第二章二次函数

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北师大版九年级数学下册件 2.2 第3课时二次函数y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k课

2
A．（-3，-2） B．（-2，0） C．（-5，0） D．（-3，0）
C
）
三、即学即练，应用知识
1
5.抛物线 y ( x 2)2 7 的对称轴是________
直线x=2，顶点坐标是________；
（2，7）
3
减小
当x＞2时，y随x的增大而_______；当x＜2时，y随x的增大而_______；
顶点(0,− ）

顶点(-3，− ）

二、自主合作，探究新知
议一议：二次函数y=a（x-h）2+k与y=ax2的图象有什么关系？
一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数y=a (x-h)2+k的
图象.因此，二次函数y=a (x-h)2+k的图象是一条抛物线，它的开口方
向、对称轴和顶点坐标与a，h， k的值有关.
北师大版数学九年级下册
第二章二次函数
2
二次函数的图象与性质
第3课时
学习目标
1.能够画出函数y＝a(x－h)2和函数y＝a(x－h)2＋k的图象，并能
理解它们与y＝ax2的图象的关系，理解a，h和k对二次函数图象
的影响．(重点)2.能正确说出y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、
对称轴和顶点坐标．3.探索函数y＝a(x－h)2和函数y＝a(x－h)2
而减小；当x>0时，y
随x增大而增大.
最值
x=0时，y最小值=k
向下
y轴（直线x=0）
（0,k）
当x<0时，y随x增大
而增大；当x>0时，
y随x增大而减小.
x=0时，y最大值=k
一、创设情境，引入新知

第二章二元二次函数、方程和不等式

第二章二元二次函数、方程和不等式本章主要介绍二元二次函数、方程和不等式的基本性质和解法。

二元二次函数二元二次函数是由两个变量的二次函数构成的，其一般形式为：$f(x, y) = ax^2 + by^2 + cxy + dx + ey + f$，其中$a, b, c, d, e, f$为常数。

二元二次函数的图像通常为二次曲线，例如椭圆、双曲线和抛物线。

它们可以描述二维空间中的各种现象和关系。

二元二次方程二元二次方程是由两个变量的二次方程构成的，一般形式为：$ax^2 + by^2 + cxy + dx + ey + f = 0$，其中$a, b, c, d, e, f$为已知常数，$x$和$y$为未知变量。

求解二元二次方程可以采用配方法、提公因式法、三角函数法等多种方法。

通过求解方程，我们可以找到方程的解集，进一步研究问题的解和特性。

二元二次不等式二元二次不等式是由两个变量的二次不等式构成的，其一般形式为：$ax^2 + by^2 + cxy + dx + ey + f > 0$（或$<$、$\ge$、$\le$等），其中$a, b, c, d, e, f$为已知常数，$x$和$y$为未知变量。

解二元二次不等式的方法与解方程类似，通过找到不等式的解集，可以确定不等式的满足条件以及在二维平面上的区域。

总结在本章中，我们介绍了二元二次函数、方程和不等式的基本概念和解法。

二元二次函数和方程可以用来描述二维空间中的各种现象和关系，而不等式则可以用来表示不同条件下的区域。

对于二元二次函数、方程和不等式的解法，我们可以根据具体情况选择不同的方法和策略。

通过深入学习和应用这些知识，我们能够更好地理解和解决相关问题。

9年级上册数学第二章《二次函数1》讲义

第一部分: 基础知识1、定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2、二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.① 当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；② 当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a . 3、二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线. 4、二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6、抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.② 平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7、顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8、求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9、抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线ab x 2-=，故：① 0=b 时，对称轴为y 轴； ② 0>ab（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧； ③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧. （3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）：① 0=c ，抛物线经过原点; ② 0>c ,与y 轴交于正半轴； ③ 0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab. 10、几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2ax y =当0>a 时开口向上当0<a 时开口向下0=x （y 轴）（0,0） k ax y +=20=x （y 轴） (0, k ) ()2h x a y -=h x = (h ,0) ()k h x a y +-=2h x = (h ,k )c bx ax y ++=2ab x 2-= (ab ac a b 4422--，) 11、用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12、直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). （3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：① 有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；② 有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③ 没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2 的解的数目来确定： ① 方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;② 方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点； ③ 方程组无解时⇔l 与G 没有交点. （6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121, ()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=--=-=-=444222122122121第二部分：典型习题1、抛物线y ＝x 2＋2x －2的顶点坐标是（）A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3） 2、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（）Ａ．ab ＞0，c ＞0 Ｂ．ab ＞0，c ＜0 Ｃ．ab ＜0，c ＞0 Ｄ．ab ＜0，c ＜0CA EF BD第２,３题图第4题图3、二次函数c bx ax y ＋＋＝2的图象如图所示，则下列结论正确的是（） A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0 D ．a ＜0，b ＞0，c ＞04、如图，已知∆ABC 中，BC=8，BC 上的高h =4，D 为BC 上一点，EF BC //，交AB 于点E ，交AC 于点F （EF 不过 A 、B ），设E 到BC 的距离为x ，则∆DEF 的面积y 关于x 的函数的图象大致为（）DO 424O424O 424O 424AyxBC5、抛物线322--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为．6、已知二次函数11)(2k 2－－＋＝x kx y 与x 轴交点的横坐标为1x 、2x （21x x ＜），则对于下列结论： ① 当x ＝－2时，y ＝1；② 当2x x ＞时，y ＞0；③ 方程011)(22＝－＋-x k kx 有两个不相等的实数根1x 、2x ；④ 11-＜x ，12＞－x ； ⑤22114k x x k＋－＝，其中所有正确的结论是（只需填写序号）． 7、已知直线()02≠+-=b b x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；一抛物线的解析式为()c x b x y ++-=102.（1）若该抛物线过点B ，且它的顶点P 在直线b x y +-=2上，试确定这条抛物线的解析式；（2）过点B 作直线BC ⊥AB 交x 轴交于点C ，若抛物线的对称轴恰好过C 点，试确定直线b x y +-=2的解析式.8、有一个运算装置，当输入值为x 时，其输出值为y ，且y 是x 的二次函数，已知输入值为2-,0,1时, 相应的输出值分别为5,3-,4-．（1）求此二次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y 为正数时输入值x 的取值范围.9、某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答： ⑴ 第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间?yOx第9题⑵ 第三天12时这头骆驼的体温是多少?⑶ 兴趣小组又在研究中发现，图中10时到22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式．10、已知抛物线4)334(2+++=x a ax y 与x 轴交于A 、 B 两点，与y 轴交于点C ．是否存在实数a ，使得△ABC 为直角三角形．若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．11、已知抛物线y ＝－x 2＋mx －m ＋2.（1）若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧，并且AB ＝5，试求m 的值；（2）设C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC 的面积等于27，试求m 的值.12、已知：抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0）．（1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E 是第二象限内到x 轴、y 轴的距离的比为5∶2的点，如果点E 在（2）中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△APE 的周长最小?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．14、已知二次函数22－＝ax y 的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x 轴的交点的个数．15、卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB ＝5 cm ，拱高OC ＝0.9 cm ，线段DE 表示大桥拱内桥长，DE ∥AB ，如图（1）．在比例图上，以直线AB 为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果DE 与AB 的距离OM ＝0.45 cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：4.12 ，计算结果精确到1米）．16、已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A 、B 是x 轴正半轴上的两点，点A 在点B 的左侧，如图．二次函数c bx ax y ＋＋＝2（a ≠0）的图象经过点A 、B ，与y 轴相交于点C ．（1）a 、c 的符号之间有何关系?（2）如果线段OC 的长度是线段OA 、OB 长度的比例中项，试证a 、c 互为倒数；（3）在（2）的条件下，如果b ＝－4，34＝AB ，求a 、c 的值．。

北师大版九年级数学下册课件 2.3 第2课时由三点确定二次函数的表达式

9a+3b+1=10，
解这个方程组，得
3
a , b 3.
2
2
3 2 3
∴所求的二次函数的表达式是 y 2 x 2 x 1.
五、当堂达标检测
6.若抛物线经过(0，1)，(一1，0)，(1，0)三点，求此抛物线的表达式.
解: 由抛物线与x轴的交点坐标，则可设交点式y=a(x+1)(x-1).
知识要点
一般式法求二次函数表达式的方法
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.
其步骤是：
①设函数表达式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
二、自主合作，探究新知
典型例题
例1：已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个
（-2，13），求这个二次函数的表达式.
想一想：除了上节课的解法，还有没有其他解法呢？
分析：因为二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，即函数图象过点
（0，1），因此知道三个点的坐标，设y＝ax2+bx+c，能不能确定这个
二次函数的表达式呢？
将三个点代入y＝
ax2+bx+c后，会得
到一个什么样的方
程组呢？
∴ 4=a+b+c
解得 b=-3，
你会解三元一
c=5.
7=4a+2b+c，
次方程组吗？
2
∴所求二次函数表达式为 y=2x -3x+5.
2
3 31

y 2 x 3x 5 2 x ,

北师版九年级数学下册教学课件第二章二次函数第5课时二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质

B．b≤－1
C．b≥1
D．b≤1
解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小， ∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋ 2bx＋c的对称轴 x 2b ，b 即b≤1，故选择D .
c=0 c＞0 c＜0
图象的特征
开口__________向__上_________ 开口__________向__下_________
对称轴为___y__轴对称轴在y轴的_左___侧对称轴在y轴的_右___侧
经过原点
与y轴交于__正___半轴与y轴交于__负___半轴
例4 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：
2
2
移得到的？
答：平移方法1：先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的；平移方法2：先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.
问题4 如何用描点法画二次函数 y 1 x2 6x 21的图象？ 2
解: 先利用图形的对称性列表
x
… 3 4 5 6 7 8 9…
y 1 (x 6)2 3 2
…
7.5
5 3.5 y 3 3.5 5 7.5 …
然后描点画图，
10
得到图象如右图.
5
O
5
10
x
问题5 结合二次函数 y 1 x2 6x 21 的图象，说出其增减性. 2
y
x=6
当x<6时，y随x的增大而减小；
10
当x>6时，y随x的增大而增大.
5
试一试
O
5
10
x

第二章二次函数单元小结课件

与y轴正半轴相交与y轴负半轴相交
b2－4ac
b2－4ac＝0
b2－4ac＞0 b2－4ac＜0
与x轴有唯一交点(顶点)
与x轴有两个交点与x轴没有交点
知识专题
知识点5：二次函数解析式的三种表示方式 1.已知抛物线上的三点，通常设解析式为_y_=_a_x_2_+_b_x_+_c_(_a_≠_0_) _.
作业布置
1.布置作业：教材“复习题”中第2、3、4、8、13 题 2.完成练习册中本课时的练习.
知识点6.二次函数的实际应用
最大面积应用题的解题步骤 1.根据要求设出自变量x，因变量y是面积； 2.列出二次函数的解析式，写出自变量取值范围； 3.运用顶点公式或利用配方把解析式化为顶点式求出
面积的最大值。
知识专题
最大利润应用题的解题步骤 1.总利润=单利润×销售数量； 2.设价格为自变量x，总利润为因变量y，列出关系式； 3.运用公式法或配方化为顶点式求出利润的最大值.
开口方向
a＞0 a＜0
向上向下
对称轴 x=h
顶点坐标（h，0）
知识专题
知识点3：抛物线的平移
1.平移关系
当h>0时，向右平移 y=ax2
当h<0时，向左平移
y=a(x-h)2
当k>0时，向上平移当k<0时，向下平移
y=a(x-h)2+k
2.顶点变化 (0，0)
(h，0)
(h，k)
知识专题
知识点4：二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0) 的图象和性质
考点专练
【要点指点】解决这类问题常用待定系数法. 设二次函数表达式时常见的有三种情势：一般式y=ax2+bx+c(a≠0)；顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0), 其中(h, k)是二次函数图像的顶点坐标；交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0), 其中x1, x2是抛物线与x轴交点的横坐标.

第二章 §2.3 二次函数与幂函数

6

=

9 2

2
,则 (3

a)(6

a)
(-6≤a≤3)的最大值为 9 ,选B.
2
栏目索引
5.(2013辽宁,12,5分)已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设H1(x)=max{f(x),g(x)}, H2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值).记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A-B= ( ) A.a2-2a-16 B.a2+2a-16
故0<a<2,此时,在y轴右侧,两函数图象有两个公共点,
若满足条件,则-a<-1,即a>1.故1<a<2.
栏目索引
B组统一命题、省(区、市)卷题组
考点一二次函数
1.(2017浙江,5,4分)若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m ( ) A.与a有关,且与b有关 B.与a有关,但与b无关 C.与a无关,且与b无关 D.与a无关,但与b有关
A.16 B.18 C.25 D. 81 2
栏目索引
答案 B 当m=2时, f(x)=(n-8)x+1在区间 12 , 2 上单调递减,则n-8<0⇒n<8,于是mn<16,则mn无
最大值.
当m∈[0,2)时,
f(x)的图象开口向下,要使f(x)在区间 12 , 2
上单调递减,需- n 8
栏目索引
疑难突破能够将原绝对值不等式化繁为简,将问题简化为一元二次不等式有解问题,再进一步转化为值域交集非空是求解本题的关键.

北师大版九年级数学下册课件 2.2 第4课时二次函数y=ax^2+bx+c的图象与性质

由（1）知二次函数图象的对称轴为直线x＝－2，
∴ 当x＞－2时，y随x的增大而减小．
四、课堂小结
配方法
b 2 4ac b 2
y a( x )
2a
4a
y=ax2+bx+c（a ≠0)
(一般式)
(顶点式)
公式法
b 4ac b2
顶点： ( ,
)
2a
4a
b
对称轴： x
2a
五、当堂达标检测
议一议：二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质是怎样的？
2
b
4
ac

b
)
二次函数y=ax2+bx+c的图象：顶点坐标(- ，
2a
4a
（a>0）
O
y
x b
2a
（a<0）
最大值
x
最小值
O
y x b
2a
x
二、自主合作，探究新知
知识要点
函数
开口方向
对称轴
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
= + + (＞0)
轴是直线=1，顶点坐标为(1,4).
(2) y=2x2-12x+8；
(2) y = 2x2－12x+8
= 2(x2－6x)+8
= 2(x2－6x+9-9)+8
= 2(x2－6x+9)－18+8
= 2(x－3)2－10
∴二次函数y=2x2－12x+8的对称轴
是直线=3，顶点坐标为(3,-10).
二、自主合作，探究新知

北师版九年级数学下册教学课件(BS) 第二章二次函数第二章小结与复习

解：（1）由题意，得
1 b c 4, 4 2b+c 5,
解得
b 2, c -3.
所以，该抛物线的解析式为y=x2-2x-3；
（2）若抛物线与x轴的两个交点为A、B，与y轴交于点C．在该抛物线上是否存在点D，使得△ABC与△ABD全等？若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由.
（2）∵抛物线y=x2-2x-3的对称轴为x=1，
抛物线的平移
抛物线的顶点坐标和对称轴
二
次函数
应用
的
性
最质值源自（-3，y1）,（3 2
，y2）是抛物线上两点，则y1>y2.
其中正确的是
（B）
y
A．①②③ C．①②④
B．①③④ D．②③④
O x=-1
2x
针对训练
3.已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，
则实数b的取值范围是（ D ）
A．b≥－1
B．b≤－1
C．b≥1
D．b≤1
六、二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点,有一个交点, 没有交点.当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当 y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根.
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x
轴交点
2．顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式 y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数的值，最后将解析式化为一般式．
3．交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)

北师版九年级数学下册课件第二章二次函数第2课时二次函数y=ax2,y=ax2+c的图象与性质

A．开口向下 B．对称轴是 y 轴 C．都有最低点 D．y 随 x 的增大而减小
3．(3 分)若 A(－2，y1)，B(1，y2)是二次函数 y＝－23 x2 图象上的两点，则( C ) A.0＜y1＜y2 B．y1＜0＜y2 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
4．(3 分)若原点是抛物线 y＝(m＋3)x2 的最高点，则 m 的取值范围为___m_＜__－__3___．
解：(1)∵点 A(4，0)，点 B(0，6)，∴OA＝4，易得直线 AB 的表达式为 y＝－32 x
＋6，∴S△AOP＝12 OA·yP＝12 ·4yP＝6，∴yP＝3，∴－32 xP＋6＝3，∴xP＝2，∴点 P(2，
3).又∵点 P(2，3)在抛物线 y＝ax2＋2 上，∴3＝22a＋2，∴a＝1 4
第二章二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第2课时二次函数y＝ax2，y＝ax2＋c的图象与性质
二次函数y＝ax2的图象与性质 1．(2 分)如图，二次函数 y＝－3x2 的图象为( C ) A.① B．② C．③ D．④
2．(3 分)抛物线 y＝2x2，y＝－2x2，y＝1 x2 共有的性质是( B ) 2
第 13 题图
第 14 题图
三、解答题(共 36 分) 15．(10 分)如图，抛物线 y＝ax2＋2 与经过点 A(4，0)，B(0，6)的直线在第一象限内相交于点 P，且△AOP 的面积为 6. (1)求 a 的值； (2)若将该抛物线向下平移 m 个单位长度后所得的抛物线经过点 A，求 m 的值．
解：(1)根据题意可知顶点 C(0，4)，点 A(－2，8)，点 B(2，8)，∴可设抛物线的函数表达式为 y＝ax2＋4.将点 B(2，8)代入 y＝ax2＋4，得 8＝22a＋4，解得 a＝1，∴该抛物线的函数表达式为 y＝x2＋4

二次函数的图像和性质

1
九年级下册数学
第二章二次函数
主讲人：范老师
图1
图2
易错点忽视二次函数表达式中二次项系数不为零
10．若函数 y＝(3－m) xm2 7 －x＋1 是关于 x 的二次函数，则 m 的值为( )
A．3
B．－3
C．±3
D．9
【变式】若函数 y＝(a＋1)x|a|＋1 是关于 x 的二次函数，则 a 的值是．
，顶点坐标为
，对称轴
为，当 x>0 时，y 随 x 的增大而；当 x<0 时，y 随 x 的增大而 .因
为 a＝3>0，所以 y 有最值，当 x＝时，y 的最值是 .
知识点 2 二次函数 y＝ax2＋c 与 y＝ax2 的图象的关系
8.（教材 P36 随堂练习 T1 变式）抛物线 y＝－4x2＋1 与 y＝－4x2 的图象的
边 BC 向 C 以 4 cm/s 的速度移动（不与点 C 重合）.如果 P，Q 分别从 A，B 同时出发，设运动的时间为 x s，四边形 APQC 的面积为 y cm2.
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）求自变量 x 的取值范围；（3）四边形 APQC 的面积能否等于 172 cm2？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由.
.
【变式】如图，各抛物线所对应的函数表达式分别为：①y＝ax2；②y＝
bx2；③y＝cx2；④y＝dx2.比较 a，b，c，d 的大小，用“＞”连接为
.
抛物线的开口方向决定了 a 的正负性，抛物线的开口大小决定了|a|的大
小，即开口越大，|a|越小，开口越小，|a|越大.
03 综合题
11.（2019·衡阳）在平面直角坐标系中，抛物线 y＝x2 的图象如图所示.已知

2.2.4 二次函数y=a(x-h)

1 1 2 前面已画出了抛物线y=－ (x+1) ，y=－ (x－1)2， 2 2 1 2 在此坐标系中画出抛物线y=－ x (见图中虚线部 2 1 1 2 分), 观察抛物线y=－ (x+1) ，y=－ (x－1)2与抛 2 2 1 2 物线y=－ x 有什么关系？ 2
知3－讲
即:
1 1 1 2 2 2 y ( x 1 ) y ( x 1 ) y x 抛物线与抛物线 2 2 2 有什么关系?
y＝a(x－h)2 a＞0
开口方向对称轴向上
点坐标
a＜0
当x＝h时，
y最大值＝0
（来自《点拨》）
知2－讲
续表：二次函数 y＝a(x－h)2 a＞ 0 增减性
在对称轴的左侧，y的值随x值的增大而
减小；在对称轴的右侧，y的值随x值的增大而增大
在对称轴的左侧，y的值随x值的增大而
a＜ 0 增大；在对称轴的右侧，y的值随x值的增大而减小
C．其图象的顶点坐标是(0，3)
D．当x＞－3时，y随x的增大而减小
（来自《典中点》）
知2－练
3 已知抛物线y＝－(x＋1)2上的两点A(x1，y1)，
B(x2，y2)，如果x1＜x2＜－1，那么下列结论成立的是( A ) A．y1＜y2＜0 B．0＜y1＜y2
C．0＜y2＜y1
D．y2＜y1＜0
（来自《点拨》）
2
知2－讲
总
结
本题运用了性质判断法和数形结合思想，运用二次函数的性质，画出图象进行判断．
（来自《点拨》）
知2－练
1 在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二
次函数y＝a(x＋c)2的图象可能是( B )

11 第二章第四节二次函数与幂函数

又函数f
(x)有最大值8，即4a
－2a&－1 4a
－a2＝8，解得a＝－4.
故f (x)＝－4x2＋4x＋7.
第四节二次函数与幂函数
必备知识落实“四基”
核心考点提升“四能”
课时质量评价
求二次函数解析式的方法
第四节二次函数与幂函数
必备知识落实“四基”
核心考点提升“四能”
课时质量评价
1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足以下条件：图象与x轴交于(－2，0)，(4，0)
自查自测知识点一幂函数 1．判断下列说法的正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
1 (1)函数y＝2x2是幂函数．( × )
(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( √ ) (3)当n＜0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．( × )
第四节二次函数与幂函数
必备知识落实“四基”
第二章函数第四节二次函数与幂函数
·考试要求· 1．通过具体实例，结合y＝x，y＝x－1，y＝x2，y＝x12，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数. 2．理解简单二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．
第四节二次函数与幂函数
必备知识
落实“四基”
最值
4ac－b2
4ac－b2
当x＝－2ba时，ymin＝_____4_a______ 当x＝－2ba时，ymax＝____4_a___
第四节二次函数与幂函数
必备知识落实“四基”
核心考点提升“四能”
课时质量评价
【常用结论】 n
对于形如f (x)＝xm(其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数： (1)当n为偶数时，f (x)为偶函数，图象关于y轴对称； (2)当m，n都为奇数时，f (x)为奇函数，图象关于原点对称； (3)当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f (x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)．

新培优高中数学必修一课件第二章二次函数的图像

二次项系数正负
根据二次项系数的正负判断二次函数的开口方向，若二次项系数为正，则开口向上；若为负，则开口向下。
抛物线顶点
抛物线顶点的位置也可以帮助判断开口方向，对于一般形式的二次函数，其顶点坐标为(-b/2a, c - b²/4a)，根据顶点纵坐标的正负可以辅助判断开口方向。
对称轴和顶点作用探讨
二次函数在图像处理中也有广泛应用，比如图像的缩放、旋转等
变换操作。
在信号处理领域，二次函数可以用于滤波、降噪等处理过程。
此外，二次函数还在统计学、生物学、物理学等其他学科领域中
有广泛的应用。
XX
PART 06
章节复习与总结提高
REPORTING
关键知识点回顾梳理
01
二次函数的一般形式、标准形式和顶点形式；
对称轴
二次函数的图像关于对称轴对称，对称轴的方程为x = -b/2a。对称轴将抛物线分为左右两部分，每部分都是对称的。
顶点
顶点是抛物线的最高点或最低点，它决定了抛物线的位置和形状。通过顶点坐标可以求出函数的最大值或最小值。
单调性和最值问题求解
单调性
在对称轴左侧，二次函数单调递增或递减；在对称轴右侧，二次函数单调递减或递增。具体单调性取决于二次项系数的正负。
算和分析。
经济活动中成本收益预测
在进行投资决策时，可以利用二次函数来预测不同投资额度下的成本和收益情况。
二次函数还可以用于预测市场价格波动、销售量变化等经济指标的变化趋势。
企业在进行生产决策时，也需要考虑生产量与成本、收益之间的关系，这同样可以通过二次函数进行模拟和分析。
其他领域应用拓展
XX
PART 04
不同类型二次函数图像比较

九年级数学下册第二章二次函数2二次函数的图象与性质第1课时二次函数y=x2和y=-x2的图象与性质教

2 二次函数的图象与性质第1课时二次函数y＝x2和y＝－x2的图象与性质1．能够利用描点法作出二次函数y＝x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y ＝x2的性质．2．猜想并能作出二次函数y＝－x2的图象，并能比较它与y＝x2的图象的异同．3．经历探索二次函数y＝x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．重点理解和掌握函数y＝x2和y＝－x2的图象与性质．难点比较y＝x2和y＝－x2的图象与性质的异同．一、复习导入1．二次函数的定义是什么？2．一次函数的图象是什么？性质是什么？3．反比例函数的图象是什么？性质是什么？4．画函数的图象有哪些步骤？教师提出上述问题，学生讨论后回答问题．二、探究新知1．画二次函数y＝x2的图象引导学生利用画函数的图象的步骤画出y＝x2的图象：(1)观察y＝x2的表达式，任意选择x值，并计算相应的y的值，完成下表：xy(2)在直角坐标系中描点．(3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数y＝x2的图象．2．二次函数y＝x2的图象的性质问题1：图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？问题2：当x＜0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x＞0时呢？问题3：当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？问题4：图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点．问题5：你能描述图象的形状吗？处理方式：第一步出示问题1、2、3，留给学生足够的时间思考并交流后，让学生自主回答．在学生回答完毕后教师点拨：这三个问题都与一个神秘的点有关，就是点(0，0)，它叫做顶点．第二步出示问题4，学生自己考虑，并举手回答．在学生回答完毕后教师点拨：二次函数的图象为轴对称图形，对称轴为y轴，也可写成直线x ＝ 0.所以我们以后在列表时可以对称着列出各个点的数据．第三步出示问题5，学生先交流讨论后，教师利用课件动画演示并点拨：二次函数y＝x2的图象是一条抛物线，并且抛物线的开口向上．如果你在地球的另一端向斜上方扔一件物体，就是这种样子．3．二次函数y＝－x2的图象与性质问题1：回顾一下画二次函数y＝x2的图象的步骤，你认为画图时需要注意什么？问题2：二次函数y＝－x2的图象是什么形状？先猜一猜，然后在教材第33页画出它的图象．问题3：类比研究y＝x2的图象的方式，请回答：(1)你能描述y＝－x2的图象的形状吗？开口方向呢？(2)y＝－x2的图象的顶点坐标是什么？(3)y有最大值还是最小值？当x取什么值时，y的最值是什么？(4)图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？(5)当x＜0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x＞0时呢？处理方式：先出示问题1，让学生充分回顾思考后回答：①列表的选点的对称性；②描点的准确性；③连线的平滑性．如果学生回答不全，教师可适当提示或补充．再出示问题2，先让学生猜一猜，然后带着疑问画图．学生画图完毕后，选取部分学生所画的图进行展示．最后出示问题3、4、5，选取画图优秀的同学作业作为展示，同时出示5个问题，学生自主思考，如有困难可适当讨论，思考完毕后举手回答．三、举例分析例1 (1)点A(2，4)在二次函数y＝x2的图象上吗？(2)请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标、关于y轴的对称点C的坐标、关于原点O的对称点D的坐标；(3)点B，C，D在二次函数y＝x2的图象上吗？在二次函数y＝－x2的图象上吗？例2 比较y＝x2与y＝－x2的图象有什么关系？处理方式：本环节问题比较大，可先留出时间让学生充分思考后，再组织交流讨论．学生可以有不同说法，只要意思正确即可．教师可以分别从相同点：开口大小、对称轴、顶点；不同点：开口方向、增减性、最值，联系：轴对称性、中心对称性等方面进行引导．四、练习巩固1．在函数y＝x2上有两点(－1，y1)，(－3，y2)，那么y1，y2，0的大小关系是( ) A．y1＜y2＜0 B．y2＜y1＜0C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞02．如图，边长为2的正方形ABCD的中心是直角坐标系的原点O，AD∥x轴，抛物线y ＝x2和y＝－x2分别经过点A，B，C，D，将正方形成几部分，则图中阴影部分的面积为________．3．已知正方形的周长为C cm，面积为S cm2.(1)求S和C之间的函数表达式，并画出图象；(2)根据图象，求出S＝1 cm2时，正方形的周长；(3)根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2.五、课堂小结1．二次函数y＝x2和y＝－x2的图象的画法：(1)选择适当的x值，计算相应的y的值；(2)在坐标系中描点；(3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数的图象．2．二次函数y＝x2和y＝－x2的图象与性质：函数表达式y＝x2y＝－x2开口方向向上向下对称轴y轴(直线x＝0)增减性当x＜0时，y随x的增大而减小当x＞0时，y随x的增大而增大当x＜0时，y随x的增大而增大当x＞0时，y随x的增大而减小对称轴顶点坐标原点(0，0)最值当x＝0时，y有最小值为0当x＝0时，y有最大值为0六、课外作业教材第34～35页习题2.2第1题．本节课的设计力求体现使学生学会学习，努力实现学生的主体地位，使数学教学成为一种过程教学，并注意教师角色的转变，为学生创造一种宽松、和谐，适合发展的学习环境，创设一种有利于思考、讨论、探索的学习氛围，根据学生的实际水平，选择恰当的教学起点和教学方法．由此我采用“问题—猜想—探究—应用”的学科教学模式，把主动权充分地还给学生，让学生在自己已有经验的基础上提出问题，明确学习任务，教师引导学生观察、发现、猜想、操作、动手实践、自主探索、合作交流，寻找解决的办法并最终探求到真正的结果，从而体会到数学的奥妙与成功的快乐．。

北师版九年级数学下册课件第二章二次函数第2课时二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质

练一练 1.函数y=4x2的图象的开口向上,对称轴是 y轴 ,顶点是 (0,0) ;2.函数y=－3x2的源自象的开口向下抛物线的最_高___点
,对称轴是 y轴
,顶点是_(_0_,0_)_ 顶点是
3.函数y= 3 x2的图象的开口向上 ,对称轴是 y轴 ,顶点是向下 ; 顶点是抛物线的最__低__点.
5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.
向下平移1个单位. （2）函数y=-x2+1，当x >0 时， y随x的增大而减小；当x 时，函数y有最大值，最大值y是 =0 ，其图象与y轴的交点坐标是 1 ，与x轴的交点坐标是 (0,1) .
例2 已知 y (k 2)xk2 k4 是二次函数，且当x＞0时，y随x 增大而增大，则k= 2 .
分析： y (k 2)xk2 k4 是二次函数，即二次项的系数
不为0，x的指数等于2.
又因当x＞0时，y随x增大而增大,即说明二次项的系数大于0.
因此，
k2 k 4 2 k 2＞0
解得 k=2
x
··· －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5
···
···
4.5
2
0.5 0 0.5 2 4.5
···
描点，连线.
y x2 8 6
4 2
－4
－2
y 2x2
2
4
观察思考
问题1 二次函数y=2x2的图象是什么形状？二次函数y=2x2的图象是一条抛物线，并且抛物线开口向上. 问题2 图象的对称轴是什么？
与y=ax2的关系
平移规律： c正向上； c负向下.

二次函数图像与性质(共44张PPT)

与y=3x2的图象形状
相同,可以看作是抛
物线y=3x2整体沿x轴向右平移了1 个单位
图象是轴对称图形
对称轴是平行于
y轴的直线:x=1.
二次项系数相同
a>0,开口都向上.
顶点坐标
是点(1,0).
想一想,在同一坐标系中作二次函数
y=3(x+1)2的图象,会在什么位置?
(4)x取哪些值时,函数y=3(x1)2的值随x值的增大而增大 ?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2 的值随x的增大而减少？
2 (4)当x<0时,随着x的值增大,y 的1 值如何变化？当x>0呢？
(5)当x取-4什么-值3时,-y2的值最-1小?最0 小值1是什么2？你是3如何4知道的x ？ -2
y x2
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我
们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于
y轴对称,y轴就
是它的对称轴.
二次函数的图象有什么关系?
你能用配方的方法把y=3x2-6x+5变形成y=3(x-1)2+2的形式吗?
由于y=3x2-6x+5=3(x-1)2+2,因此我们先作二次函数 y=3(x-1)2的图象．
在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象．
想一想
比较函数y 3x2与y 3x1的2 图象
右侧, y随着x的增大而减小.
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
做一做
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质:
y
在同一坐标系中作出函数 y=x2和y=-x2的图象
y=x2
y=x2和y=-x2是y=ax2当a=±1

九年级数学上册第2章二次函数

A．－2
B．1
C．2
D．9
6.请写出一个开口向上，并且与 y 轴交于点(0,2)的抛物线的表
达式： y＝x2＋2(答案不唯一) .
数学
7.如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(3,0)，B(0,3)，顶点为M. (1)求该二次函数的解析式； (2)求∠OBM的正切值．
D．②③
数学
9.某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为x，面积为S平方米． (1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)设计费能达到24000元吗？为什么？ (3)当x是多少米时，设计费最多？最多是多少元？
数学解：(1)S＝x(8－x)＝－x2＋8x，其中0＜x＜8. (2)能，理由如下：由2000(－x2＋8x)＝24000，即－x2＋8x＝12，解得x＝2或x＝6，均符合题意， ∴设计费能达到24000元． (3)∵S＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16， ∴当x＝4时，S最大值＝16,2000×16＝32000(元)， ∴当x是4米时，设计费最多，最多是32000元．
3.抛物线y＝－2(x－1)2－3与y轴的交点坐标为( B )
A．(0,3)
B．(0，－5)
C．(1，－3)
D．(－1，－3)
数学 4.将抛物线y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是
( C) A．y＝2x2＋3
B．y＝2x2－3
C．y＝2(x＋3)2
D．y＝2(x－3)2
5.当二次函数y＝x2＋4x＋9取最小值时，x的值为( A )
数学
知识要点3 确定二次函数的解析式
【例6】已知某二次函数，当x＜1时，y随x的增大而减小；当

第二章二次函数

北师大版九年级数学下册件 2.2 第3课时 二次函数y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k课

第二章 二元二次函数、方程和不等式

9年级上册数学第二章《二次函数1》讲义

北师大版九年级数学下册课件 2.3 第2课时 由三点确定二次函数的表达式

北师版九年级数学下册教学课件 第二章 二次函数 第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质