中考数学一轮复习第19课时轴对称和轴对称图形尺规作图无答案

合集下载

2023年中考数学---《尺规作图》知识总结与专项练习题(含答案解析)

2023年中考数学---《尺规作图》知识总结与专项练习题（含答案解析）知识总结1.尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．2.基本要求它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同．①直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度．②圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度3.基本作图有：（1）作一条线段等于已知线段．（2）作一个角等于已知角．（3）作已知线段的垂直平分线．具体步骤：①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。

如图①②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。

如图②（4）作已知角的角平分线．具体步骤：①以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M、N。

如图①。

②分别以点M与点N为圆心，大于MN长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P。

如图②。

③连接OP，OP即为角的平分线。

（5）过一点作已知直线的垂线．4.复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作。

5.设计作图：应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图。

专项练习题1．尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知线段m，n．求作△ABC，使∠A＝90°，AB＝m，BC＝n．【分析】先在直线l上取点A，过A点作AD⊥l，再在直线l上截取AB＝m，然后以B点为圆心，n为半径画弧交AD于C，则△ABC满足条件．【解答】解：如图，△ABC为所作．2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．（1）作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：AD＝AE．【分析】（1）按照角平分线的作图步骤作图即可．（2）证明△ACE≌△ABD，即可得出AD＝AE．【解答】（1）解：如图所示．（2）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD是∠ABC的角平分线，CE是∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ACE≌△ABD（ASA），∴AD＝AE．3．如图，已知线段AC和线段a．（1）用直尺和圆规按下列要求作图．（请保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法）①作线段AC的垂直平分线l，交线段AC于点O；②以线段AC为对角线，作矩形ABCD，使得AB＝a，并且点B在线段AC的上方．（2）当AC＝4，a＝2时，求（1）中所作矩形ABCD的面积．【分析】（1）①按照线段垂直平分线的作图步骤作图即可．②以点O为圆心，OA的长为半径画弧，再以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，两弧在线段AC上方交于点B，同理，以点O为圆心，OC的长为半径画弧，再以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，两弧在线段AC下方交于点D，连接AD，CD，AB，BC，即可得矩形ABCD．（2）利用勾股定理求出BC，再利用矩形的面积公式求解即可．【解答】解：（1）①如图，直线l即为所求．②如图，矩形ABCD即为所求．（2）∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°，∵a＝2，∴AB＝CD＝2，∴BC＝AD＝＝＝，∴矩形ABCD的面积为AB•BC＝2×＝．4．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝BC，AD⊥DC于点D．（1）用尺规作∠ABC的角平分线，交CD于点E；（不写作法，保留作图痕迹）（2）连接AE．求证：四边形ABCE是菱形．【分析】（1）根据角平分线的作图步骤作图即可．（2）由角平分线的定义和平行四边形的判定定理，可得四边形ABCE为平行四边形，再结合AB＝BC，可证得四边形ABCE为菱形．【解答】（1）解：如图所示．（2）证明：∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠ABE＝∠CBE，∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠BEC，∴∠CBE＝∠BEC，∴BC＝EC，∵AB＝BC，∴AB＝EC，∴四边形ABCE为平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCE为菱形．5．如图，在4×4的方格纸中，点A，B在格点上．请按要求画出格点线段（线段的端点在格点上），并写出结论．（1）在图1中画一条线段垂直AB．（2）在图2中画一条线段平分AB．【分析】（1）利用数形结合的思想作出图形即可；（2）利用矩形的对角线互相平分解决问题即可．【解答】解：（1）如图1中，线段EF即为所求（答案不唯一）；（2）如图2中，线段EF即为所求（答案不唯一）．6．“水城河畔，樱花绽放，凉都宫中，书画成风”的风景，引来市民和游客争相“打卡”留念．已知水城河与南环路之间的某路段平行宽度为200米，为避免交通拥堵，请在水城河与南环路之间设计一条停车带，使得每个停车位到水城河与到凉都宫点F的距离相等．（1）利用尺规作出凉都宫到水城河的距离（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在图中格点处标出三个符合条件的停车位P1，P2，P3；（3）建立平面直角坐标系，设M（0，2），N（2，0），停车位P（x，y），请写出y与x之间的关系式，在图中画出停车带，并判断点P（4，﹣4）是否在停车带上．【分析】（1）利用过直线外一点作垂线的方法作图即可；（2）根据停车位到水城河与到凉都宫点F的距离相等，可得点P1，P2，P3；（3）根据停车位P（x，y）到点F（0，﹣1）和直线y＝1的距离相等，得1﹣y＝，从而解决问题．【解答】解：（1）如图，线段F A的长即为所求；（2）如图，点P1，P2，P3即为所求；（3）∵停车位P（x，y）到点F（0，﹣1）和直线y＝1的距离相等，∴1﹣y＝，化简得y＝﹣，当x＝4时，y＝﹣4，∴点P（4，﹣4）在停车带上．7．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．（1）网格中△ABC的形状是；（2）在图①中确定一点D，连结DB、DC，使△DBC与△ABC全等；（3）在图②中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE∽△CBA；（4）在图③中△ABC的边AB上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PBQ∽△ABC，且相似比为1：2．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明即可；（2）根据全等三角形的判定，作出图形即可；（3）根据相似三角形的判定作出图形即可；（4）作出AB，BC的中点P，Q即可．【解答】解：（1）∵AC＝＝，AB＝＝2，BC＝5，∴AC2+AB2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴△ABC是直角三角形；故答案为：直角三角形；（2）如图①中，点D，点D′，点D″即为所求；（3）如图②中，点E即为所求；（4）如图③，点P，点Q即为所求．8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．（1）请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．【分析】（1）过点A作AD⊥AO即可；（2）连接OB，OC．证明∠ACB＝75°，利用三角形内角和定理求出∠CAB，推出∠BOC＝120°，求出CH可得结论．【解答】解：（1）如图，切线AD 即为所求；（2）过点O 作OH ⊥BC 于H ，连接OB ，OC ．∵AD 是切线，∴OA ⊥AD ，∴∠OAD ＝90°，∵∠DAB ＝75°，∴∠OAB ＝15°，∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ＝15°，∴∠BOA ＝150°，∴∠BCA ＝∠AOB ＝75°，∵∠ABC ＝45°，∴∠BAC ＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝120°，∵OB ＝OC ＝2，∴∠BCO ＝∠CBO ＝30°，∵OH ⊥BC ，∴CH ＝BH ＝OC •cos30°＝，∴BC ＝2． 9．如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，分别以点A ，D 为圆心，大于21AD 的长为半径作弧，两弧交于点M ，N ，作直线MN ，分别交AB ，AD ，AC 于点E ，O ，F ，连接DE ，DF ．（1）由作图可知，直线MN 是线段AD 的．（2）求证：四边形AEDF是菱形．【分析】（1）根据作法得到MN是线段AD的垂直平分线；（2）根据垂直平分线的性质则AF＝DF，AE＝DE，进而得出DF∥AB，同理DE∥AF，于是可判断四边形AEDF是平行四边形，加上F A＝FD，则可判断四边形AEDF为菱形．【解答】（1）解：根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线；故答案为：垂直平分线；（2）证明：∵MN是AD的垂直平分线，∴AF＝DF，AE＝DE，∴∠F AD＝∠FDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠FDA＝∠BAD，∴DF∥AB，同理DE∥AF，∴四边形AEDF是平行四边形，∵F A＝FD，∴四边形AEDF为菱形．10．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，BC＝5．（1）作BC的垂直平分线，分别交AB、BC于点D、H；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，连接CD，求△BCD的周长．【分析】（1）利用基本作图，作BC的垂直平分线即可；（2）根据线段垂直平分线的性质得到DC＝DB，则利用等角的余角相等得到∠A＝∠DCA，则DC＝DA，然后利用等线段代换得到△BCD的周长＝AB+BC．【解答】解：（1）如图，DH为所作；（2）∵DH垂直平分BC，∴DC＝DB，∴∠B＝∠DCB，∵∠B+∠A＝90°，∠DCB+∠DCA＝90°，∴∠A＝∠DCA，∴DC＝DA，∴△BCD的周长＝DC+DB+BC＝DA+DB+BC＝AB+BC＝8+5＝13．11．已知：△ABC．（1）尺规作图：用直尺和圆规作出△ABC内切圆的圆心O．（只保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）如果△ABC的周长为14cm，内切圆的半径为1.3cm，求△ABC的面积．【分析】（1）作∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，点O即为所求；（2）△ABC的面积＝（a+b+c）•r计算即可．【解答】解：（1）如图，点O即为所求；（2）由题意，△ABC的面积＝×14×1.3＝9.1（cm2）．12．已知四边形ABCD为矩形，点E是边AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（1）在图1中作出矩形ABCD的对称轴m，使m∥AB；（2）在图2中作出矩形ABCD的对称轴n，使n∥AD．【分析】（1）如图1中，连接AC，BD交于点O，作直线OE即可；（2）如图2中，同法作出点O，连接BE交AC于点T，连接DT，延长TD交AB于点R，作直线OR即可．【解答】解：（1）如图1中，直线m即为所求；（2）如图2中，直线n即为所求；13．如图，在10×10的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中△ABC为格点三角形．请按要求作图，不需证明．（1）在图1中，作出与△ABC全等的所有格点三角形，要求所作格点三角形与△ABC有一条公共边，且不与△ABC重叠；（2）在图2中，作出以BC为对角线的所有格点菱形．【分析】（1）根据全等三角形的判定画出图形即可；（2）根据菱形的定义画出图形即可．【解答】解：（1）如图1中，△ABD1，△ABD2，△ACD3，△ACD4，△CBD5即为所求；（2）如图2中，菱形ABDC，菱形BECF即为所求．14．【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？【初步尝试】如图1，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心O作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；【问题联想】如图2，已知线段MN，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以MN为斜边的等腰直角三角形MNP；【问题再解】如图3，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）【分析】【初步尝试】如图1，作∠AOB的角平分线OP即可；【问题联想】如图2，作线段MN的垂直平分线RT，垂足为R，在射线RT上截取RP＝RM，连接MP，NP，三角形MNP即为所求；【问题再解】方法一：构造等腰直角三角形OBE，作BC⊥OE，以O为圆心，OC为半径画弧交OB于点D，交OA于点F，弧DF即为所求．方法二：作OB的中垂线交OB于点C，然后以C为圆心，CB长为半径画弧交OB中垂线于点D，再以O为圆心，OD长为半径画弧分别交OA、OB于点E、F．则弧EF即为所求．【解答】解：【初步尝试】如图1，直线OP即为所求；【问题联想】如图2，三角形MNP即为所求；【问题再解】如图3中，即为所求．15．如图，在6×6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形．（1）如图1，作一条线段，使它是AB向右平移一格后的图形；（2）如图2，作一个轴对称图形，使AB和AC是它的两条边；（3）如图3，作一个与△ABC相似的三角形，相似比不等于1．【分析】（1）把点B、A向右作平移1个单位得到CD；（2）作A点关于BC的对称点D即可；（3）延长CB到D使CD＝2CB，延长CA到E点使CE＝2CA，则△EDC满足条件．【解答】解：（1）如图1，CD为所作；（2）如图2，（3）如图3，△EDC为所作．。

2021年中考数学一轮复习：轴对称与中心对称专项练习题(含答案)

2021年中考数学一轮复习：轴对称与中心对称专项练习题一、选择题1. 如图所示电视台的台标中，是中心对称图形的是()2. 下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是()3. 如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点中心对称，则这个点是()A．O1B．O2C．O3D．O44. 如图，线段AB与A'B'(AB=A'B')不关于直线l成轴对称的是()5. 如图，在△ABC中，AC＝BC，点D和E分别在AB和AC上，且AD＝AE，连接DE，过点A的直线GH与DE平行．若∠C＝40°，则∠GAD的度数为()A．40°B．45°C．55°D．70°6. 如图，已知钝角三角形ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.步骤1:以点C为圆心，CA长为半径画弧①;步骤2:以点B为圆心，BA长为半径画弧②，交弧①于点D;步骤3:连接AD，交BC的延长线于点H.则下列叙述正确的是()A.BH垂直平分线段ADB.AC平分∠BADC.S△ABC=BC·AHD.AB=AD7. 把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换.结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形(如图0)的对应点所具有的性质是()A.对应点所连线段与对称轴垂直B.对应点所连线段被对称轴平分C.对应点所连线段都相等D.对应点所连线段互相平行8. 如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=，若点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是()A.B.C.6 D.3二、填空题9. 将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若AB=10 cm ，则AC= cm .10. 等腰三角形的两边长分别为6 cm ，13 cm ，其周长为________ cm .11. 如图，四边形ABCD 是菱形，O 是两条对角线的交点，过O 点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分.当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，阴影部分的面积为 .12. 已知点P (x ，y )的坐标满足等式(x －2)2＋|y －1|＝0，且点P 与点P ′关于y 轴对称，则点P ′的坐标为________．13. 画图:试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格.根据上表，猜想正n 边形有条对称轴.14. (2019•黄冈)如图，AC BD ，在AB 的同侧，288AC BD AB ===，，，点M为AB 的中点，若120CMD ∠=︒，则CD 的最大值是__________．三、解答题15. 已知:如图，AB=AC，DB=DC，点E在直线AD上.求证:EB=EC.16. 如图，DF为△ABC的边BC的垂直平分线，F为垂足，DF交△ABC的外角平分线AD于点D，DE⊥AB于点E，且AB>AC，连接BD，CD.求证:(1)∠DBE=∠DCA;(2)BE=AC+AE.17. 如图，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线12y x b=-+交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．18. 如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF.(1)如图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF ＝3S△EDF，求AE的长；(2)如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M 处，且使MF∥CA.①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；②求EF的长．答案一、选择题1. 【答案】A2. 【答案】C3. 【答案】A[解析] 如图，连接HC和DE交于点O1.4. 【答案】A[解析] 选项A中，A'B'是由线段AB平移得到的，所以线段AB与A'B'不关于直线l成轴对称.5. 【答案】C[解析] ∵AC＝CB，∠C＝40°，∴∠BAC＝∠B＝12(180°－40°)＝70°.∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝12(180°－70°)＝55°.∵GH∥DE，∴∠GAD＝∠ADE＝55°.6. 【答案】A[解析] 如图，连接CD，BD.∵CA=CD，BA=BD，∴点C，B都在线段AD的垂直平分线上.∴BH垂直平分线段AD.故选A.7. 【答案】B[解析] 连接BB'交对称轴于点O，过点B作BM⊥对称轴，垂足为M，过点B'作B'N⊥对称轴，垂足为N，由轴对称的性质及平移的性质可得BM=B'N.又因为∠BOM=∠B'ON，∠BMO=∠B'NO=90°，所以△BOM≌△B'ON.所以OB=OB'.同理其他对应点也有这样的结论.8. 【答案】D[解析]分别以OB，OA为对称轴作点P的对称点P1，P2，连接OP1，OP2，P1P2，P1P2交射线OA，OB于点M，N，则此时△PMN的周长有最小值，△PMN的周长=PN+PM+MN=P1N+P2M+MN=P1P2，根据轴对称的性质可知OP1=OP2=OP=，∠P1OP2=120°，∴∠OP1M=30°，过点O作MN的垂线段，垂足为Q，在Rt△OP1Q中，可知P1Q=，所以P1P2=2P1Q=3，故△PMN周长的最小值为3.二、填空题9. 【答案】10[解析]如图，∵矩形的对边平行，∴∠1=∠ACB，由翻折变换的性质，得∠1=∠ABC，∴∠ABC=∠ACB，∴AC=AB，∵AB=10 cm，∴AC=10 cm.故答案为10.10. 【答案】32[解析] 由题意知，应分两种情况：(1)当腰长为6 cm时，三角形的三边长为6 cm，6 cm，13 cm，6＋6＜13，不能构成三角形；(2)当腰长为13 cm时，三角形的三边长为6 cm，13 cm，13 cm，能构成三角形，周长＝2×13＋6＝32(cm)．11. 【答案】12[解析]∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，∴菱形的面积=×6×8=24.∵点O是菱形两条对角线的交点，∴阴影部分的面积=×24=12.12. 【答案】(－2，1)[解析] ∵(x －2)2≥0，|y －1|≥0，又(x －2)2＋|y －1|＝0，∴x－2＝0且y －1＝0，即x ＝2，y ＝1.∴点P 的坐标为(2，1)．那么点P 关于y 轴的对称点P′的坐标为(－2，1)．13. 【答案】解:如图.故填3，4，5，6，n.14. 【答案】14【解析】如图，作点A 关于CM 的对称点A'，点B 关于DM 的对称点B'．∵120CMD ∠=︒，∴60AMC DMB ∠+∠=︒， ∴60CMA'DMB'∠+∠=︒， ∴60A'MB'∠=︒， ∵MA'MB'=，∴A'MB'△为等边三角形，∵14CD CA'A'B'B'D CA AM BD ≤++=++=， ∴CD 的最大值为14，故答案为：14．三、解答题15. 【答案】证明:连接BC.∵AB=AC ，DB=DC ，∴直线AD 是线段BC 的垂直平分线. 又∵点E 在直线AD 上，∴EB=EC.16. 【答案】证明:(1)如图，过点D 作DG ⊥CA 交CA 的延长线于点G .∵DF 是BC 的垂直平分线，∴BD=CD.∵AD 是△ABC 的外角平分线，DE ⊥AB ，DG ⊥CA ， ∴DE=DG ，∠DEB=∠DGC=90°. 在Rt △DBE 和Rt △DCG 中，∴Rt △DBE ≌Rt △DCG (HL). ∴∠DBE=∠DCA.(2)∵Rt △DBE ≌Rt △DCG ，∴BE=CG . 在Rt △DEA 和Rt △DGA 中，∴Rt △DEA ≌Rt △DGA (HL). ∴AE=AG .∴BE=CG=AC+AG=AC+AE ，即BE=AC+AE.17. 【答案】(1)①如图2，当E 在OA 上时，由12y x b =-+可知，点E 的坐标为(2b ,0)，OE＝2b ．此时S ＝S △ODE ＝112122OE OC b b ⋅=⨯⨯=．②如图3，当E 在AB 上时，把y ＝1代入12y x b =-+可知，点D 的坐标为(2b －2,1)，CD ＝2b －2，BD ＝5－2b ．把x ＝3代入12y x b =-+可知，点E 的坐标为3(3,)2b -，AE ＝32b -，BE ＝52b -．此时S ＝S 矩形OABC －S △OAE － S △BDE －S △OCD＝1315133()()(52)1(22)22222b b b b -⨯-----⨯⨯-252b b =-+．(2)如图4，因为四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 关于直线DE 对称，因此DM ＝DN ，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN 是菱形．作DH⊥OA，垂足为H．由于CD＝2b－2，OE＝2b，所以EH＝2．设菱形DMEN的边长为m．在Rt△DEH中，DH＝1，NH＝2－m，DN＝m，所以12＋(2－m)2＝m2．解得54m ．所以重叠部分菱形DMEN的面积为54．图2 图3 图4考点伸展把本题中的矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5），那么这个菱形的最小面积为1，如图6所示；最大面积为53，如图7所示．图5 图6 图7 18. 【答案】(1)如解图①，∵折叠后点A落在AB边上的点D处，解图①∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，∴S △AEF ＝S △DEF ，∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，∴S 四边形ECBF ＝3S △AEF ，∵S △ACB ＝S △AEF ＋S 四边形ECBF ，∴S △ACB ＝S △AEF ＋3S △AEF ＝4S △AEF ， ∴14△△AEF ACB S S =， ∵∠EAF ＝∠BAC ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°，∴△AEF ∽△ABC ，∴2△△（）AEF ACB S AE ABS =， ∴214（）=，AE AB 在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，∴AB 2＝AC 2＋BC 2，即AB ＝42＋32＝5，∴(AE 5)2＝14，∴AE ＝52；(2)①四边形AEMF 是菱形．证明：如解图②，∵折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，∴∠CAB ＝∠EMF ，AE ＝ME ，又∵MF ∥CA ，∴∠CEM ＝∠EMF ，∴∠CAB ＝∠CEM ，∴EM ∥AF ，∴四边形AEMF 是平行四边形，而AE ＝ME ，∴四边形AEMF 是菱形，解图②②如解图②，连接AM ，与EF 交于点O ，设AE ＝x ，则AE ＝ME ＝x ，EC ＝4－x ， ∵∠CEM ＝∠CAB ，∠ECM ＝∠ACB ＝90°，∴Rt △ECM ∽Rt △ACB ，∴EC AC ＝EM AB ，∵AB ＝5，∴445-，x x =解得x ＝209， ∴AE ＝ME ＝209，EC ＝169，在Rt △ECM 中，∵∠ECM ＝90°，∴CM 2＝EM 2－EC 2，即CM ＝（209）2－（169）2＝43，∵四边形AEMF 是菱形，∴OE ＝OF ，OA ＝OM ，AM ⊥EF ， ∴S AEMF 菱形＝4S △AOE ＝2OE ·AO ，在Rt △AOE 和Rt △ACM 中， ∵tan ∠EAO ＝tan ∠CAM ，∴OE AO ＝CM AC ，∵CM ＝43，AC ＝4，∴AO ＝3OE ，∴S AEMF 菱形＝6OE 2，又∵S AEMF 菱形＝AE ·CM ，∴6OE 2＝209×43，解得OE ＝2109，∴EF ＝2OE ＝4109.。

2023年中考数学考点一轮复习课件：尺规作图

第一节尺规作图
返回目录
成都10年真题及拓展
尺规作图的相关计算
1. 如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点 B 和点 C 为圆心，
以大于 12BC 的长为半径作弧，两弧相交于点 M 和 N；②作直线 MN 交
AC 于点 D，连接 BD.若 AC＝6，AD＝2，则 BD 的长为( C )
A．2
步骤
作图依据
1.以点O为圆心，以适当的长为半径作弧
，分别交∠α的两边于点P，Q；
三边分别
2.作射线O′A；
相等的两
3.以点O′为圆心，___O__P___长为半径作弧个三角形
，交O′A于点M，可得到O′M＝OP；
全等；全
4.以点M为圆心，____P_Q___长为半径作弧等三角形
Hale Waihona Puke ，与前弧相交于点N，可得到MN＝PQ；的对应角
返回目录
4. 如图，▱ ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，按以下步骤作图：
①以点 A 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交 AO，AB 于点 M，N； ②以点 O 为圆心，以 AM 长为半径作弧，交 OC 于点 M′；③以点 M′ 为圆心，以 MN 长为半径作弧，在∠COB 内部交前面的弧于点 N′；④ 过点 N′ 作射线 ON′ 交 BC 于点 E. 若 AB ＝ 8 ，则线段 OE 的长为4 ．
a) 结论：OA＝a
返回思维导图
返回目录
步骤
作图依据
1.作射线OP； 2.以点O为圆心，a为半径作弧，交OP于点A，OA即为所求作的线段
圆上的点到圆心的距离等于
半径
第一节尺规作图
返回思维导图

中考数学专题复习导学案尺规作图》(含答案)

中考数学专题练习《尺规作图》【知识归纳】一）尺规作图1．定义只用没有刻度的和作图叫做尺规作图．2．步骤①根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分；②分析作图的方法和过程；③用直尺和圆规进行作图；④写出作法步骤，即作法．二）五种基本作图1．作一条线段等于已知线段；2．作一个角等于已知角；3．作已知角的平分线；4．过一点作已知直线的垂线；5．作已知线段的垂直平分线．三）基本作图的应用1．利用基本作图作三角形(1)已知三边作三角形；(2)已知两边及其夹角作三角形；(3)已知两角及其夹边作三角形；(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；(5)已知一直角边和斜边作直角三角形．2．与圆有关的尺规作图(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)．(2)作三角形的内切圆．【基础检测】1．如图，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P ．若点P 的坐标为（2a ，b +1），则a 与b 的数量关系为（）A ．a =bB ．2a +b =﹣1C ．2a ﹣b =1D ．2a +b =12.如图，已知△ABC ，以点B 为圆心，AC 长为半径画弧；以点C 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点D ，且点A ，点D 在BC 异侧，连结AD ，量一量线段AD 的长，约为（）A ．2.5cmB ．3.0cmC ．3.5cmD ．4.0cm3.如图，已知△ABC ，∠BAC=90°，请用尺规过点A 作一条直线，使其将△ABC 分成两个相似的三角形（保留作图痕迹，不写作法）4.如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC 的顶点均在格点上，点A 、B 的坐标分别是A （4，3）、B （4，1），把△ABC 绕点C 逆时针旋转90°后得到△A 1B 1C ．（1）画出△A 1B 1C ，直接写出点A 1、B 1的坐标；（2）求在旋转过程中，△ABC 所扫过的面积．5．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中，给出了四边形ABCD 的两条边AB 与BC ，且四边形ABCD 是一个轴对称图形，其对称轴为直线AC ．（1）试在图中标出点D ，并画出该四边形的另两条边；（2）将四边形ABCD 向下平移5个单位，画出平移后得到的四边形A′B′C′D′．6．已知：线段a 及∠ACB ．求作：⊙O ，使⊙O 在∠ACB 的内部，CO=a ，且⊙O 与∠ACB 的两边分别相切．7．如图，OA=2，以点A 为圆心，1为半径画⊙A 与OA 的延长线交于点C ，过点A 画OA 的垂线，垂线与⊙A 的一个交点为B ，连接BC（1）线段BC 的长等于；（2）请在图中按下列要求逐一操作，并回答问题：A B C①以点为圆心，以线段的长为半径画弧，与射线BA交于点D，使线段OD的长等于②连OD，在OD上画出点P，使OP得长等于，请写出画法，并说明理由．【达标检测】一、选择题1．如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）A．65°B．60°C．55°D．45°2.如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧○1；步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧○2，将弧○1于点D；步骤3：连接AD，交BC延长线于点H.下列叙述正确的是（）第10题图A．BH垂直分分线段AD B．AC平分∠BAD=BC·AH D．AB=ADC．S△ABC二、填空题3.如图，已知线段AB，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D 两点，作直线CD交AB于点E，在直线CD上任取一点F，连接FA，FB．若FA=5，则FB=．4.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的是。

尺规作图对称平移旋转

2009年中考数学专题复习讲座尺规作图对称平移旋转1）尺规作图：○1画一条线段等于已知线段（或等于已知线段的2倍、1/2）、等于两条已知线段的和或差。

○2画一条线段、射线或直线的垂线。

○3画一条线段的垂直平分线。

○4画一个角的平分线。

○5画一个三角形与已知三角形全等（SSS,SAS,ASA,AAS）。

○6平面的图形的平移、轴对称、旋转。

2）平移：○1把一个图形整体沿某一直线方向移动叫平移。

○2平移的性质：新图形与原图形形状、大小完全相同，连接各组对应点的线段平行且相等。

○3按要求把图形平移。

○4用坐标表示平移。

○5平移变换后点的坐标函数表达式的变化。

3）轴对称○1轴对称图形与两个图形成轴对称；○2轴对称图形的性质；○3作简单图形的轴对称图形；○4简单几何图形的对称轴的条数；○54）旋转○1把一个图形绕某一个点转动一个角度的图形变换叫旋转；○2中心对称与中心对称图形；○3旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前后图形全等；○4作简单图形旋转后的图形；○5旋转变换中点的坐标、函数表达式的变化。

(四)典型例习题1)尺规作图练习.1、七年级上P144.12 A、B两地都是海上观察站，从A地发现在它的北偏东600方向有一艘船，同时从B地发现这艘船在它北偏东300方向，试在图中确定这艘船的位置。

2、七年级下P31.7(选桥选址问题)如图:A、B两地在一条河的两岸（两岸平行），现要在河上造一座桥MN（MN要垂直于河岸），桥建在何处才能使A→M→N→B的路径最短？○1过A做AA’⊥河岸，使AA’=河岸MN。

○2连A’B交河对岸于N。

○3作MN⊥河岸，垂足为M。

○4则MN即为所求。

3、○1已知A、B求点P，使PA+PB最小；○2已知A、P在定直线l上，求点B使PA+PB最短？○3A、B是l同侧两点，在l上求一点P，使⊿PAB的周长最小。

4、（建模）七年级下P55.10 如图，猴山和狮虎山的坐标分别是（2，1），（8，2）若熊猫馆的坐标是（6，6），试在图中标出熊猫馆的位置？5、P60-61.8 全体400多户只有5口水井，○1第一口在村委会院子里，○2第二口井在村委会北偏东30o方向200m处，○3第三口井在村委会正西方1500m处，○4第四口井在村委会东南方向1000m处，○5第五口井在村委会正南方向900m处，画出五口水井的位置。

九年级中考数学一轮复习尺规作图设计教学课件

半径画弧
②两弧交于两点，再连接两点，即BC的
线段垂直平分线
③该直线与BC的交点D为BC中点
④连接AD，即▲ABC底边BC上的中线。
1、三角形作图（高，角平分线，中线及中垂线，平行线等）
1-1. （2022·陕西）如图，已知△ABC,CA=CB,∠ACD是△ACD的一个外角.请用尺规作图法，
求作射线CP，使CP//AB.（保留作图痕迹，不写作法）
1

的两部分，请画出线段AD，并写出D的坐标.
（1 ）
【答案】解：（1）如图，将△ABC绕点A顺时针转90°，即将AB、
AC绕点A顺时针旋转90°，得到1 、 A1 ，连接1 1 即可，则△
1 1 即为所求；
（2）如图，根据三角形中线的性质，找到△ 1 1 ， 1 1 的中点，
【解析】【答案】解：如图，射线CP即为
所求作.
【知识点】平行线的判定；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；角平分线的定义；作图-角
的平分线
【解析】【分析】作∠ACD的角平分线CP，根据角平分线的概念可得∠ACP=∠PCD，由等腰三角
形的性质可得∠A=∠B，由外角的性质可得∠ACD=2∠A，则∠ACP=∠A，推出CP∥AB.

∴∠CPQ=∠PBA．
∴直线PQ//直线．( ▲ )(填依据2)．
三角形作图（高，角平分线，中线及中垂线，平行线等）
1-9,
【知识点】平行线的判定；等腰三角形的性质；作图-平行
线；角平分线的定义
（1）解：根据题中画图过程可得：
如图，PQ即为所作图形；
【解析】【解答】解：（2）由作图可知PQ平分∠CPB ，
⑶在y轴上存在点P，使得△ OA1 P 的面积为6，请直接写出满

江苏省无锡市宜兴市中考数学一轮复习第19课时轴对称和轴对称图形、尺规作图(无答案)

第19课时轴对称和轴对称图形、尺规作图一、考点说明(见中考指南P96）二、典型例题例1 (1)如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 上一点,CE=1,点P 在BD 上移动，则PC+PE 的最小值是。

（2）如图,在边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°,M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点,将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C 长度的最小值是 .例2如图，△ABC 三个顶点的坐标分别是A （1，1）、B （4，2)、C （3，4）.（1)请画出△ABC 向右平移5个单位长度后得到的△A 1B 1C 1；（2）请画出△ABC 关于原点对称的△A 2B 2C 2；（3）在x 轴上求作一点P ，使△PAB 的周小最小,请画出△PAB，并直接写出P 的坐标．例3 有一块直角三角形的绿地,量得两直角三角边长分别为6m ，8m ，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m 为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.P E DC BA B CAB C A BC A例4如图，在△ABC 中，∠C=90°,∠B=30°，以A 为圆心、任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和点N,再分别以M 、N 为圆心,大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P,连接AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（ )① AD 是∠BAC 的平分线；②∠ADC=60°；③点D 在AB 的垂直平分线上；④3:1:=∆∆ABC DAC S S A.1 B.2 C.3 D 。

4 三、反馈检测（10分钟）1。

下列图案中，不是轴对称图形的是 ( ）2.如图,已知在Rt △ABC 中,∠ABC =90°,点D 是BC 边的中点，分别以B 、C 为圆心，大于线段BC 长度一半的长为半径圆弧,两弧在直线BC 上方的交点为P ,直线PD 交AC 于点E ，连接BE ,则下列结论：①ED ⊥BC ;②∠A =∠EBA ;③EB 平分∠AED ；④ED =AB 中，一定正确的是( ）A ．①②③B ． ①②④C ． ①③④D ． ②③④3。

江苏省2023年中考备考数学一轮复习轴对称图形练习题

江苏省2023年中考备考数学一轮复习轴对称图形练习题一、单选题1．（2022·江苏盐城·统考一模）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．（2022·江苏南通·统考中考真题）下面由北京冬奥会比赛项目图标组成的四个图形中，可看作轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3．（2022·江苏连云港·统考中考真题）下列图案中，是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ． 4．（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，在ABC 中，70B ∠=︒，沿图中虚线EF 翻折，使得点B 落在AC 上的点D 处，则12∠+∠等于（）A ．160°B ．150°C ．140°D ．110°5．（2022·江苏常州·统考一模）如图，已知四边形ABCD 的对角互补，且BAC DAC ∠=∠，15AB =，12AD =．过顶点C 作CE AB ⊥于E ，则AE BE的值为（）A B ．9 C ．6 D ．7．26．（2022·江苏盐城·统考二模）如图，AB CD ∥，AE 平分CAB ∠．下列说法错误的是（）A ．13∠=∠B ．12∠=∠C ．3=4∠∠D ．45∠=∠7．（2022·江苏连云港·统考一模）如图，点F 在正五边形ABCDE 的内部，ABF △为等边三角形，则AFC ∠等于（）A ．108︒B ．120︒C ．126︒D ．132︒8．（2022·江苏宿迁·统考中考真题）若等腰三角形的两边长分别是3cm 和5cm ，则这个等腰三角形的周长是（）A ．8cmB ．13cmC ．8cm 或13cmD ．11cm 或13cm9．（2022·江苏淮安·统考中考真题）如图，在ABC 中，AB AC =，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，E 为AC 的中点，若10AB =，则DE 的长是（）A ．8B ．6C ．5D ．410．（2022·江苏宿迁·统考二模）如图，每个小方格的边长为1，A ，B 两点都在小方格的顶点上，点C 也是图中小方格的顶点，并且ABC 是等腰三角形，那么点C 的个数为（）．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．（2022·江苏镇江·统考中考真题）如图，有一张平行四边形纸片ABCD ，5AB =，7AD =，将这张纸片折叠，使得点B 落在边AD 上，点B 的对应点为点B '，折痕为EF ，若点E 在边AB 上，则DB '长的最小值等于_________．12．（2022·江苏宿迁·统考二模）如图，在△ABC 中，△B =30°，△C =50°，通过观察尺规作图的痕迹，△DAE 的度数是 _____．13．（2022·江苏盐城·统考三模）根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，,αβ是两面互相平行的平面镜，一束光线m 通过镜面α反射后的光线为n ，再通过镜面β反射后的光线为k ．光线m 与镜面α的夹角的度数为x ︒，光线n 与光线k 的夹角的度数为y ︒．则x 与y 之间的数量关系是______．14．（2022·江苏南通·统考模拟预测）如图，在Rt△ABC 中，△ACB=90°，EF 垂直平分AB ，AC=3，BC=4，则AE+CE 的最小值是________．15．（2022·江苏南通·统考二模）如图，在ABC 中，按以下步骤作图：△以点B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB ，BC 于点D ，E ；△分别以点D ，E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧在ABC ∠的内部交于点F ； △作射线BF ，交AC 于点G ．如果6AB =，9BC =，ABG 的面积为9，则ABC 的面积为______．16．（2022·江苏无锡·统考一模）如图，在△ABC 中，边AB 的垂直平分线分别交AB 、BC 于点E ，D ，30B ∠=︒，50C ∠=︒，则△DAC 的度数是______．17．（2022·江苏苏州·统考中考真题）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC 是“倍长三角形”，底边BC 的长为3，则腰AB 的长为______．18．（2022·江苏南京·统考一模）如图，ABC 中，2,AB AC P ==是BC 上任意一点，PE AB ⊥于点,E PF AC ⊥于点F ，若1ABC S =△，则PE PF +=________．19．（2022·江苏南通·统考一模）如图，△ABC 中，AB=BC ，△ABC=90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE=CF ，若△BAE=25°，则△ACF=__________度．20．（2022·江苏镇江·统考二模）如图，A 、B 、C 、D 为一个外角为40︒的正多边形的顶点．若O 为正多边形的中心，则OAD ∠=__．21．（2022·江苏常州·统考二模）如图，在△ABC 中，AB =AC ，△BAC =100°，BD 平分△ABC ，且BD =AB ，连接AD 、DC ．则△BDC 的度数为__________°．三、解答题22．（2022·江苏扬州·统考中考真题）如图，在ABCD 中，BE 、DG 分别平分ABC ADC ∠∠、，交AC 于点E G 、．(1)求证：,BE DG BE DG =∥；(2)过点E 作EF AB ⊥，垂足为F ．若ABCD 的周长为56，6EF =，求ABC ∆的面积．23．（2022·江苏常州·模拟预测）如图，在ABC 中，90,C AC BC ∠=︒>，D 为AB 的中点，E 为CA 延长线上一点，连接DE ，过点D 作DF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ，连接EF ．作点B 关于直线DF 的对称点G ，连接DG ．（1）依题意补全图形；（2）若ADF α∠=．△求EDG ∠的度数（用含α的式子表示）；△请判断以线段,,AE BF EF 为边的三角形的形状，并说明理由．24．（2022·江苏宿迁·统考三模）如图，在ABC 中，42B ∠=︒，50C ∠=︒，通过尺规作图，得到直线DE 和射线AF ，仔细观察作图痕迹，完成下列问题：(1)直线DE 是线段AB 的________线，射线AF 是EAC ∠的________线；(2)求EAF ∠的度数．25．（2022·江苏常州·统考二模）如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，B D ∠=∠，连接AC ．(1)求证：AB CD =：(2)用直尺和圆规作图：过点C 作AB 的垂线，垂足为E （不写作法，保留作图痕迹），若四边形ABCD 的面积是20，5AB =，求CE 的长．26．（2022·江苏南通·统考一模）如图，BE 是ABC 的角平分线，在AB 上取点D ，使DB DE =．（1）求证：//DE BC ．（2）若65A ∠=︒，45AED ∠=︒，求EBC ∠的度数．27．（2022·江苏徐州·一模）如图，长方形ABCD 中，AB ＞AD ，把长方形沿对角线AC 所在直线折叠，使点B 落在点E 处，AE 交CD 于点F ，连接DE ．(1)图中有个等腰三角形；（请直接填空，不需要证明）(2)求证：△ADE △△CED ；(3)请证明点F 在线段AC 的垂直平分线上．28．（2022·江苏苏州·统考一模）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．(1)如图1，已知等腰直角△ABC，△ACB＝90°，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形；(2)理解运用：如图2，已知△ABC为直角三角形，△ACB＝90°，以AB，AC为边向外作正方形ABDE，正方形ACFG，连接EG．求证：△ABC与△AEG为偏等积三角形；(3)如图3，四边形ABED是一片绿色花园，△ACB、△DCE是等腰直角三角形，△ACB＝△DCE＝90°（0＜△BCE＜90°），已知BE＝60m，△ACD的面积为2100m2．计划修建一条经过点C的笔直的小路CF，F在BE边上，FC的延长线经过AD中点G．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价．参考答案：1．A【分析】根据轴对称图形的概念对各项分析判断即可得解．【详解】A ．是轴对称图形，故本选项符合题意；B ．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C ．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D ．不是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选A ．【点睛】本题考查判断轴对称图形，理解轴对称图形的概念是解答的关键．2．D【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A ．不是轴对称图形，故本选项不合题意；B ．不是轴对称图形，故本选项不合题意；C ．不是轴对称图形，故本选项不合题意；D ．是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D ．【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．3．A【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．【详解】A.是轴对称图形，故该选项正确，符合题意；B.不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；C.不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；D.不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；故选A【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．4．C【分析】由70B ∠=︒得110BEF BFE ∠+∠=︒，再根据翻折知BEF DEF ∠=∠，BFE DFE ∠=∠，即可求出12∠+∠的值．【详解】解：70B ∠=︒，110BEF BFE∴∠+∠=︒，翻折，BEF DEF∴∠=∠，BFE DFE∠=∠，2()2110220BED BFD BEF BFE∴∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，121802220140∴∠+∠=︒⨯-︒=︒，故选：C．【点睛】本题考查了翻折的性质以及三角形内角和定理，熟练运用翻折的性质是解题的关键．5．B【分析】要求AEBE的值，主要求出AE和BE的长即可，注意到AC是角平分线，于是作CF△AD交AD的延长线于点F，可以证得两对全等三角形，结合已知数据可以求得AE和BE的长，从而解决问题．【详解】解：作CF△AD交AD的延长线于点F，则△CFD=90°，△CE△AB，△△CEB=90°，△△CFD=△CEB=90°，△△BAC=△DAC，△AC平分△BAD，△CE=CF，△四边形ABCD对角互补，△△ABC+△ADC=180°，又△△CDF+△ADC=180°，△△CBE=△CDF，在△CBE和△CDF中，CEB CFDCBE CDFCE CF，△△CBE△△CDF（AAS），△BE =DF ，在△AEC 和△AFC 中，AECAFC EACFAC AC AC ，△△AEC △△AFC （AAS ），△AE =AF ，设BE =a ，则DF =a ，△AB =15，AD =12，△12+2a =15，得 1.5a =，△AE =12+a =13.5，BE =a =1.5， △13.591.5AE BE ==，故选B ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解答本题的关键是巧妙构造全等三角形进而得出等量关系．6．D【分析】利用平行线的性质、角平分线的性质以及对顶角相等知识对选项进行逐一判断即可．【详解】解：A ．AB CD ∥，1=3∴∠∠（两直线平行，同位角相等），选项正确，不符合题意． B ．AE 平分CAB ∠，1=2∴∠∠（角平分线的性质），选项正确，不符合题意．C ．根据对顶角相等可知3=4∠∠，选项正确，不符合题意．D ．根据题干信息无法判断45∠=∠，选项错误，符合题意．故选：D【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质以及对顶角相等知识，熟知相关性质是解决本题的关键．7．C【分析】根据多边形内角和公式可求出△ABC 的度数，根据正五边形的性质可得AB =BC ，根据等边三角形的性质可得△ABF =△AFB =60°，AB =BF ，可得BF =BC ，根据角的和差关系可得出△FBC 的度数，根据等腰三角形的性质可求出△BFC 的度数，根据角的和差关系即可得答案．【详解】△ABCDE 是正五边形，△△ABC =(52)1805-⨯︒=108°，AB =BC ，△ABF △为等边三角形，△△ABF =△AFB =60°，AB =BF ，△BF =BC ，△FBC =△ABC -△ABF =48°，△△BFC =1(180)2FBC ︒-∠=66°， △AFC ∠=△AFB +△BFC =126°，故选：C ．【点睛】本题考查多边形内角和、等腰三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握多边形内角和公式是解题关键．8．D【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：当3是腰时，△3＋3＞5，△3，3，5能组成三角形，此时等腰三角形的周长为3＋3＋5＝11（cm ），当5是腰时，△3＋5＞5，5，5，3能够组成三角形，此时等腰三角形的周长为5＋5＋3＝13（cm ），则三角形的周长为11cm 或13cm ．故选：D【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．9．C【分析】利用等腰三角形三线合一以及直角三角形斜边上的中线进行求解即可．【详解】△10AB AC ==，AD 平分BAC ∠，△AD BC ⊥，△90ADC ∠=︒，△E 为AC 的中点， △152DE AC ==，故选C ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线．熟练掌握等腰三角形三线合一和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．10．C【分析】分AB 为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C 的个数．【详解】解：如下图：当AB 为腰时，分别以A 、B 点为顶点，以AB 为半径作圆，可找出格点C 的个数有2个；当AB 为底时，作AB 的垂直平分线，可找出格点C 的个数有1个，所以点C 的个数为：2+1=3．故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，能分以AB 为底和以AB 为腰两种情况，并画出图形是解题关键． 11．2【分析】根据题意，EB EB '=，当E 点与A 点重合时，符合题意，据此即可求解．【详解】解：△将这张纸片折叠，使得点B 落在边AD 上，点B 的对应点为点B '，△EB EB '=，而B E AE AB ''≥+,当E 点与A 点重合时，5EB AB AB ''===，此时DB '的长最小，△752DB AD AB AD AB ''=-=-=-=．故答案为：2．【点睛】本题考查了折叠的性质，理解当E 点与A 点重合时DB '的长最小是解题的关键．12．35°【分析】由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求得△BAD =30°，结合三角形内角和定理求出△CAD ，根据角平分线的定义即可求出△DAE 的度数．【详解】解：△DF 垂直平分线段AB ，△DA =DB ，△△BAD =△B =30°，△△B =30°，△C =50°，△△BAC =180°-△B -△C =180°-30°-50°=100°，△△CAD =△BAC -△BAD =100°-30°=70°，△AE 平分△CAD ，△△DAE =12△CAD =12×70°=35°，故答案为：35°．【点睛】本题考查作图-基本作图，三角形内角和定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，熟练掌握线段垂直平分线和角平分线的作法．13．2180x y +=【分析】根据平面镜光线反射原理和平行线性质即可求得．【详解】解：△入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等，△反射后的光线n 与镜面α夹角度数为x ︒，△,αβ是两面互相平行的平面镜，△反射后的光线n 与镜面β夹角度数也为x ︒，又由入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等，△反射后的光线k 与镜面β的夹角度数也为x ︒，180x x y ∴︒+︒+︒=︒ ，2180x y ∴+= ．故答案为：2180x y +=．【点睛】本题考查了平面镜光线反射原理和平行线性质，掌握反射光线与平面镜所夹的角相等以及两直线平行内错角相等是解题的关键．14．4【分析】由题意可知当点E 为BC 与EF 的交点时，AE+CE 最小，根据垂直平分线的性质得到AE=BE ，可得AE+CE 的最小值为BC ．【详解】解：△EF 垂直平分AB ，△A ，B 关于EF 对称，AE=BE ，当点E 为BC 与EF 的交点时，AE+CE 最小，此时，AE+CE=BE+CE=BC=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，解此题的关键是找出符合题意的点E的位置．15．45 2【分析】过G作GH△BC于H，GM△AB于M，由作图步骤可知BG为△ABC的角平分线，可得GM=GH ,然后再结合已知条件和三角形的面积比求得求出S△BCG解答即可．【详解】解：过G作GH△BC于H，GM△AB于M，由作图作法可知：BG为△ABC的角平分线△GM=GH△162921932ABGBCG BCGAB GMS ABS BC SBC GH⋅=====⋅,272BCGS=∴△S△ABC=S△ABG+S△BCG=2745 922 +=故答案为452．【点睛】本题考查了角平分线性质和三角形面积公式的应用，通过作法发现角平分线并灵活应用角平分线定理是解答本题的关键．16．70︒【分析】先由线段垂直平分线的性质及30B ∠=︒求出30BAD ∠=︒，再由三角形内角和定理得到100BAC ∠=︒，再根据DAC BAC BAD ∠=∠-∠即可求解．【详解】解：DE 是线段AB 的垂直平分线，30B ∠=︒，DB DA ∴=，30BAD B ∴∠=∠=︒，50C ∠=︒，180100BAC B C ∴∠=︒-∠-∠=︒，70DAC BAC BAD ∴∠=∠-∠=︒，故答案为：70︒．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理，解题的关键是熟知线段垂直平分线的性质．17．6【分析】分类讨论：AB =AC =2BC 或BC =2AB =2AC ，然后根据三角形三边关系即可得出结果．【详解】解：△△ABC 是等腰三角形，底边BC =3△AB =AC当AB =AC =2BC 时，△ABC 是“倍长三角形”；当BC =2AB =2AC 时，AB +AC =BC ，根据三角形三边关系，此时A 、B 、C 不构成三角形，不符合题意；所以当等腰△ABC 是“倍长三角形”，底边BC 的长为3，则腰AB 的长为6．故答案为6．【点睛】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，涉及分类讨论思想，结合三角形三边关系，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．18．1【分析】将ABC 的面积拆成两个三角形面积之和，即可间接求出PE PF +的值．【详解】解：连接AP ，如下图：PE AB ⊥于点,E PF AC ⊥于点F ，1ABC APC APB S S S =+= 1122APC APB S S AC PF AB PE +=⋅+⋅ 2AB AC ==，1APC APB S S PF PE +=+=，1PE PF ∴+=，故答案是：1．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，利用面积法解决两边之和问题，解题的关键是：将ABC 的面积拆成两个三角形面积之和来解答．19．70【分析】先利用HL 证明△ABE△△CBF ，可证△BCF=△BAE=25°，即可求出△ACF=45°+25°=70°.【详解】△△ABC=90°，AB=AC ，△△CBF=180°-△ABC=90°，△ACB=45°，在Rt△ABE 和Rt△CBF 中，AB CB AE CF=⎧⎨=⎩， △Rt△ABE△Rt△CBF(HL)，△△BCF=△BAE=25°，△△ACF=△ACB+△BCF=45°+25°=70°，故答案为70.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.20．30°##30度【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360︒，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，再根据正多边形的中心角的概念求出△AOD 的度数，再由正多边形的半径OA =OD ，根据等腰三角形的性质求解即可.【详解】多边形的每个外角相等，且其和为360︒，据此可得多边形的边数为：360940， △△AOD =3×3609︒=120°， △OA =OD ，△△OAD=△ODA=1801202︒-︒=30°，故答案为：30°.【点睛】本题考查了正多边形的外角，正多边形的中心角，等边对等角等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.21．130【分析】延长AD到点E，使得AE=BC，证得DBC△△CAE，设△CDE=△CED=α，表示出△BDC=△ACE=100°+α，然后根据三角形的内角和定理求得已知角即可．【详解】解：△AB=AC，△BAC=100°，△△ABC=△ACB=40°，△BD平分△ABC，△△ABD=△DBC=20°，△BD=AB，△△ADB=△DAB=80°，△△CAD=20°，△△CAD=△DBC，延长AD到点E，使得AE=BC，△BD=AB=AC，△CAD=△DBC=20°，△△DBC△△CAE，△CD=CE，△BDC=△ACE，△△CDE=△CED=α，△△ADB=80°，△△BDE=100°，△△BDC=△ACE=100°+α，△20°+100°+α+α=180°，△α=30°，△△BDC =130°．故答案为：130．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定等知识，解题的关键是根据题意结合等腰三角形的性质得到各个角之间的关系．22．(1)见详解(2)84【分析】（1）由平行四边形的性质证()ABE CDG ASA ∆≅∆即可求证；（2）作EQ BC ⊥，由ΔΔΔABC ABE EBC S S S =+即可求解；【详解】（1）证明：在ABCD 中，△//AB CD ，△BAE DCG ∠=∠，△BE 、DG 分别平分ABC ADC ∠∠、，ABC ADC ∠=∠，△ABE CDG ∠=∠，在ABE ∆和CDG ∆中，△BAE DCG AB CD ABE CDG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ △()ABE CDG ASA ∆≅∆，△BE DG AEB CGD =∠=∠，，△BE DG ∥．（2）如图，作EQ BC ⊥，△ABCD 的周长为56，△28AB BC +=，△BE 平分ABC ∠，△6EQ EF ==， △()1138422ABC ABE EBC S S S EF AB EQ BC AB BC ∆∆∆=+=⋅+⋅=+=．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、三角形的全等、角平分线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．23．（1）补图见解析；（2）△90EDG α∠=︒-；△以线段,,AE BF EF 为边的三角形是直角三角形，理由见解析．【分析】(1)根据题意画出图形解答即可；(2) △根据轴对称的性质解答即可；△根据轴对称的性质和全等三角形的判定和性质得出AE GE =，进而解答即可．【详解】解：（1）补全图形，如图所示，（2）△△ADF α∠=，△180BDF α∠=︒-，由轴对称性质可知，180GDF BDF α∠=∠=︒-，△DF DE ⊥，△90EDF ∠=︒，△1809090EDG GDF EDF αα∠=∠-∠=︒--︒=︒-，△以线段,,AE BF EF 为边的三角形是直角三角形，如图,连接,GF GE ，由轴对称性质可知，,GF BF DGF B =∠=∠，△D 是AB 的中点，△AD BD =，△GD BD =，△AD GD =，△90,GDE EDA DE DE α∠=∠=︒-=，△GDE ADE ≌，△,EGD EAD AE GE ∠=∠=，△90EAD B ∠=︒+∠，△90EGD B ∠=︒+∠，△9090EGF EGD DGF B B ∠=∠-∠=︒+∠-∠=︒，△以线段,,GE GF EF 为边的三角形是直角三角形，△以线段,,AE BF EF 为边的三角形是直角三角形．【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据轴对称的性质和全等三角形的判定和性质解答．24．(1)线段垂直平分；角平分(2)23°【分析】（1）根据作图痕迹判断即可；（2）根据角平分线的性质、线段垂直平分线的性质进行求解即可；【详解】（1）解：根据作图痕迹可知，直线DE 是线段AB 的线段垂直平分线；射线AF 是EAC ∠的角平分线；（2）△DE 垂直平分AB△AE BE =△42BAE B ∠=∠=︒△50C ∠=︒△180180504828BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒-︒=-︒︒△884246EAC BAC BAE ∠=∠-∠=︒-︒=︒△AF 平分EAC ∠ △11462322EAF EAC ∠=∠=⨯︒=︒ 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．25．(1)见解析(2)图见解析，4【分析】（1）运用已知条件，证得ABC 和CDA 全等即可证得AB CD =．（2）运用尺规作图的方法，过点C 作AB 的垂线．由（1）中结论ABC CDA △△≌，得到1102ABC ABCDS S ==四边形△，再运用三角形面积公式，求得CE 的长． (1)证明：△AB CD ∥，△BAC DCA ∠=∠，在ABC 和CDA 中，B D BAC DCA AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ABC CDA △△≌（AAS ）△AB CD =．(2)解：作图如下，△ABC CDA △△≌， △12ABC ABCD S S =四边形△．△四边形ABCD 的面积是20，△10ABC S =△， △1102AB CE ⋅=， △5AB =，△4CE =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及尺规作图法，证明ABC CDA △△≌是解题的关键．26．（1）见解析；（2）35°【分析】（1）直接利用角平分线的定义和等边对等角求出BED EBC ∠=∠，即可完成求证；（2）先求出△ADE ，再利用平行线的性质求出△ ABC ，最后利用角平分线的定义即可完成求解．【详解】解：（1）BE 平分ABC ∠，∴ABE EBC ∠=∠． DB DE =，∴ABE BED ∠=∠，∴BED EBC ∠=∠，∴//DE BC ．（2）65A ∠=︒，45AED ∠=︒，∴18070ADE A AED ∠=︒-∠-∠=︒．//DE BC ．∴70ABC ADE ∠=∠=︒．BE 平分ABC ∠，∴1352EBC ABC ∠=∠=︒，即35EBC ∠=︒．【点睛】本题综合考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质等内容，解决本题的关键是牢记概念与性质，本题的解题思路较明显，属于几何中的基础题型，着重考查了学生对基本概念的理解与掌握．27．(1)2(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）由题意知CE =BC =AD ，△EAC =△BAC =△DCA ，有△ACF 为等腰三角形；在ADE 和CED △中，AD CE AE CD DE ED =⎧⎪=⎨⎪=⎩，知ADE CED △△≌，有△DEA =△EDC ，有△DEF 为等腰三角形；（2）在ADE 和CED △中，AD CE AE CD DE ED =⎧⎪=⎨⎪=⎩，可得ADE CED △△≌；（3）由于ADE CED △△≌，DEA EDC ∠=∠，DEF EDF ∠=∠，有EF DF =，AE CD =，故AE EF CD DF -=-，FA FC =进而可得出结果．(1)解：有△ACF 和△DEF 共2个等腰三角形证明如下：由折叠的性质可知CE =BC =AD ，△EAC =△BAC△AB CD△△EAC =△DCA△△ACF 为等腰三角形；在ADE 和CED △中△AD CE AE CD DE ED =⎧⎪=⎨⎪=⎩△()ADE CED SSS ≌△△△△DEA =△EDC△△DEF 为等腰三角形；故答案为：2．(2)证明：△四边形ABCD 是长方形△AD CE =，AE CD =由折叠的性质可得：BC CE =，AB AE =△AD CE =，AE CD =在ADE 和CED △中，AD CE AE CD DE ED =⎧⎪=⎨⎪=⎩△()ADE CED SSS △△≌．(3)证明：由（1）得ADE CED △△≌△DEA EDC ∠=∠，即DEF EDF ∠=∠△EF DF =又△AE CD =△AE EF CD DF -=-△FA FC =△点F 在线段AC 的垂直平分线上．【点睛】本题考查了几何图形折叠的性质，矩形，等腰三角形的判定与性质，三角形全等，垂直平分线等知识．解题的关键在于灵活运用知识．28．(1)见解析；(2)见解析；(3)42000元.【分析】（1）如图1，作ABC ∆的中线AE ，AEC ∆与ABE ∆的面积相等（作中线BF 也可以）; （2）如图2，过点E 作EH GA ⊥交GA 的延长线于H ．证明()AHE ACB AAS ∆≅∆，推出EH BC =可得结论; （3）首先，过A 作AM DC ⊥于M ，过B 作BN CE ⊥于N ，证()ACM BCN AAS ∆≅∆，得AM BN =，则22100ACD BCE m S S ∆∆==；其次，过点A 作//AN CD ，交CG 的延长线于N ，证得()AGN DGC AAS ∆≅∆，得到AN CD =，再证()ACN CBE SAS ∆≅∆，得ACN CBE ∠=∠，由余角的性质可证CF BE ⊥，然后由三角形面积得12BCE S BE CF ∆=⋅，求出70()CF m =，即可求解．（1）如图1中，作ABC ∆的中线AE ，AEC ∆与ABE ∆的面积相等（作中线BF 也可以）;（2）证明：如图，过点E 作EH GA ⊥交GA 的延长线于H ;四边形ABDE ，四边形ACFG 都是正方形，AE AB ∴=，AC AG =，90EAB CAG HAC ∠=∠=∠=︒，EAH BAC ∴∠=∠，90H ACB ∠=∠=︒，()AHE ACB AAS ∴∆≅∆，EH BC ∴=，12ABC S AC BC ∆=⋅⋅，12EAG S AG EH ∆=⋅⋅， ABC EAG S S ∆∆∴=，ABC ∴∆与AEG ∆为偏等积三角形;（3）首先，过A 作AM DC ⊥于M ，过B 作BN CE ⊥于N ，如图所示，则90AMC BNC ∠=∠=︒，ACB ∆、DCE ∆是等腰直角三角形，90ACB DCE ∴∠=∠=︒，AC BC =，CD CE =，3603609090180BCN ACD ACB DCE ∴∠+∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，180ACM ACD ∠+∠=︒，ACM BCN ∴∠=∠，在∆ACM 和BCN ∆中，AMC BNC ∠=∠，ACM BCN ∠=∠，AC BC =，()ACM BCN AAS ∴∆≅∆，AM BN ∴=，12ACD S CD AM ∆=⋅，12BCE S CE BN ∆=⋅， 22100ACD BCE S S m ∆∆∴==，其次，如图，过点A 作//AN CD ，交CG 的延长线于N ，则N GCD ∠=∠， G 点为AD 的中点，AG GD ∴=，在AGN ∆和DGC ∆中，N GCD ∠=∠，AGN DGC ∠=∠，AG DG =，()AGN DGC AAS ∴∆≅∆，AN CD ∴=，CD CE =，AN CE ∴=，//AN CD ，180CAN ACD ∴∠+∠=︒，90ACB DCE ∠=∠=︒，3609090180ACD BCE ∴∠+∠=︒-︒-︒=︒，BCE CAN ∴∠=∠，在ACN ∆和CBE ∆中，AN CE =，CAN BCE ∠=∠，AC CB =，()ACN CBE SAS ∴∆≅∆，ACN CBE ∴∠=∠，1809090ACN BCF ∠+∠=︒-︒=︒，90CBE BCF ∴∠+∠=︒，90BFC ∴∠=︒，CF BE ∴⊥，12BCE S BE CF ∆=⋅，2100BCE ACD S S ∆∆==， CF ∴=22210070()60BCE S m BE ∆⨯==， ∴修建小路CF 的总造价为：6007042000⨯=（元)．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了新定义“偏等积三角形”的定义、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握“偏等积三角形”的定义，证明ACM BCN ∆≅∆和ACN CBE ∆≅∆是解题的关键，属于中考常考题型．。

初中数学中考复习：尺规作图及命题、证明

14
考点三：与圆有关的尺规作图 • 与圆有关的尺规作图：
• (1)过不在同一条直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)； • (2)作三角形的内切圆； • (3)作圆的内接正方形及正六边形．
• 有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考常见的类型．
15
考点三：与圆有关的尺规作图
• 【例如图，已知△ABC，∠B＝40°.
题；
•
若甲错，即x≤14，则y≥6，则乙错，故D不是真命题．
•
根据以上分析，故选B.
• 【答案】 B
30
考点五：命题、定理、证明 • 基本事实与定理：
• (1)经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，这些命题称为基本事实．例如，“两点之间线段最短”，“两点确定一条直线”．
• (2)用推理的方法判断为正确的命题叫做定理．例如，“对顶角相等”，“三角形任何两边的和大于第三边”．
1 2
AC的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交AD于点E，则△CDE的周长是(
B
)
•
A．7
B．10
C．11
D．12
22
考点四：尺规作图的综合应用
• 【例】(2018·湖州)尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：
• ①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点； • ②分别以点A、D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点； • ③连结OG. • 问：OG的长是多少？ • 大臣给出的正确答案应是( )
1 2
AC的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交AD于点E，则△CDE的周长是(
)
•

九年级中考数学一轮复习考点过关课件：尺规作图

（已知∠AOB）
作图根据：三边分别相等
步骤
图示
应用
（1）以点O为圆心，任意长为
在△ABC内部找一
半径作弧，分别交OA，OB于点
点P，使P到三角形
M，N
三边距离都相等
（2）分别以点M，N为圆心，

的两个三角形全等；全等以大于 MN的长为半径作弧，

三角形的对应角相等；两
两弧相交于点P
点确定一条直线
点确定一条直点M，作直线MO，则直线MO即为
线
所求垂线
已知直角边 AB
作等腰直角三
角形ABC
续表
基本尺规作图
已知点在线外
过一点作
已知直线
的垂线
步骤
应用
（1）以点P为圆心，大于点P到直线l
过直线外一
的距离为半径作弧，分别交直线l于
点A作与直
作图根据：到线段 A，B两点
（1）作线段AB ＝ m
（ 2 ）在 AB 的同侧作 ∠ A ＝ ∠ α ，
∠ABC ＝ ∠β
（3）∠A与∠ABC的另一边相交于点
C，则△ABC即为所ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ作的三角形
续表
尺规作三角形
已知
作图
步骤
已知：线段a，求作：等腰△ABC，使底边BC （1）作线段BC ＝ a
h
＝ a，底边上的高AH ＝ h
（2）作BC的垂直平分线MN，交
BC于点H
已知底边及底边上
的高作等腰三角形
（3）在MN上截取HA ＝ h，得A
点，连接AB，AC，则△ABC即为所
求作的等腰三角形
续表
尺规作三角形

第四单元第十九讲等腰三角形与直角三角形++++课件+2025年九年级中考数学总复习人教版(山东)

过点F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E,那么下列结论正确的是 ( C )
①△BDF,△CEF都是等腰三角形;②DE=BD+CE;
③△ADE的周长为AB+AC;④BD=CE.
A.③④
B.①②
C.①②③
D.②③④
(2)已知△ABC中,AB=AC=4,∠A=60°,则△ABC的周长为________.
股定理求解.
(4)折叠问题中求解线段长度问题,常常将某些条件汇集到一个直角三角形中,再
根据勾股定理列方程求解.
山东3年真题
38
1.(2023·菏泽中考)△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)2+ 2 − − 3+|c-3 2|=0,
(4)在直角三角形中,若有斜边中点,可考虑直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半.
37
2.勾股定理常见应用与技巧:
(1)已知直角三角形的任意两个边长,可直接利用勾股定理求得第三条边长.
(2)已知三角形的三边长,可运用勾股定理的逆定理确定此三角形是否为直角三角
形.
(3)立体图形表面的最短路径问题,可将立体图形展开,构造直角三角形后利用勾
交AC于点D,如果DE垂直平分BC,那么∠A的度数为
A.31° B.62° C.87° D.93°
(C)
8
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
知识要点
3.直角三角形的性质与判定
互余
直角三角形的两个锐角__________
性
斜边
30°角所对的直角边等于______的一半
质
斜边
直角三角形斜边上的中线等于__________的一半
平方和
勾股定理:直角三角形中两直角边的____________等于斜边的平方

中考第一轮复习尺规作图、视图与投影

中考复习之尺规作图、视图与投影一、同步知识梳理尺规作图：广州中考目标要求 1、掌握以下基本作图作一条线段等于已知线段作一个角等于已知角作角的平分线作线段的垂直平分线2、会利用基本作图，作三角形、圆、以及三角形和圆的组合图形。

3、会写出简单的尺规作图题的已知、求作和作法（不要求证明）。

二、同步题型分析题型1：基本作图（★）例1：已知线段a 、b ，画一条线段，使其等于b a 2+．分析：所要画的线段等于b a 2+，实质上就是b b a ++．解：1．画线段a AB =．2．在AB 的延长线上截取b BC 2=．则线段AC 就是所画的线段．小结：1．尺规作图要保留画图痕迹，画图时画出的所有点和线不可随意擦去．2．其它作图都可以通过画基本作图来完成，写画法时，只需用一句话来概括叙述基本作图．（★★）例2：如下图，已知线段a 和b ，求作一条线段AD 使它的长度等于2a －b ．解：如图，（1）作射线AM ；（2）在射线AM 上，顺次截取AB =BC =a ；（3）在线段CA 上截取CD =b ，则线段AD 就是所求作的线段．（★）例3：求作一个角等于已知角∠MON （如图1）．图（1）图（2）解：如图（2），（1）作射线11M O ；（2）在图（1）上，以O 为圆心，任意长为半径作弧，交OM 于点A ，交ON 于点B ；（3）以1O 为圆心，OA 的长为半径作弧，交11M O 于点C ；（4）以C 为圆心，以AB 的长为半径作弧，交前弧于点D ；（5）过点D 作射线D O 1．则∠D CO 1就是所要求作的角．（★）例4：已知∠AOB ，求作∠AOB 的平分线OC ．解：如图，（1）以点O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA 、OB 于D 、E 两点；（2）分别以D 、E 为圆心，以大于21DE 的长为半径作弧，两弧交于C 点；（3）作射线OC ，则OC 为∠AOB 的平分线．（★★）例5：如图（1）所示，在图中作出点C ，使得C 是∠MON 平分线上的点，且AC =OC ．图（1）图（2）分析：由题意知，点C 不仅要在∠MON 的平分线上，且点C 到O 、A 两点的距离要相等，所以点C 应是∠MON 的平分线与线段OA 的垂直平分线的交点．作法：如图（2）所示（1）作∠MON 的平分线OP ；（2）作线段OA 的垂直平分线EF ，交OP 于点C ，则点C 就是所要求作的点．小结：（1）根据题意弄清要求作的点的特征是到各直线距离相等，还是到各端点距离相等。

2020版中考数学一轮复习人教版课件：等腰三角形

图 19-6
6．(2018·嘉兴)如图 19-7，在△ABC 中，AB＝AC，D 为 AC 的中点，DE⊥AB， DF⊥BC，垂足分别为点 E，F，且 DE＝DF.求证：△ABC 是等边三角形．
图 19-7
证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C. ∵DE⊥AB，DF⊥BC. ∴∠DEA＝∠DFC＝90°. ∵D 为 AC 的中点，∴DA＝DC. 又∵DE＝DF， ∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)， ∴∠A＝∠C，∴∠A＝∠B＝∠C. ∴△ABC 是等边三角形．
考点 2 等边三角形定义三条边都相等的三角形叫做等边三角形． (1)等边三角形的三个内角相等，并且每一个内角都等于 60° . 性质 (2)等边三角形是一个轴对称图形，它有三条对称轴． (1)有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形．判定 (2)三边或三个角都相等的三角形是等边三角形.
∠CAD＝20°，则∠ACE 的度数是( B )
A．20°
B．35°
C．40°
D．70°
图 19-3
【解析】 ∵AB＝AC，AD 是△ABC 的中线， ∴AD⊥BC. ∵∠CAD＝20°，∴∠ACD＝70°. ∵CE 平分∠ACB，∴∠ACE＝35°. 故选 B.
5．(2018·福建)如图 19-4，在等边三角形 ABC 中，AD⊥BC，垂足为点 D，点 E 在
(3)等腰三角形是一个轴对称图形，它至少有一条对称轴．
判如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简定称为“等角对等边”). 注意：要正确区别等腰三角形的性质和判定．“性质”指的是由边相等得出角相等，即“等边对等角”；而“判定”指的是根据一些条件来判定三角形是不是等腰三角形，即最后得出边相等．

轴对称尺规作图专题：轴对称、等腰三角形、将军饮马培优

轴对称尺规作图专题：轴对称、等腰三角形、将军饮马培优一．【轴对称类】：Eg1.【方格类轴对称】：【例】：作图题:如图是由5个小正方形组成的图形，请你用4种不同的方法分别在每个图中各添加一个小正方形，使所得的图形是轴对称图形。

[来源:学科网]【跟踪练习1】：如图，阴影部分是由3个小正方形组成的图形，请用3种方法分别在下图方格内添涂黑1个小正方形，使阴影部分成为轴对称图形．【跟踪练习2】：如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用3种方法分别在下图方格内添涂黑二个小正方形，使它们成为轴对称图形．【跟踪练习3】：如图是由16个小正方形组成的正方形网格图，现已将其中的两个涂黑．请你用三种不同的方法分别在下图中再涂黑三个空白的小正方形，使它成为轴对称图形．EABC DEg2.【格点类轴对称】：【例1】：在3×3的正方形网格图中，有格点三角形ABC 和格点三角形DEF ，且ABC ∆和DEF ∆ 关于某条直线成轴对称，请在如图①~⑥所示的网格中画出六个这样的DEF ∆.(每种方案均不相同)【跟踪练习】：请在下列三个2×2的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形与图中三角形成轴对称，且所画的三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合，并将所画三角形涂上阴影．（注：所画的三个图形不能重复）【例2】：如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：(1)画出格点△ABC （顶点均在格点上）关于直线DE 对称的△A 1B 1C 1 ； (2)在直线DE 上画出点Q ，使最小．【跟踪练习1】：如图，在正方形网格上的一个△ABC ． ⑴ 作△ABC 关于直线MN 的对称图形(不写作法)；⑵ 以P 为一个顶点作与△ABC 全等的三角形（规定点P 与点B 对应，另两顶点都在图中网格交点处)，则可作出____________个三角形与△ABC 全等．QC QA +(3) 在直线MN上找一点Q，使QB+QC的长最短.【跟踪练习2】：.如图,点A,B,C都在方格纸的格点上,请你再找一个格点D,使点A,B,C,D组成一个轴对称图形．这样的点D最多能找到个．【跟踪练习2】：. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度.线段AD的两个端点都在格点上，点B是线段AD上的格点，且BD=1，直线l在格线上.(1)在直线l的左侧找一格点C,使得△ABC是等腰三角形(AC<AB)，画出△ABC.(2)将△ABC沿直线l翻折得到△A′B′C′.试画出△A′B′C′.(3)画出点P,使得点P到点D、A′的距离相等,且到边AB、AA′的距离相等.【跟踪练习3】：方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．（1）在图1中画出一个以A、B、C、D为顶点的格点四边形，使其为轴对称图形；（2）在图2中画一个格点正方形，使其面积等于20；（3）直接写出图3中△FGH的面积是________________．【跟踪练习4】：.在图示的方格纸中，（1）画出△ABC 关于MN 对称的图形△A 1B 1C 1；（2）说明△A 2B 2C 2是由△A 1B 1C 1经过怎样的平移得到的？（3）在直线MN 上找一点P ，使得PB+PA 最短．（不必说明理由）．★【跟踪练习5】：在如图所示的网格中，线段AB 和直线l 如图所示：（1）借助图中的网格，在图1中作锐角．．△ABC ，满足以下要求：①C 为格点（网格线交点）；②AB =AC ．（2）在（1）的基础上，请只用直尺（不含刻度）在图（1）中找一点P ，使得P 到AB 、AC 的距离相等，且PA＝PB ．（友情提醒：请别忘了标注字母！）（3）在图2中的直线l 上找一点Q ，使得△QAB 的周长最小，并求出周长的最小值是．（图1）BAl（图2）BAl【跟踪练习6】：如图,在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中,有线段AB和直线MN,点A,B,M,N均在小正方形的顶点上.(1).在方格纸中画四边形ABCD(四边形的各顶点均在小正方形的顶点上),使四边形ABCD是以直线MN为对称轴的轴对称图形,点A的对称点为点D,点B的对称点为点C;(2).请直接写出四边形ABCD的周长和面积.Eg3.【等腰三角形类】：【例】：如图，直线l1、l2相交于点A，点B是直线外一点，在直线l1、l2上找一点C，使△ABC为一个等腰三角形．满足条件的点C有（） A．2个 B．4个C．6个 D．8个⊥，点P是AB上一点，在射线AM与BN上分别作点C、【跟踪练习】：如图，射线AM与BN，MA AB⊥，NB AB点D满足：CPD△为等腰直角三角形，这样的等腰直角三角形可以画（）．A．1个B．2个C．3个D．4个【例】：图l、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．A和点B在小正方形的顶点上．(1)在图1中画出△ABC(点C在小正方形的顶点上)，使△ABC为直角三角形(画一个即可)；(2)在图2中画出△ABD(点D在小正方形的顶点上)，使△ABD为等腰三角形(画一个即可)；l 2B Al 1【跟踪练习】：如图A 、B 在方格纸的格点位置上．若要再找一个格点C ，使它们所构成的三角形为轴对称图形，则这样的格点C 在图中共有（）A ．4个B ．6个C ．8个D ．10个Eg4.【垂直平分线与角平分线类】：【例】：“西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路l 1、l 2和两个城镇A 、B （如图），准备建一个燃气控制中心站P ，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇等距离，请你画出中心站的位置。