)()()(x f x a f x a f 周期：２a⑹⎩⎨⎧--=+--=+)()()()(x b f x b f x a f x a f 周期：２(b-a ）特殊地， ⎩⎨⎧--=+是奇函数)()()(x f x a f x a f 周期：２a⑺⎩⎨⎧--=+-=+)()()()(x b f x b f x a f x a f 周期：４(b －a ）例：偶函数定义域为Ｒ，恒满足f (2+x) = f (2－x)．已知x ∈[－２，２]时，f (x) =－x 2 + 1．求当x ∈[－６，－２]时，f (x)的表达式．例：已知f (x )是R 上的偶函数，对x ∈R 都有f (x +6)=f (x )+f (3)成立，若f (1)=2，则f (2005)等于（）A ．2005B ．2C ．1D ．0答案：B 令x=－３，由题意则有f (3)＝f (－3)＝０，所以f (x +6)=f (x )，６是一个周期。

数学 - 函数的对称性与周期性

数学 - 函数的对称性与周期性函数是数学中的一个重要概念。

通过研究函数的对称性与周期性，我们能够更好地理解函数的性质和行为。

在本文中，我们将介绍函数的对称性和周期性的定义，并讨论一些常见的例子和性质。

函数的对称性在数学中，函数的对称性指的是函数图像关于某一条直线、某个点或者坐标轴对称。

常见的对称性包括：关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称等。

关于x轴对称一个函数关于x轴对称，意味着函数图像可以在x轴上对称折叠，一半与另一半完全重合。

这意味着，对任意的x值，函数的值与对称轴上对应的函数值是相等的。

例如，函数 f(x) = x^2 就是关于x轴对称的。

对于任意的x值，f(x) = f(-x)。

函数图像可以在x轴上折叠，左右两部分完全重合。

关于y轴对称一个函数关于y轴对称，意味着函数图像可以在y轴上对称折叠，一半与另一半完全重合。

这意味着，对任意的x值，函数的值与对称轴上对应的函数值是相等的。

例如，函数f(x) = sin(x) 就是关于y轴对称的。

对于任意的x值，f(x) = f(-x)。

函数图像可以在y轴上折叠，左右两部分完全重合。

关于原点对称一个函数关于原点对称，意味着函数图像可以在原点上对称折叠，一半与另一半完全重合。

这意味着，对任意的x值，函数的值与对称轴上对应的函数值是相等的。

例如，函数 f(x) = x^3 就是关于原点对称的。

对于任意的x值，f(x) = -f(-x)。

函数图像可以在原点上折叠，左右两部分完全重合。

函数的周期性在数学中，函数的周期性是指函数在一定的水平间隔上重复。

函数图像上的一个完整周期，被定义为函数的最小正周期。

函数的周期性可以帮助我们理解函数的重复性和规律性。

正周期一个函数如果存在一个正数T，使得对于任意的x，有： f(x+T) = f(x)即函数在水平方向上以T为周期。

这里的T被称为函数的正周期。

例如，函数 f(x) = sin(x) 具有正周期2π。

对于任意的x，有sin(x+2π) = sin(x)。

函数的对称性与周期性

函数的对称性与周期性一、基础知识（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a b x +=轴对称在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称轴即可。

例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ⇒=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便（3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。

① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分：若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称。

3、中心对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=-+⇔()f x 关于(),0a 轴对称（当0a =时，恰好就是奇函数）（2）()()()f a x f b x f x -=-+⇔关于,02a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭轴对称在已知对称中心的情况下，构造形如()()f a x f b x -=-+的等式同样需注意两点，一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称中心即可。

函数的对称性与周期性

在区间[ , ] 上零点的个数为_________.
(2).已知函数 y f (x) 满足 f (x 2) f (x) ,且 x [0,2] 时, f (x) (x 1)2 ,若令函数
g(x) f (x) log5 | x 1| ,则函数 y g(x) 的左右零点之和为(
)
i 1
A. 0
B. m
C. 2m
D. 4m
例
5. 已知函数
f
(x)

| |
x 2 |, x 0 log2 x |, x 0
，
若
关
于
x
的方程
f (x) a
有四个不同的解
x1, x2 , x3, x4 且 x1 x2 x3 x4 ,求 x1x2 x3x4 的取值范围.
(减)，则 y f (x) 在 (a kT , b kT ), (k Z ) 上单调增(减).
例 10.(1). 函数 y f (x) 满足 f (x) f (4 x) ，当 x [0,4)时，f (x) x2 1 ，求
f (2014) _______.
g(x)
f
(x) ，当
x a 时，g(x) g(2a x) ，若关于 x 的方程 g(x) x a 0 有且仅有一个实数根，则 a
的取值范围为( )
A. (,0] (2,) C. (,1] (2,)
B. (,0] (9 ,) 4
D. (,1] (9 ,) 4
一般地 , 若函数 y f (x) 满足 f (a x) f (b x) c , 则函数的图象关于点 ( a b , c ) 对称.

第七讲 函数的对称性和周期性

函数对称性和周期性的一些重要结论

函数的对称性与周期性奇偶性导数关系

函数的周期性与对称性

函数的对称性与周期性

函数周期性与对称性

函数的对称性和周期性

函数与函数的对称性与周期性

函数的周期性与对称性

函数的对称性、周期性以及之间的关系

函数的基本性质(对称性、周期性)

(完整版)函数的对称性与周期性

函数的对称性与周期性

函数的对称性和周期性

数学 - 函数的对称性与周期性

函数的对称性与周期性

函数的对称性与周期性

第七讲函数的对称性和周期性