二面角习题课
二面角习题课
∠EFO=60° ∠ECF=30°，CE=10，求EO=？
D
E
O
AC F
B
6
例3.如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC,D为BC的中
点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上.
（1）证明：AP⊥BC
（2）已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2，求二面角
B-AP-C的大小.
P
(1)证BC⊥平面PAD
则由线面垂直定理得 AD⊥ l.
ADO就是二面角 － l － 的平面角.
A.
AO 23,AD 4 在Rt△ADO中，
D
O
∵sin∠ADO=
AO AD
2 3 4
l
∴ ∠ADO=60°.
∴二面角 － l－ 的大小为60 °.
5
例2 如图所示，河堤斜面与水平面所成二面角为 60°，堤面上有一条直道CD，它与堤角的水平线 AB的夹角为30°，沿这条直道从堤脚C向上行走 10m到达E处，此时人升高了多少m？
（2）过B作BM⊥PA,连接CM 则PA⊥平面BMC
M
A O
所以所求的二 面角的平面角 C 为∠BMC
D
7
B
知识小结： 二面角的平面角的作法：
（1）定义法
（2）垂面法
（3）垂线法
A
l
o
B
o
B
A
ll
A
o
B
Байду номын сангаас
l
8
二面角的平面角
二面角的平面角的定义
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内 分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角 叫做二面角的平面角
A
l O
五种方法法求二面角及限时练习
五种方法求二面角及练习题一、 定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。
如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。
例1如图，四棱锥S A B C D -中，底面A B C D 为矩形，S D ⊥底面A B C D，A D =2D C S D ==，点M 在侧棱S C 上，A B M ∠=60°（I ）证明：M 在侧棱S C 的中点 （II ）求二面角S A M B --的大小。
证（I ）略解（II ）：利用二面角的定义。
在等边三角形A B M 中过点B 作B F A M ⊥交A M 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作G F A M ⊥，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点，∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。
则G F B ∠即为所求二面角. ∵2=SM ，则22=GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM∵2==AB AM ，060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3=BF在△GAB 中，26=AG ，2=AB ，090=∠GAB ，∴211423=+=BG366232222113212cos 222-=-=⨯⨯-+=⋅-+=∠FBGF BGFBGFBFG∴二面角S A M B --的大小为)36arccos(-练习1如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，P A ⊥平面ABCD ，60A B C ∠=︒,E ，F 分别是BC , PC 的中点. （Ⅰ）证明：AE ⊥PD ;（Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面P AD 所成最大角2E —AF —C 的余弦值.分析：第1题容易发现，可通过证AE ⊥AD 后推出AE ⊥平面APD ，使命题获证，而第2题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱AF 上找到可计算二面角的平面角的顶点S ，和两边SE 与SC ，进而计算二面角的余弦值。
二面角习题及答案
二面角1.如图三棱锥 P-ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC =32 ，D 是 BC 的中点，且△ADC 是边长为 2的正三角形，求二面角 P-AB －C 的大小。
解2.如图在三棱锥 S-ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，且分别交 AC 、SC 于D 、E ，又SA =AB ，BS =BC ， 求以BD 为棱，BDE 与BDC 为面的二面角的度数。
解：3. 如图：ABCD 是矩形，AB =8，BC =4，AC 与 BD 相交于O 点，P 是平面 ABCD 外一点，PO ⊥面ABCD ，PO =4，M 是 PC 的中点，求二面角 M-BD-C 大小。
解：DPCABEDBAS CSR NMO DPC4.如图△ABC 与△BCD 所在平面垂直，且AB =BC =BD ，∠ABC =∠DBC =0120，求二面角 A-BD-C 的余弦值。
解：5.已知正方体 AC'，M 、N 分别是BB'，DD'的中点，求截面 AMC'N 与面ABCD ，CC'D'D 所成的角。
解：6.如图 AC ⊥面BCD ，BD ⊥面ACD ，若AC =CD =1，∠ABC =30°，求二面角D AB C --的大小。
解：DBAECD ’ B ’DAC ’B A ’CMNBFEACD7. 三棱锥 A-BCD 中，∠BAC =∠BCD =90°，∠DBC =30°，AB =AC =6，AD =4，求二面角 A-BC-D 的度数。
解：9. 如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的菱形，∠A ＝60°，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝a,E 是PA 的中点.(1)求证平面BDE ⊥平面ABCD.(2)求点E 到平面PBC 的距离.(3)求二面角A —EB —D 的平面角大小. 解析：10. 如图，已知正方体ABCD —A1B1C1D1的棱长为1，E 、F 分别在棱AB 、BC 上，G在对角线BD1上，且AE ＝41，BF ＝21，D1G ∶GB ＝1∶2，求平面EFG 与底面ABCD 所成的二面角的大小.DOABC11. 如图，设ABC —A1B1C1是直三棱柱，E 、F 分别为AB 、A1B1的中点，且AB ＝2AA1＝2a,AC ＝BC ＝3a. (1)求证：AF ⊥A1C(2)求二面角C —AF —B 的大小12．如图1111D C B A ABCD -是长方体，AB=2，11==AD AA ，求二平面C AB 1与1111D C B A 所成二面角的大小．13. 在正方体1111D C B A A B C D-中，1BB K ∈，1CC M ∈，且141BB BK =，143CC CM =.．求：平面AKM 与ABCD 所成角的大小．14. 如图，将边长为a 的正三角形ABC 按它的高AD 为折痕折成一个二面角C AD C --'． （1）若二面角C AD C --'是直二面角，求C C '的长； （2）求C A '与平面CD C '所成的角；（3）若二面角C AD C --'的平面角为120°，求二面角D C C A -'-的平面角的正切值．参考答案解：由已知条件，D是BC的中点∴CD =BD =2 又△ADC是正三角形∴AD =CD =BD =2∴D是△ABC之外心又在BC上∴△ABC是以∠BAC为直角的三角形，∴AB⊥AC，又PC⊥面ABC∴PA⊥AB (三垂线定理)∴∠PAC即为二面角P-AB-C之平面角，DPCAB易求 ∠PAC =30°2、解：∵ BS =BC ，又DE 垂直平分SC ∴ BE ⊥SC ，SC ⊥面BDE ∴ BD ⊥SC ，又SA ⊥面ABC∴ SA ⊥BD ，BD ⊥面SAC ∴ BD ⊥DE ，且BD ⊥DC 则 ∠EDC 就是所要求的平面角 设 SA =AB =a ，则 BC =SB =2a 且 AC = 3易证 △SAC ∽△DEC ∴ ∠CDE =∠SAC =60°3、解：取OC 之中点N ，则 MN ∥PO ∵ PO ⊥面ABCD∴ MN ⊥面ABCD 且 MN =PO/2 =2，过 N 作 NR ⊥BD 于 R ，连MR ， 则 ∠MRN 即为二面角 M-BD-C 的平面角过 C 作 CE ⊥BD 于S 则 RN =21CE 在 Rt △BCD 中，CD ·BC =BD ·CE ∴ 58BD BC CD CE =⋅=∴ 54RN =25RN MN MRN tan ==∠ ∴ 25a r c t a n M RN =∠EDBASCSR N MOBDPA C4. 解：过 A 作 AE ⊥CB 的延长线于E ， 连结 DE ， ∵ 面ABC ⊥面BCD ∴ AE ⊥面BCD∴ E 点即为点A 在面BCD 内的射影∴ △EBD 为△ABD 在面BCD 内的射影设 AB =a 则AE =DE =ABsin60°=a 23 ∴ AD =41ABD cos 26=∠， ∴ sin ∠ABD =415∴ 22A B D a 815415a 21S =⨯=∆ 又 a 21BE = ∴ 2B D E a 83a 21a 2321S =⋅⋅=∆ ∴ 55S S c o s A B D B D E ==θ∆∆ 5. 解：设边长为a ，易证 ANC'N 是菱形 且MN =a 2，A'C =a 3∴Ｓ□AMC'N = 2a 26'AC 21MN =⋅ 由于AMC'N 在面ABCD 上的射影即 为正方形ABCD ∴ Ｓ□ABCD =2a ∴ 36a 26a c o s 221==θ D ’ B ’DAC ’BA ’C MN∴ 36a r c c o s 1=θ 取CC'的中点M'，连结DM'则平行四边形DM'C'N 是四边形AMC'N 在CC'D'D 上的射影，Ｓ□DM'C'M =2a 21 ∴ 66a 26a21c o s 222==θ ∴66arccos2=θ 6. 解：作DF ⊥AB 于F ，CE ⊥AB 于E ， ∵ AC =CD =1 ∠ABC =30°∴ AD =2，BC =3 ，AB =2， BD =2在Rt △ABC 中，23231AB BC AC CE =⨯=⋅=，同理 1222AB BDAD DF =⨯=⋅= ∴ 1DF BD BF 22=-=21CE AC AE 22=-= ∴ 212112EF =--= ∴ θ⋅-++=cos DF EF 2EF DF CE CD 2222∴ 33cos =θ 即所求角的大小为33arccos。
二面角典型习题(可编辑修改word版)
(C) cos cos =sin (D) cos cos =cosL 二而角的il •算：1） 定义法；2） 三垂线审理法;3） 垂而法：4） 面积射影法：例1、已知P 是二而角-AB - 棱上一点，过P 分别在、 ZBPM = ZBPN = 45。
■乙MPN=6g 求此二而角的度数。
例2、已知P 为锐二而角-/一 棱上的点，PQu JQ 打/成45。
，与 成30°,贝IJ 二面例3、已知二而角一1 一的度数为，在面内有一条射线AB .与棱1成锐角.与而成角，则必有（二面角内引射线PM ，PX ＞且的度数是多少。
(A) sin sin =sin (B) sin sin =cos例4、在120。
的二而角-/一的面、内分别有A、B两点.且A、B到棱1的距离AC、BD 分别长2、4, AB=1O,求J（1）直线AB .与棱1所成角的正弦值。
（2）直线AB •与平而所成角的正弦值.例5、已知二而角-MN-为60。
，Ae.Be为AB在上的射影，且C在棱MX 上，AB与所成角为60。
，且AC= JM Z MCB=45。
, 求线段AB的长。
例6、已知二而角一 DC —的度数为，A e ,B€ .MDC的而枳为S,且D（二m.AB丄DC , AB与平而成30。
角，当DMDi W — A- Di例是以AB 为直径的圆周上的一点，ZABC = 30。
，P4丄而ABC, ZPBA = 45。
，求二而角A-PB-C 的正弦值。
S 例8、在正方体ABCD - 中，利用cos =3■解下列各题S1)P. Q 分别为AyA.AB 的中点，求平而C,PQ 打底而ABCD 所成角的余弦值 2)求二而角Ci-BDi-C 的大小:3) M 是棱BC的中点，求二面角Q-BjM-G 的余弦值。
——・B例9.已知D 、E 分别是边长为a 的等边三角形ABC 的边AB 、AC 上的点，DE//BC.现沿DE 将三角形ADE 折起，是二面角A-DE-B 成60度角，当DE 在什么位置时，使折起后的顶点A 到BC 边距离最短？最短是多少？ZADC = ZBCA = 90°, AABC = 60。
解二面角问题三种方法(习题和答案)
C AD A A 1B DC C 1 B 1 解二面角问题（一）寻找有棱二面角的平面角的方法和求解。
（1）定义法：利用二面角的平面角的定义.在二面角的棱上取一点.过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线.两射线所成的角就是二面角的平面角.这是一种最基本的方法。
要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角.当然这种找出的角要有利于解决问题。
下面举几个例子来说明。
例1：如图.立体图形V －ABC 的四个面是全等的正三角形.画出二面角V －AB －C 的平面角并求出它的度数。
例2：在三棱锥P-ABC 中.∠APB=∠BPC=∠CPA=600.求二面角A-PB-C 的余弦值。
这样的类型是不少的.如下列几道就是利用定义法找出来的：1、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中.找出二面角B －AC －B 1的平面角并求出它的度数。
2、．边长为a 的菱形ABCD .∠ACB=600.现沿对角线BD 将其折成才600的二面角.则A 、C 之间的距离为 。
（菱形两条对角线互相垂直.对折后的一条对角线成两条线段仍都垂直于另一条对角线.则所成的角是二面角的平面角）3、正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长是4.过BC 的一个平面与AA 1交于D .若AD =3.求二面角D ―BC ―A 的正切值。
总之.能用定义法来找二面角的平面角的.一般是图形的性质较好.能够较快地找到满足二面角的平面角的三个主要特征。
并且能够很快地利用图形的一些条件来求出所要求的。
在常见的几何体有正四面体.正三棱柱.正方体.以及一些平面图形.正三角形.等腰三角形.正方形.菱形等等.这些有较好的一些性质.可以通过它们的性质来找到二面角的平面角。
至于求角.通常是把这角放在一个三角形中去求解。
由图形及题目的已知条件来求这个三角形的边长或者角.再用解三角形的知识去求解。
（2）三垂线法：是利用三垂线的定理及其逆定理来证明线线垂直.来找到二面角的平面角的方法。
二面角习题课-PPT课件_OK
——二面角习题课
1
一、朝花夕拾
一、两个平面垂直的定义
相交成直二面角的两个平 面，叫做互相垂直的平面
二、两个平面垂直的判定定理
A
C B
D
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线, 那么这两个平面互相垂直.
三、两个平面垂直的性质定理
如果两个平面垂直, 那么在一个平面内垂直
求平面SAB与平面SCD所成角的正切.
法1：射影面积法
法2：补棱法
S
S
23
2
22
B
2
2B
2
C
25
C
2
A
5
A1
1D
D
答案：正切值为 2 E
5
2
练：1、直棱 柱ABC-A1B1C1中
A1
B1
AA1=2AB=2BC=2CA，D为AA1中点，
C1
求平面B1CD和平面ABC所成的角
2、某民房屋顶如图，有三种不同的 盖法：(1)单向倾斜；(2)双向倾斜；(3)
βD
l AB
αC
7
变式练习：
长为16的线段AB两端点,分别在直二面角 CD
的两个面内,并且与两个面分别成 300、450角,
求二面角B AD C.
AE
F
C
D
E
B
8
9
β
C
B在棱l上，设△ABC和它在α内
的射影的面积分别为S和 ，求
证 S
cos S
E
A
α
D
Bl
S
推 广：如图，设二面角α-l- 的 大小为θ，对平面内任意一个平
β
二面角 高中数学课件
且 AC 平面 ABCD ，则 DD1 AC ，∵ BD 平面 BDD1B1 ， D1D 平面 BDD1B1 ，
BD D1D D ∴ AC 平面 BDD1B1 . BD1 平面 BDD1B1 ，∴ BD1 AC .
（3）连接 B1P ，B1O ，因为 PA PC ，O 是 AC 中点，所以 PO AC ，因为 AC 平面 BDD1B1 ，
（1）记 AC 中点为 M，连结 DM ， ACD 为正三角形， AC 4 ,
则 DM AC ，且 DM 2 3 .
因为平面 ACD 平面 ABC ，平面 ACD 平面 ABC AC ， DM 平面 ACD, 所以 DM 平面 ABC ，又因为 BE 平面 ABC ，所以 DM ∥BE . 延长 MB, DE 交于点 G，则 AG 为平面 ADE 与平面 ABC 的交线，
例 3．如图，60 的二面角的棱上有 A, B 两点，直线 AC ， BD分别在这个二面角的两个半 平面内，且都垂直于 AB ．已知 AB 4， AC 6 ， BD 8 ，则CD 的长为__2___1_7___.
例 4.如图，在多面体 ABCDE 中，平面 ACD 平面 ABC ， BE 平面 ABC ， ABC 和 ACD 均为正三角形， AC 4 ， BE 3 . (1)在线段 AC 上是否存在点 F，使得 BF ∥平面 ADE ?说明理由； (2)求平面 CDE 与平面 ABC 所成的锐二面角的正切值.
1 2
BC BG sin150
2
3，
故 BH 2S BGC 2 3 ,又因为 BE 1 DM 3 ，所以 tan BHE BE 13 ，
CG 13
2
BH 2
即平面 CDE 与平面 ABC 所成的锐二面角的正切值为 13 . 2
二面角习题含详细答案
又AP⊥PC，PB∩PC=P， ∴AP⊥平面PBC①.…………………………………………2分 又BC⊂平面PBC，∴AP⊥BC. 又AC⊥BC，AP∩AC=A， ∴BC⊥平面PAC①.
又BC⊂平面ABC，∴平面PAC⊥平面ABC.…………………4分
(2)∵PA⊥PC,且PA⊥PB，
∴∠BPC是二面角D-AP-C的平面角②. 由(1)知BC⊥平面PAC，则BC⊥PC， ∴sin∠BPC= BC 2 . ……………………………………8分
通过分析条件，鉴别已知角是否为二面角的 平面角，否则就需利用垂直关系作辅助线得 到其平面角. 证明且点明某平面角是所求二面角的平面角. 把角放在三角形内求值，要注意的是二面角 的范围.
作图
定性
求解
【典例训练】
1.如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,∠BAC=90°，
则二面角B-PA-C的大小为( )
证明
求值
【想一想】找二面角的平面角的方法有哪些？
提示：(1)垂面法：由二面角的平面角的定义，只需作与棱垂 直的平面，则该平面与两半平面所成交线构成的角就是二面角 的平面角. (2)平移法：先分别在两半平面内找一条垂直于棱的射线，然 后平移到一起找到二面角的平面角.
【规范解答】线面垂直的综合应用
【典例】(12分)如图所示，已知三
(A)90°
(B)60°
(C)45°
(D)30°
2.如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分 SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA=AB，SB=BC，求二面角
E-BD-C的大小.
【解析】1.选A.∵PA⊥平面ABC,BA，CA⊂平面ABC，
∴BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC即为二面角B-PA-C的平面角.
解二面角问题三种方法(习题及答案)
C A B DA A 1B DC C 1 B 1 解二面角问题（一）寻找有棱二面角的平面角的方法和求解。
（1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。
要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角，当然这种找出的角要有利于解决问题。
下面举几个例子来说明。
例1：如图，立体图形V －ABC 的四个面是全等的正三角形，画出二面角V －AB －C 的平面角并求出它的度数。
例2：在三棱锥P-ABC 中，∠APB=∠BPC=∠CPA=600，求二面角A-PB-C 的余弦值。
这样的类型是不少的，如下列几道就是利用定义法找出来的：1、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，找出二面角B －AC －B 1的平面角并求出它的度数。
2、．边长为a 的菱形ABCD ，∠ACB=600，现沿对角线BD 将其折成才600的二面角，则A 、C 之间的距离为 。
（菱形两条对角线互相垂直，对折后的一条对角线成两条线段仍都垂直于另一条对角线，则所成的角是二面角的平面角）3、正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长是4，过BC 的一个平面与AA 1交于D ，若AD =3，求二面角D ―BC ―A 的正切值。
总之，能用定义法来找二面角的平面角的，一般是图形的性质较好，能够较快地找到满足二面角的平面角的三个主要特征。
并且能够很快地利用图形的一些条件来求出所要求的。
在常见的几何体有正四面体，正三棱柱，正方体，以及一些平面图形，正三角形，等腰三角形，正方形，菱形等等，这些有较好的一些性质，可以通过它们的性质来找到二面角的平面角。
至于求角，通常是把这角放在一个三角形中去求解。
由图形及题目的已知条件来求这个三角形的边长或者角，再用解三角形的知识去求解。
（2）三垂线法：是利用三垂线的定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法。
二面角习题2.许兴华
二面角习题课
(20121130 )
Designed by Steven 兴T华 No.3 High School N S 许E V 课 of Nanning 件
E
(月亮河 ) A
N S E 许E V 课
兴T华
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12
补棱法
tan∠AED=AD/AE= 从而cos∠DEA=
2 2
= 2 2
N T
E
兴 6 3 许 S 华课
E
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件
V
例 5.如 图四 边 形 1A1 ACC1 A1、BCC1B1 , ABB 、 都是 边 长 为的 正 方 形D为 CC的 中 点 . 2 , 1 (1)求 证 AB1 平 面 ABD; : 1 (2)求 二 面 角 A A1D - B的 大 小 ; (3)求 点 C到 平 面1BD的 距 离 ; A
件
例1.如 图 PE、PF、PG是 从 点 发 出 的 , P 三 条 射 线FPE GPE 45, FPG , 60, 求 二 面 角 PE F的 度 数 G . (提示)过点C作 E 平面CAB PE, C
6a AB 2a sin 60 2 a
又AC CB AB
∠EFO=60°,∠ECF=30°,CE=100,求EO=？
OE 50 sin 60 50 3 2 43.3 (米). 100
D
E
50
o
6N S E 许E V 课
兴T华
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五种方法法求二面角及限时练习
五种方法求二面角及练习题一、 定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。
如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。
例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD，AD =2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60°（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。
证（I ）略解（II ）：利用二面角的定义。
在等边三角形ABM 中过点B作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点，∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。
则GFB ∠即为所求二面角. ∵2=SM ，则22=GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM ∵2==AB AM，060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3=BF在△GAB 中，26=AG ，2=AB ，090=∠GAB ，∴211423=+=BG 366232222113212cos 222-=-=⨯⨯-+=⋅-+=∠FB GF BG FB GF BFG ∴二面角S AMB --的大小为)36arccos(-FGFG练习1（2008山东）如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒,E ，F 分别是BC , PC 的中点. （Ⅰ）证明：AE ⊥PD ;（Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值E —AF —C 的余弦值. 分析：第1题容易发现，可通过证AE ⊥AD 后推出AE ⊥平面APD ，使命题获证，而第2题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱AF 上找到可计算二面角的平面角的顶点S ，和两边SE 与SC ，进而计算二面角的余弦值。
二面角习题课
β
M
P
C
A
N
α
B
三垂线法
a 2 1 , PC = a, BC = AB 2 AC 2 = a 2 2 2
∴∠PCB =
π
4
.
类型题 : 学案 9.6.2阅读要求与检测. 提示 : 证明 AC ⊥ CD
A B C P
D
例4,自二面角内一点分别向这个二面角的两个面引垂线, 求证它们所成的角与这个二面角的平面角互补.
C D A B
D1 A1 M
C1 B1
N
A
D B
C
9.6.2学案中射影法相关题 自主练习 提示:找C1 PQ在底面内射影(答案 : 1: 2 17 ) 17 2 ) 2
自主练习2 : 提示:证明AD, BC均与面SAB垂直, 再用射影法(答案 :
二面角的求法总结
⑴定义法是选择一个平面内的一点(一般为这个面的一个 定义法是选择一个平面内的一点( 顶点)向棱作垂线,再由垂足在另一个面内作棱的垂线. 顶点)向棱作垂线,再由垂足在另一个面内作棱的垂线. 此法得出的平面角在任意三角形中,所以不好计算, 此法得出的平面角在任意三角形中,所以不好计算,不是 我们首选的方法. 我们首选的方法 ⑵三垂线法是从一个平面内选一点(一般为这个面的一个 三垂线法是从一个平面内选一点( 顶点)向另一个面作垂线,再由垂足向棱作垂线, 顶点)向另一个面作垂线,再由垂足向棱作垂线,连结这 个点和棱上垂足.此法得出的平面角在直角三角形中, 个点和棱上垂足.此法得出的平面角在直角三角形中,计 算简便,所以我们常用此法. 算简便,所以我们常用此法. ⑶垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线,因为这 垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线, 一点不好选择,所以此法一般不用. 一点不好选择,所以此法一般不用 ⑷以上三种方法作平面角都需写出作法,证明,指出平面角. 以上三种方法作平面角都需写出作法,证明,指出平面角 ⑸射影法是在不易作出平面角时用.在解答题中要先证明射 射影法是在不易作出平面角时用. 影面积公式,然后指出平面的垂线,射影关系,再用公式, 影面积公式,然后指出平面的垂线,射影关系,再用公式, 这种方法虽然避免了找平面角,但计算较繁,所以不常用. 这种方法虽然避免了找平面角,但计算较繁,所以不常用
二面角2习题课
C
A
解：作BC于C，连结AC
O C
D
过C作COCD于O，连结OB
由三垂线定理可得： BOCD
则 ∠BOC是二面角 CD 的平面角 设AO =a 在RtAOB中，BO=a, AB= 2 a 2 在RtACB中，BAC= 30º AB= 2a, BC= 2 a ,
在RtBCO中，sin ∠BOC= ∴所求二面角的大小为45º
练习在正方体中： 1.求出二面角B1—AB—C、A1—AB—C的大小
2.求出二面角D1—AB—C的大小
D1 A1 B1 C1 A1 D1 B1 C1
D
C
D
C
A
B
A
B
3.求出二面角C1—AC—B的大小 4.E是A1D1的中点，求出二面角E—AB—C的大小
D1 A1 B1 C1 E A1 B1 D1 C1
H
D C D
H
C
A
B
A
B
二面角
二.作二面角的平面角的常用方法
①、点P在棱上 —定义法 ②、点P在一个半平面上 —三垂线定理法 ③、点P在二面角内 —垂面法
ι
p
B
α
β
A B
pβ
β
B
p
α
A
ι
ι
O A
பைடு நூலகம்
α
二面角
例2. A为二面角－CD－ 的棱CD上一点，AB在平 面内且与棱CD成45º 角，又AB与平面 成30º ，求二 面角－CD－ 的大小。 三垂线定理
M，且二面角P - AC - B的大小为45 0，求二面角P - BC A的 大小。
4、在空间四边形ABCD中，BCD 是等边三角形，ABD 是等腰RT ，BAD 90 0。二面角A - BD C大小为90 0， 求二面角A - CD - B的大小。
二面角习题及标准答案
二面角习题及答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：二面角1.如图三棱锥 P-ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC =32 ，D 是 BC 的中点，且△ADC是边长为 2的正三角形，求二面角 P-AB －C 的大小。
解2.如图在三棱锥 S-ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，且分别交 AC 、SC 于D 、E ，又SA =AB ，BS =BC ， 求以BD 为棱，BDE 与BDC 为面的二面角的度数。
解：3. 如图：ABCD 是矩形，AB =8，BC =4，AC 与 BD 相交于O 点，P 是平面 ABCD 外一点，PO ⊥面ABCD ，PO =4，M 是 PC 的中点，求二面角 M-BD-C 大小。
解：4.如图△ABC 与△BCD 所在平面垂直，且AB =BC =BD ，∠ABC =∠DBC =0120，求二面角 A-BD-C 的余弦值。
解：DPC A BE DB ASCS R NMO B DPA CB A EC5.已知正方体 AC'，M 、N 分别是BB'，DD'的中点，求截面 AMC'N 与面ABCD ，CC'D'D 所成的角。
解：6.如图 AC ⊥面BCD ，BD ⊥面ACD ，若AC =CD =1，∠ABC =30°，求二面角D AB C --的大小。
解：7. 三棱锥 A-BCD 中，∠BAC =∠BCD =90°，∠DBC =30°，AB =AC =6，AD =4，求二面角 A-BC-D 的度数。
解：9. 如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的菱形，∠A ＝60°，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝a,E 是PA 的中点.(1)求证平面BDE ⊥平面ABCD.(2)求点E 到平面PBC 的距离.(3)求二面角A —EB —D 的平面角大小. 解析：D BD ACBAC M N B F E ACDDOA BC10. 如图，已知正方体ABCD —A1B1C1D1的棱长为1，E 、F 分别在棱AB 、BC 上，G 在对角线BD1上，且AE ＝41，BF ＝21，D1G ∶GB ＝1∶2，求平面EFG 与底面ABCD 所成的二面角的大小.11. 如图，设ABC —A1B1C1是直三棱柱，E 、F 分别为AB 、A1B1的中点，且AB ＝2AA1＝2a,AC ＝BC ＝3a. (1)求证：AF ⊥A1C(2)求二面角C —AF —B 的大小12．如图1111D C B A ABCD -是长方体，AB=2，11==AD AA ，求二平面C AB 1与1111D C B A 所成二面角的大小．13. 在正方体1111D C B A ABCD -中，1BB K ∈，1CC M ∈，且141BB BK =，143CC CM =.．求：平面AKM 与ABCD 所成角的大小．14. 如图，将边长为a 的正三角形ABC 按它的高AD 为折痕折成一个二面角C AD C --'． （1）若二面角C AD C --'是直二面角，求C C '的长； （2）求C A '与平面CD C '所成的角；（3）若二面角C AD C --'的平面角为120°，求二面角D C C A -'-的平面角的正切值．参考答案解：由已知条件，D 是BC 的中点∴ CD =BD =2 又△ADC 是正三角形 ∴ AD =CD =BD =2∴ D 是△ABC 之外心又在BC 上 ∴ △ABC 是以∠BAC 为直角的三角形， ∴ AB ⊥AC ， 又 PC ⊥面ABC ∴ PA ⊥AB (三垂线定理)∴∠PAC 即为二面角 P-AB-C 之平面角， 易求 ∠PAC =30°2、解：∵ BS =BC ，又DE 垂直平分SC ∴ BE ⊥SC ，SC ⊥面BDE ∴ BD ⊥SC ，又SA ⊥面ABC ∴ SA ⊥BD ，BD ⊥面SAC ∴ BD ⊥DE ，且BD ⊥DC 则 ∠EDC 就是所要求的平面角 设 SA =AB =a ，则 BC =SB =2a 且 AC = 3易证 △SAC ∽△DEC ∴ ∠CDE =∠SAC =60° 3、解：取OC 之中点N ，则 MN ∥PO ∵ PO ⊥面ABCD∴ MN ⊥面ABCD 且 MN =PO/2 =2， 过 N 作 NR ⊥BD 于 R ，连MR ， 则 ∠MRN 即为二面角 M-BD-C 的平面角 过 C 作 CE ⊥BD 于S则 RN =21CE 在 Rt △BCD 中，CD ·BC =BD ·CE ∴ 58BD BC CD CE =⋅=DPCA BE DBASCS R N MO B DPA C∴ 54RN =25RN MN MRN tan ==∠ ∴ 25arctanMRN =∠ 4. 解：过 A 作 AE ⊥CB 的延长线于E ， 连结 DE ， ∵ 面ABC ⊥面BCD ∴ AE ⊥面BCD∴ E 点即为点A 在面BCD 内的射影∴ △EBD 为△ABD 在面BCD 内的射影设 AB =a 则AE =DE =ABsin60°=a 23 ∴ AD =41ABD cos 26=∠， ∴ sin ∠ABD =415∴ 22ABD a 815415a 21S =⨯=∆ 又 a 21BE = ∴ 2BDE a 83a 21a 2321S =⋅⋅=∆ ∴ 55S S cos ABD BDE ==θ∆∆ 5. 解：设边长为a ，易证 ANC'N 是菱形 且MN =a 2，A'C =a 3 ∴Ｓ□AMC'N = 2a 26'AC 21MN =⋅由于AMC'N 在面ABCD 上的射影即 为正方形ABCD ∴ Ｓ□ABCD =2aD B D AC BAC MN∴ 36a 26a cos 221==θ ∴ 36arccos1=θ 取CC'的中点M'，连结DM'则平行四边形DM'C'N 是四边形AMC'N 在CC'D'D 上的射影，Ｓ□DM'C'M =2a 21 ∴ 66a 26a21cos 222==θ ∴66arccos2=θ 6. 解：作DF ⊥AB 于F ，CE ⊥AB 于E ， ∵ AC =CD =1 ∠ABC =30° ∴ AD =2，BC =3 ， AB =2， BD =2 在Rt △ABC 中， 23231AB BC AC CE =⨯=⋅=，同理 1222ABBDAD DF =⨯=⋅= ∴ 1DF BD BF 22=-=21CE AC AE 22=-= ∴ 212112EF =--= ∴ θ⋅-++=cos DF EF 2EF DF CE CD 2222∴ 33cos =θ BF E ACD即所求角的大小为33arccos。
高中二面角练习题及讲解
高中二面角练习题及讲解# 高中二面角练习题及讲解## 练习题一：平面角的求法题目描述：已知平面ABCD是矩形，E是AB上的一点，F是CD上的一点，且EF与AD平行。
求∠EFB的度数。
解题步骤：1. 由于EF与AD平行，根据平行线的性质，∠EFB与∠AED相等。
2. 由于ABCD是矩形，∠AED是直角，即90°。
3. 因此，∠EFB也是90°。
## 练习题二：二面角的计算题目描述：在三棱锥P-ABC中，PA垂直于平面ABC，∠BAC=90°，PA=AB=AC=1。
求二面角∠PAB与平面ABC的角。
解题步骤：1. 由于PA垂直于平面ABC，且∠BAC=90°，可知三角形PAB是直角三角形。
2. 根据勾股定理，PB=√(PA²+AB²)=√(1+1)=√2。
3. 由于PA=AB=AC=1，三角形PAB是等腰直角三角形，∠PAB=45°。
## 练习题三：二面角的判断题目描述：在四面体ABCD中，AB垂直于平面ACD，∠ACD=60°，求判断二面角∠ABC与平面ACD的大小。
解题步骤：1. 由于AB垂直于平面ACD，∠ABC与平面ACD的角即为∠ABC与CD的角。
2. 根据等腰三角形的性质，∠ACB=∠BCD=(180°-60°)/2=60°。
3. 因此，二面角∠ABC与平面ACD的大小为60°。
## 练习题四：二面角的应用题目描述：在空间四边形ABCD中，AB垂直于CD，且AB=CD=2，AD=BC=2√2，求二面角∠ABC与平面ADC的大小。
解题步骤：1. 由于AB垂直于CD，且AB=CD，可知四边形ABCD是正方形。
2. 根据勾股定理，AC=√(AB²+BC²)=√(2²+(2√2)²)=4。
3. 由于AC是正方形的对角线，根据正方形的性质，∠ABC=45°。
一节二面角习题课教学实录
一节二面角习题课的教学实录背景:本节课是在学完直线平面简单的几何体后,教师选择了一道典型的二面角考题,在批改考卷的过程中,发现学生能用五种方法解此题,但都不是很完善,因此教师精心设计了这节复习课,并与学生巩固了所学知识,提高了思维的深刻性、批判性,同时,课堂教学中的思维碰撞也让教师感受深刻,对教学有很多感悟,特将它记录如下:题目:如图, 平面 , 求二面角的大小 .研究解法:解法一:(利用三垂线定理作出二面角的平面角)教师:同学们请思考二面角的平面角是如何作的?学生:由棱上一点分别在两个半平面引垂直于棱的射线,这两条射线所成的角,就是二面角的平面角。
教师:对,那么找棱就是我们作二面角的第一步,请同学们思考作出此题二面角的平面角。
(学生思考片刻,觉得有困难)学生1:根据题目条件,我发现此是等腰直角三角形,因此,作pb的中点d,连cd,cd垂直pb,但在面pab内,并垂直于pb,交于d点的线,我找不到。
教师:同学们,我们来想一想三垂线定理,平面内的一条线与斜线垂直,就与斜线在平面内的射影垂直,那么我们能不能找cd在平面pab的射影?(学生经过讨论)学生1:我明白了,先作出ch ab,然后连接hd,那么hdc就是二面角的平面角。
(有些同学还是感到疑惑)教师:你能不能告诉大家你是怎样思考的?学生1:因为我想找cd在面pab的射影,只需找斜、垂足,d为斜足,过c作面pab的垂线。
因为作ch ab,又因为pa 面abc,所以pa ch,所以我断定ch 面pab的射影,因为dc pb,所以hd pb,所以hdc 为所求的二面角的平面角。
(大部分学生恍然大悟)教师:学生1回答得非常好,但是注意解答的一般步骤:一作,二证,三求解,其中证明过程是关键的。
教师板书解:作ch ab于h,因为pa 平面abc,所以ch pa,从而ch 平面pab,作hd pb于d,连接cd,由三垂线定理,得cd pb。
所以cdh为二面角的平面角,在abc中,cd=1,所以在 chd中故二面角a-pb-c的大小是arcsin 。
二面角习题课
二面角习题课教学目标：1.熟练掌握二面角的定义、二面角的求法2.会利用二面角解题教学重点：求二面角的大小教学难点：同上教学方法：讲解练习法教 具：模型教学过程一、复习引入：1.二面角的定义及记法：2.二面角的平面角是什么？3.二面角的范围：4.二面角的平面角的求法：二、新授：例1.如图，河堤斜面与水平面所成的二面角为60°，堤面上有一条直道CD ，它与堤脚的水平线AB 的夹角为30°，沿这条直线从堤脚向上行走到10m 时，人升高多少？例2.如图，P 是二面角AB αβ--棱AB 上的一点，分别在,αβ上引射线PM 、PN ，如果∠BPN=∠BPM=45°，∠MPN=60°，那么二面角AB αβ--是多少？引申1：如图，A ，B 是二面角l αβ--的棱上的两点，在平面α内有一点C ，且AC ⊥BC ，若AC=3，BC=6，BC 和平面β成30°的角，求二面角l αβ--的度数.引申2：矩形ABCD 中，AB<BC ，沿BD 将ABD ∆折起后，使点A 在平面BCD 上的射影恰好是BC 的中点E ，求二面角A-BD-C 的大小. 例3.P 是120°的二面角a αβ--内一点，P 到α的距离为10，求P 到棱a 的距离.三、练习：苏大练习册四、小结：五、作业：1.如图，在二面角l αβ--中，A 、B α∈，C 、D l ∈，ABCD 是矩形，P β∈，PA α⊥，且PA=AD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，(1)求二面角l αβ--的大小；(2)求证：MN ⊥AB ；(3)求异面直线PA 与MN 所成的角.2.已知二面角PQ αβ--为60°的二面角，点A 和点B 分别在面,αβ内，点C 在棱PQ 上，∠ACP=∠BCP=30°，CA=CB=a, (1)求证：AB ⊥PQ ；(2)求点B 到平面α的距离；(3)求AB 与PQ 的距离.六、板书设计：。
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二面角习题课
教学目标：1、理解二面角及其平面角的概念；
2、能在一些比较特殊的情况下识别二面角的平面角；
3、培养学生严格的逻辑推理，增强学生空间想象能力
和解决问题能力
教学重难点：二面角及其平面角的概念的理解
教学过程：
一、复习反馈：
1、二面角的概
念：。
2、二面角平面角的定义及做作
法：。
3、二面角的度量及范
围：。
二、达标练习:
1、等边三角形ABC的边长为1，BC边上的高是AD，若沿高AD将它折成直二面角B-AD-C,则A到BC的距离是。
2、过正方形ABCD的顶点A作线段A P⊥平面ABCD,且AP=AB,则平面ABP与平面CDP所成二面角的度数是。
A B
3、下列说法中正确的是：（ ）①二面角是两个平面相
交所组成的图形；②二面角是指角的两边都在两个平面内的角；③角的两边分别在两个平面内，则这个角是二面角的平面角；④二面角的平面角所在的平面垂直于二面角的棱。
三、例题讲解 例1．已知：二面角l α
β
--且,A A α∈到平面β的距离为A
到l 的距离为4，求二面角l α
β
--的大小
（例1）
（例2） 例2．在棱长为1的正方体1
AC 中，
（1）求二面角1
1
A B D C --的大小；
（2）求平面1
C B
D 与底面ABCD 所成二面角1
C
BD C
--的平面角大小
D
C B
P
A
例3．如图，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，若2AB BC
BD
==，
求二面角B AC D
--的正
弦值
（练习1）
四、练习
1PA ⊥面ABC ,,PBC
ABC S
S S S ∆∆'
==，二面角P BC A --的平
A
B
C
D
E
F
D
C
F H
B
A
E 面角为θ，求证：cos S S '⋅=
2．如图，在空间四边形ABCD 中，BCD ∆是正三角形，ABD ∆是等腰直角三角形，且90BAD ∠=
，又二面角A BD C --为直二面角，
求:二面角A CD B --的大小
五、作业：活页 白皮书
小结：用二面角及平面角的概念解决问题，关键是二面角平面角的作法。
预习作业：空间几何体（柱、锥、台、球）的表面积计算公式 教后感：。