高数A-2复习题1

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高数复习题与答案

复习题（一）一、选择题1. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001cos)(x x xx x f 在0=x 处( )A 、连续；B 、不连续；C 、为第一类间断点；D 、为第二类间断点.2、已知2)]([)(x f x f ='，则=)()(x f n ( )A 、1)]([+n x f ；B 、n x f n )]([；C 、1][+n f(x)n!；D 、n x f n )]([! 3、设xe y sin =，则dy=（）A 、x d e 22sin ；B 、x d e x sin sin ；C 、x d e x sin 2sin ；D 、xdx e x sin 2sin . 4.函数)(x f 在0x 可导是函数)(x f 在该点连续的（）A 、充分条件；B 、必要条件；C 、充要条件；D 、非充分非必要条件.5、1lim(1)n n n→∞-=( )A.2eB.1C. 1 -eD. e6. 0tan 1lim(sin )x x x x x→-=( )A. 1B. 2C. 0D. 不存在 7、数列收敛是数列有界的（）A 、充分非必要条件；B 、必要非充分条件；C 、充分必要条件；D 、既不充分又不必要条件. 8、0x →时，下列无穷小中，（）是等价无穷小A 、arcsin x x 与 x ；B 、1cos x -与 22x ；C 、1xe -与 2x ；D 、22x x -与 24x x -.9、设1112()1xxe f x e+=+，则0x =是()f x 的（）A 、可去间断点；B 、跳跃间断点；C 、无穷间断点；D 、振荡间断点. 10、函数()f x 在0x 不可导，则()f x 在0x 处（）A 、一定不连续；B 、一定无界；C 、不一定连续；D 、一定无定义.11、设曲线L 的参数方程是2(sin )2(1cos )x t t y t =-⎧⎨=-⎩，则曲线在2t π=处的切线方程是（）A 、x y π-=；B 、4x y π+=-；C 、x y π+=；D 、4x y π-=-.12、设tan ln 2y x =+，则y '=（）A 、1sec 2x +；B 、2sec 2x +； C 、2sec x ；D 、cot x .二、填空题1. 当)(),(),(0x x x x x γβα时，→都是无穷小，且))(o()(x x βα=,)(x β～)(x γ，则)()()(limx x x x x γβα+→=2. 21lim()xx x x→∞+= 3.设a )(=x x f 在连续，且6)1(2tan lima 0=-→xe f x x x x ，则=)a (f ； 4、过曲线xxy -+=66上点（2，2）处的切线方程为； 5、设)0(,)sin(ln >=x x y ，则=dy x d ln 。

高等数学A（二）期末复习题

⾼等数学A（⼆）期末复习题⾼等数学A （⼆）期末复习题⼀、填空题1、设(1,2,1),(2,3,1)a b =-=r r ，则a br r .2、过点()3,4,1-且与直线5123--==-z y x 平⾏的直线⽅程为。

3、⽅程b az y x =+-2224，当0=a ，2=b ；4-=a ，2-=b ；0=a ，0=b 时依次表⽰的曲⾯是，，。

4、曲线222212z x y z x y ì?=+?í?=--??在xoy ⾯内的投影曲线的⽅程是。

5、设22y xy x u +-=，()1,10P ，()=0P u grad , du = 。

6、设,3ln sin 2=-z y y x 则=??xz ，=??y z 。

7、交换积分次序 ()1,dxf x y dy -=蝌。

8、=--??≤+dxdy y x y x 122221 。

9、设D 是xoy 平⾯内的⼀块密度为()y x ,µ的薄板，质量M = 。

10、()=++?ydy e dx my y ex L其中L 为沿上半圆周()0222>=+a ax y x 从点()0,2a A 到点()0,0O 的⼀段弧。

⼆、选择题1、直线37423zy x =-+=-+与平⾯3224=--z y x 的关系是（）（A ）平⾏，但直线不在平⾯上（B ）直线在平⾯上（C ）垂直相交（D ）相交但不垂直 2、下列曲⾯中是旋转抛物⾯的是（）（A ）0422=-+z y x（B ）04222=-+z y x （C ）042222=-+z y x（D ）04222=-+z y x3、()xyz f u =，f 可微，则=??xu （）（A ）dx df （B ）()xyz f ' （C ）()xyz f yz ' （D ）dxdf yz 4、设22z xy u -=，u 在点()1,1,2-处的⽅向导数的最⼤值为（）（A ）62 （B ）4 （C ）()1,1,2-u grad （D ）6 5、设4:22≤+y x D ，f 在D 上连续，则()=+??dxdy y x f D22（）（A ）()ρρρπ?d f 22 （B ）()ρρρπ?ρρπd f 2022 （D ）()ρρρπ?d f 146、⽤格林公式计算()dy xy dx y x c22+-?，其中:c 沿圆222R y x =+逆时针⽅向绕⼀周，则得（）（A ）24203R d d R π-=ρρθ-π（B ）??=D dxdy 00 （C ）2)(422R dxdy y x D π=+?? （D ）3232R d d D π=θρρ??7、若级数()nn n x a 20-∑∞=在2-=x 处收敛，则此级数在5=x 处（）（A ）必发散（B ）必条件收敛（C ）必绝对收敛（D ）敛散性不能确定第⼋章：向量代数与空间解析⼏何1、求过点A （0，1，2）且与直线L ：21111zy x =--=-垂直相交的直线⽅程。

高等数学A复习题第一、二章,高数复习资料

高等数学II-A 复习题集第一章函数与极限一、知识点考点精要（一）几个重要概念1．函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性. 2. 初等函数3．数列极限的定义（δ-ε定义，X -ε定义）(1)(2)(3)0lim ()0,,||x x f x A N st n N x a εε→=⇔∀>∃>⇒-< 4．函数极限的定义（δ-ε定义，X -ε定义）00lim ()0,0,0|||()|x x f x A st x x f x A εδδε→=⇔∀>∃><-<⇒-<lim ()0,0,|||()|x f x A X st x X f x A εε→∞=⇔∀>∃>>⇒-<注意 1。

在上述定义中，若特殊地取A=0，则函数)(x f 叫做0x x →或∞→x 时的无穷小，即无穷小是以0为极限的函数。

0是惟一的作为无穷小的数。

2。

在A x f x x =→)(lim 0的定义中，x 是既从x 0的左侧又从x 0的右侧趋于0x 的。

若仅考虑x从0x 的左侧趋于x 0（记做00+→x x 或+→0x x ），此时把δ<-<||00x x 改为δ+<<00x x x ，那么A 就叫做)(x f 当0x x →时的右极限，记做A x f x x =+→)(lim 0或A x f =+)0(03。

研究0x x →时)(x f 的极限，是为了研究在自变量0x x →的变化过程中)(x f 的性态，此时)(x f 有无极限与)(x f 在点x 0有无定义完全无关。

即使f (x )在点x 0有定义，在讨论0x x →时)(x f 的极限的过程中，函数值)(0x f 不起任何作用，因此定义中要求δ<-<||00x x 。

40 在A x f xka =∞)(lim 的定义中，若x >0且无限增大，则只要把定义中的|x|>X 改为x >X即可得A x f x =+∞→)(lim 的定义。

深圳大学高等数学A_2_期末复习

《高等数学A(2)》期末复习题一.填空题(每题3分，共24分)1.函数)122ln()arccos(2222-+++=y x y x u 的定义域是2.函数z y x xy z y x u 62332222--++++=在原点沿)1,2,1(=方向的方向导数为3.过点)1,2,1(-且平行于直线13121-=-=+zy x 的直线方程是 4.设yxe z =，则=∂∂∂yx u25.设}|),{(222R y x y x D ≤+=，则积分⎰⎰=+-D y x dxdy e )(22 . 6.设⎩⎨⎧≤<+≤<--=.0,1,0,1)(2ππx x x x f ，则其以π2为周期的傅里叶级数在π=x 处收敛于 .7. 已知 2)(=⋅⨯c b a ，则=⋅-⨯+c b a b a)]()[( . 8. 幂级数∑∞=-14)1(n n nnn x 的收敛半径是 .二.单项选择题：(每题3分，共24分) 1.下列各极限都存在,则(0,0)y f 定义为( ).A. x x f y x f x ∆∆+-∆+∆+→∆)0,0()0,0(lim 0B. xf x f x ∆-∆+→∆)0,0()0,0(lim 0 C. x f y x f x ∆-∆+∆+→∆)0,0()0,0(lim 0 D. x f y f x ∆-∆+→∆)0,0()0,0(lim 0 2 .函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处的两个一阶偏导数都连续是函数(,)f x y 在该点处连续的( )条件.A.必要非充分B.充分必要C. 充分非必要D.非充分也非必要 3. 设函数22)(2),(y x y x y x f -+-=的驻点为( ) A. )1,1( B. )1,1(- C. )1,1(- D. )1,1(--4. 函数)cos(y x x z -=，=dz ( ).A. dy y x x dx y x x y x )sin())sin()(cos(-+---B. dy y x x dx y x x y x )sin())sin()(cos(---+-C. dy y x x dx y x x y x )sin())sin()(cos(-+-+-D. dy y x x dx y x x y x )sin())sin()(cos(----- 5. =⎰⎰-dx y x f dy y 21010),(( ).A. dy y x f dx x ⎰⎰-21010),( B.dy y x f dx y ⎰⎰-1010),(2C. dy y x f dx x ⎰⎰-21010),( D.dy y x f dx x ⎰⎰+2101),(6. 设S 表示上半球面0 ,4222≥=++z z y x ，则曲面积分⎰⎰S d σ的几何意义是( )A.上半球体的体积B. z 平面上圆域0 ,422==+z y x 的面积C.上半球面0 ,4222≥=++z z y x 的表面积D. 以上选项都不对 7. 设∑∞=1n n a 是正项级数，则下列结论正确的是( )A. 若0lim=∞→n n na ，则级数 ∑∞=1n na收敛B. 若存在非零常数λ，使得λ=∞→n n na lim ，则级数∑∞=1n n a 发散 C. 若级数∑∞=1n n a 收敛，则0lim 2=∞→n n a n D. 若级数∑∞=1n n a 发散，则存在非零常数λ，使得λ=∞→n n na lim 8. 微分方程x e x y y y 2444+=+'-''的特解具有形式( ) A. x e Bx A 22+ B. x e Cx B Ax 22++ C. x e Cx Bx Ax 222++ D. x Cxe B Ax 22++三．（8分）设函数),(y x z 由方程z xy xyz 2)arctan(=+确定，求x z ∂∂，yz∂∂。

高等数学A(二)试卷及答案

高等数学A （二）考试试卷一、填空题（每小题5分，共25分）1. 设2u 1sin ,2xu e x y x y π-=∂∂∂则在（，）处的值为_________。

2. 改变二次积分10(,)x I dx f x y dy =⎰⎰的积分次序，则I=_______________。

3. 设平面曲线Γ为下半圆周y =22()x y ds Γ+⎰=___________。

4. 若级数1n n u∞=∑的前n 项部分和是：1122(21)n S n =-+，则n u =______________。

5. 设)2,5,3(-=a ，(2,1,4)b =，(1,1,1)c =，若c b a ⊥+μλ，则λ和μ满足。

二、计算题（每小题10分，共70分）1. 求由方程xyz =(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分。

(10分)2. 设21()x t f x e dx -=⎰，求10()f x dx ⎰。

（10分） 3. 计算xzdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由平面0,,1z z y y ===以及抛物柱面2y x =所围成的闭区域。

（10分）4. 计算dy xy ydx x L22+⎰，其中积分路径L 是xoy 平面上由点(2,0)A -顺次通过点(0,2)B 、(2,2)C 到点(2,4)D 的折线段。

（10分） 5. 把函数xx f 431)(+=展为1-x 的幂级数，并确定其收敛域。

6. 求点)3,2,1(-关于平面014=-++z y x 的对称点。

（10分）7. 要建造一个表面积为108平方米的长方形敞口水池，尺寸如何才能容积最大.。

（10分）三、证明题（5分）若0lim =∞→n n na ，且∑∞=+-+11])1[(n n n na a n 收敛于常数A ，试证明级数∑∞=1n n a 收敛。

答案课程名称：高等数学A(二) 试卷编号：5一、填空题。

（每小题5分，共25分）1.22e π，2.101(,)y dy f x y dx ⎰⎰，3.π，4.1(21)(21)n n -+， 5. 076=+μλ二、计算题。

高数A2练习题

⾼数A2练习题1、选择题：1.⽅程是( )(a)、柱⾯ (b)、椭球⾯ (c)、双曲抛物⾯ (d)、锥⾯2、设平⾯⽅程为，其中A，C，D均不为零，则平⾯（）A．平⾏于x轴 B. 平⾏于y轴 C. 经过x轴， D. 经过y轴。

3．已知向量a ，b的模分别为，则 ( )(a)、2 (b)、 (c)、(d)、14．设平⾯⽅程为，且，则平⾯( )(a)、平⾏于x轴 (b)、平⾏于y轴(c)、经过y轴 (d)、垂直于y轴5.向量为共线的单位向量，则它们的內积 ( )(a)、1 (b)、-1 (c)、0 (d)、(a)、 (b)、(c)、 (d)、以上均不正确7、向量（）是单位向量A：（1，1，1） B：（，，） C：（0，-1，0） D：（，0，）8．双曲线绕z轴旋转⽽成的旋转曲⾯的⽅程为（）(a)、 (b)、(c)、 (d)、9、直线的标准⽅程是（）ABCD10、曲⾯z=xy在M0(1,2,2)处的切平⾯为（）A： 2x+y-z=2 B:2x-y+z=2 C:x+2y-z=2 D:2x+y+z=02．函数11.在点处连续是它在该点偏导数存在的（）(a)、必要⽽⾮充分条件， (b)、充分⽽⾮必要条件，(c)、充分必要条件， (d)、既⾮充分以⾮必要条件。

12.已知为某函数的全微分，则为 ( )(a)、－1 (b) 、0 (c)、1 (d)、2。

13、函数在点(0,0)处： ( )(A)连续但不可导 (B)不连续但可导(C)可导且连续 (D)既不连续⼜不可导14、函数在点可微分且在该点取极值，则在点处必有( )(A) (B)且仅与有关(C)且仅与有关 (D)且与和均有关15．函数在点处偏导数存在，是在该点连续的( )(a)、充分条件，但不是必要条件。

(b)、必要条件，但不是充分条件。

(c)、充分必要条件。

(d)、既⾮充分条件，⼜⾮必要条件。

16、⼆元函数在处关系表述正确的是 ( )A. 可微可偏导连续B. 可微可偏导连续C. 可偏导连续, 但可偏导未必可微D. 可微可偏导,可微连续 ,但可偏导未必连续17．函数z=f(x,y)在P0(x0,y0)处有f x/(x0,y0) =0,f y/(x0,y0)=0 则P0点是( ) A：连续点 B：极⼤值点 C：驻点 D：极⼩值点18. 函数在点（0，0）处【】(a)、连续，偏导数存在 (b)、连续，偏导数不存在(c)、不连续，偏导数存在 (d)、不连续，偏导数不存在19.⼆元函数在点的偏导数存在，是在该点可微的（）A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．⽆关条件20.设函数在单连通域D上具有⼀阶连续偏导数，则曲线积分在D域内与路径⽆关的充要条件是( )(a)、 (b)、 (c)、 (d)、21.曲线积分，其中C是圆⼼在原点，关径为的圆周，则积分值为( )(a)、， (b)、， (c)、， (d)、22．设L是圆周，取逆时针⽅向，则曲线积分( )(a)、-1 (b)、1 (c)、0 (d)、223．设，则三重积分等于(a)、0 (b)、 (c)、 (d)、2。

高数(二)期末复习题

1 0
dρ
1 0
ρ3
sin
θ
cos
θ
dz
(C)
π
2
0
dθ
1 0
dρ
1 0
ρ2
sin
θ
cos
θ
dz
(B)
2π 0
1 0
dρ
1 0
ρ2
sin
θ
cos
θ
dz
(D)
π
2
0
dθ
1 0dρFra bibliotek1 0
ρ3
sin
θ
cos
θ
dz
6. 设 L 是 xoy 平面上的有向曲线, 下列曲线积分中, ( ) 是与路径无关的
(A) L 3yx2 dx + x3 dy (C) L 2x y dx − x2 dy
高数(二)期末复习题
只是把高数(二)期末复习题单独拿出来
作者： sikouhjw、xajzh 组织：临时组织起来的重排小组时间： May 29, 2019 版本： 1.00
“不论一个人的数学水平有多高, 只要对数学拥有一颗真诚的心, 他就在自己的心灵上得到了升华。”—SCIbird
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1 声明
7. 设 Σ 是上半圆锥面 z = x2 + y2(0
z
1)
,
则曲面积分
∬
Σ
x2 + y2
dS =
8. 级数
∞ n=1
1 n(n+1)
−
1 2n
的和为
三、综合题( 8 小题, 共 52 分)
1.
求方程
dy dx
=
xy 1+x2

南工大高数A—2答案

南京工业大学高等数学A-2试题（A 、闭）卷解答2009--2010学年第 2 学期使用班级江浦09级一、单项选择题(本大题共5小题, 每小题3分, 总计15分)1、)(A 2 、)(C 3、)(D 4、)(C 5、)(B二、填空题 (本大题共5小题, 每小题3分，总计15分)1 、043=--+z y x 2、32π 3、a 30- 4、 10≤<p 5、0'''=-'-''+y y y y 三、解答下列各题(本大题共4小题，每题7分，总计28分,每题要有必要的解题步骤)1、设数量场586432),,(222+---++=z y x z y x z y x f求：(1)函数f 在点(),1,22处的梯度。

(2)函数f 在点(),1,22处方向导数的最大值。

解：(1){}86,64,42---=z y x gradf ； {}4,2,0)2,1,2(-=gradf………4分 (2)52)2,1,2(=gradf，故f 在点(),1,22处方向导数的最大值为。

………7分 2、计算二次积分⎰⎰-ππππ2sin y dx x x dy 。

解：⎰⎰-ππππ2sin y dx x x dy =⎰⎰+πππ0sin x dy x x dx ………4分 =⎰π0sin xdx =2 ………7分3、求微分方程x e y y y 332-=-'+''的通解。

特征方程3,1032212-==⇒=-+r r r r ,对应齐次方程的通解为x x e C e C Y 321-+= （其中21,C C 为任意常数） ………4分因3-=λ是特征根，设特解为x Axe y 3*-=，其中A 为待定常数，代入原方程，得x xe y A 3*4141--=⇒-= ………6分从而得通解 x x x xe e C e C y 332141---+= ………7分4、计算积分⎰-+-+=-L x dy y y x dx y y x e I )sin ()cos 3sin (42，其中L 是从点)0,(π-A 沿曲线x y sin =到点)0,(πB 的弧段。

高等数学A(2)复习题(统一版、2017年)(1)

7、求过点 (0,1,3) 且与平面 : x 2 y 2 z 1 0 垂直的直线方程，并求出直线与平面的交点坐标.
x 1 y 1 z 垂直相交的直线的方程． 3 2 1 x3 y 2 z 9、求过点 M 0 (1,0,2) 且与平面 3 x 4 y z 6 0 平行，又与直线 L : 垂直的直线方程. 1 4 1

16、过点 ( 2,1,3) 且垂直于直线
x 1 y z 1 的平面方程为 1 2 1
．
17、设一平面通过 z 轴和点 (3,1, 2) ，则其方程为_____________________. 18、直线
x 2 y 1 z 与平面 2 x 4 y 3 z 2 的位置关系为 1 2 2
38、函数 z x 2 y 2 在点（1,2）处沿从点 A（1,2）到点 B（2,2＋ 3 ）的方向的方向导数等于
2y 39、函数 z xe 在点 P(1,0) 处沿从点 P(1,0) 到点 Q( 2,1) 的方向的方向导数等于
40、函数 z ye 2 x 在点（0,1）处沿向量 {
x 2u 2u 1、设 u arctan ，求 2 , . y x xy
u l
M
. .
xe 2 y 在点 P(1, 0) 处沿从点 P(1, 0) 到点 Q(2, 1) 的方向的方向导数为
2、求三元函数 u x 的全微分 du
y z z 3、设函数 z f ( x 2 y , ), 求 , . x x y
x 0 y 0
xy 2 xy 4 sin xy x
=
26、极限 lim
x 0 y 2
.
27、极限 28、 lim x 0

1314高等数学A(二)试题答案济南大学

1 发散, n＝1 n
(n 1, 2,

n＝1
1 1 un发散. un ln(1 n) ln(1 n 1) un 1，
1 且 lim un 0, n ln(1 n )
);
由莱布尼茨定理知
原级数收敛, 从而知其条件收敛.
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偏导数存在
可微分
偏导数连续
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3. 若z=f (x,y)在(x0,y0)处取得极大值, 则g(y)=f(x0,y) 则(
A. g(y)在y0取得最大值; C. y0是g(y)的驻点
B
) B. g(y)在y0取得极大值
T
D.以上都不对.

M
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4. 下列级数中,绝对收敛的是(
时级数收敛时级数发散故收敛半径为 R 3 .
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5.
设函数 f ( x) 是以 2 为周期的周期函数,
在区间 [ , ) 上的表达式为 f ( x) x ，则 f ( x) 的傅里叶级数在 x 处收敛于 . 分析.
1 端点处收敛于 [ f ( ) f ( )] 2 1 ( ) 0. 2
解: 看作任意项级数,直接由比值审敛法求收敛半径.
(n 2) x n1 3n1
(n 1) x n 3n
un1 ( x) lim lim n u ( x ) n n
n2 1 lim x x n 3( n 1) 3
1 当 x 1, 3 1 当 x 1, 3

高等数学AⅡ参考答案

1、1．设是平面上以三点和为顶点的三角形区域，是的第一象限部分，则( A )。

（A）；（B）；（C）；（D）。

2.下列级数中发散的级数是（C ）。

（A）；（B）；（C）；（D）。

3.设幂级数在处条件收敛，则该级数在处是（ A ）。

（A）绝对收敛；（B）条件收敛；（C）发散；（D）以上结论都不对。

4.设在展开成正弦级数为，且，则（ C ）。

（A）；（B）；（C）；（D）以上结论都不对。

二 5.设闭区域由曲线与所围成，则。

6. 设曲线方程为，则。

7. 将展开成的幂级数为。

8. 设，则。

三9.分别用先二后一和柱坐标的方法计算三重积分，其中是由曲面及所围成的闭区域。

解先二后一1柱坐标的柱坐标为，则=10.设为锥面及平面所围成闭区域的边界曲面，计算。

解：如图，其中，故=+=+11. 设为从点沿曲线到点的弧，其中为正的常数，计算。

解;作辅助线，若设与所围闭区域为，则，故12. 设是球面的上侧，计算。

解；作曲面，朝下。

则其中（先二后一）由，朝下，有，故13. 求幂级数的收敛域及和函数。

解由，可知幂级数收敛半径为1，且与均发散，故幂级数收敛域为。

当时故当时四、（10分）。

14.常数取什么值使得在平面存在二元函数满足，且，并求出函数。

解（1）设，故取值使得等式成立，即成立时存在二元函数满足条件，故，且O（0，0）B（x，y）A（x，0）其中五、（每小题4分，共8分）。

15．计算积分，其中为圆周。

解：注意到，取做曲线方向为逆时针，设曲线围成复连通区域为，显然在满足格林公式条件，故，可得，其中为所围区域。

16．判别级数的敛散性，并给出理由。

解：显然级数是正项级数且注意到，故收敛，故也收敛。

描述[←1]。

南京工业大学高等数学A-2期末考试试卷A解答(2014.06)

x
y
……2 分
由格林公式 (2xy 2 y)dx (x2 4x)dy (Q P )dxdy
L
D x y
(2)dxdy (2) 9 18
D
南京工业大学第 1 页共 3 页
……2 分 ……3 分
四、解答下列各题(本大题共 4 小题，每小题 7 分，总计 28 分,每题要有必要的解题步骤)
1、1,1, 2 2、 y 4y 4y 0 3、 4
4、
n0
(1)n 2n1
(x

2)n
(0 x 4) 5、 0
三、解答下列各题(本大题共 4 小题，每小题 7 分，总计 28 分,每题要有必要的解题步骤)
1、解： gradf 2x 4,4 y 6,6z 8; gradf (2,1,2) 0,2,4
1、解：由条件可知 dy 2x y ，且 y 0 0
dx
……2 分
其通解为
y

e
dx

2xedxdx c ex 2
xexdx c cex 2x 2
……4 分
将 y 0 0 代入通解中，得 c 2 ，故所求曲线方程为 y 2ex 2x 2
……3 分
比较得最大值： f (0, 2) f (0, 2) 25 ，最小值： f (0, 0) 9
……2 分

3、解：先考查
n1
(1)n
1 3n
n

n1
1 3n n
，记 un
1 ，则 3n n
lim un1 u n
n

lim
n

高数A(Ⅱ)总复习一 (微分方程、级数)

1 x

x ( x 1) e dx c

1 x x c ( xe c) e x x
f (1) = e 代入，得 c = 0
∴ f (x) = ex
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高等数学（A）I
2. 二阶常系数非齐次线性微分方程 y"- 4y' + 3y= 4xe3x 的
高等数学（A）I
1. 解微分方程 xf ( x) f ( x) （x 1)e x , f (1) e.
解:
1 x 1 x P( x) , Q( x) e x x
∴ 通解为
f ( x)
1 dx e x
1 dx x 1 x x e e d x c x
高等数学（A）I
6. 任意项级数的比值判别法和根值判别法
un 1 ∑un为任意项级数， lim ( 或 lim n | un | ) n un n
① ρ< 1 ，级数绝对收敛 ② ρ> 1 或为+∞，级数发散 ③ ρ= 1 ，另行判定
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n 1
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*例. 级数 A. 收敛;
高等数学（A ）I
n2
(1) n n (1)
n
的收敛性为【 A 】 C．不确定； D. A, B, C 都不对
( n 2, 3,...)
B. 发散 ;
1 1 1 解： S2n-1 = 1 3 4 56 (2n 1) (2n)

高数A(二)复习试卷

上海大学高数A （二）复习试卷一、求下列导数与极限（1）⎰=x x dt t x F cos sin cos )(2π 求：)(x F '（2）⎰=Φ2x x dx x x sin ln )( 求：)(x Φ'（3）设)(x f 为连续的偶函数，且⎰⎰+=-xx dt t f dt t f x g 10)()()( 求：)('x g （4）)cos()ln(lim )sin(x dtt t x x -+⎰>-1120（5）dt t t x x x ⎰+∞→310221lim（6）求：⎰-=201x dt t t x f arctan )()(的极值点（7）利用定积分定义求：)......(lim 22222212111n n n n n n ++++++∞→二、估计积分成立⎰---<<212121222dx e e x三、计算定积分、广义积分：（1）dx x x x )sin cos (++⎰-ππ21（2）⎰-2121dx x x（3）⎰++31022112x x dx)(（4）⎰--212121dx x xx arcsin （5）⎰π06xdx x sin（6）⎰+-10223x x dx（7）⎰∞221dx x x ln（8）⎰+4021πdx x xcos（9）⎰∞++04)(x x dx（10）dx x x ⎰--+11225)( （11）设⎰=21x dt t t x f sin )(，求：⎰10dx x f x )( （12）dx xx x ⎰+π021cos sin （13）已知⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+=011011x e x x x f x)( 求：⎰-201dx x f )( （14）dt e t ⎰∞+-0（15）已知：⎩⎨⎧≤<-≤≤=21210x x x x x f )( 求：（1）⎰-=200dx e x f S x )( （2）⎰+--=)()(1222n n x n dx e n x f S （16）求：x d x xf ⎰10)(，其中⎰-=221x t dt e x f )( 四、证明题： 1. 设)(x f 在[]10,上连续，且1<)(x f ，证⎰=-xdt t f x 012)(在[]10,上只有一个解。

高数A2复习题

高数A2复习题一、极限的概念与性质1. 定义极限的概念，解释左极限和右极限的区别。

2. 给出极限存在的几个基本性质，并举例说明。

3. 解释无穷小的概念，并说明无穷小与极限的关系。

二、极限的运算法则1. 列出极限的四则运算法则，并给出相应的证明。

2. 解释复合函数的极限运算法则。

3. 举例说明如何使用夹逼定理求解极限。

三、连续性与间断点1. 定义函数的连续性，并解释连续函数的性质。

2. 列举并解释函数的几种间断点类型。

3. 给出判断函数在某点连续性的常用方法。

四、导数的概念与性质1. 定义导数的概念，并解释导数的几何意义。

2. 列出导数的基本性质，包括和、差、积、商的导数公式。

3. 解释复合函数的导数公式，并给出证明。

五、高阶导数1. 解释高阶导数的概念，并给出求解高阶导数的一般步骤。

2. 举例说明如何求解复杂函数的高阶导数。

六、微分的概念与应用1. 定义微分的概念，并解释微分与导数的关系。

2. 列出微分的运算法则，并给出相应的证明。

3. 解释线性近似的概念，并举例说明其应用。

七、泰勒公式与麦克劳林公式1. 给出泰勒公式的一般形式，并解释其意义。

2. 列出几个常用函数的麦克劳林展开式。

3. 解释泰勒公式在近似计算中的应用。

八、不定积分的概念与性质1. 定义不定积分的概念，并解释原函数与不定积分的关系。

2. 列出不定积分的基本性质，包括线性性质和加法性质。

3. 解释不定积分与定积分的关系。

九、基本积分技巧1. 列出并解释几种基本的积分技巧，如换元积分法、分部积分法。

2. 举例说明如何使用这些技巧求解积分问题。

十、定积分的概念与计算1. 定义定积分的概念，并解释其几何意义。

2. 列出定积分的基本性质，并给出相应的证明。

3. 解释如何使用不定积分来计算定积分。

十一、定积分的应用1. 解释定积分在几何问题中的应用，如面积、体积的计算。

2. 解释定积分在物理问题中的应用，如质心、转动惯量等。

3. 举例说明定积分在实际问题中的应用。

高等数学A(二)答案详解

一、单项选择题（每小题3分，共30分）请将答案填在下面表格内！切记！题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B B C A C A D D 得分1、已知向量(1,1,0)MA = ，(1,0,1)MB =，则AMB ∠=（）。

(A) 3π (B)6π (C) 4π (D) 2π2、函数()y x f ,在点()00,y x 处可微分是()y x f ,在该点处连续的（）条件。

(A) 充分 (B) 必要 (C) 充分必要 (D) 既不充分也不必要3、函数22y x z -=在点)1,1(沿方向(1,3)的方向导数为（）。

（A ）31+ （B ）31- （C ）6 （D ）74、曲面22214x y z ++=在点(1,2,3)处的切平面方程为（）（A ）23140x y z +++= （B ）23140x y z ++-= （C ）2370x y z +++=（D ）2370x y z ++-=5、设()y x f ,为连续函数，则二次积分⎰⎰11),(ydx y x f dy 交换积分次序后为（）。

(A) dy y x f dx x⎰⎰112),( (B) ⎰⎰11),(dy y x f dx (C) dy y x f dx x ⎰⎰201),( (D) ⎰⎰110),(ydy y x f dx6、Lxds =⎰（）其中L 为抛物线2y x =上01x ≤≤的弧段。

(A)()155112- (B) 551- (C)112 (D)()15518- 7、设∑为球面2222R z y x =++，则曲面积分=++⎰⎰∑dS z y x )(222（）。

(A)4R π (B)42R π (C)44R π (D)46R π 8、下列级数中，条件收敛的是（）。

（A ）()-+-=∞∑124131n n n n （B ）()-⎛⎝ ⎫⎭⎪-=∞∑12311n nn（C ）()--=∞∑11121n n n （D ）()--=∞∑11211n n n n 9、幂级数20n n n e x ∞=∑的收敛半径=R （）。