2.3.1等差数列的前n项和
等差数列前n项和
高斯（1777---1855）， 德 国数学家、物理学家和天文学家。 他和牛顿、阿基米德，被誉为有 史以来的三大数学家。有“数学 王子”之称。
求 S=1+2+3+······+100=？ 你知道高斯是
高斯算法：
怎么计算的吗？
首项与末项的和：
1＋100＝101，
第2项与倒数第2项的和： 2＋99 =101，
（2）当d<0时,Sn有最大值 若a1<0,则S1最大； 若a1>0,则所有正数项的和最大。
另法：前n项和Sn的公式是关于n的二次函数，故 可利用二次函数来求最值（注意：n为正整数）。
例5 已知一个等差数列中满足3a4 7a7,且a1 0 Sn是数列{an}的前n项和，求n为何值时Sn取最大值.
则: b1,b2,b3, ,成等差数列,公差为:kd
(等差数列等分若干段后,各段和依序成等差数列)
数列a
n
是公差为d的等差数列，则S n
An2
Bn
Sn n
An B
Sn n
是等差数列，公差为A.
2.已知an是公差为d的等差数列，Sn为数列an的前n项和，则
Sn n
是等差数列，公差为
d 2
解：方法一
3a4
7a7
d
4 33 a1
0
an
a1
(n
1)
•
(
4 33
)a1
0
n
37 4
当n 9时，an 0; 当n 9时，an 0
故当n=9时，Sn取最大值.
方法二
3a4
7a7
d
4 33
a1
0
Sn
na1
高中数学必修5课件：第2章2-3-1等差数列的前n项和
数学 必修5
第二章 数列
与前n项和有关的最值问题
已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值． [思路点拨]
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第二章 数列
[规范解答] (1)由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，
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第二章 数列
等差数列的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数
求和
na1＋an
公式 Sn＝_____2________
首项、公差与项数 Sn＝__n_a_1＋__n__n_2－__1__d___
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第二章 数列
对等差数列前n项和公式的理解 (1)等差数列的前n项和公式有两种形式，涉及a1，an，Sn， n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量，解答方 法就是解方程组．
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第二章 数列
如图，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢 管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根．
[问题1] 共有几层？图形的横截面是什么形状？ [提示] 六层 等腰梯形
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第二章 数列
[问题2] 假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如 图所示，则这样共有多少钢管？
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第二章 数列
由an≤0解得n≤4，即数列{an}前3项为负数，第4项为0， 从第5项开始为正数．
∴当n≤4时，Tn＝－Sn＝n(7－n)， 当n>4时，Tn＝Sn－S4＋(－S4) ＝Sn－2S4＝n(n－7)－2×4×(4－7) ＝n2－7n＋24
∴Tn＝nn2－7－7nn＋，2n4≤，4n，>4.
2.3.1等差数列的前项n和1
高一年级数学必修5《等差数列的前n 项和》导学案1班级 课时 时间学习目标:1、掌握等差数列前n 项和公式,理解公式的推导方法；2、能较熟练应用等差数列前n 项和公式求和。
重点: 等差数列前n 项和公式。
难点:获得等差数列前n 项和公式推导的思路。
学情分析：学生对高斯算法早有耳闻，本节课较易激发学生的探知欲望。
但公式的推导得合作探究。
课前热身:1、高斯在他10岁的时候就神速的算出了：1+2+3+……+100结果,他的算法很高明,请问他是如何算的？2、利用高斯的算法计算求：1+2+3+……+n 的和。
3、一般地，我们称a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 为数列{a n }的前n 项和，用S n 表示，即S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n .则S n －1＝ 。
由此可得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， (n ＝1)S n －S n －1， (n ≥2，n ∈N *).学习探究：探究等差数列前n 项和公式。
设等差数列的首项为，公差为，用两种方式表示S n ：S n ＝a 1＋(a 1＋d)＋(a 1＋2d)＋…＋[a 1＋(n －1)d] S n ＝a n ＋(a n －d)＋(a n －2d)＋…＋[a n －(n －1)d]． 以上两式相加，可得:因此S n ＝n (a 1＋a n )2(这种方法叫倒序相加求和法．) ①若代入等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，则：S n ＝。
②例题讲解：例1.求和：（1）；（2）（结果用 表示）例2.等差数列 中前多少项的和是9900？课堂训练P45:1、2、3补充：数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和S n 与a n 之间满足a n ＝2S 2n2S n －1(n≥2)．(1)求证：数列{1S n}是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式展示提炼：等差数列前n 项和公式的理解：（1）、知三求二：由等差数列的前n 项和公式及通项公式可知，若已知a 1、d 、n 、a n 、S n 中三个便可求出其余的两个，即“知三求二”，“知三求二”的实质是方程思想，即建立方程组求解．（2）、数列求和公式的选用：在运用等差数列的前n 项和公式来求和时，一般地若已知首项a 1及末项a n 用公式S n ＝n (a 1＋a n )2较简便；若已知首项a 1及公差d 用公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 较好．．达标检测：导与练：自我检测：1，2，3,4分层作业：基础性作业：课本P40习题2.2[A 组]的第1、2题拓展性作业：《导与练》P29-30 ： 1,2，5,7,10。
2-3-1等差数列的前n项和 79张
第二章
2.3
第1课时
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nn－1 d 如果{an}是等差数列，公差为 d，则 Sn＝na1＋ d＝ 2 2 d d d n ＋(a1－ )n，令 A＝ ，B＝a1－ ，则 Sn＝An2＋Bn.反之，若 2 2 2
2
{an}前 n 项和 Sn＝An2＋Bn，则 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(An2＋ Bn)－[A(n－1)2＋B(n－1)]＝2A＋(B－A)，a1＝S1＝A＋B 也满 足，∴an＝2An＋(B－A)，显然{an}为等差数列．
第二章
2.3
第1课时
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思路方法技巧
第二章
2.3
第1课时
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命题方向
数列{an}的前 n 项和与通项的关系
[例 1]
Sn 是数列{an}的前 n 项和，据条件求 an.
(1)Sn＝2n2＋3n； (2)Sn＝3n－2. [分析]
S 1 Sn－Sn－1
一 般 地 ， 已 知 Sn 求 an ， 可 利 用 an ＝
n＝1 求解． n≥2
第二章
2.3
第1课时
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[解析]
(1)a1＝S1＝5，当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋
3n)－[2(n－1)2＋3(n－1)]＝4n＋1，当 n＝1 时也适合，∴an＝ 4n＋1. (2)a1＝S1＝1，当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1 －2)＝2×3n 1，显然 a1 不适合，
第二章
2.3
第1课时
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高中数学：第二章 2.3 第1课时 等差数列的前n项和公式
[课时作业]页[A 组 基础巩固]1．等差数列{a n }中，d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，则a 1等于( )A ．5或7B ．3或5C ．7或－1D ．3或－1解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝11，S n ＝35，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2(n －1)＝11，na 1＋n (n －1)2×2＝35.解得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝5，a 1＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，a 1＝－1. ★答案★：D2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 为( )A ．7B ．6C ．3D ．2解析：由S 2＝4，S 4＝20，得2a 1＋d ＝4,4a 1＋6d ＝20，解得d ＝3.★答案★：C3．已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和S 10等于( )A ．138B ．135C ．95D ．23解析：由a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，可知d ＝3，a 1＝－4.∴S 10＝－40＋10×92×3＝95. ★答案★：C4．若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7等于( )A ．12B ．13C ．14D ．15解析：由S 5＝5a 3＝25，∴a 3＝5.∴d ＝a 3－a 2＝5－3＝2.∴a 7＝a 2＋5d ＝3＋10＝13.★答案★：B5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝－8；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－9n )－[(n －1) 2－9(n －1)]＝2n －10.综上可得数列{a n }的通项公式a n ＝2n －10.所以a k ＝2k －10.令5＜2k －10＜8，解得k ＝8.★答案★：B6．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________． 解析：∵n ≥2时，a n ＝a n －1＋12，且a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，以12为公差的等差数列，所以S 9＝9×1＋9×82×12＝9＋18＝27. ★答案★：277．等差数列{a n }中，若a 10＝10，a 19＝100，前n 项和S n ＝0，则n ＝________.解析：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝10a 1＋18d ＝100，∴d ＝10，a 1＝－80. ∴S n ＝－80n ＋n (n －1)2×10＝0， ∴－80n ＋5n (n －1)＝0，n ＝17.★答案★：178．等差数列{a n }中，a 2＋a 7＋a 12＝24，则S 13＝________.解析：因为a 1＋a 13＝a 2＋a 12＝2a 7，又a 2＋a 7＋a 12＝24，所以a 7＝8.所以S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13×8＝104. ★答案★：1049．在等差数列{a n }中：(1)已知a 5＋a 10＝58，a 4＋a 9＝50，求S 10；(2)已知S 7＝42，S n ＝510，a n －3＝45，求n .解析：(1)由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a 5＋a 10＝2a 1＋13d ＝58，a 4＋a 9＝2a 1＋11d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝4. ∴S 10＝10a 1＋10×(10－1)2d ＝10×3＋10×92×4＝210. (2)S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7a 4＝42， ∴a 4＝6.∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 4＋a n －3)2＝n (6＋45)2＝510.∴n ＝20.10．在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15，(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取得最小值．解析：(1)设{a n }的首项，公差分别为a 1，d .则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝18，5a 1＋52×4×d ＝－15， 解得a 1＝－9，d ＝3，∴a n ＝3n －12.(2)S n ＝n (a 1＋a n )2＝12(3n 2－21n ) ＝32⎝⎛⎭⎫n －722－1478， ∴当n ＝3或4时，前n 项的和取得最小值为－18.[B 组 能力提升]1．S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 3＋a 6＋a 12为一个常数，则下列也是常数的是( )A ．S 17B ．S 15C ．S 13D ．S 7 解析：∵a 3＋a 6＋a 12为常数，∴a 2＋a 7＋a 12＝3a 7为常数，∴a 7为常数．又S 13＝13a 7，∴S 13为常数．★答案★：C2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，∴d ＝a m ＋1－a m ＝1，由S m ＝(a 1＋a m )m 2＝0， 知a 1＝－a m ＝－2，a m ＝－2＋(m －1)＝2，解得m ＝5.★答案★：C3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于________． 解析：由等差数列的性质，a 5a 3＝2a 52a 3＝a 1＋a 9a 1＋a 5＝59，∴S 9S 5＝92(a 1＋a 9)52(a 1＋a 5)＝95×59＝1. ★答案★：14．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项和为180，S n ＝324(n >6)，则数列的项数n ＝________，a 9＋a 10＝________.解析：由题意，可知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36 ①，a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180 ②，由①＋②，得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216，∴a 1＋a n ＝36.又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324，∴18n ＝324，∴n ＝18，∴a 1＋a 18＝36，∴a 9＋a 10＝a 1＋a 18＝36. ★答案★：18 365．等差数列{a n }的前n 项和S n ＝－32n 2＋2052n ，求数列{|a n |}的前n 项和T n . 解析：a 1＝S 1＝101，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－32n 2＋2052n －⎣⎡ －32(n －1)2＋ ⎦⎤2052(n －1)＝－3n ＋104，a 1＝S 1＝101也适合上式，所以a n ＝－3n ＋104，令a n ＝0，n ＝3423，故n ≥35时，a n <0，n ≤34时，a n >0，所以对数列{|a n |}，n ≤34时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝－32n 2＋2052n ， 当n ≥35时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 34|＋|a 35|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 34－a 35－…－a n＝2(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2S 34－S n ＝32n 2－2052n ＋3 502， 所以T n＝⎩⎨⎧ －32n 2＋2052n (n ≤34)，32n 2－2052n ＋3 502(n ≥35).6．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n .解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ， ∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝1，∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)， ∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12， ∴T n ＝n ×(－2)＋n ·(n －1)2×12＝14n 2－94n .。
2019_2020学年高中数学第二章数列2.3.1等差数列的前n项和练习(含解析)新人教A版必修5
第11课时 等差数列的前n 项和知识点一 等差数列前n 项和公式的简单应用1．已知等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则S 10等于( ) A ．100 B ．210 C ．380 D ．400 答案 B 解析 ∵d ＝a 4－a 24－2＝15－72＝4，又a 2＝a 1＋d ＝7，∴a 1＝3．∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×3＋45×4＝210．故选B ．2．在等差数列{a n }中，S 10＝120，则a 2＋a 9＝( ) A ．12 B ．24 C ．36 D ．48 答案 B 解析 ∵S 10＝10a 1＋a 102＝5(a 2＋a 9)＝120，∴a 2＋a 9＝24．3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 7＝35，则a 4＝( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 答案 D 解析 ∵S 7＝a 1＋a 72×7＝35，∴a 1＋a 7＝10，∴a 4＝a 1＋a 72＝5．知识点二 “知三求二”问题4．等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＋a 5＝14，其前n 项和S n ＝100，则n ＝( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 答案 B解析 a 1＝1，a 3＋a 5＝2a 1＋6d ＝14，∴d ＝2，∴S n ＝n ＋n n －12×2＝100．∴n ＝10．5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则{a n }的通项a n ＝________． 答案 2n解析 由已知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，3a 1＋3d ＝12⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2.故a n ＝2n ．知识点三 a n 与S n 的关系6．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2－3n ，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．－32n 2＋n 2 B ．－32n 2－n2C ．32n 2＋n 2D ．32n 2－n 2 答案 A解析 易知{a n }是等差数列且a 1＝－1，所以S n ＝n a 1＋a n2＝n 1－3n2＝－32n 2＋n2．故选A ．7．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，则过P (1，a 1)，Q (2，a 2)两点的直线的斜率是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 ∵S n ＝n 2＋n ，∴a 1＝S 1＝2，a 2＝S 2－S 1＝6－2＝4．∴过P ，Q 两点直线的斜率k ＝a 2－a 12－1＝4－21＝2．8．已知{a n }的前n 项之和S n ＝2n＋1，则此数列的通项公式为________．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＝1，2n －1n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2＋1＝3， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－(2n －1＋1)＝2n －1，又21－1＝1≠3，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＝1，2n －1n ≥2.易错点一 等差数列的特点考虑不周全9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋3n ＋2，判断{a n }是否为等差数列．易错分析 本题容易产生如下错解：∵a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋3n ＋2)－[(n －1)2＋3(n －1)＋2]＝2n ＋2．a n ＋1－a n ＝[2(n ＋1)＋2]－(2n ＋2)＝2(常数)，∴数列{a n }是等差数列．需注意：a n ＝S n －S n －1是在n ≥2的条件下得到的，a 1是否满足需另外计算验证． 解 a 1＝S 1＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋3n ＋2)－[(n －1)2＋3(n －1)＋2]＝2n ＋2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n ＝1，2n ＋2n ≥2，显然a 2－a 1＝6－6＝0，a 3－a 2＝2，∴{a n }不是等差数列．易错点二 忽略对项数的讨论10．已知等差数列{a n }的第10项为－9，前11项和为－11，求数列{|a n |}的前n 项和T n ． 易错分析 对于特殊数列求和，往往要注意项数的影响，要对部分特殊项进行研究，否则计算易错．解 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项和为S n ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝－9，11a 1＋11×102d ＝－11，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2，所以a n ＝9－2(n －1)＝11－2n ． 由a n ＞0，得n ＜112，则从第6项开始数列各项均为负数，那么 ①当n ≤5时，数列{a n }的各项均为正数，T n ＝n a 1＋a n 2＝n 9＋11－2n 2＝n (10－n )；②当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝－(a 1＋a 2＋…＋a n )＋2(a 1＋a 2＋…＋a 5)＝－S n ＋2S 5＝n 2－10n ＋2×(10×5－52)＝n 2－10n ＋50．所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 10－n ，1≤n ≤5，n 2－10n ＋50，n ≥6.一、选择题1．在各项均不为零的等差数列{a n }中，若a n ＋1－a 2n ＋a n －1＝0(n ≥2)，则S 2n －1－4n ＝( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2 答案 A解析 ∵{a n }是等差数列，∴2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)．又a n ＋1－a 2n ＋a n －1＝0(n ≥2)，∴2a n－a 2n ＝0．∵a n ≠0，∴a n ＝2，∴S 2n －1－4n ＝(2n －1)×2－4n ＝－2．故选A ．2．《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金箠(chuí)，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金箠重几何？”其意思为：“今有金杖(粗细均匀变化)长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．问金杖重多少？”则答案是( )A ．14斤B ．15斤C ．16斤D ．18斤 答案 B解析 由题意可知等差数列中a 1＝4，a 5＝2，则S 5＝a 1＋a 5×52＝4＋2×52＝15， ∴金杖重15斤．故选B ．3．一个等差数列的项数为2n ，若a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝90，a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝72，且a 1－a 2n ＝33，则该数列的公差是( )A ．3B ．－3C ．－2D ．－1 答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝na 1＋n n －12×2d ＝90，a 2＋a 4＋…＋a2n＝na 2＋n n －12×2d ＝72，得nd ＝－18．又a 1－a 2n ＝－(2n －1)d ＝33，所以d ＝－3．4．一同学在电脑中打出如下图案：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此图案依此规律继续下去，那么在前120个中的●的个数是( )A ．12B ．13C ．14D ．15 答案 C解析 S ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋n ＝n n ＋12＋n ≤120，∴n (n ＋3)≤240，∴n ＝14．故选C ．5．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( ) A ．765 B ．665 C ．763 D ．663 答案 B解析 ∵a 1＝2，d ＝7，2＋(n －1)×7＜100，∴n ＜15．∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665．二、填空题6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a 1＋a 5＝________． 答案 11解析 由S n ＝n 2＋1，得a 1＝12＋1＝2，a 5＝S 5－S 4＝(52＋1)－(42＋1)＝9．∴a 1＋a 5＝2＋9＝11．7．S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S n S 2n ＝n ＋14n ＋2，则a 3a 5＝________．答案 35解析 ∵S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S n S 2n ＝n ＋14n ＋2， ∴S 1S 2＝a 1a 1＋a 1＋d ＝26＝13，∴3a 1＝2a 1＋d ，∴a 1＝d ，∴a 3a 5＝a 1＋2d a 1＋4d ＝3d 5d ＝35．8．在等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n ＜0，则S 10＝________． 答案 －15解析 由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9得(a 3＋a 8)2＝9， ∵a n ＜0，∴a 3＋a 8＝－3． ∴S 10＝10a 1＋a 102＝10a 3＋a 82＝10×－32＝－15． 三、解答题9．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n ．解 设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝1，∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)， ∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12，∴T n ＝n ×(－2)＋n n －12×12＝14n 2－94n ． 10．已知{a n }是等差数列，公差为d ，首项a 1＝3，前n 项和为S n ，令c n ＝(－1)nS n (n ∈N *)，{c n }的前20项和T 20＝330．数列{b n }满足b n ＝2(a －2)dn －2＋2n －1，a ∈R ．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＋1≤b n ，n ∈N *，求a 的取值范围． 解 (1)设等差数列的公差为d ，因为c n ＝(－1)nS n ，所以T 20＝－S 1＋S 2－S 3＋S 4＋…＋S 20＝330， 则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 20＝330，则10(3＋d )＋10×92×2d ＝330，解得d ＝3，所以a n ＝3＋3(n －1)＝3n ． (2)由(1)知b n ＝2(a －2)3n －2＋2n －1，b n ＋1－b n＝2(a －2)3n －1＋2n－[2(a －2)3n －2＋2n －1]＝4(a －2)3n －2＋2n －1＝4·3n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2，由b n ＋1≤b n ⇔(a －2)＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2≤0⇔a ≤2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2，因为2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2随着n 的增大而增大，所以n ＝1时，2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2最小值为54，所以a ≤54．。
第二章 2.3 第1课时 等差数列的前n项和公式 -【教师版】
A．2 300 B．2 400 C．2 600 D．2 500
答案 D
解析 由 am＝a1＋(m－1)d，得 99＝1＋(m－1)×2， 解得 m＝50，所以 S50＝50×1＋50×49×2＝2 500.
2 2．记等差数列的前 n 项和为 Sn，若 S2＝4，S4＝20，则该数列的公差 d 等于( )
n＝1
时，a1＝S1＝12＋12＋1＝52不符合①式．∴an＝
2 2n－1，n≥2，n∈N*.
2
反思感悟 已知前 n 项和 Sn 求通项 an，先由 n＝1 时，a1＝S1 求得 a1，再由 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 求得 an，
最后验证 a1 是否符合 an，若符合则统一用一个解析式表示，不符合则分段表示．
例 1 在等差数列{an}中：
(1)已知 a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求 S10；
(2)已知 S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求 n.
解 (1)方法一 由已知条件得
a5＋a10＝2a1＋13d＝58，
a1＝3，
解得
a4＋a9＝2a1＋11d＝50，
d＝4.
∴S10＝10a1＋10×10－1d＝10×3＋10×9×4＝210.
2
2
a5＋a10＝a1＋a10＋4d＝58， 方法二 由已知条件得
a4＋a9＝a1＋a10＋2d＝50，
∴a1＋a10＝42，
∴S10＝10a1＋a10＝5×42＝210. 2
(2)S7＝7a1＋a7＝7a4＝42，∴a4＝6. 2
∴Sn＝na1＋an＝na4＋an－3＝n6＋45＝510.∴n＝20.
解 由 Sn＝na1＋nn－1d， 2
得 na1＋nn－1×2＝35， 2
2.3.1等差数列的前n项和专题练习ppt
李鸿艳
目标
重点 难点
通过练习巩固等差数列及 其前n项和的知识，从而能 够达到熟练运用之目的。
等差数列性质的运用 等差数列性质的运用
8 15 24 1.数列 1, , , ,... 的通项公式为( 5 7 29
n
)
n n n n (n 3) A. a n ( 1) . a n ( 1) B 2n 1 2n 1 n2 n n n n (n 2) C. a n ( 1) . a n ( 1) D 2n 1 2n 1
11.设{an}是首项为1的正项数列，且 (n+1)an+1,…) 求 它的通项公式. 12. 数列{an}的前n项和Sn=n2-7n-8,求{an}的通项公 式. 13. 数列{an}是等差数列，且a1=2,a1+a2+a3=12 . (1)求{an}的通项公式. (2)令bn=an+n,求数列{bn} 前n项和公式. 14. 在等差数列{an}中，a1=20，前n项和为Sn，且 S10= S15，求当n为何值时，Sn有最大值，并求出 它的最大值.
1 15. 已知数列{an}，an ∈N*，Sn= (an+2)2 8
(1)求证{an}是等差数列
1 (2)若bn= an-30 ,求数列{bn}前n项的最小值 2
16. 已知f(x)=x2 -2(n+1)x+ n2+5n-7 (n∈N*). (1)设f(x)的图象的顶点的横坐标构成数列{an}，求 证:数列{an}是等差数列. (2)设f(x)的图象的顶点到 x轴的距离构成数列{dn}， 求数列{dn}的前n项和Sn.
5.在等差数列{an}中,已知a3 =16,a5=4, 求a8及Sn. 6.已知{an}为等差数列,且S10=100，S20 =300,求 S30及Sn 的值. 7.设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三 项的积为48，则它的首项是 . 8. 等差数列{an}中, a1+3a8+ a15 =120，则2a9 – a10=_____. 9. 等差数列{an}的公差为2, S100=145,则a1 + a3 + a5 + …+a99= . 10.若⊿ABC的三边a、b、c的倒数成等差数列， 则b所对的角为( ) A.锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 不确定
2020版新学优数学同步人教A必修五课件：2.3 第1课时 等差数列的前n项和
如果a1不满足当n≥2时,an=Sn-Sn-1的通项公式,那么数列{an}的通
项公式要分段表示为 an=
������1,������ = 1, ������������ -������������-1,������ ≥
2.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
课堂篇探究学习
变式训练2已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5<ak<8,则 k=( )
前n项和公式联立方程(组)来求解.这种方法是解决数列运算的基本
方法.在运算中要注意等差数列性质的应用.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
课堂篇探究学习
变式训练1(1)设等差数列{an}的前n项之和为Sn,已知a2=3,a5=9,则S5 等于( )
A.15
B.20
C.25
D.30
(2)若等差数列{an}的前5项和S5=25,且a2=3,则a7=( )
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
延伸探究在本例中,若条件变为“数列{an}的各项均为正数,前n项和 为Sn,且满足8Sn=(an+2)2”,求数列{an}的通项公式. 解:当n=1时,8a1=(a1+2)2, 解得a1=2. 当n≥2时,8Sn-1=(an-1+2)2, 即 8Sn-1=���������2���-1+4an-1+4,而 8Sn=���������2��� +4an+4, 两式相减,得 8an=���������2��� − ���������2���-1+4an-4an-1, 即���������2��� − ���������2���-1-4an-4an-1=0,
2.3(1)等差数列的前n项和
第1课时 等差数列的前n项和
1+2+3+„+98+99+100=？ 高斯10岁时曾很快算出这一结 果，如何算的呢？ 高斯 我们先看下面的问题.
(1777—1855）
德国著名数学家
1+2+3+· · · +100=?
带着这个问题，我们进入本节课的学习！
1. 掌握等差数列前n项和公式及其获取思路； (重 点） 2. 会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的 与前n项和有关的问题．（难点）
2
当n = 1时， 1 3 a1 = S1 = 1 + ×1 = ，也满足上式. 2 2 1 所以数列an 的通项公式为an = 2n - . 2 3 由此可知，数列an 是一个首项为 ，公差为2的等差数列. 2
2
【规律总结】 这个例题给出了等差数列通项公式的另一个求法. （ , S 1 n=1） 已知前n项和S n，可求出通项an （ . 1 n 2） S n S n 这种用数列S n的公式来确定an的方法对于任何数列 都是可行的，而且还要注意a1不一定满足由 S n S n1 an 求出的通项表达式，所以最后要验证 首项a1是否满足已求出的an .
多少个 (a ? 共有n个 (a 1+a n) 1+a n)
n(a1 an ) Sn . 因此， 2
这种求和的 方法叫倒序 相加法！
【即时练习】
根据下列条件，求相应的等差数列an 的前n项和S n . a1 5, a10 95, n 10.
10× (5 + 95) 【解析】S10 = = 500. 2
a1＝2，S3＝12，则 a6 等于( C )
2.3.1等差数学的前n 项和
2.3.1 等差数列的前n 项和一、选择题1．等差数列}a {n 中，已知前15项的和90S 15=，则8a 等于（ ）2．设是等差数列的前项和，已知，则等于 ( ) A. 13 B. 35 C. 49 D. 633．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若，则6S 等于 A4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若125a a +=，349a a +=，则10S 为（ ）A ．55B ．60C ．65D ．705．已知等差数列{}n a 的前13项之和为39，则=++876a a a （ ）A ．6B ．9C ．12D ．186．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，则a 7的值为( )．A ．13B ．14C ．15D ．167n 项的和为8．等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，（ ） A ．二、填空题9．数列{a n }的通项公式为a nn 项和S n ＝6，则项数n 等于 ． 10．在等差数列{}n a 中，17a =，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8n =时n S 取最大值，则d 的取值范围_________.11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若120OB a OA a OC =+，且A ，B ，C 三点共线（该 直线不过点O ），则20S =_____________．12．已知｛n a ｝是等差数列,d 为其公差, n S 是其前n 项和,若只有4S 是{n S }中的最小项,则可得出的结论中正确的是 ．① d >0 ②40a < ③50a > ④70S < ⑤80S >三、解答题 13、在我国古代,9是数字之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如,北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成,最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板,从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈.请问:(1)第9圈共有多少块石板?(2)前9圈一共有多少块石板? 14. 已知数列{}n a 的通项公式是210n a n =-，前n 项和为n S ，求n S 的最小值及此时n 的值.15．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，55=a ，155=S ，（1）求数列}{n a 的通项公式；（2，求数列{}n b 的前100项和．。
等差数列前N项和公式及应用
问题2：
学校为美化校园，决定在道路旁摆放盆景.从校门口 取出花盆到距校门1米处开始摆放，每隔1米摆放一盆，学 生小王每次拿两盆，若要完成摆放30盆的任务，最后返回 校门处，问小王走过的总路程是多少？
4m
8m
12m
60m
化归: 4+8+12+…+60=？
4m 8m
56m
60m
4 + 8 +12 +…+52+56+60=？S15 60+56+52 +…+12+ 8 +4 =？S15
(4 60) 15 2S15 S15 480.
答：小王走过的总路程是 480 米.
1 2 3 98 99 100 ?S100
100 99 98 3 2 1 ?S100
S100
(1 100) 00 2
5050
.
如图，工地有上一堆圆木，从上到下每 层的数目分别为1，2，3，……，10。 问共有多少根圆木？请用简便的方法计 算。
2.3.1 等差数列的前n项和(1)
一、温故知新
等差数列的通项公式：
an a1 (n 1)d (d为常数)
等差数列的性质： 对任意的m, n, p, q N , 且m n p q
则有： am an ap aq
二、新课引入
泰姬陵坐落于印度 距首都新德里200多 公里外的北方邦的阿 格拉市，是十七世纪 莫卧儿帝国皇帝沙杰 罕为纪念其爱妃所建， 她宏伟壮观，纯白大 理石砌建而成的主体 建筑令人心醉神迷， 陵寝以宝石镶嵌，图 案细致,绚丽夺目、美 丽无比，令人叫绝.成 为世界八大奇迹之一.
Sn
n(a1 2
2020_2021学年高中数学第二章数列2.3.1等差数列的前n项和同步作业含解析新人教A版必修52
等差数列的前n项和(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.已知等差数列{a n}的前10项和为30,a6=8,则a100=( )A.100B.958C.948D.18【解析】选C.设等差数列{a n}的公差为d,由已知解得所以a100=-42+99×10=948.2.已知等差数列{a n}的公差为3,且a1+a3=8,则数列{a n}的前4项的和S4的值为( ) A.10B.16C.22D.35【解析】选C.因为等差数列{a n}的公差为3,且a1+a3=8,所以2a1+2×3=8,所以a1=1,所以S4=4×1+×3=22.3.(2019·某某高二检测)已知等差数列的前n项和S n,且S3=S5=15,则S7=() A.4B.7C.14D.【解析】选B.等差数列的前n项和为S n,且S3=S5=15,所以a4+a5=0,所以2a1+7d=0.再根据S3=3a1+3d=15,可得a1=7,d=-2,则S7=7a1+d=49+21×(-2)=7.4.(2019·某某高一检测)在等差数列{a n}中,若a3+a4+a5+a6+a7=45,则S9=() A.45B.162C.81D.【解析】选C.因为在等差数列{a n}中,a3+a4+a5+a6+a7=5a5=45,所以a5=9.所以S9==9a5=81.5.等差数列{a n}的前n项和为S n,若=,则下列结论中正确的是( )A.=2B.=C.=D.=【解析】选C.由已知S n=a n,S n-1=a n-1(n≥2),两式相减可得a n=a n-a n-1(n≥2),化简得=(n≥2),当n=3时,=.6.数列{a n}的前n项和S n=2n2+n(n∈N*),则a n=( )A.2n-1B.2n+1C.4n-1D.3n+2【解析】选C.因为数列{a n}的前n项和S n=2n2+n,所以当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n2+n-[2(n-1)2+(n-1)]=4n-1,当n=1时,a1=S1=3,符合上式,所以综上a n=4n-1.二、填空题(每小题5分,共10分)7.设等差数列{a n}的前n项和为S n,S3=6,S4=12,则S6=________.【解析】方法一:设数列{a n}的首项为a1,公差为d,由S3=6,S4=12,得解得所以S6=6a1+15d=30.方法二:因为{a n}为等差数列,可设前n项和S n=An2+Bn,由S3=6,S4=12得解得即S n=n2-n,所以S6=36-6=30.答案:308.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S8=32,则a2+2a5+a6=__________.【解析】因为S8=32,所以=32.可得a4+a5=a1+a8=8,则a2+2a5+a6=2(a4+a5)=2×8=16.答案:16三、解答题(每小题10分,共20分)9.在各项为正的等差数列{a n}中,已知公差d=2,a n=11,S n=35,求a1和n.【解析】由题意得即解得或(舍去)故10.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n≠0,a n a n+1=λS n-1,其中λ为常数.(1)证明:a n+2-a n=λ.(2)是否存在λ,使得{a n}为等差数列?并说明理由.【解析】(1)由a n a n+1=λS n-1知,a n+1a n+2=λS n+1-1,两式相减得,a n+1(a n+2-a n)=λa n+1,又因为a n+1≠0,所以a n+2-a n=λ.(2)存在.由a1=1,a1a2=λa1-1,得a2=λ-1,由(1)知,a3=λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4.所以a n+2-a n=4,由此可得,{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=1+(n-1)·4=4n-3; {a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=3+(n-1)·4=4n-1.所以a n=2n-1,a n+1-a n=2.因此存在λ=4,使得{a n}为等差数列.(45分钟75分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知等差数列{1-3n},则公差d等于( )A.1B.3C.-3D.n【解析】选C.因为a n=1-3n,所以a1=-2,a2=-5,所以d=a2-a1=-3.2.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S17=255,a10=20,则数列{a n}的公差为( ) A.3B.4C.5D.6【解析】选C.根据等差数列的求和公式,可得S17=×17=17a9=255,可得a9=15,又a10=20,所以d=a10-a9=20-15=5.3.等差数列中,S n是前n项和,若a3+a8=5,S9=45,则S11=( )A.0B.10C.20D.25【解析】选A.设等差数列的首项为a1,公差为d,因为,所以,即,解得,则S11=25×11-×5=0.故选A.4.已知等差数列{a n}中,a2=6,a5=15,若b n=a2n,则数列{b n}的前5项和等于( ) A.30B.45C.90D.186【解析】选C.因为所以故所以a n=a1+(n-1)d=3n,故b n=a2n=6n,则因此{b n}的前5项和为S5=5×6+×6=90.5.(2019·定州高一检测)记等差数列{a n}的前n项和为S n,若a5=3,S13=91,则S11=( ) A.36B.72C.55D.110【解析】选C.因为S13==13a7=91,所以a7=7,因为a5=3,所以a5+a7=10,因为a1+a11=a5+a7=10,所以S11==55.二、填空题(每小题5分,共20分)6.(2019·全国卷Ⅲ)记S n为等差数列{a n}的前n项和,a1≠0,a2=3a1,则=________.【解析】设该等差数列的公差为d,因为a2=3a1,所以a1+d=3a1,故d=2a1(a1≠0,d≠0),所以====4.答案:47.若数列{a n}的前n项和S n=n2-8n,n=1,2,3,…,则满足a n>0的n的最小值为________.【解析】(1)当n=1时,a1=S1=12-8=-7.(2)当n>1时,由S n=n2-8n得:S n-1=(n-1)2-8(n-1)=n2-10n+9,两式相减,得:a n=2n-9,n=1也符合,由a n=2n-9>0,得:n>4.5,所以,满足a n>0的n的最小值为5.答案:58.已知数列{a n}的前n项和S n=n2-2n+3,则a n=________.【解析】当n=1时,a1=S1=2,当n≥2,a n=S n-S n-1=n2-2n-(n-1)2+2(n-1)=2n-3,故a n=答案:9.我国古代,9是数字之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如,天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图所示),最高一层是一块天心石,围绕它的第一圈有9块石板,从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈,则前9圈的石板总数是________.【解析】因为最高一层的中心是一块天心石,围绕它的第一圈有9块石板,从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈,则每圈的石板数构成一个以9为首项,以9为公差的等差数列,所以a n=9n,当n=9时,第9圈共有81块石板,所以前9圈的石板总数S9=(9+81)=405.答案:405三、解答题(每小题10分,共30分)10.等差数列{a n}的前n项和记为S n,已知a10=30,a20=50.(1)求通项a n.(2)令S n=242,求n.【解析】(1)由a n=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,得方程组解得所以a n=2n+10.(2)由S n=na1+·d,S n=242,得方程12n+×2=242,解得n=11或n=-22(舍去),即n=11.11.设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n,满足S5S6+15=0.(1)若S5=5,求S6及a1.(2)求d的取值X围.【解析】(1)由题意知S6=-=-3,a6=S6-S5=-8,所以解得a1=7. 综上,S6=-3,a1=7.(2)因为S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2+9da1+10d2+1=0,所以(4a1+9d)2=d2-8,所以d2≥8.故d的取值X围为d≤-2或d≥2.12.(2017·某某高考)对于给定的正整数k,若数列{a n}满足a n-k+a n-k+1+…+a n-1+a n+1+…+a n+k-1+a n+k=2ka n对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列{a n}是“P(k)数列”.(1)证明:等差数列{a n}是“P(3)数列”.(2)若数列{a n}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:{a n}是等差数列.【证明】(1)因为是等差数列,设其公差为d,则a n=a1+(n-1)d,从而,当n≥4时,a n-k+a n+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2a n,k=1,2,3,所以a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n,因此等差数列是“P数列”.(2)数列既是“P数列”,又是“P数列”,因此,当n≥3时,a n-2+a n-1+a n+1+a n+2=4a n,①当n≥4时,a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n.②由①知,a n-3+a n-2=4a n-1-(a n+a n+1),③a n+2+a n+3=4a n+1-(a n-1+a n),④将③④代入②,得a n-1+a n+1=2a n,其中n≥4,所以a3,a4,a5,…是等差数列,设其公差为d′.在①中,取n=4,则a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2+a3+a3+2d′+a3+3d′=4(a3+d′),即a2=a3-d′,在①中,取n=3,则a1+a2+a4+a5=4a3,因为a3=a2+d′,所以a1+a2+a2+2d′+a2+3d′=4(a2+d′), 即a1=a2-d′,所以数列{a n}是等差数列.。
高中2.3.1等差数列的前n项和听课记录
此公式要求 必须已知三个条件： （有时比较有用）
总之：两个公式都表明要求 必须已知 中三个
公式二又可化成式子：
，当d≠0，是一个常数项为零的二次式
教学点评：上一课时已经回顾了知识与方法，这节课将题型归好类，对例题的讲解，充分体现了以学生为主体，教师为
引导者的教学理念。该老师做到了效率和时间有机结合，能力和容量相兼容。
5．等差数列的性质：m+n=p+q (m, n, p, q∈N )
6．数列的前n项和：
数列 中， 称为数列 的前n项和，记为 .
二、公式推导
1．等差数列的前 项和公式1：
证明： ①
②
①+②：
∵
∴ 由此得：
从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性
2．等差数列的前 项和公式2：
用上述公式要求 必须具备三个条件：
给予学生自主探索的时间和空间，让学生在自主探索中，获得知识，体验知识的形成过程，获得学习的主动权。在课堂中，教师花了充足的时间让学生多次进行合作学习，在合作探索中得出结论。不过该老师对时间的把握还有所欠缺，语言方面也有待提高。
课题
2.3.1等差数列的前n项和
（第1课时）
课型：复习课，习题课
一、复习引入：
首先回忆一下前几节课所学主要内容：
1．等差数列的定义： － =d，（n≥2，n∈N ）
2．等差数列的通项公式：
( 或 =pn+q (p、q是常数))
3．几种计算公差d的方Байду номын сангаас：
①d= － ②d= ③d=
4．等差中项： 成等差数列
等差数列前n项和
4.前n项和公式的灵活应用及方程的思想
七、布置作业
1.书面作业：
课本46页习题2.3 A组2、3
2.课后思考：
思考：等差数列的前n项和公式可 以看做是关于项数n的什么函数呢?
2.不同点:公式一还需知道an,公式二中还需知道d
3.等差数列前n项和公式与梯形面积公式有什么联系呢？ 公式一:如何类比梯形面积公式来记忆？
n a1 an Sn 2
a1
n
an
公式二:如何类比梯形面积公式来记忆？
n n 1 Sn na1 d 2
a1
n
a1
(n 1)d
五、小组大PK
活动规则：1.以小组为单位，每组编一道等差 数列求和的题目，不能超纲； 2.编题满足要求，小组+1分; 3.含金量高的题目额外+1~2分.
过
马
来
吧 ！
放
六、归纳小结
1.倒序相加法求和的思想及应用 2.等差数列前n项和公式的推导过程
n a1 an 3.公式 Sn 2
n n 1 Sn na1 d 2
看高斯的!
1+2+3+· · · +100=?
?
高斯，(1777—1855） 德国著名数学家。
?
（1+100）+（2+99）+ …+（50+51） =101×50=5050
首尾配对法
问题3：第1层到21层一共有多少颗圆宝石？
高斯的办法行吗？如何改进？ S21=1 S21 =21 + 2 + + 3 19 + +
§2.3.1 等差数列前n项和
湘教版高中数学选择性必修第一册精品课件 第1章 数列 1.2.3 第1课时 等差数列的前n项和
学建模求解数列应用题.
3.注意事项:注意等差数列前n项和两个公式的选择应用,数学建模求解数
列应用题应明确是求和还是求通项公式.
学以致用·随堂检测促达标
1.若等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,a3=4,则其公差d=( C )
A.1
B.
5
3
C.2
D.3
解析 因为等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,a3=4,
31 + 3 = 6,
1 = 0,
所以
解得
故选 C.
1 + 2 = 4,
= 2,
1 2 3 4 5 6
2.已知等差数列{an}满足a1=1,am=99,d=2,则其前m项和Sm等于( D )
A.2 300
B.2 400
C.2 600
D.2 500
解析 由am=a1+(m-1)d,得99=1+(m-1)×2,解得m=50,所以
因为绵的总数为996斤,所以8a1+
8×7
2
×17=996,解得a1=65.
所以第7个儿子分到的绵是a7=65+17×6=167斤.故选A.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)数列前n项和的概念;
(2)等差数列前 n
( 1 + )
项和公式:Sn=
与
2
(-1)
Sn=na1+
d.
2
2.方法归纳:倒序相加法推导求和公式,方程(组)求解等差数列的基本量,数
2·3-1 , ≥ 2.
探究点三 等差数列的前n项和在实际问题中的应用
【例3】 某研究所计划建设n个实验室,从第1到第n实验室的建设费用依次
必修五2.3.1等差数列的前n项和公式(3课时)
答：集合M共有14个元素，它们的和等于735.
例1、计 算：
n( n 1) （1）1+2+3+…+n = ________. 2
（2）1+3+5+…+(2n-1)
=________ . n
2
（3）2+4+6+…+2n
n( n 1) =__________ .
（4）101 100 99 98 97 64 __________ . _
120 (1 120) S120 7 260 2
答：V形架上共放着 7 260支铅笔。
例2 等差数列 10，6，2，2，…前多少项的和是54？
解：设题中的等差数列为{an}，前n项和是 Sn，
则a1= 10，d= 6(10) 4,设 Sn=54，
根据等差数列前 n项和公式，得
解: 由等差数列的性质可得: a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18 sn=（16/2 ） × 18=144 答:前16项的和为144。
例3 求集合 M m | m 7n, n N , 且m 100 的元素个数，并求这些元素的和.
解：
所以集合M中的元素共有14个.
100 2 14 7n 100 n 7 7
…
将它们从小到大列出，得
7, 2 7, 3 7, 4 7,
即
14 7,
n（a1 an ) Sn 2
7，14，21，28，…，98 这个数列是成等差数列，记为 an
a1 7, a14 98, n 14
14 (7 98) S14 735 . 2