(完整word版)二次函数图像和性质拔高题(中考真题为主)

合集下载

(word完整版)初中数学专题训练--二次函数--二次函数图像性质及其应用

专题十一二次函数图象及其性质、考点扫描1、理解二次函数的概念：y=ax 2+bx+c （a,b,c 是常数，a 工0）2、会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标（—4ac b ）、对称轴x —和开口2a‘ 4a2a方向，会用描点法画二次函数的图象；3、会平移二次函数 y = ax 2（a z 0）的图象得到二次函数y = a （x-h ）2 + k 的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想； 4、会用待定系数法求二次函数的解析式；5、利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。

二、考点训练1、一次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图，则点 M （ b ， c ）在（）aA .第一象限B •第二象限C .第三象限D •第四象限A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个3、二次函数y=x 2的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数表达式是（）A.y=x 2+3B. y=x 2-3C. y= （x+3） 2D. y= （x-3） 2 4、二次函数y=- （x-1 ） 2+3图像的顶点坐标是（）A . （-1, 3）B . （1，3）C . （-1, -3）D . （1，-3）5、（ 2006年南充市）二次函数 y=ax 2+bx+c ，b 2=ac ，且x=0时y=-4则y 的最值是（）A .最大值-4B .最小值-4C .最大值-3D .最小值-36、二次函数 y=ax 2+bx+c （a 工0）的图象如图所示，则下列结论：① a>0；②c>0；孑③b 2-4ac>0，其中正确的个数是（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个7、（ 2006年常德市）根据下列表格中二次函数 y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y?的对应值，判断方程ax 2+bx+c=0 （a 工0，a ，b ，c 为常数）的一个解 x 的范围是（）2、（ 2005年武汉市）已知二次函数 y=ax 2+bx+c （a 工0）的图象如图 2所示, ?则下列结论：①a 、b 同号; ②当x=1和x=3时，函数值相等；③ 4a+b=0;④当y=-2时，x 的值只能取 0.其中正确的个数是（A. 6<x<6.17 B 6.17<x<6.18x 6.17 6.18 6.19 6.20y=ax2+bx+c-0.03-0.010.020.04C. 6.18<x<6.19 D . 6.19<x<6.20& (06年长春)函数y=x2+bx-c的图象经过点(1, 2), _则b-c的值为 ______________ .9、 (06年宿迁市)将一抛物线向左平移4个单位后，再向下平移2个单位得抛物线y=x2, ?则平移前抛物线的解析式是 _________ .10、 (06年锦州市)已知二次函数的图象开口向上，且顶点在y轴的负半轴上，请你写岀一个满足条件的二次函数的表达式 _________ .三、例题剖析1、如图，在坐标系中，二次函数y=ax2+c (a z 0)的图象过正方形ABOC?的三个顶点A , B , 6_则ac的值是 ________ .2、观察下面的表格:x012ax22ax2+bx+c46(1)求a, b, c的值，并在表格内的空格中填上正确的数;(2)求二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点坐标与对称轴.3、13. ( 2006年南通市)已知抛物线y=ax2+bx+c经过A, B, C三点，当x >0时，？其图象如图所示.(1)求抛物线的解析式，写岀抛物线的顶点坐标；(2)画出抛物线y=ax2+bx+c当x<0时的图象；(3)利用抛物线y=ax2+bx+c，写出x为何值时，y>0.3 3 14、( 06年长春市)如图，P为抛物线y= x2- x+ 上对称轴右侧的一点，且点P在x轴上方，过点4 2 4作PA垂直x轴于点A, PB垂直y轴于点B,得到矩形PAOB若AP=1,求矩形PAOB勺面积.四、综合应用1 ( 2006年烟台市)如图(单位：m),等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合.设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2.(1) 写出y与x的关系式；(2 )当x=2, 3.5时，y分别是多少？(3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.2、( 06年常州市)在平面直角坐标系中，已知二次函数y=a (x-1) 2+k?的图像与x轴相交于点A、B,顶点为C,点D在这个二次函数图像的对称轴上，若四边形ABCD?是一个边长为2且有一个内角为60°的菱形，求此二次函数的表达式.y«■11 1t ft i t1 1 j .J 5 x-一、考点扫描专题十二二次函数的应用二次函数应用刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二、例题剖析1、（2006年旅顺口区）已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中AF=2 ,BF=1 .试在AB上求一点P,使矩形PNDM有最大面积.2、某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x （元）?与产品的日销售量y （件）之间的关系如下表：x （元）152030y （件）252010若日销售量y是销售价x的一次函数.（1）求岀日销售量y （件）与销售价x （元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？？此时每日销售利润是多少元？3、在距离地面2m高的某处把一物体以初速度V o （m/s）竖直向上抛出，？在不计空气阻力的情况下，其上1升咼度s （m）与抛出时间t （s）满足：S=Vt- — gt2（其中g是常数，通常取10m/s2），若V o=1Om/s，2则该物体在运动过程中最高点距离地面__________ m.4、影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数. ？有研究表明，晴天在某段公路上行驶上，速度为V （km/h）的汽车的刹车距离S （m）可由公式S=A V^确定；雨天行驶时，这一公式为100S=^V2.如果车行驶的速度是60km/h，?那么在雨天行驶和晴天行驶相比，刹车距离相差__________ 米.505、（06年南京市）如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10 .在EF上取一点M， ?分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN〜矩形ABCD .令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？cA3H科<711E M6、（2006年青岛市）在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕，？某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：销售价x （元/千克）25 24 2322销售量y （千克）2000 2500 3000 3500（1 ）在直角坐标系内，作岀各组有序数对（ x ，y ）所对应的点•连接各点并观察所得的图形，判断 y 与x之间的函数关系，并求岀 y 与x 之间的函数关系式；（2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润 P （元）与销售价x （元/千克）之间的函数关系式，并求岀当x 取何值时，P 的值最大？7、施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为 6米，宽度OM 为12米，现在O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系（如图所示）. （1）直接写岀点M 及抛物线顶点P 的坐标；（2）求岀这条抛物线的函数解析式；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架” ABCD ，使A 、D 点在抛物线上，B 、C 点在地面OM 上•为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆 AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下.三、综合应用1、如图10，点A 在抛物线y -x 2上，过点A 作与x 轴平行的直线交抛物线于点B ，延长AO,BO 分别43500 3000 2500 2000与抛物线v 1x2相交于点C,D，连接AD,BC，设点A的横坐标为m，且m>0 .8(1 )当m=1时，求点A,B,D的坐标；(2) 当m为何值时，四边形ABCD的两条对角线互相垂直；(3) 猜想线段AB与CD之间的数量关系，并证明你的结论.2、如图，已知抛物线y 3X2bx C与坐标轴交于A、B、C三点，点A的横坐标为-1，过点C(0,3) 4的直线y £X 3与X轴交于点Q,点P是线段BC上的一个动点，PH丄OB于点H .若PB=5t，且0<t<1 .4t(1)确定b, c 的值：b ________ ，c ______ ；(2)写出点B, Q, P的坐标(其中Q，P用含t的式子表示):B(—，—)，Q(—，—)，P(___，—)；(3)依点P的变化，是否存在t的值，使△PQB为等腰三角形？若存在，求出所有t的值；若不存在, 说明理由.。

中考数学复习《二次函数的图象与性质》经典题型及测试题(含答案)

中考数学复习《二次函数的图象与性质》经典题型及测试题（含答案）知识点一：二次函数的概念及解析式 1.一次函数的定义形如y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)的函数，叫做二次函数. 例：如果函数y =(a －1)x 2是二次函数，那么a 的取值范围是a ≠0. 2.解析式（1）三种解析式：①一般式：y=ax 2+bx+c;②顶点式：y=a(x-h)2+k(a ≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h ,k ）; ③交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2),其中x 1,x 2为抛物线与x 轴交点的横坐标.（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.变式练习：如图，对称轴为直线x ＝2的抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为(－1，0)． (1)求抛物线的解析式；(2)直接写出B ，C 两点的坐标； (3)求过O ，B ，C 三点的圆的面积．(结果用含π的代数式表示)解：(1)由A(－1，0)，对称轴为x ＝2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－b 2＝2，1－b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝－5，∴抛物线解析式为y ＝x 2－4x －5(2)由A 点坐标为(－1，0)，且对称轴方程为x ＝2，可知AB ＝6，∴OB ＝5，∴B 点坐标为(5，0)，∵y ＝x 2－4x －5， ∴C 点坐标为(0，－5)(3)如图，连接BC ，则△OBC 是直角三角形，∴过O ，B ，C 三点的圆的直径是线段BC 的长度，在Rt △OBC 中，OB ＝OC ＝5，∴BC ＝52， ∴圆的半径为522，注意：若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与x 轴的两个交点坐标，可设交点式.∴圆的面积为π(522)2＝252π知识点二：二次函数的图象与性质变式练习2：当0≤x ≤5时，抛物线y=x 2+2x+7的最小值为7 .变式练习2：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法错误的是( ) A. 函数有最小值B. 对称轴是直线x ＝12C. 当x ＜12时，y 随x 的增大而减小 D. 当－1＜x ＜2时，y ＞0【解析】A.由抛物线的开口向上，可知a ＞0，函数有最小值，正确，故本选项不顶点坐标 24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭增减性当x >2ba -时，y 随x 的增大而增大；当x ＜2b a-时，y 随x 的增大而减小. 当x >2ba-时，y 随x 的增大而减小；当x＜2b a-时，y 随x 的增大而增大.最值x=2ba -，y 最小＝244ac b a -.x =2ba -，y 最大＝244ac b a-. 注意：（1）比较二次函数函数值大小的方法：①直接代入求值法；②性质法：当自变量在对称轴同侧时，根据函数的性质判断；当自变量在对称轴异侧时，可先利用函数的对称性转化到同侧，再利用性质比较；④图象法：画出草图，描点后比较函数值大小.失分点警示（2）在自变量限定范围求二次函数的最值时，首先考虑对称轴是否在取值范围内，而不能盲目根据公式求解.符合题意；B.由图象可知，对称轴为x ＝12，正确，故本选项不符合题意；C.因为a ＞0，所以，当x ＜12时，y 随x 的增大而减小，正确，故本选项不符合题意；D.由图象可知，当－1＜x ＜2时，y ＜0，错误，故本选项符合题意． 2.系数a 、b 、c 的关系注意某些特殊形式代数式的符号： ① a ±b+c 即为x=±1时，y的值；②4a ±2b+c 即为x=±2时，y 的值. ③ 2a+b 的符号，需判断对称某些特殊形式代数式的符号： ② a ±b+c 即为x=±1时，y的值；②4a ±2b+c 即为x=±2时，y 的值. ④ 2a+b 的符号，需判断对称 ③ a ±b+c 即为x=±1时，y的值；②4a ±2b+c 即为x=±2时，y 的值.轴-b/2a 与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-b/2a ＞1，再根据a 的符号即可得出结果.④2a-b 的符号，需判断对称轴与-1的大小.3．已知函数y ＝ax 2－2ax －1(a 是常数，a ≠0)，下列结论正确的是( D ) A ．当a ＝1时，函数图象过点(－1，1)B ．当a ＝－2时，函数图象与x 轴没有交点C ．若a ＞0，则当x ≥1时，y 随x 的增大而减小系数a 、b 、c a 决定抛物线的开口方向及开口大小当a ＞0时，抛物线开口向上；当a ＜0时，抛物线开口向下.a 、b 决定对称轴（x=-b/2a ）的位置当a ，b 同号，-b/2a ＜0，对称轴在y 轴左边；当b ＝0时， -b/2a=0，对称轴为y 轴；当a ，b 异号，-b/2a ＞0，对称轴在y 轴右边． c决定抛物线与y 轴的交点的位置当c ＞0时，抛物线与y 轴的交点在正半轴上；当c ＝0时，抛物线经过原点；当c ＜0时，抛物线与y 轴的交点在负半轴上.b 2－4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数b 2－4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点; b 2－4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点;b 2－4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点D ．若a ＜0，则当x ≤1时，y 随x 的增大而增大知识点三：二次函数的平移平移与解析式的关系平移|k |个单位平移|h |个单位向上(k ＞0)或向下(k ＜0)向左(h ＜0)或向右(h ＞0)y =a (x －h )2＋k 的图象y =a (x －h )2的图象y =ax 2的图象变式练习1：将抛物线y=x 2沿x 轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是y=（x －2）2．变式练习2：如果将抛物线y ＝x 2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是( C )A ．y ＝(x －1)2＋2B ．y ＝(x ＋1)2＋2C ．y ＝x 2＋1D ．y ＝x 2＋3变式练习3：已知二次函数y ＝x 2－4x ＋a ，下列说法错误的是( ) A. 当x ＜1时，y 随x 的增大而减小 B. 若图象与x 轴有交点，则a ≤4C. 当a ＝3时，不等式x 2－4x ＋a ＞0的解集是1＜x ＜3D. 若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(1，－2)，则a ＝－3【解析】C ∵y ＝x 2－4x ＋a ，∴对称轴x ＝2，画二次函数的草图如解图，A.当x ＜1时，y 随x 的增大而减小，所以A 选项正确；B.∵b 2－4ac ＝16－4a ≥0，即a ≤4时，二次函数和x 轴有交点，所以B 选项正确；C.当a ＝3时，不等式x 2－4x ＋a ＞0的解集是x ＜1或x ＞3，所以C 选项错误；D.y ＝x 2－4x ＋a 配方后是y ＝(x －2)2＋a －4，向上平移1个单位，再向左平移3个单位后，函数解析式是y ＝(x ＋1)2＋a －3，把(1，－2)代入函数解析式，易求a ＝－3，所以D 选项正确，故选C.知识点四：二次函数与一元二次方程以及不等式注意：1)二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式2)抛物线平移规律是“上加下减，左加右减”,左右平移易弄反.无论是什么函数，左右移影响着x 的变化，左移x 加，右移x 减；上下移影响着y 的变化，上移y 减，下移y 加。

二次函数的图象与性质大题(五大题型)—2024年中考数学(全国通用)解析版

二次函数的图象与性质大题（五大题型）通用的解题思路：题型一．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c （a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．题型二．二次函数图象与系数的关系二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）③．常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac ＜0时，抛物线与x轴没有交点．题型三．待定系数法求二次函数解析式（1）二次函数的解析式有三种常见形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；（2）用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．题型四．抛物线与x轴的交点求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．（2）二次函数的交点式：y＝a（x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．题型五．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．题型一．二次函数的性质（共3小题）1．（2024•石景山区校级模拟）在平面直角坐标系xOy 中，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线2(0)y x bx b =−+≠上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x h =．（1）若抛物线经过点(2,0)，求h 的值；（2）若对于11x h =−，22x h =，都有12y y >，求h 的取值范围；（3）若对于121h x h −+……，221x −−……，存在12y y <，直接写出h 的取值范围．【分析】（1）根据对称轴2bx a=−进行计算，得2b h =，再把(2,0)代入2(0)y x bx b =−+≠，即可作答．（2）因为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线2(0)y x bx b =−+≠上的点，所以把11x h =−，22x h =分别代入，得出对应的1y ，2y ，再根据12y y >联立式子化简，计算即可作答；（3）根据121h x h −+……，221x −−……，存在12y y <，得出当221h −<−<−或者211h −<+<−，即可作答．【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线x h =， 22b bh ∴=−=−，即2b h =，∴抛物线22y x hx =−+，把(2,0)代入22y x hx =−+，得0422h =−+⨯，解得1h =；（2）由（1）知抛物线22y x hx =−+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线22y x hx =−+上任意两点，221(1)2(1)1y h h h h ∴=−−+−=−，22(2)220y h h h =−+⨯=，对于11x h =−，22x h =，都有12y y >， 210h ∴−>，解得1h >或1h <−；（3）1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线22y x hx =−+上任意两点，对于121h x h −+……，221x −−……，存在12y y <，且1(2,)h y −关于直线x h =的对称点为1(2,)h y +，1(1,)h y +关于直线x h =的对称点为1(1,)h y −，∴当221h −<−<−时，存在12y y <，解得01h <<，当221h −<+<−时，存在12y y <，解得43h −<<−，当211h −<+<−时，存在12y y <，解得32h −<<−，当211h −<−<−时，存在12y y <，解得10h −<<，综上，满足h 的取值范围为41h −<<且0h ≠．【点评】本题考查了二次函数的图象性质、增减性，熟练掌握二次函数的图象和性质是解决本题的关键． 2．（2024•鹿城区校级一模）已知二次函数223y x tx =−++．（1）若它的图象经过点(1,3)，求该函数的对称轴．（2）若04x ……时，y 的最小值为1，求出t 的值．（3）如果(2,)A m n −，(,)C m n 两点都在这个二次函数的图象上，直线2y mx a =+与该二次函数交于1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 两点，则12x x +是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）把(1,3)代入解析式求出12t =，再根据对称轴公式求出对称轴；（2）根据抛物线开口向下，以及0x =时3y =，由函数的性质可知，当4x =时，y 的最小值为1，然后求t 即可；（3）(2,)A m n −，(,)C m n 两点都在这个二次函数的图象上，有对称轴公式得出1m t −=，再令2232x tx mx a −++=+，并转化为一般式，然后由根与系数的关系求出122x x +=−．【解答】解：（1）将(1,3)代入二次函数223y x tx =−++，得3123t =−++，解得12t =， ∴对称轴直线为21122t x t =−==−⨯；（2）当0x =时，3y =，抛物线开口向下，对称轴为直线x t =， ∴当x t =时，y 有最大值，04x ……时，y 的最小值为1，∴当4x =时，16831y t =−++=，解得74t =；（3）12x x +是定值，理由：(2,)A m n −，(,)C m n 两点都在这个二次函数的图象上， 212m mx t m −+∴===−， 1m t ∴−=，令2232x tx mx a −++=+，整理得：22()30x m t x a +−+−=，直线2y mx a =+与该二次函数交于1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 两点， 1x ∴，2x 是方程22()30x m t x a +−+−=的两个根，122()2()21m t x x m t −∴+=−=−−=−是定值．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，关键是掌握二次函数的性质． 3．（2024•拱墅区一模）在平面直角坐标系中，抛物线2(2)2y ax a x =−++经过点(2,)A t −，(,)B m p ．（1）若0t =，①求此抛物线的对称轴；②当p t <时，直接写出m 的取值范围；（2）若0t <，点(,)C n q 在该抛物线上，m n <且5513m n +<−，请比较p ，q 的大小，并说明理由．【分析】（1）①当0t =时，点A 的坐标为(2,0)−，将其代入函数解析式中解得1a =−，则函数解析式为抛物线的解析式为22y x x =−−+，再根据求对称轴的公式2bx a=−即可求解； ②令0y =，求出抛物线与x 轴交于(2,0)−和(1,0)，由题意可得0p <，则点B 在x 轴的下方，以此即可解答；（2）将点A 坐标代入函数解析式，通过0t <可得a 的取值范围，从而可得抛物线开口方向及对称轴，根据点B ，C 到对称轴的距离大小关系求解．【解答】解：（1）①当0t =时，点A 的坐标为(2,0)−，抛物线2(2)2y ax a x =−++经过点(2,0)A −， 42(2)20a a ∴+++=，1a ∴=−，∴抛物线的解析式为22y x x =−−+， ∴抛物线的对称轴为直线112(1)2x −=−=−⨯−；②令0y =，则220x x −−+=，解得：11x =，22x =−，∴抛物线与x 轴交于(2,0)−和(1,0)，点(2,0)A −，(,)B m p ，且0p <， ∴点(,)B m p 在x 轴的下方，2m ∴<−或1m >．（2）p q <，理由如下：将(2,)t −代入2(2)2y ax a x =−++得42(2)266t a a a =+++=+，0t <， 660a ∴+<， 1a ∴<−，∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线(2)1122a x a a −+=−=+， 1a <−，110a∴−<<， 1111222a ∴−<+<， m n <且5513m n +<−，∴1312102m n +<−<−， ∴点(,)B m p 到对称轴的距离大于点(,)C n q 到对称轴的距离，p q ∴<．【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．题型二．二次函数图象与系数的关系（共8小题）4．（2023•南京）已知二次函数223(y ax ax a =−+为常数，0)a ≠．（1）若0a <，求证：该函数的图象与x 轴有两个公共点．（2）若1a =−，求证：当10x −<<时，0y >．（3）若该函数的图象与x 轴有两个公共点1(x ，0)，2(x ，0)，且1214x x −<<<，则a 的取值范围是．【分析】（1）证明240b ac −>即可解决问题．（2）将1a =−代入函数解析式，进行证明即可．（3）对0a >和0a <进行分类讨论即可．【解答】证明：（1）因为22(2)43412a a a a −−⨯⨯=−，又因为0a <，所以40a <，30a −<，所以24124(3)0a a a a −=−>，所以该函数的图象与x 轴有两个公共点．（2）将1a =−代入函数解析式得，2223(1)4y x x x =−++=−−+，所以抛物线的对称轴为直线1x =，开口向下．则当10x −<<时，y 随x 的增大而增大，又因为当1x =−时，0y =，所以0y >．（3）因为抛物线的对称轴为直线212ax a−=−=，且过定点(0,3)，又因为该函数的图象与x 轴有两个公共点1(x ，0)，2(x ，0)，且1214x x −<<<，所以当0a >时，230a a −+<，解得3a >，故3a >．当0a <时，230a a ++<，解得1a <−，故1a <−．综上所述，3a >或1a <−．故答案为：3a >或1a <−．【点评】本题考查二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．5．（2024•南京模拟）在平面直角坐标系xOy 中，点1(1,)y ，2(3,)y 在抛物线222y x mx m =−+上．（1）求抛物线的顶点(,0)m ；（2）若12y y <，求m 的取值范围；（3）若点0(x ，0)y 在抛物线上，若存在010x −<<，使102y y y <<成立，求m 的取值范围．【分析】（1）利用配方法将已知抛物线解析式转化为顶点式，可直接得到答案；（2）由12y y <，得到221296m m m m −+<−+，解不等式即可；（3）由题意可知012032m m +⎧<⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩或112132m m −+⎧<⎪⎪⎨−+⎪>⎪⎩，解不等式组即可．【解答】解：（1）抛物线222()y x mx m x m =−+=−． ∴抛物线的顶点坐标为(,0)m ．故答案为：(,0)m ；（2）点1(1,)y ，2(3,)y 在抛物线222y x mx m =−+上，且12y y <， 221296m m m m ∴−+<−+，2m ∴<；（3）点0(x ，0)y 在抛物线上，存在010x −<<，使102y y y <<成立， ∴012032m m +⎧<⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩或112132m m −+⎧<⎪⎪⎨−+⎪>⎪⎩，解得302m <<．【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．6．（2024•北京一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线23y ax bx =++经过点(2,3)a −．（1）求该抛物线的对称轴（用含有a 的代数式表示）；（2）点(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −为该抛物线上的三个点，若存在实数t ，使得m n p >>，求a 的取值范围．【分析】（1）将点(2,3)a −代入抛物线23y ax bx =++中，然后根据二次函数的对称轴公式代入数值，即可得出答案；（2）分类讨论当0a >和0a <，利用数形结合以及二次函数的性质就可以得出a 的取值范围．【解答】解（1）抛物线23y ax bx =++经过点(2,3)a −， ∴把(2,3)a −代入23y ax bx =++得2(2)233a a ab ⨯−−+=，22b a ∴=，2223y ax a x ∴=++，∴抛物线的对称轴222a x a a=−=−，答：抛物线的对称轴为：x a =−；（2）①当0a >时，抛物线开口方向向上，对称轴0x a =−<，在x 轴的负半轴上，所以越靠近对称轴函数值越小， ∴当0t <时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t ∴−<+，∴此时p m n >>与题干m n p >>相矛盾，故舍去， ∴当0t >时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t ∴−<+，∴此时m n <与题干m n p >>相矛盾，故舍去；②当0a <时，抛物线开口方向向下，对称轴0x a =−>，在x 轴的正半轴上，所以越靠近对称轴函数值越大， ∴当0t >时，点M 、N 分别在对称轴同侧时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t ∴−<+， .m n p >>，∴此时02a t <−<−，即20t a −<<，2t ∴>，∴当0t >时，点M 、N 分别在对称轴两侧时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t t ∴−<<+，p m n ∴>>与题干m n p >>相矛盾，故舍去，∴当0t <时，且点M 、N 分别在对称轴两侧时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t t ∴−<<+，n m ∴>与题干m n p >>相矛盾，故舍去，当0t <时，且点M 、N 分别在对称轴同侧时， (2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t t ∴−<<+，n m ∴>与题干m n p >>相矛盾，故舍去，答：a 的取值范围为20(2)t a t −<<>．7．（2024•张家口一模）某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式2y x bx c =++，通过输入不同的b ，c 的值，在几何画板的展示区内得到对应的图象．（1）若输入2b =，3c =−，得到如图①所示的图象，求顶点C 的坐标及抛物线与x 轴的交点A ，B 的坐标；（2）已知点(1,10)P −，(4,0)Q ．①若输入b ，c 的值后，得到如图②的图象恰好经过P ，Q 两点，求出b ，c 的值；②淇淇输入b ，嘉嘉输入1c =−，若得到二次函数的图象与线段PQ 有公共点，求淇淇输入b 的取值范围．【分析】（1）将2b =，3c =−，代入函数解析式，进行求解即可；（2）①待定系数法进行求解即可；②将1c =−代入解析式，得到抛物线必过点(0,1)−，求出1x =−和4x =的函数值，根据抛物线与线段PQ 有公共点，列出不等式进行求解即可．【解答】解：（1）2y x bx c =++，解：当2b =，3c =−时，2223(1)4y x x x =+−=+−， ∴顶点C 的坐标为：(1,4)−−；当0y =时，2230x x +−=，即(3)(1)0x x +−=，解得：13x =−，21x =， (3,0)A ∴−，(1,0)B ；（2）①抛物线恰好经过P ，Q则：1101640b c b c −+=⎧⎨++=⎩，解得：54b c =−⎧⎨=⎩；②当1c =−时，21y x bx =+−，当0x =时，1y =−， ∴抛物线过(0,1)−，当1x =−时，11y b b =−−=−，当点(1,)b −−在点P 上方，或与点P 重合时，抛物线与线段PQ 有公共点，即：10b −…，解得：10b −…；当4x =时，1641415y b b =+−=+，当点(4,154)b +在点Q 上方，或与点Q 重合时，抛物线与线段PQ 有公共点，即：1540b +…，154b ≥−；综上：10b −…或154b ≥−．【点评】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．8．（2024•浙江模拟）设二次函数24(y ax ax c a =−+，c 均为常数，0)a ≠，已知函数值y 和自变量x 的部分对应取值如下表所示：（1）判断m ，n 的大小关系，并说明理由；（2）若328m n −=，求p 的值；（3）若在m ，n ，p 这三个数中，只有一个数是负数，求a 的取值范围．【分析】（1）根据所给函数解析式，可得出抛物线的对称轴为直线2x =，据此可解决问题．（2）根据（1）中发现的关系，可求出m 的值，据此即可解决问题．（3）根据m 和n 相等，所以三个数中的负数只能为p ，据此可解决问题．【解答】解：（1）m n =．因为二次函数的解析式为24y ax c =+，所以抛物线的对称轴为直线422ax a−=−=，又因为1522−+=，所以点(1,)m −与(5,)n 关于抛物线的对称轴对称，故m n =．（2）因为m n =，328m n −=，所以8m =．将(0,3)和(1,8)−代入函数解析式得：348c a a c =⎧⎨++=⎩，解得13a c =⎧⎨=⎩所以二次函数的解析式为243y x x =−+．将2x =代入函数解析式得，224231p =−⨯+=−．（3）由（1）知，m n =，所以m ，n ，p 中只能p 为负数．将(0,3)代入函数解析式得，3c =，所以二次函数解析式为243y ax ax =−+．将1x =−代入函数解析式得，53m a =+．将2x =代入函数解析式得，43p a =−+．则430530a a −+<⎧⎨+≥⎩，解得34a >，所以a 的取值范围是34a >．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．9．（2024•北京模拟）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(26)1y x m x =+−+经过点1(,)m y −，2(,)m y ，3(2,)m y +．（1）若13y y =，求抛物线的对称轴；（2）若231y y y <<，求m 的取值范围．【分析】（1）利用对称轴意义即可求解；（2m 的不等式组，解不等式组即可．【解答】解：（1）抛物线2(26)1y x m x =+−+经过点1(,)m y −，2(,)m y ，3(2,)m y +，13y y =， ∴该抛物线的对称轴为：直线22m m x −++=，即直线1x =；（2）当0m >时，可知点1(,)m y −，2(,)m y ，3(2,)m y +从左至右分布， 231y y y <<，∴232232m m m m m m ++⎧−<⎪⎪⎨−++⎪−>⎪⎩，解得12m <<；当0m <时，3m m m ∴<−<−+，21y y ∴>，不合题意，综上，m 的取值范围是12m <<．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．10．（2024•浙江模拟）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(y ax bx c a =++，b ，c 为常数，且0)a ≠经过(2,4)A −−和(3,1)B 两点．（1）求b 和c 的值（用含a 的代数式表示）；（2）若该抛物线开口向下，且经过(23,)C m n −，(72,)D m n −两点，当33k x k −<<+时，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围；（3）已知点(6,5)M −，(2,5)N ，若该抛物线与线段MN 恰有一个公共点时，结合函数图象，求a 的取值范围．【分析】（1）把(2,4)A −−和(3,1)B 代入2y ax bx c =++，即可求解；（2）先求出对称轴为：直线2x =，结合开口方向和增减性列出不等式即可求解；（3）分0a >时，0a <时，结合图象即可求解．【解答】解：（1）把(2,4)A −−和(3,1)B 代入2y ax bx c =++，得：424931a b c a b c −+=−⎧⎨++=⎩，解得：162b a c a =−⎧⎨=−−⎩；（2）抛物线经过(23,)C m n −，2,)m n −两点， ∴抛物线的对称轴为：直线237222m mx −+−==，抛物线开口向下，当33k x k −<<+时，y 随x 的增大而减小，32k ∴−…，即5k …；（3）①当0a >时，6x =−，5y …，即2(6)(1)(6)625a a a ⨯−+−⨯−−−…，解得：1336a …，抛物线不经过点N ，如图①，抛物线与线段MN 只有一个交点，结合图象可知：1336a …；②当0a <时，若抛物线的顶点在线段MN 上时，则2244(62)(1)544ac b a a a a a−−−−−==，解得：11a =−，2125a =−，当11a =−时，111112222(1)a −=−=⨯−，此时，定点横坐标满足116222a−−……，符合题意；当11a =−时，如图②，抛物线与线段MN 只有一个交点，如图③，当2125a =−时，11111312222()25a −=−=⨯−，此时顶点横坐标不满足116222a−−……，不符合题意，舍去；若抛物线与线段MN 有两个交点，且其中一个交点恰好为点N 时，把(2,5)N 代入2(1)62y ax a x a =+−−−，得：252(1)262a a a =⨯+−⨯−−，解得：54a =−，当54a =−时，如图④，抛物线和线段MN 有两个交点，且其中一个交点恰好为点N ，结合图象可知：54a <−时，抛物线与线段MN 有一个交点，综上所述：a 的取值范围为：1336a …或1a =−或54a <−．【点评】本题考查二次函数的性质和图象，根据题意画出图象，分类讨论是解题的关键．11．（2024•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)，1(6,)y 在抛物线2(0)y ax bx c a =++≠上．（1）当13y =时，求抛物线的对称轴；（2）若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过点(1,1)−−，当自变量x 的值满足12x −……时，y 随x 的增大而增大，求a 的取值范围；（3）当0a >时，点2(4,)m y −，2(,)m y 在抛物线2y ax bx c =++上．若21y y c <<，请直接写出m 的取值范围．【分析】（1）当13y =时，(0,3)，(6,3)为抛物线上的对称点，根据对称性求出对称轴；（2）把(0,3)，(1,1)−−代入抛物线解析式得出a ，b 的关系，然后求出对称轴，再分0a >和0a <，由函数的增减性求出a 的取值范围；（3）先画出函数图象，再根据21y y c <<确定m 的取值范围．【解答】解：（1）当13y =时，(0,3)，(6,3)为抛物线上的对称点， 0632x +∴==， ∴抛物线的对称轴为直线3x =；（2）2(0)y ax bx c a =++≠过(0,3)，(1,1)−−，3c ∴=，31a b −+=−， 4b a =+，∴对称轴为直线422b a x a a+=−=−，①当0a >时，12x −……时，y 随x 的增大而增大，∴412a a+−−…，解得4a …，04a ∴<…；②当0a <时，12x −……时，y 随x 的增大而增大，∴422a a+−…，解得45a −…， ∴405a −<…，综上：a 的取值范围是405a −<… 或04a <…；（3）点(0,3)在抛物线2y ax bx c =++上，3c ∴=，点2(4,)m y −，2(,)m y 在抛物线2y ax bx c =++上， ∴对称轴为直线422m mx m −+==−， ①如图所示：21y y c <<，6m ∴<且06232m +−>=， 56m ∴<<；②如图所示：21y y c <<，46m ∴−>， 10m ∴>，综上所述，m 的取值范围为56m <<或10m >．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，关键是利用数形结合和分类讨论的思想进行解答．题型三．待定系数法求二次函数解析式（共3小题）12．（2024•保山一模）如图，抛物线2y ax bx c =++过(2,0)A −，(3,0)B ，(0,6)C 三点；点P 是第一象限内抛物线上的动点，点P 的横坐标是m ，且132m <<．（1）试求抛物线的表达式；（2）过点P 作PN x ⊥轴并交BC 于点N ，作PM y ⊥轴并交抛物线的对称轴于点M ，若12PM PN =，求m 的值．【分析】（1）将A ，B ，C 三点坐标代入函数解析式即可解决问题．（2）用m 表示出PM 和PN ，建立关于m 的方程即可解决问题．【解答】解：（1）由题知，将A ，B ，C 三点坐标代入函数解析式得，4209306a b c a b c c −+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得116a b c =−⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以抛物线的表达式为26y x x =−++．（2）将x m =代入抛物线得表达式得，26y m m =−++，所以点P 的坐标为2(,6)m m m −++．令直线BC 的函数解析式为y px q =+，则306p q q +=⎧⎨=⎩，解得26p q =−⎧⎨=⎩，所以直线BC 的函数解析式为26y x =−+．因为132m <<，且抛物线的对称轴为直线12x =，所以12PM m =−．又因为点N 坐标为(,26)m m −+，所以226(26)3PN m m m m m =−++−−+=−+．因为12PM PN =，所以211(3)22m m m −=−+，解得m =，又因为132m <<，所以m =．【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象和性质，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键．13．（2024•东营区校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线28y x =−+与抛物线2y x bx c =−++交于A ，B 两点，点B 在x 轴上，点A 在y 轴上．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点C 是直线AB 上方抛物线上一点，过点C 分别作x 轴，y 轴的平行线，交直线AB 于点D ，E ．当38DE AB =时，求点C 的坐标．【分析】（1）根据一次函数解析式求出A ，B 两点坐标，再将A ，B 两点坐标代入二次函数解析式即可解决问题．（2）根据AOB ECD ∆∆∽得到CD 与OB 的关系，建立方程即可解决问题．【解答】解：（1）令0x =得，8y =，所以点A 的坐标为(0,8)；令0y =得，4x =，所以点B 的坐标为(4,0)；将A ，B 两点坐标代入二次函数解析式得，81640c b c =⎧⎨−++=⎩，解得28b c =⎧⎨=⎩，所以抛物线的函数表达式为228y x x =−++．（2）因为//CD x 轴，//CE y 轴，所以AOB ECD ∆∆∽，则CD DEOB AB=．因为38DE AB =，4OB =，所以32CD =．令点C 坐标为2(,28)m m m −++，则点D 坐标为21(2m m −，228)m m −++所以2211()222CD m m m m m =−−=−+，则213222m m −+=，解得1m =或3．当1m =时，2289m m −++=；当3m =时，2285m m −++=；所以点C 的坐标为(1,9)或(3,5)．【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键．14．（2024•南关区校级二模）已知二次函数2y x bx c =++的图象经过点(0,3)A −，(3,0)B ．点P 在抛物线2y x bx c =++上，其横坐标为m ．（1）求抛物线的解析式；（2）当23x −<<时，求y 的取值范围；（3）当抛物线2y x bx c =++上P 、A 两点之间部分的最大值与最小值的差为34时，求m 的值；（4）点M 在抛物线2y x bx c =++上，其横坐标为1m −．过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，分别连结PM ，PN ，QM ，当PQM ∆与PNM ∆的面积相等时，直接写出m 的值．【分析】（1）依据题意，将A 、B 两点代入解析式求出b ，c 即可得解；（2）依据题意，结合（1）所求解析式，再配方可得抛物线的最值，进而由23x −<<可以判断得解；（3）依据题意，分类讨论计算可以得解；（4）分别写出P 、Q 、M 、N 的坐标，PQM ∆与PNM ∆的面积相等，所以Q 到PM 的距离等于N 到PM 的距离，可得m 的值．【解答】解：（1）由题意，将(0,3)A −，(3,0)B 代入解析式2y x bx c =++得，3c =−，930b c ++=，2b ∴=−，3c =−，∴抛物线的解析式为223y x x =−−；（2）由题意，抛物线2223(1)4y x x x =−−=−−，∴抛物线223y x x =−−开口向上，当1x =时，y 有最小值为4−，当2x =−时，5y =；当3x =时，0y =， ∴当23x −<<时，45y −<…；（3）由题意得，2(,23)P m m m −−，(0,3)A −，①当0m <时，P 、A 两点之间部分的最大值为223m m −−，最小值为3−， 2323(3)4m m ∴−−−−=，解得：1m =−②当02m ……时，P 、A 两点之间部分的最大值为3−，最小值为223m m −−或4−，显然最小值是4−时不合题意， ∴最小值为223m m −−， 233(23)4m m ∴−−−−=，解得：32m =或12m =， 32m =时，P 、A 两点之间部分的最小值为4−，故舍去， ③当2m <时，P 、A 两点之间部分的最大值为223m m −−，最小值为4−， 2323(4)4m m ∴−−−−=，解得：1m =+，12+<，故舍去，综上，满足题意得m 的值为：1或12；（4）由题意得，2(1,4)M m m −−，(1,0)N m −，2(0,23)Q m m −−，设PM y kx b =+，代入P 、M 两点， 2223(1)4mk b m m m k b m ⎧+=−−⎨−+=−⎩，解得：1k =−，23b m m =−−，23PM y x m m =−+−−，PQM ∆与PNM ∆的面积相等，Q ∴到23PM y x m m =−+−−的距离与N 到23PM y x m m =−+−−的距离相等，Q 到23PM y x m m =−+−−的距离=，N 到23PMy x m m =−+−−的距离=， 2|||4|m m ∴−=−+，当2m <−时，24m m −=−，解得：m =，当20m −……时，24m m −=−，解得：m =，当02m <…时，24m m =−，解得：m =当2m <时，24m m =−，解得：m =综上，满足题意得m ．【点评】本题考查了二次函数，关键是注意分类讨论．题型四．抛物线与x 轴的交点（共14小题）15．（2024•秦淮区校级模拟）已知函数2(2)2(y mx m x m =−−−为常数）．（1）求证：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点．（2）不论m ．（3）在22x −……的范围中，y 的最大值是2，直接写出m 的值．【分析】（1）分两种情况讨论，利用判别式证明即可；（2）当1x =时，0y =，当0x =时，2y =−，即可得到定点坐标；（3）利用抛物线过两个定点，得到函数y 随x 增大而增大，代入解析式求出m 值即可．【解答】解：（1）①当0m =时，函数解析式为22y x =−，此一次函数与x 轴有交点； ②当0m ≠时，函数解析式为2(2)2y mx m x =−−−，令0y =，则有2(2)20mx m x −−−=，△2222(2)4(2)44844(2)0m m m m m m m m =−−⨯−=−++=++=+…． ∴不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点．（2）222(2)222()22y mx m x mx mx x m x x x =−−−=−+−=−+−，当1x =时，0y =，当0x =时，2y =−，∴不论m 为何值，该函数的图象经过的定点坐标是(1,0)．(0,2)−故答案为：(1,0)，(0,2)−，（3）若0m =，函数22y x =−，y 随x 增大而增大，当2x =时，2y =，与题干条件符；当0m ≠时，函数2(2)2y mx m x =−−−是二次函数，①当0m >时，抛物线过(1,0)，(0,2)−两点，当22x −……的范围中时，y 随x 的增大而增大， ∴当2x =时，2y =，即242(2)2m m =−−−，解得0m =（舍去）．②当0m <时，抛物线过(1,0)，(0,2)−两点，其增减性依旧是y 随x 的增大而增大和①相同．综上分析，0m =．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．16．（2024•柳州模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，B 点的坐标为(3,0)，与y 轴交于点(0,3)C −，点D 为抛物线的顶点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求ABD ∆的面积【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出点A 和点D 坐标，再根据||2D ABD AB y S ∆⋅=解析求解即可．【解答】解：（1）将(3,0)B ，(0,3)C −代入2y x bx c =++得0933b c c =++⎧⎨=−⎩，解得23b c =−⎧⎨=−⎩，∴二次函数的解析式为：223y x x =−−；（2）将223y x x =−−配方得顶点式2(1)4y x =−−， ∴顶点(1,4)D −，在223y x x =−−中，当2230y x x =−−=时，解得1x =−或3x =， (1,0)A ∴−，4AB ∴=， ∴||44822D ABD AB y S ∆⋅⨯===．【点评】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．17．（2024•安阳模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与抛物线21y x x =−+−的形状相同，且与x 轴交于点(1,0)−和(4,0)．直线2y kx =+分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，交抛物线2y ax bx c =++于点C ，D （点C 在点D 的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线2y kx =+上方抛物线上的任意一点，当2k =时，求PCD ∆面积的最大值；（3）若抛物线2y ax bx c =++与线段AB 有公共点，结合函数图象请直接写出k 的取值范围．【分析】（1）根据题意直接求出二次函数解析式即可；（2）求出直线与抛物线的交点C ，D 坐标，过点P 作y 轴的平行线交CD 于点H ，交x 轴于点G ，设点P坐标为(m ，234)(12)m m m −++−<<，则点(,22)H m m +，求出PH ，由三角形的面积公式求出关于m 的函数解析式，再根据函数的性质求最值；（3）分0k >和0k <两种情况讨论即可．【解答】解：（1）抛物线2y ax bx c =++与抛物线21y x x =−+−的形状相同，1a ∴=−，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)−和(4,0)， ∴抛物线的解析式为2(1)(4)34y x x x x =−+−=−++；（2）当2k =时，联立方程组22234y x y x x =+⎧⎨=−++⎩，解得10x y =−⎧⎨=⎩或26x y =⎧⎨=⎩， (1,0)C ∴−，(2,6)D ，过点P 作y 轴的平行线交CD 于点H ，交x 轴于点G ，如图，设点P 坐标为(m ，234)(12)m m m −++−<<， ∴点(,22)H m m +，2234(22)2PH m m m m m ∴=−++−+=−++，221331273(2)()22228PCD S PH m m m ∆∴=⨯=−++=−−+， 302−<，12m −<<， ∴当12m =时，S 有最大值，最大值为278． PCD ∴∆面积的最大值为278；（3）令0x =，则2y =， ∴点B 坐标为(0,2)，令0y =，则20kx +=，解得2x k=−，∴点A 坐标为2(k−，0)，若抛物线2y ax bx c =++与线段AB 有公共点，当0k >时，如图所示，则21k−<−，解得02k <<；当0k <时，如图所示：则24k−>，解得102k −<<；综上所述，k 的取值范围为02k <<或102k −<<．【点评】本题考查抛物线与x 轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识，关键是对这些知识的掌握和运用．18．（2024•西湖区校级模拟）已知21()y ax a b x b =+++和22()(y bx a b x a a b =+++≠且0)ab ≠是同一直角坐标系中的两条抛物线．（1）当1a =，3b =−时，求抛物线21()y ax a b x b =+++的顶点坐标；（2）判断这两条抛物线与x 轴的交点的总个数，并说明理由；（3）如果对于抛物线21()y ax a b x b =+++上的任意一点(,)P m n 均有22n a b +…．当20y …时，求自变量x 的取值范围．【分析】（1）把a ，b 的值代入配方找顶点即可解题；（2）分别令10y =，20y =，解方程求出方程的解，然后根据条件确定交点的个数即可解题；（3）现根据题意得到0a <，且24()224ab a b a b a−+=+，然后得到30b a =−>，借助图象求出不等式的解集即可．【解答】解：（1）当1a =，3b =−时，2221()23(1)4y ax a b x b x x x =+++=−−=−−， ∴顶点坐标为(1,4)−；（2）3个，理由为：令10y =，则2()0ax a b x b +++=，即()(1)0ax b x ++=，解得：1bx a=−，21x =−，令20y =，则2()0bx a b x a +++=，即()(1)0bx a x ++=，解得：1ax b=−，21x =−，又a b ≠且0ab ≠，∴两条抛物线与x 轴的交点总个数为3个；（3）抛物线21()y ax a b x b =+++上的任意一点(,)P m n 均有22n a b +…，0a ∴<，且24()224ab a b a b a−+=+，整理得：30b a =−>，∴22()y bx a b x a =+++的开口向上，且抛物线与x 轴交点的横坐标为113x =，21x =−，如图所示，借助图象可知当13x …或1x −…时，20y …．【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握配方法求顶点坐标，二次函数和一元二次方程的关系是解题的关键．19．（2024•三元区一模）抛物线23y ax bx =++与x 轴相交于点(1,0)A ，(3,0)B ，与y 轴正半轴相交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 是抛物线上不同的两点． ①当1x ，2x 满足什么数量关系时，12y y =； ②若12122()x x x x +=−，求12y y −的最小值．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）①若12y y =，则M 、N 关于抛物线对称轴对称，即可求解；②22121122121212(43)(43)()()4()y y x x x x x x x x x x −=−+−−+=+−+−，而12122()x x x x +=−，得到12y y −的函数表达式，进而求解．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：12()()y a x x x x =−−，即2(1)(3)(43)y a x x a x x =−−=−+，即33a =，解得：1a =，故抛物线的表达式为：243y x x =−+；（2）如图，。

2021年河北省数学中考《二次函数的图象及性质》专题复习(人教版)(Word版附答案)

二次函数的图象及性质二次函数的图象及性质1．(2020·河北中考)如图，现要在抛物线y＝x(4－x)上找点P(a，b)，针对b 的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，甲：若b＝5，则点P的个数为0；乙：若b＝4，则点P的个数为1；丙：若b＝3，则点P的个数为1.下列判断正确的是()A．乙错，丙对 B．甲和乙都错C．乙对，丙错 D．甲错，丙对2．(2018·河北中考)对于题目“一段抛物线L：y＝－x(x－3)＋c(0≤x≤3)与直线l：y＝x＋2有唯一公共点．若c为整数，确定所有c的值．”甲的结果是c ＝1，乙的结果是c＝3或4，则()A.甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确3．(2017·河北中考)如图，若抛物线y＝－x2＋3与x轴围成封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k，则反比例函数y＝kx(x＞0)的图象是()二次函数图象与性质的综合4．(2019·河北中考)如图，若b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x－b与y轴交于点B；抛物线L：y＝－x2＋bx的顶点为C，且L与x 轴右交点为D.(1)若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；(2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；(3)设x0≠0，点(x0，y1)，(x0，y2)，(x0，y3)分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点(x0，0)与点D间的距离；(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b＝2 019和b＝2 019.5时“美点”的个数．考点解析二次函数的概念及表达式1.已知二次函数图象经过原点，对称轴是y轴，且经过点(－2，－8)，则这个二次函数的表达式为y＝；2.已知抛物线的顶点坐标为点M(1，－2)，且经过点N(2，3)，则此二次函数的表达式为y＝；3.已知二次函数图象经过点P(3，4)且与x轴两个交点的横坐标为1和－2，则这个二次函数的表达式为y＝.二次函数的图象及性质4.(2020·秦皇岛市一模)二次函数y＝x2＋2x＋2的图象是一条抛物线，则下列说法不正确的是()A．抛物线开口向上B．抛物线的顶点坐标是(1，1)C．抛物线与x轴没有交点D．当x＞－1时，y随x的增大而增大5.(2020·石家庄市模拟)已知点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y＝－(x＋1)2＋2上，则下列结论正确的是()A．2＞y1＞y2 B．2＞y2＞y1C．y1＞y2＞2 D．y2＞y1＞26.若二次函数y＝kx2＋2x－1的图象与x轴仅有一个公共点，则常数k的值为( )A ．1B ．±1C ．－1D ．－12 二次函数图象的平移7.将抛物线y ＝12 x 2＋1绕顶点旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为( )A ．y ＝－2x 2＋1B ．y ＝－2x 2－1C ．y ＝－12 x 2＋1D ．y ＝－12 x 2－18.(2020·河北一模)在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x 轴对称，且它们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y ＝－x 2＋4x ＋2m ，则m 的值是( )A ．－72B ．－12C ．1D ．－12 或－72二次函数与一元二次方程、不等式的关系9.若二次函数y ＝x 2＋bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x 2＋bx ＝5的解为x 1＝，x 2＝．10.(2020·石家庄市模拟)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的部分对应值如下表：x －3 －2 －1 0 1 2y －12 －5 0 3 4 3利用二次函数的图象可知，当函数值y ＞0时，x 的取值范围是．考点专练1.(2020·河北模拟)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的图象如图所示，则一次函数y＝cx＋b2a与反比例函数y＝abx在同一坐标系内的大致图象是()2.(2020·石家庄市模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B(－1，3)，与x轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，以下结论：①b2－4ac＝0；②a＋b＋c＞0；③2a－b＝0；④c－a＝3.其中正确的是()A．①② B．③④ C．②③ D．①③3.．(2020·石家庄市模拟)二次函数y＝x2－2的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是()A．抛物线开口向下B．当x＝0时，函数的最大值是－2C．抛物线的对称轴是直线x＝2D．抛物线与x轴有两个交点4．一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝cx的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的大致图象是()5．(2020·唐山路北区一模)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1.下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③b2－4ac＜0；④4a＋2b＋c＞0.其中正确的是()A．①③ B．② C．②④ D．③④6．(2020·石家庄长安区模拟)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，且过点(3，0)，则下列结论：①abc＜0；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③2a＋b＝0；④4a＋2b＋c＜0.其中正确结论的序号是．5．(2020·秦皇岛市一模)如图，将抛物线y＝12 x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A(－6，0)和点O(0，0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝1 2x2交于点Q.(1)点P的坐标为；(2)图中阴影部分的面积为．7.(2020·石家庄28中一模)如图，已知二次函数y＝x2＋ax＋3的图象经过点P(－2，3).(1)求a的值和图象的顶点坐标；(2)点Q(m，n)在该二次函数图象上．①当m＝2时，求n的值；②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围；③直接写出点Q与直线y＝x＋5的距离小于2时m的取值范围．8．将抛物线y＝x2－2x＋3先沿水平方向向右平移1个单位，再沿竖直方向向上平移3个单位，则得到的新抛物线的解析式为()A．y＝(x－2)2＋3 B．y＝(x－2)2＋5C．y＝x2－1 D．y＝x2＋49．(2020·唐山市一模)如图，已知二次函数L：y＝mx2＋2mx＋k(其中m，k 是常数，k为正整数)．(1)若L经过点(1，k＋6)，求m的值．(2)当m＝2时，若L与x轴有公共点且公共点的横坐标为非零的整数，确定k的值；(3)在(2)的条件下将L：y＝mx2＋2mx＋k的图象向下平移8个单位，得到函数图象M，求M的解析式；(4)将M的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象N，请结合新的图象解答问题，若直线y＝12 x＋b与N有两个公共点时，请直接写出b的取值范围．二次函数的图象及性质二次函数的图象及性质1．(2020·河北中考)如图，现要在抛物线y＝x(4－x)上找点P(a，b)，针对b 的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，甲：若b＝5，则点P的个数为0；乙：若b＝4，则点P的个数为1；丙：若b＝3，则点P的个数为1.下列判断正确的是(C)A．乙错，丙对 B．甲和乙都错C．乙对，丙错 D．甲错，丙对2．(2018·河北中考)对于题目“一段抛物线L：y＝－x(x－3)＋c(0≤x≤3)与直线l：y＝x＋2有唯一公共点．若c为整数，确定所有c的值．”甲的结果是c ＝1，乙的结果是c＝3或4，则(D)A.甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确3．(2017·河北中考)如图，若抛物线y＝－x2＋3与x轴围成封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k，则反比例函数y＝kx(x＞0)的图象是(D)二次函数图象与性质的综合4．(2019·河北中考)如图，若b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x－b与y轴交于点B；抛物线L：y＝－x2＋bx的顶点为C，且L与x 轴右交点为D.(1)若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；(2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；(3)设x0≠0，点(x0，y1)，(x0，y2)，(x0，y3)分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点(x0，0)与点D间的距离；(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b＝2 019和b＝2 019.5时“美点”的个数．解：(1)当x＝0时，y＝x－b＝－b，∴B(0，－b).又∵AB＝8，A(0，b)，∴b－(－b)＝8.∴b＝4.∴L的表达式为y＝－x2＋4x，a的表达式为y＝x－4.∴L 的对称轴为x ＝2. 当x ＝2时，y ＝x －4＝－2.∴L 的对称轴与a 的交点坐标为(2，－2)；(2)∵y ＝－x 2＋bx ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 2 2 ＋b24 ，∴L 的顶点为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，b 24 . ∵点C 在l 下方，∴点C 与l 的距离为b －b 24 ＝－14 (b －2)2＋1≤1. ∴点C 与l 距离的最大值为1；(3)由题意，得y 3＝y 1＋y 22 ，即y 1＋y 2＝2y 3，得b ＋x 0－b ＝2(－x 20 ＋bx 0). 解得x 0＝0或x 0＝b －12 .又x 0≠0，∴x 0＝b －12 . 对于L ，当y ＝0时，即0＝－x 2＋bx ，∴0＝－x (x －b ). 解得x 1＝0，x 2＝b .∵b ＞0，∴右交点D 为(b ，0). ∴点(x 0，0)与点D 的距离为b －⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12 ＝12 ；(4)4 040；1 010.考点解析二次函数的概念及表达式例如，(1)已知二次函数图象经过原点，对称轴是y 轴，且经过点(－2，－8)，则这个二次函数的表达式为y ＝－2x 2；(2)已知抛物线的顶点坐标为点M(1，－2)，且经过点N(2，3)，则此二次函数的表达式为y＝5(x－1)2－2；(3)已知二次函数图象经过点P(3，4)且与x轴两个交点的横坐标为1和－2，则这个二次函数的表达式为y＝25 x2＋25 x－45.二次函数的图象及性质例如，(1)(2020·秦皇岛市一模)二次函数y＝x2＋2x＋2的图象是一条抛物线，则下列说法不正确的是(B)A．抛物线开口向上B．抛物线的顶点坐标是(1，1)C．抛物线与x轴没有交点D．当x＞－1时，y随x的增大而增大(2)(2020·石家庄市模拟)已知点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y＝－(x＋1)2＋2上，则下列结论正确的是(A)A．2＞y1＞y2 B．2＞y2＞y1C．y1＞y2＞2 D．y2＞y1＞2例如，(1)根据二次函数的大致图象得出结论：a>0，a<0，a>0，a<0，(2)若二次函数y ＝kx 2＋2x －1的图象与x 轴仅有一个公共点，则常数k 的值为(C )A ．1B ．±1C ．－1D ．－12 二次函数图象的平移(5)将抛物线y ＝12 x 2＋1绕顶点旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为(C )A ．y ＝－2x 2＋1B ．y ＝－2x 2－1C ．y ＝－12 x 2＋1D ．y ＝－12 x 2－1(6)(2020·河北一模)在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x 轴对称，且它们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y ＝－x 2＋4x ＋2m ，则m 的值是(D )A ．－72B ．－12C ．1D ．－12 或－72二次函数与一元二次方程、不等式的关系例如，(1)若二次函数y ＝x 2＋bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x 2＋bx ＝5的解为x 1＝－1，x 2＝5．(2)(2020·石家庄市模拟)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的部分对应值如下表：利用二次函数的图象可知，当函数值y＞0时，x的取值范围是－1＜x＜3．二次函数的综合考点专练二次函数的图象与性质及与各项系数的关系【例1】(2020·河北模拟)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的图象如图所示，则一次函数y＝cx＋b2a与反比例函数y＝abx在同一坐标系内的大致图象是(B)【解析】根据二次函数图象与系数的关系，由抛物线对称轴的位置(在y轴右侧)确定ab＜0，由抛物线与y轴的交点位置(在x轴下方)确定c＜0.对于一次函数y＝cx＋b2a，由于c＜0，图象必经过第二、四象限，又0＜－b2a＜1，即b2a＜0，图象与y轴的交点在x轴下方；对于反比例函数y＝abx，ab＜0，图象分布在第二、四象限．【例2】(2020·石家庄市模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B(－1，3)，与x轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，以下结论：①b2－4ac＝0；②a＋b＋c＞0；③2a－b＝0；④c－a＝3.其中正确的是(B)A．①② B．③④ C．②③ D．①③【解析】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B(－1，3)，与x轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点(0，0)和(1，0)之间．∴b2－4ac＞0，故①错误；当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，故②错误；由－b2a＝－1，得b＝2a，2a－b＝0，故③正确；当x＝－1时，y＝a－b＋c＝a－2a ＋c＝－a＋c＝3，即c－a＝3，故④正确.1．(2020·石家庄市模拟)二次函数y＝x2－2的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是(D)A．抛物线开口向下B．当x＝0时，函数的最大值是－2C．抛物线的对称轴是直线x＝2D．抛物线与x轴有两个交点2．一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝cx的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的大致图象是(A)3．(2020·唐山路北区一模)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1.下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③b2－4ac＜0；④4a＋2b＋c＞0.其中正确的是(C)A．①③ B．② C．②④ D．③④4．(2020·石家庄长安区模拟)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，且过点(3，0)，则下列结论：①abc＜0；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③2a＋b＝0；④4a＋2b＋c＜0.其中正确结论的序号是①②③．5．(2020·秦皇岛市一模)如图，将抛物线y＝12 x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A(－6，0)和点O(0，0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝1 2x2交于点Q.(1)点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－92 ；(2)图中阴影部分的面积为272 ．二次函数表达式的确定及综合【例3】(2020·石家庄28中一模)如图，已知二次函数y ＝x 2＋ax ＋3的图象经过点P (－2，3).(1)求a 的值和图象的顶点坐标； (2)点Q (m ，n )在该二次函数图象上． ①当m ＝2时，求n 的值；②若点Q 到y 轴的距离小于2，请根据图象直接写出n 的取值范围； ③直接写出点Q 与直线y ＝x ＋5的距离小于2 时m 的取值范围．【解答】解：(1)将P (－2，3)代入y ＝x 2＋ax ＋3，得 3＝(－2)2－2a ＋3，解得a ＝2.∴y ＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2. ∴顶点坐标为(－1，2)；(2)①将x ＝2代入y ＝x 2＋2x ＋3，解得y ＝11. ∴当m ＝2时，n ＝11；②2≤n ＜11；③－1－72 ＜m ＜－1或0＜m ＜－1＋72. 6．将抛物线y ＝x 2－2x ＋3先沿水平方向向右平移1个单位，再沿竖直方向向上平移3个单位，则得到的新抛物线的解析式为(B )A．y＝(x－2)2＋3 B．y＝(x－2)2＋5C．y＝x2－1 D．y＝x2＋47．(2020·唐山市一模)如图，已知二次函数L：y＝mx2＋2mx＋k(其中m，k 是常数，k为正整数)．(1)若L经过点(1，k＋6)，求m的值．(2)当m＝2时，若L与x轴有公共点且公共点的横坐标为非零的整数，确定k的值；(3)在(2)的条件下将L：y＝mx2＋2mx＋k的图象向下平移8个单位，得到函数图象M，求M的解析式；(4)将M的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象N，请结合新的图象解答问题，若直线y＝12 x＋b与N有两个公共点时，请直接写出b的取值范围．解：(1)将点(1，k＋6)代入y＝mx2＋2mx＋k，解得m＝2；(2)当m＝2时，y＝mx2＋2mx＋k＝2x2＋4x＋k.令y＝0，即2x2＋4x＋k＝0.由题意，得Δ＝b2－4ac＝16－8k≥0.解得k≤2.又k为正整数，且k＝1时，方程没有整数解，故舍去．∴k＝2；(3)在m＝2，k＝2时，y＝2x2＋4x＋2，向下平移8个单位，平移后M的表达式为y ＝2x 2＋4x ＋2－8＝2x 2＋4x －6；(4)－12 ＜b ＜32 或b ＞27332 .[由(3)知，M 的表达式为y ＝2x 2＋4x －6.① 则翻折后抛物线的表达式为y ′＝－2x 2－4x ＋6.② 设直线m 为y ＝12 x ＋b .③Ⅰ)当直线m 与翻折后的图象有一个交点(点H )时，如图，联立②③并整理得2x 2＋92 x ＋b －6＝0.则Δ＝814 －8(b －6)＝0.解得b ＝27332 ；Ⅱ)当直线m 过点A (－3，0)时，将点A 的坐标代入③，得0＝12 ×(－3)＋b .解得b ＝32 ；Ⅲ)当直线m 过点B (1，0)时，同理可得，b ＝－12 .综上所述，直线y ＝12 x ＋b 与N 有两个公共点时，b 的取值范围为－12 ＜b ＜32 或b ＞27332 .]。

九年级上册数学二次函数(篇)(Word版含解析)

九年级上册数学二次函数（篇）（Word版含解析）一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）1．图①，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），并且与直线y＝1 2 x﹣2相交于坐标轴上的B、C两点，动点P在直线BC下方的二次函数的图象上．（1）求此二次函数的表达式；（2）如图①，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值；（3）如图②，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式及Q点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝12x2﹣32x﹣2；（2）﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值为4；（3）Q的坐标为（53，﹣289）或（﹣113，929）．【解析】【分析】（1）根据题意先求出点B、C的坐标，进而利用待定系数法即可求解；（2）由题意过点P作PH//y轴交BC于点H，并设点P（x，12x2﹣32x﹣2），进而根据S＝S△PHB+S△PHC＝12PH•（x B﹣x C），进行计算即可求解；（3）根据题意分点Q在BC下方、点Q在BC上方两种情况，利用解直角三角形的方法，求出点H的坐标，进而分析求解．【详解】解：（1）对于直线y＝12x﹣2，令x＝0，则y＝﹣2，令y＝0，即12x﹣2＝0，解得：x＝4，故点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣2），抛物线过点A、B两点，则y＝a（x+1）（x﹣4），将点C的坐标代入上式并解得：a＝12，故抛物线的表达式为y＝12x2﹣32x﹣2①；（2）如图2，过点P作PH//y轴交BC于点H，设点P（x，12x2﹣32x﹣2），则点H（x，12x﹣2），S＝S△PHB+S△PHC＝12PH•（x B﹣x C）＝12×4×（12x﹣2﹣12x2+32x+2）＝﹣x2+4x，∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值为4；（3）①当点Q在BC下方时，如图2，延长BQ交y轴于点H，过点Q作QC⊥BC交x轴于点R，过点Q作QK⊥x轴于点K，∵∠ABQ＝2∠ABC，则BC是∠ABH的角平分线，则△RQB为等腰三角形，则点C是RQ的中点，在△BOC中，tan∠OBC＝OCOB＝12＝tan∠ROC＝RCBC，则设RC＝x＝QB，则BC＝2x，则RB22(2)x x5＝BQ，在△QRB中，S△RQB＝12×QR•BC＝12BR•QK，即122x•2x＝125，解得：KQ5∴sin∠RBQ＝KQBQ55x＝45，则tanRBH＝43，在Rt △OBH 中，OH ＝OB•tan ∠RBH ＝4×43＝163，则点H （0，﹣163），由点B 、H 的坐标得，直线BH 的表达式为y ＝43（x ﹣4）②，联立①②并解得：x ＝4（舍去）或53，当x ＝53时，y ＝﹣289，故点Q （53，﹣289）； ②当点Q 在BC 上方时，同理可得：点Q 的坐标为（﹣113，929）；综上，点Q 的坐标为（53，﹣289）或（﹣113，929）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、面积的计算等，注意分类讨论思维的应用，避免遗漏．2．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax （a >0）与x 轴正半轴交于点A ．抛物线L 的顶点为M ，对称轴与x 轴交于点D ．（1）求抛物线L 的对称轴．（2）抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax 关于x 轴对称的抛物线记为L '，抛物线L '的顶点为M '，若以O 、M 、A 、M '为顶点的四边形是正方形，求L '的表达式．（3）在（2）的条件下，点P 在抛物线L 上，且位于第四象限，点Q 在抛物线L '上，是否存在点P 、点Q 使得以O 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P 坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）2x =；（2）2122y x x =-+ ；（3）存在，P 点的坐标为(33,3或(33,3-或(13,3或(13,3+-或31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式计算即可．（2）利用正方形的性质求出点M，M′的坐标即可解决问题．（3）分OD是平行四边形的边或对角线两种情形求解即可．【详解】解：（1）∵抛物线L：y＝ax2﹣4ax(a＞0)，∴抛物线的对称轴x＝﹣42aa＝2．（2）如图1中，对于抛物线y＝ax2﹣4ax，令y＝0，得到ax2﹣4ax＝0，解得x＝0或4，∴A(4，0)，∵四边形OMAM′是正方形，∴OD＝DA＝DM＝DM′＝2，∴M((2，﹣2)，M′(2，2)把M(2，﹣2)代入y＝ax2﹣4ax，可得﹣2＝4a﹣8a，∴a＝12，∴抛物线L′的解析式为y＝﹣12(x﹣2)2+2＝﹣12x2+2x．（3）如图3中，由题意OD＝2．当OD 为平行四边形的边时，PQ ＝OD ＝2，设P (m ，12m 2﹣2m )，则Q [m ﹣2，﹣12(m ﹣2)2+2(m ﹣2)]或[m +2，﹣12(m +2)2+2(m +2)]， ∵PQ ∥OD ， ∴12m 2﹣2m ＝﹣12(m ﹣2)2+2(m ﹣2)或12m 2﹣2m ＝﹣12(m +2)2+2(m +2)，解得m ＝33，∴P 33或(333或(133和33，当OD 是平行四边形的对角线时，点P 的横坐标为1，此时P (1，﹣32)，综上所述，满足条件的点P 的坐标为33或(333或(133)和33)或(1，﹣32)．【点睛】本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质，正方形的性质,平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题3．对于函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），若存在实数x0，使得a 20x +（b+1）x 0+b ﹣2＝x0成立，则称x 0为函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点．（1）当a ＝2，b ＝﹣2时，求y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点；（2）若对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，且直线y ＝﹣x+2121a 是线段AB 的垂直平分线，求实数b 的取值范围．【答案】（1）不动点是﹣1或2；（2）a 的取值范围是0＜a ＜2；（3）b 的取值范围是﹣b ＜0．【解析】【分析】（1）将a ＝2，b ＝﹣2代入函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），得y ＝2x 2﹣x ﹣4，然后令x ＝2x 2﹣x ﹣4，求出x 的值，即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点；（2）对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，可以得到x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）时，对于任何实数b 都有△＞0，然后再设t ＝△，即可求得a 的取值范围；（3）根据y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，可知点A 和点B 均在直线y ＝x 上，然后设出点A 和点B 的坐标，从而可以得到线段AB 的中点坐标，再根据直线y ＝﹣x+2121a 是线段AB 的垂直平分线，从而可以求得b 的取值范围．【详解】解：（1）当a ＝2，b ＝﹣2时，函数y ＝2x 2﹣x ﹣4，令x ＝2x 2﹣x ﹣4，化简，得x 2﹣x ﹣2＝0 解得，x 1＝2，x 2＝﹣1，即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点是﹣1或2；（2）令x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2，整理，得 ax 2+bx+b ﹣2＝0，∵对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点， ∴△＝b 2﹣4a （b ﹣2）＞0，设t ＝b 2﹣4a （b ﹣2）＝b 2﹣4ab+8a ，对于任何实数b ，t ＞0，故（﹣4a ）2﹣4×1×8a ＜0，解得，0＜a ＜2，即a 的取值范围是0＜a ＜2；（3）由题意可得，点A 和点B 在直线y ＝x 上，设点A （x 1，x 1），点B （x 2，x 2），∵A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点， ∴x 1，x 2是方程ax 2+bx+b ﹣2＝0的两个根， ∴x 1+x 2＝﹣b a，∵线段AB 中点坐标为（122x x +，122x x+）， ∴该中点的坐标为（2b a -，2b a-）， ∵直线y ＝﹣x+2121a +是线段AB 的垂直平分线，∴点（2b a -，2ba -）在直线y ＝﹣x+2121a +上， ∴2ba -＝21221b a a ++∴﹣b ＝222122a a a ≤+＝2，（当a ＝22时取等号） ∴0＜﹣b ≤24， ∴﹣2≤b ＜0，即b 的取值范围是﹣24≤b ＜0．【点睛】本题是一道二次函数综合题、主要考查新定义、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．4．如图，直线y ＝12x ﹣2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，抛物线y ＝ax 2﹣32x+c 经过A ，B 两点，与x 轴的另一交点为C ．（1）求抛物线的解析式；（2）M 为抛物线上一点，直线AM 与x 轴交于点N ，当32MN AN =时，求点M 的坐标；（3）P 为抛物线上的动点，连接AP ，当∠PAB 与△AOB 的一个内角相等时，直接写出点P 的坐标．【答案】（1）y ＝12x 2﹣32x ﹣2；（2）点M 的坐标为：（5，3）或（﹣2，3）或（2，﹣3）或（1，﹣3）；（3）点P的坐标为：（﹣1，0）或（32，﹣258）或（173，509）或（3，﹣2）．【解析】【分析】（1）根据题意直线y＝12x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点A，则点A、B的坐标分别为：（0，-2）、（4，0），即可求解；（2）由题意直线MA的表达式为：y＝（12m﹣32）x﹣2，则点N（43m-，0），当MNAN ＝32时，则NHON＝32，即4343mmm---＝32，进行分析即可求解；（3）根据题意分∠PAB=∠AOB=90°、∠PAB=∠OAB、∠PAB=∠OBA三种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）直线y＝12x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点A，则点A、B的坐标分别为：（0，﹣2）、（4，0），则c＝﹣2，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：a＝12，故抛物线的表达式为：y＝12x2﹣32x﹣2①；（2）设点M（m，12m2﹣32m﹣2）、点A（0，﹣2），将点M、A的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：直线MA的表达式为：y＝（12m﹣32）x﹣2，则点N（43m-，0），当MNAN＝32时，则NHON＝32，即：4343mmm---＝32，解得：m＝5或﹣2或2或1，故点M的坐标为：（5，3）或（﹣2，3）或（2，﹣3）或（1，﹣3）；（3）①∠PAB＝∠AOB＝90°时，则直线AP的表达式为：y＝﹣2x﹣2②，联立①②并解得：x＝﹣1或0（舍去0），故点P（﹣1，0）；②当∠PAB＝∠OAB时，当点P在AB上方时，无解；当点P在AB下方时，将△OAB沿AB折叠得到△O′AB，直线OA交x轴于点H、交抛物线为点P，点P为所求，则BO＝OB＝4，OA＝OA＝2，设OH＝x，则sin∠H＝BO OAHB HA'=，即：2444x x=++，解得：x＝83，则点H（﹣83，0），．则直线AH的表达式为：y＝﹣34x﹣2③，联立①③并解得：x＝32，故点P（32，﹣258）；③当∠PAB＝∠OBA时，当点P在AB上方时，则AH＝BH，设OH＝a，则AH＝BH＝4﹣a，AO＝2，故（4﹣a ）2＝a 2+4，解得：a ＝32，故点H （32，0），则直线AH 的表达式为：y ＝43x ﹣2④，联立①④并解得：x ＝0或173（舍去0），故点P （173，509）；当点P 在AB 下方时，同理可得：点P （3，﹣2）；综上，点P 的坐标为：（﹣1，0）或（32，﹣258）或（173，509）或（3，﹣2）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形、勾股定理的运用等，要注意分类讨论，解题全面．5．如图，抛物线2y ax 2x c =++经过,,A B C 三点，已知()()1,0,0,3.A C -()1求此抛物线的关系式；()2设点P 是线段BC 上方的抛物线上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交线段BC 于点,D 当BCP 的面积最大时，求点D 的坐标；()3点M 是抛物线上的一动点，当()2中BCP 的面积最大时，请直接写出使45PDM ∠=︒的点M 的坐标【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）点33,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）点M 的坐标为()0,3或113113++⎝⎭【解析】【分析】（1）由2y ax 2x c =++经过点()(),1,00,3A C -，利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式.（2）首先设点()2,23,P t t t -++令2230x x -++=，求得()3,0B ，然后设直线BC 的关系式为y kx b =+，由待定系数法求得BC 的解析式为3y x =-+，可得()()22,3,2333D t t PD t t t t t -+=-++--+=-+，BCP 的面积为()21333,22S PD t t =⨯=-+利用二次函数的性质即可求解；（3）根据PD y 轴，45PDM ∠=︒，分别设DM y x b =+，DM y x b =-+，根据点33D(22，）坐标即可求出b ，再与抛物线联系即可得出点M 的坐标．【详解】()1将()(),1,00,3A C -分别代入22,y ax x c =++可解得1,3,a c =-=即抛物线的关系式为2y x 2x 3=-++．()2设点()2,23,P t t t -++令2230,x x -++=解得121,3,x x =-=则点()3,0B ．设直线BC 的关系式为(y kx b k =+为常数且0k ≠)，将点,B C 的坐标代入，可求得直线BC 的关系式为3y x =-+．∴点()()22,3,2333D t t PD t t t t t -+=-++--+=-+设BCP 的面积为,S 则()21333,22S PD t t =⨯=-+ ∴当32t =时，S 有最大值，此时点33,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ()3∵PD y 轴，45PDM ∠=︒第一种情况：令DM y x b =+,33D(22，）解得：b=0∴223y x y x x =⎧⎨=-++⎩解得：113x =∴113113M 22++（，）第二种情况：令DM y x b =-+,33D(22，）解得：b=3∴2323y x y x x =-+⎧⎨=-++⎩解得：x=0或x=3（舍去）∴M 03（，）满足条件的点M 的坐标为()0,3或113113,22⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭ 【点睛】此题主要考查待定系数法求函数解析式和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.6．如图，抛物线y=﹣x 2+mx+n 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知A （﹣1，0），C （0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E 时线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为：y=﹣x 2+x+2 (2)存在，P 1（，4），P 2（，），P 3（，﹣）(3)当点E 运动到（2，1）时，四边形CDBF 的面积最大，S 四边形CDBF 的面积最大=．【解析】试题分析：（1）将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值；（2）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD的值，以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1；以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3；作CH 垂直于对称轴与点H，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；（3）由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出BC的解析式，从而可设设E点的坐标，进而可表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF可求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．试题解析：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；（2）∵y=﹣x2+x+2，∴y=﹣（x﹣）2+，∴抛物线的对称轴是x=．∴OD=．∵C（0，2），∴OC=2．在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=．∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，∴CP1=CP2=CP3=CD．作CH⊥x轴于H，∴HP1=HD=2，∴DP1=4．∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；（3）当y=0时，0=﹣x2+x+2∴x1=﹣1，x2=4，∴B（4，0）．设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2．如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2），∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）．∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN，=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），=﹣a2+4a+（0≤x≤4）．=﹣（a﹣2）2+∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，∴E（2，1）．考点：1、勾股定理；2、等腰三角形的性质；3、四边形的面积；4、二次函数的最值7．如图，顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(﹣1，0)，B两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y=6x(x＞0)经过点D，连接MD，BD．（1）求抛物线的表达式；（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大？【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）N(57，0)，F(0，53)；（3）t=9﹣15【解析】【分析】（1）由已知求出D点坐标，将点A（-1，0）和D（2，3）代入y=ax2+bx+3即可；（2）作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；（3）设P（0，t），作△PBD的外接圆N，当⊙N与y轴相切时，∠BPD的度数最大；【详解】解；（1）C(0，3)∵CD⊥y，∴D点纵坐标是3．∵D在y=6x上，∴D(2，3)，将点A(﹣1，0)和D(2，3)代入y=ax2+bx+3，∴a=﹣1，b=2，∴y=﹣x2+2x+3；（2）M(1，4)，B(3，0)，作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；∴M'(﹣1，4)，D'(2，﹣3)，∴M'D'直线的解析式为y=﹣73x+53，∴N(57，0)，F(0，53)；（3）设P(0，t)．∵△PBO和△CDP都是直角三角形，tan∠CDP=32t-，tan∠PBO=3t，令y=tan∠BPD=3233123t tt t-+--，∴yt2+t﹣3yt+6y﹣9=0，△=﹣15y2+30y+1=0时，y=1541515-+-(舍)或y=1541515+，∴t=32﹣12×1y，∴t=9﹣215，∴P(0，9﹣215)．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．8．如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A(−1，0)，B(4，0)，交y轴于点C；（1）求抛物线的解析式(用一般式表示)；（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC=23S△ABD?若存在，请求出点D 坐标；若不存在，请说明理由；（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长.【答案】（1）213222y x x=-++（2）存在，D（1，3）或（2，3）或（5，3-）（3）10【解析】【分析】（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由条件可求得点D到x轴的距离，即可求得D点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得D点坐标；（3）由条件可证得BC ⊥AC ，设直线AC 和BE 交于点F ，过F 作FM ⊥x 轴于点M ，则可得BF=BC ，利用平行线分线段成比例可求得F 点的坐标，利用待定系数法可求得直线BE 解析式，联立直线BE 和抛物线解析式可求得E 点坐标，则可求得BE 的长．【详解】解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+2经过点A （-1，0），B （4，0），∴2016420a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线解析式为：213222y x x =-++；（2）由题意可知C （0，2），A （-1，0），B （4，0），∴AB=5，OC=2，∴S △ABC =12AB•OC=12×5×2=5， ∵S △ABC =23S △ABD ， ∴S △ABD =315522⨯=，设D （x ，y ）， ∴11155222AB y y •=⨯•=，解得：3y =；当3y =时，2132322y x x =-++=，解得：1x =或2x =，∴点D 的坐标为：（1，3）或（2，3）；当3y =-时，2132322y x x =-++=-，解得：5x =或2x =-（舍去），∴点D 的坐标为：（5，-3）；综合上述，点D 的坐标为：（1，3）或（2，3）或（5，-3）；（3）∵AO=1，OC=2，OB=4，AB=5，∴AC ==BC ==∴222AC BC AB +=，∴△ABC 为直角三角形，即BC ⊥AC ，如图，设直线AC 与直线BE 交于点F ，过F 作FM ⊥x 轴于点M ，由题意可知∠FBC=45°，∴∠CFB=45°， ∴25CF BC == ∴AO AC OM CF =，即1525OM = 解得：2OM =， ∴OC AC FM AF =，即2535FM = 解得：6FM =，∴点F 为（2，6），且B 为（4，0），设直线BE 解析式为y=kx+m ，则2640k m k m +=⎧⎨+=⎩，解得312k m =-⎧⎨=⎩， ∴直线BE 解析式为：312y x =-+；联立直线BE 和抛物线解析式可得：231213222y x y x x =-+⎧⎪⎨=-++⎪⎩，解得：40x y =⎧⎨=⎩或53x y =⎧⎨=-⎩， ∴点E 坐标为：(5,3)-， ∴22(54)(3)10BE =-+-=【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、勾股定理及其逆定理、平行线分线段成比例、函数图象的交点、等腰直角三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得D 点的纵坐标是解题的关键，在（3）中由条件求得直线BE 的解析式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，有一定的难度．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠交x 轴于点(2,0),(3,0)A B -，交y 轴于点C ，且经过点(6,6)D --，连接,AD BD ．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）△ANM 与ABD ∆是否相似?若相似，请求出此时点M 、点N 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是直线AD 上方的抛物线上一动点(不与点,A D 重合)，过P 作//PQ y 轴交直线AD 于点Q ，以PQ 为直径作⊙E ，则⊙E 在直线AD 上所截得的线段长度的最大值等于．（直接写出答案）【答案】（1）2113442y x x =--+；（2）点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）；（3）QH 有最大值，当x=2-时，其最大值为125．【解析】【分析】（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3），将点D 坐标代入上式即可求解；（2）分∠MAB=∠BAD 、∠MAB=∠BDA ，两种大情况、四种小情况，分别求解即可；（3）根据题意，利用二次函数的性质和三角函数，QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+=23392055x x --+，即可求解．【详解】解：（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3），将点D 坐标代入上式并解得：14a =-，故函数的表达式为：2113442y x x =--+…①，则点C （0，32）；（2）由题意得：AB=5，AD=10，BD=，①∠MAN=∠ABD 时，（Ⅰ）当△ANM ∽△ABD 时，直线AD 所在直线的k 值为34，则直线AM 表达式中的k 值为34-，则直线AM 的表达式为：3(2)4y x =--，故点M （0，32）， AD AB AM AN =，则AN=54，则点N （34，0）；（Ⅱ）当△AMN ∽△ABD 时，同理可得：点N （-3，0），点M （0，32），故点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）； ②∠MAN=∠BDA 时，（Ⅰ）△ABD ∽△NMA 时， ∵AD ∥MN ，则tan ∠MAN=tan ∠BDA=12， AM ：y=12-（x-2），则点M （-1，32）、点N （-3，0）；（Ⅱ）当△ABD ∽△MNA 时，AD BDAM AN =AN =，解得：AN=94，故点N （14-，0）、M （-1，32）；故：点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）；综上，点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）；（3）如图所示，连接PH ，由题意得：tan ∠PQH=43，则cos ∠PQH=35，则直线AD 的表达式为：y=3342x -，设点P （x ，2113442x x --+），则点Q （x ，3342x -），则QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+ =23392055x x --+ =2312(2)205x -++， ∵3020-<，故QH 有最大值，当x=2-时，其最大值为125．【点睛】本题考查的是二次函数综合应用，涉及到一次函数、圆的基本知识，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，其中（2）需要分类求解共四种情况，避免遗漏．10．在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知二次函数2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且a ≠0）的图像经过点A （0，-3）、B （1，0）、C （3，0），联结AB 、AC ．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点D 是线段AC 上的一点，联结BD ，如果:3:2ABD BCD S S ∆∆=，求tan ∠DBC 的值；（3）如果点E 在该二次函数图像的对称轴上，当AC 平分∠BAE 时，求点E 的坐标．【答案】（1）243y x x =-+-；（2）32；（3）E （2，73-）【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法，把A 、B 、C 三点代入解析式，即可得到答案；（2）过点D 作DH ⊥BC 于H ，在△ABC 中，设AC 边上的高为h ，利用面积的比得到32AD DC =，然后求出DH 和BH ，即可得到答案；（3）延长AE 至x 轴，与x 轴交于点F ，先证明△OAB ∽△OFA ，求出点F 的坐标，然后求出直线AF 的方程，即可求出点E 的坐标.【详解】解：（1）将A （0，-3）、B （1，0）、C （3，0）代入20y ax bx c a =++≠（）得，03,0934,300a b a b c =+-⎧⎪=+-⎨⎪-=++⎩解得143a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴此抛物线的表达式是：243y x x =-+-．（2）过点D 作DH ⊥BC 于H ，在△ABC 中，设AC 边上的高为h ，则11:():():3:222ABD BCD S S AD h DC h AD DC ∆∆=⋅⋅==，又∵DH//y 轴，∴25CH DC DH OC AC OA ===． ∵OA=OC=3，则∠ACO=45°，∴△CDH 为等腰直角三角形，∴26355CH DH ==⨯=． ∴64255BH BC CH =-=-=． ∴tan ∠DBC=32DH BH =. （3）延长AE 至x 轴，与x 轴交于点F ，∵OA=OC=3，∴∠OAC=∠OCA=45°，∵∠OAB=∠OAC -∠BAC=45°-∠BAC ，∠OFA=∠OCA -∠FAC=45°-∠FAC ，∵∠BAC=∠FAC ，∴∠OAB=∠OFA ．∴△OAB∽△OFA，∴13 OB OAOA OF==．∴OF=9，即F（9，0）；设直线AF的解析式为y=kx+b（k≠0），可得093k bb=+⎧⎨-=⎩，解得133kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AF的解析式为：133y x=-，将x=2代入直线AF的解析式得：73y=-，∴E（2，73 -）.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，求一次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质，以及正确作出辅助线构造相似三角形.。

(完整word版)二次函数的图像分析与解答题

1y P函数典型问题练习图像分析与解答题一图像分析1、已知一次函数y=kx+b 的图象如图所示，则k,b 的符号是( ）(A) k>0，b>0 （B ） k>0，b 〈0 (C ） k<0，b 〉0 （D ） k 〈0，b 〈0 2、下图中表示一次函数y ＝mx+n 与正比例函数y ＝m nx(m ，n 是常数，且mn 〈0)图像的是（ )．3、函数y=（m+1)x-（4m-3)的图象在第一、二、四象限,则m 的取值范围是（ ) A m ＜3/4 B -1＜m ＜3/4 C m ＜-1 D m ＞-1 4。

下列各曲线中不能表示y 是x 的函数是( ）。

5。

已知一次函数y =(m +2)x +(1－m ），若y 随x 的增大而减小，且此函数图象与y 轴的交点在x 轴的上方，则m 的取值范围是（）A. m >－2B 。

m <1C 。

m 〈－2D 。

m 〈1且m ≠-26．如下图所示，利用函数图象回答下列问题：（1）方程组3,2x y y x+=⎧⎨=⎩ 的解为__________；（2）不等式2x 〉－x ＋3的解集为___________； 7．如图1所示，直线y kx b =+与x 轴的交点为()4,0-，则0y >时,x 的取值范围是（）A ．4x >-B ．4x <-C ．0x >D ．0x < -4y-1y=nxy=mx+b0yxOxyOxyOxyOxy（第6题）8．直线1:l y mx b =+与直线y nx =在同一平面直角坐标系中的图象如图3所示，则关于x 的不等式mx b nx +>的解为（）A ．1x >-B ．1x <-C ．2x <-D ．2x >-9.如图，某个反比例函数的图象经过点P,则它的解析式为( )A.y=1x (x 〉0）； B 。

y=—1x (x>0）C 。

人教版版九年级上册数学期中常考题《二次函数的图像和性质》专项复习(word版含答案)

人教版九年级上册数学期中常考题《二次函数的图像和性质》专项复习一．选择题（共5小题）1．（日喀则市一模）下列函数中是二次函数的为（）A．y＝3x﹣1B．y＝3x2﹣1C．y＝（x+1）2﹣x2D．y＝x3+2x﹣32．（舒城县期末）下列y关于x的函数中,属于二次函数的是（）A．y＝x﹣1B．y＝C．y＝（x﹣1）2﹣x2D．y＝﹣2x2+13．（阜宁县期末）下列函数中,不是二次函数的是（）A．y＝1﹣x2B．y＝2（x﹣1）2+4C．y＝（x﹣1）（x+4）D．y＝（x﹣2）2﹣x24．（中江县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c,它们在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．5．（合川区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示,那么一次函数y＝ax+b的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．二．填空题（共5小题）6．（林州市期中）当m＝时,y ＝（m 2﹣1）是二次函数．7．（仙游县期中）若y ＝（m +1）x 2+mx ﹣1是关于x 的二次函数,则m 满足． 8．如果函数y ＝（m +1）x+2是二次函数,那么m ＝．9．已知两个二次函数的图象如图所示,那么a 1 a 2（填“＞”、“＝”或“＜”）．10．用“描点法”画二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象时,列出了如下表格：x … 1 2 3 4 … y ＝ax 2+bx +c…﹣13…那么该二次函数在x ＝0时,y ＝．三．解答题（共5小题）11．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数,求m的值；（2）若这个函数是二次函数,则m的值应怎样？12．已知y＝（m﹣1）x是关于x的二次函数,求m的值．13．已知二次函数y＝﹣x2+4x．（1）写出二次函数y＝﹣x2+4x图象的对称轴；（2）在给定的平面直角坐标系中,画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；（3）根据图象,写出当y＜0时,x的取值范围．14．小明利用函数与不等式的关系,对形如（x﹣x1）（x﹣x2）…（x﹣x n）＞0（n为正整数）的不等式的解法进行了探究．（1）下面是小明的探究过程,请补充完整：①对于不等式x﹣3＞0,观察函数y＝x﹣3的图象可以得到如表格：x的范围x＞3x＜3y的符号+﹣由表格可知不等式x﹣3＞0的解集为x＞3．②对于不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0,观察函数y＝（x﹣3）（x﹣1）的图象可以得到如表表格：x的范围x＞31＜x＜3x＜1y的符号+﹣+由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0的解集为．③对于不等式（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0,请根据已描出的点画出函数y＝（x﹣3）（x﹣1）（x+1）的图象；观察函数y＝（x﹣3）（x﹣1）（x+1）的图象补全下面的表格：x的范围x＞31＜x＜3﹣1＜x＜1x＜﹣1y的符号+﹣由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0的解集为．……小明将上述探究过程总结如下：对于解形如（x﹣x1）（x﹣x2）……（x﹣x n）＞0（n为正整数）的不等式,先将x1,x2…,x n按从大到小的顺序排列,再划分x的范围,然后通过列表格的办法,可以发现表格中y的符号呈现一定的规律,利用这个规律可以求这样的不等式的解集．（2）请你参考小明的方法,解决下列问题：①不等式（x﹣6）（x﹣4）（x﹣2）（x+2）＞0的解集为．②不等式（x﹣9）（x﹣8）（x﹣7）2＞0的解集为．15．下表给出一个二次函数的一些取值情况：x…01234…y…30﹣103…（1）请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（2）根据图象说明：当x取何值时,y的值大于0？参考答案一．选择题（共5小题）1．（日喀则市一模）下列函数中是二次函数的为（）A．y＝3x﹣1B．y＝3x2﹣1C．y＝（x+1）2﹣x2D．y＝x3+2x﹣3【考点】二次函数的定义．【分析】根据二次函数的定义,可得答案．【解答】解：A、y＝3x﹣1是一次函数,故A错误；B、y＝3x2﹣1是二次函数,故B正确；C、y＝（x+1）2﹣x2不含二次项,故C错误；D、y＝x3+2x﹣3是三次函数,故D错误；故选：B．【点评】本题考查了二次函数的定义,形如y＝ax2+bx+c（a≠0）是二次函数,要先化简再判断．2．（舒城县期末）下列y关于x的函数中,属于二次函数的是（）A．y＝x﹣1B．y＝C．y＝（x﹣1）2﹣x2D．y＝﹣2x2+1【考点】二次函数的定义．【专题】函数思想．【分析】整理成一般形式,根据二次函数定义即可解答．【解答】解：A、该函数中自变量x的次数是1,属于一次函数,故本选项错误；B、该函数是反比例函数,故本选项错误；C、由已知函数关系式得到：y＝﹣2x+1,属于一次函数,故本选项错误；D、该函数符合二次函数定义,故本选项正确．故选：D．【点评】考查了二次函数的定义：一般地,形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数,a≠0）的函数,叫做二次函数．其中x、y是变量,a、b、c是常量,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数,a≠0）也叫做二次函数的一般形式．3．（阜宁县期末）下列函数中,不是二次函数的是（）A．y＝1﹣x2B．y＝2（x﹣1）2+4C．y＝（x﹣1）（x+4）D．y＝（x﹣2）2﹣x2【考点】二次函数的定义．【分析】将各函数整理成一般式后根据二次函数定义判断即可．【解答】解：A、y＝1﹣x2是二次函数；B、y＝2（x﹣1）2+4＝2x2﹣4x+6,是二次函数；C、y＝（x﹣1）（x+4）＝x2+x﹣2,是二次函数；D、y＝（x﹣2）2﹣x2＝﹣4x+4,是一次函数；故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的定义,掌握二次函数的定义：形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数,a≠0）的函数叫做二次函数是解题的关键．4．（中江县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c,它们在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】正比例函数的图象；二次函数的图象．【分析】根据二次函数的开口方向,与y轴的交点；一次函数经过的象限,与y轴的交点可得相关图象．【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0,c）,∴两个函数图象交于y轴上的同一点,排除B、C；当a＞0时,二次函数开口向上,一次函数经过一、三象限,排除D；当a＜0时,二次函数开口向下,一次函数经过二、四象限,A正确；故选：A．【点评】考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0,图象经过一、三象限；小于0,经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0,图象开口向上；二次项系数小于0,图象开口向下．5．（合川区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示,那么一次函数y＝ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】一次函数的图象；二次函数的图象．【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．【分析】由y＝ax2+bx+c的图象判断出a＜0,b＜0,于是得到一次函数y＝ax+b的图象经过二,三,四象限,即可得到结论．【解答】解：∵y＝ax2+bx+c的图象的开口向下,∴a＜0,∵对称轴在y轴的左侧,∴b＜0,∴一次函数y＝ax+b的图象经过二,三,四象限．【点评】本题考查了二次函数和一次函数的图象,解题的关键是明确二次函数的性质,由函数图象可以判断a、b的取值范围．二．填空题（共5小题）6．（林州市期中）当m＝2时,y＝（m2﹣1）是二次函数．【考点】二次函数的定义．【专题】二次函数图象及其性质；模型思想．【分析】利用二次函数定义可得m2﹣m＝2,且m2﹣1≠0,再解出m的值即可．【解答】解：由题意得：m2﹣m＝2,且m2﹣1≠0,解得：m＝2,故答案为：2．【点评】此题主要考查了二次函数定义,关键是注意二次函数的二次项系数不为零．7．（仙游县期中）若y＝（m+1）x2+mx﹣1是关于x的二次函数,则m满足m≠﹣1．【考点】二次函数的定义．【专题】二次函数图象及其性质；模型思想．【分析】利用二次函数定义可得m+1≠0,再解不等式即可．【解答】解：由题意得：m+1≠0,解得：m≠﹣1,故答案为：m≠﹣1．【点评】此题主要考查了二次函数定义,关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数,a ≠0）的函数,叫做二次函数．8．如果函数y＝（m+1）x+2是二次函数,那么m＝2．【考点】二次函数的定义．【专题】二次函数图象及其性质；符号意识．【分析】直接利用二次函数的定义得出m的值．【解答】解：∵函数y＝（m+1）x+2是二次函数,∴m2﹣m＝2,（m﹣2）（m+1）＝0,解得：m1＝2,m2＝﹣1,∴m≠﹣1,故m＝2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了二次函数的定义,正确得出m的方程是解题关键．9．已知两个二次函数的图象如图所示,那么a1＞a2（填“＞”、“＝”或“＜”）．【考点】二次函数的图象．【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案．【解答】解：如图所示y＝a1x2的开口大于y＝a2x2的开口,开口向下,则a2＜a1＜0,故答案为：＞．【点评】此题主要考查了二次函数的图象,正确记忆开口大小与a的关系是解题关键．10．用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时,列出了如下表格：x…12 3 4…y＝…0﹣1 0 3 …ax2+bx+c那么该二次函数在x＝0时,y＝3．【考点】二次函数的图象．【分析】根据题目提供的满足二次函数解析式的x、y的值,确定二次函数的对称轴,利用抛物线的对称性找到当x＝0时,y的值即可．【解答】解：由上表可知函数图象经过点（1,0）和点（3,0）,∴对称轴为x＝2,∴当x＝4时的函数值等于当x＝0时的函数值,∵当x＝4时,y＝3,∴当x＝0时,y＝3．故答案是：3．【点评】本题考查了二次函数的图象的性质,利用表格找到二次函数的对称点是解决此题的关键．三．解答题（共5小题）11．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数,求m的值；（2）若这个函数是二次函数,则m的值应怎样？【考点】一次函数的定义；二次函数的定义．【专题】函数思想．【分析】（1）根据二次项的系数等于零,一次项的系数不等于零,可得方程和不等式,根据解方程和不等式,可得答案；（2）根据二次项的系数不等于零,可得不等式,根据不等式,可得答案．【解答】解：（1）依题意得∴∴m＝0；（2）依题意得m2﹣m≠0,∴m≠0且m≠1．【点评】本题考查了二次函数的定义,二次函数的二次项的系数不等于零是解题关键．12．已知y＝（m﹣1）x是关于x的二次函数,求m的值．【考点】二次函数的定义．【专题】常规题型．【分析】根据二次函数定义可得m2+2m﹣1＝2且m﹣1≠0,再解即可．【解答】解：∵y＝（m﹣1）x是关于x的二次函数,∴m2+2m﹣1＝2,解得m＝1或﹣3,∵m﹣1≠0,∴m≠1,∴m＝﹣3．【点评】此题主要考查了二次函数定义,关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数,a ≠0）的函数,叫做二次函数．13．已知二次函数y＝﹣x2+4x．（1）写出二次函数y＝﹣x2+4x图象的对称轴；（2）在给定的平面直角坐标系中,画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；（3）根据图象,写出当y＜0时,x的取值范围．【考点】二次函数的图象；二次函数的性质．【分析】（1）把一般式化成顶点式即可求得；（2）首先列表求出图象上点的坐标,进而描点连线画出图象即可．（3）根据图象从而得出y＜0时,x的取值范围．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4,∴对称轴是过点（2,4）且平行于y轴的直线x＝2；（2）列表得：x…﹣1012345…y…﹣503430﹣5…描点,连线．（3）由图象可知,当y＜0时,x的取值范围是x＜0或x＞4．【点评】本题考查了二次函数的图象和二次函数的性质,要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来,利用二次函数的图象,从而求出y＜0时,x的取值．14．小明利用函数与不等式的关系,对形如（x﹣x1）（x﹣x2）…（x﹣x n）＞0（n为正整数）的不等式的解法进行了探究．（1）下面是小明的探究过程,请补充完整：①对于不等式x﹣3＞0,观察函数y＝x﹣3的图象可以得到如表格：x的范围x＞3x＜3y的符号+﹣由表格可知不等式x﹣3＞0的解集为x＞3．②对于不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0,观察函数y＝（x﹣3）（x﹣1）的图象可以得到如表表格：x的范围x＞31＜x＜3x＜1y的符号+﹣+由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0的解集为x＞3或x＜1．③对于不等式（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0,请根据已描出的点画出函数y＝（x﹣3）（x﹣1）（x+1）的图象；观察函数y＝（x﹣3）（x﹣1）（x+1）的图象补全下面的表格：x的范围x＞31＜x＜3﹣1＜x＜1x＜﹣1y的符号+﹣+﹣由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0的解集为x＞3或﹣1＜x＜1．……小明将上述探究过程总结如下：对于解形如（x﹣x1）（x﹣x2）……（x﹣x n）＞0（n为正整数）的不等式,先将x1,x2…,x n按从大到小的顺序排列,再划分x的范围,然后通过列表格的办法,可以发现表格中y的符号呈现一定的规律,利用这个规律可以求这样的不等式的解集．（2）请你参考小明的方法,解决下列问题：①不等式（x﹣6）（x﹣4）（x﹣2）（x+2）＞0的解集为x＞6或2＜x＜4或x＜﹣2．②不等式（x﹣9）（x﹣8）（x﹣7）2＞0的解集为x＞9或x＜8且x≠7．【考点】一次函数的图象；一次函数与一元一次不等式；二次函数的图象．【专题】一元一次不等式(组)及应用；一次函数及其应用；二次函数图象及其性质．【分析】（1）②根据表格中的数据可以直接写出不等式的解集；③根据表格中的数据可以直接写出不等式的解集；（2）①根据小明的方法,可以直接写出该不等式的解集；②根据小明的方法,可以直接写出该不等式的解集．【解答】解：（1）②由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0的解集为x＞3或x＜1,故答案为：x＞3或x＜1；③图象如右图所示,当﹣1＜x＜1时,（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0,当x＜﹣1时,（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＜0,由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0的解集为x＞3或﹣1＜x＜1,故答案为：+,﹣,x＞3或﹣1＜x＜1；（2）①不等式（x﹣6）（x﹣4）（x﹣2）（x+2）＞0的解集为x＞6或2＜x＜4或x＜﹣2,故答案为：x＞6或2＜x＜4或x＜﹣2；②不等式（x﹣9）（x﹣8）（x﹣7）2＞0的解集为x＞9或x＜8且x≠7,故答案为：x＞9或x＜8且x≠7【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象、一次函数与一元一次不等式,解答本题的关键是明确题意,写出相应的不等式的解集．15．下表给出一个二次函数的一些取值情况：x…01234…y…30﹣103…（1）请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（2）根据图象说明：当x取何值时,y的值大于0？【考点】二次函数的图象．【专题】常规题型．【分析】（1）先利用描点、连线的方法画出图形；（2）找出函数图象位于x轴上方时,自变量x的范围即可．【解答】解：（1）描点、连线得：（2）由函数图象可知：当x＜1或x＞3时,y＞0．【点评】本题主要考查的是二次函数的图形,数形结合是解题的关键．。

(完整word版)2019年中考数学专题复习第十四讲二次函数的图象和性质(含详细参考答案)

2019年中考数学专题复习第十四讲二次函数的图象和性质【基础知识回顾】一、二次函数的定义：一般地如果y= （a 、b 、c 是常数a≠0）那么y 叫做x 的二次函数。

【名师提醒：1、二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的结构特征是：等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是，按项、项、项依次排列 2、强调二次项系数a 0】二、二次函数的图象和性质：1、二次函数y=kx 2+bx+c （a≠0)的图象是一条 ,其定点坐标为对称轴是。

2、在抛物y=ax 2+bx+c(a≠0）中:①、当a 〉0时，开口向，当x 〈—2b a时，y 随x 的增大而，当x 时，y 随x 的增大而增大，②、当a 〈0时，开口向，当x〈-2b a时,y 随x 增大而增大，当x 时，y 随x 增大而减小【名师提醒：注意几个特殊形式的抛物线的特点1、y=ax 2 ，对称轴顶点坐标2、y= ax 2 +k ，对称轴顶点坐标3、y=a （x —h ） 2对称轴顶点坐标4、y=a （x-h ） 2 +k 对称轴顶点坐标】三、二次函数图象的平移【名师提醒:二次函数的平移本质可看作是顶点间的平移,因此要掌握整条抛物线的平移，只需抓住关键的顶点平移即可】四、二次函数y= ax2+bx+c的同象与字母系数之间的关系：a：开口方向向上则a 0，向下则a 0 ｜a|越大，开口越b：对称轴位置，与a联系一起，用左右判断，当b=0时，对称轴是c：与y轴的交点：交点在y轴正半轴上,则c 0，在y轴负半轴上则c 0，当c=0时,抛物线过点【名师提醒：在抛物线y= ax2+bx+c中，当x=1时，y= 当x=-1时y= ，经常根据对应的函数值判断a+b+c和a—b+c的符号】【重点考点例析】考点一:二次函数图象上点的坐标特点例1 (2018•湖州)已知抛物线y=ax2+bx—3（a≠0）经过点（-1，0），（3，0），求a,b的值．【思路分析】根据抛物线y=ax2+bx-3(a≠0）经过点（—1，0），（3,0），可以求得a、b的值，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx—3（a≠0）经过点(-1,0），（3,0），∴30 9330a ba b--+-⎧⎨⎩＝＝，解得，12ab-⎧⎨⎩＝＝,即a的值是1,b的值是-2．【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h 平移|k|个单位【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．考点二：二次函数的图象和性质例2 （2018•德州)如图，函数y=ax2—2x+1和y=ax-a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A．B．C．D．【思路分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符,判断正误即可．【解答】解：A、由一次函数y=ax-a的图象可得:a＜0,此时二次函数y=ax2-2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；B、由一次函数y=ax—a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2—2x+1的图象应该开口向上,对称轴x=—22a-＞0,故选项正确；C、由一次函数y=ax—a的图象可得:a＞0，此时二次函数y=ax2—2x+1的图象应该开口向上,对称轴x=-22a-＞0，和x轴的正半轴相交，故选项错误；D、由一次函数y=ax—a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2—2x+1的图象应该开口向上，故选项错误．故选：B．【点评】本题考查了二次函数以及一次函数的图象,解题的关键是熟记一次函数y=ax-a 在不同情况下所在的象限,以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．例3 （2018•新疆）如图，已知抛物线y 1=-x 2+4x 和直线y 2=2x ．我们规定:当x 取任意一个值时,x 对应的函数值分别为y 1和y 2，若y 1≠y 2，取y 1和y 2中较小值为M;若y 1=y 2,记M=y 1=y 2．①当x ＞2时，M=y 2；②当x ＜0时,M 随x 的增大而增大；③使得M 大于4的x 的值不存在；④若M=2，则x=1．上述结论正确的是（填写所有正确结论的序号)．【思路分析】①观察函数图象，可知：当x ＞2时,抛物线y 1=-x 2+4x 在直线y 2=2x 的下方,进而可得出当x ＞2时，M=y 1，结论①错误；②观察函数图象，可知：当x ＜0时，抛物线y 1=—x 2+4x 在直线y 2=2x 的下方，进而可得出当x ＜0时，M=y 1，再利用二次函数的性质可得出M 随x 的增大而增大，结论②正确；③利用配方法可找出抛物线y 1=-x 2+4x 的最大值，由此可得出：使得M 大于4的x 的值不存在，结论③正确；④利用一次函数图象上点的坐标特征及二次函数图象上点的坐标特征求出当M=2时的x 值,由此可得出:若M=2，则x=1或2+2，结论④错误．此题得解．【解答】解：①当x ＞2时,抛物线y 1=-x 2+4x 在直线y 2=2x 的下方， ∴当x ＞2时，M=y 1，结论①错误；②当x ＜0时，抛物线y 1=-x 2+4x 在直线y 2=2x 的下方, ∴当x ＜0时，M=y 1，∴M随x的增大而增大，结论②正确；③∵y1=—x2+4x=—（x—2）2+4，∴M的最大值为4，∴使得M大于4的x的值不存在,结论③正确；④当M=y1=2时，有—x2+4x=2，解得:x1=2-2（舍去)，x2=2+2；当M=y2=2时，有2x=2，解得：x=1．∴若M=2，则x=1或2+2，结论④错误．综上所述：正确的结论有②③．故答案为：②③．【点评】本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象上点的坐标特征,逐一分析四条结论的正误是解题的关键．考点三：抛物线的特征与a、b、c的关系例4 (2018•滨州）如图，若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C,与x轴交于点A、点B（—1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a—b+c＜0；③b2-4ac＜0；④当y＞0时,-1＜x＜3,其中正确的个数是（)A．1 B．2C．3 D．4【思路分析】直接利用二次函数的开口方向以及图象与x轴的交点,进而分别分析得出答案．【解答】解：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0)图象的对称轴为x=1，且开口向下，∴x=1时，y=a+b+c,即二次函数的最大值为a+b+c，故①正确；②当x=—1时，a-b+c=0，故②错误；③图象与x轴有2个交点，故b2-4ac＞0，故③错误；④∵图象的对称轴为x=1，与x轴交于点A、点B（-1，0),∴A（3，0)，故当y＞0时，—1＜x＜3，故④正确．故选:B．【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A点坐标是解题关键．考点四：抛物线的平移例5 （2018•广安）抛物线y=（x-2）2—1可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（）A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度【思路分析】抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．【解答】解：抛物线y=x2顶点为（0，0）,抛物线y=(x—2）2—1的顶点为（2，—1），则抛物线y=x2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x-2）2-1的图象．故选：D．【点评】本题考查二次函数图象平移问题,解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线顶点，从而确定平移方向．考点五：二次函数的应用例6（2018•衢州)某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高,高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2）王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．【思路分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式,代入点（8,0），求出a值，此题得解；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征,求出当y=1。

中考数学二次函数图像性质压轴题解读(Word版解析+答案)

中考压轴题揭秘二次函数的图象性质与应用问题【典例分析】【考点1】二次函数的图象与性质【例1】（2019·四川中考真题）二次函数2y x ax b =-+的图象如图所示，对称轴为直线2x =，下列结论不正确的是（）A ．4a =B ．当4b =-时，顶点的坐标为(2,8)-C ．当1x =-时，5b >-D ．当3x >时，y 随x 的增大而增大【变式1-1】（2019·重庆中考真题）抛物线2362y x x =-++的对称轴是（）A ．直线2x =B ．直线2x =-C ．直线1x =D ．直线1x =- 【变式1-2】（2019·浙江中考真题）已知抛物线224y x x c =-+与x 轴有两个不同的交点.(1)求c 的取值范围；(2)若抛物线224y x x c =-+经过点()2,A m 和点()3,B n ，试比较m 与n 的大小，并说明理由.【考点2】抛物线的平移与解析式的确定【例2-1】（2019·山东中考真题）将抛物线265y x x =-+向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）A ．2(4)6y x =--B ．2(1)3y x =--C ．2(2)2y x =--D ．2(4)2y x =--【例2-2】（2019·山西中考真题）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A ，B 两点，拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为( )A ．226675y x =B ．226675y x =-C ．2131350y x =D ．2131350y x =- 【变式2-1】（2019·西藏中考真题）把函数212y x =-的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数()21112y x =--+的图象（） A ．向左平移1个单位，再向下平移1个单位B ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位C ．向右平移1个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位【变式2-2】（2019·江苏中考真题）已知二次函数的图象经过点(2,2)P ，顶点为(0,0)O 将该图象向右平移，当它再次经过点P 时，所得抛物线的函数表达式为__．【变式2-3】（2019·浙江中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线(5)(3)y x x =+-经过变换后得到抛物线(3)(5)y x x =+-，则这个变换可以是（）A ．向左平移2个单位B ．向右平移2个单位C ．向左平移8个单位D ．向右平移8个单位【变式2-4】（2019·四川中考真题）将抛物线23)2y x＝(﹣﹣向左平移_______个单位后经过点(22)A ，．【考点3】二次函数的图象与字母系数的关系【例3】（2019·辽宁中考真题）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，现给出下列结论：①0abc >；②930a b c ++=；③248b ac a -<；④50a b c ++>．其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式3-1】（2019·浙江中考真题）小飞研究二次函数y=-(x-m)2-m+1(m 为常数)性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y=-x+1上；②存在一个m 的值，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A(x 1,y 1)与点B(x 2,y 2)在函数图象上，若x 1<x 2，x 1+x 2>2m ，则y 1<y 2；④当-1<x<2时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围为m≥2其中错误结论的序号是（）A ．①B ．②C ．③D ．④【变式3-2】（2019·广西中考真题）已知抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴是直线1x =，其部分图象如图所示，下列说法中：①0abc <；②0a b c -+<；③30a c +=；④当13x -<<时，0y >，正确的是_____（填写序号）．【考点4】二次函数的应用【例4】（2019·辽宁中考真题）某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系如图所示．（1）根据图象直接写出y 与x 之间的函数关系式．（2）设这种商品月利润为W （元），求W 与x 之间的函数关系式．（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？【变式4-1】（2019·山东中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h (单位：m )与小球运动时间t (单位：s )之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是40m ；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度30h m =时， 1.5t s =．其中正确的是( )A ．①④B ．①②C ．②③④D ．②③【变式4-3】（2019·江苏中考真题）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD ，其中∠C ＝120°．若新建墙BC 与CD 总长为12m ，则该梯形储料场ABCD 的最大面积是（）A ．18m 2B ．1832C ．2432D 453m 2 【变式4-3】（2019·湖南中考真题）某政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店,A B 两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A 种湘莲礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B 种湘莲礼盒进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？（2）小亮调査发现，A 种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若B 种湘莲礼盒的售价和销量不变，当A 种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？【达标训练】1．（2019·广西中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线1x =，则下列结论中，错误的是（）A ．0ac C ．20a b -=D ．0a b c -+= 2．（2019·内蒙古中考真题）二次函数2y ax ＝与一次函数y ax a +＝在同一坐标系中的大致图象可能是（）A ．B ．C ．D ．3．（2019·浙江中考真题）二次函数2(1)3y x =-+图象的顶点坐标是（）A ．(1,3)B ．(1,3)-C ．(1,3)-D ．(1,3)--4．（2019·黑龙江中考真题）将抛物线22y x =向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）.A ．22(2)3y x =++；B ．22(2)3y x =-+；C ．22(2)3y x =--；D ．22(2)3y x =+-.5．（2019·福建中考真题）若二次函数y =|a |x 2+bx+c 的图象经过A(m ,n )、B(0,y 1)、C(3－m ,n )、D(2, y 2)、E(2,y 3)，则y 1、y 2、y 3的大小关系是( ).A ．y 1< y 2< y 3B ．y 1 < y 3< y 2C ．y 3< y 2< y 1D ．y 2< y 3< y 16．（2019·辽宁中考真题）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，现给出下列结论：①0abc >；②930a b c ++=；③248b ac a -<；④50a b c ++>．其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．47．（2019·四川中考真题）二次函数2y ax bx c ++＝的部分图象如图所示，有以下结论：①30a b ﹣＝；②240b ac ﹣＞；③520ab c +﹣＞；④430b c +＞，其中错误结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．48．（2019·广东中考真题）已知2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图，则y ax b =+和c y x=的图象为（）A ．B ．C ．D ．9．（2019·重庆中考真题）抛物线2362y x x =-++的对称轴是（）A ．直线2x =B ．直线2x =-C ．直线1x =D ．直线1x =-10．（2019·浙江中考真题）已知,a b 是非零实数，a b >，在同一平面直角坐标系中，二次函数21y ax bx =＋与一次函数2y ax b =＋的大致图象不可能是（）A ．B ．C ．D ．11．（2019·四川中考真题）如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点()1,0A ，()5,0B ，下列说法正确的是（）A ．0c <B ．240b ac -<C ．0a b c -+<D ．图象的对称轴是直线3x =12．（2019·浙江中考真题）在平面直角坐标系中，已知a b ¹，设函数()()y x a x b =++的图像与x 轴有M 个交点，函数()()11y ax bx =++的图像与x 轴有N 个交点，则（）A ．1M N =-或1M N =+B ．1M N =-或2M N =+C ．M N =或1M N =+D ．M N =或1M N =-13．（2019·四川中考真题）已知二次函数(1)(1)37y x a x a a =---+-+(其中x 是自变量)的图象与x 轴没有公共点，且当1x <-时，y 随x 的增大而减小，则实数a 的取值范围是( )A ．2a -C ．12a -<≤D ．12a -≤<14．（2019·四川中考真题）已知抛物线21y x =-与y 轴交于点A ，与直线y kx =（k 为任意实数）相交于B ，C 两点，则下列结论不正确的是（）A ．存在实数k ，使得ABC ∆为等腰三角形B ．存在实数k ，使得ABC ∆的内角中有两角分别为30°和60°C ．任意实数k ，使得ABC ∆都为直角三角形D ．存在实数k ，使得ABC ∆为等边三角形15．（2019·江苏中考真题）如图是王阿姨晚饭后步行的路程s(单位：m)与时间t(单位：min)的函数图象，其中曲线段AB 是以B 为顶点的抛物线一部分.下列说法不正确的是( )A ．25min~50min ，王阿姨步行的路程为800mB ．线段CD 的函数解析式为324002550s t t =+≤≤（）C ．5min~20min ，王阿姨步行速度由慢到快D ．曲线段AB 的函数解析式为23201200520s t t =--+≤≤（）（）16．（2019·湖南中考真题）如图，在直角三角形ABC 中，90,C AC BC ∠=︒=，E 是AB 的中点，过点E 作AC 和BC 的垂线，垂足分别为点D 和点F ，四边形CDEF 沿着CA 方向匀速运动，点C 与点A 重合时停止运动，设运动时间为t ，运动过程中四边形CDEF 与ABC ∆的重叠部分面积为S ．则S 关于t 的函数图象大致为（）A ．B ．C ．D ．17．（2019·湖北中考真题）如图，若被击打的小球飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有的关系为2205h t t =-，则小球从飞出到落地所用的时间为_____s ．18．（2019·黑龙江中考真题）二次函数2(6)8y x =--+的最大值是__________．19．（2019·甘肃中考真题）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，若42M a b =+，N a b =﹣．则M 、N 的大小关系为M _____N ．(填“>”、“=”或“<”)20．（2019·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 落在坐标原点，点A 、点C 分别位于x 轴，y 轴的正半轴，G 为线段OA 上一点，将OCG ∆沿CG 翻折，O 点恰好落在对角线AC 上的点P 处，反比例函数12y x=经过点B ．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过(0,3)C 、G 、A 三点，则该二次函数的解析式为_______．（填一般式）21．（2019·湖北中考真题）二次函数2245y x x =--+的最大值是__________．22．（2019·浙江中考真题）某函数满足当自变量1x =时，函数值0y =；当自变量0x =时，函数值1y =，写出一个满足条件的函数表达式_____.23．（2019·山东中考真题）如图，直线1y x =+与抛物线245y x x =-+交于A ，B 两点，点P 是y 轴上的一个动点，当PAB ∆的周长最小时，PAB S ∆=_______．24．（2019·吉林中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线()28203y ax ax a =-+>与y 轴交于点A ，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点M ．P 为抛物线的顶点．若直线OP 交直线AM 于点B ，且M 为线段AB 的中点，则a 的值为_____．25．（2019·湖南中考真题）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M 、N 的坐标分别为(0,1),(0,1),-P 是二次函数214y x =的图象上在第一象限内的任意一点，PQ 垂直直线1y =-于点Q ，则四边形PMNQ 是广义菱形．其中正确的是_____．（填序号）26．（2019·四川中考真题）如图，点P 是双曲线C ：4y x =（0x >）上的一点，过点P 作x 轴的垂线交直线AB ：122y x =-于点Q ，连结OP ，OQ .当点P 在曲线C 上运动,且点P 在Q 的上方时，△POQ 面积的最大值是______.27．（2019·江苏中考真题）某个函数具有性质：当x >0时，y 随x 的增大而增大，这个函数的表达式可以是____（只要写出一个符合题意的答案即可）28．（2019·四川中考真题）在某市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y （米）与水平距离x （米）之间的关系为21251233y x x =-++，由此可知该生此次实心球训练的成绩为_______米．29．（2019·湖北中考真题）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x 元(x 为正整数)，每月的销售量为y 条．(1)直接写出y 与x 的函数关系式；(2)设该网店每月获得的利润为w 元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？ (3)该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？30．（2019·湖北中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线2:21(0)C y ax x a =+-≠和直线l:y=kx+b ，点A(-3,-3)，B(1,-1)均在直线l 上．（1）若抛物线C 与直线l 有交点，求a 的取值范围；（2）当a=-1，二次函数221y ax x =+-的自变量x 满足m≤x≤m+2时，函数y 的最大值为-4，求m 的值；（3）若抛物线C 与线段AB 有两个不同的交点，请直接写出a 的取值范围．31．（2019·浙江中考真题）有一块形状如图的五边形余料ABCDE ，6AB AE ==，5BC =，90A B ∠=∠=︒，135C ∠=︒，90E ∠>︒.要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一边在AE 上，并使所截矩形的面积尽可能大.（1）若所截矩形材料的一条边是BC 或AE ，求矩形材料的面积；（2）能否截出比（1）中面积更大的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值，如果不能，请说明理由.32.（2019·浙江中考真题）已知函数2y x bx c =++（b ，c 为常数）的图象经过点()2,4-.（1）求b ，c 满足的关系式；（2）设该函数图象的顶点坐标是(),m n ，当b 的值变化时，求n 关于m 的函数解析式；（3）若该函数的图象不经过第三象限，当51x -≤≤时，函数的最大值与最小值之差为16，求b 的值．33．（2019·浙江中考真题）如图，已知二次函数23y x ax =++的图象经过点()2,3P -.（1）求a 的值和图象的顶点坐标。

初中中考复习之二次函数的图象和性质(精编含答案)

中考复习之二次函数的图象和性质一、选择题1.已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示对称轴为21-=x 。

下列结论中，正确的是【】A ．0abc >B ．0a b +=C ．20b c >+D ．42a c b +< 2.已知二次函数y=﹣x 2﹣7x+，若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是【】A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＜y 2＜y 3C ．y 2＞y 3＞y 1D ．y 2＜y 3＜y 13.如图，已知抛物线y 1=﹣2x 2+2，直线y 2=2x+2，当x 任取一值时，x 对应的函数值分别为y 1、y 2．若y 1≠y 2，取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2，记M=y 1=y 2．例如：当x=1时，y 1=0，y 2=4，y 1＜y 2，此时M=0．下列判断：①当x ＞0时，y1＞y 2； ②当x ＜0时，x 值越大，M 值越小； ③使得M 大于2的x 值不存在； ④使得M=1的x 值是或．其中正确的是【】A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④4.已知二次函数()()2y=a x 2+c a 0>-，当自变量x 3，0时，对应的值分别为123y y y ，，，则123y y y ，，的大小关系正确的是【】A. 321y y y <<B. 123y y y <<C. 213y y y <<D. 312y y y <<5.关于x 的二次函数()()y=x+1x m -，其图象的对称轴在y 轴的右侧，则实数m 的取值范围是【】 A. m <1- B. 1<m<0- C. 0<m<1 D. m >16.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c ＜0；④8a+c＞0．其中正确的有【】A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个7. 已知抛物线y=ax 2﹣2x+1与x 轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是【】A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限8.抛物线2y x 12=-+（）的顶点坐标是【】A ．（－1，2）B ．（－1，－2）C ．（1，－2）D ．（1，2）9.如图为二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象，则下列说法： ①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x ＜3时，y ＞0 其中正确的个数为【】A ．1B ．2C ．3D ．410.如图，已知抛物线与x 轴的一个交点A （1，0），对称轴是x=﹣1，则该抛物线与x 轴的另一交点坐标是【】A ．（﹣3，0）B ．（﹣2，0）C ．x=﹣3D ．x=﹣211.二次函数y=ax 2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t=a+b+1，则t 值的变化范围是【】A ．0＜t ＜1B ．0＜t ＜2C ．1＜t ＜2D ．﹣1＜t ＜112.若二次函数22y ax bx a 2=++-（a ，b 为常数）的图象如图，则a 的值为【】A. 1B. 2C. 2-D. -213.设二次函数2y x bx c =++，当x 1≤时，总有y 0≥，当1x 3≤≤时，总有y 0≤，那么c 的取值范围是【】A.c 3=B.c 3≥C.1c 3≤≤D.c 3≤ 14.对于二次函数y 2(x 1)(x 3)=+-，下列说法正确的是【】A. 图象的开口向下B. 当x>1时，y 随x 的增大而减小C. 当x<1时，y 随x 的增大而减小D. 图象的对称轴是直线x=－1 15.如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点B 坐标（﹣1，0），下面的四个结论：①OA=3；②a+b+c＜0；③ac＞0；④b 2﹣4ac ＞0．其中正确的结论是【】A ．①④B ．①③C ．②④D ．①② 16.抛物线234y x x =--+ 与坐标轴的交点个数是【】 A ．3 B ．2 C ．1 D ．017.如图，二次函数的图象经过（－2，－1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是【】A ．y 的最大值小于0B ．当x=0时，y 的值大于1C ．当x=－1时，y 的值大于1D ．当x=－3时，y 的值小于018.二次函数y=ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，给出下列结论：① b 2－4ac>0；② 2a＋b<0；③ 4a－2b ＋c=0；④ a︰b ︰c= －1︰2︰3.其中正确的是【】 (A ) ①② (B) ②③ (C) ③④ (D)①④19.二次函数2y ax bx =+的图象如图，若一元二次方程20ax bx m ++=有实数根，则m 的最大值为【】A ．3-B ．3C ．6-D ．920.设A 1(2)y -，，B 2(1)y ，，C 3(2)y ，是抛物线2(1)y x a =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为【】A ．213y y y >>B ．312y y y >>C ．321y y y >>D ．312y y y >>21.二次函数()2y=ax +bx+c a 0≠的图象如图所示，下列结论错误的是【】 A.abc ＞0 B.3a ＞2b C.m （am ＋b ）≤a－b D.4a －2b ＋c ＜0 22.已知二次函数y=2（x ﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有【】 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个23.抛物线2y ax bx 3=+-经过点（2，4），则代数式8a 4b 1++的值为【】A ．3B ．9C ．15D ．15-24.如图，抛物线y 1=a （x ＋2）2－3与y 2=12（x －3）2＋1交于点A （1，3），过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点B ，C ．则以下结论：①无论x 取何值，y 2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y 2－y 1=4；④2AB=3AC；其中正确结论是【】A ．①②B ．②③ C．③④ D．①④25.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则函数值y 0<时x 的取值范围是【】 A ．x 1<- B ．x ＞3 C ．－1＜x ＜3 D ．x 1<-或x ＞3 26.抛物线y ＝－2x 2＋1的对称轴是【】 A ．直线1x=2 B ．直线1x=2-C ．y 轴D ．直线x ＝2 27.已知二次函数y ＝a(x ＋1)2－b(a≠0)有最小值，则a ，b 的大小关系为【】 A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＝b D ．不能确定28.如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－1，1)、(2，－1)．下列关于这个二次函数的叙述正确的是【】A ．当x ＝0时，y 的值大于1B ．当x ＝3时，y 的值小于0C ．当x ＝1时，y 的值大于1D ．y 的最大值小于029.已知二次函数y=ax 2+bx+c(a≠O)的图象如图所示，现有下列结论：①abc>0 ②b 2－4ac<0 ⑤c<4b ④a＋b>0，则其中正确结论的个数是【】 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个30.抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点坐标是(－l ，0)和(3，0)，则这条抛物线的对称轴是【】．A ．直线x=－1 8．直线x=0 C ．直线x=1 D ．直线x= 3 31如图是二次函数2y=ax +bx+c 的部分图象，由图象可知不等式2ax +bx+c<0的解集是【】A ．1<x<5-B ．x>5C ．x<1-且x>5D ．1<x -或x>5 二、填空题：1.二次函数622+-=x x y 的最小值是．2.已知点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在二次函数y=（x －1）2+1的图象上，若x 1＞x 2＞1，则y 1 y 2. 3.若抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点是A （2，1），且经过点B （1，0），则抛物线的函数关系式为． 4.对于二次函数2y x 2mx 3=--，有下列说法：①它的图象与x 轴有两个公共点；②如果当x ≤1时y 随x 的增大而减小，则m 1=； ③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m 1=-；④如果当x 4=时的函数值与x 2008=时的函数值相等，则当x 2012=时的函数值为3-．其中正确的说法是．（把你认为正确说法的序号都填上） 5.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象的对称轴是直线x ＝1，其图象的一部分如图所示．下列说法正确的是 (填正确结论的序号)．①abc＜0；②a－b ＋c ＜0；③3a＋c ＜0；④当－1＜x ＜3时，y ＞0．6.二次函数n x x y +-=62的部分图像如图所示，若关于x 的一元二次方程062=+-n x x 的一个解为11=x ，则另一个解2x = ．7.二次函数2y x 2x 3=--的图象如图所示．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是．8.当x= 时，二次函数y=x 2+2x ﹣2有最小值．9.如图，在平面直角坐标系中，点A 是抛物线()2y=a x 3+k -与y 轴的交点，点B 是这条抛物线上的另一点，且AB∥x 轴，则以AB 为边的等边三角形ABC 的周长为 .10.若抛物线2y ax bx c =++经过点(－1，10)，则a b c -+= ． 11.已知二次函数y=－x 2－2x ＋3的图象上有两点A(－7，1y )，B(－8，2y )，则1y 2y .（用>、<、=填空）． 12.将抛物线y=x 2+x 向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是．三、解答题1.已知二次函数23y (t 1)x 2(t 2)x 2=++++在x 0=和x 2=时的函数值相等。

2024年中考数学真题汇编专题14 二次函数的图象与性质+答案详解

2024年中考数学真题汇编专题14 二次函数的图象与性质+答案详解（试题部分）一、单选题1．（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线22y x x =+向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（） A ．()213y x =+− B ．()=+−2y x 12C ．()213y x =−−D ．()212y x =−−2．（2024·广东广州·中考真题）函数21y ax bx c =++与2ky x=的图象如图所示，当（）时，1y ，2y 均随着x 的增大而减小．A ．1x <−B ．10x −<<C ．02x <<D ．1x >3．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线()2213y x c =−+经过()()1235202y y y ⎛⎫− ⎪⎝⎭，，，，，三点，则123y y y ，，的大小关系正确的是（） A ．123y y y >>B ．231y y y >>C ．312y y y >>D ．132y y y >>4．（2024·四川达州·中考真题）抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（） A ．1b c +>B ．2b =C ．240b c +<D ．0c <5．（2024·四川泸州·中考真题）已知二次函数()2231y ax a x a =+−+−（x 是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a 的取值范围为（） A ．918a ≤时，y 的值随x 的值增大而增大C ．图象经过第二、三、四象限D ．图象的对称轴是直线1x =7．（2024·湖北·中考真题）抛物线2y ax bx c =++的顶点为()1,2−−，抛物线与y 轴的交点位于x 轴上方．以下结论正确的是（） A ．0a >B ．213y y y >>C ．132y y y >>D ．312y y y >>9．（2024·四川自贡·中考真题）一次函数24y x n =−+，二次函数2(1)3y x n x =+−−，反比例函数1n y x+=在同一直角坐标系中图象如图所示，则n 的取值范围是（）A ．1n >−B ．2n >C ．11n −<<D ．12n <<10．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，且0a ≠）的对称轴为直线=1x −，且该抛物线与x 轴交于点()1,0A ，与y 轴的交点B 在()0,2−，()0,3−之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（）①0abc >； ②930a b c −+≥；③213a <<； ④若方程21ax bx c x +=++两根为(),m n m n <，则31m n −<<<．A ．1B ．2C ．3D ．411．（2024·江苏连云港·中考真题）已知抛物线2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，a<0）的顶点为(1,2)．小烨同学得出以下结论：①0abc <；②当1x >时，y 随x 的增大而减小；③若20ax bx c ++=的一个根为3，则12a =−；④抛物线22y ax =+是由抛物线2y ax bx c =++向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④12．（2024·四川广安·中考真题）如图，二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）的图象与x 轴交于点3,02A ⎛⎫− ⎪⎝⎭，对称轴是直线12x =−，有以下结论：①0abc <；②若点()11,y −和点()22,y 都在抛物线上，则12y y <；③21142am bm a b +≤−（m 为任意实数）；④340a c +=．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．（2024·四川眉山·中考真题）如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于点()3,0A ，与y 轴交于点B ，对称轴为直线1x =，下列四个结论：①0bc <；②320a c +<；③2ax bx a b +≥+；④若21c −<<−，则8433a b c −<++<−，其中正确结论的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．414．（2024·福建·中考真题）已知二次函数()220y x ax a a =−+≠的图象经过1,2a A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()23,B a y 两点，则下列判断正确的是（）A ．可以找到一个实数a ，使得1y a >B ．无论实数a 取什么值，都有1y a >C ．可以找到一个实数a ，使得20y <D ．无论实数a 取什么值，都有20y <15．（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数2y ax bx c =++的部分图象与x 轴的一个交点的横坐标是3−，顶点坐标为()1,4−，则下列说法正确的是（）A ．二次函数图象的对称轴是直线1x =B ．二次函数图象与x 轴的另一个交点的横坐标是2C ．当1x <−时，y 随x 的增大而减小D ．二次函数图象与y 轴的交点的纵坐标是316．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数()2211y x x x t =−−≤≤−，当=1x −时，函数取得最大值；当1x =时，函数取得最小值，则t 的取值范围是（）A ．02t <≤B ．04t <≤C ．24t ≤≤D ．2t ≥17．（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，对称轴为直线=1x −，则下列结论中： ①0bc> ②2am bm a b +≤−（m 为任意实数） ③31a c +< ④若()1,M x y 、()2,N x y 是抛物线上不同的两个点，则123x x +≤−．其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个18．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知抛物线2y ax bx c =++过点()0,2C −与x 轴交点的横坐标分别为1x ，2x ，且110x −<<，223x <<，则下列结论：①<0a b c −+；②方程220ax bx c +++=有两个不相等的实数根； ③0a b +>； ④23a >； ⑤2244b ac a −>．其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个19．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B两点，()()3,0,1,0A B −，与y 轴交点C 的纵坐标在3−～2−之间，根据图象判断以下结论：①20abc >；②423b <<；③若221122ax bx ax bx −=−且12x x ≠，则122x x +=−；④直线56y cx c =−+与抛物线2y ax bx c =++的一个交点(,)(0)m n m ≠，则12m =．其中正确的结论是（）A ．①②④B ．①③④C ．①②③D ．①②③④20．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形ABCD 的顶点A ，C 在抛物线24y x =−+上，点D 在y 轴上．若A C ，两点的横坐标分别为m n ，（0m n >>），下列结论正确的是（）A ．1m n +=B ．1m n −=C ．1mn =D ．1m n= 21．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线()20y ax bx c a =++<的图象交x 轴于点()3,0A −、()1,0B ，交y 轴于点C ．以下结论：①0a b c ++=；②320a b c ++<；③当以点A 、B 、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，c =3c =时，在AOC 内有一动点P ，若2OP =，则23CP AP +．其中正确结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个22．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数()220y ax bx a =++≠的图象与x 轴交于()1,0−，1(,0)x ，其中123x <<．结合图象给出下列结论：①0ab >；②2a b −=−；③当1x >时，y 随x 的增大而减小；④关于x 的一元二次方程()2200ax bx a ++=≠的另一个根是2a−；⑤b 的取值范围为413b <<．其中正确结论的个数是（） A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题23．（2024·四川内江·中考真题）已知二次函数221y x x =−+的图象向左平移两个单位得到抛物线C ，点()12,P y ，()23,Q y 在抛物线C 上，则1y 2y （填“＞”或“＜”）；24．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线2y x x c =−+（c 是常数）与x 轴没有交点，则c 的取值范围是．25．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线23y ax bx =++向下平移5个单位长度后，经过点()24,−，则637a b −−= ．26．（2024·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 是二次函数241y x x =−+−图象上三点．若101x <<，24x >，则1y 2y （填“>”或“<”）；若对于11m x m <<+，212m x m +<<+，323m x m +<<+，存在132y y y <<，则m 的取值范围是．27．（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数2()y a x m k =−+（0a ≠）中存在一点(),P x y ''，使得0x m y k '−='−≠，则称2x m '−为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线211323y x x =−++“开口大小”为．28．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a <）经过()1,1−，(),1m 两点，且01m <<．下列四个结论： ①0b >；②若01x <<，则()()2111a x b x c −+−+>；③若1a =−，则关于x 的一元二次方程 22ax bx c ++=无实数解；④点()11,A x y ，()22,B x y 在抛物线上，若1212x x +>−，12x x >，总有12y y <，则102m <≤．其中正确的是（填写序号）．29．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++的顶点A 的坐标为1,3n ⎛⎫− ⎪⎝⎭，与x 轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①0abc >；②520b c +<；③若抛物线经过点()()126,,5,y y −，则12y y >；④若关于x 的一元二次方程24ax bx c ++=无实数根，则4n <．其中正确结论是（请填写序号）．30．（2024·山东烟台·中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表：下列结论：①0abc >；②关于x 的一元二次方程29ax bx c ++=有两个相等的实数根；③当41x −<<时，y 的取值范围为<<0y 5；④若点()1,m y ，()22,m y −−均在二次函数图象上，则12y y =；⑤满足()212ax b x c +++<的x 的取值范围是<2x −或3x >．其中正确结论的序号为．三、解答题31．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知二次函数2y x bx c =−++的图像与x 轴交于(2,0)A −，(1,0)B 两点．(1)求b c 、的值；(2)若点P 在该二次函数的图像上，且PAB 的面积为6，求点P 的坐标．32．（2024·安徽·中考真题）已知抛物线2y x bx =−+（b 为常数）的顶点横坐标比抛物线22y x x =−+的顶点横坐标大1． (1)求b 的值；(2)点()11,A x y 在抛物线22y x x =−+上，点()11,B x t y h ++在抛物线2y x bx =−+上．（ⅰ）若3h t =，且10x ≥，0t >，求h 的值；（ⅱ）若11x t =−，求h 的最大值．33．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()2220=−≠y ax a x a .(1)当1a =时，求抛物线的顶点坐标；(2)已知()11,M x y 和()22,N x y 是抛物线上的两点.若对于13x a =，234x ≤≤，都有12y y <，求a 的取值范围. 34．（2024·浙江·中考真题）已知二次函数2y x bx c =++（b ，c 为常数）的图象经过点(2,5)A −，对称轴为直线12x =−．(1)求二次函数的表达式；(2)若点(1,7)B 向上平移2个单位长度，向左平移m （0m >）个单位长度后，恰好落在2y x bx c =++的图象上，求m 的值；(3)当2x n −≤≤时，二次函数2y x bx c =++的最大值与最小值的差为94，求n 的取值范围．35．（2024·广西·中考真题）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x 的二次函数223y x ax a =++−的最值问题展开探究．【经典回顾】二次函数求最值的方法．（1）老师给出4a =−，求二次函数223y x ax a =++−的最小值． ①请你写出对应的函数解析式；②求当x 取何值时，函数y y 值；【举一反三】老师给出更多a 的值，同学们即求出对应的函数在x 取何值时，y 的最小值．记录结果，并整理成下表：注：*为②的计算结果．【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a 值后，我们只要取x a =−，就能得到y 的最小值．”乙同学：“我发现，y 的最小值随a 值的变化而变化，当a 由小变大时，y 的最小值先增大后减小，所以我猜想y 的最小值中存在最大值．”（2）请结合函数解析式223y x ax a =++−，解释甲同学的说法是否合理？（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．36．（2024·云南·中考真题）已知抛物线21y x bx =+−的对称轴是直线32x =．设m 是抛物线21y x bx =+−与x 轴交点的横坐标，记533109m M −=．(1)求b 的值；(2)比较M 37．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线L ：()2230y ax ax a a =−−>与x轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），其顶点为C ，D 是抛物线第四象限上一点．(1)求线段AB 的长；(2)当1a =时，若ACD 的面积与ABD △的面积相等，求tan ABD ∠的值；(3)延长CD 交x 轴于点E ，当AD DE =时，将ADB 沿DE 方向平移得到A EB ''．将抛物线L 平移得到抛物线L '，使得点A '，B '都落在抛物线L '上．试判断抛物线L '与L 是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．38．（2024·山东·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点()2,3P −在二次函数()230y ax bx a =+−>的图像上，记该二次函数图像的对称轴为直线x m =． (1)求m 的值；(2)若点(),4Q m −在23y ax bx =+−的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图像．当04x ≤≤时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；(3)设23y ax bx =+−的图像与x 轴交点为()1,0x ，()()212,0x x x <．若2146x x <−<，求a 的取值范围． 39．（2024·四川乐山·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线222y ax ax a =−+（a 为常数且0a >）与y 轴交于点A ．(1)若1a=，求抛物线的顶点坐标；(2)若线段OA（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围；=交于M、N两点，线段MN与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，(3)若抛物线与直线y x求a的取值范围．2024年中考数学真题汇编专题14 二次函数的图象与性质+答案详解（答案详解）一、单选题1．（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线22y x x =+向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（） A ．()213y x =+− B ．()=+−2y x 12C ．()213y x =−−D ．()212y x =−− 【答案】A【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平移后的抛物线为222y x x =+−，再把222y x x =+−化为顶点式即可．【详解】解：抛物线22y x x =+向下平移2个单位后，则抛物线变为222y x x =+−，∴222y x x =+−化成顶点式则为 ()213y x =+−，故选：A ．2．（2024·广东广州·中考真题）函数21y ax bx c =++与2k y x=的图象如图所示，当（）时，1y ，2y 均随着x 的增大而减小．A ．1x <−B ．10x −<<C ．02x <<D ．1x >【答案】D 【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当1x >时，1y 随着x 的增大而减小；2y 位于在一、三象限内，且2y 均随着x 的增大而减小，据此即可得到答案．【详解】解：由函数图象可知，当1x >时，1y 随着x 的增大而减小；2y 位于一、三象限内，且在每一象限内2y 均随着x 的增大而减小，∴当1x >时，1y ，2y 均随着x 的增大而减小，故选：D ．3．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线()2213y x c =−+经过()()1235202y y y ⎛⎫− ⎪⎝⎭，，，，，三点，则123y y y ，，的大小关系正确的是（）A ．123y y y >>B ．231y y y >>C ．312y y y >>D ．132y y y >>4．（2024·四川达州·中考真题）抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（）A ．1b c +>B ．2b =C ．240b c +<D ．0c <【答案】A【分析】本题考查了二次函数的性质，设抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于两点，横坐标分别为1212,,x x x x <，依题意，121,1x x <>，根据题意抛物线开口向下，当1x =时，0y >，即可判断A 选项，根据对称轴即可判断B 选项，根据一元二次方程根的判别式，即可求解．判断C 选项，无条件判断D 选项，据此，即可求解．【详解】解：依题意，设抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于两点，横坐标分别为1212,,x x x x <依题意，121,1x x <>∵10a =−<，抛物线开口向下，∴当1x =时，0y >，即10b c −++>5．（2024·四川泸州·中考真题）已知二次函数()2231y ax a x a =+−+−（x 是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a 的取值范围为（）A ．918a ≤时，y 的值随x 的值增大而增大C ．图象经过第二、三、四象限D ．图象的对称轴是直线1x =7．（2024·湖北·中考真题）抛物线2y ax bx c =++的顶点为1,2−−，抛物线与轴的交点位于x 轴上方．以下结论正确的是（）A ．0a ，0c >，∵抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac ∆=−>，∵抛物线2y ax bx c =++的顶点为()1,2−−，∴2a b c −+=−，观察四个选项，选项C 符合题意，故选：C ．8．（2024·广东·中考真题）若点()()()1230,,1,,2,y y y 都在二次函数2y x =的图象上，则（）A ．321y y y >>B ．213y y y >>C ．132y y y >>D ．312y y y >> 【答案】A【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y 轴（直线0x =），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，再比较即可．【详解】解∶ 二次函数2y x =的对称轴为y 轴，开口向上， ∴当0x >时， y 随x 的增大而增大，∵点()()()1230,,1,,2,y y y 都在二次函数2y x =的图象上，且012<<， ∴321y y y >>，故选∶A ．9．（2024·四川自贡·中考真题）一次函数24y x n =−+，二次函数2(1)3y x n x =+−−，反比例函数1n y x+=在同一直角坐标系中图象如图所示，则n 的取值范围是（）A ．1n >−B ．2n >C ．11n −<<D ．12n <<【答案】C10．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，且0a ≠）的对称轴为直线=1x −，且该抛物线与x 轴交于点()1,0A ，与y 轴的交点B 在()0,2−，()0,3−之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（）①0abc >；②930a b c −+≥；③213a <<； ④若方程21ax bx c x +=++两根为(),m n m n <，则31m n −<<<．A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，根据题干可得0a >，20b a =>，32c −<<−，即可判断①错误；根据对称轴和一个交点求得另一个交点为()3,0−，即可判断②错误；将c 和b 用a 表示，即可得到332a −<−<−，即可判断③正确；结合抛物线2y ax bx c =++和直线1y x =+与x 轴得交点，即可判断④正确．【详解】解：由图可知0a >，11．（2024·江苏连云港·中考真题）已知抛物线2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，a<0）的顶点为(1,2)．小烨同学得出以下结论：①0abc <；②当1x >时，y 随x 的增大而减小；③若20ax bx c ++=的一个根为3，则12a =−；④抛物线22y ax =+是由抛物线2y ax bx c =++向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④【答案】B0a <，02b ∴−<即a bc ++2c a ∴=−c ∴的值可正也可负，a<2,b a =−∴抛物线为09a =−12a ∴=−，故③正确；抛物线12．（2024·四川广安·中考真题）如图，二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）的图象与x 轴交于点3,02A ⎛⎫− ⎪⎝⎭，对称轴是直线12x =−，有以下结论：①0abc <；②若点()11,y −和点()22,y 都在抛物线上，则12y y <；③21142am bm a b +≤−（m 为任意实数）；④340a c +=．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 <02b a−，<0b ∴.>0abc ∴.故①错误；对称轴是直线而(1−−−−故选：B.【点睛】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以及与坐标轴的交点.13．（2024·四川眉山·中考真题）如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于点()3,0A ，与y 轴交于点B ，对称轴为直线1x =，下列四个结论：①0bc <；②320a c +<；③2ax bx a b +≥+；④若21c −<<−，则8433a b c −<++<−，其中正确结论的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4【详解】解：①函数图象开口方向向上，对称轴在②二次函数2b a =−，1x ∴=−时，a b c ∴−+3a c ∴+=③对称轴为直线④2c −<<∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得3c a =−，23a ∴−<−<−1233a <<，2b a =−，a bc ∴++83a ∴−<+故④正确；综上所述，正确的有②③④，14．（2024·福建·中考真题）已知二次函数()220y x ax a a =−+≠的图象经过1,2a A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()23,B a y 两点，则下列判断正确的是（）A ．可以找到一个实数a ，使得1y a >B ．无论实数a 取什么值，都有1y a >C ．可以找到一个实数a ，使得20y <D ．无论实数a 取什么值，都有20y <【详解】解：二次函数解析式为当15．（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数2y ax bx c =++的部分图象与x 轴的一个交点的横坐标是3−，顶点坐标为()1,4−，则下列说法正确的是（）A ．二次函数图象的对称轴是直线1x =B ．二次函数图象与x 轴的另一个交点的横坐标是2C ．当1x <−时，y 随x 的增大而减小D ．二次函数图象与y 轴的交点的纵坐标是3 【答案】D【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称性，增减性判断选项A 、B 、C ，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y 轴的交点坐标即可判定选项D ．【详解】解∶ ∵二次函数2y ax bx c =++的顶点坐标为()1,4−， ∴二次函数图象的对称轴是直线=1x −，故选项A 错误；∵二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴的一个交点的横坐标是3−，对称轴是直线=1x −， ∴二次函数图象与x 轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B 错误； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线=1x −，∴当1x <−时，y 随x 的增大而增大，故选项C 错误；设二次函数解析式为()214y a x =++，把()3,0−代入，得()20314a =−++，解得1a =−， ∴()214y x =−++，当0x =时，()20143y =−++=，∴二次函数图象与y 轴的交点的纵坐标是3，故选项D 正确，故选D ．16．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数()2211y x x x t =−−≤≤−，当=1x −时，函数取得最大值；当1x =时，函数取得最小值，则t 的取值范围是（）A ．02t <≤B ．04t <≤C ．24t ≤≤D ．2t ≥【答案】C【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由()22211y x x x =−=−−，可知图象开口向上，对称轴为直线1x =，顶点坐标为()11−，，当=1x −时，3y =，即()13−，关于对称轴对称的点坐标为()33，，由当=1x −时，函数取得最大值；当1x =时，函数取得最小值，可得113t ≤−≤，计算求解，然后作答即可．【详解】解：∵()22211y x x x =−=−−，∴图象开口向上，对称轴为直线1x =，顶点坐标为()11−，，当=1x −时，3y =，∴()13−，关于对称轴对称的点坐标为()33，， ∵当=1x −时，函数取得最大值；当1x =时，函数取得最小值， ∴113t ≤−≤，解得，24t ≤≤，故选：C ．17．（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，对称轴为直线=1x −，则下列结论中： ①0bc> ②2am bm a b +≤−（m 为任意实数） ③31a c +< ④若()1,M x y 、()2,N x y 是抛物线上不同的两个点，则123x x +≤−．其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个18．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知抛物线2y ax bx c =++过点()0,2C −与x 轴交点的横坐标分别为1x ，2x ，且110x −<<，223x <<，则下列结论：①<0a b c −+；②方程220ax bx c +++=有两个不相等的实数根； ③0a b +>； ④23a >； ⑤2244b ac a −>．其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【详解】解：①抛物线开口向上，∴2244b ac a −>，故⑤符合题意；故选：C ．19．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B两点，()()3,0,1,0A B −，与y 轴交点C 的纵坐标在3−～2−之间，根据图象判断以下结论：①20abc >；②423b <<；③若221122ax bx ax bx −=−且12x x ≠，则122x x +=−；④直线56y cx c =−+与抛物线2y ax bx c =++的一个交点(,)(0)m n m ≠，则12m =．其中正确的结论是（）A ．①②④B ．①③④C ．①②③D ．①②③④20．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形ABCD 的顶点A ，C 在抛物线24y x =−+上，点D 在y 轴上．若A C ，两点的横坐标分别为m n ，（0m n >>），下列结论正确的是（）A ．1m n +=B ．1m n −=C ．1mn =D ．1mn= 先证明(AAS)ANB DMA ≌2)4n +．(2m n E +，4b +−，AM m =，四边形AC ∴、BD 互相平分，AB =90BAN DAM ∴∠+∠=︒，DAM ∠BAN ADM ∴∠=∠．90BNA AMD ∠=∠=︒，BA (AAS)ANB DMA ∴≌．AM NB ∴=，DMAN =．点A 、C 的横坐标分别为24(,)A m m ∴+−，(C (m n E +∴，2m n −−点21．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线()20y ax bx c a =++<的图象交x 轴于点()3,0A −、()1,0B ，交y 轴于点C ．以下结论：①0a b c ++=；②320a b c ++<；③当以点A 、B 、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，c =3c =时，在AOC 内有一动点P ，若2OP =，则23CP AP +．其中正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3⎝⎭∴42323 OHOP==，∵23 OPOA=，∴OH OP OP OA=，又∵HOP POA∠=∠，Rt OCH 中，由勾股定理得∴正确的有3个，故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．22．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数()220y ax bx a =++≠的图象与x 轴交于()1,0−，1(,0)x ，其中123x <<．结合图象给出下列结论：①0ab >；②2a b −=−；③当1x >时，y 随x 的增大而减小；④关于x 的一元二次方程()2200ax bx a ++=≠的另一个根是2a−；⑤b 的取值范围为413b <<．其中正确结论的个数是（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5该函数图象与该图象中，当2b a =+∴关于x 的一元二次方程b x −±=0a <，(1a x −∴=∴④正确；123x <<解得1−<a b −=−1b ∴−<−413b ∴<<∴⑤正确．综上，②③④⑤正确，共二、填空题23．（2024·四川内江·中考真题）已知二次函数221y x x =−+的图象向左平移两个单位得到抛物线C ，点()12,P y ，()23,Q y 在抛物线C 上，则1y 2y （填“＞”或“＜”）；【答案】<【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移以及二次函数的性质，由平移的规律可得出抛物线C 的解析式为()21y x =+，再利用二次函数图象的性质可得出答案．【详解】解：()22211y x x x =−+=−，∵二次函数221y x x =−+的图象向左平移两个单位得到抛物线C ， ∴抛物线C 的解析式为()21y x =+， ∴抛物线开口向上，对称轴为=1x −， ∴当1x >−时，y 随x 的增大而增大， ∵23<， ∴12y y <，故答案为：<．24．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线2y x x c =−+（c 是常数）与x 轴没有交点，则c 的取值范围是．25．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线23y ax bx =++向下平移5个单位长度后，经过点()24,−，则637a b −−= ．【答案】2【分析】此题考查了二次函数的平移，根据平移规律得到函数解析式，把点的坐标代入得到23a b −=，再整体代入变形后代数式即可．【详解】解：抛物线23y ax bx =++向下平移5个单位长度后得到22352y ax bx ax bx =++−=+−，把点()24,−代入得到，()24222a b =⨯−−−，得到23a b −=，∴()6373273372a b a b −−=−−=⨯−=，故答案为：226．（2024·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 是二次函数241y x x =−+−图象上三点．若101x <<，24x >，则1y 2y （填“>”或“<”）；若对于11m x m <<+，212m x m +<<+，323m x m +<<+，存在132y y y <<，则m 的取值范围是．27．（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数2()y a x m k =−+（0a ≠）中存在一点(),P x y ''，使得0x m y k '−='−≠，则称2x m '−为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线211323y x x =−++“开口大小”为．y 28．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a <）经过()1,1−，(),1m 两点，且01m <<．下列四个结论： ①0b >；②若01x <<，则()()2111a x b x c −+−+>；③若1a =−，则关于x 的一元二次方程 22ax bx c ++=无实数解；④点()11,A x y ，()22,B x y 在抛物线上，若1212x x +>−，12x x >，总有12y y <，则102m <≤．其中正确的是（填写序号）．29．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++的顶点A 的坐标为1,3n ⎛⎫− ⎪⎝⎭，与x 轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①0abc >；②520b c +<；③若抛物线经过点()()126,,5,y y −，则12y y >；④若关于x 的一元二次方程24ax bx c ++=无实数根，则4n <．其中正确结论是（请填写序号）．30．（2024·山东烟台·中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表：下列结论：①0abc >；②关于x 的一元二次方程29ax bx c ++=有两个相等的实数根；③当41x −<<时，y 的取值范围为<<0y 5；④若点()1,m y ，()22,m y −−均在二次函数图象上，则12y y =；⑤满足()212ax b x c +++<的x 的取值范围是<2x −或3x >．其中正确结论的序号为．【答案】①②④由2228y x y x x =−+⎧⎨=−−+⎩，解得1120x y =⎧⎨=⎩，2235x y =−⎧⎨=⎩， ∴()2,0A ，()3,5B −，由图形可得，当3x <−或2x >时，2282x x x −−+<−+，即()212ax b x c +++<，故⑤错误；综上，正确的结论为①②④，故答案为：①②④．三、解答题31．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知二次函数2y x bx c =−++的图像与x 轴交于(2,0)A −，(1,0)B 两点．(1)求b c 、的值；(2)若点P 在该二次函数的图像上，且PAB 的面积为6，求点P 的坐标．【答案】(1)12b c =−=，(2)122434()()P P −−−，，，【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，解一元二次方程的方法是1PABS=4n =，4n =±，32．（2024·安徽·中考真题）已知抛物线2y x bx =−+（b 为常数）的顶点横坐标比抛物线22y x x =−+的顶点横坐标大1． (1)求b 的值；(2)点()11,A x y 在抛物线22y x x =−+上，点()11,B x t y h ++在抛物线2y x bx =−+上．（ⅰ）若3h t =，且10x ≥，0t >，求h 的值；（ⅱ）若11x t =−，求h 的最大值．【答案】(1)4b =33．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()2220=−≠y ax a x a .(1)当1a =时，求抛物线的顶点坐标；(2)已知()11,M x y 和()22,N x y 是抛物线上的两点.若对于13x a =，234x ≤≤，都有12y y <，求a 的取值范围.综上，当01a <<或4a <−，都有12y y <．34．（2024·浙江·中考真题）已知二次函数2y x bx c =++（b ，c 为常数）的图象经过点(2,5)A −，对称轴为直线12x =−．(1)求二次函数的表达式；(2)若点(1,7)B 向上平移2个单位长度，向左平移m （0m >）个单位长度后，恰好落在2y x bx c =++的图象上，求m 的值；(3)当2x n −≤≤时，二次函数2y x bx c =++的最大值与最小值的差为94，求n 的取值范围．35．（2024·广西·中考真题）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x 的二次函数223y x ax a =++−的最值问题展开探究．【经典回顾】二次函数求最值的方法．（1）老师给出4a =−，求二次函数223y x ax a =++−的最小值． ①请你写出对应的函数解析式；②求当x 取何值时，函数y 有最小值，并写出此时的y 值；【举一反三】老师给出更多a 的值，同学们即求出对应的函数在x 取何值时，y 的最小值．记录结果，并整理成下表：注：*为②的计算结果．【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a 值后，我们只要取x a =−，就能得到y 的最小值．”乙同学：“我发现，y 的最小值随a 值的变化而变化，当a 由小变大时，y 的最小值先增大后减小，所以我猜想y 的最小值中存在最大值．”（2）请结合函数解析式223y x ax a =++−，解释甲同学的说法是否合理？（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．36．（2024·云南·中考真题）已知抛物线21y x bx =+−的对称轴是直线32x =．设m 是抛物线21y x bx =+−与x 轴交点的横坐标，记533109m M −=．(1)求b 的值；(2)比较M。

(完整版)中考数学一轮复习-二次函数的图像和性质(含答案),推荐文档

1、二次函数y=kx2+bx+c(a≠0)的同象是一条，其定点坐标为对称轴式
2、在抛物y=kx2+bx+c(a≠0)中：
①、当a>0时，y口向，当x< 时，y随x的增大而，当x时，y随x的增大而增大，
②、当a<0时，开口向当x< 时，y随x增大而增大，当x时，y随x增大而减小
注意2：注意几个特殊形式的抛物线的特点
a:开口方向向上则a0,向下则a0；｜a｜越大，开口越
b:对称轴位置，与a联系一起，用判断b=0时，对称轴是
c:与y轴的交点：交点在y轴正半轴上，则c0负半轴上则c0，当c=0时，抛物点过点
【名师提醒：在抛物线y= ax2+bx+c中，当x=1时，y=当x=-1时y=,经常根据对应的函数值判考a+b+c和a-b+c的符号】
综上，正确的结论有②④．
故选C
点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
③由两函数图象可知，抛物线y1=a（x+2）2-3过原点，当x=0时，y2= （0-3）2+1= ，故y2-y1= ，故本小题错误；
④∵物线y1=a（x+2）2-3与y2= （x-3）2+1交于点A（1，3），
∴y1的对称轴为x=-2，y2的对称轴为x=3，
∴B（-5，3），C（5，3）

中考数学复习----《二次函数之定义、图像以及性质》知识点总与专项练习题(含答案解析)

中考数学复习----《二次函数之定义、图像以及性质》知识点总与专项练习题（含答案解析）知识点总结1. 二次函数的定义：形如()02≠++=a c bx ax y 的函数叫做二次函数。

2. 二次函数的图像：二次函数的图像是一条抛物线。

3. 二次函数的性质与图像：x 的增大而增大；的增大而减小；的增大而增大；的增大而减小；①若二次函数是一般形式时，则二次函数与y 轴的交点坐标为()c ，0。

若0＞c ，则二次函数与y 轴交于正半轴；若0＜c ，则二次函数与y 轴交于负半轴。

②二次函数开口向上时，离对称轴越远的点函数值越大；二次函数开口向下时，离对称轴越远的函数值越小。

③二次函数函数值相等的两个点一定关于对称轴对称。

④二次函数的一般式化为顶点式：利用一元二次方程的配方法。

专项练习题1．（2022•济南）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m ．如图所示，设矩形一边长为xm ，另一边长为ym ，当x 在一定范围内变化时，y 随x 的变化而变化，则y 与x 满足的函数关系是（）A ．正比例函数关系B ．一次函数关系C ．反比例函数关系D ．二次函数关系【分析】根据题意列出y 与x 的关系式可得答案．【解答】解：由题意得，y ＝40﹣2x ，所以y 与x 是一次函数关系，故选：B ．2．（2022•株洲）已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣c （a ≠0），其中b ＞0、c ＞0，则该函数的图象可能为（）A ．B ．C．D．【分析】根据c＞0，可知﹣c＜0，可排除A，D选项，当a＞0时，可知对称轴＜0，可排除B选项，当a＜0时，可知对称轴＞0，可知C选项符合题意．【解答】解：∵c＞0，∴﹣c＜0，故A，D选项不符合题意；当a＞0时，∵b＞0，∴对称轴x＝＜0，故B选项不符合题意；当a＜0时，b＞0，∴对称轴x＝＞0，故C选项符合题意，故选：C．3．（2022•阜新）下列关于二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象和性质的叙述中，正确的是（）A．点（0，2）在函数图象上B．开口方向向上C．对称轴是直线x＝1D．与直线y＝3x有两个交点【分析】A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），求函数值再与点的纵坐标进行比较；B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，根据a的取值判断开口方向；C、根据对称轴公式计算；D、把函数的问题转化为一元二次方程的问题，根据判别式的取值来判断．【解答】解：A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），得y＝6≠2，∴A错误；B 、化简二次函数：y ＝﹣3x 2+3x +6， ∵a ＝﹣3＜0，∴二次函数的图象开口方向向下， ∴B 错误；C 、∵二次函数对称轴是直线x ＝﹣＝， ∴C 错误；D 、∵3（x +1）（2﹣x ）＝3x ， ∴﹣3x 2+3x +6＝3x ， ∴﹣3x 2+6＝0， ∵b 2﹣4ac ＝72＞0，∴二次函数y ＝3（x +1）（2﹣x ）的图象与直线y ＝3x 有两个交点， ∴D 正确；故选：D ．4．（2022•衢州）已知二次函数y ＝a （x ﹣1）2﹣a （a ≠0），当﹣1≤x ≤4时，y 的最小值为﹣4，则a 的值为（） A ．21或4 B ．34或﹣21 C ．﹣34或4 D ．﹣21或4 【分析】分两种情况讨论：当a ＞0时，﹣a ＝﹣4，解得a ＝4；当a ＜0时，在﹣1≤x ≤4，9a ﹣a ＝﹣4，解得a ＝﹣．【解答】解：y ＝a （x ﹣1）2﹣a 的对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为（1，﹣a ），当a ＞0时，在﹣1≤x ≤4，函数有最小值﹣a ， ∵y 的最小值为﹣4， ∴﹣a ＝﹣4， ∴a ＝4；当a ＜0时，在﹣1≤x ≤4，当x ＝4时，函数有最小值， ∴9a ﹣a ＝﹣4，解得a ＝﹣；综上所述：a的值为4或﹣，故选：D．5．（2022•荆门）抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是（）A．0≤x1＜x2B．x2＜x1≤0C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2D．以上都不对【分析】根据二次函数的性质判断即可．【解答】解：∵抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＜y2，∴|x1|＜|x2|，∴0≤x1＜x2或x2＜x1≤0或0＜﹣x1＜x2或0＜x1＜﹣x2，故选：D．6．（2022•兰州）已知二次函数y＝2x2﹣4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（）A．x＜1B．x＞1C．x＜2D．x＞2【分析】将二次函数解析式化为顶点式，由抛物线对称轴及开口方向求解．【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+5＝2（x﹣1）2+3，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴x＞1时，y随x增大而增大，故选：B．7．（2022•广州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣2，下列结论正确的是（）A．a＜0B．c＞0C．当x＜﹣2时，y随x的增大而减小D．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小【分析】根据图象得出a，c的符号即可判断A、B，利用二次函数的性质即可判断C、D．【解答】解：∵图象开口向上，∴a＞0，故A不正确；∵图象与y轴交于负半轴，∴c＜0，故B不正确；∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，∴当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，x＞﹣2时，y随x的增大而增大，故C正确，D不正确；故选：C．8．（2022•郴州）关于二次函数y＝（x﹣1）2+5，下列说法正确的是（）A．函数图象的开口向下B．函数图象的顶点坐标是（﹣1，5）C．该函数有最大值，最大值是5D．当x＞1时，y随x的增大而增大【分析】通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标、最值以及增减性即可求解．【解答】解：y＝（x﹣1）2+5中，x2的系数为1，1＞0，函数图象开口向上，A错误；函数图象的顶点坐标是（1，5），B错误；函数图象开口向上，有最小值为5，C错误；函数图象的对称轴为x＝1，x＜1时y随x的增大而减小；x＞1时，y随x的增大而增大，D正确．故选：D．9．（2022•哈尔滨）抛物线y＝2（x+9）2﹣3的顶点坐标是（）A．（9，﹣3）B．（﹣9，﹣3）C．（9，3）D．（﹣9，3）【分析】由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标．【解答】解：∵y＝2（x+9）2﹣3，∴抛物线顶点坐标为（﹣9，﹣3），故选：B．10．（2022•岳阳）已知二次函数y＝mx2﹣4m2x﹣3（m为常数，m≠0），点P（x p，y p）是该函数图象上一点，当0≤x p≤4时，y p≤﹣3，则m的取值范围是（）A．m≥1或m＜0B．m≥1C．m≤﹣1或m＞0D．m≤﹣1【分析】先求出抛物线的对称轴及抛物线与y轴的交点坐标，再分两种情况：m＞0或m ＜0，根据二次函数的性质求得m的不同取值范围便可．【解答】解：∵二次函数y＝mx2﹣4m2x﹣3，∴对称轴为x＝2m，抛物线与y轴的交点为（0，﹣3），∵点P（x p，y p）是该函数图象上一点，当0≤x p≤4时，y p≤﹣3，∴①当m＞0时，对称轴x＝2m＞0，此时，当x＝4时，y≤﹣3，即m•42﹣4m2•4﹣3≤﹣3，解得m≥1；②当m＜0时，对称轴x＝2m＜0，当0≤x≤4时，y随x增大而减小，则当0≤x p≤4时，y p≤﹣3恒成立；综上，m的取值范围是：m≥1或m＜0．故选：A．11．（2022•陕西）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3【分析】首先求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性即可解决问题．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴对称轴x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），当y＝0时，（x﹣1）2﹣4＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y2＜y1＜y3，故选：D．12．（2022•新疆）已知抛物线y＝（x﹣2）2+1，下列结论错误的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线的对称轴为直线x＝2C．抛物线的顶点坐标为（2，1）D．当x＜2时，y随x的增大而增大【分析】根据抛物线a＞0时，开口向上，a＜0时，开口向下判断A选项；根据抛物线的对称轴为x＝h判断B选项；根据抛物线的顶点坐标为（h，k）判断C选项；根据抛物线a＞0，x＜h时，y随x的增大而减小判断D选项．【解答】解：A选项，∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，故该选项不符合题意；B选项，抛物线的对称轴为直线x＝2，故该选项不符合题意；C选项，抛物线的顶点坐标为（2，1），故该选项不符合题意；D选项，当x＜2时，y随x的增大而减小，故该选项符合题意；故选：D．13．（2022•盐城）若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是．【分析】由题意可知﹣2＜m＜2，根据m的范围即可确定n的范围．【解答】解：∵y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，∴二次函数y＝x2+2x+2的图象开口向上，顶点为（﹣1，1），对称轴是直线x＝﹣1，∵P（m，n）到y轴的距离小于2，∴﹣2＜m＜2，而﹣1﹣（﹣2）＜2﹣（﹣1），当m＝2，n＝（2+1）2+1＝10，当m＝﹣1时，n＝1，∴n的取值范围是1≤n＜10，故答案为：1≤n＜10．14．（2022•长春）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当a≤x≤时，函数值y的最小值为1，则a的值为．【分析】函数配方后得y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，当y＝1时，﹣（x+1）2+4＝1，可得x＝﹣1±，因为﹣1+＞，所以﹣1﹣≤x≤时，函数值y的最小值为1，进而可以解决问题．【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴图象开口向下，顶点坐标为（﹣1，4），根据题意，当a≤x≤时，函数值y的最小值为1，当y＝1时，﹣（x+1）2+4＝1，∴x＝﹣1±，∵﹣1+＞，∴﹣1﹣≤x≤时，函数值y的最小值为1，∴a＝﹣1﹣．故答案为：﹣1﹣．15．（2022•黔东南州）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝﹣在同一坐标系内的大致图象为（）A．B．C．D．【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断a，b，c的符号，从而可得直线与反比例函数图象的大致图象．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴在y轴左侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴c＜0，∴直线y＝ax+b经过第一，二，三象限，反比例函数y＝﹣图象经过一，三象限，故选：C．16．（2022•湖北）二次函数y＝（x+m）2+n的图象如图所示，则一次函数y＝mx+n的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限【分析】由抛物线顶点式可得抛物线顶点坐标，由图象可得m，n的符号，进而求解．【解答】解：∵y＝（x+m）2+n，∴抛物线顶点坐标为（﹣m，n），∵抛物线顶点在第四象限，∴m＜0，n＜0，∴直线y＝mx+n经过第二，三，四象限，故选：D．17．（2022•南充）已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线y＝mx2﹣2m2x+n（m≠0）上，当x1+x2＞4且x1＜x2时，都有y1＜y2，则m的取值范围为（）A．0＜m≤2B．﹣2≤m＜0C．m＞2D．m＜﹣2【分析】根据题意和题目中的抛物线，可以求得抛物线的对称轴，然后分类讨论即可得到m的取值范围．【解答】解：∵抛物线y＝mx2﹣2m2x+n（m≠0），∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝m，∵当x1+x2＞4且x1＜x2时，都有y1＜y2，∴当m＞0时，0＜2m≤4，解得0＜m≤2；当m＜0时，2m＞4，此时m无解；由上可得，m的取值范围为0＜m≤2，故选：A．18．（2022•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为（﹣1，﹣1）和（4，﹣1），抛物线y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）与线段CD只有一个公共点，则m的取值范围是．【分析】根据抛物线求出对称轴x＝1，y轴的交点坐标为（0，2），顶点坐标为（1，2﹣m），直线CD的表达式y＝﹣1，分两种情况讨论：m＞0时或m＜0时，利用抛物线的性质分析求解．【解答】解：抛物线的对称轴为：x＝﹣＝1，当x＝0时，y＝2，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，2），顶点坐标为（1，2﹣m），直线CD的表达式y＝﹣1，当m＞0时，且抛物线过点D（4，﹣1）时，16m﹣8m+2＝﹣1，解得：m＝﹣（不符合题意，舍去），当抛物线经过点（﹣1，﹣1）时，m+2m+2＝﹣1，解得：m＝﹣1（不符合题意，舍去），当m＞0且抛物线的顶点在线段CD上时，2﹣m＝﹣1，解得：m＝3，当m＜0时，且抛物线过点D（4，﹣1）时，16m﹣8m+2＝﹣1，解得：m＝﹣，当抛物线经过点（﹣1，﹣1）时，m+2m+2＝﹣1，解得：m＝﹣1，综上，m的取值范围为m＝3或﹣1＜m≤﹣，故答案为：m＝3或﹣1＜m≤﹣．19．（2022•包头）已知实数a，b满足b﹣a＝1，则代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于（）A．5B．4C．3D．2【分析】由题意得b＝a+1，代入代数式a2+2b﹣6a+7可得（a﹣2）2+5，故此题的最小值是5．【解答】解：∵b﹣a＝1，∴b＝a+1，∴a2+2b﹣6a+7＝a2+2（a+1）﹣6a+7＝a2+2a+2﹣6a+7＝a2﹣4a+4+5＝（a﹣2）2+5，∴代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于5，故选：A．20．（2022•贺州）已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a 的值为（）A．1B．2C．3D．4【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y＝15时，x的值，再根据二次函数的性质得出答案．【解答】解：∵二次函数y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3，∴抛物线的对称轴为x ＝1，顶点（1，﹣3），∴当y ＝﹣3时，x ＝1，当y ＝15时，2（x ﹣1）2﹣3＝15，解得x ＝4或x ＝﹣2，∵当0≤x ≤a 时，y 的最大值为15，∴a ＝4，故选：D ．21．（2022•嘉兴）已知点A （a ，b ），B （4，c ）在直线y ＝kx +3（k 为常数，k ≠0）上，若ab 的最大值为9，则c 的值为（）A ．1B ．23C ．2D ．25 【分析】由点A （a ，b ），B （4，c ）在直线y ＝kx +3上，可得，即得ab ＝a （ak +3）＝ka 2+3a ＝k （a +）2﹣，根据ab 的最大值为9，得k ＝﹣，即可求出c ＝2．【解答】解：∵点A （a ，b ），B （4，c ）在直线y ＝kx +3上，∴，由①可得：ab ＝a （ak +3）＝ka 2+3a ＝k （a +）2﹣， ∵ab 的最大值为9，∴k ＜0，﹣＝9，解得k ＝﹣，把k ＝﹣代入②得：4×（﹣）+3＝c ，∴c ＝2，故选：C ．22．（2022•凉山州）已知实数a 、b 满足a ﹣b 2＝4，则代数式a 2﹣3b 2+a ﹣14的最小值是．【分析】根据a ﹣b 2＝4得出b 2＝a ﹣4，代入代数式a 2﹣3b 2+a ﹣14中，然后结合二次函数的性质即可得到答案．【解答】解：∵a ﹣b 2＝4，∴b2＝a﹣4，∴原式＝a2﹣3（a﹣4）+a﹣14＝a2﹣3a+12+a﹣14＝a2﹣2a﹣2＝a2﹣2a+1﹣1﹣2＝（a﹣1）2﹣3，∵1＞0，又∵b2＝a﹣4≥0，∴a≥4，∵1＞0，∴当a≥4时，原式的值随着a的增大而增大，∴当a＝4时，原式取最小值为6，故答案为：6．。

二次函数图象性质与综合应用(44题)(原卷版)

二次函数图象性质与综合应用（44题）一、单选题A．抛物线的对称轴为直线C．A，B两点之间的距离为2．（2023·浙江台州·统考中考真题）抛物线若120x x+<，则直线A．4个4．（2023·四川自贡·统考中考真题）经过为自变量）与x轴有交点，则线段A．4个B6．（2023·四川泸州·统考中考真题）已知二次函数函数值y均为正数，则aA ．．．．．（2023·四川广安·统考中考真题）如图所示，二次函数2y ax bx =++轴交于点()()3,0,1,0AB −0；②若点()12,y −和(50a b c −+=；④4a c + ）A．1个B．212．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，二次函数()1,0，对称轴为直线=1x−，2A．1个B．213．（2023·浙江宁波·统考中考真题）已知二次函数A．点(1,2)在该函数的图象上B．当1−≤≤时，a=且13xC．该函数的图象与x轴一定有交点解；③若()11,t −，()24,t 是抛物线上的两点，则12t t <；④对于抛物线，223y ax bx =+−，当23x −<<时，2y 的取值范围是205y <<．其中正确结论的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题417．（2023·四川宜宾物线与y 轴的交点B①当31x −≤≤时，1y ≤；②当ABM 的面积为32③当ABM 为直角三角形时，在AOB 内存在唯一点1893+．三、解答题(1)求抛物线的解析式；(2)设点P是直线BC上方抛物线上一点，求出PBC的最大面积及此时点(3)若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．(1)求该抛物线的解析式；(2)点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线=时，求CD的长；①当CD CE②若CAD，CDE，CEF△的面积分别为，ABC外接圆的圆心为(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线()50x m m =−<<与抛物线交于点E ，与直线BC 交于点F ． ①当EF 取得最大值时，求m 的值和EF 的最大值； ②当EFC 是等腰三角形时，求点E 的坐标．27．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax c =+经过点3(4,)P −，与y 轴交于点(0,1)A ，直线(0)y kx k =≠与抛物线交于B ，C 两点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若ABP 是以AB 为腰的等腰三角形，求点B 的坐标；(3)过点(0,)M m 作y 轴的垂线，交直线AB 于点D ，交直线AC 于点E ．试探究：是否存在常数m ，使得OD OE ⊥始终成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．28．（2023·浙江·统考中考真题）已知点(),0m −和()3,0m 在二次函数23,(y ax bx a b =++是常数，0)a ≠的图像上．(1)当1m =−时，求a 和b 的值；时，求OBD与△(1)如图2，若抛物线经过原点O ．①求该抛物线的函数表达式；②求BE EC的值． (2)连接,PC CPE ∠与BAO ∠能否相等？若能，求符合条件的点P 的横坐标；若不能，试说明理由．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，当:3:5BM MQ =时，求点N 的坐标；(3)如图2，当点Q 恰好在y 轴上时，P 为直线1l 下方的抛物线上一动点，连接设OQE 的面积为1S ，PQE 的面积为2S ．求21S S 的最大值．(1)求点A，B的坐标；(1)求抛物线的表达式；(2)当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D．如图标及PDDB的最大值；≌；．求证：ACB BDEx(1)如果四个点()()()()0,00,21,11,1−、、、中恰有三个点在二次函数2y ax =（a 为常数，且0a ≠）的图象上． ①=a ________；②如图1，已知菱形ABCD 的顶点B 、C 、D 在该二次函数的图象上，且AD y ⊥轴，求菱形的边长； ③如图2，已知正方形ABCD 的顶点B 、D 在该二次函数的图象上，点B 、D 在y 轴的同侧，且点B 在点D 的左侧，设点B 、D 的横坐标分别为m 、n ，试探究n m −是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．(2)已知正方形ABCD 的顶点B 、D 在二次函数2y ax =（a 为常数，且0a >）的图象上，点B 在点D 的左侧，设点B 、D 的横坐标分别为m 、n ，直接写出m 、n 满足的等量关系式．38．（2023年重庆市中考数学真题（A 卷））如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax bx =++过点()1,3，(1)求抛物线的表达式；(2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，点E，求PDE△周长的最大值及此时点(3)在（2）中PDE△周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，以B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形为平行四边形，求点P 的坐标；(3)如图2，抛物线顶点为D ，对称轴与x 轴交于点E ，过点()1,3K 的直线（直线KD 除外）与抛物线交于G ，H 两点，直线DG ，DH 分别交x 轴于点M ，N ．试探究EM EN ⋅是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．40．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()4,0A −、()2,0B ，且经过点()2,6C −．(1)求抛物线的表达式；(2)在x 轴上方的抛物线上任取一点N ，射线AN 、BN 分别与抛物线的对称轴交于点P 、Q ，点Q 关于x 轴的对称点为Q '，求APQ '△的面积；(3)点M 是y 轴上一动点，当AMC ∠最大时，求M 的坐标．41．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，二次函数2y x bx c =++的图象交x 轴于点A B ，，交y 轴于点C ，点B 的坐标为()1,0，对称轴是直线=1x −，点P 是x 轴上一动点，PM x ⊥轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N ．(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点P 在线段AO 上运动（点P 与点A 、点O 不重合），求四边形ABCN 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．(3)若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q ，使以M 、N C Q 、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．42．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:23L y x x =−−的顶点为P ．直线l 过点()()0,3M m m ≥−，且平行于x 轴，与抛物线1L 交于A B 、两点（B 在A 的右侧）．将抛物线1L 沿直线l 翻折得到抛物线2L ，抛物线2L 交y 轴于点C ，顶点为D ．(1)当1m =时，求点D 的坐标；(2)连接BC CD DB 、、，若BCD △为直角三角形，求此时2L 所对应的函数表达式；(3)在（2）的条件下，若BCD △的面积为3,E F 、两点分别在边BC CD 、上运动，且EF CD =，以EF 为一边作正方形EFGH ，连接CG ，写出CG 长度的最小值，并简要说明理由．43．（2023·云南·统考中考真题）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数2(42)(96)44y a x a x a =++−−+（实数a 为常数）的图象为图象T ．(1)求证：无论a 取什么实数，图象T 与x 轴总有公共点；(2)是否存在整数a ，使图象T 与x 轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a 的值；若不存在，请说明理由．44．（2023·湖南怀化·统考中考真题）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线28y ax bx =+−与x 轴交于(4,0)(2,0)A B −、两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；(2)点P为第三象限内抛物线上一点，作直线AC，连接PA 标；(3)设直线135 :4l y kx k=+−交抛物线于点M、N，求证：无论存在一点E，使得MEN∠为直角．。

2021年中考数学综合题冲刺专题14 二次函数图像与几何变换(拔高)(Word学生考试版)

专题14 二次函数图像与几何变换（提优）1．二次函数y＝a（x﹣2）2+3的图象经过点A（﹣1，0）（1）求这个二次函数的解析式；（2）分别指出这个二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标；（3）写出把此抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后的抛物线的解析式．2．已知，如图，直线AB经过点B（0，6），点A（4，0），与抛物线y＝ax2+2在第一象限内相交于点P，又知△AOP的面积为6．（1）求a的值；（2）若将抛物线y＝ax2+2沿y轴向下平移，则平移多少个单位才能使得平移后的抛物线经过点A．3．如图，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点在一次函数y2＝﹣x+m与二次函数y1＝ax2+bx﹣3图象上．（1）求m的值和二次函数的解析式．（2）请直接写出使y2＞y1时，自变量x的取值范围．（3）说出所求的抛物线y1＝ax2+bx﹣3可由抛物线y＝x2如何平移得到？4．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，过点A（﹣2，﹣2），点P（m，n）为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；（2）若向上平移抛物线，使顶点落在x轴上，原来的点P平移后的对应点为P'，若OP'＝OP，求点P 的坐标；（3）若△AOB的面积等于△AOP的面积，直接写出m的值．5．在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝k（x﹣a）（x﹣b），其中a≠b．（1）若此二次函数图象经过点（0，k），试求a，b满足的关系式．（2）若此二次函数和函数y＝x2﹣2x的图象关于直线x＝2对称，求该函数的表达式．（3）若a+b＝4，且当0≤x≤3时，有1≤y≤4，求a的值．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（0，4），B（2，0），C （﹣2，0）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）在x轴上有一点D（﹣4，0），将二次函数图象沿DA方向平移，使图象再次经过点B．①求平移后图象顶点E的坐标；②求图象A，B两点间的部分扫过的面积．7．将抛物线y1＝2x2向右平移2个单位，得到如图抛物线y2的图象，P是抛物线y2对称轴上的一个动点，直线x＝t平行于y轴，分别与直线y＝x、抛物线y2交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值，则t＝．8．已知二次函数y＝﹣mx2+2mx﹣3（m≠0）．（1）若该二次函数的最小值为﹣4，求该二次函数解析式；（2）当m＜0且n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣6≤y≤5﹣n，求n的值；（3）在（1）的条件下，将此二次函数平移，使平移后的图象经过（1，0）．设平移后的图象对应的函数表达式为y＝﹣m（x﹣h）2+2mx+k，当x＜2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．9．如图，△OAB的OA边在x轴上，其中B点坐标为（3，4）且OB＝BA．（1）求经过A，B，O三点的抛物线的解析式；（2）将（1）中的抛物线沿x轴平移，设点A，B的对应点分别为点A′，B′，若四边形ABB′A′为菱形，求平移后的抛物线的解析式．10．在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点B在第一象限，顶点A、C分别在x轴和y轴上，直线l1：x＝4与直线l2：y＝4相交于点E，以点E为顶点的抛物线K经过点B（6，6）．（1）求抛物线K的解析式．（2）点P是线段OC上一点，点O关于AP的对称点为M，①若点M落在直线l1或l2上时，将抛物线向下或向上平移多少，使其顶点落在AM上；②若点M落在抛物线上，请直接写出一个符合题意的点P的坐标．11．如图，四边形ABCO为矩形，点A在x轴上，点C在y轴上，且点B的坐标为（﹣1，2），将此矩形绕点O顺时针旋转90°得矩形DEFO，抛物线y＝﹣x2+bx+c过B，E两点．（1）求此抛物线的函数关系式．（2）将矩形ABCO向左平移，并且使此矩形的中心在此抛物线上，求平移距离．（3）将矩形DEFO向上平移距离d，并且使此抛物线的顶点在此矩形的边上，则d的值是．12．如图，平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OA，OC分别在坐标轴上，OA＝2，OC＝1，以点A为顶点的抛物线经过点C（1）求抛物线的函数表达式；（2）将矩形ABCO绕点A旋转，得到矩形AB′C′O′，使点C′落在x轴上，抛物线是否经过点C′？请说明理由．13．如图，抛物线y＝﹣x2+5x+n经过点A（1，0），与y轴交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）P是y轴上一点，且△P AB是以AB为腰的等腰三角形，试求P点坐标．（3）将抛物线y＝﹣x2+5x+n沿着坐标轴方向经过怎样的一次平移可以使它使它经过原点．14．已知，如图，直线AB经过点B（0，6），且tan∠ABO=23，与抛物线y＝ax2+2在第一象限内相交于点P，又知△AOP的面积为6．（1）求a的值；（2）能否将抛物线y＝ax2+2平移使得平移后的抛物线经过点A？15．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（5，3），点C（0，8），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC 的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，3），B（1，0）两点，顶点为M．（1）求b、c的值；（2）若只沿y轴上下平移该抛物线后与y轴的交点为A1，顶点为M1，且四边形AMM1A1是菱形，写出平移后抛物线的表达式．17．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A（3，4），C在x轴的负半轴，抛物线y=−43（x﹣2）2+k过点A．（1）求k的值；（2）若把抛物线y=−43（x﹣2）2+k沿x轴向左平移m个单位长度，使得平移后的抛物线经过菱形OABC的顶点C．试判断点B是否落在平移后的抛物线上，并说明理由．18．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝kx（k≠0）相交于点M（1，1），N（3，3），且这条抛物线的对称轴为x＝1．（1）若将该抛物线平移使得其经过原点，且对称轴不变，求平移后的抛物线的表达式及k的值．（2）设P为直线y＝kx下方的抛物线上一点，求△PMN面积的最大值及此时P点的坐标．19．如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x＝2与x轴相交于点B，连结OA，二次函数y＝x2图象从点O沿OA方向平移，与直线x＝2交于点P，顶点M到A点时停止移动．（1）求线段OA所在直线的函数解析式；（2）设二次函数顶点M的横坐标为m，当m为何值时，线段PB最短，并求出二次函数的表达式；（3）当线段PB最短时，二次函数的图象是否过点Q（a，a﹣1），并说理由．20．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，（1）求a、b、c的值．（2）若将该函数绕点B旋转180°，求旋转后的解析式；（3）若将该函数作关于x轴对称，求轴对称后的函数解析式．。

二次函数图像和性质拔高题(中考真题为主)

二次函数图像和性质拔高题(中考真题为主)二次函数图像和性质的提升训练类型一：二次函数的图像1.（2012•泰安）已知二次函数y=a（x+m）2+n的图像如图，那么一次函数y=mx+n的图像经过（）。

A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限2、（2012•菏泽）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，那么一次函数y=bx+c和反比例函数y=1/x在同一平面直角坐标系中的图像大致是（）。

A、B、C、D3、（2011•湘潭）在同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图像可能是（）。

A．y=x2-2x+3B．y=-x2-2x+3 C．y=-x2+2x+3D．y=-x2+2x-34、（2010•达州）抛物线的图像如图所示，根据图像，抛物线的解析式可能是（）。

5、（2011•威海）二次函数y=x2-2x-3的图像如图所示。

当y<0时，自变量x的取值范围是（）。

A．-13D．x36、已知函数y1=x2与函数y2=-1/x+3的图像大致如图。

若y1<y2，则自变量x的取值范围是（）。

A．-3/32或x27、（2006•厦门）如图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像，观察图像写出y2≥y1时，x的取值范围（）。

A．x≥1B．-2≤x≤1C．≤x≤1D．x≤18、抛物线y=-x2+bx+c的部分图像如图所示，要使y>0，则x的取值范围是（）。

A．-41D．x19、已知函数y=x2-2x-2的图像如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是（）。

A．-1≤x≤3B．-3≤x≤1C．x≥-3D．x≤-1或x≥310、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a>0）的对称轴是直线x=1，且经过点P（3，4），则a-b+c的值为（）。

A．-1B．0C．1D．2类型二：二次函数的性质1、（2010•兰州）二次函数y=-3x2-6x+5的图像的顶点坐标是（）。

二次函数的图像与性质【十大题型】(原卷版)—2024年中考数学一轮复习【举一反三】系列(全国通用)

二次函数的图像与性质【十大题型】【题型1 根据二次函数解析式判断其性质】 (3)【题型2 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质】 (4)【题型3 二次函数平移变换问题】 (5)【题型4 根据二次函数的对称性求字母的取值范围】 (6)【题型5 根据二次函数的性质求最值】 (6)【题型6 根据二次函数的最值求字母的取值范围】 (7)【题型7 根据二次函数自变量的情况求函数值的取值范围】 (7)【题型8 根据二次函数的增减性求字母的取值范围】 (8)【题型9 二次函数图象与各项系数符号】 (8)【题型10 二次函数与三角形相结合的应用方法】 (11)【知识点二次函数的图像与性质】1.定义：一般的，形如y =ax 2+bx +c (a .b .c 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数。

其中x 是自变量，a .b .c 分别是函数解析式的二次项系数.一次项系数.常数项。

二次函数解析式的表示方法(1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (其中a ，b ，c 是常数，a ≠0)；(2)顶点式：y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，它直接显示二次函数的顶点坐标是(h ，k )；(3)交点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，其中x 1，x 2是图象与x 轴交点的横坐标．注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -³时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.2.二次函数的图象是一条抛物线。

当a ＞0时，抛物线开口向上；当a ＜0时，抛物线开口向下。

|a |越大，抛物线的开口越小；|a |越小，抛物线的开口越大。

y =ax 2y =ax 2+k y =a (x -h )2y =a (x -h )2+k y =ax 2+bx +c 对称轴y 轴y 轴x =h x =h abx 2-=(0，0)(0，k )(h ，0)(h ，k )⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22顶点a >0时，顶点是最低点，此时y 有最小值；a <0时，顶点是最高点，此时y 有最大值。

(完整word版)二次函数图像性质知识点总结以及习题集锦(良心出品必属精品)

二次函数图像及性质知识总结二次函数y＝ax2及其图象．一、填空题1．形如____________的函数叫做二次函数，其中______是目变量，a ，b ，c 是______且______≠0．2．函数y ＝x 2的图象叫做______，对称轴是______，顶点是______． 3．抛物线y ＝ax 2的顶点是______，对称轴是______．当a ＞0时，抛物线的开口向______；当a ＜0时，抛物线的开口向______．4．当a ＞0时，在抛物线y ＝ax 2的对称轴的左侧，y 随x 的增大而______，而在对称轴的右侧，y 随x 的增大而______；函数y 当x ＝______时的值最______．5．当a ＜0时，在抛物线y ＝ax 2的对称轴的左侧，y 随x 的增大而______，而在对称轴的右侧，y 随x 的增大而______；函数y 当x ＝______时的值最______．6．写出下列二次函数的a ，b ，c ． (1)23x x y -=a ＝______，b ＝______，c ＝______． (2)y ＝x 2a ＝______，b ＝______，c ＝______． (3)105212-+=x x ya ＝______，b ＝______，c＝______．(4)2316x y --=a ＝______，b ＝______，c ＝______．7．抛物线y ＝ax 2，｜a ｜越大则抛物线的开口就______，｜a ｜越小则抛物线的开口就______．8．二次函数y ＝ax 2的图象大致如下，请将图中抛物线字母的序号填入括号内．(1)y ＝2x 2如图( )； (2)221x y =如图( )；(3)y ＝－x 2如图( )； (4)231x y -=如图( )；(5)291x y =如图( )；(6)291x y -=如图( )．9．已知函数,232x y -=不画图象，回答下列各题．(1)开口方向______； (2)对称轴______； (3)顶点坐标______；(4)当x ≥0时，y 随x 的增大而______； (5)当x______时，y ＝0；(6)当x______时，函数y 的最______值是______．10．画出y ＝－2x 2的图象，并回答出抛物线的顶点坐标、对称轴、增减性和最值．11．在下列函数中①y ＝－2x 2；②y ＝－2x ＋1；③y ＝x ；④y ＝x 2，回答：(1)______的图象是直线，______的图象是抛物线． (2)函数______y 随着x 的增大而增大．函数______y 随着x 的增大而减小． (3)函数______的图象关于y 轴对称．函数______的图象关于原点对称． (4)函数______有最大值为______．函数______有最小值为______．12．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数)．(1)若它是二次函数，则系数应满足条件______． (2)若它是一次函数，则系数应满足条件______． (3)若它是正比例函数，则系数应满足条件______．13．已知函数y ＝(m 2－3m)122--m m x 的图象是抛物线，则函数的解析式为______，抛物线的顶点坐标为______，对称轴方程为______，开口______． 14．已知函数y ＝m 222+-m m x ＋(m －2)x ．(1)若它是二次函数，则m ＝______，函数的解析式是______，其图象是一条______，位于第______象限．(2)若它是一次函数，则m ＝______，函数的解析式是______，其图象是一条______，位于第______象限． 15．已知函数y ＝m mmx +2，则当m ＝______时它的图象是抛物线；当m ＝______时，抛物线的开口向上；当m ＝______时抛物线的开口向下．二、选择题16．下列函数中属于一次函数的是( )，属于反比例函数的是( )，属于二次函数的是( ) A ．y ＝x(x ＋1) B ．xy ＝1C ．y ＝2x 2－2(x ＋1)2D ．132+=x y17．在二次函数①y ＝3x 2；②2234;32x y x y ==③中，图象在同一水平线上的开口大小顺序用题号表示应该为( ) A ．①＞②＞③ B ．①＞③＞② C ．②＞③＞①D ．②＞①＞③18．对于抛物线y ＝ax 2，下列说法中正确的是( )A ．a 越大，抛物线开口越大B ．a 越小，抛物线开口越大C ．｜a ｜越大，抛物线开口越大D ．｜a ｜越小，抛物线开口越大19．下列说法中错误的是( )A ．在函数y ＝－x 2中，当x ＝0时y 有最大值0B ．在函数y ＝2x 2中，当x ＞0时y 随x 的增大而增大C ．抛物线y ＝2x 2，y ＝－x 2，221x y -=中，抛物线y ＝2x 2的开口最小，抛物线y ＝－x 2的开口最大D ．不论a 是正数还是负数，抛物线y ＝ax 2的顶点都是坐标原点三、解答题20．函数y ＝(m －3)232--m mx 为二次函数．(1)若其图象开口向上，求函数关系式；(2)若当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，求函数的关系式，并画出函数的图象．21．抛物线y ＝ax 2与直线y ＝2x －3交于点A(1，b)．(1)求a，b的值；(2)求抛物线y＝ax2与直线y＝－2的两个交点B，C的坐标(B点在C 点右侧)；(3)求△OBC的面积．22．已知抛物线y＝ax2经过点A(2，1)．(1)求这个函数的解析式；(2)写出抛物线上点A关于y轴的对称点B的坐标；(3)求△OAB的面积；(4)抛物线上是否存在点C，使△ABC的面积等于△OAB面积的一半，若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．1．y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，x ，常数，a ．2．抛物线，y 轴，(0，0)．3．(0，0)，y 轴，上，下． 4．减小，增大，x ＝0，小． 5．增大，减小，x ＝0，大． 6．(1).0,3,1- (2)，0，0， (3),10,5,21- (4).6,0,31--7．越小，越大．8．(1)D ，(2)C ，(3)A ，(4)B ，(5)F ，(6)E ．9．(1)向下，(2)y 轴．(3)(0，0)．(4)减小．(5)＝0(6)＝0，大，0．10．略．11．(1)②、③；①、④．(2)③；②．(3)①、④；③．(4)①，0；④，0． 12．(1)a ≠0，(2)a ＝0且b ≠0，(3)a ＝c ＝0且b ≠0． 13．y ＝4x 2；(0，0)；x ＝0；向上． 14．(1)2；y ＝2x 2；抛物线；一、二，(2)0；y ＝－2x ；直线；二、四． 15．－2或1；1；－2．16．C 、B 、A ． 17．C ． 18．D ． 19．C ． 20．(1)m ＝4，y ＝x 2；(2)m ＝－1，y ＝－4x 2． 21．(1)a ＝－1，b ＝－1；(2));2,2().2,2(---C B(3)S △OBC ＝22．22．(1)241x y =； (2)B(－2，1)；(3)S △OAB ＝2；(4)设C 点的坐标为),41,(2m m 则.221|141|4212⨯=-⨯⨯m 则得6±=m 或.2±=m∴C 点的坐标为).21,2(),21,2(),23,6(),23,6(--二次函数y ＝a(x －h)2＋k 及其图象一、填空题1．已知a ≠0，(1)抛物线y ＝ax 2的顶点坐标为______，对称轴为______． (2)抛物线y ＝ax 2＋c 的顶点坐标为______，对称轴为______． (3)抛物线y ＝a(x －m)2的顶点坐标为______，对称轴为______． 2．若函数122)21(++-=m m x m y 是二次函数，则m ＝______．3．抛物线y ＝2x 2的顶点，坐标为______，对称轴是______．当x______时，y 随x 增大而减小；当x______时，y 随x 增大而增大；当x ＝______时，y 有最______值是______．4．抛物线y ＝－2x 2的开口方向是______，它的形状与y ＝2x 2的形状______，它的顶点坐标是______，对称轴是______．5．抛物线y ＝2x 2＋3的顶点坐标为______，对称轴为______．当x______时，y 随x 的增大而减小；当x ＝______时，y 有最______值是______，它可以由抛物线y ＝2x 2向______平移______个单位得到．6．抛物线y ＝3(x －2)2的开口方向是______，顶点坐标为______，对称轴是______．当x______时，y 随x 的增大而增大；当x ＝______时，y 有最______值是______，它可以由抛物线y ＝3x 2向______平移______个单位得到．二、选择题7．要得到抛物线2)4(31-=x y ，可将抛物线231x y =( )A ．向上平移4个单位B ．向下平移4个单位C ．向右平移4个单位D ．向左平移4个单位8．下列各组抛物线中能够互相平移而彼此得到对方的是( ) A ．y ＝2x 2与y ＝3x 2 B ．2212+=x y 与2122+=x yC ．y ＝2x 2与y ＝x 2＋2D ．y ＝x 2与y ＝x 2－29．顶点为(－5，0)，且开口方向、形状与函数231x y -=的图象相同的抛物线是( )A ．2)5(31-=x yB ．5312--=x yC ．2)5(31+-=x yD ．2)5(31+=x y三、解答题10．在同一坐标系中画出函数=+=221,321y x y 3212-x 和2321x y =的图象，并说明y 1，y 2的图象与函数221x y =的图象的关系．11．在同一坐标系中，画出函数y 1＝2x 2，y 2＝2(x －2)2与y 3＝2(x ＋2)2的图象，并说明y 2，y 3的图象与y 1＝2x 2的图象的关系．填空题12．二次函数y ＝a(x －h)2＋k(a ≠0)的顶点坐标是______，对称轴是______，当x ＝______时，y 有最值______；当a ＞0时，若x______时，y 随x 增大而减小． 13．填表．14．抛物线1)3(212-+-=x y 有最______点，其坐标是______．当x ＝______时，y 的最______值是______；当x______时，y 随x 增大而增大． 15．将抛物线231x y =向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的解析式为______．选择题16．一抛物线和抛物线y＝－2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(－1，3)，则该抛物线的解析式为( )A．y＝－2(x－1)2＋3 B．y＝－2(x＋1)2＋3C．y＝－(2x＋1)2＋3 D．y＝－(2x－1)2＋317．要得到y＝－2(x＋2)2－3的图象，需将抛物线y＝－2x2作如下平移( )A．向右平移2个单位，再向上平移3个单位B．向右平移2个单位，再向下平移3个单位C．向左平移2个单位，再向上平移3个单位D．向左平移2个单位，再向下平移3个单位解答题18．将下列函数配成y＝a(x－h)2＋k的形式，并求顶点坐标、对称轴及最值．(1)y＝x2＋6x＋10 (2)y＝－2x2－5x＋7(3)y＝3x2＋2x (4)y＝－3x2＋6x－2(5)y ＝100－5x 2(6)y ＝(x －2)(2x ＋1)19．把二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数1)1(212-+=x y 的图象．(1)试确定a ，h ，k 的值；(2)指出二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的开口方向、对称轴和顶点坐标．1．(1)(0，0)，y 轴； (2)(0，c)，y 轴； (3)(m ，0)，直线x＝m ． 2．m ＝－13．(0，0)，y 轴，x ≤0，x ＞0，0，小，0． 4．向下，相同，(0，0)，y 轴．5．(0，3)，y 轴，x ≤0，0，小，3，上，3．6．向上，(2，0)，直线x ＝2，x ≥2，2，小，0，右，2． 7．C ． 8．D ． 9．C ．10．图略，y 1，y 2的图象是221x y =的图象分别向上和向下平移3个单位．11．图略，y 2，y 3的图象是把y 1的图象分别向右和向左平移2个单位． 12．(h ，k)，直线x ＝h ；h ，k ，x ≤h ． 13．14．高．(－3，－1)，－3，大，－1，≤－3． 15．.52312)3(3122+-=+-=x x x y 16．B ． 17．D ．18．(1)y ＝(x ＋3)2＋1，顶点(－3，1)，直线x ＝－3，最小值为1．(2),881)45(22++-=x y 顶点),881,45(-直线,45-=x 最大值为⋅881(3),31)31(32-+=x y 顶点),31,31(--直线,31-=x 最小值为⋅-31(4)y ＝－3(x －1)2＋1，顶点(1，1)，直线x ＝1，最大值为1． (5)y ＝－5x 2＋100，顶点(0，100)，直线x ＝0，最大值为100． (6),825)43(22--=x y 顶点),825,43(-直线,43=x 最小值为⋅-82519．(1)；5,1,21-===k h a(2)开口向上，直线x ＝1，顶点坐标(1，－5)．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 及其图象一、填空题1．把二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)配方成y ＝a(x －h)2＋k 形式为______，顶点坐标是______，对称轴是直线______．当x ＝______时，y 最值＝______；当a ＜0时，x______时，y 随x 增大而减小；x______时，y 随x 增大而增大．2．抛物线y ＝2x 2－3x －5的顶点坐标为______．当x ＝______时，y 有最______值是______，与x 轴的交点是______，与y 轴的交点是______，当x______时，y 随x 增大而减小，当x______时，y 随x 增大而增大．3．抛物线y ＝3－2x －x 2的顶点坐标是______，它与x 轴的交点坐标是______，与y 轴的交点坐标是______．4．把二次函数y ＝x 2－4x ＋5配方成y ＝a(x －h)2＋k 的形式，得______，这个函数的图象有最______点，这个点的坐标为______．5．已知二次函数y ＝x 2＋4x －3，当x ＝______时，函数y 有最值______，当x______时，函数y 随x 的增大而增大，当x ＝______时，y ＝0． 6．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝3－2x 2的形状完全相同，只是位置不同，则a ＝______．7．抛物线y ＝2x 2先向______平移______个单位就得到抛物线y ＝2(x －3)2，再向______平移______个单位就得到抛物线y ＝2(x －3)2＋4．二、选择题8．下列函数中①y ＝3x ＋1；②y ＝4x 2－3x ；;422x xy +=③④y ＝5－2x 2，是二次函数的有( ) A ．②B ．②③④C ．②③D ．②④9．抛物线y ＝－3x 2－4的开口方向和顶点坐标分别是( )A ．向下，(0，4)B ．向下，(0，－4)C ．向上，(0，4)D ．向上，(0，－4)10．抛物线x x y --=221的顶点坐标是( )A ．)21,1(- B ．)21,1(-C ．)1,21(-D ．(1，0)11．二次函数y ＝ax 2＋x ＋1的图象必过点( )A ．(0，a)B ．(－1，－a)C ．(－1，a)D ．(0，－a)三、解答题12．已知二次函数y ＝2x 2＋4x －6．(1)将其化成y ＝a(x －h)2＋k 的形式； (2)写出开口方向，对称轴方程，顶点坐标； (3)求图象与两坐标轴的交点坐标； (4)画出函数图象；(5)说明其图象与抛物线y ＝x 2的关系； (6)当x 取何值时，y 随x 增大而减小； (7)当x 取何值时，y ＞0，y ＝0，y ＜0； (8)当x 取何值时，函数y 有最值?其最值是多少? (9)当y 取何值时，－4＜x ＜0；(10)求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形面积．填空题13．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)．(1)若抛物线的顶点是原点，则____________；(2)若抛物线经过原点，则____________；(3)若抛物线的顶点在y轴上，则____________；(4)若抛物线的顶点在x轴上，则____________．14．抛物线y＝ax2＋bx必过______点．15．若二次函数y＝mx2－3x＋2m－m2的图象经过原点，则m＝______，这个函数的解析式是______．16．若抛物线y＝x2－4x＋c的顶点在x轴上，则c的值是______．17．若二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则a＝______．18．函数y＝x2－4x＋3的图象的顶点及它和x轴的两个交点为顶点所构成的三角形面积为______平方单位．19．抛物线y＝ax2＋bx(a＞0，b＞0)的图象经过第______象限．选择题20．函数y＝x2＋mx－2(m＜0)的图象是( )21．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如下图所示，那么( )A．a＜0，b＞0，c＞0B．a＜0，b＜0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＜022．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如右图所示，则( )A．a＞0，c＞0，b2－4ac＜0B．a＞0，c＜0，b2－4ac＞0C．a＜0，c＞0，b2－4ac＜0D．a＜0，c＜0，b2－4ac＞023．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如下图所示，则( )A．b＞0，c＞0，＝0B．b＜0，c＞0，＝0C．b＜0，c＜0，＝0D．b＞0，c＞0，＞024．二次函数y＝mx2＋2mx－(3－m)的图象如下图所示，那么m的取值范围是( )A ．m ＞0B ．m ＞3C ．m ＜0D ．0＜m ＜325．在同一坐标系内，函数y ＝kx 2和y ＝kx －2(k ≠0)的图象大致如图( )26．函数x aby b ax y =+=221,(ab ＜0)的图象在下列四个示意图中，可能正确的是( )解答题27．已知抛物线y ＝x 2－3kx ＋2k ＋4．(1)k 为何值时，抛物线关于y 轴对称；(2)k 为何值时，抛物线经过原点．28．画出23212++-=x x y 的图象，并求：(1)顶点坐标与对称轴方程；(2)x取何值时，y随x增大而减小?x取何值时，y随x增大而增大?(3)当x为何值时，函数有最大值或最小值，其值是多少?(4)x取何值时，y＞0，y＜0，y＝0?(5)当y取何值时，－2≤x≤2?29．已知函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)和y2＝mx＋n的图象交于(－2，－5)点和(1，4)点，并且y1＝ax2＋bx＋c的图象与y轴交于点(0，3)．(1)求函数y1和y2的解析式，并画出函数示意图；(2)x为何值时，①y1＞y2；②y1＝y2；③y1＜y2．30．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的一部分；图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b＝0；③a－b＋c ＝0；④5a＜b．其中正确的是________________．(填序号)1．).44,2(,44)2(222a b ac ab a b ac a b x a y ---++= ⋅-<-≥--=-=ab x a b x a b ac a b x a b x 2,2,44,2,22 2．,43),849,43(-小，⋅>≤---43,43),5,0(),0,1()0,25(,849x x 、 3．(－1，4)，(－3，0)、(1，0)，(0，3)．4．y ＝(x －2)2＋1，低，(2，1)．5．－2，－7，x ≥－2，.72±-=x6．±2． 7．右，3，上，4．8．D ． 9．B. 10．B ． 11．C ．12．(1)y ＝2(x ＋1)2－8；(2)开口向上，直线x ＝－1，顶点(－1，－8)；(3)与x 轴交点(－3，0)(1，0)，与y 轴交点(0，－6)；(4)图略；(5)将抛物线y ＝x 2向左平移1个单位，向下平移8个单位；得到y ＝2x 2＋4x －6的图象；(6)x ≤－1；(7)当x ＜－3或x ＞1时，y ＞0；当x ＝－3或x ＝1时，y ＝0；当－3＜x ＜1时，y ＜0；(8)x ＝－1时，y 最小值＝－8；(9)－8≤y ＜10；(10)S △＝12．13．(1)b ＝c ＝0；(2)c ＝0；(3)b ＝0；(4)b 2－4ac ＝0．14．原． 15．2，y ＝2x 2－3x ． 16．4．17．－1． 18．1． 19．一、二、三．20．C. 21．B ． 22．D ． 23．B ． 24．C ． 25．B ． 26．C ．27．(1)k ＝0；(2)k ＝－2．28．,2)1(212+--=x y ①顶点(1，2)，直线x ＝1；②x ≥1，x ＜1； ③x ＝1，y 最大＝2；④－1＜x ＜3时，y ＞0；x ＜－1或x ＞3时y ＜0；x ＝－1或x ＝3时，y ＝0；.225≤≤-y ⑤ 29．(1)y 1＝－x 2＋2x ＋3，y 2＝3x ＋1．(2)①当－2＜x ＜1时，y 1＞y 2．②当x ＝－2或x ＝1时，y 1＝y 2．③当x ＜－2或x ＞1时y 1＜y 2．30．①，④．二次函数的图像和性质习题精选1．二次函数2y ax =的图像开口向＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿，顶点坐标是＿＿＿＿，图像有最＿＿＿点，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而增大，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而减小。

(完整版)二次函数图像及性质近三年中考题

备战2017中考系列：数学2年中考1年模拟第三篇函数☞解读考点知识点名师点晴二次函数概念、图象和性质1．二次函数的概念会判断一个函数是否为二次函数． 2．二次函数的图象知道二次函数的图象是一条抛物线．3．二次函数的性质会按在对称轴左右判断增减性． 4．二次函数的解析式确定能用待定系数法确定函数解析式．二次函数与二次方程的关系 5．判别式、抛物线与x 轴的交点、二次方程的根的情况三者之间的联系．会用数形结合思想解决此类问题．能根据图象信息，解决相应的问题．☞考点归纳归纳 1：二次函数中各系数a 、b 、c 的几何意义基础知识归纳： a 决定开口方向，a ＞0开口向上，a ＜0开口向下，ab 乘积决定对称轴的位置（左同右异）， c 决定与y 轴的交点位置．基本方法归纳：根据a 、b 、c 的符号逐步分析判断．注意问题归纳：当只有ac 或者bc 时，要考虑用对称轴方程这个式子去代换变形．【例1】（2016四川省广安市）已知二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象如图所示，并且关于x 的一元二次方程20ax bx c m ++-=有两个不相等的实数根，下列结论：①24b ac -＜0；②abc ＞0；③a ﹣b +c ＜0；④m ＞﹣2，其中，正确的个数有（）A ．1B ．2C ．3D ．4归纳 2：二次函数图象与几何变换基础知识归纳：二次函数的平移．基本方法归纳：关键是熟练掌握二次函数平移主要考虑顶点的变化．注意问题归纳：平移规律是“左加右减，上加下减．【例2】（2016四川省眉山市）若抛物线223y x x =-+不动，将平面直角坐标系xOy 先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（）A ．2(2)3y x =-+B ．2(2)5y x =-+ C ．21y x =- D ．24y x =+归纳 3：二次函数图象性质的综合应用基础知识归纳：用待定系数法确定二次函数解析式，二次函数的图象与其他函数图象交点，与三角形和四边形的综合，面积问题．基本方法归纳：解这类问题的一般方法是数形结合．注意问题归纳：数形结合思想，将线段长度，图形面积与点的坐标联系起来是关键，同时注意坐标与线段间的转化时符号的处理．【例3】（2016四川省攀枝花市）如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，B 点坐标为（3，0），与y 轴交于点C （0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC 的面积最大时，求点P 的坐标和四边形ABPC 的最大面积．（3）直线l 经过A 、C 两点，点Q 在抛物线位于y 轴左侧的部分上运动，直线m 经过点B 和点Q ，是否存在直线m ，使得直线l 、m 与x 轴围成的三角形和直线l 、m 与y 轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m 的解析式，若不存在，请说明理由．☞2年中考【2016年题组】一、选择题1．（2016内蒙古呼伦贝尔市，第11题，3分）在平面直角坐标系中，将抛物线212y x =-向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是（）A ．21322y x x =--- B ．21122y x x =-+- C ．21322y x x =-+- D ．21122y x x =---2．（2016内蒙古呼和浩特市）已知a ≥2，2220m am -+=，2220n an -+=，则22(1)(1)m n -+-的最小值是（）A ．6B ．3C ．﹣3D ．03．（2016天津市）已知二次函数2()1y x h =-+（h 为常数），在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为（）A ．1或﹣5B ．﹣1或5C ．1或﹣3D ．1或34．（2016四川省凉山州）二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图，则反比例函数ay x=-与一次函数y bx c =-在同一坐标系内的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．5．（2016四川省巴中市）如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为直线x =﹣1，给出四个结论： ①c ＞0； ②若点B （32-，1y ）、C （52-，2y ）为函数图象上的两点，则12y y <； ③2a ﹣b =0； ④244ac b a-＜0，其中，正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．46．（2016四川省攀枝花市）如图，二次函数2y ax bx c =++（a ＞0）图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论正确的是（）A ．2a ﹣b =0B ．a +b +c ＞0C ．3a ﹣c =0D ．当a =12时，△ABD 是等腰直角三角形 7．（2016四川省泸州市）已知二次函数22y ax bx =--（a ≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a ﹣b 为整数时，ab 的值为（） A ．34或1 B ．14或1 C ．34或12 D ．14或348．（2016四川省自贡市）二次函数=++2y ax bx c 的图象如图，反比例函数=ay x与正比例函数=y bx 在同一坐标系的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．9．（2016四川省资阳市）已知二次函数2y x bx c =++与x 轴只有一个交点，且图象过A （1x ，m ）、B （1x +n ，m ）两点，则m 、n 的关系为（） A ．m =12n B ．m =14n C ．m =212n D ．m =214n10．（2016四川省达州市）如图，已知二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x =1．下列结论： ①abc ＞0，②4a +2b +c ＞0，③24ac b -＜8a ，④13＜a ＜23，⑤b ＞c ．其中含所有正确结论的选项是（）A ．①③B ．①③④C ．②④⑤D ．①③④⑤ 11．（2016山东省临沂市）二次函数2y ax bx c =++，自变量x 与函数y 的对应值如表：x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 … y …4﹣2﹣24…下列说法正确的是（） A ．抛物线的开口向下B ．当x ＞﹣3时，y 随x 的增大而增大C ．二次函数的最小值是﹣2D ．抛物线的对称轴是52x =-12．（2016山东省威海市）已知二次函数2()y x a b =---的图象如图所示，则反比例函数aby x=与一次函数y =ax +b 的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．13．（2016山东省日照市）如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，其对称轴为x =1，下列结论：①abc ＞0；②2a +b =0；③4a +2b +c ＜0；④若（32-，1y ），（103，2y ）是抛物线上两点，则1y ＜2y 其中结论正确的是（）A ．①②B ．②③C ．②④D ．①③④ 14．（2016山东省泰安市）一元二次方程22(1)2(1)7x x +--=的根的情况是（） A ．无实数根 B ．有一正根一负根C ．有两个正根D ．有两个负根15．（2016山东省泰安市）在﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取两数m ，n ，则二次函数2()y x m n =-+的顶点在坐标轴上的概率为（） A ．25 B ．15 C ．14 D ．1216．（2016山东省滨州市）在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线256y x x =++，则原抛物线的解析式是（）A ．2511()24y x =---B ．2511()24y x =-+-C ．251()24y x =---D ．251()24y x =-++17．（2016广西桂林市）已知直线3y =+与坐标轴分别交于点A ，B ，点P 在抛物线21(43y x =--+上，能使△ABP 为等腰三角形的点P 的个数有（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个18．（2016浙江省舟山市）二次函数2(1)5y x =--+，当m ≤x ≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m +n 的值为（） A ．52 B ．2 C ．32 D ．1219．（2016浙江省衢州市）二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）图象上部分点的坐标（x ，y ）对应值列表如下：则该函数图象的对称轴是（）A ．直线x =﹣3B ．直线x =﹣2C ．直线x =﹣1D ．直线x =0 20．（2016甘肃省兰州市）点P 1（﹣1，1y ），P 2（3，2y ），P 3（5，3y ）均在二次函数22y x x c =-++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（）A ．321y y y >>B ．312y y y >=C ．123y y y >>D ．123y y y => 21．（2016甘肃省兰州市）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，对称轴是直线x =﹣1，有以下结论：①abc ＞0；②24ac b <；③2a +b =0；④a ﹣b +c ＞2．其中正确的结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题22．（2016吉林省长春市）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点A 在x 轴正半轴上，顶点C 的坐标为（4，3）．D 是抛物线26y x x =-+上一点，且在x 轴上方．则△BCD 的最大值为．23．（2016宁夏）若二次函数22y x x m =-+的图象与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是． 24．（2016四川省内江市）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，且P =|2a +b |+|3b ﹣2c |，Q =|2a ﹣b |﹣|3b +2c |，则P ，Q 的大小关系是．25．（2016四川省凉山州）将抛物线2y x =-先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后所得抛物线的解析式为．26．（2016广东省梅州市）如图，抛物线223y x x =-++与y 轴交于点C ，点D （0，1），点P 是抛物线上的动点．若△PCD 是以CD 为底的等腰三角形，则点P 的坐标为．27．（2016湖北省荆州市）若函数2(1)42y a x x a =--+的图象与x 轴有且只有一个交点，则a 的值为．三、解答题28．（2016四川省达州市）如图，已知抛物线226y ax x =++（a ≠0）交x 轴与A ，B 两点（点A 在点B 左侧），将直尺WXYZ 与x 轴负方向成45°放置，边WZ 经过抛物线上的点C （4，m ），与抛物线的另一交点为点D ，直尺被x 轴截得的线段EF =2，且△CEF 的面积为6．（1）求该抛物线的解析式；（2）探究：在直线AC 上方的抛物线上是否存在一点P ，使得△ACP 的面积最大？若存在，请求出面积的最大值及此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）将直尺以每秒2个单位的速度沿x 轴向左平移，设平移的时间为t 秒，平移后的直尺为W ′X ′Y ′Z ′，其中边X ′Y ′所在的直线与x 轴交于点M ，与抛物线的其中一个交点为点N ，请直接写出当t 为何值时，可使得以C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形．29．（2016山东省日照市）如图1，抛物线23[(2)]5y x n =--+与x 轴交于点A （m ﹣2，0）和B （2m +3，0）（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连结BC ．（1）求m 、n 的值；（2）如图2，点N 为抛物线上的一动点，且位于直线BC 上方，连接CN 、BN ．求△NBC 面积的最大值；（3）如图3，点M 、P 分别为线段BC 和线段OB 上的动点，连接PM 、PC ，是否存在这样的点P ，使△PCM 为等腰三角形，△PMB 为直角三角形同时成立？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．30．（2016山东省枣庄市）如图，在矩形OABC 中，OA =3，OC =2，F 是AB 上的一个动点（F 不与A ，B 重合），过点F 的反比例函数ky x=（k ＞0）的图象与BC 边交于点E ．（1）当F 为AB 的中点时，求该函数的解析式；（2）当k 为何值时，△EFA 的面积最大，最大面积是多少？31．（2016山东省淄博市）如图，抛物线221y ax ax =++与x 轴仅有一个公共点A ，经过点A 的直线交该抛物线于点B ，交y 轴于点C ，且点C 是线段AB 的中点．（1）求这条抛物线对应的函数解析式；（2）求直线AB 对应的函数解析式．32．（2016山东省潍坊市）如图，已知抛物线213y x bx c =++经过△ABC 的三个顶点，其中点A （0，1），点B （﹣9，10），AC ∥x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB 、AC 分别交于点E 、F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．33．（2016山东省菏泽市）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax bx =++过B （﹣2，6），C （2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D ，求△BCD 的面积；（3）若直线12y x =-向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC （包括端点B 、C ）部分有两个交点，求b 的取值范围．34．（2016广东省）如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，BC =2，边BC 在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ ，连接P A 、QD ，并过点Q 作QO ⊥BD ，垂足为O ，连接OA 、OP ．（1）请直接写出线段BC 在平移过程中，四边形APQD 是什么四边形？（2）请判断OA 、OP 之间的数量关系和位置关系，并加以证明；（3）在平移变换过程中，设y=S△OPB，BP=x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．35．（2016广东省梅州市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒3cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．（1）若BM=BN，求t的值；（2）若△MBN与△ABC相似，求t的值；（3）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．36．（2016广西百色市）正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线L经过O、P、A三点，点E 是正方形内的抛物线上的动点．（1）建立适当的平面直角坐标系，①直接写出O、P、A三点坐标；②求抛物线L的解析式；（2）求△OAE与△OCE面积之和的最大值．37．（2016云南省昆明市）如图1，对称轴为直线x =12的抛物线经过B （2，0）、C （0，4）两点，抛物线与x 轴的另一交点为A ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP 的面积为S ，求S 的最大值；（3）如图2，若M 是线段BC 上一动点，在x 轴是否存在这样的点Q ，使△MQC 为等腰三角形且△MQB 为直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．38．（2016云南省曲靖市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax ax c =++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C （0，3），tan ∠OAC =34．（1）求抛物线的解析式；（2）点H 是线段AC 上任意一点，过H 作直线HN ⊥x 轴于点N ，交抛物线于点P ，求线段PH 的最大值；（3）点M 是抛物线上任意一点，连接CM ，以CM 为边作正方形CMEF ，是否存在点M 使点E 恰好落在对称轴上？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．39．（2016内蒙古呼伦贝尔市，第26题，13分）如图，抛物线223y x x =-++与x 轴相交的于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D ．（1）直接写出A ，B ，C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点（P 不与C ，B 两点重合），过点P 作PF ∥DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形． ②设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式；当m 为何值时，S 有最大值．40．（2016内蒙古巴彦淖尔市）如图所示，抛物线232y ax x c =-+经过原点O 与点A （6，0）两点，过点A 作AC ⊥x 轴，交直线y =2x ﹣2于点C ，且直线y =2x ﹣2与x 轴交于点D ．（1）求抛物线的解析式，并求出点C 和点D 的坐标；（2）求点A 关于直线y =2x ﹣2的对称点A ′的坐标，并判断点A ′是否在抛物线上，并说明理由；（3）点P （x ，y ）是抛物线上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交线段CA ′于点Q ，设线段PQ 的长为l ，求l 与x 的函数关系式及l 的最大值．41．（2016北京市）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线221y mx mx m =-+-（m ＞0）与x 轴的交点为A ，B ．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点． ①当m ＝1时，求线段AB 上整点的个数；②若抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m 的取值范围．42．（2016宁夏）在矩形ABCD 中，AB =3，AD =4，动点Q 从点A 出发，以每秒1个单位的速度，沿AB 向点B 移动；同时点P 从点B 出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC 向点C 移动，连接QP ，QD ，PD ．若两个点同时运动的时间为x 秒（0＜x ≤3），解答下列问题：（1）设△QPD 的面积为S ，用含x 的函数关系式表示S ；当x 为何值时，S 有最大值？并求出最小值；（2）是否存在x 的值，使得QP ⊥DP ？试说明理由．43．（2016安徽）如图，二次函数bx ax y +=2的图象经过点A （2，4）与B （6，0）．（1）求a ，b 的值；（2）点C 是该二次函数图象上A ，B 两点之间的一动点，横坐标为x （2＜x ＜6），写出四边形OACB 的面积S 关于点C 的横坐标x 的函数表达式，并求S 的最大值．44．（2016四川省乐山市）在直角坐标系xOy 中，A （0，2）、B （﹣1，0），将△ABO 经过旋转、平移变化后得到如图1所示的△BCD ．（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）连结AC ，点P 是位于线段BC 上方的抛物线上一动点，若直线PC 将△ABC 的面积分成1：3两部分，求此时点P 的坐标；（3）现将△ABO 、△BCD 分别向下、向左以1：2的速度同时平移，求出在此运动过程中△ABO 与△BCD 重叠部分面积的最大值．45．（2016江苏省常州市）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y =x 与二次函数2y x bx =+的图象相交于O 、A 两点，点A （3，3），点M 为抛物线的顶点．（1）求二次函数的表达式；（2）长度为22的线段PQ 在线段OA （不包括端点）上滑动，分别过点P 、Q 作x 轴的垂线交抛物线于点P 1、Q 1，求四边形PQQ 1P 1面积的最大值；（3）直线OA 上是否存在点E ，使得点E 关于直线MA 的对称点F 满足S △AOF =S △AOM ？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．46．（2016江苏省无锡市）已知二次函数22y ax ax c =-+（a ＞0）的图象与x 轴的负半轴和正半轴分别交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，它的顶点为P ，直线CP 与过点B 且垂直于x 轴的直线交于点D ，且CP ：PD =2：3．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）若tan ∠PDB =54，求这个二次函数的关系式．47．（2016黑龙江省牡丹江市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++经过点（﹣1，8）并与x 轴交于点A ，B 两点，且点B 坐标为（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线与y 轴交于点C ，顶点为点P ，求△CPB 的面积．注：抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）的顶点坐标是（2b a-，244ac b a -）【2015年题组】1．（2015乐山）二次函数224y x x =-++的最大值为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．62．（2015南宁）如图，已知经过原点的抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的对称轴是直线1-=x ，下列结论中：①0>ab ， ②0>++c b a ， ③当002<<<-y x 时，．正确的个数是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．（2015柳州）如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围是（）A ．x ＜﹣2B ．﹣2＜x ＜4C ．x ＞0D ．x ＞44．（2015河池）将抛物线2y x =向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，抛物线的解析式为（）A ．2(2)3y x =++B ．2(2)3y x =-+C ．2(2)3y x =+- D ．2(2)3y x =--5．（2015贵港）如图，已知二次函数212433y x x =-的图象与正比例函数223y x =的图象交于点A （3，2），与x 轴交于点B （2，0），若120y y <<，则x 的取值范围是（）A ．0＜x ＜2B ．0＜x ＜3C ．2＜x ＜3D ．x ＜0或x ＞36．（2015苏州）若二次函数2y x bx =+的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程25x bx +=的解为（）A ．10x =，24x =B ．11x =，25x =C ．11x =，25x =-D ．11x =-，25x =7．（2015乐山）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，记2m a b c a b c =-++++，2n a b c a b c =+++--．则下列选项正确的是（）A ．m n C ．m n =D ．m 、n 的大小关系不能确定8．（2015雅安）在二次函数223y x x =--中，当03x ≤≤时，y 的最大值和最小值分别是（） A ．0，﹣4 B ．0，﹣3 C ．﹣3，﹣4 D ．0，09．（2015孝感）如图，二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA =OC ．则下列结论：①abc ＜0；②2404b ac a ->；③ac ﹣b +1=0；④OA •OB =ca-．其中正确结论的个数是（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．110．（2015南通）关于x 的一元二次方程2310ax x --=的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a 的取值范围是．11．（2015宿迁）当x m =或x n =（m n ≠）时，代数式322+-x x 的值相等，则n m x +=时，代数式322+-x x 的值为．12．（2015贺州）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①abc ＞0，②a ﹣b +c ＜0，③2a =b ，④4a +2b +c ＞0，⑤若点（﹣2，1y ）和（13-，2y ）在该图象上，则12y y >．其中正确的结论是（填入正确结论的序号）．13．（2015雅安）为美化小区环境，决定对小区的一块空地实施绿化，现有一长为20m 的栅栏，要围成一扇形绿化区域，则该扇形区域的面积的最大值为．14．（2015来宾）在矩形ABCD 中，AB =a ，AD =b ，点M 为BC 边上一动点（点M 与点B 、C 不重合），连接AM ，过点M 作MN ⊥AM ，垂足为M ，MN 交CD 或CD 的延长线于点N ．（1）求证：△CMN ∽△BAM ；（2）设BM =x ，CN =y ，求y 关于x 的函数解析式．当x 取何值时，y 有最大值，并求出y 的最大值；（3）当点M 在BC 上运动时，求使得下列两个条件都成立的b 的取值范围：①点N 始终在线段CD 上，②点M 在某一位置时，点N 恰好与点D 重合．15．（2015桂林）如图，已知抛物线212y x bx c =-++与坐标轴分别交于点A （0，8）、B （8，0）和点E ，动点C 从原点O 开始沿OA 方向以每秒1个单位长度移动，动点D 从点B 开始沿BO 方向以每秒1个单位长度移动，动点C 、D 同时出发，当动点D 到达原点O 时，点C 、D 停止运动．（1）直接写出抛物线的解析式：；（2）求△CED 的面积S 与D 点运动时间t 的函数解析式；当t 为何值时，△CED 的面积最大？最大面积是多少？（3）当△CED 的面积最大时，在抛物线上是否存在点P （点E 除外），使△PCD 的面积等于△CED 的最大面积？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2015梧州）如图，抛物线22y ax bx =++与坐标轴交于A 、B 、C 三点，其中B （4，0）、C （﹣2，0），连接AB 、AC ，在第一象限内的抛物线上有一动点D ，过D 作DE ⊥x 轴，垂足为E ，交AB 于点F ．（1）求此抛物线的解析式；（2）在DE 上作点G ，使G 点与D 点关于F 点对称，以G 为圆心，GD 为半径作圆，当⊙G 与其中一条坐标轴相切时，求G 点的横坐标；（3）过D 点作直线DH ∥AC 交AB 于H ，当△DHF 的面积最大时，在抛物线和直线AB 上分别取M 、N 两点，并使D 、H 、M 、N 四点组成平行四边形，请你直接写出符合要求的M 、N 两点的横坐标．17．（2015北海）如图1所示，已知抛物线245y x x =-++的顶点为D ，与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，E 为对称轴上的一点，连接CE ，将线段CE 绕点E 按逆时针方向旋转90°后，点C 的对应点C ′恰好落在y 轴上．（1）直接写出D 点和E 点的坐标；（2）点F 为直线C ′E 与已知抛物线的一个交点，点H 是抛物线上C 与F 之间的一个动点，若过点H 作直线HG 与y 轴平行，且与直线C ′E 交于点G ，设点H 的横坐标为m （0＜m ＜4），那么当m 为何值时，ΔHGF ΔBGF :S S =5：6？（3）图2所示的抛物线是由245y x x =-++向右平移1个单位后得到的，点T （5，y ）在抛物线上，点P 是抛物线上O 与T 之间的任意一点，在线段OT 上是否存在一点Q ，使△PQT 是等腰直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．☞1年模拟一、选择题1．（2016北京市延庆县中考一模）若将抛物线212y x =先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（）A ．21(2)12y x =+- B ．21(2)12y x =-- C ．2(2)1y x =+- D ．1)2x (21y +-=2．（2016四川省遂宁市蓬溪县中考一模）二次函数2(1)2y x =+-的对称轴为（） A ．x =1 B ．x =﹣1 C ．x =2 D ．x =﹣23．（2016四川省遂宁市蓬溪县中考一模）如图，二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA =OC ．则下列结论：①abc ＜0；②2404b ac a ->；③ac ﹣b +1=0；④OA •OB =ca-．其中正确结论的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．14．（2016届安徽省“合肥十校”联考）已知二次函数c x a y +-=2)2(，当1x x =时，函数值为1y ；当2x x =时，函数值为2y ，若|2||2|21->-x x ，则下列表达式正确的是（）A ．021>+y yB ．021>-y yC ．0)(21>-y y aD ．0)(21>+y y a 5．（2016广东省梅州市中考冲刺）二次函数2y ax bx c =++的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数y ax b =+与反比例函数cy x=在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．6．（2016广东省深圳市北师大附中中考二模）小轩从如图所示的二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab ＞0；②a +b +c ＜0；③b +2c ＞0；④a ﹣2b +4c ＞0；⑤32a b =．你认为其中正确信息的个数有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个7．（2016广东省深圳市宝安区中考二模）如图，所示是二次函数y =ax 2+bx +c 图象的一部分，图象过点A （5，0），对称轴为直线x =1，下列结论中错误的是（）A ．abc ＞0B ．当x ＜1时，y 随x 的增大而增大C ．a +b +c ＞0D ．方程ax 2+bx +c =0的根为x 1=﹣3，x 2=58．（2016广东省深圳市盐田区中考二模）抛物线y =﹣x 2+6x ﹣9的顶点为A ，与y 轴的交点为B ，如果在抛物线上取点C ，在x 轴上取点D ，使得四边形ABCD 为平行四边形，那么点D 的坐标是（） A ．（﹣6，0） B ．（6，0） C ．（﹣9，0） D ．（9，0） 9．（2016广东省深圳市盐田区中考二模）函数y =ax 2+bx +a +b （a ≠0）的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．10．（2016广东省深圳市盐田区中考二模）抛物线y =x 2+bx 的对称轴经过点（2，0），那么关于x 的方程x 2+bx =5的两个根是（）A ．0，4B ．1，5C ．﹣1，5D ．1，﹣5 11．（2016江苏省苏州市中考预测）抛物线2(7)2y x =--+的顶点坐标是（） A ．（2，7） B ．（7，2） C ．（﹣7，2） D ．（﹣7，﹣2）12．（2016甘肃省中考押题）已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，则下列结论：①abc ＞0；②a +b +c =2；③a ＜12；④b ＞1．其中正确的结论是（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④ 13．（2016福建省龙岩市中考模拟）二次函数y =x 2的图象是（）A ．线段B ．直线C ．抛物线D ．双曲线二、填空题14．（2016广东省深圳市盐田区中考二模）当x =a 或x =b （a ≠b ）时，整式x 2+x 的值相等，那么当x =a +b 时，分式1x的值是． 15．（2016辽宁省沈阳市和平区中考一模）如图，某小区准备用篱笆围成一块矩形花圃ABCD ，为了节省篱笆，一边利用足够长的墙，另外三边用篱笆围着，再用两段篱笆EF 与GH 将矩形ABCD 分割成①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，现有总长80m 的篱笆，当围成的花圃ABCD 的面积最大时，AB 的长为 m ．16．（2016福建省泉州市中考模拟）抛物线y =x 2﹣2x 的对称轴为直线．三、解答题17．（2016北京市延庆县中考一模）已知：抛物线2y x bx c =++经过点A （2，﹣3）和B （4，5）．（1）求抛物线的表达式及顶点坐标；（2）将抛物线沿x 轴翻折，得到图象G 1，求图象G 1的表达式；（3）设B 点关于对称轴的对称点为E ，抛物线G 2：2y ax =（a ≠0）与线段EB 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．18．（2016四川省遂宁市蓬溪县中考一模）“丹棱冻粑”是眉山著名特色小吃，产品畅销省内外，现有一个产品销售点在经销时发现：如果每箱产品盈利10元，每天可售出50箱；若每箱产品涨价1元，日销售量将减少2箱．（1）现该销售点每天盈利600元，同时又要顾客得到实惠，那么每箱产品应涨价多少元？（2）若该销售点单纯从经济角度考虑，每箱产品应涨价多少元才能获利最高？19．（2016届安徽省“合肥十校”联考）某公司生产的某种产品每件成本为40元，经市场调查整理出如下信息：①该产品90天内日销售量（m件）与时间（第x天）满足一次函数关系，部分数据如下表：时间（第x天）13610…日销售量（m件）198194188180…②该产品90天内每天的销售价格与时间（第x天）的关系如下表：时间（第x天）1≤x＜5050≤x≤90销售价格（元/件）x+60100（1）求m关于x的一次函数表达式；（2）设销售该产品每天利润为y元，请写出y关于x的函数表达式，并求出在90天内该产品哪天的销售利润最大？最大利润是多少？【提示：每天销售利润=日销售量×（每件销售价格﹣每件成本）】（3）在该产品销售的过程中，共有多少天销售利润不低于5400元，请直接写出结果．20．（2016广东省梅州市中考冲刺）如图，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为（2，4）；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3．（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从如图所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）．①当t=52时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．21．（2016广东省深圳市盐田区中考二模）抛物线y=ax2﹣2x与x轴正半轴相交于点A，顶点为B．（1）用含a的式子表示点B的坐标；（2）经过点C（0，﹣2）的直线AC与OB（O为原点）相交于点D，与抛物线的对称轴相交于点E，△OCD ≌△BED，求a的值．22．（2016四川省遂宁市蓬溪县中考一模）如图，已知抛物线经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8）．（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（2）直线CD交x轴于点E，过抛物线上在对称轴的右边的点P，作y轴的平行线交x轴于点F，交直线CD于M，使PM=15EF，请求出点P的坐标；（3）将抛物线沿对称轴平移，要使抛物线与（2）中的线段EM总有交点，那么抛物线向上最多平移多少个单位长度，向下最多平移多少个单位长度．。