现代控制技术 第二讲New 现代控制理论基础 状态方程建立
现代控制工程基础-讲稿-2-1
•
模拟结构图
1/ C 0 A= − 1 / L − R / L
0 B= 1 / L
C = [1 0]
现代控制工程基础
(2)取状态变量x1=uc, x2=duc/dt, 输出为uc
现代控制工程基础
2.1 状态空间分析法
线性系统的运动在时域内一般是用微分方程描述。 线性系统的运动在时域内一般是用微分方程描述。 经典控制理论采用拉普拉斯变换将其表示为反映外 部信息（输入、输出）关系的传递函数， 部信息（输入、输出）关系的传递函数，并以这个传递 函数为基础建立了系统的图解分析设计法。 函数为基础建立了系统的图解分析设计法。 现代控制理论将微分方程表示成反映系统内部状态 和外部信息关系的状态空间表达式， 和外部信息关系的状态空间表达式，并以这表达式为基 础建立了一套解析的分析设计方法。这种基于系统内部 础建立了一套解析的分析设计方法。 状态量的系统描述及其分析设计的方法， 状态量的系统描述及其分析设计的方法，就是状态空间 分析法，也称为状态变量法。 分析法，也称为状态变量法。
现代控制工程基础
(2)系统状态变量的选取不是唯一的，一般选取易于测量和控 系统状态变量的选取不是唯一的， 系统状态变量的选取不是唯一的 制的物理变量作为状态变量。但是， 制的物理变量作为状态变量。但是，选取易于测量和控制的物理 变量为状态变量时，往往使系统的状态方程求解困难。 变量为状态变量时，往往使系统的状态方程求解困难。选取相变 量可使系统状态方程易于数学实现； 量可使系统状态方程易于数学实现；选取没有物理意义的正则变 量，可使系统状态方程易于求解，此时可通过解的代数变换获得 可使系统状态方程易于求解， 感兴趣的系统变量。 感兴趣的系统变量。 相变量：某个系统变量及其各阶导数构成系统的一组相变量。 相变量：某个系统变量及其各阶导数构成系统的一组相变量。 经常使用的系统变量是系统的输出量。 经常使用的系统变量是系统的输出量。相变量一般不具有系统的 物理意义，即不是系统的物理变量。 物理意义，即不是系统的物理变量。 正则变量：在邻域内处处可导（或无穷可微）的变量， 正则变量：在邻域内处处可导（或无穷可微）的变量，或在邻 域内可表示成收敛幂级数的变量，也称为解析变量。 域内可表示成收敛幂级数的变量，也称为解析变量。
《现代控制理论基础》课件
预测控制
预测控制是一种基于模型预测 未来系统行为的控制方法。
控制器
控制器是控制系统中的核心 组件，负责计算并施加控制 信号。
操作对象
控制系统的操作对象可以是 各种各样的设备或系统，了 解操作对象的特性是设计有 效控制策略的基础。
模型化
系统状态方程
通过建立系统状态方程，我们 可以描述控制系统的动态行为。
传递函数
传递函数是描述输入和输出之 间关系的数学表达式，常用于 分析系统的频率响应。
通过绘制根轨迹来分析系统的稳定性和性能。
2 Nyquist法
利用Nyquist图来评估系统的稳定性和抗干扰能力。
鲁棒性设计
扰动抑制
了解如何设计鲁棒控制器来抑制 系统中的扰动。
鲁棒控制
鲁棒控制是一种能够保持系统稳 定性和性能的控制策略。
H∞控制
H∞控制是一种能够优化系统鲁 棒性和性能的控制策略。
非线性控制
《现代控制理论基础》PPT课件
现代控制理论基础是一门关于控制系统的基本概念、模型化、控制器设计、 稳定性分析、鲁棒性设计、非线性控制和优化控制的课程。通过本课程的学 习，您将掌握现代控制理论的基础知识和思想，并能够运用所学知识解决实 际控制问题。
控制系统基本概念
控制过程
了解控制过程是理解控制系 统工作原理的重要一步。
1 反馈线性化
通过反馈线性化技术，我们可以设计控制器来稳定非线性系统。
2 滑模控制
滑模控制是一种鲁棒而有效的非线性控制方法。
3 非线性规划
非线性规划方法可以用来优化非线性系统的控制策略。
优化控制
最优化法
最优化法是一种通过优化目标 函数来设计最优控制策略的方 法。
非线性规划
现代控制理论 状态空间表达式的建立：方框图法
一. 从系统方框图出发建立状态空间表达式
例： 已知系统的模拟结构图如下，建立其状态空间表达式
()
+
−
+
+
−
+ +
−
解： 1. 传递函数变换
积分环节
න
()
1.2 状态空间表达式的建立
一. 从系统方框图出发建立状态空间表达式
−
−
−1
න
ሶ
න
ሶ
න
输出方程
+
+
状态空间表达式
状态方程
+
ሶ න
1
ሶ
源自 + u(s)
ሶ
න
()
《现代控制理论》MOOC课程
1.2 状态空间表达式的建立
1.2 状态空间表达式的建立
建立系统状态空间表达式的三种方法
一. 根据系统的方框图列写
二. 从系统的基本原理进行推导
三. 根据传递函数或高阶微分方程实现
1.2 状态空间表达式的建立
一. 从系统方框图出发建立状态空间表达式
方框图法的基本步骤
二阶振荡环节
例： 已知系统的模拟结构图如下，建立其状态空间表达式
()
+
−
+
现代控制
第2章 线性系统理论线性系统是实际系统的一类理想化模型，通常用线性的微分方程或差分方程描述。
其基本特征是满足叠加原理，可分为线性定常系统和线性时变系统。
现代控制理论中，采用状态变量法描述系统，它既能反映系统内部变化情况，又能考虑初始条件，也为多变量系统的分析、综合提供了强有力的工具。
2.1 基本概念输入：外部施加到系统上的全部激励。
输出：能从外部测量到的来自系统的信息。
状态变量：确定动力学系统状态的最小的一组变量。
状态向量：若n 个状态变量)(1t x ，)(2t x ，…，)(t x n 是向量)(t x 的各个分量，即()[]T21)()()(t x t x t x t n =x)(t x 为状态向量。
状态空间：以各状态变量作为基底组成的n 维向量空间。
在特定的时间，状态向量)(t x 在状态空间中只是一个点。
状态轨迹：状态向量)(t x 在状态空间中随时间t 变化的轨迹。
连续时间系统：)(t x 的定义域为某时间域],[f 0t t 内一切实数。
离散时间系统：)(t x 的自变量时间t 只能取到某实数域内的离散值。
状态方程：描述系统状态变量与输入变量之间动态关系的一阶微分方程组或一阶差分方程组。
一般形式为),,(t u x f x= 或)),(),(()(1k k k k t t t t u x f x =+式中 u ——输入向量；k ——采样时刻。
状态方程表征了系统由输入引起的内部状态的变化。
输出方程：描述输出变量与系统输入变量和状态变量间函数关系的代数方程，具有形式),,()(t t u x g y =它是一个代数变换过程。
状态空间表达式：状态方程与输出方程联立，构成对动态系统的完整描述，总称为系统的状态空间表达式，又称动态方程。
线性系统的状态空间表达式具有下列一般形式： 1）连续时间系统⎭⎬⎫+=+=)()()()()()()()()()(t t t t t t t t t t u D x C y u B x A x（2–1）式中 A (t )——系统矩阵或状态矩阵，n ⨯n 矩阵；B (t )——控制矩阵或输入矩阵，n ⨯p 矩阵；C (t )——观测矩阵或输出矩阵，q ⨯n 矩阵；D (t )——输入输出矩阵，q ⨯p 矩阵； x ——状态向量，n 维；u ——控制作用，p 维； y ——系统输出，q 维。
第二章 现代控制理论基础
微分方程组可以改写为
di (t ) R uC (t ) u (t ) = i (t ) + dt L L L
duC (t ) 1 = i (t ) dt C
并且写成矩阵形式： 并且写成矩阵形式：
di (t ) R dt L du (t ) = 1 C dt C 1 i (t ) 1 L + L u (t ) 0 uC (t ) 0
0 0 an 1 an 2
则式（2.4）可以写成
x = Ax + Bu
输出方程可写成
y = x1
写成矩阵方程形式为
x1 x y = [1 0 0] 2 = Cx xn
例2.1 设某控制系统的动态特性可用下述微分方程描述
y + 5 + 6 y + 12 y = u y
系统闭环传递函数为
Y ( s) 1 1 = = 3 U ( s ) s( s + 2)( s + 3) + 1 s + 5s 2 + 6s + 1
通过拉普拉斯逆变换,可求得系统运动微分方程为
（2.4）
记
x1 0 x 0 2 x = , A = xn 1 0 xn an 1 0 0 1 0 x1 0 x 0 0 2 , x = , B = 1 xn 1 0 xn 1 a1
输出方程为： 输出方程为：
x1 y = [1 0] x2
[例2] 机械平移系统. 如图为一加速度仪的原理结构图。它可以指示出其 例 壳体相对于惯性空间（如地球）的加速度。
设: xi 为壳体相对于惯性空间的位移; x0 为质量m相对于惯性空间的位移; y= xi - x0 为质量m相对于壳体的位移. 根据牛顿第二定律，系统的运动方程为: xi x0
现代控制理论(第二章)讲解
sI
A 1
s 2
s3
1 1 s 3
(s
1)(s 2
2)
(s 1)(s 2)
1
(s
1)(s s
2)
(s 1)(s 2)
s3
e At
L1
(s
1)( s 2
2)
(s 1)(s 2)
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
第二章 控制系统状态空间表达式的解
2.1 线性定常齐次状态方程的解(自由解) 2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵 2.3 线性定常系统非齐次方程的解 2.4 * 线性时变系统的解 2.5 * 离散时间系统状态方程的解 2.6* 连续时间状态空间表达式的离散化
(s
1)( s 2
2)
(s 1)(s 2)
1
(s
1)( s s
2)
(s 1)(s 2)
eAt L1
sI A 1
2et e2t 2et 2e2t
et e2t
et
2e2t
et
2e2t
例2-6，利用凯莱-哈密顿定理— -----------------自学！ 例2-3与例2-7也请注意自学！
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
2.3 线性定常系统非齐次方程的解
现在讨论线性定常系统在控制作用 方程为非齐次矩阵微分方程：
现代控制理论课件_状态空间与状态方程
即
d2 y dy m 2 h ky (t ) f (t ) dt dt
7/33
清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英)
2.1 状态与状态空间
当 (1) f(t)(t t0) 给定; (2) y(t) 和dy(t)/dt 在 t0 时的值已知;
时，则上述常微分方程的解唯一地被确定。因此，
则
1 (t ) y (t ) x2 (t ) x k h 1 2 (t ) (t ) x1 (t ) x2 (t ) f (t ) x y m m m
清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英)
18/33
2.3 状态方程的导出
即
1 (t ) 0 x (t ) X k 2 (t ) x m 1 0 h X (t ) 1 f (t ) m m
现代控制理论
第二节 状态空间与状态方程
第二节 状态空间与状态方程 2.1 2.2 2.3 状态与状态空间 状态方程和输出方程 状态方程的导出
清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英)
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第二节 状态空间与状态方程 2.1 2.2 2.3 状态与状态空间 状态方程和输出方程 状态方程的导出
du 2 u1 u 2 dt R2C 2
清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英)
1 1 u1 u2 R2C 2 R2C 2
21/33
2.1 状态与状态空间
1 1 1 1 1 (t ) C1 R1 R2 R2C1 X (t ) R C u (t ) X 1 1 1 1 0 R2C2 R2C2
现代控制 状态方程
现代控制状态方程现代控制-状态方程一、现代控制的基本原理现代控制的核心思想是通过状态方程来描述系统的动态特性。
状态方程是一组关于系统状态和输入输出之间关系的微分方程，它能够准确地描述系统的演化过程。
通过对状态方程的分析，可以得到系统的稳定性、响应速度、抗干扰能力等重要性能指标。
在现代控制中，常用的状态方程表示形式是状态空间模型。
状态空间模型将系统的状态、输入和输出表示为向量形式，通过状态方程和输出方程来描述系统的动态行为。
其中，状态方程描述系统状态的演化规律，输出方程则将系统状态与输出之间的关系表示出来。
二、现代控制的应用领域现代控制在各个领域都有广泛的应用。
以下列举几个常见的应用领域：1. 工业自动化：现代控制在工业自动化中起着至关重要的作用。
通过对生产过程的控制和调节，可以提高生产效率、降低能耗和成本，并保证产品质量的稳定性。
2. 交通系统：现代交通系统中的信号控制、交通流优化等问题都可以通过现代控制的方法来解决。
通过对交通信号的智能控制，可以减少拥堵和事故的发生，提高交通效率。
3. 航空航天：航空航天领域对飞行器的控制要求极高，现代控制的方法可以实现飞行器的稳定飞行、精确导航和姿态控制等功能。
4. 电力系统：电力系统的稳定性和安全性是保障电力供应的重要问题，现代控制可以通过对发电机组、变电站和输电线路等的控制和调节，实现电力系统的稳定运行。
三、现代控制对人类社会的影响现代控制的发展对人类社会产生了深远的影响。
首先，现代控制的应用使得工业生产和交通运输等领域变得更加高效、安全和可靠。
通过自动化和智能化的控制系统，可以提高生产效率，降低事故风险，改善人们的生活质量。
现代控制的研究促进了科学技术的进步。
现代控制理论提供了一种描述和分析系统动态行为的方法，为工程技术的发展提供了重要的理论基础。
在航空航天、电力系统、机器人等领域，现代控制的应用推动了科技的进步和创新。
现代控制的发展也带来了新的挑战和问题。
现代控制理论基础
现代控制理论基础I、描述部分更多免费资料，尽在第一章系统描述引言一个复杂系统可能有多个输入和多个输出，并且以某种方式相互关联或耦合。
为了分析这样的系统，必须简化其数学表达式，转而借助于计算机来进行各种大量而乏味的分析与计算。
从这个观点来看，状态空间法对于系统分析是最适宜的。
经典控制理论是建立在系统的输入-输出关系或传递函数的基础之上的，而现代控制理论以n个一阶微方程来描述系统，这些微分方程又组合成一个一阶向量-矩阵微分方程。
应用向量-矩阵表示方法，可极大地简化系统的数学表达式。
状态变量、输入或输出数目的增多并不增加方程的复杂性。
事实上，分析复杂的多输入-多输出系统，仅比分析用一阶纯量微分方程描述的系统在方法上稍复杂一些。
本文将主要涉及控制系统的基于状态空间的描述、分析与设计。
本章将首先给出状态空间方法的描述部分。
将以单输入单输出系统为例，给出包括适用于多输入多输出或多变量系统在内的状态空间表达式的一般形式、线性多变量系统状态空间表达式的标准形式(相变量、对角线、Jordan、能控与能观测)、传递函数矩阵，以及利用MATLAB进行各种模型之间的相互转换。
第二章将讨论状态反馈控制系统的分析方法。
第三章将给出几种主要的设计方法。
本章节为控制系统状态空间分析的引言。
节介绍传递函数的状态空间表达式，并给出状态空间表达式的各种标准形。
节讨论用MATLAB进行系统模型的转换（如从传递函数变换为状态空间模型等）。
参考教材本讲义的主要参考教材[1][美]Katsuhiko Ogata着，卢伯英，于海勋等译，《现代控制工程》(第三版)，电子工业出版社，2000年。
[2]郑大钟编着，《线性系统理论》，清华大学出版社，1990年。
[3]常春馨主编，《现代控制理论基础》，机械工业出版社，1988年。
其他参考教材[4][日]绪方胜彦着，卢伯英等译，《现代控制工程》，科学出版社，1972年。
[5]王照林等编，《现代控制理论基础》，国防工业出版社，1981年。
现代控制理论基础 第2章 控制系统的状态空间描述
【例3】建立图2－1所示RLC电路的状态方程。
取电容上的电压uC (t)和电感中的电流i(t)作为状态变量， 根据电路原理有
C duc (t) i(t) dt
di(t) L dt Ri(t) uc (t) u(t)
将上式中状态变量的一阶导数放在方程左边，其余项 移至方程右边，整理得一阶微分方程组为
状态空间法具备如下优点： （1）在数字计算机上求解一阶微分方程组或者差分方程
组，比求解与它相当的高阶微分方程或差分方程要容易。
（2）状态空间法引入了向量矩阵，大大简化了一阶微分方 程组的数学表示法。
（3）在控制系统的分析中，系统的初始条件对经典法感 到困难的问题，采用状态空间法就迎刃而解了。
（4）状态空间法能同时给出系统的全部独立变量的响应， 不但反映了系统的输入输出外部特性，而且揭示了系统 内部的结构特性，既适用单输入单输出系统又适用多输 入多输出系统。
x = A(t)x B(t)u
y
C (t ) x
D(t)u
式中，各个系数矩阵分别为
（2－8）
a11 (t)
A(t)
an1 (t)
c11 (t)
C
(t)
cm1 (t)
a1n (t)
b11 (t)
,
B(t)
ann (t)
bn1 (t)
c1n (t)
d11 (t)
,
D(t)
cmn (t)
述把系统的输出取为系统外部输入的直接响应， 显然这种描述回避了表征系统内部的动态过程 即把系统当成一个“黑匣”，认为系统的内部 结构和内部信息全然不知，系统描述直接反映 了输出变量与输入变量间的动态因果关系。
考察图2－1所示的n级RC网络。图中虚线框内 为具有放大器隔离的n级RC电路,设放大器的输入阻
现代控制 状态方程
现代控制状态方程
现代控制理论是控制工程中的一种重要理论，它是在数学、物理、信息科学等多个领域的基础上发展起来的。
其中，状态方程是现代控制理论中的重要概念之一。
状态方程是描述系统状态随时间变化的数学模型，它是现代控制理论中的核心概念之一。
状态方程可以用来描述系统的动态行为，包括系统的输入、输出和状态变量之间的关系。
状态方程可以用来分析系统的稳定性、响应速度、鲁棒性等性能指标。
在现代控制理论中，状态方程通常采用矩阵形式表示。
例如，对于一个n阶线性时不变系统，其状态方程可以表示为：
x(t+1) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
其中，x(t)表示系统的状态向量，A是系统的状态转移矩阵，B是系统的输入矩阵，u(t)是系统的输入向量，y(t)是系统的输出向量，C是系统的输出矩阵，D是系统的直接传递矩阵。
状态方程的求解是现代控制理论中的重要问题之一。
通常采用数值方法或解析方法求解状态方程。
数值方法包括欧拉法、龙格-库塔法等，解析方法包括拉普拉斯变换、Z变换等。
状态方程在现代控制理论中的应用非常广泛。
例如，在控制系统设计中，可以通过状态反馈控制来实现系统的稳定性和性能优化；在故障诊断和故障恢复中，可以通过状态观测和状态估计来实现故障检测和故障恢复；在自适应控制中，可以通过状态估计和参数调整来实现系统的自适应性能。
状态方程是现代控制理论中的重要概念之一，它可以用来描述系统的动态行为，分析系统的性能指标，实现系统的稳定性和性能优化，以及实现故障诊断和故障恢复等功能。
现代控制理论Part2 第二章 控制系统状态空间表达式的解 研究生课件——现代控制理论
的特征值为0和-2（λ1=0，λ2= -2），
故可求得所需的变换矩阵为
e At
1 0
1 eo
2
0
P
1 0
1 2
0 1
e2t
0
1 2
1 2
1 0
1 2
(1
e2t
)
e2t
方法二 由于
s sI A 0
0 0
s
0
1 s 2 0
因此
1
(sI
A)1
s
0
eAt
L1[(sI
A)1 ]
信号保持是指将离散信号 ——脉冲序列转换成连续信号
的过程。用于这种转换的元件为保持器。
H (t)
(t) tnT0 (nT0 ) *(nT0 ) n 0,1,2,
(t)
零阶保持器(zero order holder) t
(nTs ) (nTs )
GH
(S)
1-e-Tss s
一阶保持器
e2 t
•• •
••
•• •
••
0
•• •
••
1 m
IA
2m
A2
m1 m
A m 1
em t e At
§2.3线性定常系统非齐次方程的解
给定线性定常系统非齐次状态方程为
Σ： x(t) Ax(t) Bu(t)
其中， x(t) Rn ,u(t) Rr , A Rnn , B Rnr ，且初始条件为 x(t) x(0) 。 t 0 x(t) Ax(t) Bu(t)
三、状态转移矩阵的基本性质 与线性定常系统的转移矩阵（矩阵指数函数）的性质相似；
四、线性时变非齐次状态方程式的解
现代控制 状态方程
现代控制状态方程在现代控制理论中，状态方程是一种描述控制系统行为的数学模型。
它通过描述系统的状态变量随时间的变化来揭示系统的动态特性。
状态方程在自动控制、机械工程、电子工程等领域中被广泛应用，能够对系统进行建模、分析和设计。
状态方程的一般形式可以表示为：x' = Ax + Buy = Cx + Du其中，x是系统的状态向量，表示系统在特定时刻的状态；u是输入向量，表示系统的输入；y是输出向量，表示系统的输出；A、B、C 和D是矩阵，分别表示系统的状态转移矩阵、输入矩阵、输出矩阵和直接传递矩阵。
状态方程的核心思想是将系统的动态行为转化为状态变量的变化规律。
通过对状态方程的分析，可以得到系统的稳定性、响应速度、鲁棒性等重要性能指标。
在控制系统设计中，我们可以根据期望的系统性能要求来选择合适的状态方程。
在实际应用中，状态方程可以通过多种方法来建立。
一种常见的方法是基于系统的物理模型。
例如，在机械系统中，可以通过牛顿定律和运动学方程来建立状态方程；在电路系统中，可以通过基尔霍夫电流定律和电压定律来建立状态方程。
另一种方法是基于系统的输入输出数据进行系统辨识，通过统计学方法来估计状态方程的参数。
通过求解状态方程，可以得到系统的时间响应。
在控制系统设计中，我们可以通过调整状态方程中的参数来优化系统的性能。
例如，可以通过增加状态转移矩阵中的阻尼比来提高系统的稳定性；可以通过增大输入矩阵中的增益来提高系统的响应速度；可以通过优化输出矩阵和直接传递矩阵来实现对系统输出的控制。
除了描述系统的动态行为，状态方程还可以用于系统的故障诊断和故障恢复。
通过分析系统的状态变量，可以判断系统是否处于正常工作状态，以及系统是否存在故障。
当系统发生故障时，可以通过调整状态方程的参数来实现故障的检测和恢复。
状态方程是现代控制理论中的重要概念，它能够描述系统的动态行为，为控制系统的建模、分析和设计提供了基础。
通过对状态方程的研究和应用，我们可以优化系统的性能，提高系统的稳定性和可靠性，实现对系统的有效控制。
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第九章 现代控制理论基础
§ 9-2控制系统的状态空间描述
3) 传递函数法 由系统的传递函数建立的状态空间表达式， 既保持了原传递函数所确定的输入-输出关系，又可将系统 的内部关系揭示出来。虽然得到的状态空间表达式非唯一， 系统矩阵A的元素取值各有不同，但既为同一个系统的实现， 其特征根必是相同的。
从图9-4b可得
x1 K 3 3 x2 x2 2 x2 K 2 2 x3 x x K K x K u 1 3 1 4 1 1 1 1 3 y x1
第九章 现代控制理论基础
§ 9-2控制系统的状态空间描述
写成向量矩阵形式，系统的状态空间表达式为
0 K 3 3 x 0 2 0 K1 K 4 1 y 1 0 0 x
0 0 0 u K 2 2 x 1 K1 1
2) 机理法 一般常见的控制系统，按其能量属性，可分为 电气、机械、机电、气动、液压、热力等系统。根据其 物理规律，如基尔霍夫定律、牛顿定律、能量守恒定律 等，即可建立系统的状态方程。当指定系统的输出时， 也很容易写出系统的输出方程。
b1r ur b2 r ur bnr ur
d1r ur d 2 r ur d mr ur
输出方程有如下的一般形式：
第九章 现代控制理论基础
§9-2 控制系统的状态空间描述
多输入-多输出系统状态空间表达式的向量矩阵形式为
x Ax Bu y Cx Du
解
以uc 和 i 作为此系统的两个状态变量，即令
根据基尔霍夫电压定律和电流定律
x1 uC x2 i
+ R
C
CuC i Li Ri uC u
进而得两个含有状态变量的一阶微分方程组
+ -
u
uC
L
i
图9-1
RLC电路
1 x1 x2 C x 1 x R x 1 u 2 1 2 L L L
第九章 现代控制理论基础
§9-2 控制系统的状态空间描述 一、基本概念
状态变量： 能够完全表征某系统运动状态的最小个数的一 组变量 xi (t ) i 1...n 。 状态向量： 若这些状态变量写成向量 x(t) x (t) x (t) 式，则就称为此系统的状态向量。
1 2
若选择位移y和速度dy/dt为状态变量，位移y为输出，力F为输入，
则
dy x 1 dt x k y f dy 1 F 2 m m dt m
则该机械系统的状态方程为
(9-5)
1 0 0 x x 1 1 f 1 F x k 2 x2 m m m
d y F m dt 2
若f为粘性摩擦系数，k表示弹簧刚度，则
2
k F
m
y f
dy d2 y F F ky f dt m dt 2
或表示成
图9-2 机械系统示意图
d2 y dy m 2 f ky F dt dt
第九章 现代控制理论基础
§ 9-2控制系统的状态空间描述
u
K1 T1 s 1
K2 T2 s 1
K3 T3 s
y
K4
a)
解 各环节的模拟结构如图9-4b所示。
第九章 现代控制理论基础
§ 9-2控制系统的状态空间描述
u
K1 T1
x3
1 T1
x3
K2 T2
x2
1 T2
x2
K3 T3
x1
x1 y
K4
b)
图9-4 系统方框图及模拟结构图
第九章 现代控制理论基础
§9.1 概 述 现代控制理论应用范围
医 学经 济Fra bibliotek现代控制论
生 态 交 通
现代控制理论成为研究动态系统的重要工具之一。
第九章 现代控制理论基础
§9-2 控制系统的状态空间描述
微分方程和传递函数只能够描述系统的输入输出关系，而对系统的内 部结构不提供任何信息。如下图所示
1) 方框图法 该法首先将系统的各个环节变换成相应的模拟 结构图，并把每个积分器的输出选作一个状态变量 x i，其输 入便是相应的 x i ；然后，由模拟图直接写出系统的状态方 程和输出方程。
第九章 现代控制理论基础
§ 9-2控制系统的状态空间描述
例9-3 系统方框图如图9-4a所示，输入为u，输出为y。试求其状态 空间表达式。
输出方程为
(9-6)
x1 y 1 0 x2
(9-7)
第九章 现代控制理论基础
§ 9-2控制系统的状态空间描述 二、状态空间表达式的建立
1．状态空间表达式的一般表示形式 设单输入-单输出定常系统，其状态变量为 x1 (t ) …， xn (t ) ，则状态方程的一般形式为：
B bij i 1 n, j 1 r 输入(或控制)矩阵；
第九章 现代控制理论基础
§9-2 控制系统的状态空间描述
对于式(9-8)和式(9-9)所描述的系统，它们的方框图分别如图 9-3a和图9-3b所示。
d
u
D
x
x b
A
C
y
u
B
x
A
x
C
y
a)
图9-3 系统信号传递方框图
x1 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1u x2 a21 x1 a22 x2 xn an1 x1 an 2 x2 a2n xn b2 u ann xn bn u
x2 (t )，
，
输出方程式则有如下形式：
y c1 x1 c2 x2
形 xn (t )
T
状态空间：以状态空间变量 维空间 。
为坐标所构成的
状态规线：若已知初始时刻时的状态，则随着时间的推移， 将以为初始点在状态空间中描绘出一条轨迹。
第九章 现代控制理论基础
§9-2 控制系统的状态空间描述
系统的状态 方程 ：
由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为 系统的状态方程
b)
从状态空间表达式和系统方框图都能清楚地说明：它们 既表征了输入和输出对于系统内部状态的因果关系，又反映 了内部状态和输入对外部输出的影响，所以状态空间表达式 是对系统的一种完全的描述。
第九章 现代控制理论基础
§9-2 控制系统的状态空间描述
2．状态空间表达式的建立
用状态空间法分析系统时，首先要建立系统的状态空间表达式。 求取表达式一般可以从三个途径求得： 一是由系统方框图来建立； 二是从系统的物理或化学的机理出发建立； 三是由描述系统运动过程的高阶微分方程或传递函数予以演 化而得。
R
C
u
+ -
+ -
其微分方程数学模型
uC
L
i
LCuC RCuC uC u
在零初始条件下，对其进行 拉氏变换可得其传递函数
图9-1
RLC电路
由左边两式只能得到输出与输入之 间的关系，对系统的内部信息比如 U C (s) 1 流过电感的电流却完全没有体现。 G ( s ) 2 U ( s ) LCs RCs 1 控制理论发展到20世纪50年代末 60年代初，产生了一种新的能满 足对复杂系统的内部结构(信息)有 要求的描述方法——状态空间法。
为了不失一般性，采用如下所示时间连续系统传递函数
bm s m bm 1 s m 1 b1s b0 W (s) s n an 1 s n 1 a1s a0
mn
为了说明方便，先从三阶微分方程出发，找出其实现规律，然后推 广到n阶系统。设待实现的系统传递函数为
1 o x 1 u R L LC
比较式(9-2)和式(9-4)，显而易见，同一系统 的状态变量选取不同，状态方程也不同。
第九章 现代控制理论基础
§9-2 控制系统的状态空间描述
例9-2 建立图9-2所示机械系统的状态空间表达式。 解 根据牛顿定律，有
系统的输出与状态变量间及输入之间的函数关 系式，称为系统的输出方程
输出方程：
状态空间 表达式：
状态方程和输出方程合起来完成了对一个系统 完整的动态描述，称之为系统的状态空间表达式
第九章 现代控制理论基础
x1 uC
§9-2 控制系统的状态空间描述
例9-1 写出图9-1所示RLC网络的状态空间表达式。
现代控制理论是 在20世纪50年代 末，60年代初发 展的。
其它
现代控制 理论
最优控制问题
当经典控制理论 适应控制问题 不能应对此类问 题的挑战时现代 控制理论便应运 而生了。 多输入多输出
系统控制
第九章 现代控制理论基础
§9.1 概 述 现代控制理论的优点
它采用状态空间描述，不仅可以刻画系统的输入输 出关系，而且还揭示了系统内部的特性，如能控性、 能观性等 它提供了对控制系统进行分析和设计的系统化方法， 可以方便地使用矩阵论等强有力的数学工具，并结 合计算机高速处理信息的能力，对设计者的经验依 赖较少。
a1n xn b11u1 b12u2 a2 n xn b21u1 b22u2 ann xn bn1u1 bn 2u2
c1n xn d11u1 d12u2 c2 n xn d 21u1 d 22 u2 cmn xn d m1u1 d m 2u2