2019年高考数学(文)一轮复习必刷题练习 第九单元 数列
最新精编2019年高中数学单元测试试题-数列专题考核题库(含答案)
2019年高中数学单元测试试题 数列专题（含答案）学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．在等差数列{}n a 中，若4612a a +=，n S 是数列的{}n a 的前n 项和，则9S 的值为（ ）A ．48B ．54C ．60D ．66(2006重庆理)2．已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，1a 、*1b N ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于（ ） A ．55B ．70C ．85D ．100（2004）3．已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =（ ）A ．B ．7C ．6D ．（2004）4．等差数列1，-1,-3,-5,…，-89，它的项数是 A.92 B.47C.46D.45第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题5．（理科）已知数列{}n a 的前n 项和326n S n n =+，则na n的最小值为 ▲ ．6．已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则na n的最小值为__________. 7．己知数列{a n }的通项为 a n ＝7n ＋2，数列{b n }的通项为b n ＝n 2．若将数列{a n }，{b n }中相同的项按从小到大顺序排列后记作数列{c n }，则c 9的值是 ▲_ ．8．在数列｛a n ｝中，若a 1=1,a n +1=2a n +3 (n ≥1),则该数列的通项a n =_________.9．在△ABC 中，a b c , , 分别是角A B C , , 的对边， 若222a b c ,, 成等差数列，则cos B 的最小值为 ．10．已知()x f 在上有()1,1-定义，121-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f 且满足()1,1-∈y x 、有()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=+xy y x f y f x f 1，对数列11221,,21n n n x x x x +==+，则数列(){}n x f 的通项()n f x =____________.11．在等差数列}{n a 中，若16,462==a a ，则9S =_____12．数列{}n a 中，2,11≥=n a 时，2321n a a a a n =⋅⋅ ，则=+1n a ．13．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()2log 11n S n +=+，则数列{}n a 的通项公式为 14．等差数列{}n a 的前3项和为21，其前6项和为24，则其首项1a 为15．若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-=，，，，则数列{}n na 中数值最小的项是第 项．16．对大于1的自然数m 的三次幂，可用奇数进行以下方式的拆分： 23=3+5 33=7+9+1143=13+15+17+19 …若159在m 3的拆分中，则m 的值为 ．17．设数列{a n }、{b n }分别为正项等比数列，S n 、T n 分别为{lg a n }与{lg b n }的前n 项的和，且12S +=n n T n n ，则55log a b = 。
精选2019年数学高考第一轮复习完整版考核题库(含答案)
2019年高考数学第一轮复习模拟测试题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为（ ）A ．cos 2y x =B ．2log ||y x =C ．2x x e e y --= D ．31y x =+（2012天津文）2．曲线=xy e 在点A （0,1）处得切线斜率为( ) A ．1 B ．2 C ．e D ．1e（2011江西文4） 3．由直线0,3,3==-=y x x ππ与曲线x y cos =所围成的封闭图形的面积为A.21B. 1C. 23D. 3二、填空题4．一份试卷有10个题目，分为,A B 两组，每组5题，要求考生选择6题，且每组至多选择4题，则考生有 ▲ 种不同的选答方法．5．已知空间中两点P 1（x ，2，3）和P 2（5，x +3，7）间的距离为6，则x= ．6．某小卖部为了了解冰糕销售量y(箱)与气温x(C ︒)之间的关系，随机统计了某4天卖出的冰糕的箱数与当天气温，并制作了对照表（如左所示）：由表中数据算得线性回归方程a bx y+=ˆ中的2-≈b ，预测当气温为25C ︒时， 冰糕销量为 杯．分析：线性回归方程a bx y+=ˆ恒过(,)x y ，由表中算得(,)x y ＝（10,40）代入回归方程，可得a ＝60，即ˆ260yx =-+，将5x =-代入回归方程，得ˆy ＝70. 7．已知225,xx-+= 则88x x -+=8．如果在今后若干年内我国国民经济生产总值都保持年平均9%的增长率，则要达到国民经济生产总值比2006年翻两番的年份大约是___.(0374.2109lg ,4771.03lg ,3010.02lg ===)9．已知函数))(2(log )(1*+∈+=N n n n f n ，定义使)()2()1(k f f f ⋅⋅⋅⋅为整数的数)(*∈N k k 叫做企盼数，则在区间[1，2009]内这样的企盼数共有 ▲ 个．10．已知直线,a b 相交于点P 夹角为60，过点P 作直线，又知该直线与,a b 的夹角均为60，这样的直线可作______条11．已知直线l m αβ⊥⊂平面，直线平面，有下列命题：;l m αβ①若∥，则⊥②若αβ∥，则l ∥m ;,,l m l m αβαβ③若∥则⊥；④若⊥则∥。
2019年全国版高考数学必刷题：第九单元 平面向量
第九单元 平面向量考点一 平面向量的线性运算1.(2015年全国Ⅱ卷)设向量a ,b 不平行,向量λa+b 与a+2b 平行,则实数λ= .【解析】∵λa+b 与a+2b 平行,∴λa+b=t (a+2b )(t ∈R),即λa+b=ta+2tb , ∴{λ=t ,1=2t ,解得{λ=12,t =12.【答案】122.(2015年全国Ⅰ卷)设D 为△ABC 所在平面内一点,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( ).A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -43AC ⃗⃗⃗⃗⃗C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗D.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -13AC ⃗⃗⃗⃗⃗【解析】AD⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .故选A . 【答案】A3.(2017年全国Ⅲ卷)在矩形ABCD 中,AB=1,AD=2,动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ的最大值为( ).A.3B.2√2 C .√5 D .2【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,则点C 的坐标为(2,1).设BD 与圆C 切于点E ,连接CE ,则CE ⊥BD.∵CD=1,BC=2, ∴BD=√12+22=√5, EC=BC ·CD BD=5=2√55, 即圆C 的半径为2√55, ∴点P 的轨迹方程为(x-2)2+(y-1)2=45.设P (x 0,y 0),则{x 0=2+2√55cosθ,y 0=1+2√55sinθ(θ为参数),而AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,y 0),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0).∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(0,1)+μ(2,0)=(2μ,λ),∴μ=12x 0=1+√55cos θ,λ=y 0=1+2√55sin θ. 两式相加,得λ+μ=1+2√55sin θ+1+√55cos θ=2+sin(θ+φ)≤3 (其中sinφ=√55,cosφ=2√55), 当且仅当θ=π2+2k π-φ,k ∈Z 时,λ+μ取得最大值3. 故选A . 【答案】A考点二 向量的数量积运算4.(2016年全国Ⅱ卷)已知向量a=(1,m ),b=(3,-2),且(a+b )⊥b ,则m=( ).A .-8B .-6C .6D .8【解析】因为a=(1,m ),b=(3,-2),所以a+b=(4,m-2). 因为(a+b )⊥b ,所以(a+b )·b=0,所以12-2(m-2)=0,解得m=8. 【答案】D5.(2016年全国Ⅲ卷)已知向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12),则∠ABC=( ).A.30°B.45°C.60°D.120°【解析】因为BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12),所以BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√34+√34=√32.又因为BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠ABC=1×1×cos∠ABC ,所以cos∠ABC=√32.又0°≤∠ABC ≤180°,所以∠ABC=30°.故选A .【答案】A6.(2017年天津卷)在△ABC 中,∠A=60°,AB=3,AC=2,若BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R),且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =-4,则λ的值为 .【解析】由题意,知|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2, AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3×2×cos 60°=3, AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴ AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=λ-23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2λ3AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=λ-23×3-13×32+2λ3×22=113λ-5=-4,解得λ=311.【答案】3117.(2017年北京卷)设m ,n 为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn ”是“m ·n<0”的( ).A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由题意知|m|≠0,|n|≠0.设m 与n 的夹角为θ. 若存在负数λ,使得m=λn , 则m 与n 反向共线,θ=180°, 所以m ·n=|m||n|cos θ=-|m||n|<0.当90°<θ<180°时,m ·n<0,此时不存在负数λ,使得m=λn. 故“存在负数λ,使得m=λn ”是“m ·n<0”的充分而不必要条件. 故选A . 【答案】A8.(2017年山东卷)已知e 1,e 2是互相垂直的单位向量.若√3e 1-e 2与e 1+λe 2的夹角为60°,则实数λ的值是 .【解析】由题意知|e 1|=|e 2|=1,e 1·e 2=0,|√3e 1-e 2|=√(√3e 1-e 2)2=√3e 12-2√3e 1·e 2+e 22=√3-0+1=2.同理|e 1+λe 2|=√1+λ2.所以cos 60°=√3e 121+λe 2+λe=√3e 12√3λ12222√1+λ=√3-2√1+λ=12,解得λ=√33.【答案】√33考点三 与向量的模有关的运算9.(2017年全国Ⅰ卷)已知向量a ,b 的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= .【解析】|a+2b|=√(a +2b )2=√a 2+4a ·b +4b 2=√22+4×2×1×cos60°+4×12 =√12=2√3.【答案】2√310.(2016年全国Ⅰ卷)设向量a=(m ,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= .【解析】∵|a+b|2=|a|2+|b|2+2a ·b=|a|2+|b|2,∴a ·b=0. 又a=(m ,1),b=(1,2),∴m+2=0,∴m=-2. 【答案】-211.(2017年浙江卷)已知向量a ,b 满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是 ,最大值是 .【解析】设a ,b 的夹角为θ.∵|a|=1,|b|=2,∴|a+b|+|a -b|=√(a +b )2+√(a -b )2=√5+4cosθ+√5-4cosθ.令y=√5+4cosθ+√5-4cosθ, 则y 2=10+2√25-16cos 2θ.∵θ∈[0,π],∴cos 2θ∈[0,1],∴y 2∈[16,20], ∴y ∈[4,2√5],即|a+b|+|a-b|∈[4,2√5].【答案】4 2√5考点四 平面向量在平面几何中的应用12.(2017年全国Ⅱ卷)已知△ABC 是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ )的最小值是( ). A.-2 B.-32C.-43D.-1【解析】如图,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ (D 为BC 的中点),则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ .要使PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 最小,则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相反,即点P 在线段AD 上,则(2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ )min =-2|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,问题转化为求|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值.又|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2×√32=√3,∴|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤(|PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2)2=(√32)2=34,∴[PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )]min =(2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ )min =-2×34=-32.故选B . 【答案】B13.(2017年浙江卷)如图,已知平面四边形ABCD ,AB ⊥BC ,AB=BC=AD=2,CD=3,AC 与BD 交于点O ,记I 1=OA⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,I 2=OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,I 3=OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( ). A.I 1<I 2<I 3 B.I 1<I 3<I 2 C.I 3<I 1<I 2 D.I 2<I 1<I 3【解析】∵I 1-I 2=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ , 又OB⃗⃗⃗⃗⃗ 与CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 所成角为钝角, ∴I 1-I 2<0,即I 1<I 2.∵I 1-I 3=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠AOB-|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠COD =cos∠AOB (|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |-|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |), 又∠AOB 为钝角,OA<OC ,OB<OD ,∴I 1-I 3>0,即I 1>I 3. ∴I 3<I 1<I 2.故选C . 【答案】C高频考点:向量的坐标运算、向量的线性运算及基本定理、向量的数量积均是高考热点,在历年高考中都有出现.命题特点:1.高考每年都会出现一道小题,考查的内容有向量的坐标运算、向量的线性运算及基本定理、向量的数量积.2.一般以容易题出现,但偶尔会以中档题和难题出现,所以难度要把控好.§9.1平面向量的概念及线性运算一向量的有关概念1.向量:既有大小又有方向的量;向量的大小叫作向量的长度(或模).2.零向量:长度为的向量;其方向是任意的,记作0.3.单位向量:长度等于的向量.非零向量a的单位向量为±a|a|4.平行向量(也称共线向量):方向或的非零向量.(0与任一向量平行或共线)5.相等向量:长度且方向的向量.6.相反向量:长度且方向的向量.二向量的线性运算1.向量的加(减)法法则有法则和法则,向量的加法运算满足和.2.实数λ与向量a的积是一个向量,且|λa|=|λ||a|;当λ0时,λa的方向与a的方向相同;当λ0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0.3.向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一实数λ,使得b=λa.☞ 左学右考如图,在正方形ABCD 中,E 为CD 的中点,F 为BC 上靠近点B 的一个三等分点,则EF⃗⃗⃗⃗⃗ =( ).A .12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B .23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C .13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ D .12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -23AD ⃗⃗⃗⃗⃗下列命题中,正确的个数是( ).①若|a|=|b|,则a=b ; ②若a=b ,则a ∥b ; ③|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |;④若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.A .1B .2C .3D .4已知O 是△ABC 所在平面内一点,D 为BC 边的中点,且2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则( ).A .AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗B .AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗C .AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D .2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗知识清单一、2.零 3.1个单位 4.相同 相反 5.相等 相同 6.相等 相反二、1.平行四边形 三角形 交换律 结合律 2.> < 基础训练1.【解析】EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .【答案】D2.【解析】∵a 与b 的方向不能确定,∴①错误;②③正确;若b 为零向量,则a 与c 的方向不能确定,∴④错误. 【答案】B3.【解析】由2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0可知,O 是底边BC 上的中线AD 的中点,故AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 【答案】A题型一 平面向量的概念辨析【例1】给出下列命题:①若|a|=|b|,则a ∥b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则“AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ”是“四边形ABCD 为平行四边形”的必要不充分条件;③若a=b ,b=c ,则a=c ;④“a=b ”的充要条件是“|a|=|b|且a ∥b ”.其中正确命题的序号是 .【解析】①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定共线. ②正确.若四边形ABCD 为平行四边形,则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |. ③正确.∵a=b ,∴a ,b 的长度相等且方向相同.又b=c ,∴b ,c 的长度相等且方向相同,∴a ,c 的长度相等且方向相同,故a=c.④不正确.当a ∥b 且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b ,故“|a|=|b|且a ∥b ”不是“a=b ”的充要条件,而是必要不充分条件.综上所述,正确命题的序号是②③. 【答案】②③【变式训练1】下列命题中正确的是( ).A .若a 与b 共线,b 与c 共线,则a 与c 也共线B .|a|=|b|,则a=±bC .向量a 与b 不共线,则a 与b 都是非零向量D .有相同起点的两个非零向量不平行【解析】由于零向量与任一向量都共线,所以A 不正确;模相等的两个向量方向是不确定的,所以B 不正确;向量的平行只要求方向相同或相反,与起点是否相同无关,所以D 不正确;对于C,由零向量与任一向量都共线,可知C 正确,故选C .【答案】C题型二 向量的线性运算【例2】(2017龙岩模拟)如图,下列结论正确的是( ).①PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =32a+32b ;②PT ⃗⃗⃗⃗⃗ =32a-b ; ③PS ⃗⃗⃗⃗ =32a-12b ;④PR ⃗⃗⃗⃗⃗ =32a+b. A .①② B .③④ C .①③ D .②④【解析】①根据向量的加法法则,得PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =32a+32b ,故①正确;②根据向量的减法法则,得PT ⃗⃗⃗⃗⃗ =32a-32b ,故②错误;③PS⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QS ⃗⃗⃗⃗⃗ =32a+32b-2b=32a-12b ,故③正确;④PR ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QR ⃗⃗⃗⃗⃗ =32a+32b-b=32a+12b ,故④错误.故选C . 【答案】C【变式训练2】如图,已知AB 是圆O 的直径,点C ,D 是半圆弧的两个三等分点,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ).A .a-12bB .12a-bC .a+12bD .12a+b【解析】连接CD ,由点C ,D 是半圆弧的三等分点,得CD ∥AB 且CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a ,所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b+12a.【答案】D题型三 共线向量定理及应用【例3】设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a+2b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a-5b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-5a+b ,求证:A ,B ,D 三点共线. (2)试确定实数k ,使ka+b 与a+kb 共线. 【解析】(1)∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+2b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a-5b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-5a+b , ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a-5b-5a+b=-2a-4b =-2(a+2b )=-2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线. 又∵它们有公共点B ,∴A ,B ,D 三点共线.(2)∵ka+b 与a+kb 共线,∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb ),即ka+b=λa+λkb ,∴(k-λ)a=(λk -1)b.∵a ,b 是不共线的两个非零向量, ∴k -λ=λk -1=0,∴k 2-1=0,∴k=±1.【变式训练3】已知向量a=2e 1-3e 2,b=2e 1+3e 2,c=2e 1-9e 2,其中向量e 1,e 2不共线,若存在实数λ,μ,使向量d=λa+μb 与c共线,求λμ的值.【解析】∵d=λ(2e 1-3e 2)+μ(2e 1+3e 2)=(2λ+2μ)e 1+(-3λ+3μ)e 2,要使d 与c 共线,则应有实数k ,使d=kc , 即(2λ+2μ)e 1+(-3λ+3μ)e 2=2ke 1-9ke 2,∴{2λ+2μ=2k ,-3λ+3μ=-9k ,得λ=-2μ,∴λμ=-2.方法 待定系数法在平面向量的线性运算中的应用用两个已知向量来表示另一向量的问题中,找不到问题的切入口,可利用待定系数法求解.例如用a 、b 表示OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,可设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =ma+nb ,再结合图形,利用向量共线建立方程,用方程的思想求解.方程思想是解决此类题的关键,要注意体会.【突破训练】如图,在△ABO 中,OC⃗⃗⃗⃗⃗ =14OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD 与BC 相交于点M ,设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b.试用a 和b 表示向量OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 【解析】设OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ma+nb ,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =ma+nb-a=(m-1)a+nb.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-a+12b.∵A ,M ,D 三点共线,∴AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线. ∴存在实数t ,使得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即(m-1)a+nb=t (-a +12b).∴(m-1)a+nb=-ta+12tb.∴{m -1=-t ,n =t 2,消去t 得,m+2n=1. ① ∵CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =ma+nb-14a=(m -14)a+nb ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b-14a=-14a+b.又∵C ,M ,B 三点共线,∴CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线. ∴存在实数t 1,使得CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t 1CB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴(m -14)a+nb=t 1(-14a +b),∴{m -14=-14t 1,n =t 1,消去t 1得,4m+n=1. ②由①②得m=17,n=37,∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =17a+37b.1.(2017湖南二模)设e 0为单位向量,①若a 为平面内的某个向量,则a=|a|e 0;②若a 与e 0平行,则a=|a|e 0;③若a 与e 0平行且|a|=1,则a=e 0.上述命题中,假命题的个数是( ).A .0B .1C .2D .3【解析】向量是既有大小又有方向的量,a 与|a|e 0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若a 与e 0平行,则a 与e 0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a=-|a|e 0,故②③也是假命题.【答案】D2.(2017南城中学质检)如图,在正六边形ABCDEF 中,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ). A .0 B .BE ⃗⃗⃗⃗⃗ C .AD⃗⃗⃗⃗⃗ D .CF⃗⃗⃗⃗⃗ 【解析】由图知BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =CF ⃗⃗⃗⃗⃗ . 【答案】D3.(2017运城一中质检)设a ,b 不共线,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a+pb ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a-2b ,若A ,B ,D 三点共线,则实数p 的值为( ).A .-2B .-1C .1D .2【解析】∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a-2b , ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a-b.又∵A ,B ,D 三点共线,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线. 设AB⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴2a+pb=λ(2a-b ), ∴p=-λ,2=2λ,∴λ=1,p=-1.【答案】B4.(2017四平二中二模)已知向量a ,b 不共线,c=ka+b (k ∈R),d=a-b.如果c ∥d ,那么( ).A .k=1且c 与d 同向B .k=1且c 与d 反向C .k=-1且c 与d 同向D .k=-1且c 与d 反向 【解析】∵c ∥d ,∴c=λd ,即ka+b=λ(a-b ),∴{k =λ,λ=-1.【答案】D5.(2017西宁市一模)如图,在△ABC 中,点D 在边BC 上,且CD=2DB ,点E 在边AD 上,且AD=3AE ,则用向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示CE⃗⃗⃗⃗⃗ 为( ).A .CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =29AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +89AC⃗⃗⃗⃗⃗ B .CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =29AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -89AC ⃗⃗⃗⃗⃗C .CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =29AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +79AC ⃗⃗⃗⃗⃗D .CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =29AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -79AC ⃗⃗⃗⃗⃗【解析】CE⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ ), ∴CE⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +19BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +19AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +19BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +19AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =29AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +89CA ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又∵89CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-89AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴CE⃗⃗⃗⃗⃗ =29AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -89AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 【答案】B6.(2017四川质检)向量e 1,e 2不共线,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(e 1+e 2),CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2-e 1,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+e 2,给出下列结论:①A ,B ,C 三点共线;②A ,B ,D 三点共线;③B ,C ,D 三点共线;④A ,C ,D 三点共线.其中所有正确结论的序号为 .【解析】由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4e 1+2e 2=2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线,可得A ,C ,D 三点共线,且点B 不在此直线上. 【答案】④7.(2017河北三模)如图,在△ABC 中,已知D 是AB 边上一点,若AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ= .【解析】由题图知CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ , ① CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ② 且AD⃗⃗⃗⃗⃗ +2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 由①+②×2,得3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴λ=23.【答案】238.(2017唐山一模)已知向量a ,b 是两个非零向量,则在下列四个条件中,能使a ,b 共线的条件是 .(将所有正确的序号填在横线上)①2a-3b=4e ,且a+2b=-3e ;②存在相异实数λ,μ,使λa+μb=0; ③xa+yb=0(实数x ,y 满足x+y=0).【解析】由①得10a-b=0,故①正确;②正确;对于③,当x=y=0时,a 与b 不一定共线,故③错误. 【答案】①②9.(2017黄冈二模)已知a ,b 是不共线的向量,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λa+b ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ =a+μb ,λ,μ∈R,则A ,B ,C 三点共线的充要条件为( ). A .λ+μ=2 B .λ-μ=1 C .λμ=-1 D .λμ=1【解析】因为A ,B ,C 三点共线,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AC⃗⃗⃗⃗⃗ (m ≠0),所以{λ=m ,1=mμ,则λμ=1. 【答案】D10.(2017安徽二模)已知A ,B ,C 是△ABC 的三个顶点,O 为平面内一点,满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,若实数λ满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则λ的值为( ).A .3B .32C .-2D .23【解析】∵OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴O 为△ABC 的重心,设BC 的中点为D ,∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =32AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,而AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×32AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴λ=3.【答案】A11.(2017河南四校联考)设e 1,e 2是两个不共线的向量,已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+e 2sin α(-π2<α<π2),CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1-54e 2,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1-e 2,若A ,B ,D三点共线,则函数f (x )=2cos(x+α)在[0,π)上的值域为( ).A .[-1,12] B .[-2,√3]C .(-2,1]D .(-1,√3]【解析】若A ,B ,D 三点共线,则存在实数λ,使AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ -CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ),∴2e 1+e 2sin α=λ(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ -CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=λ(e 1+14e 2),∴λ=2,sin α=14λ,∴sin α=12.∵-π2<α<π2,∴α=π6.∵0≤x<π,∴π6≤x+α<7π6,∴-2≤f (x )≤√3. 【答案】B12.(2017江西联考)在直角梯形ABCD 中,∠A=90°,∠B=30°,AB=2√3,BC=2,点E 在线段CD 上,若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则μ的取值范围是 .【解析】由题意可求得AD=1,CD=√3,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 因为AE⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +2μDC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又因为0≤2μ≤1,所以0≤μ≤12.【答案】[0,12]13.(2017怀化模拟)已知a ,b 为两个不共线的向量,若四边形ABCD 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+2b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-4a-b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-5a-3b. (1)试用a ,b 表示向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)证明四边形ABCD 为梯形.【解析】(1)AD⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a+2b )+(-4a-b )+(-5a-3b ) =(1-4-5)a+(2-1-3)b =-8a-2b.(2)因为AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-8a-2b=2(-4a-b )=2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 即AD⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 且|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |, 所以在四边形ABCD 中,AD ∥BC 且AD ≠BC , 即四边形ABCD 为梯形.§9.2 平面向量基本定理及坐标表示一 平面向量基本定理如果e 1,e 2是同一平面内的两个 向量,那么对于这一平面内的任意向量a , 一对实数λ1,λ2,使a=λ1e 1+λ2e 2.其中,不共线的向量e 1,e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组 .二 平面向量的坐标运算1.向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a=(x 1,y 1),b=(x 2,y 2),则a+b= ,a-b= ,λa= ,|a|=√x 12+y 12.2.向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = ,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2.三 平面向量共线的坐标表示设a=(x 1,y 1),b=(x 2,y 2),其中b ≠0.a ∥b ⇔x 1y 2-x 2y 1=0.☞ 左学右考已知向量m=(2,-5),n=(-1,3),则2m-3n 等于( ).A .(1,-1)B .(7,-19)C .(7,-1)D .(1,19)已知向量a=(1,2),b=(-3,2),若ka+b 与b 平行,则k= .在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是边CD 和BC 的中点,若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,其中λ,μ∈R,求λ+μ的值.知识清单一、不共线 有且只有 基底二、1.(x 1+x 2,y 1+y 2) (x 1-x 2,y 1-y 2) (λx 1,λy 1) 2.(2)(x 2-x 1,y 2-y 1) 基础训练1.【解析】原式=2(2,-5)-3(-1,3)=(7,-19). 【答案】B2.【解析】由ka+b 与b 平行,得-3(2k+2)=2(k-3),∴k=0. 【答案】03.【解析】∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ+12μ)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +(12λ+μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+12μ=1,12λ+μ=1,两式相加得λ+μ=43.题型一 平面向量基本定理的应用【例1】(2017山东省滨州市联考)在△ABC 中,M 为边BC 上的任意一点,点N 在线段AM 上,且满足AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,若AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R),则λ+μ的值为( ). A .14B .13C .1D .4【解析】∵AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .又AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +4μAC⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵B ,M ,C 三点共线,∴4λ+4μ=1,∴λ+μ=14.【答案】A【变式训练1】(2017福建莆田一中高一月考)如图,在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O ,E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F.若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则AF⃗⃗⃗⃗⃗ =( ). A .14a+12b B .12a+14bC .23a+13bD .13a+23b【解析】∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12a+12b.∵E 是OD 的中点,∴|DE ||EB |=13,∴|DF|=13|AB|. ∴DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =13×(-12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=16a-16b ,∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a+12b+16a-16b=23a+13b ,故选C .【答案】C题型二 向量坐标的基本运算【例2】已知a=(2,1),b=(1,x ),c=(-1,1).若(a+b )∥(b-c ),且c=ma+nb ,则m+n 等于( ).A .14B .1C .-13D .-12【解析】a+b=(3,1+x ),b-c=(2,x-1).由(a+b )∥(b-c ),得3(x-1)-2(x+1)=0,解得x=5,∴c=ma+nb=(2m+n ,m+5n ),即{2m +n =-1,m +5n =1,解得{m =-23,n =13.【答案】C【变式训练2】(1)(2017河南洛阳模拟)已知点M (5,-6)和向量a=(1,-2),若MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-3a ,则点N 的坐标为( ). A .(2,0)B .(-3,6)C .(6,2)D .(-2,0)(2)(2017海南中学模考)已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-3),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4),则CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ). A .(4,-1)B .(0,9)C .(2,-1)D .(2,9)【解析】(1)MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-3a=-3(1,-2)=(-3,6),设N (x ,y ),则MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-5,y+6)=(-3,6),所以{x -5=-3,y +6=6,解得{x =2,y =0,即N (2,0). (2)因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-3)+(-1,-2)=(0,-5),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4), 所以CD⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4)-(0,-5)=(2,9). 【答案】(1)A (2)D题型三 共线向量的坐标表示【例3】平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),请解答下列问题:(1)若向量a=mb+nc ,求实数m ,n ; (2)若(a+kc )∥(2b-a ),求实数k ;(3)若d 满足(d-c )∥(a+b ),且|d-c|=√5,求d. 【解析】(1)由题意得(3,2)=m (-1,2)+n (4,1), ∴{-m +4n =3,2m +n =2,解得{m =59,n =89.(2)a+kc=(3+4k ,2+k ),2b-a=(-5,2),∵(a+kc )∥(2b-a ), ∴2×(3+4k )-(-5)(2+k )=0, ∴k=-1613.(3)设d=(x ,y ),则d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4). 由题意得{4(x -4)-2(y -1)=0,(x -4)2+(y -1)2=5, 解得{x =3,y =-1或{x =5,y =3.∴d=(3,-1)或d=(5,3).【变式训练3】(1)(2017南昌模拟)已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(k ,12),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,5),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-k ,10),且A ,B ,C 三点共线,则k 的值是( ).A .-23B .43C .12D .13(2)(2017福建石狮市联考)设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ,-1),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-b ,0),a>0,b>0,O 为坐标原点,若A ,B ,C 三点共线,则1a +2b的最小值是( ).A .2B .4C .6D .8【解析】(1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4-k ,-7),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2k ,-2).∵A ,B ,C 三点共线,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,则-2×(4-k )=-7×(-2k ),解得k=-23.(2)由已知条件得AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-1,1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-b-a ,1),若A ,B ,C 三点共线,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,由向量共线定理得(a-1)×1=1×(-b-a ),∴2a+b=1,故1a +2b =(1a +2b )(2a+b )=4+b a +4a b≥4+2√4=8.【答案】(1)A (2)D方法 利用转化和化归的思想解决向量的线性运算问题复杂的向量线性运算是向量运算的难点,比较难以找到问题的突破口,但根据图形建立适当的平面直角坐标系,将线性问题转化成向量的坐标运算,是解决此类问题的常用方法,此方法容易理解且过程简单.【突破训练】(2016年四川卷)在平面内,定点A ,B ,C ,D 满足|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2,动点P ,M满足|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2的最大值是( ).A .434 B .494C .37+6√34D .37+2√334【解析】∵|DA⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |, ∴点A ,B ,C 在以点D 为圆心的圆上.又∵DA⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2, ∴DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 两两夹角相等,均为120°(如图).设圆D 的半径为r ,则DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =r ·r ·cos 120°=-2,∴r=2. ∵PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴M 为PC 的中点. ∵|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,∴点P 在以点A 为圆心,1为半径的圆上.由上知△ABC 是边长为2√3的等边三角形.设AC 的中点为O ,连接DO ,OM ,则B ,D ,O 三点共线,则|BO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AP ⃗⃗⃗⃗⃗ .∴|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|BO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +14|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=9+3×1×cos <BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ >+14=374+3cos <BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ >≤374+3=494,当BO ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向时取等号,即|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2的最大值是494.【答案】B1.(2017福建三明质检)已知向量a=(3,1),b=(x ,-1),若a-b 与b 共线,则x 的值为( ).A .-3B .1C .2D .1或2 【解析】∵a=(3,1),b=(x ,-1),∴a -b=(3-x ,2). 又∵a -b 与b 共线,∴2x=x-3,∴x=-3. 【答案】A2.(2017陕西汉中二模)已知向量a=(-2,0),a-b=(-3,-1),则下列结论正确的是( ).A .a ·b=2B .a ∥bC .|a|=|b|D .b ⊥(a+b )【解析】因为a=(-2,0),a-b=(-3,-1),所以b=(1,1),所以a ·b=-2,|a|=2,|b|=√2,所以选项A,B,C 都不正确.而a+b=(-1,1),则b ·(a+b )=0,故选D .【答案】D3.(2017福建泉州调研)若向量a ,b 不共线,则下列各组向量中,可以作为一组基底的是( ).A .a-2b 与-a+2bB .3a-5b 与6a-10bC .a-2b 与5a+7bD .2a-3b 与12a-34b【解析】不共线的两个向量可以作为一组基底.因为a-2b 与5a+7b 不共线,所以a-2b 与5a+7b 可以作为一组基底. 【答案】C4.(2017山东烟台模拟)已知△ABC 的顶点分别为A (2,1),B (3,2),C (-3,-1),BC 边上的高为AD ,则点D 的坐标为( ).A .(-95,75)B .(92,-75)C .(95,75)D .(-92,-75)【解析】设点D 的坐标为(x ,y ),∵AD 是边BC 上的高,∴AD ⊥BC ,∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .又C ,B ,D 三点共线,∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-2,y-1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-6,-3),BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-3,y-2), ∴{-6(x -2)-3(y -1)=0,-6(y -2)+3(x -3)=0,解得{x =95,y =75,∴点D 的坐标为(95,75).【答案】C5.(2017哈尔滨模拟)如图,在△OAB 中,P 为线段AB 上的一点,OP⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( ).A .x=23,y=13B .x=13,y=23C .x=14,y=34D .x=34,y=14【解析】由题意知OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以x=23,y=13.【答案】A6.(2017宁夏中卫二模)已知向量a=(x ,2),b=(2,1),c=(3,x ),若a ∥b ,则向量a 在向量c 方向上的投影为 .【解析】由a ∥b ,得x×1-2×2=0,解得x=4,所以c=(3,4),a=(4,2),a ·c=12+8=20,所以向量a 在向量c 方向上的投影为20√3+4=4.【答案】47.(2017江西九江模拟)在梯形ABCD 中,AB ∥DC ,且DC=2AB ,三个顶点A (1,2),B (2,1),C (4,2),则点D 的坐标为 .【解析】∵在梯形ABCD 中,DC=2AB ,AB ∥DC ,∴DC⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .设点D 的坐标为(x ,y ),则DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4-x ,2-y ),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1),∴(4-x ,2-y )=2(1,-1),即(4-x ,2-y )=(2,-2),∴{4-x =2,2-y =-2,解得{x =2,y =4,即点D 的坐标为(2,4).【答案】(2,4)8.(2017南京模拟)如图,在△ABC 中,H 为边BC 上异于点B ,C 的点,M 为AH 的中点,若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ= . 【解析】由B ,H ,C 三点共线知,BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k BC ⃗⃗⃗⃗⃗ (k ≠0,1),则AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +k BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +k (AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1-k )AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +k AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(1-k )AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +k 2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .又AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以{λ=12(1-k ),μ=k 2,从而λ+μ=12. 【答案】129.(2017郑州质检)已知A (2,3),B (5,4),C (7,10),点P 在第一、三象限的角平分线上,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R),则λ等于( ).A .-32B .-12C .12D .32【解析】设P (x ,y ),则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-2,y-3). ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3+5λ,1+7λ). ∵AP⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴{x -2=3+5λ,y -3=1+7λ,∴{x =5+5λ,y =4+7λ,由点P 在第一、三象限的角平分线上,得5+5λ=4+7λ,解得λ=12.【答案】C10.(2017黑龙江哈尔滨师大附中三模)已知AB ⊥AC ,AB=AC ,点M 满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-t )AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,若∠BAM=π3,则t 的值为( ). A .√3-√2 B .√2-1 C .√3-12D .√3+12【解析】由题意可得CBAC=√2.因为AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -t AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -t AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以t=|CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |. 由正弦定理得CM AC =sin30°sin105°, 所以t=CM AC ·AC CB =√3-12,故选C .【答案】C11.(2017江西南昌模拟)如图,在正方形ABCD 中,M ,N 分别是BC ,CD 的中点,若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μBN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ的值为( ). A .85B .58C .1D .-1【解析】设正方形的边长为2,以点A 为原点,AB ,AD 分别为x 轴,y 轴,建立平面直角坐标系(如图),则A (0,0),B (2,0),C (2,2),M (2,1),N (1,2),所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1),BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2),所以{2λ-μ=2,λ+2μ=2,解得{λ=65,μ=25,所以λ+μ=85. 【答案】A12.(2017辽宁大连市一模)已知向量OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1),ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,3),OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -n ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (m>0,n>0),若m+n ∈[1,2],则|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是( ).A .[√5,2√5]B .[√5,2√10)C .(√5,√10)D .[√5,2√10]【解析】因为OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3m+n ,m-3n ),所以|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(3m +n )2+(m -3n )2=√10(m 2+n 2).设点P 的坐标为(m ,n ),则|OF⃗⃗⃗⃗⃗ |=√10|OP|.由题意得P (m ,n )为可行域{1≤m +n ≤2,m ,n >0内一点,可行域为一个梯形ABCD (去掉线段BC ,AD )及其内部,其中A (1,0),B (0,1),C (0,2),D (2,0),所以点O 到直线AB 的距离d=√22,所以|OP|≥d=√22,|OP|<|OD|=2,从而|OF|∈[√10×√22,√10×2)=[√5,2√10),故选B .【答案】B13.(2017重庆联考)正三角形ABC 内一点M 满足CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∠MCA=45°,则mn的值为( ).A .√3-1B .√3+1C .√3+12D .√3-12【解析】如图,设正三角形的边长为a ,由CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得{CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =mCA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+nCA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ,⃗ CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =mCA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +nCB⃗⃗⃗⃗⃗ 2. ∵cos 15°=cos(60°-45°)=√2+√64,∴{√22|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |a =ma 2+na 22,√2+√64|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |a =ma 22+na 2,∴m n =√3-12,故选D .【答案】D14.(2017上海模拟)如图,在△ABC 中,BO 为边AC 上的中线,BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =2GO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,设CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =15AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R),则λ的值为 .【解析】因为BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =2GO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .又CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,可设CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,从而AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +m 3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +m 3AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+m 3)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +m 3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .因为AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =15AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以m 3=15,λ=1+m 3=65. 【答案】6515.(2017北京西城区质检)在直角△ABC 中,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,且DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,点P 是线段AD 上任一点,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 .【解析】如图,分别以AB ,AC 所在直线为x 轴,y 轴建立平面直角坐标系,则C (0,3),B (3,0). ∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴D (2,1).又∵点P 是线段AD 上任一点,∴可设P (2y ,y ),0≤y ≤1,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP⃗⃗⃗⃗⃗ =(2y ,y )·(2y ,y-3)=5y 2-3y. ∵0≤y ≤1,∴-920≤5y 2-3y ≤2.∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[-920,2]. 即AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[-920,2]. 【答案】[-920,2]§9.3 平面向量的数量积及应用一 平面向量的数量积已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,则|a||b|cos θ叫作a 和b 的数量积(或内积),记作a ·b=|a||b|cos θ.规定:零向量与任一向量的数量积为 .两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b=0,两个非零向量a与b平行的充要条件是a·b=±|a||b|.二平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积.三平面向量数量积的重要性质1.e·a=a·e=|a|cos θ(e为单位向量).2.非零向量a,b,a⊥b⇔.3.当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.4.a·a=a2,|a|=√a·a.5.cos θ=.6.|a·b|≤|a||b|.四平面向量数量积满足的运算律1.a·b=b·a(交换律);2.(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数)(结合律);3.(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).五 平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a=(x 1,y 1),b=(x 2,y 2),则a ·b= ,由此得到1.若a=(x ,y ),则|a|2= 或|a|=√x 2+y 2. 2.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则A ,B 两点间的距离|AB|=|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2. 3.设两个非零向量a ,b ,a=(x 1,y 1),b=(x 2,y 2),则a ⊥b ⇔ .☞ 左学右考已知向量a 与b 的夹角为3π4,且|a|=√2,|b|=2,则a (2a+b )等于( ).A .-1B .1C .2D .2√2向量a=(3,-4), 向量|b|=2,若a ·b=-5,则向量a ,b 的夹角为( ).A .π3B .π6C .3π4D .2π3设向量a ,b 满足a ·b=-12,且向量a 在向量b 方向上的投影为-4,则|b|等于( ).A .4B .3C .2D .1在△ABC 中,M 是BC 的中点,|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )的值.知识清单 一、0三、2.a ·b=0 5.a ·b|a ||b |五、x 1x 2+y 1y 2 1.x 2+y 23.x 1x 2+y 1y 2=0 基础训练1.【解析】a (2a+b )=2a 2+a ·b=4-2=2. 【答案】C2.【解析】cos <a ,b>=a ·b |a ||b |=-55×2=-12,即向量a ,b 的夹角为2π3.【答案】D3.【解析】设向量a ,b 的夹角为θ,则a ·b=|a|·|b|cos θ=|a|cos θ·|b|=-4|b|=-12,∴|b|=3. 【答案】B4.【解析】如图,因为M 是BC 的中点,所以PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .又AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-4|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=-49|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=-49.题型一 平面向量的数量积的运算【例1】(2017江西省玉山县一中期中)设D 为边长是2的正三角形ABC 所在平面内一点,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是( ).A .143B .-143C .43D .4【解析】∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴点D 在线段BC 的延长线上,且BD=4CD ,则|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=13|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=23,∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4+2×23×12=143. 【答案】A【变式训练1】(1)(2017银川一中高一期末)已知向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b )·a=( ).A .-1B .0C .1D .2(2)(2017长沙模拟)在矩形ABCD 中,AB=2,BC=2√2,E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是 .【解析】(1)∵a=(1,-1),b=(-1,2),∴a 2=2,a ·b=-3.∴(2a+b )·a=2a 2+a ·b=4-3=1.(2)如图,∵AF⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2|DF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2, ∴|DF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,∴|CF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CF ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CF ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1×(-1)+√2×2√2×1=2.【答案】(1)C (2)2题型二 向量的夹角与向量的模【例2】已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b )·(2a+b )=61,则a 与b 的夹角的大小为 ,|a+b|= .【解析】∵(2a-3b )·(2a+b )=61,∴4|a|2-4a ·b-3|b|2=61.又|a|=4,|b|=3,∴64-4a ·b-27=61,∴a ·b=-6.∴cosθ=a ·b |a ||b |=-64×3=-12.又0≤θ≤π,∴θ=2π3.∵|a+b|2=(a+b )2=|a|2+2a ·b+|b|2=42+2×(-6)+32=13,∴|a+b|=√13.【答案】2π3√13。
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2019年高中数学单元测试试题 数列专题（含答案）学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．已知等差数列{}n a 中，247,15a a ==，则前10项的和10S ＝( ) A ．100 B ．210 C ．380 D ．400(2006全国2文)2．已知x ≠y ，且两个数列 与 都是等差数列，则 等于 A. B. C. D.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题3．某人按如下方法做一次旅行(都在同一个平面上)：第一天向东行21千米，第二天向南行22千米，第三天向西行23千米，第四天向北行24千米，第五天再向东行25千米，第六天再向南行26千米，…，如此继续下去，到第四十天结束时，他距第一天出发点的直线距离为 千米．4．已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则通项na ＝★ .5．已知数列1,34,59,716,…的一个通项公式是a n =22n -1n . 6．已知{n a }是公差不为0的等差数列,{n b } 是等比数列,其中1122432,1,,2a b a b a b ====,且存在常数α、β ,使得n a =log n b αβ+对每一个正整数n 都成立,则βα= ▲ ．7．公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是等差数列，则n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和为_____________．8．设等比数列{a n }的公比q = 12，前n 项和为S n ，则 S 4a 4= ____▲_______.9．已知数列{}n a 的前n 项的和为213n S n n =-，则数列{||}n a 的前n 项的和n T = ▲ ． 10．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令12nn S S S T n+++=，称n T 为数列1a ，2a ，……，n a 的“理想数”，已知数列1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为2004，那么数列2， 1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为11．若1+m 和25+m 的等比中项是m 3，则m =________12．数列{}n a 是公差不为零的等差数列，并且5813,,a a a 是等比数列{}n b 的相邻三项，若25b =，则n b =___________；三、解答题13．等差数列{}n a 中12,73213=++=a a a a ，记n S 为{}n a 的前n 项和,令1+=n n n a a b ，数列}1{nb 的前n 项和为n T .(1)求n a 和n S ； (2)求证：n T 31<；(3)是否存在正整数n m ,，且n m <<1，使得n m T T T ,,1成等比数列？若存在，求出n m ,的值，若不存在，说明理由.14．一山高(山顶相对于山脚的垂直高度)1600m ，已知此地每升高(垂直高度)100m ，气温降低0．7℃，某时刻山脚下的气温为26℃，求此时山顶的气温.15．已知等差数列：110，116，122，128，…。
2019年高考文科数学一轮单元卷：第九单元解三角形A卷(含答案)
3，b
2，B
π ，得 sin A
3 ．
4
2
5．【答案】 C
【解析】 试题分析： cosA b2 c2 a2 1
2bc
2
A 60
S 1 bcsin A 2
3 ，故选 C．
6．【答案】 C
【解析】 S 1 b2 c2 a2 4
1 bcsin A，又 b2 c2 a2 2bc cosA ，故 tanA 1，又 A 0,π ， 2
13．【答案】 2
【解析】 由正弦定理得 b sin B
a sin A
3 sin 60o
2．
14．【答案】 2 10
【解析】 试题分析：因为 tanA 2 ，所以 sinA
所以 a
bsin A sin B
5 25 5 2
2
2 10 ．
25 ．由正弦定理，知
5
a sin A
b ，
sin B
15．【答案】 2 2 a 10
所以 A 45 ，选 C．
7．【答案】 A
【解析】 ∵ b 2 ac ，又 A 30 ，由正弦定理化简得：
∴ sin2 B 1 ，则 b sin B
sin C 2
c
8．【答案】 D
sin2 B sin C
1 ，故选 A ． 2
sin2 B sin Asin C
1 sin C ，
2
【解析】 ∵ b2 ac ， B 60 ，由余弦定理可得 b2 a2 c2 2accosB a2 c2 ac ，
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形
4． △ABC的内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ， a 3 ， b 2 ， B π，则 A （
高考数学一轮复习《数列》练习题(含答案)
高考数学一轮复习《数列》练习题（含答案）一、单选题1．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其n 前项和，若4511a a +=，则8S =（ ） A ．36B ．40C ．44D ．472．8，2的等差中项是（ ） A ．±5B ．±4C ．5D ．43．已知等比数列{}n a 中，3464,32a a a ==，则101268a a a a --的值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．164．若2(23n a n tn t =++为常数）*n N ∈，且数列{}n a 为单调递增数列，则实数t 的取值范围为（ ） A ．2t <-B ．2t >-C ．6t <-D ．6t >-5．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．若(8)(1,2,)n a n n n =-=，则（ ） A ．{}n a 有最大项，{}n S 有最大项 B ．{}n a 有最大项，{}n S 有最小项 C ．{}n a 有最小项，{}n S 有最大项D ．{}n a 有最小项，{}n S 有最小项6．数列{}n a 满足：12a =，()111n n a a +-=，n S 是{}n a 的前n 项和，则2021S =（ ） A ．4042 B ．2021 C ．20232D ．202127．在等差数列{}n a 中，若6a ，7a 是方程2320x x ++=的两根，则{}n a 的前12项的和为（ ） A ．6B ．18C ．-18D ．-68．早在3000年前，中华民族的祖先就已经开始用数字来表达这个世界.在《乾坤谱》中，作者对易传“大衍之数五十”进行了一系列推论，用来解释中国传统文化中的太极衍生原理，如图.该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，60，72，…，若记该数列为{}n a ，则20212020a a -=（ ）A ．2018B ．2020C ．2022D ．20249．已知数列{}n a 的前n 项和27n S n n =-，若35<<k a ，则k =（ ） A ．8B ．7C ．6D ．510．等比数列{}n b 的前n 项之积为n T ，若456b b b =，则5T =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．数列{}n a 满足1a m =，2212114,4(2)2,4n n n n n a n a n a a n ---⎧<=≥⎨≥⎩，若{}n a 为等比数列，则m 的取值范围是（ ） A ．(1,9]B ．9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[2,9]D ．[18,)+∞12．在等差数列{}n a 中，满足4737a a =，且10,n a S >，是{}n a 前n 项的和，若n S 取得最大值，则n =（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10二、填空题13．已知数列{}n a 为等差数列，10a <且1231990a a a a ++++=，设()12n n n n b a a a n *++=∈N ，当{}n b 的前n 项和n S 最小时，n 的值组成的集合为______．14．已知数列{}n a 中各项是从1、0、－1这三个整数中取值的数列，n S 为其前n 项和，定义()21n n b a =+，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，若30301,51S T =-=，则数列{}n a 的前30项中0的个数为_______个．15．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且1212222016,log log log n n n a a a a a +⋅=+++=______．16．n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若131n n S a -=⋅+（*n N ∈），则a =______．17．已知数列{}n a 满足11a =，21n nn a a a +=+，数列{}n b 的前n 项和n S ，1n n n a b a +=.若()100S k k Z <∈，则k 的最小值为_______________.三、解答题18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为等差数列，a 1＝12，d ＝－2. （1）求S n ，并画出{S n }(1≤n ≤13)的图象；（2）分别求{S n }单调递增、单调递减的n 的取值范围，并求{S n }的最大(或最小)的项； （3）{S n }有多少项大于零？19．已知等差数列{}n a 满足37a =，616a =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若当2n ≥时，113n n b b a -=，且13b =，求使0n b >的最大正整数n 的值．20．设{}n a 是各项都为正数的单调递增数列，已知19a =，且n a 满足关系式：19n n a a ++=+*n ∈N .（1）求{}n a 的通项公式； （2）若99n n b a n=+，求数列{}n b 的前n 项和n S .21．已知n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，已知1055S =，且2a ，4a ，8a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若nn S b n=，求371141n b b b b -+++⋅⋅⋅+的值.22．已知数列{}n a 满足12n n a a +=+，n *∈N ，且2a ，5a ，14a 构成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12nn n b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S .23．设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为q ，已知d q =，111a b +=，221a b +=，431a b +=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．（3）求数列211n n n n a a a b +++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，0n a >，22=,n n n S a a n N *+∈. （1）求{}n a 的通项公式； （2）记22n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .25．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足*21()n n S a n =-∈N ，数列{}n b 满足*1(1)(1)()n n nb n b n n n N +-+=+∈，且11b =．（1）证明数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若12214(1)(1)(32log )(32log )n n n n n c a a -++=-++，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ；（3）若n n d a ={}n d的前n 项和为n D ，对任意的*n N ∈，都有n n D nS a ≤-，求实数a 的取值范围。
2019年人教版江苏省高三数学一轮复习备考试题：数列(含答案)Word版
高考一轮复习备考试题(附参考答案)数列一、填空题1、（2014年江苏高考）在各项均为正数的等比数列中，若，，则的值是▲2、（2013年江苏高考）在正项等比数列中，，，则满足的最大正整数的值为。
3、（2012年江苏高考）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是▲．4、（2015届江苏南京高三9月调研）记数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 1＝1，S n ＝2(a 1＋a n )(n ≥2，n ∈N *)，则S n ＝▲5、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）已知等比数列的前项和为，且，则数列的公比为▲6、（2015届江苏苏州高三9月调研）已知等比数列的各项均为正数则▲7、（南京市2014届高三第三次模拟）已知数列{a n }满足a n ＝a n －1－a n －2(n ≥3，n ∈N *)，它的前n 项和为S n ．若S 9＝6，S 10＝5，则a 1的值为▲8、（南通市2014届高三第三次调研）设数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列．若，，且，则数列{b n }的公比为▲．9、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1 = 1，S 3 = 6，则S 6 =▲10、（徐州市2014届高三第三次模拟）在等比数列中，已知，．设为该数列的前项和，为数列的前项和．若，则实数的值为▲11、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则a1d 的值为▲二、解答题1、（2014年江苏高考）设数列{}的前n 项和为.若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得，则称{}是“H 数列。
”（1）若数列{}的前n 项和=（n ），证明：{}是“H 数列”；（2）设数列{}是等差数列，其首项=1.公差d0.若{}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{}，总存在两个“H数列”{}和{}，使得=（n）成立。
2019年高考数学(文)一轮复习题 第九单元 数列
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【解析】设塔的顶层灯数为 a1,q=2,由 S= 1 ‒ 2 =381,解得 a1=3. 【答案】B 7.(2015 年全国Ⅱ卷)已知等比数列{an}满足 a1=3,a1+a3+a5=21,则 a3+a5+a7=( ). A.21 B.42 C.63 D.84
【解析】∵a1=3,a1+a3+a5=21,∴3+3q2ྱ 年全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增, 共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座 7 层塔共挂了 381 盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是 上一层灯数的 2 倍,则塔的顶层共有灯( ). A.1 盏 B.3 盏 C.5 盏 D.9 盏
n(n + 1) , 2
������
1
得 a1=1,d=1,所以 an=n,Sn=
所以 ∑ ������ =1 × 2+2 × 3+…+������(������ - 1)+������(������ + 1) k = 1 ������
n
1
2
2
2
2
=2 1-2+2-3+…+������ - 1-������+������-������ + 1 =2 1 ‒ ������ + 1 =������ + 1.
第九单元 数列
考点一 等差数列
1.(2017 年全国Ⅰ卷)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和.若 a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为( ). A.1 B.2 C.4 D.8 2������1 + 7d = 24, ① 6×5 【解析】a4+a5=a1+3d+a1+4d=24,S6=6a1+ 2 ×d=48,联立 6������ + 15d = 48, ② 1 由①×3-②,得(21-15)×d=24,即 6d=24,所以 d=4. 【答案】C 2.(2016 年全国Ⅰ卷)已知等差数列{an}前 9 项的和为 27,a10=8,则 a100=( ). A.100 B.99 C.98 D.97
高三一轮复习-数列(带答案)
个性化辅导授课教案学员姓名 ： 辅导类型（1对1、小班）： 年 级： 辅 导 科 目 ： 学 科 教 师 ： 课 题课 型 □ 预习课 □ 同步课 □ 复习课 □ 习题课 授课日期及时段年 月 日 时间段教 学 内 容数列一、数列的概念及其表示【重点知识梳理】 1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2．数列的分类分类原则类型 满足条件 按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限 按项与项间 的大小关系分类 递增数列 a n ＋1＞a n其中n ∈N *递减数列 a n ＋1＜a n 常数列 a n ＋1＝a n按其他标准分类有界数列存在正数M ，使|a n |≤M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 4．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5．已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1 （n ≥2）.法四 同法二得d ＝－18a 1＜0，又S 5＝S 12，得a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝0， ∴7a 9＝0，∴a 9＝0，∴当n ＝8或9时，S n 有最大值．（2）设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则______10=a规律方法 求等差数列前n 项和的最值，常用的方法： (1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项； (2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)将等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值． 【变式探究】 (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，则当S n 取最大值时，n 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8(2)设数列{a n }是公差d ＜0的等差数列，S n 为前n 项和，若S 6＝5a 1＋10d ，则S n 取最大值时，n 的值为( ) A ．5 B ．6 C ．5或6 D ．11 3.等差数列的判定方法（1）定义法：若d a a d a a n n n n =-=-+-11或（常数+∈N n ）⇔{}n a 是等差数列 （2）等差中项法：数列{}n a 是等差数列⇔)2(211>+=+-n a a a n n n ⇔212+++=n n n a a a （3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中k,b 是常数） （4）数列{}n a 是等差数列⇔Bn An S n +=2（其中A,B 是常数） 4.等差数列的证明方法（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（2）等差中项法：),2(211++-∈≥+=N n n a a a n n n例题：【例2】若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)解 由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝n －1－n 2n （n －1）＝－12n （n －1）.当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．规律方法 证明数列{a n }是等比数列常用的方法：一是定义法，证明a na n －1＝q (n ≥2，q 为常数)；二是等比中项法，证明a 2n ＝a n －1·a n ＋1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．5.等比数列及其前n 项和性质（1）当1≠q 时，①等比数列通项公式n nn n B A q qa q a a ⋅===-111（0≠⋅B A ）是关于n 的带有系数的类指数函数，底数为公比q .②前n 项和()''1111111A B A B A A q qaq a q q a S n n n n n -=⋅-=---=--=，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，公比为q .（2）对任何+∈N n m ,，在等比数列中有m n m n q a a -=.注：当q=1时就得到了等比数列的通项公式，因此这个公式更具有一般性.（3）若q p n m +=+()+∈N q p n m ,,,,则q p n m a a a a ⋅=⋅.特别地，当p n m 2=+时，得2q n m a a a =⋅.注：1121a a a a a a n n n ⋅==⋅=⋅- （4）数列{}{}n n b a ,为等比数列，则数列{}{}{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅⋅⋅⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n n n n n n b a b a k a a k a k ,,,,2（k 为非零常数）均为等比数列. （5）数列{}n a 为等比数列，每个k （+∈N k ）项取出一项（ k m k m k m m a a a a 32,,,+++）仍为等比数列. （6）如果{}n a 是各项均为正的等比数列，则数列{}n a a log 是等差数列.【例题】 (1)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7(2)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________．【解析】(1)法一 由等比中项的性质得a 3a 11＝a 27＝16，又数列{a n }各项为正，所以a 7＝4.所以a 10＝a 7×q 3＝32.所以log 2a 10＝5.规律方法 (1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．【变式探究】 (1)已知x ，y ，z ∈R ，若－1，x ，y ，z ，－3成等比数列，则xyz 的值为( ) A ．－3 B ．±3 C ．－3 3 D ．±3 3(2)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( ) A ．5 2 B ．7 C ．6 D ．4 2（7）若{}n a 为等比数列，则数列 ,,,232m m m m m S S S S S --成等比数列.（8）若{}n a 为等比数列，则数列n a a a ⋅⋅⋅ 21，n n n a a a 221⋅⋅⋅++ ，n n n a a a 32212⋅⋅⋅++ 成等比数列. （9）①当q>1时，{}{}为递减数列则为递增数列则n n a a a a ,0;,011<>. ② 当0<q<1时，{}{}为递增数列则为递减数列则n n a a a a ,0;,011<>. ③当q=1时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列） ④当q<0时，该数列为摆动数列.（10）在等比数列{}n a 中，当项数为2n （+∈N n ）时，qS S 1=偶奇，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。
2019高考数学文一轮复习：数列综合复习(含答案解析)
2019高考数学文一轮复习： 数列综合复习一、选择题：1.已知数列{a n }满足a 1=1，a n ＋1=a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，则a 2 018=( ) A.1 B.0 C.2 018 D.－2 018 2.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2(a n －1)，则a n = ( ) A.2n B.2n －1 C.2nD.2n－1 3.已知数列{a n }满足a 1=1，a n ＋1a n =2n(n ∈N *)，则a 10=( ) A.64 B.32 C.16 D.8 4.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 7＋a 12=24，则S 13=( ) A.52 B.78 C.104 D.208 5.若等差数列{a n }的前5项和S 5=25，且a 2=3，则a 7=( ) A.12 B.13 C.14 D.156.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则“a 6＋a 7>0”是“S 9≥S 3”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充要也不必要条件7.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3=a 4－2，3S 2=a 3－2，则公比q=( ) A.3 B.4 C.5 D.68.在等比数列{a n }中，已知a 3=6，a 3＋a 5＋a 7=78，则a 5=( ) A.12 B.18 C.36 D.249.已知等比数列{a n }的各项都为正数，且a 3，12a 5，a 4成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6的值是( )A.5－12 B.5＋12 C.3－52 D.3＋5210.在递增的等比数列{a n }中，已知a 1＋a n =34，a 3·a n －2=64，且前n 项和S n =42，则n 等于( ) A.3 B.4 C.5 D.6 11.S n =12＋12＋38＋…＋n2n 等于( )A.2n－n 2n B.2n ＋1－n －22n C.2n －n ＋12n ＋1D.2n ＋1－n ＋22n12.数列{a n }的通项公式是a n =1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n 为( )A.120B.99C.11D.121二、填空题:13.已知数列{a n }，{b n }，若b 1=0，a n =1n （n ＋1），当n ≥2时，有b n =b n －1＋a n －1，则b 10=________.14.在等差数列{a n }中，a 3＋a 9=27－a 6，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则S 11=________. 15.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1=－2，S m =0，S m ＋1=3，则正整数m 的值为________. 16.已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4=9，a 2a 3=8，则数列{a n }的前n 项和S n =________. 17.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若27a 3－a 6=0，则S 6S 3=________.18.设函数f(x)=12＋log 2x 1－x ，定义S n =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ，其中n ∈N *，且n ≥2，则S n=________.三、解答题：19.已知数列{a n }中，a 1=1，前n 项和S n =n ＋23a n .(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式.20.已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和S n .21.已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a3·a4=117，a2＋a5=22.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足b n=S nn＋c，是否存在非零实数c使得{b n}为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由.22.已知{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n－a n}为等比数列.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)求数列{b n}的前n项和.23.设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋na n=(n－1)S n＋2n(n∈N*).(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列{S n＋2}是等比数列.24.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且6S n=3n＋1＋a(n∈N*).(1)求a的值及数列{a n}的通项公式；(2)若b n=(1－an)log3(a2n·a n＋1)，求数列{1b n}的前n项和T n.25.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n －2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1a n 的前n 项和T n .26.已知S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0，a 2n ＋2a n =4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n =1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和.参考答案解析1.解析：选B.因为a 1=1，所以a 2=(a 1－1)2=0，a 3=(a 2－1)2=1，a 4=(a 3－1)2=0，…，可知数列{a n }是以2为周期的数列，所以a 2 018=a 2=0.2.解析：选C.当n=1时，a 1=S 1=2(a 1－1)，可得a 1=2，当n ≥2时，a n =S n －S n －1=2a n －2a n －1，所以a n =2a n －1，所以数列{a n }为等比数列，公比为2，首项为2，所以a n =2n. 3.解析：选B.因为a n ＋1a n =2n，所以a n ＋2a n ＋1=2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n=2.又a 1a 2=2，a 1=1，所以a 2=2.法一：a 10a 8·a 8a 6·a 6a 4·a 4a 2=24，即a 10=25=32.法二：数列{a 2n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以a 10=2×24=32. 4.解析：选C.依题意得3a 7=24，a 7=8，S 13=13（a 1＋a 13）2=13a 7=104，选C.5.解析：选B.设{a n }的公差为d ，由S 5=5（a 2＋a 4）2⇒25=5（3＋a 4）2⇒a 4=7，所以7=3＋2d ⇒d=2，所以a 7=a 4＋3d=7＋3×2=13.6.解析：选A.法一：将它们等价转化为a 1和d 的关系式.a 6＋a 7>0⇒a 1＋5d ＋a 1＋6d>0⇒2a 1＋11d>0；S 9≥S 3⇒9a 1＋9×8×d 2≥3a 1＋3×2×d2⇒2a 1＋11d ≥0.法二：a 6＋a 7>0⇒a 1＋a 12>0，S 9≥S 3⇒a 4＋a 5＋…＋a 9≥0⇒3(a 1＋a 12)≥0.7.解析：选B.由题意知，q ≠1，则⎩⎪⎨⎪⎧3a 1（1－q 3）1－q ＝a 1q 3－23a 1（1－q 2）1－q＝a 1q 2－2，两式相减可得－3（q 3－q 2）1－q =q 3－q 2， 即－31－q=1，所以q=4. 8.解析：a 3＋a 5＋a 7=a 3(1＋q 2＋q 4)=6(1＋q 2＋q 4)=78⇒1＋q 2＋q 4=13⇒q 2=3，所以a 5=a 3q 2=6×3=18.故选B. 9.解析：选A.设等比数列{a n }的公比为q ，由a 3，12a 5，a 4成等差数列可得a 5=a 3＋a 4，即a 3q 2=a 3＋a 3q ，故q 2－q －1=0，解得q=1＋52或q=1－52(舍去)，由a 3＋a 5a 4＋a 6=a 3＋a 3q 2a 4＋a 4q 2=a 3（1＋q 2）a 4（1＋q 2）=1q =25＋1=2（5－1）（5＋1）（5－1）=5－12，故选A. 10.解析：选A.因为{a n }为等比数列，所以a 3·a n －2=a 1·a n =64.又a 1＋a n =34，所以a 1，a n 是方程x 2－34x ＋64=0的两根，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，a n ＝2. 又因为{a n }是递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n＝32.由S n =a 1－a n q 1－q =2－32q1－q =42，解得q=4.由a n =a 1qn －1=2×4n －1=32，解得n=3.故选A.11.解析：选B.由S n =12＋222＋323＋…＋n 2n ，①得12S n =122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，②①－②得，12S n =12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1，所以S n =2n ＋1－n －22n. 12.解析：选A.a n =1n ＋n ＋1=n ＋1－n（n ＋1＋n ）（n ＋1－n ）=n ＋1－n ，所以a 1＋a 2＋…＋a n =(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n)=n ＋1－1=10. 即n ＋1=11，所以n ＋1=121，n=120.13.解析：由b n =b n －1＋a n －1得b n －b n －1=a n －1，所以b 2－b 1=a 1，b 3－b 2=a 2，…，b n －b n －1=a n －1，所以b 2－b 1＋b 3－b 2＋…＋b n －b n －1=a 1＋a 2＋…＋a n －1=11×2＋12×3＋…＋1（n －1）×n ，即b n －b 1=a 1＋a 2＋…＋a n －1=11×2＋12×3＋…＋1（n －1）×n =11－12＋12－13＋…＋1n －1－1n=1－1n =n －1n ，又b 1=0，所以b n =n －1n ，所以b 10=910.答案：91014.解析：因为a 3＋a 9=27－a 6，2a 6=a 3＋a 9，所以3a 6=27，所以a 6=9，所以S 11=112(a 1＋a 11)=11a 6=99.答案：9915.解析：因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1=－2，S m =0，S m ＋1=3，所以a m =S m －S m －1=2，a m ＋1=S m ＋1－S m =3，数列的公差d=1，a m ＋a m ＋1=S m ＋1－S m －1=5，即2a 1＋2m －1=5，所以a 1=3－m.由S m =(3－m)m ＋m （m －1）2×1=0，解得正整数m 的值为5.答案：516.解析：设等比数列的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝9，a 21q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12.又{a n }为递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，所以S n =1－2n1－2=2n －1.答案：2n－117.解析：由题可知{a n }为等比数列，设首项为a 1，公比为q ，所以a 3=a 1q 2，a 6=a 1q 5，所以27a 1q 2=a 1q 5，所以q=3，由S n =a 1（1－q n）1－q ，得S 6=a 1（1－36）1－3，S 3=a 1（1－33）1－3，所以S 6S 3=a 1（1－36）1－3·1－3a 1（1－33）=28.答案：28 18.解析：因为f(x)＋f(1－x)=12＋log 2 x 1－x ＋12＋log 2 1－xx=1＋log 21=1，所以2S n =⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋[f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n ]＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n =n －1.所以S n=n －12.答案：n －1219.解：(1)由S 2=43a 2得3(a 1＋a 2)=4a 2，解得a 2=3a 1=3.由S 3=53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)=5a 3，解得a 3=32(a 1＋a 2)=6.(2)由题设知a 1=1.当n ≥2时，有a n =S n －S n －1=n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n =n ＋1n －1a n －1.于是a 1=1，a 2=31a 1，a 3=42a 2，…a n －1=n n －2a n －2，a n =n ＋1n －1a n －1.将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n =n （n ＋1）2.显然，当n=1时也满足上式.综上可知，{a n }的通项公式a n =n （n ＋1）2.20.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2=a 1＋d ，a 3=a 1＋2d.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1（a 1＋d ）（a 1＋2d ）＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.所以由等差数列通项公式可得a n =2－3(n －1)=－3n ＋5或a n =－4＋3(n －1)=3n －7.故a n =－3n ＋5或a n =3n －7.(2)当a n =－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4，2，不成等比数列； 当a n =3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1，2，－4，成等比数列，满足条件.故|a n |=|3n －7|=⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3.记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n=1时，S 1=|a 1|=4；当n=2时，S 2=|a 1|＋|a 2|=5；当n ≥3时，S n =S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |=5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7) =5＋（n －2）[2＋（3n －7）]2=32n 2－112n ＋10.当n=2时，满足此式，当n=1时，不满足此式.综上，S n =⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n ≥2.21.解：(1)因为数列{a n }为等差数列，所以a 3＋a 4=a 2＋a 5=22.又a 3·a 4=117，所以a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117=0的两实根，又公差d>0，所以a 3<a 4，所以a 3=9，a 4=13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4.所以数列{a n }的通项公式为a n =4n －3.(2)由(1)知a 1=1，d=4，所以S n =na 1＋n （n －1）2×d=2n 2－n ，所以b n =S n n ＋c =2n 2－n n ＋c ，所以b 1=11＋c ，b 2=62＋c ，b 3=153＋c，其中c ≠0.因为数列{b n }是等差数列，所以2b 2=b 1＋b 3，即62＋c ×2=11＋c ＋153＋c ，所以2c 2＋c=0，所以c=－12或c=0(舍去)，故c=－12.即存在一个非零实数c=－12，使数列{b n }为等差数列.22.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得d=a 4－a 13=12－33=3，所以a n =a 1＋(n －1)d=3n(n=1，2，…).设等比数列{b n －a n }的公比为q ，由题意得q 3=b 4－a 4b 1－a 1=20－124－3=8，解得q=2.所以b n －a n =(b 1－a 1)q n －1=2n －1.从而b n =3n ＋2n －1(n=1，2，…).(2)由(1)知b n =3n ＋2n －1(n=1，2，…).数列{3n}的前n 项和为32n(n ＋1)，数列{2n －1}的前n 项和为1－2n1－2=2n －1.所以，数列{b n }的前n 项和为32n(n ＋1)＋2n－1.23.解：(1)因为a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n =(n －1)S n ＋2n(n ∈N *)，所以当n=1时，a 1=2×1=2； 当n=2时，a 1＋2a 2=(a 1＋a 2)＋4，所以a 2=4；当n=3时，a 1＋2a 2＋3a 3=2(a 1＋a 2＋a 3)＋6，所以a 3=8.综上，a 2=4，a 3=8.(2)证明：因为a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n =(n －1)S n ＋2n(n ∈N *).①所以当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1=(n －2)S n －1＋2(n －1).②①－②，得na n =(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2=n(S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2=na n －S n ＋2S n －1＋2. 所以－S n ＋2S n －1＋2=0，即S n =2S n －1＋2，所以S n ＋2=2(S n －1＋2). 因为S 1＋2=4≠0，所以S n －1＋2≠0，所以S n ＋2S n －1＋2=2，故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列.24.解：(1)因为6S n =3n ＋1＋a(n ∈N *)，所以当n=1时，6S 1=6a 1=9＋a ，当n ≥2时，6a n =6(S n －S n －1)=2×3n ，即a n =3n －1，所以{a n }是等比数列，所以a 1=1，则9＋a=6，得a=－3，所以数列{a n }的通项公式为a n =3n －1(n ∈N *).(2)由(1)得b n =(1－an)log 3(a 2n ·a n ＋1)=(3n －2)(3n ＋1)， 所以T n =1b 1＋1b 2＋…＋1b n =11×4＋14×7＋…＋1（3n －2）（3n ＋1）=13(1－14＋14－17＋…＋13n －2－13n ＋1)=n3n ＋1. 25.解：(1)当n=1时，a 1=2.当n ≥2时，S n －1=2a n －1－2， 所以a n =S n －S n －1=2a n －2－(2a n －1－2)，即a n a n －1=2(n ≥2，n ∈N *)， 所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n =2n(n ∈N *). (2)令b n =n ＋1a n =n ＋12n ，则T n =221＋322＋423＋…＋n ＋12n ，①①×12，得12T n =222＋323＋424＋…＋n 2n ＋n ＋12n ＋1，②①－②，得12T n =32－n ＋32n ＋1，整理得T n =3－n ＋32n .26.解：(1)由a 2n ＋2a n =4S n ＋3，①可知a 2n ＋1＋2a n ＋1=4S n ＋1＋3.② ②－①，得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )=4a n ＋1，即2(a n ＋1＋a n )=a 2n ＋1－a 2n =(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n ).由a n >0，得a n ＋1－a n =2.又a 21＋2a 1=4a 1＋3，解得a 1=－1(舍去)或a 1=3. 所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n =2n ＋1. (2)由a n =2n ＋1可知b n =1a n a n ＋1=1（2n ＋1）（2n ＋3）=12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n =b 1＋b 2＋…＋b n =12[⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3]=n 3（2n ＋3）.。
2019年高考数学一轮复习 第九单元 解三角形单元B卷 文
推荐下载第九单元 解三角形注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在ABC △中，下列等式总能成立的是（ ）． A ．cos cos a C c A = B ．sin sin b C c A = C ．sin sin a C c A =D ．sin sin ab C bc B =2．在ABC △中，“21sin =A ”是“30A =︒”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．在ABC △中，若60A =︒，3=BC ，2=AC ，则角B 的大小为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．135︒D ．45︒或135︒4．在ABC △中，3BC =，4CA =，且BC CA ⋅=-ABC △的面积是（ ） A ．6B．C ．3D5．在ABC △中，π3A =，3BC =，则ABC △的周长为（ ）A．π33B ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ B．π36B ⎛⎫++ ⎪⎝⎭C ．π6sin 33B ⎛⎫++ ⎪⎝⎭D ．π6sin 36B ⎛⎫++ ⎪⎝⎭6．在ABC △中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，S 为三角形的面积，已知22()S a b c =--，则cos A =（ ） A ．817B ．1517C ．1315D ．13177．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的持续时间为（ ）A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时8．在ABC △中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（ ）A ．π(0,]6B ．π[,π)6C ．π(0,]3D ．π[,π)39．在ABC △中，满足22(cos cos )()cos a b B c C b c A -=-，则ABC △是（ ）． A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰或直角三角形10．某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为113，111，15，则此人（ ） A ．不能做出这样的三角形B ．能做出一个锐角三角形C ．能做出一个直角三角形D ．能做出一个钝角三角形11．已知锐角A 是ABC △的一个内角，a ，b ，c 是三边，若221sin cos 2A A -=，则有（ ） A ．2b c a +>B ．2b c a +<C ．2b c a +≤D ．2b c a +≥12．在ABC △中，cos cos )4cos cos B B C C B C --=，且4=+AC AB ，则BC 的取值范围为（ ） A ．()4,2 B ．(]4,2 C ．[)4,2 D ．[]4,2二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．已知x 中，若120C =︒，则222sin sin sin sin sin C B A BA--= ．14．设12+a ，a ，12-a 为钝角三角形的三边，那么a 的取值范围是 ．15．在ABC △中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，且满足cos 2A ，3AB AC ⋅=，6b c +=，则a = ．16．在ABC △中，已知A B C >>且2A C =，A ，B ，C 所对的边为a 、b 、c ，又a 、b 、c 成等差数列且4b =，则a c -= ．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）推荐下载，21ABBC ⋅=-（1）求ABC △的面积； （2）若7a =，求角C ．B 点北偏西30︒的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西30︒且与B 点相距20海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为710海里/小时，该求援船到达D 点需要多长时间？19．(12分)在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，推荐下载且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =-+- （1）求角A 的大小； （2）若3sin sin =+C B ，试判断ABC △的形状．20．(12分)在ABC △中，设内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c，向量14⎫=⎪⎪⎝⎭m ，(cos ,sin )A A =-n，+m n ． （1）判定ABC △的形状；（2）若2b =，a ，求ABC △的外接圆与内切圆的面积比．推荐下载21．(12分)在ABC △中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，且ac a b C 53cos +=． （1）求A sin ，（2）若28=a ，10=b ，求BA 在BC 上的投影．22．(12分)在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E 正北55海里处有一个雷达观测站A ．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45︒且与点A相距置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45θ︒+（其中sin θ=，090θ︒<<︒）且与点A 相距其中C ．（1）求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；（2）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明由．推荐下载教育单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（B ）第九单元 解三角形一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】C 【解析】由正弦定理CcA a sin sin =可得sin sin a C c A =，故选C ． 2．【答案】B 【解析】由1sin 2A =，且A 为ABC △为三角形的内角，∴30A =︒或150A =︒，故选B ． 3．【答案】B【解析】由正弦定理得sin sin AC A B BC ⋅==AC BC <，∴B A <，即60B <︒， ∴45B =︒，故选B ． 4．【答案】C【解析】设ACB θ∠=，∵cos(π)34cosBC CA BC CA θθ⋅=⋅-=-⨯=-cos θ=， ∵0πθ<<，∴1sin 2θ=，∴111sin 343222ABC S BC CA θ=⋅=⨯⨯⨯=△，故选C ． 5．【答案】D【解析】用特例法取90B ︒＝验证即可；或由正弦定理3ππ2πsin sin sin sin 333a b cB B++=⎛⎫++- ⎪⎝⎭，可求得2π1sin sin 3sin sin 32a b c B B B B B ⎤⎫⎛⎫++=+-=+++⎪⎥ ⎪⎪⎝⎭⎦⎭ 3π3sin 6sin 326B B B ⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，故选D ． 6．【答案】B【解析】22222()2S a b c a b c bc =--=--+，又1sin 2S bc A =，∴2221sin 22bc A a b c bc =--+，由余弦定理知，2222cos b c a bc A +-=， ∴1sin 22cos 2bc A bc bc A =-，即sin 4(1cos )A A =-，∴217cos 32cos 150A A -+=， 解得15cos 17A =或cos 1A =（舍去），故选B ．7．【答案】B【解析】设t 小时后，B 城市处于危险区内，则有余弦定理得：222(20)4022040cos4530t t +-⨯⨯︒≤．化简得：072842≤+-t t，∴2221=+t t ，4721=⋅t t ，从而121t t -， 故选B ． 8．【答案】C【解析】∵222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，∴由正弦定理得，222a b c bc ≤+-，即222b c a bc +-≥，∴222122b c a bc +-≥，即1cos 2A ≥，∵A 是三角形的内角，∴π03A <≤，故选C ．9．【答案】D【解析】由余弦定理得22222222222()()()()222ab a c b ac a b c b c b c a ac ab bc+-+--+--=， ∴22222222222()()()()b a c b c a b c b c b c a c b bc+-+--+--=，整理得222a c b =+或c b =，故选D ． 10．【答案】D【解析】假设能做出ABC △，设ABC △的面积为S ，则三条高113，111，15对应的边分别为26a S =，22b S =，10c S =，由余弦定理得，222222(22)(10)(26)23cos 022*******b c a S S S A bc S S +-+-===-<⨯⨯，∴A ∠为钝角，故选D ．11．【答案】C【解析】∵221sin cos 2A A -=，∴1cos22A =-，又A 为锐角，∴π3A =，∴1cos 2A =， 由余弦定理，得222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，∴222222222244442336()3()()a b c bc b c bc b c bc b c b c b c =+-=++++-=++-≥+， 即2a b c ≥+，故选C ． 12．【答案】C 【解析】)cos cos 4cos cos B BC C B C --=3sin sin cos cos sin)cos cos 4coscos B C B C B C B C B C ⇔++=)3cos()sin B C B C A A ⇔+=-+⇔=，∴3tan =A ，60A =︒，∴22222cos ()3163BC AB AC AB AC A AB AC AB AC AB AC =+-⋅=+-⋅=-⋅， ∵202AB AC AB AC +⎛⎫<⋅≤ ⎪⎝⎭，∴40≤⋅<AC AB ，∴1642<≤BC ，42<≤BC ，故选C ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】1【解析】∵120C =︒，∴222222cos c a b ab C a b ab =+-=++，推荐下载∴222222sin sin sin sin 1sin C B A B c b ab A a ----==．14．【答案】(2,8)【解析】∵210a ->，∴12a >，∴最大边为21a +，∴21a +对的角为钝角， ∴222(21)(21)02(21)a a a a a-+-+<-，解得80<<a ．又∵2121a a a -+>+，∴2a >， ∴28a <<． 15．【答案】【解析】∵cos 2A =，∴223cos 2cos 12125A A =-=⨯-=⎝⎭，∵3AB AC ⋅=， ∴cos 3bc A =，则5bc =，又6b c +=，∴15b c =⎧⎨=⎩或51b c =⎧⎨=⎩，故2222cos a b c bc A =+-325125205=+-⨯⨯=，∴a ==16．【答案】85【解析】由sin sin a c A C =且2A C =得，2sin cos sin a c C C C =，∴cos 2a C c=，又222cos 2a b c C ab +-=，∴22222a a b c c ab +-=，又28a c b +==，解得4a c ==，或245a =，165c =，∵A B C >>，∴a c >， 故24168555a c -=-=．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）14；（2）45︒．【解析】（1）∵21AB BC ⋅=-，21BA BC ⋅=，cos BA BC BA BC B ⋅=⋅⋅∴35ac =，∵ABCS = （2）∵35ac =，7a =，∴5c =，由余弦定理得，2222cos 32b ac ac B =+-=，∵c b <且B 为锐角，∴C 一定是锐角，∴45C =︒． 18．【答案】1小时．【解析】由题意知45DAB ∠=︒，60DBA ∠=︒，∴75ADB ∠=︒． 在ADB △中，有sin 45sin75BD AB =︒︒，∴sin 4510sin75ABBD ︒==︒，又120CBD ∠=︒，∴100CD == 因为求援船的航行速度为710海里/小时，所以求援船到达D 点需要1小时．19．【答案】）（1）60︒；（2）正三角形．【解析】（1）因为2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =-+-，由正弦定理得c b c b c b a )2()2(22-+-=，即222a c b bc -+=，∴212cos 222=-+=bc a c b A ，∴60A =︒． （2）∵180A B C ++=︒，∴180120B C A +=︒-=︒． 由3sin sin =+C B ，得sin sin(120)B B +︒-∴3sin 120cos cos 120sin sin =-+B B B，∴3cos 23sin 23=+B B ，∴1cos 21sin 23=+B B ，即sin(30)1B +︒=，∵120B C +=︒，∴0120B ︒<<︒， ∴3030150B ︒<+︒<︒，∴3090B +︒=︒，∴60B =︒，∴60A B C ===︒， 所以ABC △为正三角形．20．【答案】（1）直角三角形；（2）3+【解析】（1）∵1cos ,sin 4A A⎫+=+-⎪⎪⎝⎭m n且+=m n ，∴2213cos sin 44A A ⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即223113cos sin sin161624A A A A ++-+=11sin 22A A -=-， 即π1cos 62A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∵A 为ABC △的内角，∴π2A =，故ABC △为直角三角形．（2）由（1）知222b c a +=，又2b =，a ，∴2c =，a =∴ABC△外圆的半径12R a ==22b c ar +-==∴面积比为223)22(2222+=-=r R ． 21．【答案】（1）45；（2． 【解析】（1）∵3cos 5b c C a a =+，∴3cos 5a Cbc =+，由正弦定理得3sin cos sin sin 5A C B C =+，∴3sin cos sin()sin 5A C A C C =++，即3sin cos sin cos cos sin sin 5A C A C A C C =++，∴3cos sin sin 05A C C +=，∵(0,π)C ∈，sin 0C >，∴3cos 5A =-，∴4sin 5A =．（2）由正弦定理得Bb A a sin sin =，∴410sin sin b A B a ⨯===推荐下载∵ac a b C 53cos +=，由余弦定理得222325a b c b cab a a +-=+，把28=a ，10=b 代入，解得2=c ．所以BA 在BC 上的投影为cos cos BA B c B = 22．【答案】（1）(海里/小时)；（2）会，见解析．【解析】（1）如图，240=AB ，1310=AC ，其中BAC θ∠=，2626sin =θ， 由于090θ︒<<︒，所以cos θ=， 由余弦定理得BC ==， 3=海里/小时)． （2）如图所示，设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q ，在ABC △中，由余弦定理得， 222222cos 2AB BC AC ABC AB BC +-∠=⋅，从而sin ABC ∠=， 在ABQ △中，由正弦定理得：sin sin 45AB ABC AQ ABC ∠=︒-∠（）， 由于5540AE AQ =>=，所以点Q 位于点A 和点E 之间，且15QE AE AQ =-=． 过点E 作BC EP ⊥于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离．在Rt QPE △中，所以若该船不改变航行方向继续行驶，船会进入警戒水域．。
2019年高三一轮测试(文)3数列(通用版)
2019年高三一轮测试（文）数 列—————————————————————————————————————【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟．题目要求的)1．设数列{a n }的通项公式a n ＝f (n )是一个函数，则它的定义域是( )A ．非负整数B ．N *的子集 C ．N * D ．N *或{1,2,3，…，n }2．在数列{a n }中，a 1＝3，且对于任意大于1的正整数n ，点(a n ，a n －1)在直线x －y －6＝0上，则a 3－a 5＋a 7的值为( )A ．27B ．6C ．81D ．93．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 2a 1等于( )A ．1B ．2C ．3D ．44．记数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n (n －1)，则该数列是( )A ．公比为2的等比数列B ．公比为12的等比数列C ．公差为2的等差数列D ．公差为4的等差数列5．据科学计算，运载“神七”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程增加2 km ，在到达离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是( )A ．10秒钟B ．13秒钟C ．15秒钟D ．20秒钟6．数列{a n }的前n 项和S n ＝3n－c ，则“c ＝1”是“数列{a n }为等比数列”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件7．设等差数列{a n }的公差d 不为0，a 1＝9d .若a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则k ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．88．在数列{a n }中，a 1＝－2，a n ＋1＝1＋a n1－a n，则a 2 010＝( )A ．－2B ．－13C ．－12D ．39．在函数y ＝f (x )的图象上有点列{x n ，y n }，若数列{x n }是等差数列，数列{y n }是等比数列，则函数y ＝f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝2x ＋1B ．f (x )＝4x 2C ．f (x )＝log 3xD ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫34x10．若数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋22n －7(n ∈N *)，{a n }的最大项为第x 项，最小项为第y 项，则x＋y 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．811．在等差数列{a n }中，a 11a 10＜－1，若它的前n 项和S n 有最大值，则下列各数中是S n 的最小正数的是( )A ．S 17B ．S 18C ．S 19D ．S 2012．已知等比数列{a n }的各项均为不等于1的正数，数列{b n }满足b n ＝lg a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }前n 项和的最大值等于( )A ．126B ．130C ．132D ．13413．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 14．设数列{a n }的通项为a n ＝2n －7(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________.15．若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为“调和数列”．已知数列{1x n }为“调和数列”，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 3x 18的最大值是________．16．已知S n 是公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和，且S 6＞S 7＞S 5，则下列四个命题：①d ＜0；②S 11＞0；③S 12＜0；④S 13＞0中真命题的序号为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知等差数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝21. (1)求{a n }的通项公式；(2)令b n ＝2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .18．(本小题满分12分)已知数列{a n }，a n ∈N *，前n 项和S n ＝18(a a ＋2)2.(1)求证：{a n }是等差数列；(2)若b n ＝12a n －30，求数列{b n }的前n 项和的最小值．19.(本小题满分12分)某市2008年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市流感病毒新感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日为止，该市在这30日内该病毒新感染者共有8 670人，问11月几日，该市新感染此病毒的人数最多？并求这一天的新感染人数．20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知三个点列{A n }、{B n }、{C n }，其中A n (n ，a n )、B n (n ，b n )、C n (n －1,0)满足：向量A n A n ＋1与共线，且点列{B n }在方向向量为(1,6)的直线上，a 1＝a ，b 1＝－a .(1)试用a 与n 表示a n (n ≥2)；(2)若a 6与a 7两项中至少有一项是a n 的最小值，试求a 的取值范围． 21.(本小题满分12分)已知数列{a n }，a 1＝1，a n ＝λa n －1＋λ－2(n ≥2)．(1)当λ为何值时，数列{a n }可以构成公差不为零的等差数列？并求其通项公式；(2)若λ＝3，令b n ＝a n ＋12，求数列{b n }的前n 项和S n .22．(本小题满分12分)已知单调递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1＜0恒成立，试求m 的取值范围．答案： 一、选择题 1．D2．A 由题意得a n －a n －1－6＝0，即a n －a n －1＝6，得数列{a n }是等差数列，且首项a 1＝3，公差d ＝6，而a 3－a 5＋a 7＝a 7－2d ＝a 5＝a 1＋4d ＝3＋4×6＝27.3．C 由S 1，S 2，S 4成等比数列， ∴(2a 1＋d )2＝a 1(4a 1＋6d )． ∵d ≠0，∴d ＝2a 1. ∴a 2a 1＝a 1＋d a 1＝3a 1a 1＝3. 4．D 由条件可得n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n (n －1)－2(n －1)(n －2)＝4(n －1)， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝0， 代入适合，故a n ＝4(n －1)，故数列{a n }表示公差为4的等差数列．5．C 设每一秒钟通过的路程依次为a 1，a 2，a 3，…，a n ，则数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝2的等差数列，由求和公式有na 1＋n (n －1)d2＝240，即2n ＋n (n －1)＝240， 解得n ＝15，故选C.6．C 数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －c ，且c ＝1，则a n ＝2×3n －1(n ≥1)，从而可知c ＝1是数列{a n }为等比数列的充要条件，故选C 项．7．B 因为a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则a 2k ＝a 1a 2k ，[9d ＋(k －1)d ]2＝9d ·[9d ＋(2k －1)d ]， 又d ≠0，则k 2－2k －8＝0，k ＝4或k ＝－2(舍去)． 8．B 由条件可得：a 1＝－2，a 2＝－13，a 3＝12，a 4＝3，a 5＝－2，…，即{a n }是以4为周期的周期数列，所以a 2 010＝a 2＝－13，故选B.9．D 结合选项，对于函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫34x 上的点列{x n ，y n }，有y n ＝⎝⎛⎭⎫34x n .由于{x n }是等差数列，所以x n ＋1－x n ＝d ，因此y n ＋1y n＝⎝⎛⎭⎫34x n ＋1⎝⎛⎭⎫34x n ＝⎝⎛⎭⎫34xn ＋1－x n＝⎝⎛⎭⎫34d ，这是一个与n 无关的常数，故{y n }是等比数列． 10．C 由函数f (n )＝1＋22n －7(n ∈N *)的单调性知，a 1＞a 2＞a 3，且a 4＞a 5＞a 6＞…＞0，又a 1＝35，a 2＝13，a 3＝－1，a 4＝3，故a 3为最小项，a 4为最大项，x ＋y 的值为7. 11．C ∵等差数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，∴a 1＞0，且d ＜0，由a 11a 10＜－1得a 10＞0，a 11＜－a 10，即a 10＋a 11＜0，∴S 20＝10(a 1＋a 20)＜0， S 19＝19a 10＞0，又由题意知当n ≥11时， a n ＜0，∴n ≥11时，S n 递减，故S 19是最小的正数． 12．C 由题意可知， lg a 3＝b 3，lg a 6＝b 6.又∵b 3＝18，b 6＝12，则a 1q 2＝1018，a 1q 5＝1012，∴q 3＝10－6.即q ＝10－2，∴a 1＝1022. 又∵{a n }为正项等比数列， ∴{b n }为等差数列， 且d ＝－2，b 1＝22.故b n ＝22＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋24.∴S n ＝22n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋23n ＝－⎝⎛⎭⎫n －2322＋5294.又∵n ∈N *，故n ＝11或12时，(S n )max ＝132. 二、填空题 13．【解析】 设等比数列的公比为q ，则由S 6＝4S 3知q ≠1，∴S 6＝1－q 61－q ＝4(1－q 3)1－q .∴q 3＝3.∴a 1q 3＝3. 【答案】 3 14．【解析】 |a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＋…＋23＝153. 【答案】 15315．【解析】 因为数列{1x n}为“调和数列”，所以x n ＋1－x n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，即数列{x n }为等差数列，由x 1＋x 2＋…＋x 20＝200得20(x 1＋x 20)2＝20(x 3＋x 18)2＝200，即x 3＋x 18＝20，易知x 3、x 18都为正数时，x 3x 18取得最大值，所以x 3x 18≤(x 3＋x 182)2＝100，即x 3x 18的最大值为100.【答案】 100 16．【解析】 解答本题要灵活应用等差数列性质．由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧S 6＞S 7⇒S 6＞S 6＋a 7⇒a 7＜0S 7＞S 5⇒S 5＋a 6＋a 7＞S 5⇒a 6＋a 7＞0，S 6＞S 5⇒S 5＋a 6＞S 5⇒a 6＞0即a 6＞0，a 7＜0，a 6＋a 7＞0， 因此d ＜0，①正确； S 11＝11a 6＞0②正确；S 12＝12(a 1＋a 12)2＝12(a 6＋a 7)2＞0，故③错误；S 13＝12(a 1＋a 13)2＝12a 7＜0，故④错误，故真命题的序号是①②. 【答案】 ①② 三、解答题 17．【解析】 (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋d ＝9a 1＋4d ＝21， 解得a 1＝5，d ＝4，∴{a n }的通项公式为a n ＝4n ＋1. (2)由a n ＝4n ＋1得b n ＝24n ＋1，∴{b n }是首项为b 1＝25，公比q ＝24的等比数列．∴S n ＝25(24n －1)24－1＝32×(24n －1)15.18．【解析】 (1)证明：∵a n ＋1 ＝S n ＋1－S n ＝18(a n ＋1＋2)2－18(a n ＋2)2， ∴8a n ＋1＝(a n ＋1＋2)2－(a n ＋2)2，∴(a n ＋1－2)2－(a n ＋2)2＝0，(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －4)＝0. ∵a n ∈N *，∴a n ＋1＋a n ≠0， ∴a n ＋1－a n －4＝0.即a n ＋1－a n ＝4，∴数列{a n }是等差数列．(2)由(1)知a 1＝S 1＝18(a 1＋2)，解得a 1＝2.∴a n ＝4n －2，b n ＝12a n －30＝2n －31，由⎩⎪⎨⎪⎧2n －31≤02(n ＋1)－31≥0得 292≤n ＜312.∵n ∈N *，∴n ＝15， ∴{a n }前15项为负值，以后各项均 为正值． ∴S 5最小．又b 1＝－29，∴S 15＝15(－29＋2×15－31)2＝－22519．【解析】 设第n 天新感染人数最多，则从第n ＋1天起该市医疗部门采取措施，于是，前n 天流感病毒新感染者的人数，构成一个首项为20，公差为50的等差数列，其前n 项和S n ＝20n ＋n (n －1)2×50＝25n 2－5n (1≤n ＜30，n ∈N )，而后30－n 天的流感病毒新感染者的人数，构成一个首项为20＋(n －1)×50－30＝50n －60，公差为－30，项数为30－n 的等差数列，其前30－n 项的和T 30－n ＝(30－n )(50n －60)＋(30－n )(29－n )2×(－30)＝－65n 2＋2 445n －14 850，依题设构建方程有，S n ＋T 30－n ＝8 670，∴25n 2－5n＋(－65n 2＋2 445n －14 850)＝8 670，化简得n 2－61n ＋588＝0，∴n ＝12或n ＝49(舍去)，第12天的新感染人数为20＋(12－1)·50＝570人．故11月12日，该市新感染此病毒的人数最多，新感染人数为570人．20．【解析】 (1)A n A n ＋1 ＝(1，a n ＋1－a n )， ＝(－1，－b n )．因为向量A n A n ＋1与向量共线， 则a n ＋1－a n －b n ＝1－1，即a n ＋1－a n ＝b n .又{B n }在方向向量为(1,6)的直线上， 有b n ＋1－b n n ＋1－n＝6， 即b n ＋1－b n ＝6.所以b n ＝－a ＋6(n －1)，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝a 1＋b 1＋b 2＋…＋b n －1＝a ＋3(n －1)(n －2)－a (n －1) ＝3n 2－(9＋a )n ＋6＋2a (n ≥2)．(2)二次函数f (x )＝3x 2－(9＋a )x ＋6＋2a 的图象是开口向上，对称轴为x ＝a ＋96拋物线．又∵在a 6与a 7两项中至少有一项是a n 的最小值，故对称轴x ＝a ＋96在⎝⎛⎭⎫112，152内，即112＜a ＋96＜152， ∴24＜a ＜36. 21．【解析】 (1)a 2＝λa 1＋λ－2＝2λ－2， a 3＝λa 2＋λ－2＝2λ2－2λ＋λ－2＝2λ2－λ－2， ∵a 1＋a 3＝2a 2，∴1＋2λ2－λ－2＝2(2λ－2)， 得2λ2－5λ＋3＝0，解得λ＝1或λ＝32.当λ＝32时，a 2＝2×32－2＝1，a 1＝a 2，故λ＝32不合题意舍去；当λ＝1时，代入a n ＝λa n －1＋λ－2可得a n －a n －1＝－1， ∴数列{a n }构成首项为a 1＝1，公差为－1的等差数列， ∴a n ＝－n ＋2.(2)由λ＝3可得，a n ＝3a n －1＋3－2，即a n ＝3a n －1＋1.∴a n ＋12＝3a n －1＋32，∴a n ＋12＝3⎝⎛⎭⎫a n －1＋12，即b n ＝3b n －1(n ≥2)，又b 1＝a 1＋12＝32，∴数列{b n }构成首项为b 1＝32，公比为3的等比数列，∴b n ＝32×3n －1＝3n2，∴S n ＝32(1－3n )1－3＝34(3n －1)． 22．【解析】 (1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4， 代入a 2＋a 3＋a 4＝28， 得a 3＝8.∴a 2＋a 4＝20.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 3＝a 1q 2＝8， 解之得⎩⎨⎧q ＝2a 1＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32.又{a n }单调递增，∴q ＝2，a 1＝2，∴a n ＝2n ，(2)b n ＝2n ·log 122n ＝－n ·2n ，∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ①－2S n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)2n ＋n ·2n ＋1②①－②得，S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1由S n ＋(n ＋m )a n ＋1＜0，即2n ＋1－2－n ·2n ＋1＋n ·2n ＋1＋m ·2n ＋1＜0对任意正整数n 恒成立，∴m ·2n ＋1＜2－2n ＋1. 对任意正整数n ，m ＜12n －1恒成立．∵12n －1＞－1，∴m ≤－1. 即m 的取值范围是(－∞，－1]．。
2019年高考文数——数列(解答)
2019年高考文数——数列1.(19全国一文18．（12分）)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=-a 5． （1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．2.(19全国二文18．（12分）)已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和．3.(19北京文（16）（本小题13分）)设{a n }是等差数列，a 1=–10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值．4.(19天津文（18）（本小题满分13分）)设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0，已知1123323,,43a b b a b a ====+.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足21n n n c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数,，为偶数.求*112222()n n a c a c a c n +++∈N L .参考答案：1．解：（1）设{}n a 的公差为d ．由95S a =-得140a d +=． 由a 3=4得124a d +=． 于是18,2a d ==-．因此{}n a 的通项公式为102n a n =-．（2）由（1）得14a d =-，故(9)(5),2n n n n d a n d S -=-=. 由10a >知0d <，故n n S a …等价于211100n n -+…，解得1≤n ≤10． 所以n 的取值范围是{|110,}n n n ∈N 剟．2．解：（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得22416q q =+，即2280q q --=． 解得2q =-（舍去）或q =4．因此{}n a 的通项公式为121242n n n a --=⨯=．（2）由（1）得2(21)log 221n b n n =-=-，因此数列{}n b 的前n 项和为21321n n +++-=L ．3.解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ．因为110a =-， 所以23410,102,103a d a d a d =-+=-+=-+． 因为23410,8,6a a a +++成等比数列，所以()()()23248106a a a +=++． 所以2(22)(43)d d d -+=-+．解得2d =．所以1(1) 212n a a n d n =+-=-．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，212n a n =-．所以，当7n ≥时，0n a >；当6n ≤时，0n a ≤．所以，n S 的最小值为630S =-．4.（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .依题意，得2332,3154,q d q d =+⎧⎨=+⎩解得3,3,d q =⎧⎨=⎩故133(1)3,333n nn n a n n b -=+-==⨯=.所以，{}n a 的通项公式为3n a n =，{}n b 的通项公式为3nn b =. （Ⅱ）解：112222n n a c a c a c +++L()()135212142632n n n a a a a a b a b a b a b -=+++++++++L L 123(1)36(6312318363)2n n n n n -⎡⎤=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯⎢⎥⎣⎦L ()2123613233n n n =+⨯+⨯++⨯L .记1213233nn T n =⨯+⨯++⨯L ,①则231313233n n T n +=⨯+⨯++⨯L ,②②−①得，()12311313(21)332333331332n n n n n n n T n n +++--+=---⨯=-+⨯=--+-L . 所以，122112222(21)3336332n n n n n a c a c a c n T n +-++++=+=+⨯L ()22(21)3692n n n n +*-++=∈N .。
2019年高考专题：数列试题及答案
2019年高考专题：数列1.(2019年高考全国III 卷文数】己知各项均为正数的等比数列伉｝的前4项和为15,且％ =3%+4%,则为 = ( ) A. 16 B. 8 C・ 4 D. 2【解析】设正数的等比数列｛或的公比为q,则，2 3a \ +a l e / + a l (l +阳q/ = +4</)解得一：=4,故选c.0 = 22. [2019年高考全国I 卷文数】记&为等比数列0｝的前〃项和.若《=1，53=|,则玷・【解析】设等比数列的公比为0,由已知£ =%+"/ + “* =l + q + q ‘=：,即,广+q + ； = O.44解得g=-：,所以§=竺也=兰车2 — T583.【2019年高考全国III 卷文数】记乩为等差数列｛为｝的前〃项和，若明=5皿=13,则扁=«i =1 - e 10x9 , 5 . l°x9 - ec d 2，・・Sio = 10〃]+ —-—d = 10x1 + —-—x2 = 100.【解析】设等差数列｛外｝的公差为/根据题意可得=苗 + 2。
= 5 <«7 = % + 6J = 13 412019年高考江苏卷】已知数列吭｝(〃 e ND 是等差数列，&是其前刀项和.若，％ + % = 0, S, = 27 ,则g 的值是__________+纯=("i +〃)(《+44) + (% +7d) = O【解析】由题意可得:9x8d = 215M = 9q +2解得：:二;，则$8=阿+亍-"=-40+28x2=16.8x75.【四川省峨眉山市2019届高三高考适应性考试数学试题】在等差数列｛《.｝中，％,印是方程F+24x+12=0的两根，则数列｛%｝的前11项和等于（）A.66B.132C.-66D.一32【解析】因为""4；是方程/+24x+12=0的两根，所以％+%=-24,又％+%=-24=2%,所以%=-12,Sn=l^^=¥=T32,故选D.6.【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月）数学试题】在数列｛外｝中,=""+奇土？"隹则"顼9 的值为______.【解析】因为所以*一％=时=厂淼%23・..，5一％产顽一昴，各式相加'可得吼M=1一而'5一而=】一郝,所凶“2019=1，故答案为1.7.[2019北京市通州区三模数学试题】设｛《｝是等比数列,且“2%=的，％=27,则｛%｝的通项公式为【解析】设等比数列｛q｝的公比为。
精编2019年高中数学单元测试试题-数列专题完整题库(含答案)
2019年高中数学单元测试试题 数列专题（含答案）学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知{}n a 是等差数列,11a =,公差0d ≠,n S 为其前n 项和,若125,,a a a成等比数列,则8_____S =2．1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））已知点(1,0),(1,0),(0,1)A B C -,直线(0)y ax b a =+>将△ABC 分割为面积相等的两部分,则b 的取值范围是 （ ）A ．(0,1)B ．1(1)2 ( C) 1(1]23-D ． 11[,)323．已知等差数列{}n a 中，247,15a a ==，则前10项的和10S ＝( ) A ．100 B ．210 C ．380 D ．400(2006全国2文)4．数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈ .若则32b =-，1012b =，则8a =( )（A ）0 （B ）3 （C ）8 （D ）11(2011年高考四川卷理科8)第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题5．已知数列{n a }的通项公式为22n a n n =+，那么110是它的第_ __项． 6． 等差数列{}n a 的公差0d ≠，且358a a a 、、依次成等比数列，则59S a =___2____. 7．设等比数列{}n a 的前ｎ项和为12161,,4n S SS S S =48且则＝ 8．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作312a =，第4个五角形数记作422a =，……，若按此规律继续下去，则5a = ，若145n a =，则n = ．9．已知等比数列{}n a 的各均为正数，且21243723,4a a a a a +==，则数列{}n a 的通项公式为 。
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第九单元 数列考点一 等差数列1.(2017年全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=24,S 6=48,则{a n }的公差为( ).A.1B.2C.4D.8 【解析】a 4+a 5=a 1+3d+a 1+4d=24,S 6=6a 1+6×52×d=48,联立 2a 1+7d =24, ①6a 1+15d =48, ②由①×3-②,得(21-15)×d=24,即6d=24,所以d=4. 【答案】C2.(2016年全国Ⅰ卷)已知等差数列{a n }前9项的和为27,a 10=8,则a 100=( ).A .100B .99C .98D .97【解析】(法一)∵{a n }是等差数列,设其公差为d ,∴S 9=9(a 1+a 9)=9a 5=27,∴a 5=3.又∵a 10=8,∴ a 1+4d =3,a 1+9d =8,∴ a 1=−1,d =1.∴a 100=a 1+99d=-1+99×1=98.故选C .(法二)∵{a n }是等差数列,∴S 9=9(a 1+a 9)=9a 5=27,∴a 5=3.在等差数列{a n }中,a 5,a 10,a 15,…,a 100成等差数列,且公差d'=a 10-a 5=8-3=5. 故a 100=a 5+(20-1)×5=98.故选C . 【答案】C3.(2016年浙江卷)如图,点列{A n },{B n }分别在某锐角的两边上,且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|,A n ≠A n+2,n ∈N *,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|,B n ≠B n+2,n ∈N *(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合).若d n =|A n B n |,S n 为△A n B n B n+1的面积,则( ).A .{S n }是等差数列B .{S n2}是等差数列 C .{d n }是等差数列D .{d n2}是等差数列 【解析】作A 1C 1,A 2C 2,A 3C 3,…,A n C n 垂直于直线B 1B n ,垂足分别为C 1,C 2,C 3,…,C n ,则A 1C 1∥A 2C 2∥…∥A n C n .∵|A n A n+1|=|A n+1A n+2|,∴|C n C n+1|=|C n+1C n+2|.设|A 1C 1|=a ,|A 2C 2|=b ,|B 1B 2|=c ,则|A 3C 3|=2b-a ,…,|A n C n |=(n-1)b-(n-2)a (n ≥3),∴S n =1c [(n-1)b-(n-2)a ]=1c [(b-a )n+(2a-b )],∴S n+1-S n =12c [(b-a )(n+1)+(2a-b )-(b-a )n-(2a-b )]=12c (b-a ),∴数列{S n }是等差数列.【答案】A4.(2017年全国Ⅱ卷)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=3,S 4=10,则∑k =1n1S k= .【解析】设数列{a n }的首项为a 1,公差为d. 由a 3=a 1+2d=3,S 4=4a 1+6d=10, 得a 1=1,d=1,所以a n =n ,S n =n(n+1)2, 所以∑k=1n1k=2+2+…+2n (n -1)+2=21-12+12-13+…+1n -1-1n +1n -1n +1=2 1−1n +1 =2nn +1.【答案】2nn +15.(2016年全国Ⅱ卷)S n 为等差数列{a n }的前n 项和,且a 1=1,S 7=28.记b n =[lg a n ],其中[x ]表示不超过x 的最大整数,如[0.9]=0,[lg99]=1. (1)求b 1,b 11,b 101;(2)求数列{b n}的前1000项和.【解析】(1)设数列{a n}的公差为d,据已知有7+21d=28,解得d=1.所以数列{a n}的通项公式为a n=n.所以b1=[lg1]=0,b11=[lg11]=1,b101=[lg101]=2.(2)因为b n=0,1≤n<10,1,10≤n<100, 2,100≤n<1000, 3,n=1000,所以数列{b n}的前1000项和为1×90+2×900+3×1=1893.考点二等比数列6.(2017年全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯().A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏【解析】设塔的顶层灯数为a1,q=2,由S=a1(1-27)1−2=381,解得a1=3.【答案】B7.(2015年全国Ⅱ卷)已知等比数列{a n}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=().A.21B.42C.63D.84【解析】∵a1=3,a1+a3+a5=21,∴3+3q2+3q4=21,∴1+q2+q4=7,解得q2=2或q2=-3(舍去).∴a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=2×21=42.故选B.【答案】B8.(2017年全国Ⅲ卷)设等比数列{a n}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4=.【解析】因为{a n}为等比数列,设公比为q.由题意得a1+a2=−1,a1-a3=−3,即a1+a1q=−1,①a1-a1q2=−3,②显然q≠1,a1≠0,由①②,得1-q=3,解得q=-2,代入①式可得a1=1,所以a4=a1q3=1×(-2)3=-8.9.(2016年全国Ⅰ卷)设等比数列{a n}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…a n的最大值为.【解析】设等比数列{a n}的公比为q,则由a1+a3=10,a2+a4=q(a1+a3)=5,知q=1.又a1+a1q2=10,∴a1=8.故a1a2…a n=a1n q1+2+…+(n-1)=23n·1(n-1)n 2=23n-n22+n2=2-n22+7n2.记t=-n22+7n2=-12(n2-7n)=-12n-722+498,结合n∈N*可知n=3或4时,t有最大值6.又y=2t为增函数,从而a1a2…a n的最大值为26=64.【答案】6410.(2016年全国Ⅲ卷)已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n,其中λ≠0.(1)证明{a n}是等比数列,并求其通项公式;(2)若S5=31,求λ.【解析】(1)由题意得a1=S1=1+λa1,故λ≠1,a1=11−λ,故a1≠0.由S n=1+λa n,S n+1=1+λa n+1得a n+1=λa n+1-λa n,即a n+1(λ-1)=λa n.由a1≠0,λ≠0得a n≠0,所以a n+1n =λλ-1.因此{a n}是首项为1,公比为λλ-1的等比数列,于是a n=1λλ-1n-1.(2)由(1)得S n=1-λλ-1n .由S5=3132得1-λλ-15=3132,即λλ-15=132.考点三 等差数列与等比数列的综合应用11.(2017年全国Ⅲ卷)等差数列{a n }的首项为1,公差不为0.若a 2,a 3,a 6成等比数列,则数列{a n }前6项的和为( ).A.-24B.-3C.3D.8【解析】因为{a n }为等差数列,且a 2,a 3,a 6成等比数列,设公差为d ,所以a 32=a 2a 6,即(a 1+2d )2=(a 1+d )(a 1+5d ).因为a 1=1,代入上式可得d 2+2d=0,又d ≠0,则d=-2,所以S 6=6a 1+6×52d=1×6+6×52×(-2)=-24. 【答案】A12.(2015年福建卷)若a ,b 是函数f (x )=x 2-px+q (p>0,q>0)的两个不同的零点,且a ,b ,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q 的值等于( ).A .6B .7C .8D .9【解析】不妨设a>b ,由题意得 a +b =p >0,ab =q >0,∴a>0,b>0,则a ,-2,b 成等比数列,a ,b ,-2成等差数列, ∴ ab =(−2)2,a -2=2b ,∴ a =4,b =1,∴p=5,q=4,∴p+q=9.【答案】D13.(2017年北京卷)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1=b 1=-1,a 4=b 4=8,则a2b 2= .【解析】由a 1=-1,a 4=8,得d=3,则a 2=a 1+d=-1+3=2;由b 1=-1,b 4=8,得q=-2,则b 2=b 1q=2.故a 22=2=1.【答案】114.(2015年全国Ⅰ卷)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0,a n 2+2a n =4S n+3. (1)求{a n }的通项公式; (2)设b n =1a n a n +1,求数列{b n }的前n 项和.【解析】(1)由a n 2+2a n =4S n +3, ① 可知a n +12+2a n+1=4S n+1+3. ②②-①,得a n +12-a n 2+2(a n+1-a n )=4a n+1, 即2(a n+1+a n )=a n +12-a n 2=(a n+1+a n )(a n+1-a n ).由a n >0,得a n+1-a n =2.又a 12+2a 1=4a 1+3,解得a 1=-1(舍去)或a 1=3.所以{a n }是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为a n =2n+1. (2)由a n =2n+1可知,b n =1an a n +1=1(2n +1)(2n +3)=12 12n +1-12n +3 . 设数列{b n }的前n 项和为T n ,则T n =b 1+b 2+…+b n=12 13-15 + 15-17 +⋯+ 12n +1-12n +3=n 3(2n +3).15.(2015年天津卷)已知数列{a n }满足a n+2=qa n (q 为实数,且q ≠1),n ∈N *,a 1=1,a 2=2,且a 2+a 3,a 3+a 4,a 4+a 5成等差数列.(1)求q 的值和{a n }的通项公式; (2)设b n =log 2a 2n a 2n -1,n ∈N *,求数列{b n }的前n 项和.【解析】(1)由已知,得(a 3+a 4)-(a 2+a 3)=(a 4+a 5)-(a 3+a 4),即a 4-a 2=a 5-a 3,所以a 2(q-1)=a 3(q-1). 又因为q ≠1,所以a 3=a 2=2.由a 3=a 1·q ,得q=2. 当n=2k-1(k ∈N *)时,a n =a 2k-1=2k-1=2n -12;当n=2k (k ∈N *)时,a n =a 2k =2k=2n2.所以数列{a n }的通项公式为a n = 2n -12,n 为奇数,2n 2,n 为偶数.(2)由(1)得b n =log 2a 2n 2n -1=n2n -1,n ∈N *.设数列{b n }的前n 项和为S n ,则S n =1×120+2×121+3×122+…+(n-1)×12n -2+n ×12n -1,12S n =1×121+2×122+3×123+…+(n-1)×12n -1+n ×12n , 上述两式相减,得1S n =1+1+122+…+12n -1-n n =1−12n 1−12-n n =2-2n -n n , 整理得S n =4-n +22n -1,n ∈N *.所以数列{b n }的前n 项和为4-n +22n -1,n ∈N *.高频考点:数列的通项,等差数列与等比数列的判断或证明,等差数列与等比数列的基本量、通项及求和,数列的综合应用.命题特点:1.等差数列、等比数列基本量和性质的考查是高考热点,经常以选择题或填空题形式出现. 2.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现,通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求一般数列的和,体现转化与化归的思想.3.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题也是高考考查的重点,考查考生分析问题、解决问题的综合能力.§9.1 数列的概念一 数列的定义按照 排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫作这个数列的 ,数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第一项(通常也叫作首项).二 数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与 之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫作这个数列的通项公式.三 数列的递推公式如果已知数列{a n }的第一项(或前几项),且任意一项a n 与它的前一项a n-1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,即a n =f (a n-1)(或a n =f (a n-1,a n-2)等),那么这个式子叫作数列{a n }的递推公式.☞左学右考下列说法正确的是( ).A.数列1,-2,3,-4,…是一个摆动数列B.数列-2,3,6,8可以表示为{-2,3,6,8}C.{a n }和a n 是相同的概念D.每一个数列的通项公式都是唯一确定的数列0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式是a n 等于( ).A.(-1)n +12B.cos nπC.cos n +1πD.cosn +2π四S n与a n的关系已知数列{a n}的前n项和为S n,这个关系式对任意数列均成立.则a n=S1,n=1,S n-S n-1,n≥2,五数列的分类1.单调性递增数列:∀n∈N*,;递减数列:∀n∈N*,;常数列:∀n∈N*,a n+1=a n;摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.2.周期性周期数列:∀n∈N*,存在正整数k,a n+k=a n.已知数列{a n}的前n项和为S n=n2-2n+2,求数列{a n}的通项公式.知识清单一、一定顺序项二、序号n五、1.a n+1>a n a n+1<a n基础训练1.【解析】对于A,摆动数列是指从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列,故A正确;数列与数集是不同的,故B错误;{a n}和a n是不同的概念,{a n}表示数列a1,a2,a3,…,a n,而a n表示的是这个数列的第n项,故C错误;每一个数列的通项公式并不都是唯一确定的,故D错误.【答案】A2.【解析】令n=1,2,3,…,逐一验证四个选项,易得D 正确. 【答案】D3.【解析】当n=1时,a 1=S 1=1;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2n-3.由于当n=1时,a 1的值不满足a n (n ≥2)的解析式,故数列{a n }的通项公式为a n = 1,n =1,2n -3,n ≥2.题型一 由数列的前几项求数列的通项公式【例1】根据数列的前几项,写出各数列的一个通项公式.(1)4,6,8,10,…; (2)-11×2,12×3,-13×4,14×5,…; (3)a ,b ,a ,b ,a ,b ,…(其中a ,b 为实数); (4)9,99,999,9999,…; (5)3,33,333,3333,….【解析】(1)因为各数都是偶数,且最小值为4,所以它的一个通项公式a n =2(n+1),n ∈N *.(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式a n =(-1)n×1n (n +1),n ∈N *. (3)这是一个摆动数列,奇数项是a ,偶数项是b , 所以它的一个通项公式a n =a ,n 为奇数,b ,n 为偶数n ∈N *. (4)这个数列的前4项可以写成10-1,102-1,103-1,104-1,所以它的一个通项公式a n =10n-1,n ∈N *.(5)将数列各项改写为93,993,9993,99993,…,分母都是3,而分子分别是10-1,102-1,103-1,104-1,…,所以它的一个通项公式a n =13(10n-1),n ∈N *.【变式训练1】(1)已知n ∈N *,给出4个表达式:①a n =0,n 为奇数,1,n 为偶数,②an =1+(−1)n 2,③a n =1+cos nπ2,④a n = sin nπ2.其中能作为数列0,1,0,1,0,1,0,1,…的通项公式的是( ).A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④(2)数列-1,32,-13,34,-15,36,…的一个通项公式a n = . 【解析】(1)检验知①②③都是所给数列的通项公式.(2)因为该数列奇数项为负,偶数项为正,所以通项公式中含因式(-1)n.又各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4,…,各项绝对值的分子组成的数列中,奇数项为2-1=1,偶数项为2+1=3,所以a n =(-1)n·2+(−1)n n,n ∈N *,也可写为a n = -1n,n 为奇数,3n,n 为偶数n ∈N *. 【答案】(1)A (2)a n =-1n,n 为奇数,3,n 为偶数n ∈N * 或a n =(−1)n ·2+(−1)nn,n ∈N *题型二 由递推公式求通项公式【例2】(1)已知数列{a n }满足a 1=12,a n+1=a n +1n 2+n ,则数列{a n }的通项公式a n = ;(2)已知数列{a n }满足a 1=1,a n =n -1na n-1(n ≥2),则数列{a n }的通项公式a n = ;(3)已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=3a n +1,则数列{a n }的通项公式a n = ; (4)若数列{a n }满足a 1=1,a n+1=2a nn ,则数列{a n }的通项公式a n = .【解析】(1)由条件知a n+1-a n =1n 2+n =1n (n +1)=1n -1n +1, 则(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+(a 4-a 3)+…+(a n -a n-1)= 1−1 + 1-1 + 1-1 +…+1n -1-1 , 即a n -a 1=1-1n .又∵a 1=12,∴a n =1-1+1=3-1.(2)∵a n =n -1na n-1(n ≥2), ∴a n-1=n -2n -1a n-2,…,a 2=12a 1. 以上(n-1)个式子相乘得a n =a 1·12·23·…·n -1n =a 1n =1n. (3)由a n+1=3a n +1得a n+1+1=3a n +3=3 a n +1 .又a 1+1=3,∴ a n +1 是首项为3,公比为3的等比数列,∴a n +1=3n ,因此数列{a n }的通项公式为a n =3n -12. (4)∵a n+1=2a na n +2,a 1=1, ∴a n ≠0,∴1an +1=1a n+12,即1an +1-1a n=12.又a 1=1,则1a 1=1,∴ 1n是以1为首项,1为公差的等差数列.∴1a n=1a 1+(n-1)×12=n 2+12,∴a n =2n +1.【答案】(1)3-1 (2)1 (3)3n -1(4)2【变式训练2】(1)(2017泰安模拟)已知数列{a n }满足a 1=1,a n =n (a n+1-a n )(n ∈N *),则数列{a n }的通项公式是( ).A.2n-1B. n +1nn -1C.n 2D.n(2)已知数列{a n }满足a n+1-a n =n+1(n ∈N *),且a 1=1,则数列{a n }的通项公式a n = ; (3)已知数列{a n }满足a n =a n-1+1n (n -1)(n ≥2,n ∈N *),且a 1=1,则该数列{a n }的通项公式a n = .【解析】(1)(法一)由已知整理得(n+1)a n =na n+1,∴a n +1n +1=a n n ,∴数列 a n n 是常数列,且a n n =a11=1,∴a n =n. (法二)当n ≥2时,a n n -1=n n -1,a n -1n -2=n -1n -2,…,a 32=3,a 21=2, 将各式两边分别相乘,得an a 1=n ,∵a 1=1,∴a n =n.(2)由题意有a 2-a 1=2,a 3-a 2=3,…,a n -a n-1=n (n ≥2). 以上各式相加,得a n -a 1=2+3+…+n=(n -1)(2+n )2=n 2+n-22. 又∵a 1=1,∴a n =n 2+n2(n ≥2). ∵当n=1时也满足此式,∴a n =n 2+n2. (3)由已知得a 2-a 1=12×1,a 3-a 2=13×2,…,a n -a n-1=1n (n -1), 将上式两边分别相加,得a n -a 1=11×2+12×3+…+1n (n -1).又∵a 1=1,∴a n =1+1-12+12-13+…+1n -1-1n=2-1n =2n -1n . 【答案】(1)D (2)n 2+n2(3)2n -1n题型三 由S n 和a n 的关系求通项【例3】(1)(2017银川模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+n+1,则数列{a n }的通项公式a n = .(2)已知数列{a n }的前n 项和S n =3n+b ,求数列{a n }的通项公式.【解析】(1)当n=1时,a 1=S 1=3;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=(n 2+n+1)-[(n-1)2+(n-1)+1]=2n.又a 1=3≠2×1,所以a n = 3,n =1,2n ,n ≥2.(2)当n=1时,a 1=S 1=3+b ;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=(3n+b )-(3n-1+b )=2×3n-1.当b=-1时,a 1满足此等式;当b ≠-1时,a 1不满足此等式. 所以当b=-1时,a n =2×3n-1;当b ≠-1时,a n = 3+b ,n =1,2×3n -1,n ≥2.【答案】(1) 3,n =1,2n ,n ≥2【变式训练3】(1)已知数列{a n }的前n 项和S n =2n -3,则数列{a n }的通项公式为 .(2)(2017福州质检)若数列{a n }的前n 项和S n =23a n +13,则数列{a n }的通项公式是a n = . 【解析】(1)当n=1时,a 1=S 1=-1;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2n-1,∴a n = -1,n =1,2n -1,n ≥2.(2)由S n =23a n +13,得当n ≥2时,S n-1=23a n-1+13, 两式相减整理,得当n ≥2时,a n =-2a n-1. 又∵当n=1时,S 1=a 1=23a 1+13,∴a 1=1,∴{a n }是首项为1,公比为-2的等比数列, ∴a n =(-2)n-1.【答案】(1)a n =-1,n =1,2n -1,n ≥2(2)(-2)n-1方法 函数思想在数列中的应用数列是定义域为正整数集的特殊函数,具有函数的某些性质,如单调性、周期性等.故可从函数的角度去认识数列,利用函数的思想或方法去研究数列可以带来意想不到的收获.【突破训练】已知在数列{a n }中,a n =1+1a +2(n -1)(n ∈N *,a ∈R ,且a ≠0).(1)若a=-7,求数列{a n }中的最大项和最小项的值; (2)若对任意的n ∈N *,都有a n ≤a 6成立,求a 的取值范围.【解析】(1)由题意知a n =1+12n -9. 结合函数f (x )=1+12x -9的单调性,可知1>a 1>a 2>a 3>a 4,a 5>a 6>a 7>…>a n >1(n ∈N *).∴数列{a n }中的最大项为a 5=2,最小项为a 4=0.(2)a n =1+1a +2(n -1)=1+12n -2−a 2. ∵对任意的n ∈N *,都有a n ≤a 6成立,结合函数f (x )=1+12x -2−a 2的单调性,知5<2−a2<6, ∴-10<a<-8,故a 的取值范围为(-10,-8).1.(2016湖州一模)下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是( ).A.1,1,1,1,…B.-1,-2,-3,-4,…C.-1,-12,-14,-18,…D.1, 2, 3,…, n【解析】根据定义,属于无穷数列的是选项A 、B 、C ,属于递增数列的是选项C 、D ,故同时满足要求的是选项C.【答案】C2.(2016杭州质评)在数列1,2, 7, 10, 13,…中,2 19是这个数列的第( )项.A.16B.24C.26D.28【解析】设题中数列为{a n },则a 1=1= 1,a 2=2= 4,a 3= 7,a 4= 10,a 5= 13,…,所以a n = 3n -2.令 3n -2=2 19= 76,解得n=26.【答案】C3.(2017广州联考)数列1,-58,715,-924,…的一个通项公式是( ).A.a n =(-1)n+12n -1n 2+n(n ∈N *)B.a n =(-1)n-12n +1n 3+3n(n ∈N *) C.a n =(-1)n+12n -1n 2+2n(n ∈N *) D.a n =(-1)n-12n +1n 2+2n(n ∈N *) 【解析】所给数列各项可写成3,-5,7,-9,…,通过对比各选项,可知选D.【答案】D4.(2017嘉兴模拟)数列{a n }满足a n+1+a n =2n-3,则a 8-a 4=( ).A.7B.6C.5D.4【解析】依题意得(a n+2+a n+1)-(a n+1+a n)=[2(n+1)-3]-(2n-3),即a n+2-a n=2,所以a8-a4=(a8-a6)+(a6-a4)=2+2=4.【答案】D5.(2017黄冈模拟)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1a n=2n(n∈N*),则a10等于().A.64B.32C.16D.8【解析】因为a n+1a n=2n,所以a n+1a n+2=2n+1,两式相除得a n+2n=2.又a1a2=2,a1=1,所以a2=2,则a10 8·a86·a64·a42=24,即a10=25=32.【答案】B6.(2016芜湖监测)设a n=-3n2+15n-18,则数列{a n}中的最大项的值是().A.16B.13C.4D.0【解析】a n=-3 n-522+34,由二次函数的性质,得当n=2或n=3时,a n取得最大值,最大值为a2=a3=0.【答案】D7.(2017豫南八校联考)在数列{a n}中,已知a1=2,a2=7,a n+2等于a n a n+1(n∈N*)的个位数,则a2018=().A.8B.6C.4D.2【解析】由题意得,a3=4,a4=8,a5=2,a6=6,a7=2,a8=2,a9=4,a10=8,所以数列{a n}中的项从第3项开始呈周期性出现,周期为6,故a2018=a335×6+8=a8=2.【答案】D8.(2017贵阳监测)若数列{a n}的前n项和S n=n2-10n(n∈N*),则数列{na n}中数值最小的项是().A.第2项B.第3项C.第4项D.第5项【解析】∵S n=n2-10n,∴当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n-11;当n=1时,a1=S1=-9也适合上式.∴a n=2n-11(n∈N*).记f(n)=na n=n(2n-11)=2n2-11n,此函数图象的对称轴为直线n=11,但n∈N*,∴当n=3时,f(n)取得最小值.故数列{na n}中数值最小的项是第3项.【答案】B9.(2017山西忻州四校联考)若数列{a n}满足关系a n+1=1+1a n ,a8=3421,则a5=.【解析】借助递推关系,则a8递推依次得到a7=2113,a6=138,a5=85.【答案】8510.(2017合肥质检)已知数列{2n-1·a n }的前n 项和S n =9-6n ,则数列{a n }的通项公式是 .【解析】当n=1时,20·a 1=S 1=3,∴a 1=3.当n ≥2时,2n-1·a n =S n -S n-1=-6,∴a n =-32n -2,∴通项公式a n = 3,n =1,-32n -2,n ≥2. 【答案】a n = 3,n =1,-32n -2,n ≥211.(2017青岛质评)数列{a n }满足a n +a n+1=1(n ∈N *),a 2=2,S n 是数列{a n }的前n 项和,则S 21为( ).A.5B.72C.92D.132【解析】∵a n +a n+1=1,a 2=2,∴a n = -32,n 为奇数,2,n 为偶数.∴S 21=11× -3 +10×2=7. 【答案】B12.(2017河北四校联考)已知数列{a n }满足条件12a 1+122a 2+123a 3+…+12n a n =2n+5,则数列{a n }的通项公式为( ).A.a n =2n+1B.a n = 14(n =1),2n +1(n ≥2)C.a n =2nD.a n =2n+2【解析】由题意可知,数列{a n }满足条件12a 1+122a 2+123a 3+…+12n a n =2n+5,则12a 1+122a 2+123a 3+…+12n -1a n-1=2(n-1)+5,n>1,两式相减可得,an 2n =2n+5-2(n-1)-5=2,∴a n =2n+1,n>1,n ∈N *.当n=1时,a 12=7,∴a 1=14.综上可知,数列{a n}的通项公式为a n=14(n=1),2n+1(n≥2).【答案】B13.(2017安徽六安月考)设S n是数列{a n}的前n项和,且a1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n=.【解析】因为a1=-1,a n+1=S n S n+1,所以S1=-1,S n+1-S n=S n S n+1.因为S n≠0,所以1S n+1-1S n=-1,所以数列1S n是首项为-1,公差为-1的等差数列,所以1S n =-n,所以S n=-1n.【答案】-1n14.(2017东北三校联考)已知在数列{a n}中,a1=1,前n项和S n=n+23a n.(1)求a2,a3的值;(2)求{a n}的通项公式.【解析】(1)由S2=43a2,得3(a1+a2)=4a2,解得a2=3a1=3.由S3=53a3,得3(a1+a2+a3)=5a3,解得a3=32(a1+a2)=6.(2)由题意知a1=1.当n≥2时,有a n=S n-S n-1=n+2a n-n+1a n-1,整理得a n=n+1n-1a n-1(n≥2).于是a1=1,a2=3a1,a3=4a2,…,a n=n+1n-1a n-1.将以上n个等式两端分别相乘,整理得a n=n(n+1)2(n≥2).显然,当n=1时也满足上式.综上可知,{a n}的通项公式为a n=n(n+1)2(n∈N*).15.(2017河南信阳高中模考)数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a n+1=2S n +1,等差数列{b n }满足b 3=3,b 5=9. (1)分别求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)若对任意的n ∈N *, S n +12·k ≥b n 恒成立,求实数k 的取值范围.【解析】(1)由a n+1=2S n +1, ① 得a n =2S n-1+1(n ≥2), ②①-②得a n+1-a n =2(S n -S n-1),∴a n+1=3a n , ∴a n =3n-1.∵b 5-b 3=2d=6,∴d=3,∴b n =3+(n-3)×3=3n-6.(2)S n =a 1(1-q n )1−q=1−3n 1−3=3n -12, ∴3n -12+12k ≥3n-6对任意的n ∈N *恒成立,即k ≥2(3n -6)3n对任意的n ∈N *恒成立.令c n =3n -6n ,c n -c n-1=3n -6n -3n -93n -1=-2n +73n -1(n ≥2), 当n ≤3时,c n >c n-1;当n ≥4时,c n <c n-1.∴(c n )max =c 3=19,得k ≥29.§9.2 等差数列一 等差数列的有关概念1.定义:如果一个数列从起,每一项与它的前一项的都等于同一个常数,那么这个数列就叫作等差数列.符号表示为(n∈N*,d为常数).,其中A叫作a,b的.2.等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是A=a+b2二等差数列的有关公式1.通项公式:a n=.2.前n项和公式:S n=n(a1+a n)=na1+n(n-1)d=d n2+ a1-d n(n∈N*)⇔S n=An2+Bn(A,B为常数,n∈N*).三等差数列的常用性质1.通项公式的推广:a n=a m+(n,m∈N*).2.若{a n}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则.3.若{a n}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为.4.若{a n},{b n}是等差数列,则{pa n+qb n}也是等差数列.5.若{a n}是等差数列,公差为d,则a k,a k+m,a k+2m,…(k,m∈N*)是公差为的等差数列.6.在等差数列{a n}中,若a1>0,d<0,则S n存在最值;若a1<0,d>0,则S n存在最值.☞左学右考在等差数列{a n}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{a n}的公差为().A.1B.2C.3D.42017胶州模考)在等差数列{a n}中,a1=0,公差d≠0,若a m=a1+a2+…+a9,则m的值为().A.37B.36C.20D.192017太原一模)等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1=2,S3=12,则a6等于().A.8B.10C.12D.142017陕西八校联考)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1=-11,a3+a7=-6,则当S n取最小值时,求n的值.知识清单一、1.第2项差a n+1-a n=d2.等差中项二、1.a1+(n-1)d三、1.(n-m)d2.a k+a l=a m+a n3.2d5.md6.大小基础训练1.【解析】(法一)设等差数列{a n}的公差为d,由题意得2a1+4d=10,a1+3d=7,解得a1=1,d=2.∴d=2.(法二)∵在等差数列{a n}中,a1+a5=2a3=10,∴a3=5.又a4=7,∴公差d=7-5=2.【答案】B2.【解析】∵a m=a1+a2+…+a9=9a1+9×8d=36d=a37,∴m=37.【答案】A3.【解析】设等差数列{a n}的公差为d,则S3=3a1+3d,所以12=3×2+3d,解得d=2,所以a6=a1+5d=2+5×2=12.【答案】C4.【解析】设等差数列{a n}的公差为d.因为a3+a7=-6,所以a5=-3,所以d=2,则S n=n2-12n,故当n=6时,S n取得最小值.题型一等差数列基本量的计算【例1】(1)设S n为等差数列{a n}的前n项和,若a1=1,公差d=2,S n+2-S n=36,则n=().A.5B.6C.7D.8(2)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,满足a13=S13=13,则a1=().A.-14B.-13C.-12D.-11【解析】(1)S n+2-S n=a n+1+a n+2=2a1+(2n+1)d=2+2(2n+1)=36,解得n=8.(2)在等差数列{a n}中,S13=13(a1+a13)=13,所以a1+a13=2,则a1=2-a13=2-13=-11.【答案】(1)D(2)D等差数列基本运算的解题策略:(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a【变式训练1】(1)(2017沈阳质检)已知数列{a n}是等差数列,a1+a7=-8,a2=2,则数列{a n}的公差d等于().A.-1B.-2C.-3D.-4(2)(2017年武汉调研)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若a1=2,a5=3a3,则S9=().A.-72B.-54C.54D.90【解析】(1)∵a1+a7=2a4=-8,∴a4=-4,∴a4-a2=-4-2=2d,∴d=-3.(2)设等差数列{a n}的公差为d,∵a1=2,a5=3a3,∴2+4d=3(2+2d),解得d=-2,∴S9=9a1+9×8d=-54.2【答案】(1)C(2)B题型二等差数列的判定与证明【例2】已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a n +2S n ·S n-1=0(n ≥2),a 1=12.(1)求证: 1S n是等差数列. (2)求a n 的表达式.【解析】(1)∵a n =S n -S n-1(n ≥2),又a n =-2S n ·S n-1,∴S n-1-S n =2S n ·S n-1. ∵S n ≠0,∴1S n-1S n -1=2(n ≥2),故由等差数列的定义知 1S n 是以1S 1=1a 1=2为首项,2为公差的等差数列.(2)由(1)知1S n =1S 1+(n-1)d=2+(n-1)×2=2n ,即S n =12n.∵当n ≥2时,有a n =-2S n ·S n-1=-12n (n -1),又a 1=1,不适合上式,∴a n =12,n =1,-12n (n -1),n ≥2.①n a -a ②【变式训练2】(1)试说明例2中的数列{a n }是否为等差数列. (2)若将例2中的条件改为“a 1=2,S n =S n -12S n -1+1(n ≥2)”,求a n 的表达式.【解析】(1)不是.当n ≥2时,a n+1=-12n (n +1),而a n+1-a n =-12n (n +1)--12n (n -1)=-12n 1n +1-1n -1 =1n (n -1)(n +1). ∵当n ≥2时,a n+1-a n 的值不是一个与n 无关的常数, ∴数列{a n }不是等差数列.(2)∵S n =S n -12S n -1+1,∴1S n =2S n -1+1S n -1=1S n -1+2,∴1S n -1S n -1=2.∴1S n 是以12为首项,2为公差的等差数列.故1S n =12+(n-1)×2=2n-32,即S n=12n-32.当n≥2时,a n=S n-S n-1=12n-32-12n-72=-22n-322n-72.当n=1时,a1=2不适合上式,∴a n=2(n=1),-22n-322n-72(n≥2).题型三等差数列的性质及应用【例3】(1)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=().A.5B.7C.9D.11(2)已知数列{a n}是等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,{a n}的前n项和为S n,则使得S n达到最大的n是().A.18B.19C.20D.21(3)等差数列{a n}的通项公式为a n=2n-8,下列四个命题:①数列{a n}是递增数列;②数列{na n}是递增数列;③数列a n是递增数列;④数列{a n2}是递增数列.其中真命题是.【解析】(1)由a1+a3+a5=3a3=3,得a3=1,∴S5=5(a1+a5)2=5a3=5.(2)由a1+a3+a5=105,得a3=35,由a2+a4+a6=99,得a4=33,则{a n}的公差d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,S n=-n2+40n,因此当S n取得最大值时,n=20.(3)由a n=2n-8可知等差数列{a n}的公差d为2,∴数列{a n}是递增数列,命题①正确;由na n=2n2-8n=2(n-2)2-8,知数列{na n}不是递增数列,命题②错误;由a n=2-8,知数列a n是递增数列,命题③正确;由a n2=4(n-4)2,知a12>a22>a32>a42,又a42<a52<a62<…,∴{a n2}不是递增数列,命题④错误.综上所述,真命题是①③.【答案】(1)A (2)C (3)①③在等差数列问题的解答过程中,若能灵活运用其性质,则将为解题带来很大的便利,如:(1)将性质【变式训练3】(1)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 4=18-a 5,则S 8=( ). A.18B.36C.54D.72(2)(2016襄阳调研)在等差数列{a n }中,若a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=90,则a 10-13a 14的值为( ).A.12B.14C.16D.18(3)(2017兰州一诊)已知在等差数列{a n }中,S n 是它的前n 项和.若S 16>0,且S 17<0,则当S n 最大时n 的值为( ).A.16B.8C.9D.10【解析】(1)由题意,得a 4+a 5=18,∴S 8=8(a 1+a 8)2=8(a 4+a 5)2=8×182=72. (2)由等差数列性质及a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=90,得a 8=18,∴a 10-1a 14=3a 10-a 14=a 10+a 6+a 14-a 14=a 10+a 6=2a 8=2×18=12. (3)∵S 16=16(a 1+a 16)2=8(a 8+a 9)>0,S 17=17(a 1+a 17)2=17a 9<0,∴a 8>0,a 9<0,且d<0.∴当n=8时,S n 取得最大值.【答案】(1)D (2)A (3)B方法 等差数列的前n 项和S n 的最值问题在研究等差数列时,求等差数列的前n 项和S n 的最大(小)值问题是其中的一个热点,也是一个重点问题.数列是一类特殊的函数,故可以用函数的知识或方法来解决此问题.【突破训练】(1)(2017长春一模)在等差数列{a n }中,若a 1<0,S n 为其前n 项之和,且S 7=S 17,则S n 为最小时n 的值为 .(2)在等差数列{a n }中,a 1=7,公差为d ,前n 项和为S n ,当且仅当n=8时,S n 取得最大值,则d 的取值范围为 .(3)(2017承德模拟)在数列{a n }中,a n+1+a n =2n-44(n ∈N *),a 1=-23.①求a n ;②设S n 为数列{a n }的前n 项和,求S n 的最小值.【解析】(1)由S 7=S 17知,a 8+a 9+…+a 17=0,根据等差数列的性质,a 8+a 17=a 9+a 16=…=a 12+a 13,因此a 12+a 13=0.又a 1<0,∴a 12<0,a 13>0,故当S n 为最小时n 为12.(2)由题意知,d<0且 a 8>0,a 9<0,即 7+7d >0,7+8d <0,解得-1<d<-7.(3)①a n+1+a n =2n-44(n ∈N *),a n+2+a n+1=2(n+1)-44,由以上两式相减,得a n+2-a n =2.∵a 2+a 1=2-44,a 1=-23,∴a 2=-19,同理得a 3=-21,a 4=-17,….∴a 1,a 3,a 5,…是以-23为首项,2为公差的等差数列;a 2,a 4,a 6,…是以-19为首项,2为公差的等差数列.故a n =n -24,n 为奇数,n -21,n 为偶数.②当n 为偶数时,S n =(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+…+(a n-1+a n )=(2×1-44)+(2×3-44)+…+[2×(n-1)-44] =2×[1+3+…+(n-1)]-n×44=n 22-22n ,故当n=22时,S n 取得最小值为-242.当n 为奇数时,S n =a 1+(a 2+a 3)+(a 4+a 5)+…+(a n-1+a n ) =a 1+(2×2-44)+…+[2×(n-1)-44] =a 1+2×[2+4+…+(n-1)]+n -1×(-44) =-23+(n +1)(n -1)-22(n-1) =n 22-22n-32.故当n=21或n=23时,S n 取得最小值-243.综上所述,当n 为偶数时,S n 取得最小值为-242;当n 为奇数时,S n 取得最小值为-243. 【答案】(1)12 (2) -1,-781.(2016陕西模考)已知等差数列{a n }满足a 1+a 2+a 3+…+a 101=0,则有( ).A.a 1+a 101>0B.a 2+a 100<0C.a 3+a 99=0D.a 51=51【解析】由题意,得a 1+a 2+a 3+…+a 101=a 1+a 1012×101=0.所以a 1+a 101=a 2+a 100=a 3+a 99=0.【答案】C2.(2017西安模考)已知在等差数列{a n }中,a 5>0,a 4+a 7<0,则{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ).A.S 7B.S 6C.S 5D.S 4【解析】∵ a 4+a 7=a 5+a 6<0,a 5>0,∴a 6<0,∴S n 的最大值为S 5.【答案】C3.(2017深圳调研)已知在每项均大于零的数列{a n }中,首项a 1=1且前n 项和S n 满足S n S n -1-S n-1S n =2 S n S n -1(n ∈N *且n ≥2),则a 81=( ).A.638B.639C.640D.641【解析】由S n S n -1-S n-1 n =2 S n -S n -1,可得 S n - S n -1=2,∴{ n }是以1为首项,2为公差的等差数列,故 S n =2n-1,S n =(2n-1)2,∴a 81=S 81-S 80=1612-1592=640.【答案】C4.(2017湖北七校2月联考)在单调递增的等差数列{a n }中,若a 3=1,a 2a 4=34,则a 1=( ).A.-1B.0C.1D.1【解析】由题意知,a 2+a 4=2a 3=2,又∵a 2a 4=3,数列{a n }单调递增,∴a 2=1,a 4=3.∴公差d=a 4-a 22=12,∴a 1=a 2-d=12-12=0. 【答案】B5.(2017浙江名校联考)已知函数f (x )=cos x ,x ∈(0,2π)有两个不同的零点x 1,x 2,且方程f (x )=m 有两个不同的实根x 3,x 4,若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,则实数m=( ).A.12B.-12C. 32D.- 32【解析】若m>0,则公差d=3π2-π2=π,显然不成立,所以m<0,则公差d=3π2-π23=π3.所以m=cos π+π =- 3.【答案】D6.(2017海南质评)在等差数列{a n }中,a 1>0,a 10·a 11<0,若此数列的前10项和S 10=36,前18项和S 18=12,则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是( ).A.24B.48C.60D.84【解析】由题意知a1>0,a10·a11<0,得d<0,a10>0,a11<0,所以a1>a2>…>a10>0>a11>a12>…>a18>…,所以T18=|a1|+|a2|+…+|a10|+|a11|+|a12|+…+|a18|=a1+a2+…+a10-(a11+a12+…+a18)=2S10-S18=2×36-12=60.【答案】C7.(2016湖南联考)设S n为等差数列{a n}的前n项和,S2=S6,a4=1,则a5=.【解析】由题意知2a1+d=6a1+6×52d,a1+3d=1,解得a1=7,d=−2,∴a5=a4+d=1+(-2)=-1.【答案】-18.(2017黄冈一模)已知一个等差数列的前四项之和为21,末四项之和为67,前n项和为286,则项数n=.【解析】∵a1+a2+a3+a4=21,a n+a n-1+a n-2+a n-3=67,∴(a1+a n)+(a2+a n-1)+(a3+a n-2)+(a4+a n-3)=88,∴a1+a n=22.又S n=n(a1+a n)2=11n=286,∴n=26.【答案】269.(2017海南模拟)一个等差数列的前12项的和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27,则该数列的公差d=.【解析】设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇,偶数项的和为S偶,等差数列的公差为d.由已知条件,得S奇+S偶=354,S偶∶S奇=32∶27,解得S偶=192,S奇=162.又S偶-S奇=6d=30,所以d=192−162=5.【答案】510.(2017苏州测评)在等差数列{a n}中,a1=1,a3=-3.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{a n}的前k项和S k=-35,求k的值.【解析】(1)设等差数列{a n}的公差为d,则a n=a1+(n-1)d.由a1=1,a3=-3,可得1+2d=-3,解得d=-2.从而a n=1+(n-1)×(-2)=3-2n.(2)由(1)可知a n=3-2n,所以S n =n [1+(3-2n )]2=2n-n 2. 由S k =-35,可得2k-k 2=-35.由k 2-2k-35=0,解得k=7或k=-5.又k ∈N *,故k=7.11.(2017南昌模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1>0,a 3+a 10>0,a 6a 7<0,则满足S n >0的最大自然数n 的值为( ).A.6B.7C.12D.13【解析】∵a 1>0,a 6a 7<0,∴a 6>0,a 7<0,等差数列的公差小于零.又a 3+a 10=a 1+a 12>0,a 1+a 13=2a 7<0,∴S 12>0,S 13<0,∴满足S n >0的最大自然数n 的值为12.【答案】C12.(2016浙江名校联考)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目:把100个面包分给5个人,使每人所得成等差数列,且使最大的三份之和的1是最小的两份之和,则最小的一份为( ).A.53B.103C.56D.116【解析】依题意,设这100个面包所分成的五份由小到大依次为a-2m ,a-m ,a ,a+m ,a+2m ,则有5a =100,a +(a +m )+(a +2m )=7(a -2m +a -m ),解得a=20,m=11a 24,a-2m=a 12=53,即其中最小的一份为53. 【答案】A13.(2017东北三省四市联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S m-1=-2,S m =0,S m+1=3,则正整数m 的值为 .【解析】因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S m-1=-2,S m =0,S m+1=3,所以a m =S m -S m-1=2,a m+1=S m+1-S m =3,数列{a n }的公差d=1,a m +a m+1=S m+1-S m-1=5,即2a 1+2m-1=5,所以a 1=3-m.由S m =(3-m )m+m (m -1)2×1=0,解得正整数m 的值为5.【答案】514.(2017郑州二模)已知在数列{a n }中,a 3=2,a 5=1,若1n是等差数列,则a 11= .【解析】记b n =11+a n,则b 3=13,b 5=12,数列{b n }的公差为12×(12-13)=112,∴b 1=16,∴b n =n +112,即11+a n =n +112.∴a n =11−n n +1,∴a 11=0. 【答案】015.(2017石家庄模拟)已知{a n }是一个公差大于0的等差数列,且满足a 3a 6=55,a 2+a 7=16. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足:b 1=a 1且b n =a n +b n-1(n ≥2,n ∈N *),求数列{b n }的通项公式.【解析】(1)由题意得 a 3a 6=55,a 3+a 6=a 2+a 7=16,∵公差d>0,∴a 3=5,a 6=11,∴ a 1=1,d =2,∴a n =2n-1(n ∈N *).(2)∵b n =a n +b n-1(n ≥2,n ∈N *),∴b n -b n-1=2n-1(n ≥2,n ∈N *).∵b n =(b n -b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b 2-b 1)+b 1(n ≥2,n ∈N *),且b 1=a 1=1, ∴b n =2n-1+2n-3+…+3+1=n 2(n ≥2,n ∈N *). ∵当n=1时,b 1=1满足上式. ∴b n =n 2(n ∈N *).16.(2017山西忻州四校联考)数列{a n }满足a 1=12,a n+1=12−a n(n ∈N *). (1)求证:1a n -1为等差数列,并求出{a n }的通项公式. (2)设b n =1n-1,数列{b n }的前n 项和为B n ,对任意n ≥2都有B 3n -B n >m (n ∈N *)成立,求正整数m 的最大值.【解析】(1)因为a n+1=12−a n ,所以1a n +1-1=112−an-1=2−a n a n -1=-1+1a n -1,即1a n +1-1-1a n -1=-1, 所以1a n -1是首项为-2,公差为-1的等差数列,所以1a n -1=-2+(n-1)×(-1)=-(n+1),所以a n =n.(2)b n =n +1-1=1,令C n =B 3n -B n =1n +1+1n +2+…+13n , 所以C n+1-C n =1n +2+1n +3+…+13(n +1)-1n +1-…-13n =-1n +1+13n +1+13n +2+13n +3=13n +1+13n +2-23n +3>23n +3-23n +3=0, 所以C n+1-C n >0,所以{C n }为单调递增数列, 所以(B 3n -B n )min =B 6-B 2=13+14+15+16=1920,所以m 20<1920,所以m<19.又m ∈N *,所以m 的最大值为18.§9.3 等比数列一 等比数列的有关概念1.定义如果一个数列从第 项起,每一项与它的前一项的比等于 (不为零),那么这个数列就叫作等比数列.这个常数叫作等比数列的 ,通常用字母q 表示,定义的表达式为a n +1n=q.2.等比中项如果a ,G ,b 成等比数列,那么 叫作a 与b 的等比中项.即G 是a 与b 的等比中项⇔a ,G ,b 成等比数列⇒ .二 等比数列的有关公式。