华东师大版数学九年级下册第27章单元综合复习圆的知识点小结

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【华东师大版】2019年春数学九年级下册第27章小结与复习

交点．(2)一个三角形的内切圆是唯一的.
12.正多边形的相关概念
(1)中心：正多变形外接圆和内切圆有公共的圆
心，称其为正多边形的中心. (2)半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径.
(3)边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边
形的边心距. (4)中心角：正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角.
∵∠P＋∠AOB＝180°，∠P＝70°， ∴∠DOE＝55°.
(2)若PA＝4 cm，求△PDE的周长． (2)∵⊙O分别切PA、PB、DE于A、B、C， ∴AD＝CD，BE＝CE. ∴△PDE的周长＝PD＋PE＋DE ＝PD＋AD＋BE＋PE＝2PA＝8(cm)
考点四圆中的计算问题
例6 如图，四边形OABC为菱形，点B、C在以点O为圆心的圆上, OA=1,∠AOC=120°，∠1=∠2，则扇形 OEF的面积？解：∵四边形OABC为菱形 ∴OC=OA=1 ∵ ∠AOC=120°，∠1=∠2 ∴ ∠FOE=120° 又∵点C在以点O为圆心的圆上
九年级数学下教学课件
第27章圆
小结与复习
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
要点梳理
一.与圆有关的概念 1.圆:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.
2.弦:连结圆上任意两点的线段. 3.直径:经过圆心的弦是圆的直径，直径是最长的弦. 4.劣弧:小于半圆周的圆弧. 5.优弧:大于半圆周的圆弧. ·
2 3 x 3 BC=BD-CD= =8. 4 3 4 1.732 6.928＜7.
3 x 3
北
60 °
A
30 °
B
D
C
解得 x= 即渔船继续往东行驶，有触礁的危险 .

华师大版九年级数学下册第27章：圆小结和复习教学案

小结与复习【学习目标】1．使学生对本章知识系统化、网络化 2．使学生掌握圆章基本题型、基本解题技巧【自学互助】本章知识图解（学生根据图解自主复习相关知识并相互交流补充）【展示互导】例1：如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，弦CM ⊥AB ，CN 是直径，F 是AB 的中点．求证：（1）CF 平分∠NCM ；（2）AN BM ．B例2：如图，AB=AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．例3：如图，M是AB的中点，过点M的弦MN交AB于点C，设⊙O的半径为4cm，．（1）求圆心到弦MN的距离；（2）求∠ACM的度数．C例4：如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．（1）求证：直线PB与⊙O相切；（2）PO的延长线与⊙O交于点E，若⊙O的半径为3，PC=4，求弦CE的长．例5：如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10cm，母线OE（OF）长为10cm，在母线OF上的点A处有一块爆米花的残渣，且FA=2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，求此蚂蚁爬行的最短距离．例6：线段AB与⊙O相切于点C，连接OA、OB，OB交⊙O于点D，已知OA=OB=6cm，，求：（1）⊙O的半径；（2）圆中阴影部分面积．PB AACA基础演练：1．如图1，⊙O 中弦AB 、CD 相交于点P ，若∠A=30°，∠APD=70°，则∠B=_______．2．已知：⊙O 的半径为13cm ，弦AB ∥CD ，AB=24，CD=10cm ，则AB 、CD 之间的距离为_______． 3．已知两圆的半径分别是4和6，圆心距为7，则这两圆的位置关系为_______．4．如图4，⊙O 半径OA=10cm ，弦AB=16cm ，P 为AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距离是_______． 5．如图5，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，BC=4cm ，以点C 为圆心，以2cm 的长为半径作圆，则⊙C 与AB 的位置关系是_______．6．如图6，AB 是⊙O 的弦，半径OA=2，∠AOB=120°，则弦AB 的长为_______．7．如图7，△ABC 内接于圆O ，∠BAC=120°，AB=AC=4，BD 为⊙O 的直径，则BD=_______． 8．如图8，AB 切⊙O 于点A ，BO 交⊙O 于点C ，点D 是CMA 上异于点C 、A 的一点，若∠ABO=32°，则∠ADC的度数为_______．9．如图945°的扇AOB内部作一个正方形CDEF，使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在AB上，则S阴=_______．（结果保留π）10．将一个底面半径为5cm，母线长为12cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是_______．能力提升：1．已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．（1）如图①若AB=2，∠P=30°，求AP的长（结果保留根号）；（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．2、“五一”节，小贾和同学一起到游乐场游玩大型摩天轮，摩天轮的半径为20m，匀速转动一周需要12min，小贾乘坐最底部的车厢（离地面0.5m）．（1）经过2min后小贾到达点Q，此时他离地面多高？（2）在摩天轮转动的过程中，小贾将有多长时间连续保持在离地面不低于30.5m 的空中？3、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，O 为直角边BC 上一点，以O 为圆心，OC 为半径的圆P 合好与斜边AB 相切于点D ，与BC 交于另一点E ．（1）求证：△AOC ≌△AOD ；（2）若BE=1，BD=3，求⊙O 的半径及图中阴影部分的面积S ．E4、如图，△ABC 内接于半圆，AB 是直径，过A 作直线MN ，若∠MAC=∠ABC ．（1）求证：MN 是半圆的切线；（2）设D 是弧AC 的中点，连结BD 交AC 于G ，过D 作DE⊥AB 于E ，交AC 于F ．求证：FD ＝FG ．（3）若△DFG 的面积为4.5，且DG=3，GC=4，试求△BCG 的面积．5、如图所示，⊙O 半径为1，点P 是⊙O 上一点，弦AB 垂直平分线段OP ，点D 是弧APB 上的任一点（与端点A 、B 不重合），DE ⊥AB 于点E ，以点D 为圆心，DE 的长为半径作⊙D ，分别过点A 、B 作⊙D 的切线，两条切线相交于点C ．（1）求弦AB 的长；（2）判断∠ACB 是否为定值，若是，求∠ACB 的大小；否则，说明理由．（3）记△ABC 的面积为S，若2S DE ，求△ABC 的周长．A。

华师大版数学九年级下册《圆》知识点总结

圆1．圆的认识（1）当一条线段OA绕着它的一个端点O在平面内旋转一周时，它的另一个端点A的轨迹叫做圆。

或到一个定点的距离等于定长的点的集合。

这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”，记为“⊙O”。

（2）线段OA、OB、OC都是圆的半径，线段AC为直径。

（3）连结圆上任意两点之间的线段叫做弦如线段AB、BC、AC都是圆O中的弦。

（4）圆上任意两点间的部分叫做弧。

如曲线BC、BAC都是圆中的弧，分别记作BC、BAC其中像弧BC这样小于半圆周的圆叫做劣弧。

像弧BAC，这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧。

（3）圆心角：顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角。

如∠AOB、∠AOC、∠BOC就是圆心角。

2．圆的对称性/（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等。

在同圆或等圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角、所对的弧相等。

在同圆或等圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦相等。

（2）圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。

3．垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦。

4．圆周角%（1）圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角。

（2）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。

90°的圆周角所对的弦是圆的直径。

（3）同圆或等圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。

（4）同弧（或等弧）所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等。

5．点与圆的位置关系设⊙O的半径为r，点圆心O的距离为d，则>（1）点在圆外⇔d r；=（2）点在圆上⇔d r<（3）点在圆内⇔d r6．（1）过一点可以画无数个圆；过两点可以画无数个圆，圆心在两点连线的垂直平分线上；过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆。

（2）三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。

华师大版九年级圆知识点

华师大版九年级圆知识点华师大版九年级圆知识点按照如下格式进行讲解：一、圆的概念与性质圆是平面上所有离圆心的距离都相等的点的集合。

圆上的每一条线段都是圆的弦，而通过圆心的弦称为直径。

圆的性质包括：1. 圆心角：圆心角是指以圆心为顶点的角，它的度数等于所对圆弧的度数。

圆心角的度数范围是0°到360°。

2. 弧长：圆上任意弧所对应的圆心角所在的圆弧长度称为弧长。

弧长公式可以表示为：L = 2πr(θ/360°)，其中L是弧长，r是半径，θ是圆心角的度数。

3. 弦长：圆上的弦的长度称为弦长。

弦长公式可以表示为：l = 2r*sin(θ/2)，其中l是弦长，r是半径，θ是圆心角的度数。

4. 切线：切线是与圆仅有一个交点的直线。

切线与半径垂直，形成直角。

二、圆的相关定理1. 圆的面积：圆的面积公式为S = πr^2，其中S是圆的面积，r 是半径。

2. 弧长与半径关系：给定圆心角θ，则圆弧所对应的弧长L与半径r的关系是L = 2πr*(θ/360°)。

3. 圆的切线定理：切线与半径的垂直关系可以推导出切线与切点之间的夹角等于所对的弧和半径的夹角。

4. 切线长度定理：切线段的平方等于切点到圆心的距离与切点到圆心所对应的弧之积。

5. 弦的性质：等长的弦对应的弧长相等；相等的弧对应的弦长相等；垂直于弦的直径平分弦。

三、圆的解题技巧1. 圆心角的计算：根据已知的圆心角度数，可以计算出相应的弧长，应用圆的性质；或者根据圆心角所成的弦长，可以计算出圆的半径。

2. 弧长的计算：根据已知的圆弧对应的圆心角及圆的半径，可以计算出弧长。

3. 切线的计算：利用圆的性质和切线的定理，可以计算出切线与切点之间的夹角、切线长度等。

4. 配准问题：对于两个圆的配准问题，可以利用两圆的半径和圆心之间的关系，求解出未知量。

通过对九年级圆知识点的学习，我们能够了解到圆的概念与性质，掌握圆的相关定理，学会运用解题技巧，提高数学问题的解决能力。

初三数学圆全章小结与复习知识精讲华东师大版

初三数学圆全章小结与复习知识精讲华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：第28章圆全章小结与复习二. 重点、难点：（1）用数量关系（点与圆心、直线与圆心、圆心与圆心的距离）识别与圆有关的位置关系，灵活运用圆的基本性质这些知识解决问题；（2）切线的性质、识别方法以及切线长定理，能够应用这些性质回答相关问题；⑶弧长和扇形面积公式，计算弧长和比较复杂图形的面积．三. 知识梳理：1. 圆的基本元素（1）圆心和半径；（2）弦和直径；⑶弧和半圆；⑷圆心角和圆周角．2. 圆周角与圆心角（1）圆周角与圆心角：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．性质的验证，运用了“分类”的思想．（2）圆周角与半圆或直径：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是圆的直径.一般地，若题目无直径，需要作出直径．⑶圆周角与同弧或等弧：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同一圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．3. 圆的对称性（1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心，圆的旋转不变性使它具有其他中心对称图形所没有的性质，即圆心角、弧、弦之间的关系，概括为：在一个圆（同圆或等圆）中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．（2）圆也是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是它的对称轴．于是就有了垂直于弦的直径的性质：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．还可概括为：如果一条直线：①垂直于弦；②经过圆心；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．具备其中任意两个条件，那么就可得到其他三个结论．[注：具备②③条件时，应是平分（不是直径的）弦．]4. 点和圆的位置关系点与圆的位置关系的判定与性质：①如点在圆外，则有性质d>r；若d>r，则可判定出点在圆外．②如点在圆上，则有性质d=r；若d=r，则可判定出点在圆上．③如点在圆内，则有性质d＜r；若d＜r，则可判定出点在圆内．5. 直线和圆的位置关系：相离、相切、相交（1）直线和圆的位置关系的判定与性质：①当直线l和⊙O相离时，则有性质d>r；若d>r，则直线l和⊙O相离②当直线l和⊙O相切时，则有性质d=r：若d=r，则直线l和⊙O相切③当直线l和⊙O相交时，则有性质d＜r．若d＜r，则直线l和⊙O相交其中l表示直线，d是⊙O与直线l的距离，r是⊙O的半径（2）圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．切线长定理是圆的对称性的体现，它为说明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系提供了理论依据．（3）三角形的内心与外心：三角形外接圆的圆心叫三角形的外心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三边的距离相等．6. 圆和圆的位置关系：外离、外切、相交、内切、内含设两圆半径分别为R 和r ，圆心距为d ，那么：（1）两圆外离r R d +>⇔；（2）两圆外切r R d +=⇔；⑶两圆相交)(r R r R d r R ≥+<<-⇔； ⑷两圆内切)(r R r R d >-=⇔；⑸两圆内含)(r R r R d --<⇔，同心圆0=⇔d 7. 关于弧长、扇形面积、圆锥侧面积全面积的计算已知⊙O 半径为R ，则圆面积公式为：S=2R π；圆周长公式为：C=2R π；n °圆心角的弧长公式是： 180n Rl π=．在应用弧长公式进行计算时，要注意公式中n 的意义， n 表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的．若设⊙O 半径为R ，圆心角为n °的扇形的面积公式是：213602n R S S lR π==或说明：只要已知圆的半径、圆心角度数、弧长及扇形面积四个量中的任意两个量就可计算出其它量．在具体解题时，应通过作图、识图、阅读图形，探索弧长、扇形及其组合图形面积的计算方法和解题规律；把不规划图形的问题转化为规则图形的问题．圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积，而圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和．S 全=πra ＋πr 2．【典型例题】例1. 已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为5和2，圆心距为3，•则两圆的位置关系是（）． A. 内含 B. 外切 C. 相交 D. 内切解析：两圆内切时，圆心距等于两半径之差，∵5－2=3，∴两圆内切．答案：D ．例2. 已知⊙O 的半径为5cm ，A 为线段OP 的中点，当OP=6cm 时，点A •与⊙O 的位置关系是（）．A. 点A 在⊙O 内B. 点A 在⊙O 上；C. 点A 在⊙O 外D. 不能确定解析：若d<r ，则点在圆内；d=r ，则点在圆上；d>r ，则点在圆外．本题只需判断点A 到圆心O 的距离与半径5cm 的大小．因OP=2·OA ，•所以OA=3cm<5cm ，故点A 在⊙O 内．答案：A ．例3. 已知：如图，圆内接四边形ABCD 的两边AB 、DC 的延长线相交于点E ，DF 过圆心O 交AB 于点F ，AB ＝BE ，连结AC ，且OD ＝3，AF ＝FB ＝5．求AC 的长．解析：连结OA ，∵ DF 过点O ，AF ＝FB ＝5， ∴ ∠AFO ＝90°．∴ 25922=-=-=AF AO FO ．∴ 5=+=FO DO DF ．∴ 3022=+=DF AF AD .7022=+=DF FE DE ．由垂径定理知＝，∴ ∠DCA ＝∠DAB ．∵ ∠ADC 是△ADC 与△EDA 的公共角， ∴ △ADC ∽△EDA ．∴DE AD AE AC =．703054=AC ． ∴ 71054=AC ．领悟整合：与圆有关的计算题常用到垂径定理、勾股定理、相似三角形等知识，常用到的辅助线是过圆心连半径或过圆心作已知弦的垂线构造直角三角形运用垂径定理、勾股定理或相似三角形有关的比例式或与圆有关的比例线段求解．例4. 如图，AC 为⊙O 的直径，B 、D 、E 都是⊙O 上的点，求∠A +∠B +∠C 的度数．CA分析：由AC 为直径，可以得出它所对的圆周角是直角，所以连结AE ，这样将∠CAD （∠A ）、∠C 放在了△AEC 中，而∠B 与∠EAD 是同弧所对的圆周角相等，这样问题便迎刃而解．解：连结AE∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠AEC =90° ∴∠CAD +∠EAD +∠C =90°∵ED ED =⌒⌒， ∴∠B =∠EAD ∴∠CAD +∠B +∠C =90°例5. △ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，∠C =90°，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点D ，求AD 的长．分析：圆中有关弦的计算问题通常利用垂径定理构造直角三角形求解，所以作CH ⊥AB ，这只要求出AH 的长就能得出AD 的长．解：作CH ⊥AB ，垂足为H∵∠C =90°，AC ＝6，BC ＝8 ∴AB =10 ∵∠C =90°，CH ⊥AB∴AB AH AC 2⋅=又∵AC ＝6， AB =10 ∴ AH ＝3.6 ∵CH ⊥AB ∴AD =2AH ∴AD =7.2 答：AD 的长为7.2．例6. （1）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，∠CAE =∠B ，试说明AE 与⊙O 相切于点A ．（2）在（1）中，若AB 为非直径的弦，∠CAE =∠B ，AE 还与⊙O 相切于点A 吗？请说明理由．（1）（2）分析：第（1）小题中，因为AB 为直径，只要再说明∠BAE 为直角即可．第（2）小题中，AB 为非直径的弦，但可以转化为第（1）小题的情形．解：（1）∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠C =90° ∴∠BAC ＋∠B =90°又∵∠CAE =∠B ， ∴∠BAC ＋∠CAE =90° 即∠BAE =90° ∴AE 与⊙O 相切于点A ．（2）连结AO 并延长交⊙O 于D ，连结CD ． ∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD =90° ∴∠D ＋∠CAD =90°又∵∠D =∠B ，∴∠B ＋∠CAD =90°又∵∠CAE =∠B ， ∴∠CAE ＋∠CAD =90°即∠EAD =90° ，∴AE 仍然与⊙O 相切于点A ．说明：本题主要考查切线的识别方法．这里可以引导学生依据第（1）小题的特殊情况，大胆提出猜想，渗透“由特殊到一般”的数学思想方法．例7. 如图，已知⊙O 的直径AB 垂直于弦CD 于E ，连结AD 、BD 、OC 、OD ，且OD ＝5．（1）若sin ∠BAD =35，求CD 的长．（2）若 ∠ADO ：∠EDO ＝4：1，求扇形OAC （阴影部分）的面积（结果保留π）．分析：图形中有 “直径对直角”，这样就出现了“直角三角形及斜边上的高”的基本图形，求CD 的长就转化为求DE 的长．第（2）小题求扇形OAC 的面积其关键是求∠AOD 的度数，从而转化为求∠AOC 的大小．解：（1） ∵AB 是⊙O 的直径，OD ＝5 ∴∠ADB ＝90°，AB ＝10又∵在Rt △ABD 中，3sin 5BD BAD AB ==∠ ∴BD =6∵∠ADB ＝90°，AB ⊥CD∴ BD 2=BE ·AB ， CD = 2DE ∵AB ＝10 ， BD =6∴BE =185，在Rt △EBD 中，由勾股定理得：DE =245∴CD DE ==2485答：CD 的长为485．（2）∵AB 是⊙O 的直径，AB ⊥CD ∴CB BD AC AD ⌒⌒⌒⌒，==∴∠BAD ＝∠CDB ，∠AOC ＝∠AOD∵AO ＝DO ∴∠BAD ＝∠ADO ∴∠CDB ＝∠ADO 设∠ADO ＝4k ，则∠CDB ＝4k 由∠ADO ：∠EDO ＝4：1，则∠EDO ＝k ∵∠ADO ＋∠EDO ＋∠EDB ＝90° ∴4490k k k ++=︒ 得k ＝10° ∴∠AOD ＝180°－（∠OAD ＋∠ADO ）＝100° ∴∠AOC ＝∠AOD ＝100°则S OAC 扇形=⨯⨯=1003605125182ππ 答：扇形OAC 的面积为12518π例8. 半径为2.5的⊙O 中，直径AB 的不同侧有定点C 和动点P . 已知BC ：CA =4 ： 3，点P 在半圆AB 上运动（不与A 、B 两点重合），过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q ．（1）当点P 与点C 关于AB 对称时，求CQ 的长；（2）当点P 运动到半圆AB 的中点时，求CQ 的长；⑶当点P 运动到什么位置时，CQ 取到最大值？求此时CQ 的长．分析：当点P 与点C 关于AB 对称时，CP 被直径垂直平分，由垂径定理求出CP 的长，再由Rt △ACB ∽Rt △PCQ ，可求得CQ 的长．当点P 在半圆AB 上运动时，虽然P 、Q 点的位置在变，但△PCQ 始终与△ACB 相似，点P 运动到半圆AB 的中点时，∠PCB ＝45°，作BE ⊥PC 于点E ， CP ＝PE +EC ．由于CP 与CQ 的比值不变，所以CP 取得最大值时CQ 也最大．解：（1）当点P 与点C 关于AB 对称时，CP ⊥AB ，设垂足为D ． ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB =90°．∴AB =5，BC ：CA =4：3 ∴BC =4，AC =3 S Rt △ACB =12AC ·BC =12AB ·CD ∴ 1224,.55CD PC ==∵ 在Rt △ACB 和Rt △PCQ 中， ∠ACB ＝∠PCQ =90°， ∠CAB ＝∠CPQ ，∴ Rt △ACB ∽Rt △PCQ∴AC BCPC CQ= ∴ 53234==⋅=PC AC PC BC CQ（2）当点P 运动到弧AB 的中点时，过点B 作BE ⊥PC 于点E （如图）． ∵P 是弧AB 的中点，∴2222,45===︒=∠BC BE CE PCB 又∠CPB =∠CAB∴tan ∠CPB = tan ∠CAB =43∴ 3t a n 42BE PE BE CPB ===∠从而2PC PE EC =+= 由（l ）得，433CQ PC ==⑶点P 在弧AB 上运动时，恒有PC 34AC PC BC CQ =⋅= 故PC 最大时，CQ 取到最大值．当PC 过圆心O ，即PC 取最大值5时，CQ 最大值为203说明：用“运动变化”的观点解决问题时，寻求变化中的不变性（题中的Rt △ACB ∽Rt △PCQ ）往往是解题的关键．【模拟试题】（答题时间：120分钟）一、选择题：（每题3分，共36分） 1. 下列五个命题：（1）两个端点能够重合的弧是等弧；（2）圆的任意一条弧必定把圆分成劣弧和优弧两部分；⑶经过平面上任意三点可作一个圆；⑷任意一个圆有且只有一个内接三角形；⑸三角形的外心到各顶点距离相等．其中真命题有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2. 如图，⊙O 外接于△ABC ，AD 为⊙O 的直径，∠ABC=30°，则∠CAD=（） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°C3. AB 是⊙O 的弦，∠AOB=88°，则弦AB 所对的圆周角等于（） A. 44° B. 22° C. 44°或136° D. 22°或68°4. O 是△ABC 的外心，且∠ABC+∠ACB=100°，则∠BOC=（） A. 100° B. 120° C. 130° D. 160°5. 一个点到圆的最大距离为9cm ，最小距离为4cm ，则圆的半径是（） A. 5cm 或13cm B. 2.5cm C.6.5cm D. 2.5cm 或6.5cm6. 如图，△ABC 的三边分别切⊙O 于D ，E ，F ，若∠A=50°，则∠DEF=（） A. 65° B. 50° C. 130° D. 80°B7. Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，内切圆半径为1，则三角形的周长为（）A. 15B. 12C. 13D. 148. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5cm ，BC=3cm ，以A 为圆心，以4cm 为半径作圆，•则直线BC 与⊙A 的位置关系是（）A. 相交B. 相切C. 相离D. 无法确定9. 已知两圆的圆心距为3，两圆的半径分别是方程x2－4x+3=0的两根，•那么这两个圆的位置关系是（）A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切10. ⊙O 的半径为3cm ，点M 是⊙O 外一点，OM=4cm ，则以M 为圆心且与⊙O •相切的圆的半径一定是（）A. 1cm 或7cmB. 1cmC. 7cmD. 不确定 11. 一个扇形半径30cm ，圆心角120°，用它作一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径为（） A. 5cm B. 10cm C. 20cm D. 30cm12. 如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，交AC 于点E ，•连结OD 、AD ，则以下结论：①D 是BC 的中点；②AD ⊥BC ；③AD 是∠BAC 的平分线；④OD ∥AC ．其中正确结论的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题. （每题2分，共20分）1. ⊙O 中，弦MN 把⊙O 分成两条弧，它们的度数比为4：5，如果T 为MN 中点，则∠TMO=_________，则弦MN 所对的圆周角为_______．2. ⊙O 到直线L 的距离为d ，⊙O 的半径为R ，当d 、R 是方程x 2－4x+m=0的根，且L •与⊙O 相切时，m 的值为_________．3. ⊙O 中，若弦AB 、BC 所对的圆心角分别为120°、80°，则弦AC •所对的圆心角为_____；4. 如图所示，AB 为⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，∠BAC=20°，⋂⋂=CD AD ，•则∠DAC 的度数是_______．5. 在△ABC 中，AB=5cm ，BC=3cm ，AC=4cm ，则△ABC 的内切圆的半径为_________．6. △ABC 三边与⊙O 分别切于D ，E ，F ，已知AB=7cm ，AC=5cm ，AD=2cm ，则BC=________．7. 如图所示，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 、AB 都与⊙O 相切，∠P=40°，则∠AOB 的度数为_________．8. 两圆相切，圆心距等于2cm ，其中一个圆的半径等于3cm ，•则另一个圆的半径等于_________．9. 已知两圆外离，圆心距d=12，大圆半径R=7，则小圆半径r •的所有可能的正整数值为_________．10. 圆心角为120°的扇形的弧长是2 cm ，则此扇形的面积为___________．三、解答题. （第1至6题各6分，第7、8两题各9分，第9题10分，共64分）1. 如图，从点P 向⊙O 引两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，AC 为弦，BC 为⊙O •的直径，若∠P=60°，PB=2cm ，求AC 的长．2. 如图，已知扇形AOB 的半径为12，OA ⊥OB ，C 为OB 上一点，以OA 为直径的半圆O 1与以BC为直径的半圆O 2相切于点D ．求图中阴影部分面积．3. 将半径为R 的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，•设这三个圆锥的底面半径依次为r 1，r 2，r 3，求r 1+r 2+r 3的值．4. 如图，求作一个⊙O ，使它与已知∠ABC 的边AB ，BC 都相切，并经过另一边BC 上的一点P ．BC5. 如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，以AB ，BC ，AC 为直径作半圆围成两月形（阴影部分）S 1，S 2，设△ABC 的面积为S ．求证：S=S 1+S 2．6. 如图所示，⊙I 是△ABC 的内切圆，AB=9，BC=8，CA=10，点D 、E 分别为AB 、AC 上的点，且DE 是⊙I 的切线，求△ADE 的周长．7. 如图，C 是⊙O 的直径AB 延长线上一点，过点C 作⊙O •的切线CD ，D 为切点，连结AD ，OD ，BD ．请根据图中给出的已知条件（不再标注字母，不再添加辅助线）写出两个你认为正确的结论．mBDCAO8. 如图，已知弦AB 与半径相等，连结OB ，并延长使BC=OB ．（1）问AC 与⊙O 有什么关系．（2）请你在⊙O 上找出一点D ，使AD=AC （自己完成作图，并证明你的结论）．B CAO9. 如图所示，AB 为⊙O 的直径，把AB 分成几条相等线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB=a ，⊙O 的周长为L= a ．计算：（1）把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长L2=12a=______；（2）把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长L3=_______；（3）把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长L4= _______；（4）把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长L n= _______．结论：（1）把大圆的直径分成n条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，•那么每个小圆的周长是大圆周长的_______；（2）把大圆的直径分成n条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，•那么这n 个小圆的周长和与大圆周长的关系是_______ ；探索：请仿照上面的探索方式和步骤，计算每个小圆的面积与大圆面积的关系．【试题答案】一、选择题：1. A ．[提示：只有（5）正确，（1）必须在同圆或等圆中；（2）直径要除外；（3）三点必须是不在同一条直线上的三个点；（4）任意一个圆都有无数个内接三角形．]2. D ．[提示：∵AD 为直径，∴∠ACD=90°，∠ABC=30°，∴∠D=30°，∴Rt △ACD 中，∠CAD=60°．]3. C ．4. D ．[提示：∠ABC+∠ACB=100°，∴∠CAB=80°，∴∠BOC=2∠CAB=160°．]5. D6. A ．[提示：连结OD ，OF ．四边形ODAF 中，∠ADO=∠AFO=90°，∠A=50°，∴∠DOF=130°，∴∠DEF=12∠DOF=65°．] 7. B ．[提示：∵内切圆半径r=2AC BC AB +-=1，∴AC+BC －5=2×1，∴AC+BC=7，∴AB+BC+AC=7+5=12．]8. B ．9. C ．[提示：∵x 2－4x+3=0，∴x 1=1，x 2=3．∴半径为1，3．∵3－1<3<3+1，∴两圆相交．]10. A ．[提示：若⊙M 与⊙O 内切，则R －3=OM=4，∴R=7．若⊙M 与⊙O 外切，则R+3=OM=4，∴R=1，∴R=1或7．]11. B ．[提示：扇形弧长L=120180π×30=20π=2πr ，∴r=10．] 12. D ．二、填空题：1. 10°，80°或100°[提示：MN 把⊙O 分成的两条弧之比为4：5，则两弧分别为︒160，200°，∴∠MON=160°，∴∠OMT=10°，则MN 所对的圆周角为80°或100°．]2. 4．[提示：L 与⊙O 相切时，d=R ，d 、R 是方程x 2－4x+m=0的根，∴△=16－4m=0，∴m=4．]3. 40°或160°．4. 35°5. 1cm ．6. 8cm ．7. 70°．8. 1cm 或5cm ．9. 1，2，3，4．[提示：两圆外离，∴d>R+r ，即12>7+r ，∴r<5，∴r=1，2，3，4．]10. 3πcm 2三、解答题：1. 解：连结AB ．∵∠P=60°，AP=BP ，∴△APB 为等边三角形．AB=PB=2cm ，PB 是⊙O 的切线，PB ⊥BC ，∴∠ABC=30°，∴AC=AB ·tan30°=2·3=232. 解：扇形的半径为12，则1O ⊙r =6，设⊙O 2的半径为R ．连结O 1O 2，O 1O 2=R+6，OO 2=12－R ．∴Rt △O 1OO 2中，36+（12－R ）2=（R+6）2，∴R=4．S 扇形=14π·122=36π，S ′=12π·62=18π，S ″=12π·42=8π． ∴S 阴=S 扇形－S ′－S ″=36π－18π－8π=10π．3. 解：半径为R 的圆的周长为2πR ，则三个扇形的弧长分别为16·2πR ，26·2πR ，36·2πR ，即13πR ，23πR ，πR ．而底面半径为r 1，r 2，r 3．∴2πr 1=13πR ，r 1=16R ；2πr 2=23πR ， ∴r 2=13R ；2πr 3=πR ，r 3=12R ， ∴r 1+r 2+r 3=16R+13R+12R=R ． 4. 解：作法：①作∠ABC 的角平分线BD ．②过点P 作PQ ⊥BC ，交BD 于点O ，则O 为所求作圆的圆心．③以O 为圆心，以OP 为半径作圆．则⊙O 就是所求作的圆．5. 解：证明：以AC 为直径的半圆面积为12π（2AC ）2=18πAC 2．以BC 为直径的半圆面积为12π·（2BC ）2=18πBC 2．以AB 为直径的半圆面积为12π·（2AB ）2=18πAB 2=18π（AC 2+BC 2）=18πAC 2+18πBC 2． ∴S 1+S 2=18πAC 2+18πBC 2－（18πAC 2+18πBC 2－S ） =18πAC 2+18πBC 2－18πAC 2－18πBC 2+S=S ． ∴S=S 1+S 2．6. 11．7. 答案：CD 2=CB ·CA 或∠CDB=∠A ．8. 解：（1）证明：如图，∵AB 与半径相等，∴∠OAB=60°，∠OBA=60°．∵BC=OB=AB ，∴∠BAC=30°，∴∠OAC=90°，∴AC 与⊙O 相切．（2）①延长BO 交⊙O 于D ，则必有AD=AC ．证明：∵∠BOA=60°，OA=OD ，∴∠D=30°．又∵∠C=30°，∴∠C=∠D ，∴AD=AC ．②作∠OAB 的角平分线交⊙O 于D ，则AD=AC证明略9. （1）把AB 分成两条相等的线段，每个小圆的周长L 2=12 a=2L ；（2）把AB 分成三条相等的线段，每个小圆的周长L 3= 3L ；（3）把AB 分成四条相等的线段，每个小圆的周长L 4= 4L ；（4）把AB 分成n 条相等的线段，每个小圆的周长L n = L n．结论：（1）把大圆的直径分成n 条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，•那么每个小圆的周长是大圆周长的1n ；（2）把大圆的直径分成n 条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，•那么这n 个小圆的周长和与大圆周长的关系是相等；面积关系：把大圆的直径分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，•则小圆的面积是大圆面积的21n ．。

第27章圆小结与复习课件

1、⊙O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且 R、d分别是方程x2－6x＋8＝0的两根，则点A与 ⊙O的位置关系是（）
A．点A在⊙O内部 B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O外部 D．点A不在⊙O上
2、M是⊙O内一点，已知过点M的⊙O最长的弦为10 cm，最短的弦长为8 cm，则OM= _____ cm.
义务教育教科书（华师）九年级数学下册
第27章圆
与圆有关的概念
弦连接圆上任意两点的线段（如图AC）
叫做弦，
经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
B
O·
A
C
弧
圆为上端任点意的两弧点记间作的A⌒部B 分，叫读做作圆“弧圆弧，简AB称”或弧“．弧以A、B
AB”．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
一个三角形的外接圆有几个？一个圆的内接三角形有几个？
做一做
分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三
角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形
与它的外心的位置关系.
A
A
A
●O
●O
B
┐
CB
C
●O
B
C
锐角三角形的外心位于三角形内, 直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点, 钝角三角形的外心位于三角形外.
A
中，大圆的弦AB是小圆的切线，P为切点，
P
B
O
设AB=12，则两圆构成圆环面积为_____；
3、下列四个命题中正确的是（）．
①与圆有公共点的直线是该圆的切线； ②垂直于圆的半径的直线是该圆的切线； ③到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线；④过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线．

九年级数学下册第27章圆本章总结提升导学新版华东师大版

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本章总结提升
解：(1)证明：根据“在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等”，得∠A＝
∠D，∠C＝∠ABD，
∴△AEC∽△DEB.
(2)∵CD⊥AB，CD 为⊙O 的直径，
∴BE＝21AB＝4.
设⊙O 的半径为 r.∵DE＝2，∴OE＝r－2.
在 Rt△OEB 中，由勾股定理，得 OE2＋BE2＝OB2，
－105°＝75°.因为
，所以∠DCE＝∠BAC＝25°.因为∠ADC＝∠DCE
＋∠E，所以∠E＝∠ADC－∠DCE＝75°－25°＝50°.故选 B.
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本章总结提升
【归纳总结】圆内接四边形的性质是“圆内接四边形的对角互补”，这个性质是由圆周角定理推导出来的，其主要作用是计算角度，根据这个性质可以推出“圆内接四边形的外角等于它的内对角”．
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问题8 圆中的计算问题
圆锥的侧面展开图是什么形状的？展开图与圆锥各部分的对应关系如何？怎样计算圆锥的侧面积与全面积？
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例 8 如图 27－T－7，一扇形纸片的圆心角∠AOB 为 120°，弦 AB 的长为 2 3 cm，用它围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)，则该圆锥的底面半径为( A )
[点评] 求不规则图形的面积的主要方法是将图形分割成规则图形，然后求出各规则图形的面积，再用它们的和或差求不规则图形的面积．
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【归纳总结】计算平面图形的面积是初中几何常见的题型之一，其中计算不规则图形的面积又是难点，在求与圆有关的不规则阴影部分的面积时，通常是运用转化思想将阴影部分的面积转化为圆、扇形、三角形面积的和或差，对图形进行分解、组合，化不规则图形为规则图形再求解．

华师大数学九年级下第27章圆的知识点总结

圆的知识点总结一、垂径定理1. 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．2. 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．二、弧、弦、圆心角定理1. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．2. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．三、圆周角定理定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．推论3：圆的内接四边形对角互补．四、与圆相关的位置关系1.点和圆的位置关系：设O ⊙的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，则有：点在圆外⇔d r >；点在圆上⇔d r =；点在圆内⇔d r <.2.直线和圆的位置关系：设O ⊙的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则有：d r >⇔直线l 与O ⊙相离；d r =⇔直线l 与O ⊙相切；d r <⇔直线l 与O ⊙相交切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．切线的判定：定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；距离：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．3.圆和圆的位置关系：设12O O 、⊙⊙的半径分别为r R 、（其中R r >），两圆圆心距为d ，则有：d R r >+⇔两圆外离；d R r =+⇔两圆外切；R r d R r -<<+⇔两圆相交； d R r =-⇔两圆内切；0d R r <-⇔≤两圆内含.五、圆中的相关计算公式设O ⊙的半径为R ，n ︒圆心角所对弧长为l ， 1. 弧长公式：π180n Rl =2. 扇形面积公式：21π3602n S R lR ==扇形 3. 圆柱体表面积公式：22π2πS R Rh =+4. 圆锥体表面积公式：2ππS R Rl =+（l 为母线）5. 圆锥侧面积公式：πrl六、圆中常见辅助线作法七、圆中常见倒角模型。

华师大版九年级下数学《圆》知识归纳

华师大版九年级下数学《圆》知识归纳圆的知识点归纳圆的定义：1.由定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。

2.在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。

圆的各元素：1.半径：圆上一点与圆心的连线段。

2.直径：连接圆上两点且经过圆心的线段。

3.弦：连接圆上两点的线段，直径也是弦。

4.弧：圆上两点之间的曲线部分，半圆周也是弧。

1) 劣弧：小于半圆周的弧。

2) 优弧：大于半圆周的弧。

5.圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。

6.圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。

7.弦心距：圆心到弦的垂线段的长度。

圆的基本性质：1.圆的对称性。

1) 圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。

2) 圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。

3) 圆是旋转对称图形。

2.垂径定理。

1) 垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。

2) 推论：平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。

平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。

3.圆心角的度数等于它所对弧的度数。

圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。

1) 同弧所对的圆周角相等。

2) 直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。

4.在同圆或等圆中，只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。

五对量包括：两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距。

5.夹在平行线间的两条弧相等。

6.设⊙O的半径为r，OP=d。

dd）点P在⊙O内d=r点P在⊙O上d>r（r<d）点P在⊙O外7.(1) 过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。

2) 不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。

（直角三角形的外心就是斜边的中点。

）8.直线与圆的位置关系。

直线与圆有两个交点，直线与圆相交。

直线与圆只有一个交点，直线与圆相切。

直线与圆没有交点，直线与圆相离。

9.平面直角坐标系中，A（x1，y1）、B（x2，y2）。

则AB=(x1-x2)+(y1-y2)10.圆的切线判定。

华师版九年级数学下册课件：第27章圆第27章《圆》单元小结与复习

• 4．如图27-9，两同心圆的大圆半径长为5cm，小圆半径长为3cm，大圆的弦AB与小圆相切，切点为点C，则弦8cm AB的长是．
• 5．如图27-10，在矩形ABCD中，AB=8， AD=12，过A、D两点的⊙O与BC边相切于点 E，则的半径为． 6⊙ ．O 25
【提示】连结OE，并反向延长交AD于点F，连结OA． ⊙O与BC相切于点E， ∴OE⊥BC，∴∠OEC=90°． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C=∠D=90°， ∴四边形CDFE是矩形， ∴EF=CD=AB=8，OF⊥AD，
• 4．如图27-4，在⊙O的内接五边形ABCDE中， 220° ． ∠CAD=40°，则∠B+∠E=
• 5．如图27-5，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E，CD= ，AE=2， • 则⊙O的半径为． 3
①②③④
• 1．已知圆O的直径是方程x2-5x-24=0的根，且点A到圆心O的距离为6，则点 ) C A在( • A．圆O上 • B．圆O内 • C．圆O外 • D．无法确定
(1)证明：连结DE，OD． ∵BC相切⊙O于点D， ∴∠CDA=∠AED．
∵AE为直径，
∴∠ADE=90°．
∵AC⊥BC，
∴∠ACD=90°，
∴∠DAO=∠CAD，
∴AD平分∠BAC．
•∵ (2) 若 CD=1 ，求图中阴影部分的面积 (2) 在 Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC， (结果
．
∴∠B=∠BAC=45°．
∵BC相切⊙O于点D，
保留π)．
∴∠ODB=90°，
∴OD=BD， ∴∠BOD=45°．
Байду номын сангаас
∴BC=AC=x+1．

九年级下册27章圆知识点

九年级下册27章圆知识点圆是几何学中的一个重要概念，广泛应用于数学和实际生活中的各个领域。

本文将对九年级下册第27章中关于圆的知识点进行全面的介绍和解析。

一、圆的定义和性质圆是由平面上距离圆心相等的点构成的集合。

下面是圆的一些重要性质：1. 圆心：圆的中心点称为圆心，用字母O表示。

2. 半径：圆心到圆上任一点的距离称为圆的半径，用字母r表示。

3. 直径：过圆心的一条线段，两端点分别在圆上，称为圆的直径，用字母d表示，直径是半径的两倍，即d=2r。

4. 弧长：圆上两点之间的弧所对应的弧长，可以用角度或长度来表示。

5. 弧度：以半径为单位长度的弧长所对应的角度，称为弧度制，用符号rad表示。

二、圆的周长和面积1. 周长：圆的周长，也称为圆周长，是圆上一圈的长度，用符号C表示。

周长可以通过直径或半径来计算，公式如下：C = 2πr 或C = πd其中，π取约等于3.14。

2. 面积：圆的面积就是圆内部的所有点构成的图形的总面积，用符号S表示。

面积可以通过半径来计算，公式如下：S = πr²三、圆与其他图形的关系1. 圆与正方形：正方形内切于一个圆，正方形的对角线长度等于圆的直径。

2. 圆与矩形：矩形内切于一个圆，矩形的长和宽之和等于圆的直径。

3. 圆与三角形：三角形内接于一个圆，三角形的外接圆的圆心为三角形的垂心。

4. 圆与正多边形：正多边形内切或外接于一个圆，正多边形的内接圆的圆心与外接圆的圆心重合。

四、圆的相关定理1. 切线定理：切线与半径垂直，并且切线与半径的交点在圆的圆周上。

2. 弦切角定理：弦切角等于弦所对的圆心角的一半。

3. 弦弧定理：在同一个圆或等圆上，弦所对的圆心角是相等的。

4. 弧度定理：一个半径为1的圆的弧度度量等于这部分圆心角的弧长。

5. 弧的长度：在已知弧所对的圆心角的情况下，弧的长度可以通过弧度公式来计算。

经过以上的介绍和解析，我们对九年级下册第27章的圆知识点有了更深入的了解。

华师大数学九年级下第27章第1讲圆的概念及性质

第1讲圆的概念及性质模块一圆的基本概念知识导航定义示例剖析圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．由圆的定义可知：⑴ 圆上的各点到圆心的距离都等于半径长；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在同一个圆上．因此，圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．⑵ 要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是圆心的位置，另一个是半径的长短，其中，圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．表示为“O⊙”圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫等弧。

弦和弧：1. 连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍．2. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B、为端点的弧记作AB，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．3. 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条表示：劣弧AB优弧ACB或AmB圆O半径圆心AO等圆O‘O同心圆OCm劣弧优弧弦BAOE【例1】如图，若点O 为O ⊙的圆心，则线段_________________是圆O 的半径；线段___________是圆O 的弦，其中最长的弦是________；________是劣弧；___________是半圆．若40A ∠=︒，则ABO ∠=_________，C ∠=_______，ABC ∠=_______．【例2】如图，AB 为O ⊙的直径，CD 是O ⊙的弦，AB CD 、的延长线交于点E ，若2AB D E =，18E ∠=︒，求AOC ∠的度数．模块二垂径定理【例3】1．如图，M N、分别是O⊙中长度相等但不平行的两条弦AB CD、的中点．求证：AMN CNM∠=∠．2.如图，∠PAC=30°，在射线AC上顺次截取AD=3cm，DB=10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点，则线段EF的长是cm．3．如图，⊙O的半径为2，弦32=AB，点C在弦AB上，ABAC41=，则OC的长为（）A．B．C．D．BCAOFEA D OB CPC【例4】 ⊙O 的半径为5cm ，弦AB ∥CD ，且AB =8 cm ，CD =6cm ，求AB 与C 之间的距离．【例5】如图，一条公路的转弯处是一段圆弧度（即图中CD ，点O 是CD 的圆心，其中弦CD=600m ，E 为CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90m ，求这段弯路的半径？【例6】如图，已知在ABC ∆中，90A ∠=，AB=3cm,AC=4cm ，以点A 为圆心，AC 长为半径画圆弧如图交CB 的延长线于点D ，求CD 的长。