2018届北京市六十六中高三上学期期中考试理科数学试题及答案

合集下载

北京市朝阳区2018届高三上学期期中考试数学(理)试题含解析

北京市朝阳区2017—2018学年度第一学期高三年级期中统一考试数学试卷（理工类）（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题(共110分）两部分第一部分(选择题共40分）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1。

已知集合A=｛x|x〉1}，B={x|log2x>1}，则A∩B=A。

{x｜x〉1｝ B. {x|1<x〈2｝C. ｛x｜x>2}D. ｛x｜x〉0｝【答案】C【解析】集合A={x|x>1}，B=｛x|log2x>1}={x|x〉2},所以A∩B=｛x｜x>2}。

故选C。

2. 已知实数x，y满足条件则x+2y的最大值为A。

12 B。

10C. 8 D。

6【答案】B【解析】作出可行域如图:由图可知目标函数在点C处取得最大值为10故选：B点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是:一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时,要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得。

3。

要得到函数y=sin（2x—)的图象，只需将函数y=sinx的图象上所有的点A. 先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变B. 先向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变C. 横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变，再向右平移个单位长度D. 横坐标变伸长原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度【答案】C【解析】函数的图象上所有的点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变得到,再向右平移个单位长度，故选：C4。

已知非零平面向量,，则“|+｜=||+｜｜”是“存在非零实数l，使=λ”的A。

充分而不必要条件B。

必要而不充分条件C. 充分必要条件D。

北京市第六十六中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题

北京市第六十六中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知全集R U =，集合{|||1,}A x x x R =≤∈，集合{|21,}x B x x R =≤∈，则集合U A C B 为（）A.]1,1[-B.]1,0[C.]1,0(D.)0,1[- 【命题意图】本题考查集合的运算等基础知识，意在考查运算求解能力.2．已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x 表示的平面区域为D ，若D 内存在一点00(,)P x y ,使001ax y +<，则a 的取值范围为（）A ．(,2)-∞B ．(,1)-∞C ．(2,)+∞D ．(1,)+∞ 3． sin 15°sin 5°－2sin 80°的值为（）A ．1B ．－1C ．2D ．－24．已知平面向量(12)=，a ，(32)=-，b ，若k +a b 与a 垂直，则实数k 值为（） A ．15- B ．119 C ．11 D ．19【命题意图】本题考查平面向量数量积的坐标表示等基础知识，意在考查基本运算能力． 5．设复数z 满足z （1+i ）=2，i 为虚数单位，则复数z 的虚部是（）A1B ﹣1 Ci D ﹣i6．已知集合{2,1,1,2,4}A =--，2{|log ||1,}B y y x x A ==-∈，则A B =（）A ．{2,1,1}--B ．{1,1,2}-C ．{1,1}-D ．{2,1}--【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力．7．已知抛物线24y x =的焦点为F ，(1,0)A -，点P 是抛物线上的动点，则当||||PF PA的值最小时，PAF ∆的面积为（） A.2B.2C.D. 4【命题意图】本题考查抛物线的概念与几何性质，考查学生逻辑推理能力和基本运算能力.8．设集合A ＝{x |x ＝2n －1，n ∈Z }，B ＝{x |（x ＋2）（x －3）＜0}，则A ∩B ＝（） A ．{－1，0，1，2} B ．{－1，1} C ．{1}D ．{1，3}9． “3<-b a ”是“圆056222=++-+a y x y x 关于直线b x y 2+=成轴对称图形”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查圆的一般方程、圆的几何性质、常用逻辑等知识，有一定的综合性，突出化归能力的考查，属于中等难度．10．函数f （x ）＝sin （ωx ＋φ）（ω＞0，－π2≤φ≤π2）的部分图象如图所示，则φω的值为（）A.18 B ．14C.12 D ．111．如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．15 B． C．15 D．15【命题意图】本题考查三视图和几何体体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力． 12．已知22(0)()|log |(0)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则方程[()]2f f x =的根的个数是（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．抛物线24x y =的焦点为F ，经过其准线与y 轴的交点Q 的直线与抛物线切于点P ，则FPQ ∆ 外接圆的标准方程为_________.14．自圆C ：22(3)(4)4x y -++=外一点(,)P x y 引该圆的一条切线，切点为Q ，切线的长度等于点P 到原点O 的长，则PQ 的最小值为（） A ．1310 B ．3 C ．4 D ．2110【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力、数形结合的思想． 15．已知点E 、F 分别在正方体的棱上，且, ,则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .16．已知函数21,0()1,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，()21x g x =-，则((2))f g = ， [()]f g x 的值域为．【命题意图】本题考查分段函数的函数值与值域等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力.三、解答题（本大共6小题，共70分。

北京市海淀区2018届高三上学期期中考试数学(理)试卷

海淀区高三年级第一学期期中练习数学（理科）2017.11本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题纸交回。

第一部分（选择题，共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合{|20}A x x =-<，{|1}x B x =>e ，则AB =（）（A ）R（B ）(,2)-∞（C ）(0,2)（D ）(2,)+∞（2）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（）（A ）()ln ||f x x =（B ）()2x f x -=（C ）3()f x x =（D ）2()f x x =- （3）已知向量(1,0)=a ，(1,1)=-b ，则（）（A ）a //b（B ）⊥a b（C ）()//-a b b（D ）()+⊥a b a（4）已知数列{}n a 满足1222(1,2,3,...)n a a a a n ++⋅⋅⋅+==，则（）（A ）10a < （B ）10a >（C ）12a a ≠（D ）20a =（5）将sin(2)6y x π=+的图象向左平移6π个单位，则所得图象的函数解析式为（）（A ）sin 2y x =（B ）cos 2y x = （C ）sin(2)3y x π=+（D ）sin(2)6y x π=-（6）设α∈R ，则“α是第一象限角”是“sin cos 1αα+>”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）设()sin sin ee xx f x -=+（x ∈R ），则下列说法不正确的是（）（A ）()f x 为R 上偶函数（B ）π为()f x 的一个周期（C ）π为()f x 的一个极小值点（D ）()f x 在区间(0,)2π上单调递减（8）已知非空集合,A B 满足以下两个条件：（ⅰ）{}1,2,3,4,5,6AB =，A B =∅；（ⅱ）A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素，则有序集合对(),A B 的个数为（）（A ）10（B ）12（C ）14（D ）16第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2018北京高考卷数学[理科]试题和答案解析

2018年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工类）第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．若集合{}2A x x =<，{}2,0,1,2B x =-，则A B =I （A ）{}01，（B ）{}-101，，（C ）{}-201，，（D ）{}-1012，，， 2.在复平面内，复数i1i-的共轭复数对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（）．A ．12 B ．56C ．76D ．7124．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要的贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为（）．ABC ．D ．5．某四棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．46.设a b ,均为单位向量，则“33a b a b -=+”是“a b ⊥”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7. 在平面直角坐标系中，记d 为点()P cos ,sin θθ到直线20x my --=的距离.当,m θ变化时，d 的最大值为（A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）48. 设集合(){},|1,4,2A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤，则()A 对任意实数a ，()2,1A ∈ ()B 对任意实数a ，()2,1A ∉()C 当且仅当0a <时，()2,1A ∉ ()D 当且仅当32a ≤时，()2,1A ∉二.填空（9）设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为。

2018年高考北京卷理科数学(含答案)

2018年高考北京卷理科数学(含答案)（A）1 （B）2（C）3 （D）4（6）设a，b均为单位向量，则“33a b a b”是“a⊥b”-=+的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线20--=的距离，当θ，m变化时，d的最大值为x my（A）1 （B）2（C）3 （D）4（8）设集合{(,)|1,4,2},=-≥+>-≤则A x y x y ax y x ay（A）对任意实数a，(2,1)A∈（B）对任意实数a，（2，1）A∉（C）当且仅当a<0时，（2，1）A∉（D）当且仅当32a ≤时，（2，1）A ∉第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）设{}na 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}na 的通项公式为__________．（10）在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切，则a =__________．（11）设函数f （x ）=πcos()(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．（12）若x ，y 满足x +1≤y ≤2x ，则2y –x 的最小值是__________．（13）能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．（14）已知椭圆22221(0)x y M a b a b+=>>：，双曲线22221x y N m n-=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．三、解答题共6小题，共80分。

北京市西城161中2018届高三上期中【文】数学真题卷试题(解析版)

北京一六一中学2018届高三年级期中考试文科数学试题一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知全集，集合，，如图阴影部分所表示的集合为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】阴影部分表示的集合为．∵，，∴．故选．2. 若、是任意实数，且，则下列不等式成立的是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】对于，当，时，满足，但，故错误；对于，当，时，满足，但，故错误；对于，当，时，满足，但，故错误；对于，因为在上单调递增，故当时，，故正确．故选．点睛：判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便，注意当用不等式性质时注意正负数、0的特殊情况等易错点，有时较为复杂的不等式可以用函数的单调性证明.3. 复数的虚部为（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】∵复数，∴复数的虚部为．故选．4. 关于函数和，下列说法中正确的是（）．A. 都是奇函数B. 都是偶函数C. 函数的值域为D. 函数的值域为【答案】C【解析】试题分析：的定义域为，所以为非奇非偶函数，在定义域上为单调减函数，值域为；的定义域为，且，所以为非奇非偶函数，在定义域上为单调减函数，值域为；因此选C.考点：函数性质5. 已知数列，则“”是“数列为递增数列”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件【答案】B【解析】若数列为递增数列，则，所以“”是“数列为递增数列”的必要不充分条件．故选．6. 已知向量，，平面上任意向量都可以唯一地表示为，则实数的取值范围是（）．A. B.C. D.【答案】C【解析】根据平面向量基本定理可知，若平面上任意向量都可以唯一地表示为，解得，即实数的取值范围是．故选．7. 已知三棱柱的主视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为的正三角形，则该三棱柱的左视图为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】根据正视图和俯视图，作出该三棱锥的几何直观图，如图所示，则侧视图为直角三角形，且底边边长为，高为，本题选择B选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．正方体与球各自的三视图相同，但圆锥的不同．8. 如图，正方体中，动点在侧面内，且点到棱与棱距离相等，则点运动形成的图形是（）．A. 线段B. 圆弧C. 椭圆的一部分D. 抛物线的一部分【答案】D【解析】由题意知，直线平面，则，即就是点到直线的距离，所以，在面中，点到直线的距离等于它到点的距离，由抛物线的定义可知，点运动形式的图形是抛物线的一部分．故选D.点睛：求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义先定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法，其关键是准确应用解析几何中有关曲线的定义．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9. 命题，的否定是__________．【答案】，【解析】试题分析：是全称命题，其否定为特称命题，故为.考点：全称命题的否定.10. 以抛物线的焦点为圆心且过坐标原点的圆的方程为__________．【答案】【解析】试题分析：∵抛物线的焦点为，∴所求圆的圆心为，又∵所求圆过坐标原点，∴圆的半径，∴所求圆的方程为，即.考点：（1）抛物线的性质；（2）圆的标准方程.11. 已知变量，满足约束条件，则的最小值为__________．【答案】-2【解析】作出不等式所表示的可行域，如图所示，由得，平移直线，由图可知当直线经过点时，纵截距最大，从而最小，故．故答案为：-2.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.12. 双曲线的离心率为，则__________，其渐近线方程为_________．【答案】(1). 1(2).【解析】双曲线的，，，则，解得，所以双曲线的方程为，故双曲线的渐近线方程为．13. 设，对任意实数，关于的方程总有实根，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】试题分析：由已知若存在实数，使得关于的方程总有实数根，则函数的值域为R，当时，如图2，不满足，当时，如图3，不满足，当时，如图1，满足．当然也可由得到．考点：函数与方程14. 如图，边长为的正三角形放置在平面直角坐标系中，在轴上，顶点与轴上的定点重合．将正三角形沿轴正方向滚动，即先以顶点为旋转中心顺时针旋转，当顶点落在轴上，再以顶点为旋转中心顺时针旋转，如此继续．当滚动到时，顶点运动轨迹的长度为__________；在滚动过程中，的最大值为__________．【答案】(1). (2).【解析】根据题意知，点的轨迹为两个圆心角为所对的圆弧和一个点，且圆弧的半径为，∴顶点运动轨迹的长度为．，设，①设滚动前点坐标，∴；②第一次滚动后点纵坐标为，∴；③第二次滚动后点坐标，∴；④第三次滚动后点纵坐标，∴．∴的最大值为．三、解答题共6小题，共80分15. 已知函数．（）求函数的最小正周期及单减区间．（）求函数在区间上的零点．【答案】（1）最小正周期，减区间：，；（2）和.【解析】试题分析：（1）化简得，得，令，可得减区间；（2）时，，所以令或即可解得零点.试题解析：（）∵，∴函数的最小正周期．令，，得，，∴函数的单调减区间是，．（）∵当时，，∴令或，得或，∴函数的区间上的零点为和．16. 如图，在中，，，点在边上，且，．（）求的值．（）求，的长．【答案】（1）；（2），.【解析】试题分析：（1）由，再将条件代入求解即可；（2）在中，由正弦定理得，可得，由余弦定理得可得.试题解析：（）∵在中，，∴，则．（）在中，由正弦定理得，∴．在中，由余弦定理得．∴．综上所述，．17. 设数列的前项和为，满足，．（）求，的值．（）求数列的通项公式，并求数列的前项和．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）由，求解即可；（2），当时，，两式相减得，进而得，检验，从而得，进而利用分组求和即可.试题解析：（）∵，∴，∴，．（）∵，∴当时，，两式相减得，即，∴．又由，，得，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴，∴．18. 如图，等腰梯形中，，于点，，且．沿把折起到的位置，使．（）求证：平面．（）求三棱柱的体积．（）线段上是否存在点，使得平面．若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）由，可得平面，进而得，在等腰梯形中，可证得，从而得证；（2）由即可得解；（3）取的中点，的中点，连结，，，可证得四边形为平行四边形，从而得证，进而得证.试题解析：（）证明：∵，∴．∵在等腰梯形中，，∴在四棱锥中，．又，∴平面．又∵平面，∴．∵在等腰梯形中，，，且，∴，，，∴，∴．∵，∴平面．（）∵，平面，∴．（）线段上存在一点，使得平面，为的中点，证明：取的中点，的中点，连结，，．∵，分别为，的中点，∴且．∵且，∴且，∴且，∴四边形为平行四边形，∴．又∵平面，平面，∴平面．19. 已知的顶点，在椭圆上，在直线上，且．（）求椭圆的离心率．（）当边通过坐标原点时，求的长及的面积．（）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．【答案】（1）；（2），面积为2；（3）.【解析】试题分析：（1）由椭圆方程得，，，由即可得解；（2）所直线的方程为与椭圆联立得，，原点到直线的距离，从而得面积；（3）设所在直线的方程为，与椭圆联立得，设，两点坐标分别为，，，，利用韦达定理代入求最值即可.试题解析：（）将椭圆化为标准方程为，∴，，，∴椭圆的离心率．（）∵，且边通过点，∴所直线的方程为．设，两点坐标分别为，．由，得．∴．又∵边长的高等于原点到直线的距离，∴，∴的面积．（）设所在直线的方程为，由，得．∵，在椭圆上，∴．设，两点坐标分别为，，则，，∴．又∵的长等于点到直线的距离，即，∴，∴当时，边最大，且满足，此时所在直线的方程为．20. 已知函数，其中为常数．（）若，求曲线在点处切线方程．（）若，求证：函数有且仅有两个零点．（）若为常数，且当时，恒成立，求的最大值．【答案】（1）；（2）见解析；（3）4.【解析】试题分析：（1）求出f ¢（1），即切线的斜率，可由点斜式得直线方程；（2）用导数研究函数的单调性，再由零点存在性定理说明零点的个数；（3）不等式恒成立问题一般可以先参数分离，再求函数的最值，这样可以避免讨论求最值，本题在求最值时需要二次求导和估值来确定函数的最值；试题解析：（1）当k＝0时，f（x）＝1＋lnx．因为f ¢（x）＝，从而f ¢（1）＝1．又f （1）＝1，所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程y－1＝x－1，即x－y＝0．（2）当k＝5时，f（x）＝lnx＋－4．因为f ¢（x）＝，从而当x∈（0，10），f ′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（10，＋∞）时，f ′（x）＞0，f（x）单调递增．所以当x＝10时，f（x）有极小值．因f（10）＝ln10－3＜0，f（1）＝6＞0，所以f（x）在（1，10）之间有一个零点．因为f（e4）＝4＋－4＞0，所以f（x）在（10，e4）之间有一个零点．从而f（x）有两个不同的零点．（3）方法一：由题意知，1+lnx－＞0对x∈（2，＋∞）恒成立，即k＜对x∈（2，＋∞）恒成立．令h（x）＝，则h¢（x）＝．设v（x）＝x－2lnx－4，则v¢（x）＝．当x∈（2，＋∞）时，v¢（x）＞0，所以v（x）在（2，＋∞）为增函数．因为v（8）＝8－2ln8－4＝4－2ln8＜0，v（9）＝5－2ln9＞0，所以存在x0∈（8，9），v（x0）＝0，即x0－2lnx0－4＝0．当x∈（2，x0）时，h¢（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（x0，＋∞）时，h¢（x）＞0，h（x）单调递增．所以当x＝x0时，h（x）的最小值h（x0）＝．因为lnx0＝，所以h（x0）＝∈（4，4.5）．故所求的整数k的最大值为4．方法二：由题意知，1+lnx－＞0对x∈（2，＋∞）恒成立．f（x）＝1+lnx－，f ¢（x）＝．①当2k≤2，即k≤1时，f¢（x）＞0对x∈（2，＋∞）恒成立，所以f（x）在（2，＋∞）上单调递增．而f（2）＝1＋ln2＞0成立，所以满足要求．②当2k＞2，即k＞1时，当x∈（2，2k）时，f ′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（2k，＋∞），f ′（x）＞0，f（x）单调递增．所以当x＝2k时，f（x）有最小值f（2k）＝2＋ln2k－k．从而f（x）＞0在x∈（2，＋∞）恒成立，等价于2＋ln2k－k＞0．令g（k）＝2＋ln2k－k，则g¢（k）＝＜0，从而g（k）在（1，＋∞）为减函数．因为g（4）＝ln8－2＞0，g（5）＝ln10－3＜0 ，所以使2＋ln2k－k＜0成立的最大正整数k＝4．综合①②，知所求的整数k的最大值为4．考点：1.导数的几何意义；2.函数与方程；3.用导数研究函数的性质；。

2018届高三数学上学期期中试题理word版本

2018届高三上学期数学（理科）期中考试（本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟）注意事项：非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

一、选择题（每小题5分，总50分）1．已知集合，，则（）．．．．2．已知命题P是：“对任意的，”，那么是（）A．不存在，B．存在，C．存在， D．对任意的，3.是（）A. 最小正周期为的奇函数B. 最小正周期为的偶函数C. 最小正周期为的奇函数D. 最小正周期为的偶函数4．设则“且”是“”的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件5若，则的定义域为( )A. B. C. D.6.函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)( A＞0，ω＞0,)的部分图象如图所示，则f(0)的值是（）A. B. C. D.7.在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域面积是（）．A．B． C．D．8.已知，则的值等于( )A ．B ．C ．D ．9. 已知函数（，且）的图象恒过定点A，若点A 在函数的图象上，其中，则的最小值为A．1 B．4 C． D．210. ,若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)二、填空题（每小题5分，总20分,其中14、15题为选做题）11.已知函数, 则= _____________.12. 的值等于________.13.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是14．（坐标系与参数方程选做题）过点且平行于极轴的直线的极坐标方程为__．15．（几何证明选讲选做题）已知是圆的切线，切点为，直线交圆于两点，,，则圆的面积为．PABO C三、解答题（共80分）16.（本小题满分12分）已知函数，（1）求函数的最小正周期；（2）求的最大值和最小值；（3）若，求的值17．（本小题满分12分）一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片.（1）若一次从中随机抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于或等于7的概率；（2）若第一次随机抽1张卡片，放回后再随机抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字2的概率．18.（14分）如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA=45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点．（1）求证：AF∥平面PCE；（2）求证：平面PCE⊥平面PCD；19．(本小题满分14分)已知函数f(x) =x2—lnx.(1)求曲线f(x)在点（1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调递减区间：(3)设函数g(x)=f(x)-x2+ax, a>0，若x∈ (O，e]时，g(x)的最小值是3,求实数a的值. (e是为自然对数的底数）20．(本小题满分14分)在经济学中，函数的边际函数定义为，某公司每月生产台某种产品的收入为元，成本为元，且，，现已知该公司每月生产该产品不超过100台，（利润=收入－成本）（1）求利润函数以及它的边际利润函数；（2）求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差。

北京名校高三上学期期中考试数学(理)试题及答案

北京名校高三第一学期期中试卷（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的．选出符合要求的一项填在答题卡上．）1．已知集合{1,0,1,2}A =-，{1}B x x =≥，则A B = （）．A ．{2}B ．{1,2}C ．{1,2}-D ．{1,1,2}-2．下列函数为奇函数的是（）．A．y ．e x y = C ．cos y x = D ．e e x x y -=-3．设(1,2)a = ，(1,1)b = ，c a kb = +．若b c ⊥，则实数k 的值等于（）．A ．32-B ．53-C ．53D ．324．若x ，y 满足2030x y x y x -⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥+，则2x y +的最大值为（）．A ．0B ．4C ．3D ．55．若a ，b是两个非零的平面向量，则“||||a b = ”是“()()0a b a b +⋅-= ”的（）．A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）．正(主)视图侧(左)视图俯视图A．2+．4．2．57．已知函数42|log |,04()1025,4x x f x x x x <⎧⎪=⎨-+>⎪⎩≤，若a ，b ，c ，d 是互不相同的正数，且()()()()f a f b f c f d ===，则abcd 的取值范围是（）．A ．(24,25)B ．(18,24)C ．(21,24)D ．(18,25)8．一位手机用户前四次输入四位数字手机密码均不正确，第五次输入密码正确，手机解锁，事后发现前四次输入的密码中，每次都有两个数字正确，但它们各自的位置均不正确．已知前四次输入密码分别为3406，1630，7364，6173，则正确的密码中一定含有数字（）．A ．4，6B ．3，6C ．3，7D ．1，7第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9．已知抛物线的方程24y x =，则其焦点到准线的距离为___________．10．若4sin 5θ=，tan 0θ<，则sin 2θ=__________．11．设4log πa =，14log πb =，4πc =，则a ，b ，c 的大小关系是___________．（从小到大用“<”连接）12．如图，在矩形ABCD中，AB =2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD上，若AB BF ⋅则AE BF ⋅的值是__________．E13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，则n S =___________．14．设函数3||,1()log ,1x a x f x x x -⎧=⎨>⎩≤．（1）如果(1)3f =，那么实数a =____________．（2）如果函数()2y f x =-有且仅有两个零点，那么实数a 的取值范围是___________．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）已知函数π()Asin(),0,02f x x x ωϕωϕ⎛⎫=+∈><< ⎪⎝⎭R 的部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式．（2）求函数()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．16．（本小题满分13分）在锐角ABC △中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且sin a A （1）确定角C 的大小．（2）若c ABC △，求22a b +的值．17．（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 满足：25a =，4622a a +=．{}n a 的前n 项和为n S ．（1）求n a 及n S ．（2）若21()1f x x =-，()(*)n n b f a n =∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分13分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB CD ∥，60DAB ∠=︒，PC ⊥平面ABCD ，AE BD ⊥，CB CD CF ==．D ABCEF（1）求证：BD ⊥平面AED ．（2）求二面角D BF C --的余弦值．（3）在线段AB （含端点）上，是否存在一点P ，使得FP ∥平面AED ，若存在，求出APAB的值；若不存在，请说明理由． 19．（本小题满分14分）已知函数22()(24)ln (0)f x x ax x x a =->+．（1）当1a =时，求此函数对应的曲线在(1,(1))f 处的切线方程．（2）求函数()f x 的单调区间．（3）对[1,)x ∀∈∞+，不等式(24)ln x a x x ->-恒成立，求a 的取值范围．20．（本小题满分14分）已知集合123{,,,}(3)n S a a a a n = ≥，集合{(,),,}T x y x S y S x y ⊆∈∈≠且满足：i a ∀，(,1,2,3,,,)j a S i j n i j ∈=≠ ，(,)i j a a T ∈与(,)j i a a T ∈恰有一个成立．对于T 定义1,(,),(,)0,(,),T a b T d a b b a T ∈⎧=⎨∈⎩1211()(,)(,)(,)(,)(,)(1,2,3,,)T i T i T i T i i T i i T i n l a d a a d a a d a a d a a d a a i n -== +++++++．（1）若4n =，12(,)a a ，32(,)a a ，24(,)a a T ∈，求2()T l a 的值及4()T l a 的最大值．（2）取1()T l a ，2()T l a ，，()T n l a 中任意删去两个数，即剩下的2n -个数的和为M ，求证：1(5)32M n n -≥+．（3）对于满足()1(1,2,3,,)T i l a n i n <-= 的每一个集合T ，集合S 中是否都存在三个不同的元素e ，f ，g ，使得(,)(,)(,)=3T T T d e f d f g d g e ++恒成立，并说明理由．北京名校高三第一学期期中试卷（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的．选出符合要求的一项填在答题卡上．）1．已知集合{1,0,1,2}A =-，{1}B x x =≥，则A B = （）．A ．{2}B ．{1,2}C ．{1,2}-D ．{1,1,2}- 【答案】B【解析】{1,2}A B = ．故选B ．2．下列函数为奇函数的是（）．A．y ．e x y = C ．cos y x = D ．e e x x y -=- 【答案】D【解析】A 选项，定义域0x ≥，∴yB 选项，定义域x ∈R ，e xy =非奇非偶； C 选项，定义域x ∈R ，cos y x =，偶函数；D 选项，定义域x ∈R ，()e e ()x xf x f x -=-=--，奇函数．故选D ．3．设(1,2)a = ，(1,1)b = ，c a kb = +．若b c ⊥，则实数k 的值等于（）．A ．32-B ．53-C ．53D ．32【答案】A【解析】∵b c ⊥，∴(1,1)(1,2)120b c k k k k ⋅=⋅== +++++，∴32k =-．故选A ．4．若x ，y 满足2030x y x y x -⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥+，则2x y +的最大值为（）．A ．0B ．4C ．3D ．5 【答案】B【解析】如图所示：3(,)x y 满足区域为阴影部分，令2z x y =+，2y x =-+z ，当直线过A 时，z 取最大． 32y x y x =⎧⎨=⎩+，得12x y =⎧⎨=⎩，(1,2)A ，∴max 4z =．故选B ．5．若a ，b是两个非零的平面向量，则“||||a b = ”是“()()0a b a b +⋅-= ”的（）．A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】22()()0a b a b a b +⋅-=-= ，∴22a b = ，∴||||a b = ．故选C ．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）．正(主)视图侧(左)视图俯视图A．2+．4．2．5 【答案】A【解析】原图形如图所示：212DAB C12222BCD S =⨯⨯=△，112ABD ACB S S ==⨯△△||AD，||AC ，∴122ACD S =⨯△∴表面积为2+ 故选A ．7．已知函数42|log |,04()1025,4x x f x x x x <⎧⎪=⎨-+>⎪⎩≤，若a ，b ，c ，d 是互不相同的正数，且()()()()f a f b f c f d ===，则abcd 的取值范围是（）．A ．(24,25)B ．(18,24)C ．(21,24)D ．(18,25) 【答案】A【解析】函数()f x 图象如图所示：若有四个不同数a ，b ，c ，d ，使函数值相同，设a b c d <<<，∴44log log a b -=，∴44log log 0a b =+， ∴4ab =，c 与d 关于5x =对称， ∴45c <<，56d <<，10c d =+， ∴(10)cd c =-，(45)c <<，∴(24,25)cd ∈，∴(24,25)abcd ∈．故选A ．8．一位手机用户前四次输入四位数字手机密码均不正确，第五次输入密码正确，手机解锁，事后发现前四次输入的密码中，每次都有两个数字正确，但它们各自的位置均不正确．已知前四次输入密码分别为3406，1630，7364，6173，则正确的密码中一定含有数字（）．A ．4，6B ．3，6C ．3，7D ．1，7 【答案】D【解析】若正确密码中含有3，6，而3，6在第1，2，3，4位置都有，与各自位置均不正确矛盾，同理，含有4，6或3，7不正确．若密码中一定有1，7，而3，6在1，2，3，4位置都有，位置不正确， ∴1在三位，7在4位置．故选D ．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9．已知抛物线的方程24y x =，则其焦点到准线的距离为___________．【答案】2【解析】焦点到准线距离为2P =．10．若4sin 5θ=，tan 0θ<，则sin 2θ=__________．【答案】2425-【解析】4sin 5θ=，且tan 0θ<， ∴3cos 5θ=-，24sin22sin cos 25θθθ==-．11．设4log πa =，14log πb =，4πc =，则a ，b ，c 的大小关系是___________．（从小到大用“<”连接）【答案】b a c << 【解析】40log π1a <=<，14log π0b =<，4π1c =>，∴c a b <<，∴b a c <<．12．如图，在矩形ABCD中，AB =2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD上，若AB BF ⋅则AE BF ⋅的值是__________．E【解析】如图以A 为原点建系，∴B ，(0,2)D，(,2)F a，c ，E ，,2)AB AF a ⋅== ，∴1a =，2(12AE BF ⋅=⋅+13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，则n S =___________．【答案】3222nn S ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭【解析】12n n S a =+，12n n S a -=，（2n ≥且*n ∈N ），作差：122n n n a a a =-+，123n n a a =+，（2n ≥且*n ∈N ），∴{}n a 为首项为1，公比为32的等比数列，3132223212nnn S ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==⋅- ⎪⎝⎭-．14．设函数3||,1()log ,1x a x f x x x -⎧=⎨>⎩≤．（1）如果(1)3f =，那么实数a =____________．（2）如果函数()2y f x =-有且仅有两个零点，那么实数a 的取值范围是___________．【答案】（1）2-或4；（2）12a -<≤ 【解析】（1）若(1)3f =，即|1|3a -=，∴2a =-或4．（2）当1x >时，()20f x -=，得()2f x =，即5log 2x =，得9x =．若()2f x =有两个解，则当1x ≤时，||2x a -=只有一个交点，由||2x a -=得2x a =+或2x a =-．若当1x ≤时，且21a >+且21a -≤，即1a -≥且3a ≤， ∴13a -<≤．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）已知函数π()Asin(),0,02f x x x ωϕωϕ⎛⎫=+∈><< ⎪⎝⎭R 的部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式．（2）求函数()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【答案】（1）π()2sin 26f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭+（2）min ()2f x =-，max ()1f x =【解析】（1）由图可知115πππ212122T =-=，∴πT =，∴2ππT ω==，2ω=， 55πsin π0126f A ϕ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+． ∵π02ϕ<<，∴π6ϕ=．∵π(0)sin 16f A ==，∴2A =．∴π()2sin 26f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭+．（2）当π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，5πππ2666x -≤≤+．当ππ262x =-+，即π3x =-时，min ()2f x =-．当ππ266x =+时，0x =时，max ()1f x =．16．（本小题满分13分）在锐角ABC △中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且sin a A （1）确定角C 的大小．（2）若c ABC △，求22a b +的值．【答案】（1）π3C =；（2）13【解析】（1）sin sin a c A C =，∴sin C =， ∵090C <∠=︒，∴60C ∠=︒．（2）1sin 2ABC S ab C ==△6ab =， 2221cos 22a b c C ab -==+，∴2213a b =+． 17．（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 满足：25a =，4622a a +=．{}n a 的前n 项和为n S ．（1）求n a 及n S ．（2）若21()1f x x =-，()(*)n n b f a n =∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =+，22n S n n =+（2）4(1)n nT n =+【解析】（1）465222a a a ==+，∴511a =， ∴5231156a a d -==-=，2d =， ∴5(2)221n a n n =-⨯=++，21(1)3(1)22n n n dS a n n n n n n -==-=+++．（2）2211111()1(21)141n n n b f a a n n n ⎛⎫=+==- ⎪--⎝⎭++， ∴1111111422314(1)n nT n n n ⎛⎫=---= ⎪⎝⎭ +++++． 18．（本小题满分13分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB CD ∥，60DAB ∠=︒，PC ⊥平面ABCD ，AE BD ⊥，CB CD CF ==．D ABCEF（1）求证：BD ⊥平面AED ．（2）求二面角D BF C --的余弦值．（3）在线段AB （含端点）上，是否存在一点P ，使得FP ∥平面AED ，若存在，求出APAB的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析（2（3）存在，12AP AB = 【解析】（1）∵AB CD ∥，60DAB ∠=︒，∴120ADC BCD ∠=∠=︒． ∵CB CD =，∴30CDB ∠=︒，∴90ADB ∠=︒，AD BD ⊥． ∵AE BD ⊥，且AE AD A = ，AE 、AD ⊂面AED ，∴BD ⊥面AED ．（2）知AD BD ⊥，∴AC BC ⊥．∵FC ⊥面ABCD ，CA ，CB ，CF 两两垂直，以C 为坐标原点，以CA ，CB ，CF 为x ，y ，z 轴建系．设1CB =，则(0,0,0)C ，(0,1,0)B，1,02D ⎫-⎪⎪⎝⎭，(0,0,1)F，A ，∴3,02BD ⎫=-⎪⎪⎝⎭，(0,1,1)BF =- ．设BDF 的一个法向量为000(,,)m x y z =，∴00003020y y z -=⎪-=⎩+，取01z =，则m ．由于(0,0,1)CF =是面BDC 的法向量，则cos ,||||m CF m CF m CF ⋅<>==⋅∵二面角F BD C --（3）存在点(,,)P x y z ．设AP AB λ=，(,)(,0)x y z λ=，∴x =，y λ=，0z =，∴,,0)P λ，,,1)FP λ=-．∵BD ⊥面AED，3,02BD ⎫=-⎪⎪⎝⎭．若PF ∥面AED ，∴PF BD ⊥，0BD =，3)02λ⎛⎫-=⎪⎝⎭+，∴12λ=，∴12APAB=，∴存在P为AB中点．x19．（本小题满分14分）已知函数22()(24)ln(0)f x x ax x x a=->+．（1）当1a=时，求此函数对应的曲线在(1,(1))f处的切线方程．（2）求函数()f x的单调区间．（3）对[1,)x∀∈∞+，不等式(24)lnx a x x->-恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）1y=（2）见解析（3）当1x=时，a∈R，当1x>时0a<【解析】（1）当1a=时，22()(24)ln(0)f x x x x x x=->+，∴(1)1f=，224()(44)ln2x xf x x x xx-'=-++，(1)0f'=，∴切线方程1y=．（2）224()(44)ln2x axf x x a x xx-'=-++(44)ln44x a x x a=--+(44)(ln1)x a x=-+．令()0f x'=，则1ex-=或x a=，当1ea<<时，()f x在(0,)a，1,e⎛⎫∞⎪⎝⎭+上为增函数．在1,ea⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，当1ea=时，()f x在(0,)∞+上为增函数，当1ea>时，()f x在10,e⎛⎫⎪⎝⎭，(,)a∞+上为单调递增，在1,ea⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．（3）当1x=时，a∈R，当x n>时，由(24)lnx a x x->-得42lnxa xx<+，对[1,)x∀∈∞+恒成立．设()2ln xg x x x=+，则 2222ln 12ln ln 1(2ln 1)(ln 1)()2(ln )(ln )(ln )x x x x x g x x x x ---'===+++，令()0g x '=得x 或1ex =，min ()g x g ==4a <0a < 20．（本小题满分14分）已知集合123{,,,}(3)n S a a a a n = ≥，集合{(,),,}T x y x S y S x y ⊆∈∈≠且满足：i a ∀，(,1,2,3,,,)j a S i j n i j ∈=≠ ，(,)i j a a T ∈与(,)j i a a T ∈恰有一个成立．对于T 定义1,(,),(,)0,(,),T a b T d a b b a T ∈⎧=⎨∈⎩1211()(,)(,)(,)(,)(,)(1,2,3,,)T i T i T i T i i T i i T i n l a d a a d a a d a a d a a d a a i n -== +++++++．（1）若4n =，12(,)a a ，32(,)a a ，24(,)a a T ∈，求2()T l a 的值及4()T l a 的最大值．（2）取1()T l a ，2()T l a ，，()T n l a 中任意删去两个数，即剩下的2n -个数的和为M ，求证：1(5)32M n n -≥+．（3）对于满足()1(1,2,3,,)T i l a n i n <-= 的每一个集合T ，集合S 中是否都存在三个不同的元素e ，f ，g ，使得(,)(,)(,)=3T T T d e f d f g d g e ++恒成立，并说明理由．【答案】（1）2()1T l a =，4max ()2T l a = （2）见解析（3）存在【解析】（1）∵12(,)a a ，32(,)a a ，2(,)k a a T ∈，∴21(,)0T d a a =， 23(,)0T d a a =，24(,)1T d a a =，故2()1T l a =． ∵24(,)a a T ∈，∴42(,)0T d a a =，∴4414243()(,)(,)(,)1012T T T T l a d a a d a a d a a ==≤++++．（2）(,)(,)1T T d a b d b a =+，∴12211331111()[(,)(,)](,)(,)[(,)(,)]nT i T T T T T n n T n n i l a d a a d a a d a a d a a d a a d a a --==∑ ++++++21=C (1)2nn n =-．设删去的两个数为()T k l a ，()T m l a ，则1(()(1)2T k T m l a l a n n M =--)+，∴()1T k l a n -≤，()1T m l a n -≤，且其中只有一个不等式中等号成立，不妨让()1T k l a n =-时，(,)1T k m d a a =，(,)0T m k d a a =，∴()2T m l a n -≤．∴1()()(1)232T k T m l a l a n n M n =---≤+，∴1(5)32M n n -≥+．（3）对()1(1,2,)T i l a n i n <-= 的每一个集合T ，集合S 中都存在三个不同元素e ，f ，g ，使(,)(,)(,)=3T T T d e f d f g d g e ++恒成立，任取集合T ，由()1(1,2)T i l a n i n <-= 可知1()T l a ，2()T l a ，()T n l a 中存在最大数，不妨记为()T l f ．∵()1T l f n <-，存在e S ∈，使(,)=0T d f e ，即(,)e f T ∈，由()1T l f ≥可设集合{(,)}G x S f x T =∈∈≠∅，则1l 中一定在元素g ，使得(,)=1T d g e ，否则(e)()1T T l l f ≥+，与()T l f 最大数矛盾， ∴(,)1T d f g =，(,)=1T d g e ，即(,)(,)(,)=3T T T d e f d f g d g e ++．。

北京市第六十六中学2018年高三上学期期中考试数学试卷

北京市第六十六中学2018年高三上学期期中考试数学试卷—、选择题（每小题5分，共40分）1．设全集{|02}U x x =<<，集合1{|0}A x x =<≤，则集合U A =ð（）A ．(0,1)B . (0,1]C . (1,2)D . [1,2)2．下列函数中，是奇函数且在区间(0,1)内单调递减的函数是（） A ．12log y x =B ．1y x=C ．3y x =D ．x y tan = 3．已知点1)2P -在角θ的终边上，且[0,2)θπ∈，则θ的值为（） A.56π B.23π C.116πD. 53π4．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项的和，254a a +=，721S =，则7a 的值为（） A ．6 B ．7C ．8D ． 95．在ABC ∆中，若22tan tan a A bB=，则ABC ∆为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形6．已知函数⎩⎨⎧<≥+=,0,10,1)(2x x x x f 则满足不等式)2()1(2x f x f >-的x 取值范围是（）A.)12,1(--B. （0）C. [-1，0.5）D.（-1，0.5]7.已知向量=a （1，0），=b （0，1），b a c λ+=（∈λR ），向量d 如图所示.则（）A ．存在0>λ，使得向量c 与向量d 垂直B ．存在0λ>，使得向量c 与向量d 夹角为︒60C ．存在0λ<，使得向量c 与向量d 夹角为30︒D ．存在0>λ，使得向量c 与向量d 共线8．如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，函数()y f x =的图象大致是二、填空题（每小题5分，共30分） 9．函数)1(log )(22x x f -=的定义域为.10．设复数1ii 2ix y -=++，其中,x y ∈R ，则x y +=______． 11．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为.12直线ex y =与函数x e x f =)(的图象相切，则切点坐标为.13．某四面体三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是14.李强用流程图把上班前需要做的事情做了如下几种方案，则所用时间最少的方案是_______ 方案一：方案二：方案三：三、解答题（共80分） 15.（本小题共13分）已知在等比数列}{n a 中，11=a ，且2a 是1a 和13-a 的等差中项. （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若数列}{n b 满足)(12*N n a n b n n ∈+-=，求}{n b 的前n 项和n S .ABCD MN P A 1B 1C 1D 1已知函数2()2cos sin cos f x x a x x =+，()06f π=(1)求实数a 的值;(2)求函数()f x 的最小正周期及单调增区间.17．（本小题共13分）根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击击中目标靶的环数的频率分布情况如图所示（1）求上图中的值；（2）甲队员进行一次射击，求命中环数大于7环的概率（频率当作概率使用）；（3）由上图判断甲、乙两名队员中，哪一名队员的射击成绩更稳定（结论不需证明）18．（本小题共14分）如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图2(1)求证：DE ∥平面A 1CB ； (2)求证：A 1F ⊥BE ；(3)线段A 1B 上是否存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ ？说明理由.△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且△ABC 的面积为B ac S cos 23=. （1）若a c 2=，求角A ，B ，C 的大小；（2)若a ＝2，且，求边c 的取值范围．20．（本小题共14分）已知函数()xe f x x a=-（其中常数0a <）.（1）求函数()f x 的定义域及单调区间；（2）若存在实数(],0x a ∈，使得不等式()12f x ≤成立，求a 的取值范围．北京市第六十六中学2018年高三上学期期中考试数学解答—、选择题（每小题5分，共40分）二、填空题（每小题5分，共30分）9、}{11|<<-x x 10、-0.4 11、8 12、),1(e 13、1014、方案三三、解答题15．（本小题满分13分）（1）设等比数列}{n a 的公比为 q（2）n n a n b +-=1216.（本小题满分13分）解：（1）解：由()06f π=知22cos sincos0666a πππ+=............................2分∴312042a ⨯+⨯=...................................4分∴a =-分（2）解：∵a =-∴2()2cos cos f x x x x =-cos 212x x =+2cos(2)13x π=++......................8分∴222T πππω===，..................10分 ∴2223k x k ππππ-≤+≤（k Z ∈） (11)∴236k x k ππππ-≤≤-（k Z ∈） ...................12分 ∴函数的最小正周期为π，单调增区间为2[,]36k k ππππ--（k Z ∈）.........13分17. （本小题满分13分）（Ⅱ）设事件A 为“甲队员射击，命中环数大于7环”，它包含三个两两互斥的事件：甲队员射击，命中环数为8环，9环，10环. 所以. 9分（Ⅲ）甲队员的射击成绩更稳定. 13分考点：互斥事件概率及方差的意义。

2018年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷) 理科数学试题及解析

2018年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合A ={x ||x |<2}，B ={–2，0，1，2}，则A I B =（）（A ）{0，1} （B ）{–1，0，1} （C ）{–2，0，1，2} （D ）{–1，0，1，2} 1．【答案】A【解析】2x <Q ，22x ∴-<<，因此{}(){}2,0,1,22,20,1A B =--=I I ，故选A ．（2）在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于（）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限 2．【答案】D【解析】()()11i 11i 1i 1i 1i 22+==+--+的共轭复数为11i 22-，对应点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限，故选D ．（3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（）（A ）12 （B ）56 （C ）76 （D ）7123．【答案】B【解析】初始化数值1k =，1s = 循环结果执行如下：第一次：()1111122s =+-⋅=，2k =，23k =≥不成立；第二次：()21151236s =+-⋅=，3k =，33k =≥成立，循环结束，输出56s =，故选B ．（4）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为（）（A （B （C ）（D ） 4．【答案】D【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为，()12n n a n n -+∴=≥∈N ，，又1a f =，则7781a a q f===，故选D ．（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 5．【答案】C【解析】由三视图可得四棱锥P ABCD -，在四棱锥P ABCD -中，2PD =，2AD =，2CD =，1AB =，由勾股定理可知，PA =PC =3PB =，BC =，则在四棱锥中，直角三角形有，PAD △，PCD △，PAB △共三个，故选C ．（6）设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 6．【答案】C【解析】2222223333699+6a b a b a b a b a a b b a a b b -=+⇔-=+⇔-⋅+=⋅+，因为a ，b 均为单位向量，所以2222699+6=0a a b b a a b b a b a b -⋅+=⋅+⇔⋅⇔⊥，即“33a b a b -=+”是“a b ⊥”的充分必要条件．故选C ．（7）在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 7．【答案】C【解析】22cos sin 1θθ+=Q ，P ∴为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，所以d 的最大值为1213OA +=+=，故选C ．（8）设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则（）（A ）对任意实数a ，(2,1)A ∈ （B ）对任意实数a ，（2，1）A ∉（C ）当且仅当a <0时，（2，1）A ∉ （D ）当且仅当32a ≤时，（2，1）A ∉8．【答案】D【解析】若()2,1A ∈，则32a >且0a ≥，即若()2,1A ∈，则32a >，此命题的逆否命题为，若32a ≤，则有()2,1A ∉，故选D ．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2023北京六十六中高三(上)期中数学(含答案)

2023北京六十六中高三（上）期中数学试卷说明：1．本试卷共三道大题，共4页.2．卷面满分150分，考试时间120分钟.3．试题答案一律在答题纸上作答，在试卷上作答无效. 一、选择题（每小题4分，共40分）1. 已知集合{}0,1,2A =，{}03B x x =∈<<N ，则A B ⋃=（）A. {}0,1B. {}1,2C. {}0,1,2D. {}0,1,2,32. 若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11a b =，222a b ==，48a =，则{}n b 的公比为（） A. 2B. 2−C. 4D. 4−3. 已知()0,απ∈，且3cos 5α=−，则tan α=（） A. 43−B. 34−C.34D.434. “0a b >>”是“33a b >”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 要得到函数sin 33y x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭的图象，只要把函数sin3y x =的图象（） A. 向左平移3π个单位； B. 向右平移3π个单位； C. 向左平移9π个单位； D. 向右平移9π个单位 6. 下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的是( ) A. y ＝x 2 B. y ＝x ＋1 C. y ＝－lg|x | D. y ＝－2x7. 设132a =，3log 2b =，cos 2c =，则（）A. c b a >>B. a c b >>C. c a b >>D. a b c >>8. 若命题“2,20x x x m ∃∈++≤R ”是真命题，则实数m 的取值范围是（） A. 1m <B. 1mC. 1m >D. 1m ≥9. 函数()()f x sin (0,0,)2A x A ϕπϕωω=+>><的部分图象如图所示，则将()y f x =的图象向右平移6π个单位后，得到的图象的解析式为（）A. y sin =2xB. cos y =2xC. 2sin 23y x π⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭D. sin 26y x π⎛⎫=−⎪⎝⎭10. 对实数,m n ，定义运算“⊗”：,0,,0.m m n m n n m n −≥⎧⊗=⎨−<⎩设函数()()()21,f x x x x x R =−⊗−∈. 实数,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围是 A. 51,4⎛⎫⎪⎝⎭B. 92,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 37,24⎛⎫⎪⎝⎭D. 1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭二、填空题（每小题5分，共25分）11. 在ABC 中，若2c =，a =π6A ∠=，则sin C =______． 12. 已知复数12z i =−，则z =____________.13. 已知向量(,3)a k =，(1,4)b =，(2,1)c =，且 (23)a b c −⊥，则实数k = __________．14. 已知向量()1,1a =，(),2b x tx =+．若存在实数x ，使得a 与b 的方向相同，则t 的一个取值为__________．15. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，21(R)n n n a a a λλ+−=∈．给出下列四个结论：①{}n a 是递增数列； ②{}R,n a λ∀∈都不是等差数列； ③当1λ=时，1a 是{}n a 中的最小项； ④当14λ≥时，20232022S >．其中所有正确结论的序号是____________．三、解答题（共6小题，共85分）16. 已知函数2()sin cos 2f x x x x =−．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求不等式()0f x ≥的解集．17. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为()1,2,n S n =⋅⋅⋅，且23a =，525S =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）等比数列{}n b 的首项为1，公比为3q =，使得{}n b 的每一项都是{}n a 中的项．若()*,k m b a k m =∈N ，求m ．（用含k 的式子表示）18. 已知函数321()3f x ax x bx c =+++，曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为1y x =+ ()1求,b c 的值；()2若函数()f x 存在极大值，求a 的取值范围.19. 在ABC ∆中，点D 是边AB 上一点，且13AD DB =.记ACD α∠=，BCD β∠=. （1）求证：sin 3sin AC BC βα=；（2）若6πα=，2πβ=，AB =BC 的长.20. 设函数1()ln ()f x x a x a R x=−−∈ （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点1x 和2x ，记过点1122(,()),(,())A x f x B x f x 的直线的斜率为k ，问：是否存在a ，使得2k a =−？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由． 21. 若数列{}n a 的子列{}(0,1,2,,1)kn i a i k −=−均为等差数列，则称{}n a 为k 阶等差数列．（1）若n a n =，数列{}32n a −的前15项与{}4n a 的前15项中相同的项构成数列{}n b ，写出{}n b 的各项，并求{}n b 的各项和；（2）若数列{}n a 既是3阶也是4阶等差数列，设{}{}{}32313,,n n n a a a −−的公差分别为123,,d d d ．（ⅰ）判断123,,d d d 的大小关系并证明；（ⅱ）求证：数列{}n a 是等差数列．参考答案1. 【答案】C【分析】根据并集的定义即可求解.【详解】因为{}0,1,2A =，{}{}031,2B x x =∈<<=N ，所以{}0,1,2A B ⋃=. 故选：C 2. 【答案】B【分析】根据等差数列的基本量运算可得111a b ==−，然后利用等比数列的概念结合条件即得. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则242822a a d d +=+==，所以3d =，∴22123b a a ===+，111a b ==−，所以212b q b ==−. 故选：B. 3. 【答案】A 【分析】由同角三角函数基本关系的平方关系可以求出sin α的值且sin 0α>，再利用sin tan cos ααα=即可求解. 【详解】由3cos 5α=−得4sin 5α===±，因为()0,απ∈，所以sin 0α>，所以4sin 5α，所以4sin 45tan 3cos 35ααα===−−，故选：A 4. 【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合指数函数的单调性即可得出答案. 【详解】因为指数函数3x y =单调递增，由0a b >>可得：33a b >，充分性成立，当33a b >时，a b >，但不一定0a b >>，必要性不成立，故选：A 5. 【答案】D【分析】根据三角函数平移变换规则计算可求解. 【详解】由题意知：ππsin 3sin 339y x x ⎛⎫⎛⎫=−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以只需sin 3y x =的图像向右平移π9个单位就可以得到πsin 33y x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭的图像，故D 项正确.故选：D. 6. 【答案】C 【分析】选项A ：2yx 在(0,)+∞上单调递增，不符合条件；选项B ：代入特殊值1x =±，可知(1)(1)f f −≠，且(1)(1)f f −≠−，故1y x =+是非奇非偶函数，不符合条件；选项C ：先求出定义域，再根据奇偶性的定义，确定lg y x =−是偶函数，0x >时，lg lg y x x =−=−单调递减，故符合条件；选项D ：代入特殊值1x =±，可知(1)(1)f f −≠，且(1)(1)f f −≠−，故2x y =−是非奇非偶函数，不符合条件.【详解】选项A ：2yx 的定义域为R ，2y x 在(0,)+∞上单调递增，不符合题意，故A 不正确；选项B ：记()1f x x =+，则(1)2f =，(1)0f −=，则(1)(1)f f −≠，(1)(1)f f −≠−，故1y x =+是非奇非偶函数，不符合题意，故B 不正确；选项C ：定义域(,0)(0,)−∞+∞，记()lg f x x =−，则()lg lg f x x x −=−−=−，所以()()f x f x −=，即()f x 是偶函数，当(0,)x ∈+∞时，lg lg y x x =−=−，因为lg y x =在(0,)+∞上单调递增，所以lg y x =−在(0,)+∞上单调递减，故C 正确；选项D ：记()2x f x =−，则(1)2f =−，1(1)2f −=−，则(1)(1)f f −≠，(1)(1)f f −≠−，不符合题意，故D 不正确. 故选C.【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的综合，要求掌握常见函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键． 7. 【答案】D【分析】根据指对数函数及余弦函数性质判断大小关系即可. 【详解】由π2π2<<，则cos 20c =<，而1330log 212a b =<=<<，所以a b c >>. 故选：D 8. 【答案】B【分析】不等式能成立，等价于方程有实数解，用判别式计算求参数即可.【详解】由题可知，不等式220x x m ++≤在实数范围内有解，等价于方程220x x m ++=有实数解，即440m ∆=−≥，解得1m . 故选：B. 9. 【答案】D【分析】先根据题意求得A 、ω、ϕ的值，得到函数()y f x =的解析式，然后通过平移变换得到所求的解析式．【详解】由图象得51,2[()]1212A T πππ==−−=， 22Tπω∴==， ()sin(2)ϕ∴=+f x x ．∵点π,16⎛⎫⎪⎝⎭在函数()y f x =的图象上， sin(2)16πϕ∴⨯+=，2,32k k Z ππϕπ∴+=+∈，2,6k k Z πϕπ∴=+∈，又2πϕ<，6πϕ∴=，()sin(2)6f x x π∴=+．将()y f x =的图象向右平移6π个单位后，得到的图象对应的解析式为sin[2()]sin(2)666y x x πππ=−+=−．故选：D ． 10. 【答案】B【分析】由新定义写出分段函数，由题意作函数的图象，由二次函数的对称轴得1a b +=，由此利用函数的图象可求a b c ++的范围.【详解】由,0,,0.m m n m n n m n −≥⎧⊗=⎨−<⎩，得()()()22,1111,11x x x f x x x x x x x ⎧−−≤≤=−⊗−=⎨−><−⎩或，作函数()2,111,11x x x f x x x x ⎧−−≤≤=⎨−><−⎩或的图象如下图：∵,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，可设a b c <<， ∵1124f ⎛⎫=⎪⎝⎭，5144f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由图象得1a b +=，且514c <<，∴92,4a b c ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭，故选B ．【点睛】本题考查分段函数及运用，考查数形结合的思想方法和运用，注意通过图象观察，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共25分）11.【答案】3【分析】利用正弦定理可得答案.【详解】由正弦定理sin sin a c A C=可得2πsin sin 6=C ，所以sin 3C=.故答案为：3. 12.【分析】根据复数的模长公式直接运算求解. 【详解】由题意可得：z ==13. 【答案】3【详解】分析：先根据向量加法求23a b −，再根据向量数量积为零得方程，解得实数k 值. 详解：232(,3)3(1,4)(23,6)a b k k −=−=−−，∵(23)a b c −⊥， ∴2(23)(6)0k −+−=，解得3k =．点睛：(1)向量平行：1221//a y b x y x ⇒=，//,0,a b b a b λλ≠⇒∃∈=R ,111BA AC OA OB OC λλλλ=⇔=+++ (2)向量垂直：121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，(3)向量加减乘： 221212(,),||,cos ,a b x x y y a a a b a b a b ±=±±=⋅=⋅ 14. 【答案】0（答案不唯一，小于1的实数均可）【分析】由两向量同向可知()0b a λλ=>，由此可构造方程组求得21x tλ==−，由0λ>可求得满足题意的t 的范围，进而得到结果.【详解】a 与b 方向相同，()0b a λλ∴=>，2x tx λλ=⎧∴⎨+=⎩，21x t λ∴==−，由201t>−得：1t <， ∴存在实数0=t ，2x =，使得a 与b 方向相同.故答案为：0（答案不唯一，小于1的实数均可）. 15. 【答案】③④【分析】利用特殊数列排除①②，当0λ≠时显然有0n a ≠，对数列递推关系变形得到1n n na a a λ+=+，再判断③④即可.【详解】当数列{}n a 为常数列时，210n n n a a a +−=，{}n a 不是递增数列，是公差为0的等差数列，①②错误；当1λ=时，211n n n a a a +−=，显然有0n a ≠，所以11n n na a a +=+，又因为10a >，所以由递推关系得0n a >，所以110n n na a a +−=>，故数列{}n a 是递增数列，1a 是{}n a 中的最小项，③正确；当14λ≥时，由③得0n a >，所以由基本不等式得11n n n a a a λ+=+≥=≥，当且仅当n na a λ=时等号成立，所以2320232022a a a ++⋅⋅⋅+≥，所以20232022S >，④正确.故选：③④.三、解答题（共6小题，共85分）16. 【答案】（1）π （2）,,Z 63k k k ππππ⎡⎤−++∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用二倍角公式和两角和公式化简()f x ，再利用最小正周期公式2T πω=求解即可；（2）由正弦函数的图像和性质求解即可. 【小问1详解】由题意得21()sin 21)cos sin 2sin cos 2sin(2)22333f x x x x x x πππ=+−=+=+，所以()f x 的最小正周期22T ππ==. 【小问2详解】由（1）得()sin(2)3f x x π=+，当()0f x ≥时，2223k x k ππππ≤+≤+(Z)k ∈，解得63k x k ππππ−+≤≤+(Z)k ∈，即不等式()0f x ≥的解集为,,Z 63k k k ππππ⎡⎤−++∈⎢⎥⎣⎦. 17. 【答案】（1）21n a n =−（2）1312k m −+= 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据条件列出方程组，求解1a 和d ，可得通项公式；（2）求出13n n b −=，由m k a b =，可得1213k m −−=．从而求出m ．【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为23a =，525S =，所以113545252a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得11,2.a d =⎧⎨=⎩ 所以21n a n =−．【小问2详解】因为11b =，3q =，所以13n n b −=，因为m k a b =，即1213k m −−=．得1312k m −+=，因为*N k ∈，13k −为奇数，131k −+为偶数，所以*N m ∈．可得1312k m −+=．18. 【答案】()111b c =⎧⎨=⎩；()2()(),00,1−∞⋃ 【分析】（1）求出函数的导数，结合切线方程得到关于,b c 的方程组，解出即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，结合二次函数，求出函数的单调区间，结合函数的存在极大值，确定a 的范围即可．【详解】解：()1()2'2f x ax x b =++因为()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为1y x =+，所以()()0101f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩解得11b c =⎧⎨=⎩()2()32113f x ax x x =+++，①当0a =时，()21f x x x =++在极大值，不符合题意.②当0a >时，()221f x ax x =++.令2210ax x ++=.(i )当440a =−≤，即1a ≥时，不符合题意.(ii )当440a =−>，即01a <<时，方程2210ax x ++=有两个不相等的实数根. 设方程两个根为12,x x ，且12x x <.()(),,x f x f x '的变化如表所示:所以()1f x 为极大值.③当a<0时，440a =−>恒成立.设方程两个根为12,x x ，且12x x <.()(),,x f x f x '的变化如表所示:所以，()2f x 为极大值.综上，若函数()f x 存在极大值，a 的取值范围为()(),00,1−∞⋃.【点睛】本题考查了切线方程问题，导数在函数的单调性和极值问题中的应用，考查分类讨论思想，转化思想等数学思想，是一道综合题． 19. 【答案】（1）详见解析；（2）3BC =. 【详解】试题分析：(1)由题意结合正弦定理整理计算即可证得结论；(2)利用题意结合余弦定理，设2AC k =，3BC k =，列方程求解可得3BC =. 试题解析：（1）由正弦定理，在ACD ∆中sin sin AC ADADC α=∠，在BCD ∆中sin sin BC BD BDC β=∠，因为ADC BDC π∠+∠=，所以sin sin ADC BDC ∠=∠，因为13AD DB =，所以sin 3sin AC BC βα=. （2）因为6πα=，2πβ=，由（1）得sin3223sin 6AC BC ππ==，设2AC k =，3BC k =，0k >，由余弦定理2222cos AB AC BC AC BC ACB =+−⋅⋅∠得到2221949223cos3k k k k π=+−⋅⋅⋅，解得1k =，所以3BC =.20. 【答案】（1）答案见解析：（2）不存在【详解】（1）()f x 定义域为()0,∞+，()22211'1a x ax f x x x x−+=+−=，令()221,4g x x ax a =−+∆=−，①当22a −≤≤时，0∆≤，()'0f x ≥，故()f x 在()0,∞+上单调递增，②当2a <−时，0∆>，()0g x =的两根都小于零，在()0,∞+上，()'0f x >，故()f x 在()0,∞+上单调递增，③当2a >时，0∆>，()0g x =的两根为1222a a x x ==，当10x x <<时，()'0f x >；当12x x x <<时，()'0f x <；当2x x >时，()'0f x >；故()f x 分别在()()120,,,x x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减. （2）由（1）知，2a >，因为()()()()1212121212ln ln x x f x f x x x a x x x x −−=−+−−. 所以()()1212121212ln ln 11f x f x x x k a x x x x x x −−==+⋅−−, 又由（1）知，121=x x ，于是1212ln ln 2x x k ax x −=−−，若存在a ，使得2k a =−，则1212ln ln 1x x x x −=−，即1212ln ln x x x x −=−，亦即222212ln 0(1)x x x x −−=>（*）再由（1）知，函数()12ln h t t t t=−−在()0,∞+上单调递增，而21x >，所以22212ln 112ln10x x x −−>−−=，这与（*）式矛盾，故不存在a ，使得2k a =−.21. 【答案】（1）{}n b 的各项为：4，16，28，40；{}n b 的各项和为：416284088+++= （2）（ⅰ）123d d d ==,证明见解析；（ⅱ）证明见解析；【分析】（1）根据题意，利用枚举法，即可求解；（2）（ⅰ）根据题意，{}{}{}{}323134,,,n n n n a a a a −−均为等差数列，通过等量代换找到123,,d d d 的关系即可；（ⅱ）{}{}{}{}323134,,,n n n n a a a a −−均为等差数列，由（ⅰ）得，设12334md d d d ====，进而利用等量代换关系，得到3313132214n n n n ma a a a a a −−−−=−==−=，进而可以递推，得到14n n m a a +−=，即可证明数列{}n a 是等差数列【小问1详解】n a n =，3232n a n −∴=−，44n a n =，{}32n a −前15项分别为：1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43；{}4n a 前15项分别为：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60；{}n b 的各项为：4，16，28，40；{}n b 的各项和为：416284088+++=；【小问2详解】（ⅰ）由已知得，{}{}{}32313,,n n n a a a −−均为等差数列，数列{}n a 既是3阶也是4阶等差数列，故{}4n a 也为等差数列，{}4n a ：4812164,,,,,n a a a a a ，设公差为m ，{}32n a −：141632,,,,n a a a a −，，故116443d a a m =−=， {}31n a −：2582031,,,,,,n a a a a a −，故22081641644443d a a a m a m a a m =−=+−−=−=， {}3n a ：36912243,,,,,,,n a a a a a a ，故324121641644883d a a a m a m a a m =−=+−−=−=，故12334m d d d ===. （ⅱ）数列{}n a 既是3阶也是4阶等差数列，{}{}{}{}323134,,,n n n n a a a a −−均为等差数列，由（ⅰ）得，设12334m d d d d ====，对于{}4n a ，有84a a m −=，128a a m −=，1612a a m −= 对于{}32n a −，有7434a a d m −==，对于{}31n a −，有11834a a d m −==，对于{}32n a −，有151234a a d m −==， 874ma a ∴−=，12114m a a −=，16154m a a −=，整理得，16121511a a a a m −=−=，128117a a a a m −=−=，故331151115113(5)(4)44n n ma a a d n a d n a a d m m −−=+−−−−=−−=−=； 31321171173(4)(3)44n n ma a a d n a d n a a d m m −−−=+−−−−=−−=−=；所以，3313132214n n n n m a a a a a a −−−−=−==−=，故，14n n ma a +−=，所以，数列{}n a 是等差数列。

2018届北京地区高三上学期期中考试数学(理)(解析版)

2018届北京地区高三上学期期中考试数学（理）第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1、已知集合，，则（）．A ．B ．C ．D ．答案：D2、“”是“函数的最小正周期为”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分且必要D.既不充分也不必要答案：A3．下列有关命题的说法正确的是（）A ．命题“若，则”的否命题为“若，则”B ．命题“”的否定是“”C ．命题“若，则”的逆否命题为假命题D ．若“p 或q ”为真命题，则p ，q 至少有一个为真命题答案：D4、定积分的值为（）A.B. C. D. 答案：A 5．已知函数两相邻对称轴间的距离为，则的值为（）．A ．B ．C ．D ．答案：B{}220,A x x x x R =--≤∈{}230,y B y y y Z =-<∈A B = ∅{}02x x <≤{}01x x <≤{}12,x x x Z ≤≤∈1=a ax ax y 22sin cos -=π12=x 1=x 12=x 1≠x 01,2<-+∈∃x x R x 01,2>-+∈∀x x R x y x =y x sin sin =0⎰4π2πππ26.函数满足，则的值为（）A. B. C.D. 答案：C7. 已知为等比数列,,,则（）A ． B. C ． D. 答案：D8.已知是公差d ≠0的等差数列的前项和，若，则A BCD答案：A9．已知三点不在同一条直线上，是平面内一定点，是内的一动点，若，则直线一定过的（）A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心答案：A10、下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是（）．A. B. C. D. 答案：B11、设函数，，若实数，分别是，的零点，则（）A. B. C. D.答案：D12．设函数在上存在导数，，有，在上，()3sin(2),(0,)3f x x πφφπ=-+∈)()(x f x f =φ6π3π56π32π{}n a 472a a +=568a a =-110a a +=75-5-7n S {}n a n 739a a =()95S S =95185925,,A B C O ABC P ABC ∆1(),[0,)2OP OA AC CB λλ-=+∈+∞AP ABC ∆[1,1]-()sin f x x =2()ln 2x f x x -=+()|1|f x x =-+1()()2x xf x e e -=-()42-+=x e x f x ()52ln 2-+=x x xg a b ()x f ()x g ()()a g b f <<0()()0<<a g b f ()()b f a g <<0()()b f a g <<0若，则实数的取值范围为（） A ．B ．C ．D ．答案：B第II 卷（非选择题共计90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若，且，则=. 答案：114．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R)是偶函数，则实数a 的值为________．答案：-115、不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是____________. 答案：或16．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋2a 的导函数为f ′(x )，对任意x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，则b 2a 2的最大值为________．答案：4三、解答题（本大题共6个小题，共计70分）17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14.(1)求a 和sin C 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2A ＋π6的值．解： (1)在△ABC 中，由cos A ＝－14，可得sin A ＝154.2(2)()220f m f m m m -+--+-≥[1,1]-[1,+∞）()()()1,2,,1,1,2a b x c =-==()a b c +⊥ x 2|3||1|3x x a a +--≤-x a 1a ≤-4a ≥由S △ABC ＝12bc sin A ＝315，得bc ＝24.又由b －c ＝2，解得b ＝6，c ＝4. 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得a ＝8. 由asin A＝csin C，得sin C ＝158.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2A ＋π6＝cos 2A ·cos π6－sin 2A ·sin π6＝32(2cos 2A －1)－12×2sin A ·cosA ＝15－7316.18．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x . (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5，因x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5.19.已知正项等比数列满足成等差数列,且. （Ⅰ）求数列的通项公式;（Ⅱ）设,求数列的前项和. （Ⅰ）设正项等比数列的公比为（1）由,因为,所以.又因为成等差数列,所以所以数列的通项公式为.（Ⅱ）(方法一)依题意得,则…………………… 由 - 得[来源:学§科§网]所以数列的前项和(方法二)因为,所以20．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6，sin x ，n ＝(1，sin x )，f (x )＝m ·n －12.{}n a 6,2,321+a a a 51249a a a ={}n a ()n n n a a b ⋅+=1log 3{}n b n n T {}n a ()0>q q 399923242235124±=⇒==⇒==q a a q a a a a 0>q 3=q 6,2,321+a a a ()3012690461111231=⇒=-++⇒=-++a a a a a a a {}n a n n a 3=()n n n b 312⋅+=()n n n T 312373533321⋅++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=()()14323123123735333+⋅++⋅-+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=n n n n n T ()()2321333323122-+⋅⋅⋅++⋅-⋅+=+nn n n T ()1212132331332312+++⋅=---⋅-⋅+=n n n n n {}n b n 13+⋅=n n n T ()()[]()n n n n n n n n n n b 3133133121⋅--⋅=⋅--=⋅+=+13+⋅=n n n T(1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a ＝23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A 2＝12，若3sin(A＋C )＝2cos C ，求b 的大小．解：(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6＋sin 2x －12＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋1－cos 2x 2－12＝32sin 2x .令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，则k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z ，故f (x )的单调递减区间是k π＋π4，k π＋3π4，k ∈Z.(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A 2＝12和f (x )＝32sin 2x ，得sin A ＝33.①若cos A ＝63，则sin(A ＋C )＝33cos C ＋63sin C ，又3sin(A ＋C )＝2cos C ，所以cos C ＝2sin C .因为0<C <π，所以co s C ＝63.②若cos A ＝－63，同理可得：cos C ＝－63，显然不符合题意，舍去．所以sin B ＝sin(A ＋C )＝23cos C ＝223.故b ＝a sin B sin A＝4 2.21.（本小题满分12分）已知函数. ⑴求函数的单调增区间；⑵记函数的图象为曲线，设点是曲线上两个不同点，如果曲线上存在点，使得：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”.试问：函数是否存在中值相依切线，请说明理由解：（Ⅰ）函数的定义域是.由已知得，. ⅰ 当时, 令,解得;函数在上单调递增 ⅱ 当时，①当时，即时, 令,解得或;函数在和上单调递增②当时，即时, 显然，函数在上单调递增；③当时，即时, 令,解得或函数在和上单调递增.综上所述:⑴当时,函数在上单调递增 ⑵当时,函数在和上单调递增 ⑶当时,函数在上单调递增； ⑷当时,函数在和上单调递增.(Ⅱ)假设函数存在“中值相依切线”.设,是曲线上的不同两点，且，则，.21()ln (1)(0)2f x x ax a x a R a =-+-∈≠，()f x ()F x C 1122(,)(,)A x y B x y 、C C 00(,)M x y 1202x x x +=C M AB ()F x ()f x ()f x (0,)+∞1(1)()1'()1a x x a f x ax a x x-+=-+-=-0a >'()0f x >01x <<∴()f x (0,1)0a <11a -<1a <-'()0f x >10x a<<-1x >∴()f x 1(0,)a-(1,)+∞11a -=1a =-()f x (0,)+∞11a ->10a -<<'()0f x >01x <<1x a>-∴()f x (0,1)1(,)a -+∞0a >()f x (0,1)1a <-()f x 1(0,)a-(1,)+∞1a =-()f x (0,)+∞10a -<<()f x (0,1)1(,)a-+∞()f x 11(,)A x y 22(,)B x y ()y f x =120x x <<211111ln (1)2y x ax a x =-+-222221ln (1)2y x ax a x =-+-.曲线在点处的切线斜率，依题意得：. 化简可得，即=.设 ()，上式化为：, ,令,. 因为,显然，所以在上递增,显然有恒成立.所以在内不存在,使得成立. 综上所述，假设不成立.所以，函数不存在“中值相依切线”． [来源:学*科*网]（22）（本小题满分10分）设函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥2的解集；(2)若不等式f (x )≤|a －2|的解集为R ，求实数a 的取值范围．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2，当x ≤－1时，f (x )≥2不成立；当－1<x <2时，由f (x )≥2得，2x －1≥2， ∴32≤x <2；当x ≥2时，f (x )≥2恒成立．2121ABy y k x x -=-22212121211(ln ln )()(1)()2x x a x x a x x x x ---+--=-211221ln ln 1()(1)2x x a x x a x x -=-++--00(,)M x y 0()k f x '=12()2x x f +'=12122(1)2x x a a x x +=-⋅+-+211221ln ln 1()(1)2x x a x x a x x --++--12122(1)2x x a a x x +=-⋅+-+2121ln ln x x x x --122x x =+21ln x x 21212()x x x x -+21212(1)1x x x x -=+21x t x =1t >2(1)4ln 211t t t t -==-++4ln 21t t +=+4()ln 1g t t t =++214'()(1)g t t t =-+=22(1)(1)t t t -+1t >'()0g t >()g t (1,)+∞()2g t >(1,)+∞t 4ln 21t t +=+()f x∴不等式f (x )≥2的解集为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，＋∞.(2)∵f (x )＝|x ＋1|－|x －2|≤|(x ＋1)－(x －2)|＝3， ∴|a －2|≥3，∴a ≥5或a ≤－1，∴a 的取值范围是(－∞，－1]∪[5，＋∞)．。

2018-2019学年北京六十六中高二(上)期中数学试卷(附答案详解)

2018-2019学年北京六十六中高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于()A. 11B. 12C. 13D. 142.双曲线x24−y2=1的焦点坐标为()A. (±√3,0)B. (0,±√3)C. (±√5,0)D. (0,±√5)3.等差数列的前三项依次为a−1，a+1，2a+3，则a的值为()A. 1B. −1C. 0D. 24.已知数列{a n}是公比为2的等比数列，且满足a4a2−a3=0，则a4的值为()A. 2B. 4C. 8D. 165.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=−10,a n+1=a n+3(n∈N∗)，则S n取最小值时，n的值是()A. 3B. 4C. 5D. 66.如果a<b<0，那么下列各式一定成立的是()A. a−b>0B. ac<bcC. a2>b2D. 1a <1b7.已知数列的S n=n2+n+1，则a8+a9+a10+a11的值为()A. 73B. 60C. 76D. 1448.与椭圆x24+y2=1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是()A. x24−y2=1 B. x23−y2=1 C. x22−y2=1 D. x2−y22=19.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴端点为A1，A2，短轴端点为B1，B2，焦距为2，若△B1A1B2为等边三角形，则椭圆的方程为()A. x26+y22=1 B. 2x23+2y2=1 C. 3x24+3y2=1 D. x216+y212=110.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是12，则a2+1b的最小值为()A. 4√33B. 2√33C. 12D. 1二、单空题（本大题共5小题，共20.0分）11.已知等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=1，则a12的值是______．12.函数y=x+4x−1(x>1)的最小值是______．13.双曲线x2a2−y29=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0，则a=______14.已知点A(2,1)，抛物线y2=4x的焦点是F，若抛物线上存在一点P，使得|PA|+|PF|最小，则最小值为______；此时P点的坐标为______．15.不等式x2−2x+3≤a2−2a−1在R上的解集是⌀，则实数a的取值范围是______ ．三、多空题（本大题共1小题，共4.0分）16.若抛物线y2=2px的焦点坐标为(1,0)，则p=；准线方程为．四、解答题（本大题共3小题，共36.0分）17.设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．(1)求{a n}，{b n}的通项公式；(2)求数列{a n+b n}的前n项和S n．18.已知椭圆W：x24+y2=1直线l过点(0,−2)与椭圆W交于两点A，B，O为坐标原点．(Ⅰ)求椭圆的离心率和短轴长；(Ⅱ)若直线l的斜率是2，求线段AB的长．19.已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设S n为数列{a n}的前n项和，b n=a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．S n S n+1答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55设数列为{a n}∴a n=a n−1+a n−2(n>3)∴x=a7=a5+a6=5+8=13故选：C．从已知数列观察出特点：从第三项开始每一项是前两项的和即可求解本题考查了数列的概念及简单表示法，是斐波那契数列，属于基础题．2.【答案】C−y2=1，【解析】解：∵双曲线的方程为x24∴a2=4，b2=1，可得c=√a2+b2=√5由此可得双曲线的焦点坐标为(±√5,0)故选：C根据双曲线方程得出a、b的值，从而得到c=√a2+b2=√5，因此可得该双曲线的焦点坐标．本题给出双曲线方程，求双曲线的焦点坐标，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：由题可知2(a+1)=(a−1)+(2a+3)，解得a=0．故选：C．利用等差中项可知2(a+1)=(a−1)+(2a+3)，进而计算可得结论．本题考查等差中项的性质，考查运算求解能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵数列{a n}是公比为2的等比数列，且满足a4a2−a3=0，∴a1×8a1×2−a1×4=0，解得a1=1，∴a4=1×23=8．故选：C．由等比数列的通项公式先求出首项，由此能求出a4的值．本题考查等比数列中第4项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．5.【答案】B【解析】解：在数列{a n}中，由a n+1=a n+3，得a n+1−a n=3(n∈N∗)，∴数列{a n}是公差为3的等差数列．又a1=−10，∴数列{a n}是公差为3的递增等差数列．由a n=a1+(n−1)d=−10+3(n−1)=3n−13≥0，解得n≥133．∵n∈N∗，∴数列{a n}中从第五项开始为正值．∴当n=4时，S n取最小值．故选：B．由递推式得到给出的数列是公差为3的递增等差数列，利用通项公式求出数列从第五项开始为正值，则S n取最小值时的n的值可求．本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了等差数列的通项公式及数列的和，是中档题．6.【答案】C【解析】解：∵a<b<0，∴a−b<0，a+b<0，1a >1b，∴(a−b)(a+b)=a2−b2>0，即a2>b2，故C正确，A，D不正确当c=0时，ac=bc，故B不一定正确，故选：C．根据不等式的性质判断即可．本题考查了不等式的性质，掌握基本性质是关键，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：因为S n=n2+n+1，则a8+a9+a10+a11=S11−S7=112+11+1−(72+7+1)=76．故选：C．由a8+a9+a10+a11=S11−S7，计算即可求解．本题主要考查数列的求和，考查运算求解能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了双曲线的标准方程，考查了学生对双曲线和椭圆基本知识的掌握，属于基础题．由椭圆x24+y2=1可得焦点为(±√3,0)，设要求的双曲线的标准方程为：x2a2−y2b2=1(a,b>0)，可得a2+b2=3，4a2−1b2=1，联立解出即可得出．【解答】解：由椭圆x24+y2=1可得焦点为(±√3,0)，设要求的双曲线的标准方程为：x2a2−y2b2=1(a,b>0)，则a2+b2=3，4a2−1b2=1，解得a2=2，b2=1，∴所求的双曲线的标准方程为：x22−y2=1．故选C．9.【答案】B【解析】解：∵△B1A1B2为等边三角形，∴√a2+b2=2b，∵焦距为2，∴a2=b2+1，解得：a 2=23，b 2=12．则椭圆的方程为2x 23+2y 2=1．故选：B ．可得√a 2+b 2=2b ，a 2=b 2+1，解得：a 2=23，b 2=12.即可．本题考查了椭圆的性质、方程，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：由题意得a 2=4c 2=4(a 2−b 2)，∴4b 2=3a 2， ∴a 2+1b =4b 3+1b≥2√4b 3⋅1b =4√33，当且仅当4b 3=1b时，等号成立．故a 2+1b的最小值为4√33，故选A ．根据离心率是12，得到4b 2=3a 2，代入所求的式子，再利用基本不等式求出a 2+1b的最小值．本题考查椭圆的简单性质，以及基本不等式的应用，注意检验等号成立条件是否具备．11.【答案】15【解析】解：设公差等于d ，由a 7+a 9=16可得2a 1+14d =16，即a 1+7d =8．再由a 4=1=a 1+3d ，可得a 1=−174，d =74．故a 12=a 1+11d =−174+774=15，故答案为15．由a 7+a 9=16可得2a 1+14d =16，再由a 4=1=a 1+3d ，解方程求得a 1和公差d 的值，从而求得a 12的值．本题主要考查等差数列的等差数列的通项公式的应用，求出首项和公差d 的值，是解题的关键，属于基础题．12.【答案】5【解析】解：∵x >1，∴x −1>0． ∴函数y =x +4x−1=(x −1)+4x−1+1≥2√(x −1)⋅4x−1+1=5，当且仅当x −1=2，即x =3时取等号．故答案为：5．变形利用基本不等式即可得出．本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．13.【答案】2【解析】解：根据题意，双曲线x 2a 2−y 29=1的焦点在x 轴上，其渐近线方程y =±3a x ，若双曲线的渐近线方程为3x ±2y =0，即y =±32x 则有3a =32，则a =2；故答案为：2．根据题意，由双曲线的标准方程可得渐近线方程，结合题意可得3a =32，解可得a 的值．本题考查双曲线的几何性质与标准方程，注意分析双曲线焦点的位置．14.【答案】3 (14,1)【解析】解：由抛物线定义，到P 到焦点F 的距离等于它到准线l 的距离，设点P 到准线x =−1的距离为PQ ，则所求的|PA|+|PF|最小值，即为|PA|+|PQ|的最小值，当P 、A 、Q 三点共线时，|PA|+|PQ|最小，∴|PA|+|PQ|最小值为A 到准线l 的距离此时最小值为3， P 的纵坐标为1，代入抛物线中，解出P 的横坐标为14，得P(14,1)．故答案为：3；(14,1)根据题意，设点P 到准线x =−1的距离为PQ ，由抛物线的定义分析可得当P 、A 、Q 三点共线时，所求的|PA|+|PF|即|PA|+|PQ|最小，分析可得第一空答案，由此可得P 的纵坐标，将其代入抛物线的方程，计算可得P 的横坐标，即可得P 的坐标，可得第二空答案．本题考查抛物线的几何性质，关键是利用抛物线的定义，将P到焦点F的距离与P到准线的距离联系起来．15.【答案】{a|−1<a<3}【解析】解：由x2−2x+3≤a2−2a−1移项得：x2−2x+3−a2+2a+1≤0，因为不等式的解集为⌀，所以△=4−4(3−a2+2a+1)<0，即a2−2a−3<0，分解因式得：(a−3)(a+1)<0，解得：−1<a<3，则实数a的取值范围是：{a|−1<a<3}．故答案为：{a|−1<a<3}把不等式的右边移项到左边合并后，设不等式的坐标为一个开口向上的抛物线，由不等式的解集为空集，得到此二次函数与x轴没有交点即根的判别式小于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围．此题考查学生掌握二次函数与x轴有无交点的判断方法，考查了一元二次不等式的解法，是一道综合题．16.【答案】2x=−1【解析】【分析】=1，可知抛物线的标准方程和准线方程．本题考查抛物线由抛物线的性质可知，知p2的简单性质，属于基础题．【解答】解：∵抛物线y2=2px的焦点坐标为(1,0)，∴p=1，p=2，2抛物线的方程为y2=4x，∴其标准方程为：x=−1，故答案为：2；x=−1．17.【答案】解：(1)设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是各项都为正数，公比为q的等比数列，则a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13，即为1+2d+q4=21，1+4d+q2=13，解得d=q=2，可得a n=a1+(n−1)d=2n−1；b n=b1q n−1=2n−1；(2)a n+b n=(2n−1)+2n−1，前n项和为S n=(1+3+⋯+2n−1)+(1+2+⋯+2n−1)=12n(1+2n−1)+1−2n1−2=n2+2n−1．【解析】(1)设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是各项都为正数，公比为q的等比数列，运用等比数列和等差数列的通项公式，解方程可得d和q，进而得到所求通项公式；(2)a n+b n=(2n−1)+2n−1，运用数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可得到所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)因为椭圆W：x24+y2=1，所以a2=4，b2=1，c2=a2−b2=3，所以a=2，b=1，c=√3．所以椭圆的离心率e=ca =√32，短轴长为2b=2．(Ⅱ)根据题意可得直线l的方程为y−(−2)=2(x−0)，即y=2x−2，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立{y=2x−2x24+y2=1，得17x2−32x+12=0，所以x1+x2=3217，x1x2=1217，第11页，共11页所以|AB|=√1+22√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√5×√(3217)2−4×1217=4√6517．【解析】(Ⅰ)由题意可得a 2，b 2，进而可得c 2=a 2−b 2=3，即可得出答案． (Ⅱ)根据题意可得直线l 的方程为y =2x −2，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线l 与椭圆的方程，结合韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，由弦长公式可得答案．本题考查椭圆的性质，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)∵数列{a n }是递增的等比数列，且a 1+a 4=9，a 2a 3=8． ∴a 1+a 4=9，a 1a 4=a 2a 3=8．解得a 1=1，a 4=8或a 1=8，a 4=1(舍)，解得q =2，即数列{a n }的通项公式a n =2n−1；(2)S n =a 1(1−q n )1−q =2n −1， ∴b n =a n+1S n S n+1=S n+1−S n S n S n+1=1S n −1S n+1，∴数列{b n }的前n 项和T n =1S 1−1S 2+1S 2−1S 3+⋯+1S n −1S n+1=1S 1−1S n+1=1−12n+1−1．【解析】本题考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键，属于中档题．(1)根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可，求数列{a n }的通项公式；(2)求出b n =an+1S n S n+1，利用裂项法即可求数列{b n }的前n 项和T n ．。

2018北京市第六十六中学高二(上)期中数学

2018北京市第六十六中学高二（上）期中数学试卷说明1.本试卷共三道大题，共3页。

2.卷面满分100分，考试时间_100分钟。

3.试题答案一律在答题纸上作答，在试卷上作答无效。

X2一、选择题(每小题4分，共40分)1.在数列符号1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中，x的值为A.11B.12C.13D.14C2双曲线-y2=1的焦点坐标为A.(±,0)B. (0,±)C.( ±,0)D.(0,±)3等差数列的前三项依次为a-1,a+1，2a+3,则a的值为A. 1B.-1C.0D.24.已知数列{}是公比为2的等比数列，且满足一=0,则的值为A.2B.4C.8D.165.已知数列{}的前n项和为,且a2=-10,=+3(n∈N*)，则取最小值时，n的值是A.3B.4C.5D.66如果a<b<0,那么下列各式一定成立的是()A. a-b>0 B ac＜bcC >D ＜7.已知数列的=+n+1,则+++的值为A.73B.60C.76D.1448.椭圆+=1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是A.-=1B.-=1C--=1 D.-=19己知椭圆 +=1(a>b>0)的长轴端点为,知轴端点为,,焦距为2若△为等边三角形，则椭圆的方程为A. + =1B. +2=1C. + 3=1D. + =110椭圆 +=1(a>b>0)的离心率是，的最小值为A. B.C. D. 1二、填空题(每小题4分，共24分)11.若抛物线=2px的焦点坐标为(1，0).则p=____:准线方程为_____12. 在等差数列{}中， + =16,=1,则的值____13.已知函数y=x+(x>1)，则此函数的最小值____14设双曲线 - =1(a>0)的渐近线方程为3x+2y=0,则a的值为____15已知点A(2,1)，抛物线4x的焦点是F若抛物线上存在一点P,使得 |PA| +|PF|最小,则最小值为____；此时P点的坐标为_______.16不等式-2x+3≤-2a-1在R上的解集是φ，则实数a的取值范围是___三、解答题(每小题12分，共36分)17设{}是等差数列，{}是各项都为正数的等比数列，且==1,+=21,+=13,(I)求{}，{}的通项公式：(Ⅱ)求数列{+}的前n项的和18已知椭圆W: +=1直线l过点（0,-2）与椭圆W交于两点A, B，O为坐标原点，（I）求椭圆的离心率和短轴长；(Ⅱ)若直线l的斜率是2,求线段AB的长19已知数列{}是递增的等比数列，且+=9.=8（I）求数列{}的通项公式(Ⅱ)设为数列{}的前n项和，=，求数列{}的前n项和。