北师大版八年级数学下册6.3三角形的中位线(共25页)
6.3 三角形的中位线北师大版 八年级 数学 下册
平行四边形 矩形 正方形
探究新知
（4）顺次连结梯形各边中点所 得的四边形是什么？
平行四边形
（5）顺次连结等腰梯形各边中点 所得的四边形是什么？
菱形
探究新知
思考: 顺次连接四边形各边 中点所得到的四边形一 定是平行四边形，但它 是否特殊的平行四边形 取决于什么呢？
平行四边形 菱形 矩形
平行四边形 菱形
求证:四边形EFGH是平行四边形.
F
D
G
C
分析:将四边形ABCD分割为三角形,利用三角形的中位线可转 化两组对边分别平行或一组对边平行且相等来证明.
探究新知
证明:连接AC. ∵E,F,G,H分别为各边的中点, ∴EF∥AC, EF 1 AC,
2 HG∥AC, HG 1 AC.
2
∴ EF∥HG, EF=HG. ∴四边形EFGH是平行四边形.
用符号语言表示
∵DE是△ABC的中位线，
E
∴DE∥BC, DE 1 BC.
2
B
A D C
探究新知
【定理的理解】 (1)从条件看，以后我们看到中点，尤其是两个或者两个以 上的中点时我们就要联想到三角形的中位线定理.
(2)从结论看，它既可以得到线段的位置关系（平行），又 可以得到线段的数量关系（倍分关系），大家以后在解决 相关问题时要两方面结合起来灵活应用.
导入新知
想一想： 已知:如图,A,B两地被池塘隔开,在没有任何测量工具的
情况下, 通过学习方法估测出了A,B两地之间的距离:先在A B外选一点C,然后步测出AC,BC的中点M,N,并测出MN的长, 由此他就知道了A,B间的距离.你能说出其中的道理吗?
A M
C
N
B
三角形的中位线-北师大版八年级数学下册课件
A H
E B F
D
G
C
证明:连接AC.
∵E,F,G,H分别为各边的中点,
∴EF∥AC, EF
1 2
AC .
HG∥AC, HG 1 AC.
2
∴ EF∥HG, EF=HG.
∴四边形EFGH是平行四边形.
A H
E B F
D
G
C
例.如图,在等边三角形 ABC 中,点
D,E 分别是边 BC,AC的中点,过点E作
∴△ADE≌△CFE(SAS).
D
∴AD=CF,∠ADE=∠F.
∴BD∥CF.
∵AD=BD,
B
∴BD=CF. ∴四边形ABCD是平行四边形.
(一组对边平等且相等的四边形是平行四边形)
∴DF∥BC,DF=BC.
∴DE∥BC, DE 1 DF 1 BC.
2
2
A EF C
三角形中位线性质的运用
利用定理“三角形的中位线平行于第三边,且等于第三 边的一半”,请你证明下面分割出的四个小三角形全等.
∠A=50° ，∠B=60°,则∠AED 等于（ ）. A
A.70° B.67.5° C. 65° D.60°
2.如图,在▱ABCD 中,AD =4,点 E,F 分别是 BD,CD的中点,则 EF
等于（ ） A
A. 2 B.3 C.4 D.5
3.如图,▱ABCD 的周长为 36,对角线 AC,BD 相交于
已知:如图,DE是△ABC的中位线.
A
求证:DE∥BC, DE 1 BC.
2
D
E
B
C
分析:要证明线段的倍分关系到,可将DE加倍后证明与 BC相等.从而转化为证明平行四边形的对边的关系,于 是可作辅助线,利用全等三角形来证明相应的边相等.
北师大版数学下册6.3三角形的中位线课件
F
D
C
1.如图1：在△ABC中，DE是中位线
（1）若∠ADE=60°，
A
则∠B=
60
度
（2）若BC=8cm，
D。 。E
则DE=
C
4
cm，
B 图1
2、填空题 （1）如图，E是平行四边形ABCD的AB边上的 中点，且AD=10cm，那么OE= 5 cm. （2）三角形的周长为18cm，面积为48cm2 ， 这个三角形的三条中位线围成三角形的周长 2 12cm 是 ，面积是 . A 9cm
22
E
H D
证明：如图，连接AC 、 BD
E
B
F
∵ E、F、G、H分别是AB、BC、CD、 DA的中点. G ∴ EF是△ABC的中位线、 GH是△ADC的中位线 C ∴ EF//AC、 HG//AC
（三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半）。
∴ EF//HG
同理得： EH//FG ∴四边形EFGH是平行四边形
学习是件很愉快的事:既学到了知 识,又长了见识;既让别人重新认 识,又得到他人的赏识.
北师版八年级下册
第六章 平行四边形
§6.3 三角形的中位线
1、平行四边形的性质是什么？
2、平行四边形的判定方法有几种？
平行四边形的性质与判定
A O B D
性 质
判 定
C
边 角
①两组对边分别平行 ①两组对边分别平行的四边形 ②两组对边分别相等 ②两组对边分别相等的四边形 ③一组对边平行且相等的四边形
（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
• 涉及多条线段中点的几何图形，往往出现 （或构造）三角形的中位线，利用三角形 中位线定理可以得到两条线段的位置关系 和数量关系，从而使问题解决
6.3+三角形的中位线+课件+++-2023-2024学年北师大版八年级数学下册
请思考：还有别的方法证明四边 A H
形EFGH是平行四边形吗？
D
E
方法二:连接AC、BD
G
B
F
C
方法总结：将四边形问题转化三角形问题解决。
应用定理—拓展提高
中点四边形的定义：顺次连接任意四边形各边中点 形成的新的四边形叫做中点四边形。 结论：中点四边形一定是平行四边形。
总结反思—课堂升华
1.三角形的中位线： 连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。 2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等 于第三边的一半。（位置关系，数量关系）
（4）图中有哪几个平行四边形？若△ABC的面积为20cm2，
则△DEF的面积= 5cm2 ;
三角形三条中位线围成的三角形周长是原三角形周长的
一半。
三角形三条中位线将三角形分成四个全等的三角形。
应用定理—拓展提高
2、如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H
分别是AB、BC、CD、DA的中点。 问：四边形EFGH是什么四边形？请说明理由。
且等于第三边的一半。B
C
探索新知—体验猜想
画一画，量一量
请同学们任意画一个三角形△ABC及它的中
位线DE，通过度量体验 DE//BC DE= 1 BC
是否正确。
2
A
D
E
B
C
探索新知—证明猜想
证明：三角形的中位线平行于第三边， 且等于第三边的一半。
已知：如图，DE是△ABC的中位线，
求证：（1）DE//BC
八年级下册第六章 平行四边形
6.3 三角形的中位线
教学目标
1、理解三角形中位线的定义，掌握三角形的中位线定理的证明及其应用。 2、经历三角形中位线定理探索的过程，获得猜想，并进一步验证猜想，发 展学生的猜想能力、推理能力和逻辑思维能力及几何语言表达能力。 3、利用剪纸拼接度量等活动，直观感悟三角形中位线定理及证明定理的辅 助线的作法，体会归纳、转化等数学思想方法。 4、在探索和证明的过程中，提高自主探究、合作交流的能力， 激发数学 学习兴趣。
初中数学 微拓展 北师大版八年级下册6.3三角形的中位线
图3 图 4三角形中位线定理的证明三角形的中位线定理除了教材（北师大版）上提供的证明方法，还有很多其他的证明方法，下面逐一介绍.三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半.如图，已知△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 两边中点.求证：DE //BC ，DE =21BC.方法一：做平行线构造全等三角形如图1,，过C 作CF //AB ，交DE 的延长线于F ， 易证△ADE ≌△CFE ，得到DE =EF ，AD =CF . 从而四边形BCFD 是平行四边形， 从而证明出DE //BC ，DE =21BC .方法二：做平行线构造平行四边形如图2，过点E 做GF //AB ，交BC 与点G ，过A 作AF //BC ，交GE 于点F ，则四边形ABGF 是平行四边形，从而得到AF =BG ，AB =GF ，易证△AEF ≌△CEG ，则BG =AF =GC ，FE =EG =AD =DB ，则四边形BGED 是平行四边形，从而证明出DE //BC ，DE =21BC .方法三：倍长中线构造平行四边形如图3，延长DE 至F ，使EF =DE ，连接CF 、DC 、AF ，则四边形ADCF 为平行四边形，易知四边形BCFD 为平行四边形，从而证明出DE //BC ，DE =21BC .图1 图2B C E D A y xO (0,a)(b,0)(c,0)图5-1 图5-2 图6图7 方法四：取中点截长线如图4，取BC 的中点G ，连接GE 并延长，使得FE =EG ，连接AF .易证△AEF ≌△CEG ，从而得到AF ∥GC ，AF =GC .所以AF ∥BG ，AF =BG ，易知四边形ABGF 和四边形DBFE 是平行四边形，从而证明出DE //BC ，DE =21BC .方法五:作垂线如图5-1，分别过点A ，B ，C 向DE 作垂线，垂足分别为F ，M ，N.易证△ADF ≌△BDM ，△AEF ≌△CEN ，从而MD =DF ，NE =EF ，则MN =2DE ，又由BM =AF =CN ，MB //NC ，得到四边形MBCN 为矩形，所以MN =BC ，从而证明出DE //BC ，DE =21BC . 如图5-2过点D 作DF ⊥BC 于F ，过点E 作EG ⊥BC 于G ，过A 作MN //BC ，分别与FD 、GE 的延长线交于M 、N.显而易见四边形MFGN 为矩形，于是MN =FG ,又可易证△MDA ≌△FDB ，△NEA ≌△GEC ，所以MD =DF =NE =EG ，AM =BF ，AN =CG 得到四边形DFGE 为矩形，FG =21BC .所以DE =FG .从而证明出DE //BC ，DE =21BC .方法六：面积法如图6：连接BE ，CD ，则CD 是△ABC 的中线，所以ABC BDC S S ∆∆=21，同理ABC BEC S S ∆∆=21，所以BEC BDC S S ∆∆=，故DE //BC (两三角形同底等高)，又因为DE 是△ABE 的中线，所以BEC ABE BDE S S S ∆∆∆==2121，故BC DE 21=（△BDE 和△BEC 等高）,从而证明出DE //BC ，DE =21BC . F N A B C D E M F N A B C D E MG方法七：建立平面直角坐标系如图7，建立平面直角坐标系，设A (0,a )，B (b ,0)，C (c ,0)则.2,2,2,2⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛a c E a b D 显然DE 平行于x 轴，即DE //BC .因为BC =c -a ，2-2a c DE = 所以BC DE 21=,从而证明出DE //BC ，DE =21BC . 证明三角形中位线定理的不同方法中有很多值得我们借鉴的地方:1.教材提供的证明是倍长中线做辅助线，本文方法一平行法做辅助线和本文方法五作垂直做辅助线，都能构造全等三角形，但它们都是利用了旋转变换，其本质思想一样.2.教材提供的证明中和方法三的倍长中线，方法四取中点截长线，是解决线段倍分问题的有效途径.3.方法七：建立平面直角坐标系是用代数方法解决几何问题，以后结合函数问题可以进一步探究.。
最新北师版八下数学6.3 三角形的中位线 课件
三、 达标训练
三、 达标训练
四、 反思感悟
三角形中位线定理的四个应用:(1)求线段的长度;(2)证明 线段相等或平行;(3)求角的度数;(4)证明线段的倍分关系.
二、 合作探究
例1如图,为了测量位于一水源旁的两点A,B的距离,在AB外选了一点 C,分别取AC,BC的中点 M,N,量得MN=120m,则A,B间的距离为( )
二、 合作探究
变式训练如图,在△ABC中,D,E,F分别是边AB,AC,BC的中点,四边形 DECF的周长为18,则AC+BC的长为 .
二、 合作探究
变式训练如图,在△ABC中,D,E,F分别是边AB,AC,BC的中点,四边形 DECF的周长为18,则AC+BC的长为 .
二、 合作探究
例2如图,△ABC中,点D,E分别是边BC, AC的中点,连接DE, AD,点F在 BA的延长线上,且AF= AB,连接 EF.求证:四边形ADEF是平行四边 形.
2.如图, AC为四边形ABCD的对角线,∠BAC=∠DCA= , AB=10, CD=15, M为AD的中点,N为BC的中点,连接MN,则 MN= .
三、 达标训练
3.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠BCD的平分线 交边AB点E, BF⊥CE于点F. ( 1 )求证:CF=EF; ( 2 )连接OF,若CD=9, AD=6,求OF的长.
4.如图,在△ABC中,BC=20,D,E分别是AB,AC的中点,则DE的长 度为( )
4.如图,在△ABC中,BC=20,D,E分别是AB,AC的中点,则DE的长 度为( )
二、 合作探究
例1如图,为了测量位于一水源旁的两点A,B的距离,在AB外选了一点 C,分别取AC,BC的中点 M,N,量得MN=120m,则A,B间的距离为( )
6.3三角形的中位线-北师大版八年级数学下册课件
连接三角形两边中点的线段，叫做的中位线.
∴△ADE≌△EFC.
三角形中位线定理 三角形的中位线平行于 ∵EF⊥DE,∴∠DEF =90°.
过三角形一边的中点，平行于另一边的直线必然平分第三边.
堂 第三边，且等于第三边的一半 . 利用三角形中位线定理解决问题.
记一记
求证：DE∥BC，DE= BC
这四个小三角形有什么关系？
如图，我们把连接△ABC两边AB、AC ∵AE = CE，∠AED =∠CEF,DE = FE, 中点的线 ∴四边形 DBCF 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.
三角形有三条中位线，它们把三角形分成四个小三角形.
新 段DE，叫做△ABC的中位线. 证明：延长 DE 到 F，使 FE＝ DE，连接 CF.
∵EF⊥DE,∴∠DEF =90°. 点O,点 E 是 CD 的中点,BD=12,则△DOE 的周长为（ ）
连接三角形两边中点的线段，叫做的中 连接三角形两边中点的线段，叫做的中位线.
在△ABC 中,已知 D,E分别为边 AB,AC 的中点,连接 DE,若∠A=50° ，∠B=60°,则∠AED 等于（ ）.
D
你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？你能通过剪拼的方式,将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？
∵EF⊥DE,∴∠DEF =90°.
B
F
A E C
教学过程
做一做
新
三角形有三条中位线，它们把三角 形分成四个小三角形.
知
A
新 将△ADE绕着点E顺时针旋转180°，
到△CEG的位置，我们就得到一个
6.3三角形的中位线-北师大版八年级数学下册课件(共15张PPT)
目录
content
01 学 习 目 标 02 课 堂 学 习 03 课 堂 小 结 04 当 堂 检 测
学习目标 1 经历探索三角形中位线定理的过程，发展合情推理能力。
2
证明三角形中位线定理，发展演绎推理能力；运用三角形中位线 定理解决简单问题
02
1. 如图1所示，在△ABC中，D、E分别是AB、CA的中点，并且 ∠ADE=70°，∠A=80°，则∠C= 30°. 2. 如图2所示，在△ABC中，D、E、F分别是BC、CA 、AB的中 点，△ABC的周长是18cm，则△DEF的周长是 9 cm.
3．如图3，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，
C．3
D．4
感谢聆听！
∠ABD＝20°，∠BDC＝70°，则∠NMP的度数为 25
.
【例1】如图4，点E、F、G、H分别为四边形ABCD的边AB、BC、CD、AD的中点， 试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
归纳与小结：1.在此四边形问题的解决中，依然运用了
思想，将四边形问题
成三角形问题，具体做法为连接
；
2.本例中点四边形EFG点四边形的形状都是
.
【例2】求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分. 已知：如图，△ABC的中，D、E分别是边AB、AC的中点，AF是BC边上的中线 求证： DE与AF互相平分
03
课堂小结
Life isn't about waiting for the storm to pass. it's about learning to dance
三．课堂小结
1.三角形中位线的定义：连接
最新北师版八年级数学下册 6.3 三角形的中位线
6．3 三角形的中位线1．掌握中位线的定义以及中位线定理；(重点)2．综合运用平行四边形的判定及中位线定理解决问题．(难点)一、情境导入如图所示，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC ，已知点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，量得EF ＝5米，他想把四边形BCFE 用篱笆围成一圈放养小鸡，你能求出需要篱笆的长度吗？二、合作探究探究点：三角形的中位线【类型一】 利用三角形中位线定理求线段的长如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AC 、BC 的中点，AF 平分∠CAB ，交DE 于点F .若DF ＝3，则AC 的长为( )A.32B ．3C ．6D ．9 解析：∵D 、E 分别为AC 、BC 的中点，∴DE ∥AB ，∴∠2＝∠3，又∵AF 平分∠CAB ，∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD ＝DF ＝3，∴AC ＝2AD ＝6.故选C.方法总结：本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质．解题的关键是熟记性质并熟练应用．【类型二】 利用三角形中位线定理求角如图，C 、D 分别为EA 、EB 的中点，∠E ＝30°，∠1＝110°，则∠2的度数为( )A ．80°B ．90°C ．100°D ．110°解析：∵C 、D 分别为EA 、EB 的中点，∴CD 是三角形EAB 的中位线，∴CD ∥AB ，∴∠2＝∠ECD .∵∠1＝110°，∠E ＝30°，∴∠ECD ＝80°，故选A.方法总结：中位线定理牵扯到平行线，所以利用中位线定理中的平行关系可以解决一些角度的计算问题．【类型三】 运用三角形的中位线性质进行证明如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，点N 为BC 的中点，AM 平分∠BAC ，CM⊥AM ，垂足为点M ，延长CM 交AB 于点D ，求MN 的长．解析：为证MN 为△BCD 的中位线，应根据三线合一，得到DM ＝MC ，即可解决问题． 解：∵AM 平分∠BAC ，CM ⊥AM ，∴AD ＝AC ＝3，DM ＝CM .∵BN ＝CN ，∴MN 为△BCD的中位线，∴MN ＝12(5－3)＝1. 方法总结：当已知三角形的一边的中点时，要注意分析问题中是否有隐含的中点．如已知一个三角形一边上的高又是这边所对的角平分线时，根据“三线合一”可知，这实际上是又告诉了我们一个中点．【类型四】 中位线定理的综合应用如图，E 为平行四边形ABCD 中DC 边的延长线上一点，且CE ＝DC ，连接AE ，分别交BC 、BD 于点F 、G ，连接AC 交BD 于O ，连接OF ，判断AB 与OF 的位置关系和大小关系，并证明你的结论．解析：本题可先证明△ABF ≌△ECF ，从而得出BF ＝CF ，这样就得出了OF 是△ABC的中位线，从而利用中位线定理即可得出线段OF 与线段AB 的关系．解：AB ＝2OF .证明如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，OA ＝OC .∴∠BAF ＝∠CEF ，∠ABF ＝∠ECF .∵CE ＝DC ，在平行四边形ABCD 中，CD ＝AB ，∴AB ＝CE .∴在△ABF 和△ECF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAF ＝∠CEF ，AB ＝CE ，∠ABF ＝∠BCE ，∴△ABF ≌△ECF (ASA)，∴BF ＝CF .∵OA ＝OC ，∴OF 是△ABC 的中位线，∴AB ＝2OF ，AB ∥OF .方法总结：本题综合的知识点比较多，解答本题的关键是判断出OF 是△ABC 的中位线．三、板书设计1．三角形的中位线连接三角形的两边中点的线段叫做三角形的中位线．2．三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．本节课，通过实际生活中的例子引出三角形的中位线，又从理论上进行了验证．在学习的过程中，体会到了三角形中位线定理的应用时机．对整个课堂的学习过程进行反思，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展，更好地进行知识建构，实现良性循环.。
2020北师大版八年级数学下册6.3三角形的中位线课件(共47张PPT)
【课堂小练】
真聪明！
返回
【课堂小练】
答错了！
返回
【课堂小练】
真聪明！
返回
【课堂小练】
错啦！仔细考虑一下
返回
【课堂小练】
真的太厉害了！
返回
【课堂小练】
错了！好好思考
返回
【课堂小练】
三角形各边的长分别为6 cm、8 cm 和 10 cm ， 求连接各边中点所成三角形的周长= 12 cm A
E
D、E分别为AB、AC的 中点 。 B
C
【新课探究】
做做想想
你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗?
A
连接每两边的中点,看看得到了什么
样的图形?
D·
·E
四个全等的三角形.
请你设法验证上面的结论, B 你敢应战吗?
· F
C
猜一猜,三角形中位线有什么性质?
【合作探究】
做做想想
A
1、画△ABC；
（7）顺次连结对角线垂直 的四边形各边中点所得的四 边形是什么？
（8）顺次连结对角线相等且 垂直的四边形各边中点所得 的四边形是什么？
菱形
【重要结论】
实际上，顺次连接四边形各边中点所得到的四边 形一定是平行四边形，但它是否特殊的平行四边形 取决于它的对角线是否垂直或者是否相等，与是否 互相平分无关.
行四边形
猜测： 顺次连接矩形各边中点的线段组成一个 菱形
【课堂小练】
（1） 顺次连结平行四边形各 边中点所得的四边形是什么？
平行四边形
（2）顺次连结菱形各边中点 所得的四边形是什么？
（3）顺次连结正方形各边中 点所得的四边形是什么？
矩形 正方形
【课堂小练】
北师大版八年级数学下册6.3三角形的中位线课件
已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、 CD、DA的中点.求证：四边形EFGH为平行四边形。
A
H
E
B
F
E，F是AB，BC的中点，你联想到什么？
要使EF成为一个三角形的中位线应怎样添加辅助线
D
证明：如图，连接AC
G
同∵理EFE得是F/：△/ A12GBAHC/的C/中12 A位C 线
求证：AE与DF互相平分.
证明:连接DE、EF，
A
因为AD=DB，BE=EC，
所以DE ∥AC 同理EF ∥AB。
D
F
所以四边形ADEF是平行四边形。
所以AE、DF互相平分。
你还有其他方法吗？
B
E
C
如图,在△ABC中, BC>AC,点D在BC边上,且DC=AC, ∠ACB的平分线CF交AD于F ,点E是AB的中点,连接EF,求 证:EF是△ABD的中位线.
其中的道理是: 连结A、B, ∵MN是△ABC的的中位线,∴AB=2MN.
练习：名校课堂107页，知识点1,2
例2.已知：在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对 角线BD的中点，E是DC的中点，F是AB的中 点．求证∠1＝∠2．
证明：因为P是对角线BD的中点，E是DC的中点， 所以PE=1BC;
方法二 延长DE到F,使EF=DE,连接FC、DC、AF
∵AE=EC ∴四边形ADCF是平行四边形 ∴ CF∥DA，CF=DA ∴CF∥BD，CF=BD ∴四边形DBCF是平行四边形 ∴ DF∥BC，DF=BC ∴又DDEE∥= B12 CD且F DE=12BC
三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.
C
GH//EF
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【拓展探究】顺次连接任意四边形ABCD的四条边的中 点E、F、G、H，所得的四边形EFGH会是特殊四边形 吗？
A E B F
H
D G C
证明：连接AC, ∵ AE=EB、CF=FB,
A E F
1 EF ∥ AC , EF AC 2
H
D G C
1 同理：GH ∥ AC , GH AC 2 B ∴EF∥HG，且EF=HG ∴四边形EFGH是平行四边形.
A D
F
G
E C
B
证明（面积法）：
连接CD、BE，作DG⊥BC于点G 作EH⊥BC 于点H， ∵点D、E为线段AB、AC的中点， ∴S△BCE=S△BCD=(1/2)S△ABC， S△CDE=(1/2)S△BCE ∴DE∥BC，DE=(1/2)BC
A D E
B
G
H C
证明（坐标法）：
y A D E C x
A
D E F
B
C
【概念辨析】
三角形的中位线与三角形的中线有什么区别与联系？
A D B E CB
A F
C
中位线的两个端点是两边的中点，而中线的两个端点 是一个顶点和对边的中点.
【动手探索】
你能通过剪拼的方式，将一个三角形拼成一个与 其面积相等的平行四边形吗？（要求只剪一刀）
A
D E F
B
C
【提出猜想】
已知： D 、 E 、 F 分别为△ ABC 三边的中点，你 能证明图中的四个小三角形全等吗？
A
D B F
E C
【图形再探】
(1)△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED (2) 四边形 ADFE 、四边形 BDEF 、 四边形CEDF均为平行四边形；
A D F E C
B
1 1 (3)S△DEF = S△ABC ,C△DEF = C△ABC 4 2
建立如图所示的坐标系， 设B (0,0）,C (c,0), A (a,b)，
∵D、E分别AB、AC的中 点，
a b ac b D( , )，E ( , ) 2 2 2 2
O （B ）
c 1 DE∥BC，DE= BC E至F, 使 EF=DE，连接CD、AF、CF ∵AE=EC ,∴DE=EF ∴四边形ADCF是平行四边形 ∴AD//FC，AD=FC 又D为AB中点， ∴DB//FC，DB=FC ∴四边形BCFD是平行四边形 ∴DE// BC 且DE=EF=1/2BC
A D E
D
E C
【定理的理解】
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三 边的一半.
(1)从条件看，以后我们看到中点，尤其是两个或者 两个以上的中点时我们就要联想到三角形的中位线 定理.
(2) 从 结 论 看，它既可以得到线段的位置关系 （平 行），又可以得到线段的数量关系（倍分关系），大 家以后在解决相关问题时要两方面结合起来灵活应用.
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【作业布置】
1.作业：P152 习题6.6 如何应用三角形的中位线定理解决问题？怎 样能更好地应用？
2. 课后探究 梯形中位线的定义：连接梯形两
腰中点的线段叫做梯形的中位线。 E
B A D F C
你能得到什么？
证明：过点C作AB的平行线 交DE的延长线于F ∵CF∥AB， ∴∠A=∠ECF 又AE=EC，∠AED=∠CEF ∴△ADE≌△CFE ∴ AD=FC，又DB=AD， ∴DB // FC，DB =FC， ∴四边形BCFD是平行四边形 ∴DE//BC且DE=EF=1/2BC
【应用新知】
己知：D、E分别为AB、AC的中点. (1)∵ D、E分别为AB、AC的中点. ∴ DE∥BC（根据 三角形中位线定理 ） (2)若BC =10cm，则DE = 5 ㎝. (3)若DE =6cm，则BC =12 cm. (4)若∠ADE=60°，则∠B= 60 度
A D E C
B
【应用新知】
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.
【证明猜想】
已知：在△ABC 中，DE是△ABC 的中位线,
1 求证：DE ∥ BC，且DE= BC ． 2
A E C
你能证明吗？
B
D
证明：如 图，延 长DE 到 F，使EF=DE ，连 接 CF.
∵DE=EF，∠1=∠2，AE=EC ∴△ADE ≌△CFE ∴AD=FC,∠A=∠ECF ∴AB∥FC，又∵AD=DB
F
B
C
如图，取BC的中点F，连接FE并延长， 使得EG=FE，连接AG. ∵ AE=EC, ∠AEG=∠CEF, EF=EG， ∴△AEG≌△CEF， ∴AG=FC，∠G=∠EFC，∴AG∥FC， AG=FC 又∵F为BC中点， ∴AG∥FB，AG=FB， ∴四边形ABFG是平行四边形， ∴AB∥GF，AB=GF 又∵D为AB中点，E为GF中点，∴DB∥ EF, DB= EF, ∴四边形DBFE是平行四边形， ∴DE∥BF，即DE∥BC，DE=BF=FC即 DE=1/2BC.
∴BD∥ CF且 BD =CF ∴四边形BCFD是平行四边形 B ∴DF∥BC，DF＝BC，即DE∥BC
1 1 又DE DF， DE BC 2 2
A D
1 E 2
F
C
【三角形中位线定理】
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边 的一半.
A
用符号语言表示
DE为△ABC中位线 1 DE ∥ BC，DE BC 2 B
`
三角形的中位线 八年级下 北京师范大学出版社
大竹杨家中学
北京师范大学出版社义务教育八年级数学下册第六章第三节
三角形的中位线
【动手探索】
你能将一个三角形分成四个全等的三角 形吗？
A
D
B
E F
C
【概念生成】
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
∵AD=BD ,AE=EC ∴ DE是△ABC的中位线 ∵DE是△ABC的中位线 ∴ AD=BD ,AE=EC