2008~2009学年第二学期《高等数学A》期终试题(A)卷参考答案

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大学高等数学高数期中考试试卷与答案 (1)

安徽大学2008—2009学年第一学期《高等数学A （三）》考试试卷（A 卷）（闭卷时间120分钟）一、单项选择题（每小题2分，共10分）1、下列陈述正确的是（）。

(A) 若方程组0m n A x ⨯=有唯一解，则方程组m n A x b ⨯=有唯一解(B) 若方程组m n A x b ⨯=有唯一解，则方程组0m n A x ⨯=有唯一解(C) 若方程组0m n A x ⨯=有无穷多解，则方程组m n A x b ⨯=有无穷多解(D) 若方程组m n A x b ⨯=无解，则方程组0m n A x ⨯=无解2、已知n 维向量组12,,,(2)s s ααα≥线性相关，则下列选项中必正确的是( )。

(A) 对于任何一组不全为零的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=(B) 12,,,s ααα中任何两个向量线性相关 (C) 存在一组不全为零的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=(D) 对于每一个i α都可以由其余向量线性表出3、设0()1,0()1P A P B <<<<，且(|)(|)1P A B P A B +=，则 ( )。

(A) 事件A 与事件B 互不相容 (B) 事件A 与事件B 对立 (C) 事件A 与事件B 不独立 (D) 事件A 与事件B 独立4、设~()X E λ（指数分布），n X X X ,,,21 是总体X 的样本，则参数λ的矩估计是( )。

(A) }{max 1i ni X ≤≤ (B) X 2 (C) X (D) 1/X5、设n X X X ,,,21 是来自正态总体2(,)N μσ的样本，则下列结论正确的是( )。

(A) 22211()~()n i i X n μχσ=-∑ (B) 2211()~(1)ni i X X n nχ=--∑(C) 22211()~()ni i X X n χσ=-∑ (D) 2211()~(1)1nii X X n n χ=---∑院/系年级专业姓名学号答题勿超装订线------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------二、填空题（每小题2分，共10分）6、若齐次线性方程组1231231230020kx x x x kx x x x x +-=⎧⎪--=⎨⎪-+=⎩ 有非零解，则k ＝。

2008-2009学年上海市七校联考高一(下)学期期中数学试卷 (解析版)

2008-2009学年上海市七校联考高一第二学期期中数学试卷一、填空题（共11题，每题4分，共计44分） 1．函数y =√log 2(3x −2)的定义域为．2．角a 的终边上有一点P （﹣3a ，4a ），a ＞0，则sin a 值为． 3．已知α∈(−π2，0)，sinα=−35，则cos （π﹣a ）．4．函数y =√3cos x ﹣sin x 的最大值是． 5．函数y ＝1+log 3x （x ≥3）的反函数为．6．若tan （α+β）=25，tan （β−π4）=14，则tan （α+π4）＝．7．若函数f （x ）＝log a x （a ＞1）在区间[a ，2a ]上的最大值是最小值的2倍，则a 的值为． 8．化简sinacosa cos a−sin a−tana 1−tan a= ．9．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为．10．定义在R 上的函数f （x ）既是偶函数又是周期函数，若f （x ）的最小正周期是π，且当x ∈[0，π2]时，f （x ）＝sin x ，则f （5π3）的值为．11．△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知A ＝60°，a ＝7，现有以下判断：①bc ＝24，则S △ABC ＝6√3；②若b =√3，则B 有两解；③b +c 不可能等于15；请将所有正确的判断序号填在横线上．二、选择题（共4题，每题3分，共计12分） 12．函数y ＝sin x cos x ，x ∈R 的奇偶性（） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数13．若log a 25＜0，则a 的取值范围（）A ．0＜a ＜1B ．a ＞0，a ≠1C ．a ＜1D ．a ＞114．将函数y ＝sin4x 的图象向左平移π12个单位，得到y ＝sin （4x +φ）的图象，则φ等于（）A ．−π12B ．−π3C ．π3D ．π1215．函数y ＝ln cos x （−π2＜x ＜π2）的图象是（）A ．B ．C ．D ．三、解答题（共5题，共计44分） 16．解方程：log 2（x ﹣3）−log 12x =2．17．已知−π2＜x ＜0，则sin x +cos x =15．（I ）求sin x ﹣cos x 的值；（Ⅱ）求3sin 2x 2−2sin x 2cos x 2+cos 2x2tanx+cotx的值．18．如图，甲船以每小时30√2海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°的方向B 1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距10√2海里，问乙船每小时航行多少海里？19．已知函数f(x)=2sin 2(π4+x)−√3cos2x ，x ∈R ．（1）求f （x ）的最小正周期；（2）求使f （x ）≥0成立的x 的取值集合；（3）若不等式|f （x ）﹣m |＜2在x ∈[π4，π2]上恒成立，求实数m 的取值范围．20．我们把平面直角坐标系中，函数y ＝f （x ），x ∈D 上的点P （x ，y ），满足x ∈N *，y ∈N *的点称为函数y＝f（x）的“正格点”．（1）请你选取一个m的值，使对函数f（x）＝sin mx，x∈R的图象上有正格点，并写出函数的一个正格点坐标（2）若函数f（x）＝sin mx，x∈R，m∈（1，2），与函数g（x）＝lgx的图象有正格点交点，求m的值，并写出两个函数图象的所有交点个数．（3）对于（2）中的m值，函数f（x）＝sin x，x∈[0，59]时，不等式log a x＞sin mx恒成立，求实数a的取值范围．2008-2009学年上海市七校联考高一第二学期期中数学试卷参考答案一、填空题（共11题，每题4分，共计44分） 1．函数y =√log 2(3x −2)的定义域为 [1，+∞）．【分析】根据偶次根式下大于等于0，对数函数的真数大于0建立不等式关系，然后解之即可求出函数的定义域．解：根据函数y =√2(3x −2)有意义可知 {log 2(3x −2)≥03x −2＞0解得：x ≥1故答案为：[1，+∞）【点评】本题主要考查了对数函数的定义域及其求法，以及偶次根式的定义域，属于基础题． 2．角a 的终边上有一点P （﹣3a ，4a ），a ＞0，则sin a 值为45．【分析】利用三角函数定义，若P 是角α中边上一点，坐标为（x ，y ），令r =√x 2+y 2，则 sin α=yr ，把y ，y 的值代入即可．解：∵角a 的终边上有一点P （﹣3a ，4a ），a ＞0 ∴r =√(−3a)2+(4a)2=5a ∴sin a =y r =4a 5a =45，故答案为45【点评】本题主要考查了三角函数定义，属于基础题． 3．已知α∈(−π2，0)，sinα=−35，则cos （π﹣a ） −45．【分析】利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式，求出cos α，即可求出cos （π﹣a ）的值．解：因为α∈(−π2，0)，sinα=−35，所以cos α=45，所以cos （π﹣a ）＝﹣cos α=−45．故答案为：−45．【点评】本题是基础题考查三角函数的诱导公式与同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力，注意角的范围．4．函数y=√3cos x﹣sin x的最大值是2．【分析】先利用两角和公式对函数解析式化简整理，进而根据正弦函数的性质求得函数的最大值．解：y=√3cos x﹣sin x＝2sin（π3−x）∵﹣1≤sin（π3−x）≤1∴﹣2≤y≤2∴函数y=√3cos x﹣sin x的最大值是2故答案为：2【点评】本题主要考查了正弦函数的定义域和值域，解题的关键是对函数解析式的化简，属于基础题．5．函数y＝1+log3x（x≥3）的反函数为y＝3x﹣1（x≥2）．【分析】由函数的解析式解出自变量x，再把x、y交换位置，同时注明反函数的定义域（即原函数的值域）．解：∵y＝1+log3x（x≥3）∴x＝3y﹣1（y≥2），∴反函数为y＝3x﹣1（x≥2）故答案为：y＝3x﹣1（x≥2）【点评】本题考查求反函数的步骤和方法，注意反函数的定义域应是原函数的值域，不能根据反函数的解析式来求反函数的定义域．6．若tan（α+β）=25，tan（β−π4）=14，则tan（α+π4）＝322．【分析】把α+π4变为[（α+β）﹣（β−π4）]，然后利用两角差的正切函数的公式化简所求的式子，整体代入即可求出值．解：因为α+π4=[（α+β）﹣（β−π4）]，且tan（α+β）=25，tan（β−π4）=14，则根据两角差的正切函数的公式得：tan（α+π4）＝tan[（α+β）﹣（β−π4）]=tan(α+β)−tan(β−π4)1+tan(α+β)tan(β−π4)=25−141+25×14=322故答案为322【点评】考查学生会灵活变换角度来解决数学问题，利用两角和与差的正切函数的公式进行化简求值，以及利用整体代入的数学思想解决数学问题．7．若函数f（x）＝log a x（a＞1）在区间[a，2a]上的最大值是最小值的2倍，则a的值为2．【分析】根据f（x）＝log a x（a＞1）在定义域上为递增函数，求出在区间上的最大值、最小值，再利用它们的关系列出关于a的方程，求出符合条件的a的值．解：∵f（x）＝log a x（a＞1）在区间[a，2a]上为递增函数，∴它的最小值为f（a）＝log a a＝1，且最大值为f（2a）＝log a（2a）∵最大值是最小值的2倍，∴log a（2a）＝2，即a2＝2a，解得a＝2，或a＝0（舍去），则a的值为2．故答案为：2．【点评】本题考查了对数函数的单调性的应用，以及对数方程的求法，一般利用指对互化的式子进行求解．8．化简sinacosacos a−sin a −tana1−tan a=0．【分析】把被减式的分子利用二倍角的正弦函数公式变形，分母利用二倍角的余弦函数变形，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切，减式利用二倍角的正切函数公式变形，相减即可得到最简结果．解：sinacosacos2a−sin2a −tana 1−tan2a=12×2sinacosacos2a−sin2a−12×2tana1−tan2a=12sin2αcos2α−12tan2α=12tan2α−12tan2α＝0．故答案为：0【点评】此题考查了三角函数的化简求值，涉及的知识有二倍角的正弦、余弦、正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．9．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为78．【分析】设出顶角为C ，根据周长为底边c 的5倍，用c 表示出两腰长a 和b ，利用余弦定理表示出cos C ，把三边长代入即可求出cos C 的值．解：设顶角为C ，∵l ＝5c ， ∴a ＝b ＝2c ，由余弦定理得：cosC =a 2+b 2−c 22ab =4c 2+4c 2−c 22×2c×2c =78．故答案为：78【点评】本题主要考查余弦定理的应用．余弦定理在解三角形中应用很广泛，很好的建立了三角形的边角关系，应熟练掌握．10．定义在R 上的函数f （x ）既是偶函数又是周期函数，若f （x ）的最小正周期是π，且当x ∈[0，π2]时，f （x ）＝sin x ，则f （5π3）的值为√32 ．【分析】由题意利用函数的周期性偶函数，转化f （5π3）为f （π3），即可求出它的值．解：定义在R 上的函数f （x ）既是偶函数又是周期函数，若f （x ）的最小正周期是π，且当x ∈[0，π2]时，f （x ）＝sin x ，所以f （5π3）＝f （−π3）＝f （π3）＝sinπ3=√32．故答案为：√32．【点评】本题是基础题，考查函数的周期性，偶函数，函数值的求法，利用性质化简f （5π3）＝f （−π3）＝f （π3）＝sin π3是解题关键，仔细体会．11．△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知A ＝60°，a ＝7，现有以下判断：①bc ＝24，则S △ABC ＝6√3；②若b =√3，则B 有两解；③b +c 不可能等于15；请将所有正确的判断序号填在横线上 ①③ ．【分析】①由A 的度数求出sin A 的值，再由bc 的值，利用三角形的面积公式S =12bc •sin A 即可求出三角形ABC 的面积，作出判断；②由b 小于a ，根据大边对大角，得到B 的度数小于A 的度数，进而得到B 的范围，由sin A ，b 及a 的值，利用正弦定理求出sin B 的值，判断即可；③先假设b +c ＝15，可设b ＝x ，c ＝15﹣x ，再由a 及cos A 的值，利用余弦定理列出关于x的方程，根据根的判别式小于0，得到此方程无解，故b+c不可能为15．解：①∵A＝60°，即sin A=√32，又bc＝24，∴S△ABC=12bc•sin A═6√3，本选项正确；②∵7＞√3，即a＞b，∴A＞B，即B＜60°，根据正弦定理asinA =bsinB得：sin B=√3×√327=314，则B只有一解，本选项错误；③若b+c＝15，设b＝x，则c＝15﹣x，根据余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc•cos A，即49＝x2+（15﹣x）2﹣x（15﹣x），整理得：3x2﹣45x+176＝0，∵△＝452﹣12×176＝﹣87＜0，∴此方程无解，则b+c不可能为15，本选项正确，则正确的选项有：①③．故答案为：①③【点评】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，三角形的面积公式，一元二次方程解的情况，以及三角形的边角关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．二、选择题（共4题，每题3分，共计12分）12．函数y＝sin x cos x，x∈R的奇偶性（）A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数【分析】由y＝sin x cos x=12sin2x可判断其奇偶性．解：令f（x）＝sin x cos x，∵f（x）=12sin2x，f（﹣x）=−12sin2x=−f（x）∴f（x）＝sin x cos x为奇函数．故选：A．【点评】本题考查正弦函数的奇偶性，重点是倍角公式的应用，也可以直接根据奇偶函数的定义进行判断，属于简单题．13．若log a 25＜0，则a 的取值范围（）A ．0＜a ＜1B ．a ＞0，a ≠1C ．a ＜1D ．a ＞1【分析】由已知中log a 25＜0，根据对数的运算性质，我们可将原不等式转化为log a 25＜log a 1，即函数y ＝log a x 为增函数，进而根据对数函数的单调性与底数a 的关系，确定出a 的取值范围．解：∵log a 25＜0，即log a 25＜log a 1故函数y ＝log a x 为增函数故a ＞1 故选：D ．【点评】本题考查的知识点是对数函数的单调性，其中根据已知条件，结合对数的运算性质，确定出对数函数的单调性，是解答本题的关键． 14．将函数y ＝sin4x 的图象向左平移π12个单位，得到y ＝sin （4x +φ）的图象，则φ等于（）A ．−π12B ．−π3C ．π3D ．π12【分析】利用函数图象的平移，求出函数的解析式，与已知解析式比较，即可得到φ的值．解：函数y ＝sin4x 的图象向左平移π12个单位，得到y =sin4(x +π12)的图象，就是y ＝sin （4x +φ）的图象，故φ=π3 故选：C ．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，注意平移的方向，基本知识的考查题目．15．函数y ＝ln cos x （−π2＜x ＜π2）的图象是（）A ．B ．C ．D ．【分析】利用函数y =lncosx(−π2＜x ＜π2)的奇偶性可排除一些选项，利用函数的有界性可排除一些个选项．从而得以解决．解：∵cos （﹣x ）＝cos x ，∴y =lncosx(−π2＜x ＜π2)是偶函数，可排除B 、D ，由cos x ≤1⇒ln cos x ≤0排除C ，故选：A ．【点评】本小题主要考查复合函数的图象识别．属于基础题．三、解答题（共5题，共计44分） 16．解方程：log 2（x ﹣3）−log 12x =2．【分析】由已知中log 2（x ﹣3）−log 12x =2，由对数的运算性质，我们可得x 2﹣3x ﹣4＝0，解方程后，检验即可得到答案．解：若log 2（x ﹣3）−log 12x =2．则x 2﹣3x ﹣4＝0，… 解得x ＝4，或x ＝﹣1 经检验：方程的解为x ＝4．…【点评】本题考查的知识点是对数的运算性质，其中利用对数的运算性质，将已知中的方程转化为整式方程是解答醒的关键，解答时，易忽略对数的真数部分大于0，而错解为4，或﹣1．17．已知−π2＜x ＜0，则sin x +cos x =15．（I ）求sin x ﹣cos x 的值；（Ⅱ）求3sin 2x 2−2sin x 2cos x 2+cos 2x2tanx+cotx的值．【分析】（Ⅰ）把sin x +cos x =15两边平方求得sin x cos x 的值，进而根据∵（sin x ﹣cos x ）2＝1﹣2sin x cos x 求得（sin x ﹣cos x ）2＝，进而根据−π2＜x ＜0确定sin x ﹣cos x 的正负，求得答案．（Ⅱ）先把原式中的正切转换成弦，进而根据倍角公式化简整理，把（1）中求得的sin x cos x 和sin x ﹣cos x 代入即可得到答案．解：（Ⅰ）由sin x +cos x =15，平方得sin 2x +2sin x cos x +cos 2x =125，即2sin x cos x =−2425． ∵（sin x ﹣cos x ）2＝1﹣2sin x cos x =4925．又∵−π2＜x ＜0，∴sin x ＜0，cos x ＞0，sin x ﹣cos x ＜0，故sin x ﹣cos x =−75．（Ⅱ）3sin 2x 2−2sin x 2cos x 2+cos 2x 2tanx+cotx=2sin 2x 2−sinx+1sinx cosx +cosx sinx =sin x cos x （2﹣cos x ﹣sin x ）＝（−1225）×（2−15）=−108125【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用．要特别注意函数值的正负号的判定．18．如图，甲船以每小时30√2海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°的方向B 1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距10√2海里，问乙船每小时航行多少海里？【分析】连接A 1B 2，依题意可知A 2B 2，求得A 1A 2的值，推断出△A 1A 2B 2是等边三角形，进而求得∠B 1A 1B 2，在△A 1B 2B 1中，利用余弦定理求得B 1B 2的值，进而求得乙船的速度．解：如图，连接A 1B 2，A 2B 2=10√2，A 1A 2=2060×30√2=10√2，△A 1A 2B 2是等边三角形，∠B 1A 1B 2＝105°﹣60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 12+A 1B 22﹣2A 1B 1•A 1B 2cos45°=202+(10√2)2−2×20×10√2×√22=200，B 1B 2=10√2．因此乙船的速度的大小为10√220×60=30√2．答：乙船每小时航行30√2海里．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．要能综合运用余弦定理，正弦定理等基础知识，考查了综合分析问题和解决实际问题的能力．19．已知函数f(x)=2sin 2(π4+x)−√3cos2x ，x ∈R ．（1）求f （x ）的最小正周期；（2）求使f （x ）≥0成立的x 的取值集合；（3）若不等式|f （x ）﹣m |＜2在x ∈[π4，π2]上恒成立，求实数m 的取值范围．【分析】利用二倍角的余弦函数公式化简函数解析式中的第一项，然后给化简后的后两项提取2，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，（1）由化简后的解析式，找出ω的值，代入周期公式T =2πω，即可求出函数的最小正周期；（2）令化简后的解析式大于等于0，求出正弦函数的值域，根据正弦函数的图象与性质，列出关于x 的不等式，求出不等式的解集即可得到满足题意的集合；（3）由x 的范围，求出这个角的范围，利用正弦函数的值域得出函数f （x ）的最大值及最小值，不等式|f （x ）﹣m |＜2在x ∈[π4，π2]上恒成立，即f （x ）﹣2＜m ＜f （x ）+2在x ∈[π4，π2]上恒成立，根据函数的最值，即可得到m 的范围．解：f(x)=[1−cos(π2+2x)]−√3cos2x （1分）=1+sin2x −√3cos2x=2sin(2x −π3)+1，（1）T =2π2=π；（2）2sin(2x −π3)+1≥0⇒sin(2x −π3)≥−12∴2kπ−π6≤2x−π3≤2kπ+5π6，k∈Z∴kπ+π12≤x≤kπ+7π12，k∈Z，∴使f（x）≥0成立的x的取值集合为{x|kπ+π12≤x≤kπ+7π12，k∈Z}；（3）∵x∈[π4，π2]，∴2x−π3∈[π6，2π3]，∴2≤1+2sin(2x−π3)≤3，∴[f（x）]max＝3，[f（x）]min＝2，∴|f（x）﹣m|＜2在x∈[π4，π2]上恒成立，即f（x）﹣2＜m＜f（x）+2在x∈[π4，π2]上恒成立，∴[f（x）]max﹣2＜m＜[f（x）]min+2，∴1＜m＜4，∴实数m的取值范围为[1，4]．【点评】此题考查了三角函数的周期性及其求法，正弦函数的定义域及值域，正弦函数的单调性，以及不等式恒成立满足的条件，利用三角函数的恒等变形把函数解析式化为一个角的正弦函数是本题的突破点．20．我们把平面直角坐标系中，函数y＝f（x），x∈D上的点P（x，y），满足x∈N*，y∈N*的点称为函数y＝f（x）的“正格点”．（1）请你选取一个m的值，使对函数f（x）＝sin mx，x∈R的图象上有正格点，并写出函数的一个正格点坐标（2）若函数f（x）＝sin mx，x∈R，m∈（1，2），与函数g（x）＝lgx的图象有正格点交点，求m的值，并写出两个函数图象的所有交点个数．（3）对于（2）中的m值，函数f（x）＝sin x，x∈[0，59]时，不等式log a x＞sin mx恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）取m=π2，可求相应正格点坐标；（2）作出两个函数图象，利用图象可知正格点交点只有一个点为（10，1），从而有2kπ+π2 =10m，m=4k+120π，(k∈z)，m∈(1，2)，所以m=9π20，故可解；（3）利用（2）的图象，分a＞1、0＜a＜1进行讨论．解：（1）若取m=π2时，正格点坐标（1，1），（5，1）（9，1）等（答案不唯一）…（2）作出两个函数图象，可知函数f（x）＝sin mx，x∈R，与函数g（x）＝lgx的图象有正格点交点只有一个点为（10，1）∴2kπ+π2=10m，m=4k+120π，(k∈z)，m∈(1，2)，∴m=9π20．…根据图象可知：两个函数图象的所有交点个数为5个．（注意：最后两个点非常接近，几乎粘合在一起．）…（3）由（2）知f(x)=sin 9π20x，x∈[0，59]，∴①当a＞1时，不等式log a x＞sin mx不能成立…②当0＜a＜1时，由图（2）可知loga 59＞sinπ4=√22，∴(59)√2＜a＜1⋯【点评】本题考查新定义，考查数形结合的思想，正确理解新定义时关键．。

2009学年度第二学期高年级文科数学期中试卷

北京四中2008—2009学年度第二学期高二年级文科数学期中试卷（试卷满分：150分考试时间：120分钟）A 卷本卷满分：100分一、选择题（每题5分，共60分）1. 已知点P 是曲线1x 2x y 3++=上的一点，过点P 的切线l 平行于直线3x 2y -=，则切线l 的方程是（）A. 1x 21y +-=B. 1x 2y +=C. y=2xD. x 2y 1x 2y =+=或 2. 函数x x 1)x ('f )x (f -=的导函数为，则f(x)的单调递增区间是（） A. )0,(-∞ B. ),1(+∞ C. （0，1） D. ),1()0,(+∞-∞3. 已知复数i )6m m ()4m (z 22--+-=是纯虚数，则实数m=（）A. 2±B. 2-C. 2D. 34. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，应假设（）A. 三内角都不大于60°B. 三内角都大于60°C. 三内角至多有一个大于60°D. 三内角至多有两个大于60°5. 函数)1x ()1x (y 2-+=在x=1处的导数值为（）A. 1B. 2C. 3D. 46. 设函数)x (f y =的导函数)x ('f y =的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是（）A. x a y =B. x log y a =C. x xe y =D. x ln x y =7. 设2i 1i 1a ,R a +++∈且是实数，则a=( ) A. 21 B. 1 C. 23 D. 2 8. 若)2x ln(b x 21)x (f 2++-=在区间),1(+∞-上单调递减，则实数b 的取值范围是（） A. ),1[+∞- B. ),1(+∞- C. ]1,(--∞ D. )1,(--∞9. ),0()x (f +∞是定义在上的可导函数，且满足0)x (f )x ('xf ≤+，对任意正数a ，b ，若a<b ，则必有（）A. )a (bf )b (af ≤B. )b (af )a (bf ≤C. )b (bf )a (af ≤D. )a (af )b (bf ≤ 10. 函数d cx bx ax )x (f 23+++=的图象如图所示，且f(x)在0x x =与x=2处取得极值，则)1(f )1(f -+的值一定（）A. 等于0B. 大于0C. 小于0D. 小于或等于011. 定义在R 上的函数f(x)满足)y (f )x (f )y x (f +=+，R y ,x ∈，且f(1)=2，有下面的四个式子：①)1(nf )1(f 2)1(f +++ ；②⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2)1n (n f ；③)1n (n +；④)1(f )1n (n +，则其中与)n (f )2(f )1(f +++ 相等的有（） A. ①③ B. ①②C. ①②③D. ①②③④ 12. n 个连续自然数按如下规律排成下表，根据规律，从2008到2010的箭头方向依次为（） 03 →4 7 → 8 11… ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ 1→ 2 5 → 6 9 → 10 A. ↓ → B. → ↑ C. ↑ → D. → ↓二、填空题（每题5分，共20分）13、计算：=+-i43i 23___________。

北京师大附中20082009学年度第二学期期中考

北京师大附中2008-2009学年度第二学期期中考试高二数学试卷（理科）本试卷共150分，考试时间120分钟。

一、选择题（5010'5=⨯分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设曲线4x y =的一条切线的斜率为4-，则该切线的方程为（）A. 03y 4x =-+B. 05y 4x =-+C. 05y x 4=++D. 03y x 4=++2. 函数[-1,2]x a 3ax x 31)x (f 223在区间--=上是减函数，则实数a 的取值范围是（） A. ]32,0( B. ),32[+∞ C. ),1[+∞ D. ]1,32[3. 函数)x 1ln(x )x (f +-=的单调增区间为（）A. )0,1(-B. ),0()1,(+∞⋃--∞C. ),1()0,(+∞⋃-∞D. ),0(+∞4. 某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这三个节目插入节目单中，那么不同插法的种数为（）A. 504B. 210C. 336D. 1205. 从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（）A. 140种B. 120种C. 35种D. 34种 6. 若i 3a i 1i31+=+-，则=a （） A. i - B. i 51--C. i 32-D. i 21-7. 已知复数=++=-=|z z |,)i 2(i23z ,i 32z 21221则（） A. 49B. 7C. 25D. 58. 已知⎰=++=11-22f (a)f (x)dx ,1x 2x 3)x (f 若，则a 的值为（）A. 1或31B. 311--或C. 311或-D. 1或31-9. 正三角形按一定的规则“挖洞”下列三个图形依次是此过程的挖前及前两次挖后的情形，则在第1n -次挖洞后的图形中，阴影三角形的个数为（）A. 1n 3-B. 23n -C. n 23n -D. 3n 231n -+-10. 函数b kx y +=，其中)0k (b ,k ≠是常数，其图像是一条直线，称这个函数为线性函数，对于非线性可导函数)x (f ，在点0x 附近一点x 的函数值)x (f ，可以用如下方法求其近似代替值：)x x )(x ('f )x (f )x (f 000-+≈，利用这一方法求998.3m =的近似代替值（） A. 大于m B. 小于mC. 等于mD. 与m 的大小关系无法确定二、填空题（255'5=⨯分）：11. 函数2x y x y 2==与的图象所围成的阴影部分（如图）的面积是_________。

08-09-2高等数学A期中卷.

2008-2009学年第二学期高等数学A 期中考试试卷一．选择题(每题3分，共21分)1．曲面x y z a 2222++=与x y az a 2220+=>()的交线是( A )。

（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线2．直线53702370x y z x y z +−−=+−−=⎧⎨⎩ ( B )。

（A ）与yoz 平面垂直（B ）在yoz 平面内（C ）与x 轴平行（D ）在xoy 平面内3．设u x bxy cy =−+222，∂∂u x(,)218=，∂∂u y (,)214=，则∂∂∂2ux y = ( C )。

(A) 2 (B) －2 (C) 4 (D) －44．曲线2sin ,4cos ,x t y t z t ===在点(,,)202π处的法平面方程是( D )。

(A) 242x z −=−π(B) 224x z −=−π(C) 42y z −=π (D) 42y z −=−π5．函数z x y =+22在点(1,1 )沿{}K l =−−11,方向的方向导数为( B )。

(A) 最大 (B) 最小 (C) 0 (D) 16．设函数(,)f x y 连续，交换二次积分ln 10(,)ex dx f x y dy ∫∫积分次序的结果为( D )。

(A) ln 1(,)e x dy f x y dx ∫∫(B) 1(,)y eedy f x y dx ∫∫(C)ln 01(,)x e dy f x y dx ∫∫ (D) 10(,)ye e dyf x y dx ∫∫7．设函数(,)f x y 在221x y +≤上连续，使2211(,)4(,)x y f x y dxdy dx f x y dy +≤=∫∫∫∫成立的充分条件是( B )。

(A) (,)(,)f x y f x y −=，(,)(,)f x y f x y −=− (B) (,)(,)f x y f x y −=，(,)(,)f x y f x y −= (C) (,)(,)f x y f x y −=−，(,)(,)f x y f x y −=− (D) (,)(,)f x y f x y −=−，(,)(,)f x y f x y −=二．填空题(每题3分，共21分)1．过点(,,)121且与向量{1,2,3},{0,1,1}a b =−−=−−G G平行的平面方程为 _____________________________________。

《高等数学》(Ⅱ)期中试题及答案解析

中国石油大学（北京）2008／2009学年第二学期《高等微积分》(Ⅱ) 期中试卷一、填空题（本题包括5小题，每小题4分，本题满分20分）1. 函数)ln(),(22y x y x f +=沿21bl al l +=方向的方向导数，其中b a ,为正实数，{}{}1,0,0,121==l l ：。

⎰⎰⎰Ω++=--=+=Ω积分是在球面坐标系下的三次为连续函数其中则重积分所围成的积分区域是由设)()(,4.22222222f dv z y x f I y x z y x z 与。

()()()=+→2222,0,lim .3yx y x yx 。

().)2,0(,11)(,21)(.41∈----=∑∞=x x x x f x x x f n n 的幂级数是展开成将设.222)(,0,0,2)(.5πππππ+=⎩⎨⎧≤<≤<-=处收敛于为周期的傅里叶级数在的以则设x x f x x x x f二、计算题（本题包括6小题，每小题8分，本题满分48分）1、讨论函数()()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0,,00,1sin ,22222222y x y x y x y x y x f 在()0,0点的偏导数，偏导函数连续性及可微性。

2、试将yux u 2222∂∂+∂∂化成极坐标的形式。

3、试将()()π≤≤=x x x f 0展开成为正弦，余弦级数，并写出和函数()x s 。

4、试求内接于椭球1222222=++cz b y a x 的长方体中（长方体的各面平行于坐标轴）体积最大者。

5、计算积分()⎰⎰++Dyx adxdy,23222其中D 为a y a x ≤≤≤≤0;0。

6、证明曲线t t tae z t ae y t ae x ===,sin ,cos 与锥面222z y x =+的各母线相交的角度相同。

三、（本题满分8分）.,,还是条件收敛若收敛是绝对收敛敛散性试判断下列两个级数的∑∞=+-1;)1ln()1()1(n n n .,0)1ln(1,故该级数收敛这是一交错级数解↓→+n.................)2(分及比较判别法知故由调和级数的发散性都有又,1)1ln(1)1ln()1(:,,2,1nn n n n >+=+-=∀ .)1(,)1(仅条件收敛即级数非绝对收敛该级数 .......................................................................)4(分∑∞=++-11.2)1()1()2(n n n n n ,2)1()1(,1nn n n n u +-=+令这是一交错级数解 .)2(,121)21(21lim 2)1(2)2)(1(lim ||||lim 11绝对收敛故知级数由于<=+=+++=∞→+∞→+∞→n n n n n u u n nn n nn n...........)8(分四、（本题满分6分）设函数)(),(y x g x y xy f z +=,其中g f ,均具有二阶连续偏导数, 求yx z∂∂∂2.:,,,有由四则法则与链式法则令解yxw x y v xy u === g y f xy f y•x w g x v f x u f x z '+'-'=∂∂'+∂∂'+∂∂'=∂∂122121 ........................................................................)4(分 y y y g y g yf x y f x f y•f y x z )(11)(1)(22222112''+'-''-'-''+'=∂∂∂ ............................................................)6(分 y wg y g yy v f y u f x y f x y v f y u f y•f ∂∂''+'-∂∂''+∂∂''-'-∂∂''+∂∂''+'=11)(1)(2222122212111g yx g y f x f f x y f y x f y x f xy ''-'-'-'+''-''-''+''=3222122321121111 ....................................................)8(分 .113222122311g yxg y f x f f x y f xy ''-'-'-'+''-''=或 ...............................................................)8(分五、（本题满分8分）在极坐标系下交换积分的次序。

高等数学第二学期期中考试试卷及答案(优选.)

卷号：（A ）（年月日）机密学年第2学期2010级计算机专业《高等数学》期中考试试卷A 卷一、选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1.下列方程所示曲面是双叶旋转双曲面的是( )(A) 1222=++z y x (B) z y x 422=+(C) 14222=+-z y x (D) 1164222-=-+z y x 2.二元函数 222214y x y x z +++=arcsin ln的定义域是( )(A) 4122≤+≤y x (B) 4122≤+<y x (C) 4122<+≤y x (D) 4122<+<y x3.已知),(y x f 在点),(00y x 处连续,且两个偏导数),(00y x f x ,),(00y x f y 存在是),(y x f 在该点可微的( )(A) 充分条件,但不是必要条件; (B) 必要条件,但不是充分条件;(C) 充分必要条件 ; (D) 既不是充分条件,也不是必要条件. 4. 下列直线中平行xOy 坐标面的是________ ．（A ）．233211+=+=-z y x ；（B ）．⎩⎨⎧=--=--04044z x y x ；（C ）．10101zy x =-=+；（D ）．3221=+=+=z t y t x ，，． 5.函数z y x u sin sin sin =满足),,(0002>>>=++z y x z y x π的条件极值是( )(A) 1 ; (B) 0 ; (C) 61 ; (D) 81 . 二、填空题（本大题共10个填空题，每空3分，共30分）1.已知52==||,||b a 且,),(3π=∠b a则_______)()(=+⋅-b a b a 32.2.通过曲线⎩⎨⎧=-+=++0562222222y z x z y x ,且母线平行于y 轴的柱面方程是_________________. 3.若),ln(222z y x u ++=则._________________=du4. 已知球面的一直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________________．.5. 函数2223u x y z z =++-在点()01,1,2M -的梯度为___________及沿梯度方向上函数的方向导数为_________.6．设二元函数y x xy z 32+=，则=∂∂∂yx z2_______________． 7．设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 , 00 , ),(2222222y x y x y x y x y x f ,求),(y x f x =___________________________.8.xy y x y x +→)2,1(),(lim=___________.y xy y x )tan(lim )0,2(),(→=___________.三、解下列微分方程（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 1．给定一阶微分方程dydx= 3x （1）求它的通解；（2）求过点（2，5）的特解；（3）求出与直线y = 2x – 1 相切的曲线方程。

2008-2009(2)A

(C)2
；
2.二元函数 z = f ( x, y ) 在 ( x0 , y 0 ) 处可微的充分条件是（ ( A） f ( x, y ) 在 ( x0 , y 0 ) 处连续；
（D） lim （C） ∆z − f x′ ( x 0 , y 0 )∆x − f y′ ( x0 , y 0 )∆y 当 (∆x) 2 + (∆y ) 2 → 0 时是无穷小； 3. I 1 = ∫∫ ( x + y ) 3 dxdy与I 2 = ∫∫ ( x + y ) 2 dxdy ，其中 D： − 2) 2 + ( y − 1) 2 ≤ 2 的大小关系为:（ (x
2 1.设某工厂生产甲产品数量 S(吨)与所用两种原料 A、B 的数量 x,y(吨)间的关系式 S ( x, y ) = 0.005x y ，现准备向银行贷
款 150 万元购原料，已知 A,B 原料每吨单价分别为 1 万元和 2 万元，问怎样购进两种原料，才能使生产的数量最多?
4
1 2 ( x + y 2 ) ，则 gradf (x) = 2
Γ
。。。
5. 设 Γ 为球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 被平面 x + y + z = 0 所截的圆周.计算 ∫ d s = 6.幂级数 ∑ (−1)
n =1 ∞ n −1
xn 的收敛半径 n
。
得分评卷人二、选择题（共 18 分，每小题 3 分） 1.函数 f ( x, y ) = xy 在点 (0, 0) 的极限为（ x + y2
2 0 2 0 3 0 2 0 2 0 0
π
π
1
2π 0
（D）∫ dθ ∫ 2 dϕ ∫ r 3 sin ϕ cos ϕdr ；

2008-2009年度高等数学II试题A(含答案)

暨南大学考试试卷答案及评分一、填空题（共5小题，每小题2分，共10分）1. 已知c x dx x f +=⎰2)(，则)(x f x 2 。

2. 210()x tf x e dt =⎰，则=')(x f 212x xe 。

3. 设级数10)52(+∞=∑n n ，则级数的和 =s32 。

4. 设D 是由4122≤+≤y x 围成的区域，则⎰⎰=Ddxdy π3 。

5. 设)ln(),(y x y x f +=，则=')1,1(y f 21。

二、单项选择题（共10小题，每小题2分，共20分）1. x e 2-的原函数是（ C ）(A ) x e 2- (B) x e 2-- (C ) x e 221-- (D) x e 221- 2. =+∆)1(2x （ C ）(A ) 2x (B) 1+x (C) 12+x (D) x 2 3. 若x x f +='1)(，则=)(x f （ B ）(A) C x x ++2 (B) C x x ++221 (C) C x ++2211 (D) C x x ++224. 21ln d x dx dx=⎰（ D ） (A) C x x +ln (B) C x x x +-ln (C) C x + (D) 0 5. 下列广义积分收敛的是（ C ） (A) 1cos xdx ∞⎰(B)11dx x∞⎰(C)211dx x∞⎰(D) 1x e dx ∞⎰6. 设xy z =，则=dz （ C ）(A) ydy xdx + (B) dy dx + (C) xdy ydx + (D) 0 7.下列级数收敛的是（ B ） (A )∑∞=11n n(B )∑∞=11n nn(C) ∑∞=11n n (D)nn ∑∞=1)56(8. =ΓΓ)21()23(（ D ）(A) 51 (B) 41(C) 31 (D) 219. 函数),(y x f z =在点),(00y x 处的偏导数存在是函数在该点可微的（ A ）(A) 必要条件 (B) 充分条件(C) 充要条件 (D) 既非充分又非必要条件 10. 微分方程yxdx dy -=的通解为（B ） (A) C y x =+ (B) C y x =+2323(C) C xy = (D) C y x =-2323三、计算题（共62分）1.dx x x ⎰++11 (7分)解令1+=x t ，则12-=t x ，tdt dx 2= 2分原式= 2121t tdt t-+⎰=22()t t dt -⎰ =32123t t C -+ =2(3x x C ++ 7分其中11C C =-。

08-09期中八年级数学试卷和答案

八年级数学第页共6页1 2008～2009学年第二学期八年级期中考试数学试题一. 填空题（每空2分，共30分）1．用科学记数法表示0.000043为。

2.计算：计算()=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--1311 ； 232()3y x=__________； a b b b a a -+-＝； yx x x y xy x 22+⋅+= 。

3.当x 时，分式51-x 有意义；当x 时，分式11x 2+-x 的值为零。

4.反比例函数xm y 1-=的图象在第一、三象限，则m 的取值范围是；在每一象限内y 随x 的增大而。

5. 如果反比例函数x my =过A （2，-3），则m= 。

6. 设反比例函数y=3mx-的图象上有两点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），且当x 1<0<x 2时，有y 1<y 2，则m 的取值范围是． 7.如图由于台风的影响，一棵树在离地面m 6处折断，树顶落在离树干底部m 8处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是 m.8. 三角形的两边长分别为3和5，要使这个三角形是直角三角 A D形，则第三条边长是．9. 如图若正方形ABCD 的边长是4，BE=1，在AC 上找一点使PE+PB 的值最小，则最小值为。

C八年级数学第页共6页210.如图，公路PQ 和公路MN 交于点P,且∠NPQ=30°，公路PQ 上有一所学校A,AP=160米，若有一拖拉机沿MN 方向以18米∕秒的速度行驶并对学校产生影响，则造成影响的时间为秒。

二.单项选择题（每小题3分，共18分）11．在式子1a 、2xy π、2334a b c 、56x +、78x y+、109x y +中，分式的个数有（）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个 12.下面正确的命题中，其逆命题不成立的是（）A.同旁内角互补，两直线平行B.全等三角形的对应边相等C.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等D.对顶角相等13．下列各组数中，以a 、b 、c 为边的三角形不是直角三角形的是（）A . 1.5,2,3a b c ===B . 7,24,25a b c ===C . 6,8,10a b c === D. 3,4,5a b c === 14．在同一直角坐标系中，函数y=kx+k 与(0)ky k x=≠的图像大致是（）15．如图所示：数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值是（A ．16．如图，已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C /处，BC /交AD 于E ，AD =8，AB =4，则DE 的长为（）．A ．3B ．4C ．5D ．6八年级数学第页共6页3 三、解答题：17.（8分）计算：（1）xy y x y x ---22 （2）22111a a a a a ++---18．（6分）先化简代数式1121112-÷⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+a a a a a a ，然后选取一个使原式有意义的a 的值代入求值.19.（8分）解方程：（1）1233x x x=+-- （2）482222-=-+-+x x x x x八年级数学第页共6页4/ 2mm20.（6分）已知：如图，四边形ABCD ，AB=8，BC=6，CD=26，AD=24，且AB ⊥BC 。

(8)08-09高数A(下)A卷试题参考答案

2008-2009（2）高数A （下）试题参考答案一、填空题（每小题3分，共15分）1. 1；2. 0；3. 22 ；4. 05. 512x x y C e C e -=+二、选择题（每小题3分，共15分）：1. B2. C 3 . B 4 . A 5 . C三、计算题（每小题7分，共21分）：1.解：z y y y x xy x∂==∂ …………………………………2分 ()()ln ln 1z x xy y xy y xy∂=+=+∂ …………………………………5分 21z x y x∂=∂∂ …………………………………7分 2.解：21111y e Dd dy dx xy xy σ=⎰⎰⎰⎰ …………………………………4分 []21111ye lnx dy y==⎰ …………………………………7分 3.解：补上曲面1∑：1,z =(,)x y ∈22:1x y +≤D ，取上侧.则∑和1∑围成封闭空间闭区域 Ω.由高斯公式得()12x z dydz zdxdy ∑+∑++⎰⎰=3dv Ω⎰⎰⎰ 221100332d d dz πρθρρπ==⎰⎰⎰ …………………………………4分 ()12x z dydz zdxdy ∑++⎰⎰1Ddxdy dxdy π∑===⎰⎰⎰⎰ ………………………5分()2x z dydz zdxdy ∑++⎰⎰=()12x z dydz zdxdy ∑+∑++⎰⎰()12x z dydz zdxdy ∑-++⎰⎰3122πππ=-= …………………………………7分四、计算题（每小题7分，共21分）：1.解：补上BA :0,y x =从a 到-a 。

设L 与BA 所围成的区域为 D.由格林公式，得()2222DL BA xy dy x ydx x y dxdy +-=-+⎰⎰⎰340014ad d a πθρρπ=-=-⎰⎰ …………………………………4分而 220BA xy dyx ydx -=⎰ …………………………………5分所以 222222414L L B A B A x y d y x y d x x y d y x y d x x y d y x y d x a π+-=---=-⎰⎰⎰………7分2.解：原方程可变形为211dxx dy y y -= …………………………………2分设()()211P y ,Q y y y =-=，代入公式，得原方程的通解为()()()P y dy P y dyx e Q y e dy C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰ 1121dy dyy y e e dy C y ⎛⎫--- ⎪⎝⎭⎛⎫⎰⎰=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎰ 21122y C Cy y y⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭ …………………………………7分3.解：222u u uu i j k y zi xyzj xy k x y z ∂∂∂∇=++=++∂∂∂函数在点P 处的梯度为 24P u i j k ∇=-+…………………………………4分函数在点P 处沿24P n u i j k =∇=-+处的方向导数为 2421P P uu i j k n ∂=∇=-+=∂…………………………………7分五、计算及应用（每小题8分，共16分）1.解：幂级数的收敛半径为1R =，当1x =±时，级数发散，级数的收敛域为()11,-.设()()000212n n n n n n S x n x nx x ∞∞∞====+=+∑∑∑，()11x ,∈- …………………………………3分()101112222n n n n n n n n nx x nx xx x x∞∞∞∞-===='⎛⎫'=== ⎪⎝⎭∑∑∑∑()22211x x x ,x x '⎛⎫== ⎪-⎝⎭- ()11x ,∈- …………………………………5分 01,1n n x x∞==-∑ ()11x ,∈- …………………………………7分 ()()000212n n n n n n S x n x nx x ∞∞∞====+=+∑∑∑()221xx =-11x +-()211x x +=-， ()11x ,∈- …………………………………8分 2.解：曲面22z xy x y =++在点()P x,y,z 处的法向量为()221n y x,x y,=++- ，由条件知，已知平面的法向量()1331n ,,=- 与向量n 平行，得2211331y x x y ++-===-，又点P 在曲面22z xy x y =++上，所以点P 的坐标为(1,1,3) ……………………4分所求的法平面方程为()()()313130x y y z -+---= ，即 3330x y z +--=…………6分法线方程为113331x y z ---==- …………………………………8分六、证明题（每小题6分，共12分）1.证： ()()u u f u yf u y y ∂∂'=+∂∂ ()()1f u u y yf u ∂='∂-…………………………………3分 ()1u u yf u x x ∂∂'=+∂∂ ()11u x yf u ∂='∂-…………………………………5分 ()u u f u y x∂∂∴=∂∂ …………………………………6分 2.证：（1）因为已知数列{}n a 为有界单调增加数列，且0n a >，所以由单调有准则知n n lim a →∞存在，不妨设为n n lim a A →∞=。

2008-2009高数2A答案

重庆三峡学院 2008 至 2009 学年度第 2 期高等数学（二）试题（A ）答案试题使用对象：全院 2008 级工科各专业(本科)命题人：陈晓春考试用时 120 分钟答题方式采用：闭卷一、填空题（每小题3分，本题共15分）1． 0 2．332R π 3． 334R π 4. 1> 5． 21221C x C x e y x+++= 二．单项选择题（每小题3分，本题共15分）1． B2. A3. C4. D5． A二、计算题（每小题8分，共7小题，共56分）1、设函数),(xy y x f +=μ，具有二阶连续偏导数，求x u ∂∂，yx u ∂∂∂2。

解．y f f xu 21'+'=∂∂… …4分 2222112112f f xy f y f x f yx u ''+''+''+''+''=∂∂∂… …8分 2、求曲线x t t y t z t t =+=-=+27425422,,在点(,,)--561处的切线及法平面方程。

解： 1-=t 对应点(,,)--561 1分对应的切线方向向量)6,4,3(|)410,4,74(|))(),(),((11-=++='''=-=-=t t t t t z t y t x τ4分切线方程 614635--=+=+z y x 6分法平面方程为0)1(6)6(4)5(3=--+++z y x或 045643=+-+z y x8分 3、画出积分区域的草图，并计算二重积分⎰⎰=D dxdy x I 2，其中D 是由曲线2=xy ，21x y +=及直线2=x 所围成的区域。

解：图 2分⎰⎰+=212212x xdy dx x I 4分⎰-+=2122)21(dx x x x ⎰-+=2142)2(dx x x x 6分 1583]5131[21253=-+=x x x 8分 4、求幂级数∑∞=-1)2(n n n x 的收敛半径与收敛域。

高等数学下册期中考试题(答案)

K b
= 19 ，
K a
+
K b
= 24 ，则
K a
−K b=． Nhomakorabea2、设 x2 + 2xy + y + zez = 1，则 dz =
.
(0,1)
∫ ∫ e
ln x
3、设 f (x, y) 为连续函数，交换积分次序： dx f (x, y)dy =
1
0
.
y
4、函数 f (x, y, z) = x z 的梯度为 grad f (x, y, z) =
所求的最大值为 f (1, 0) = 4 ，最小值为 f (−1, 0) = −4 ……………….………..….【12】
2
2009－2010 学年第二学期华侨大学 09 级高等数学 A(下册)期中考试试题参考解答与评分标准
3
六、【9 分】解：由 ∂z = x , ∂z = y 得 1+ ( ∂z )2 + ( ∂z )2 = 2 ….….….….….【3】
.
∫∫ 5、设 D = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 4 } ，则 ( x2 + y2 )dxdy =
D2 3
.
※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：班级、姓名、学号。
二．试解下列各题：（本题共 5 小题，每小题 7 分，满分 35 分）
1、【7
分】已知直线
2
５、解： lim (x, y)→(0,0)
xy 2 − exy
= lim xy( −1 (x,y)→(0,0)
2 − exy 1− exy
+ 1)
……………….....

同济大学08-09-3高数A下册期中试题解答

共 4 页第 1 页08-09-3高数A （期中）试卷参考答案09.4.17一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分） 1．交换积分次序202422402d (,)d d (,)d d (,)d y x x x f x y f x y x y f x y x y y -+--+=⎰⎰⎰⎰⎰；2．设e 10z -=，则Re ln 2z =，2,0,1,23Im ,k k z ππ-+=±±=；3．设(,)z z x y =是由方程22()y z xf y z +=-所确定的隐函数，其中f 可微，则全微分21d d 1212d f xyf x y xz z f xzf ='-+''++；4．设C 为由x y π+=与x 轴,y 轴围成的三角形的边界,ed x yCs +=⎰e 2)2π+-5．设(,)f x y 连续，{}2(,)01,0D x y x y x=≤≤≤≤，且(,)(,)d d Df x y xy f x y x y =+⎰⎰则(,)d d 18Df x y x y =⎰⎰．二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）6．函数22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点(0,0)处 [ C ](A)连续且偏导数存在 (B) 连续但偏导数不存在(C)不连续但偏导数存在 (D) 不连续且偏导数不存在7设{}22(,)1D x y x y =+≤,1D 为D 在第一象限部分,则下列各式中不成立的是[ B ] （A）1d 4d DD x y x y = （B ）1d d 4d d DD xy x y xy x y =⎰⎰⎰⎰（C ）32()d d 0Dx x y x y +=⎰⎰ （D ）2332d d d d DDx y x y x y x y =⎰⎰⎰⎰ 8设()[0,)f t C ∈+∞,2222222()()d x y z R I R f x y z v ++≤=++⎰⎰⎰,则当0R +→时,()I R [ D ]（A ）是R 的一阶无穷小（B ）是R 的二阶无穷小共 4 页第 2 页（C ）是R 的三阶无穷小（D ）至少是R 的三阶无穷小 9．设(,)f x y 在原点的某邻域内连续，且2200(,)(0,0)lim01sin cos x y f x y f a x x y y →→-=>+--，则 [ B ]（A ）(,)f x y 在原点处取得极大值（B ）(,)f x y 在原点处取得极小值（C ）不能断定(,)f x y 在原点处是否取得极值（D ）原点一定不是(,)f x y 的极值点三.计算下列各题(本题共5小题，每小题8分，满分40分) 10．计算二重积分2223d Dx y x y σ++⎰⎰，其中{}22(,)1,1D x y x y x y =+≤+≥. 解 12122220cos sin 23555d d d (cos sin )d 5224DD x y x y x y x y πϕϕσσϕϕϕρπ+++==+=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 11．计算曲面积分()d z y A ∑+⎰⎰，其中∑是由0,1z z ==与2221zx y +=+所围成的立体的表面.解 2211:0x y z ⎧+≤∑⎨=⎩，2222:1x y z ⎧+≤∑⎨=⎩，22231:01x y z z ⎧+=+∑⎨≤≤⎩，2212:0x y D z ⎧≤+≤⎨=⎩123()d d d d d 2d Dz y A z A z A z A z A x y π∑∑∑∑∑+==++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰522d 3ππρπ⎫=+=⎪⎭⎰12．求2222d d d d x y z y z x x y z∑∧+∧++⎰⎰，其中∑为圆柱体222y z R +≤， (0)x R R ≤>的表面，取外侧. (本题取消)解 2221:y z R x R ⎧+≤∑⎨=-⎩取后侧，2222:y z R x R ⎧+≤∑⎨=⎩取前侧，2223:y z Rx R⎧+=⎪∑⎨≤⎪⎩取外侧，{}(,),zx D z x z R x R =≤≤，12322222222222222d d d d d d d d d d x y z y z x R y z R y z y z xx y z R y z R y z x R ∑∑∑∑∧+∧∧∧∧=+++++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰共 4 页第 3 页22202d 2zxD R z x x R π=+=+⎰⎰13．求由曲面221,1x z y z +=+=和0z =所围成的质量均匀分布的立体的质心坐标. 解由对称性知0x y ==，质量12008d (1)d 2xm x x y μμ=-=⎰⎰，对xOy 平面的静力矩211028d d d 3xx xy M x y z z μμ-==⎰⎰⎰， 13xy M z m == 另解 0x y ==，用切片法(()21021d 13d xy z zM z mzμμ===⎰⎰ 14．已知解析函数()f z 的实部22(,)2xu x y xy x y =++,求()f z 的表达式（用变量z 表示）和(i)f '．解 ()222222122v u y y y x x y x y ∂∂==-+∂∂++，222()y v y x x y ϕ=-++， ()()22222222()2v xy u xy x x x y x y x y ϕ∂∂'=+=-=-+∂∂++，2()x x C ϕ=--， ()21()i f z z C z=-+， (i)3f '= 另解：因为解析，所以))(22())(2()(22222222y x xyx i y x x y y iu u z f y x +--+-+=-=' 从而z i zz f 21)(2--='C iz z z f +-=⇒21)( 四（15）（本题满分8分）求函数22223u x y z =++在球面2221x y z ++=和平面0x y +=的交线上的最大值与最小值.解首先根据条件得2222222332333u x y z y x x =++=--=-≤，且在点(0,0,1)± 处，max3u =，继续由条件得()()22222133331222z u x z z z ⎛⎫-=+=+=+≥ ⎪⎝⎭，且在点,02⎛⎫⎪⎝⎭处，min32u=五（16）（本题满分8分）试求过直线20530x yx y z+-=⎧⎨---=⎩，且与曲面22z x y=+相切的平面方程.解设过直线20530x yx y z+-=⎧⎨---=⎩的平面方程为(1)(15)230x y zλλλλ++----=，设切点为000(,,)x y z，则0000022000(1)(15)230(1)221(2)115(3)x y zx yz x yλλλλλλλ++----=⎧⎪⎪==⎨+-⎪⎪=+⎩由（2），（3）解得00115,22x yλλλλ+-==，2202(1)(15)4zλλλ++-=，代入（1）得27810λλ-+=，解得1211,7λλ==，从而两切平面方程分别为2450x y z---=和82170x y z+--=。

XXX《高等数学(A)》期中试卷(含答案)

XXX《高等数学(A)》期中试卷(含答案)的区域为圆盘D，半径为t。

根据题意，有：limtx2y2t2f(x2y2)dxdyt4limtDf(x2y2)dxdyt4limt2t(t2r2) f(r2) rdrdt4limt2t(t2r2) f(r2) rdrt4limt2t(1(r/t)2) f(r2) rdr t2令u=r/t，则上式变为：limt2t(1u2) f(t2u2) tdu t221(1u2) f(u2t2) du22f(0)limt01(1u2) du2f(0)因此，所求极限为f(0)。

2、解：eydydx = ∫e^x [y]0^1 dx = ∫e^x (3x) dx = 3∫x e^x dx 3[xe^x - ∫e^x dx] = 3xe^x - 3e^x + C因此，所求积分为3xe^x - 3e^x + C。

3、解：根据题意，有：xyz + x^2 + y^2 + z^2 = 2对两边同时求全微分，得：zdx + ydx + 2xdy + 2zdz = 0因此，有：dz = -(zdx + ydx + 2xdy) / (2z)在点(1.0.-1)处，有：z = f(x。

y) = 1 - x^2 - y^2y = 0，dx = 1，有：dz| (1,0,-1) = -dx / 2 = -1/2因此，所求导数为-1/2.4、解：根据题意，有：D: y = 4 - x^2.y = 2x - x^2.x + y = 0将y = 4 - x^2和y = 2x - x^2相减，得：2x - 4 = 0因此，x = 2，y = -2.将其带入原式，有：D (x^2 + y^2) dxdy = ∫0^2 ∫2x-x^2^4-x^2 dxdy 0^2 [(2x^3/3 - 2x^5/5) - (x^5/5 - x^7/21)] dx 16/15因此，所求积分为16/15.5、解：根据题意，有：z^2 = x^2 + y^2.z = 1将z带入第一个方程，得：x^2 + y^2 = 1因此，所求积分为：x^2 + z) dV = ∫0^2∫0^1 ∫0^(1-z^2) (x^2 + z) r dr dz d 0^2∫0^1 [(r^4/4 + r^2z^2/2) |0^(1-z^2)] dz d0^2 [(1/20)(1-z^2)^(5/2) + (1/6)(1-z^2)^(3/2)] dz2/15)(2 2 - 1)因此，所求积分为(2/15)(2 2 - 1)。

2008-2009年第二学期A2(经管类)高数试卷答案答案

中国矿业大学徐海学院2008－2009学年第二学期《高等数学》试卷（A2）卷答案一、 AADAC二、1. π 2.{(,)0,0}x y x x y >+> 3、24 4、3 5、（1，－2）三、1．（8分）计算二重积分22()D x y dxdy +⎰⎰，其中2222:2,4D x y x x y x +≥+≤。

452π 2．（6分）v u z ln 2=，x y u =，22y x v +=，求x z ∂∂,yz ∂∂。

解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=)ln(22222232y x y x x xy z x ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=)ln(2222222y x y x y x y z y 3、（8分）将13x+展开成x -2的幂级数. 解：2345234511111...........(1).......................(2)11111122[1()235(2)555515222()()()...........].......................555(2)(1)5n n nn x x x x x x xx x x x x x x x x +-∞==-+-+-+<+--∴===-+-++-+----+-+-=-∑分（4分）或者2(137) (5)x x -<-<<即（2分）4、（8分）计算曲线积分dy y x x y dx x y xy L )3sin 21()cos 2(2223+-+-⎰，其中L 为在抛物线22y x ⋅=π 上由点（0，0）到)1,2(π的一段弧。

解：xQ x y xy y P ∂∂=-=∂∂cos 262，积分与路径无关，故可以换路径为：AB OA →，其中)1,2(),0,2(ππB A 在OA 上：x y ,0=从0变化到2π， 0)3sin 21()cos 2(2223=+-+-⎰dy y x x y dx x y xy OA ；在AB 上：y x ,2π=从0变化到1，4)3sin 21()cos 2(22223π=+-+-⎰dy y x x y dx x y xy AB ；所以：原式=42π。

《高等数学》(下)2008-2009学年第二学期期中考试试卷

北京化工大学2008——2009学年第二学期《高等数学》（下）期中考试试卷班级：姓名：学号：分数：一、填空（3分×12 = 36分）1．设()222,,f x y z xy yz x yz =++，则()''2,0,1x y f = 。

2．设()arcsin z x y =-，而3x t =，34y t =，则d d t zt== 。

3．设3e zxyz a -=（a 为常数），则zx∂=∂ 。

4．曲线203210x z x y ⎧-=⎨++=⎩在点()1,2,1-处的切线方程为，法平面方程为。

5．函数23u x y z x yz =+-在点()1,1,2处的方向导数取得最大值的方向的方向余弦为。

6．交换二次积分的积分顺序()212d ,d xx x y y -=⎰⎰。

7．设D 是由曲线221x y +=及直线y x =所围成的位于y x =左上方闭区域，将二重积分(),d Df x y σ⎰⎰化成极坐标系下的二次积分为。

8．设Ω是由曲面2222x y z ++=与22z x y =+围成的包含正半z 轴的闭区域，三重积分(),,d f x y z v Ω⎰⎰⎰在柱坐标系下的三次积分为。

9．设Ω是由曲面22z x y =+与z =围成的闭区域，三重积分(),,d f x y z v Ω⎰⎰⎰在球坐标系下的三次积分为。

10．设L 为沿抛物线2y x =从点()1,1到点()1,1-的弧段，将对坐标的曲线积分()(),d ,d LP x y x Q x y y +⎰化成对弧长的曲线积分为。

11．设∑为曲面z =介于0z =和3z =之间部分的下侧，将对坐标的曲面积分()(),,d d ,,d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ∑++⎰⎰化成对面积的曲面积分为。

二、解下列各题（6分×4=24分） 1．设u =arctan yv x=，将方程()()0z z x y x y x y ∂∂+--=∂∂化成关于自变量,u v 的方程。