微分方程数值解习题
(完整word版)偏微分方程数值解习题解答案
六章
q1
q2
2
第二章第三章第四章第五章第六章
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A 1
Q 213页
q3
a3
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q521页
a5
q6
第二章第三章第四章第五章第六章1
a1
q2
q3
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q5
A 5
q6
q7
a7
q8
a8
第二章第三章第四章第五章第六章q1
2
q3
q4
q5 a5
q6
a6
q7
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a8
q9
q10
q11
q12
a12
第二章第三章第四章第五章第六章q1
1
2 q3
a3
偏微分方程数值习题解答
偏微分⽅程数值习题解答
李微分⽅程数值解习题解答 1-1 如果0)0('
=?，则称0x 是)(x J 的
驻点（或稳定点）.矩阵A 对称（不必正定），求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是：0x 是⽅程组 b Ax =的解证明:由)(λ?的定义与内积的性线性性质,得
),()),((2
1
)()(0000x x b x x x x A x x J λλλλλ?+-++=+=
),(2
),()(2
00x Ax x b Ax x J λλ+
-+=
),(),()(0'x Ax x b Ax λλ?+-=
必要性:由0)0('
=?,得,对于任何n R x ∈,有
0),(0=-x b Ax ,
由线性代数结论知,
b Ax b Ax ==-00,0
充分性: 由b Ax =0,对于任何n R x ∈,
0|),(),()0(00'=+-==λλ?x Ax x b Ax
即0x 是)(x J 的驻点. §1-2
补充: 证明)(x f 的不同的⼴义导数⼏乎处处相等.
证明:设)(2I L f ∈,)(,221I L g g ∈为)(x f 的⼴义导数,由⼴义导数的定义可知,对于任意
)()(0I C x ∞∈?,有
-=b
a b
a dx x x f dx x x g )()()()('
1?? ??-=b
a b
a dx x x f dx x x g )()()()('2?? 两式相减,得到
)(0)()(021I C x g g b
a ∞∈?=- 由变分基本引理,21g g -⼏乎处处为零,即21,g g ⼏乎处处相等.
补充:证明),(v u a 的连续性条件(1.2.21) 证明: 设'|)(|,|)(|M x q M x p ≤≤,由Schwarz 不等式
微分方程数值解习题(李立康)
常微分方程习题 《李立康》
习题
1.用Euler 方法求初值问题
⎩
⎨
⎧=-='0)0(21u tu
u 在1=t 时的近似解（取4
1=
h ）。 2.初值问题
1
3
00
u u u()⎧⎪'=⎨
⎪=⎩ 有解32
23/u(t )t ⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
。但若用Euler 方法求解，对一切N T ,和H
T
h =
,都只能得到N t u t , (2)
1,0==，试解释此现象产生的原因。 3.用Euler 方法计算
⎩⎨
⎧=='1
)0(u u
u 在1=t 处的值，取16
1
和41=
h ，将计算结果与精确值e =）1（u 相比较。 4.设),(u t f 满足定理2.1的条件，对改进Euler 法（2.10）式证明： （1）其局部截断误差为)()(12
43
h O t u h -'''-
；
（2）当1
)1(22--
≤Lt n lT m e hL
R
e εε （3）方法具有二阶收敛速度且稳定。 5.导出用改进Euler 法求解
⎩⎨
⎧=='1
)0(u u
u 计算公式
m
m
h h u ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+=22 取4
1
=
h 计算)1(u 的近似值，并与习题3的结果比较。 6.就初值问题
⎩⎨
⎧=+='0
)0(u b
at u 分别导出用Euler 方法和改进Euler 法求近似解的表达式，并与真解
bt t a
u +=
22
相比较。
7.证明改进Euler 法的绝对稳定区域是整个左半平面0)Re(
⎩⎨
⎧=-='1
)0(2
u u u 用41=
h 的Euler 方法求解，求出实际计算值t u 与真解t
u +=11在)1(u 处的误差，并将它与定理2.3的估计式（2.22）式相比较。 9.证明：Runge-Kutta 方法中);,(h u t ϕ关于u 或t 满足Lipschitz 条件的充分条件是),(u t f 关于t 或u 满足Lipschitz 条件。 10.证明定理2.6.
偏微分方程数值解期末试题及参考答案
《偏微分方程数值解》试卷参考答案与评分标准
专业班级信息与计算科学
开课系室
考试日期 2006.4.14
命题教师王子亭
偏微分方程数值解试题(06A)
参考答案与评分标准
信息与计算科学专业
一（10分）、设矩阵A 对称正定，定义)(),(),(2
1
)(n R x x b x Ax x J ∈-=，证明下
列两个问题等价：(1)求n R x ∈0使 )(min )(0x J x J n
R
x ∈=;(2)求下列方程组的解：b Ax =
解: 设n R x ∈0是)(x J 的最小值点,对于任意的n R x ∈,令
),(2
),()()()(2
000x Ax x b Ax x J x x J λλλλϕ+
-+=+=, (3分)
因此0=λ是)(λϕ的极小值点,0)0('=ϕ,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分) 反
之
,若
n
R x ∈0满足
b
Ax =0,则对于任意的
x ,)(),(2
1
)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+ϕϕ,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分)
评分标准:)(λϕ的表示式3分, 每问3分,推理逻辑性1分
二（10分）、 对于两点边值问题：⎪⎩⎪⎨⎧
==∈=+-=0
)(,0)()
,()(b u a u b a x f qu dx
du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ]
偏微分方程数值解题目汇编
学习-----好资料
更多精品文档题目一、用有限元法求下列边值问题的数值解：
''()112
x -y +y =2sin ,0
y(0)=0,y'()=0.
其中精确解为24
x y =sin()2步长取0.1
h 要求：⑴、将精确解与用有限元得到的数值解画在同一图中
⑵、1h H u u 、2h L u u 、01
h x max u -u 。题目二、用线性元求解下列问题的数值解：
x x u(x,-1)=u(x,1)=0,-1
u (-1,y)=1,u u =0=-2,-1
y <1,
精确到小数点后第六位，画出解曲面。
题目三、用Crank-Nicolson 差分法求解Burger 方程
0,(0,1),(0,5),
,[01]t (1).
t x xx v +vv =v ,x t v(x,0)=sin2x x ;v =v ,t =0，其中取1
要求画出解曲面迭代格式如下：12212121111111111221
42212n n
n n n n j j j j j j
n n n n n n j j j j j j V V V V V V h h V
V V V V V h h
微分方程数值解法课程试验题目
计算实验课
微分方程数值解法数值计算实验题目
一、常微分方程部分：
1．使用四阶Runge-Kutta 方法求解如下初值问题的近似解，并将结果与实际值进行比较。
2．使用四阶Adams 预估校正算法（PECP 和PMECME 方案），初始值用四阶Runge-Kutta 方法提供，并将结果与实际值进行比较。
()2
1u t u -+='，32≤≤t ，()12=u ；精度510-=ε，5.0=h 。
实际解11u t t
=+-。 t
u
u +='1，21≤≤t ，()21=u ；精度510-=ε，2.0=h 。实际解2ln +=t t u 。
二、偏微分方程部分：
1．用有限差分法求解如下Poisson 方程
(),cos3sin ,u x y x y π-∆=，0x π<<，10<
边界条件为： ()(),0,10,u x u x ==01x ≤≤； ()()0,,0,x x u y u y π==10≤≤y 取1,h N
π
=
和21
,h N
=
作矩形剖分，网格节点为1i x ih =，2j y jh =，i ,j =0,1,…,N 。 差分格式为
1,,1,,1,,11222cos3sin i j i j i j i j i j i j i j u u u u u u x y h h π+-+--+-+⎛⎫-+= ⎪⎝⎭
,1,2,,1i j N =-L 边界条件为： 00,0,,,i iN u u i N ===L
01,1,,1,j j u u j N ==-L 1,1,,1,N j N j u u j N -==-L 结果与精确解()()
数值分析--6微分方程数值解习题课
微分方程
初值问题数值解
习题课
一、应用向前欧拉法和改进欧拉法求由如下积分
所确定的函数y在点x =0.5,1.0,1.5的近似值。解：该积分问题等价于常微分方程初值问题
其中h=0.5。其向前欧拉格式为
改进欧拉格式为
将两种计算格式所得结果列于下表
向前欧拉法改进欧拉法
0 0 0 0
1 0.5 0.5 0.44470
2 1.0 0.88940 0.73137
3 1.5 1.0733
4 0.84969
二、应用4阶4步阿达姆斯显格式求解初值问题
取步长h=0.1.
解：4步显式法必须有4个起步值，
已知，其他3个
用4阶龙格库塔方法求出。
本题的信息有：
步长h=0.1；结点
；
经典的4阶龙格库塔公式为
算得
,
,
4阶4步阿达姆斯显格式
由此算出
三、用Euler方法求
问步长
应该如何选取，才能保证算法的稳定性？
解：本题
本题的绝对稳定域为
得
，故步长应满足
四、求梯形方法
的绝对稳定域。
证明：将Euler公式用于试验方程，得到
整理
设计算
时有舍入误差
，则有
据稳定性定义，要想
，只须
因此方法绝对稳定域为复平面
的整个左半平面（？），是A-稳定的。
五、对初值问题
证明：用梯形公式
求得的数值解为
并证明当步长
时，
收敛于该初值问题的精确解证明：由梯形公式，有
整理，得
由此递推公式和初值条件，有
，则有在区间
上有
，步长
，由前面结果有
由x的任意性，得所证。
六。常微分方程初值问题
的单步法为
试求其局部截断误差主项并回答它是几阶精度的？
解该单步公式的局部截断误差是
故局部截断误差主项是
，方法是一阶的。
七、对于微分方程
，已知在等距结点
处的y的值为
，h为步长。试建立求
微分方程作业
P10习题
1.用Euler法和改进的Euler法求u’=-5u (0≤t≤1),u(0)=1的数值解，步长h=0.1,0.05;并比较两个算法的精度。
解：function du=Euler_fun1(t,u)
du=-5*u;clear;
h=0.1;tend=1;N=1/h;t(1)=0;u(1)=1;
t=h.*(0:N);
for n=1:N
u(n+1)=u(n)+h*Euler_fun1(t(n),u(n));
end
plot(t,u,'*');hold on
for n=1:N
v(1)=u(n)+h*Euler_fun1(t(n),u(n));
for k=1:6
v(k+1)=u(n)+h/2*(Euler_fun1(t(n),u(n))+Euler_fun1(t(n+1),v( k)));
end
u(n+1)=v(k+1);
end
plot(t,u,'o');
sol=dsolve('Du=-5*u','u(0)=1');
u_real=eval(sol);
plot(t,u_real,'r');
将上述 h 换为0.05得：
由图像知道:
显然改进的Euler法要比Euler法精确度要高；
3.将u‘’=-u（0≤t≤1)，u(0)=0,u’(0)=1化为一阶方程组，并用Euler 法和改进的的Euler法求解，步长h=0.1,0.05；并比较两个算法的精度。解：
function du=fun31(y)
du=y;
function dy=fun32(u)
dy=-u;
clear;
h=0.1;tend=1;N=1/h;t(1)=0;u(1)=0;y(1)=;
第六章_常微分方程初值问题的数值解法_习题课
.
湖北民族学院理学院《数值计算方法》教学辅导材料
陈以平编写
y (.) y . (. . . sin .) .(. . sin .)
=0.52608
11.用改进的欧拉法平均公式，取步长 h=0.1，求解初值问题
y ( x n 1 ) y ( x n ) hy ( x n )
h2 y ( x n ) O(h 3 ) 2
湖北民族学院理学院《数值计算方法》教学辅导材料
陈以平编写
而且 y ( x n ) f ( x n , y ( x n )) ，因此其局部截断为 Tn 1 y ( x n 1 ) y ( x n ) hf ( x n , y ( x n )) y ( x n ) hy ( x n ) y ( x n ) hy ( x n )
h2 y ( x n ) O(h 3 ) 2 ( ) ( , ( )) y x f x y x x 而且 ，也在 n 处作 Talor 展开，有 n 1 n 1 n 1 y ( x n 1 ) y ( x n ) hy ( x n ) O(h 2 ) y ( x n 1 ) y ( x n ) hy ( x n )
12.（1）取步长 h=0.2,用改进 Euler 法求解常微分方程初值问题 y 2 x y 2, y (0) 0 在 x=0.6 上的解。 （2）对改进 Eluer 格式进行误差分析。 解:（1）改进 Euler 公式 y y i hf ( xi , y i ) ~ i 1 y y h ( f (x , y ) f (x , ~ i 1 i i i i 1 y i 1 )) 2 分别将 x=0.2, 0.4,0.6,代入上式中计算即可！ (2)改进欧拉格式 h yi 1 yi 2 [k1 k2 ] k1 f ( xi , yi ) k f ( x h, y hk ) i i 1 2
微分方程数值解问题复习题
5.二级二阶 Runge-Kutta 格式为
⎧ yn +1 = yn + h(c1 K1 + c2 K 2 ) ⎪ ⎨ K1 = f ( xn , yn ) ⎪ K = f ( x + a h, y + b hK ) n 2 n 21 1 ⎩ 2
要求其局部截断误差为 O(h3 ) ，确定系数 c1 , c2 , a2 , b21 所满足的条件，并具体地给 出一个二级二阶 Runge-Kutta 格式。 解答提示： 格式的局部截断误差为
解答提示： 常微分方程初值问题
⎧ dy ⎪ = f ( x, y ) ⎨ dx ⎪ ⎩ y ( x0 ) = y0
的近似解公式
k ⎧ j ⎪ yn +1 = yn + ∑ a j Δ f n − j j =0 ⎨ ⎪ y , y , ⋅⋅⋅, y k ⎩ 0 1
称为 Admas 外插公式。
1 ⎛ −t ⎞ 其中， a j = (−1) j ∫ ⎜ ⎟dt 就是 Admas 外插公式的系数。 0 ⎝j ⎠
4
1 1 1 1 1 1 K 3 = f ( xn + h, yn + hK 2 ) = λ ( yn + hK 2 ) = λ yn + λ hK 2 = λ yn + λ h(λ + λ 2 h) yn 2 2 2 2 2 2 1 1 = (λ + λ 2 h + λ 3 h 2 ) yn 2 4 1 1 K 4 = f ( xn + h, yn + hK 3 ) = λ ( yn + hK 3 ) = λ yn + λ hK 3 = λ yn + λ h(λ + λ 2 h + λ 3 h 2 ) yn 2 4 1 1 = (λ + λ 2 h + λ 3 h 2 + λ 4 h 3 ) yn 2 4 因此，
微分方程数值解法(戴嘉尊)习题解答
−
y∗ ຫໍສະໝຸດ Baidu+1
=
xn+1 xn
⎡⎣
f
(x,
y(
x))
−
f (xn
+
h 2
,
y(
xn
)
+
h 2
f (xn , yn ))⎤⎦dx
∫=
[ f xn+1
xn
(x,
y(x)) −
f
( xn
+
h 2
,
y ( xn
+
h 2
))
+
f
( xn
+
h 2
,
y( xn
+
h 2
))
−
f
( xn
+
h 2
,
y
(
xn
)
+
h 2
f
h 2
f
(xn , y(xn )) −
yn
−
h 2
f (xn , yn )) |
≤
Lh[|
y(xn ) −
yn
|+
h 2
|
f (xn , y(xn )) −
h 2
f (xn , yn )) |]
≤
Lh(|
偏微分方程数值习题解答
李微分方程数值解习题解答 1-1 如果0)0('
=ϕ，那么称0x 是)(x J 的
驻点〔或稳定点〕.矩阵A 对称〔不必正定〕，求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是：0x 是方程组 b Ax =的解
证明:由)(λϕ的定义与内积的性线性性质,得
),()),((2
1
)()(0000x x b x x x x A x x J λλλλλϕ+-++=+=
),(2
),()(2
00x Ax x b Ax x J λλ+
-+=
),(),()(0'x Ax x b Ax λλϕ+-=
必要性:由0)0('=ϕ,得,对于任何n R x ∈,有
0),(0=-x b Ax ,
由线性代数结论知,
b Ax b Ax ==-00,0
充分性: 由b Ax =0,对于任何n R x ∈,
0|),(),()0(00'=+-==λλϕx Ax x b Ax
即0x 是)(x J 的驻点. §1-2
补充: 证明)(x f 的不同的广义导数几乎处处相等.
证明:设)(2I L f ∈,)(,221I L g g ∈为)(x f 的广义导数,由广义导数的定义可知,对于任意
)()(0I C x ∞∈ϕ,有
⎰⎰-=b
a b
a dx x x f dx x x g )()()()('
1ϕϕ ⎰⎰-=b
a b
a dx x x f dx x x g )()()()('2ϕϕ 两式相减,得到
)(0)()(021I C x g g b
a ∞
∈∀=-⎰ϕϕ 由变分根本引理,21g g -几乎处处为零,即21,g g 几乎处处相等.
补充:证明),(v u a 的连续性条件(1.2.21) 证明: 设'|)(|,|)(|M x q M x p ≤≤,由Schwarz 不等式
微分方程数值解第一章答案
1: 常微分方程的基本概念
微分方程: 常微分方程和偏微分方程 阶 解，通解和特解 定解问题: 初值问题和边值问题
8
微分方程: 常微分方程和偏微分方程 联系着自变量, 未知函数及其导数(微分)的方程, 称为微分方程 .
分类
常微分方程 :未知函数是一元函数
偏微分方程 :未知函数是多元函数
u(tk ) uk , k 0,1, n 未必成立, 且一般 u(tk ) uk , k 0,1, n
26
截断误差
• 局部截断误差Rn：假设第n步精确计算的前 提下，计算解un+1和精确解u(tn+1)的误差 • 整体截断误差n：在考虑误差累积的效应 下，计算解un和精确解u(tn)的误差
12
2 初值问题：标量形式
考虑一阶常微分方程初值问题：
u ' f ( t , u), t0 t T , u( t0 ) u0
存在性：f(t,u)在定义域上连续
唯一性：f(t,u)关于u满足Lipschitz条件
13
常微分方程来源举例1
问题1.1 上上世纪初英国物理学家Rutherford发现放射 性元素的原子是不稳定的,在每一段时间内总有一定比
33
数值求解微分方程过程示意
区域剖分
微分方程离散
微 分 方 程
微分方程数值解答案
特解 — 不含任意常数的解.
例y Cex是方程y y的通解.
例y 2ex是方程y y的特解.
11
➢ 定解条件: 初值问题和边值问题
定解条件 — 确定通解中任意常数的条件.
1) n 阶方程的初始条件(或初值条件):
• 课堂授课+计算实验 • 考核方式: 平时作业+课堂+期末考试 • 任课教师 •
2
教学内容
• 第一章、常微分方程的数值解法 • 第二章、椭圆型方程的差分方法 • 第七章、椭圆型方程的有限元方法 • 第四章、抛物型方程的差分方法 • 第五章、双曲型方程的差分格式
3
第一章 常微分方程初值问题 的数值解法
21
节点 ti 数值解un 精确解ut
0.0 1.0000
0.1 1.0500
0.2 1.1025
0.3 1.1576
0.4 1.2155
0.5 1.2763
y xy, y 2 y 3 y e x ,
(t2 x)dt xdx 0,
z x y, x
9
➢ 微分方程的阶 方程中未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶. 例如：
一阶微分方程
三阶微分方程 一阶微分方程
10
➢ 解, 通解, 特解
微分方程数值解法(戴嘉尊)习题解答
(0 < θ < 1) (lagrange中值定理)
∫ =
y′′(xn+1 + θ (x
− xn+1))
xn+1 xn
(
x
−
xn +1 )dx
( xn
<
x
<
xn +1 )(积分中值定理)
=
−
1 2
h2
y′′( xn +1
+
θ
(x
−
xn +1 ))
若M
=
max
x0 ≤ x≤ X
− y′′(xn+1
+θ(x
(xn ,
yn ))]dx
∫=
xn+1 [y′(x) −
xn
y′(x +
h 2
)]
+
[
f
(
xn
+
h 2
,
y(
xn
+
h 2
))
−
f (xn
+
h 2
,
y( xn
)
+
h 2
f (xn , yn ))]dx
所以上式为
∫ en+1 =
y′′( xn
+θ)
微分方程数值解
y( x )
y ( x h) y ( x h) O( h2 ) 2h
y ( x h) 2 y ( x ) y ( x h) 2 O ( h ) 2 h
斜率一定取K1 K2 的平均值吗？ 步长一定是一个h 吗？
8
一个比较简单而又重要的三阶龙格——库塔公式，称为库塔公式，其为： h yi+1= yi+ (K1+4K2+K3 )
6
K1 K2
K3 =
f ( xi , yi ) h f ( xi+ 1 , yi 2K1 )
f ( xi+1 , yi + h(-K1+2K2) )
x0
x1
yi 1 yi h f ( xi 1 , yi 1 ) ( i 0, ... , N 1)
由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式 欧拉公式， 而前者称为显式 欧拉公式。
局部截断误差： 定义 在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，考虑的截断误差 Ri = y(xi+1) yi+1 称为局部截断误差。
（1）
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习题2
1． 略 2． 略 3． 略
4． 差分格式写成矩阵形式为：
n n M n M n n n M n M n n e u u u u r t r r r t r r r t r r r t u u u u +⎪⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-∆--∆--∆--∆-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-+-++12211221121212121 αβαααβαααβαααβ
矩阵的特征值为：)cos(221M
j r r t j π
ααβλ+-∆-=，要使格式稳定，则特征值须满足
t c j ∆+≤1λ，即2
1≤r α
5． 利用泰勒展式可以得到古典隐式差分格式的截断误差为)(2
h t O +∆。
古典隐式差分格式写成矩阵形式为：
n n M n
M n n
n M n M n n e u u u u u u u u t r r r t r r r t r r r t
r +⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪
⎪
⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛∆++--∆++--∆++--∆++--+-+
-++12
2
112211111121212121
βαααβαααβαααβα
特征值为： 1
))cos(
221(--+∆++=M
j r r t j πααβλ，即：
)(1))2(
cos 41(1
2t o M
j r t j ∆+≤+∆++=-παβλ，所以无条件稳定。 6． 由Von-Neumann 方法，令mh
i n l n m e u βς=，代入差分格式得到增长因子为：
)2
(
sin 41),(2h
r i t G βωβ-=∆，所以1)]2
(
sin 4[1),(22≥+=∆h
r t G βωβ，恒不稳定。
7． n
m n m u v =+1，则原三层格式等价于：
⎝⎛=-+=+--+++-+++n m n m n m n m n m n m n m n m u v v u u u u r u 111111)21()2()1(θθθ，令mh i n l n l n m n
m e v u βης⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，
可以得到格式的增长矩阵为：
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛++-+++012sin 412sin 41212
2
h r h
r βθθ
βθθ， 特征值为)
2
sin 41(22sin 161212
2
h
r h
r βθβθθλ++-±+=
±
2sin θ1+2+（1+8r ）
2
1+2θ〈0时，格式恒不稳定。当2
1-≥θ时，格式无条件稳定。
8． 令 mh
i n l n l n m n m e v u βης⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++1111，则可以得到差分格式的增长矩阵为：
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---+=
∆222
122111
),(c c c c c t G β，特征值为：22121c c i c +±-=±λ，2sin 22h ar c β=，所以
1=±λ，格式无条件稳定。
9. （1）由Von-Neumann 方法，2
2
1
sin sin h h h k G
βββ1
2
（，）=1+c -4r （+）
22
，可以得
到格式的稳定条件为：4
1≤r ； （2）2
2
sin
sin h h k βββ+2
1
2
1
（，h ）=1-c 4r （+）
2
2
G
，无条件稳定。
10. 解：消去
12
n lm
U
*+便可得到
1n lm
U
+与
n lm
U
的关系为
k δ2x r （1-
-c ）22k δ2y r （1--c ）221n lm
U += δ2y r （1+）2δ2x r （1+）2
n
lm U 由Von-Meuman 方法可以得到增长因子
G β（，h ）=
2
2
22sin
sin sin sin 22
h h h h k k c c ββββ-1
2
12
（1-2r ）（1-2r ）
22（1+2r ）（1+2r -）
22
显然无条件稳定