高中数学数列特殊解法
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对于一些基本的求数列的问题。一般采用比较浅的方法就可以得到、但是对于无法用基本原理解的数列就需要特殊解法 不动点法
如果数列
}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有
h ra q
pa a n n n ++=
+1（其中p 、q 、
r 、h 均为常数，且
r h a r qr ph -
≠≠≠1,0,），那么，可作特征方程
h rx q
px x ++=
. （1）当特征方程有两个相同的根λ（称作特征根）时，
若,1λ=a 则;N ,∈=n a n
λ
若λ≠1a ，则,N ,1∈+=
n b a n n λ其中.N ,)1(11∈--+-=n r p r n a b n λλ特别地，当存
在
,N 0∈n 使00=n b 时，无穷数列}{n a 不存在.
（2）当特征方程有两个相异的根1λ、2λ（称作特征根）时，则
11
2--=
n n n c c a λλ，,N ∈n
其中
).(,N ,)(211212111λλλλλ≠∈----=
-a n r p r p a a c n n 其中
例14 已知数列{}n a 满足112124
441
n n n a a a a +-=
=+，，求数列{}n a 的通项公式。
解：令212441x x x -=
+，得2
420240x x -+=，则1223x x ==，是函数2124()41
x f x x -=+的
两个不动点。因为
112124
2
24121242(41)13262
132124321243(41)92793341
n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ++---+--+--====----+---+。所以数列
23n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭
是以
112422343a a --==--为首项，以913
为公比的等比数列，故12132()39n n n a a --=-，则11313
2()19
n n a -=
+-。
评注：本题解题的关键是先求出函数2124()41x f x x -=+的不动点，即方程2124
41
x x x -=+的两
个根1223x x ==，，进而可推出
1122
13393n n n n a a a a ++--=⋅--，从而可知数列23n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭
为等比数
列，再求出数列23n n a a ⎧⎫
-⎨⎬-⎩⎭
的通项公式，最后求出数列{}n a 的通项公式。
例15 已知数列{}n a 满足1172
223
n n n a a a a +-=
=+，，求数列{}n a 的通项公式。
解：令7223x x x -=
+，得2
2420x x -+=，则1x =是函数31()47
x f x x -=+的不动点。 因为17255
112323
n n
n n n a a a a a +---=
-=++，所以 2111
()()3423
n n n a =
++。
n b ，使得所给递推关系式转化
113
22
n n b b +=
+形式，从而可知数列{3}n b -为等比数列，进而求出数列{3}n b -的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。 不动点法
例14 已知数列{}n a 满足112124
441
n n n a a a a +-=
=+，，求数列{}n a 的通项公式。
解：令212441x x x -=
+，得2
420240x x -+=，则1223x x ==，是函数2124()41
x f x x -=+的
两个不动点。因为
112124
2
24121242(41)13262
132124321243(41)927
93341n n n n n n n n
n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ++---+--+--====----+---+。所以数列23n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭
是以
112422343a a --==--为首项，以913
为公比的等比数列，故12132()39n n n a a --=-，则11313
2()19
n n a -=
+-。
评注：本题解题的关键是先求出函数2124()41x f x x -=+的不动点，即方程2124
41
x x x -=+的两
个根1223x x ==，，进而可推出
1122
13393n n n n a a a a ++--=⋅--，从而可知数列23n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭
为等比数
列，再求出数列23n n a a ⎧⎫
-⎨
⎬-⎩⎭
的通项公式，最后求出数列{}n a 的通项公式。 例15 已知数列{}n a 满足1172
223
n n n a a a a +-=
=+，，求数列{}n a 的通项公式。
解：令7223x x x -=
+，得2
2420x x -+=，则1x =是函数31()47
x f x x -=+的不动点。 因为17255
112323
n n
n n n a a a a a +---=
-=++，所以