2013届高考理科数学总复习(第1轮)广西专版课件：8.1椭圆(第1课时)

.
y
2
所以所求椭圆的方程为
36
27
1.
(3)因为2a=|PF1|+|PF2|= 2 b 2 由 5，得 b 2 10 .
2
5
，所以a=5.
a

所以所求椭圆的方程为
x
2
3
3
5

3y
2
10
1
或
y
2
5

3x
2
10
1.
点评求椭圆的标准方程，一般是先定 位，即确定焦点在哪条坐标轴上；然后定 量，即求得a、b的值.求a、b的值可用方程 组法(即通过解含a、b的方程组)、定义法 (如第(3)小题用定义求2a).
1 2
故椭圆的离心率e的取值范围是
，1).
a 条件求离心率的值或取值范围，其策略一
点评：椭圆的离心率 e
c
.已知一个
般是先把这个条件转化为关于a，c的式子， c 再转化为 的式子，最后通过解方程或不 a 等式求得离心率的值或取值范围.值得注意 的是隐含条件e∈(0，1).
过椭圆 a 2 b 2 1( a b 0) 的右焦点F作斜率 为1的直线l，交椭圆于A、B两点，M为线段AB 的中点，射线OM交椭圆于点C.
2a c
2
，
y1 y 2 所以点 x1 x 2 2 c
2b c
2
因为点C在椭圆上，
C( 2a c a b
2 2 2
a b
2
2
.
，
2b c a b
2 2
).
所以
4a c
2
2
2 2 2
a b a 即4c2=a2+b2.
因为b2=a2-c2，

4b c
2
2
2 2
2. 求椭圆的方程的方法除了直接根据定 义外，常用待定系数法(先定性、后定型、 再定参). 3. 椭圆的离心率能反映椭圆的扁平程度. 因为a>c>0，所以0<e<1，且 圆越“圆”.
b a 1e
2
.当e越
接近１时椭圆越“扁”；当e越接近０时椭
2 由题意 FA 3 FB ,故|BM|=
3 又由椭圆的第二定义,得 BF
x
2
y 1的右焦点为F,右准线
2
.
2 2 2 3 2 3
，
所以|AF|=
2
.故选A.
3.已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴 在x轴上，离心率为 3 ，且G上一点到G的 2 两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程 2 2 x y . 为 1
b

2
1,
可得
4c
2
2 2
a b
1，
所以4c2=a2+(a2-c2)，可得2a2=5c2，
所以
c a
2 2

2 5
，所以
e
10 5
c a

10 5
.
故椭圆的离心率为
.
1. 椭圆的标准方程有两种形式，尤其 在解题时要防止遗漏.确定椭圆的标准方程 需要三个条件，要确定焦点在哪个坐标轴 上(即定位)，还要确定a、b之值(即定量).若 定位条件不足，应分类讨论.当椭圆的焦点 在哪一个坐标轴上不明确而无法确定标准 方 程 的 形 式 时 ， 可 设 方 程 为 Ax2+By2=1(A>0，B>0)，这样可避免讨论 和繁杂的计算.
(3)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上， 4 2 点P到两焦点的距离分别为 5和 5 ，过P作 3 3 长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点.
解：(1)设椭圆长轴为2a，短轴为2b， 焦距为2c，
a 2 18 5 2 c 5 则 2c 2 5 2 2 2 a b c
是椭圆的右准线.
c
又|PF1|+|PF2|=2a，故|PF1|和|PF2|的等 差中项为a，所以 即-1≤ e∈［ ［
1 2
a c
a
2
又-a≤x≤a，所以-a≤
x a，即 x a . 2 c c a
a
2
-a≤a， c
1
-1≤1，所以 ≤e<1. 2 ，1).
同理可得，当椭圆的焦点在y轴上时，
a b
c
(7)椭圆的参数方程是
x a cos . ( 为参数) y b sin
1.过椭圆 a 2 b 2 1( a b 0)的左焦点F1作x 轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，
x
2
y
2
若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为( B )
A.
2 2
B.
3 3
3. 设椭圆的半长轴长为a，半短轴长为b，半 焦距为c，则a、b、c三者的关系是 a2=b2+c2 ； 焦点在x轴上的椭圆的标准方程 ；焦点在y轴上的椭圆的标 1 a b 0 2 2 a b 准方程是 y x 1 a b 0 . 2 2 a b 是
2
x
2

y
x2 y2 方法 2：依题意，设椭圆 E 的方程为a2＋b2＝1(a＞b＞0)， 3 因为点 C(1，2) 在椭圆 E 上， 所以 2a＝|CF1|＋|CF2|＝4，即 a＝2. 由已知半焦距 c＝1，所以 b2＝a2－c2＝3. x2 y2 所以椭圆 E 的方程为 4 ＋ 3 ＝1.
→ PF → (2)设 P(x0，y0)，则PF1· 2＝t，得(－1－x0，－y0)· (1－x0， －y0)＝t，即 x2＋y2＝t＋1.③ 0 0 x2 y2 0 0 因为点 P 在椭圆 E 上，所以 4 ＋ 3 ＝1.④ 由③得 y2＝t＋1－x2， 0 0 代入④，并整理得 x2＝4(t－2)．⑤ 0 由④知，0≤x2≤4，⑥ 0 综合⑤⑥，解得 2≤t≤3，所以实数 t 的取值范围为[2,3]．
c
(±c,0) ；两
(4)椭圆的离心率e= ;一个焦点到相 a b2 应准线的距离(焦准距)是 . c (5)设P(x0，y0)为椭圆上一点，F１、F２ 分别为椭圆的左、右焦点， 则｜PF1|= a+ex0 ;|PF2|= a-ex0 . (6)对于点P(x0，y0)，若点P在椭圆内， 2 2 则 x 0 y 0 <1 ； 2 2 2 2 x0 y0 a b >1 若点P在椭圆外则 2 2 .
题型二 求椭圆离心率的值或取值范围
2. 设F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭 圆上一点.已知点P到椭圆的一条准线的距离 是|PF1|和|PF2|的等差中项，求椭圆离心率e 的取值范围.
解：当椭圆的焦点在x轴上时，
设P(x，y)是椭圆
上任一点， x
a
2
x a
2 2

y b
2 2
1( a b 0 )
36 9
解：因为e= ，2a=12，
所以a=6，c= 3 3 ,从而b=3， 2 2 x y 则所求椭圆G的方程为
36 9
2
3
. 1
题型一
求椭圆的标准方程
18 5
1. 根据下列条件求椭圆的标准方程：
(1)两准线间的距离为
5
，焦距为2
5
；
1 2
(2)和椭圆
x
2
24

y
2
20
1
共准线，且离心率为 ;
第八章
第
圆锥曲线方程
讲
（第一课时）
考
搜
●椭圆的第一、第二定义，焦点在 点 x轴、y轴上的标准方程
●椭圆的范围、对称性、顶点、焦 索 点、离心率、准线、焦半径等基本性质
1.求椭圆的标准方程，以及基 高 本量的求解. 考 2.以直线与椭圆为背景，探求 猜 参数的值或取值范围，判定椭圆的 想 有关性质，考查知识的综合应用.
a 3 ，解得 b 2 c 5.
所以所求椭圆的方程为
x
2
9

y
2
4
1
或
y
2
9

x
2
4
1
.
(2)设椭圆的方程为
x a
2 2

y b
2 2
1( a b 0)
，
则其准线方程为x=±12.
a2 c 12 a 6 所以 ，解得 b 3 3 c 1 a 2 2 x
1. 平面内与两个定点F１、F2的距离之和 . 等于常数(大于 |F1F2| )的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点F1、F2叫做椭圆的 焦点 .
2. 椭圆也可看成是平面内到一个定点F 的距离与到一条定直线l(点F在直线l外)的距 离之比为常数的点的轨迹，其中这个常数就 是椭圆的 离心率；其取值范围是(0,1) ；这个 定点F是椭圆的一个焦点；这条定直线l是椭 圆的一条准线 .
C.
b
2
1 2
D.
2c
b
2
1 3
解：因为P(-c,± 从而
2 ac a c
2 2
a
)，
再由∠F1PF2=60°，得
3
tan 60
,
,解得
ac 3 e ，故选B. a 3
2.已知椭圆C: 2 为l，点A∈l，线段AF交C于点B，若 FA 3 FB , 则|AF|=( A ) A. 2 B. 2 C. 3 D. 3 解：过点B作BM⊥l于M,并设右准线l与x轴 的交点为N，易知FN=1.
已知椭圆E的两个焦点分别为F1(－1,0)、F2 3 (1,0)，C(1，2)在椭圆E上． (1)求椭圆E的方程； → → (2)若点P在椭圆E上，且满足 PF1 · PF2 ＝t，求实数t的取值范围．