高精度讲解

在这里，用数组 存数串 存数串sa，数组b存数串 存数串sb。 在这里，用数组a存数串 ，数组 存数串 。为了便于以后的计算和 进位处理，在数组a中 我们用a[1]存储数的个位，数组 也一样。 存储数的个位， 也一样。 进位处理，在数组 中，我们用 存储数的个位 数组b也一样 如输入的数为3452345： 如输入的数为 ：
3、加法计算与进位
分析发现，实际上高精度加法运算的过程， 分析发现，实际上高精度加法运算的过程，就是模拟 手工加法竖式运算的过程。 手工加法竖式运算的过程。
1 2 3 4 + 5 6 7 8 -----------6 9 1 2
①运算顺序：两运算数右对齐；从低位向高位运算； 运算顺序：两运算数右对齐；从低位向高位运算； ②运算规则：同一位的两个数相加再加上从低位来的进位， 运算规则：同一位的两个数相加再加上从低位来的进位， 成为该位的和；这个和去掉向高位的进位就成为该位的值； 成为该位的和；这个和去掉向高位的进位就成为该位的值； ③最后一位的进位：如果完成两个数的相加后， 最后一位的进位：如果完成两个数的相加后， 进位位值不为0，则应添加一位； 进位位值不为 ，则应添加一位；
高精度算法
濮阳市第一高级中学
引例
要求1： 、 的范围 的范围： 要求 ：a、b的范围：0—10000 【试题描述】 试题描述】 已知两个正整数a和 。依次求a、 的和 的和。 已知两个正整数 和b。依次求 、b的和。 【样例输入】 样例输入】 999 99 【样例输出】 样例输出】 1098 要求2： 、 的范围 的范围： 要求 ：a、b的范围：0—1000000000
常见的高精度运算：
加法运算 减法运算 乘法运算 除法运算
高精度运算涉及到的主要操作： 高精度运算涉及到的主要操作：
数据的输入和存储 数据的运算
加、减、乘、除运算 加法和乘法的进位 减法的借位和符号确定 除法商和余数的处理
数据的输出
加法运算
已知两个正整数a ），求 的和。 已知两个正整数a和b（<10200），求a、b的和。 分析】 【分析】 1、数据的输入和存储 2、计算结果的位数 3、加法计算与进位 4、结果的输出
示例：已知两个正整数a ），求 的和。 示例：已知两个正整数a和b（<10200），求a、b的和。
１、数据的输入。 数据的输入。 字符串输入： 字符串输入： Var sa,sb:string; 程序中： 程序中： Readln(sa); Readln(sb); ２、数据的存储 数组存储： 数组存储： Var a,b:array[1..200] of integer; 程序中： 程序中： la:=length(sa); for i:= 1 to la do a[i]:=ord(sa[la+1-i])-48; lb:=length(sb); for i:= 1 to lb do b[i]:=ord(sb[lb+1-i])-48;
优点：每一位都是数的形式，可以直接加减；运算时非常方便。 优点：每一位都是数的形式，可以直接加减；运算时非常方便。 缺点：数组不能直接输入；输入时每两位数之间必须有分隔符， 缺点：数组不能直接输入；输入时每两位数之间必须有分隔符，不符合数 值的输入习惯； 值的输入习惯；
字符串：String型字符串的最大长度是255，可以表示255位。 Ansistring型字符串长度不受限制。
1、数据的输入和存储
数据超出标准类型(整型、实型)所能表示的范围，不能直接定 义。我们考虑利用现有的某些标准类型来间接实现数据的输入 和存储。分析发现：在Pascal中，能表示多个数的数据类型有两 在 中 数组和字符串。 种：数组和字符串。 数组：每个数组元素可以存储数的1位（注意此处可优化），操 作数有多少位就需要开辟多少个数组元素的数组。
4、结果的输出
加法运算要注意最高位的输出。 if c[len+1]>0 then len:=len+1; //若最高位有进位，则c的长度为len+1 for i:=len downto 1 do write(c[i]); //输出结果
优点：能输入输出，输入时，每两位数之间不必分隔符，符合数值 的输入习惯； 的输入习惯； 缺点：字符串中的每一位是一个字符，不能直接进行运算， 缺点：字符串中的每一位是一个字符，不能直接进行运算，必须先将它 转化为数值再进行运算；运算时非常不方便； 转化为数值再进行运算；运算时非常不方便；
Pascal语言中的数值型数据类型
实型
类型 Real Single Duble Comp Extended 值域 ..10 10-38..1038 1.5*10-45..3.4*1038 ..3 ..1 5.0*10-324..1.7*10308 ..9 -9.2*1018..9.2*1018 ..1 1.9*10-4951..1.1*104932 长度（字节） 长度（字节） 6 4 8 8 10
程序如下： 程序如下： var a,b,c:integer; begin read(a,b); c:=a+b; writeln(c) end.
var a,b:longint;
要求3： 、 的范围 的范围： 要求 ：a、b的范围：0—9000000000000000000
Var a,b:qword;
总结
2、计算结果的位数
在高精度运算中，要先确定计算结果的位数，以确定 存放计算结果的数组的大小。 加法运算中，结果的位数最大等于两数中较大数的位 结果的位数最大等于两数中较大数的位 +1， 数+1， 987+65，结果1052 如：987+65，结果1052 123+45，结果168 123+45，结果168 加数和被加数的最大位数为3 加数和被加数的最大位数为3 结果的位数为4或3 结果的位数为4 注意要考虑到加法的最高位可能有进位。 若把计算结果存到数组c中， 则var c：array[1..max+1] of integer;
3、加法计算与进位
具体如下： 具体如下： if la>lb then len:=la else len:=lb; for i:=1 to len do c[i]:=a[i]+b[i]; //直接进行加法计算 直接进行加法计算 for i:=1 to len do //进位处理 进位处理 begin c[i+1]:=c[i+1]+c[i] div 10; //向前进位 向前进位 c[i]:=c[i] mod 10; //当前位 当前位 end;
要求4： 、 的范围 的范围： 要求 ：a、b的范围：0—10000000000000000000 exitcode=106 exitcode=201 出错原因： 出错原因： a、b、c的数值范围超出了标准数据类型“整型 所规 、 、 的数值范围超出了标准数据类型 整型”所规 的数值范围超出了标准数据类型“ 定的范围！ 定的范围！
总结
字符串可以将“数”作为“串”直接输入，但不能对 “数串”直接进行加减等运算； 数组不能将“数”直接输入，却可以实现每个数组元 素存储“数”的１位，这样数组每一位都是数的形式 ，可以直接进行运算。 对上面两种数据结构取长补短： 我们采用数串（字符串）形式输入数据，并将其 转化为数组来存储，就解决了高精度的数据输入和存 储问题。
a[max]…a[i]…a[2] a[1] + b[max]…b[i]…b[2] b[1] ___________________________________ c[max+1] c[max]…c[i]…c[2] c[1]
3、加法计算与进位
在这里我们采用先计算后进位的方法。
⑴如果两个加数位数不一样多，则按位数多的一个进行计算； 如果两个加数位数不一样多，则按位数多的一个进行计算； 运算顺序：两运算数右对齐；从低位向高位运算； ⑵运算顺序：两运算数右对齐；从低位向高位运算； ⑶运算规则： 同一位的两个数相加，如果不考虑进位， 运算规则： 同一位的两个数相加，如果不考虑进位， 直接运算的的话， 直接运算的的话，c[i]:=a[i]+b[i]。 。 然后进行进位处理： ⑷然后进行进位处理：若c[i]>=10，则 ， c[i]:=c[i]-10； ； c[i+1]:=c[i+1]+1； ； 我们可借助MOD、DIV运算来实现。 运算来实现。 我们可借助 、 运算来实现 a[max]…a[i]…a[2] a[1] + b[max]…b[i]…b[2] b[1] ___________________________________ c[max+1] c[max]…c[i]…c[2] c[1]
示例：已知两个正整数a ），求 的和。 示例：已知两个正整数a和b（<10200），求a、b的和。
如上面的题目， 如上面的题目，其输入和存储可以这样来实现： const max=200; //a,b用于存储 var a,b,:array [1..max] of integer; //a,b用于存储 数串” sa,sb:string; // “数串”sa和sb，用于输入 数串 sa和sb， la,lb,i:integer；//la为数串sa的长度和lb为sb的长度 为数串sa的长度和lb la,lb,i:integer；//la为数串sa的长度和lb为sb的长度 程序中： 程序中： //输入数串sa和 输入数串sa readln(sa); readln(sb); //输入数串sa和sb //求数串sa的长度 求数串sa la:=length(sa); //求数串sa的长度 for i:= la downto 1 do a[la-i+1]:=ord(sa[i])//将数串sa分离并存储到 将数串sa分离并存储到a a[la-i+1]:=ord(sa[i])-ord('0'); //将数串sa分离并存储到a中 //求数串sb的长度 求数串sb lb:=length(sb); //求数串sb的长度 for i:= lb downto 1 do b[lb-i+1]:=ord(sb[i])-ord('0');//将数串sb分离并存储到 将数串sb分离并存储到b b[lb-i+1]:=ord(sb[i])-ord('0');//将数串sb分离并存储到b中