人教版数学九上《 二次函数(第5课时)》同课异构教案 (vip专享)
人教版九年级数学上册《二次函数》教案
《二次函数》教案教学目标1、从实际情境中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系；2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式；3、会建立简单的二次函数模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围；教学重点二次函数的概念和解析式教学难点本节涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力.教学过程创设情境，导入新课问题1、现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”(板书课题)合作学习，探索新知请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y与x之间的关系：(1)面积y(cm2)与圆的半径x(cm)(2)王先生存人银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为文x两年后王先生共得本息y元；(3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为12Om，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x (cm)，种植面积为y (m2)x教师组织合作学习活动：先个体探求，尝试写出y 与x 之间的函数解析式.上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨.(1)y =πx 2 (2)y =2000(1+x )2=20000x 2+40000x +20000(3)y =(60-x -4)(x -2)=-x 2+58x -112(二)上述三个函数解析式具有哪些共同特征？让学生充分发表意见，提出各自看法.教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y =ax ²+bx +c (a ，b ，c 是常数， a ≠0)的形式.板书：我们把形如y =ax ²+bx +c (其中a ，b ，c 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数(quadra ticfuncion ).称a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项.请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项做一做下列函数中，哪些是二次函数？(1)2x y = (2)21xy -= (3)122--=x x y (4))1(x x y -= (5))1)(1()1(2-+--=x x x y2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：(1)12+=x y (2)12732-+=x x y (3))1(2x x y -= 3、若函数m mx m y --=2)1(2为二次函数，则m 的值为 .例题示范，了解规律 例1、已知二次函数 q px x y ++=2当x =1时，函数值是4；当x =2时，函数值是-5.求这个二次函数的解析式.此题难度较小，但却反映了求二次函数解析式的一般方法，可让学生一边说，教师一边板书示范，强调书写格式和思考方法.练习：已知二次函数c bx ax y ++=2 ，当x =2时，函数值是3；当x =-2时，函数值是2.求这个二次函数的解析式.例2、如图，一张正方形纸板的边长为2cm ，将它剪去4个全等的直角三角形(图中阴影部分).设AE =BF =CG =DH =x (cm )，四边形EFGH 的面积为y (cm 2)，求：①y 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围.②当x 分别为0.25，0.5，1.5，1.75时，对应的四边形EFGH 的面积，并列表表示.方法：(1)学生独立分析思考，尝试写出y 关于x 的函数解析式，教师巡回辅导，适时点拨.(2)对于第一个问题可以用多种方法解答，比如：求差法：四边形EFGH 的面积=正方形ABCD 的面积-直角三角形AEH 的面积DE 4倍. 直接法：先证明四边形EFGH 是正方形，再由勾股定理求出EH 2(3)对于自变量的取值范围，要求学生要根据实际问题中自变量的实际意义来确定.(4)对于第(2)小题，在求解并列表表示后，重点让学生看清x 与y 之间数值的对应关系和内在的规律性：随着x 的取值的增大，y 的值先减后增；y 的值具有对称性. 练习：用20米的篱笆围一个矩形的花圃(如图)，设连墙的一边为x ，矩形的面积为y ，求：(1)写出y 关于x 的函数关系式.(2)当x =3时，矩形的面积为多少？归纳小结本节课你有什么收获？ ABE F C G D H x。
人教版数学九上《 实际问题与二次函数》同课异构教案1 (vip专享)
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实际问题与二次函数教学目标：1．能根据实际问题列出函数关系式、2．使学生能根据问题的实际情况，确定函数自变量x 的取值范围.3．通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生用数学的意识.重点：根据实际问题建立二次函数不同的数学模型，应用函数的性质解答数学问题 难点：根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的范围， 教学过程： 一、复习旧知 导入新课（1）建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA. O 恰好在水面中心，布置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 任意平面上的抛物线如图(5)所示，建立直角坐标系(如图(6))，水流喷出的高度y(m)与水面距离x(m)之间的函数关系式是y ＝－x 2＋52x ＋32，请回答下列问题：(1)花形柱子OA 的高度； (2)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不至于落在池外? （2）．如图(7)，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线y ＝－15x 2＋3.5二、学习新知1、引导学生自学P24页例2（既探究2） 质疑 点评出示例3 P25 引导学生应用不同的方法去构建数学模型重点讲解例32、练一练：（1）．如图是抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽46米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽43米，若洪水到来时，水位以每小时0.25米速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?三、小结：1．通过本节课的学习，你学到了什么知识?存在哪些困惑? 2．谈谈你的收获和体会.四、作业：一个涵洞成抛物线形，它的截面如图(3)所示，现测得，当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m. 这时，离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少?是否会超过1m?五、板书。
人教版数学九年级上册22.1《二次函数的图象和性质(5)》教学设计
人教版数学九年级上册22.1《二次函数的图象和性质（5）》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册22.1《二次函数的图象和性质（5）》这一节主要介绍了二次函数的顶点坐标、开口方向与系数的关系。
教材通过实例引导学生探究二次函数的图象和性质，培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
本节课的内容是对前面所学知识的进一步拓展和深化，有助于学生更好地理解二次函数的本质。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图象和性质有一定的了解。
但部分学生对二次函数的顶点坐标、开口方向与系数之间的关系理解不深，运用不够熟练。
因此，在教学过程中，教师需要关注这部分学生的学习需求，通过实例讲解、练习巩固等方式，帮助他们更好地掌握知识。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握二次函数的顶点坐标、开口方向与系数之间的关系，能够运用这些知识解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生探究二次函数图象和性质的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探究、积极思考的精神。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的顶点坐标、开口方向与系数之间的关系。
2.难点：如何运用二次函数的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入二次函数的图象和性质，让学生在实际情境中感受和理解知识。
2.启发式教学法：引导学生观察、分析、归纳二次函数的性质，培养学生的思考能力和解决问题的能力。
3.小组合作学习：鼓励学生分组讨论、交流，提高学生的合作意识和团队精神。
六. 教学准备1.教学课件：制作详细的课件，展示二次函数的图象和性质。
2.实例素材：准备一些与生活相关的实例，用于引导学生探究二次函数的性质。
3.练习题：准备一些针对性的练习题，帮助学生巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入二次函数的图象和性质，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）展示二次函数的图象和性质，引导学生观察、分析，归纳出二次函数的顶点坐标、开口方向与系数之间的关系。
人教版九年级数学上二次函数第5课时教案教学设计教学案课时作业试卷同步练习含答案解析
二次函数y =ax 2+bx +c 的图象和性质(第5课)【目标导航】1.会用配方法确定二次函数图象的顶点坐标、开口方向和对称轴.2.会利用图象的对称性画出二次函数y =ax 2+bx +c 的图象，会利用三种形式求抛物线解析式.【要点梳理】1.抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点坐标与对称轴一般地，我们可以用配方法求抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的顶点坐标与对称轴.y =ax 2+bx +c =a (x + )2+ .因此，抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴是 ，顶点坐标是 .答案：a b 2，a b ac 442- 直线a b x 2-= ，（-ab ac a b 44,22-）2.二次函数y =ax 2+bx +c 的性质（1）当a >0时，抛物线开口向上，对称轴是直线x =2b a -，顶点坐标坐标2424b ac b a a(,)--，在对称轴左侧，即当x <2b a -时，y 随x 的增大而减小；在对称轴右侧，即当x >2b a-时，y 随x 的增大而增大，当x = 时，y 最小值= .（2）当a<0时，抛物线开口向下，对称轴是直线x =2b a -，顶点坐标坐标2424b ac b a a(,)--，在对称轴左侧，即当x <2b a -时，y 随x 的增大而增大；在对称轴右侧，即当x >2b a-时，y 随x 的增大而减小，当x = 时，y 最大值= .答案：（1）-a b 2 ， a b ac 442- （2）-a b 2， ab ac 442- 。
【课堂操练】例1 （2011新疆维吾尔自治区）已知抛物线243y x x =-+-与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点左侧），顶点为P ．（1）求A 、B 、P 三点的坐标；（2）在直角坐标系中，用列表描点法作出抛物线的图象，并根据图象写出x 取何值时，函数值大于零； （3）将此抛物线的图象向下平移一个单位，请写出平移后图象的函数表达式．【答案】解：（1）令243=0x x -+-， 解得1x =或3x = ∴()A 1,0 ()B 3,0x …… 0 1 2 3 4 ……y …… －3 0 1 0 －3 ……又()2y=43x x --+=()24443x x ⎡⎤--+-+⎣⎦=()221x --+∴P(2,1)（2）表格、图象如右图所示：由图象可知当13x <<时，函数值大于零．（3）若将函数的图象向下平移一个单位，则抛物线顶点为（2，0）∴函数的表达式为()22y=2044x x x --+=-+-练一练：1.用配方法将二次函数23212+--=x x y 化成k h x a y +-=2)(的形式为 ， 它的开口方向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标为 ．答案：2)1(212++-=x y ,开口向下 ， x = -1 , 顶点坐标( -1 , 2 ) 2.已知抛物线2214y m x mx m ()=-++-的图象过原点，且开口向上.（1）求m 的值，并写出函数的解析式；（2）求函数图象的顶点坐标和对称轴.答案：（1）m =±2 , x x y 22+=（2）顶点坐标为(-1,-1),对称轴为直线 x =-1.3.已知抛物线562+-=x x y 部分图象如图，则抛物线对称轴为直线 ， 满足0<y 的x 的取值范围是 ，将抛物线562+-=x x y 向 平移 个单位，则得到抛物线962+-=x x y ．答案：x =3 , 1<x<5 向上， 4。
二次函数图象与性质(五)九年级数学(上)人教出版课堂教案
探究思考
变式1：已知抛物线的顶点为(−2, −4)，且经过点(1, 5)， 求抛物线表示的二次函数．
答：设二次函数的解析式为 y = a x − h 2 + k； 由题目条件，h = −2，k = −4． 代入点 (1, 5)：5 = a 1 + 2 2 − 4，a = 1． ∴ y = x + 2 2 − 4．
答：抛物线 y = −3 x − 1 2 + k 的对称轴为 x = 1，当x < 1 时，y 随 x 的增大而增大．取 x1 < x2 < 1 ，有 y1 < y2．
∵ −3 < −2 < −1 < 1， ∴ a < b < c．
探究思考
变式：设 A(−3, a)，B(3, b)，C(8, c) 是抛物线 y = − 3 x − 1 2 + k 上的三点，判断 a，b，c 的大小关系．
探究思考
变式2：已知抛物线 y = −2x2 经平移后通过原点，且关于 x = 1 对称，求抛物线表示的二次函数．
答：设二次函数的解析式为 y = a x − h 2 + k； 由题目条件，a = −2，h = 1． 代入点(0, 0)：0 = −2 0 − 1 2 + k，k = 2． ∴ y = −2 x − 1 2 + 2．
答：代入 x = −3, −2, −1，计算得 a = k − 48，b = k − 27, c = k − 12．
∵ k − 48 < k − 27 < k − 12， ∴ a < b < c．
九年级数学上册《二次函数》教案、教学设计
2.培养学生运用二次函数解决实际问题的能力，如最优化问题、几何图形问题等，并通过实际问题进一步理解二次函数的性质。
讨论过程中，我会巡回指导，关注学生的讨论进展，适时给予提示和引导，确保每个学生都能积极参与讨论。
（四）课堂练习
课堂练习环节，我会设计以下几类题目：
1.基础题目：主要考察学生对二次函数定义、图像、性质的掌握，以及基本的求解方法。
2.提高题目：涉及二次函数在实际问题中的应用，如最值问题、几何图形问题等，提高学生的应用能力。
5.写作任务：要求学生撰写一篇关于二次函数在实际问题中应用的小论文，字数在500字左右。论文可以围绕二次函数在生活中的应用、二次函数与其他数学知识的联系等方面展开，旨在培养学生的数学表达能力和逻辑思维。
1.完成教材课后练习题：第1题、第3题、第5题，巩固二次函数的基础知识。
2.解决实际问题：根据课堂所学，选择一个实际问题，建立二次函数模型并求解，将解题过程和结果写在作业本上。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：二次函数的定义、图像特征、性质以及在实际问题中的应用。
2.难点：
（1）理解并掌握二次函数的图像与性质之间的关系，如开口方向、顶点、对称轴等。
（2）灵活运用二次函数求解最值问题，特别是顶点公式的运用。
（3）将二次函数的知识应用于解决实际问题，提高学生的数学建模能力。
3.学生在讨论、练习过程中遇到的困难和问题，以及如何克服这些困难。
五、作业布置
为了巩固学生对二次函数知识的掌握，提高他们的应用能力，我将在课后布置以下几类作业：
人教版九年级数学上册教案设计：22.1二次函数的图象和性质第5课时
二次函数的图象和性质第5课时(教案）教学目标：1.使学生掌握用配方法把数字系数的二次函数c bx ax y ++=2化成2()+y a x h k =-的形式，能确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；能画出二次函数一般式的图象，结合图象进一步说出二次函数的性质；能理解二次函数的顶点坐标公式的推导过程，了解二次函数的顶点坐标公式.2.通过经历把二次函数 c bx ax y ++=2化成2()+y a x h k =-的形式，体会它们之间的联系以及转化思想，进一步熟悉用配方法解决数学问题；通过图象了解二次函数的性质，体会数形结合的思想；通过具体的例子进行探究，在由特殊到一般归纳规律，体会从特殊到一般的认识事物的过程.3.通过小组的合作交流，培养学生的合作意识. 重点问题：用配方法把数字系数的二次函数c bx ax y ++=2化成2()+y a x h k =-的形式，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；画出二次函数一般式的图象，结合图象进一步说出二次函数的性质. 难点问题：能理解二次函数的顶点坐标公式的推导过程，了解二次函数的顶点坐标公式. 教学准备：教案、课件.教学方法：小组互助学习，启发式谈话法. 教学过程： 一、复习回顾1.知识回忆：（1）抛物线2()+y a x h k =-的对称轴是_________，顶点坐标是___________，当0a >时，开口________，当0a <时，开口________. （2）2212____(6)x x x -+=- （3）画函数图象的一般步骤是怎样的？2.知识小测：（1）抛物线()2231y x =-+-的顶点坐标是 ；对称轴是直线 ；开口方向是__________；当x = 时y 有最 值是 ；当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小.（由课件出示以上问题，学生先自主解决，然后小组相互讨论解决情况，教师巡视了解各组的谈论情况.讨论完毕后容易的问题不再讲解，疑难问题集体解决，由能解决的学生进行讲解.） 二、提出问题 你能画出函数216212+-=x x y 的图象，并说出它的性质吗？ （由此问题引入本节课的新知学习，在接下来的过程中逐渐解决.） 三、问题探究 1.讨论并写出216212+-=x x y 的配方的过程.配方的过程： 方法一：216212+-=x x y )4212(212+-=x x 21(12363642)2x x =-+-+ 21(6)62x =[-+]21(6)32x =-+ 方法二：216212+-=x x y 21(12)212x x =-+21(123636)212x x =-+-+ 21(6)362x =[--]+2121(6)182x =--+2121(6)2x =-+3 （配方的过程是本节学习的重点，也是本节学习的关键，一定要留足充分的时间让学生思考讨论并书写.学生的书写过程可能两种形式，鼓励学生选择适合自己思维习惯的方法.讨论完毕后找几个有代表性的学生投影自己的书写，并讲解每一步的依据.我准备找这样的4个同学进行投影，一个是用方法一书写的，一个是用方法二书写的，一个是忘记用中括号的或在去中括号时忘记用括号外的21去乘括号内的常数的，从而导致结果错误，一个是丢掉系数21的，从而导致错误的.若没有以上典型的4种情况，教师及时进行补充说明，出示相关过程由学生进行诊断是否正确，并说明原因.若学生出现预料之外的错误情况，及时关注并解决.）变式练习1：写出216212y x x =--+的配方的过程. 变式练习2：写出222412y x x =-+的配方的过程.变式练习3：写出2162y x x =--的配方的过程. (学生完成后，选取代表投影，变式练习2中，学生在提取21-时可能发生忘记各项要变号的错误，教师及时关注学生的解答情况，发现问题及时纠正.）2.归纳总结：配方的一般步骤： 有哪些 注意事项？数学方法？数学思想？（一“提”，提取二次项系数，把二次项系数化为1；二“配”，在括号内配出完全平方式；三“化”，化成顶点式.）(小组讨论，然后发言，总结归纳，达成共识.）（板书配方的步骤） 3.抛物线3)6(212+-=x y 的顶点坐标是_________，对称轴是_________. 4.由函数221x y =怎样平移得到3)6(212+-=x y ？ 5画出函数216212+-=x x y 的图象，你有几种方法？ (方法一：平移法；方法二：描点法.）（板书图象的画法）（学生讨论，解决问题，学生完成后找两个有代表性的学生进行投影，一个是用方法一的，一个是用方法二的，然后集体点评.教师要根据学生的具体解答情况进行调控，补充说明.）6.抛物线216212+-=x x y 的顶点坐标是_________，对称轴是________，开口方向是_________；当x =________时，y 有最_______值是______；当x ______时，y 随x 的增大而增大，当x ______时，y 随x 的增大而减小.7.用上面的方法讨论二次函数1422+--=x x y 的图象和性质. (学生尝试自主解决，有困难的学生小组进行帮扶.）8.对于任意一个二次函数c bx ax y ++=2，如何进行配方？试着写一写配方的过程.（各组的组长组织讨论，然后由组长负责写出过程，组员能理解过程即可）.（板书配方的过程） 9..抛物线的c bx ax y ++=2对称轴是___________，顶点是___________.（板书对称轴及顶点公式）当0>a 时，开口______，当x ______时，y 随x 的增大而增大，当x ________时，y 随x 的增大而减小；当0<a 时，开口________，当x ______时，y 随x 的增大而增大，当x ________时，y 随x 的增大而减小.四、课堂练习1.判断下列过程是否正确，并说明理由： （1）21322y x x =-+21(6994)2x x =-+-+ 21(695)2x x =-+-21(3)2x =[--5]21(3)52x =--； （2）21322y x x =--+21(64)2x x =--+21(6994)2x x =--+-+ 21(695)2x x =--+-21(3)2x =-[--5]215(3)22x =--+；（3）2282y x x =++241x x =++24441x x =++-+ 2443x x =++-2(2)x =+-3.21(64)2x x =-+ 2.用配方法把下列二次函数化成顶点式： （1）22y x x =--；（2）21432y x x =-+. 3. 抛物线2288y x x =--+配方的结果是_________，顶点坐标是_________，对称轴是_________，开口方向__________，当=x ________时y 有最_______值是_________；当x ______时，y 随x 的增大而增大；当x ________时，y 随x 的增大而减小.4.抛物线236y x x =+的开口方向__________，顶点坐标是_________，对称轴是_________，当=x ________时y 有最_______值是_________；当x ______时，y 随x 的增大而增大；当x ________时，y 随x 的增大而减小. 5.抛物线12212-+=x x y 配方的结果是_________，在右侧坐标系中画出它的图象.6.抛物线23123y x x =-+-配方的结果是_________，它可由抛物线23y x =-向________平移_______个单位长度，再向________平移_______个单位长度得到.7.抛物线224y x x =-+-中，开口方向__________，=-ab2_______，a b ac 442-=____________，它的顶点坐标是_________，对称轴是_________.五、课堂小结对本节课你有什么感悟？可以从知识点、数学思想、数学方法、学习方法、注意事项、其它等方面谈一下自己的想法.。
2019秋人教版九年级数学上册 教案(第5课时)
用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标
教学难点
理解二次函数y＝ax2＋b x＋c(a≠0)的 性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x＝－ 、(－ ， )
教学过程设计
教学过程及教学内容
设计意图
一、提出问题
1．你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
(当x＜2时，函数值y随x的增大而增大，当x＞2时，函数值y随x的增大而减小；当x＝2时，函数取得最大值，最大值y＝1)
4．不画出图象，你能直接说出函数y＝－ x2＋x－ 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?
[因为y＝－ x2＋x－ ＝－ (x－1)2－2，所以这个函数的图象开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－2)]
过程
方法
1.通过对二次函数图像及其性质的相关知识的复习，掌握求解二次函数图像及其性质的题目的基本方法和思路，领悟数形结合的数学思想方法；
2.综合运用所学知识、方法去解决数学问题，培养学生提出、分析、解决、归纳问题的数学能力，改善学生的数学思维品质；
情感
态度
在数学教学中渗透美的教育，让学生感受二次函数图像的对称之美，激发学生的学习兴趣。
教学时间
课题
二次函数的图象和性质（五）
课型
新授
教学媒体
多Байду номын сангаас体
教
学
目
标
知识
技能
1.了解二次函数解析式的二种表示方法，会用配方法转化二次函数的表示形式；
2.会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；
3.会根据公式确定抛物线的顶点坐标、开口方向、对称轴以及抛物线与坐标轴的交点坐标。
人教版九年级数学上册《二次函数的图象和性质(第5课时)》示范教学设计
二次函数的图象和性质（第5课时）教学目标1．针对具体的系数取值，能画出二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象，并能指出如何由y ＝ax 2的图象平移得到．2．能根据表达式说出二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的开口方向、对称轴和顶点坐标． 3．通过自主画图探索活动，增进学生对抛物线自身特点的认知与对二次函数图象和性质的理解，体会数形结合思想的应用．教学重点抛物线y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)与抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的位置关系．教学难点理解a ，h ，k 三个字母系数对二次函数图象的影响．教学过程知识回顾二次函数y ＝a (x －h )²(a ≠0)的性质：【设计意图】通过复习已经学过的二次函数y ＝a (x －h )²(a ≠0)的性质的知识，为引出新课“二次函数y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)的图象和性质”作铺垫．新知探究一、探究新知【问题】在同一直角坐标系中，画出二次函数212y x =-，()2122y x =--，()21212y x =--+的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【师生活动】教师提出问题，学生独立思考并作图回答问题． 学生作图：先列表（略），然后描点，再分别画出它们的图象．根据所画图象，学生回答：教师提问：结合所画图象，观察三个二次函数的顶点坐标和对称轴有什么关系？ 学生观察图象，思考并回答，教师总结．教师追问：三个二次函数图象之间的位置有什么关系？教师提示：可以类比前面研究“抛物线y ＝ax 2＋k (a ≠0)与抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的位置关系”的方法来思考问题．学生根据提示，分小组讨论，并作答．抛物线212y x =-向右平移2个单位长度，就得到抛物线()2122y x =--．抛物线()2122y x =--向上平移1个单位长度，就得到抛物线()21212y x =--+．教师总结：它们的图象只有位置不同．【设计意图】巩固学生对描点法画函数图象的认识，为进一步探究抛物线y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)与抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的位置关系作铺垫．二、典例精讲【例1】画出函数()21112y x =-+-的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标．怎样移动抛物线212y x =-可以得到抛物线()21112y x =-+-？【师生活动】教师提出问题，学生独立思考并作图回答问题． 学生作图：先列表（略），然后描点，画出它的图象．根据所画图象，学生回答：抛物线()21112y x =-+-的开口向下，对称轴是x ＝－1，顶点坐标是(－1，－1)．教师提问：抛物线212y x =-和抛物线()21112y x =-+-有什么关系？学生分小组讨论，尝试利用函数平移知识作答，教师总结．【归纳】一般地，抛物线y ＝a (x －h )2＋k 与y ＝ax 2形状相同，位置不同．把抛物线y ＝ax 2向上（下）、向左（右）平移，可以得到抛物线y ＝a (x －h )2＋k ．平移的方向、距离要根据h ，k 的值来决定．【新知】抛物线y ＝a (x －h )2＋k 的特点：（1）当a ＞0时，开口向上；当a ＜0时，开口向下． （2）对称轴是x ＝h ． （3）顶点坐标是(h ，k )．（4）如果a ＞0，当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小；当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大；如果a ＜0，当x ＜h 时，y 随x 的增大而增大；当x ＞h 时，y 随x 的增大而减小． 【例2】要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m 处达到最高，高度为3 m ，水柱落地处离池中心3 m ，水管应多长？【师生活动】教师提出问题，学生分小组讨论，并派学生代表回答．【答案】解：如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x 轴，水管所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．点(1，3)是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式是 y ＝a (x －1)2＋3(0≤x ≤3)．由这段抛物线经过点(3，0)，可得0＝a (3－1)2＋3，解得34a =-．因此()23134y x =--+(0≤x ≤3)． 当x ＝0时，y ＝2.25，也就是说，水管长2.25 m ．【设计意图】通过例1和例2的讲解与练习，巩固学生对所学知识的理解及应用．课堂小结板书设计一、二次函数y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)的图象与性质二、抛物线y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)与抛物线y ＝ax ²(a ≠0)的位置关系课后任务完成教材第37页练习．。
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第二十二章 二次函数1．（安徽） 若二次函数52++=bx x y 配方后为k x y +-=2)2(则b 、k 的值分别为………………（ ） （A ）0.5 （B ）0.1 （C ）—4.5 （D ）—4.1 【答案】C2．（甘肃兰州） 二次函数2365y x x =--+的图象的顶点坐标是 （ ） A ．（－1，8） B ．（1，8）C ．（－1，2）D ．（1，－4）【答案】A3．（甘肃兰州） 抛物线c bx x y ++=2图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为322--=x x y ，则b 、c 的值为 （ ）A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= －2，c=－1 D. b= －3， c=2【答案】B4．（甘肃兰州） 抛物线c bx ax y ++=2图象如图所示，则一次函数24b ac bx y +--=与反比例函数 a b c y x++=在同一坐标系内的图象大致为 （ ）第15题图 【答案】D5．（江苏盐城）给出下列四个函数：①x y -=；②x y =；③xy 1=；④2x y =（0<x ）时，y 随x 的增大而减小的函数有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C6．（浙江金华） 已知抛物线c bx ax y ++=2的开口向下,顶点坐标为（2，－3） ,那么该抛物线有 （ ） A. 最小值 －3 B. 最大值－3 C. 最小值2 D. 最大值2【答案】Bx x xxx7．（山东济南）在平面直角坐标系中，抛物线21y x =-与x 轴的交点的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 【答案】B 8．（ 浙江衢州）下列四个函数图象中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大的是（ ）【答案】C9.（福建三明）抛物线772--=x kx y 的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是 （ ）A ．47-≥k B ．47-≥k 且0≠k C ．47->k D ．47->k 且0≠k 【答案】B10．（河北）如图5，已知抛物线c bx x y ++=2的对称轴为2=x ，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为（0，3），则点B 的坐标为 （ ）A ．（2，3）B ．（3，2）C ．（3，3）D ．（4，3） 【答案】D11．（山东莱芜）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则一次函数a bx y +=的 图象不经过 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D12．（贵州）函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是( )xyO OxyA图5x = 2BOy x11 Oyx11 C ． O y x11 Oyx11【答案】C.13．（贵州）把抛物线y =x 2+bx +c 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y =x 2－3x ＋5，则（ ）A ．b =3，c =7B ．b =6，c =3C ．b =-9，c =-5D ．b =-9，c =21 【答案】A.14．（湖北荆州）若把函数y=x 的图象用E （x ，x ）记，函数y=2x+1的图象用E （x ，2x+1）记，……则E （x ，122+-x x ）可以由E （x ，2x ）怎样平移得到？A ．向上平移１个单位B ．向下平移１个单位C ．向左平移１个单位D ．向右平移１个单位 【答案】D15．（北京） 将二次函数y ＝x 2－2x ＋3，化为y ＝(x －h )2＋k 的形式，结果为（ ）A ．y ＝(x ＋1)2＋4B ．y ＝(x －1)2＋4C ．y ＝(x ＋1)2＋2D ． y ＝(x －1)2＋2 【答案】D16．（山东泰安）下列函数：①3y x =-；②21y x =-；③()10y x x=-<；④223y x x =-++，其中y 的值随x 值增大而增大的函数有（ ）A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个 【答案】C 17．（江苏徐州）平面直角坐标系中，若平移二次函数y=(x －2009)(x －2010)+4的图象，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为A ．向上平移4个单位B ．向下平移4个单位C ．向左平移4个单位D ．向右平移4个单位 【答案】B18．（甘肃）向空中发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 米，且时间与高度的关系为y=ax 2+bx+c （a ≠0）．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ） A ．第8秒 B ．第10秒 C ．第12秒 D ．第15秒 【答案】B 二、填空题1．（湖南株洲）已知二次函数()()221y x a a =-+-（a 为常数），当a 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．下图分别是当1a =-，0a =，1a =，2a =时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y = .【答案】112x - 2．（浙江宁波） 如图，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线2112y x =-上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为 .【答案】)2,6(或)2,6(-(对一个得2分) 三、解答题1．（湖北省咸宁）已知二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴两交点的坐标分别为（m ，0），（3m -，0）（0m ≠）． （1）证明243c b =；（2）若该函数图象的对称轴为直线1x =，试求二次函数的最小值．【答案】（1）证明：依题意，m ，3m -是一元二次方程20x bx c +-=的两根． 根据一元二次方程根与系数的关系，得(3)m m b +-=-，(3)m m c ⨯-=-． ∴2b m =，23c m =． ∴224312c b m ==．（2）解：依题意，12b-=，∴2b =-． 由（1）得2233(2)344c b ==⨯-=．∴2223(1)4y x x x =--=--． ∴二次函数的最小值为4-．2．（云南楚雄）已知：如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于两点A (1，0)，B (3，0).与y 轴相交于点C （0，3）．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若点D（7,2m）是抛物线2y ax bx c=++上一点，请求出m的值，并求出此时△ABD的面积．143abc=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所【答案】解：（1）由题意可知9303a b ca b cc++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩解得以抛物线的函数关系式为243y x x=-+．（2）把D（7,2m）代人函数解析式243y x x=-+中，得2775()43224m=-⨯+=．所以155(31)244ABDS∆=⨯-⨯=．3．（黑龙江哈尔滨）体育课上，老师用绳子围成一个周长为30米的游戏场地，围成的场地是如图所示的矩形ABCD. 设边AB的长为x（单位：米），矩形ABCD的面积为S（单位：平方米）（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）若矩形ABCD的面积为50平方米，且AB<AD，请求出此时AB的长.【答案】解：（1）根据题意xxAD-=-=152230，xxxxS15)15(2+-=-=（2）当S=50时，50152=+-xx，整理得050152=+-xx解得10,521==xx当AB=5时，AD=10；当AB=10时，AD=5，ADAB<∴AB=5答：当矩形ABCD的面积为50平方米且ADAB<时，AB的长为5米31241234O1-2-1-2-xy4．（山东青岛）某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系可近似的看作一次函数：10500y x =-+． （1）设李明每月获得利润为w （元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ （2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）【答案】 解：（1）由题意，得：w = (x －20)·y =(x －20)·(10500x -+)21070010000x x =-+-352b x a=-=.答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．3分（2）由题意，得：210700100002000x x -+-=解这个方程得：x 1 = 30，x 2 = 40．答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元. 6分（3）法一：∵10a =-<0，∴抛物线开口向下.∴当30≤x ≤40时，w ≥2000．∵x ≤32，∴当30≤x ≤32时，w ≥2000． 设成本为P （元），由题意，得： 20(10500)P x =-+ 20010000x =-+ ∵200k =-<0， ∴P 随x 的增大而减小. ∴当x = 32时，P 最小＝3600.答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元． 10分法二：∵10a =-<0， ∴抛物线开口向下. ∴当30≤x ≤40时，w ≥2000．∵x ≤32，∴30≤x ≤32时，w ≥2000．∵10500y x =-+，100k =-<， ∴y 随x 的增大而减小. ∴当x = 32时，y 最小＝180.∵当进价一定时，销售量越小， 成本越小， ∴201803600⨯=（元）.。
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二次函数复习课重点 对本章知识的梳理和总结，及对研究方法的归纳 难点 对本章知识的梳理和总结，及对研究方法的归纳 教法、学法 引导、启发 自主学习、合作交流 课型新授课教学准备 小黑板 教学流程教师活动学生活动 二次备课 一、自主学习 1、知识回顾本章我们都学习了哪些内容？ 回忆2、出示学习目标对二次函数的定义、图像和性质、解析式、平移、与一元二次方程、实际问题的关系的总结和梳理. 明确目标出示自学提纲 ⑴二次函数的定义⑵二次函数的图像和性质 ⑶二次函数的解析式 ⑷抛物线的平移⑸二次函数与一元二次方程的关系 ⑹二次函数与实际问题阅读提纲， （1）~（6）4、组织学生自学指导学生阅读课本P28----57课文,并回答问题.学生自学得出结论组内交流，互助互教.二、自学反馈 汇报或检测一般地，形如y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数叫做x 的二次函数. 说明：(1)函数关系式必须是整式，任何一个二次函数都可以化成(0)2y =ax bx c a ++≠的形式，因此，把(0)2y =ax bx c a ++≠叫做二次函数的一般形式；(2)化简后二次函数中自变量的最高次数必须是2，因此二次项回答老师提出的问题的系数a （特别是用字母表示时）必须不为0.(3)一般情况下，二次函数中自变量的取值范围为全体实数，但在实际问题中，自变量x 有特殊的取值范围. （4）二次函数常见解析式：I 一般式：y=ax 2＋bx ＋c(a≠0)；（一般式通过配方可得顶点式a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=） II 顶点式：y=a(x －h)2＋k(a≠0)；III 交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a≠0)，这里x 1，x 2是抛物线与x 轴两个交点的横坐标．（5）二次函数的图像是一条抛物线（6）几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向 对称轴2ax y =当0>a 时 开口向上 当0<a 时 开口向下0=x （y 轴）k ax y +=2 0=x （y 轴） k ()2h x a y -=h x = h ()k h x a y +-=2h x =h kc bx ax y ++=2ab x 2-= ab ac a b 4422--，三、质疑精讲 1、学生质疑，师生共同解疑提出质疑，师生共同解决2、教师横向拓展和纵向挖掘 1、系数a ，b ，c 及Δ的几何意义①a 的符号决定抛物线的开口方向、大小；形状；最大值或最小值.0a >⇔开口向上⇔有最小值(最低点的纵坐标). 0a <⇔开口向下⇔最大值(最高点的纵坐标).a 越大，开口越小；a 越小，开口越大. （描点法可以证明）②a b 、决定抛物线对称轴0b =⇔对称轴是y 轴. a b 、同号⇔对称轴在y 轴的左侧 a b 、异号⇔对称轴在y 轴的右侧③c 的符号决定抛物线与y 轴交点的位置.聆听、思考、回答0c =⇔抛物线过原点0c >⇔抛物线与y 轴交于正半轴 0c <⇔抛物线与轴y 交于负半轴④Δ的符号决定抛物线与x 轴的交点个数.240b ac ->⇔抛物线与x 轴有两个交点 240b ac -=⇔抛物线与x 轴只有一个交点 240b ac -<⇔抛物线与x 轴没有交点⑤抛物线的特殊位置与系数的关系. 顶点在x 轴上 ⇔△＝0. 顶点在y 轴上 ⇔b ＝0. 顶点在原点 ⇔b ＝c ＝0. 抛物线经过原点 ⇔c ＝0.2、二次函数的对称轴与顶点坐标以及单调性（增减性）与最值 一般式：2y ax bx c =++(0)a b c a ≠、、是常数，且，其对称轴为直线2bx a=-，顶点坐标为24()24b ac b a a --， ⅰ.当0a >时，有最小值，且当2bx a=-时，244ac b y a-=最小值；当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a>-时，y 随x 的增大而增大.ⅱ.当0a <时，有最大值，且当2bx a=-时，244ac b y a-=最大值；当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a>-时，y 随x 的增大而减小顶点式：2()y a x h k =-+(0)a h k a ≠、、是常数，且，其对称轴为直线x h =，顶点坐标为()h k ，ⅰ.当0a >时，有最小值，且当x h =时，y k =最小值；当x h <时，y 随x 的增大而减小；当x h >时，y 随x 的增大而增大.ⅱ.当0a <时，有最大值，且当x h =时，y k =最大值； 当x h <时，y 随x 的增大而增大；当x h >时，y 随x 的增大而减小解析式的求法 I 待定系数法（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.（2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.II 数形结合 抛物线的平移基本口诀：上加下减，左加右减. 具体操作如下（其中0m >，0a ≠）二次函数与一元二次方程及一元二次不等式的关系.： （1）如图所示，当a ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向上，它与x 轴有两个交点（x 1，0），（x 2，0）. x ＝x 1，x ＝x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解. x ＜x 1，或x ＞x 2是不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集. x 1＜x ＜x 2，是不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集. （2）当a ＜0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向下，它与x 轴有两个交点（x 1，0），（x 2，0）. x ＝x 1，x ＝x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解. x 1＜x ＜x 2是不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集. x ＜x 1，或x ＞x 2是不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集.四、总结提高 1、出示精选习题 另附 根据所学内容解答习题2、总结归纳谈谈本节课的收获？3、作业：课堂必做：教材第56页4题选做：教材第56页5题家庭书后复习题数学练习册起航卷子板书设计二次函数复习课知识点梳理习题教后记。
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2.1 二次函数的图象和性质教学时间课题 2.1 二次函数的图象和性质课型新授课教学目标知识和能力1．使学生理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系.2．会确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.过程和方法让学生经历函数y=a(x－h)2＋k性质的探索过程，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质.情感态度价值观教学重点确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质教学难点正确理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x－h)2＋k的性质教学准备教师多媒体课件学生“五个一”课堂教学程序设计设计意图一、提出问题1．函数y=2x2＋1的图象与函数y=2x2的图象有什么关系?(函数y=2x2＋1的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移一个单位得到的)2．函数y=2(x－1)2的图象与函数y=2x2的．图象有什么关系?(函数y=2(x－1)2的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位得到的，见P10图26.2.3)3．函数y=2(x－1)2＋1图象与函数y=2(x－1)2图象有什么关系?函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质?二、试一试你能填写下表吗?y=2x2向右平移的图象1个单位y=2(x－1)2向上平移1个单位y=2(x－1)2＋1的图象开口方向上。
九年级数学上册 22.1 二次函数的图象和性质(第5课时)学案(新版)新人教版【教案】
22.1.3.3 二次函数y ＝a （x －h ）2+k 的图象与性质一、学习目标：1．会画二次函数的顶点式y ＝a (x －h)2＋k 的图象；2．掌握二次函数y ＝a (x －h)2＋k 的性质；3．会应用二次函数y ＝a (x －h)2＋k 的性质解题． 二、自主学习 模仿课本完成画出函数y ＝－12 (x ＋1)2－1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性．由图象归纳： 1．2．把抛物线y ＝－12 x 2向_______平移______个单位，再向_______平移_______个单位，就得到抛物线y ＝－12(x ＋1)2－1．x a (x-h)2．抛物线y＝a (x－h)2＋k与y＝ax2形状___________，位置________________．四、课堂练习2．y ＝6x 2＋3与y ＝6 (x －1)2＋10_____________相同，而____________不同．3．顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线y ＝12 x 2相同的解析式为（ ）A ．y ＝12 (x －2)2＋3B ．y ＝12 (x ＋2)2－3C ．y ＝12(x ＋2)2＋3D ．y ＝－12(x ＋2)2＋34．二次函数y ＝(x －1)2＋2的最小值为__________________．5．将抛物线y ＝5(x －1)2＋3先向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，得到抛物线的解析式为_______________________．6．若抛物线y ＝ax 2＋k 的顶点在直线y ＝－2上，且x ＝1时，y ＝－3，求a 、k 的值．7．若抛物线y ＝a (x －1)2＋k 上有一点A （3，5），则点A 关于对称轴对称点A ’的坐标为 __________________．8、（p37练习）说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：（1） y ＝2(x+3)2＋5 （2） y ＝-3 (x －1)2-2（3） y ＝4 (x －3)2＋7 （4）y ＝-5 (x+2)2-6五、目标检测2．抛物线y＝－3 (x＋4)2＋1中，当x＝_______时，y有最________值是________．3．足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化，这一过程可近似地用下列哪幅图表示（）A B C D4．将抛物线y＝2 (x＋1)2－3向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为________________________．5．一条抛物线的对称轴是x＝1，且与x轴有唯一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的解析式为____________________________．（任写一个）。
人教版数学九上《 二次函数的图像和性质》同课异构教案3 (vip专享)
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二次函数y=a(x－h)2的图像和性质教学目标知识与技能使学生能利用描点法画出二次函数y＝a(x+h)2的图象.过程与方法让学生经历二次函数y＝a(x+h)2性质探究的过程，理解函数y＝a(x+h)2的性质，理解二次函数y＝a(x+h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系.情感态度与价值观培养学生创造思维的能力和动手实践能力，突出辩证唯物主义观点.重点会用描点法画出二次函数y＝a(x+h)2的图象，理解其性质，理解它与y＝ax2的图象的关系.难点能够理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x+h)2的图象的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系.教法、学法引导、启发自主学习、合作交流课型新授课教学准备小黑板教学流程教师活动学生活动二次备课一、自主学习1、知识回顾在同一直角坐标系内，画出二次函数y＝－x2，y＝－x2－1的图象，并回答两条抛物线的位置关系、对称轴、开口方向和顶点坐标.回忆2、出示学习目标会用描点法画出二次函数y＝a(x+h)2的图象，理解其性质，理解它与y＝ax2的图象的关系.明确目标出示自学提纲⑴在同一直角坐标系中画出二次函数y＝－ (x －1)2，y＝－x2， y＝－ (x+1)2的图象⑵说出二次函数y＝－(x－1)2与y＝－ (x+1)2开口方向、对称轴、顶点坐标和最值.⑶二次函数y＝－ (x＋1)2、y＝－(x－1)2与二次函数y＝－x2的图象有什么联系？⑷你能由函数y＝－x2的性质，得到函数y＝－(x－1)2与y＝－ (x＋1)2的性质吗?⑸归纳二次函数y＝a(x+h)2的图象和性质. 阅读提纲，（1）~（7）4、组织学生自学指导学生阅读课本P33--35课文,并回答问题. 学生自学得出结论组内交流，互助互教.二、自学反馈汇报或检测函数y＝－ (x＋1)2与函数y＝－x2的图象开口方向相同，但顶点坐标和对称轴不同；函数y＝－ (x＋1)2的图象可以看作是将函数y＝－x2的图象向左平移1个单位得到的. 它的对称轴是直线x＝－1，顶点坐标是(－1，0).对于函数y＝－(x－1)2与y＝－ (x＋1)2当x 时，函数值y随x的增大而；当x 时，函数值y随x的增大而；当x＝时，函数取得值，最值为 . 回答老师提出的问题三、质疑精讲1、学生质疑，师生共同解疑提出质疑，师生共同解决2、教师横向拓展和纵向挖掘二次函数y＝a(x+h)2的图像可以由函数y＝ax2的图象左右平移得到：（左正右负）函数y＝a(x+h)2图象的性质开口方向:a＞0向上，a＜0向下.对称轴：直线x=-h顶点坐标：(-h,0)最值：a＞0最小值0，a＜0最大值0.增减性：a＞0时x＞-h上升x＜-h下降，a＜0时x＞-h下降x＜-h上升.聆听、思考、回答四、总结提高1、出示精选习题教材35页练习根据所学内容解答习题2、总结归纳谈谈本节课的收获？3、作业：课堂必做：教材第41页5题⑵选做：在同一直角坐标系中，函数y＝3（x＋2)2图象与函数y＝3x2的图象有何关系? 你能说出函数y＝3（x＋2)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?认真完成家庭同步轻松练习板书设计二次函数y=a(x－h)2的图像和性质二次函数y＝－ (x－1)2，练习y＝－x2， y＝－ (x+1)2的图象二次函数y＝－ (x－1)2，y＝－x2， y＝－ (x+1)2的性质。
人教版九年级上册数学二次函数的图像和性质 五课时教学设计(教案)
教学准备1. 教学目标1、知识与技能：使学生理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围。
2、过程与方法：复习旧知，通过实际问题的引入，经历二次函数概念的探索过程，提高学生解决问题的能力．3、情感、态度与价值观：通过观察、操作、交流归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，增强学好数学的愿望与信心．2. 教学重点/难点教学重点：二次函数概念的理解。
教学难点：由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围。
3. 教学用具4. 标签教学过程一、复习提问1.一元二次方程的一般形式是什么？2。
一次函数的定义是什么？【设计意图】复习这些问题是为了引入一元二次此函数做铺垫，帮助学生加深对函数定义的理解．强调k≠0的条件，以备与二次函数中的a进行比较。
二、引入新课电脑演示：拱桥、喷泉等与一元二次函数图像有关的图片引起学生对一元二次函数的好奇和兴趣。
探索问题1、用周长为20m的篱笆围成矩形场地，场地面积y(m²)与矩形一边长x(m)之间的关系是什么？由学生认真思考并与同桌交流，然后回答下面的问题1 设矩形靠墙的一边AB的长ｘｍ，矩形的面积yｍ2．能用含x的代数式来表示y吗？2 x的值可以任意取？有限定范围吗？3 我们发现y是x的函数，试写出这个函数的关系式探究问题2请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个变量y 与x 之间的关系：(1)圆的面积y ()与圆的半径x ( cm )y =πx2(2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月份利润逐月增长，这两个月利润的月平均增长率为x，3月份的利润为yy = 2(1+x)2教师提问：以上两个例子所列出的函数有声么特点，学生观察并讨论。
三、讲解新课引入二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c (a≠0，a, b, c为常数) 的函数叫做二次函数。
巩固对二次函数概念的理解：提问：1．上述概念中的a为什么不能是0？2. 对于二次函数y= ax2+bx+c中的b和c可否为0？若b和c各自为0或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样？你认为它们还是不是二次函数？思考：1. 由问题1和2你认为判断二次函数的关键是什么？判断一个函数是否是二次函数的关键是：看二次项的系数是否为0．思考：2. 二次函数的一般式y＝ax2+bx+c（a≠0）与一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有什么联系和区别？联系(1)等式一边都是ax2+bx+c且 a ≠0 (2)方程ax2+bx+c可以看成是函数y=ax2+bx+c中y=0时得到的.区别:前者是函数.后者是方程.等式另一边前者是y,后者是0四、例题分析例1: 关于x的函数是二次函数, 求m的值.解：由题意得：m2-m=2m+1≠0解得，m=2∴当m=2时，函数为二次函数例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；（3）菱形的两条对角线的和为650px，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．解：（1）由题意得：S=6a2(a>0)其中S是a的二次函数（2）由题意得：（x>0）其中y是x的二次函数（3）由题意得其中S是x的二次函数例3:下列函数中，哪些是二次函数？(1)y=3x-1( 不是) (2)y=3x2（是)(3)y=3x3+2x-2( 是) (4)y=2x2-2x+1( 是)(5)y=x-2+x ( 不是) (6)y=x2-x(1+x) ( 不是)例4. 已知二次函数y=x²+px+q,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次函数的解析式.四、当堂训练1、（1）正方形边长为x（cm），它的面积y（cm2）是多少？（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长增加x厘米，宽增加2x厘米,则面积增加到y平方厘米，试写出y与x的关系式．2.下列函数中,哪些是二次函数?解：是、不是、是、不是3:m取何值时，函数y= (m+1)xm2—2m-1+(m-3)x+m 是二次函数？解：根据题意得m2—2m-1=2 且m+1 ≠0∴m=34、是否任何情况下二次函数中的自变量的取值范围都是任意实数呢？例如：圆的面积y ()与圆的半径x（cm)的函数关系是y =πx2其中自变量x能取哪些值呢？5、要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，设连墙的一边为x,巨形的面积为y,试(1)写出y关与x的函数关系式.(2)当x=3时,距形的面积为多少?解：（1）y=x(20-2x)=-2x2+20x(0<x<10)(2)y=42m课堂小结现在我们学习过的函数有:一次函数y=kx+b (k ≠0),其中包括正比例函数y=kx(k≠0),反比例函函数(k≠0) ，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)。
人教版数学九年级上册2二次函数的图象和性质第5课时课件
2
2
1 (x2 12x 62 62 ) 21 2
配方，加上一次项系数 一半的平方，再减去一 次项系数一半的平方
1 (x 6)2 18 21
2
去括号，不要漏乘了括号前的系数
1 (x 6)2 3. 2
你能说出 y 1 (x 6)2 3 的对称轴及顶点坐标吗？
2
对称轴是直线 x=6，顶点坐标是(6，3).
2
2
确定顶点 (6，3)；
②作出抛物线 y 1 x2 ； 2
③将抛物线 y 1 x2 平移，使其顶点平移到 (6，3) 处. 2
如何画二次函数 y 1 x2 6x 21 的图象呢？ 2
2.列表法 先利用图象的对称性列表：
x
…3 4 5 6 7 8 9…
… 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 …
当x=6时，有最小值3.
O
5
10 x
请讨论二次函数y=-2x2-4x+1的图象和性质.
解：配方得：y 2x2 4x 1 2(x2 2x) 1
开口向下;
2(x2 2x 11) 1
对称轴为x=-1;
2(x 1)2 3
顶点坐标(-1，3)；
当 x<-1 时，y 随 x 的增大而增大；
当 x>-1 时，y 随 x 的增大而减小；
新知探究 知识点2
如何用配方法将二次函数的一般式 y=ax2+bx+c 化成顶 点式 y=a(x-h)2+k？
一提 二配 三去 四写
二次函数 y=ax2+bx+c 可以通过配方法化成 y=a(x-h)2+k 的情势，
即
因此，抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点坐标是：
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内容由一线名师原创，立意新，图片精，是非常强的一手资料。
教学时间课题23.1 二次函数（5）课型新授课
教学目标知识
和
能力
1．使学生理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系.
2．会确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
过程
和
方法
让学生经历函数y=a(x－h)2＋k性质的探索过程，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质.
教学重点确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y=a(x －h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质
教学难点正确理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x －h)2＋k的性质
课堂教学程序设计设计意图
一、提出问题
1．函数y=2x2＋1的图象与函数y=2x2的图象有什么关系?
(函数y=2x2＋1的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移一个单位得到的) 2．函数y=2(x－1)2的图象与函数y=2x2的．图象有什么关系?
(函数y=2(x－1)2的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位得到的，见P10图23.2.3)
3．函数y=2(x－1)2＋1图象与函数y=2(x－1)2图象有什么关系?函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质?
二、试一试
你能填写下表吗?
y=2x2向右平
移
的图象1个单位y=2(x－
1)2
向上平移
1个单位y=2(x－1)2＋1
的图象
开口方
向
向上
对称轴y轴
顶点(0，0)
问题2：从上表中，你能分别找到函数y=2(x－1)2＋1与函数y=2(x－1)2、y=2x2图象的关系吗?
问题3：你能发现函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质?。