第10章重积分自测题(答案)(1)
资料：第十章 重积分答案
第十章 重积分答案第一节 二重积分的概念与性质1．根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值。
)1(; ,222222a y x D d y x a D≤+--⎰⎰为其中σ解：由二重积分的几何意义知，;323222a d y x a Dπσ=--⎰⎰)2(.0 , ,)(222D22>>≤++-⎰⎰a b a y x D d y x b 为其中σ 解：由二重积分的几何意义知，).32()(2D22a b a d y x b -=+-⎰⎰πσ 2．根据二重积分的性质，比较下列积分的大小。
)1(;1)2()2( ,)( )(2232≤-+-++⎰⎰⎰⎰y x D d y x d y x DD为其中与σσ 解：由 1)2()2(22≤-+-y x 知 ,1|2|,1|2|≤-≤-y x 即 ,31,31≤≤≤≤y x 于是 ,12>≥+y x 所以 32)()(y x y x +<+ 于是.)( )(32σσd y x d y x DD⎰⎰⎰⎰+<+ ;10 ,53:,)][ln( )ln()2(2≤≤≤≤++⎰⎰⎰⎰y x D d y x d y x DD是矩形区域其中与σσ解：在D 内 x +y >e , 故 ln(x+y )>1, 于是.)][ln( )ln(2⎰⎰⎰⎰+<+DDd y x d y x σσ .1 ,21,0 ,0 , )ln()3(所围成是由直线其中与=+=+==+⎰⎰⎰⎰y x y x y x D xyd d y x DDσσ解：在D 中，,0,0≥≥y x 且,121≤+≤y x 而不在直线x +y =1上的D 内任何点(x , y ), 都有 ,121<+≤y x 故 ,)ln(xy y x <+ 于是. )ln(⎰⎰⎰⎰<+DDxyd d y x σσ3．利用二重积分的性质估计下列积分的值。
)1(};4|),{( ,)94(2222≤+=++⎰⎰y x y x D d y x D其中σ 解：上，：在区域422≤+y x D ,259449)(49492222=+⋅≤++≤++≤y x y x ,422ππσ=⋅=的面积为而区域D从而 ,425)94(4922πσπ⋅≤++≤⋅⎰⎰D d y x 即 .100)94(3622πσπ≤++≤⎰⎰Dd y x)2(}.20 ,10|),{( ,)(22≤≤≤≤=--+⎰⎰y x y x D d y x xy x D其中σ 解：,),(22y x xy x y x f --+=设 则 f (x ,y )在D 上的最大值,31)31,32(==f M 最小值,4)2,0(-==f m 区域D 的面积,2=σ 从而 .32)(822≤--+≤-⎰⎰Dd y x xy x σ 4．设 f (x ,y ) 为一连续函数，试证：).0,0(),(1lim2222f dxdy y x f y x =⎰⎰≤+→ρρπρ证：由于f (x ,y )连续，由二重积分中值定理知，存在点}|,{),(222ρηξ≤+∈y x y x ，使得),,(),(),(2222ηξπρσηξρf f dxdy y x f y x =⋅=⎰⎰≤+所以 ),(1lim),(1lim222222ηξπρπρπρρρρf dxdy y x f y x ⋅=→≤+→⎰⎰).0,0(),(lim 0f f ==→ηξρ第二节 二重积分的计算1．计算下列二重积分(1) ;10 ,10 : ,122≤≤≤≤+⎰⎰y x D d y x D其中σ 解：⎰⎰+D d yx σ221⎰⎰+=1021021y dy dx x 01arctan 01313y x ⋅=12π=。
重积分习题及解答
重积分练习一. 填空1.⎰⎰12),(xx dy y x f dx 交换积分次序后为_________________.2.用柱面坐标系化三重积分为三次积分________________),,(=⎰⎰⎰Ωdv z y x f其中2,1,1:22===+Ωz z y x 围成. 3. (化为柱面坐标中的三次积分)__________________),,(22222211111111==⎰⎰⎰--+-------dz z y x f dydxI y x y x x x (化为柱面坐标中的三次积分) 二．选择题1. =+⎰⎰-dy y x dxx x243221( ).A. ⎰⎰302πθrdr d . B.⎰⎰232ππθrdr d C.⎰⎰3022πθdr r d . D.⎰⎰2322ππθdr r d2.若区域D 由1)1(22=+-y x 所围,则⎰⎰Ddxdy y x f ),(化成累次积分为 ( )A.⎰⎰πθθθθ0cos 20)sin ,cos (rdr r r f d . B. ⎰⎰-ππθθθθcos 20)sin ,cos (rdr r r f dC.⎰⎰20cos 20)sin ,cos (2πθθθθrdr r r f d D. ⎰⎰-22cos 20)sin ,cos (ππθθθθrdr r r f d三．计算1．. 计算⎰⎰-+=+-⋅+22)(4122222x a a xady y x a y x dx2． 计算⎰⎰-Ddxdy y x ||,其中D 是由2,0,1,0====y y x x 所围成的区域.3. 求由x e z y 222-=+与平面1,0==x x 所围立体体积.4.D 由直线x y y x ===,2,4所围成,求⎰⎰--Dxdxdy x e 22.5.计算⎰⎰-=Dd y x I σ||,其中0,0,1:22≥≥≤+y x y x D .6.计算⎰⎰⎰Ω+dV z x )(,其中22221,:y x z y x z --=+=Ω所围的空间区域.四．应用题。
（完整版）高等数学II练习册-第10章答案
（完整版）⾼等数学II练习册-第10章答案习题10-1 ⼆重积分的概念与性质1.根据⼆重积分的性质，⽐较下列积分的⼤⼩：（1）2()D x y d σ+??与3()Dx y d σ+??，其中积分区域D 是圆周22(2)(1)2x y -+-=所围成；（2）ln()Dx y d σ+??与2[ln()]Dx y d σ+??，其中D 是三⾓形闭区域，三顶点分别为(1,0)，(1,1)，(2,0)；2.利⽤⼆重积分的性质估计下列积分的值：（1）22sin sin DI x yd σ=，其中{(,)|0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤；（2）22(49)DI x y d σ=++??，其中22{(,)|4}D x y x y =+≤.（3）.DI =，其中{(,)|01,02}D x y x y =≤≤≤≤解 (),f x y =Q 2，在D 上(),f x y 的最⼤值()14M x y ===，最⼩值()11,25m x y ====故0.40.5I ≤≤习题10-2 ⼆重积分的计算法1.计算下列⼆重积分：（1）22()Dx y d σ+??，其中{(,)|||1,||1}D x y x y =≤≤；（2）cos()Dx x y d σ+??，其中D 是顶点分别为(0,0)，(,0)π和(,)ππ的三⾓形闭区域。
2.画出积分区域，并计算下列⼆重积分：（1）x y De d σ+??，其中{(,)|||1}D x y x y =+≤（2）22()Dxy x d σ+-??，其中D 是由直线2y =，y x =及2y x =所围成的闭区域。
3.化⼆重积分(,)DI f x y d σ=为⼆次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个⼆次积分），其中积分区域D 是：（1）由直线y x =及抛物线24y x =所围成的闭区域；（2）由直线y x =，2x =及双曲线1(0)y x x=>所围成的闭区域。
最新10第十章重积分答案72997汇总
10第十章重积分答案729973．利用二重积分的性质估计下列积分的值。
«Skip Record If...»«Skip Record If...»解：«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»从而«Skip Record If...»即«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»解：«Skip Record If...»则f(x,y)在D上的最大值«Skip Record If...»最小值«Skip Record If...»区域D的面积«Skip Record If...»从而«Skip Record If...»4．设f(x,y) 为一连续函数，试证：«Skip Record If...»证：由于f(x,y)连续，由二重积分中值定理知，存在点«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»所以«Skip Record If...»«Skip Record If...»第二节二重积分的计算1．计算下列二重积分(1) «Skip Record If...»解：«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»。
重积分知识点总结例题
重积分知识点总结例题1. 重积分的定义在介绍重积分的定义之前，首先需要了解多元函数的概念。
多元函数是指自变量有多个的函数，通常表示为$f(x_1, x_2, ..., x_n)$。
在平面上，一元函数是自变量只有一个的函数，并且可以表示为$y = f(x)$。
而在空间中，两元函数是自变量有两个的函数，并且可以表示为$z = f(x, y)$，三元函数是自变量有三个的函数，并且可以表示为$w = f(x, y, z)$。
在多元函数的情况下，我们需要对其在一个区域上进行积分。
这就引出了重积分的概念。
重积分可以看作是对一个区域上的函数值在该区域上的加权平均。
重积分的定义如下：设$f(x, y)$是定义在闭区域$D$上的有界函数，$D$的面积记为$A(D)$，取$D$上的任意一组分割$P = \{R_i\}$和抽样点$Q = \{(\xi_i, \eta_i)\}$，$M_{ij}$是$f(x, y)$在$R_{ij}$上任意一点的函数值。
作Riemann和$$S(P, Q, f) = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} M_{ij} \Delta \sigma_{ij}$$如果极限$L$存在，不依赖于分割$P$和点$Q$的取法，即$L = \lim_{\lambda(P) \to0,\delta(Q) \to 0} S(P, Q, f)$存在，则称$f(x, y)$在闭区域$D$上可积，这个极限$L$称为$f(x, y)$在$D$上的重积分，记作$$\iint_D f(x, y) d\sigma = L$$其中，$d\sigma$表示对$D$内的面积元素进行积分。
如果$f(x, y)$在$D$上可积，则称$f(x, y)$在$D$上可积，否则称为不可积。
2. 重积分的性质重积分具有一些重要的性质，这些性质有助于我们进行重积分的计算和应用。
下面我们将介绍一些重要的性质。
（1）可加性设$f(x, y)$在闭区域$D$上可积，$D_1$和$D_2$是$D$的两个互不相交的子区域，其并集为$D = D_1 \cup D_2$，则有$$\iint_D f(x, y) d\sigma = \iint_{D_1} f(x, y) d\sigma + \iint_{D_2} f(x, y) d\sigma$$这就是重积分的可加性。
重积分部分练习题
题目部分， (卷面共有 100 题 ,分 ,各大题标有题量和总分 ) 一、选择 (16 小题 ,共分 )(2 分 )[1]2(3 分 )[2] 二重积分xydxdy (此中 D ： 0≤ y ≤ x ,0≤ x ≤ 1)的值为D1111 （ A ）（ B ）（ C ）（ D ） 61224答 ()(3 分 )[3] 若地区D 为 0≤ y ≤ x 2,| x| ≤ 2,则xy 2 dxdy=D（A ）0；（ B ）32（ C ）64（ D ） 25633(3 分 )[4] 设D 1 是由ox 轴， oy轴及直线答 (x+y=1 所圈成的有界闭域， )f 是地区D ：| x|+| y| ≤ 1 上的连续函数，则二重积分f ( x 2, y 2 ) dxdy __________f ( x 2 , y 2 )dxdyDD 1（A ）2（ B ）4（ C ）8（D ）12答 ()(3 分 )[5] 设 f(x,y)是连续函数，则二次积分0 1 x 21dxf ( x, y) dyx 11 y 12 y 21(A)dy1 f ( x, y)dxdyf (x, y)dx0 11(B)1 y 1dy1 f ( x, y)dx1 y 12y 2 1(C)dy 1 f ( x, y)dxdy f (x, y)dx1 1(D)2y 21dy1 f (x, y)dx答 ()x y dxdy(3 分 )[6] 设函数 f(x,y)在地区 D ：y2≤－ x,y ≥ x 2 上连续，则二重积分f可( , )D化累次积分为x 2f (x, y)dy0 x 2(A)dxx (B)dx f ( x, y)dy11 x1 y 21 y2 (C)dyf ( x, y)dx(D)dyf ( x, y)dxyy答( )13 y 2f ( x, y)dx 可互换积分序次为(3 分 )[7] 设 f(x,y)为连续函数，则二次积分dy1 2y21dx2 x3 3 x 2(A)f ( x, y)dydxf (x, y)dy0 0112x 21 3 dx3 x 2(B) 2dxf (x, y)dy 1 dxf (x, y)dy 2 f ( x, y)dy21 3 x 2(C)dx2 x (D) 2d3 2cos 0sin 2()f ( x, y)dyf (r cos , r sin )rdr答(3 分 )[8] 设 f(x,y)为连续函数，则积分1 x 22 2 xdxf (x,y)dydxf ( x, y)dy1可互换积分序次为1 y2 2 y(A)dyf (x,y)dx dy0 f ( x, y)dx0 0 1(B)1 x 22 2 xdy f ( x,y)dxdy0 f (x, y)dx0 0 11 2 y(C)dyf ( x,y)dxy12 x(D)dyx 2 f ( x,y)dx答 ()(4 分 )[9] 若地区 D(x 1) 2 +y 2≤ 1,则二重积分fx y dxdy 化成累次积分为为 －( , )D2cos2cos(A)dF (r , )dr(C) 2d2cos F (r , )dr2此中 F(r,θ )=f(r cos θ,rsin θ)r.(B)dF (r , )dr0 (D) 2 2d2cos F (r , )dr答 ( )(3 分 )[10] 若地区 D 为 x 2+y 2≤ 2x ，则二重积分(x y) x 2y 2 dxdy 化成累次积分为D2d2cossin ) 2r cos rdr(A)(cos2(cossin )d2cos 3dr(B)r(C)22(cossin )d 2cosr 3dr(D) 22(cossin )d2cos r 3dr2答()(4 分)[11]设 I 1[ln( x y)]7 dxdyI, 2(xy) 7 dxdy,I 3sin 7(x y)dxdy此中D是DDD由 x=0,y=0, xy1I 1 ， I 2， I 3 的大小次序是,x+y=1 所围成的地区，则2(A)I 1＜ I 2＜ I 3;(B)I 3＜ I 2＜ I 1;(C)I ＜I ＜I ;(D)I ＜I ＜I .132312答( )(5 分 )[12] 设 Idxdy，则 I 知足11cos 2x sin 2 yx y2I 2(B)2I3(A)3 1(C) D(D)1 I 0I2答 ( )(4 分 )[13] 设 xy1及 x+y=1 所围成的地区，则 I 1， I 2，此中 D 是由直线 x=0,y=0,2I 3 的大小次序为(A)I ＜I ＜I ;(B)I ＜I ＜I;32 112 3(C)I ＜I ＜I ;(D)I ＜I ＜I .1 32312答 ( )(3 分 )[14] 设有界闭域 D与 D 对于 oy 轴对称，且 D ∩D =,f(x,y)是定义在 D ∪D 上的连续函121212数，则二重积分f (x 2, y)dxdyD(A) 2f ( x 2 , y)dxdy(B) 4f ( x 2 , y)dxdyD 1D 2(C)4f (x 2 , y)dxdy(D) 1f ( x 2 , y)dxdyD 12D 2答 ()(3 分 )[15] 若地区 D 为| x| ≤1,| y| ≤ 1,则xe cos(xy) sin( xy)dxdyD (A) e;－ 1(B) e ; (C) 0;(D)π.答 ( )(4 分 )[16] D： x2+y2≤ a2(a＞ 0),当 a=___________，a2x2y2 dxdy .D33(A)1(B)23331(C)4(D)2答 ()二、填空(6小 ,共分 )(4 分)[1] 函数 f(x,y)在有界地区 D 上有界，把 D 随意分红 n 个小地区σi(i=1,2,⋯,n),在每一个小地区σ i随意取一点(ξi,ηi),假如极限nlim f ( i , i ) i(此中入是σ i(i=1,2,⋯,n)的最大直径)存在，称此极限0 i1______________的二重分。
重积分练习题含答案
重积分练习题含答案第十章重积分练习结论1：如果积分区域D 关于y 对称，}0,),(),{(1≥∈=x D y x y x D 则=--=-=DD y x f y x f d y x f y x f y x f d y x f 1),(),(),(2),(),(0),(时当时当σσ结论2：如果积分区域D 关于x 轴对称，}0,),(),{(1≥∈=y D y x y x D 则=--=-=DD y x f y x f d y x f y x f y x f d y x f 1),(),(),(2),(),(0),(时当时当σσ结论3：如果积分区域D 关于坐标原点O 对称，则=---=--=DD y x f y x f d y x f y x f y x f d y x f 1),(),(),(2),(),(0),(时当时当σσ其中}0,),(),{(1≥∈=x D y x y x D结论4：如果积分区域D 关于直线=y x 对称，则=DDd x y f d y x f σσ),(),(练习11.求σ-=??d x y I D2，其中2y 0,1x 1:D ≤≤≤≤-2.证明??-=xab abady y b y f dy y f dx ))(()(（f 连续）3. 设)(x f 在区间],[b a 上连续，且0)(>x f ，试证明? ->b aba ab dx x f dx x f 2)()(1)(4.计算[]??++Ddxdy y x yf x )(122，其中D 由3x y =，1=y ，1-=x 围成。
5.计算vdv y x I )(22，v 是由yOz 平面上曲线z y 2=绕z 轴旋转所得平面2=z ，8=z 所围区域。
6. 设函数)(x f 连续，[]d v y x f zt F v++=)()(222，其中{}H z t yx z y x V ≤≤≤+=0,),,222（，试求dtdF 和2)(limtt F t →7. 求曲面221y x z ++=在点)3,1,1(0-M 的切平面与曲面22y x z +=所围立体的体积V8.设半径为R 的球面∑的球心在定球面)0(222>=++a a z y x 上，问当R 取何值时，∑在定球面内部的那部分1∑的面积最大？练习21．计算??Dxyd σ，其中区域D 是由抛物线12-=x y 及直线x y -=1所围成的区域-8272．计算??+Dyx d eσ，其中D 是由1≤+y x 所确定的区域 ??? ?-e e 13．计算??+Ddxdy y x )sin(，其中D 为正方形区域：ππ≤≤≤≤y x 0,0 )2(π4．更换积分次序① ??211),(x xdy y x f dx ② ??-π0sin sin2),(xx dy y x f dx5．计算由平面0,0,6===++y x z y x 及42=+y x 所围成的立体的体积 ??3646. 球体2222+x y z R +≤与Rz z y x 2222≤++的公共部分为一立体，求其体积3125R π7. 计算三重积分Ωzdxdydz ，其中Ω为由圆锥面的22yx z +=及平面1=z 所围成区域 ??4π8. 分别用柱面坐标、球面坐标和直角坐标计算三重积分Ω=zdv x I 2，其中Ω是由球面2222=++z y x 及圆锥面22y x z +=所围成（含z 轴部分） ??12π9. 求球面2222a z y x =++含在圆柱面ax y x =+2 2内部的那部分面积（0>a ）))2(2(2-πa重积分练习一参考答案1.求σ-=d x y I D2，其中2y 0,1x 1:D ≤≤≤≤-解：如图，曲线2x y =把区域D 分为1D 和2D ，其中1x 1D 1≤≤-：，2x y 0≤≤；2y x,1x 1:D 22≤≤≤≤-σ-+σ-=σ-=d x y d y xd x y I 21D 2D 2D2()()??--=-?+-?=1122112221513xx dyx y dx dy y xdx2.证明??-=x ab abady y b y f dy y f dx ))(()(（f 连续）证：左端=??xabady y f dx )(，??≤≤≤≤bx a x y a D ，作出积分域交换积分顺序，?? ≤≤≤≤by a b x y D左端==xab ady y f dx )(??by b adx y f dy )(?=-=b ady y b y f ))((右端，证毕！注：本题还可这样证明：令?--=t axat adx x t x f dy y f dx t F ))(()()(，证明0)(0)(=?='t F t F3.设)(x f 在区间],[b a 上连续，且0)(>x f ，试证明?->b abaa b dx x f dx x f 2)()(1)(证：设平面区域},),({b y a b x a y x D ≤≤≤≤=，D 关于直线x y =对称=∴b ab ab ady y f dx x f dx x f dx x f )(1)()(1)(222)()()()()(221)()()()(21)()()()(21)()()()(a b d x d y d x d yy f x f y f x f d x d y y f x f y f x f d x d y x f y f y f x f d x d y x f y f d x d y y f x f DDD DDD-==≥+=+==4.计算[]??++Ddxdy y x yf x )(122，其中D 由3x y =，1=y ，1-=x 围成。
(完整版)同济大学高数第10章重积分
第10章重积分J--------------------------------------多元函数积分学是定积分概念的推广，包括二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分•它们所解决的问题的类型不同，但解决问题的思想和方法是一致的，都是以“分割、近似、求和、取极限”为其基本思想，它们的计算最终都归结为定积分•本章主要介绍二重积分与三重积分的概念、性质、计算方法及其应用276奥斯特罗格拉茨基 (Octporpajickh h )对重积分的研究也作了许多工作，他在研究热传导理论的过程中，证明了关于三重积分和曲面积分之间关系的公式.1828年，格林(Green )在其私人印刷出版的小册子《关于数学分析应用于电磁学理论的一篇论文》中，为了推动位势论的进一步发展，建立了著名的格林公式. 10.1二重积分的概念及性质10.1.1 二重积分的概念实例1设函数z f(x, y)在有界闭区域 D 上连续，且f(x, y) 0 .以函数z f(x, y) 所表示的曲面为顶， 以区域D 为底，且以区域D 的边界曲线为准线而母线平行于 z 轴的柱 面为侧面的立体叫做曲顶柱体，如图 10.1.1所示.求该曲顶柱体的体积 V .对于平顶柱体，它的体积就等于底面积乘高 .现在曲顶柱体的顶是曲面 ，当点(x,y)在 D 上变动时，其高度z f(x, y)是一个变量，因此不能直接用上述方法求其体积，但是可以 沿用求曲边梯形面积的方法和思路求其体积.具体步骤如下 第一步(分割).用一组曲线网将区域 D 任意分成n 个小区域 1, 2,… i ,…n ，其中记号 i (i = 1 , 2,…，n )也用来表示第i 个小区域的面积•分别以每个小 区域的边界曲线为准线作母线平行于z 轴的柱面，这些柱面把原来的曲顶柱体分割成 图10.1.1 图 10.1.2小曲顶柱体V , V…，V…，V，其中记号V i （i = 1, 2,…，n）也用来表示第i 个小曲顶柱体的体积.第二步（近似）•因为f（x,y）在区域D上连续，在每个小区域上其函数值变化很小，这个小曲顶柱体可以近似地看作平顶柱体（如图10.1.2）•分别在每个小区域i上任取一点（i, i），以f（i, i）为高，i为底的小平顶柱体的体积f（i, i）i作为第i个小曲顶柱体体积V i的近似值，即V f ( i, i) i(i 1,2, ,n).第三步（求和）.这n个小平顶柱体体积之和可作为原曲顶柱体体积V的近似值，即n nV V i f（i, i）i.i 1 i 1第四步（取极限）•对区域D分割越细，近似程度越高，当各小区域直径的最大值0（有界闭区域的直径是指区域上任意两点间距离的最大值）时，若上述和式的极限存在，贝U 该极限值就是曲顶柱体的体积V，即有nV li叫f（i, i）i .i 1实例2设有一个质量非均匀分布的平面薄片，它在xOy平面上占有有界闭区域D , 此薄片在点（x,y） D处的面密度为（x, y），且（x, y）在D上连续•求该薄片的质量M .如果平面薄片是均匀的，即面密度是常数，则薄片的质量就等于面密度与面积的乘积.现在薄片的面密度随着点（x, y）的位置而变化，我们仍然可以采用上述方法求薄片的质量•用一组曲线网将区域D任意分成n个小块1, 2…，n;由于（x,y）在D上连续，只要每个小块i （i = 1, 2,…，n）上任取一点（i,」，用点276的直径很小，这个小块就可以近似地看作均匀小薄片•在n（i , i ）i 1极限值就是所求平面薄片的质量,nlim 0i1（i ，i ）尽管上面两个问题的实际意义不同，但解决问题的方法是一样的，而且最终都归结为求二元函数的某种特定和式的极限•在数学上加以抽象，便得到二重积分的概念.（i ，i ）图 10.1.3 处的面密度 (i , i )近似代替区域 i 上各点处的面密度(如图10.1.3)，从而求得小薄片i 的质量的近似值（i ，i ） （i 1,2, ,n ）；整个薄片质量的近似值为 将薄片无限细分，当所有小区域i 的最大直径 0时，若上述和式的极限存在，这个根据二重积分的定义可知，例10.1.1中曲顶柱体的体积V是其曲顶函数f(x,y)在底面区域D上的二重积分，即V f(x, y)d ；D例10.1.2中平面薄片的质量M是其面密度函数(x, y)在其所占闭区域D上的二重积分，即M (x,y)d •D关于二重积分的几点说明.(1) 如果函数f (x,y)在区域D上的二重积分存在，则称函数 f (x, y)在D上可积.如果函数f (x, y)在有界闭区域D上连续，则f (x, y)在D上可积.(2) 当f(x, y)在有界闭区域D上可积时，积分值与区域D的分法及点(i, i)的取法无关.(3) 二重积分只与被积函数 f (x, y)和积分区域D有关.二重积分f(x,y)d 的几何意义.D(1) 若在闭区域D上f (x, y) 0 ,二重积分表示曲顶柱体的体积；(2) 若在闭区域D上f (x, y) 0 ,二重积分表示曲顶柱体体积的负值；(3) 若在闭区域D上f (x, y)有正有负，二重积分表示各个部分区域上曲顶柱体体积的代数和.10.1.2 二重积分的性质二重积分有与定积分完全类似的性质，这里我们只列举这些性质，而将证明略去.性质1被积函数中的常数因子可以提到积分符号的外面，即kf(x, y)d k f (x, y)d ，其中k为常数.D D性质2有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和，即[f(x, y) g(x, y)]d f (x,y)d g(x, y)d .D D D282例10.1.1比较 (x y)d 与 (x y)3d 的大小，其中D 是由直线x D D0,y 0 及x y 1所围成的闭区域.解由于对任意的(x, y) D，有x y 1，故有(x y) x y，因此(x y)d (x y)3dD D例10.1.2估计(x y 1)d的值，其中D为矩形区域，0 x 1 , 0 y 2 .D解被积函数在区域D上的最大值与最小值分别为4和1, D的面积为2，于是2(x yD1)d8 .习题10.11.使用二重积分的几何意义说明I1 (x2D12\3」y ) d与I2 (x2y2)3d的之间关系，其中D2D1 是矩形域-1 <x <1, -1 <y <1, D2 是矩形域0 <x <1, 0 <y <1.2•比较下列积分的大小.(1) 1 (x y)2d与2 (x y)3d ，其中D由x轴、y轴及直线x y 1所围D D成；2(2) 1 In(x y)d 与 2 In x y d ，其中 D (x,y) 3 x 5,0 y 1 .D D3 .估计下列积分值的大小.(1) t xy(x y)d ，其中D: 0 W x <2, 0 w y <2;D2 2 2 2(2) (x 4y 9)d ，其中D: x y 4 .D4.一薄片(不考虑其厚度)位于xOy平面上，占有区域D，薄片上分布有面密度为u = u(x,284高等数学285 y)的电荷，且u(x, y)在D上连续，使用二重积分表示薄片的全部电荷Q.10.2二重积分的计算第10章重积分28010.2.1直角坐标系下二重积分的计算我们知道，如果函数 f(x,y)在有界闭区域D 上连续，则 在区域D 上的二重积分存在，且它的值与区域 D 的分法和各小区域 i (i 1,2,, n)上点(i ,」的选取无关，故可采用一种便于计算的划分方式，即在直角坐标系下用两族平行于坐 标轴的直线将区域 D 分割成若干个小区域•则除去靠区域D边界的不规则的小区域外，其余的小区域全部是小矩形区域.设小矩形区域的边长分别为x 和y (如图10.2.1)，则小矩形区域的面积为x y .因此，在直角坐标系下，可以把面积元素记为d dxdy .则在直角坐标系下,重积分可表示成下面我们将利用平行截面法来求曲顶柱体的体积， 以获得利用直角坐标系计算二重积分的方法.设曲顶柱体的顶是曲面z f (x, y) ( f (x, y) 0 )，底是xOy 平面上的闭区域 D (如图10.2.2)，即区域D 可用不等式组表示为D (x,y) a x b,%(x) y y 2(x),其中函数z f (x,y)在区域D 上连续，函数 ydx)与y 2(x)在区间［a , b ］上连续，该区域的 特点是：穿过区域 D 内部且垂直于x 轴的直线与D 的边界的交点不多于两点.图 10.2.1OX JE十“◎高等数学 287图 10.2.2用过区间［a , b ］上任意一点x 且垂直于x 轴的平面去截曲顶柱体，所得到的截面是 个以［y i （x ）, y 2（x ）］为底，以z f （x,y ）为曲边的曲边梯形（如图10.2.3），其面积为y 2（x ）A （x ）M x ）f（x ，y ）dy -再利用平行截面面积为已知的立体的体积公式， 便得到曲顶柱体的体积为bb y 2（x ）V aA（X ）dX a ［ y i（x ）f （X ，y ）dy ］dX •根据二重积分的几何意义可知，这个体积也就是所求二重积 分的值，从而有b y 2（x ）by 2（x ）f （x,y ）d a ［y （x ）f（x,y ）dy ］dx 或 f （x,y ）d a dx y （x ） f （x, y ）dy .D1D1上式右端称为先对 y 后对x 的二次积分•由此看到，二重积分的计算可化成计算两次 单积分来进行，这种方法称为累次积分法•对y 积分时，把x 看作常数，把f （x,y ）只看作y 的函数，并对y 从y 1 （x ）到y 2 （x ）进行定积分；然后把算得的结果（关于x 的函数）再对x 在区间［a , b ］上进行定积分.在上述过程中，我们假定f （x, y ） 0,但实际上公式并不受此条件的限制.类似地，如果积分区域 D 如图10.2.4所示，则区域D 可表示为D （x,y ） %（y ） x X 2（y ）,c y d ,其中函数x,y ）与X 2（y ）在区间［c , d ］上连续，该区域的特点是：穿过区域 D 内部且垂直于yS图 10.2.3轴的直线与D的边界的交点不多于两点.1这时则有以下公式:dx2(y)d X 2(y) f (x, y)dxdy [ f (x, y)dx]dy 或 f(x, y)dxdy dy f (x, y)dx .C X i (y)CX i (y)DD上式右端称为先对 x 后对y 的二次积分•如果积分区域 D 不属于上述两种类型，如图10.2.5所示•即平行于x 轴或y 轴的直线与D 的边界的交点多于两点， 这时可以用平行于 x 轴或平行于y 轴的直线把D 分成若干个小区域，使每个小区域都属于上述类型之一，则可 利用性质3,将D 上的积分化成每个小区域上积分的和.如果先对x 积分，则有/Ji21i 1 II >1 1 1 iii图 10.2.6解作区域D 的图形（如图10.2.6），这是矩形区域•化成累次积分时，积分上下限均为常数•如果先对 y 积分，则把x 看作常数，得Ixy 2dxdyDdx:xy 2dy1y 3 27 1x[ ]1dx xdx 0 L 3 3 0图 10.2.4例10.2.1计算IDD:高等数学 290x 1将区域D 分成D 1和D 2两部分（如图10.2.7 b ）.则D 1和D ?可分别表示为D 1 (x, y) v x y <x ,0 x 1 ,D 2(x, y) x 2yV x, 1 x 4 ,由此得2I xy dxdyD212 22 x 1 1 2 2 71 dy 0x y dx1 y [-^bdy 刁 1 y dy 石例10.2.2计算2xy 2dxdy ，其中D 由抛物线Dx 及直线y x 2所围成.解画D 的图形（如图10.2.7 a ）.解方程组(1, -1), (4, 2).2从而若选择先对x 积分，这时 D 可表示为(x, y) y2,2xy 2dxdyD2 1dy22xy 2dx 2 2 y 2 .y [x 咋 dy 21(y 4 4y 3 4y 2 y 6)dy若先对y 积分后对x 积分,4 3 3y—]21 15§ . 735由于下方边界曲线在区间 ［0，1］与［1 ,4］上的表达式不一致,这时就必须用直线 科4J)图 10.2.7 ay = ^vx图 10.2.7 b，得交点坐标为显然，计算起来要比先对 x 后对y 积分麻烦，所以恰当地选择积分次序是化二重积分 为二次积分的关键•选择积分次序与积分区域的形状及被积函数的特点有关.解 根据对称性，所求体积 V 是图10.2.8 a 所画出的第一卦限中体积的 8倍•第一卦限的立体为一曲顶柱体，它以圆柱面z R 2 x 2为顶，底为xOy 面上的四分之一圆(如图10.2.8 b),用不等式组表示为D (x, y) 0 y J R 2 x 2,0 x R ,所求体积为. ________ R/ R 2 V 8 V R 2 x 2dxdy 8 0 dx 0 J R 2 x 2dyD虽然也能得到相同的结果，但计算要复杂的多.2 2 22xy dxdy 2xy dxdy 2xy dxdyDD iD 21厂 2 420dx _2xy dy 1 dx x 22xy dy •例10.2.3 求由两个圆柱面x 2 y 2 R 2和x 2 z 2 R 2相交所形成的立体的体积.x 2[y]°R2"dx以上我们采用的是先对 y 后对x 的积分次序，如果先对 x 后对y 积分，则有8 : R 2 x 2dxdyDR R 2 x 2 2 280dy 0 、Rxdx .I I I图 10.2.8 a10.2.2极坐标系下二重积分的计算前面讨论了在直角坐标系下计算二重积分的方法.但有些二重积分，其被积函数和积 分区域（如圆形、扇形、环形域等 ）用极坐标系表示时比较简单，这时可考虑利用极坐标计算二重积分.下面介绍在极坐标系下二重积分的计算方法.因为二重积分与积分区域D 的分法无关，所以可用极坐标系下以极点为中心的一族同心圆r 常数以及从极点发出的一族射线 常数来分割区域 D .不失一般性，我们考虑极径由r 变到r dr 和极角由变到 d 所得到的区域（如图10.2.10）.该小区域可近似地看作边长分别为dr 和rd 的小矩形，于是极坐标下的面积元素 d rdrd .再用坐标变换x r cos , y rsin 代替被积函数f （x, y ）中的x 和y ，于是得到二重积分在极坐标系 下的表达式f(x,y)df (r cos , r sin )rdrdDD例10.2.4计算二重积分i °dy丁 sin xdx •解 积分区域D 如图10.2.9所示，直接计算显然不行，因为 sin xdx 不能表示为初等 x函数.但被积函数与 y 无关，因此我们考虑交换积分次序后再计1 °dy1dx X 2s ^dy 0 x2x y1sinx x ,0=[y]x 2dX1 0(si nxxsin x)dxsin xdxxsin xdx(1 cos1) (cos1 si n1) 1 si n1 .高等数学 293实际计算时，与直角坐标情况类似，还是化二重积分为累次积分来进行计算，这里仅 介绍先r 后 的积分次序，积分的上下限则要根据极点与区域 D 的位置而定•下面分三种情况说明在极坐标系下，如何化二重积分为累次积分.（1）极点O 在积分区域D 之外（如图10.2.11）. 此时区域D 界于射线和之间（？这两条射线与 D 的边界的交点把区域边界曲线分为内边界曲线r 几（）和外边界曲线r “（）两个部分，则D （x,y ） 口（）r 匕（），,⑵极点0在积分区域 D 之内（如图10.2.12）.此时极角 从0变到2 ，如果D 的边界曲线方程是r r （），则D (x,y)0 r r( ),022r()f (r cos ,r sin )rdrd d f (r cos ,rsin )rdr .D⑶极点O 在积分区域 D 的边界上（如图10.2.13）此时极角 从 变到，设区域D 的边界曲线方程是r r （），则f(rcos ,rsin )rdrdD「2（）「1（）"「边，rS ^)rdr .图10.2.11第10章重积分294D (x,y) 0 r r(),f (r cos , rsin )rdrd 288 d r( f (r cos ,rsin )rdr .即为在定积分应用中用极坐标计算曲边扇形面积的公式.一般情况下，当二重积分的被积函数中自变量以x 2 y 2， xy ， y x ， x y 等形式出现且积分区域由圆弧与射线组成（如以原点为中心的圆域、扇形域、圆环域，以及过原点而 中心在坐标轴上的圆域等），利用极坐标计算往往更加简便. 用极坐标计算二重积分时， 需画出积分区域 D 的图形，并根据极点与区域D 的位置关系，选用上述公式.例10.2.5 将二重积分f （x,y ）d 化为极坐标系下的累次积分，其中D 表示为D2 2特别地，当 f(rcos , rsin )1 时， dD（为区域D 的面积），即图 10.2.12 图 10.2.13当 r 1( ) 0, r 2( ) r(),时,D （x,y） x y 2Rx, y 0 ,解画出D的图形（如图10.2.14），在极坐标系下，D可表示为D (x, y) 0 r 2Rcos ,0于是可得D于是可得体体积.解 如图10.2.16 a 所示，由于这个立体关于 xOy 面与xOz 面对称，所以只要计算它在2 2例10.2.6 计算 e x y dxdy ，其中D 是圆盘D解 画出D 的图形（如图10.2.15），在极坐标系下,D 可表示为(r, )0r a,02 2x 2 y 2e dxdy eDDr 2rdrda 2errdr2[2 2r]a d -(1 e a ).4例10.2.7求由球面z 2 4a 2与圆柱面2ax 所围且含于柱面内的立2R cosf(x,y)df (r cos ,r sin )rdr .图 10.2.14298第一卦限的部分.这是以球面 z4a 2 x 2 y 2为顶，以曲线y , 2ax x 2与x 轴所围成的半圆D 为底(如图10.2.16 b)的曲顶柱体，其体积为V 4. 4a 2 x 2 y 2D习题10.21.画出积分区域并计算下列二重积分. (1 x y)dxdy , D: x 0, y 0,xD(x 2 y 2)d ,其中D 是矩形闭区域：|x|D(1, 0), (1 , 1)为顶点的三角形区域;3•交换下列二次积分的积分次序.xcos(x Dy)d ,其中D 是顶点分别为(0,0),( ,0)和(,)的三角形闭区域.;ye xy dxdy ,2•将二重积分f (x, y)dxdy 化为二次积分，其中积分区域D 是:⑵由直线y x,x 2及双曲线1 (xx0)所围成的区域. 在极坐标下，D (r, )0 r 2acos,0，于是得到2a cosr 2dr 32)22a cos32a 3 32(1sin 3)d16 a 94) •(1) 1,|y| 1;;(1)以(0, 0),1 1 x(1)dx f (x,y)dy ；xa \ a x⑵ dx 0af (x,y)dy ;1 e⑶0d y e y f(x,y )dx ；1 x2(4) 0dx 0 f (x,y)dy 1 dx2 x0 f(x, y)dy.4•画出下列积分区域，并把二重积分f(x, y)dxdy化成极坐标系下的二次积分.D(1) D : a2 x2 y2 b2(0 a b);(2) D : x2 y2 2x.5.将积分dx f (x20 0 'y2)dy化成极坐标形式.6•利用极坐标计算下列积分.(1) (6 3x 2y)dxdy , D:Dx2R2⑵ sin . x2~y2dxdy , D :Dx2y2⑶D ,1 x^y2，D: x7•选择适当的坐标系计算下列积分.(1)y2dxdy , D 由x T, x , y D40, y cosx所围成;ln(1 x2y2)dxdy ；D: x D2 2y R , x 0, y 0 ;—_ dxdy , D: x2 y2 D x y8•求圆锥面z 1 -.x2y2与平面z = x, x = 0所围成的立体体积.9.求由平面x 0 , y 1及z 1 x y所围成的立体的体积.10.3二重积分30010.3.1 三重积分的概念将二重积分的概念推广，就得到三重积分的概念定义10.3.1设函数f(x, y,z)是空间有界闭域 上的有界函数•将 任意分割成n 个小闭区域其中M 表示第i 个小闭区域,也表示它的体积.在每个 V j 上任取—点f (x, y,z)在闭区域上的三重积分.记作 f(x, y,z)dv ，即nf(x, y,z)dv lim f( i , i , i ) V ii 1其中dv 叫做体积微元在直角坐标系中，如果用平行于坐标面的平面来划分 ，那么除了包含的边界点的一些不规则小闭区域外， 得到的小闭区域 v i 为长方体.设长方体小闭区域v i的边长为为、y k 、乙，则'V X j y k z l .因此在直角坐标系中，有时也把体积微元 dv 记作dxdydz ,而把三重积分记作f (x,y,z)dxdydz其中dxdydz 叫做直角坐标系中的体积微元 .当函数f(x, y,z)在闭区域上连续时，(10.3.1)式右端的和的极限必定存在，也就是函数f(x,y,z)在闭区域上的三重积分必定存在.以后我们总假定函数f(x ,y,z )在闭区域上是连续的.关于二重积分的一些术语，例如，被积函数、积分区域等，也可相应地用 到三重积分上•三重积分的性质也与二重积分的性质类似，这里不再重复了如果f (x, y, z)表示某物体在点(x, y, z)处的密度，是该物体所占有的空间闭区域，作乘积f( j , j)v(i1,2丄n ),并作和i) V imax{V i 直径},右极限lim f( i , i 0 i 1、、,总存在，则称此极限为函数 (10.3.1)nf(x,y,z)在上连续，贝U f( ., ., .) v是该物体的质量m的近似值，这个和当i 1时的极限就是该物体的质量m，所以m f (x, y, z)dv当f (x, y, z) 1时，dv积分值就等于积分区域的体积•10.3.2在直角坐标系下三重积分的计算1先一后二法设函数f (x,y, z)在空间有界闭区域上连续.设区域在xoy面上的投影区域为如果平行于z轴且穿过区域的直线与的边界曲面的交点不超过两个，此区域表示为(X, y,z)Z1(x,y) z Z2(x, y),(x, y) D .即过区域在xoy面上的投影区域D内任一点(x,y)，做平行于z轴的直线，穿进点总在曲面 1 :z z i(x, y)上，穿出的点总在曲面2 : z z2(x, y)上，z,x, y) Z2(x, y)(如图10.3.1).此时三重积分可化为z2(x,y)f(x,y, z)dv d f (x,y,z)dzz1(x,y)D即先对z积分再计算在D上的二重积分(先一后二法).302D {（x,y ）y i （x ） y y 2（x ）,a x b}把这个二重积分化为二次积分，于是得到三重积分的计算公式by 2（ x ）Z 2（x,y ）f （x,y,z ）dv a dx 『畑 dy ★』）f （x,y ,z ）dz ・即把三重积分化为先对 z ,再对y ,最后对x 的三次积分如果平行于x 轴或y 轴且穿过闭区域内部的直线与的边界曲面S 相交不多于两点,也可把闭区域 投影到yoz 面上或xoz 面上，这样便可以把三重积分化为按其他顺序 的三次积分.因此，在直角坐标系下的三重积分可能有6种不同顺序的三次积分如果平行于坐标轴且穿过闭区域内部的直线与边界曲面 S 的交点多于两个，也可像处理二重积分那样，把 分成若干部分，使 上的三重积分化为各部分闭区域上的三重积 分的和.xdxdydz ,其中积分区域为平面x 2y z 1及三个坐标面所围成的闭区域假如闭区域（ 10.3.2）例10.3.1计算三重积分I解积分区域是如图10.3.2所示的四面体,将投影在xoy面，投影区域D为1 xD {(x,y) 0 y 〒，0 x 1}在D内任取一点(x, y),过此点作平行于z轴的直线,该直线通过平面z 0穿入后通过平面z 1 x 2y穿出外,所以，积分区域表示为{(x, y, z) 0 1 x 2y，0 y —,0 x2 1}.是，由公式(10.3.2)得柱面z 10.3.2计算三重积分22 x所围成的闭区域.xdxd ydz dxdyDxdv，积分区域如图10.3.3所示,x 2yxdz1 x12dx dy0 0x 2yxdz积分区域表示为{( x, y,z) x2 2y2 z1 g2xdx (1 x0 0 '2y)dy1 1(x 2x2x3)dx —4 048其中积分区域为椭圆抛物面z在xoy坐标面上的投影区域为{(x, y) x22 x2, (x, y)2 2x 2y及抛物y21}.D}3042 x2xdv d 22xdzx 22y2D1 dx i i dxi2先二后一法1 x2 2 x 2 1 x 2 dy x 2 2y 2 xdz E 2 21 x 22x(1 x y )dy图 10.3.32x2^2x 2y+ y有时,我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分设空间区域 如图10.3.4所示，则G Z C 2, Z （C|,C 2）,过z点作z轴的垂面，与区域 的截面为D z ,则 c 2f (x,y,z)dv dz f (x,y,z)d q Dz即先计算在 D z 上的二重积分，再对z 积分（先二后一法）.例10.3.3计算三重积分2 z dv ,其中 是椭球体 图 10.3.4 2 x {(x,y,z)—a 2 y_b 2 1}.解将投影到 z 轴上，则 z c ,对任意z （ c,c ）,过点（0,0,z ）的平面截椭 2 x 球体得到椭圆域为 D z : 2 a2 y b 2 c,c ）（如图10.3.5）,即空间闭区域 可表 示为 (x,y,z)2y_b22z2, c z c c于是(x,y)10.3.3柱坐标系和球坐标系下三重积分的计算 1利用柱坐标系计算三重积分空间直角坐标系中，将 xoy 面用极坐标系表示所建立的坐标系就是 柱坐标系.设M (x, y,z)为空间直角坐标系中一点z 2dvdz dxdyD zcab 1c2Z 2 .2 z dz c4 15abc 3但是,若采用“先一后二法”投影到xoy 平面上得 z 2dva dxa任dyb 1x2c 1z 2dzc此积分很难完成•a dxa图 10.3.5306图 10.3.6此点在xoy 面上投影点P （x, y,0）表示成相应的极坐标形式为（r,），贝U M 点的柱坐标为（r, ,z ）（如图10.3.6）.这里规定r , , z 的变化范围为0 r , 02 , z在柱坐标系中：r r 0 （常数），表示以z 轴为中心的圆柱面；z z ° （常数）,表示平行于xoy 坐标面的平面空间直角坐标与柱坐标的关系为x r cosy rsi nz z.现在要把三重积分f （x , y , z ）dv中的变量变换为柱面坐标.为此，用r 常数， 常数，z 常数把 分成许多小闭区域，除了含 的边界点的一些不规则小闭区域外 ，这种小 闭区域都是柱体.考虑由r ，，z 各取得微小增量 dr ，d ，dz 所成的柱体的体积（如图1037）.这个体积等于高和底面积的乘积.现在高为dz 、底面积在不计高阶无穷小时为rdrd （即极坐标系中的面积元素），于是得dv rdrd dz ,这就是柱面坐标系中的体积元素 .0 （常数），表示通过z 轴的半平面，此半平面与zox 面的夹角为 0 ；( 10.3.2)(10.3.3).设空间区域 在xoy 面上的投影区域 D ｛（r , ） 1（） r 2（）,空间区域 {(r, ,z)z !(r, ) z z 2(r, ), (r, ) D}则柱坐标系下的三重积分化为三次积分为:f （r cos , rsin ,z ）rdrd dz2 ( ) §(r,)1()rdrz“)f(rcos ,rsin ,z)dzzdv ，其中 是由圆锥面z , x 2 y 2、圆柱面x 2 y 2 2x 与平面z 0所围成的闭区域图 10.3.7例10.3.4计算三重积分再注意到关系式（10.3.2）,就得到三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式解积分区域在xoy平面上的投影区域（如图10.3.8），308D {(x,y)x 2 y 22x},并且 0 z J X 2 — ,于是，{(r, , z) 0 z r, 0 r 2 cos ,—252cosrzdv zrdrd dz 2 d rdr zdz0 022利用球坐标系计算三重积分 除直角坐标系、柱坐标系之外，空间点还可以用球坐标系表示 .设M(x,y,z)为空间直角坐标系中一点，此点在xoy 面上投影点为P(x, y,0)，用r 表示点M 到原点o 的距离， 表示x 轴正向按逆时针到向量OP 的转角， 表示z 轴正向与向量 OM 的夹角，则坐标(r,,)称为点M 的球坐标(如图10.3.10).这里r，，的变化范围为10.3.5 计算三重积分dxdydz1 x2是由抛物面x 2y 2 4z 及平面z h (h 0)所围成的闭区域在柱坐标系下积分区域表示为 (如图 10.3.9){(r, ,z)「h,0 2 h ,0dxdydz 1 x 2y24[(14h)l n(1 4h) 4h].图 10.3.9图 10.3.83 4310点M 的球坐标（r,,）与直角坐标（x,y,z ）的关系:x r sin cos y r sin sinz r cosr ，，各取得微小增量dr ，d ，d 所成的六面体的体积（如图10.3.11）.不计高阶无穷小，可把这个六面体看作长方体 ，其经线方向的长为rd ，纬线方向的宽为rsin d ，向径方向的高为dr ，于是得2dv r sin drd d .这就是球面坐标系中的体积元素 .(10.3.4)在球坐标系下，r 常数，表示中心在原点的球面; 常数，表示原点为顶点，z 轴为中心轴的圆锥面. 常数,表示过z 轴的半平面;为了把三重积分中的变量从直角坐标系变换为球面坐标,设f （x, y,z ）定义在空间有 界闭区域 上的连续函数，用 r 常数， 常数, 常数，分割空间区域,考虑由再注意到关系式(1034),就得到三重积分的变量从直角坐标变换为球面坐标的公式(10.3.5).f(x, y, z)dv f (r sin cos , rsin sin ,rcos )r2sin drd d (10.3.5)要计算变量变换为球面坐标后的三重积分，可把它化为对r 例10.3.6计算三重积分(x2y2z2)d xd yd zz , x2y2与球面z , 12 x2y2所围成的闭区域.解在球坐标系下，圆锥面z x2y2的方程为,4 球面z 12 x2y2的方程为z 2 3.如图10.3.12所示，表示为{(r, , ) 0 r 2 込，0 2 ，0于是2 2 2 2 2(x y z ) dxd ydz r r sin drd d 、对4}及对的三次积分.图10.3.11r 2 34图10.3.12中是由圆锥面312(2) (x 2 y 2)dxdyd 乙其中积分区域是由曲面.x 2 y 2 与 z 1 x 2 y 2 所围成的闭区域.5.选用适当的坐标计算下列三次积分1<i~x 2" 13 (1),dx 0 dy TP Z dz;1y(2)1 dx 0■：1 x 2 (4 x 2 y 20 dy 0 dz ；习题10.31. 化三重积分 f(xyz)dv 为三次积分，其中积分区域分别是：(1) 由曲面z x 2 y 2及平面z 1所围成的闭区域；2 2(2) 由圆柱面x y 1及平面z 1, z 0, x 0, y 0所围成的位于第一卦限内的 闭区域. 2.计算三重积分zdxdyd 乙其中积分区域 是由三个坐标面及平面x y z 1所围成的闭区域.3.利用柱面坐标计算下列积分 .(1) 2(x 2 y 2)dv,其中 是由圆柱体x 2 y 2 1、z 0及z 3所围成的闭区域.(2)x2y 2dxdydz ，其中 是由曲面z9 x 2 y 2与z 0所围成的闭区域；x 2dxdydz , 其中 是由曲面z 2j x 2 y 2,x 2 y 24. 利用球面坐标计算下列积分 .y 2dxdyd 乙其中积分区域 为介于两球面 x 2间的部分44sin2Jdr288. 3 5(2 ,2).1与z 0所围成的闭区域.2 2 2 2 2 1 2亠 z a 与 x y z b 之(1)2 2z x y 及平面z 1所围成，已知其任一点处的密度 与到z 轴距离成正比，求其质量m .10.4重积分的应用我们曾用元素法讨论了定积分的应用问题，该方法也可以推广到重积分的应用中.假设所求量U 对区域D 具有可加性，即当区域 D 分成若干小区域时，量 U 相应地分 成许多部分量，且量 U 等于所有部分量之和•在 D 内任取一直径很小的小区域 d ，设 (x,y)是d 上任一点，如果与d 相应的部分量可以近似地表示为f(x,y)d 的形式，那么所求量U 就可用二重积分表示为 u f(x,y)d ，其中f (x, y)d 称为所求量U 的元素或D微元，记为dU ，即dU f (x, y)d •10.4.1 立体体积和平面图形的面积设一立体 ，它在xOy 面上的投影为有界闭区域 D ，上顶与 下底分别为连续曲面 z Z 2(x, y)与z Z 1(x, y)，侧面是以D 的边界 曲线为准线而母线平行于 z 轴的柱面，求此立体的体积 V (如图10.4.1) •在区域D 内任取一直径很小的小区域d ，设(x,y)是d图10.4.1上任一点，以d 的边界曲线为准线作母线平行于 z 轴的柱面，截立体得一个小柱形 (如图10.4.1)，因为d的直径很小，且z Z 2(x, y) , z Z 1(x, y)在D 上连续，所以可用高为 z Z 2(x,y) z Z 1(x,y)，底为d 的小平顶柱体的体积作为小柱形体积的近似值，得体积 元素为dV [ Z 2 (x, y) Z 1(x, y)]d将体积元素在D 上积分，即得立体的体积6•—个物体由旋转抛物面 I I n I I I I I ■ Udi314解设所求图形的面积为 A ，所占区域为10.4.2 曲面面积假设曲面S 的方程为z f (x, y) ,S 在xOy 面上的投影是有界闭区域 D xy ，函数f (x, y)在D xy 上具有连续偏导数，求曲面 S 的面积A .2 2例10.4.1求由曲面z x y 及z 2 y 所围成的立体的体积.解 如图10.4.2所示，立体的上顶曲面是 2 2 2 22 x y ，下底曲面是z x y ，在xOy 面上的投影区域D 的边界曲线方程为X 2 1 ,它是上顶曲面和下底曲面的交线在 xOy面上的投影，是从 z x 2 y 2与z 2 x 2y 2中消去z 而得出的•利用极坐标，可得2V [(2 xD2 2y ) (x2 2y )]d2 [1 (xD 2y )]d1 d 0(1r 2)rdr4[r r]17]0图 10.4.2例10.4.2求曲线r 2sin 与直线3围成平面图形的面积 (如图 1043).利用极坐标可将区域 D 表示为3 r 2sin3d62si nrdr3r 262 si n d2 3sin 263(1 cos 2 6)d6/x高等数学 315在闭区域D xy 内任取一直径很小的小区域 d ,设p(x,y)是d 内任一点，贝恤面S 上的对应点为M (x,y, f(x, y)).过点M 作曲面S 的切平面T ，并以小区域d 的边界曲线为 准线，作母线平行于z 轴的柱面，它在曲面S 和切平面T 上分别截得小块曲面 A 和小块切平面dA (如图1044).显然，A 与dA 在xOy 面上的投影都是d ，因为d 的直径很小，所以小块曲面的面积就可以用小块切平面的面积近似代替，即有A dA ，从而dA 为曲面S 的面积元素.设曲面s 在点M 处的法向量与z 轴正向的夹角为锐角 ，则切平面T 与xOy 面的夹角 也为(如图10.4.5)，于是d dA cos注意到切平面的法向量为n ={ f x (x,y), f y (y,z),1}，所以即得 dAcos dcos11 f x 2(x, y) f y 2(x,y) 1 f x2 (x, y)f y 2 (x, y)d ,这就是曲面 S 的面积元素，在 D xy 上积分得曲面 S 的面积为这就是计算曲面面积的公式.图 10.4.4图 10.4.5。
难点详解京改版八年级数学上册第十章分式章节测评试卷(含答案详解版)
京改版八年级数学上册第十章分式章节测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时v 1千米，下坡时的速度为每小时v 2千米，则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时（ ）A ．12 v v2+千米B ．1212v v v v +千米C ．12122v v v v +千米D ．无法确定2、分式3x y与232xy 的最简公分母是（ ） A ．6y B ．26y C ．23y D ．36y3、化简22222a ab b ba b a b++---的结果是（ ） A ．a a b- B ．b a b- C ．+a a bD ．+b a b4、甲、乙两人分别从距目的地6km 和10km 的两地同时出发．甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20min 到达目的地，求甲、乙的速度．若设甲的速度为3x km/h ，则可列方程为（ ） A ．6102034x x -= B ．1062043x x-= C ．6101343x x -= D ．1061433x x -=5、若分式33x x -+的值为0，则x 的值为( ) A ．3B ．3-C ．3或3-D ．06、若a +b =5，则代数式（2b a﹣a ）÷（a b a -）的值为（ ）A ．5B ．﹣5C ．﹣15D ．157、下列运算正确的是（ ） A ．a 3－a 2＝aB ．（2a ＋b ）2＝4a 2＋b 2C ．-3a -2·a 2＝-3D ．（－3a 3b ）2＝6a 6b 28、若1x=-4，则x 的值是（ ） A ．4 B ．14C ．14-D ．﹣49、计算111a a a +++的结果为（ ） A ．1 B ．a C ．a+1 D ．11a + 10、民勤六中九年级的几名同学打算去游学，包租一辆面包车的租价为360元，出发时又增加了5名同学，结果每个同学比原来少分担了6元钱的车费．原有人数为x ，则可列方程为（ ） A ．36036065x x -=+ B ．36036065x x -=+ C ．36036065x x -=- D ．36036065x x-=- 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：即4+3=7，则（1）用含x 的式子表示m ＝___；（2）当y ＝2时，n 的值为_____．2、方程212112xx x+=--的解是________． 3、要使分式34x x ++有意义，则字母x 的取值范围是_________． 4、化简：()1b a ab÷-⨯=______．5、计算：011(3)()2π--+＝_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分） 1、阅读下列材料：小铭和小雨在学习过程中有如下一段对话：小铭：“我知道一般当m ≠n 时，m 2＋n ≠m ＋n 2．可是我见到有这样一个神奇的等式：（ab）2＋b ab-＝ab ＋（b a b-）2（其中a ，b 为任意实数，且b ≠0）．你相信它成立吗？” 小雨：“我可以先给a ，b 取几组特殊值验证一下看看．” 完成下列任务：（1）请选择两组你喜欢的、合适的a，b的值，分别代入阅读材料中的等式，写出代入后得到的具体等式并验证它们是否成立；①当a＝2，b＝3时，等式__________（填写“成立”或“不成立”）；②当a＝3，b＝5时，等式__________（填写“成立”或“不成立”）．（2）对于任意实数a，b（b≠0），通过计算说明（ab）2＋b ab-＝ab＋（b ab-）2是否成立．2、已知T229633aa a a a-=+++（）（）．（1）化简T；（2）若正方形ABCD的边长为a，且它的面积为9，求T的值．3、冰墩墩（如图）是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．某商店第一次用1200元购进冰墩墩手办若干个，第二次又用相同价格购进冰墩墩饰扣若干个，已知每个冰墩墩饰扣的进价是冰墩墩手办进价的23，购进冰墩墩手办数量比饰扣少了10个．(1)冰墩墩饰扣的进价是多少元？(2)若冰墩墩饰扣的售价要比冰墩墩手办的售价少30元，且销售完毕后获利不低于1100元，问每个冰墩墩手办的售价至少是多少元？4、解答下列各题：（1）解方程：()222111xx x-+=--．（2）解不等式组：()5923131722x xx x⎧+≥+⎪⎨-<-⎪⎩，并把解集表示在数轴上．5、解方程：(1)416x x= +(2)()()31112x x x x -=--+．-参考答案-一、单选题 1、C 【解析】 【详解】平均速度=总路程÷总时间，题中没有单程，可设单程为1，那么总路程为2．依题意得：2÷（ 1211v v +）=2÷ 1212v v v v += 12122v v v v +千米．故选C ． 【考点】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．当题中没有一些必须的量时，为了简便，可设其为1． 2、B 【解析】 【分析】根据最简公分母的定义即可得． 【详解】 解：3x y与232xy 的分母分别为3y 和22y ， ∴分式3x y与232xy 的最简公分母是26y ， 故选B ．【考点】本题考查了最简公分母的定义，掌握定义是解题关键．确定最简公分母的方法：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各分母数字系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里；（2）如果各分母都是多项式，就先将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母为底数的幂的因式都要取最高次幂． 3、A 【解析】 【分析】原式第一项约分后，利用同分母分式的减法法则计算，即可得到结果． 【详解】解:原式=()()2)a b a b a b ++-（-b a b-=a b a b +--b a b -=-a b ba b+- =aa b-． 故选：A ． 【考点】本题考查分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题关键． 4、D 【解析】 【分析】求的是速度，路程明显，一定是根据时间来列等量关系，本题的关键描述语是：甲比乙提前20分钟到达目的地．等量关系为：乙走10千米用的时间-甲走6千米用的时间=13h ，解题时注意单位换算． 【详解】解：设甲的速度为3x /km h ，则乙的速度为4x /km h ． 根据题意，得1061433x x -=． 故选：D ． 【考点】本题考查由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 5、A 【解析】 【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x 的值． 【详解】由分式的值为零的条件得x-3=0，且x+3≠0， 解得x=3． 故选A ． 【考点】本题考查了分式值为0的条件，具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 6、B 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．【详解】∵a+b=5，∴原式()()() 225a b a bb a a aa ba ab a a b+--=⋅=-⋅=-+=---，故选：B．【考点】考查分式的化简求值，掌握减法法则以及除法法师是解题的关键，注意整体代入法在解题中的应用．7、C【解析】【分析】根据合并同类项，完全平方公式，同底数幂相乘，积的乘方法则，逐项判断即可求解．【详解】解：A、3a和2a-不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意；B、()222244a b a ab b+=++，故本选项错误，不符合题意；C、-3a-2·a2＝-3，故本选项正确，符合题意；D、（－3a3b）2＝9a6b2，故本选项错误，不符合题意；故选：C【考点】本题主要考查了合并同类项，完全平方公式，同底数幂相乘，积的乘方法则，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．8、C【解析】【分析】去分母，再系数化1，即可求得. 【详解】解：1x=-4，14x=-，1=4x-，故选：C．【考点】本题考查分式方程的解法，比较基础.9、A【解析】【详解】原式=11aa++=1，故选A．10、A【解析】【分析】设原有人数为x人，根据增加之后的人数为（x+5）人，根据增加人数之后每个同学比原来少分担了6元车费，列方程．【详解】解：设原有人数为x 人，根据则增加之后的人数为（x +5）人， 由题意得，63660503x x -=+． 即36036065x x -=+． 故选：A ． 【考点】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程即可． 二、填空题 1、 32x 114【解析】 【分析】（1）根据题意，可以用含x 的式子表示出m ；（2）根据图形，可以用x 的代数式表示出y ，列出关于x 的分式方程，从而可以求得x 的值，进而得到n 的值． 【详解】解：（1）由图可得11322m x x x=+=， 故答案为：32x； （2）∵1112()(3)322y m n xx x x =+=+++=+，2y =， ∴232x+=， 解得，2x =-，∴111324nx=+=，故答案为：114．【考点】本题考查了分式的加减、解分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式及分式方程及求出方程的解．2、x＝1【解析】【分析】原方程去分母得到整式方程，求解整式方程，最后检验即可．【详解】解：21 2112xx x+=--，2 21 x-﹣21xx-＝1，方程两边都乘2x﹣1，得2﹣x＝2x﹣1，解得：x＝1，检验：当x＝1时，2x﹣1≠0，所以x＝1是原方程的解，即原方程的解是x＝1，故答案为：x＝1．【考点】本题考查了解分式方程，把分式方程转化为整式方程是解答本题的关键，注意解分式方程不一定要检验．【解析】【分析】根据分式有意义的条件是分母不能为零，可得答案．【详解】解：由题意，得x +4≠0，解得x ≠=-4，故答案为：x ≠-4．【考点】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键利用分母不能为零得出不等式．4、21a - 【解析】【分析】原式从左至右依次进行计算即可．【详解】 解：()1b a a b ÷-⨯ =11b a a b -⨯⨯ =21a -． 故答案为：21a -．本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．5、3【解析】【分析】根据零指数幂和负指数幂的意义计算．【详解】 解：011(3)()1232π--+=+=， 故答案为：3．【考点】本题考查了整数指数幂的运算，熟练掌握零指数幂和负指数幂的意义是解题关键．三、解答题1、（1）①成立；②成立；（2）成立【解析】【分析】（1）①把a 与b 的值代入两边的代数式中计算即可，若值相等则成立，否则不成立；②把a 与b 的值代入两边的代数式中计算即可，若值相等则成立，否则不成立；（2）分别把等式两边通分并化简，结果相等则成立，否则不成立．【详解】（1）①成立；②成立．（2）∵左边＝（a b ）2＋b a b -＝22()a b b a b +-＝222a ab b b -+，右边＝ab＋（b ab-）2＝2abb＋2222a ab bb-+＝222a ab bb-+．所以等式（ab）2＋b ab-＝ab＋（b ab-）2成立．【考点】本题考查了求代数式的值，分式加法运算，体现了由特殊到一般的数学思想，掌握分式的加法运算法则是关键．2、（1）1a；（2）13．【解析】【分析】（1）原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可求出值；（2）由正方形的面积求出边长a的值，代入计算即可求出T的值．【详解】（1）T22222a96a3a31a a3a a3a a3a-++=+==+++（）（）（）（）（）；（2）由正方形的面积为9，得到a＝3，则T13 =．【考点】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3、 (1)40(2)88【解析】【分析】（1）设冰墩墩手办的进价是x元，则每个冰墩墩饰扣的进价是23x元，根据题意列出分式方程求解得到x 的值，检验后再求得23x 即可； （2）设每个冰墩墩手办的售价是y 元，根据题意列不等式即可求解．(1)设冰墩墩手办的进价是x 元，则每个冰墩墩饰扣的进价是23x 元， 根据题意列方程得120012001023x x -=， 解得60x =．经检验60x =是原分式方程的解，则2403x =． 答：冰墩墩饰扣的进价是40元．(2)（2）设每个冰墩墩手办的售价是y 元． 根据题意列不等式得()()1200120060304011006040y y ⨯-+--≥， 解得88y ≥．答：每个冰墩墩手办的售价至少是88元．【考点】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，读懂题意，找出等量关系和不等量关系列出方程和不等式是解题的关键．4、（1）方程无解；（2）14x -≤<，数轴见解析．【解析】【分析】（1）解分式方程，先去分母，然后去括号，移项，合并同类项，系数化1，注意结果要进行检验；（2）解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可【详解】解：（1）()222111x x x-+=-- 去分母得：()()2212x x -+-=-，去括号得：2412x x -+-=-，移项合并同类项得：33x =，系数化为1得：1x =，经检验1x =时，10x -=，则1x =为原方程的增根，∴原分式方程无解．（2）()5923131722x x x x ⎧+≥+⎪⎨-<-⎪⎩①②， 由①得，1x ≥-，由②得，4x <，∴不等式组的解集为：14x -≤<，在数轴上表示如图：【考点】本题考查解分式方程和解一元一次不等式组，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．5、 (1)x =2(2)无解【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．(1)解：去分母得：4x =x +6，解得：x =2，检验：把x =2代入x (x +6) ≠0，∴x =2是原方程的根； (2)()()31112x x x x -=--+解：去分母得：x (x +2)-(x -1)(x +2)=3，解得：x =1，检验：把x =1代入得：(x -1)(x +2)=0，∴x =1是增根，分式方程无解．【考点】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．。
重积分习题(含答案)
x 2 y 2 被柱面 z 2 2 x 所割下部分的曲面面积.
2 2 2 2
5．求由曲面 z x 2 y 及 z 6 2 x y 所围成的立体的体积. 6． 计算三重积分 的区域。
x z dv ，其中 是由曲面 z
x 2 y 2 与 z 1 x 2 y 2 所围成
注意到
2 0
cosd 0 ，因此
2
x z dv 0
d 4 d r 3 sin cos dr
0 0
1
2
4 0
sin cos d
sin 2
2 2
4 0
8
1 2 x y 0
xd z dx
1 2 0
1 2 x 0
1 1 2 x1 2 x y dy 2 x1 2 x dx 2 0 96
1
4．求锥面 z
x 2 y 2 被柱面 z 2 2 x 所割下部分的曲面面积.
解 曲面 z x2 y 2 与 z22x 的交线在 xOy 面上的投影为 所求曲面在 xOy 在上的投影区域为 D{(x y)|x2y22x}
2
2
D
D
0
0
=3
2
0
d = 6
6． 计算三重积分 的区域。
x z dv ，其中 是由曲面 z
x 2 y 2 与 z 1 x 2 y 2 所围成
解：由于曲面 z
x 2 y 2 是一个圆锥面，曲面 z 1 x 2 y 2 是上半单位球面，
最新10第十章重积分答案汇总
10第十章重积分答案第十章重积分第一节二重积分的概念与性质1．根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值。
«Skip Record If...»«Skip Record If...»解：由二重积分的几何意义知， «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»解：由二重积分的几何意义知，«Skip Record If...»2．根据二重积分的性质，比较下列积分的大小。
«Skip Record If...»«Skip Record If...»解：由 «Skip Record If...»知 «Skip Record If...»即«Skip Record If...»于是 «Skip Record If...»所以 «Skip Record If...»于是 «Skip Record If...»«Skip Record If...»解：因在D内x+y>e, 故 ln(x+y)>1, 于是 «Skip Record If...»«Skip Record If...»解：在D中，«Skip Record If...»且 «Skip Record If...»而不在直线x+y=1上的D内任何点(x,y), 都有«Skip Record If...»故 «Skip Record If...»于是 «Skip Record If...»3．利用二重积分的性质估计下列积分的值。
高等数学第十章重积分习题课
第十章 重积分一、知识要点回顾(一)二重积分 1．二重积分的定义；2．二重积分的几何意义及其物理模型；3．二重积分的性质： (1) 线性性质； (2) 区域可加性； (3) 比较定理； (4) 单调性； (5) 估值不等式； (6) 二重积分的中值定理．4．直角坐标系下二重积分化二次积分(1) X 型区域特点及积分区域为X 型区域时化二重积分为二次积分； (2) Y 型区域特点及积分区域为Y 型区域时化二重积分为二次积分； (3) 积分区域为矩型区域时化二重积分为二次积分. 5．极坐标系下二重积分的计算(1) 何种二重积分适宜选择极坐标计算，要从积分区域和被积函数两方面考虑； (2)⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρ)sin ,cos (),(．(二)三重积分1．三重积分定义及性质。
2．三重积分的计算(1) 直角坐标下化三重积分为三次积分； (2) 柱面坐标下化三重积分为三次积分； (3) 球面坐标下化三重积分为三次积分. (三)重积分的应用1．几何应用：平面图形面积、曲面面积、空间立体体积。
2．物理应用：质量、质心（形心）、转动惯量、引力.二、习题解析(一)二重积分1、二重积分的概念与性质例1、根据重积分的性质，比较下列积分的大小：⎰⎰+Dd y x σ)ln(与⎰⎰+Dd y x σ2)ln(，其中积分区域D 是：（1）以)0 ,1(，)1 ,1(，)0 ,2(为顶点的三角形区域；（2）矩形区域：10 ,53≤≤≤≤y x .解：（1）在以)0 ,1(，)1 ,1(，)0 ,2(为顶点的三角形区域内显然有21≤+≤y x ， 故在三角形区域内2()()x y x y +>+即2ln()ln()x y x y +>+， 故⎰⎰+Dd y x σ)ln(≤⎰⎰+Dd y x σ2)ln(（2）矩形区域：10 ,53≤≤≤≤y x 内显然有63≤+≤y x 故在矩形区域内2()()x y x y +>+即2ln()ln()x y x y +>+， 故⎰⎰+Dd y x σ)ln(≤⎰⎰+Dd y x σ2)ln(例2、利用二重积分的性质，估计下列积分的值.（1）⎰⎰+=Dd y x xy I σ)(，其中D 是矩形区域：10 ,10≤≤≤≤y x ；（2）⎰⎰++=D d yx I σ22cos cos 1001，其中}10 ),{(≤+=y x y x D .解：（1）在矩形区域：10 ,10≤≤≤≤y x 内0()2xy x y ≤+≤，故0()2DDDd xy x y d d σσσ≤+≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰，即：0()2DDxy x y d d σσ≤+≤⎰⎰⎰⎰，得20≤≤I（2）在}10 ),{(≤+=y x y x D 中，22111102100cos cos 100x y ≤≤++ 22111102100cos cos 100D D Dd d d x y σσσ≤≤++⎰⎰⎰⎰⎰⎰，即 22111102100cos cos 100D D Dd d d x y σσσ≤≤++⎰⎰⎰⎰⎰⎰得2102200≤≤I 。
(答案)第10章章测题1(重积分的计算部分)
9.解： ⎨
⎧ ⎪z = 2 − x 2 − y 2 ⇒ 2 2 ⎪ z x y = + ⎩
x2 + y2 = 1
2 2
积分区域为 Ω = ( x, y , z ) ( x, y ) ∈ D xy , x + y ≤ z ≤
{
2 − (x 2 + y 2 )
}
其中投影区域看成极坐标区域 D xy = ( x, y ) x + y ≤ 1 =
Ω
3
2
1
Dxy
0
Dxy
0
0
π
2 1 3
⎡ cos 2θ ⎤ 2 = 3∫ sin θ cos θdθ ∫ ρ dρ = 3 × ⎢− 4 ⎥ ⎦0 ⎣ 0 0
π
⎡ρ4 ⎤ 3 1 3 ⋅ ⎢ ⎥ = [cos 0 − cos π ] ⋅ = 4 8 ⎣ 4 ⎦0 4
1
11.解：积分区域为 Q = (x, y, z ) ( x, y ) ∈ Dxy ,0 ≤ z ≤ 4 − 2 x − y 其中投影区域为 Dxy = ｛( x, y ) 0 ≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤ 4 − 2 x｝ 所以三重积分化为累次积分为：
{
}
π ⎧ ⎫ Dxy = ( x, y ) x 2 + y 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0 = ⎨(ρ , θ ) 0 ≤ θ ≤ ,0 ≤ ρ ≤ 1⎬ 2 ⎩ ⎭
{
}
所以三重积分化为累次积分为：
π
∫∫∫ xydV = ∫∫ xydxdy∫ dz = 3∫∫ xydxdy = 3∫ dθ ∫ ρ ⋅ ρ sin θ ⋅ ρ cos θdρ
= ∫ dx ∫
2 0
第九、十章 重积分练习题(1)
第八章 重积分1、交换二次积分的次序：（1）()⎰⎰=4022,ππdy y x f dx x （2）()⎰⎰=exdy y x f dx 1ln 0, 。
（3）()⎰⎰=101,y dx y x f dy . （4）()⎰⎰=-a0022,y a dx y x f dy .2、计算下列二重积分： （1）⎰⎰+Ddxdy y x 22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D 。
（2）⎰⎰+Ddxdyy x 22，其中x y x D 2:22≤+。
（3）()⎰⎰-+Ddxdy x y x 22，其中D 是由直线2,2,===y x y x y 围成闭区域。
（4）()⎰⎰+Ddxdy y x x cos ，其中D 是定点分别为()()()πππ,,0,,0,0的三角形。
3、计算下列三重积分： （1）()⎰⎰⎰++Vdv z y x 222，其中10,10,10:≤≤≤≤≤≤z y x V 。
（2）()⎰⎰⎰++Vdv z y x 222，其中0,:2222≥≤++z R z y x V 。
（3）()⎰⎰⎰Ω+dv y x ，其中Ω是平面1=++z y x 与三个坐标平面围成闭区域（4）()⎰⎰⎰Ω+dvy x 22，其中20,4:22≤≤≤+Ωz y x（5）()⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x 23，其中2210y x z --≤≤Ω：。
（6）⎰⎰⎰Ωzdv ，其中Ω由222y x z --=与22y x z +=围成。
（7）⎰⎰⎰Ωzdv ，其中Ω由222y x z --=与22y x z +=围成。
（8）()⎰⎰⎰Ω+dv y x 22，其中Ω由10==z z ，与122=+y x 围成。
第九章 曲线积分与曲面积分1、设L 的方程为422=+y x ，则()=+⎰Lds y x 22cos 。
2、设()⎰++Lds z y x222，其中π20,,sin ,cos :≤≤===t bt z t a y t a x L 。
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内容提要： 一、二重积分1、二重积分的概念与性质2、二重积分的计算：（1）-x 型域：.)()(:21⎩⎨⎧≤≤≤≤b x a x y x D ϕϕ()⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=b a x x Ddx dy y x f d y x f )()(21,),(ϕϕσ（2）-y 型域：⎩⎨⎧≤≤≤≤)()(:21y x y dy c D ψψ()⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d cy y Ddy dx y x f d y x f )()(21,),(ψψσ当积分区域既是-x 型，又是-y 型域时，会交换积分次序。
（3）极坐标：⎩⎨⎧≤≤≤≤βθαθϕθϕ)()(:21r D ，⎪⎩⎪⎨⎧→→→θσθθrdrd d r y r x sin cos⎰⎰⎰⎰=DDrdrd r r f d y x f θθθσ)sin ,cos (),(⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=βαθϕθϕθθθd rdr r r f )()(21)sin ,cos ( 二、三重积分1、三重积分的概念与性质2、三重积分的计算：（1）-xy 型域：()()}),(,,,|),,{(21xy D y x y x z z y x z z y x ∈≤≤=Ω 先一后二：()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ΩxyD y x z y x z d dz z y x f dv z y x f σ,,21,,,,先二后一：，若被积函数不含变量y x ,，且积分区域Ω被平面0z z =所截平面区域面积容易计算，可先计算此面积，再计算定积分即可。
（2）球坐标：⎪⎩⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos sin sin cos sin r z r y r x其中，πθπϕ20,0,0≤≤≤≤+∞<≤r()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Ωππθϕθϕϕϕθϕθϕ200,02sin cos ,sin sin ,cos sin ,,d d dr r r r r f dv z y x f r 三、重积分的应用：空间曲面的面积 设∑：D ∈=),(),,(y x y x f z 为光滑曲面．⎰⎰++=Dσd f f S y x 221《高等数学》单元自测题答案第十章 重积分一、填空题：1．已知积分区域10,10:≤≤≤≤y x D ，则二重积分=+⎰⎰Dd y x σ)(___1________。
分析 ⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+1010)()(dx dy y x d y x Dσ⎰⎰+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+==1010102)21(21dx x dx y xy y.12121102=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x2．交换二次积分的积分次序=⎰⎰x x dy y x f dx 2),(10______⎰⎰y ydx y x f dy ),(10______。
分析 ⎩⎨⎧≤≤≤≤10:2x x y x D ，D 还可表示为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤10:y yx y D 。
3．已知积分区域)0(:2222b a b y x a D <<≤+≤，则将二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(化为极坐标形式的二次积分为_⎰⎰bardr r r f d )sin ,cos (20θθθπ__。
分析 ⎩⎨⎧≤≤≤≤πθ20:br a D ，.)sin ,cos ()sin ,cos (),(20⎰⎰⎰⎰⎰⎰==baDDrdr r r f d rdrd r r f dxdy y x f θθθθθθπ4．已知区域10,10,10:≤≤≤≤≤≤Ωz y x ，则三重积分=++⎰⎰⎰Ωdv z y x )32( 3。
分析⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++ΩxyDd dz z y x dv z y x σ10)32()32( ⎰⎰⎰⎰++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++==xyxy D D z d y x d z yz xz σσ)232()232(102⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++==101021010)23()232(dx y y xy dx dy y x y.32521)25(10210=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎰x x dx x或者⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=++Ω11010)32()32(dz z y x dy dx dv z y x⎰⎰⎰⎰++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++==10101010210)232()232(dy y x dx dy z yz xz dx z⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++==10102)23(dx y y xy y.32521)25(10210=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎰x x dx x5．由224y x z --=与xOy 坐标面所围成的立体Ω的体积V ＝_____π8___。
分析 ⎰⎰--=xyD d y x V σ)4(22 其中xy D 可表示为⎩⎨⎧≤≤≤≤πθ2020:r D xy ，所以，.8)412(2)4()4(242203202ππθθπ=-⋅=-=-=⎰⎰⎰⎰r r dr r r d rdrd r V xyD二、选择题：1．已知区域D 是由直线1=+y x 与x 轴、y 轴所围成的闭区域，则二重积分=⎰⎰Ddxdy ( B)。
(A)41； （B ）21； (C ）1； (D ）2。
分析.211121=⨯⨯==⎰⎰S dxdy D2． 已知积分区域D 是由1,==x x y 和x 轴围成，则=⎰⎰Dd y x f σ),(（C ）。
(A)⎰⎰1010),(dy y x f dx ； (B) ;),(11⎰⎰xdy y x f dx(C );),(010⎰⎰x dy y x f dx (D).),(010⎰⎰y dx y x f dy 。
分析 -x 型域：.100:⎩⎨⎧≤≤≤≤x xy D-y 型域：.101:⎩⎨⎧≤≤≤≤y x y D3．已知,)(22⎰⎰+=Dd y x f I σ，其中,1:22≤+y x D ，则=I (B)。
（A ）;)(102dr r rf ⎰； （B ）;)(212dr r rf ⎰π；（C ）;)(102dr r f ⎰； （D ）.)(212dr r f ⎰π。
分析 ,2010:⎩⎨⎧≤≤≤≤πθr D⎰⎰⎰⎰=+=DDrdrd rf d y xf I σσ)()(222.)(2)(121220⎰⎰⎰==rdr r f rdr r f d πθπ4． 已知积分区域,41:222≤++≤Ωz y x 则将三重积分⎰⎰⎰Ω++dv z y x f )(222化为球坐标系下的累次积分为( D ). (A) ;)(212020dr r f d d ⎰⎰⎰ππϕθ； (B) ;)(sin 212020dr r f d d ⎰⎰⎰ππϕϕθ；(C);)(sin 21220dr r r f d d ⎰⎰⎰ππϕϕθ； (D) .)(sin 2212020dr r r f d d ⎰⎰⎰ππϕϕθ。
分析 ,20021:⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ωπθπϕr⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=++θϕϕd drd r r f dv z y x f sin )()(22222 .sin )(2212020dr r r f d d ϕϕθππ⎰⎰⎰=三、计算下列二重积分： 1．计算,23σd y xD⎰⎰，其中积分区域D 是由曲线x y x y ==,1与直线4=x 围成的闭区域。
解 由⎪⎩⎪⎨⎧==21y x x y 解得曲线交点为)1,1(。
所以，积分区域D 可表示为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤411:x x y xD ， 从而，dx y x dy y x dx d yxxxy x xD 124113413)1(22=-==⎰⎰⎰⎰⎰σ .4243)41()1(414413=-=-=⎰x x dx x2．计算 ,2dxdy e Dy⎰⎰，其中积分区域D 是由直线x y =，1=y 及y 轴所围成的闭区域。
解 由题意知，积分区域D 可表示为：.100:⎩⎨⎧≤≤≤≤y yx D 所以，⎰⎰⎰⎰⎰=⋅==11222dy x edx e dy dxdy ey x y yy Dy)1(21)(211010210222-====⎰⎰e e y d e dy ye y y y 。
3．计算,22dxdy y x D⎰⎰+其中积分区域D 是由4122≤+≤y x 所确定的圆环域。
解 由题意知，积分区域D 可表示为：,2021:⎩⎨⎧≤≤≤≤πθr D 所以，ππθπ314312213212022=⋅=⋅=+⎰⎰⎰⎰r rdr r d dxdy y x D。
4．计算,22⎰⎰+Dy xd e σ其中积分区域D 是由122≤+y x 所确定的圆形域。
解 由题意知，积分区域D 可表示为：,2010:⎩⎨⎧≤≤≤≤πθr D 所以，.)1(212)(2121102102022222πππθσπ-=⋅=⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰+e e r d e rdr e d d e rr r Dyx四、计算下列三重积分： 1．计算三重积分,2⎰⎰⎰Ωdxdydz x ,其中Ω为三个坐标面及平面1=++z y x 所围成的闭区域。
解 由题意知，积分区域Ω可表示为：,),(10:⎩⎨⎧∈--≤≤Ωxy D y x yx z 其中,1010:⎩⎨⎧≤≤-≤≤x xy D xy 所以，⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--ΩxyDy x d dz x dxdydz x σ1022⎰⎰⎰⎰--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--=xyxyD Dy x z d y x x d z x σσ)1()(2102⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=-10102210102]21)1[()1(dx y y x x dx dy y x x xy x.60151423121)2(211054310432=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=⎰x x x dx x x x2． 计算三重积分,⎰⎰⎰Ωzdxdydz ,其中Ω是由曲面22y x z +=与平面4=z 所围成的闭区域。
解 由题意知，积分区域Ω可表示为：,),(4:22⎪⎩⎪⎨⎧∈≤≤+Ωxy D y x z y x 其中,2020:⎩⎨⎧≤≤≤≤πθr D xy 所以，⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+Ωxy D y x d zdz zdxdydz σ422⎰⎰⎰⎰+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=+=xyxy D D y x z d y x d z σσ])(16[21)21(2224222 ⎰⎰⎰⎰-=-=204204)16(21)16(21dr r r d rdrd r xyD πθθ .364)618()16(262205πππ=-=-=⎰r r dr r r或先二后一：过)40(00≤≤=z z z 作垂直于z 轴的平面，截Ω所得截面的面积为.0z π所以，.36434340240πππ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωzdz z dxdy zdz zdxdydz xyD 五、求由平面0,1==y x 与柱面2x y =所围成的柱体被平面0=z 及抛物面224y x z --=所截得的立体的体积。