2000年全国初中数学竞赛历年竞赛试题及参考答案

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2000年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)

2000年全国初中数学联合竞赛试卷第一试1、计算56145614--+的值是【】（A ）1 （B ）5 （C ）25 （D ）52、若x y x y x y y x 156523-=-=，则222232654yxy x y xy x +-+-的值是【】（A ）92 （B ）94 （C ）5 （D ）63、设a ，b 是不相等的任意正数，又x ＝b 2＋1a ， y ＝a 2＋1b ，则x ，y 这两个数一定【】（A ）都不大于2 （B ）都不小于2 （C ）至少有1个大于2 （D ）至少有1个小于24、正整数n 小于100，并满足等式n n n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡632，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，这样的正整数n 有【】（A ）2个（B ）3个（C ）12个（D ）16个5、已知一个梯形的四条边的长分别为1、2、3、4，则此梯形的面积等于【】（A ）4 （B ）6 （C ）82 （D ）10326、已知ABCD 是一个半径为R 的圆的内接四边形，AB ＝12，CD ＝6，分别延长AB 和DC ，它们相交于P 且BP ＝8，∠APD ＝60°，则R 等于【】（A ）10 （B ）221 （C ）122 （D ）147、 a ，b 是正数，并且抛物线y ＝x 2＋ax ＋2b 和y ＝x 2＋2bx ＋a 都与x 轴有公共点，则a 2＋b 2的最小值是________。

8、某果品店组合销售水果，甲种搭配：2千克A 水果，4千克B 水果；乙种搭配：3千克A 水果，8千克B 水果，1千克C 水果；丙种搭配：2千克A 水果，6千克B 水果，1千克C 水果。

A 水果价格每千克2元，B 水果价格每千克1.2元，C 水果价格每千克10元。

某天该店销售三种搭配共得441.2元，其中A 水果的销售额为116元，则C 水果的销售额为________元9、实数x ，y 满足x ≥y ≥1和2x 2－xy －5x ＋y ＋4＝0，则x ＋y ＝________10、设正三角形ABC 的边长为2，M 是AB 边上的中点，P 是边BC 上的任意一点，P A ＋PM 的最大值和最小值分别记为s 和t ，则s 2－t 2＝________H G A B C D E F 第二试一、设p 是实数，二次函数y ＝x 2－2px －p 的图象与x 轴有两个不同的交点A (x 1，0)， B (x 2，0)（1）求证：2px 1＋x 22＋3p ＞0；（2）若A ，B 间的距离不超过│2p －3│，求p 的最大值。

详解——2000年全国初中数学联合竞赛试卷

2000年全国初中数学联赛试题解答第一试第一试试题答案一、1、（C ）；2、（A ）；3、（C ）；4、（D ）；5、（D ）；6、（B ）二、1、20；2、150；3、4；4、详解一、1．(Ｃ)∵ 2)53(5614+=+,,∴ 原式2．(Ａ).由已知条件知x ≠0，y ≠0 . 把已知等式变形并利用等比消去y ，得则 x =3y .故3．(Ｃ)设a =1,b =3，得x =10,y =32. 从而否定(A )及(B ) . 设a =3,b =4，得x =317，y =410. 于是否定(D )，故只有(C )正确. 4．(Ｄ)由，以及若x 不是整数，则[x ]＜x 知，2|n , 3|n , 6|n ，即n 是6的倍数. 因此，小于100的这样的正整数有=16个.5．(Ｄ)以1、2、3、4为边作梯形只有以下六种可能：(1)以1、2为底；(2)以1、3为底；(3)以1、4为底；(4)以2、3为底；(5)以2、4为底；(6)以3、4为底.易知只有(3)才能构成梯形，其他都不能构成梯形.如图，设在梯形A B C D 中，A B =3，B C =4，C D =2，D A =1，过A 作A H ⊥B C 于H ，作A E ∥D C 交B C 于E ，则△A B E 是等腰三角形. 由得则6．(Ｂ)由切割线定理得P B·P A=P C·P D，有8×20=P C(P C+6).解得P C=10 .如图，连结A C.在△P A C中，由P A=2P C,∠A P C=60°，得∠P C A=90°.从而A D是圆的直径.由勾股定理，得A D2=A C2+C D2=(P A2-P C2)+C D2=202-102+62=336∴.二、1．20由题设知a2-8b≥0，4b2-4a≥0 .则a4≥64b2≥64a，∴a≥4，b2≥a≥4 .∴a2+b2≥20 .又当a=4,b=2时，抛物线y=x2+a x+2b和y=x2+2b x+a都与x轴有公共点，则a2+b2的最小值是20 .2．150 .设该天卖出甲种、乙种、丙种水果分别为x、y、z套.依题意有∴(2)-(1)×11，消去x，得31(y+z)=465，故y+z=15 .所以，共卖出C水果15千克，C水果的销售额为15×20=150(元). 3．4 .由题设等式知2x2-5x+4=y(x-1)≤x(x-1)，有x2-4x+4≤0，即(x-2)2≤0 .从而，x=2 .代入已知等式得y=2,故x+y=4 .4．4.先求s .∵ P A ≤A C ，P M ≤C M ， ∴ P A +P M ≤C A +C M =2+ .当点P 为顶点C 时，等号成立 .则 s =2+ .再求t.如图，作正△A ′B C .设M ′为A ′B的中点，则△P B M ≌△P B M ′. ∴ P M =P M ′.P A +P M =P A +P M ′≥A M ′.连结C M ′，则∠A C M ′=90° .∴ . ∴ t = .故.第二试（4月2日上午10:30----11:30）一、（本题满分20分） (1)由题设知△=(-2p )2-4(-p )=4p 2+4p ＞0，∴＝2p x 1+2p x 2+p +3p =2p (x 1+x 2)+4p=4p 2+4p >0.(2)∵ A B =|x 2-x 1|，∴P P 442+≤|32|-P . 有 4p 2+4p ≤4p 2-12p +9 . ∴ p ≤.又当p =时满足题意，故p 的最大值为.二、如图，在正方形A B C D中，过E、F、G、H分别作对边的垂线，得矩形P Q R T .设A B C D的边长为a，P Q=b，Q R=c，由勾股定理得由S△A E H =S△T H E ,S△B E F =S△P E F ,S△C F G =S△Q F G ,S△D G H=S△R G H，得S正方形A B C D+S矩形P Q R T=2S四边形E F G H.则a2+b c=2.5 .,有5a2=44,a2=.即S正方形A B C D=.三、原方程可化为(k-4)(k-2)x2+(2k2-6k-4)x+(k-2)(k+2)=0，［(k-4)x+(k-2)］［(k-2)x+(k+2)］=0，∵(k-4)(k-2)≠0，∴,.∴,.(x1≠-1,x2≠-1)消去k,得x1x2+3x1+2=0，∴x1(x2+3)=-2 .由于x1、x2都是整数，∴∴10.经检验，k=6,3,.满足题意.∴k=6,3,3。

全国初中数学竞赛试题集锦(附解答)

全国初中数学竞赛试卷一、选择题：（每小题6分，共30分）1、已知a 、b 、c 都是实数，并且c b a >>，那么下列式子中正确的是（）（Ａ）bc ab >（Ｂ）c b b a +>+（Ｃ）c b b a ->-（Ｄ）cbc a > 2、如果方程()0012>=++p px x 的两根之差是1，那么p 的值为（）（Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）3（Ｄ）53、在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD=4，CE=6，那么△ABC 的面积等于（）（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）18 4、已知0≠abc ，并且p bac a c b c b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定通过第（）象限（Ａ）一、二（Ｂ）二、三（Ｃ）三、四（Ｄ）一、四 5、如果不等式组⎩⎨⎧<-≥-0809b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对（a 、b ）共有（）（Ａ）17个（Ｂ）64个（Ｃ）72个（Ｄ）81个二、填空题：（每小题6分，共30分）6、在矩形ABCD 中，已知两邻边AD=12，AB=5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足，那么PE+PF=___________。

7、已知直线32+-=x y 与抛物线2x y =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB 的面积等于___________。

8、已知圆环内直径为a cm ，外直径为b cm ，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm 。

9、已知方程()015132832222=+-+--a a x a a x a （其中a 是非负整数），至少有一个整数根，那么a =___________。

10、B 船在A 船的西偏北450处，两船相距210km ，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离是___________km 。

2000年全国初中数学联合竞赛试题及解答

a2 xy 2 5 ．
这样由①，②得： x2 y 2 10 a 2 9 a 2 16 a 2 ，
2
③
5
解③式得： a 2
44 ． 5
即正方形 ABCD 面积为
44 ． 5
三．（本题满分 25 分）设关于 x 的二次方程 (k 2 6k 8) x2 (2k 2 6k 4) x k 2 4 的两根都是整数．求满足条件的所有实数 k 的值. 解原一元二次方程化为： k 2 6 x 8 x2 2k 2 6k 4 x k 2 4 0 ．得到 x1 由 x1 知：
2000 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.
k 2 k 2 ， x2 ． k 2 k 4
第一试
一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分） 1. 计算： 14 6 5 14 6 5 的值是（ A．1. 【答】C. 原式 3 5 3 5 2 5 ． 2．若
x y 6 x 15 y 4 x 2 5 xy 6 y 2 ，则 2 的值是（ 3y 2x 5 y x x 2 xy 3 y 2
4 2 ． 3
1 4 2 10 2 ． 1 4 2 3 3
6．已知 ABCD 是一个半径为 R 的圆内接四边形，AB＝12，CD＝6，分别延长 AB 和 DC，它们相交于 P，且 BP＝8，∠APD＝60°．则 R 等于（ A．10. B． 2 21 . C． 12 2 . ） D． 14.

2000年湖北初中数学竞赛选拔赛试题1

2000年湖北省初中数学竞赛选拔赛试题 (1)2002年湖北省数学竞赛试题 (3)湖北省首届创新杯数学邀请赛初中一年级第一试试题 (6)湖北省首届创新杯数学邀请塞初中一年级第二试试题 (8)湖北省首届创新杯数学邀请赛初中二年级第一试试题 (10)湖北省首届创新杯数学邀请赛初中二年级第二试试题 (13)第二届“创新杯”数学邀请赛（初赛）初一试题 (15)第二届“创新杯”数学邀请赛（初赛）初二试题 (18)第二届“创新杯”数学邀请赛（复赛）初二试题 (20)2004年全国初中数学竞赛预选赛试题(湖北赛区) (22)2000年湖北省初中数学竞赛选拔赛试题(总分120分时间：120分钟)一、选择题(本题共6道小题，每小题4分，满分24分．每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在题后的括号里，)1．已知实数a ，b ，c 在数轴上的对应位置如图所示：则|c-1|+|a-c|+|a-b|的值为( )．(A)b-1 (B)2a-b-l (C)l+2a-b-2c (D)1-2c+b2．某商品降价20％后欲恢复原价，则提价的百分数为( )．(A)18％ (B)20％ (C)25％ (D)30％3，若x-x 1＝1，则33x1-x 的值为( )． (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 4．如图，在Rt △ ABC 中，∠C ＝90°，∠CAB ＝30°，AD 平分∠CAB ，则CD AC -CD AB 的值为( )． (A)3 (B)33 (C)3-3 (D)6-23 5．方程x 2+3x-7-3x x 32 ＝9的所有实数根之积为( )． (A)60 (B)-60 (C)10 (D)-106．在等腰△ ABC(AB ＝AC ≠BC)所在的平面上有一点P ，使得△ PAB 、△ PBC 、△ PAC 都是等腰三角形，则满足此条件的点有( )．(A)1个 (B)3个 (C)6个 (D)7个二、填空题(本题共8道小题，每小题5分，满分40分)7．设x ＝121-2+ ，y ＝1-212+ 则x 2-xy+y 2＝ · 8．若关于x 的方程：-12-x a 2x =+的解为正数，则a 的取值范围是 9．如图，由11个边长为43的正三角形按下列方式排列：它们各自有一条边依次在同一条直线上，而且沿着这条直线，每个三角形底边的中点恰为下一个三角形的顶点，则由这11个三角形所盖住的平面区域的面积是．10．设直线kx+(k+1)y ＝l(k 是自然数)与两坐标轴所围成的图形的面积为S k (k ＝l ，2，3，…，2000)，则S 1+S 2+S 3+…+S 2000＝11．在直角坐标系中，有四个点A(-8，3)、B(-4，5)、C(0，n)、D(m ，0)，当四边形ABCD的周长最短时，nm 的值为． 12．钟表在12点钟时三针重合，经过x 分后，秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分，则x 的值为．13．在l ，2，3，…，1 999这1 999个自然数中，数码0的个数共有个．14，如图，ABCD-A'B'C'D'为长方体，AA ’＝50cm ，AB ＝40 cm ，AD ＝30 cm ，把上、下底面都等分成3× 4个小正方形，其边长均为10cm ，得到点E 、F 、C 、H 和E'、F'、G'、H'．假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面正点沿表面爬行至上底面G ’点至少要花时间秒．三、解答题(本题共4道小题，每小题14分，满分56分．)15．已知M 、N 为∠ABC 的边BC 上的两点，且满足BM ＝MN ＝NC ．一条平行于AC 的直线分别交AB 、AM 和AN 的延长线于点D 、E 和F ．求证：EF=3DE16．已知关于x 的方程4x 2-8nx-3n ＝2和x 2-(n+3)x-2n 2+2＝0，问是否存在这样的值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根?若存在，求出这样的值；若不存在，请说明理由．17．如图，已知等边△ ABC 内接于圆，在劣弧AB 上取异于A 、B 的点M ．设直线AC 与BM 相交于点K ，直线CB 与AM 相交于点N ．证明：线段AK 和BN 的乘积与M 点的选择无关，18，某工程车从仓库装上水泥电线杆运送到离仓库恰为1 000米处的公路边栽立，要求沿公路的一边向前每隔100米栽立电线杆一根．已知工程车每次至多只能运送电线杆4根，要求完成运送18根的任务，并返回仓库．若工程车行驶每千米耗油m 升(在这里耗油量的多少只考虑与行驶的路程有关，其它因素不计)，每升汽油n 元，求完成此项任务最低的耗油费用．2000年湖北省初中数学竞赛选拔赛试题参考答案一、1．D 2．C 3．B 4．B 5．A 6．C三、1 5．提示：过M 、N 分别作AC 的平行线交AB 于G 、H 两点，16．当n=0时，第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根．17．提示：证明线段AK 和BN 的乘积与点M 的选择无关，可转化为证明AK·BN=常量(即AB 2)．18．提示：运送次数越少，所行驶的路程越短，所需油费越少，因此，1 8根电线杆运送5次行驶路程较短．这5次有两种运送方法：(1)四次各4根，一次2根；(2)三次各4根，二次各3根．先送2根所行驶路程最短，最短总行程为：(1 0 0 0+1 0 0)×2+(1 1 00+4 00)×2+(1 5 00+4 00)×2+(1 9 00+400)×2+(2 3 00+4 00)×2=1 9 0 0 0(米)．所用最少油费为1 9 000·m·n÷1 000=1 9 mn 元．2002年湖北省数学竞赛试题（2002年1月3日上午9：00----11：00）一、选择题：（本题共6小题，每小题5分，共30分）1、已知是正数，且a a 2-=1，则224aa -等于（）（A ）5 （B ）3 （C ）1 （D ）－32、如果某商品进价降低5%而售价不变，利润可由目前的a%增加到（a+15%），则a 的值为（）（A ）185 （B ）175 （C ）155 （D ）1453、在直角坐标系中，已知A （1，1），在x 轴上确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有（）个（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个4、为了调查学生的身体状况，对某校毕业生进行了体检，在前50名学生中有49名是合格的，以后每8名中有7名是合格的，且该校毕业生体检合格率在90%以上，则该校毕业生的人数最多有（）（A ）180 （B ）200 （C ）210 （D ）2255、如图，圆的半径等于正三角形ABC 的高，此圆在沿底边AB 滚动，切点为T ，圆交AC 、BC 于M 、N ，则对于所有可能的圆的位置而言，MTN 弧的度数（）（A ）从30°到60°变动（B ）从60°到90°变动（C ）保持30°不变（D ）保持60°不变6、用四条线段a=14，b=13，c=9，d=7作为四条边构成一个梯形，则在所构成的梯形中，中位线的长的最好大值是（）（A ）13．5 （B ）11.5 （C ）11 （D ）10.5二、填空题：（本题共6小题，每小题5分，共30分）7、已知2,322-=+=+y xy xy x ,则=--2232y xy x8、如图，在△ABC 中AB=5，AC=13，边BC 上的中线AD=6，则BC 的长是9、与铁路平行的一条公路上有一行人与骑车人同时向南行进，行人的速度是每小时3。

2000年全国初中数学竞赛历年竞赛试题及参考答案

2000年全国初中数学竞赛试题解答一、选择题（只有一个结论正确）1、设的平均数为M，的平均数为N，N，的平均数为P，若，则M与P的大小关系是（）。

（A）M＝P；（B）M＞P；（C）M＜P；（D）不确定。

答：（B）。

∵M＝，N＝，P＝，M－P＝，∵，∴＞，即M－P＞0，即M＞P。

2、某人骑车沿直线旅行，先前进了千米，休息了一段时间，又原路返回千米（），再前进千米，则此人离起点的距离S与时间t的关系示意图是（）。

答：（C）。

因为图（A）中没有反映休息所消耗的时间；图（B）虽表明折返后S的变化，但没有表示消耗的时间；图（D）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C）正确地表述了题意。

3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（）。

（A）甲比乙大5岁；（B）甲比乙大10岁；（C）乙比甲大10岁；（D）乙比甲大5岁。

答：（A）。

由题意知3×（甲－乙）＝25－10，∴甲－乙＝5。

4、一个一次函数图象与直线平行，与轴、轴的交点分别为A、B，并且过点（－1，－25），则在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有（）。

（A）4个；（B）5个；（C）6个；（D）7个。

答：（B）。

在直线AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是＝－1＋4N，＝－25＋5N，（N是整数）．在线段AB上这样的点应满足－1＋4N＞0，且－25＋5N≤0，∴≤N≤5，即N＝1，2，3，4，5。

5、设分别是△ABC的三边的长，且，则它的内角∠A、∠B的关系是（）。

（A）∠B＞2∠A；（B）∠B＝2∠A；（C）∠B＜2∠A；（D）不确定。

答：（B）。

由得，延长CB至D，使BD＝AB，于是CD＝，在△ABC与△DAC中，∠C为公共角，且BC:AC＝AC:DC，∴△ABC∽△DAC，∠BAC＝∠D，∵∠BAD＝∠D，∴∠ABC＝∠D＋∠BAD＝2∠D＝2∠BAC。

6、已知△ABC的三边长分别为，面积为S，△A1B1C1的三边长分别为，面积为S1，且，则S与S1的大小关系一定是（）。

全国初中数学竞赛历年竞赛试题及参考答案

初中数学竞赛试题答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是准确的. 请将准确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设1a =，则代数式32312612a a a +--的值为( ).（A ）24 （B ）25 （C ）10 （D ）12 2．对于任意实数a b c d ，，，，定义有序实数对a b （，）与c d （，）之间的运算“△”为：（a b ，）△（c d ，）＝（ac bd ad bc ++，）．如果对于任意实数u v ，，都有（u v ，）△（x y ，）＝（u v ，），那么（x y ，）为( ).（A ）（0，1）（B ）（1，0）（C ）（﹣1，0）（D ）（0，-1）3．若1x >，0y >，且满足3y y xxy x x y==，，则x y +的值为( ).（A ）1 （B ）2 （C ）92（D ）1124．点D E ，分别在△ABC 的边AB AC ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ∆∆∆====四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为( ).（A ）1324S S S S < （B ）1324S S S S = （C ）1324S S S S > （D ）不能确定 5．设3333111112399S =++++，则4S 的整数部分等于( ).（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m的取值范围是 .7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 .8．如图，点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1y x=（x ＞0）于C D ，两点. 若2BD AC =，则224OC OD - 的值为 .9．若112y x x =-+-的最大值为a ，最小值为b ，则22a b +的值为 .10．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 .三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.12．如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙（第8题）（第10题）1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点.13．如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线223y x=于P ，Q 两点. （1）求证：∠ABP =∠ABQ ；（2）若点A 的坐标为（0，1），且∠PBQ =60º，试求所有满足条件的直线PQ 的函数解析式.14．如图，△ABC 中，60BAC ∠=︒，2AB AC =．点P 在△ABC 内，且352PA PB PC ===，，，求△ABC 的面积．（第13题）（第12题）（第14题）初中数学竞赛试题参考答案一、选择题 1．A解：因为71a =-， 17a +=， 262a a =-，所以322312612362126261261260662126024.a a a a a a a a a a a +--=-+---=--+=---+=（）（）（）2．B解：依定义的运算法则，有ux vy u vx uy v +=⎧⎨+=⎩，，即(1)0(1)0u x vy v x uy -+=⎧⎨-+=⎩，对任何实数u v ，都成立. 因为实数u v ，的任意性，得（x y ，）=（1，0）．3．C解：由题设可知1y y x -=，于是341y y x yx x -==，所以 411y -=，故12y =，从而4x =．于是92x y +=．4．C解：如图，连接DE ，设1DEFS S ∆'=，则1423S S EF S BF S '==，从而有1324S S S S '=．因为11S S '>，所以1324S S S S >．5．A解：当2 3 99k =，，，时，因为()()()32111112111k k k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦，所以 3331111115111239922991004S ⎛⎫<=++++<+-< ⎪⨯⎝⎭. （第4题）于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．二、填空题 6．3＜m ≤4解：易知2x =是方程的一个根，设方程的另外两个根为12 x x ，，则124x x +=，12x x m =．显然1242x x +=>，所以122x x -<， 164m ∆=-≥0，即()2121242x x x x +-<，164m ∆=-≥0，所以1642m -<， 164m ∆=-≥0，解之得 3＜m ≤4.7．19解：在36对可能出现的结果中，有4对：（1，4），（2，3），（2，3），（4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是41369=. 8．6解：如图，设点C 的坐标为a b （，），点D 的坐标为c d （，）,则点A 的坐标为a a （，），点B 的坐标为.c c （，）因为点C D ，在双曲线1y x=上，所以11ab cd ==，．因为AC a b =-，BD c d =-，又因为2BD AC =，于是22222242c d a b c cd d a ab b -=--+=-+，（），所以 22224826a b c d ab cd +-+=-=（）（），即224OC OD -=6.9．32解：由1x -≥0，且12x -≥0，得12≤x ≤1．22213113122()2222416y x x x =+-+-=+--+．因为13124<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =．（第8题）当12x =或1时，2y 取到最小值12，故2b =．所以，2232a b +=． 10．84解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ，则22235a b +=＝1225． ①又Rt △AFE ∽Rt △ACB ，所以FE AFCB AC=，即1212b a b-=，故 12()a b ab +=． ② 由①②得2222122524a b a b ab a b +=++=++（）（），解得a ＋b ＝49（另一个解－25舍去），所以493584a b c ++=+=．三、解答题11．解：设方程20x ax b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得()()11a a αβαβ+=-++=，，两式相加得 2210αβαβ+++=，即 (2)(2)3αβ++=，所以 2123αβ+=⎧⎨+=⎩，；或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得 11αβ=-⎧⎨=⎩，；或53.αβ=-⎧⎨=-⎩，又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（），所以 012a b c ==-=-，，；或者8156a b c ===，，，（第10题）故3a b c ++=-，或29.12．证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ，连接 AH BD QB QC QH ，，，，.因为AB 为⊙1O 的直径，所以∠ADB =∠BDQ =90°，故BQ 为⊙2O 的直径. 于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，.又因为点H 为△ABC 的垂心，所以.AH BC BH AC ⊥⊥，所以AH ∥CQ ，AC ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形. 所以点P 为CH 的中点.13．解：（1）如图，分别过点P Q ，　作y 轴的垂线，垂足分别为C D ，　. 设点A 的坐标为（0，t ），则点B 的坐标为（0，-t ）. 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,并设P Q ，的坐标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）.由223y kx t y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，，得 2203x kx t --=，于是 32P Q x x t =-，即 23P Q t x x =-.于是222323P P Q Qx t y t BC BD y t x t ++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P Q Q P Q Q Q P x x x x x x x x x x x x x x --===--- 又因为P Q x PC QD x =-，所以BC PCBD QD=. 因为∠BCP =∠90BDQ =︒，所以△BCP ∽△BDQ ，（第12题）（第13题）故∠ABP =∠ABQ .（2）解法一设PC a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0，由（1）可知∠ABP =∠30ABQ =︒，BC ，BD ，所以 AC 2-，AD =2.因为PC ∥DQ ，所以△ACP ∽△ADQ .于是PC ACDQ AD=，即a b ，所以a b +=．由（1）中32P Q x x t =-，即32ab -=-，所以322ab a b =+=，于是可求得2a b ==将2b =代入223y x =，得到点Q ，12）.再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得3k =-所以直线PQ 的函数解析式为1y =+.根据对称性知，所求直线PQ 的函数解析式为1y =+，或1y +. 解法二设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,其中1t =. 由（1）可知，∠ABP =∠30ABQ =︒，所以2BQ DQ =.故 2Q x =.将223Q Q y x =代入上式，平方并整理得 4241590Q Q x x -+=，即22(43)(3)0Q Q x x --=.所以 2Q x =又由 (1)得3322P Q x x t =-=-，32P Q x x k +=. 若3Q x =，代入上式得 3P x =-，从而 23()3P Q k x x =+=-.同理，若3Q x =，可得32P x =-，从而 23()3P Q k x x =+=.所以，直线PQ 的函数解析式为31y x =-+，或31y x =+. 14．解：如图，作△ABQ ，使得QAB PAC ABQ ACP ∠=∠∠=∠，，则△ABQ ∽△ACP . 因为2AB AC =，所以相似比为2. 于是22324AQ AP BQ CP ====，．60QAP QAB BAP PAC BAP BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒.由:2:1AQ AP =知，90APQ ∠=︒，于是33PQ AP ==．所以 22225BP BQ PQ ==+，从而90BQP ∠=︒．于是222()2883AB PQ AP BQ =++=+ .故 213673sin 60282ABC S AB AC AB ∆+=⋅︒==．（第14题）。

2000年全国初中数学联合竞赛试题及答案

２０００年全国初中数学联合竞赛试题2005年全国初中数学联赛初赛试卷及答案2005年全国初中数学联赛决赛试卷及答案2007年全国初中数学联赛决赛一试试题及答案2007年全国初中数学联赛决赛第二试试题及答案2008年全国初中数学联赛2008年4月13日上午8：30—9：30一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1、设a 2 + 1 = 3 a ，b 2 + 1 = 3 b ，且a ≠ b ，则代数式21a +21b 的值为（）（A ）5 （B ）7 （C ）9 （D ）112、如图，设AD ，BE ，CF 为△ABC 的三条高，若AB = 6，BC = 5，EF = 3，则线段BE 的长为（）（A ）185 （B ）4 （C ）215 （D ）2453、从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是（）（A ）15 （B ）310 （C ）25 （D ）124、在△ABC 中，∠ABC = 12°，∠ACB = 132°，BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点M ，N 分别在直线AC 和直线AB 上，则（）（A ）BM > CN （B ）BM = CN （C ）BM < CN （D ）BM 和CN 的大小关系不确定5、现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r ，则r 的最小值为（）（A ）(98) 3 （B ）(98) 4 （C ）(98) 5 （D ）986、已知实数x ，y 满足( xy，则3 x 2 – 2 y 2 + 3 x – 3 y – 2007的值为（）（A ）– 2008 （B ）2008 （C ）– 1 （D ）1二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1、设a，则5432322a a a a a a a +---+-= 。

2000年全国初中数学竞赛试题及解析

2000年全国初中数学竞赛试题及解析一、选择题（只有一个结论正确）1、设的平均数为M，的平均数为N，N，的平均数为P，若，则M与P的大小关系是（）。

（A）M＝P；（B）M＞P；（C）M＜P；（D）不确定。

答：（B）。

∵M＝，N＝，P＝，M－P＝，∵，∴＞，即M－P＞0，即M＞P。

2、某人骑车沿直线旅行，先前进了千米，休息了一段时间，又原路返回千米（），再前进千米，则此人离起点的距离S与时间t的关系示意图是（）。

答：（C）。

3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（）。

（A）甲比乙大5岁；（B）甲比乙大10岁；（C）乙比甲大10岁；（D）乙比甲大5岁。

答：（A）。

由题意知3×（甲－乙）＝25－10，∴甲－乙＝5。

（A）4个；（B）5个；（C）6个；（D）7个。

答：（B）。

5、设分别是△ABC的三边的长，且，则它的内角∠A、∠B的关系是（）。

（A）∠B＞2∠A；（B）∠B＝2∠A；（C）∠B＜2∠A；（D）不确定。

答：（B）。

6、已知△ABC的三边长分别为，面积为S，△A1B1C1的三边长分别为，面积为S1，且，则S与S1的大小关系一定是（）。

2000年到2011年全国初中数学竞赛历考答案(12份)-716

中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题题号一二三总分1～5 6～10 11 12 13 14 得分评卷人复查人答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设71a =-，则代数式32312612a a a +--的值为( ).（A ）24 （B ）25 （C ）4710+ （D ）4712+ 2．对于任意实数a b c d ，，，，定义有序实数对a b （，）与c d （，）之间的运算“△”为：（a b ，）△（c d ，）＝（ac bd ad bc ++，）．如果对于任意实数u v ，，都有（u v ，）△（x y ，）＝（u v ，），那么（x y ，）为( ).（A ）（0，1）（B ）（1，0）（C ）（﹣1，0）（D ）（0，-1）3．若1x >，0y >，且满足3y y xxy x x y==，，则x y +的值为( ).（A ）1 （B ）2 （C ）92 （D ）1124．点D E ，分别在△ABC 的边AB AC ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ∆∆∆====四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为( ).（A ）1324S S S S < （B ）1324S S S S = （C ）1324S S S S > （D ）不能确定 5．设3333111112399S=++++，则4S 的整数部分等于( ). （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是 .7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 .8．如图，点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1y x=（x ＞0）于C D ，两点. 若2BD AC =，则224OC OD - 的值为 .9．若112y x x =-+-的最大值为a ，最小值为b ，则22a b +的值为 .10．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 .三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程（第8题）（第10题）20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.12．如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点.13．如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线223yx =于P ，Q 两点. （1）求证：∠ABP =∠ABQ ；（2）若点A 的坐标为（0，1），且∠PBQ =60º，试求所有满足条件的直线PQ 的函数解析式.14．如图，△ABC 中，60BAC ∠=︒，2AB AC =．点P 在△ABC 内，且352PA PB PC ===，，，求△ABC 的面积．（第13题）（第12题）中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题 1．A解：因为71a =-， 17a +=， 262a a =-，所以322312612362126261261260662126024.a a a a a a a a a a a +--=-+---=--+=---+=（）（）（）2．B解：依定义的运算法则，有ux vy u vx uy v +=⎧⎨+=⎩，，即(1)0(1)0u x vy v x uy -+=⎧⎨-+=⎩，对任何实数u v ，都成立. 由于实数u v ，的任意性，得（x y ，）=（1，0）．3．C解：由题设可知1y y x -=，于是341y y x yx x -==，所以 411y -=，故12y =，从而4x =．于是92x y +=． 4．C解：如图，连接DE ，设1DEF S S ∆'=，则1423S S EF S BF S '==，从而有1324S S S S '=．因为11S S '>，所以1324S S S S >．5．A解：当2 3 99k =，，，时，因为（第14题）（第4题）()()()32111112111k k k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦，所以 3331111115111239922991004S ⎛⎫<=++++<+-< ⎪⨯⎝⎭. 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．二、填空题 6．3＜m ≤4解：易知2x =是方程的一个根，设方程的另外两个根为12 x x ，，则124x x +=，12x x m =．显然1242x x +=>，所以122x x -<， 164m ∆=-≥0，即 ()2121242x x x x +-<，164m ∆=-≥0，所以1642m -<， 164m ∆=-≥0，解之得 3＜m ≤4.7．19解：在36对可能出现的结果中，有4对：（1，4），（2，3），（2，3），（4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是41369=. 8．6解：如图，设点C 的坐标为a b （，），点D 的坐标为c d （，）,则点A 的坐标为a a （，），点B 的坐标为.c c （，）因为点C D ，在双曲线1y x=上，所以11ab cd ==，．由于AC a b =-，BD c d =-，又因为2BD AC =，于是22222242c d a b c cd d a ab b -=--+=-+，（），所以 22224826a b c d ab cd +-+=-=（）（），即224OC OD -=6.9．32（第8题）解：由1x -≥0，且12x -≥0，得12≤x ≤1．22213113122()2222416y x x x =+-+-=+--+．由于13124<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =．当12x =或1时，2y 取到最小值12，故22b =．所以，2232a b +=． 10．84解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ，则22235a b +=＝1225． ①又Rt △AFE ∽Rt △ACB ，所以FE AFCB AC=，即1212b a b-=，故 12()a b ab +=． ② 由①②得2222122524a b a b ab a b +=++=++（）（），解得a ＋b ＝49（另一个解－25舍去），所以493584a b c ++=+=．三、解答题11．解：设方程20x ax b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得()()11a a αβαβ+=-++=，，两式相加得 2210αβαβ+++=，即 (2)(2)3αβ++=，所以 2123αβ+=⎧⎨+=⎩，；或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩，（第10题）解得 11αβ=-⎧⎨=⎩，；或53.αβ=-⎧⎨=-⎩，又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（），所以 012a b c ==-=-，，；或者8156a b c ===，，，故3a b c ++=-，或29.12．证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ，连接 AH BD QB QC QH ，，，，.因为AB 为⊙1O 的直径，所以∠ADB =∠BDQ =90°，故BQ 为⊙2O 的直径. 于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，.又因为点H 为△ABC 的垂心，所以.AH BC BH AC ⊥⊥，所以AH ∥CQ ，AC ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形. 所以点P 为CH 的中点.13．解：（1）如图，分别过点P Q ，　作y 轴的垂线，垂足分别为C D ，　. 设点A 的坐标为（0，t ），则点B 的坐标为（0，-t ）. 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,并设P Q ，的坐标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）.由223y kx t y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，，得 2203x kx t --=，于是 32P Q x x t =-，即 23P Q t x x =-.（第12题）（第13题）于是222323P P Q Qx t y t BC BD y t x t ++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P Q Q P Q Q Q P x x x x x x x x x x x x x x --===--- 又因为P Q x PCQD x =-，所以BC PC BD QD=. 因为∠BCP =∠90BDQ =︒，所以△BCP ∽△BDQ ，故∠ABP =∠ABQ .（2）解法一设PC a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0，由（1）可知∠ABP =∠30ABQ =︒，BC =3a ，BD =3b ，所以 AC =32a -，AD =23b -.因为PC ∥DQ ，所以△ACP ∽△ADQ . 于是PC ACDQ AD=，即3223a a b b -=-，所以3a b ab +=．由（1）中32P Q x x t =-，即32ab -=-，所以33322ab a b =+=，，于是可求得2 3.a b == 将32b =代入223y x =，得到点Q 的坐标（32，12）.再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得3.3k =- 所以直线PQ 的函数解析式为313y x =-+. 根据对称性知，所求直线PQ 的函数解析式为313y x =-+，或313y x =+. 解法二设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,其中1t =. 由（1）可知，∠ABP =∠30ABQ =︒，所以2BQ DQ =.故 222(1)Q QQ x x y =++. 将223Q Q y x =代入上式，平方并整理得 4241590Q Q x x -+=，即22(43)(3)0Q Q x x --=.所以 32Q x =或 3. 又由 (1)得3322P Q x x t =-=-，32P Q x x k +=. 若32Q x =，代入上式得 3P x =-，从而 23()33P Q k x x =+=-.同理，若3Q x =，可得32P x =-，从而 23()33P Q k x x =+=.所以，直线PQ 的函数解析式为313y x =-+，或313y x =+. 14．解：如图，作△ABQ ，使得QAB PAC ABQ ACP ∠=∠∠=∠，，则△ABQ ∽△ACP . 由于2AB AC =，所以相似比为2. 于是22324AQ AP BQ CP ====，．60QAP QAB BAP PAC BAP BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒.由:2:1AQ AP =知，90APQ ∠=︒，于是33PQ AP ==．所以 22225BP BQ PQ ==+，从而90BQP ∠=︒．于是222()2883AB PQ AP BQ =++=+ .故 213673sin 60282ABC S AB AC AB ∆+=⋅︒==．（第14题）。

历年初中数学竞赛试题精选(含解答)

初中数学竞赛专项训练(1)1、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以被（）整除。

A. 111B. 1000C. 1001D. 1111 解：依题意设六位数为abcabc ，则abcabc ＝a ×105＋b ×104＋c ×103＋a ×102＋b ×10＋c ＝a ×102（103＋1）＋b ×10（103＋1）＋c （103＋1）＝（a ×103＋b ×10＋c ）（103＋1）＝1001（a ×103＋b ×10＋c ），而a ×103＋b ×10＋c 是整数，所以能被1001整除。

故选C方法二：代入法2、若2001119811198011⋯⋯++=S ，则S 的整数部分是____________________解：因1981、1982……2001均大于1980，所以9022198019801221==⨯>S ，又1980、1981……2000均小于2001，所以22219022*********221==⨯<S ，从而知S 的整数部分为90。

3、设有编号为1、2、3……100的100盏电灯，各有接线开关控制着，开始时，它们都是关闭状态，现有100个学生，第1个学生进来时，凡号码是1的倍数的开关拉了一下，接着第二个学生进来，由号码是2的倍数的开关拉一下，第n 个（n ≤100）学生进来，凡号码是n 的倍数的开关拉一下，如此下去，最后一个学生进来，把编号能被100整除的电灯上的开关拉了一下，这样做过之后，请问哪些灯还亮着。

解：首先，电灯编号有几个正约数，它的开关就会被拉几次，由于一开始电灯是关的，所以只有那些被拉过奇数次的灯才是亮的，因为只有平方数才有奇数个约数，所以那些编号为1、22、32、42、52、62、72、82、92、102共10盏灯是亮的。

2000年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)

A 水果价格每千克2元，B 水果价格每千克1.2元，C 水果价格每千克10元。

历年(95-10)全国初中数学竞赛(联赛)分类题型详解-几何(1)

历年(95-10)年全国数学竞赛(联赛)分类题型详解 - 几何(1)选择题(30道题)1. 如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为［ ]A．62πB．63π C．64πD．65π1995年全国初中数学联赛试题答案: D详解：四个选择支表明，圆的周长存在且唯一，从而直径也存在且唯一．又由AB2＋AD2 ＝252＋602 ＝52×（52＋122）＝52×132＝(32＋42)×132 ＝392＋522 ＝BC2＋CD2故可取BD＝65为直径，得周长为65π，选D．2. 设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，则[ ]A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M、N的大小关系不确定1995年全国初中数学联赛试题答案: B详解1: 不失一般性，设CE≥ED，在CE上取CF＝ED，则有OF＝OE，且S△ACE－S△ADE＝S△AEF＝2S△AOE．同理，S△BCE－S△BDE＝2S△BOE．相加，得S△ABC－S△DAB＝2S△OAB，即M＝N．选B．详解2: 若过C、D、O分别作AB的垂线（图3），CE⊥AB、DF⊥AB、OL⊥AB，垂足分别为E、F、L．连CF、DE，可得梯形CEDF．又由垂径分弦定理，知L是EF的中点．根据课本上做过的一道作业：梯形对角线中点的连线平行底边，并且等于两底差的一半，有｜CE－DF｜＝2OL．即M＝N．选B．3．如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则阴影部分的面积等于[ ]1996年全国初中数学联赛试题答案: B4．如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的[ ]A．内心B．外心C．重心D．垂心1996年全国初中数学联赛试题答案: A5．如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个数有[ ]A．4个B．8个 C．12个 D．24个1996年全国初中数学联赛试题答案: C6. 在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC的面积等于（）（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）181998年全国数学联赛试卷答案: C详解: 连ED，则又因为DE是△ABC两边中点连线，所以故选C．7．一个凸n边形的内角和小于1999°，那么n的最大值是（）．A．11 B．12 C．13 D．141999年全国初中数学竞赛答案: C8．在三角形ABC 中，D 是边BC 上的一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC 的面积是（）．A ．30B ．36C ．72D ．1251999年全国初中数学竞赛答案: B9．在正五边形ABCDE 所在的平面内能找到点P ，使得△PCD 与△BCD 的面积相等，并且△ABP 为等腰三角形，这样的不同的点P 的个数为（）．A ．2B ．3C ．4D ．51999年全国初中数学竞赛答案: D10. 设a ，b ，c 分别是△ABC 的三边的长，且cb a b a b a +++=，则它的内角∠A 、∠B 的关系是（）。

初中数学竞赛试题及答案大全

全国初中数学竞赛初赛试题汇编（1998-2018）目录1998年全国初中数学竞赛试卷 (1)1999年全国初中数学竞赛试卷 (6)2000年全国初中数学竞赛试题解答 (9)2001年TI杯全国初中数学竞赛试题B卷 (14)20022003200420052006200720082009201020112012201320142015年全国初中数学竞赛预赛 (85)2016年全国初中数学联合竞赛试题 (94)2017年全国初中数学联赛初赛试卷 (103)2018 年初中数学联赛试题 (105)1998年全国初中数学竞赛试卷一、选择题：（每小题6分，共30分）1、已知a 、b 、c 都是实数，并且c b a >>，那么下列式子中正确的是（）（Ａ）bc ab >（Ｂ）c b b a +>+（Ｃ）c b b a ->-（Ｄ）cbc a > 2、如果方程()0012>=++p px x 的两根之差是1，那么p 的值为（）（Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）3（Ｄ）53） 4 5a 、b ）共有（6分别是垂足，那么7___________。

89、a=___________。

三、解答题：（每小题20分，共60分）11、如图，在等腰三角形ABC 中，AB=1，∠A=900，点E 为腰AC 中点，点F 在底边BC 上，且FE ⊥BE ，求△CEF 的面积。

12、设抛物线()452122++++=a x a x y 的图象与x 轴只有一个交点，（1）求a 的值；（2）求618323-+a a 的值。

13、A 市、B 市和C 市有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器ABCEF支援给D市18台，E市10台。

初二数学竞赛试题及参考答案

初二数学竞赛试题及参考答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.14159B. πC. 0.33333D. √22. 如果一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 83. 一个数的平方根是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 44. 以下哪个表达式等于0？A. 2 + 3B. 2 - 2C. 2 × 3D. 2 ÷ 25. 如果一个圆的半径为5，那么它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 100πD. 125π二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的立方根是它本身，这个数可以是______。

7. 一个数的绝对值是它本身，这个数可以是______。

8. 一个数的相反数是它本身，这个数是______。

9. 一个数的倒数是它本身，这个数是______。

10. 如果一个数的平方是16，那么这个数可以是______。

三、简答题（每题5分，共20分）11. 解释什么是勾股定理，并给出一个例子。

12. 解释什么是有理数和无理数，并给出一个例子。

13. 解释什么是因式分解，并给出一个例子。

14. 解释什么是二次方程，并给出一个例子。

四、解答题（每题10分，共30分）15. 一个长方体的长、宽、高分别是10厘米、8厘米和6厘米，求它的体积。

16. 一个等腰三角形的底边长为8厘米，两腰边长为5厘米，求它的面积。

17. 一个二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的系数 a、b、c 分别为 2、-7 和 3，求它的根。

五、附加题（每题5分，共5分）18. 一个数列的前三项是 1, 1, 2，从第四项开始，每一项都是前三项的和。

求这个数列的前10项。

参考答案一、选择题1. D2. A3. A4. B5. B二、填空题6. 0, 1, -1, 17. 非负数8. 09. ±110. ±4三、简答题11. 勾股定理是指在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

全国初中数学竞赛(联赛)分类题型详解-几何

历年(95-10)年全国数学竞赛(联赛)分类题型详解 - 几何(1)选择题(30道题)1. 如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为［ ]A．62πB．63π C．64πD．65π1995年全国初中数学联赛试题答案: D详解：四个选择支表明，圆的周长存在且唯一，从而直径也存在且唯一．又由AB2＋AD2 ＝252＋602 ＝52×（52＋122）＝52×132＝(32＋42)×132 ＝392＋522 ＝BC2＋CD2故可取BD＝65为直径，得周长为65π，选D．2. 设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，则[ ]A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M、N的大小关系不确定1995年全国初中数学联赛试题答案: B详解1: 不失一般性，设CE≥ED，在CE上取CF＝ED，则有OF＝OE，且S△ACE－S△ADE＝S△AEF＝2S△AOE．同理，S△BCE－S△BDE＝2S△BOE．相加，得S△ABC－S△DAB＝2S△OAB，即M＝N．选B．详解2: 若过C、D、O分别作AB的垂线（图3），CE⊥AB、DF⊥AB、OL⊥AB，垂足分别为E、F、L．连CF、DE，可得梯形CEDF．又由垂径分弦定理，知L是EF的中点．根据课本上做过的一道作业：梯形对角线中点的连线平行底边，并且等于两底差的一半，有｜CE－DF｜＝2OL．即M＝N．选B．3．如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则阴影部分的面积等于[ ]1996年全国初中数学联赛试题答案: B4．如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的[ ]A．内心B．外心C．重心D．垂心1996年全国初中数学联赛试题答案: A5．如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个数有[ ]A．4个B．8个 C．12个 D．24个1996年全国初中数学联赛试题答案: C6. 在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC的面积等于（）（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）181998年全国数学联赛试卷答案: C详解: 连ED，则又因为DE是△ABC两边中点连线，所以故选C．7．一个凸n边形的内角和小于1999°，那么n的最大值是（）．A．11 B．12 C．13 D．141999年全国初中数学竞赛答案: C8．在三角形ABC 中，D 是边BC 上的一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC 的面积是（）．A ．30B ．36C ．72D ．1251999年全国初中数学竞赛答案: B9．在正五边形ABCDE 所在的平面内能找到点P ，使得△PCD 与△BCD 的面积相等，并且△ABP 为等腰三角形，这样的不同的点P 的个数为（）．A ．2B ．3C ．4D ．51999年全国初中数学竞赛答案: D10. 设a ，b ，c 分别是△ABC 的三边的长，且cb a ba b a +++=，则它的内角∠A 、∠B 的关系是（）。

2000-2011年全国初中数学联赛试题(含答案)

解：设方程的两个根为α、β，其中α、β为整数，且α≤β
则方程的两个整数根为α＋1、β＋1，
由根与系数关系得：α＋β＝－a，(α＋1)(β＋1)＝a
两式相加得：αβ＋2α＋2β＋1＝0即(α＋2)(β＋2)＝3
∴ 或解得：或
又∵a＝－(α＋β)，b＝αβ，c＝－[(α＋1)＋(β＋1)]
∴a＝0，b＝－1，c＝－2或a＝8，b＝15，c＝6
A．－13. B．－9. C．6. D．0.
5．在△ 中，已知，D，E分别是边AB，AC上的点，且，， ,则 ( B )
A．15°. B．20°. C．25°. D．30°.
6．对于自然数，将其各位数字之和记为，如，，则（D）
A．28062. B．28065. C．28067. D．28068.
即 .
又，所以
，
解得 .
二．（本题满分25分）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EF∥AB.
解因为BN是∠ABC的平分线，所以 .
又因为CH⊥AB，所以，
因此 .
又F是QN的中点，所以CF⊥QN，所以，因此C、F、H、B四点共圆.
２００１年全国初中数学联合竞赛试题及答案
２００２年全国初中数学联合竞赛试题及答案
２００３年全国初中数学联合竞赛试题及答案
２００５年全国初中数学联合竞赛试题及答案
２００５年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案
２００６年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案
答案：
２００７年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案
答案：
解点P 、Q 在二次函数的图象上，故，，

2000年全国初中数学联合竞赛试题 .doc

２０００年全国初中数学联合竞赛试题2005年全国初中数学联赛初赛试卷及答案2005年全国初中数学联赛决赛试卷及答案2007年全国初中数学联赛决赛一试试题及答案2007年全国初中数学联赛决赛第二试试题及答案2008年全国初中数学联赛2008年4月13日上午8：30—9：30一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1、设a 2 + 1 = 3 a ，b 2 + 1 = 3 b ，且a ≠ b ，则代数式21a +21b 的值为（）（A ）5 （B ）7 （C ）9 （D ）112、如图，设AD ，BE ，CF 为△ABC 的三条高，若AB = 6，BC = 5，EF = 3，则线段BE 的长为（）（A ）185 （B ）4 （C ）215（D ）245 3、从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是（）（A ）15 （B ）310 （C ）25 （D ）124、在△ABC 中，∠ABC = 12°，∠ACB = 132°，BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点M ，N 分别在直线AC 和直线AB 上，则（）（A ）BM > CN （B ）BM = CN （C ）BM < CN （D ）BM 和CN 的大小关系不确定5、现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r ，则r 的最小值为（）（A ）(98) 3 （B ）(98) 4 （C ）(98) 5 （D ）986、已知实数x ，y 满足( x –22008x -) ( y –22008y -) = 2008，则3 x 2 – 2 y 2 + 3 x – 3 y – 2007的值为（）（A ）– 2008 （B ）2008 （C ）– 1 （D ）1二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1、设a =512-，则5432322a a a a a a a+---+-= 。