【2019初三数学精品课程】[初三数学--实际问题与二次函数--班课PPT]

【解答】解：（1）设每件衬衫应降价 x 元， 依题意得：（40﹣x）（20+5x）=2400， 整理得：x2﹣36x+320=0， 解得：x1=16，x2=20， ∵为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存， ∴x 的值应为 20， 答：每件衬衫应降价 20 元．
（2）设每件衬衫降价 x 元时，商场所获得的利润为 y 元， 依题意得：y=（40﹣x）（20+5x）=﹣5x2+180x+800=﹣5（x﹣18）2+2420， ∴当 x=18 时，y 取最大，最大值为 2420． 答：每件衬衫降价 18 元时，商场所获得的利润最大为 2420 元．
例2．用总长为60米的篱笆围成矩形场地． （1）根据题意，填写表：
矩形一边长/米
5
10
15
20
矩形面积/m2
125
（2）设矩形一边长为x米，矩形面积为S平方米，当x是多少时，矩形场地的面积最大？并
求出矩形场地的最大面积；
（3）填空：当矩形的长为
米，宽为
米时，矩形场地的面积为216m2．
【解答】解：（1）若矩形一边长为10m，则另一边长为 ﹣10=20（m），此时矩形面积为：10×20=200（m2）， 若矩形一边长为15m，则另一边长为 ﹣15=15（m），此时矩形面积为：15×15=225（m2）， 若矩形一边长为20m，则另一边长为 ﹣20=10（m），此时矩形面积为：10×20=200（m2）， 完成表格如下：
【解答】解：（1）当1≤x＜50时， y=（200﹣2x）（x+40﹣30）=﹣2x2+180x+2000， 当50≤x≤90时， y=（200﹣2x）（90﹣30）=﹣120x+12000； （2）当1≤x＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=45， 当x=45时，y最大=﹣2×452+180×45+2000=6050， 当50≤x≤90时，y随x的增大而减小， 当x=50时，y最大=6000， 综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；
【解答】解：（1）根据题意得出： y=x（12﹣2x）=﹣2x 2+12x， （2）设垂直于墙的边长为xm， 则x（12﹣2x）=16， 解得x1=2，x2=4， 当x=2时，12﹣2x=8， 当x=4时，12﹣2x=4， 所以垂直于墙的边长为2米或4米；
（3）设垂直于墙的边长为ym， 则y（12﹣2y）=20， 整理得，﹣2y2+12y﹣20=0， △=144﹣4×（﹣2）×（﹣20）=﹣16＜0， ∴此方程无解， 所以不能够围成； （4）函数可化为：y=x（12﹣2x）=﹣2x 2+12x=﹣2（x﹣3） 2+18， 因此当x=3时，最大面积为18（米2）．
（1）二次函数与利润最大化问题 （2）二次函数与面积最大化问题 .
2. 利用二次函数优化构建坐标系解决实际问题。这类问题解题时往往需要根据题目的要求自己建立平面直角坐标系， 再利用二次函数的性质解题，主要类型有：
（1）二次函数与拱桥问题 （2）二次函数与投篮、喷泉类问题
【典题探究】
知识一：二次函数与利润最大化
例4．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取 适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出5件． （1）若商场平均每天要盈利2400元，每件衬衫应降价多少元？ （2）若该商场要每天盈利最大，每件衬衫应降价多少元？盈利最大是多少元？
例5．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米 （如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米． （1）若苗圃园的面积为72平方米，求x；
（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和 最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由．
例4．欢欢家想利用房屋侧面的一面墙，再砌三面墙，围成一个矩形猪圈（如图），一面墙的中间留出1米宽的进出门（门使用另 外的材料）．现备有足够砌11米长的围墙的材料，设猪圈与已有墙面垂直的墙的长度为x米，猪圈面积为y平方米． （1）写出y与x之间的函数关系式． （2）要使猪圈面积为16平方米，如何设计三面围墙的长度． （3）能否使猪圈面积为20平方米？说明理由． （4）你能求出猪圈面积的最大值吗？
（3）当1≤x＜50时，y=﹣2x2+180x+2000≥4800，解得20≤x≤70， 因此利润不低于4800元的天数是20≤x＜50，共30天； 当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000≥4800，解得x≤60， 因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天， 所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元．
【解答】解：（1）根据题意得：y=（x﹣40）t=（x﹣40）（﹣30x+2100）=﹣30x2+3300x﹣84000； （2）y=﹣30x2+3300x﹣84000=﹣30（x﹣55）2+6750， ∵a=﹣30＜0， ∴当x=55时，y取最大值，最大值为6750． ∴当每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润为6750元． （3）根据题意得：﹣30x2+3300x﹣84000≥6000， 解得：50≤x≤60． 答：为了使每星期利润不少于6000元，每件销售价x的取值范围为50≤x≤60．
【解答】解：（1）设一次函数的解析式为 y=kx+b，
依题意有：
，
解得：
，
∴y 与 x 的函数关系式为 y=﹣ x+160，（100≤x≤160）；
（2）依题意有：W=（x﹣80）（﹣ x+160）=﹣ （x﹣200）2+7200，
∵a=﹣ ＜0， ∴当 x＜200 时，y 随 x 的增大而增大， ∴当 x=160 时，W 有最大值，最大值为 6400 元， 答：当销售单价 x 定为每瓶 160 元时，销售利润最大，最大利润是 6400 元．
例1．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可 多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（ ） A．y=60（300+20x） B．y=（60﹣x）（300+20x） C．y=300（60﹣20x） D．y=（60﹣x）（300﹣20x）
知识二：二次函数与面积最大化
例1．用长为16m的木条围成一个矩形框架，设矩形面积为S（m2），则S的最大值为（ ）
A．8m2 B．16m2
C．12m2
D．32m2
【解答】解：设矩形的一边长是x cm，则邻边的长是（8x）cm． 则矩形的面积S=x（8﹣x），即S=﹣x2+8x， 当x=4，S有最大值是：16． 故选B．
例3．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长25m）另外三边用木栏围成，木栏长40m． （1）若养鸡场面积为200m2，求鸡场靠墙的一边长； （2）养鸡场面积能达到250m2吗？如果能，请给出设计方案；如果不能，请说明理由； （3）何时才能取到面积的最大值．
【解答】解：（1）设宽为x米，长（40﹣2x）米， 根据题意得： x（40﹣2x）=200， ﹣2x2+40x﹣200=0， 解得：x1=x2=10， 则鸡场靠墙的一边长为：40﹣2x=20． 答：鸡场靠墙的一边长20米．
例3、经市场调查，某种商品在第x天的售价与销量的相关信息如下表；已知该商品的进价为每件30元，设销售该商 品每天的利润为y元. （1）求出y与x的函数关系式 （2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？ （3）该商品销售过程中，共有多少天日销售利润不低于4800元？直接写出答案．
【解答】解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件， 根据题意得，y=（60﹣x）（300+20x），故选：B．
例2．某超市试销一种成本价为80元/瓶的白酒，规定试销期间单价不低于100元/瓶且不高于160元/瓶．经试销发现， 销售量y（瓶）与销售单价x（元/瓶）符合一次函数关系，且x=120时，y=100；x=130时，y=95． （1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当销售单价x定为每瓶多少元时，销售利润（w）最大？最大利润是多少？
例2．某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽AB=1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，在图中直角坐标系内， 求涵洞所在抛物线的函数表达式．
【解答】解：设此抛物线所对应的函数表达式为：y=ax2， ∵AB=1.6m，涵洞顶点 O 到水面的距离为 2.4m， ∴A 点坐标应该是（﹣0.8，﹣2.4）， 把 A 点代入得：﹣2.4=（﹣0.8）2×a， 解得：a=﹣ ， 故涵洞所在抛物线的函数表达式 y=﹣ x2．
矩形一边长/m
5
10
15
20
矩形面5
200
（2）矩形场地的周长为 60m，一边长为 xm，则另一边长为（ ﹣x）m，
∴矩形场地的面积 S=x（30﹣x）=﹣x2+30x=﹣（x﹣15）2+225， 当 x=15 时，S 取得最大值，最大值为 225m2， 答：当 x 是 15m 时，矩形场地的面积 S 最大，最大面积为 225m2； （3）根据题意，得：﹣x2+30x=216， 解得：x=12 或 x=18， ∴当矩形的长为 18m，宽为 12m 时，矩形场地的面积为 216m2， 故答案为：18，12．
例5. 某网店以每件40元的价格购进一款童装．由试销知，每星期的销售量t（件）与每件的销售价x（元） 之间的函数关系式为t=﹣30x+2100． （1）求每星期销售这款童装的毛利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数表达式； （2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？ （3）为了使每星期利润不少于6000元，求每件销售价x的取值范围．