角平分线性质导学案1
角的平分线的性质(1)
11．3．1角的平分线的性质执笔人：王金梅审核人：董介文孙秀云【学习内容】教材P19－20【学习目标】1.掌握作已知角的平分线的方法，并掌握角平分线的性质。
2.在探究作已知角的平分线的方法和角平分线的性质的过程中，发展几何直觉。
3.提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力。
4.初步了解角的平分线的性质在生活、生产中的应用。
5.在探讨作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，逐步培养学生的理性精神。
【学习重点】利用尺规作已知角的平分线，角的平分线的性质的证明及运用。
【学习难点】角的平分线性质的探究；运用角平分线的性质解决相关的实际问题。
【教学准备】平分角的仪器（自制）、三角尺、圆规、多媒体课件。
【学习过程】[知识回顾]1、全等三角形的性质：若△ABC≌△DEF，则有。
2、三角形全等的判定方法有：。
3、如图，AB＝AD，BC＝DC，求证AC是∠DAB的平分线[自主探究]【活动1】问题：在纸上任意画一个角，用剪刀剪下，用折纸的方法，如何确定角的平分线？学生实验：通过折纸的方法作角的平分线。
教师展示课件，并展示学生作品。
[设计意图]回忆角的平分线的定义，掌握角的平分线的简易作法。
让学生体验成功。
【活动2】 ( 体会平分角的仪器道理)议一议：如何将一个角平分是一个有趣的实验课题，有一个简易平分角的仪器，如图，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？（教师演示，并介绍“平分角的仪器”的特点。
学生将实物图抽象出数学图形，思考后组内交流.）本次活动中，教师重点关注：(1)学生是否能从简易角平分仪器中抽象出两个三角形；(2)学生能否运用三角形全等的条件证明两个三角形全等，从而说明线段AE 是∠BAD 的平分线。
（师生共同分析讨论，探究问题的解答.）分析：要说明AC 是∠DAC 的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB 。
人教版八年级数学导学案- 角平分线的性质
第十二章 全等三角形12．3 角平分线的性质第1课时 角平分线的性质学习目标：1．通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理．2．能运用角的平分线性质解决简单的几何问题． 重点：掌握角的平分线的性质定理，用直尺和圆规作角的平分线． 难点：角平分线定理的应用．一、知识链接1．判定两个三角形全等的方法有哪几种？2．如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，则∠ =∠ ．过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，则图中线段 的长度表示点D 到BC 的距离．二、新知预习1．OC 是∠AOB 的平分线，点P 是射线OC 上的任意一点．操作测量：取点P 的三个不同的位置，分别过点P 作PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，点D 、E为垂足，测量PD 、PE 的长．将三次数据填入下表：观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论．2．下面四个图中，点P 都在∠AOB 的平分线上，则PD ＝PE 的是（ ）A B C D 3．猜想：角平分线的性质：角平分线上任意一点到两边的相等．三、我的疑惑______________________________________________________________________________________________________________________________________________________一、要点探究探究点1：尺规作角平分线问题：如果没有角平分仪，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗？做一做：请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系．提示：（1）已知什么？求作什么？（2）把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢?（3）在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？（4）你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线．注意：作角平分线是最基本的尺规作图之一，大家一定要掌握．已知：平角∠AOB．求作：平角∠AOB的角平分线．结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法．探究点2：角平分线的性质实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点．1．操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，测量PD、PE的长．将三次数据填入下表：猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．验证猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．已知：如图，∠AOC= ∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．求证：PD=PE．方法归纳：一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即1．明确命题中的已知和求证；2．根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3．经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．知识要点：性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离．定理的作用：证明线段相等．应用格式：∵OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∴PD = PE．判一判：（1）∵如下左图，AD平分∠BAC（已知），∴BD=CD．（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）（2）∵如上右图，DC⊥AC，DB⊥AB（已知），∴BD=CD．（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）典例精析例1:已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB=FC．例2:如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4 cm，则PE=______cm．变式：如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝m，AB=14．（1）则点P到AB的距离为_______(用含m的式子表示)；（2）求△APB的面积(用含m的式子表示)；（3）求△PDB的周长．二、课堂小结1．如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F，DE =DF，∠EDB= 60°，则∠EBF= 度，BE= ．第1题图第2题图第3题图第4题图2．如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，且BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是．3．用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（）A．SSS B．ASAC．AAS D．角平分线上的点到角两边的距离相等4．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是()A．6 B．5 C．4 D．35．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则：（1）哪条线段与DE相等？为什么？（2）若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED的周长．6．如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离．7．如图，D是∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F．求证：CE＝CF．参考答案自主学习一、知识链接1．SSS、SAS、ASA、AAS、HL2．ABD CBD DE二、新知预习1．PD=PE2．D 3．距离三、我的疑惑课堂探究二、要点探究探究点1：尺规作角平分线问题能做一做作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．（2）分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC．射线OC即为所求．针对训练解：如图．探究点2：角平分线的性质验证猜想证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°．在△PDO和△PEO中，,,,PDO PEOAOC BOCOP OP∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD=PE．判一判（1）×（2）×典例精析例1 证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90 °．在Rt△BDE和Rt△CDF中，,,DE DFBD CD=⎧⎨=⎩∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)．∴EB=FC．例2 4变式解：（1）m（2）由角平分线的性质，可知，PD=PC=m，172PDBS AB PD m=⋅=．（3）由题意可证△ACP≌△ADQ，∴AC=AD．∴C△PDB=PD+PB+DB=PC+PB+DB=BC+DB=AD+DB=AB=14．当堂检测1．60 BF2．3 3．A4．D 解析：过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，∴11422722ABCS AC=⨯⨯+⨯=，解得AC＝3．5．解：（1）DC=DE．理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等．（2）∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠EBD．在△CDB和△EDB中，∠C=∠BED，∠CBD=∠EBD，DB=DB，∴△CDB≌△EDB(AAS)，∴BE＝BC=8．∴AE＝AB-BE=2．∴△AED的周长=AE+ED+DA=2+6=8．6．解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N．∵AD∥BC，∴MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间的距离．∵AP平分∠BAD，PM⊥AD，PE⊥AB，∴PM= PE．同理，PN= PE．∴PM= PN= PE=3．∴MN=6．即AD与BC之间的距离为6．7．证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF．在Rt△CDE和Rt△CDF中，,,CD CDDE DF=⎧⎨=⎩∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，∴CE＝CF．。
角平分线的性质(1)导学案
角平分线的性质【学习目标】：1．要求学生掌握角平分线的性质定理,会用这个定理解决一些简单问题。
3．能够作已知角的角平分线，并会熟练地写出已知、求作和作法，可以说明为什么所作的直线是角平分线。
3．会用全等知识证明角平分线的性质定理【学习重难点】：用全等知识证明角平分线性质定理。
【自学指导】：一、阅读P56---P57并回答下列问题：1)作已知角的平分线的方法是什么？在作法的第二步中，去掉“大于12MN的长”这个条件行吗？2)作∠AOP的平分线，要求保留作图痕迹并能说出作法。
3)点到直线的距离是什么？（点到直线的垂线段的长叫点到直线的距离）4)角平分线的性质：。
5)利用图（2）证明这个性质定理。
6)结合图（2）用几何语言表示这个定理：∵OP平分∠，AP⊥，BP⊥，∴PA= .7)由6）可知角平分线定理的作用是什么？应用该定理必须具备什么样的前提条件？二、自学检测：1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于点E，BC=8，BD=5，求DE的长。
2.如图：在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；求证：CF=EB三、学会小结：1.定理的应用： 应用角平分线的性质定理所具备的前提条件是：有角的，有垂直 ;②若图中有角平分线,,可尝试添加辅助线的方法:向角的两边引 .2、该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，•我们可以直接利用性质解决问题．四、课堂作业△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F。
求证：EB＝FC。
角平分线的性质导学案
12.3 角的平分线的性质导学案学习目标：1、会用尺规作已知角的平分线，知道作法的合理性；2、探索并证明角的平分线的性质定理；3、能用角的平分线的性质解决简单问题。
学习重点：探索并证明角的平分线的性质定理。
学习难点：角平分线性质定理的应用。
学习过程：一、情境导入问题：在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路。
问题1：怎样修建道路最短？问题2：往哪条路走更近呢？P二、自学指导让学生先阅读课本48-49页内容，思考下面的问题：1、平分角的仪器怎么使用？2、用尺规如何平分已知角？3、角平分线的性质是4、角平分线的性质怎么证明？5、证明几何命题的一般步骤是：（1）；（2）；（3）。
三、自主探究合作展示探究（一）：角平分仪平分角的道理：1、为什么角平分仪能平分一个角？（小组讨论回答）。
探究（二）如何作尺规作出一个角的平分线呢？1、分析角平分仪原理，你能利用圆规和直尺作角的平分线吗？（小组讨论）2、师生共同用尺规作角的平分线。
已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线．作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．（2）分别以M、N为圆心，大于1MN的长为半径作弧．两弧在2∠AOB内部交于点C．（3）作射线OC。
射线OC 即为所求．3、让学生回答为什么射线OC 是∠AOB 的平分线。
4、在上面作法的第二步中，去掉“大于12MN 的长”这个条件行吗？探究（三）、探究角平分线的性质：如图4，OA 是∠BAC 的平分线，点O 是射线AM 上的任意一点. 操作测量：取点O 的三个不同的位置，分别过点O 作OE ⊥AB ，OD ⊥AC,点D 、E 为垂足，测量OD 、OE 的长.将三次数据填入下表：根据测量结果，猜想线段OD 与OE 的大小关系，猜想角平分线的性质结论是： 。
让学生用学过的知识证明此结论：教师引导学生分析这个文字命题的条件和结论，并找出结论中的隐含条件，最后让学生画出图形，用符号语言写出已知和求证，图4ODOE 第一次 第二次第三次BOAM并独立完成证明过程。
12.3.1角的平分线的性质(1)导学案62015
O AB E D CP D 201408014 12.3.1角的平分线的性质（1）导学案编写者：林茂 编写时间：2014年9月8日 班级： 姓名： 组名： 【学习目标】1、经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理．2、能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题.3、极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。
学习重点：掌握角的平分线的性质定理 学习难点: 角平分线定理的应用。
【学习过程】一、自主学习 1、复习思考什么是角的平分线？怎样画一个角的平分线？2．如右图，AB ＝AD ，BC ＝DC ， 沿着A 、C 画一条射线AE ，AE 就是∠BAD 的角平分线，你知道为什么吗3.根据角平分仪的制作原理，如何用尺规作角的平分线？自学课本48页后，思考为什么要用大于MN 的长为半径画弧？4．OC 是∠AOB 的平分线，点P 是射线OC 上的任意一点，操作测量：取点P 的三个不同的位置，分别过点P 作PD ⊥OA ，PE ⊥OB,点D 、E 为垂足，测量PD 、与PE 的大小关系，写出结论5、命题：角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 题设：一个点在一个角的平分线上 结论：这个点到这个角的两边的距离相等 结合第4题图形请你写出已知和求证，并证明命题的正确性 解后思考：证明一个几何命题的步骤有那些？6、用数学语言来表述角的平分线的性质定理：如右上图，∵∴二、合作探究1、如图所示OC 是∠AOB 的平分线,P 是OC 上任意一点,问PE=PD?为什么?2、如图：在△ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD=DF ； 求证：CF=EB三、学以致用 在Rt △ABC 中，BD 平分∠ABC ， DE⊥AB 于E ，则⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？ ⑵哪条线段与DE 相等？为什么？⑶若AB ＝10，BC ＝8，AC ＝6，求BE ，AE 的长和△AED 的周长。
角平分线判定导学案
12.3 角平分线性质导学案温馨寄语：朝霞般美好的理想，在向你们召唤,你们是一滴一滴的水，全将活跃在祖国的大海里.一．学习目标：1、掌握角平分线的判定方法。
2、能够利用角平分线的性质和判定定进行推理和计算。
二．重点与难点1、角的平分线的判定的证明及运用。
52、灵活应用角平分线的性质和判定解决问题。
三、学习过程知识链接角的平分线的性质是：角平分线上的到角两边的相等。
合作探究阅读教材第49页（关键处、疑难处做好标记）.独立思考解决以下问题：角平分线上的到角两边的相等。
那么反过来，到角两边的距离相等的点是否在角平分线上呢？你能利用三角形全等来证明吗？请试一试。
求证：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
（提示：先画图，并写出已知、求证，再加以证明）角的平分线的判定定理；角的内部到角两边的距离的点在上。
用数学语言表示为：∵，，．∴四、合作探究1、要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？2、如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等。
证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．∴．同理PE=PF．∴．即点P到三边AB、BC、CA的距离．3、比较角平分线的性质与判定五、课堂跟踪1、如图所示，C为∠DAB内一点，CD⊥AD于D，CB⊥AB于B，且CD＝CB，则点C 在_____．2、如图，AD平分∠BAC，DB⊥AB，若要证明AD=DC,则可以添加的一个条件______．3、如图所示，DB⊥AB，DC⊥AC，BD＝DC，∠BAC＝80°，则∠BAD＝__________.第1题第2题第3题4、到三角形三边距离相等的点是（）A. 三条高的交点B. 三条中线的交点C. 三条角平分线的交点D. 不能确定5、如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，∠A=40°,则∠A__________.6、如图，OP平分∠APB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A,B。
角平分线的性质和判定定理
角平分线的性质及判定定理导学案课前准备:1.我们学过哪些与“角的平分线”有关的结论:2.什么是“点到直线的距离”：3.我们学过的证明线段和角相等的方法有哪些: 学习目标：1.通过经历自主证明角平分线的性质和判定定理的过程，理解并掌握定理，会用符号语言描述定理；2.通过例题和针对练习，进一步理解定理，会解决与定理有关的问题，发展推理能力，体会演绎思想；3.掌握角平分线应用中常见辅助线的作法，体会建模思想。
一、交流与发现活动①：搭档合作,自主证明角平分线的性质定理（1分钟）活动②：针对练习1.见PPT.2.如图，在⊿ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，BC=15， CD：BD=1：2，AB=20，求S⊿ABD面积。
二、交流与发现活动①：搭档合作,共同证明角平分线的判定定理（1分钟）活动②：针对练习1.见PPT.2.已知，如图，BN、CP是⊿ABC的两条角平分线，交点为点O，求证：。
证明：三、学以致用例、已知，如上图，AM、BN，CP是⊿ABC的三条角平分线。
探究性结论1：探究性结论2：针对练习（思维延伸）：1.已知：如图，⊿ABC两个相邻外角的平分线BD、CE相交于点P，求证：点P在∠A的平分线上。
探究性结论3：2.加油站位置在哪儿？课堂小结：我学到了①、②、③、④、┅┅拓展提升：一图二问1.如图，在Rt ⊿ ABC中，∠ C为直角， BD平分∠ ABC，且AC=8， BC=6，AB=10，求CD的长。
（温馨提示：等面积求高）2.如上图，在Rt ⊿ ABC中，∠ C为直角， BD平分∠ ABC，DE ⊥ AB于点E，而且AC=8，BC=6，AB=10，求⊿ADE的周长。
角的平分线的性质
“角的平分线的性质”导学案（第一课时）姓名：_____课时目标：1.掌握角平分线的画法2.理解并掌握角平分线的性质3.了解证明几何命题的一般步骤自学目标：1.动手画任意已知角的平分线2.填空，如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，求证：PD=PE.证明：∵PD⊥OAPE⊥OB∴_____=_____=90°在△PBO和△PEO中∠PDO=∠PEO________=_________OP=OP∴△PDO≌△PEO（_________）∴PD=PE用语言描述以上的结论为：角的平分线的性质：________________________________________________.3.如图，点P、D、E分别在OC、OA、OB上，判断下列推理：A①∵OC平分∠AOB∴PD=PE( ) D C②∵OC平分∠AOBPD⊥OAPE⊥OB∴PD=PE( ) P③∵PD⊥OAPE⊥OB∴PD=PE( )O E B4.证明几何命题的一般步骤是怎样的？①明确几何命题中的__________________;②根据题意，画出图形，并用符号表示_________________;③写出____________。
解读目标：1.运用角平分线性质定理的条件及要注意的问题；2.条件中已知角平分线时常见辅助线的作法。
巩固目标：1.如图，OP平分∠MON，P A⊥ON于点A，点Q是射线OM上一动点，若P A=2，则PQ的最小值为_________2.如图，∠A=90°，BD平分∠ABC，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是________3.如图，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，BC=8cm，AC=6cm，AB=10cm，则△BDE的周长=______. M CPDO A N（第1题图）（第2题图）（第3题图）4.如图，已知OA平分∠BAC，OB=OC，求证AB=AC. AOB C提升目标：△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，AC=10，∠BAC、∠ACB的平分线交于点O，OD⊥AC于D①求OD②求AD、CD的长ADOB C回顾目标：1、掌握角平分线的画法2、理解并掌握角平分线的性质3、了解证明几何命题的一般步骤作业：长江学案P34 1~7。
角平分线的性质(第二课[1]
![角平分线的性质(第二课[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/19db370ccc17552707220828.png)
OAC 图a11.3角平分线的性质（第二课）时导学案【教学目标】：1. 知道角平分线性质定理的逆命题,并会进行应用；2. 注意区别这两个定理的条件和结论，熟练用来解题． 【教学重难点】：运用角平分线性质判定证明及解决问题.教学难点：运用角平分线的性质和判定证明及解决问题. 【自主探究】：1. 已知: ∠AOB ，若点P 是∠AOB 内部一点，且点P 到OA 、OB 的距离相等，你能猜想出点P 的位置吗？ 点P 到OA 、OB 的距离如何在图中表示出来，完成画图并证明你的猜想？小结：角的内部到 在角的平分线上。
2.填空：如图：（1）∵OC 平分∠AOB ，点P 在射线OC 上，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ∴（ ）． （2）∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ OP 平分∠AOB（ ）． 自学检测：1.如 图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ， BE ，CD 相交于点O ，OB ＝OC . 求证：∠OAB ＝∠OAC范例精析：例1．已知：如图（a ），△ABC 的角平分线BD 和CE 交于F ． （l ）求证：F 到AB ，BC 和 AC 边的距离相等；（2）求证：AF 平分∠BAC ；（3）求证：三角形中三条内角的平分线交于一点，而且这点到三角形三边的距离相等；（4）怎样找△ABC内到三边距离相等的点？（5）若将“两内角平分线BD，CE交于F”改为“△ABC的两个外角平分线BD，CE交于F，如图b，那么（1）～（3）题的结论是否会改变？怎样找△ABC外到三边所在直线距离相等的点？共有多少个？达标测评：1.已知：如图，∠B=∠C=900，DM平分∠ADC， AM平分∠DAB求证： M B=MC2.已知：如图，PB、PC分别是△ABC的外角平分线，相交于点P.求证：P在∠A的平分线上．3：已知BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE交于点D，且BE＝CF，求证：AD平分∠BAC.小结反思：1.本节课收获:现有学生总结，教师补充.2.关于本节课的知识还有不明白的地方吗?如果有提出来，让老师同学帮你解决.。
角平分线的性质-导学案
【MeiWei 81重点借鉴文档】12.3 角平分线的性质（1）导学案、学习目标1、 能用三角形全等的知识，解释角平分线的原理;2、 会用尺规作已知角的平分线.二、 温故知新如图1，在/ AOB 的两边 0A 和0B 上分别取 OM=ONMC L OA NCL OB MC 与NC 交于C 点. 求证：（1） Rt △ MO © Rt △ NOC（2） / MOC M NOC三、 自主探究 合作展示探究（一）1、 依据上题我们应怎样平分一个角呢？2、 思考：把上面的方法改为“在已知/ AOB 的两边上分别截取 OM=QN 使MC=NC 连接OC 则OC 即为/ AOB 的平分线。
”结论是否仍然成立呢?件行吗?OA 是/ BAC 的平分线，点 O 是射线 取点 O 的三个不同的位置，分别过点 AM 上的任意一点. O 作OE 1 AB, OD 丄AC,点D E 为垂足，测四、学习反思请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。
【MeiWei 81重点借鉴文档】 3、受上题的启示，我们可以制作一个如图 2所示的平分角的仪器： 其中AB=AD BC=DC 将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE AE 就是角平分线•你能说明它的道理吗？ 探究 思考 已知 求作 作法 二）如何作出一个角的平分线呢？/ AOB / AOB 勺平分线.（1 ）以O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交 OA OB 于 M N 1 M N 为圆心，大于 MN 的长为半径作弧.两弧在 2（2）分别以 C. OC 射线OC 即为所求./ AOB 内部交于点 （3）作射线 请同学们依据以上作法画出图形。
议一议: 在上面作法的第二步中，去掉“大于 1 丄MN 的长”这个条 2 E1 第二步中所作的两弧交点一定在/ AOB 的内部吗?探究（三）如图 操作测量： 量OD OE 的长.将三次数据填入下表： 3,ODOE第次 卜面用我们学过勺 知:女第二次 AO 平 寸知识证明发现： 乙分 / RAC OEI A B ODI AC 'H ♦丿'口 1 ' 1 1 ：图1观察测量结果，猜想线段 OD 与OE 的大小关系，写出结论:。
角平分线的性质1
麟游县镇头中学学科导学案班级八年级科目数学课题角的平分线的性质1 课型问题生成发现型主备教师王鹤楼上课教师备课时间2011年9月5日上课时间月日（星期）共1课时，第课时本期总计第5课时学习目标1．知识与能力：利用逻辑推理的方法证明角平分线的性质和判定定理，使学生能够利用其解决相应的问题．2．过程与方法：在探索问题的过程中体会知识间的关系，能够进行有条理的思考，并进行简单的推理．3．情感、态度与价值观：（1）使学生在自主探索角平分线的过程中，经历画图、观察、比较、推理、交流等环节，从而获得正确的学习方式和良好的情感体验；（2）在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神．重难点用尺规作图作角平分线与会利用性质定理证明。
导学准备核心问题用尺规作图作角平分线与会利用性质定理证明。
主要导学过程教学环节时间导学内容教师行为期望的学生行为修改或补充复习回顾检查预习3分钟创设效果检查情境教师：上节课我们学习了《三角形全等的判定》，下面由学科长检查《角的平分线的性质（一）》的预习情况。
在学科长按排下，按要求接受检查。
创设情境引入新课5分钟创设问题情境问题1：三角形中有哪些重要线段．问题2：你能作出这些线段吗？如果老师手里只有直尺和圆规，你能帮我设计一个作角的平分线的操作方案吗？学生聆听并思考。
问题生成合作探究7分钟创设自主探究情景学科长：通过预习同学们生成了一些问题，下面请大家走进《问题生成——评价单》，并根据问题分组讨论探究。
教师巡视，个性化指导。
学生根据《生成单》上的问题，自主合作，生生讨论，小组交流。
全班展示问题讲解10分钟创设思维情境学科长：下面请各小组在黑板展示并分组讲解。
1、学生分小组在在黑板展示；2、学生分小组讲解；3、学生对“展示”情况进行评价。
问题训练组内评价15分钟创设评价情境由学科长发放《问题训练——评价单》。
教师实施“一帮一”教学和“分层教学。
1、学生自主完成，小组评价。
2、小组竞赛，全班评价。
三角形的角平分线导学案
三角形的角平分线导学案一、导学1.导入课题：请画出∠AOB 的角平分线.这节课我们共同探究与三角形有关的又一种 线段---三角形的角平分线. 2.学习目标：（1）记住三角形的角平分线的定义； （2）会用工具准确画出三角形的角平分线. 3. 学习重、难点：三角形的角平分线的概念、画法及其应用. 4.自学指导：（1）自学内容：P5页练习前的内容. （2）自学时间：6分钟（3）自学要求：认真阅读课本的内容，完成参考提纲.划出你认为重点的语句. （4）自学参考提纲：1）定义：三角形一个内角的 与它的 相交,这个角 与 之间的线段，叫做三角形的角平分线. 2）结合右图填空：AD 是△ABC 的角平分线∴∠ =∠ =21∠ .反之：∠1=∠2.∴AD 是 .3）画出下列三角形的三条角平分线，你有什么发现？4）你怎样来区别三角形的高线、中线、角平分线？二、自学：同学们可结合自学指导进行自学. 三、助学：（1）师助生：①明了学情：三角形的角平分线是探究角之间的数量关系，学生已经掌握了量角器的用法，能很快的画出一个已知角的角平分线。
②差异指导：引导学生从概念、画法等方面区别高线、中线、角平分线。
（2）生助生：学生之间相互交流帮助。
四、 强化：（1）三角形的角平分线的概念及其画法.AOB（1）（2）（3）图3A BCD12（2）练习：①如图，AD 是∆ABC 的中线，AE 是∠BAC 的平分线，则BD ＝_________＝21______, ∠BAE ＝________＝21__________. ②如图，BD 是∆ABC 的角平分线，DE//BC ，∠DBC ＝20°，求∠AED.五、评价：1.学生学习的自我评价（围绕三维目标）：学生交流自己的学习收获和存在的困惑。
2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：对学生的学习态度、学习方法、学习成果及存在的不足进行点评。
（2）纸笔评价：课堂评价检测 3.教师的自我评价（教学反思）第①题第②题。
1.4角平分线的性质1
在合作中学习 在学习中合作 在竞争中协作 在
陬市镇中学八年级 《数学》科<<导学案>>
备课日期：2014-2-19 上课日期：__月__日 第____周 设 计： 刘芬 星期____第 节 上课教师： 第 课时（总节数）
课题： 1.4 角平分线的性质 教 学 目 标 1、利用三角形全等得出、掌握角平分线的性质并运用性质进行证明 2、掌握角的平分线判定定理的的内容、证明及应用．
二、 合作交流 解决探究
归纳：角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角的两边的距离相等
在合作中学习 在学习中合作 在竞争中协作 在协作中竞争
。桃源县陬市镇中学《导学案》 。
归纳：角平分线的判定定理： 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
三、 范例讲解
四、 练习 五、 小结
见书 P24
教 学 反 思
教学重点： 角平分线的性质定理和判定定理的推导 教学难点： 角平分线的性质定理和判定定理的应用 教 教学要求 学 程 序 二次备课
教 学 内 容 与 方 法
一、 创设情境 激情导入
活动：画一个角 AOB 的角平分线 OC，在射线 OC 上任取一个点 分别向两边做垂线，沿角平分线 OC 折叠后，你能发现哪些相等的 线段？
角平分线的性质 导学案
角平分线的性质（2）导学案临沂第三十二中学胡顺适教学目标 1.能够利用三角形全等，证明角平分线的判定．2.能利用角平分线判定进行简单的推理，解决一些实际问题．3．让学生经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．教学重点角平分线的判定．教学难点利用角平分线判定进行简单的推理，解决一些实际问题．教学过程一、回顾引入1.角平分线的性质______________________________________________________________。
2.几何符号表示________________________________________________________________二、新课探究1．猜想角平分线的性质的逆命题为_________________________________________________________________．2．自主探究、合作交流已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．3．归纳总结角平分线的判定定理____________________________________________________________________.书写格式为________________________________________________________________4．定理巩固1.判断题：（1）如图，若QM =QN ，则OQ 平分∠AOB ． ( )（2）如图，若QM ⊥OA 于M ，QN ⊥OB 于N ，则OQ 是∠AOB 的平分线． ( )（3）已知：Q 到OA 的距离等于2 cm ， 且Q 到OB 距离等于2 cm ，则Q 在∠AOB的平分线上． ( )5.角平分线的性质和判定的联系与区别________________________________________________________________三、例题学练例 如图，△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于O ．求证：点O 到三边AB 、BC 、CA 的距离相等．变式拓展如图，△ABC 中，∠B 的平分线BD 与∠C 的外角平分线CE 交于点P ．求证：点P 到三边AB 、BC 、CA 所在的直线的距离相等．A B O Q M N实际应用1.如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?2.直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( )A.一处B. 两处C.三处D. 四处四、课堂小结五、达标检测1.如图，在RT△ABC中，∠C=900，点D在AC上，DE ⊥AB，且DE=DC，若∠A=500，则∠CDB=___________．2.如图4，已知AB∥CD，O为∠A、∠C的角平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，则两平行线间AB、CD的距离等于．3.在△ABC中，D是BC的中点，DE ⊥AB，DF ⊥AC，垂足分别是E、F，且BE=CF。
角平分线(1)
10.5.角平分线（1）导学案教学目标：1．经历角平分线的性质的证明过程，掌握角平分线的性质定理及逆定理2．能运用角平分线的性质定理及逆定理解决有关问题。
学习策略1.角平分线性质定理的应用.2.利用角平分线的有关定理解答实际问题.学习过程一.复习回顾：1、若等腰三角形的一个角是50°，则这个等腰三角形的底角为_____________．2、若等腰三角形的一个外角是120°，则这个等腰三角形的底角为_____________．3、若等腰三角形的两边长分别为xcm和（2x－6）cm，且周长为17cm，则第三边的长为________．二.新课学习：1.角平分线的性质定理：已知：OP平分∠AOB,PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D,E求证：PD=PE证明：【归纳：】角平分线性质定理:文字语言：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
图形语言：符号语言：2.角平分线的判定定理：已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D,E，且PD=PE 求证：点P在∠AOB的角平分线上（即OP平分∠AOB）证明：【归纳：】角平分线判定定理:文字语言：在一个角的内部，并且到角两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
图形语言：符号语言：例1 如图10-29，在△ABC中,∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E,F，且DE=DF，求DE的长.三.尝试应用：1.∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为2CM，则M到OB的距离为_______；2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，若BC=16，BD=10，则D 到AB的距离是________。
3.OM平分∠BOA，P是OM上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，下列结论中错误的是（）A、PD=PEB、OD=OEC、∠DPO=∠EPOD、PD=OD四.自主总结：1.角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
角平分线的性质(1)
“角平分线的性质（1）”导学案糯良中学 查文鸿一、学习目标1．掌握作已知角的平分线的方法； 2．掌握角平分线的性质及实际应用。
二、学习重难点1．学习重点：角平分线的性质；2．学习难点：角平分线的性质的实际应用。
三、学习工具圆规、直尺、铅笔、纸片、剪刀等。
四、学习过程（一）复习引入1．什么是角平分线？。
2．点到直线距离的定义？。
（二）探索新知1. 思考1 （教材P 48）右图是一个平分角的仪器，其中AB=AD,BC=DC ，将点A 放在角的 顶点,AB 和AD 沿着角的两边放下,沿AC 画一条射线AE,AE 就是角平分 线。
你能说明它的道理吗？。
2．尺规作图角平分线方法步骤：。
3．思考2 （教材P 48）如图，任意作一个角： ∠AOB ，作出∠AOB 的平分线OC.在OC上任取一点P ，过点P 画出OA ，OB 的垂线，分别记垂足为D ，E ，测量PD ，PE 并作比较，你得到什么结论？在OC 上再取几个点试一试。
通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？ 。
4．动手验证 将∠AOB 对折，再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边)，然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？。
DCB E A ED CO AB P A B O5．结论角平分线的性质：。
定理应用所具备的条件：。
定理的作用：。
应用定理的书写格式：。
6．定理证明已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E.求证：PD=PE.证明：∵OC平分∠AOB∴∠1=∠2又∵PD⊥OA,PE⊥OB∴∠PDO=∠PEO=90°∴在ΔOPD和ΔOPE中∠1=∠2（已证），∠PDO=∠PEO（已证），OP=OP(公共边).∴ΔOPD≌ΔOPE(AAS)∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）五、课堂练习PPT演示。
六、课堂小结1．如何画一个已知角的角平分线？画法：①量角器；②平分角的仪器；③尺规作图。
角平分线的性质1
《角平分线的性质》导学案（1） 姓名【学习目标】应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理；会用尺规作一个已 知角的平分线；理解角平分线性质并会运用。
【重点难点】重点为角平分线的性质；难点为角平分线的运用。
【温故知新】1、全等三角形的性质：① ；② 。
2、全等三角形的判定方法： 。
3、如图，点P 是直线AB 外一点，作出点P 到直线AB 的距离。
【合作探究】1、如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是角平分线。
你能说明它的道理吗？2、按下列作法作一个角∠AOB 的平分线。
作法：① 以O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA 、OB 于M 、N 。
②分别以M 、N 为圆心，大于21MN 的长为 半径作弧．两弧在∠AOB 内部交于点C 。
③作射线OC ，射线OC 即为所求。
思考：OC 为什么一定平分∠AOB ？A BP O BA3、如图，点P 是∠AOB 平分线OC 上一点， 过P 点作点P 到射线OA 、OB 的距离，两个距离有和关系？如图，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P ，PD ⊥BC ，PE ⊥AC ，PF ⊥AB 。
求证：PD=PE=PF 。
1、如图，∠1=∠2，P F ⊥OA ，P E ⊥OB ，下列结论错误的是（ ）。
A 、PE=PFB 、OE=OFC 、∠EPO=∠FPOD 、PO=PE2、如图，用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB 的两边上分别取点M 、N ，使OM=ON ，再分别过点M 、N 作OA 、OB 的垂线，交点为P ，画射线OP ，可证得△POM ≌△PON ，OP 平分∠AOB ，以上依画法证明△POM ≌△PON 根据的是（ ）。
A 、SSSB 、SASC 、AASD 、HLA OBC P A B CN M P D E F B O A D P E F12A B C D F E （第1题图） （第2题图） （第3题图）3、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，垂足为E ，DF ⊥AC ，垂 足为F ，则下列结论错误的是（ ）A 、DE=DFB 、AD 上任意一点到E 、F 距离都相等C 、AE=AFD 、BD=DC4、在Rt ΔABC 中，∠ACB=90°，E 是AB 上一点，且BE=BC ，过E 作DE ⊥AB 交AC 于D ，如果AC=5cm ，则AD+DE=（ ）A 、3 cmB 、4 cmC 、5 cmD 、6 cm5(A)、如图，R t △ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，若AB=10cm,则△BDE 的周长为（ ）。
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角平分线的性质导学案
学习目标：
1.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力。
2.能够利用三角形全等，证明角平分线的性质。
3.能对角平分线的性质进行简单推理，解决一些实际问题。
学习重点：角平分线的性质。
学习难点：表达文字几何命题的证明过程。
一、概念回顾
角平分线：从一个的顶点引出一条，把这个角分成两个的角，这条叫做这个角的角平分线。
二、引入新课
活动1：在纸上任意画一个角，用剪刀剪下，如何确定角的平分线？
活动2：如图，是一个角平分仪器，其中AB=AD,BC=DC。
将点A放在角的顶点,AB和AD 沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?
活动3：如何用尺规作角的平分线？P19
三、探究验证
在∠AOB的平分线OC上任取一点P，然后，作点P到∠AOB两边的垂线段PD、 PE，画一画，量一量，从中你有什么新发现？你能说明其中的道理吗？
性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
用符号语言描述：如图，OC是∠AOB的平分线，
∵
∴PD=PE
验证性质：
已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB
求证：PD=PE
证明：
四、 巩固练习
A 组练习
1、如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，AB ＝5，CD ＝2.
求：（1）点D 到AB 的距离；（2）△ABD 的面积.
2．△ABC 中，AD 是它的角平分线，且BD ＝CD ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F .
求证EB ＝FC .
B 组练习
3、如图5、A B ∥CD ，∠B ＝90°，AE 平分∠DAB 。
DE 平分∠ADC ，
求证：E 是BC 的中点。
C 组练习 4．如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上的一点，P
D ⊥OA 交OA 于D ，P
E ⊥OB 交OB 于E ，
F 是OC 上的另一点，连接DF 、EF ，求证: DF ＝EF
5、如图、在△ABC 中，AB ＝7，BC ＝24，AC ＝25。
求内心到边的距离。