广东省揭阳一中、潮州金山中学2015届高三上学期暑假联考数学(文)试题 Word版含答案
广东省揭阳一中、潮州金山中学2015届高三上学期暑假联考理科数学试卷(解析版)
广东省揭阳一中、潮州金山中学2015届高三上学期暑假联考理科数学试卷（解析版）一、选择题1．若集合{}0P y y =≥，P Q Q ⋂=，则集合Q 不可能是（ ） A ．∅ B ．{}2,R y y x x =∈ C ．{}2,R xy y x =∈ D ．{}2log ,0y y x x => 【答案】D【解析】试题分析：由对数函数的性质，x>0时，2y log x R =∈，所以，集合Q 不可能是{}2log,0y y x x =>，选D .考点：1.集合的基本运算；2.函数的值域.2．若复数z 满足2iz =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（ ） A.2- B.2 C.2i - D.2i 【答案】A【解析】试题分析：由2iz =得22z i i=--，所以，z 的虚部为2-，选A . 考点：1.复数的概念；2.复数的四则运算. 3．已知R a ∈且0≠a ，则“11<a”是 “1a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】试题分析：1a >时，11<a ；反之，11<a时，10,1a a a ->>或0a <， 所以“11<a”是 “1a >”的必要不充分条件. 选B . 考点：1.充要要件；2.分式不等式的解法.4．某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为：不超过50 kg 按0.53元/kg 收费，超过50 kg 的部分按0.85元/kg 收费.相应收费系统的流程图如右图所示，则①处应填（ ）A ．0.85y x =B ．500.53(50)0.85y x =⨯+-⨯C ．0.53y x =D ．500.530.85y x =⨯+ 【答案】B【解析】试题分析：由已知，500.53(50)0.85y x =⨯+-⨯，故选B . 考点：1.算法与程序框图；2.函数的概念.5．在△ABC 中，3sin 5A =，8AB AC ⋅=，则△ABC 的面积为（ ） A.3 B.4 C.6 D.125【答案】A【解析】试题分析：由已知，||||c o s 8,A B A C A B A C A ⋅=⋅=所以，||||8,||||10AB AC AB AC ⋅=⋅=，三角形的面积为113||||sinA 103225AB AC ⋅=⨯⨯=，故选A . 考点：1.平面向量的数量积；2.三角形的面积.6．一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是（ ）A ．21 B ．1 C ．23D ．2【答案】A【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是一四棱锥，底面是直角梯形，两底分别为12，，=四棱锥的高为2，所以，几何体的体积为111(12)3222⨯+=.选A .考点：1.三视图；2.几何体的体积.7．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）A.14 B. 15 C. 16 D. 17【答案】C【解析】试题分析：由题意知，这是一个几何概型概率的计算问题.正方形的面积为1，阴影部分的面积为3120121211|232326x -=-=-=⎰，故选C ． 考点：1.定积分的应用；2.几何概型.8．设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0M >，使|()|||f x M x ≤对一切实数x 均成立，则称()f x 为“倍约束函数”．现给出下列函数：①()2f x x =；②2()1f x x =+；③()sin cos f x x x =+；④2()3xf x x x =-+；⑤()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切1x ，2x 均有1212|()()|2||f x f x x x -≤-．其中是“倍约束函数”的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】C【解析】试题分析：∵对任意x R ∈，存在0M >，都有|()|||f x M x ≤成立，∴对任意x R ∈，存在正数M ，都有M ≥∴对于①()2f x x =，易知存在2M =符合题意；2112x x x x+==+≥，故不存在满足条件的M 值，故②不是；对于③，由于0x =时|()|||f x M x ≤不成立，故③不是；2|1|3x x =≤-+对于⑤，当120x x x ==，时，由1212|()()|2||f x f x x x -≤-得到||2f x x ≤（）成立，这样的M 存在，故⑤是；故是“倍约束函数”的函数有3个，故选C . 考点：1.新定义；2.函数的定义域、值域；3.基本不等式.二、填空题9．不等式316x x ++-≥的解集是 ． 【答案】(][),42,-∞-⋃+∞【解析】试题分析：由绝对值的几何意义，数轴上3,1-之间的距离为4，结合图形，当x 落在数轴上4,2-外时.满足不等式，故答案为(][),42,-∞-⋃+∞.考点：不等式选讲.10．若52345012345(12),x a a x a x a x a x a x +=+++++则3a = . 【答案】80【解析】试题分析：由于3a 是展开式中第四项的系数，而333451(2)80T C x x =⨯⨯=.所以，3a =80.考点：二项式定理. 11．若等比数列{}n a 的各项均为正数,且512911102e a a a a =+,则1220ln ln ln a a a +++= .【答案】50【解析】试题分析：由等比数列的性质得，21951a q e =，所以1l n a a ++2012 (19219105)122011ln(a a ......a )ln(a )ln(a )10ln 50q q e +++====.考点：1.等比数列等而性质；2.对数的性质.12．设1F 、2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=，则椭圆的离心率为 .【解析】试题分析：由已知，2PF x ⊥轴，所以将x c =代入()2222:10x y C a b a b +=>>，可得22|||y |Pb PF a==，所以由20212||tan 30||2b PF a F F c ==得，2330e +-=，解得e e ==. 考点：椭圆的几何性质.13．设x 、y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为4，则2a bab+的最小值为 .【答案】32+【解析】试题分析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线()0,0z a x b y a b =+>>过直线220x y -+=与直线840x y --=的交点14A （，）时，目标函数()0,0z ax by a b =+>>取得最大4，即44a b +=.=121121813()(4)(6)(64442a b a b b a b a b a +=++=++≥+=，故2a bab+的最小值为32+考点：1.简单线性规划；2.基本不等式.14．已知圆的极坐标方程为2cos ρθ=，则该圆的圆心到直线sin 2cos 1ρθρθ+= 的距离是 .【答案】5;【解析】试题分析：将极坐标方程化为普通方程即2220x y x +-=，210x y +-=，所以圆心(1,0)=考点：1.极坐标；2.点到直线的距离.15．几何证明选讲选做题）如图，已知点D 在圆O 直径AB 的延长线上，过D 作圆O 的切线,切点为.C若1CD BD ==,则圆O 的面积为 .【答案】π【解析】试题分析：由已知得2(2),CD BD BD OA =+所以1,OA =故圆O 的面积为π. 考点：1.切割线定理；2.圆的面积.三、解答题16．设(3,sin 2)a x =-, (cos2b x =,()f x a b =⋅ （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的最大值及取最大值时x 的集合； （3）求满足()f α=0απ<<的角α的值． 【答案】（1）π；（2）最大值 x 的集合为{|,}12Z x x k k ππ=-∈．（3）7412ππα=或． 【解析】试题分析：（1）应用二倍角公式及两角和差的三角函数公式将()3cos22f x x x =化简得到(x))6f x π=+即得最小正周期； （2）由22,6Z x k k ππ+=∈，得,12Z x k k ππ=-∈，此时()f x 有最大值.（3）由()f α=1cos(2)62πα+=-， 又由0απ<<得22666πππαπ<+<+，可得242633πππα+=或，进一步求解.试题解析：（1）()3cos22f x x x = 1分=1sin 2)22x x - 3分 )6x π=+ 5分最小正周期22T π==π 6分（2）当22,6Z x k k ππ+=∈，即,12Z x k k ππ=-∈时，()f x 有最大值此时，所求x 的集合为{|,}12Z x x k k ππ=-∈． 9分（3）由()f α=)6πα+= 得1cos(2)62πα+=- 10分 又由0απ<<得 22666πππαπ<+<+， 故242633πππα+=或，解得7412ππα=或． 12分考点：1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质.17．某市,,,A B C D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查． （1）问,,,A B C D 四所中学各抽取多少名学生？（2）在参加问卷调查的50名学生中，从来自,A C 两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用ξ表示抽得A 中学的学生人数，求ξ的分布列，数学期望和方差． 【答案】（1）抽取的学生人数分别为．（2）ξ的分布列为：3176012202205E ξ=⨯+⨯+⨯=【解析】试题分析：（1）由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为12．进一步计算可得；（2）依题意知，ξ的可能取值为0,1,2，计算概率即得ξ的分布列为：22263616723(0)(1)(2)5205252050D ξ=-⋅+-⋅+-⋅=试题解析：（1）由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为．∴应从四所中学抽取的学生人数分别为． 4分（2）由（1）知，50名学生中，来自,A C 两所中学的学生人数分别为15,10． 依题意得，ξ的可能取值为0,1,2， 5分2102253(0)20C P C ξ===，1115102251(1)2C C P C ξ===，2152257(2)20C P C ξ===． 8分 ∴ξ的分布列为：3176012202205E ξ=⨯+⨯+⨯= 10分22263616723(0)(1)(2)5205252050D ξ=-⋅+-⋅+-⋅= 12分考点：1.随机抽样；2.随机变量的分布列、数学期望.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB //CD ，AB AD ⊥，4,2AB AD CD ===，PA ⊥平面ABCD ，4PA =.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）设点Q 为线段PB 上一点，且直线QC 与平面PAC PQPB的值．PDCBA【答案】（1）证明：见解析；（2）PQ PB的值为127=k .【解析】试题分析：解答该题可有两种思路，一是利用空间向量方法；二是利用几何法.注意到建立空间直角坐标系较为方便，因此利用“向量法”较好.（1）以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，通过计算(4)2000BD AC ⋅=-⨯+⨯=，(4)00040BD AP ⋅=-⨯++⨯=.证得BD AC ⊥，BD AP ⊥. 进一步得证. （2）设PQPBλ=（其中01λ≤≤），(,,)Qxyz ，线QC 与平面PAC 所成角为θ.所以PQ PB λ=. 所以(,,4)(4,0,4)x y z λ-=-.∴4,0,44,x y z λλ=⎧⎪=⎨⎪=-+⎩即(4,0,44)Q λλ-+∴(42,44)CQ λλ=---+. 由平面PAC的一个法向量为(BD =-.计算得到sin cos ,CQ BD CQ BD CQ BDθ⋅=<>=⋅，根据3=.解得 7[0,1]12λ=∈. 试题解析：（1）证明：因为AP ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，所以以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(4,0,0)B ，(0,0,4)P ，D，C . 2分所以 (BD =-，AC=，(0,0,4)AP =， 所以(4)2000BD AC ⋅=-⨯+⨯=，(4)00040BD AP ⋅=-⨯++⨯=.所以 BD AC ⊥，BD AP ⊥. 4分z yxPD CBA因为 APAC A =，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，所以 BD ⊥平面PAC . 6分 （2）解：设PQPBλ=（其中01λ≤≤），(,,)Qxyz ，线QC 与平面PAC 所成角为θ.所以PQ PB λ=. 所以(,,4)(4,0,4)x y z λ-=-.∴4,0,44,x y z λλ=⎧⎪=⎨⎪=-+⎩即(4,0,44)Q λλ-+∴(42,44)CQ λλ=---+. 9分 由（1）知平面PAC的一个法向量为(BD =-.因为 sin cos ,CQ BD CQ BD CQ BDθ⋅=<>=⋅，12分得3=.解得 7[0,1]12λ=∈.所以712PQ PB =. 14分法2：(1) 依题意：Rt BAD ∆∽Rt ADC ∆,所以ABD DAC ∠=∠，又因为090ABD ADB ∠+∠=， 所以090ADB DAC ∠+∠=，所以BD AC ⊥ ..2分 又因为PA ⊥平面ABCD ，BD Ì平面ABCD所以BD AP ⊥ ..4分 因为AP AC A =，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ， 所以BD ⊥平面PAC . 6分C（2）解：设PQPBλ=（01λ≤≤），(,,)Qxyz ，直线QC 与平面PAC 所成角为θ.记AC 交BD 于O ，连结PO .过Q 作QE 平行于BD ，交PO 于E . 连结CE 、CQ . 由（1）知，BD ⊥平面PAC ，∴QE ⊥平面PAC ，∴QCE ∠即为CQ 与平面PAC 所成角.∴33sin ==∠CQ QE QCE ①. 8分设k PB PQ =（10≤≤k ），则k BOQE=. 在ACD Rt ∆中， 2=CD ，22=AD ，∴32=AC . 易证ACD ∆∽BAO ∆，∴AD BOAC AB =，即22324BO =，∴3BO =∴k QE 364= ②. 在PAB Rt ∆中， 4=PA ，4=AB ，∴24=PB ，∴k PQ 24=.在PAC Rt ∆中， 4=PA ，32=AC ，∴72=PC .根据余弦定理有：PCPQ CQ PC PQ PC PB BC PC PB ⋅-+=⋅-+22222222， 12分 即kCQ k 24722)72()24(72242)32()72()24(222222⨯⨯-+=⨯⨯-+，解得28483222+-=k k CQ ③. 将②，③代入①，解得127=k . 14分 考点：1.空间垂直关系；2.空间的角；3.空间向量方法.19．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n 都有612n n S a =-记12log n n b a =．（1）求1a ,2a 的值；（2）求数列{}n b 的通项公式；（3）令221(2)(1)n n n c n b +=+-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明:对于任意的*n N ∈,都有564n T <． 【答案】（1）118a =,2132a =．（2）21nb n =+．（3）证明:见解析. 【解析】试题分析：（1）由11612S a =-，解得118a =．由22612S a =-，2132a =． （2）由612n n S a =- ①， 当2n ≥时， 11612n n S a --=- ②，①－②得：114n n a a -=， 12111111842n n n n a a q -+-⎛⎫⎛⎫∴==⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，进一步可得21n b n =+．（3）思路:由（2）有22221111(2)(2)16(2)n n c n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦. 由“裂项相消法”求和，“放缩法”得证.试题解析：（1）由11612S a =-，得11612a a =-，解得118a =． 1分 22612S a =-，得()122612a a a +=-，解得2132a =． 3分 （2）由612n n S a =- ①，当2n ≥时，有11612n n S a --=- ②， 4分 ①－②得：114n n a a -=， ５分 ∴数列{}n a 是首项118a =，公比14q =的等比数列 ６分12111111842n n n n a a q -+-⎛⎫⎛⎫∴==⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ７分2111221log log 212n n n b a n +⎛⎫∴===+ ⎪⎝⎭． ８分（3）证明:由（2）有22221111(2)(2)16(2)n n c n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦. 10分222222222111111111111632435(1)(1)(2)n T n n n n ⎡⎤=-+-+-++-+-⎢⎥-++⎣⎦… 12分 ])2n (1)1n (1211[161222+-+-+= 13分 645)211(1612=+<. 14分 考点：1.数列的通项；2.等比数列的性质；3.“裂项相消法”；4.转化与化归思想.20．如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>C 的左顶点T 为圆心作圆T ：222(2)(0)x y r r ++=>，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N ． （1）求椭圆C 的方程；（2）求TM TN ⋅的最小值，并求此时圆T 的方程；（3）设点P 是椭圆C 上异于M ,N 的任意一点，且直线,MP NP 分别与x 轴交于点,R S ，O 为坐标原点，求证：OR OS ⋅为定值．【答案】（1）2214x y += ．（2）2213(2)25x y ++=．（3）见解析.【解析】试题分析：（1）依题意，得2a =，2c e a ==，1c b ===，即得解； （2）点M 与点N 关于x 轴对称，设),(11y x M ，),(11y x N -， 不妨设01>y ． 由于点M 在椭圆C 上，可得412121xy -=． （*）由已知(2,T -，计算22111111(2,)(2,)(2)TM TN x y x y x y ⋅=+⋅+-=+-51)58(4521-+=x ． 根据221<<-x ，知当581-=x 时，TM TN ⋅取得最小值为15-． 由（*）式，531=y ，将83(,)55M -代入圆的方程得到21325r =．（3） 设),(00y x P ，则直线MP 的方程为：)(010100x x x x y y y y ---=-，确定101001y y y x y x x R --=， 101001y y y x y x x S ++=，计算212021202021y y y x y x x x S R --=⋅ （**） 又由点M 与点P 在椭圆上， )1(42020y x -=，)1(42121y x -=，代入（**）式，得：4)(4)1(4)1(421202120212021202021=--=----=⋅y y y y y y y y y y x x S R ．试题解析：（1）依题意，得2a =，c e a ==，1,322=-==∴c a b c ； 故椭圆C 的方程为2214x y += ． 3分 （2）点M 与点N 关于x 轴对称，设),(11y x M ，),(11y x N -， 不妨设01>y ． 由于点M 在椭圆C 上，所以412121xy -=． （*） 4分由已知(2,0)T -，则),2(11y x +=，),2(11y x -+=，21211111)2(),2(),2(y x y x y x TN TM -+=-+⋅+=⋅∴3445)41()2(1212121++=--+=x x x x 51)58(4521-+=x ． 6分由于221<<-x ，故当581-=x 时，TM TN ⋅取得最小值为15-． 由（*）式，531=y ，故83(,)55M -，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到21325r =．故圆T 的方程为：2213(2)25x y ++=． 8分（3） 设),(00y x P ，则直线MP 的方程为：)(010100x x x x y y y y ---=-，令0y =，得101001y y y x y x x R --=， 同理：101001y y y x y x x S ++=， 10分故212021202021y y y x y x x x S R --=⋅ （**） 11分又点M 与点P 在椭圆上，故)1(42020y x -=，)1(42121y x -=， 12分 代入（**）式，得： 4)(4)1(4)1(421202120212021202021=--=----=⋅y y y y y y y y y y x x S R ．所以4=⋅=⋅=⋅S R S R x x x x OS OR 为定值． 14分 考点：1.椭圆的几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.圆的方程. 21．设函数()=ln(1)1axf x x x +-+，()a R ∈；()(1)1x g x k kx =+--，(1,)k ∈-+∞. （1）求函数()f x 的单调区间； （2）当[0,1]x ∈时，求函数()g x 的最大值；（3）求证：*1111ln(1)()1nnk k n n N k k==<+<∈+∑∑【答案】（1）()f x 的定义域为(1,)-+∞，()()221(1)1()=111a x ax x af x x x x +-+-'-=+++， 1分 令()=01f x x a '⇒=-，ⅰ）当110a a -≤-⇒≤时： ()f x 的增区间为(1,)-+∞；ⅱ）当110a a ->-⇒>时：()f x 的减区间为(1,1)a --；()f x 的增区间为(1,)a -+∞. （2）当(1,)k ∈-+∞时， ()g x 在[0,1]上的最大值为0. （3）见解析.【解析】试题分析：（1）()f x 的定义域为(1,)-+∞，()()221(1)1()=111a x ax x af x x x x +-+-'-=+++， 分类讨论如下：ⅰ）当110a a -≤-⇒≤时：在区间(1,)-+∞上，()>0f x '恒成立，故()f x 的增区间为(1,)-+∞； ⅱ）当110a a ->-⇒>时：在区间(1,1)a --上，()<0f x '恒成立，故()f x 的减区间为(1,1)a --； 在区间(1,)a -+∞上，()>0f x '恒成立，故()f x 的增区间为(1,)a -+∞. （2）令()ln(1)G x x x =+-，(1,)x ∈-+∞，则1()111x G x x x-'=-=++，利用“表解法”确定函数的最值.（3）由（1）可知:当a=1时，()0+)()01xf x f x x ∞>+在（，上递增，知，即ln(x+1)>11x 1n n +令=有ln(n+1)-lnn>转化11ln(1)1nk n k =<++∑得由（2）已证:ln(1)0x x +-<即ln(x+1)<x11x n n 令=有ln(n+1)-lnn>11ln(1)nk n k=+<∑得得证.试题解析：（1）()f x 的定义域为(1,)-+∞，()()221(1)1()=111a x ax x af x x x x +-+-'-=+++， 1分 令()=01f x x a '⇒=-， ⅰ）当110a a -≤-⇒≤时：在区间(1,)-+∞上，()>0f x '恒成立，故()f x 的增区间为(1,)-+∞； 2分 ⅱ）当110a a ->-⇒>时：在区间(1,1)a --上，()<0f x '恒成立，故()f x 的减区间为(1,1)a --； 3分 在区间(1,)a -+∞上，()>0f x '恒成立，故()f x 的增区间为(1,)a -+∞. 4分 （2）ⅰ）0k =时，()0g x =，所以max ()0g x =； 5分ⅱ）0k ≠时，易知()(1)ln(1)x g x k k k '=++-，于是：(1)(1)ln(1)g k k k '=++-，(0)ln(1)g k k '=+-， 由（1）可知(1)0g '>， 下证(0)0g '<，即证明不等式ln(1)0x x +-<在(1,0)(0,)x ∈-+∞上恒成立.（法一）由上可知：不等式ln(1)1xx x +>+在(1,0)(0,)x ∈-+∞上恒成立，若(1,0)(0,)x ∈-+∞，则11(1,0)(0,)11x x x -=-∈-+∞++，故1ln()ln(1)11x x x =-++ 111xx x x x -+>=--++，即当(1,0)(0,)x ∈-+∞时，1ln()1x x >-+，从而ln(1)x x +<，故当(1,0)(0,)x ∈-+∞时，ln(1)0x x +-<恒成立，即(0)0g '<. 7分（法二）令()ln(1)G x x x =+-，(1,)x ∈-+∞，则1()111x G x x x-'=-=++，列表2如下：由表2可知：当(1,0)(0,)x ∈-+∞时，()(0)0G x G >=，故ln(1)0x x +-<恒成立，即(0)0g '<. 7分由于(1)0g '>，且(0)0g '<，故函数()(1)ln(1)x g x k k k '=++-区间(0,1)内必存在零点. 8分又当(0,)k ∈+∞时，ln(1)0k +>，指数函数(1)xy k =+为增函数()g x '⇒为增函数， 同理当(1,0)k ∈-时，ln(1)0k +<，指数函数(1)x y k =+为减函数()g x '⇒也为增函数， 于是，当(1,0)(0,)k ∈-+∞时， ()(1)ln(1)x g x k k k '=++-必为增函数，从而函数()g x '在区间(0,1)内必存在唯一零点，不妨记为0x ，则0()=0g x '， 易知当0(0,)x x ∈时，()0g x '<，此时()g x 单调递减；当0(,1)x x ∈时，()0g x '>，此时()g x 单调递增， 又易知(0)(1)0g g ==，故max ()0g x =；综上，当(1,)k ∈-+∞时， ()g x 在[0,1]上的最大值为0. 10分 （3）由（1）可知:当a=1时，()0+)()01xf x f x x ∞>+在（，上递增，知，即ln(x+1)>11x 1n n +令=有ln(n+1)-lnn>11ln(1)1nk n k =<++∑得 12分由（2）已证:ln(1)0x x +-<即ln(x+1)<x11x n n 令=有ln(n+1)-lnn>11ln(1)nk n k=+<∑得故*1111ln(1)()1nn k k n n N k k ==<+<∈+∑∑得证 14分 考点：1.应用导数研究函数的单调性；2.应用导数研究函数的单调性、极(最)值，3.应用导数证明不等式4.转化与化归思想.。
广东省揭阳一中、潮州金山中学高三数学上学期暑假联考
N Y 输入x50x >②输出y 结束开始 ①揭阳一中、潮州金山中学2015届高三上学期暑假联考数学（理）试题一、选择题：(本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．) 1. 若集合{}0P y y =≥，P Q Q =I ，则集合Q 不可能是（ ）A ．∅B ．{}2,R y y x x =∈ C ．{}2,R xy y x =∈ D ．{}2log ,0y y x x =>2.若复数z 满足2iz =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（ ） A.2- B.2 C.2i - D.2i3.已知R a ∈且0≠a ，则“11<a ”是 “a >1”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费 用为：不超过50 kg 按0.53元/kg 收费，超过50 kg 的 部分按0.85元/kg 收费.相应收费系统的流程图如右图所 示，则①处应填（ ）.A 0.85y x = .B 500.53(50)0.85y x =⨯+-⨯ .C 0.53y x = .D 500.530.85y x =⨯+5.在△ABC 中，3sin 5A =，8AB AC ⋅=u u u r u u u r，则△ABC 的面积为（ ）DA.3 B.4 C.6 D.1256. 一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是（ ）A ．21B ．1C ．23D ．27.如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）A.14B. 15C. 16D. 178. 设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0M >，使|()|||f x M x ≤对一切实数x 均成立，则称()f x 为“倍约束函数”．现给出下列函数：①()2f x x =；②2()1f x x =+；③()sin cos f x x x =+；④2()3xf x x x =-+；⑤()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切1x ，2x 均有1212|()()|2||f x f x x x -≤-．其中是“倍约束函数”的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题：(本大题共7小题，每小题5分，满分30分） （一）必做题（9～13题） 9.不等式316x x ++-≥的解集是 ．10．若52345012345(12),x a a x a x a x a x a x +=+++++则a3= .11.若等比数列{}n a 的各项均为正数,且512911102e a a a a =+,则1220ln ln ln a a a +++=L L .12.设1F 、2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=o ，则椭圆的离心率为 .13.设x 、y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为4，则2a bab +的最小值为 .（二）选做题：(考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．)14.（坐标系与参数方程选做题） 已知圆的极坐标方程为2cos ρθ=，则该圆的圆心到直线sin 2cos 1ρθρθ+= 的距离是 .15.（几何证明选讲选做题）如图，已知点D 在圆O 直径AB 的延 长线上，过D 作圆O 的切线,切点为.C 若1CD BD ==, 则圆O 的面积为 .三、解答题：（本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 16．（本题满分12分）设(3,sin 2)a x =-r , (cos 2b x =r,()f x a b =⋅r r（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 的最大值及取最大值时x的集合；（Ⅲ）求满足()f α=0απ<<的角α的值．（本题满分12分）某市,,,A B C D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查． （Ⅰ）问,,,A B C D 四所中学各抽取多少名学生？（Ⅱ）在参加问卷调查的50名学生中，从来自,A C 两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用ξ表示抽得A 中学的学生人数，求ξ的分布列，数学期望和方差．18．(本题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，AB //CD ，AB AD ⊥，4,2AB AD CD ===，PA ⊥平面ABCD ，4PA =.（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）设点Q为线段PB上一点，且直线QC与平面PAC33求PQPB的值．（本题满分1４分）若数列{}na的前n项和为nS，对任意正整数n都有612n nS a=-记12logn nb a=．（Ⅰ）求1a,2a的值；（Ⅱ）求数列{}nb的通项公式；（Ⅲ）令221(2)(1)nnncn b+=+-，数列{}nc的前n项和为nT，证明:对于任意的*n N∈,都有564nT<．20．（本题满分14分）如图，已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>32，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：222(2)(0)x y r r++=>，设圆T与椭圆C交于点M与点N．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求TM TN⋅u u u r u u u r的最小值，并求此时圆T的方程；（Ⅲ）设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点，且直线,MP NP分别与x轴交于点,R S，O为坐标原点，求证：OR OS⋅为定值．（本题满分14分）设函数()=ln(1)1axf x xx+-+，()a R∈；()(1)1xg x k kx=+--，(1,)k∈-+∞.（Ⅰ）求函数()f x的单调区间；（Ⅱ）当[0,1]x∈时，求函数()g x的最大值；（Ⅲ）求证：* 1111ln(1)() 1n nk kn n N k k==<+<∈+∑∑理科数学参考答案（Ⅱ）当22,6Zx k k ππ+=∈，即,12Zx k k ππ=-∈时，()f x 有最大值23此时，所求x 的集合为{|,}12Z x x k k ππ=-∈． ………9分（Ⅲ）由()3f α=得23)36πα+= 得1cos(2)62πα+=-…10分 又由0απ<<得 22666πππαπ<+<+， 故242633πππα+=或，解得7412ππα=或． ……12分17. 解：（Ⅰ）由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名， 抽取的样本容量与总体个数的比值为．∴应从四所中学抽取的学生人数分别为． ……… 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，50名学生中，来自,A C 两所中学的学生人数分别为15,10． 依题意得，ξ的可能取值为0,1,2， …………5分2102253(0)20C P C ξ===，1115102251(1)2C C P C ξ===，2152257(2)20C P C ξ===．… 8分∴ξ的分布列为：3176012202205E ξ=⨯+⨯+⨯= … 10分22263616723(0)(1)(2)5205252050D ξ=-⋅+-⋅+-⋅=…… 12分18．（Ⅰ）证明：因为AP ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，所以以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 则(4,0,0)B ，(0,0,4)P ，(0,D ，zP(2,C . …………2分所以(4,BD =-u u u r，(2,AC =u u u r ，(0,0,4)AP =u u u r，所以(4)2000BD AC ⋅=-⨯++⨯=u u u r u u u r，(4)00040BD AP ⋅=-⨯++⨯=u u u r u u u r.所以 BD AC ⊥，BD AP ⊥. 4分因为 AP AC A =I ，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ， 所以 BD ⊥平面PAC . …………………6分（Ⅱ）解：设PQPB λ=（其中01λ≤≤），(,,)Q x y z ，线QC 与平面PAC 所成角为θ.所以PQ PB λ=u u u r u u u r . 所以(,,4)(4,0,4)x y z λ-=-.∴4,0,44,x y z λλ=⎧⎪=⎨⎪=-+⎩即(4,0,44)Q λλ-+∴(42,44)CQ λλ=---+u u u r. ……………9分由（Ⅰ）知平面PAC的一个法向量为(4,BD =-u u u r.因为sin cos ,CQ BDCQ BD CQ BDθ⋅=<>=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r， ……………12分得解得 7[0,1]12λ=∈.所以712PQ PB =14分法2：(Ⅰ) 依题意：Rt BAD ∆∽Rt ADC ∆,所以ABD DAC ∠=∠，又因为090ABD ADB ∠+∠=，所以090ADB DAC ∠+∠=，所以BD AC ⊥ …..2分C又因为PA ⊥平面ABCD ，BD ABCD ⊂平面，所以BD AP ⊥ …..4分 因为 AP AC A =I ，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ， 所以 BD ⊥平面PAC . ………6分（Ⅱ）解：设PQPB λ=（01λ≤≤），(,,)Q x y z ，直线QC 与平面PAC 所成角为θ.记AC 交BD 于O ，连结PO .过Q 作QE 平行于BD ，交PO 于E . 连结CE 、CQ . 由（Ⅰ）知，BD ⊥平面PAC ，∴QE ⊥平面PAC ，∴QCE ∠即为CQ 与平面PAC 所成角.∴33sin ==∠CQ QE QCE ①. ……8分设k PB PQ =（10≤≤k ），则kBO QE=.在ACD Rt ∆中，Θ2=CD ，22=AD ，∴32=AC .易证ACD ∆∽BAO ∆，∴AD BO AC AB =，即22324BO =， ∴46BO =，∴kQE 364= ②.在PAB Rt ∆中，Θ4=PA ，4=AB ，∴24=PB ，∴k PQ 24=.在PAC Rt ∆中，Θ4=PA ，32=AC ，∴72=PC .根据余弦定理有：PC PQ CQ PC PQ PC PB BC PC PB ⋅-+=⋅-+22222222， …………12分 即kCQ k 24722)72()24(72242)32()72()24(222222⨯⨯-+=⨯⨯-+，解得28483222+-=k k CQ ③. 将②，③代入①，解得127=k . ………14分19解：（Ⅰ）由11612S a =-，得11612a a =-，解得118a =． …………1分22612S a =-，得()122612a a a +=-，解得2132a =． …………3分（Ⅱ）由612n n S a =- ……①，当2n ≥时，有11612n n S a --=- ……②， …………4分①－②得：114n n a a -=， …………５分∴数列{}n a 是首项118a =，公比14q =的等比数列 …………６分12111111842n n n n a a q-+-⎛⎫⎛⎫∴==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， …………７分2111221log log 212n n n b a n +⎛⎫∴===+ ⎪⎝⎭． …………８分（Ⅲ）证明:由（2）有22221111(2)(2)16(2)n n c n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦. …………10分222222222111111111111632435(1)(1)(2)n T n n n n ⎡⎤=-+-+-++-+-⎢⎥-++⎣⎦… 12分])2n (1)1n (1211[161222+-+-+=…………13分645)211(1612=+<. …………14分20.解：（Ⅰ）依题意，得2a =，c e a ==1,322=-==∴c a b c ；故椭圆C 的方程为2214x y += ． ……………3分（Ⅱ）点M 与点N 关于x 轴对称，设),(11y x M ，),(11y x N -， 不妨设01>y ．由于点M 在椭圆C 上，所以412121xy -=． （*） ……………4分由已知(2,0)T -，则),2(11y x +=，),2(11y x -+=，21211111)2(),2(),2(y x y x y x -+=-+⋅+=⋅∴3445)41()2(1212121++=--+=x x x x 51)58(4521-+=x ．………6分由于221<<-x ，故当581-=x 时，TM TN ⋅u u u r u u u r 取得最小值为15-．由（*）式，531=y ，故83(,)55M -，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到21325r =． 故圆T 的方程为：2213(2)25x y ++=． …………………8分（Ⅲ） 设),(00y x P ，则直线MP 的方程为：)(010100x x x x y y y y ---=-，令0y =，得101001y y y x y x x R --=， 同理：101001y y y x y x x S ++=， …………10分故212021202021y y y x y x x x S R --=⋅ （**） ………………11分又点M 与点P 在椭圆上，故)1(42020y x -=，)1(42121y x -=，……………12分 代入（**）式，得： 4)(4)1(4)1(421202120212021202021=--=----=⋅y y y y y y y y y y x x S R ．所以4=⋅=⋅=⋅S R S R x x x x OS OR 为定值． …………14分21.解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(1,)-+∞，()()221(1)1()=111a x ax x af x x x x +-+-'-=+++， …1分令()=01f x x a '⇒=-，ⅰ）当110a a -≤-⇒≤时：在区间(1,)-+∞上，()>0f x '恒成立，故()f x 的增区间为(1,)-+∞； ……2分ⅱ）当110a a ->-⇒>时：在区间(1,1)a --上，()<0f x '恒成立，故()f x 的减区间为(1,1)a --； ……3分 在区间(1,)a -+∞上，()>0f x '恒成立，故()f x 的增区间为(1,)a -+∞. ……4分（Ⅱ）ⅰ）0k =时，()0g x =，所以max ()0g x =； ……5分ⅱ）0k ≠时，易知()(1)ln(1)xg x k k k '=++-，于是：(1)(1)ln(1)g k k k '=++-，(0)ln(1)g k k '=+-，由（Ⅰ）可知(1)0g '>， 下证(0)0g '<，即证明不等式ln(1)0x x +-<在(1,0)(0,)x ∈-+∞U 上恒成立.（法一）由上可知：不等式ln(1)1xx x +>+在(1,0)(0,)x ∈-+∞U 上恒成立，若(1,0)(0,)x ∈-+∞U ，则11(1,0)(0,)11x x x -=-∈-+∞++U ，故1ln()ln(1)11x x x =-++ 111xx x xx -+>=--++，即当(1,0)(0,)x ∈-+∞U 时，1ln()1x x >-+，从而ln(1)x x +<，故当(1,0)(0,)x ∈-+∞U 时，ln(1)0x x +-<恒成立，即(0)0g '<. ……7分（法二）令()ln(1)G x x x =+-，(1,)x ∈-+∞，则1()111xG x x x -'=-=++，列表2如下：表2：()G x递减 极小值 递增由表2可知：当(1,0)(0,)x ∈-+∞U 时，()(0)0G x G >=，故ln(1)0x x +-<恒成立，即(0)0g '<. ……7分由于(1)0g '>，且(0)0g '<，故函数()(1)ln(1)xg x k k k '=++-区间(0,1)内必存在零点. ……8分又当(0,)k ∈+∞时，ln(1)0k +>，指数函数(1)xy k =+为增函数()g x '⇒为增函数， 同理当(1,0)k ∈-时，ln(1)0k +<，指数函数(1)xy k =+为减函数()g x '⇒也为增函数， 于是，当(1,0)(0,)k ∈-+∞U 时，()(1)ln(1)xg x k k k '=++-必为增函数， 从而函数()g x '在区间(0,1)内必存在唯一零点，不妨记为0x ，则0()=0g x '，易知当0(0,)x x ∈时，()0g x '<，此时()g x 单调递减；当0(,1)x x ∈时，()0g x '>，此时()g x 单调递增，又易知(0)(1)0g g ==，故max ()0g x =；。
广东省揭阳三中2015届高三数学上学期第一次月考试卷 文(含解析)
广东省揭阳三中2015届高三上学期第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={1，2}，则满足A∪B={1，2，3}的集合B的个数是（）A．1 B．3 C．4 D．82．（5分）设集合A={x|1≤x≤2}，B={y|1≤y≤4}，则下述对应法则f中，不能构成A到B 的映射的是（）A．f：x→y=x2B．f：x→y=3x﹣2 C．f：x→y=﹣x+4 D．f：x→y=4﹣x23．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣2x+4≤0”的否定为（）A．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0B．∃x∈R，x2﹣2x+4＞0C．∀x∉R，x2﹣2x+4≤0D．∃x∉R，x2﹣2x+4＞04．（5分）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|0＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|2＜x＜3} 5．（5分）设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为；命题q：函数y=cosx的图象关于直线对称．则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为假D．p∨q为真6．（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．y=﹣x3，x∈R B．y=sinx，x∈R C．y=x，x∈R D．7．（5分）当0＜a＜b＜1时，下列不等式中正确的是（）A．＞（1﹣a）b B．（1+a）a＞（1+b）b C．（1﹣a）b＞D．（1﹣a）a＞（1﹣b）b8．（5分）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d．例如明文1，2，3，4对应加密文5，7，18，16，当接受方收到密文14，9，23，28时，则解密得明文为（）A．7，6，1，4 B．6，4，1，7 C．4，6，1，7 D．1，6，4，79．（5分）函数f（x）=2x2﹣mx+3，当x∈D．（﹣∞，8]10．（5分）己知x∈，则方程2﹣|x|=cos2πx所有实数根的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.11．（5分）函数y=log2（x﹣1）的定义域是．12．（5分）函数f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=，若f（1）=﹣5，则f （5）=．13．（5分）计算：=．14．（5分）设g（x）=，则g（g（））=．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（12分）已知U=R，A={x||x﹣3|＜2}，B={x|＞0}，求A∩B，C U（A∪B）．16．（12分）已知函数f（x）=，x∈R，（1）求f（x）+f（）的值；（2）计算f（1）+f（2）+…+f+f（）+f（）+…+f（）．17．（14分）设函数y=f（x）且lg（lgy）=lg（3x）+lg（3﹣x）．（Ⅰ）求f（x）的解析式及定义域．（Ⅱ）求f（x）的值域．18．（14分）已知函数f（x）=是奇函数．（1）求实数m的值；（2）若函数f（x）在区间上单调递增，求实数a的取值范围．19．（14分）函数的定义域为（0，1]（a为实数）．（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数y=f（x）的值域；（Ⅱ）若函数y=f（x）在定义域上是减函数，求a的取值范围；（Ⅲ）求函数y=f（x）在x∈（0，1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x的值．20．（14分）已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k 的取值范围；（3）设m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？广东省揭阳三中2015届高三上学期第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={1，2}，则满足A∪B={1，2，3}的集合B的个数是（）A．1 B．3 C．4 D．8考点：并集及其运算．分析：根据题意，分析可得，该问题可转化为求集合A={1，2}的子集个数问题，再由集合的元素数目与子集数目的关系可得答案．解答：解：A={1，2}，A∪B={1，2，3}，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合A={1，2}的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有22=4个．故选择答案C．点评：本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想．2．（5分）设集合A={x|1≤x≤2}，B={y|1≤y≤4}，则下述对应法则f中，不能构成A到B 的映射的是（）A．f：x→y=x2B．f：x→y=3x﹣2 C．f：x→y=﹣x+4 D．f：x→y=4﹣x2考点：映射．专题：应用题．分析：按照映射的定义，一个对应能构成映射的条件是，A中的每个元素在集合B中都有唯一的确定的一个元素与之对应．判断题中各个对应是否满足映射的定义，从而得到结论．解答：解：对于对应f：x→y=x2，当1≤x≤2 时，1≤x2≤4，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故A中的对应能构成映射．对于对应f：x→y=3x﹣2，当1≤x≤2 时，1≤3x﹣2≤4，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故B中的对应能构成映射．对于对应f：x→y=﹣x+4，当1≤x≤2时，2≤﹣x+4≤3，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故B中的对应能构成映射．对于对应f：x→y=4﹣x2 ，当x=2 时，y=0，显然y=0不在集合B中，不满足映射的定义，故D中的对应不能构成A到B的映射．故选D．点评：本题考查映射的定义，一个对应能构成映射时，必须使A中的每个元素在集合B中都有唯一的确定的一个元素与之对应．3．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣2x+4≤0”的否定为（）A．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0 B．∃x∈R，x2﹣2x+4＞0C．∀x∉R，x2﹣2x+4≤0D．∃x∉R，x2﹣2x+4＞0考点：全称命题；命题的否定．专题：计算题．分析：本题中的命题是一个全称命题，其否定是特称命题，依据全称命题的否定书写形式写出命题的否定即可．解答：解：∵命题“∀x∈R，x2﹣2x+4≤0”，∴命题的否定是“∃x∈R，x2﹣2x+4＞0”故选B．点评：本题考查命题的否定，解题的关键是掌握并理解命题否定的书写方法规则，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，书写时注意量词的变化．4．（5分）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|0＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|2＜x＜3}考点：交集及其运算．分析：解出集合N，结合数轴求交集．解答：解：N={x|log2x＞1}={x|x＞2}，用数轴表示可得答案D故选D．点评：考查知识点有对数函数的单调性，集合的交集，本题比较容易5．（5分）设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为；命题q：函数y=cosx的图象关于直线对称．则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为假D．p∨q为真考点：复合命题的真假；三角函数的周期性及其求法；余弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质；简易逻辑．分析：由题设条件可先判断出两个命题的真假，再根据复合命题真假的判断规则判断出选项中复合命题的真假即可得出正确选项．解答：解：由于函数y=sin2x的最小正周期为π，故命题p是假命题；函数y=cosx的图象关于直线x=kπ对称，k∈Z，故q是假命题．结合复合命题的判断规则知：￢q为真命题，p∧q 为假命题，p∨q为是假命题．故选C．点评：本题考查复合命题的真假判断，解题的关键是正确判断所涉及命题的真假及熟练掌握复合命题的真假判断规则，本题属于2015届高考常考题型也是对命题考查的常规题型，知识性强，难度不大．6．（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．y=﹣x3，x∈R B．y=sinx，x∈R C．y=x，x∈R D．考点：函数的图象与图象变化；奇函数．分析：根据基本函数的性质逐一对各个答案进行分析．解答：解：A在其定义域内既是奇函数又是减函数；B在其定义域内是奇函数但不是减函数；C在其定义域内既是奇函数又是增函数；D在其定义域内是非奇非偶函数，是减函数；故选A．点评：处理这种题目的关键是熟练掌握各种基本函数的图象和性质，其处理的方法是逐一分析各个函数，排除掉错误的答案．7．（5分）当0＜a＜b＜1时，下列不等式中正确的是（）A．＞（1﹣a）b B．（1+a）a＞（1+b）b C．（1﹣a）b＞D．（1﹣a）a＞（1﹣b）b考点：指数函数的单调性与特殊点．分析：根据指数的单调性，即当底数大于1时单调递增，当底数大于0小于1时单调递减，对选项逐一验证即可得到答案．解答：解析：∵0＜a＜1，∴0＜1﹣a＜1，y=（1﹣a）x为减函数，又∵0＜b＜1，∴＞b，b＞，∴＜（1﹣a）b，（1﹣a）b＜，∴A、C均错，又∵1＜1+a＜1+b，∴（1+a）a＜（1+b）a＜（1+b）b，∴B错．对于D，（1﹣a）a＞（1﹣a）b，而（1﹣a）b＞（1﹣b）b，∴（1﹣a）a＞（1﹣b）b．故选D点评：本题主要考查指数函数的单调性．属基础题．8．（5分）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d．例如明文1，2，3，4对应加密文5，7，18，16，当接受方收到密文14，9，23，28时，则解密得明文为（）A．7，6，1，4 B．6，4，1，7 C．4，6，1，7 D．1，6，4，7考点：加密和数字签名的方法．专题：计算题．分析：利用接收方收到密文14，9，23，28及题目提供的加密规则，建立关于a，b，c，d 的方程组，从而可解得解密得到的明文．解答：解：设明文为a，b，c，d，∴4d=28，2c+3d=23，2b+c=9，a+2b=14，∴d=7，c=1，b=4，a=6，则解密得明文为6，4，1，7．故选B．点评：本题主要考查了加密和数字签名的方法，同时考查实际应用能力等数学基本能力，要加强新的信息与创新题，是个基础题．9．（5分）函数f（x）=2x2﹣mx+3，当x∈D．（﹣∞，8]考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：先求出函数f（x）=2x2﹣mx+3对应抛物线的对称轴，再由函数在上单调递增，则对称轴在区间的左侧求解．解答：解：函数f（x）=2x2﹣mx+3，∴其对称轴为：x=又∵函数在上单调递增∴≤﹣2，∴m≤﹣8．故选C．点评：本题主要考查二次函数的性质，涉及了二次函数的对称性和单调性，在研究二次函数单调性时，一定要明确开口方向和对称轴．10．（5分）己知x∈，则方程2﹣|x|=cos2πx所有实数根的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5考点：根的存在性及根的个数判断．专题：数形结合；函数的性质及应用．分析：在同一坐标系内作出函数f（x）=2﹣|x|，g（x）=cos2πx的图象，根据图象交点的个数，可得方程解的个数．解答：解：在同一坐标系内作出函数f（x）=2﹣|x|，g（x）=cos2πx的图象根据函数图象可知，图象交点的个数为5个∴方程2﹣|x|=cos2πx所有实数根的个数为5个故选D．点评：本题考查方程解的个数，考查函数图象的作法，考查数形结合的数学思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.11．（5分）函数y=log2（x﹣1）的定义域是（1，+∞）．考点：对数函数的定义域．专题：计算题．分析：由函数的解析式知，令真数x﹣1＞0即可解出函数的定义域．解答：解：∵y=log2（x﹣1），∴x﹣1＞0，x＞1函数y=log2（x﹣1）的定义域是（1，+∞）故答案为（1，+∞）点评：本题考查求对数函数的定义域，熟练掌握对数函数的定义及性质是正确解答本题的关键．12．（5分）函数f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=，若f（1）=﹣5，则f （5）=﹣5．考点：函数的周期性．专题：函数的性质及应用．分析：根据条件可得函数是周期为4的周期函数，然后利用函数的周期性即可得到结论．解答：解：∵f（x+2）=，∴f（x）≠0，且f（x+4）=f（x+2+2）=，即函数的周期为4．∵f（1）=﹣5，∴f（5）=f（1+4）=f（1）=﹣5．故答案为：﹣5；点评：本题主要考查函数值的计算，利用条件推出函数的周期性是解决本题的关键，要求熟练掌握函数周期性的应用．13．（5分）计算：=12．考点：有理数指数幂的化简求值．专题：规律型．分析：利用有理数指数幂的性质进行运算．解答：解：=．故答案为：12．点评：本题主要考查有理数指数幂的化简和求值，比较基础．14．（5分）设g（x）=，则g（g（））=．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据分段函数的解析式，先求出g（）的值，再求g（g（））的值．解答：解：∵g（x）=，∴g（）=ln=﹣ln2＜0，∴g（g（））=g（﹣ln2）=e﹣ln2==2﹣1=．故答案为：．点评：本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（12分）已知U=R，A={x||x﹣3|＜2}，B={x|＞0}，求A∩B，C U（A∪B）．考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：根据绝对值的性质和不等式的解法分别解出集合A，B，再根据交集和并集、补集的定义进行求解；解答：解：∵U=R，A={x||x﹣3|＜2}，B={x|＞0}，∴A={x||x﹣3|＜2}={x|1＜x＜5}，∴A∩B={x|1＜x＜2或4＜x＜5}，∵A∪B=R，∴C U（A∪B）=∅；点评：此题主要考查不等式的解法，以及集合交、并、补的运算法则，是一道基础题；16．（12分）已知函数f（x）=，x∈R，（1）求f（x）+f（）的值；（2）计算f（1）+f（2）+…+f+f（）+f（）+…+f（）．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由函数f（x）=，x∈R，能求出f（x）+f（）=+=1．（2）由f（x）+f（）=1，能求出f（1）+f（2）+…+f+f（）+f（）+…+f（）的值．解答：解：（1）∵函数f（x）=，x∈R，∴f（x）+f（）=+=1．（2）由（1）得：f（1）+f（2）+…+f+f（）+f（）+…+f（）==．点评：本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．17．（14分）设函数y=f（x）且lg（lgy）=lg（3x）+lg（3﹣x）．（Ⅰ）求f（x）的解析式及定义域．（Ⅱ）求f（x）的值域．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）利用对数的运算法则，结合对数式与指数式的互化，可得函数的解析式，利用真数大于0，可得函数的定义域；（Ⅱ）根据定义域，确定指数的范围，再利用指数函数的单调性，可求f（x）的值域．解答：解：（Ⅰ）∵lg（lgy）=lg（3x）+lg（3﹣x）．∴lg（lgy）=lg∴lgy=3x（3﹣x）∴y=103x（3﹣x）∵，∴0＜x＜3，即函数的定义域为（0，3）；（Ⅱ）令t=3x（3﹣x）=﹣3∵x∈（0，3），∴t∈（0，]∴10t∈∴函数的值域为．点评：本题考查对数的运算法则，考查函数的解析式与值域，正确运用对数的运算法则是关键．18．（14分）已知函数f（x）=是奇函数．（1）求实数m的值；（2）若函数f（x）在区间上单调递增，求实数a的取值范围．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：综合题．分析：（1）根据函数f（x）为奇函数，设x＜0得到f（﹣x）=﹣f（x），进而的f（x）的解析式，求得m的值．（2）根据（1）中的解析式，可画出f（x）的图象，根据图象可知要使f（x）在上单调递增，则需a﹣2＞﹣1且a﹣2≤1，进而求得a的范围．解答：解：（1）设x＜0，则﹣x＞0，所以f（﹣x）=﹣（﹣x）2+2（﹣x）=﹣x2﹣2x，又f（x）为奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），于是x＜0时，f（x）=x2+2x=x2+mx，所以m=2．（2）要使f（x）在上单调递增，结合f（x）的图象知所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是（1，3]．点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合运用．属基础题．19．（14分）函数的定义域为（0，1]（a为实数）．（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数y=f（x）的值域；（Ⅱ）若函数y=f（x）在定义域上是减函数，求a的取值范围；（Ⅲ）求函数y=f（x）在x∈（0，1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x的值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的值域；函数的单调性与导数的关系．专题：综合题．分析：（I）将a的值代入函数解析式，利用基本不等式求出函数的值域．（II）求出导函数，令导函数大于等于0在定义域上恒成立，分离出a，构造函数，通过求函数的最小值，求出a的范围．（III）通过对a的讨论，判断出函数在（0，1）上的单调性，求出函数的最值．解答：解：（Ⅰ）显然函数y=f（x）的值域为；（Ⅱ）∵在定义域上恒成立而﹣2x2∈（﹣2，0）∴a≤﹣2（II）当a≥0时，函数y=f（x）在（0.1]上单调增，无最小值，当x=1时取得最大值2﹣a；由（2）得当a≤﹣2时，函数y=f（x）在（0.1]上单调减，无最大值，当x=1时取得最小值2﹣a；当﹣2＜a＜0时，函数y=f（x）在上单调减，在上单调增，无最大值，当时取得最小值．点评：求函数的单调性常借助导数，当导函数大于0对应的区间是函数的单调递增区间；当导函数小于0对应的区间是函数的单调递减区间．求含参数的函数的性质问题时，一般要对参数讨论．20．（14分）已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k 的取值范围；（3）设m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？考点：二次函数的性质．专题：综合题；压轴题．分析：（1）f（﹣1）=0⇒a﹣b+1=0，又值域为点评：本题是对二次函数性质的综合考查．其中（1）考查了二次函数解析式的求法．二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活的选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解．在具体问题中，常常会与图象的平移，对称，函数的周期性，奇偶性等知识有机的结合在一起．。
广东省揭阳市2015届高三第二次高考模拟考数学文试题(扫描版)
揭阳市2015年高中毕业班高考第二次模拟考试数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考 查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数． 一、选择题：CADAC ABCBD二、填空题：11. 1-；12.22(2)(1)1x y -++=；13.2；14. 7(2,)4π；15.332. 三、解答题：16．解：（1）由1(,2)3P 为图象的最高点知2A =，---------------------1分又点M 1(,0)6-知函数()f x 的最小正周期114()236T =+=，-----------------------3分 ∵2T πω=∴ωπ=,-------------------------------------------------5分(2)由（1）知，()2sin()6f x x ππ=+由2()3f απ=得1sin()63πα+=，----------------------------------------6分 ∵(,0)3πα∈- ∴666πππα-<+<----------------------------------------7分∴2122cos()1sin ()16693ππαα+=-+=-=-------------------------9分 ∵cos()cos()366πππαα+=++cos()cos sin()sin 6666ππππαα=+-+-------------11分∴cos()3πα+2231126132326-=⨯-⨯=------------------------------------------------12分 17．解：（1）甲、乙两班学生数学成绩的茎叶图如右图示：----4分这20个数据的众数为121，----------------------------------5分 乙班的平均水平较高；----------------------------------------7分 （2）由上数据知，这20人中分值落在第一组的有3人，落在第二组的有6人，落在第三组的有9人，-------------9分故应从第一组中抽取的人数为：631369⨯=++，-------10分应从第二组中抽取的人数为：662369⨯=++，--------------------------------11分 应从第三组中抽取的人数为：693369⨯=++.-----------------------------------12分 18．解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，∵13220,,7S S S 成等差数列，3122207.S S S ∴=+-----------------------------------2分即21111112()207()a a q a q a a a q ++=++，化简得225250q q --=，------4分 解得：5q =或52q =-------------------------------------------------------------------6分 ∵0n a >，∴52q =-不合舍去， ∴111555n n n n a a q --==⨯=.-----------------------------------------7分(2)∵ 51525log log log n n b a a a =+++=1235125log ()log 5123nn a a a n ++++==++++---------------------9分(1)2n n +=，----------------------------------------------------------------------------10分 ∴1n b =211=2()(+11n n n n -+）----------------------------------------------------------------12分 ∴12111n nT b b b =+++111112[(1)()()]2231n n =-+-++-+ 122(1)11n n n =-=++.------------------------------------------14分 19．解：（1）证明：取BC 中点D ，连结SD 、AD ，-----2分 ∵△SAB 与△SAC 均为等边三角形∴SB=SC=AB=AC=SA=2，∴SD BC ⊥,AD BC ⊥-----4分 又SDAD D =∴BC ⊥平面SAD ----------------------5分 ∵SA ⊂平面SAD∴SA BC ⊥-------------------------------------------------7分 （2）∵90BAC ∠=°，AB=AC ， ∴222BC AB ==，------------------------------------8分∵SB=AB ，SC=AC ，BC=BC ，∴△SBC ≌△ABC ，∴90BSC ∠=，-------------------------9分 ∴122SD AD BC === ∵2224SD AD SA +== ∴SD AD ⊥---------------------11分又SD BC ⊥,BC AD D =∴SD ⊥平面ABC ,------------------------------------------12分 ∴13P ABC ABC V S SD -∆=1122222323=⨯⨯⨯⨯=.----------------14分 其它解法请参照给分.20.解：(1)设(,)P x y ,由1(3,0)F -、2(3,0)F 得1(3,)PF x y =---uuu r , 2(3,)PF x y =--uuu r.∴212(3)(3)PF PF x x y ⋅=-+-+uuu r uuu r223x y =+-，---------------------2分由22221x y a b +=得2222(1)x y b a=- ∴222122(1)3x PF PF x b a⋅=+--uuu r uuu r 22233x b a =+-，------------------------4分∵220x a ≤≤，∴当22x a =，即x a =±时，12PF PF ⋅uuu r uuu r有最大值，即212max ()331PF PF b ⋅=+-=uuu r uuu r，---------------------------------------6分∴21b =，2224a c b =+=，∴所求双曲线C 的方程为2214x y +=.------------------------------------7分 其它解法请参照给分.（2）假设存在直线l 满足题设，设1122(,),(,)D x y E x y ，将y kx m =+代入2214x y +=并整理得 222(14)8440k x kmx m +++-=，------------------------------------------------------------8分由222222644(14)(44)16(41)0k m k m m k ∆=-+-=--->，得2241k m +>-----------①又122814kmx x k +=-+--------------------10分由||||AD AE =可得2222112212121212(1)(1)()(2)()()0x y x y x x x x y y y y -+=-+⇒-+-+-+=121212122()0y y x x y y x x -⇒+-++=-212(1)()220k x x km ⇒+++-=228(1)22014kmk km k⇒-++-=+ 化简得2143k m k +=-------------②------------------------------------------12分将②代入①得2221441()3k k k++> 化简得42222010(41)(51)0k k k k +->⇒+->，解得55k >或55k <-所以存在直线l ，使得||||AD AE =，此时k 的取值范围为55(,)(,)55-∞-⋃+∞．-------14分21.解：（1）当1k =-时，321()313f x x x x =+-+，---------------------------1分 则2'()23f x x x =+-(1)(3)x x =-+，令'()0f x =，∵[0,6]x ∈ 得1,x =----------------------------------2分 且()f x 在[0,1]上单调递减，在[1,6]上单调递增， ∵2(0)1,(1),(6)973f f f ==-=， ∴()f x 在[0,6]上的最大值为97，最小值为23-.------------------------4分 （2） ∵()2'2(21)3(2)f x x k x k k =-+++=(3)[(2)]x k x k --+，----------------5分当1k =时，2'()(3)0f x x =-≥，∴函数()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞；---6分当1k >时，32k k >+，由'()0f x >解得3x k >或2x k <+，由'()0f x <得23k x k +<<，∴函数()f x 的单调递增区间为(3,)k +∞和(,2)k -∞+，递减区间为(2,3)k k +；----7分当1k <时，32k k <+，由'()0f x >解得2x k >+或3x k <，由'()0f x <得32k x k <<+，∴函数()f x 的单调递增区间为(3,)k +∞和(,2)k -∞+；递减区间为(3,2)k k +.-----9分（3）由()'(3)[(2)]0f x x k x k =--+=得122,3x k x k =+=，--------------------------------------------10分 ①当12x x =时，有231k k k +=⇒=，此时123(0,6)x x ==∈，函数'()f x 在(0,6)上有唯一的零点，∴1k =为所求；------------------11分 ②当12x x >时，有231k k k +>⇒<，此时213x x <<， ∵函数'()f x 在(0,6)上有唯一的零点，得2103x x ≤<<，即3023k k ≤<+<，解得20k -<≤，------------12分 ③当12x x <时，有231k k k +<⇒>，此时213x x >>， ∵函数'()f x 在(0,6)上有唯一的零点，得1236x x <<≤，即3263k k <+<≤，解得24k ≤<，---------------13分 综上得实数k 的取值范围为是：20k -<≤或1k =或24k ≤<.--------------14分。
广东省揭阳市第一中学、潮州金山中学高三数学五月联考(模拟)试题理
2015-2016学年度理数三模联考一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
）1．设复数bi a ii +=+-12),(R b a ∈，则=+b a （ ）． A ．1 B ．2 C ．1- D ．2-2．已知集合P={x |1＜2x＜2}，Q={}1log |5.0>x x ，则P∩Q=（ ）．A ．（0，21）B ．（21，1）C ．（﹣1，21） D ．（0，1）3．已知0,0>>b a ，则“1>ab ”是“2>+b a ”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．在△ABC 中，若sin(A －B )＝1＋2cos(B ＋C )sin(A ＋C )，则△ABC 的形状一定是（ ）． A ．等边三角形 B ．不含60°的等腰三角形 C ．钝角三角形 D ．直角三角形 5．已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 4－2a 27＋3a 8＝0， 数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 7b 8等于（ ）．A ．1B ．2C ．4D ．8 6．如果执行程序框图，且输入n =6，m =4，则输出的p =（ ）．A ．240B ．120C ．720D ．3607．设F 1，F 2为椭圆C ：1422=+y x 的左、右焦点，点P 在C 上， |PF 1|＝2|PF 2|，则cos∠F 1PF 2＝（ ）． A ．167B ．1625C ．167- D ．1625-8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）．A. 163B. 203C. 152D. 1329．对于函数3()cos3()6f x x x π=+，下列说法正确的是（ ）． A ．()f x 是奇函数且在（6π6π，-）上递增 B ．()f x 是奇函数且在（6π6π，-）上递减 C ．()f x 是偶函数且在（6π0，）上递增 D ．()f x 是偶函数且在（6π0，）上递减是 否 开输mn ,1,1==p k )(k m n p p +-=?m k <输出p 结1+=k k10．当实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+101042x y x y x 时，41≤+≤y ax 恒成立，则实数a 的取值范围（ ）．A ．[1，23] B ．[﹣1，2] C ．[﹣2，3] D ．[1，2] 11．已知等式()()()()432432123412341111x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++，定义映射()()12341234:,,,,,,f a a a a b b b b →，则()4,3,2,1f =（ ）．A ．()1,2,3,4B ．()0,3,4,0C ． ()0,3,4,1--D ．()1,0,2,2-- 12．对]2,0[,∈∈∀n R α，向量)sin 3,cos 32(αα-+=n n c 的长度不超过6的概率为（ ）．A ．105 B ．1052 C ．1053 D ．552 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省揭阳一中、潮州金山中学2015届高三上学期暑假联考数学(理)试题9
【题文】如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆T ：222(2)(0)x y r r ++=>，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求TM TN ⋅u u u r u u u r 的最小值，并求此时圆T 的方程；（Ⅲ）设点P 是椭圆C 上异于M ,N 的任意一点，且直线,MP NP 分别与x 轴交于点,R S ，O 为坐标原点，求证：OR OS ⋅为定值．【答案】解：（Ⅰ）依题意，得2a =，3c e a ==1,322=-==∴c a b c ； 故椭圆C 的方程为2214x y += ． （Ⅱ）点M 与点N 关于x 轴对称，设),(11y x M ，),(11y x N -， 不妨设01>y ． 由于点M 在椭圆C 上，所以412121x y -=． （*） 由已知(2,0)T -，则),2(11y x +=，),2(11y x -+=，21211111)2(),2(),2(y x y x y x -+=-+⋅+=⋅∴ 3445)41()2(1212121++=--+=x x x x 51)58(4521-+=x ． 由于221<<-x ，故当581-=x 时，TM TN ⋅u u u r u u u r 取得最小值为15-． 由（*）式，531=y ，故83(,)55M -，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到21325r =． 故圆T 的方程为：2213(2)25x y ++=．（Ⅲ） 设),(00y x P ，则直线MP 的方程为：)(010100x x x x y y y y ---=-， 令0y =，得101001y y y x y x x R --=， 同理：101001y y y x y x x S ++=， 故212021202021y y y x y x x x S R --=⋅ （**）又点M 与点P 在椭圆上，故)1(42020y x -=，)1(42121y x -=，代入（**）式，得： 4)(4)1(4)1(421202*********202021=--=----=⋅y y y y y y y y y y x x S R ． 所以4=⋅=⋅=⋅S R S R x x x x OS OR 为定值．【解析】略【标题】广东省揭阳一中、潮州金山中学2015届高三上学期暑假联考数学（理）试题【结束】。
广东省揭阳一中、潮州金山中学2015届高三化学上学期暑假联考试题
广东省揭阳一中、潮州金山中学2015届高三化学上学期暑假联考试题如下说法错误的答案是A．溴乙烷、乙酸乙酯在一定条件下都能与NaOH水溶液发生反响B．煎炸食物的花生油和猪油都是可皂化的饱和酯类C．裂化汽油、植物油均能使溴的四氯化碳溶液褪色D．用CO2合成聚碳酸酯可降解塑料，实现“碳〞的循环利用常温下，在如下给定条件的溶液中，一定能大量共存的离子组是A．能使pH试纸呈红色的溶液：Na＋、NH＋4、I－、NO－3B．参加铝粉生成H2的溶液：K＋、Mg2＋、SO2－4、HCO－3C．c(Fe3＋)＝0.1mol·L－1的溶液：H＋、Al3＋、I－、SCN－D．()WKc H ＝0.1mol·L－1的溶液：Na＋、K＋、SiO2－3、NO－3设NA为阿伏伽德罗常数的值。
如下说法正确的答案是A．1mol Na2O和Na2O2混合固体中阴离子数目为NAB．0.1mol丙烯酸中含有双键的数目为0.1NAC．在过氧化钠与水的反响中，每生成0.1mol氧气，转移电子的数目为0.4NA D．0.1mol Cl2溶于水并与水反响，转移电子的数目为0.1NA如下陈述I、II正确且有因果关系的是如下有关说法错误的答案是A．为保护海轮的船壳，常在船壳上镶入锌块B．纯碱溶于热水中，去污效果增强，说明纯碱的水解反响是吸热反响C．铜的金属活动性比铁弱，可用铜罐代替铁罐贮运浓硝酸和浓硫酸D．水库的钢闸门连接直流电源负极可防止钢闸门被腐蚀按如下图安装好实验装置(装置气密性良好)，在锥形瓶内盛 6.5g锌粒(相对原子质量Zn-65)，通过分液漏斗参加40 mL2.5mol/L的硫酸溶液，将产生的H2收集在一个注射器中，用时10s时恰好收集到标准状况下的H2 44.8mL。
如下说法不正确的答案是A．忽略锥形瓶内溶液体积的变化，用H＋来表示10s内该反响的速率0.01mol/(L·s)B．忽略锥形瓶内溶液体积的变化，用Zn2＋来表示10s内该反响的速率0.01mol/(L·s)C．用锌粒来表示10s内该反响的速率为0.013g/sD．用H2来表示10s内该反响的速率为0.0002mol/s短周期主族元素X、Y、Z、W的原子序数依次增大。
揭阳一中等2015届高三上学期开学摸底联考试题(文数)
2015届高三摸底考联考文科数学试题本试卷共4页，21题，满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座号写在答题卷密封线内。
2．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。
3．答案一律写在答题区域内，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U R =，集合{|2},{|05},A x x B x x =≥=≤<则集合()U C A B =A ．{|02}x x <<B ．{|02}x x ≤<C ．{|02}x x <≤D ．{|02}x x ≤≤2．设复数z 满足2z i i ⋅=-，i 为虚数单位，则=zA ．2i -B ．12i +C ．12i -+D ．12i --3．函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是 A ．(,1)-∞- B.(1,)+∞ C.(1,1)(1,)-+∞ D. (,)-∞+∞4． 如图是某几何体的三视图，则此几何体的体积是 A ．36 B ．108C ．72D ．1805. 在ABC ∆中，若60,45,A B BC ︒︒∠=∠==AC =A.6．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 A ．123 B.38 C ．11 D ．37. 在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于( )A.D.18．已知实数4,,9m 构成一个等比数列，则圆锥曲线221xy m+=的离心率为第4题 图 第6题 图630.A 7.B 7630.或C 765.或D9.在下列条件下，可判断平面α与平面β平行的是 A. α、β都垂直于平面γ B. α内不共线的三个点到β的距离相等 C. l,m 是α内两条直线且l ∥β,m ∥β D. l,m 是异面直线,且l ∥α,m ∥α,l ∥β,m ∥β 10.对任意两个非零的平面向量,αβ，定义αβαβββ⋅=⋅．若平面向量,a b 满足0a b ≥>，a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且a b 和b a 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则b a =A ．12 B ．1 C ．32 D ．52二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14、15题为选做题。
广东省揭阳一中、潮州市金山中学联考2015届高三数学三模试卷(文科) Word版含解析
广东省揭阳一中、潮州市金山中学联考2015届高考数学三模试卷（文科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i为虚数单位，则复数=( ) A．2+i B．2﹣i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i 2．已知集合P={0，1，2}，Q={y|y=3x}，则P∩Q=( ) A．{0，1} B．{1，2} C．{0，1，2} D．? 3．已知=（1，k），=（k，4），那么“k=﹣2”是“，共线”的( ) A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．非充分非必要条件 D．充要条件 4．先后抛掷两颗质地均匀的骰子，则两次朝上的点数之积为奇数的概率为( ) A．B．C．D． 5．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是( ) A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A．48 B．C．16 D．32 7．已知偶函数f（x），当x∈，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人． （1）求该组织的人数； （2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？ （3）在（2）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，用列举法求出第3组至少有一名志愿者被抽中的概率． 18．如图，三棱锥C﹣ABD中，AB=AD=BD=BC=CD=2，O为BD的中点，∠AOC=120°，P为AC 上一点，Q为AO上一点，且． （Ⅰ）求证：PQ∥平面BCD； （Ⅱ）求证：PO⊥平面ABD； （Ⅲ）求四面体ABCD的体积． 19．已知{an}是等差数列，公差为d，首项a1=3，前n项和为Sn．令，{cn}的前20项和T20=330．数列{bn}满足bn=2（a﹣2）dn﹣2+2n﹣1，a∈R． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若bn+1≤bn，n∈N*，求a的取值范围． 20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点F1与抛物线y2=4x的焦点重合，原点到过点A （a，0），B（0，﹣b）的直线的距离是． （1）求椭圆C的方程； （2）设动直线l：y=kx+m与椭圆C有且只有一个公共点P，过F1作PF1的垂直于直线l 交于点Q，求证：点Q在定直线上，并求出定直线的方程． 21．已知函数f（x）=x3﹣3x2+ax（a∈R） （1）求函数y=f（x）的单调区间； （2）当a≥2时，求函数y=|f（x）|在0≤x≤1上的最大值． 广东省揭阳一中、潮州市金山中学联考2015届高考数学三模试卷（文科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i为虚数单位，则复数=( ) A．2+i B．2﹣i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i 考点：复数代数形式的乘除运算． 专题：数系的扩充和复数． 分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值． 解答：解：=， 故选：C． 点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算考查了复数的基本概念，是基础题． 2．已知集合P={0，1，2}，Q={y|y=3x}，则P∩Q=( ) A．{0，1} B．{1，2} C．{0，1，2} D．? 考点：交集及其运算． 专题：集合． 分析：根据集合的基本运算进行求解即可． 解答：解：Q={y|y=3x}={y|y＞0}， 则P∩Q={1，2}， 故选：B 点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 3．已知=（1，k），=（k，4），那么“k=﹣2”是“，共线”的( ) A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．非充分非必要条件 D．充要条件 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题：简易逻辑． 分析：根据向量共线的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判定即可． 解答：解：若k=﹣2，则=（1，﹣2），=（﹣2，4），满足=﹣2，即，共线，充分性成立， 若，共线，则k2=4，即k=±2，即必要性不成立， 故“k=﹣2”是“，共线”的充分不必要条件， 故选：A 点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判定，利用向量共线的等价条件是解决本题的关键，比较基础． 4．先后抛掷两颗质地均匀的骰子，则两次朝上的点数之积为奇数的概率为( ) A．B．C．D． 考点：古典概型及其概率计算公式． 专题：概率与统计． 分析：根据题意得出基本事件为（x，y），总共有6×6=36，列举两次朝上的点数之积为奇数事件求解个数，运用古典概率公式求解即可． 解答：解：骰子的点数为：1，2，3，4，5，6， 先后抛掷两颗质地均匀的骰子，基本事件为（x，y）， 总共有6×6=36， 两次朝上的点数之积为奇数事件为：A 有（1，1），（1，3），（1，5）， （3，1），（3，3），（3，5）， （5，1），（5，3），（5，5）， 共有9个结果， ∴两次朝上的点数之积为奇数的概率为P（A）==故选：C 点评：本题考查了古典概率的求解，关键是求解基本事件的个数，运用列举的方法求解符合题意的事件的个数，属于中档题． 5．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是( ) A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定 考点：余弦定理的应用；三角形的形状判断． 专题：解三角形． 分析：由sin2A+sin2B＜sin2C，结合正弦定理可得，a2+b2＜c2，由余弦定理可得CosC=可判断C的取值范围 解答：解：∵sin2A+sin2B＜sin2C， 由正弦定理可得，a2+b2＜c2 由余弦定理可得cosC=∴ ∴△ABC是钝角三角形 故选C 点评：本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用在三角形的形状判断中的应用，属于基础试题 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A．48 B．C．16 D．32 考点：由三视图求面积、体积． 专题：计算题；作图题；空间位置关系与距离． 分析：由题意作出其直观图，从而由三视图中的数据代入求体积． 解答：解：该几何体为四棱柱，如图， 其底面是直角梯形， 其面积S=×（3+5）×2=8， 其高为4； 故其体积V=8×4=32； 故选：D． 点评：本题考查了学生的空间想象力与计算能力，属于基础题． 7．已知偶函数f（x），当x∈ A．B．1 C．3 D． 考点：函数奇偶性的性质． 专题：函数的性质及应用． 分析：函数f（x）为偶函数，可得f（﹣）=f（）再将其代入f（x）=2sinx，进行求解，再根据x∈ 曲线=1（k＜9）表示焦点在x轴上，长轴长为2，短轴长为2， 离心率为，焦距为16． 对照选项，则D正确． 故选D． 点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题． 9．指数函数y=（）x与二次函数y=ax2+2bx（a∈R，b∈R）在同一坐标系中的图象可能的是( ) A．B．C．D． 考点：函数的图象；二次函数的性质． 分析：根据二次函数的对称轴首先排除B选项，再根据与1关系，结合二次函数和指数函数的性质逐个检验即可得出答案 解答：解：根据指数函数的解析式为y=（）x，∴＞0， ∴﹣＜0， 故二次函数y=ax2+bx的对称轴x=﹣位于y轴的左侧，故排除B． 对于选项A，由二次函数的图象可得a＞0，故二次函数y=ax2+bx的对称轴x=﹣＞﹣1，∴＜1，则指数函数应该单调递减，故A不正确． 对于选项C，由二次函数的图象可得a＜0，故二次函数y=ax2+bx的对称轴x=﹣＜﹣1，∴＞1，则指数函数应该单调递增，故C正确． 对于选项C，由二次函数的图象可得a＞0，故二次函数y=ax2+bx的对称轴x=﹣＜﹣1，∴＞1，则指数函数应该单调递增，故D不正确 故选：C 点评：本题考查了同一坐标系中指数函数图象与二次函数图象的关系，根据指数函数图象确定出a、b的正负情况是求解的关键，属于基础题 10．对于集合A，如果定义了一种运算“⊕”，使得集合A中的元素间满足下列4个条件： （Ⅰ）?a，b∈A，都有a⊕b∈A （Ⅱ）?e∈A，使得对?a∈A，都有e⊕a=a⊕e=a； （Ⅲ）?a∈A，?a′∈A，使得a⊕a′=a′⊕a=e； （Ⅳ）?a，b，c∈A，都有（a⊕b）⊕c=a⊕（b⊕c）， 则称集合A对于运算“⊕”构成“对称集”．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”： ①A={整数}，运算“⊕”为普通加法； ②A={复数}，运算“⊕”为普通减法； ③A={正实数}，运算“⊕”为普通乘法． 其中可以构成“对称集”的有( ) A．①②B．①③C．②③D．①②③ 考点：元素与集合关系的判断． 专题：计算题；集合． 分析：根据新定义，对所给集合进行判断，即可得出结论． 解答：解：①A={整数}，运算“⊕”为普通加法，根据加法运算可知满足4个条件，其中e=0，a、a′互为相反数； ②A={复数}，运算“⊕”为普通减法，不满足4个条件； ③A={正实数}，运算“⊕”为普通乘法，根据乘法运算可知满足4个条件，其中e=1，a、a′互为倒数． 故选：B． 点评：本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题） 11．已知函数f（x）=，则在点（2，f（2））处的切线方程为y=﹣2x+8． 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题：导数的综合应用． 分析：求出原函数的导函数，得到f′（0）=2，再求出f（0），由直线方程的点斜式得答案． 解答：解：∵f（x）=， ∴， ∴f′（2）=﹣2， 又f（2）=4， ∴函数f（x）=在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣4=﹣2（x﹣2）， 即y=﹣2x+8． 故答案为：y=﹣2x+8． 点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题． 12．设z=kx+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则实数k=2． 考点：简单线性规划． 专题：不等式的解法及应用． 分析：先画出可行域，得到角点坐标．再对k进行分类讨论，通过平移直线z=kx+y得到最大值点A，即可得到答案． 解答：解：可行域如图： 由得：A（4，4）， 同样地，得B（0，2）， z=kx+y，即y=﹣kx+z，分k＞0，k＜0两种情况． 当k＞0时， 目标函数z=kx+y在A点取最大值，即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大，即12=4k+4，得k=2； 当k＜0时， ①当k＞﹣时，目标函数z=kx+y在A点（4，4）时取最大值，即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大， 此时，12=4k+4， 故k=2． ②当k时，目标函数z=kx+y在B点（0，2）时取最大值，即直线z=kx+y在y轴上的截距z 最大， 此时，12=0×k+2， 故k不存在． 综上，k=2． 故答案为：2． 点评：本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义． 13．在各项均为正项的等比数列{an}中，已知a1+a2+a3+a4+a5=31，=，则a3=4． 考点：等比数列的通项公式． 专题：等差数列与等比数列． 分析：设出等比数列的首项和公比，由题意列式，整体运算得到，则a3可求． 解答：解：设等比数列an的公比为q，则{}也是等比数列， 且公比为，依题意得：， 两式作比得：，即， ∵an＞0，∴a3=4． 故答案为：4． 点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题． （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）【几何证明选讲选做题】 14．在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=5，点E、F分别在AB、CD上，且EF∥AD，若，则EF的长为． 考点：平行线分线段成比例定理． 专题：计算题． 分析：先设EF交AC与点H，利用平行线分线段成比例定理求出EH以及HF，即可求得EF 的长． 解答：解：设EF交AC与点H， 因为EF∥AD，且， 所以有==，故EH=×5=， 同理=，得HF=2=． 所以：EF==． 故答案为：． 点评：本题主要考查平行线分线段成比例定理．解决本题的关键在于把EF的长转化为EH 以及HF． 【坐标系与参数方程选做题】 15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线l与曲线C的参数方程分别为l：（s为参数）和C：（t为参数），若l与C相交于A、B两点，则|AB|=． 考点：直线的参数方程；抛物线的参数方程． 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：把直线l的参数方程化为直角坐标方程，把曲线C的参数方程化为直角坐标方程，联立方程组求出交点坐标， 再利用两点间的距离公式求出结果． 解答：解：把直线l：（s为参数）消去参数，化为直角坐标方程为 x+y﹣2=0． 把曲线C：（t为参数）消去参数，化为直角坐标方程为 y=（x﹣2）2． 把直线方程和曲线C的方程联立方程组解得，或． 故|AB|==， 故答案为． 点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，求直线和曲线的交点坐标，两点间的距离公式，属于基础题． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．已知函数． （1）求f（x）的最大值和最小正周期； （2）若f（）=，α是第二象限的角，求sin2α． 考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法． 专题：三角函数的图像与性质． 分析：（1）利用两角和的正弦公式对解析式化简，由正弦函数的最值和三角函数的周期公式求出函数的最大值和周期； （2）将x=代入由（1）求出的解析式，化简后求出正弦值，再由角的范围和平方关系求出余弦值，再代入二倍角的正弦公式求值即可． 解答：解（1）由题意得，=2sin（2x+）， ∴f（x）的最大值为2， 且函数的最小正周期为T==π， （2）由（1）知，， ∵，∴， 即sinα=， 又∵α是第二象限的角， ∴cosα=﹣=﹣， ∴sin2α=2sinαcosα=2××（﹣）=﹣． 点评：本题考查了倍角公式和两角和的正弦公式，以及正弦函数的性质综合应用，考查了的知识点较多，需要熟练掌握． 17．近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织．现把该组织的成员按年龄分成5组：第1组，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人． （1）求该组织的人数； （2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？ （3）在（2）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，用列举法求出第3组至少有一名志愿者被抽中的概率． 考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图． 专题：概率与统计． 分析：（1）根据频数=频率×样本容量，频率=对应矩形面积，构造关于n的方程，解方程可得该组织的人数； （2）先计算出第3，4，5组中每组的人数，进而根据比例，可得到应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者； （3）选求出这6名志愿者中随机抽取2名志愿者的基本事件总数和第3组至少有一名志愿者被抽中的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案． 解答：解：（1）由题意：第2组的人数：35=5×0.07?n，得到：n=100， 故该组织有100人．… （2）第3组的人数为0.3×100=30， 第4组的人数为0.2×100=20， 第5组的人数为0.1×100=10． ∵第3，4，5组共有60名志愿者， ∴利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为： 第3组：；第4组：；第5组：． ∴应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人．… （3）记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者为B1B2，第5组的1名志愿者为C1．则从6名志愿者中抽取2名志愿者有： （A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1）， （A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1）， （A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），共有15种． 其中第3组的3名志愿者A1，A2，A3，至少有一名志愿者被抽中的有： （A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3）， （A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），共有12种， 则第3组至少有一名志愿者被抽中的概率为． … 点评：本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键． 18．如图，三棱锥C﹣ABD中，AB=AD=BD=BC=CD=2，O为BD的中点，∠AOC=120°，P为AC 上一点，Q为AO上一点，且． （Ⅰ）求证：PQ∥平面BCD； （Ⅱ）求证：PO⊥平面ABD； （Ⅲ）求四面体ABCD的体积． 考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定． 专题：综合题；空间位置关系与距离． 分析：（Ⅰ）证明：PQ∥CO，利用线面平行的判定定理证明PQ∥平面BCD； （Ⅱ）证明BD⊥PO，OP⊥OA，即可证明：PO⊥平面ABD； （Ⅲ）求出P﹣ABD的体积，即可求四面体ABCD的体积． 解答：（Ⅰ）证明：∵，∴PQ∥CO 又∵PQ?平面BCD，CO?平面BCD， ∴PQ∥平面BCD… （Ⅱ）证明：由等边△ABD，等边△BCD，O为BD的中点得：BD⊥AO，BD⊥OC，AO∩OC=O， ∴BD⊥平面AOC． 又∵PO?平面AOC，∴BD⊥PO 在△AOC中，∠AOC=120°，， ∴∠OAC=30°，… ∴AP=2 在△AOP中，由余弦定理得：OP=1… ∴OP⊥OA… 又OA∩BD=O， ∴PO⊥平面ABD… （Ⅲ）解：∵PO⊥平面ABD， ∵ ∴… 点评：本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查体积的计算，正确运用线面平行、线面垂直的判定定理是关键． 19．已知{an}是等差数列，公差为d，首项a1=3，前n项和为Sn．令，{cn}的前20项和T20=330．数列{bn}满足bn=2（a﹣2）dn﹣2+2n﹣1，a∈R． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若bn+1≤bn，n∈N*，求a的取值范围． 考点：数列递推式；等差数列的性质． 专题：综合题；等差数列与等比数列． 分析：（Ⅰ）利用T20=330，求出公差，即可求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）先求出bn，再根据bn+1≤bn，n∈N*，结合函数的单调性，即可求a的取值范围． 解答：解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d， 因为， 所以T20=﹣S1+S2﹣S3+S4+…+S20=330， 则a2+a4+a6+…+a20=330… 则 解得d=3 所以an=3+3（n﹣1）=3n… （Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=2（a﹣2）3n﹣2+2n﹣1bn+1﹣bn=2（a﹣2）3n﹣1+2n﹣=4（a﹣2）3n﹣2+2n﹣1=由bn+1≤bn?… 因为随着n的增大而增大， 所以n=1时，最小值为， 所以… 点评：本题考查数列的通项，考查数列与不等式的联系，考查学生的计算能力，属于中档题． 20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点F1与抛物线y2=4x的焦点重合，原点到过点A （a，0），B（0，﹣b）的直线的距离是． （1）求椭圆C的方程； （2）设动直线l：y=kx+m与椭圆C有且只有一个公共点P，过F1作PF1的垂直于直线l 交于点Q，求证：点Q在定直线上，并求出定直线的方程． 考点：直线与圆锥曲线的综合问题． 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析：（1）由已恬条件得a2=b2+1，，由此能求出椭圆C的方程． （2）由，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由直线与椭圆相切，得4k2﹣m2+3=0，由此能证明点Q在定直线x=4上． 解答：（1）解：由于抛物线的y2=4x的焦点坐标为（1，0），∴c=1， ∴a2=b2+1， ∵顶点到直线AB：的距离d=， ∴a2=4，b2=3， ∴椭圆C的方程为． （2）证明：由，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0（*） 由直线与椭圆相切得m≠0，且△=64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=0， 整理，得4k2﹣m2+3=0， 将4k2+3=m2，m2﹣3=4k2代入（*）式得 m2x2+8kmx+16k2=0，即（mx+4k）2=0，解得x=﹣， ∴P（﹣，），又F1（1，0），∴==﹣， ∴=，∴直线F1Q的方程为：y=， 联立，得x=4， ∴点Q在定直线x=4上． 点评：本题考查椭圆方程的求法，考查点在定直线上的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用． 21．已知函数f（x）=x3﹣3x2+ax（a∈R） （1）求函数y=f（x）的单调区间； （2）当a≥2时，求函数y=|f（x）|在0≤x≤1上的最大值． 考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题：函数的性质及应用；导数的综合应用． 分析：（1）求出函数的导数，讨论判别式小于或等于0，和大于0，令导数大于0，得增区间；令导数小于0，得减区间； （2）由（1）讨论当a≥3时，当2≤a＜3时，求得函数的单调区间，通过函数值的符号，去绝对值符号，即可得到最大值． 解答：解：（1）函数f（x）=x3﹣3x2+ax的导数为f′（x）=3x2﹣6x+a， 判别式△=36﹣12a， 当△≤0时，即a≥3，f′（x）≥0恒成立，f（x）为增函数； 当a＜3时，即△＞0，3x2﹣6x+a=0有两个实根，x1=1﹣，x2=1+， f′（x）＞0，可得x＞x2或x＜x1；f′（x）＜0，可得x1＜x＜x2． 综上可得，a≥3时，f（x）的增区间为R； a＜3时，f（x）的增区间为（﹣∞，1﹣），（1+，+∞）， 减区间为（1﹣，1+）． （2）由于y=|f（x）|的图象经过原点， 当a≥3时，由（1）可得y=|f（x）|=f（x）在递增， 即有x=1处取得最大值，且为a﹣2； 当2≤a＜3时，由（1）可得f（x）在递减， 则f（x）在x=1﹣处取得最大值，且大于0， 又f（0）=0，f（1）=a﹣2≥0， 则y=|f（x）|=f（x）（0≤x≤1）的最大值即为f（1﹣）． 综上可得，当a≥3时，函数y的最大值为a﹣2； 当2≤a＜3时，函数y的最大值为f（1﹣）． 点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，主要考查分类讨论的思想方法和函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．。
广东省揭阳一中、潮州金山中学、广大附中高三数学上学
广东省揭阳一中、潮州金山中学、广大附中联考2015届高三上学期期中数学试卷（理科）一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知=（0，2），=（1，1），则下列结论中正确的是（）A．（﹣）⊥（+） B．（﹣）⊥C．∥D． ||=||2．（5分）若直线l1：x+（1+m）y=2﹣m与直线l2：2mx+4y=﹣16平行，则m=（）A．m=﹣2 B．m=1 C．m=﹣2或 m=1 D．﹣3．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=e x+m（m为常数），则f（﹣ln5）的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣6 D．64．（5分）曲线+=1与曲线+=1（12＜k＜16）的（）A．长轴长与实轴长相等B．短轴长与虚轴长相等C．焦距相等D．离心率相等5．（5分）下列命题中，错误的是（）A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B．平行于同一平面的两个不同平面平行C．如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．若直线l不平行平面α，则在平面α内不存在与l平行的直线6．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果为（）A．6 B．5 C．8 D．77．（5分）“ac=bd”是“复数a+bi与c+di的积是纯虚数”的（）条件．A．充分必要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分也不必要8．（5分）定义一种新运算：a•b=已知函数f（x）=（1+）•log2x，若函数g（x）=f（x）﹣k恰有两个零点，则k的取值范围为（）A．（1，2] B．（1，2）C．（0，2）D．（0，1）二.填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．（一）必做题（9-13题）9．（5分）已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120°的等腰三角形，则该三棱锥的体积为．10．（5分）已知数列{a n}满足log3a n+1=log3a n﹣1，且a2+a4+a8=9，则log（a6+a8+a12）=．11．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=．12．（5分）．13．（5分）已知正实数x，y满足lnx+lny=0，且k（x+2y）≤x2+4y2恒成立，则k的最大值是．一、选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）坐标系与参数方程选做题14．（5分）极坐标系中，曲线ρ=﹣4sinθ和ρcosθ=1相交于点A，B，则|AB|=．一、几何证明选讲选做题15．如图所示，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB=2，BC=2，则⊙O的半径等于．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=2cosx（sinx﹣cosx）+1（x∈R）（1）求函数f（x）的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；（2）若f（x0）=，x0∈，求cos2x0的值．17．（12分）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“再来一瓶”或“谢谢惠顾”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“再来一瓶”字样即为中奖，中奖概率为．甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．（1）求甲、乙都中奖且丙没有中奖的概率；（2）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ．18．（14分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为1，点M在BC上，△AMC1是以M为直角顶点的等腰直角三角形．（1）求证：点M为BC的中点；（2）求点B到平面AMC1的距离；（3）求二面角M﹣AC1﹣C的大小．19．（14分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为F（1，0）．（1）求椭圆的方程；（2）设点O为坐标原点，过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，若OM⊥ON，求直线l的方程．20．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知S n=2a n﹣2n+1（n∈N*）．（1）求a1的值，并证明数列{}是等差数列；（2）设b n=log2，数列{}的前n项和为B n，若存在整数m，使对任意n∈N*且n≥2，都有B3n﹣B n＞成立，求m的最大值．21．（14分）已知函数f（x）=﹣x2+2lnx与g（x）=x+有相同极值点．（1）求实数a的值；（2）若x1，x2是区间内任意两个不同的数，求证：|f（x1）﹣f（x2）|＜6|x1﹣x2|；（3）若对于任意x1，x2∈，不等式≤1恒成立，求实数k的取值范围．广东省揭阳一中、潮州金山中学、广大附中联考2015届高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知=（0，2），=（1，1），则下列结论中正确的是（）A．（﹣）⊥（+） B．（﹣）⊥C．∥D． ||=||考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：根据平面向量数量积的概念与应用，判断两向量是否平行、垂直以及求它们的模长即可．解答：解：∵=（0，2），=（1，1），∴（﹣）•（+）=﹣=4﹣2=2，∴（﹣）与（+）不垂直，A错误；（﹣）•=•﹣=2﹣2=0，∴（﹣）⊥，B正确；0×1﹣2×1=﹣2≠0，∴与不平行，C错误；||=2，||=，∴||≠||，D错误；故选：B．点评：本题考查了平面向量数量积的应用问题，解题时应利用平面向量的数量积判断向量是否平行或垂直，以及求模长，是基础题．2．（5分）若直线l1：x+（1+m）y=2﹣m与直线l2：2mx+4y=﹣16平行，则m=（）A．m=﹣2 B．m=1 C．m=﹣2或 m=1 D．﹣考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：由两直线ax+by+c=0与mx+ny+d=0平行⇔（m≠0、n≠0、d≠0）解得即可．解答：解：直线x+（1+m）y=2﹣m与2mx+4y=﹣16平行⇔解得：m=1．故选：B．点评：本题考查直线与直线平行的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．3．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=e x+m（m为常数），则f（﹣ln5）的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣6 D．6考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用奇函数的性质f（0）=0可得m，再利用f（x）=﹣f（﹣x）即可得出．解答：解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=e x+m（m为常数），∴f（0）=e0+m=0，解得m=﹣1．∴当x≥0时，f（x）=e x﹣1，∴f（ln5）=e ln5﹣1=4．∴f（﹣ln5）=﹣f（ln5）=﹣4．故选：A．点评：本题考查了奇函数的性质与对数的运算法则，属于基础题．4．（5分）曲线+=1与曲线+=1（12＜k＜16）的（）A．长轴长与实轴长相等B．短轴长与虚轴长相等C．焦距相等D．离心率相等考点：椭圆的简单性质；双曲线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由曲线的标准方程分别计算其焦距即可判断出．解答：解：曲线+=1是焦点在x轴上的椭圆，半焦距=2．曲线+=1（12＜k＜16）表示焦点在x轴上的双曲线，半焦距c 2==2．∴两曲线的截距相等．故选：C．点评：本题考查了标准方程及其性质，属于基础题．5．（5分）下列命题中，错误的是（）A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B．平行于同一平面的两个不同平面平行C．如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．若直线l不平行平面α，则在平面α内不存在与l平行的直线考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：计算题；压轴题；空间位置关系与距离．分析：由直线与平面相交的性质，知A正确；由平面平行的判定定理，知B正确；由直线与平面垂直的性质定理，知C正确；当l⊂α时，在平面α内存在与l平行的直线，故D不正确．解答：解：由直线与平面相交的性质，知一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交，故A正确；由平面平行的判定定理知，平行于同一平面的两个不同平面平行，故B正确；由直线与平面垂直的性质定理，知如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β，故C正确；若直线l不平行平面α，则当l⊂α时，在平面α内存在与l平行的直线，故D不正确．故选D．点评：本题考查空间中直线与直线、直线与平面间的位置关系，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．6．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果为（）A．6 B．5 C．8 D．7考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据直到型循环结构的程序框图，依次计算运行的结果，直到满足条件T≥S，运行终止，输出n值．解答：解：由程序框图知：第一次运行的结果是T=22=4，n=2+1=3，S=32=9；第二次运行的结果是T=23=8，n=3+1=4，S=42=16；第三次运行的结果是T=24=16，n=4+1=5，S=52=25；第四次运行的结果是T=25=32，n=5+1=6，S=62=36；第五次运行的结果是T=26=64，n=6+1=7，S=72=49，满足条件T≥S，运行终止，输出n=7．故选D．点评：本题流程了直到型循环结构的程序框图，读懂框图的流程是关键．7．（5分）“ac=bd”是“复数a+bi与c+di的积是纯虚数”的（）条件．A．充分必要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分也不必要考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：数系的扩充和复数．分析：ac=bd时，（a+bi）（c+di）=（ac﹣bd）+（ad+bc）i=（ad+bc）i，该复数不一定是纯虚数，当ad+bc=0时就不是；若“复数a+bi与c+di的积是纯虚数”时，（a+bi）（c+di）=（ac﹣bd）+（ad+bc）i，所以ac=bd，所以得到“ac=bd”是“复数a+bi与c+di的积是纯虚数”的必要不充分条件．解答：解：（1）若ac=bd，则（a+bi）（c+di）=（ac﹣bd）+（ad+bc）i=（ad+bc）i，而（ad+bc）i不一定是纯虚数，当ad+bc=0时就不是；∴“ac=bd”不是“复数a+bi与c+di的积是纯虚数”的充分条件；（2）若复数a+bi与c+di的积是纯虚数，则由（a+bi）（c+di）=（ac﹣bd）+（ad+bc）i得：ac﹣bd=0，即ac=bd；∴“ac=bd”是“复数a+bi与c+di的积是纯虚数”的必要条件；综上得“ac=bd”是“复数a+bi与c+di的积是纯虚数”的必要不充分条件．故选C．点评：考查复数的概念，纯虚数的概念，复数的乘法运算，以及充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念．8．（5分）定义一种新运算：a•b=已知函数f（x）=（1+）•log2x，若函数g（x）=f（x）﹣k恰有两个零点，则k的取值范围为（）A．（1，2] B．（1，2）C．（0，2）D．（0，1）考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：由新定义可得函数f（x）的解析式，问题等价于函数f（x）与y=k的图象有两个交点，作出函数的图象可得答案．解答：解：令1+=log2x，可解得x=4，此时函数值为2，而且当0＜x≤4时，1+≥log2x，当x＞4时1+＜log2x，故f（x）=（1+）•log2x=，函数g（x）=f（x）﹣k恰有两个零点等价于函数f（x）与y=k的图象有两个交点，作出函数的图象：由图象可知，k的取值范围为（1，2）故选B点评：本题考查根的存在性即个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题．二.填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．（一）必做题（9-13题）9．（5分）已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120°的等腰三角形，则该三棱锥的体积为．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据已知中的三视图，可得该几何体是一个三棱锥，求出棱锥的底面面积及棱锥的高，代入棱锥体积公式，可得答案．解答：解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个三棱锥由一视图和俯视图可得底面底边长为2，由左视图可得底面底边上的高为1，故底面积S==由主视图和左视图可得棱锥的高h=2故棱锥的体积V=Sh==故答案为：点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图判断出几何体的形状是解答的关键．10．（5分）已知数列{a n}满足log3a n+1=log3a n﹣1，且a2+a4+a8=9，则log（a6+a8+a12）=2．考点：等差数列的性质；对数的运算性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：先由数列{a n}满足log3a n+1=log3a n﹣1探讨数列，得到数列是以为公比的等比数列，再由a2+a4+a6=a2（1+q2+q4），a6+a8+a12=a6（1+q2+q4）=a2q4（1+q2+q4）求解．解答：解：∵log3a n﹣1=log3a n+1∴a n+1=a n∴数列{a n}是以为公比的等比数列，∴a2+a4+a6=a2（1+q2+q4）=9∴a6+a8+a12=a6（1+q2+q4）=a2q4（1+q2+q4）=9×=，∴log（a6+a8+a12）=2故答案为：2．点评：本题考查了等比数列的定义及其性质、对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．11．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=30°．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：已知sinC=2sinB利用正弦定理化简，代入第一个等式用b表示出a，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c与a代入求出cosA的值，即可确定出A的度数．解答：解：将sinC=2sinB利用正弦定理化简得：c=2b，代入得a2﹣b2=bc=6b2，即a2=7b2，∴由余弦定理得：cosA===，∵A为三角形的内角，∴A=30°．故答案为：30°点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．12．（5分）．考点：定积分．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：根据积分计算公式，求出被积函数x﹣sinx的原函数，再根据微积分基本定理加以计算，即可得到本题答案．解答：解：根据题意，可得=（x2+cosx）=（×π2+cosπ）﹣（×02+cos0）=故答案为：点评：本题求一个函数的原函数并求定积分值，考查定积分的运算和微积分基本定理等知识，属于基础题．13．（5分）已知正实数x，y满足lnx+lny=0，且k（x+2y）≤x2+4y2恒成立，则k的最大值是．考点：基本不等式；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得xy=1，k应小于或等于的最小值．令 x+2y=t，可得t≥2，且=t﹣，故k应小于或等于t﹣的最小值．根据函数 t﹣在上的最大值和最小值；（2）若f（x0）=，x0∈，求cos2x0的值．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）函数f（x）可化简为f（x）=2sin（2x﹣），从而可求最小正周期及在区间上的最大值和最小值；（2）先求出sin（2x0），cos（2x0）的值，从而cos2x0=cos=﹣．解答：解：（1）由f（x）=2cosx（sinx﹣cosx）+1（x∈R）得f（x）=（2sinxcosx）﹣（2cos2x﹣1）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）所以函数f（x）的最小正周期为π因为f（x）=2sin（2x﹣）在区间上是增函数，在区间上为减函数，又f（0）=﹣1，f（）=2，f（）=，所以函数f（x）在区间上的最大值为2，最小值为﹣1．（Ⅱ）解：由（1）可知f（x0）=2sin（2x0）又因为f（x0）=，所以sin（2x0）=由x0∈，得2x0∈从而cos（2x0）=﹣=﹣所以cos2x0=cos=cos（2x0）cos﹣sin（2x0）sin=﹣点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，属于基础题．17．（12分）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“再来一瓶”或“谢谢惠顾”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“再来一瓶”字样即为中奖，中奖概率为．甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．（1）求甲、乙都中奖且丙没有中奖的概率；（2）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ．考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么P（A）=P（B）=P（C）=，由此能求出甲、乙都中奖且丙没有中奖的概率．（2）ξ的可能值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ．解答：解：（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么P（A）=P（B）=P（C）=，…（2分）P（）=P（A）P（B）P（）=（）2•=．…（5分）答：甲、乙都中奖且丙没有中奖的概率为．…（6分）（2）ξ的可能值为0，1，2，3…（7分）P（ξ=k）=，（k=0，1，2，3）…（9分）所以中奖人数ξ的分布列为ξ0 1 2 3P…（10分）Eξ=0×+1×+2×+3×=．…（12分）点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．18．（14分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为1，点M在BC上，△AMC1是以M为直角顶点的等腰直角三角形．（1）求证：点M为BC的中点；（2）求点B到平面AMC1的距离；（3）求二面角M﹣AC1﹣C的大小．考点：二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由已知得CC1⊥AM，AM⊥MC1且AM=MC1，从而AM⊥面CC1M，由此能证明点M为BC 中点．（2）法一：过点B作BH⊥C1M，交其延长线于H，则AM⊥C1M，AM⊥CB，从而BH为点B到平面AMC1的距离，由此能求出结果．法二：设点B到平面AMC1的距离为h．则，由此利用等积法能求出点B到平面AMC1的距离．（3）法一：过M作MH⊥AC于H，作MG⊥AC1于G，连结GH．，∠MGH为二面角M﹣AC1﹣C的平面角，由此能求出二面角M﹣AC1﹣C的大小．法二：过M作MM1∥CC1，交B1C1于M1．以M为坐标原点，BC，AM，MM1分别为x轴，y轴，z轴，利用向量法能求出二面角M﹣AC1﹣C的大小．解答：（1）证明：∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，有CC1⊥底面ABC，AM⊂面ABC，∴CC1⊥AM，…（1分）又∵△AMC1是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，∴AM⊥MC1且AM=MC1∵CC1∩C1M=C1，∴AM⊥面CC1M，…（2分）∵BC⊂面CC1M，∴AM⊥BC，…（3分）∵底面ABC是边长为1的正三角形，∴点M为BC中点．…（4分）（2）解法一：过点B作BH⊥C1M，交其延长线于H，由（1）知AM⊥C1M，AM⊥CB，∴AM⊥平面C1CBB1，∴AM⊥BH，∴BH⊥平面AMC1，∴BH为点B到平面AMC1的距离，…（6分）∴AM=C1M=，在Rt△CC1M中，解得CC1=，…（7分）∵△BHM∽△C1CM，∴，∴，解得BH=．…（9分）（2）解法二：设点B到平面AMC1的距离为h．则，…（5分）由（I）知AM⊥C1M，AM⊥CB，∴AM⊥平面C1CBB1…（6分）∵AB=1，BM=，∴AM=MC1=，CC1=，…（7分）∴，…（8分）∴，解得h=．…（9分）（3）解法一：过M作MH⊥AC于H，作MG⊥AC1于G，连结GH．∵平面AC1⊥平面ABC，且面AC1∩面ABC=AC，又MH⊂面ABC，MH⊥AC，∴MH⊥面AC1，∴MH⊥AC1，又∵MG⊥AC1，且MH∩MG=M，∴AC1⊥面MHG，∴AC1⊥GH，故∠MGH为二面角M﹣AC1﹣C的平面角，…（11分）由（1）知MH==，在等腰直角三角形AMC1中，MG==，∴==．…（13分）因为二面角M﹣AC1﹣C为锐二面角，故，所以二面角M﹣AC1﹣C的大小为．…（14分）（3）解法二：过M作MM1∥CC1，交B1C1于M1．以M为坐标原点，BC，AM，MM1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．…（10分）设面ACC1的一个法向量为，则，取y=1，得=（﹣），…（11分）同理可求得面AMC1的一个法向量为=（﹣），…（12分）设二面角M﹣AC1﹣C的大小为θ，由图知θ为锐角，故cosθ=||==，解得．…（13分）故二面角M﹣AC1﹣C的大小为．…（14分）点评：本题考查点M为BC的中点的证明，考查点B到平面AMC1的距离的求法，考查二面角M﹣AC1﹣C的大小的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．19．（14分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为F（1，0）．（1）求椭圆的方程；（2）设点O为坐标原点，过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，若OM⊥ON，求直线l的方程．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据椭圆的几何性质，求出a、b的值即可；（2）讨论直线MN的斜率是否存在，设出MN的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，结合OM⊥ON，•=0求出直线的斜率k，即可求出直线l的方程．解答：解：（1）依题意得，c=1，∴；…（2分）解得a=，b=1；∴椭圆E的标准方程为+y2=1；…（4分）（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），①当MN垂直于x轴时，MN的方程为x=1，不符题意；…（5分）②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为y=k（x﹣1）；…（6分）由得：x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0，…（8分）∴x1+x2=，x1•x2=；…（10分）∴y1•y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）k2=；又∵OM⊥ON，∴•=0；∴x1•x2+y1y2==0，解得k=±，…（13分）∴直线l的方程为：y=±（x﹣1）．…（14分）点评：本题考查了椭圆的几何性质的应用问题，也考查了直线与椭圆的应用问题，考查了根与系数关系的应用问题，平面向量的应用问题，是综合题．20．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知S n=2a n﹣2n+1（n∈N*）．（1）求a1的值，并证明数列{}是等差数列；（2）设b n=log2，数列{}的前n项和为B n，若存在整数m，使对任意n∈N*且n≥2，都有B3n﹣B n＞成立，求m的最大值．考点：数列的求和；等差关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）当n=1时，a1=S1=2a1﹣22，解得a1．当n≥2时，由S n=2a n﹣2n+1（n∈N*）．可得．两式相减可得．即可证明．（2）由（1）可得=+（n﹣1）=n+1．可得．b n=log2==n，B n=，B3n﹣B n=…+．证明为单调递增数列即可得出．解答：解：（1）当n=1时，a1=S1=2a1﹣22，解得a1=4．当n≥2时，由S n=2a n﹣2n+1（n∈N*）．可得．两式相减，得a n=2a n﹣2a n﹣1﹣2n，∴=1．∴数列是以首项为2，公差为1的等差数列．（2）由（1）可得=+（n﹣1）=n+1．∴．∴b n=log2==n，∴B n=，则B3n﹣B n=…+．令f（n）=…+．则f（n+1）=+…++++，∴f（n+1）﹣f（n）===0．即f（n+1）＞f（n），∴数列{f（n）}为递增数列．∴当n≥2时，f（n）的最小值为f（2）==．据题意，，即m＜19．又m为整数，故m的最大值为18．点评：本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（14分）已知函数f（x）=﹣x2+2lnx与g（x）=x+有相同极值点．（1）求实数a的值；（2）若x1，x2是区间内任意两个不同的数，求证：|f（x1）﹣f（x2）|＜6|x1﹣x2|；（3）若对于任意x1，x2∈，不等式≤1恒成立，求实数k的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题；证明题；导数的综合应用．分析：（1）求出f（x）的导数，求得单调区间，得到极大值点，再由条件求出g（x）的导数，得到方程，解出即可；（2）|f（x1）﹣f（x2）|＜6|x1﹣x2|⇔f（x1）﹣f（x2）＜6（x2﹣x1）⇔f（x1）+6x1＜f（x2）+6x2，令h（x）=f（x）+6x，求出导数，求出单调区间，即可得证；（3）求出f（x）在上的最值，运用导数求得g（x）在上的最值，讨论①k＞1时，不等式≤1恒成立，⇔k﹣1≥max⇔k≥max+1，②k＜1时，不等式≤1恒成立，⇔k﹣1≤min⇔k≤min+1，列出不等式，解出求并集即可．解答：（1）解：由f′（x）=﹣2x+=﹣，知当0＜x＜1时f′（x）＞0；当x＞1时f′（x）＜0；∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数．∴x=1为函数f（x）的极大值点．又函数f（x）=﹣x2+2lnx与g（x）=x+有相同极值点，∴x=1是函数g（x）的极值点，∵g′（x）=1﹣．∴g′（a）=1﹣a=0，解得a=1．经检验，当a=1时，函数g（x）取到极小值，符合题意．（2）证明：由（1）知函数f（x）在上单调递减，不妨设x1＜x2，∴|f（x1）﹣f（x2）|＜6|x1﹣x2|⇔f（x1）﹣f（x2）＜6（x2﹣x1）⇔f（x1）+6x1＜f（x2）+6x2，令h（x）=f（x）+6x，则h′（x）=﹣2x++6，因为h′（x）在（2，3）上单调递减，且h′（2）=﹣4+7=3＞0当x∈（2，3）时，h′（x）＞0，所以函数h（x）在上单调递增，∴h（x1）＜h（x2），所以问题得证．（3）解：∵f（）=﹣﹣2，f（1）=﹣1，f（3）=﹣9+2ln3，∵﹣9+2ln3＜﹣﹣2＜﹣1，即 f（3）＜f（）＜f（1），∴任意x1∈，f（x）min=f（3）=﹣9+2ln3，f（x1）max=f（1）=﹣1由（1）知g（x）=x，∴g′（x）=1﹣．当x∈时，g′（x）＜0；当x∈（1，3]时，g′（x）＞0．故g（x）在为减函数，在（1，3]上为增函数．∵g（）=e，g（1）=2，g（3）=，而 2＜e+＜，∴g（1）＜g（）＜g（3），∴任意x2∈，g（x2）min=g（1）=2，g（x2）max=g（3）=．①当k﹣1＞0，即k＞1时，对于任意x1，x2∈，不等式≤1恒成立，⇔k﹣1≥max⇔k≥max+1由于f（x1）﹣g（x2）≤f（1）﹣g（1）=﹣3，∴k≥﹣2又∵k＞1，∴k＞1．②当k﹣1＜0，即k＜1时，对于任意x1，x2∈，不等式≤1恒成立，⇔k﹣1≤min⇔k≤min+1∵f（x1）﹣g（x2）≥f（3）﹣g（3）=﹣9+2ln3﹣=2ln3﹣∴k+2ln3．又∵k＜1，∴k+2ln3．综上，所求的实数k的取值范围为（﹣∞，﹣+2ln3]∪（1，+∞）．点评：本题考查导数的运用：求单调区间和求极值、最值，考查分类讨论的思想方法，不等式恒成立问题转化为求最值，考查构造函数运用导数求最值，考查运算能力，属于中档题．。
广东省揭阳一中、潮州金山中学2015届高三上学期暑假联
揭阳一中、潮州金山中学2015届高三上学期暑假联考数学（文）试题一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．若集合{}1,0A =-，{}0,1B =，则A B = A ．{}0B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,0,1-2．函数()f x =A ．(,1)-∞B ．(],1-∞C ．()(),11,1-∞--D ．()(],11,1-∞--3．若复数11i z =+，22i z =，则21z z = A ．1i -+B ．1i +C ．22i -+D ．22i +4．以点(3,1)-为圆心且与直线340x y +=相切的圆的方程是 A ．()()22311x y ++-= B ． ()()22312x y ++-= C ．()()22311x y -++= D ．()()22312x y -++= 5．已知平面向量(1,2)=a ，(2,)y =b ，且//a b ，则2+a b = A ．(5,6)-B ．(3,6)C ．(5,4)D ．(5,10)6．若某程序框图如图1所示，则输出的n 的值是 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 67．“0x >”是“2430x x ++>”成立的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．非充分非必要条件D ．充要条件8．某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积是(图1)A ．36a πB ．33a π C ．323a πD ．3a π9．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 A ．sin y x = B ．2x y =C ．3y x x =-D．lg(y x =+10．已知变量x ，y 满足约束条件1440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，，目标函数z mx y =+仅在点()0,1处取得最小值，则m 的取值范围是 A ． (),1-∞ B ． ()1,+∞C ．(),4-∞D ．()4,+∞二、填空题:本大共5小题,考生作答4小题,每小题5分，满分20分. (一)必做题(11～13题)11． 从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________12．△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ,已知2b =,6B π=，4C π=，则△ABC 的面积为 .13.当k ＞0时，两直线kx －y ＝0,2x ＋ky －2＝0与x 轴围成的三角形面积的最大值为 .OEDCBA(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)14. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,圆θρsin 4=的圆心到直线)(3R ∈=θπθ的距离是 .15. （几何证明选讲选做题）如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上,延长BC 到D 使CD BC =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若8=AB ,4=DC 则DE =_________.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．(本题满分12分)已知函数()2(sin cos )cos f x x x x =+． (1)求5()4f π的值； (2)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间．17. (本题满分12分). 小明家订了一份报纸，寒假期间他收集了每天报纸送达时间的数据，并绘制成频率分布直方图，如图所示．（1）根据图中的数据信息，求出众数1x 和中位数2x （精确到整数分钟）；（2）小明的父亲上班离家的时间y 在上午7:007:30至之间，而送报人每天在1x 时刻前后半小时内把报纸送达（每个时间点送达的可能性相等），求小明的父亲在上班离家前能收到报纸（称为事件A ）的概率．DCBAFE18．(本题满分14分)如图所示的多面体中， ABCD 是菱形，BDEF 是矩形，ED ⊥面ABCD ,3BAD π∠=．(1)求证：平//CF AED 面B 面；(2))若BF BD a ==，求四棱锥A BDEF -的体积．19．(本题满分14分)已知正项数列{}n a 满足:222(1)()0()n n a n n a n n n N +-+--+=∈，数列{}n b 的前n项和为n S ，且满足11b =，21n n S b =+()n N +∈．(1) 求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设(21)nn nn b c a +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：21n T <．20．(本题满分14分)已知函数1ln )1(21)(2+++-=x a x a x x f （1）若3=x 是)(x f 的极值点，求)(x f 的极大值； （2）求实数a 的范围，使得1)(≥x f 恒成立.21．(本题满分14分)已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点P 是抛物线上的一点，且其纵坐标为4，4PF =．（1）求抛物线的方程；（2) 设点1122(,),(,)(0,1,2)i A x y B x y y i ≤=是抛物线上的两点，APB ∠的角平分线与x 轴垂直，求PAB ∆的面积最大时直线AB 的方程．xy7.577.56.5O ODCBAFE文科数学答案17.解：（1）17:00x = ………………… 2分由频率分布直方图可知26:507:10x <<即2410430x <<， ………………… 3分∴()2200.0033200.01174100.0233x ⨯+⨯+-⨯ =0.5 解得2419x =分即26:59x = ………………… 6分（2）设报纸送达时间为x ………………… 7分 则小明父亲上班前能取到报纸等价于6.57.577.5x y x y≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤⎩， ………………… 10分如图可知，所求概率为1381142P =-= ………………… 12分18．证明：（1）由ABCD 是菱形//BC AD ∴,BC ADE AD ADE ⊄⊂ 面面//BC ADE ∴面…………3分由BDEF 是矩形//BF DE ∴,BF ADE DE ADE ⊄⊂ 面面//BF ADE ∴面,,BC BCF BF BCF BC BF B ⊂⊂= 面面//BCF ADE ∴面面………………6分（2）连接AC ，AC BD O = 由ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥ 由ED ⊥面ABCD ,AC ABCD ⊂面ED AC ∴⊥,,ED BD BDEF ED BD D ⊂= 面AO BDEF ∴⊥面，……………………10分则AO 为四棱锥A BDEF -的高 由ABCD 是菱形，3BAD π∠=，则ABD ∆为等边三角形，由BF BD a ==；则,AD a AO ==2BDEF S a =，2313A BDEF V a -=⋅=……14分19．解：（1）由222(1)()0n n a n n a n n -+--+=,得2()(1)0n n a n n a ⎡⎤-++=⎣⎦. …………2分由于{}n a 是正项数列,所以2n a n n =+. (3)由21n n S b =+可得当2n ≥时，1121n n S b --=+，两式相减得1n n b b -=-， …………5分 ∴数列{}n b 是首项为1，公比1-的等比数列，1(1).n n b -∴=- …………7分 （2）方法一：∵1(21)21(1)(1)n n n n n b n c a n n -++==-⋅+…………8分 ∴2124141(41)(21)(41)(21)2(21)2(21)2(21)(21)n n n n n n n n c c n n n n n n n --+-+-+-+=-=-+-+ 211(21)(21)2121n n n n ==--+-+…………11分 21234212111111()()()13352121n n n T c c c c c c n n -∴=++++++=-+-++--+ 11 1.21n =-<+…………14分方法二：∵11(21)2111(1)(1)()(1)1n n n n n n b n c a n n n n --++==-⋅=-⋅+++…………11分 2123421211111111()()()()12233445n n n T c c c c c c -∴=++++++=+-+++-++11111()()1 1.21222121n n n n n ++-+=-<-++ …………14分 20．解：（1）xaa x x f ++-=')1()(3=x 是)(x f 的极值点 ∴03)1(3)3(=++-='aa f 解得3=a …………2分当3=a 时，xx x x x x x f )3)(1(34)(2--=+-=' 当x 变化时，)(x f 的极大值为25)1(-=f …………6分（2）要使得1)(≥x f 恒成立，即0>x 时，0ln )1(212≥++-x a x a x 恒成立………8分 设x a x a x x g ln )1(21)(2++-=，则xa x x x a a x x g ))(1()1()(--=++-=' （ⅰ）当0≤a 时，由0)(<'x g 得单减区间为)1,0(，由0)(>'x g 得单增区间为),1(+∞ 021)1()(min ≥--==a g x g ，得21-≤a …………10分 （ii ）当10<<a 时，由0)(<'x g 得单减区间为)1,(a ，由0)(>'x g 得单增区间为),1(),,0(+∞a ，021)1(<--=a g 此时∴不合题意. …………10分 （iii ）当1=a 时，)(x f 在),0(+∞上单增，021)1(<--=a g 此时∴不合题意. …12分 （iv ）当a>1时，由0)(<'x g 得单减区间为),1(a ，由0)(>'x g 得单增区间为),(),1,0(+∞a ，021)1(<--=a g 此时∴不合题意. …………13分 综上所述：21-≤a 时，1)(≥x f 恒成立. …………14分21．解：（1）设0(,4)P x ，因为4PF =，由抛物线的定义得042px +=，又2042px =，3分 因此842pp +=，解得4p =，从而抛物线的方程为28y x =． …………6分 （2）由（1）知点P 的坐标为(2,4)P ，因为APB ∠的角平分线与x 轴垂直，所以可知,PA PB 的倾斜角互补，即,PA PB 的斜率互为相反数设直线PA 的斜率为k ，则:4(2)PA y k x -=-，由题意0k ≠， …………7分把42y x k k =+-代入抛物线方程得2832160y y k k--+=，该方程的解为4、1y ， 由韦达定理得184y k +=，即184y k =-，同理284y k=--，所以2121222121218188AB y y y y k y y x x y y --====--+-， …………9分 设:AB y x b =-+，把x y b =-+代入抛物线方程得2880y y b +-=， 由题意64320b ∆=+>，且1280y y b =-≥，从而20b -<≤。
2015届广东省揭阳一中、潮州金山中学高三暑假联考数学理试题
2015届广东省揭阳一中、潮州金山中学高三暑假联考数学理试题一、选择题：(本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．)1. 若集合{}0P y y =≥，PQ Q =，则集合Q 不可能是（ ）A ．∅B ．{}2,R y y x x =∈ C ．{}2,R xy y x =∈ D ．{}2log ,0y y x x => 2.若复数z 满足2iz =，其中为虚数单位，则z 的虚部为（ ） A.2- B.2 C.2i - D.2i3.已知R a ∈且0≠a ，则“11<a”是 “a >1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费 用为：不超过50 kg 按0.53元/kg 收费，超过50 kg 的 部分按0.85元/kg 收费.相应收费系统的流程图如右图所 示，则①处应填（ ）.A 0.85y x = .B 500.53(50)0.85y x =⨯+-⨯ .C 0.53y x = .D 500.530.85y x =⨯+5.在△ABC 中，3sin 5A =，8AB AC ⋅=，则△ABC 的面积为（ ） A.3 B.4 C.6 D.1256. 一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是（ ） A ．21 B ． C ．23D ．27.如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）A.14B. 15C. 16D. 178. 设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0M >，使|()|||f x M x ≤对一切实数x 均成立，则称()f x 为“倍约束函数”．现给出下列函数：①()2f x x =；②2()1f x x =+；③()sin cos f x x x =+；④2()3xf x x x =-+；⑤()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切1x ，2x 均有1212|()()|2||f x f x x x -≤-．其中是“倍约束函数”的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题：(本大题共7小题，每小题5分，满分30分）（一）必做题（9～13题）9.不等式316x x ++-≥的解集是 ．10．若52345012345(12),x a a x a x a x a x a x +=+++++则a 3= .11.若等比数列{}n a 的各项均为正数,且512911102e a a a a =+,则1220ln ln ln a a a +++= .12.设1F 、2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=，则椭圆的离心率为 .13.设x 、y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为4，则2a b ab +的最小值为 .（二）选做题：(考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．)14.（坐标系与参数方程选做题） 已知圆的极坐标方程为2cos ρθ=，则该圆的圆心到直线sin 2cos 1ρθρθ+= 的距离是 .15.（几何证明选讲选做题）如图，已知点D 在圆O 直径AB 的延长线上，过D 作圆O 的切线,切点为.C 若1CD BD ==,则圆O 的面积为 .三、解答题：（本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）16．（本题满分12分）设(3,sin 2)a x =-, (cos 2b x =,()f x a b =⋅ （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 的最大值及取最大值时x 的集合；（Ⅲ）求满足()f α=0απ<<的角α的值．17. （本题满分12分）某市,,,A B C D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查．（Ⅰ）问,,,A B C D 四所中学各抽取多少名学生？（Ⅱ）在参加问卷调查的50名学生中，从来自,A C 两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用ξ表示抽得A 中学的学生人数，求ξ的分布列，数学期望和方差．18．(本题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，AB //CD ，AB AD ⊥，4,2AB AD CD ===，PA ⊥平面ABCD ，4PA =. （Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）设点Q 为线段PB 上一点，且直线QC 与平面PAC PQPB的值．19．（本题满分1４分）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n 都有612n n S a =-记12log n n b a =．（Ⅰ）求1a ,2a 的值；（Ⅱ）求数列{}n b 的通项公式； （Ⅲ）令221(2)(1)n n n c n b +=+-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明:对于任意的*n N ∈,都有564nT <．20．（本题满分14分）如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆T ：222(2)(0)x y r r ++=>，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求TM TN ⋅的最小值，并求此时圆T 的方程；（Ⅲ）设点P 是椭圆C 上异于M ,N 的任意一点，且直线,MP NP 分别与x 轴交于点,R S ，O 为坐标原点，求证：OR OS ⋅为定值．21. （本题满分14分） 设函数()=ln(1)1ax f x x x +-+，()a R ∈；()(1)1xg x k kx =+--，(1,)k ∈-+∞. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）当[0,1]x ∈时，求函数()g x 的最大值；（Ⅲ）求证：*1111ln(1)()1nnk k n n N k k==<+<∈+∑∑理科数学参考答案（Ⅱ）当22,6Z x k k ππ+=∈，即,12Z x k k ππ=-∈时，()f x 有最大值此时，所求x 的集合为{|,}12Z x x k k ππ=-∈． ………9分（Ⅲ）由()f α=得)6πα+= 得1cos(2)62πα+=-…10分 又由0απ<<得22666πππαπ<+<+， 故242633πππα+=或，解得7412ππα=或． ……12分 17. 解：（Ⅰ）由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为．∴应从四所中学抽取的学生人数分别为． ……… 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，50名学生中，来自,A C 两所中学的学生人数分别为15,10． 依题意得，ξ的可能取值为0,1,2， …………5分2102253(0)20C P C ξ===，1115102251(1)2C C P C ξ===，2152257(2)20C P C ξ===．… 8分∴ξ的分布列为：3176012202205E ξ=⨯+⨯+⨯=… 10分22263616723(0)(1)(2)5205252050D ξ=-⋅+-⋅+-⋅=…… 12分 18．（Ⅰ）证明：因为AP ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，所以以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系，则(4,0,0)B ，(0,0,4)P ，(0,D ，(2,C . …………2分所以 (4,BD =-，(2,AC =，(0,0,4)AP =，所以(4)222000BD AC ⋅=-⨯+⨯=，(4)00040BD AP ⋅=-⨯++⨯=. 所以 BD AC ⊥，BD AP ⊥. 4分因为 AP AC A =，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ， 所以 BD ⊥平面PAC . …………………6分（Ⅱ）解：设PQPBλ=（其中01λ≤≤），(,,)Q x y z ，线QC 与平面PAC 所成角为θ.所以PQ PB λ=. 所以(,,4)(4,0,4)x y z λ-=-.∴4,0,44,x y z λλ=⎧⎪=⎨⎪=-+⎩即(4,0,44)Q λλ-+ ∴(42,22,44)CQ λλ=---+. ……………9分由（Ⅰ）知平面PAC 的一个法向量为(4,BD =-. 因为 sin cos ,CQ BD CQ BD CQ BDθ⋅=<>=⋅， ……………12分得 解得 7[0,1]12λ=∈.所以712PQ PB =. …………14分法2：(Ⅰ) 依题意：Rt BAD ∆∽Rt ADC ∆,CzyxPD CB A所以ABD DAC ∠=∠，又因为090ABD ADB ∠+∠=，所以090ADB DAC ∠+∠=，所以BD AC ⊥ …..2分 又因为PA ⊥平面ABCD ，BD ABCD ⊂平面，所以BD AP ⊥ …..4分 因为 AP AC A =，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ， 所以 BD ⊥平面PAC . ………6分（Ⅱ）解：设PQPBλ=（01λ≤≤），(,,)Q x y z ，直线QC 与平面PAC 所成角为θ. 记AC 交BD 于O ，连结PO .过Q 作QE 平行于BD ，交PO 于E . 连结CE 、CQ . 由（Ⅰ）知，BD ⊥平面PAC ，∴QE ⊥平面PAC ， ∴QCE ∠即为CQ 与平面PAC 所成角.∴33sin ==∠CQ QE QCE ①. ……8分 设k PB PQ =（10≤≤k ），则k BOQE =. 在ACD Rt ∆中， 2=CD ，22=AD ，∴32=AC .易证ACD ∆∽BAO ∆，∴AD BOAC AB =，即22324BO =， ∴BO =，∴k QE 364= ②. 在PAB Rt ∆中， 4=PA ，4=AB ，∴24=PB ， ∴k PQ 24=. 在PAC Rt ∆中， 4=PA ，32=AC ，∴72=PC .根据余弦定理有：PCPQ CQ PC PQ PC PB BC PC PB ⋅-+=⋅-+22222222， …………12分即kCQ k 24722)72()24(72242)32()72()24(222222⨯⨯-+=⨯⨯-+，解得28483222+-=k k CQ ③.将②，③代入①，解得127=k . ………14分19解：（Ⅰ）由11612S a =-，得11612a a =-，解得118a =． …………1分22612S a =-，得()122612a a a +=-，解得2132a =． …………3分（Ⅱ）由612n n S a =- ……①，当2n ≥时，有11612n n S a --=- ……②， …………4分 ①－②得：114n n a a -=， …………５分∴数列{}n a 是首项118a =，公比14q =的等比数列 …………６分12111111842n n n n a a q -+-⎛⎫⎛⎫∴==⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， …………７分2111221log log 212n n n b a n +⎛⎫∴===+ ⎪⎝⎭． …………８分 （Ⅲ）证明:由（2）有22221111(2)(2)16(2)n n c n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦. …………10分 222222222111111111111632435(1)(1)(2)n T n n n n ⎡⎤=-+-+-++-+-⎢⎥-++⎣⎦… 12分 ])2n (1)1n (1211[161222+-+-+=…………13分 645)211(1612=+<. …………14分 20.解：（Ⅰ）依题意，得2a =，c e a ==1,322=-==∴c a b c ； 故椭圆C 的方程为2214x y += ． ……………3分（Ⅱ）点M 与点N 关于x 轴对称，设),(11y x M ，),(11y x N -， 不妨设01>y ． 由于点M 在椭圆C 上，所以412121xy -=． （*） ……………4分由已知(2,0)T -，则),2(11y x +=，),2(11y x -+=，21211111)2(),2(),2(y x y x y x TN TM -+=-+⋅+=⋅∴3445)41()2(1212121++=--+=x x x x 51)58(4521-+=x ．………6分由于221<<-x ，故当581-=x 时，TM TN ⋅取得最小值为15-． 由（*）式，531=y ，故83(,)55M -，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到21325r =．故圆T 的方程为：2213(2)25x y ++=． …………………8分（Ⅲ） 设),(00y x P ，则直线MP 的方程为：)(010100x x x x y y y y ---=-， 令0y =，得101001y y y x y x x R --=， 同理：101001y y y x y x x S ++=， …………10分 故212021202021y y y x y x x x S R --=⋅ （**） ………………11分又点M 与点P 在椭圆上，故)1(42020y x -=，)1(42121y x -=，……………12分代入（**）式，得： 4)(4)1(4)1(421202*********202021=--=----=⋅y y y y y y y y y y x x S R ． 所以4=⋅=⋅=⋅S R S R x x x x OS OR 为定值． …………14分21.解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(1,)-+∞，()()221(1)1()=111a x ax x a f x x x x +-+-'-=+++， …1分 令()=01f x x a '⇒=-，ⅰ）当110a a -≤-⇒≤时：在区间(1,)-+∞上，()>0f x '恒成立，故()f x 的增区间为(1,)-+∞； ……2分ⅱ）当110a a ->-⇒>时：在区间(1,1)a --上，()<0f x '恒成立，故()f x 的减区间为(1,1)a --； ……3分在区间(1,)a -+∞上，()>0f x '恒成立，故()f x 的增区间为(1,)a -+∞. ……4分（Ⅱ）ⅰ）0k =时，()0g x =，所以max ()0g x =； ……5分ⅱ）0k ≠时，易知()(1)ln(1)xg x k k k '=++-，于是：(1)(1)ln(1)g k k k '=++-，(0)ln(1)g k k '=+-， 由（Ⅰ）可知(1)0g '>， 下证(0)0g '<，即证明不等式ln(1)0x x +-<在(1,0)(0,)x ∈-+∞上恒成立.（法一）由上可知：不等式ln(1)1x x x +>+在(1,0)(0,)x ∈-+∞上恒成立，若(1,0)(0,)x ∈-+∞，则11(1,0)(0,)11x x x -=-∈-+∞++，故1ln()ln(1)11x x x =-++111xx x x x -+>=--++，即当(1,0)(0,)x ∈-+∞时，1ln()1x x >-+，从而ln(1)x x +<，故当(1,0)(0,)x ∈-+∞时，ln(1)0x x +-<恒成立，即(0)0g '<. ……7分（法二）令()ln(1)G x x x =+-，(1,)x ∈-+∞，则1()111x G x x x -'=-=++，列表如下： 表：由表2可知：当(1,0)(0,)x ∈-+∞时，()(0)0G x G >=，故ln(1)0x x +-<恒成立，即(0)0g '<. ……7分由于(1)0g '>，且(0)0g '<，故函数()(1)ln(1)x g x k k k '=++-区间(0,1)内必存在零点. ……8分又当(0,)k ∈+∞时，ln(1)0k +>，指数函数(1)xy k =+为增函数()g x '⇒为增函数，同理当(1,0)k ∈-时，ln(1)0k +<，指数函数(1)x y k =+为减函数()g x '⇒也为增函数， 于是，当(1,0)(0,)k ∈-+∞时， ()(1)ln(1)x g x k k k '=++-必为增函数，从而函数()g x '在区间(0,1)内必存在唯一零点，不妨记为0x ，则0()=0g x '， 易知当0(0,)x x ∈时，()0g x '<，此时()g x 单调递减；当0(,1)x x ∈时，()0g x '>，此时()g x 单调递增，又易知(0)(1)0g g ==，故max ()0g x =；。
广东省揭阳市一中、潮州金山中学、广大附中2015届高三上学期期中考试数学(文) Word版试题及答案
2014-2015学年度高三第一学期期中考联考数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}1,2,3,4,0U =----，集合{}{}1,2,0,3,4,0A B =--=--，则()U C A B ⋂=（）A.{}0B.{}3,4--C.{}1,2--D. φ2.已知点(cos ,tan )P αα在第三象限，则角α的终边在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C.第三象限D.第四象限 3．下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是（ ） A ．1y x =-B.tan y x = C ．3y x =D ．2log y x =4.已知函数()()()1,0,11,0.xx x f x f f a x -≤⎧==-⎨>⎩若，则实数a 的值等于( )A.2B.3C.4D.55． 下列函数中，周期为π，且在[,]42ππ上为增函数的是（ ） A ．sin()2y x π=+B ．cos()2y x π=-C ．sin(2)y x π=--D ．cos(2)y x π=+6．如图，在ABC ∆中，2CD DB =,记AB a =，AC b =，则AD =（ ）.A ．2133a b + B ．2133a b - C ．1233a b + D ．1233a b -7.设l 是直线,βα,是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若βαβα//,//,//则l lB ．若,//αl l ⊥β,则βα⊥C ．若βα⊥,l ⊥α,则l β//D ．若βα⊥, l //α,则l ⊥β8.若实数,x y 满足条件4200x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则2x y +的最大值是 ( )A.8B.2C.4D.79. 若0≤x ≤2，则f(x)=()xx 38-的最大值( )A ．5B ．2C ．316 D ． 334 10．定义在R 上的函数()f x ，若对任意12x x ≠，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+， 则称f(x)为“Z 函数”，给出下列函数：①32123y x x x =-+-；②2(sin cos )y x x x =-+；③1x y e =+；④ln ||,0,()0,0.x x f x x ≠⎧=⎨=⎩其中是“Z 函数”的个数为（ ）.A ．1B ．2C ．3D ．4二．填空题： 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11.ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且3,3,2π===C b a ,则ABC ∆的面积为 . 12. 若1sin()63πθ-=，则2cos(2)3πθ+的值为____________13. 已知函数2()2f x x x =-，()2g x ax =+(a>0)，若1[1,2]x ∀∈-，2[1,2]x ∃∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分12分）已知向量(sin ,5a θ=-与)cos ,1(θ=b（Ⅰ）若a 与b 互相垂直，求tan θ的值 （Ⅱ）若a b =，求sin(2)2πθ+的值17．(本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围 成的区域(含边界)上．(1)若PA →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；(2)设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．18. (本小题满分14分）已知44()sin cos cos f x x x x x a =-++ （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）把()y f x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，得到()y g x =的图像，求函数()y g x =的解析式；（Ⅲ）()y g x =在[0,]2π上最大值与最小值之和为3，求a 的值.19.（本小题满分14分）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PA = PD ，60BAD ∠=︒，E 是AD 的中点，点Q 在侧棱PC 上．（Ⅰ）求证：AD ⊥平面PBE ；（Ⅱ）若Q 是PC 的中点，求证：PA ∥平面BDQ ; （Ⅲ）若2PB C D EQA B C DV V --=，试求CPCQ的值．20.（本小题满分14分）已知函数()()322,3m x x h x ax ==-（1）若函数()()()f x m x h x =-在1x =处取得极值，求实数a 的值； （2）若函数()()()f x m x h x =-在(,)-∞+∞不单调，求实数a 的取值范围；（3）判断过点5(1,)2A -可作曲线()()23f x m x x =-多少条切线，并说明理由．21．(本小题满分14分)已知函数2()ln 2x f x x kx =+-，其中常数k ∈R . (1) 求()f x 的单调增区间与单调减区间；（2）若()f x 存在极值且有唯一零点0x ，求k 的取值范围及不超过0x k的最大整数m .期中考数学（文科）参考答案及评分标准BBCAD ABDDC= …………8分 221sin 1cos 5θθ∴+=+ 2214cos sin 155θθ∴-=-=-即4cos 25θ=- …………10分4sin(2)cos 225πθθ∴+==- …………12分17. 解：(1)方法一：∵PA →＋PB →＋PC →＝0，又PA →＋PB →＋PC →＝(1－x ，1－y )＋(2－x ，3－y )＋(3－x ，2－y )＝(6－3x ，6－3y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2， …………4分 即OP →＝(2，2)，故|OP →|＝2 2. …………6分 方法二：∵PA →＋PB →＋PC →＝0，则(OA →－OP →)＋(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)＝0，∴OP →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝(2，2)，…………4分∴|OP →|＝2 2. …………6分 (2)∵OP →＝mAB →＋nAC →， ∴(x ，y )＝(m ＋2n ，2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ， …………8分 两式相减得，m －n ＝y －x ，令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2，3)时，t 取得最大值1， 故m －n 的最大值为1. …………12分18. 解：（Ⅰ）44()sin cos cos ()f x x x x x x R =-+∈2222(sin cos )(sin cos )2x x x x x =-++a12cos 222cos 22sin 2226x x x x x a π⎛⎫⎛⎫=-=-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ …………4分 ()f x ∴的最小正周期22T ππ== …………6分 （Ⅱ）()2sin 26f x x a π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2sin 6y x a π⎛⎫−−−−−−−→=-+ ⎪⎝⎭横坐标变为原来的2倍纵坐标不变32sin +6y x a ππ⎛⎫−−−−−−→=+ ⎪⎝⎭向左移动个单位所以函数()2sin +6g x x a π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭…………10分 （Ⅲ）20, +,2663x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∴∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1sin 2+126x π⎛⎫∴≤≤ ⎪⎝⎭， 即max min ()2,2330.()1,g x a a a g x a =+⎧∴+==⎨=+⎩即 …………14分19. （Ⅰ） 证明：由E 是AD 的中点， PA =PD ，所以AD ⊥PE ； ………2分又底面ABCD 是菱形，∠BAD =60 所以AB =BD ，又因为E 是AD 的中点 ，所以AD ⊥BE ， ………4分 又PE ∩BE =E 所以AD ⊥平面PBE . ………… 5分（Ⅱ）证明：连接AC 交BD 于点O ，连OQ ；因为O 是AC 的中点，Q 是PC 的中点，所以OQ //PA ， ………………8分又PA ⊄平面BDQ ，OQ ⊂平面BDQ ，所以PA //平面BDQ . ……………… 9分 （Ⅲ）解：设四棱锥P -BCDE ，Q -A BCD 的高分别为21,h h .所以113P BCDE BCDE V S h -=⋅， 213Q ABCD ABCD V S h -=⋅, ………………10分 又因为ABCD Q BCD E P V V --=2，且底面积ABCD BCDE S S 43=， ………………12分所以3821==h h CQ CP . ……… 14分20.【解析】（1）∵233-)(x x x m =，ax ax x h 3-3)(2=，)(-)()(x h x m x f =， ∴ a x a x x f 3)1(323)(2++-=' ……………………………………1分∵ 0)1(='f ∴0)1(3233=+-+a a ∴ 1-=a ……………………2分 ∴ )1)(1(3)(+-='x x x f ，显然在1=x 附近)(x f '符号不同，∴ 1=x 是函数)(x f 的一个极值点 ………………………………………3分 ∴ 1-=a 即为所求 ………………………………………………………4分 （2）∵233-)(x x x m =，ax ax x h 3-3)(2=，)(-)()(x h x m x f =， 若函数)(x f 在),(∞+-∞不单调，则03)1(323)(2=++-='a x a x x f 应有二不等根 …………………………5分 ∴ 036)1(122>-+=∆a a ∴012>+-a a ……………………………7分∴ R a ∈………………………………… ……………8分（3）∵233-)(x x x m =，∴x x x x x m x f 33-3)()(32-=+=， ∴)1(3)(2-='x x f ，设切点),(00y x M ，则M 纵坐标03003x x y -=，又)1(3)(200-='x x f ，∴ 切线的斜率为1253)1(3003020-+-=-x x x x ，得021322030=+-x x ……10分设=)(0x g 21322030+-x x ，∴=')(0x g 02066x x - 由=')(0x g 0，得00=x 或10=x ，∴)(0x g 在),1(),0,(∞+-∞上为增函数，在)1,0(上为减函数， ∴ 函数=)(0x g 21322030+-x x 的极大值点为00=x ，极小值点为10=x ， ∵ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>=021)1(021)0(g g ∴ 函数=)(0x g 21322030+-x x 有三个零点 ……………13分∴ 方程021322030=+-x x 有三个实根 ∴ 过点)25,1(-A 可作曲线)(x f y =三条切线 ……………………………14分21.解:（1）211()(0).x kx f x x k x x x-+'=+-=>……………………………………1分 ① 当2k ≤时，1()20f x x k k k x '=+-≥=-≥， 函数()f x 为增函数. …………………………………………………………………3分 ②当2k >时，12()()()x x x x f x x--'=，其中12022k k x x <=<=…………………………………4分,(),()x f x f x '的取值变化情况如下表：………………………………………………………………………………………6分 综合①②知当2k ≤时，()f x 的增区间为(0,)+∞，无减区间；当2k >时，()f x 的增区间为0,2k ⎛ ⎥⎝⎦与2k ⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎢⎣⎭，减区间为.⎢⎥⎣⎦…………………7分（2）由(1)知当2k ≤时，()f x 无极值；…………………………………………………8分当2k >时，101x <==<知()f x 的极大值1111()ln ()02x f x x x k =+-<，()f x 的极小值21()()0f x f x <<， 故()f x 在(]20,x 上无零点. ………………………………………………………………10分224(2)ln(2)2ln(2)02k f k k k k =+-=>，又21x k <=<，故函数()f x 有唯一零点0x ，且()02,2x x k ∈.………………………………………11分又222()ln ln 22k k f k k k k =+-=-，记2()ln (2)2k g k k k =->， 211()0,k g k k k k -'=-=<则22()(2)ln 2ln 2202g k g <=-=-<，从而()0f k <，002,1 2.x k x k k<<<<…………………………………………13分 故k 的取值范围是(2,),+∞不超过0x k的最大整数 1.m = ………………………14分。
广东省揭阳市第一中学、潮州金山中学高三数学五月联考
2015-2016第二学期高三联考数学（文科）试题一、选择题：(每小题5分，共60分)．1．复数2(12)i +（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ）A ． 4B ． 4-C ． 4iD ． 4i -2．已知集合211{|(),}2x A y y x R +==∈，则满足A B B ⋂=的集合B 可以是（ ）A ．1{0,}2B ．{|11}x x -≤≤C ．1{|0}2x x << D ．{|0}x x >3.各项为正的等比数列{}n a 中，4a 与14a 的等比中项为22，则27211log log a a +的值 为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14、已知平面向量(0,1),(2,2),2a b a b λ=-=+=r r r r，则λ的值为A ．12+B ．21-C ．2D ．15．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥0表示的平面区域内的点都在圆2221()(0)2x y r r +-=>内，则r 的最小值是( ) A5 B 12C 1D 5 6．如图所示为函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0，≤φ≤π）的部分图象，其中A ，B 两点之间的距离为5，那么f （2016）=（ ） A ． B ．﹣ C ．-1 D ．17. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）（A ）16 （B ）17 （C ）14 （D ）15第6题图开始0,1S n ==输出n结束3?S <-21log 2n S S n +=++否是1n n =+n8、在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，P 在线段BD 1上，且112BP PD =，M 为线段11B C 上的动点，则三棱锥M PBC -的体积为（ ）A ．1B ．32C ．92D ．与M 点的位置有关9．已知抛物线y 2=6x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，|PF|=2，则直线AF 的倾斜角为（ ）A ．B ．C ．D ．10.已知点12F F 、分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A B 、两点，若22::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．4C ．13D ．1511．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则一个质点从扇形的圆心起始，绕几何体的侧面运动一 周回到起点，其最短路径为A ．4＋43πB ．63C ．4＋23πD ．612．设函数)(x f y =对任意的R ∈x 满足)()4(x f x f -=+,当]2,(-∞∈x 时,有x x f -=2)(-5．若函数)(x f 在区间))(1,(Z ∈+k k k 上有零点,则k 的值为A ．-3或7B ．-4或7C ．-4或6D ．-3或6二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知数列{}n a 满足111,n n a a a n -=-=(2)n ≥，则数列{}n a 的通项公式n a =_________14.若直线()2100,0ax by a b +-=>>经过曲线()cos 101y x x π=+<<的对称中心，则21a b+的最小值为15. 已知EAB ∆所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，3,EA EB ==2,AD =60AEB ∠=︒，则多面体E ABCD -的外接球的表面积为 .16．已知函数111,[0,]242()1,(,1]22x x f x x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪+⎩，()cos 52(0)2x g x a a a π=+->若存在1x ，2x ∈[0，1]，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题,满分70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6 元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时． (1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为31，停车付费多于14元的概率为125，求甲停车付费恰为6元的概率；(2)若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率． 18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知=（1）求角C 的大小， （2）若c=2，求使△ABC 面积最大时a ，b 的值．19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，,D E 分别为111,A B AA 的中点，点F 在棱AB 上，且14AF AB =. （1）求证：//EF 平面1BDC ；（2）在棱AC 上是否存在一个点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为1:15，若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由.20. 已知椭圆M 的对称轴为坐标轴，离心率为22，且一个焦点坐标为)0,2(． （1）求椭圆M 的方程；（2）设直线l 与椭圆M 相交于B A ,两点，以线段OB OA ,为邻边作平行四边形OAPB ，其中点P 在椭圆M 上，O 为坐标原点．求点O 到直线l 的距 离的最小值．21. 已知函数()2212x f x e x kx =--- .（1）当0k =时，求()f x 的单调区间；（2）若0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求k 的取值范围．22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的直径，AC 是弦，BAC ∠的平分线AD 交圆O 于点D ,DE AC ⊥，交AC 的延长线于点E ,OE 交AD 于点F ．（Ⅰ）求证：DE 是圆O 的切线； （Ⅱ）若25AC AB =，求AFDF的值．23．(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为33,3 2.x t y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ,[0,2)ρθθ=∈π． （Ⅰ）求直线l 与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C 上求一点D ，使它到直线l 的距离最短．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|3|f x x =-．（Ⅰ）若不等式()(5)1≥f x f x m -+-有解，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若||1,||3a b <<，且0a ≠，证明：()||f ab b f a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭． 2015-2016第二学期高三联考数学（文科）答卷一．选择题（每小题5分，共60分）xyo ABOC D FE题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二．填空题（每小题5分，共20分）13．_____________ 14 ______________ 15 _______________ 16 _______________三．解答题（本大题共6小题,满分70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.）17.(本小题满分12分)18(本小题满分12分)19. (本小题满分12分)y 20. (本小题满分12分)21. (本小题满分12分)E22（或23或24）（本小题满分10分）C DF2015-2016第二学期高三联考数学（文科）参考答案一．选择题（每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C B C A D A B D C D D二填空题（每小题5分，共20分）13. 1(1)2n n+ 14 322+ 15 16π167,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦三解答题17. (本小题满分12分)（1）解：设“甲临时停车付费恰为6元”为事件A，则 41)12531(1)(=+-=A P ． 所以甲临时停车付费恰为6元的概率是41． 4分 （2）解：设甲停车付费a 元，乙停车付费b 元，其中,6,14,22,30a b =． 6分则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：(6,6),(6,14),(6,22),(6,30),(14,6),(14,14),(14,22),(14,30),(22,6),(22,14),(22,22), (22,30),(30,6),(30,14),(30,22),(30,30)，共16种情形． 10分其中，(6,30),(14,22),(22,14),(30,6)这4种情形符合题意． 故“甲、乙二人停车付费之和为36元”的概率为41164P ==． 12分 18. (本小题满分12分)（1）∵A+C=π﹣B ，即cos （A+C ）=﹣cosB ， ∴由正弦定理化简已知等式得：=，整理得：2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB ，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin （B+C ）=sinA ， ∵sinA≠0，∴cosC=﹣， ∵C 为三角形内角，∴C=； ………….. 6分（Ⅱ）∵c=2，cosC=﹣，∴由余弦定理得：c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，即4=a 2+b 2+ab≥2ab+ab=3ab， ∴ab≤，（当且仅当a=b 时成立）， ∵S=absinC=ab≤，∴当a=b 时，△ABC 面积最大为，此时a=b=，则当a=b=时，△ABC 的面积最大为． …………12分19. (本小题满分12分)（Ⅰ）证明：取AB 的中点M ，14AF AB =Q F ∴为AM 的中点， 又E Q 为1AA 的中点，1//EF A M ∴在三棱柱111ABC A B C -中，,D M 分别为11,A B AB 的中点， 11//,A D BM A D BM ∴=,1A DBM ∴为平行四边形，1//A M BD ∴//,EF BD ∴BD ⊆Q 平面1BC D ，EF ⊄平面1BC D //EF ∴平面1BC D (6)分（Ⅱ）设AC 上存在一点G ,使得平面EFG 将三棱柱分割成两部分的体积之比为1︰15， 则111:1:16E AFG ABC A B C V V --=111111sin 321sin 2E AFG ABC A B C AF AG GAF AEV V AB AC CAB A A --⨯⋅∠⋅=⋅⋅∠⋅Q111134224AG AG AC AC =⨯⨯⨯=⋅112416AG AC ∴⋅=， 32AG AC ∴=， 32AG AC AC ∴=>所以符合要求的点G 不存在 …………….12分20. (本小题满分12分) ．⑴由已知设椭圆M 的方程为)0( 12222>>=+b a by a x ，则2=c ．…………1分由22==a c e ，得2,4,222===b a a ． ∴椭圆M 的方程为12422=+y x ……4分 ⑵当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为m kx y +=． 则由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12422y x m kx y 消去y 得0424)21(222=-+++m kmx x k ．0)42(8)42)(21(416222222>-+=-+-=∆m k m k m k ．① 设点P B A ,,的坐标分别是),(),,(),,(002211y x y x y x ．∵四边形OAPB 为平行四边形，∴2210214k kmx x x +-=+=．2212102122)(k mm x x k y y y +=++=+=．……6分由于点P 在椭圆M 上，∴1242020=+y x ．从而1)21(2)21(42222222=+++k m k m k ，化简得22212k m +=，经检验满足①式．………8分 又点O 到直线l 的距离为22211)1(2111211||2222=-≥+-=++=+=k k k k m d ．…10分 当且仅当0=k 时等号成立．当直线l 斜率不存在时，由对称性知，点P 一定在x 轴上．从而点P 的坐标为)0,2(-或)0,2(，直线l 的方程为1±=x ，∴点O 到直线l 的距离为1． ∴点O 到直线l 的距离的最小值为22．………………………………12分 21. (本小题满分12分)（1）当0k =时，()212x f x e x =--，()222x f x e '=-， ………1分令()0f x '>，则2220x e ->，解得：0x >，令()0f x '<，则2220x e -<，解得：0x <， ……3分所以，函数()212x f x e x =--的单调增区间为()0,+∞，单调减区间为(),0-∞． …….4分 （2）由函数()2212x f x ex kx =---， 则()()2222221x x f x ekx e kx '=--=--， 令()21x g x e kx =--，则()22x g x e k '=-． ……6分由0x ≥，所以，①当2k ≤时，()0g x '≥，()g x 为增函数，而()00g =，所以()0g x ≥，即()0f x '≥，所以()f x 在[)0,+∞上为增函数，而()00f =，所以()0f x ≥在[)0,+∞上恒成立． …………9分②当2k >时，令()0g x '<，即220x e k -<，则10ln 22k x ≤<． 即()g x 在10,ln 22k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，而()00g =，所以，()g x 在10,ln 22k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上小于0． 即()0f x '<，所以()f x 在10,ln 22k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，而()00f =，故此时()0f x <，不合题意．综上，2k ≤． … ……12分22（或23或24）(本小题满分10分)22．解析：（Ⅰ）连接OD ，可得ODA OAD DAC ∠=∠=∠，//OD AE ..............3分又AE DE ⊥，∴OD DE ⊥，又OD 为半径，∴DE 是圆O 的切线； ........5分 （Ⅱ）过D 作AB DH ⊥于点H ，连接BC ，则有HOD CAB ∠=∠，2cos cos 5OH AC HOD CAB OD AB ∠==∠== ...............7分 设5OD x =，则10,2AB x OH x ==，∴7AH x =...............8分由AED AHD ∆≅∆可得7AE AH x ==，又由~AEF DOF ∆∆， 可得75AF AE DF DO ==．...............10分 23．解析：（Ⅰ）由2sin ρθ=，[)0,2θ∈π，可得22sin ρρθ=， ..........1分所以曲线C 的普通方程为2220x y y +-=（或()2211x y +-=）， .........3分 因为直线l 的参数方程为33,32x t y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ）， 消去t 得直线l 的普通方程为350x y +-=； ..........5分 （Ⅱ）因为曲线C 22(1)1x y +-=是以G (0,1)为圆心，1为半径的圆， 因为点D 在曲线C 上，所以可设点D ()cos ,1sin ϕϕ+[)()0,2ϕ∈π， .......7分 所以点D 到直线l 的距离为3cos sin 4d ϕϕ+-=2sin 3ϕπ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ........8分 因为[)0,2ϕ∈π，所以当6ϕπ=时，min 1d =， .........9分 此时D 点的坐标为332⎫⎪⎪⎝⎭． ........10分 24．解析：（Ⅰ）因为()(5)32(3)(2)5-≤f x f x x x x x -+=-+--+=， 当且仅当2≤x -时等号成立，所以15≤m -，解得46≤≤m -； ...........5分（Ⅱ）证明：要证()||f ab b f a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即证|3|3||ab b a a->-， 只需证|3||3|ab b a ->-，即证22(3)(3)ab b a ->-，又22222222(3)(3)99(1)(9)ab b a a b a b a b ---=--+=--，||1, ||3a b <<， 所以22(1)(9)0a b -->，所以22(3)(3)ab b a ->-，故原不等式成立． ..........10分。
广东省揭阳一中、潮州金中高三数学上学期期中联考试题文
2015－2016学年度第一学期期中两校联考文科数学试卷注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必先将自己 的姓名、准考证号码填写在答题卡上.2．回答第I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效. 3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设i 是虚数单位，复数21iz i=+ ,则｜z ｜＝（ ）A.1 D. 22．命题2"[1,2],0"x x a ∀∈-≤为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．4a ≥B ．4a ≤C ． 5a ≥D ．5a ≤3.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的,m n 的比值mn ＝（ ） A.1 B.13 C.29 D.384．已知等差数列{}n a 满足233,51(3),100n n n a S S n S -=-=>= 则n 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．115. 在ABC ∆中，若,6,3||,4||-=∙==则ABC ∆的面积为( )A233 D 33 6.若直线:10,(,)l ax by a b R +++=∈始终平分圆22:(2)(1)4M x y +++=的周长，则12a b+的最小值为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．107．阅读右边的程序框图，输出的结果s 的值为( )A ．0BC ．8.等比数列{}n a 满足0,,n a n N *>∈且23233(2),n n a a n -∙=≥ 则当1n ≥时，=+++-1232313log log logn a a a ( )A.(21)2n n -B.22(2)n n - C.22n D.22n n -9.已知两圆222212:(4)169,:(4)9C x y C x y -+=++=，动圆在圆1C 内部且和圆1C 相内切，和圆2C 相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.2216448x y -= B. 2214864x y += C. 2214864x y -= D. 2216448x y +=10.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．82π-B ．83π- C ．86π- D ．283π-11.已知函数()sin(2))f x x x θθ=++满足()()120152015f x f x -=，且()f x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，则θ的一个可能值是（ ） A 3π B 23π C 43π D 53π12. 已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x ≠时，()()0f x f x x '+>， 若1111(),3(3),(ln )(ln )3333a f b f c f ==--=，则,,a b c 的大小关系正确的是( )A. a b c <<B. b c a <<C. a c b <<D. c a b <<第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
广东省揭阳一中、金山中学2015届高考数学联考试卷(文科)
广东省揭阳一中、金山中学2015届高考数学联考试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|lg（x﹣2）≥0}，B={x|x≥2}，全集U=R，则（∁U A）∩B=（）A．{x|﹣1＜x≤3} B．∅C．{x|x=3} D．{x|2≤x＜3}2．（5分）复数在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，a n=a n﹣1+2n（n≥2），则a7=（）A．53 B．54 C．55 D．1094．（5分）已知一棱锥的三视图如图所示，其中侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则该棱锥的体积为（）A．8B．16 C．32 D．485．（5分）对于函数f（x）=x2+mx+n，若f（a）＞0且f（b）＞0，则函数f（x）在区间（a，b）内（）A．一定有零点B．一定没有零点C．可能有两个零点D．至多有一个零点6．（5分）曲线在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A．e2B．2e2C．4e2D．7．（5分）下列程序框图的输出结果为（）A．B．C．D．8．（5分）设θ∈（，），则关于θ的方程2=tanθ的解的个数为（）A．0B．1C．2D．39．（5分）点A到图形C上每一个点的距离的最小值称为点A到图形C的距离．已知点A（1，0），圆C：x2+2x+y2=0，那么平面内到圆C的距离与到点A的距离之差为1的点的轨迹是（）A．.双曲线的一支B．.椭圆C．抛物线D．射线10．（5分）定义两种运算：a⊕b=，a⊗b=，则函数为（）A．奇函数B．偶函数C．奇函数且为偶函数D．非奇函数且非偶函数二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11-13题）11．（5分）（+）与垂直，且||=2||，则与的夹角为．12．（5分）若等比数列{a n}的前项n和为S n，且=5，则=．13．（5分）已知函数f（x）=（a＞1，x≥2）．①若∃x0∈C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：利用除法的运算法则：复数=﹣a﹣3i，由于在复平面内对应的点在第三象限，可得﹣a＜0，即可判断出．解答：解：∵复数==﹣a﹣3i，在复平面内对应的点在第三象限，∴﹣a＜0，解得a＞0．∴复数在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的充分不必要条件．故选：A．点评：本题考查了复数的运算法则及其几何意义、充分不必要条件，属于基础题．3．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，a n=a n﹣1+2n（n≥2），则a7=（）A．53 B．54 C．55 D．109考点：数列的求和；数列的概念及简单表示法．专题：等差数列与等比数列．分析：由于数列{a n}满足a1=1，a n=a n﹣1+2n（n≥2），利用“累加求和”a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1，及等差数列的前n项和公式即可得出．解答：解：∵数列{a n}满足a1=1，a n=a n﹣1+2n（n≥2），∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2n+2（n﹣1）+…+2×2+1=+1=n2+n﹣1，当n=1时也成立，∴．∴=55．故选：C．点评：本题考查了“累加求和”方法、等差数列的前n项和公式，属于基础题．4．（5分）已知一棱锥的三视图如图所示，其中侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则该棱锥的体积为（）A．8B．16 C．32 D．48考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图可得该几何体是以底面为直角梯形的四棱锥，求出底面面积和高，代入可得答案．解答：解：该几何体是以底面为直角梯形的四棱锥，底面面积S==12，高h=4，故体积．故选：B点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知的三视图判断出几何体的形状是解答的关键．5．（5分）对于函数f（x）=x2+mx+n，若f（a）＞0且f（b）＞0，则函数f（x）在区间（a，b）内（）A．一定有零点B．一定没有零点C．可能有两个零点D．至多有一个零点考点：函数零点的判定定理．专题：计算题．分析：结合二次函数的图象可知f（x）在区间（a，b）内的零点个数为0或2解答：解：由二次函数的图象可知f（x）在区间（a，b）内的零点个数为0或2故选C点评：本题考查对根的存在性定理的理解，准确把握根的存在性定理的条件和结论及它们之间的关系是解题的关键．6．（5分）曲线在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A．e2B．2e2C．4e2D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；作图题；导数的综合应用．分析：由题意作图，求导y′=，从而写出切线方程为y﹣e2=e2（x﹣4）；从而求面积．解答：解：如图，y′=；故y′|x=4=e2；故切线方程为y﹣e2=e2（x﹣4）；当x=0时，y=﹣e2，当y=0时，x=2；故切线与坐标轴所围三角形的面积S=×2×e2=e2；故选A．点评：本题考查了导数的求法及曲线切线的求法，同时考查了数形结合的思想，属于中档题．7．（5分）下列程序框图的输出结果为（）A．B．C．D．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据程序框图，得到程序的计算功能为计算S=，直到不满足条件i＞2013即可得到结论．解答：解：根据程序框图可知该程序的功能是计算S=，则根据数列求和的裂项法法可得S==1﹣=1﹣，故选：C．点评：本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件得到程序的计算功能是解决本题的关键，注意数列求和的基本方法．8．（5分）设θ∈（，），则关于θ的方程2=tanθ的解的个数为（）A．0B．1C．2D．3考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：首先可判断方程2=tanθ若有解，解在区间考点：轨迹方程．专题：计算题．分析：由题设条件能够推导出动点M（x，y）到两定点A（1，0），C（﹣1，0）的距离之差为2，由|AC|=2，知点M的轨迹是射线．解答：解：圆C：x2+2x+y2=0的圆心C（﹣1，0），半径r==1，设平面内到圆C的距离与到点A的距离之差为1的点的坐标为M（x，y），则（﹣1）﹣=1，∴﹣=2，即动点M（x，y）到两定点A（1，0），C（﹣1，0）的距离之差为2，∵|AC|=2，∴点M的轨迹是射线．故选D．点评：本题考查点的轨迹方程的求法，解题时要认真审题，注意双曲线定义的灵活运用．10．（5分）定义两种运算：a⊕b=，a⊗b=，则函数为（）A．奇函数B．偶函数C．奇函数且为偶函数D．非奇函数且非偶函数考点：函数奇偶性的判断．专题：压轴题；新定义．分析：先利用新定义把f（x）的表达式找出来，在利用函数的定义域把函数化简，最后看f （x）与f（﹣x）的关系得结论．解答：解：有定义知f（x）==，由4﹣x2≥0且|x﹣2|﹣2≠0，得﹣2≤x＜0或0＜x≤2，即函数f（x）的定义域为{x|﹣2≤x＜0或0＜x≤2}，关于原点对称；f（﹣x）===﹣=﹣f（x），故f（x）是奇函数．故选：A．点评：本题是对函数新定义与奇偶性的综合考查，关于新定义的题，关键在于理解新定义，并会用新定义解题．二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11-13题）11．（5分）（+）与垂直，且||=2||，则与的夹角为120°．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题；平面向量及应用．分析：设||=1，则||=2||=2，再根据（+）与垂直，求出两向量夹角的余弦值，利用向量夹角的范围求出向量的夹角．解答：解：设||=1，∴||=2||=2，∵（+）⊥，∴（+）•=+•=0，∴=||||cos＜，＞=2cos=﹣1，∴cos=﹣，又0°≤cos≤180°．∴cos＜，＞=120°，故答案为：120°．点评：本题考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力．12．（5分）若等比数列{a n}的前项n和为S n，且=5，则=17．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等比数列的前n项和公式，求出公比即可得到结论．解答：解：若公比q=1，则=5，∴公比q≠1．由=5得，即q2=4，∴=．故答案为：17．点评：本题主要考查等比数列通项公式和前n项和公式的计算，要求熟练掌握相应的公式，考查学生的计算能力．13．（5分）已知函数f（x）=（a＞1，x≥2）．①若∃x0∈，故答案为：点评：本题主要考查函数最值的应用，根据函数的单调性之间的关系是解决本题的关键．（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）14．（5分）在极坐标系中，过点A（4，）引圆ρ=4sinθ的一条切线，则切线长为4．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：首先，将极坐标下的点A和圆的方程化为直角坐标下的相应的点和圆，然后，根据直角三角形中的边角关系，求解切线长即可．解答：解：由ρ=4sinθ，得x2+y2﹣4y=0，∴x2+（y﹣2）2=4，根据A（4，），得A（0，﹣4），设圆心为O，半径为r，则|OA|=6，切线长为d=，故答案为：4．点评：本题重点考查点、圆的极坐标方程和直角坐标的互化、切线长的计算等知识，属于中档题．（几何证明选讲选做题）15．如图，PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，且PA=2，PB=1，则AB 的长为．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；立体几何．分析：利用切割线定理，求出PC，BC，再利用△PAB∽△PCA，即可得出结论．解答：解：∵PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，∴PA2=PB•PC，∵PA=2，PB=1，∴PC=4，BC=3，∵△PAB∽△PCA，∴，∴，∴AB=．故答案为：．点评：本题考查切割线定理，考查三角形相似的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）若x1=，求x2；（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=S2，求角α的值．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：（I）根据三角函数定义求得x1=cosα，，再利用x1=，求得cosα，sinα，然后利用x2=cos（α+）=cosα﹣sinα求x2；（II）根据图形用α的三角函数表示S1、S2，利用S1=S2求得tan2α，分析2α的范围求得2α，从而求得α．解答：解：（I）由三角函数定义，得x1=cosα，，∵α∈（，），cosα=，∴sinα==，∴x2=cos（α+）=cosα﹣sinα=．（Ⅱ）解：依题意得y1=sinα，y2=sin（）．∴S1=x1y1=sin2α，S2=|x2|y2=sin（α+）|cos（α+）|=﹣sin（2α+），∵S1=S2∴sin2α=﹣sin（2α+）=﹣sin2α﹣cos2α，整理得tan2α=﹣，∵，∴＜2α＜π，∴2α=，即α=．点评：本题主要考查三角函数的定义及三角函数恒等变形，考查了学生运用三角函数的知识解决问题的能力．17．（12分）从某校2015届高三年级800名学生中随机抽取50名测量身高．据测量，被抽取的学生的身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果分成八组得到的频率分布直方图如图．（Ⅰ）试估计这所学校2015届高三年级800名学生中身高在180cm以上（含180cm）的人数为多少；（Ⅱ）在样本中，若学校决定身高在185cm以上的学生中随机抽取2名学生接受某军校考官进行面试，求：身高在190cm以上的学生中至少有一名学生接受面试的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（I）由频率分布直方图，结合各组累积频率为1，及每组的频率=矩形的面积=矩形的高×组距，可求出身高介于185cm～190cm的频率，进而求出身高在180cm以上的累积频率，进而根据频数=频率×样本容量得到答案．（II）根据频数=频率×样本容量，可以求出身高介于185cm～190cm的学生人数和身高介于190cm～195cm的学生人数，进而由组合数公式，可求出从身高在185cm以上的学生中随机抽取2名学生的事件个数及身高在190cm以上的学生中至少有一名学生接受面试的事件个数，代入古典概型概率公式，可得答案．解答：解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，样本中身高介于185cm～190cm的频率为：1﹣（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06+0.016+0.008）×5=0.06，…（3分）∴800名学生中身高在180cm以上的人数为：800×（0.016×5+0.06+0.008×5）=144人．…（6分）（Ⅱ）样本中，身高介于185cm～190cm的学生人数为50×0.06=3人，身高介于190cm～195cm的学生人数为50×0.008×5=2人．…（8分）∴“身高在185cm以上的学生5人中随机抽取2名学生”的基本事件数共10种，…（10分）其中抽取的2名学生中“身高在190cm以上的学生中至少有一名学生”的基本事件数有=7种．∴所求事件的概率为…（12分）点评：本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，频率分面直方图，其中利用公式：频数=频率×样本容量计算出满足条件的各组人数是解答的关键．18．（14分）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，且∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA1=，点P、M、N分别为BC1、CC1、AB1的中点．（1）求证：PN∥平面ABC；（2）求证：A1M⊥AB1C1；（3）求点M到平面AA1B1的距离．考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）证明PN∥平面ABC，利用线面平行的判定，只需证明PN∥AC；（2）证明A1M⊥AB1C1，只需证明AC1⊥A1M，B1C1⊥A1M；（3）利用，可求点M到平面AA 1B1的距离，解答：（1）证明：连结CB1，∵P是BC1的中点，∴CB1过点P，﹣﹣（1分）∵N为AB1的中点，∴PN∥AC，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∵AC⊂面ABC，PN⊄面ABC，∴PN∥平面ABC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）证法一：连结AC1，在直角△ABC中，∵BC=1，∠BAC=30°，∴AC=A1C1=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∵==，∴Rt△A1C1M～Rt△C1CA﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴∠A1MC1=∠CAC1，∴∠AC1C+∠CAC1=∠AC1C+∠A1MC1=90°∴AC1⊥A1M．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∵B1C1⊥C1A1，CC1⊥B1C1，且C1A1∩CC1=C1∴B1C1⊥平面AA1CC1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴B1C1⊥A1M，又AC1∩B1C1=C1，故A1M⊥平面A B1C1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）证法二：连结AC1，在直角△ABC中，∵BC=1，∠BAC=30°，∴AC=A1C1=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）设∠AC1A1=α，∠MA1C1=β∵，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴α+β=90°即AC1⊥A1M．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∵B1C1⊥C1A1，CC1⊥B1C1，且C1A1∩CC1=C1∴B1C1⊥平面AA1CC1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴B1C1⊥A1M，又AC1∩B1C1=C1故A1M⊥面A B1C1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）】（3）设点M到平面AA1B1的距离为h，由（2）知B1C1⊥平面AA1CC1∵﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）∴∴=．即点M到平面AA1B1的距离为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，考查点M到平面AA1B1的距离，用好等体积是关键．19．（14分）已知数列{a n}满足a n=3a n﹣1+3n﹣1（n∈N•，n≥2）且a3=95．（1）求a1，a2的值；（2）是否存在一个实数t，使得b n=（a n+t）（n∈N）且{b n}为等差数列？若存在，求出t的值，如不存在，请说明理由；（3）求数列{a n}的前n项和S n．考点：数列递推式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）数列{a n}满足a n=3a n﹣1+3n﹣1（n∈N•，n≥2）且a3=95．分别令n=3，2，解出即可．（2）由a n=3a n﹣1+3n﹣1（n∈N•，n≥2），变形为，利用“累加求和”可得a n=．．假设存在一个实数t，使得b n=（a n+t）（n∈N）且{b n}为等差数列．b n+1﹣b n=一个常数即可．（3）由（2）可得：a n=．．可得数列{a n}的前n项和S n=++…+（2n+1）×3n]．，设T n=3×3+5×32+…+（2n+1）×3n，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：（1）∵数列{a n}满足a n=3a n﹣1+3n﹣1（n∈N•，n≥2）且a3=95．令n=3时，=95，解得a2=23．令n=2时，﹣1=23，解得a1=5．∴a2=23，a1=5．（2）由a n=3a n﹣1+3n﹣1（n∈N•，n≥2），变形为，∴=++…++=++…++=（n﹣1）﹣+=+，∴a n=．假设存在一个实数t，使得b n=（a n+t）（n∈N）且{b n}为等差数列．则b n+1﹣b n=﹣==，当t=0时，b n+1﹣b n=3为一个常数．因此存在一个实数t=0，使得b n=（a n+t）（n∈N）且{b n}为等差数列．（3）由（2）可得：a n=．．∴数列{a n}的前n项和S n=++…+（2n+1）×3n]．设T n=3×3+5×32+…+（2n+1）×3n，则3T n=3×32+5×33+…+（2n﹣1）×3n+（2n+1）×3n+1，∴﹣2T n=3×3+2×32+2×33+…+2×3n﹣（2n+1）×3n+1=3+﹣（2n+1）×3n+1=﹣2n×3n+1，∴T n=n×3n+1．∴数列{a n}的前n项和S n=+×3n+1．点评：本题考查了递推式的应用、“累加求和法”、“错位相减法”、等差数列的定义、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（14分）如图，O为坐标原点，双曲线C1：﹣=1（a1＞0，b1＞0）和椭圆C2：+=1（a2＞b2＞0）均过点P（，1），且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．（Ⅰ）求C1、C2的方程；（Ⅱ）是否存在直线l，使得l与C1交于A、B两点，与C2只有一个公共点，且|+|=||？证明你的结论．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由条件可得a1=1，c2=1，根据点P（，1）在上求得=3，可得双曲线C1的方程．再由椭圆的定义求得a2=，可得=﹣的值，从而求得椭圆C2的方程．（Ⅱ）若直线l垂直于x轴，检验部不满足|+|≠||．若直线l不垂直于x轴，设直线l得方程为y=kx+m，由可得y1•y2=．由可得（2k2+3）x2+4kmx+2m2﹣6=0，根据直线l和C1仅有一个交点，根据判别式△=0，求得2k2=m2﹣3，可得≠0，可得|+|≠||．综合（1）、（2）可得结论．解答：解：（Ⅰ）设椭圆C2的焦距为2c2，由题意可得2a1=2，∴a1=1，c2=1．由于点P（，1）在上，∴﹣=1，=3，∴双曲线C1的方程为：x2﹣=1．再由椭圆的定义可得2a2=+=2，∴a2=，∴=﹣=2，∴椭圆C2的方程为：+=1．（Ⅱ）不存在满足条件的直线l．（1）若直线l垂直于x轴，则由题意可得直线l得方程为x=，或x=﹣．当x=时，可得A（，）、B（，﹣），求得||=2，||=2，显然，|+|≠||．同理，当x=﹣时，也有|+|≠||．（2）若直线l不垂直于x轴，设直线l得方程为y=kx+m，由可得（3﹣k2）x2﹣2mkx﹣m2﹣3=0，∴x1+x2=，x1•x2=．于是，y1•y2=k2x1•x2+km（x1+x2）+m2=．由可得（2k2+3）x2+4kmx+2m2﹣6=0，根据直线l和C1仅有一个交点，∴判别式△=16k2m2﹣8（2k2+3）（m2﹣3）=0，∴2k2=m2﹣3．∴=x1•x2+y1•y2=≠0，∴≠，∴|+|≠||．综合（1）、（2）可得，不存在满足条件的直线l．点评：本题主要考查椭圆的定义、性质、标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．21．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣ax2+x．（1）若f（1）=0，求函数f（x）的单调减区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤ax﹣1恒成立，求整数a的最小值；（3）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明：x1+x2≥．考点：函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）利用f（1）=0，确定a的值，求导函数，从而可确定函数的单调性；（2）构造函数F（x）=f（x）﹣ax+1，利用导数研究其最值，将恒成立问题进行转化，（3）将代数式f（x1）+f（x2）+x1x2放缩，构造关于x1+x2的一元二次不等式，解不等式即可．解答：解：（1）∵f（x）=lnx﹣ax2+x，f（1）=0，∴a=2，且x＞0．∴f（x）=lnx﹣x2+x，∴=，当f′（x）＜0，即x＞1时，函数f（x）的单调递减，∴函数f（x）的单调减区间（1，+∞）．（2）令F（x）=f（x）﹣ax+1=lnx﹣ax2+（1﹣a）x+1，则F′（x）=﹣ax+1﹣a=﹣=﹣a，当a≤0时，在（0，+∞）上，函数F（x）单调递增，且F（1）=2﹣＞0，不符合题意，当a＞0时，函数F（x）在x=时取最大值，F（）=ln+，令h（a）=ln+=，则根据基本函数性质可知，在a＞0时，h（a）单调递减，又∵h（1）=＞0，h（2）=＜0，∴符合题意的整数a的最小值为2．（3）∵a=﹣2，∴f（x）=lnx+x2+x，∴f（x1）+f（x2）+x1x2=lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x1x2+x2=（x1+x2）2+x1+x2+lnx1x2﹣x1x2令g（x）=lnx﹣x，则g′（x）=，∴0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，x＞1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）max=g（1）=﹣1，∴f（x1）+f（x2）+x1x2≤（x1+x2）2+（x1+x2）﹣1，即（x1+x2）2+（x1+x2）﹣1≥0，又∵x1，x2是正实数，∴x1+x2≥．点评：本题考查了函数性质的综合应用，属于难题．。
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揭阳一中、潮州金山中学2015届高三上学期暑假联考数学（文）试题一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．若集合{}1,0A =-，{}0,1B =，则A B =A ．{}0B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,0,1-2．函数()f x =A ．(,1)-∞B ．(],1-∞C ．()(),11,1-∞--D ．()(],11,1-∞--3．若复数11i z =+，22i z =，则21z z = A ．1i -+B ．1i +C ．22i -+D ．22i +4．以点(3,1)-为圆心且与直线340x y +=相切的圆的方程是 A ．()()22311x y ++-= B ． ()()22312x y ++-= C ．()()22311x y -++= D ．()()22312x y -++= 5．已知平面向量(1,2)=a ，(2,)y =b ，且//a b ，则2+a b = A ．(5,6)-B ．(3,6)C ．(5,4)D ．(5,10)6．若某程序框图如图1所示，则输出的n 的值是 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 67．“0x >”是“2430x x ++>”成立的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．非充分非必要条件D ．充要条件8．某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积是(图1)A ．36a πB ．33a π C ．323a πD ．3a π9．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 A ．sin y x = B ．2x y =C ．3y x x =-D．lg(y x =+10．已知变量x ，y 满足约束条件1440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，，目标函数z mx y =+仅在点()0,1处取得最小值，则m 的取值范围是 A ． (),1-∞ B ． ()1,+∞ C ．(),4-∞D ．()4,+∞二、填空题:本大共5小题,考生作答4小题,每小题5分，满分20分. (一)必做题(11～13题)11． 从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________12．△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ,已知2b =,6B π=，4C π=，则△ABC 的面积为 .13.当k ＞0时，两直线kx －y ＝0,2x ＋ky －2＝0与x 轴围成的三角形面积的最大值为 .OEDCBA(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)14. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,圆θρsin 4=的圆心到直线)(3R ∈=θπθ的距离是 .15. （几何证明选讲选做题）如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上,延长BC 到D 使CD BC =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若8=AB ,4=DC 则DE =_________.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．(本题满分12分)已知函数()2(sin cos )cos f x x x x =+． (1)求5()4f π的值； (2)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间．17. (本题满分12分). 小明家订了一份报纸，寒假期间他收集了每天报纸送达时间的数据，并绘制成频率分布直方图，如图所示．（1）根据图中的数据信息，求出众数1x 和中位数2x （精确到整数分钟）；（2）小明的父亲上班离家的时间y 在上午7:007:30至之间，而送报人每天在1x 时刻前后半小时内把报纸送达（每个时间点送达的可能性相等），求小明的父亲在上班离家前能收到报纸（称为事件A ）的概率．DCBAFE18．(本题满分14分)如图所示的多面体中， ABCD 是菱形，BDEF 是矩形，ED ⊥面ABCD ,3BAD π∠=．(1)求证：平//CF AED 面B 面；(2))若BF BD a ==，求四棱锥A BDEF -的体积．19．(本题满分14分)已知正项数列{}n a 满足:222(1)()0()n n a n n a n n n N +-+--+=∈，数列{}n b 的前n项和为n S ，且满足11b =，21n n S b =+()n N +∈．(1) 求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设(21)nn nn b c a +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：21n T <．20．(本题满分14分)已知函数1ln )1(21)(2+++-=x a x a x x f （1）若3=x 是)(x f 的极值点，求)(x f 的极大值； （2）求实数a 的范围，使得1)(≥x f 恒成立.21．(本题满分14分)已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点P 是抛物线上的一点，且其纵坐标为4，4PF =．（1）求抛物线的方程；（2) 设点1122(,),(,)(0,1,2)i A x y B x y y i ≤=是抛物线上的两点，APB ∠的角平分线与x 轴垂直，求PAB ∆的面积最大时直线AB 的方程．xy7.577.56.5O FE文科数学答案17.解：（1）17:00x = ………………… 2分由频率分布直方图可知26:507:10x <<即2410430x <<， ………………… 3分∴()2200.0033200.01174100.0233x ⨯+⨯+-⨯ =0.5 解得2419x =分即26:59x = ………………… 6分（2）设报纸送达时间为x ………………… 7分 则小明父亲上班前能取到报纸等价于6.57.577.5x y x y≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤⎩， ………………… 10分如图可知，所求概率为1381142P =-= ………………… 12分18．证明：（1）由ABCD 是菱形//BC AD ∴,BC ADE AD ADE ⊄⊂面面//BC ADE ∴面…………3分由BDEF 是矩形//BF DE ∴,BF ADE DE ADE ⊄⊂面面//BF ADE ∴面 ,,BC BCF BF BCF BCBF B ⊂⊂=面面//BCF ADE ∴面面………………6分（2）连接AC ，ACBD O =由ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥由ED ⊥面ABCD ,AC ABCD ⊂面ED AC ∴⊥,,ED BD BDEF ED BD D ⊂=面AO BDEF ∴⊥面，……………………10分则AO 为四棱锥A BDEF -的高 由ABCD 是菱形，3BAD π∠=，则ABD ∆为等边三角形，由BF BD a ==；则,AD a AO ==2BDEF S a =，2313A BDEF V a -=⋅=……14分19．解：（1）由222(1)()0n n a n n a n n -+--+=,得2()(1)0n n a n n a ⎡⎤-++=⎣⎦. …………2分由于{}n a 是正项数列,所以2n a n n =+. (3)由21n n S b =+可得当2n ≥时，1121n n S b --=+，两式相减得1n n b b -=-， …………5分 ∴数列{}n b 是首项为1，公比1-的等比数列，1(1).n n b -∴=- …………7分 （2）方法一：∵1(21)21(1)(1)n n n n n b n c a n n -++==-⋅+…………8分 ∴2124141(41)(21)(41)(21)2(21)2(21)2(21)(21)n n n n n n n n c c n n n n n n n --+-+-+-+=-=-+-+ 211(21)(21)2121n n n n ==--+-+…………11分 21234212111111()()()13352121n n n T c c c c c c n n -∴=++++++=-+-++--+11 1.21n =-<+ …………14分方法二：∵11(21)2111(1)(1)()(1)1n n n n n n b n c a n n n n --++==-⋅=-⋅+++…………11分 2123421211111111()()()()12233445n n n T c c c c c c -∴=++++++=+-+++-++11111()()1 1.21222121n n n n n ++-+=-<-++ …………14分 20．解：（1）xaa x x f ++-=')1()(3=x 是)(x f 的极值点 ∴03)1(3)3(=++-='aa f 解得3=a …………2分当3=a 时，xx x x x x x f )3)(1(34)(2--=+-=' 当x 变化时，x(0,1) 1 (1,3) 3 ),3(+∞)(x f ' + 0 - 0 + )(x f递增极大值递减极小值递增…………4分)(x f 的极大值为25)1(-=f …………6分（2）要使得1)(≥x f 恒成立，即0>x 时，0ln )1(212≥++-x a x a x 恒成立………8分 设x a x a x x g ln )1(21)(2++-=，则xa x x x a a x x g ))(1()1()(--=++-=' （ⅰ）当0≤a 时，由0)(<'x g 得单减区间为)1,0(，由0)(>'x g 得单增区间为),1(+∞ 021)1()(min ≥--==a g x g ，得21-≤a …………10分 （ii ）当10<<a 时，由0)(<'x g 得单减区间为)1,(a ，由0)(>'x g 得单增区间为),1(),,0(+∞a ，021)1(<--=a g 此时∴不合题意. …………10分 （iii ）当1=a 时，)(x f 在),0(+∞上单增，021)1(<--=a g 此时∴不合题意. …12分（iv ）当a>1时，由0)(<'x g 得单减区间为),1(a ，由0)(>'x g 得单增区间为),(),1,0(+∞a ，021)1(<--=a g 此时∴不合题意. …………13分 综上所述：21-≤a 时，1)(≥x f 恒成立. …………14分21．解：（1）设0(,4)P x ，因为4PF =，由抛物线的定义得042px +=，又2042px =，3分 因此842pp +=，解得4p =，从而抛物线的方程为28y x =． …………6分 （2）由（1）知点P 的坐标为(2,4)P ，因为APB ∠的角平分线与x 轴垂直，所以可知,PA PB 的倾斜角互补，即,PA PB 的斜率互为相反数设直线PA 的斜率为k ，则:4(2)PA y k x -=-，由题意0k ≠， …………7分把42y x k k =+-代入抛物线方程得2832160y y k k--+=，该方程的解为4、1y ， 由韦达定理得184y k +=，即184y k =-，同理284y k=--，所以2121222121218188AB y y y y k y y x x y y --====--+-， …………9分 设:AB y x b =-+，把x y b =-+代入抛物线方程得2880y y b +-=， 由题意64320b ∆=+>，且1280y y b =-≥，从而20b -<≤。