平面向量与空间向量知识点对比(一)
高中数学选择性必修一课件：用空间向量研究直线、平面的位置关系(第1课时)
(3)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，平面 PAB⊥平面 ABCD，△ PAB 是边长为 1 的正三角形，四边形 ABCD 是菱形，∠ABC＝60°， E 是 PC 的中点，F 是 AB 的中点，试建立恰当的空间直角坐标系， 求平面 DEF 的一个法向量．
1.4.1
1.4 空间向量的应用 用空间向量研究直线、平面的位置关系(第1课时)
空间中点、直线和平面的向量表示
要点 1 点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点 O 作为基点，那么空间中任意一点 P 就可 以用向量O→P来表示．我们把向量O→P称为点 P 的位置向量．
要点 2 直线的方向向量 用向量表示直线 l，就是要利用点 A 和直线 l 的方向向量表示直线上的任意 一点．如图 1，a 是直线 l 的方向向量，在直线 l 上取A→B＝a，设 P 是直线 l 上的 任意一点，由向量共线的条件可知，点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t， 使得A→P＝ta，即A→P＝tA→B.
【解析】 以点 A 为原点，AD，AB，AS 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0，0，0)， C(1，1，0)，D(12，0，0)，S(0，0，1)．
(1)∵SA⊥平面 ABCD， ∴A→S＝(0，0，1)是平面 ABCD 的一个法向量． (2)∵AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，AB，SA⊂平面 SAB， ∴AD⊥平面 SAB， ∴A→D＝12，0，0是平面 SAB 的一个法向量．
1.1.1 空间向量及其线性运算(第1课时)空间向量及其线性运算
思考题1 下列命题是真命题的是( )
A．表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量 不在同一个平面内
B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
C．若向量A→B，C→D满足|A→B|>|C→D|，且A→B与C→D同向，则A→B>C→D
√D．若两个非零向量A→B与C→D满足A→B＋C→D＝0，则A→B∥C→D
第10页
思考3 向量运算的结果与向量起点的选择有关系吗？ 提示 没有关系．
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【知识拓展】 空间向量与平面向量的一致性 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完 全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为 相反向量的充要条件是两个向量的模相等，方向相反．
可以记作A→B，其模记为|a|或|A→B|.
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知识点二 几类特殊的空间向量
特殊向量
定义
零向量
模为_0__的向量
单位向量
模为_1__的向量
相反向量 与向量a长度相__等__而方向_相__反_的向量
相等向量
方向_相__同_且模_相__等__的向量
表示法
0 |a|＝1或
|A→B|＝1
－a a＝b或
A→B＝C→D
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课前自学
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知识点一 空间向量的有关概念 (1)定义：在空间，我们把具有_大__小__和_方__向__的量叫做空间向量． (2)空间向量的长度：空间向量的_大__小__叫做空间向量的长度或模．
①几何表示法：空间向量用_有__向__线__段____表示. (3)表示法②字母表示法：若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也
提示 起点、终点未必相同．
高中数学第二章空间向量与立体几何1从平面向量到空间向量ppt课件
→ —→ (2)〈AB，C1A1〉； 解答 〈A→B，C—1→A1〉＝π－〈A→B，A—1→C1〉＝π－π4＝34π.
→ —→ (3)〈AB，A1D1〉.
解答
〈A→B，A—1→D1〉＝〈A→B，A→D〉＝π2.
引申探求 →→
在本例中，求〈AB1，DA1〉. 解答
如图，衔接B1C，那么B1C∥A1D， →→
梳理
间向量的夹角
(1)文字表达：a，b是空间中两个非零向量，过空间恣意一点O，作
→ OA
＝a，O→B＝b，那么∠AOB 叫作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉 .
(2)图形表示：
角度
表示
〈a，b〉＝__0_
〈a，b〉是_锐__角__
〈a，b〉是_直__角__ 〈a，b〉是_钝__角__〈a，b〉 Nhomakorabea_π__
第二章 空间向量与立体几何
§1 从平面向量到空间向量
学习目的 1.了解空间向量的概念. 2.了解空间向量的表示法，了解自在向量的概 念. 3.了解空间向量的夹角. 4.了解直线的方向向量与平面的法向量的概念.
内容索引
问题导学 题型探求 当堂训练
问题导学
知识点一 空间向量的概念
思索1
类比平面向量的概念，给出空间向量的概念. 答案 在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量.
答案 解析
研讨长方体的模型可知，一切顶点两两相连得到的线段中，长度为1 的线段只需4条，故模为1的向量有8个.
12345
5.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的 是②__③____.(填序号)答案
No Image
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规律与方法
在空间中，一个向量成为某直线的方向向量的条件包含两个方面：一是 该向量为非零向量；二是该向量与直线平行或重合.二者缺一不可. 给定空间中恣意一点A和非零向量a，就可以确定独一一条过点A且平行 于向量a的直线.
1.4 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
4．平面的法向量 如图，直线 l⊥α，取直线 l 的方向向 量 a，称向量 a 为平面 α 的 法向量 ．
给定一个点 A 和一个向量 a，那么过点 A，且以向量 a 为法 向量的平面完全确定，可以表示为集合_{_P_|a_·_―_A_→P__＝__0_}__．
(二)基本知能小试 1．判断正误
(1)直线l的方向向量是唯一的．
题型三 利用空间向量证明垂直问题 [探究发现] 如何利用向量证明空间中的直线与直线垂直、直线与平面 垂直、平面与平面垂直？
提示：(1)两直线垂直的充要条件是两直线的方向向量垂直； (2)直线与平面垂直的充要条件是直线的方向向量与平面的法向 量平行；(3)两平面垂直的充要条件是两平面的法向量垂直．
[学透用活]
解析：∵n＝－3m ，∴m ∥n，∴α∥β或α与β重合． 答案：D
3．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，
－4，k)，若α∥β，则k等于
()
A．2
B．－4
C．4
D．－2
答案：C
4．若直线l的方向向量a＝(2,2，－1)，平面α的法向量u＝ (－6,8,4)，则直线l与平面α的位置关系是________． 解析：∵u·a＝－12＋16－4＝0， ∴u⊥a，∴l⊂α或l∥α. 答案：l⊂α或l∥α
知识点三 空间中直线、平面的垂直 (一)教材梳理填空 1．直线与直线垂直 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则 l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔__u_1·_u_2_＝__0__.
2．直线与平面垂直 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，则 l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R ，使得__u_＝__λ_n__.
[方法技巧] 利用向量法证明平行问题的两种途径
空间向量知识点归纳总结(经典)
空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作b a //。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b（b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与a 共线的单位向量为a a ±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。
（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP +=<=>)1(=++++=z y x z y x OP其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
空间向量知识点归纳总结
空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r运算律：⑴加法交换律：a b b a ϖϖϖρ+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a ϖϖϖϖρϖ++=++⑶数乘分配律：b a b a ϖϖϖϖλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a ρ平行于b ρ，记作b a ρϖ//。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ（b ρ≠0ρ），a ρ//b ρ存在实数λ，使a ρ＝λb ρ。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>λ=<=>)1(=++=y x y x 其中 （4）与a共线的单位向量为±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r与向量,a b r r 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r。
（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP +=<=>(++++=zy x OC z OB y OA x OP 其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r不共面，那么对空间任一向量p r ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++r r r r。
平面向量和空间向量的类比学习方法
平面向量和空间向量的类比学习方法1、向量在高中教材的分布向量（既有大小又有方向的量）能够简化三角、平面几何、立体几何、线性方程组及矩阵中的许多运算和证明，能够对复数运算的几何意义及多种几何变换作出合理的解释，这使向量成为除函数之外能够贯穿中学数学许多章节的内容。
必修的数学 4 的第二章以平面向量为内容，具体包括“向量的概念与表示”、“向量的线性运算”、“向量的坐标表示”、“向量的数量积”和“向量的应用”等知识点。
“空间向量”则是选修课程系列2-1 的第三章的主要组成部分，以空间向量及其在立体几何中的应用为主要内容，具体包括“空间向量及其运算”和“立体几何中的向量方法”两个知识点。
2、“平面向量”和“空间向量”的基本概念向量把代数和几何的知识点有机地联系起来，可以帮助学习者从整体上理解数学知识之间的内部联系。
向量的运算法则是以运算律的形式表现的，受这种形式影响，容易将向量与代数知识画上等号。
实际上，向量不仅属于代数范畴，也属于几何的范畴。
平面向量和空间向量是向量研究的两个维度，向量的本身所具有的代数（可以用有序实数对表示）和几何（可以用有向线段表示）双重属性，使向量体现出数学中的数形结合思想。
2.1 平面向量在一个平面内来考虑既有大小又有方向的量称为平面向量。
如果e1、e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使：a=λ1e1+λ2e2，其中不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
2.2 空间向量在一个空间内来考虑既有大小又有方向的量称为平面向量。
空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使p=x a +y b +z c ,其中{ a、b、c}叫做空间的一个基底，a、b、c都叫做基向量。
2.3 平面向量与空间向量的关系平面向量与空间向量研究的范围不同，平面向量从平面扩展到空间就变成了空间向量。
空间向量(知识点梳理)
-@>% )一空间向量的概念1.空间向量的有关概念及线性运算(1)空间向量的定义:在空间内具有大小和方向的量叫作空间向量.(2)空间向量的表示:空间向量可用有向线段来表示.(3)零向量:起点与终点重合的向量叫作零向量.(4)空间向量的模(或长度):表示空间向量的有向线段的长度叫作向量的模(或长度).(5)共线向量(或平行向量):基线互相平行或重合的向量叫作共线向量(或平行向量).(6)共面向量:向量所在的直线与平面平行或在平面内,称向量与平面平行,平行于同一平面的向量叫作共面向量.(7)空间向量的加法㊁减法㊁数乘向量运算的定义㊁92.空间向量的有关定理(1)共线向量定理:对空间向量aң,bң(bңʂ0ң),aңʊbң的充要条件是存在实数k,使aң=k bң.推论:①对于空间任一点O,点P在直线A B上的充要条件是存在实数t,使O Pң=(1-t)O Aң+t O Bң或O Pң=xO Aң+y O Bң(其中x+y=1).②如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量aң的直线,那么对任一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足关系式O Pң=O Aң+t aң,该方程称为直线方程的向量表达式.(2)共面向量定理:如果两个向量aң,bң不共线,则向量cң与向量aң,bң共面的充要条件是存在唯一的一对实数x,y,使cң=x aң+y bң.推论:空间一点P位于平面A B C内的充要条件是:存在有序实数对x,y,使C Pң=xC Aң+y C Bң,或对空间任一定点O,有O Pң=O Cң+xC Aң+y C Bң,该式称为平面C A B的向量表示式.(3)空间向量分解定理:如果三个向量aң,bң,cң不共面,那么对于空间任意一个向量pң,存在唯一的有序实数组x,y,z,使pң=x aң+y bң+z cң.其中不共面的三个向量aң,bң,cң叫作空间的一个基底,每一个向量aң,bң,cң叫8作基向量.3.空间向量的数量积(1)两个向量的夹角:对于两个非零向量aң,bң,在空间任取一点O,作O Aң=aң,O Bң=bң,则øA O B叫作向量aң,bң的夹角,记作<aң,bң>.注意:两个向量的夹角的取值范围是:0ɤ<aң,bң>ɤπ.(2)两个向量的数量积的定义:aң㊃bң=|aң||bң|㊃c o s<aң,bң>.二空间向量的坐标运算若向量aң=(a1,a2,a3),bң=(b1,b2,b3),则有:(1)aң+bң=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);(2)aң-bң=(a1-b1,a2-b2,a3-b3);(3)λaң=(λa1,λa2,λa3);(4)aң㊃bң=a1b1+a2b2+a3b3;(5)距离公式:|aң|=aң2=a21+a22+a23;(6)夹角公式:c o s<aң,bң>=a1b1+a2b2+a3b3a21+a22+a23㊃b21+b22+b23;9(7)aңʊbң(bңʂ0ң)⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λɪR)或aңʊbң(bң与三条坐标轴都不平行)⇔a1b1=a2b2=a3b3;(8)aңʅbң⇔a1b1+a2b2+a3b3=0.三利用空间向量证明空间中的位置关系1.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量:基线和直线平行的向量叫作这条直线的方向向量.(2)平面的法向量:基线和平面垂直的向量叫作这个平面的法向量.2.利用空间向量证明空间中的位置关系(1)证明直线与直线平行的方法是:若直线l1和l2的方向向量分别为vң1和vң2,则l1ʊl2⇔vң1ʊvң2.(2)证明直线与平面平行的方法有两种:若直线l 的方向向量为vң,平面α内的两个不共线向量是vң1和vң2,平面α的法向量为nң,则有:①lʊα⇔存在实数x,y,使vң=x vң1+y vң2;②lʊα⇔vңʅnң.(3)证明平面与平面平行的方法是将其转化为直线与直线平行或直线与平面平行,然后利用向量方法证明.也可以用如下方法:若平面α和β的法向量分别为nң1和0010 n ң2,则αʊβ⇔n ң1ʊn ң2.(4)证明直线与直线垂直的方法是:若直线l 1和l 2的方向向量分别为v ң1和v ң2,则l 1ʅl 2⇔v ң1ʅv ң2.(5)证明直线与平面垂直的方法是:若直线l 的方向向量为v ң,平面α的法向量为n ң,则l ʅα⇔v ңʊn ң.(6)证明平面与平面垂直的方法是:若平面α和β的法向量分别为n ң1和n ң2,则αʅβ⇔n ң1ʅn ң2.四利用空间向量求空间角1.有关角的概念(1)空间角主要包括两条异面直线所成的角㊁直线与平面所成的角㊁二面角.(2)斜线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影的夹角叫作斜线和平面所成的角.规定:若一条直线与一个平面平行或在平面内,则这条直线和平面所成的角为0;若一条直线与一个平面垂直,则这条直线和平面所成的角为π2.因此,斜线和平面所成的角的范围是0,π2();直线和平面所成的角的范围是0,π2[].(3)二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面二面角的平面角:在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,在两个半平面内分别作射线O Aʅl,O Bʅl,则øA O B叫作二面角α-l-β的平面角.直二面角:平面角是直角的二面角叫作直二面角,互相垂直的两个平面相交所形成的二面角就是直二面角.二面角的取值范围是[0,π].(4)最小角原理:斜线和平面所成的角,是斜线和这个平面所有直线所成角中的最小的角.(5)从角的顶点出发的一条直线,如果它和这个角的两条边所成的角相等,那么它在这个角所在平面内的射影是这个角的平分线.这个结论常用于确定一条直线在一个平面内的射影.(6)利用射影面积公式:S'=S㊃c o sθ,也可以求一些二面角的大小.2.利用空间向量求空间角的方法(1)若异面直线l1和l2的方向向量分别为vң1和vң2,它们所成的角为θ,则c o sθ=|c o s<vң1,vң2>|.(2)利用空间向量求直线与平面所成的角,可以有两种办法:一是分别求出直线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补02(3)利用空间向量方法求二面角,也有两种办法:一是分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小;二是通过平面的法向量来求:设二面角的两个面的法向量分别为nң1和nң2,则二面角的大小等于<nң1,nң2>(或π-<nң1,nң2>).五利用空间向量求点到平面的距离1.定义一个点到它在一个平面内的正射影的距离叫作这个点到平面的距离.2.求法一是根据定义,按照作(或找) 证 求的步骤求解;二是利用空间向量,首先求出平面的单位法向量nң0,再任意找一个从该点出发的平面的斜线段对应的向量vң,则点到平面的距离为d=|nң0㊃vң|.10。
空间向量知识点归纳总结
空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b=+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b=-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r运算律：⑴加法交换律：a b b a ϖϖϖρ+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a ϖϖϖϖρϖ++=++⑶数乘分配律：b a b a ϖϖϖϖλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a ρ平行于b ρ，记作ba ρϖ//。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ（b ρ≠0ρ），a ρ//b ρ存在实数λ，使a ρ＝λb ρ。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中（4）与共线的单位向量为±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r与向量,a b r r 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r。
（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP +=<=>(++++=y x OC z OB y OA x OP 其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r不共面，那么对空间任一向量p r ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++r r r r。
空间向量知识点归纳总结
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1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作b a //。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a、b （b ≠0 ），a b a bλ=)1(=++=y x y x 其中a a±共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。
（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP +=<=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
空间向量知识要点
空间向量知识要点1．空间向量的概念： 具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量 ⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下 b a AB OA OB +=+=b a OB OA BA -=-=)(R a OP ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3 共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．4．共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 t OA OP +=a ．其中向量a叫做直线l 的方向向量.5．向量与平面平行：已知平面α和向量a ，作OA a =，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a 平行于平面α，记作：//a α． 通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 说明：空间任意的两向量都是共面的6．共面向量定理： 如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++ ① ①式叫做平面MAB 的向量表达式7 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个 有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++ 8 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <>；且规定0,a b π≤<>≤，显然有,,a b b a <>=<>；若,2a b π<>=，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥. 9．向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a . 10．向量的数量积： a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>．已知向量AB a =和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则A B ''叫做向量AB 在轴l 上或在e 上的正射影.可以证明A B ''的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=⋅．11．空间向量数量积的性质：（1）||cos ,a e a a e ⋅=<>．（2）0a b a b ⊥⇔⋅=．（3）2||a a a =⋅．12．空间向量数量积运算律：（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．（2）a b b a ⋅=⋅（交换律）（3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）．。
平面向量空间向量知识点
平面向量§2.1.1、向量的物理背景与概念1、了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、既有大小又有方向的量叫做向量.§2.1.2、向量的几何表示1、带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记作AB；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.§2.1.3、相等向量与共线向量1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.§2.2.1、向量加法运算及其几何意义1、三角形加法法则和平行四边形加法法则.2++§2.2.2、向量减法运算及其几何意义1、与a长度相等方向相反的向量叫做a的相反向量.2、三角形减法法则和平行四边形减法法则.§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义1、 规定：实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：λ，它的长度和方向规定如下：⑴=⑵当0>λ时, λ的方向与的方向相同；当0<λ时, λ的方向与的方向相反.2、 平面向量共线定理：向量()0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ=.§2.3.1、平面向量基本定理1、 平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e λλ+=.§2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示1、 ()y x y x ,=+=.§2.3.3、平面向量的坐标运算1、 设()()2211,,,y x y x ==，则：⑴()2121,y y x x ++=+，⑵()2121,y y x x --=-，⑶()11,y x λλλ=，⑷1221//y x y x b a =⇔.2、 设()()2211,,,y x B y x A ，则：()1212,y y x x --=.§2.3.4、平面向量共线的坐标表示1、设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则⑴线段AB 中点坐标为()222121,y y x x ++，⑵△ABC 的重心坐标为()33321321,y y y x x x ++++.§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义1、 θ=⋅.2、 在θ.3、 2a =.4、 =.5、 0=⋅⇔⊥.§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1、 设()()2211,,,y x y x ==，则：⑴2121y y x x +=⋅2121y x +=⑶121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=⑷1221//0a b a b x y x y λ⇔=⇔-=2、 设()()2211,,,y x B y x A ，则：()()212212y y x x -+-=.3、 两向量的夹角公式2c o s a b a bx θ⋅==+4、点的平移公式平移前的点为(,)P x y （原坐标），平移后的对应点为(,)P x y '''（新坐标），平移向量为(,)PP h k '=， 则.x x hy y k '=+⎧⎨'=+⎩函数()y f x =的图像按向量(,)a h k =平移后的图像的解析式为().y k f x h -=-§2.5.1、平面几何中的向量方法§2.5.2、向量在物理中的应用举例空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.1、直线的方向向量和平面的法向量⑴．直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量.⑵．平面的法向量：若向量n 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n α⊥，如果n α⊥，那么向量n 叫做平面α的法向量.⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）：①建立适当的坐标系．②设平面α的法向量为(,,)n x y z =．③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==．④根据法向量定义建立方程组0n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩.⑤解方程组，取其中一组解，即得平面α的法向量.（如图）1、 用向量方法判定空间中的平行关系⑴线线平行设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明1l ∥2l ，只需证明a ∥b ，即()a kb k R =∈.即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。
空间向量知识点归纳总结
空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示的向量。
（2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b=+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b=-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r运算律：⑴加法交换律：a b b a ϖϖϖρ+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a ϖϖϖϖρϖ++=++⑶数乘分配律：b a b a ϖϖϖϖλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a ρ平行于b ρ，记作b a ρϖ//。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ（b ρ≠0ρ），a ρ//b ρ存在实数λ，使a ρ＝λb ρ。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ=<=>)1(=++=y x y x 其中（4）与a共线的单位向量为a ±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b rr 不共线，p r与向量,a b rr 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r。
（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP +=<=>(++++=y x OC z OB y OA x OP 其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r不共面，那么对空间任一向量p r ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++r r r r。
空间向量知识点归纳总结(经典)
空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作b a //。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a//b 存在实数λ，使a＝λb。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与共线的单位向量为±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。
（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP +=<=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
平面向量与空间向量知识点对比(一)
始向量的起点指向末尾向量的终点的向 量．即：
向4
A1
An 1 An A1 An
An-1
A2
An
A3
A4
⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭
图形，则它们的和为零向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4
An 1 An An A1 0
三角形法则： B
b
ab
O
a
A
BA OA OB a b
加法运算律
交换律： a b b a
结合律：（a b） c a (b c)
平面向量与空间向量知识点对比（一）
内容
平面向量（自由向量 , 与起点无关）
定义
既有大小，又有方向的量
（ 1）用有向线段的起点和终点的字母表
表示方法
示，如 AB
（ 2）用 a, b, c 或 a,b,c 表示
（ 3）坐标表示（略）
向量的模
向量的大小（长度） ，用 | AB | 或|a| 表示
相等向量
长度相等且方向相同的向量
相反向量
长度相等且方向相反的向量
平行向量 / 共线向量
方向相同或相反的非零向量
零向量
长度为 0 的向量
单位向量
长度为 1 的向量
空间向量
向量的加法
1. 三角形法则：
空间向量知识点总结
空间向量与立体几何知识点总结一、基本概念: 1、空间向量：2、相反向量：3、相等向量：4、共线向量：5、共面向量：6、方向向量:7、法向量8、空间向量基本定理：二、空间向量的坐标运算： 1.向量的直角坐标运算设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则(1) a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2) a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4) a ·b ＝112233a b a b a b ++； 2.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---.3、设111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，则a b ⇔(0)a b b λ=≠； a b ⊥⇔0a b ⋅=⇔1212120x x y y z z ++=.4.夹角公式设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则2cos ,a b a <>=.5．异面直线所成角cos |cos ,|a b θ==21||||||a b a b x ⋅=⋅+.6．平面外一点p 到平面α的距离已知AB 为平面α的一条斜线，n 为平面α的一个法BAαn向量，A 到平面α的距离为：||||AB n d n •=空间向量与立体几何练习题一、选择题1.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -在空间直角坐标 系中，若,E F 分别是1,BC DD 中点，则EF 的坐标为（ ）A.(1,2,1)-B.(1,2,1)--C.(1,2,1)--D.(1,2,1)--2．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝411B A ，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（ ）A ．1715 B ．21 C ．178 D ．23 3.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 中点，若PA a =，PB b =，PC c =，则BE =（ ）A.111222a b c -+B.111222a b c --C.131222a b c -+D.113222a b c -+ 二、填空题4.若点(1,2,3)A ,(3,2,7)B -,且0AC BC +=,则点C 的坐标为______.5．在正方体1111ABCD A B C D -中，直线AD 与平面11A BC 夹角的余弦值为_____.yxzFEC 1D 1C D(O)B 1A 1AB图图三、解答题1、在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中, AB 1与底面ABCD 所成的角为4π， （1）求证11AB C BD ⊥面（2）求二面角1B AC B --的正切值2．在三棱锥P ABC -中，3AB AC ==4AP =,PA ABC ⊥面,90BAC ∠=︒, D 是PA 中点,点E 在BC 上,且2BE CE =, (1)求证：AC BD ⊥；(2)求直线DE 与PC 夹角θ的余弦值； (3)求点A 到平面BDE 的距离d 的值.3．在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，∠BAD =90°，AD ∥BC ，AB =BC =a ，AD =2a ，且PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30°角． （1）若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ；DAPE（2）求异面直线AE与CD所成角的余弦值．4、已知棱长为1的正方体A C1，E、F分别是B1C1、C1D的中点．（1）求证：E、F、D、B共面；（2）求点A1到平面的B DEF的距离；（3）求直线A1D与平面B DEF所成的角．5、已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点，求：（Ⅰ）D1E与平面BC1D所成角的大小；（Ⅱ）二面角D－BC1－C的大小；一、考点概要：1、空间向量及其运算(1)空间向量的基本知识：①定义：空间向量的定义和平面向量一样，那些具有大小和方向的量叫做向量，并且仍用有向线段表示空间向量，且方向相同、长度相等的有向线段表示相同向量或相等的向量。
平面向量与空间向量比较
平面向量与空间向量比较
空间向量是在平面向量基础上进一步学习的知识内容，是平面向量及其研究方法在空间的推广和拓展,沟通了代数与几何的关 系，丰富了学生的认知结构．为学生学习立体几何提供了新的视角、新的观点和新的方法，给学生的思维开发提供了更加广阔的空间．为运用向量坐标运算解决立体几何问题奠定了知识和方法基础．下面从平面向量的基本公式类比总结空间向量的公式，熟记公式的区别与联系，使空间向量的理解与运用变得不再陌生。
一、 平面向量
1122(,)(,),a x y b x y ==若，则有
cos a b a b θ
⋅=a a a
=⋅1212
a b x x y y
⋅=+2
211
a x y
=+a b a b
⋅(0)
a b b λ=≠0
a b ⋅=11
2222
0y x y y =≠（）1222
2
22
y y x y ++120
y y +=
二、空间向量
1212a b x x y y z ⋅=++2221
1
1
a x y z
=++1212
22
1
22y y z z z
x y +++11
22222
0y z x y z y z =≠（）1212y y z z +=111222(,,)(,,)a x y z b x y z ==若，，则有cos a b a b θ
⋅=a a a
=⋅a b a b
⋅(0)
a b b λ=≠0
a b ⋅=。
空间向量知识点归纳总结
空间向量知识点归纳总结空间向量知识点归纳总结知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有⼤⼩和⽅向的量叫做向量。
注：（1）向量⼀般⽤有向线段表⽰同向等长的有向线段表⽰同⼀或相等的向量。
（2）空间的两个向量可⽤同⼀平⾯内的两条有向线段来表⽰。
2. 空间向量的运算。
定义：与平⾯向量运算⼀样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3. 共线向量。
（1）如果表⽰空间向量的有向线段所在的直线平⾏或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平⾏向量，a 平⾏于b ，记作b a//。
当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表⽰a 、b的有向线段所在的直线可能是同⼀直线，也可能是平⾏直线。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。
4. 共⾯向量（1）定义：⼀般地，能平移到同⼀平⾯内的向量叫做共⾯向量。
说明：空间任意的两向量都是共⾯的。
（2）共⾯向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共⾯的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。
5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共⾯，那么对空间任⼀向量p ，存在⼀个唯⼀的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
若三向量,,a b c 不共⾯，我们把{,,}a b c 叫做空间的⼀个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共⾯的向量都可以构成空间的⼀个基底。
推论：设,,,O A B C 是不共⾯的四点，则对空间任⼀点P ，都存在唯⼀的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。
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三角形法则：
B
O A
加法运算律
交换律：
结合律：
平行向量/共线向量
方向相同或相反的非零向量
零向量
长度为0的向量
单位向量
长度为1的向量
向量的加法
1.三角形法则：B
O A
2.平行四边形法则：
3. B C
O A
4.推广：
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：A源自An-1A2AnA3
A4
⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：
平面向量与空间向量知识点对比（一）
内容
平面向量（自由向量,与起点无关）
空间向量
定义
既有大小，又有方向的量
表示方法
（1）用有向线段的起点和终点的字母表 示，如
（2）用 或a,b,c表示
（3）坐标表示（略）
向量的模
向量的大小（长度），用| |或|a|表示
相等向量
长度相等且方向相同的向量
相反向量
长度相等且方向相反的向量