高考文科数学导数专题复习(20200618092703)

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(完整版)高三文科数学导数专题复习

高三文科数学导数专题复习1•已知函数f(x) ax bsin x,当x 时，f(x)取得极小值 3 .33 (I)求a , b 的值；(n)设直线l : y g(x),曲线S: y F(x).若直线l 与曲线S 同时满足下列两个条件：(1) 直线l 与曲线S 相切且至少有两个切点；(2) 对任意x € R 都有g(x) F(x).则称直线l 为曲线S 的“上夹线”.试证明：直线l : y x 2是曲线S : y ax bsinx 的“上夹线” •1 32 2 x 2ax 3a x 3(1)求函数f (x)的极大值; (2)若 x1 a,1 a 时，恒有 f (x) a 成立(其中f x 是函数f x 的导函数)，试确定实数a 的取值范围.3.如图所示, A 、B 为函数 C 2 / y 3x ( x 1)图象上两点，且AB//X 轴，点M (1 , m ) (m>3 )是厶ABC 边AC 的中点.(1)设点B 的横坐标为ABC (2)求函数Sf (t)的最大值，并求出相应的点的面积为S , 2.设函数f (x)1, 0 a 1.4.已知函数f(x) x al nx在(1,2］是增函数，g(x) x a・._x在(o,i)为减函数.(I) 求f (x)、g(x)的表达式；(II) 求证：当x 0时，方程f(x) g(x) 2有唯一解；1(III )当b 1时若f(x) 2bx 2在x € (0,1］内恒成立，求b的取值范围x5.已知函数f(x) x3 ax2 bx c在x 2处有极值，曲线y f (x)在x 1处的切线平行于直线y 3x 2，试求函数f (x)的极大值与极小值的差。

a6.函数f(x) 2x —的定义域为(0,1］( a为实数). x(1 )当a 1时，求函数y f (x)的值域；(2)若函数y f(x)在定义域上是减函数，求a的取值范围；(3)求函数y f (x)在x (0, 1］上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x的值.2 x7•设x=0是函数f (x) (x ax b)e (x R)的一个极值点.(I)求a与b的关系式(用a表示b),并求f (x)的单调区间；(n)设a 0,g(x) (a2 a 1)e x 2,问是否存在1,2 ［ 2,2］，使得|f(j g( 2)| 1成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由.8.设函数f(x) px q 2ln x，且f (e) qe卫2，其中e是自然对数的底数x(1)求p与q的关系;(2)若f(X)在其定义域内为单调函数，求p的取值范围;(3)设g(x)一，若在1,e上至少存在一点X0，使得f(x°) > g(x°)成立，求实数p的取值范围.X1 29.已知函数f(x) ax2 2x ln x2(1)当a=0时，求f (x)的极值.(2)当a z 0时，若f(x)是减函数，求a的取值范围;10•设M是由满足下列条件的函数 f (x)构成的集合：“①方程f (x) x 0有实数根；②函数f(x)的导数f (x)满足0 f (x) 1 .”(1 )判断函数f(x) 2 .乎是否是集合M中的元素，并说明理由；(2)集合M中的元素f (x)具有下面的性质：若f (x)的定义域为D,则对于任意m, n D，都存在x0m,n，使得等式f (n) f (m) (n m) f (x0)成立”，试用这一性质证明：方程f(x) x 0只有一个实数根；(3 )设石是方程f(x) x 0的实数根，求证：对于f(x)定义域中任意的X2H，当X2 X’1，且X3人1时，fX) f(X2) 2 .11.设函数f (X)丄X2e x.2(1)求f (x)的单调区间；(2)若当x€ [ —2, 2]时，不等式f (x) >m恒成立，求实数m的取值范围12.设函数f(x) tx2 2t2x t 1(x R, t 0)。

高考文科导数考点汇总完整版

高考文科导数考点汇总 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】高考导数文科考点总结一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。

导数概念与运算知识清单1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值x y∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。

如果当0→∆x 时，x y∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。

即f （x 0）=0lim→∆x x y ∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。

说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。

如果x y∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。

（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）：（1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；（2）求平均变化率x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=x yx ∆∆→∆0lim。

2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。

也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。

高考文科数学专题复习导数训练题(文)

高考文科数学专题复习导数训练题（文）一、考点回顾1.导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。

考查方式以客观题为主，主要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。

2.导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。

选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、不等式、数列的综合应用。

3.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值。

二、经典例题剖析考点一：求导公式。

例1. ()f x '是31()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是。

解析：()2'2+=x x f ，所以()3211'=+=-f答案：3点评：本题考查多项式的求导法则。

考点二：导数的几何意义。

例2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+= 。

解析：因为21=k ，所以()211'=f ，由切线过点(1(1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25，所以()251=f ，所以()()31'1=+f f答案：3例3.曲线32242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是。

解析：443'2--=x x y ，∴点(13)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-，带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x 答案：025=-+y x点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。

高考复习文科导数知识点总结

导数知识点一．考纲要求二．知识点1.导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-2.、几种常见函数的导数①'C 0=；②1')(-=n n nxx ； ③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '-=；⑤a a a xx ln )('=；⑥xx e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧xx 1)(ln '= 3.导数的运算法则（1）'''()u v u v ±=±. （2）'''()uv u v uv =+. （3）'''2()(0)u u v uv v v v-=≠. 4. 极值的判别方法：（极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值，极小值同理）当函数)(x f 在点0x 处连续时，①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值；②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值.也就是说0x 是极值点的充分条件是0x 点两侧导数异号，而不是)('x f =0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注①：若点0x 是可导函数)(x f 的极值点，则)('x f =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点0x 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数3)(x x f y ==，0=x 使)('x f =0，但0=x 不是极值点.②例如：函数||)(x x f y ==，在点0=x 处不可导，但点0=x 是函数的极小值点.极值与最值区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较. 5.导数与单调性（1）一般地，设函数 y = f ( x) 在某个区间可导，如果 f ′( x ) > 0 ，则 f ( x ) 为增函数；如果 f ′( x) < 0 ，则 f ( x) 为减函数；如果在某区间内恒有 f ′( x) = 0 ，则 f ( x) 为常数；（2）对于可导函数 y = f ( x) 来说， f ′( x ) > 0 是 f ( x ) 在某个区间上为增函数的充分非必要条件， f ′( x ) < 0 是 f ( x ) 在某个区间上为减函数的充分非必要条件；（3）利用导数判断函数单调性的步骤：①求函数 f ( x ) 的导数 f ′( x ) ；②令 f ′( x ) > 0 解不等式，得 x 的范围，就是递增区间；③令 f ′( x) < 0 解不等式，得 x 的范围，就是递增区间。

高考数学导数题型归纳(文科)

（二次函数区间最值的例子）第三种：构造函数求最值题型特征：)()(x g x f >恒成立0)()()(>-=⇔x g x f x h 恒成立；从而转化为第一、二种题型例3；已知函数32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 处的切线斜率为3-，（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域；（Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。

二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1：转化为0)(0)(''≤≥x f x f 或在给定区间上恒成立，回归基础题型解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；做题时一定要看清楚“在（m,n ）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b ）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集例x a )14+． a 的取值范围．例（（II ）若在[0，1]上单调递增，求a 三、题型二：根的个数问题题1函数f(x)与g(x)（或与x 解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；第三步：解不等式（组）即可；例6、已知函数232)1(31)(x k x x f +-=，kx x g -=31)(，且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数．（1）求实数k 的取值范围；（2）若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．根的个数知道，部分根可求或已知。

例7、已知函数321()22f x ax x x c =+-+ （1）若1x =-是()f x 的极值点且()f x 的图像过原点，求()f x 的极值；（2）若21()2g x bx x d =-+，在（1）的条件下，是否存在实数b ，使得函数()g x 的图像与函数()f x 的图像恒有含1x =-的三个不同交点？若存在，求出实数b 的取值范围；否则说明理由。

高考文科数学专题复习导数训练题文

高考文科数学专题复习导数训练题文Newly compiled on November 23, 2020考点一：求导公式。

例1. ()f x '是31()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是。

解析：()2'2+=x x f ，所以()3211'=+=-f 答案：3 考点二：导数的几何意义。

例2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+= 。

解析：因为21=k ，所以()211'=f ，由切线过点(1(1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25，所以()251=f ，所以()()31'1=+f f 答案：3例3.曲线32242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是。

解析：443'2--=x x y ，∴点(13)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-，带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x考点三：导数的几何意义的应用。

例4.已知曲线C ：x x x y 2323+-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。

解析：直线过原点，则()000≠=x x y k 。

由点()00,y x 在曲线C 上，则02030023x x x y +-=，∴2302000+-=x x x y 。

又263'2+-=x x y ，∴ 在()00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'0200+-==x x x f k ，∴26323020020+-=+-x x x x ，整理得：03200=-x x ，解得：230=x 或00=x （舍），此时，830-=y ，41-=k 。

(完整版)高考导数专题(含详细解答)

导数及其应用导数的运算1. 几种常有的函数导数：①、 c（ c 为常数）； ②、( x n )（ n R ）； ③、 (sin x) = ；④、 (cos x) =；⑤、( a x )； ⑥、 ( ex)； ⑦、 (log a x ) ； ⑧、 (ln x ).2. 求导数的四则运算法规：(u v)u v ； (uv) u vu'u v ' uv 'u ( v0 ) 注：① u, v 必定是可导函数 .uv ； (u)vuvvvv 223. 复合函数的求导法规：f x ( ( x))f (u) ? ( x) 或 y xy u ? u x一、求曲线的切线（导数几何意义）导数几何意义： f (x 0 ) 表示函数 y f (x) 在点 ( x 0 ， f (x 0 ) )处切线 L 的斜率；函数 y f (x) 在点 ( x 0 ， f (x 0 ) )处切线 L 方程为 y f (x 0 )f (x 0 )(x x 0 )1. 曲线在点处的切线方程为（）。

A:B:C:D:答案详解 B 正确率 : 69%, 易错项 : C解析 :本题主要观察导数的几何意义、导数的计算以及直线方程的求解。

对求导得，代入得即为切线的斜率，切点为，因此切线方程为即。

故本题正确答案为B 。

2.3. 设函数f ( x) g( x) x2，曲线 y g(x) 在点 (1,g(1)) 处的切线方程为 y 2x 1，则曲线 y f ( x) 在点 (1, f (1))处切线的斜率为( )A ．41C．21B ． D ．4 24. 已知函数 f ( x) 在R上满足 f ( x) 2 f (2 x) x28x 8，则曲线y f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是()A . y2x 1 B. y x C. y3x 2 D. y2x 3变式二：5. 在平面直角坐标系xoy 中，点P在曲线C : y x310 x 3 上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P 的坐标为.6. 设曲线 yx n 1 (n N * ) 在点（ 1，1）处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 x n ,令 a n lg x n ，则 a 1 a 2 L a 99 的值为.7. 已知点 P 在曲线 y=4 上，为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则的取值范围是e x1, 3]D 、 [ 3,A 、 [0, )B 、 [, ) C 、 ( )44 22 4 4变式三：8. 已知直线y =x＋ 1 与曲线y ln( x a) 相切，则α的值为( )A . 1 B. 2 C. － 1 D. － 29. 若存在过点 (1,0)的直线与曲线 yx 3 和 y ax 2 15 x 9 都相切，则 a 等于4( )A ． 1或 -25B ． 1或21C ． 7 或 - 25D ．7或 76444 6441 110. 若曲线 yx 2 在点 a, a 2 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则 aA 、64B 、 32C 、 16D 、811. （本小题满分 13 分）设 f ( x)ae x 1b( a 0) . （ I ）求 f ( x) 在 [0, ) 上的最小值；ae x3x ；求 a,b 的值 .（ II ）设曲线 yf ( x) 在点 (2, f (2)) 的切线方程为 y212. 若曲线 f x ax2Inx 存在垂直于y轴的切线，则实数 a 的取值范围是.二、求单调性或单调区间1、利用导数判断函数单调性的方法：设函数y f (x) 在某个区间 D 内可导，若是 f ( x) ＞0，则y f (x) 在区间D上为增函数；若是 f ( x) ＜0，则y f (x) 在区间 D 上为减函数；若是 f ( x) =0恒成立，则y f (x) 在区间 D 上为常数 .2、利用导数求函数单调区间的方法：不等式 f ( x) ＞0的解集与函数y f (x) 定义域的交集，就是y f ( x) 的增区间；不等式 f ( x) ＜0的解集与函数y f (x) 定义域的交集，就是y f (x) 的减区间 .1、函数f (x) ( x 3)e x的单调递加区间是( )A . ( ,2) B. (0,3) C. (1,4) D . (2, )2. 函数f (x)x315x233x 6 的单调减区间为.3. 已知函数，，谈论的单调性。

高考文科导数考点汇总

高考导数文科考点总结一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。

导数概念与运算知识清单 1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值x y∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。

如果当0→∆x 时，x y∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。

即f （x 0）=0lim →∆x x y∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。

说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。

如果x y∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。

（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。

2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。

也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。

相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。

3．几种常见函数的导数:①0;C '= ②()1;nn x nx-'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;⑤();x xe e '=⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x ex '=.4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： (.)'''v u v u ±=±法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv += 若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：.)(''Cu Cu =法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎪⎭⎫ ⎝⎛v u ‘=2''v uv v u -（v ≠0）。

[整理]人教版高考数学(文科)题型复习：导数

导数及其应用导数复习概念及其应用一、定义及意义1. 定义及概念: 0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2. 导数的意义，①物理意义：瞬时速率，变化率 ②几何意义：切线斜率000()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-③代数意义：函数增减速率二、导数的计算1.基本初等函数的导数公式 ① （c 为常数），即常数的导数等于0。

②③；④； ⑤；2.导数的运算法则①[()()]()()f x g x f x g x '''±=±②[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''∙=∙+∙③2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''∙-∙'= 3.复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=∙三、导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性一般的，在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>（等于），那么函数()y f x =在这个区间单调递增；如果()0f x '<（等于），那么函数()y f x =在这个区间单调递减；如果恒有，则在这一区间上为常函数。

(单调增或单调减区间内，可以存在'()=0f x )2.函数的极值与导数极值：设函数在点附近（区间）有定义，如果对附近的所有点，都有，则说是函数的一个极大值，记作；如果对附近的所有点，都有，则说是函数的一个极小值，记作。

设函数可导，且在点处连续，判定是极大（小）值的方法是：（Ⅰ）如果在点附近的左侧，右侧，则为极大值；（Ⅱ）如果在点附近的左侧，右侧，则为极小值；注意：导数为0的不一定是极值点，如；函数y=f(x)在一点的导数值为0是函数y=f(x)在这点取极值的既不充分又不必要条件；3．函数的最大值与最小值（最大值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最小值。

高考导数专题复习(2020年九月整理).doc

高考数学专题复习——导数目录一、有关切线的相关问题二、导数单调性、极值、最值的直接应用三、交点与根的分布1、判断零点个数2、已知零点个数求解参数范围四、不等式证明1、作差证明不等式2、变形构造函数证明不等式3、替换构造不等式证明不等式五、不等式恒成立求参数范围1、恒成立之最值的直接应用2、恒成立之分离常数3、恒成立之讨论参数范围六、函数与导数性质的综合运用导数运用中常见结论一、有关切线的相关问题例题、【2015高考新课标1，理21】已知函数f （x ）=31,()ln 4x ax g x x ++=-. (Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；【答案】（Ⅰ）34a =跟踪练习：1、【2011高考新课标1，理21】已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。

（Ⅰ）求a 、b 的值；解：（Ⅰ）221(ln )'()(1)x x b x f x x x α+-=-+由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a =，1b =。

2、(2013课标全国Ⅰ，理21)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2. (1)求a ，b ，c ，d 的值；解：(1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4. 而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x (cx ＋d ＋c )，故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4. 从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.3、 (2014课标全国Ⅰ，理21)设函数1(0ln x xbe f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b ；【解析】：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为()0,+∞，112()ln xx x x a b b f x ae x e e e x x x--'=+-+由题意可得(1)2,(1)f f e '==，故1,2a b == ……………6分二、导数单调性、极值、最值的直接应用（一）单调性1、根据导数极值点的相对大小进行讨论例题：【2015高考江苏，19】已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈++=.（1）试讨论)(x f 的单调性；【答案】（1）当0a =时， ()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >时， ()f x 在2,3a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()0,+∞上单调递增，在2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；当0a <时， ()f x 在(),0-∞，2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减．当0a <时，()2,0,3a x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，20,3a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以函数()f x 在(),0-∞，2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减．练习：1、已知函数1()ln 1af x x ax x-=-+-()a ∈R .⑴当12a ≤时，讨论()f x 的单调性；答案：⑴1()ln 1(0)a f x x ax x x -=-+->，222l 11()(0)a ax x a f x a x x x x --++-'=-+=> 令2()1(0)h x ax x a x =-+->①当0a =时，()1(0)h x x x =-+>，当(0,1),()0,()0x h x f x '∈><,函数()f x 单调递减；当(1,),()0,()0x h x f x '∈+∞<>，函数()f x 单调递增.②当0a ≠时，由()0f x '=，即210ax x a -+-=，解得1211,1x x a==-. 当12a =时12x x =，()0h x ≥恒成立，此时()0f x '≤，函数()f x 单调递减；当102a <<时，1110a ->>,(0,1)x ∈时()0,()0h x f x '><，函数()f x 单调递减；1(1,1)x a ∈-时，()0,()0h x f x '<>，函数()f x 单调递增；1(1,)x a∈-+∞时，()0,()0h x f x '><，函数()f x 单调递减.当0a <时110a-<，当(0,1),()0,()0x h x f x '∈><,函数()f x 单调递减；当(1,),()0,()0x h x f x '∈+∞<>，函数()f x 单调递增.综上所述：当0a ≤时，函数()f x 在(0,1)单调递减，(1,)+∞单调递增；当12a =时12x x =,()0h x ≥恒成立,此时()0f x '≤，函数()f x 在(0,)+∞单调递减；当102a <<时,函数()f x 在(0,1)递减,1(1,1)a -递增,1(1,)a-+∞递减.2、已知a 为实数，函数()(1)e x f x ax =+，函数1()1g x ax=-，令函数()()()F x f x g x =⋅．当0a <时，求函数()F x 的单调区间．解：函数1()e 1x ax F x ax +=-，定义域为1x x a ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭．当0a <时，222222221()21()e e (1)(1)xx a a x a x a a F x ax ax +---++'==--．令()0F x '=，得2221a x a +=． ……………………………………9分①当210a +<，即12a <-时，()0F x '<．∴当12a <-时，函数()F x 的单调减区间为1(,)a -∞，1(,)a +∞．………………11分②当102a -<<时，解2221a x a+=得12x x ==．∵1a <∴令()0F x '<，得1(,)x a ∈-∞，11(,)x x a∈，2(,)x x ∈+∞；令()0F x '>，得12(,)x x x ∈． ……………………………13分∴当102a -<<时，函数()F x 的单调减区间为1(,)a -∞，1(a，()+∞；函数()F x单调增区间为． …………15分 ③当210a +=，即12a =-时，由（2）知，函数()F x 的单调减区间为(,2)-∞-及(2,)-+∞2、根据判别式进行讨论例题：【2015高考四川，理21】已知函数22()2()ln 22f x x a x x ax a a =-++--+，其中0a >.（1）设()g x 是()f x 的导函数，评论()g x 的单调性；【答案】（1）当104a <<时，()g x在区间)+∞上单调递增，在区间上单调递减；当14a ≥时，()g x 在区间(0,)+∞上单调递增.【解析】（1）由已知，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()()222ln 2(1)ag x f x x a x x '==---+，所以222112()2()2224()2x a a g x x x x -+-'=-+=.当104a <<时，()g x 在区间)+∞上单调递增，在区间上单调递减；当14a ≥时，()g x 在区间(0,)+∞上单调递增. 练习：已知函数()ln af x x x x=--，a ∈R ．（1）求函数()f x 的单调区间；解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞．2221()1a x x af x x x x -++'=-+=．令()0f x '=，得20x x a -++=，记14a ∆=+．（ⅰ）当14a -≤时，()0f x '≤，所以()f x 单调减区间为(0,)+∞； …………5分（ⅱ）当14a >-时，由()0f x '=得12x x ==①若104a -<<，则120x x >>，由()0f x '<，得20x x <<，1x x >；由()0f x '>，得21x x x <<．所以，()f x 的单调减区间为，)+∞，单调增区间为； …………………………………………………………7分②若0a =，由（1）知()f x 单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,)+∞；③若0a >，则120x x >>，由()0f x '<，得1x x >；由()0f x '>，得10x x <<．()f x 的单调减区间为)+∞，单调增区间为． ……9分综上所述：当14a -≤时，()f x 的单调减区间为(0,)+∞；当104a -<<时，()f x 的单调减区间为，)+∞，单调增区间为；当0a ≥时，()f x 单调减区间为114(,)a+++∞，单调增区间为114(0,)a++． ………………………………………………………10分2. 已知函数1()()2ln ()f x a x x a x=--∈R ．求函数()f x 的单调区间；解：函数的定义域为()0,+∞，222122()(1)ax x af x a x x x -+'=+-=． ……………1分（1）当0a ≤时，2()20h x ax x a =-+<在(0,)+∞上恒成立，则()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，此时()f x 在(0,)+∞上单调递减． ……………4分（2）当0a >时，244a ∆=-，（ⅰ）若01a <<，由()0f x '>，即()0h x >，得211a x a -<或211a x a->； ………………5分由()0f x '<，即()0h x <221111a a x --+-<<．………………………6分所以函数()f x 的单调递增区间为211a --和211()a +-+∞，单调递减区间为221111(a a a a--． ……………………………………7分（ⅱ）若1a ≥，()0h x ≥在(0,)+∞上恒成立，则()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，此时()f x 在(0,)+∞上单调递增． ……………………………………………………………3、含绝对值的函数单调性讨论例题：已知函数()ln f x x x a x =--.（1）若a =1，求函数()f x 在区间[1,]e 的最大值; （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若()0f x >恒成立，求a 的取值范围解：（1）若a =1, 则()1ln f x x x x =--．当[1,]x e ∈时, 2()ln f x x x x =--,2'121()210x x f x x x x--=--=>，所以()f x 在[1,]e 上单调增, 2max ()()1f x f e e e ∴==--. ……………2分（2）由于()ln f x x x a x =--，(0,)x ∈+∞．（ⅰ）当0a ≤时，则2()ln f x x ax x =--，2'121()2x ax f x x a x x--=--=，令'()0f x =，得00x =>（负根舍去），且当0(0,)x x ∈时，'()0f x <；当0(,)x x ∈+∞时，'()0f x >，所以()f x 在上单调减，在)+∞上单调增.……4分（ⅱ）当0a >时，①当x a ≥时， 2'121()2x ax f x x a x x--=--=,令'()0f x =，得14a x =（4a x a =<舍），若4a a ≤，即1a ≥, 则'()0f x ≥，所以()f x 在(,)a +∞上单调增；若4a a >，即01a <<, 则当1(0,)x x ∈时，'()0f x <；当1(,)x x ∈+∞时，'()0f x >，所以()f x 在区间上是单调减，在)+∞上单调增. ……………………………………………6分②当0x a <<时, 2'121()2x ax f x x a x x-+-=-+-=,令'()0f x =，得2210x ax -+-=，记28a ∆=-，若280a ∆=-≤，即0a <≤, 则'()0f x ≤，故()f x 在(0,)a 上单调减；若280a ∆=->，即a >则由'()0f x =得3x =，4x =且340x x a <<<，当3(0,)x x ∈时，'()0f x <；当34(,)x x x ∈时，'()0f x >；当4(,)x x ∈+∞ 时，'()0f x >，所以()f x 在区间上是单调减，在上单调增；在)+∞上单调减. …………………………………………8分综上所述，当1a <时,()f x 单调递减区间是(0,4a ，()f x 单调递增区间是(,)4a +∞；当1a ≤≤, ()f x 单调递减区间是(0,)a ，()f x 单调的递增区间是(,)a +∞；当a >, ()f x 单调递减区间是(0, 4a )和()4a a ，()f x 单调的递增区间是和(,)a +∞. ………………10分（3）函数()f x 的定义域为(0,)x ∈+∞．由()0f x >，得ln xx a x->． * （ⅰ）当(0,1)x ∈时，0x a -≥，ln 0xx<，不等式*恒成立，所以R a ∈；（ⅱ）当1x =时，10a -≥，ln 0xx=，所以1a ≠； ………………12分（ⅲ）当1x >时，不等式*恒成立等价于ln x a x x <-恒成立或ln xa x x>+恒成立．令ln ()xh x x x =-，则221ln ()x x h x x -+'=．因为1x >，所以()0h x '>，从而()1h x >．因为ln xa x x<-恒成立等价于min (())a h x <，所以1a ≤．令ln ()xg x x x=+，则221ln ()x x g x x +-'=．再令2()1ln e x x x =+-，则1()20e x x x '=->在(1,)x ∈+∞上恒成立，()e x 在(1,)x ∈+∞上无最大值．综上所述，满足条件的a 的取值范围是(,1)-∞． …………………………16分 2．设a 为实数，函数2()||f x x x a =-（2）求函数()f x 的单调区间4、分奇数还是偶数进行讨论例题：【2015高考天津，理20已知函数()n ,nf x x x x R =-∈，其中*n ,n 2N ∈≥.(I)讨论()f x 的单调性；【答案】(I) 当n 为奇数时，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增；当n 为偶数时，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减. (II)见解析； (III)见解析.(2)当n 为偶数时，当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减.所以，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减. 5、已知单调区间求参数范围例题：（14年全国大纲卷文）函数f(x )=a x 3+3x 2+3x (a ≠0).（1）讨论函数f(x )的单调性；（2）若函数f(x )在区间（1，2）是增函数，求a 的取值范围.解：（1）2()363f x ax x '=++，2()3630f x ax x '=++=的判别式△=36（1-a ）.（i ）若a ≥1，则()0f x '≥，且()0f x '=当且仅当a=1，x =-1，故此时f （x ）在R 上是增函数.（ii ）由于a ≠0，故当a<1时，()0f x '=有两个根：121111a ax x -+----==，若0<a<1,则当x ∈（－∞，x 2）或x ∈（x 1，+∞）时，()0f x '>，故f （x ）在（－∞，x 2），（x 1，+∞）上是增函数；当x ∈（x 2，x 1）时，()0f x '<，故f （x ）在（x 2，x 1）上是减函数；（2）当a>0，x >0时, ()0f x '>，所以当a>0时，f （x ）在区间（1，2）是增函数. 若a<0时，f （x ）在区间（1,2）是增函数当且仅当(1)0f '≥且(2)0f '≥，解得504a -≤<. 综上，a 的取值范围是5[,0)(0,)4-+∞. 二、极值（一）判断有无极值以及极值点个数问题例题：【2015高考山东，理21】设函数()()()2ln 1f x x a x x =++-，其中a R ∈. （Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；（2）当0a > 时， ()()28198a a a a a ∆=--=-①当809a <≤时，0∆≤ ，()0g x ≥ 所以，()0f x '≥，函数()f x 在()1,-+∞上单调递增无极值；②当89a >时，0∆> 设方程2210ax ax a ++-=的两根为1212,(),x x x x < 因为1212x x +=- 所以，1211,44x x <->- 由()110g -=>可得：111,4x -<<-所以，当()11,x x ∈-时，()()0,0g x f x '>> ，函数()f x 单调递增；当()12,x x x ∈时，()()0,0g x f x '<< ，函数()f x 单调递减；当()2,x x ∈+∞时，()()0,0g x f x '>> ，函数()f x 单调递增；因此函数()f x 有两个极值点．（3）当0a < 时，0∆> 由()110g -=>可得：11,x <-当()21,x x ∈-时，()()0,0g x f x '>> ，函数()f x 单调递增；当()2,x x ∈+∞时，()()0,0g x f x '<< ，函数()f x 单调递减；因此函数()f x 有一个极值点．综上：当0a < 时，函数()f x 在()1,-+∞上有唯一极值点；当809a ≤≤时，函数()f x 在()1,-+∞上无极值点；当89a >时，函数()f x 在()1,-+∞上有两个极值点；例题：【2015高考安徽，理21】设函数2()f x x ax b =-+. （Ⅰ）讨论函数(sin )f x 在(,)22ππ-内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；【解析】（Ⅰ）2(sin )sin sin sin (sin )f x x a x b x x a b =-+=-+，22x ππ-<<.[(sin )]'(2sin )cos f x x a x =-，22x ππ-<<.因为22x ππ-<<，所以cos 0,22sin 2x x >-<<.①当2,a b R ≤-∈时，函数(sin )f x 单调递增，无极值. ②当2,a b R ≥∈时，函数(sin )f x 单调递减，无极值. ③当22a -<<，在(,)22ππ-内存在唯一的0x ，使得02sin x a =. 02x x π-<≤时，函数(sin )f x 单调递减；02x x π<<时，函数(sin )f x 单调递增.因此，22a -<<，b R ∈时，函数(sin )f x 在0x 处有极小值20(sin )()24a a f x fb ==-.（二）已知极值点个数求参数范围例题：【14年山东卷（理）】设函数())ln 2(2x xk x e x f x +-=（k 为常数， 2.71828e =是自然对数的底数）（I ）当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；（II ）若函数()f x 在()0,2内存在两个极值点，求k 的取值范围。

高考文科导数知识点总结

高考文科导数知识点总结高考是每个学生都渴望成功的重要考试，其中文科类科目的一项重点是数学。

在数学中，导数是一个关键的知识点。

本文将对高考文科中与导数相关的知识点进行总结和归纳，以帮助学生更好地掌握和应用导数。

一、导数的定义与求法导数是函数与自变量之间的变化率关系。

在数学中，我们通常使用极限的概念来定义一个函数的导数。

对于一个函数f(x)，它的导数可以表示为f'(x)或df/dx。

求函数的导数可以使用以下几种方法：1. 函数基本求导法则：常数法则、幂法则、指数函数求导法则、对数函数求导法则、三角函数求导法则等；2. 利用导数定义进行求导：利用导数的定义进行求导是一种基础的方法，根据导数定义计算极限得到准确的导数值；3. 复合函数求导法则：根据复合函数的求导法则可以求得复合函数的导数。

二、导数在函数图像中的应用导数在研究函数图像中有着重要的应用。

下面列举了一些常见的应用：1. 切线和法线：导数有助于确定函数图像上某点的切线和法线，切线的斜率等于该点的导数值，法线的斜率为导函数的负倒数；2. 函数的增减与极值：导数为正说明函数单调递增，导数为负说明函数单调递减，导数为零的点可能是函数的极值点；3. 函数的凹凸性与拐点：利用导数的二阶导数可以判断函数图像的凹凸性，凹函数和凸函数在导数的正负变化处有转折点，即拐点。

三、导数在变化率问题中的应用导数在变化率问题中也有着广泛的应用，比如速度、密度等问题。

以下是几个常见的应用场景：1. 平均变化率与瞬时变化率：平均变化率是指在两个点之间的变化率，瞬时变化率是指在某一点的瞬时速度；2. 边际变化与边际效益：导数还可以用来表示某一变量的边际变化，比如边际利润、边际成本等；3. 最优化问题：通过求解导数为零的点可以得到函数的最值点，这在最优化问题中十分常见。

四、常见的导数公式在高考文科中，以下是一些常见的导数公式，学生们可以熟练掌握和应用：1. 常数函数的导数为零；2. 幂函数的导数公式：(x^n)' = n*x^(n-1)，其中n为常数；3. 指数函数的导数公式：(e^x)' = e^x；4. 对数函数的导数公式：(log_a(x))' = 1/(x * ln(a))，其中a为底数；5. 三角函数的导数公式：(sin(x))' = cos(x)，(cos(x))' = -sin(x)，(tan(x))' = sec^2(x)；6. 反三角函数的导数公式：(arcsin(x))' = 1/sqrt(1-x^2)，(arccos(x))' = -1/sqrt(1-x^2)，(arctan(x))' = 1/(1+x^2)。

高考数学导数题型归纳(文科)

文科导数题型1.基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令0)('=x f 得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题2.不等式恒成立常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，4323()1262xm x x f x =--（1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围；（2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值.解:由函数4323()1262xm x x f x =--得32()332xm x f x x '=-- 2()3g x x m x ∴=--（1） ()y f x = 在区间[]0,3上为“凸函数”，则 2()30g x x m x ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于m ax ()0g x <(0)0302(3)09330g m g m <-<⎧⎧⇒⇒>⎨⎨<--<⎩⎩ 解法二：分离变量法：∵ 当0x =时, 2()330g x x m x ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2()30g x x m x =--<恒成立等价于233x m x xx->=-的最大值（03x <≤）恒成立，而3()h x x x=-（03x <≤）是增函数，则m ax ()(3)2h x h == 2m ∴>(2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”则等价于当2m ≤时2()30g x x m x =--< 恒成立变更主元法：再等价于2()30F m m x x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题）22(2)023011(2)0230F x x x F x x ⎧->--+>⎧⎪⇒⇒⇒-<<⎨⎨>-+>⎪⎩⎩ 2b a ∴-=例2：设函数),10(3231)(223R b a b x a axx x f ∈<<+-+-=（Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围. （二次函数区间最值的例子）解：（Ⅰ）()()22()433f x x ax a x a x a '=-+-=---01a <<令,0)(>'x f 得)(x f 的单调递增区间为(,3)a a令,0)(<'x f 得)(x f 的单调递减区间为(,)(3,)a a -∞+∞和∴当x=a 时，)(x f 极小值=;433b a+-当3x a =时，)(x f 极大值b =（Ⅱ）由|)(x f '|≤a ，得：对任意的],2,1[++∈a a x 2243a x ax a a -≤-+≤恒成立①则等价于()g x 这个二次函数m ax m in ()()g x a g x a ≤⎧⎨≥-⎩ 22()43g x x ax a =-+的对称轴2x a =01,a << 12a a a a +>+=（放缩法）即定义域在对称轴的右边，()g x 这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。

人教版高考文科数学专题复习导数训练题及参考答案

高考文科数学专题复习导数训练题（文）(附参考答案)一、考点回顾1．导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义.2.导数的应用是高中数学中的重点内容,导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具,特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题.选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题,解答题侧重于导数的综合应用,即与函数、不等式、数列的综合应用.3.应用导数解决实际问题,关键是建立适当的数学模型（函数关系）,如果函数在给定区间内只有一个极值点,此时函数在这点有极值,而此时不用和端点值进行比较,也可以得知这就是最值.二、经典例题剖析考点一：求导公式例1是的导函数，则.考点二：导数的几何意义例2. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则.考点三：导数的几何意义的应用例3.已知曲线直线且直线与曲线相切于点求直线的方程及切点坐标.考点四：函数的单调性例4.设函数在及时取得极值.(1)求的值及函数的单调区间；(2)若对于任意的都有<成立，求的取值范围.考点五：函数的最值例5.已知为实数，(1)求导数；(2)若求在区间上的最值.考点六：导数的综合性问题例6. 设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数(1)求的值；(2)求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值.例7．已知在区间上是增函数,在区间上是减函数，又．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）若在区间上恒有成立，求的取值范围．例8．设函数（），其中．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求函数的极大值和极小值；（Ⅲ）当时，证明存在，使得不等式对任意的恒成立．例9．已知在上是增函数,上是减函数,方程有三个实根，它们分别是(1)求的值，并求实数的取值范围；(2)求证：≥三、方法总结（一）方法总结导数是中学限选内容中较为重要的知识，由于其应用的广泛性，为我们解决所学过的有关函数问题提供了一般性方法，是解决实际问题强有力的工具．导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的对象．要牢记导数公式，熟练应用导数公式求函数的导数，掌握求导数的方法．应用导数解决实际问题的关键是要建立恰当的数学模型，了解导数概念的实际背景．应用导数求函数最值及极值的方法在例题讲解中已经有了比较详细的叙述．（二）高考预测导数的考查方式以客观题为主，主要考查求导数的基本公式和法则，以及导数的几何意义．也可以解答题的形式出现，即以导数的几何意义为背景设置成导数与解析几何的综合题．导数的应用是重点，侧重于利用导数确定函数的单调性和极值、最值、值域问题．四、强化训练1．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ A ）A．1B．2C．3D．42．函数已知在时取得极值，则（D ）（A）2（B）3（C）4（D）53．函数在区间上的最大值是（A）A．B．C．D．4．三次函数在内是增函数，则（ A ）A．B．C．D．5．在函数的图象上,其切线的倾斜角小于的点中,坐标为整数的点的个数是（ D ）A．3B．2C．1D．06．已知函数当时，取得极大值7；当时，取得极小值．求这个极小值及的值．7．设函数已知是奇函数.（1）求的值；（2）求的单调区间与极值.8．用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？9．已知函数，其中是的导函数.(I)对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围；(II)设，当实数在什么范围内变化时，函数的图象与直线只有一个公共点.10．设函数．(I)求的最小值；(II)若对恒成立，求实数的取值范围．11．设函数(I)若函数在处取得极小值求的值；(II)求函数的单调递增区间；(III)若函数在上有且只有一个极值点，求实数的取值范围．12．已知二次函数满足：对任意，都有≥且当时，有≤成立．(I)试求的值；(II)若求的表达式；(III)在(II)的条件下，若时，>恒成立，求实数的取值范围．13．已知函数(I)当时，求的最大值和最小值；(II)当<2且时，无论如何变化，关于的方程总有三个不同实根，求的取值范围．例题参考答案例13；例23；例3 ；例4 (1)增区间为；减区间为，(2)；例5 (1) (2)；例6 (1) (2)；例7解：（Ⅰ），由已知，即解得，，，．（Ⅱ）令，即，，或．又在区间上恒成立，．例8解：（Ⅰ）当时，，得，且，．所以，曲线在点处的切线方程是，整理得．（Ⅱ）解：，．令，解得或．由于，以下分两种情况讨论．（1）若，当变化时，的正负如下表：因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且．（2）若，当变化时，的正负如下表：因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且．（Ⅲ）证明：由，得，当时，，．由（Ⅱ）知，在上是减函数，要使，只要即①设，则函数在上的最大值为．要使①式恒成立，必须，即或．所以，在区间上存在，使得对任意的恒成立．例9解：(1)在上是增函数，在上是减函数，所以当时，取得极小值，又方程有三实根，的两根分别为又在上是增函数，在上是减函数，>0在上恒成立，<0在上恒成立．由二次函数的性质知，>0且≥<≤故实数的取值范围为(2)是方程的三个实根，则可设又有<≤≥强化训练答案：6．解：.据题意，－1，3是方程的两个根，由韦达定理得∴，∴极小值7．解：（1）∵，∴。

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导数概念与运算知识清单 1 .导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在X 。

处有增量 X,那么函数y 相应地有增量y=f (x 0+ X ) —f(x 0),yy f(x 。

x) f(x 。

)比值 x 叫做函数y=f f x )在x 0到x 0+ x 之间的平均变化率，即x =x。

_y如果当 x 0时，x 有极限，我们就说函数 y=f(x)在点X 。

处可导，并把这个极限叫做f ( x )在点x 0处的导数，记作f '(x 0 )或y'x/。

y f(x 。

x) f(x 。

) lim lim即 f (x 0) = X 0 X = x 0 x说明：(1) 函数f (X )在点X 0处可导，是指 X 数在点X 0处不可导，或说无导数。

(2)X是自变量X 在X 0处的改变量，X由导数的定义可知，求函数 y=f (X )在点X 0处的导数的步骤(可由学生来归纳)： (1)求函数的增量 y=f (x 0+ x )- f (x 0 )；y f(x °x) f(x °)(2) 求平均变化率 x =x;.. ylim —(3) 取极限，得导数f ' (X )= x 0 x 。

2 •导数的几何意义函数y=f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线 y=f (x )在点p (x 0, f (x 0))处的切线的斜率。

也就是说，曲线 y=f (x )在点p (x 0, f (x 0))处的切线的斜率是 f' (x 0)。

相应地，切线y y0时， X 有极限。

如果 x 不存在极限，就说函0时，而 y 是函数值的改变量，可以是零。

方程为y—y0=f/ (x0) (x-x0)。

4 •两个函数的和、差、积的求导法则法则1:两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即：（U V ） u v.法则2:两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个III函数乘以第二个函数的导数，即：（uv ） uv uv .若C 为常数，则（Cu ） Cu Cu 0 Cu Cu .即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数II的导数：（Cu ） Cu .法则3:两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除U u'v uv'2以分母的平方： v‘ =v（ v 0）。

2020年高考文科数学二轮专题复习三：导数(附解析)

2020年高考文科数学二轮专题复习三：导数（附解析）1．根据导数的几何意义求解函数切线问题；2．利用导数求函数的单调区间、极值点、最值；3．利用导数讨论函数零点；4．通过导数讨论最值分析求解恒成立问题；5．利用导数解决生活中的优化问题．一、求函数的单调区间（1）在利用函数导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．（2）涉及含参函数的单调性问题，一定要弄清参数对导数()f x'在某一区间内的符号是否有影响．若有影响，则必须分类讨论．讨论时要注意不重不漏，最后还要总结．（3）求可导函数()y f x=的单调区间，实际上就是解不等式()0f x'>或()0f x'<；若函数()y f x=含有参数，则就是解含参数的不等式()0f x'>或()0f x'<，答题模板二、由函数的单调性求参数的值或取值范围：已知含参数函数()y f x =在给定区间I 上递增(减)，求参数范围．求解方法一：不等式()0f x '≥(()0f x '≤)在区间I 上恒成立．求解方法二：求得递增(减)区间A ，利用I 与A 的关系求解．三、利用导数讨论函数零点或函数值域（1）依函数的单调性求函数的零点或求零点存在的区间由根的存在性定理知，若函数()f x 在区间[,]a b 上为单调函数，且()()0f a f b <，则必定存在一点[,]c a b ∈，使得()0f c =，即点c 为()f x 的一个零点．（2）依函数的单调性求函数的值域若函数()f x 在区间[,]a b 上单调递增，则函数()f x 的值域为[(),()]f a f b ；若函数()f x 在区间[,]a b 上单调递减，则函数()f x 的值域为[(),()]f a f b ．四、构造函数证明不等式若证明不等式()()f x g x >，(,)x a b ∈，可以转化为证明()()0f x g x ->，如果[()()]0f x g x '->，那么说明函数()()()F x f x g x =-在(,)a b 上是增函数．如果()()()F x f x g x =-是增函数，且()0F a ≥，那么当(,)x a b ∈时，()()()()0F x f x g x F a =->≥，即()()f x g x >．注意：根据题目自身的特点，恰当地构造函数，利用函数的单调性可以解答一些证明唯一性及不等式的问题．在构造函数关系式时，应尽可能选择求导和判断导数符号都比较容易的函数．五、函数极值的概念六、函数的最大值与最小值1．若函数()ln f x x a x =-在区间(1,)+∞上存在零点，则实数a 的取值范围为（）A ．1(0,)2B ．1(,)2eC ．(0,)+∞D ．1(,)2+∞2．若曲线2()(1)x f x x ax e =++，在点(0,(0))f 处的切线过点(2,2)，则实数a 的值为． 3．已知函数()ln x f x xe a x ax a e =--+-．（1）若()f x 为单调递增函数，求a 的取值范围；（2）若函数()f x 仅一个零点，求a 的取值范围．经典常规题（45分钟）1．已知函数()(ln )()xe f x k x x k x=-+∈R ，如果函数()f x 在(0,)+∞只有一个极值点，则实数k 的取值范围是（） A ．(0,1]B ．(,1]-∞C ．(,]e -∞D ．[,)e +∞2．曲线sin y x x =在点(,0)π处的切线方程为．3．已知函数21()cos 2f x x m x =+，()f x '是()f x 的导函数，()()1g x f x '=+．（1）当2m =时，判断函数()g x 在(0,)π上是否存在零点，并说明理由；（2）若()f x 在(0,)π上存在最小值，求m 的取值范围．高频易错题1．已知()f x 为偶函数，且当0x ≥时，31()cos sin 3f x x x x x =-+，则满足不等式212(log )(log )2(1)f m f m f +<的实数m 的取值范围为（）A ．1(,2)2B ．(0,2)C ．1(0,)(1,2)2UD ．(2,)+∞2．曲线ln 2()x xf x x-=在点(1,2)-处的切线方程为． 3．已知函数2()()ln f x a b x x x x =---．（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，且(1)f a =，求a ，b 的值；（2）若1a =，()0f x ≥对(0,)x ∈+∞恒成立，求b 的取值范围．精准预测题4．已知函数3211()(1)()323a f x x x x x a =-++-∈R ．（1）若1a >，求函数()f x 的极值；（2）若01a <<时，判断函数()f x 在区间[0,2]上零点的个数．2020年高考文科数学二轮专题复习三：导数（解析）1．根据导数的几何意义求解函数切线问题；2．利用导数求函数的单调区间、极值点、最值；3．利用导数讨论函数零点；4．通过导数讨论最值分析求解恒成立问题；5．利用导数解决生活中的优化问题．一、求函数的单调区间（1）在利用函数导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．（2）涉及含参函数的单调性问题，一定要弄清参数对导数()f x'在某一区间内的符号是否有影响．若有影响，则必须分类讨论．讨论时要注意不重不漏，最后还要总结．（3）求可导函数()y f x=的单调区间，实际上就是解不等式()0f x'>或()0f x'<；若函数()y f x=含有参数，则就是解含参数的不等式()0f x'>或()0f x'<，答题模板二、由函数的单调性求参数的值或取值范围：已知含参数函数()y f x =在给定区间I 上递增(减)，求参数范围．求解方法一：不等式()0f x '≥(()0f x '≤)在区间I 上恒成立．求解方法二：求得递增(减)区间A ，利用I 与A 的关系求解．三、利用导数讨论函数零点或函数值域（1）依函数的单调性求函数的零点或求零点存在的区间由根的存在性定理知，若函数()f x 在区间[,]a b 上为单调函数，且()()0f a f b <，则必定存在一点[,]c a b ∈，使得()0f c =，即点c 为()f x 的一个零点．（2）依函数的单调性求函数的值域若函数()f x 在区间[,]a b 上单调递增，则函数()f x 的值域为[(),()]f a f b ；若函数()f x 在区间[,]a b 上单调递减，则函数()f x 的值域为[(),()]f a f b ．四、构造函数证明不等式若证明不等式()()f x g x >，(,)x a b ∈，可以转化为证明()()0f x g x ->，如果[()()]0f x g x '->，那么说明函数()()()F x f x g x =-在(,)a b 上是增函数．如果()()()F x f x g x =-是增函数，且()0F a ≥，那么当(,)x a b ∈时，()()()()0F x f x g x F a =->≥，即()()f x g x >．注意：根据题目自身的特点，恰当地构造函数，利用函数的单调性可以解答一些证明唯一性及不等式的问题．在构造函数关系式时，应尽可能选择求导和判断导数符号都比较容易的函数．五、函数极值的概念六、函数的最大值与最小值1．若函数()ln f x x a x =-在区间(1,)+∞上存在零点，则实数a 的取值范围为（）A ．1(0,)2 B ．1(,)2e C ．(0,)+∞ D ．1(,)2+∞ 【答案】D 【解析】因为函数()ln f x x a x =，所以()1a f x x '=-=．令()22g x x a =-，因为()2g x '== 当(1,)x ∈+∞时，10>，0>，所以()0g x '>，所以()g x 在(1,)+∞上为增函数，则()(1)12g x g a >=-，当120a -≥时，()0g x >，所以()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞上为增函数，则()(1)0f x f >=，所以()f x 在(1,)+∞上没有零点；当120a -<时，即12a >，因为()g x 在(1,)+∞上为增函数，则存在唯一零点的0(1,)x ∈+∞，使得0()0g x =，且当0(1,)x x ∈时，()0g x <；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >，所以当0(1,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数；当0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数，当0x x =时，min 0()()f x f x =，经典常规题因为0()(1)0f x f <=，当x 趋于+∞时，()f x 趋于+∞，所以在0(,)x x ∈+∞内，()f x 一定存在一个零点．所以1(,)2a ∈+∞． 2．若曲线2()(1)x f x x ax e =++，在点(0,(0))f 处的切线过点(2,2)，则实数a 的值为．【答案】12- 【解析】2()(12)x f x x ax x a e '=++++，(0)1f =，(0)1f a '=+，切线方程为1(1)y a x -=+，切线过点(2,2)，∴212(1)a -=+，∴12a =-． 3．已知函数()ln x f x xe a x ax a e =--+-．（1）若()f x 为单调递增函数，求a 的取值范围；（2）若函数()f x 仅一个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）(,0]-∞；（2）0a ≤或a e =．【解析】（1）由()ln (0)x f x xe a x ax a e x =--+->，得(1)()()(1)(1)x xa x xe a f x e x x x x +-'=+-=+，因为()f x 为单调递增函数，所以当0x >时，()0f x '≥，由于11x +>，于是只需x a xe ≤对于0x >恒成立，令()x u x xe =，则()(1)x u x x e '=+，当0x >时，()0u x '>，所以()x u x xe =为增函数，所以()(0)0u x u >=．当(0)a u ≤，即0a ≤时，x a xe ≤恒成立，所以()f x 为单调递增函数时，a 的取值范围是(,0]-∞．（2）因为(1)0f =，所以1x =是()f x 的一个零点．由（1）知，当0a ≤时，()f x 为(0,)+∞的增函数，此时关于x 的方程()0f x =仅一解1x =，即函数()f x 仅一个零点，满足条件；当0a >时，由(1)0f '=，得a e =，①当a e =时，()ln xf x xe e x ex =--，则()()(1)x xe e f x x x -'=+，令()x v x xe e =-，易知()v x 在(0,)+∞的增函数，且(1)0v =，所以当01x <<时，()0v x <，则()0f x '<，()f x 为减函数；当1x >时，()0v x >，则()0f x '>，()f x 为增函数，所以()0f x ≥在(0,)+∞上恒成立，且仅当(1)0f =，于是函数()f x 仅一个零点，所以a e =满足条件； ②当a e >时，由于()x v x xe a =-在(1,)+∞为增函数，则(1)0v e a =-<，又当x →+∞时，()v x →+∞，则存在01x >，使得0()0v x =，即使得0()0f x '=，当0(1,)x x ∈时，0()()0v x v x <=，则()0f x '<，当0(,)x x ∈+∞时，0()()0v x v x >=，则()0f x '>，所以()f x 在0(1,)x 上递减，在0(,)x +∞上递增，所以0()(1)0f x f <=，且当x →+∞时，()f x →+∞．于是当0(,)x x ∈+∞时，存在()0f x =的另一解，不符合题意，舍去；③当0a e <<时，则()x v x xe a =-在(1,)+∞为增函数，又(0)0v a =-<，(1)0v e a =->，所以存在001x <<，使得0()0v x =，也就使得0()0f x '=，当0(0,)x x ∈时，()0v x <，()0f x '<；当0(,1)x x ∈时，()0v x >，()0f x '>，所以()f x 在0(0,)x 上递减，在0(,1)x 上递增，所以0()(1)0f x f <=，且当0x →时，()f x →+∞．于是在0(0,)x 时存在()0f x =的另一解，不符合题意，舍去，综上，a 的取值范围为0a ≤或a e =．1．已知函数()(ln )()xe f x k x x k x=-+∈R ，如果函数()f x 在(0,)+∞只有一个极值点，则实数k 的取值范围是（）A ．(0,1]B ．(,1]-∞C ．(,]e -∞D ．[,)e +∞【答案】C 【解析】2()(1)()x e kx x f x x --'=函数()f x 的定义域为(0,)+∞， ①当0k ≤时，0x e kx ->恒成立，令()0f x '>，则1x >，即()f x 在(1,)+∞上单调递增，在(0,1)上单调递减，则()f x 在1x =处取得极小值，符合题意；②当0k >时，∵1x =时，()0f x '=，又函数()f x 在定义域为(0,)+∞只有一个极值点，∴()f x 在1x =处取得极值．从而0x e kx ->或0x e kx -<恒成立，构造函数()x h x e =，()g x kx =，()x h x e '=，设()g x kx =与()x h x e =相切的切点为00(,)x x e ，则切线方程为000()x xy e e x x -=-，高频易错题（45分钟）因为切线过原点，则0000(0)x xe e x -=-，解得01x =，则切点为(1,)e ，此时k e =．由图可知：要使0x e kx ->恒成立，则k e ≤．综上所述：(,]k e ∈-∞．2．曲线sin y x x =在点(,0)π处的切线方程为．【答案】2y x ππ=-+【解析】曲线sin y x x =，则()sin (sin )sin cos y x x x x x x x '''=+=+，所以在点(,0)π处的切线的斜率为sin cos k ππππ=+=-，由点斜式可得2()y x x ππππ=--=-+，故答案为2y x ππ=-+． 3．已知函数21()cos 2f x x m x =+，()f x '是()f x 的导函数，()()1g x f x '=+．（1）当2m =时，判断函数()g x 在(0,)π上是否存在零点，并说明理由；（2）若()f x 在(0,)π上存在最小值，求m 的取值范围．【答案】（1）不存在零点，详见解析；（2）(1,)+∞．【解析】（1）2m =时，()2sin 1g x x x =-+，令()0g x '=，即1cos 2x =，(0,)x π∈，得3x π=，当x 变化时，()g x '，()g x 变化如下：∴函数()g x 的单调递减区间为(0,)3π，单调递增区间为(,)3ππ．∴()g x 的极小值为()1033g ππ=+>，∴函数()g x 在(0,)π上不存在零点．（2）因为21()cos 2f x x m x =+，所以()sin f x x m x '=-，令()()sin h x f x x m x '==-，则()1cos h x m x '=-．①当1m <时，1cos 0m x ->，即()0h x '>，∴()()sin h x f x x m x '==-在(0,)π单调递增，∴(0,)x π∈时，()(0)0h x h >=，∴()f x 在(0,)π单调递增，∴()f x 在(0,)π不存在最小值；②当1m >时，1(0,1)m ∈，则()1cos 0h x m x '=-=，即1cos x m=在(0,)π内有唯一解0x ，当0(0,)x x ∈时，()0h x '<；当0(,)x x π∈时，()0h x '>，所以()h x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,)x π上单调递增，所以0()(0)0h x h <=，又因为()0h ππ=>，所以()sin h x x m x =-在0(,)(0,)x ππ⊆内有唯一零点1x ，当1(0,)x x ∈时，()0h x <，即()0f x '<；当1(,)x x π∈时，()0h x >，即()0f x '>，所以()f x 在1(0,)x 上单调递减，在1(,)x π上单调递增，所以函数()f x 在1x x =处取得最小值，即1m >时，函数()f x 在(0,)π上存在最小值．综上所述，()f x 在(0,)π上存在最小值时，m 的取值范围为(1,)+∞．1．已知()f x 为偶函数，且当0x ≥时，31()cos sin 3f x x x x x =-+，则满足不等式212(log )(log )2(1)f m f m f +<的实数m 的取值范围为（）A ．1(,2)2 B ．(0,2) C ．1(0,)(1,2)2U D ．(2,)+∞【答案】A【解析】∵()f x 是偶函数，∴12222(log )(log )(log )(log )f m f m f m f m =-==，则不等式212(log )(log )2(1)f m f m f +<可化为22(log )2(1)f m f <，即2(log )(1)f m f <，0x ≥时，31()cos sin 3f x x x x x =-+，2()cos sin cos (sin )f x x x x x x x x x '=--+=-，令()sing x x x =-，则()1cos 0g x x '=-≥，∴()g x 是R 上的增函数，∴当0x >时，()(0)0g x g >=，∴0x ≥时，()0f x '≥，∴()f x 在[0,)+∞上是增函数． ∴由2(log )(1)f m f <，得2log 1m <，即21log 1m -<<，122m <<． 2．曲线ln 2()x x f x x-=在点(1,2)-处的切线方程为．【答案】30x y --=精准预测题【解析】因为ln 2()x x f x x -=，∴21(2)(ln 2)1ln ()x x x x x f x x x2----'==，因此21ln1(1)11f -'==，即曲线ln 2()x x f x x-=在点(1,2)-处切线斜率为(1)1k f '==，因此，曲线ln 2()x x f x x -=在点(1,2)-处的切线方程为21y x +=-，所以，30x y --=即为所求切线方程．3．已知函数2()()ln f x a b x x x x =---．（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，且(1)f a =，求a ，b 的值；（2）若1a =，()0f x ≥对(0,)x ∈+∞恒成立，求b 的取值范围．【答案】（1）0a =，1b =-；（2）(,0]b ∈-∞．【解析】（1）2()()ln f x a b x x x x =---，()2()ln 2f x a b x x '=---，由(1)1(1)2()20f a b a f a b =--=⎧⎨'=--=⎩，得01a b =⎧⎨=-⎩．（2）因为1a =，2()(1)ln f x b x x x x =---，()0f x ≥等价于1ln 1x b x x≤--，令1ln ()1x g x x x =--，2ln ()x g x x'=，当(0,1)x ∈时，()0g x '<，所以()g x 在(0,1)上单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，所以()g x 在(1,)+∞上单调递增，所以min ()(1)0g x g ==，所以(,0]b ∈-∞．4．已知函数3211()(1)()323a f x x x x x a =-++-∈R ．（1）若1a >，求函数()f x 的极值；（2）若01a <<时，判断函数()f x 在区间[0,2]上零点的个数．【答案】（1）极大值为222316a a a -+-，极小值为1(1)6a --；（2）见解析．【解析】（1）∵3211()(1)323a f x x a x x =-++-， ∴21()(1)1(1)()f x ax a x a x x a '=-++=--，因为1a >，所以101a<<，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：由表可得当1x a=时，()f x 有极大值，且极大值为221231()6a a f a a -+-=；当1x =时，()f x 有极小值，且极小值为1(1)(1)6f a =--．（2）由（1）得1()(1)()f x a x x a'=--． ∵01a <<，∴11a>． ①当12a ≥，即102a <≤时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上递减，又因为1(0)03f =-<，1(1)(1)06f a =-->，1(2)(21)03f a =-≤，所以()f x 在(0,1)和(1,2)上各有一个零点，所以()f x 在[0,2]上有两个零点． ②当112a <<，即112a <<时，()f x 在(0,1)上单调递增，在1(1,)a 上递减，在1(,2)a 上递增，又因为1(0)03f=-<，1(1)(1)06f a=-->，21(21)(1)()06a afa a---=>，所以()f x在[0,1]上有且只有一个零点，在[1,2]上没有零点，所以在[0,2]上有且只有一个零点．综上：当12a<≤时，()f x在[0,2]上有两个零点；当112a<<时，()f x在[0,2]上有且只有一个零点．。