浙江省名校协作体2020-2021学年高二下学期开学联考数学试题

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2023-2024学年浙江省名校协作体高二下学期2月月考数学试题及答案

2023学年第二学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号． 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题卷．选择题部分一、选择题：本题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．抛物线24x y =的准线方程为（） A ．1x =− B ．2x =−C ．1y =−D ．2y =−2．数列1，53，52，175，…的通项公式可能是（） A ．211n n a n +=+ B ．211n n a n +=+C ．221n n a n =−D ．221n n a n−=3．已知直线1l ：10mx y ++=，2l ：()3230x m y m +++=，若12l l ∥，则m 的值为（） A ．1B ．－3C ．1或－3D ．－1或34．已知两条直线m ，n α，β，则下列命题正确的是（） A ．若m n ∥且n α⊂，则m α∥ B ．若m α∥且n α⊂，则m n ∥ C ．若m α⊥且n α⊂，则m n ⊥D ．若αβ⊥且m α⊂，则m β⊥5．已知点()4,2P −和圆Q ：()()224216x y −+−=，则以PQ 为直径的圆与圆Q 的公共弦长是（）A ．B ．C ．D ．6．江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽AB =水面上升5米，则水面宽为（）A ．米B ．C ．米D ．30米7．在正三棱台111ABC A B C −中，111132A B AA AB ===，11A B AB O = ，则异面直线OC 与1BC 所成角的余弦值是（） A ．13BCD ．238．如图，是由一系列直角三角形拼接而成的几何图形，已知1122311n n OA A A A A A A −===⋅⋅⋅==，记1OA ，2OA ，…，n OA 的长度构成的数列为{}n a ，则202411i ia =∑的整数部分是（）A ．87B ．88C ．89D ．90二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错和不选的得0分．9．已知向量()1,2,0a =− ，()2,4,0b =−，则下列正确的是（）A ．a b ∥B ．a b ⊥C ．2b a =D ．a 在b方向上的投影向量为()1,2,0−10．若正项数列{}n a 为等比数列，公比为q ，其前n 项和为n S ，则下列正确的是（） A ．数列21n a是等比数列 B ．数列{}lg n a 是等差数列 C ．若{}n a 是递减数列，则01q <<D ．若13n n S r −=−，则1r =11．如图所示，抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，分别过点A ，B 作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，则（）A ．A ，B 两点的纵坐标之和为常数 B ．在直线l 上存在点P ，使90APB ∠>°C ．A ，O ，1B 三点共线D ．在直线l 上存在点P ，使得APB △的重心在抛物线上12．在正三棱锥S ABC −中，SA ，SB ，SC 两两垂直，2AB =，点M 是侧棱SC 的中点，AC 在平面α内，记直线BM 与平面α所成角为θ，则当该三棱锥绕AC 旋转时θ的取值可能是（） A ．53°B ．60°C ．75°D ．89°非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．经过()0,2A ，()1,0B −两点的直线的方向向量为()1,k ，则k =______． 14．已知数列{}n a 为等比数列，163a =，公比12q =，若n T 是数列{}n a 的前n 项积，当n T 取最大值时，n =______．15．已知某圆锥底面直径与母线长之比为6:5，其内切球半径为1，则此圆锥的体积等于______． 16．已知双曲线C 的渐近线方程为y x =±，两顶点为A ，B ，双曲线C 上一点P 满足3PA PB =，则tan APB ∠=______．四、解答题：共6大题，共70分，其中第17题10分，第18题~第22题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，749S =，59a =．（Ⅰ）求n S ；（Ⅱ）若3S 、118S S −、k S 成等比数列，求k 的值．18．已知圆C 的圆心在直线25y x =+上，且过()2,4A −，()2,6B 两点．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）已知l ：()()()131510m x m y m ++−−+=，若直线l 与圆C 相切，求实数m 的值． 19．如图，已知斜三棱柱111ABC A B C −，底面ABC △是正三角形，12AA AB ==，11A AB A AC ∠=∠，点N 是棱11B C 的中点，AN =．（Ⅰ）求证：1BC AA ⊥；（Ⅱ）求平面1A AN 与平面ANB 的夹角的余弦值．20．已知点F 为抛物线C ：()2201y px p =<<的焦点，点()0,1A x 在抛物线C 上，且54AF =．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，设直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，且1212k k ⋅=−，求证：直线l 过定点．21．已知数列{}n a 满足12a =，()()*111pn n na n pa a +−=∈+−N ．（Ⅰ）若0p =，求数列{}3n n a ⋅的前n 项和n S ；（Ⅱ）若1p =，设数列1n a的前n 项和为n T ，求证：112n T ≤<．22的双曲线1C ：()222210,0x y a b a b −=>>过椭圆2C ：22143x y +=的左，右顶点A ，B ．（Ⅰ）求双曲线1C 的方程；（Ⅱ）()()0000,0,0P x y x y >>是双曲线1C 上一点，直线AP ，BP 与椭圆2C 分别交于D ，E ，设直线DE 与x 轴交于(),0Q Q x ，且20102Q x x λλ=<<，记BDP △与ABD △的外接圆的面积分别为1S ，2S ，2023学年第二学期浙江省名校协作体联考参考答案高二年级数学学科首命题：柯桥中学次命题兼审校：丽水中学审核：瑞安中学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．C 2．A 3．B 4．C 5．D 6．D 7．B 8．B8．解析：由题意知，1122311n n OA A A A A A A −===⋅⋅⋅==且12OA A △，23OA A △，…，1n n OA A −△都是直角三角形，所以11a =，且2211n n a a −=+，所以数列{}2na 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以()202421111111n i i a n n a ==+−×==∑∵11118911+<++−< ，∵12881++>− ，即188891<++< ，所以所求整数部分都是88，故选：B ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．9．ACD 10．ABC 11．CD 12．AB12．当BM 与平面α平行时，cos 1θ=；由最小角定理，直线与平面所成的角是直线与平面内的线所成角中最小的角，所以θ小于等于BM 与AC 所成的角，分别取SC ，SA 的中点M ，N ，连接MN ，BM ，BN ．在BMN △中，BM BN ==1MN =，得cos BMN ∠，故cos θ∈．因为()cos 75cos 4530°=°+°=1cos 602°=，12<<，所以075θ°≤<°．故选：AB ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．2 14．6 15．32π9 16．4316．解析：不妨设双曲线C 的方程为()2220x y aa −=>，A ，B 为左右顶点．设(),P x y ，因为3PA PB =，所以()()222299x a y x a y ++=−+，化简得：222502x ax y a −++=，则222222502x y a x ax y a −= −++=，解得5434x a y a= =±，所以53,44P a a ± ，作PD x ⊥轴于D ．()13tan tan 43tan tan 11tan tan 3133APD BPD APB APD BPD APD BPD −∠−∠∠=∠−∠===+∠⋅∠+×．四、解答题（共6大题，共70分，其中第17题10分，第18题~第22题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解析：（Ⅰ）设等差数列的首项为1a ，公差为d ，由749S =，59a =，所以715176749249S a d a a d ×=+==+= ，解得121d a == ，所以21n a n =−，则()21212nn n S n +−==．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2339S ==，11857S S −=，2k S k =，又3S 、118S S −、k S 成等比数列，所以()21183k S S S S −=⋅，即22579k =×，解得19k =或19k =−（舍去）．18．解析：（Ⅰ）方法一：设圆心C 的坐标为(),a b ，则25b a =+，又CA CB =，则即250a b +−=，得0a =，5b =，所以圆C 的半径AC r==，所以圆C 的方程是()2255x y +−=（或2210200x y y +−+=）．方法二：AB 的中点坐标为()0,5，12AB k =，则AB 的中垂线方程为25y x =−+．则2552y x y x =+ =−+ ，解得05x y = = ，所以圆心C 的坐标为()0,5，所以圆C的半径AC r ==，所以圆C 的方程是()2255x y +−=（或2210200x y y +−+=）．（Ⅱ）设圆心C 到直线的距离为d ，由题意可得d，平方整理后可得251890m m −+=，解得35m =或3m =． 19．解析：（Ⅰ）取BC 的中点M ，连接AM ，1A B ，1AC ，1A M ， ∵三棱柱111ABC A B C −中，AB BC CA ==，∴AM BC ⊥，又∵11A AC A AB ∠=∠，∴11A AB A AC △≌△，∴11A B A C =，∴1A M BC ⊥，又1A M AM M = ，∴BC ⊥面1AA M ，∴1BC AA ⊥．（Ⅱ）方法一：连接MN ，在AMN△中，AN =，AM =2MN =，即cos AMN ∠150AMN ∠=°．如图建系，)A，()0,1,0B，()N ，有)1,0BA=−，()AN =−，设面ABN 的法向量为(),,n x y z = ，则00y z −=−+=，解得面ABN 的一个法向量(n =，面1AA N 的一个法向量()0,1,0m =，∴cos ,n m n m mn ⋅==所以平面1A AN 与平面ANB（Ⅱ）方法二：连接MN ，在AMN △中，AN =，AM =2MN =，即222cos 2AM MN AN AMN AM MN +−=∠⋅150AMN ∠=°．作MF AN ⊥于F ，连BF ．因为BC ⊥平面AMN ，AN ⊂平面AMN ，所以AN BC ⊥，又BC MF M = ，所以AC ⊥平面BMF ，BF ⊂平面BMF ，所以AN BF ⊥，所以BFM ∠为二面角B AN M −−的平面角．在AMN △中，11sin15022AN FM AM MN =°，得FM =则BF，所以cos FM BFM BF ∠=．所以平面1A AN 与平面ANB20．解析：（Ⅰ）由题意得：0052421p x px+== ，解得0121p x = = ，或0214p x = = （舍去），所以抛物线C 的方程为2y x =．（Ⅱ）方法一：（1）当直线l 斜率存时，设直线l ：()0y kx m k =+≠，()11,M x y ，()22,N x y ，则2y x y kx m = =+ ，消去x ，整理得20ky y m −+=，则140km ∆=−>，121y y k +=，12m y y k⋅=，而()()()121212121212111111111y y k k x x y y y y y y −−⋅=⋅==−−+++++112k m k =−=++，整理得310m k ++=，所以13m k =−−，所以直线l ：()1331y kx k k x =−−=−−，所以直线l 过定点()3,1−．（2）当直线l 斜率不存时，设直线l ：()0,1x m m m =>≠，则(M m，(,N m，则121112k k m −⋅==−−，得3m =，所以直线l ：3x =，则点()3,1−在直线l 上．综上：直线l 过定点()3,1−．（Ⅱ）方法二：设()211,M t t ，()222,N t t ，则()()1212221212111111112t t k k t t t t −−=−=⋅=⋅−−++，则()12123t t t t =−−+，直线l 的方程为()221112221t t y t x t t t −−−=−，则()()12121212212121311131t t t t x yx x t t t t t t t t t t −−+−−=+==++++++，所以直线l 过定点()3,1−． 21．解析：（1）当0p =时，则111n na a +−=，得11n n a a +−=，所以11n n a a +−=，所以数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列．所以()2111n a n n =+−×=+，则()313nn n a n ⋅=+⋅，所以()2323334313nn S n =×+×+×+++⋅ ，()2341323334313n n S n +=×+×+×+++⋅ ，两式相减得()234126333313nn n S n +−=+++++−+⋅()()21131361313n n n −+×−−+⋅=+−，所以1321344n n n S ++=−+⋅．（Ⅱ）当1p =时，由111n n na a a +−=−，得211n nn a a a +=−+，所以()2212110n n n n n a a a a a +−=−+=−>，所以数列{}n a 单调递增，因为12a =，所以2n a ≥，又由111n n na a a +−=−，可得()111n n n a a a +−=−，所以()11111111n n n n n a a a a a +==−−−−，即111111n n n a a a +=−−−，则1212231111111111111111111111n n n n n T a a a a a a a a a a a ++ =+++=−+−++−=− −−−−−−−− ，所以1111n n T a +=−−，易知1111n a + − −为递增数列，且23a =，所以21111111211n a a +=−≤−<−−，即：112n T ≤<． 22．解析：（Ⅰ）由题意得：2222c a c a b a = += =，解得b =，所以双曲线1C 的方程为22143x y −=．（Ⅱ）方法一：设直线AP ：()0022y yx x ++，()11,D x y ，则()0022223412y y x x x y =++ +=，消y 得：()()()2222000222000416163120222y y y x x x x x −=+++ +++ ，得：()()220012200161222324y x x y x −+−=++，又因为()00,P x y 在双曲线上，满足2200143x y −=，即22004312y x =−，所以()()()()()()2222000001222200000008626246224246232432312y x x x x x x x x x y x x −+−−+−+−−====+++++−，即104x x =．同理设直线BP ：()0022y yx x −−，()22,E x y ，可得204x x =，所以04Q x x =．因为20Q x x λ=，所以2004x x λ=，因为00x >，所以02x λ=．把02x λ=代入双曲线方程得2204143y λ−=，解得0y =，则点2P λ．设DBP △与ABD △的外接圆的半径分别为1r ，2r ，由正弦定理得12sin PB r BDP=∠，22sin AB r ADB=∠，因为180ADB BDP∠+∠=°，所以sin sin BDP ADB ∠=∠．12BP r ABr ==．因为102λ<<，所以12λ>+∞．（Ⅱ）方法二：设直线DE ：x ty m =+，()11,D x y ，()22,E x y ，则223412xty m x y =++=，消x 得：()2223463120t y tmy m +++−=，所以122634tmy y t −+=+，212231234m y y t −=+，得()2122142m y y y y mt −=+，因为P ，A ，D 三点共线，则011022y y x x =++，因为P ，B ，E 三点共线，则022022y y x x =−−，两式相除得()()120212222y x x y x x −−=++，而()()()()()()()()()()()()2121211212121221122122422222222422m y y m m y y x y ty m ty y m y y x y ty m ty y m y m y y m m y−++−−+−+−===+++++−+++()()()()()()121222222222m m y m y mmm m y m y −++−− =+ +++−．因为20Q x x λ=，所以20m x λ=．因为002222x m m x −−=++，所以2002002222x x x x λλ−−=++，得02x λ=，把02x λ=代入双曲线方程得2204143yλ−=，解得0y =，则点2P λ．设DBP △与ABD △的外接圆的半径分别为1r ，2r ，由正弦定理得12sin PB r BDP=∠，22sin AB r ADB=∠，因为180ADB BDP ∠+∠=°，所以sin sin BDPADB ∠=∠，12BP r ABr ==，因为102λ<<，所以12λ>+∞．。

浙江省名校协作体2022-2023学年高二下学期联考数学试题含解析

2022学年第二学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科（答案在最后）考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号．3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷．选择题部分一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知()1,2,3A -，则点A 关于xOy 平面的对称点的坐标是（）A.()1,2,3-- B.()1,2,3 C.()1,2,3- D.()1,2,3--【答案】B 【解析】【分析】根据坐标平面的对称性求解．【详解】点A 关于xOy 平面的对称点的坐标是(1,2,3)，故选：B ．2.与双曲线2214x y -=有公共焦点，且长轴长为6的椭圆方程为（）A.22194x y += B.22149x y +=C.22196x y += D.22169x y +=【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线方程可得焦点坐标，结合椭圆长轴长和,,a b c 的关系可得椭圆方程.【详解】由双曲线方程可得焦点坐标为：()，∴椭圆焦点在x 轴上，且c =，又长轴长为6，即26a =，3a ∴=，2224b a c ∴=-=，∴椭圆方程为：22194x y +=.故选：A.3.在数列{}n a 中，425a =2=，则6a =（）A.121B.100C.81D.64【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由条件可得数列是公差为2的等差数列，即可得到结果.2=2=，故数列是公差为2的等差数列，因为425a =22449=⨯=+=，则681a =.故选：C4.直线10x y +-=与圆()2224x y -+=的位置关系是（）A.相离B.相交C.相切D.无法确定【答案】B 【解析】【分析】利用圆心到直线的距离判断即可.【详解】由()2224x y -+=可知圆心为(2,0)，半径为2，则圆心到直线的距离22d ==<，故直线与圆相交.故选：B5.正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q >”是“2021202320222S S S +>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用数列前n 项和的意义，正项等比数列的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】依题意，2021202320222023202220222022201232022S S S S S S S a a +⇔>>->⇔-，而{}n a 是公比为q 的正项等比数列，因此20232022202220221a a a q a q >⇔>⇔>，所以“1q >”是“2021202320222S S S +>”的充要条件.故选：C6.已知抛物线22y px =，点()1,2A 在抛物线上，斜率为1的直线交抛物线于B 、C 两点．直线AB 、AC 的斜率分别记为1k ，2k ，则1211k k +的值为（）A.1 B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】由点坐标求得p ，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 方程为y x m =+，直线方程与抛物线方程联立方程组消元后应用韦达定理，此结论代入1211k k +后化简可得．【详解】由题意2221p =⨯，2p =，抛物线方程为24y x =，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 方程为y x m =+，由24y x y x m⎧=⎨=+⎩得2440y y m -+=，16160m ∆=->，1m <，124y y +=，124y y m =，1212242x x y y m m +=+-=-，2212121212()()()x x y m y m y y m y y m m =--=-++=，所以12122112121211(1)(2)(1)(2)1122(2)(2)x x x y x y k k y y y y ----+--+=+=----211212121212()2()42()4x y x y y y x x y y y y +-+-++=-++2112()()2(42)44x m x x m m m x +++--=-12122()8444x x m x x m m ++-+=-22(42)8444m m m m m +--+=-88244m m -==-．故选：B ．7.已知长方体1111ABCD A B C D -，其中1AA =，AB AD ==P 为底面ABCD 上的动点，1PE A C ⊥于E 且PA PE =，设1A P 与平面ABCD 所成的角为θ，则θ的最大值为（）A.π4B.π2C.π6 D.π3【答案】D 【解析】【分析】确定1A PA ∠是1A P 与平面ABCD 所成的角，不妨设PA PE x ==，求出PC ，利用PA PC AC +≥求得x 的最小值，再由1tan AA APθ=得θ的最大值．【详解】1AA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面ABCD ，所以1AA PA ⊥，又1PE A C ⊥，PA PE =，所以1PAA 1PEA ≅!，11A E AA ==1AC ==11EC AC A E =-=所以P 点轨迹是对角线1AC 的中垂面与底面ABCD 的交线，为一条线段．由1AA ⊥平面ABCD 知1A PA ∠是1A P 与平面ABCD 所成的角，不妨设PA PE x ==，则1A P =，PC =，PA PC x AC +=≥=得3x ≥，2tan xθ=≤π3θ≤，即θ的最大值为π3，故选：D ．8.如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的面积为1，把图①，图②，图③，图④，……的面积依次记为1234,,,,S S S S ⋅⋅⋅，则满足()*3N 2n S n ≥∈的n 最小值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】C 【解析】【分析】记第n 个图形为n P ，三角形边长为n a ，边数n b ，面积为n S ，由图形归纳出113n n a a -=，14n n b b -=，21134n n n n S S b a --=+⨯．由累加法结合等比数列前n 项和公式得求得n S 的表达式，从而得出结论．【详解】记第n 个图形为n P ，三角形边长为n a ，边数n b ，面积为n S ．由图形作法可知113n n a a -=，14n n b b -=，21134n n n n S S b a --=+⨯．即2221112122121333,,,444n n n n n n n n S S a b S S a b S S a b -------=⋅-=⨯⋅⋅⋅⋅-=⨯⋅利用累加法可得()22211122134n n n n n S S a b a b a b ----=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅因为数列{}n a 是以13为公比的等比数列，数列{}n b 是以4为公比的等比数列，所以{}21n n a b -⋅是以49为公比的等比数列．因为11S =，即21314a =，此时2133a =，224327a =，13b =，所以112212221122144131994519n n n n n n a b a b a b a b -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅==-，所以1834559n n S -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．由183435592n n S -⎛⎫=-⨯≥⎪⎝⎭，得4n ≥．所以n 的最小值是4.故选：C ．【点睛】方法点睛：记第n 个图形为n P ，相应量用一个数列表示，如本题中三角形边长为n a ，边数n b ，面积为n S ，然后由前后两个图形根据归纳推理得出数列的递推关系，再结合数列知识求解．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，50a =则（）A.370a a += B.280a a <C.100S = D.当且仅当4n =时，n S 取最大值【答案】AB 【解析】【分析】由等差数列的性质可判断A ，B ，D ；由等差数列的前n 项和公式可判断C .【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，37520a a a +==，故A 正确；因为10a >，50a =，()()2222855533990a a a d a d a d d =-+=-=-<，故B 正确；因为10a >，50a =，所以0d <，故60a <，()()11010566105502a a S a a a +==+=<，故C 错误；由10a >，50a =可知，1234,,,0a a a a >，50a =，67,,0a a < ，故4,5n =时，n S 取最大值，故D 错误.故选：AB .10.已知直线l ：10mx y m +--=，m ∈R 和圆O ：224x y +=，下列说法正确的是（）A.直线l 与圆O 可能相切B.直线l 与圆O 一定相交C.当1m =时，圆O 上存在2个点到直线l 的距离为1D.直线l 被圆O 截得的弦长存在最小值，且最小值为2【答案】BC 【解析】【分析】由直线方程得出直线l 过定点(1,1)P ，它在圆内，由此易得直线与圆的位置关系，可判断AB ，由PO =利用到直线l 的距离为1的直线与圆的位置关系判断C ，由直线l 与PO 垂直时，弦长最小判断D ．【详解】由直线l 方程知直线l 过定点(1,1)P ，又221124+=<，因此P 在圆O 内部，所以直线l 一定与圆O 相交，A 错，B 正确；1m =时，圆心(0,0)O 到直线l的距离为2d ==<12>，因此与直线l 距离为1的两条直线，一条与圆O 相交，一条与圆O 相离，所以圆O 上存在2个点到直线l 的距离为1，C 正确；又PO =l 与PO垂直时，弦长为=l 被圆O 所截得的弦长的最小值为，D 错．故选：BC ．11.设M 为双曲线C ：2213x y -=上一动点，1F ，2F 为上、下焦点，O 为原点，则下列结论正确的是（）A.若点()0,8N ，则MN 最小值为7B.若过点O 的直线交C 于,A B 两点（,A B 与M 均不重合），则13MA MB k k =C.若点()8,1Q ，M 在双曲线C 的上支，则2MF MQ +最小值为2D.过1F 的直线l 交C 于G 、H 不同两点，若7GH =，则l 有4条【答案】BCD 【解析】【分析】结合双曲线的图象与性质，逐项判断，即可确定本题答案.【详解】由双曲线C ：2213x y -=，得12(0,2),(0,2)F F -，设()00,M x y ，则MN =，当且仅当02y =时取等号，所以MN 最小值为，故A 错误；设,A B 两点坐标分别为11(,)x y ，11(,)x y --，所以2201010122010101MA MBy y y y y y K K x x x x x x +--=⋅=+--，又因为222201133,33x y x y =-=-，所以2222010122220101133(33)3MA MBy y y y K K x x y y --===----，故B 正确；211222MF MQ MF MQ QF +=++≥+=+，故C 正确；由双曲线C ：2213x y -=，可得通径长为2267b a=<，且实轴长227a =<，所以这样的直线l 有4条，故D 正确.故选：BCD12.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为边AB ，CD ，DA 的中点，P ，Q 分别为线段1BB ，1C D 上的动点，下列结论正确的是（）A.BD 与1D F 所夹角的余弦值为10B.二面角11A BD A --的大小为3πC.四面体11A D PF 的体积的最大值为43D.直线1AQ 与平面1D EG 的交点的轨迹长度为2【答案】ABC 【解析】【分析】由11//BD B D 得出异面直线所成的角，由余弦定理计算后判断A ，设1A D ，1AD 交于K ，证明1A K ⊥平面1ABD ，根据定义作出二面角的平面角，计算后判断B ，利用平行线性进行体积转换后，111111*********333F A D P E A D P D A EP A EP A EP A EB V V V A D S S S ---===⋅⋅=≤!!!，从而求得体积的最大值判断C ，作出直线1AQ 与平面1D EG 的交点的轨迹线段MN （如图）由余弦定理计算出线段长判断D ．【详解】A ．因为1BB 与1DD 平行且相等，所以11BB D D 是平行四边形，所以11//BD B D ，从而11B D F ∠是异面直线BD 与1D F 所成的角或其补角，在正方体中，1D F =，11D B =，13B F =，1110cos 10B D F ∠==．A正确；B ．设1A D ，1AD 交于K ，则11A K AD ⊥，由AB ⊥平面11ADD A ，1A K ⊂平面11ADD A ，得1AB A K ⊥，而1,AB AD ⊂平面1ABD 且1AB AD A = ，所以1A K ⊥平面1ABD ，1BD ⊂平面1ABD ，则11A K BD ⊥，作11A L BD ⊥，同理1A K KL ⊥，垂足为L ，连接KL ，因为11,A K A L ⊂平面1A KL 且111A K A L A = ，所以1BD ⊥平面1A KL ，又KL ⊂平面1A KL ，所以1BD KL ⊥，所以1A LK ∠是二面角11A BD A --的平面角，正方体中，1A K =，111113A D A B A L BD ⋅===，直角1A KL !中，1113sin 23A K A LK A L ∠==，1π3A LK ∠=，B 正确；C ．由已知11//EF AD A D ∥，EF ⊄平面11A D P ，11A D ⊂平面11A D P ，则//EF 面11A D P ，11111111111112243333212232F A D P E A D P D A EP A EP A EP A EB V V V A D S S S ---===⋅⋅=≤==⨯⨯⨯!!!，当P 与1B 重合时达到最大值．C 正确；D ．由已知11////EG BD B D ，1B ，1D ，G ，E 四点共面，设11A C 与11D B 交于M ，1A D 与1D G 交于N ，则MN 即为直线1AQ 与平面1D EG 的交点的轨迹．1112A N A D ND DG ==，1124233A N A D ==，12A M =，又11A DC △为正三角形，所以160MA N ∠=︒，由余弦定理，22211111262cos 9MN A M A N A MA N MA N =+-∠=，263MN =．D 错．故选：ABC ．【点睛】求空间角一般有两种方法，一是,空间向量法，二是定义法，本题图形是在正方体中，我们用定义法求异面直线所成的角和二面角，主要是正方体中平行线与垂线较多，容易作出异面直线所成的角和二面角的平面角，从而再解三角形可得．三棱锥的体积问题，常常利用换顶点（换底）法进行转化，目的是使得棱锥的高与底面积易求解．非选择题部分三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应的横线上．13.两条直线1l ：20x y -=；2l ：240x y -+=．则1l 与2l 之间的距离为___________．【答案】455【解析】【分析】根据两平行线间的距离公式，即可求得本题答案.【详解】因为两条直线1l ：20x y -=；2l ：240x y -+=，所以两平行线间的距离122222404551(2)C C d A B --===++-.故答案为：5514.若圆1C ：224x y +=与圆2C ：()()2216x a y a -+=∈R 相交于A 、B 两点，且两圆在A 点处的切线互相垂直，则线段AB 的长是___________．【答案】855##855【解析】【分析】画出已知两个圆的图象，利用圆的性质可以得到两切线互相垂直时，满足过对方的圆心，再利用直角三角形进行求解.【详解】如图，由两圆在A 点处的切线互相垂直可知，两条切线分别过两圆的圆心，由相交圆公共弦的性质可知1AB OO ⊥，由切线性质可知1OA AO ⊥，在1Rt OAO 中，1||2,||4OA AO ==，所以1||OO ==又1Rt OAO 斜边上的高为1||2AB ，由等面积法可知，11111||||||||222AO AO AB OO ⋅=⨯，即124||2AB ⨯=⨯，解得||5AB =.故答案为：85515.已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆上一点，且212PF PF c ⋅= ，则此椭圆离心率的取值范围是________．【答案】,32⎢⎣⎦【解析】【分析】设(,)P x y ，由数量积的坐标表示得出222212PF PF x c y c ⋅=-+= ，再由点P 在椭圆上得出22222b y b x a=-，联立两个方程得出()222223c a a x c -=，再由220,x a ⎡⎤∈⎣⎦化简得出22223c a c ≤≤，结合离心率的公式即可求解.【详解】设(,)P x y ，则222212(,)(,)PF PF c x y c x y x c y c ⋅=---⋅--=-+=①将22222b y b x a=-代入①式解得()()22222222223c b a c a a x c c --==又220,x a ⎡⎤∈⎣⎦，即()2222230ca a a c -≤≤22223c a c∴≤≤32,32c e a ∴=∈⎣⎦.故答案为：,32⎢⎣⎦【点睛】本题主要考查了求椭圆离心率的取值范围，属于中档题.16.如图，在三棱锥-P ABC 中，底面ABC 是正三角形，2BA BP ==，90CBP ∠=︒，120ABP ∠=︒，E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =，当三棱锥P BEF -的体积取得最大值时，三棱锥P BEF -的外接球表面积为___________．【答案】19π2【解析】【分析】利用均值不等式求出体积最大时,E F 的位置，建立空间直角坐标系，建立方程组求出球心坐标，得球半径即可.【详解】要使三棱锥P ―BEF 的体积最大，则底面△BEF 的面积最大，设BF =a ，则2BE a =-，23323(2)4424BEFx x S x x +-⎛⎫=-≤= ⎪⎝⎭△，当且仅当2x x =-，即1x =时取得最大值，即E ，F 分别为棱的中点．此时，FA BC ⊥，三棱锥P BEF -的体积取得最大值．如图，以BC 中点O 为原点，OA ，OB 分别为x ，y轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0F，)A，()0,1,0B ，()0,1,0C -，1,,0)22E ．设(),,P x y z ，由28PC =，24PB =，212PA =，解得x =1y =，z =．设外接球球心(,,)O m n t '，由O B O E O F O P ''''===，则22222222222222222231(1)()()22(1)2326((1)()33m n t m n t m n t m n t m n t m n t ⎧+-+=-+-+⎪⎪⎪+-+=++⎨⎪⎪++=++-+-⎪⎩，解得1,,6212m n t ===即1,62O ⎛⎫'⎝，故三棱锥P BEF -的外接球半径222198R O F O O ''===．所以，三棱锥P BEF -的外接球表面积为19π2．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.圆M 经过点()1,2A ，()9,2B -，且圆心M 在直线5y x =-上．（1）求圆M 的方程．（2）过点A 作直线l ，直线l 与圆M 的另一个交点是D ，当4AD =时，求直线l 的方程．【答案】（1）()22520x y -+=（2）1x =或3450x y -+=【解析】【分析】（1）根据圆的性质，结合两点间距离公式进行求解即可；（2）根据垂径定理，结合点到直线距离公式进行求解即可.【小问1详解】圆心M 在直线5y x =-上，不妨设圆心M 为(),5a a -，则()()()()2222152952a a a a -+--=-+-+，得5a =，故圆M 的方程为()22520x y -+=；【小问2详解】①当直线l 斜率不存在时，l 方程为1x =,()2215202y y -+=⇒=±，显然满足4AD =，②当l 斜率存在时，设l ：()21y k x -=-即20kx y k -+-=，由（1）可知：圆M的半径为4AD =，所以点M 到l距离344d k ===⇒=．综上，l 的方程为1x =或3450x y -+=．18.已知数列{}n b 是公比大于0的等比数列，1212b b +=，其前4项的和为120．（1）求数列{}n b 通项公式；（2）记21n n nc b b =+，*N n ∈，求数列{}22n n c c -前n 项和．【答案】（1）3nn b =（2）133n +-【解析】【分析】（1）根据等比数列的通项公式，前n 项和公式进行求解即可；（2）根据等比数列前n 项和公式进行求解即可【小问1详解】设数列{}n b 的公比为q ，通项公式为11n n b b q-=⋅，若公比1q =，由1211266n b b b b +=⇒=⇒=，所以前4项的和为24，不符合题意，故1q ≠()21121121b q b b q-+==-，前4项和为()4111201b q q-=-，于是相除得2110q +=，即29q =，又因为0q >，故3q =，13b =，3nn b =；【小问2详解】221133n n n n n c b b =+=+，22244422221111333233233333n n n nn nn n n nn nc c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=+⋅+-+=⋅ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭前n 项和为()()21333233323313n n n +-⋅++⋅⋅⋅+=⋅=--．19.已知椭圆C ：2212x y +=．（1）直线l ：y x =交椭圆C 于P ，Q 两点，求线段PQ 的长；（2）A 为椭圆C 的左顶点，记直线AP ，AQ ，l 的斜率分别为1k ，2k ，k ，若121k k k+=-，试问直线PQ 是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．【答案】（1）3（2）直线PQ 过定点()0,0【解析】【分析】（1）将l 与椭圆联立得到2P x 、2Q x 、2P y 和2Q y ，进而得到||PQ ；（2）设直线l ：y kx m =+，联立椭圆与直线得到韦达定理以及∆，利用1k =进而得到2k ，由121k k k+=-得到m 的值，最后舍去不符合题意的m 即可.【小问1详解】将直线l 与椭圆方程联立，即2212y x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2223p Q x x ==，即2223pQ y y ==，故||3PQ ==；【小问2详解】设直线l ：y kx m =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，由()22222,21422022y kx m k x kmx m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩得，12221224212221km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，()()()2222221642122821k m k m k m ∆=-+-=+-，又1k ==，2k =故12k k +=++++==，由121k k k+=-，得20m =，故()0m m m -=⇒=或0m =，①当m =时，直线l ：(y kx k x =+=+，过定点()A ，与已知不符，舍去；②当0m =时，直线l ：y kx =，过定点()0,0，()2228211680k m k ∆=+-=+>，符合题意．20.已知数列{}n a ，{}n b 满足11a =，243a =，()1121239n n n a a a n +-=-≥，13n n n b a -=，()*N n ∈．（1）求出数列{}n a ，{}n b 的通项公式．（2）证明：对任意的2n >，1234n a a a a a +>++⋅⋅⋅+．【答案】（1）1323n n n a --=，32n b n =-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可得()1122n n n b b b n +-+=≥，即{}n b 是首项为1，公差为3的等差数列，可求出{}n b ，进而求出{}n a ；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，由错位相减法求出n S ，只要证明2n >时，()1220n S a a -+<即可.【小问1详解】因为11a =，243a =，13n n n b a -=，∴11b =，24b =，又∵()1121239n n n a a a n +-=-≥，13n n n b a -=，∴()111221233393n n n n n n b b b n +---=⋅-⋅≥∴()1122n n n b b b n +-+=≥．∴{}n b 是首项为1，公差为3的等差数列．∴32n b n =-，1323n n n a --=．【小问2详解】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，∵2147321333n n n S --=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+①2311473233333n n n S -=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+②②得：21233332133333n n n n S --=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-，所以12111121113232331313133333313n n n n nn n S --⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥--⎛⎫⎝⎭⎢⎥=+⨯+++-=+⨯- ⎪⎝⎭⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ ，1231325651113233223n n n nn n S --+⎛⎫⎛⎫=+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则11565443n n n S -+=-⋅，当2n >时，()1211156541165221044331243n n n n n S a a --++⎛⎫-+=--+=--< ⎪⋅⋅⎝⎭∴1234n a a a a a +>++⋅⋅⋅+．21.如图所示，已知四棱锥P ABCD -，满足E 为BD 中点90BAD BCD ∠=∠=︒，AD =，PA PB PD ==．（1）求证PE ⊥平面ABCD （2）若PA 与BD夹角的余弦值为4，且CE AB ∥，求PC 与平面PAD 夹角的正弦值【答案】（1）证明见解析（2）10【解析】【分析】（1）取AD 中点为F ，连接AE ，FE ，FP ，EP ，易证AD ⊥平面PEF ，得到PE AD ⊥，从而PE ⊥平面ABCD ；（2）以A 为坐标原点如图建立空间直角坐标系，设面APD 的法向量为(),,n x y z =，则sin cos ,PC nPC n PC nθ⋅==⋅.【小问1详解】取AD 中点为F ，连接AE ，FE ，FP ，EP ，∵PB PD =，E 为BD 中点，∴PE BD ⊥∵PA PD =，F 为AD 中点，∴PF AD ⊥，又因为EF AD ⊥，EF PF F = ，,EF PF ⊂ 平面PEF ，AD ∴⊥平面PEF ，∴PE AD ⊥．PE BD ⊥ ，AD BD D = ，,AD BD ⊂ 平面ABCD PE ∴⊥平面ABCD ．【小问2详解】解：以A 为坐标原点如图建立空间直角坐标系，设1AB =，AD ∴=，设PE h =，,//CE AB EF AB ∥Q ，所以,,C E F 三点共线，在ABD △中，AD =，90BAD ∠=︒，πtan ,(,π),DAB DAB DAB ∴∠=∠∈∴∠=303πBEC FED ABD ∴∠=∠=∠=3，在Rt BCD 中，E 为BD 中点，BE EE BD ∴==12得(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，33(,,0)22C ，(0,3,0)D ，13(,,0)22E ，13,,22P h ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，有13,,22AP h ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()1,3,0BD =-，∴221|cos ,|421BD AP BD AP BD AP h ⋅===+得1h =．所以(,,),(,,),(,,)PC AP AD =-==13101103022设面APD 的法向量为(),,n x y z = ，∴0n AD n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，3013022y x y z ⎧=⎪∴⎨++=⎪⎩，令1z =有()2,0,1n =- ，设PC 与面PAD 的夹角为θ，则3310sin cos ,1025PC nPC n PC nθ⋅====⋅．22.已知双曲线E ：221x y -=，双曲线C 与E 共渐近线且经过点()5,1-（1）求双曲线C 的标准方程．（2）如图所示，点P 是曲线C 上任意一动点（第一象限），直线PA x ⊥轴于点A ，PB y ⊥轴于点B ，直线AB 交曲线E 于点Q （第一象限），过点Q 作曲线E 的切线交PB 于点K ，交y 轴于点J ，求KQA BQJ S S +△△的最小值．【答案】（1）224x y -=（2）2【解析】【分析】（1）由题意设C ：22x y m -=，将()代入解方程即可得出答案.（2）设(),P m n ，(),0A m ，()0,B n ，设AQ QB λ=，表示出Q 点坐标，代入E ：221x y -=方程，即可求得,22m n Q ⎛⎫⎪⎝⎭，进一步求出,K J 的坐标，而KQA BQJ BKJ S S S += ，而12BKJ S KB JB =⋅ ，代入化简结合基本不等式即可得出答案.【小问1详解】由题意设C ：22x y m -=，将()代入得到4m =，∴曲线C ：224x y -=．【小问2详解】设(),P m n ，(),0A m ，()0,B n ，(),Q x y ，则224m n -=（*）设AQ QB λ=，则()(),,AQ x m y QB x n y λλ=-==-- ，解得：,,,1111m n m n x y Q λλλλλλ⎛⎫== ⎪++++⎝⎭，代入E ：221x y -=方程，得()()2221m n λλ-=+，结合（*）式可知()()21130n λλλ⎡⎤-+++=⎣⎦由于0λ>，则()2130n λλ+++>，所以1λ=．所以Q 是A 、B 的中点，,22m n Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭．因为四边形OAPB 是矩形，(),0A m ，,22m n Q ⎛⎫⎪⎝⎭，所以Q 为四边形OAPB 的中心，所以AQ BQ =，在AQK 与BQK △中，AQ BQ =，分别以,AQ BQ 为底时，高相同，所以KQA KQB S S = ，则KQA BQJ KQB BQJ BKJ S S S S S +=+=△△△△△，因为过双曲线221x y -=上一点,22m n Q ⎛⎫⎪⎝⎭的切线方程为122m n x y -=，所以直线KJ 的方程为：122m nx y -=即2mx ny -=，因为K B y y n ==，所以22,n K n m ⎛⎫+⎪⎝⎭，令0x =，所以20,J n ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()222211221222BKJn n S KB JB n m n mn++=⋅=⋅+===，，令222t n =+>，BKJS ==△，令240s t =->，2BKJ S==≥△．当且仅当16s s=，即4s =，28t =，22n =-时，取得最小值．。

浙江省名校协作体2020-2021学年高二下学期开学考试数学试题

2020学年第二学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分(共40分)一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线10x -=的倾斜角为（）A.30B.60C.120D.1502.直线230x y +=是双曲线2221(0)4x y a a -=>的一条渐近线，则实数a 的值为（）A.13 B.3 C.43 D.343.已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A.若//,m n n α⊂，则//m αB.若m //,//m αβ，则//αβC.若,m n αα⊥⊥，则//m nD.若,αγβγ⊥⊥，则//αβ4.“1m =-”是“直线()110mx m y +-+=和直线230x my ++=垂直”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.在四面体O ABC -中，点P 为棱BC 的中点.若OA a OB b ==，，OC c =，则向量AP 等于（）A.111222a b c -++ B.1122a b c ++ C.1122a b c -++ D.111222a b c ++ 6.已知平面α和两条异面直线,a b 满足,a b αα⊂⊥，平面α内的动点M 到两条直线,a b 的距离相等，则点M 的轨迹是（）A.两条直线.B 椭圆 C.双曲线 D.抛物线7.圆220x y mx y m +-++=在x 轴上截得的弦长是它在y 轴上截得的弦长的2倍，则实数m 的值是（）A.6--B.6-+C.3-D.3-+8.正三棱锥A BCD -中，二面角A BC D --的大小为α，二面角B AC D --的大小为β，则2cos cos αβ+的取值范围是（）A.12,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D.12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭9.曲线21:6C y x =与2:143y y x x C -=交点的个数为（）A.1B.2C.3D.410.在正四面体ABCD 中，,P Q 分别是棱,AB CD 的中点，,E F 分别是直线,AB CD 上的动点，且满足PE QF a +=，M 是EF 的中点，则点M 的轨迹围成的区域的面积是（）A.24aB.22aC.24a πD.22a π 非选择题部分(共110分)二､填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.已知抛物线C 的焦点()1,0F ，则拋物线C 的标准方程为_________，焦点到准线的距离为_________. 12.已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为_________3cm ,表面积为_________2cm .13.若直线1:1l y kx =+与直线2l 关于点(2，3)对称，则直线2l 恒过定点的坐标为，直线1l 与2l 的距离的最大值是_________.14.已知P 是圆22:(3)(4)1C x y -+-=上一动点，过圆心C 作两条互相垂直的直线12,l l ，它们分别交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，记AB 中点为Q ，则PQ 的最小值是__________，圆C 上到Q 的距离等于3的点有__________个.15.已知平面//αβ，直线l 与α所成角的正切值为2，直线,m l m α⊂⊥，直线n β⊂，且l 和n 所成角为4π，那么m 与n 所成的角为__________. 16.已知椭圆22:1,3x C y +=过C 上一点(P 第一象限)的直线l 与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于点,.A B 若1PA =，则PB 的值为__________.17.如图，双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 是拋物线22:2C y px =的焦点，O 为坐标原点，A 为双曲线1C 与拋物线2C 在第一象限内的交点，若2||,4FA OF AF ⋅=则双曲线1C 的离心率是__________.三､解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.18.(本小题满分14分)已知圆C 经过()()1,0,2,1M N 两点，且圆心C 在直线220x y +-=上. （1）求圆C 的方程；（2）过点()0,1P 的直线l 与圆C 交于不同的,A B 两点，且CA CB ⊥，求直线l 的方程.19.(本小题满分15分)如图，已知三棱锥P ABC -中，2,AB BC PA PC PB =====，且AB BC ⊥.（1）求证：AC PB ⊥；（2）求二面角P BC A --的大小.20.(本小题满分15分)如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，且过点⎛ ⎝⎭.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过左焦点F 且斜率为正的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，过点,A B 分别作与直线l 垂直的直线，交x 轴于,C D 两点，求FC FD ⋅的最小值.21.(本小题满分15分)在三棱台ABC DEF -中，2,60AB BC DE DAB EBA ∠∠====，平面ABED ⊥平面,.ABC BC BE ⊥（1）求证：平面ABED ⊥平面BCFE ；（2）求直线DF 与平面ABF 所成角的正弦值.22.(本小题满分15分)如图，已知过拋物线2:4C y x =的焦点F 的直线交抛物线C 于点,(A B 点A 在第一象限)，线段AB 的中点为,M 拋物线C 在点A 处的切线与以AM 为直径的圆交于另一点P .（1）若4AF FB =，求直线AB 的方程；（2）试问2||AP AB AF⋅是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请求出它的最大值.2020学年第二学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科参考答案一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二､填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11.24y x =，212.7，19+(4,5)，14.32，215.3π17.2 三､解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.18.解：（1）直线MN 的中垂线方程为20x y +-=，由20220x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得圆心C 的坐标()2,0,所以半径1r =，圆C 的方程为22(2)1x y -+= （2）设直线l 的方程为1,,y kx CA CB =+⊥C ∴到AB的距离为2，= 解得1k =-或17k =-，故直线l 的方程为10x y +-=或770.y x +-=19.解：（1）取AC 中点,O 有AC PO ⊥，AC BO ⊥,BO PO O AC ⋂=∴⊥面POB又PB ⊂面,POB AC PB ⊥；（2）由（1）知BO =取BC 中点,M 连接,OM则,OM BC ⊥连接,PM 则PM BC ⊥ 所以PMO ∠就是所求二面角的平面角求得1,PO =得,BO PO ⊥所以PO ⊥面,ABC 所以PO OM ⊥ 又145.OM PMO ∠=∴=20.解：（1）由题意2c a =，又椭圆过点,⎛ ⎝⎭得2,1a b ==.即椭圆C 的标准方程为221;4x y +=（2）设()()1122:,,,,l x my A x y B x y =由2214x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩有()22121221410,4m y y y y y m -+--=∴+==+，直线AC 的方程为：()11,y y m x x -=--令0y =得1111C y yx x my m m=+=+同理22D y x my m=+ 所以221212122114m y y m FC FD my my m y y m m m m ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⋅=--+=-+=⎪ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭令211,m t +=>则，()()2213,2113413t FC FD FC FDt t t t⋅==≥∴⋅-++-的最小值是34 等号成立当且仅当“m ="21.解：（1）过E 作EH AB ⊥于H ，因为面ABED ⊥面ABC ，所以EH BC ⊥ 又,BC BE ⊥所以BC ⊥面ABED ，所以面ABED ⊥面;BCFE（2）方法1：设D 到平面ABF 的距离为,h 记DF 与平面ABF 所成角为,θ由D ABF F ABD V V --=得7h =sin h DF θ∴==方法2：将三棱台ABC DEF -补体成三棱锥P ABC - 以B 为原点建立空间直角坐标系(如图)，(()()13,0,2,0,2,0,0,1,,,0,,2222P A C F D ⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭()()11,1,0,0,2,0,1,2DF BA BF ⎛∴=-== ⎝⎭设平面ABF 的法向量为(),,,n x y z =由00n AB n FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，有0102y x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令2z =得()3,0,2n =-. sin ||||14n DF n DF θ⋅∴==⋅∣22.解：（1）设221212:1,,,,44AB y y l x my A y B y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由214x my y x=+⎧⎨=⎩得2440,y my --=则12124,4y y m y y +==-因为4,AF FB =所以124,y y =- 从而1234,1,,4y y m ==-=所以直线AB 的方程为4340x y --=；（2）设过A 点的切线A l 的方程为：()11y k x x y =-+代入24,y x =由Δ0=得12,k y =所以A l 的方程为：1122y y x x =+.设直线A l 与y 轴交点为,Q 令0,x =得11122Q x y y y ==， 22211212111,,,422244y y y y AQ AM AB y y ⎛⎫⎛⎫∴=--==-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2242312112122111421616228y y y y y y AM AQ y AP y AQ ⎛⎫-+-+ ⎪⋅+∴===()326421211122114124864||6464y y y y AP y y ++++∴==222642121111121211248641,,44416y y y y y y AF AB AF AB y y y y ⎛⎫⎛⎫+++⋅=⋅=--⋅--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2||1||||4AP AB AF ∴=⋅。

2020-2021学年浙江省名校协作体高二(下)开学数学试卷(解析版)

2020-2021学年浙江省名校协作体高二（下）开学数学试卷一、选择题（共10小题）.1．直线x+y﹣1＝0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．直线2x+3y＝0是双曲线的一条渐近线，则实数a的值为（）A．B．3C．D．3．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β4．“m＝﹣1”是“直线mx+（m﹣1）y+1＝0和直线2x+my+3＝0垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．在四面体O﹣ABC中，点P为棱BC的中点．设，，，那么向量用基底{，，}可表示为（）A．B．C．D．6．已知平面α和两条异面直线a，b满足a⊂α，b⊥α，平面α内的动点M到两条直线a，b 的距离相等，则点M的轨迹是（）A．两条直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线7．圆x2+y2﹣mx+y+m＝0在x轴上截得的弦长是它在y轴上截得的弦长的2倍，则实数m 的值是（）A．B．C．D．8．正三棱锥A﹣BCD中，二面角A﹣BC﹣D的大小为α，二面角B﹣AC﹣D的大小为β，则cos2α+cosβ的取值范围是（）A．B．C．D．9．曲线C1：y2＝6|x|与C2：＝1交点的个数为（）A．1B．2C．3D．410．在正四面体ABCD中，P，Q分别是棱AB，CD的中点，E，F分别是直线AB，CD上的动点，且满足|PE|+|QF|＝a，M是EF的中点，则点M的轨迹围成的区域的面积是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．已知抛物线C的焦点F（1，0），则拋物线C的标准方程为，焦点到准线的距离为．12．已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为cm3，表面积为cm2．13．若直线l1：y＝kx+1与直线l2关于点（2，3）对称，则直线l2恒过定点，l1与l2的距离的最大值是．14．已知P是圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1上一动点，过圆心C作两条互相垂直的直线l1，l2，它们分别交x轴于A点，交y轴于B点，记AB中点为Q，则PQ的最小值是，圆C上到Q的距离等于3的点有个．15．已知平面α∥β，直线l与α所成角的正切值为，直线m⊂α，l⊥m，直线n⊂β，且l 和n所成角为，那么m与n所成的角为．16．已知椭圆C：＝1，过C上一点P（第一象限）的直线l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B．若|PA|＝1，则|PB|的值为．17．如图，双曲线C1：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F是拋物线C2：y2＝2px的焦点，O为坐标原点，A为双曲线C1与拋物线C2在第一象限内的交点，若，则双曲线C1的离心率是．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．已知圆C经过M（1，0），N（2，1）两点，且圆心C在直线x+2y﹣2＝0上．（1）求圆C的方程；（2）过点P（0，1）的直线l与圆C交于不同的A，B两点，且CA⊥CB，求直线l的方程．19．如图，已知三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PC＝PB＝，且AB⊥BC．（1）求证：AC⊥PB；（2）求二面角P﹣BC﹣A的大小．20．如图，已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过左焦点F且斜率为正的直线l与椭圆C交于A、B两点，过点A、B分别作与直线l垂直的直线，交x轴于C、D两点，求|FC|•|FD|的最小值．21．在三棱台ABC﹣DEF中，AB＝BC＝2DE，∠DAB＝∠EBA＝60°，平面ABED⊥平面ABC，BC⊥BE．（1）求证：平面ABED⊥平面BCFE；（2）求直线DF与平面ABF所成角的正弦值．22．如图，已知过拋物线C：y2＝4x的焦点F的直线交抛物线C于点A，B（点A在第一象限），线段AB的中点为M，拋物线C在点A处的切线与以AM为直径的圆交于另一点P．（1）若，求直线AB的方程；（2）试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请求出它的最大值．参考答案一、选择题（共10小题）.1．直线x+y﹣1＝0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°解：设直线x+y﹣1＝0的倾斜角为α．直线x+y﹣1＝0化为．∴tanα＝﹣．∵α∈[0°，180°），∴α＝150°．故选：D．2．直线2x+3y＝0是双曲线的一条渐近线，则实数a的值为（）A．B．3C．D．解：双曲线的渐近线方程为，化为2x±ay＝0，又2x+3y＝0是双曲线的一条渐近线，∴a＝3．故选：B．3．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β解：若m∥n，n⊂α，且m⊄α，则m∥α，故A错误；若m∥α，m∥β，则α∥β，或α、β相交，故B错误；若m⊥α，n⊥α，则m∥n，故C正确；若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β，或α、β相交，故D错误．故选：C．4．“m＝﹣1”是“直线mx+（m﹣1）y+1＝0和直线2x+my+3＝0垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：“直线mx+（m﹣1）y+1＝0和直线2x+my+3＝0垂直”⇔2m+m（m﹣1）＝0，解得m＝0，或m＝﹣1．∴“m＝﹣1”是“直线mx+（m﹣1）y+1＝0和直线2x+my+3＝0垂直”的充分不必要条件．故选：A．5．在四面体O﹣ABC中，点P为棱BC的中点．设，，，那么向量用基底{，，}可表示为（）A．B．C．D．解：∵点P为棱BC的中点，∴＝（+），∴＝＝（+）﹣，又∵，，，∴＝（+）﹣＝﹣++．故选：B．6．已知平面α和两条异面直线a，b满足a⊂α，b⊥α，平面α内的动点M到两条直线a，b 的距离相等，则点M的轨迹是（）A．两条直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线解：b⊥α，设垂足为B，则M到直线b的距离即为M到定点B的距离，即动点M在平面α内到一定直线距离与一定点的距离相等，符合抛物线性质，则M的轨迹是抛物线，故选：D．7．圆x2+y2﹣mx+y+m＝0在x轴上截得的弦长是它在y轴上截得的弦长的2倍，则实数m 的值是（）A．B．C．D．解：对于x2+y2﹣mx+y+m＝0，令x＝0得：y2+y+m＝0，设与y轴交点的纵坐标为y1，y2，且1﹣4m＞0，得m①．则y1+y2＝﹣1，y1y2＝m，故与y轴相交的弦长为：＝．同理，令y＝0可得：x2﹣mx+m＝0，设与x轴交点的横坐标为x1，x2，且m2﹣4m＞0，得m＞4，或m＜0②．则x1+x2＝m，x1x2＝m，故与x轴相交的弦长为：＝．由题意得：，解得：，结合①②得：m＝﹣6符合题意．故选：A．8．正三棱锥A﹣BCD中，二面角A﹣BC﹣D的大小为α，二面角B﹣AC﹣D的大小为β，则cos2α+cosβ的取值范围是（）A．B．C．D．解：设该正三棱锥的底面边长为2a，记点A在底面BCD上的投影为点O，连结AO，则点O为△BCD的中心，AO⊥平面BCD，因为△BCD为等边三角形，所以O为△BCD的重心，取BC的中点E，连结DE，AE，则DE⊥BC，AE⊥BC，OE＝，所以∠AED为二面角A﹣BC﹣D的平面角，即∠AED＝α，记△ABC的高为h，则h＝AE＞OE＝，所以cosα＝cos∠AED＝，过点B作BF⊥AC于点F，连结DE，由正三棱锥的对称性可得，DF⊥AC，则∠BFD为二面角B﹣AC﹣D的平面角，即∠BFD＝β，在△ABC中，，又AC＝，所以，所以cosβ＝cos∠BFD＝＝＝，因此cos2α+cosβ＝，因为，则，所以cos2α+cosβ＝．故选：B．9．曲线C1：y2＝6|x|与C2：＝1交点的个数为（）A．1B．2C．3D．4解：因为曲线C1：y2＝6|x|，所以当x≥0时，y2＝6x，当x＜0时，y2＝﹣6x，因为C2：＝1，所以当x≥0，y≥0时，﹣＝1，当x＞0，y＜0时，﹣﹣＝1，无意义，当x＜0，y＜0时，﹣+＝1，当x＜0，y＞0时，+＝1，所以曲线C1与曲线C2共四个交点，故选：D．10．在正四面体ABCD中，P，Q分别是棱AB，CD的中点，E，F分别是直线AB，CD上的动点，且满足|PE|+|QF|＝a，M是EF的中点，则点M的轨迹围成的区域的面积是（）A．B．C．D．解：在正四面体ABCD中，取BC，BD，AD，AC的中点G，H，K，L，如图所示，因为P，Q分别是棱AB，CD的中点，所以PQ的中点O也为定点，由对称性可知，PQ和EF的中点都在中截面GHKL（正方形）上，由，所以，设E，F在中截面上的投影分别为E'，F'，所以，所以点M是线段E'F'的中点，作a∥CD，b∥AB，如图所示，则∠E'OF'＝90°，因为PE+QF＝a，所以OE'+OF'＝a，取OR＝ON＝，则OR+ON＝a，两式相减可得RE'＝NF'，过点E'作E'S∥RN，所以RE'＝NS，所以RE'＝NS'＝NF'，所以E'F'的中点M在RN上，同理E'F'的中点M在NT，TW，WR上，因为，故定点M的轨迹是边长为的正方形RNTW，所以其轨迹围成的区域的面积为．故选：B．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．已知抛物线C的焦点F（1，0），则拋物线C的标准方程为y2＝4x，焦点到准线的距离为2．解：由抛物线的定义可知该抛物线开口向右，，∴抛物线方程为y2＝4x，焦点到准线的距离为2．故答案为：y2＝4x，2．12．已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为7cm3，表面积为19+2cm2．解：由三视图，可知该几何体为棱长为2的正方体截去一个直三棱柱，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，直角边长为1，高为2，则该几何体的体积V＝；表面积S＝5×＝19+．故答案为：7；19+2．13．若直线l1：y＝kx+1与直线l2关于点（2，3）对称，则直线l2恒过定点（4，5），l1与l2的距离的最大值是4．解：因为l1：y＝kx+1经过定点（0，1），∴l2恒过定点（4，5），∴l1与l2的距离的最大值是＝4．故答案为：（4，5），4．14．已知P是圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1上一动点，过圆心C作两条互相垂直的直线l1，l2，它们分别交x轴于A点，交y轴于B点，记AB中点为Q，则PQ的最小值是，圆C上到Q的距离等于3的点有2个．解：（1）易知，圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1的圆心C（3，4），半径r＝1．由已知得：CA⊥CB，且OA⊥OB，所以O，A，C，B四点共圆，故Q点为该圆的圆心，要使|PQ|最小，只需|CQ|最小，显然当O，C，Q三点共线时|CQ|最小，此时|CQ|＝．所以|PQ|min＝．（2）由上一个问题可知，Q（）．所以，以Q为圆心，半径为3的圆Q的方程为：．因为：|CQ|＝＝，∴|PQ|min＝2.5﹣1＝1.5，|PQ|max＝2.5+1＝3.5，∵1.5＜3＜3.5，所以圆C上到Q的距离等于3的点有2个．故答案为：，2．15．已知平面α∥β，直线l与α所成角的正切值为，直线m⊂α，l⊥m，直线n⊂β，且l 和n所成角为，那么m与n所成的角为．解：如图，分别平移直线m与n，使得m与l交于A，n与l交于B，设A在平面β内的射影为A′，则AA′⊥β，在β内过A′作A′C⊥n，垂足为C，连接AC，可得AC⊥n，∵直线l与α所成角的正切值为，且α∥β，∴直线l与β所成角的正切值为，即tan∠ABA′＝，设A′B＝1，则AA′＝，可得AB＝，又l和n所成角为，∴，又AC⊥BC，可得AC＝BC＝，在Rt△A′CB中，可得cos，则∠A′BC＝．即A′B与n所成角为，∵AB⊥m，AA′⊥m，AB∩AA′＝A，∴m⊥平面AA′B，而A′B⊂平面AA′B，∴m⊥A′B，则m与n所成角为．故答案为：．16．已知椭圆C：＝1，过C上一点P（第一象限）的直线l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B．若|PA|＝1，则|PB|的值为．解：如图，设P（，sinθ），A（a，0），∵|PA|＝1，∴，得a＝，∵△PQB∽△AOB，∴，则，设|PB|＝m，则|AB|＝m+1，∴，解得m＝，故答案为：．17．如图，双曲线C1：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F是拋物线C2：y2＝2px的焦点，O为坐标原点，A为双曲线C1与拋物线C2在第一象限内的交点，若，则双曲线C1的离心率是．解：双曲线C1：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0），拋物线C2：y2＝2px的焦点F（，0），则c＝，即p＝2c，设A（x1，y1），则（x1＞0，y1＞0），联立，得b2x2﹣4a2cx＝a2b2．解得x1＝＝＝＝．由抛物线的性质，可得，，，＝，∴，则，得，∴．则，可得＝，即，可得．可得e＝，∵e＞1，∴e＝．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．已知圆C经过M（1，0），N（2，1）两点，且圆心C在直线x+2y﹣2＝0上．（1）求圆C的方程；（2）过点P（0，1）的直线l与圆C交于不同的A，B两点，且CA⊥CB，求直线l的方程．解：（1）由题意设圆C的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F＝0，根据圆C经过M（1，0），N（2，1）两点，且圆心C在直线x+2y﹣2＝0上可得：，解得D＝﹣4，E＝0，F＝3．即圆的方程为：x2+y2﹣4x+3＝0．（2）由（1）知，圆心C（2，0），半径r＝1．由CA⊥CB，可知三角形ABC为等腰直角三角形，故圆心C到直线AB的距离为．由题意设直线l的方程为：y＝kx+1，即kx﹣y+1＝0．故，整理得7k2+8k+1＝0，解得k＝﹣1，或k＝﹣．故直线l的方程为：y＝﹣x+1，或，即x+y﹣1＝0，或x+7y﹣7＝0．19．如图，已知三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PC＝PB＝，且AB⊥BC．（1）求证：AC⊥PB；（2）求二面角P﹣BC﹣A的大小．【解答】证明：（1）取AC的中点O，连接BO，PO，∵AB＝BC，∴BO⊥AC，又PA＝PC，∴PO⊥AC，而PO∩BO＝O，∴AC⊥平面POB，又PB⊂平面POB，∴AC⊥PB；解：（2）在△ABC中，∵AB＝BC＝2，且AB⊥BC，∴AC＝，则BO＝，在△PAC中，由PA＝PC＝，AC＝，可得PO＝，又PB＝，∴PO2+BO2＝PB2，得PO⊥BO，又PO⊥AC，AC∩BO＝O，AC、BO⊂平面ABC，∴PO⊥平面ABC，在平面ABC中，过O作OD⊥BC，垂足为D，连接PD，由三垂线定理可得，PD⊥BC，则∠PDO为二面角P﹣BC﹣A的平面角，由AB⊥BC，OD⊥BC，O为AC的中点，可得OD＝AB＝1．在Rt△POD中，由PO＝1，OD＝1，得△POD为等腰直角三角形，则∠PDO＝．故二面角P﹣BC﹣A的大小为．20．如图，已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过左焦点F且斜率为正的直线l与椭圆C交于A、B两点，过点A、B分别作与直线l垂直的直线，交x轴于C、D两点，求|FC|•|FD|的最小值．解：（1）根据题意可得，解得a＝2，b＝1，c＝，所以椭圆的方程为+y2＝1．（2）设直线l的方程为x＝my﹣，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（4+m2）y2﹣2my﹣1＝0，所以y1+y2＝，y1y2＝﹣，所以|AF|＝＝＝|y1|，同理可得|BF|＝|y2|，因为△AFC∽△BFD，所以＝＝，因为直线AB斜率为，所以tan∠BFD＝＝，所以|BD|＝＝|y2|，所以|DF|＝＝|y2|，所以＝，所以|CF|＝•|DF|＝•|y1|，所以|FC|•|FD|＝＝＝，当t＝3时，取最小值＝，所以|FC|•|FD|最小值为．21．在三棱台ABC﹣DEF中，AB＝BC＝2DE，∠DAB＝∠EBA＝60°，平面ABED⊥平面ABC，BC⊥BE．（1）求证：平面ABED⊥平面BCFE；（2）求直线DF与平面ABF所成角的正弦值．【解答】（1）证明：过点E作EH⊥AB于H，∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，EH⊂平面ABED，∴EH⊥平面ABC，∵BC⊂平面ABC，∴EH⊥BC，又BC⊥BE，BE、EH⊂平面ABED，∴BC⊥平面ABED，∵BC⊂平面BCFE，∴平面ABED⊥平面BCFE．（2）解：将三棱台ABC﹣DEF补成三棱锥P﹣ABC，∵AB＝2DE，∠DAB＝∠EBA＝60°，∴D，E，F分别为PA，PB，PC的中点，且△PAB为正三角形，以B为原点，BC，BA所在直线分别为x，y轴，作Bz⊥平面ABC，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝2，则A（0，2，0），P（0，1，），C（2，0，0），D（0，，），F （1，，），∴＝（1，﹣1，0），＝（0，2，0），＝（1，，），设平面ABF的法向量为＝（x，y，z），则，即，令z＝2，则x＝﹣，y＝0，∴＝（﹣，0，2），设直线DF与平面ABF所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝||＝||＝，故直线DF与平面ABF所成角的正弦值为．22．如图，已知过拋物线C：y2＝4x的焦点F的直线交抛物线C于点A，B（点A在第一象限），线段AB的中点为M，拋物线C在点A处的切线与以AM为直径的圆交于另一点P．（1）若，求直线AB的方程；（2）试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请求出它的最大值．解：（1）拋物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），＝（1﹣x A，﹣y A），＝（x B﹣1，y B），因为，则1﹣x A＝4（x B﹣1），①，﹣y A＝4y B，②，又y A2＝4x A，③，y B2＝4x B，④，由①②③④解得A（4，4），B（，﹣1），所以k AB＝＝，则AB的方程为y﹣4＝（x﹣4），化为4x﹣3y﹣4＝0；（2）设AB的方程为x＝my+1，A（，y1），B（，y2），由可得y2﹣4my﹣4＝0，则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，由y2＝4x，两边对x求得可得2yy′＝4，即y′＝，可得抛物线在A处的切线的斜率为，设A点处的切线的方程为x﹣＝（y﹣y1），化为x＝﹣，AP与y轴的交点为Q（0，），＝（﹣，﹣），＝＝（，（y2﹣y1）），因为AM为直径，P在圆上，所以AP⊥PM，即有|AP|＝＝，所以|AB|•|AF|＝•＝（（y22﹣y12），y2﹣y1）•（1﹣，﹣y1）＝＝，又|AP|2＝，所以为定值．。

浙江省浙南名校联盟2020-2021学年高二下学期期末联考数学试题

11．
【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简，即可求出，然后利用复数虚部的概念得答案．
【详解】
解：因为 ,
所以，
所以，
的虚部为 .
故答案为：； .
12．9 45
【分析】
应用赋值法求、，结合二项式定理求，可得，进而求，即可得 .
【详解】
由题设知：当时，；当时，，而，
∴ ，
（2）若，当时，的最大值为，求的值；
（3）当时，记最大值为，求证：当时，．
参考答案
1．A
【分析】
先求得集合A，根据补集运算的定义，即可得答案.
【详解】
由题意得：集合，
所以 .
故选：A
2．C
【分析】
由双曲线方程确定参数a、c，即可求离心率.
【详解】
由双曲线方程知：，，
∴ .
故选：C
∵ ，而，
∴当时，，单调递减；当时，，单调递增；
∴ 的极小值也是最小值为，而，，，
∴要使题设成立，则且有 .
令，则，
∴ ，
若且，
∴
∵ ，，
∴ ，即在上单调递减，
∴ ，
∴ 且当时单调递增，故在右侧存在，使，即，若，
∴ ，且恒成立，即，故A、B正确；
【详解】
（1）证明：取线段中点，连，，
因为G、H分别为FC、DF中点，
所以，且，
又E为AB中点，，
所以，，
所以且，
所以四边形是平行四边形，
所以，
由平面，平面，
所以平面．
（2）因为E为AB中点，所以，所以，

浙江省名校协作体2021-2022学年高二下学期开学考试数学试题含解析

对于C选项，设，与不重合，根据线面平行的性质定理可知 .
设与不重合，根据线面平行的性质定理可知 .所以，
由于，所以 .由于，所以，所以，C选项正确.
对于D选项，若，，，则，所以D选项错误.
故选：BC
10.已知，，则下列不等式一定成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】ACD
（1）要使这名研发人员的年总投入不低于调整前200名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？
（2）为了激励芯片研发人员的热情和保持各技术人员的工作积极性，在资金投入方面需要同时满足以下两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.是否存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，若存在，求出的范围；若不存在，说明理由.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的概念和运算法则即可求解.
【详解】由题意得，，
所以复数的虚部为 .
故选：A.
3.已知A，B是相互独立事件，且，，则（）
A. 0.9B. 0.12C. 0.18D. 0.7
【答案】C
【解析】
【分析】由对立事件概率公式求出，再根据相互独立事件概率乘法公式即可求解.
，所以 .
18.为了加强自主独立性，全国各个半导体领域企业都计划响应国家号召，加大对芯片研发部的投入据了解，某企业研发部原有200名技术人员，年人均投入万元（），现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元.
【详解】解：因为，所以，
又A，B是相互独立事件，且，

浙江省A9协作体2020_2021学年高二数学暑假返校联考试题

浙江省A9协作体2020-2021学年高二数学暑假返校联考试题考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前务必将自己的姓名,准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方。

3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效。

4．考试结束后，只需上交答题卷。

参考公式：如果事件,A B 互斥那么柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+．V Sh =如果事件,A B 相互独立,那么其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高()()()P AB P A P B = 锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率为p ,那么n13V Sh =次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率为其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()()10,1,2),,(k k n k n n P k C p p k n -==⋯－球的表面积公式台体的体积公式 24S R π=121()3V S S h =+ 球的体积公式其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，343V R =πh 表示为台体的高其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若sin cos 0tan sin 0R ααααα∈⋅<⋅<，，，则α是 A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角2．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，377835a a S +==，，则45a a += A ．1B ．5C ．7D ．93．已知π4sin +25α⎛⎫= ⎪⎝⎭，则cos2α的值为A ．725 B ．2425C ．2425-D ．725- 4．若b 为单位向量，||||a b a +=，则向量a 在向量b 方向上的投影为 A ．1- B ．1 C ．12 D ．12-5．函数()3cos sin f x xx 在区间2π[0,]3上的值域为A ．[B ．[C ．[D ．[1,2]-6．已知00a b >>，，且2a b +=，则下列式子不恒成立的是A ．222a b +≥B ．124a b->C ．22log log 0a b +≥D 27．已知|sin |0()()0x x f x g x x ≤⎧=⎨>⎩，，为奇函数，则()g x 在下列哪个区间上单调递增 A ．π(0)4，B ．ππ()42，C ．π(π)2，D ．3π(π)2，8．已知函数0()ln 20x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，若函数()()F x f x a =-的两个零点分别在区间(10)-，和1(1)2，内，则实数a 的取值范围为A ．1(ln 2)e， B ．(01)， C ．(ln 21)， D ．1(1)e， 9．设二次函数()f x 满足下列条件：①()(2)f x f x =--，(1)0f -=；②当(0,2)x ∈时，2()4|1|2x f x x ≤≤-+恒成立．若()f x 在区间[1]m m -，上恒有2|()|12x f x -≤，则实数m 的取值范围是A ．[11]-， B ．31[]22-， C ．11[]22-，D ．13[]22，10．已知数列{}n a 满足11n n na a a +=+，且1a =[]x 为不超过实数x 的最大整数，则99[]a = A ．13 B ．14 C ．15 D ．16非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

2020-2021学年第二学期高二数学联考试卷【含答案】

2020～2021学年第二学期半期联考高二数学试卷（满分：150分考试时间：120分钟）学校姓名考生号一、选择题(每小题5分,共8小题40分)1.已知是虚数单位,复数,则复数（） 2.的展开式中,的系数是（）A.4B.8C.10D.203.若某一随机变量的概率分布如下表,且,则的值为()A.B.C. D. 4.如图,半径为的圆切直线于点,射线从出发,绕点顺时针方向旋转到,旋转过程中交于,记为,弓形的面积,那么的图像是()A. B. C.D.5.现有种不同的颜色为公民基本道德规范四个主题词(如图)涂色,要求相邻的词语涂色不同,则不同的涂法种数为（）A.B. C.D.A. B. C.D.6.设函数(),则（） A.在区间,内均有零点B.在区间,内均无零点C.在区间内有零点,在区间内无零点 D.在区间内无零点,在区间内有零点7.某单位举行知识竞赛,给每位参赛选手设计了两道题目,已知某参赛者答对每道题的概率均为,且各次答对与否相互独立,则该参赛者答完两道题目后至少答对一题的概率为（）A.B.C.D.8.已知函数,则与的大小关系是（）A.B.C.D.不能确定二、多选题(每小题5分,共4小题20分)9.已知(为虚数单位),则下列选项正确的是（）A.若为纯虚数,则B.若为实数,则C.不可能是实数D.若为纯虚数,则虚部为10.已知的展开式中只有第项的系数最大,则下列说法正确的是（）A.一定为偶数 B.一定为奇数C.D.11.甲、乙两人争夺一场围棋比赛的冠军,若比赛为“五局三胜”制,每局没有平局,只有胜负,若一方累计先赢得三局则获胜并且比赛结束，甲在每局比赛中获胜的概率均为,且各局比赛结果相互独立,设事件为“甲获胜得冠军”,事件为“比赛进行了四局结束”,则（）.A.B. C. D.12.已知偶函数对于任意的满足(其中是函数的导函数),则下列不等式中成立的有（）A. B.C.D.三、填空题(每小题5分,共4小题20分)13.在复平面内，是原点，对应的复数分别为.那么对应的复数为__________.14.甲、乙两人参加知识竞赛,甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和,且两人是否获得一等奖相互独立,则两人中恰有一个人获得一等奖的概率是__________.15.若,则的值是；在上述展开式右边的九项中,随机任取不同的三项,假设这三项均不相邻,则有种不同的取法.16.如图所示,一座小岛距离海岸线上最近的点的距离是,从点沿海岸正东处有一个城镇.假设一个人驾驶的小船的平均速度为,步行的平均速度是,用(单位:)表示他从小岛到城镇的时间,(单位:)表示此人将船停在海岸处距点的距离,经过计算将船停在海岸处某地,可使从小岛到城镇所花时间最短,则这个最短时间是.四、解答题(第17题10分,第18题12分,第19题12分,第20题12分,第21题12分,第22题12分,共6小题70分)17.四个不同的小球放入编号为,,,的四个盒子中.(1)若每个盒子放一个球,则共有多少种不同的放法?(2)恰有一个空盒的放法共有多少种?18.(1)若,求实数的值;(2)若复数,求.19.在二项式的展开式中,前三项的系数依次成等差数列.(1)求展开式中的所有有理项;(2)求系数最大的项.20.已知函数的极值点为和.(1)求实数,的值.(2)求函数在区间上的最大值.21.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上件产品作为样本称出它们的重量(单位:克),重量的分组区间为,,……,由此得到样本的频率分布直方图,如图所示.(1)在上述抽取的件产品中任取件,设为重量超过克的产品数量,求的分布列;(2)从该流水线上任取件产品,求恰有件产品的重量超过克的概率.22.已知函数.(1)若,求函数在处的切线方程;(2)讨论极值点的个数;(3)若是的一个极值点,且,证明:.2020-2021学年第二学期期中考试两校联考高二数学试卷答案解析第1题答案B第1题解析,故选B.第2题答案C第2题解析展开式通项公式为:,令,解得:,的系数为.第3题答案B第3题解析由分布列得与,联解得,第4题答案A第4题解析由题意得,,当和时,,取得极值.则函数在上为增函数,当和时,取得极值.结合选项,A正确.第5题答案C第5题解析由题意知本题是一个分步计数问题,首先给最左边一块涂色,有种结果,再给左边第二块涂色有种结果,以此类推第三块有种结果,第四块有种结果,∴根据分步计数原理知共有.第6题答案D第6题解析由题得,令得;令得;故知函数在区间上为减函数,在区间为增函数,在点处有极小值,又,,,故选择D.第7题答案D第7题解析因为参赛者答对每道题的概率均为,且各次答对与否相互独立,则该参赛者答完两道题目后至少答对一题的概率为.第8题答案A第8题解析,当时,知在时为减函数,则,而为偶函数,则.第9题答案A,B第9题解析若为纯虚数,则,解得,则,虚部为,故A正确,D错误;若为实数,则,解得,则,故B正确,C错误,故答案选A、B.第10题答案A,C第10题解析由二项式系数的性质可知一定为偶数,且,计算可得.第11题答案A,C,D第11题解析∵甲在每局比赛中获胜的概率均为,且各局比赛结果相互独立,∴,，,∴在甲获得冠军的情况下,比赛进行了四局结束的概率为,在比赛进行了四局结束的情况下,甲获得冠军的概率为.第12题答案B,C,D第12题解析∵偶函数对于任意的,满足,∴,,∴函数,单调递增,且是偶函数.∴,,∵,∴,即,A化简得出,所以A不正确;B化简,得出,所以B正确;又根据单调性可知:,∴,∴,∵偶函数,∴即,所以C正确;∵根据单调性可知,∴,,所以D正确.第13题答案第13题解析∵∴，∴对应的复数为.第14题答案第14题解析两人中恰有一个人获得一等奖分为甲获一等奖乙未获一等奖,甲未获一等奖乙获一等奖,∴所求概率为.第15题答案第15题解析因为,令,则,令,则,,所以;在上述展开式右边的九项中,随机任取不同的三项,可以利用插空法,从六项所形成的七个空中选取三个空,则有种.第16题答案第16题解析由题意知,所花时间,,,当时,;当时,,,即最短时间为.第17题答案见解答第17题解析(1)每个盒子放一个球,共有种不同的放法.5分(2)先选后排,分三步完成:第一步:四个盒子中选一只为空盒,有种选法;第二步:选两球为一个元素,有种选法;第三步:三个元素放入三个盒中,有种放法.故共有种放法.10分第18题答案见解答第18题解析(1)由题意,4分,故.6分(2)因为,8分所以,所以,10分故.12分第19题答案见解析,第19题解析(1)∵,由题设可知,解得或(舍),3分当时,通项,据题意,必为整数,从而可知必为的倍数,而,5分∴,故展开式中的有理项为.6分(2)设第项的系数最大,显然,故,且,8分即得,且得,10分∴或,11分所求项为和.12分第20题答案见解析.第20题解析(1)由得,,2分依题意有,.6分(2)由(1)得,,,8分由或;;所以在上递增,在上递减,在上递增,所以在区间上的或处取得极大值,10分由,.12分第21题解析(1)的可能取值为.;;.4分的分布列为6分(2)利用样本估计总体,该流水线上产品重量超过克的概率为,8分令为任取的件产品中重量超过克的产品数量,则,10分故所求概率为.12分第22题答案见解析第22题解析(1)当时,,,所以,,从而在处的切线方程为,即.4分(2),.5分①当时,,在上是增函数,不存在极值点.6分②当时,令,,显然函数在是增函数,又因为,,必存在,使,,,,为减函数;,,,为增函数,所以是的极小值点.综上,当时,无极值点,当时,有一个极值点.8分(3)由(2)得,即,,因为,所以,令,,在上是减函数,且,由得,所以,10分设,,,,,所以为增函数,即,即,所以,所以,所以,因为,所以,,相乘得,所以,结论成立.12分。

浙江省A9协作体2020-2021学年高二下学期期中联考数学试题

若，由，得，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ解.
综上， .
故选：C
【点睛】
本题主要考查利用分段函数求参数的值，考查学生的分析能力和运算求解能力，体现了分类讨论的数学思想.
5．B
【分析】
求解一元二次不等式，得到，然后结合必要条件、充分条件的判定方法即可得到结果．
【详解】
由，解得，∴“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B．
8．B
【分析】
由题意可知，，再根据基本不等式即可求出结果.
【详解】
由题意可知，，当且仅当，即时，取等号.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题.
9．C
【分析】
设数列的公差为，由条件可得，，然后得到当时，，当时，然后判断出，，的符号即可.
【详解】
设数列的公差为，由得，
浙江省A9协作体2020-2021学年高二下学期期中联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合，，，则（）
A． B． C． D．
2．为第二象限角且，则（）
A． B． C． D．
3．对于空间中的两条不同直线，和一个平面，下列命题正确的是（）
三、填空题
15．（为自然对数的底数），，将区间等分，区间两端点及等分点依次为，，，，，其中，，过点作轴的垂线交该函数图象于点，顺次连接这些交点，依次得到个小梯形，，，如图，设梯形的面积为，则 ______.
16．已知函数的两个零点为，，且满足，记的最小值为，则的取值范围是______.

浙江省名校协作体2020-2021学年高二下学期开学联考数学试题

浙江省名校协作体2020・2021学年高二下学期开学联考数学试题学校:姓名：班级：考号：1.已知直线小以 + 2），+ 3 = 0,4 ： x+（3—。

3 = 0 ,则“。

=2”是“/1〃/?”的（）A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体枳是（）3.如图，在正方体44aA中，E,尸依次是AA和4G的中点，则异面直线AE与b所成角的余弦值为（）4.设加，〃是两条不同的直线，。

，夕是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）若加//a 〃//2,则〃?〃/? B.若。

/〃?，"7U。

，"U",则〃7〃〃C.若。

「|4=〃7，〃ua, n ± tn,则〃_L/7 D,若，〃_La, m / In, n u。

，则A. y = 12x2B.), = 一36/C. y = 12x2或y =一36/5.点M（5,3）到抛物线y = 的准线的距离为6,则该抛物线的方程是（）1- 1 .D. y =—厂或y = ------ 厂「12 366.已知点夕在直线/：x—y+l = O上运动，过点夕作圆。

：（X+3『+（），-2『=1的切线，其中一个切点为A,则线段卓的最小值为（）A.娓B・" C. 2虚 D. 37.如图，等边AA5C的中线4尸与中位线OE相交于G ,已知初却是△/4££）绕。

石旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）A.动点4在平面A6C 上的射影在线段A 尸上 8 .恒有平面A'GF_L 平面BCED C.三棱锥A'-£77）的体积有最大值 D.异面直线AE 与5。

不可能垂直8 .已知双曲线二—二=1（。

>02>0）的左焦点为元（一c,0）（c>0）,过点K 作直线 cr b 一与圆/ +）理=亍相切于点A,与双曲线的右支交于点8,若砺=2砺—西，则双曲线的离心率为（）A. 2B.叵C.立D.正2229 .等腰直角AOAB 内接于抛物线，其中。

浙江省名校协作体2022-2023学年高二下学期联考数学试题

浙江省名校协作体2022-2023学年高二下学期联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
A ．2
B ．3
C ．4
D 二、多选题
9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，50a =则（）
A ．370a a +=
B ．280
a a <C ．100
S =D ．当且仅当4n =时，S 10．已知直线l ：10mx y m +--=，m ∈R 和圆O ：224x y +=，下列说法正确的是A ．直线l 与圆O 可能相切B ．直线l 与圆O 一定相交
C ．当1m =时，圆O 上存在2个点到直线l 的距离为1
D ．直线l 被圆O 截得的弦长存在最小值，且最小值为2
11．设M 为双曲线C ：2
2
13
x y -=上一动点，1F ，2F 为上、下焦点，列结论正确的是（）
A ．若点()0,8N ，则MN 最小值为7
A ．与D F
四、解答题
17．圆M 经过点()1,2A ，()9,2B -，且圆心M 在直线5y x =-上．(1)求圆M 的方程．
(1)求双曲线C 的标准方程．
(2)如图所示，点P 是曲线C 上任意一动点（第一象限）
，直线PA x ⊥轴于点A ，PB y ⊥轴于点B ，直线AB 交曲线E 于点Q （第一象限），过点Q 作曲线E 的切线交PB 于点K ，交y 轴于点J ，求KQA BQJ S S +△△的最小值．。

【全国校级联考Word】浙江省杭州市名校协作体2020-2021学年高二下学期月考数学试题

A．若，则直线与直线平行B．若，则直线与直线垂直
C．若，则直线与直线垂直D．若，则直线与直线相交
6．变量满足约束条件，若的最大值为2，则实数等于（）
A．—2B．—1C．1D．2
7．在所有棱长都相等的三棱锥中，分别是的中点,点在平面内运动，若直线与直线成角，则在平面内的轨迹是（）
8．C
【解析】
由得，所以 ,
由 ,因此 ,选C.
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
9．
【解析】
(1). ; (2)焦点到渐近线的距离为
13．在正方体中（如图），已知点在直线上运动，则下列四个命题：
①d三棱锥的体积不变；
②直线与平面所成的角的大小不变；
③二面角的大小不变；
④ 是平面上到点和距离相等的点，则点的轨迹是直线
其中真命题的编号是__________．（写出所有真命题的编号）
14．两定点，及定直线，点是上一个动点，过作的垂线与交于点，则点的轨迹方程为__________．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为，则该三棱锥的外接球的表面积（）
A． B． C． D．
4．正方体棱长为4，分别是棱的中点，则过三点的平面截正方体所得截面的面积为（）
A． B． C． D．
5．定义点到直线的有向距离为： .已知点、到直线的有向距离分别是、 .以下命题正确的是（）

浙江省名校协作体2020-2021学年高二下学期开学联考数学试题

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