综合评估训练(一)

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综合评估训练（一）专题一、二 （120分钟 150分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合S={x||x-1|≤2,x ∈R},T={x|51,x 1≥+x ∈Z},则S ∩T 等于( )(A){x|0≤x ≤3,x ∈Z} (B){x|-1≤x ≤3,x ∈Z} (C){x|-1≤x ≤4,x ∈Z} (D){x|-1≤x<0,x ∈Z} 2.使复数z 为实数的充分而不必要条件是( )(A)z z = (B)|z|=z (C)z 2为实数 (D)z z +为实数3.已知函数()()f x ,x 0y g x ,x 0>⎧⎪=⎨<⎪⎩是偶函数，f(x)=log a x 的图象过点(2，1)，则y=g(x)对应的图象大致是( )4.下列说法中，正确的是( )(A)命题“若am 2<bm 2,则a<b ”的逆命题是真命题 (B)命题“∃x ∈R,x 2-x>0”的否定是：“∀x ∈R,x 2-x ≤0”(C)命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题 (D)已知x ∈R ，则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件5.已知向量()()a 1,2,b 1,1==r r ，且a a b +λr r r 与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( )(A)(-53，0)∪(0，+∞)(B)(-53,+∞)(C)［-53,0)∪(0,+∞)(D)(-53,0)6.(2011·厦门模拟)已知12001M dx,N cosxdx x 1π⎰=⎰+＝，则由如图程序框图输出的S 为( ) (A)1 (B)ln2(C)2π(D)07.已知f(x)满足：当x ≥4时,()x1f x ()2=；当x<4时,f(x)=f(x+1),则f(2+log 23)=( )(A)124(B)112(C)18(D)388.(2011·西安模拟)已知函数()2x 3,x 1f x ,x 2x 3,x 1+≤⎧=⎨-++>⎩则函数F(x)=f(x)-3x 零点的个数为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)49.(2011·天津模拟)已知方程x2+ax+2b=0(a∈R,b∈R)，其一根在区间(0，1)内，另一根在区间(1，2)内，则z=(a+3)2+b2的取值范围为( )(A)(2，2) (B)(12，4) (C)(1，2) (D)(1，4)10.(2011·济南模拟)设函数f(x)=xsinx+cosx的图象在点(t,f(t))处切线的斜率为k,则函数k=g(t)的部分图象为( )11.(2011·合肥模拟)为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息，设定原信息为a0a1a2，a i∈{0,1}(i=0,1,2)，传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1,h1=h0⊕a2，⊕运算规则为0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0.例如原信息为111，则传输信息为01111，传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是( )(A)11010 (B)01100(C)10111 (D)0001112.已知f(x)是定义在(-∞，+∞)上的函数，导函数f ′(x)满足f ′(x)<f(x)对于x ∈R 恒成立，则( ) (A)f(2)>e 2f(0),f(2 012)>e 2 012f(0) (B)f(2)<e 2f(0),f(2 012)>e 2 012f(0) (C)f(2)>e 2f(0),f(2 012)<e 2 012f(0) (D)f(2)<e 2f(0),f(2 012)<e 2 012f(0)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13.已知函数()3x log x,x 0f x ,2,x 0>⎧=⎨≤⎩则f(f(19))=___________. 14.设偶函数f(x)对任意x ∈R ，都有()()1f x 3f x +=-，且当x ∈［-3，-2］时，f(x)＝2x ，则f(2 012)=___________.15.(2011·南京模拟)已知定义在R 上的函数f(x),g(x)满足()()xf x ag x =,且f ′(x)g(x)<f(x)g ′(x),()()()()f 1f 15,g 1g 12-+=-则a ＝________.16.已知x>0,y>0,且191,x y +=则x+y 的最小值为__________.三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x|log 2(3-x)≤2},集合N {x |y ==(1)求M ，N ；(2)求(U M ð)∩N. 18.(12分)已知函数()lnx f x .x= (1)求函数f(x)在1x e=处的切线方程； (2)设实数a ＞0,求函数F(x)=af(x)在[a,2a]上的最小值.19.(12分)设()22x f x x 1=+，g(x)=ax+5-2a(a ＞0).(1)求f(x)在x ∈［0,1］上的值域；(2)若对于任意x 1∈［0,1］,总存在x 0∈［0,1］,使得g(x 0)=f(x 1)成立,求a 的取值范围.20.(12分)(2011·北京模拟)已知函数()()xa f x (1e x 0,x=->g ）其中e 为自然对数的底数.(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线与坐标轴围成的面积； (2)若函数f(x)存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为e 5,求a 的值.21.(12分)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两桥墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为(2x +万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y 万元. (1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 22.(12分)已知函数f(x)=lnx,()21g x ax bx 2=+ (a ≠0). (1)若a=-2时，函数h(x)=f(x)-g(x)在其定义域上是增函数，求b 的取值范围； (2)在(1)的结论下，设函数φ(x)=e 2x +be x ,x ∈［0,ln2］，求函数φ(x)的最小值；(3)设函数f(x)的图象C 1与函数g(x)的图象C 2交于P 、Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交C 1、C 2于点M 、N ，问是否存在点R ，使C 1在M 处的切线与C 2在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由.答案解析1.【解析】选A.因为S ＝{x|-2≤x-1≤2,x ∈R}＝{x|-1≤x ≤3,x ∈R}，T ＝{x|x 4x 1-+≤0,x ∈Z}={x|-1<x ≤4,x ∈Z}, 所以S ∩T={x|0≤x ≤3,x ∈Z}.2.【解析】选B.因为z z =是z 为实数的充要条件；z 2为实数，如z=i,但其不是实数；而z z +为实数,z 不一定为实数；|z|=z ⇒z ≥0⇒z 为实数，但反之不成立，故选B.3.【解析】选B.由已知y=g(x)的图象过点(-2，1)且在(-≦,0)上为减函数，结合图象选B.4.【解析】选B.逐个验证知B 正确.5.【解析】选A.≧a a b +λr r r与均不是零向量，且其夹角为锐角， ≨a (a b)0+λ>r r rg ，即5+3λ>0,≨5.3λ>- 当a r 与a b +λr r 共线时，可设a b ma +λ=r r r(m ∈R)，即(1+λ,2+λ)=m(1,2),≨1m22m +λ=⎧⎨+λ=⎩,解得λ＝0，即当λ＝0时，a (a b)0,+λ>r r rg 但a r 与a b +λr r 共线，≨λ≠0.故λ的取值范围为5(0)(0).3-+∞U ，， 6.【解析】选B.因为()()()10M ln x 1|ln 11ln 01ln21,=+=+-+=<20N sinx |sinsin01,2ππ==-= 由框图知：当M<N 时，S=M,故S ＝ln2. 7.【解析】选A.≧1<log 23<2, ≨3<2+log 23<4,≨f(2+log 23)=f(3+log 23). 又4<3+log 23<5,≨f(3+log 23)=2log 331(2+）21log 331111()2,28324==⨯=g ≨()21f 2log 3.24+=8.【解析】选B.在同一坐标系中作出函数f(x)和g(x)=3x 的图象，由图象知有两个零点.9.【解析】选B.由已知,令f(x)=x 2+ax+2b,则()()()f 00f 10,f 20>⎧⎪<⎨⎪>⎩即：b 0a 2b 10a b 20>⎧⎪++<⎨⎪++>⎩，作出其可行域如图阴影部分所示，又z=(a+3)2+b 2表示点(-3，0)到区域内点的距离的平方，由图知2min 1z ,2==z max =［-3-(-1)］2=4,≨1z (,4).2∈ 10.【解析】选B.因为f ′(x)=(xsinx)′+(cosx)′=xcosx, 又由已知得k=g(t)=tcost,所以g(t)为奇函数，且在t (0,)2π∈时，k>0，结合图象知，选B. 11.【解析】选C.对于选项中中间三个数a 0a 1a 2，根据新的运算规则计算h 0,h 1,验证其是否正确，经验证知对于C 答案,a 0=0,a 1=1,a 2=1,≨h 0=a 0⊕a 1=0⊕1=1,但h 1=h 0⊕a 2=1⊕1=0,与C 中最后一个数不符，故选C. 12.【解析】选D.构造函数()()xf x F x ,e = 则()()()()()()x x2xx f x e f x e f x f x F x 0,ee '-'-'==< ≨函数F(x)在(-≦，+≦)上是减函数，则F(2)<F(0),即()()20f 2f 0,e e <即f(2)<e 2f(0),同理可得f(2 012)<e 2 012f(0)，故选D.13.【解析】由题知：311f ()log 2,99==- 故()211f (f ())f 22.94-=-== 答案：1414.【解析】≧()()()1f x 6f x ,f x 3+=-=+≨f(x)是以6为周期的函数， ≨f(2 012)=f(6×335+2)=f(2). 又f(x)为偶函数，≨()()21f 2f 22.4-=-== 答案：1415.【解析】令()()()f x h x ,g x =则()()()()()()2f xg x f x g xh x 0g x '-''=<， 故函数h(x)为减函数，即0<a<1.由()()()()()()x f x f 1f 1515a ,,a ,g xg 1g 12a 2-=+=+=-得 解得a=2(舍去)或者1a ,2=故1a 2=.答案：1216.【解析】≧191,x y +=≨()19y 9x x y x y ()101016,x y x y +=++=++≥＝ 当且仅当y 9x ,x y =即y 3x,191x y=⎧⎪⎨+=⎪⎩得：x 4y 12=⎧⎨=⎩时取等号.答案：1617.【解析】(1)由已知得()22log 3x log 4,-≤≨3x 43x 0-≤⎧⎨->⎩,解得-1≤x<3, ≨M={x|-1≤x<3}.N=2x x 61{x |()10}2---≥={x|(x+2)(x-3)≤0}={x|-2≤x ≤3}. (2)由(1)可得U M ð={x|x<-1或x ≥3}. 故(U M ð)∩N={x|-2≤x<-1或x=3}.18.【解析】(1)≧f(x)的定义域为(0,+≦),()lnxf x ,x= ≨()21lnx 1f x ,f ()e,x e -'==-Q 令21k f ()2e ,e='= ≨函数f(x)在1x e =处的切线方程为21y e 2e (x ),e+=- 即y=2e 2x-3e. (2)()()()2a 1lnx F x af x ,x-'='=令F ′(x)=0,得x=e.≧当x ∈(0,e)时,F ′(x)＞0,F(x)在(0,e)上为增函数, 当x ∈(e,+≦)时,F ′(x)＜0,F(x)在(e,+≦)上为减函数, ≨F(x)在[a,2a]上的最小值F(x)min =min{F(a),F(2a)}.≧F(a)-F(2a)=1aln ,22≨当0＜a ≤2时,F(a)-F(2a)≤0, F(x)min =F(a)=lna;当a ＞2时,F(a)-F(2a)＞0,F(x)min =F(2a)=1ln2a.219.【解析】(1)≧()()()()22224x x 12x 2x 4xf x 0x 1x 1+-+'==≥++在x ∈［0,1］上恒成立,≨f(x)在［0,1］上单调递增.又≧f(0)=0,f(1)=1,≨f(x)在x ∈［0,1］上的值域为［0,1］. (2)f(x)的值域为［0,1］,g(x)=ax+5-2a(a ＞0)在x ∈［0,1］上的值域为［5-2a,5-a ］.由条件,只需［0,1］⊆［5-2a,5-a ］.≨52a 05a 4.5a 12-≤⎧⇒≤≤⎨-≥⎩≨a 的取值范围是5[,4].220.【解析】(1)()2x2x ax a f x e ,x -+'= 当a=2时，()2x2x 2x 2f x e ,x -+'=f ′(1)=()12122e e,f 1e,1-+⨯==-所以曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y=ex-2e, 切线与x 轴、y 轴的交点坐标分别为(2，0),(0，-2e)，所以，所求面积为122e 2e.2⨯⨯-=｜｜ (2)因为函数f(x)存在一个极大值点和一个极小值点， 所以,方程x 2-ax+a=0在(0，+≦)内存在两个不相等的实根，则2a 4a 0,a 0⎧∆=->⎨>⎩所以a>4. 设x 1,x 2为函数f(x)的极大值点和极小值点， 则x 1+x 2=a,x 1x 2=a, 因为f(x 1)f(x 2)=e 5,所以,12x x 51212x a x a e e e ,x x --⨯=即()12222x x 5a 5a 5121212x x a x x a a a a e e ,e e ,e e ,x x a +-++-+=== 解得，a=5，此时f(x)有两个极值点， 所以a=5.21.【解析】(1)设需新建n 个桥墩，则(n+1)x=m, 即mn 1,x=- 所以()()(m m y f x 256n n 1(2256(1)2x x x==++=-+256m2m 256.x=+- (2)由(1)知，()132222256m 1m f x mx (x 512).x 22x -'=-+=-令f ′(x)＝0，得32x 512＝，所以x ＝64.当0<x<64时，f ′(x)<0,f(x)在区间(0，64)上为减函数； 当64<x<640时，f ′(x)>0,f(x)在区间(64，640)上为增函数， 所以f(x)在x=64处取得最小值， 此时m 640n 119.x 64=-=-＝ 故需新建9个桥墩才能使y 最小. 22.【解析】(1)依题意：h(x)=lnx+x 2-bx, ≧h(x)在(0，+≦)上是增函数，≨h ′(x)=1x +2x-b ≥0对任意x ∈(0,+≦)恒成立，≨b ≤12x.x +≧x>0,则12x x +≥≨b 的取值范围为(-∞.(2)设t=e x ，y=φ(x),则函数化为y=t 2+bt,t ∈［1,2］,即22b b y (t ,t 1,2,24=+-∈）［］ ≨当b1,2-≤即2b -≤≤函数y 在［1，2］上为增函数，当t=1时，y min =b+1, 当b 122<-<，即-4<b<-2时， 当b t 2=-时,2min b y ;4=-当b2,2-≥即b ≤-4时，函数y 在［1，2］上为减函数，当t=2时，y min =4+2b, 综上所述，()2min42b,b 4bx ,4b 2.4b 1,2b +≤-⎧⎪⎪ϕ=--<<-⎨⎪⎪+-≤≤⎩ (3)设点P 、Q 的坐标分别是(x 1,y 1)、(x 2,y 2)，且0<x 1<x 2，则点M 、N 的横坐标为12x x x 2+=，C 1在M 处的切线斜率为1122k .x x =+C 2在点N 处的切线斜率()122a x x k b.2+=+ 假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行，则k 1=k 2,即()1212a x x 2b.x x 2+=++则()()()2221212112a x x 2x x b x x x x 2--=+-+ ()()22221121a a(x bx )(x bx )g x g x ,22=+-+=- ()()()()22121211x g x g x f x f x lnx lnx ln ,x -=-=-= ≨()2212121121x 2(1)2x x x x ln .x x x x 1x --==++设21x u 1x =>，则()2u 1lnu ,u 1.1u -=>+ ①令()()2u 1r u lnu ,u 1.1u-=->+ 则()()()()222u 114r u u u 1u u 1-'=-=++. ≧u>1,≨r ′(u)>0,所以r(u)在(1,+≦)上单调递增， 故r(u)>r(1)=0,则()2u 1lnu ,u 1->+这与①矛盾， 假设不成立，故不存在点R,使C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行.。