充分条件与必要条件优秀教学设计

充分条件与必要条件【教学目标】一、知识目标1．使学生理解充分条件、必要条件的概念；2．能正确判断是否是充分条件或必要条件；二、能力目标1．通过对充分条件和必要条件的研究，使学生掌握有关的逻辑知识，以保证推理的合理性和论证的严密性；2．通过引导学生观察、归纳，培养学生的观察能力和归纳能力；三、情感目标1．通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，发展体验获取知识的感受；2．通过对充分条件和必要条件与集合的关系的教学，建立概念间的多元联系，培养同学们多角度审视问题的习惯；3．通过“会观察”，“敢归纳”，“善建构”，培养学生自主学习，勇于创新，敢于把错误的思维过程及弱点暴露出来，并在问题面前表现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神。

【教学重难点】重点：充分条件、必要条件的概念；难点：充分条件、必要条件的判断；【教学过程】一、复习引入：复习：命题的概念及命题的常见形式。

命题的概念：一般地，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。

其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。

命题的常见形式：“若p，则q”，我们把这种形式中的p的叫做命题的条件，q叫做命题的结论。

设计意图：通过命题概念的复习，重点强调条件与结论，为新课学习做必要的准备和铺垫。

引入：“若p ，则q ”为真，可以将它表示为；q p ⇒“若p ，则q ”为假，可以将它表示为；q p ≠>如：“若教室里的学生是高二1班的学生，则教室里的学生是高二的学生”为真命题，即： 教室里的学生是高二1班的学生教室里的学生是高二的学生；⇒又如：“若教室里的学生是高二的学生，则教室里的学生是高二1班的学生”为假命题，即： 教室里的学生是高二的学生教室里的学生是高二1班的学生。

≠>设计意图：命题有真有假，通过对真假两种情况的新的表述方式的引入，意在顺利实现由“已有的知识结构”转入“新知构建”的过程。

二、新知建构1．定义：一般地，如果有，称p 是q 的充分条件，称q 是p 的必要条件。

q p ⇒例1：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若x>3 ，则x>2 ；（2）若x=1 ，则x2-4x+3=0；（3）若f(x)=x ，则f(x)在上为增函数；()∞+∞-，（教师引导学生体验：问题的实质是判断命题是否为真）解：命题（1）（2）（3）都是真命题。

所以，命题（1）（2）（3）中的p 是q 的充分条件。

问题：同学们，对于命题（1）（2）（3），我们可不可以回答q 是p 的必要条件呢？答：可以称对于命题（1）（2）（3），q 是p 的必要条件。

设计意图：通过实例分析，将新知（充分条件、必要条件的概念）的构建过程转化为已有知识（命题真假的判断）的应用过程。

强调说明：（1）“”，“p 是q 的充分条件”，“q 是p 的必要条件”是同一逻辑关系的三种不同q p ⇒描述形式，前者是符号表示，后两者是文字表示。

（2）充分条件的含义用通俗的语言来说是指“有它就行”， 即“有之必然”；必要条件的含义用通俗的语言来说是指“缺它不行” ，即“无之必不然”。

设计意图：提升学生的认识水平，试图从不同角度帮助同学们理解“充分”和“必要”。

三、巩固新知例2：判断下列问题中，p 是q 的充分条件吗？（1）p ： a>b q ： ac>bc ；（2）p ： x 为无理数 q ： x 2为无理数；（3）p ： x>a2+b2 q ： x>2ab ；（4）p ：两条直线的斜率相等； q ：两条直线平行； ；解：因为在问题（3）和问题（4）中都有。

所以，在问题（3）和问题（4）中，p q p ⇒是q 的充分条件。

问题：像在（1）（2）两个问题中p 与q 的关系应如何描述？可描述如下：若有，称p 不是q 的充分条件，称q 不是p 的必要条件。

q p ≠>设计意图：概念的否定是概念理解的重要方面，本例意在让学生在直观理解的基础上给出“充分条件”和“必要条件”的否定形式。

以帮助学生全面认识和理解概念。

例3：判断下列各组问题中，q 是p 的必要条件吗？（1）p ：{x|x>3} q ：{x|x>5} ；（2）p ： {x|x>0} q ：{x|x 0} ；≥（3）p ：同位角相等 q ：两直线平行 ；（4）p ：四边形对角线相等 q ：四边形是平行四边形 ；解：因为在问题（2）和问题（3）中都有。

所以，在问题（2）和问题（3）中，q q p ⇒是p 的必要条件。

在问题（1）和问题（4）中都有。

所以，在问题（1）和问题（4）q p ≠>中，q 不是p 的必要条件。

强调说明：充分条件与必要条件判断的关键：（1）认清条件与结论；（2）考察或的真假。

q p ⇒p q ⇒充分条件与必要条件和集合的关系：（1），相当于，即 或q p ⇒Q P ⊆即：要使成立，只要就足够了——有它就行。

Q x ∈P x ∈（2），相当于，即 或p q ⇒Q P ⊇即：为使成立，必须要使——缺它不行。

Q x ∈P x ∈练习：回答例3中q 是p 的充分条件吗？设计意图：本例的设计和应用主要目的有：（1）强调条件和结论之间的推出关系，即推出箭头的方向性；（2）从集合关系的角度帮助同学们理解“充分条件”和“必要条件”；（3）体会“充分条件”和“必要条件”的不同表述方式；（4）让学生初步体会充分条件与必要条件的四种不同类型，为下节课提前准备。

课堂活动：请同学们自己举例给出p 、q 并判断其二者之间存在的是否是充分条件或必要条件的关系。

四、能力提升例4．用“充分条件”或“必要条件”填空：（1）四边形的对角线相等是四边形为矩形的________；（2）是为正数的______________。

5a >a 答案：（1）必要条件；（2）充分条件。

例5．填空（写出一个满足题意的即可）（1）“ab=0”的一个充分条件是 。

（2）“x<3”的一个必要条件是 。

答案：（1）可填：a=0；b=0；a=0且b=0；这三种中的任何一种。

（2）可填：x<4(形如x<a ，其中的答案都是对的)。

3a ≥设计意图：（1）引导学生观察例5的问题的问法和前四个例题有无不同，培养学生的观察能力；（2）从条件判断填空到开放的填写条件有助于彰显学生对问题的理解程度，通过这组练习，可以了解学生“会了什么？”、“还存在什么问题？”，使后面的教学更有针对性！五、牛刀小试练习：判断下列各组问题中，p 是不是q 的充分条件以及p 是不是q 的必要条件？（1）p ： q ： x2 ；x x =0≥（2）p ： tan =1 q ：；α4πα=（3）p ： 直线与平面内的两条相交线垂直 q ： 直线与平面垂直；l αl α（4）p ：函数f(x)满足f(0)=0 q ： 函数f(x)是奇函数；答：（1）p 是q 的充分条件，p 不是q 的必要条件；（2）p 不是q 的充分条件，p 是q 的必要条件；（3）p 是q 的充分条件，p 是q 的必要条件；（4）p 不是q 的充分条件，p 不是的q 必要条件；结合练习，引导学生归纳如下：从练习中我们发现在p 与q 之间存在以下几种关系：（1）且；q p ⇒p q ≠>（2）且；p q ⇒q p ≠>（3）且；q p ⇒p q ⇒（4）且；q p ≠>p q ≠>对于这几种关系我们应如何描述呢？下节课，我们将解决这一问题。

设计意图：反馈练习的设计，既帮助学生全面掌握本节课的学习内容，再次巩固所学知识和方法，也在前面例3的基础上明确了充分条件与必要条件涉及的四种类型，为顺利进入下节课的学习打下坚实的基础。

【课堂小结】师生共同回顾本节课的教学过程，小结如下内容：1．充分条件与必要条件的概念；2．充分条件与必要条件判断的关键；设计意图：再现课堂，小结提升，有助于学生明确学习的重点。

【作业布置】判断下列命题的真假：1．“”是“”的充分条件；a b 0>>22a b >2．“”是“”的必要条件；a b >22ac bc >3．“”是“” 的必要条件；（其中A ，B 是集合）A B ⊆A B =4．“函数是奇函数”是“”的充分条件。

()f x ()00f =【教学反思】1．学生学习本节课内容时容易了解的地方及我的处理方法（1）通过对必修部分的学习，学生已经有了一定的知识储备，所以在本节课中出现的大量的数学问题，学生是易于理解和掌握的。

在教学中，我可以利用学生熟悉的知识来辅助“充分条件与必要条件”的概念的教学，如在教学过程中我通过复习命题的概念和命题的常见形式引入新课的概念，这样一种自然引入可以减少学生对新知的陌生感；又如学生对集合知识是比较熟悉的，在讲解完例3之后，我结合例3中的问题，引导学生从集合角度理○1○2解“充分条件与必要条件”，尤其是使用韦恩图直观表示，帮助学生更好地理解“充分条件与必要条件”概念的本质。

（2）例1从问题的形式到内容都是学生较易理解的。

例1的教学之后，我结合例1“回踩”定义，指出：“”，“p 是q 的充分条件”，“q 是p 的必要条件”是同一逻辑关系的q p ⇒三种不同描述形式，前者是符号表示，后两者是文字表示。

对于这种说法，学生也是易于理解的，但是这种理解仅停留在形式上。

然后，我再次使用例1中的具体数学问题指出“充○1分条件与必要条件”的本质，并用较易理解的通俗语言“有它就行”、“缺它不行”加以解释。

（3）例2和例3也都是学生较易理解的问题。

所以在例2之后，结合例2中的问题1和问题2，引出了“充分条件与必要条件”概念的否定形式。

在例3之后，通过回顾例2和例3的解答方法与解答过程，引导学生总结“充分条件与必要条件判断的关键”。

（4）“牛刀小试”环节中的课堂练习，学生通过前面的学习应当是可以独立完成的。

所以，在练习结束后，我引导学生归纳总结该练习四个小题中所蕴含的“充分条件与必要条件”的四种情况，预设伏笔，为下节课的教学做好铺垫。

2．学生学习本节课内容时不易理解的地方及我的处理方法（1）“充分条件与必要条件”的概念是学生不易理解的。

为了帮助学生更好地理解概念的实质，我通过复习旧知识（命题）引入新知识（充分条件和必要条件），并在前三个较为简单的例题的讲解过程中逐步渗透“充分条件与必要条件”的实质。

（2）利用“充分条件与必要条件”解决问题是学生难于掌握的，这也不是本节课可以彻底解决的问题。

所以，我引导学生通过解决简单问题（例1．例2．例3），提炼出解决问题的方法，再尝试运用方法解决新问题(例4．例5)。

首先让学生掌握解决问题的方法，再加以运用，这样我也可以搞清学生“会了什么”、“还有什么不会”，使后面的教学更有针对性。