9-2 一阶方程2

2 2
【例2】解方程
y dx ( x x 2 y 2 ) dy 0 y x 2 变形： dy dx dx 1 x y x y dy 0 2 1 ( y x) 1 y 【解法一】 令 u y xu d y u d x x d u x
1 1 1 du u u2 1 du dx 2 x dx x (1 u 2 1 ) u u 1 u x 【解法二】 令 v x yv d x v d y y d v y dv dy 2 代入原方程得 ydv 1 v dy 2 y 1 v arcsin v ln y C
代入原方程得
通解为 x y sin(ln y C )
【例3】解方程
【解】 y d y y 2 2 x dx
2x y y y
1 d y2 y 2 2 x 即 2 dx
四. 伯努利(Bernoulli)方程
dy 标准形式： P ( x ) y Q( x ) y ( 0,1; Q( x ) 0) dx dy 解法 变形： y P ( x ) y 1 Q ( x ) dx 1 dy 1 即 P ( x ) y 1 Q ( x ) 1 dx
P(kN)
y = f (x)
x
1 x2 2 1 2 x 2
( 3) y xy e
( x) e

1 dx x
e ln x x
( x) e
xd x
e
一般情况
y P ( x ) y Q( x )
两边同乘一个函数 ( x ) ，使两边都成为导数
( x ) y ( x ) P ( x ) y ( x )Q( x )
解法：常数变易法
y e 通解公式
P ( x ) dx
Q ( x ) e P ( x )d x d x C 其中C为任意常数
【例3】求解 x d y y d x y 2 e y d y 分析： d y
dx y x y 2e y
1 d x x y 2e y x ye y 一阶线性非齐次方程 y dy y 1 y 【解】原方程变形为： x x ye y
dy d u 则 ab dx dx
可分离变量
【例2】
y' 3 2 arctan 4 x y x 1 y2
【解】 1
dy 3 2 x arctan y 4 x 1 y2 d x d arctan y 2 x arctan y 4 x 3 dx du 令 u arctan y， 即得线性方程 2 xu 4 x 3 dx x2 通解为 arctan y Ce 2 x 2 2 dy 说明 形如 ( y ) P ( x ) ( y ) Q( x ) 的方程， dx
由已知得：( yy) y a
2 2 2
y a2 y2
d y dx
通解
a 2 y 2 ( x C )2
【例2】(桥墩形状问题) 已知上端总压力P(kN)， 3 材料密度为 ( kg m )，每个 截面容许压强 k ( kN m 2 )，设 每个截面都是园, 求使材料 最省的桥墩形状. (P87例2)
2 y xy xy 【例6】解方程
五、补充说明
a1 x b1 y c1 dy 【例1】 f( ) a 2 x b2 y c2 dx a1 x b1 y a1 b1 y x dy f( (1) ) f( ) a 2 x b2 y a 2 b2 y x dx a1 x b1 y c1 dy f( ( 2) ) a 2 x b2 y c2 dx
作代换 u ( y )， 将原方程化为 u P ( x )u Q( x )
Bernoulli方程即为其特例.
【例3】 xy ln x sin y cos y (1 x cos y ) 0
dy 1 【解】 sin y cos y (1 x cos y ) 0 d x x ln x d cos y 1 cos y (1 x cos y ) 0 x ln x dx
dy a1 x b1 y c1 ( 3) ) f( dx a 2 x b2 y c2
a 1 b1 a 2 b2
B ) f (A a 2 x b2 y c2
g (ax by c )
直接令 ax by c u
u a 原方程化为 g ( u) b 例 如 y cos( x y )
令 u cos y，得
u
1 1 u u2 x ln x x ln x
Bernoulli方程
通解为
ln x ( x C ) cos y
2. 观察法解线性方程 【例】(1) y cos x y sin x e x
(2) y
(凑微分)
y x? 1 xy y x x 1 2 1 2 ( xy ) ( x ) xy x C 2 2
3. 建立微分方程
(1)根据几何、物理(运动学)
( 2)微元法
【例1】曲线上任一点的法线上，切点到法线与 x 轴 交点之距为a，求曲线 . 【解】设切点为M(x, y)
1 法线方程： Y y ( X x ) y 法线与 x 轴交点 P ( x yy, 0)
y M a P x
要 ( ( x ) y ) (
( x ) ( x ) P ( x )
)
( ( x ) y ) ( x ) y ( x ) y

d

P d x ln P d x
( x) e P d x
(只需取一个)
查作业解答请上中心课程网 一、可分离变量的微分方程 二. 一阶线性方程
dy g ( x ) h( y ) dx
y P ( x ) y Q( x )
Q( x ) 0 为齐次线性方程； Q ( x ) 0 为非齐次线性方程.
所求曲线为
y 3( 2e x x 2 2 x 2).
三. 齐次微分方程
标准形式： 解法 y 作代换，令 u
dy y ( ) dx x x
即 y x u,
齐次函数 f (t x , t y) = f (x , y)
(x仍为自变量，u为新的未知函数)
dy du u x dx dx
令 z y1 ， 方程化为 z (1 ) P ( x ) z (1 ) Q( x )
一阶线性方程
dy 4 【例4】解方程 y x2 y . dx x 1 dy 4 【解】变形： y x2 2 d y 4 y dx x dx x dz 2 1 2 令z y, z x dx x 2
du u x ( u) dx
代入原方程得到新方程
d u ( u) C ) y xg ( x , C ) x
解出 u g ( x , C )， 所以
dy dy 【例1】解方程 y x xy ． dx dx 2 2 y y dy y 【解】原方程可化为 1 2 x dx xy x x y 令 u ，则 y x u， dy u x du x dx dx du u2 du u 所以 u x ， 即 x dx u 1 dx u 1 dx 1 1 dx 分离变量得 1 d u 两边积分 (1 ) du x u u x 得 u ln u C ln x ， 即 ln xu u C ， y 所以所给方程的通解为 ln y C ． x
y x2
x 即 y x C . 2 【例5】解方程 ( y 3 x 2 xy ) y' 1．
4
2 x 解得 z x C , 2
2
dx 2 3 xy x y ， 【解】变形： dy
通解为 x 1 Ce
y2 2
y2 2
令 s = y－ k t = x－h 则ds =dy dt = dx
a 1 b1 a 2 b2
1. 利用变量代换解方程
齐次型
a1 ( x h) b1 ( y k ) f( ) a 2 ( x h) b2 ( y k )
a1 t b1 s ds f( ) a 2 t b2 s dt
xe
1 dy y

1 dy y y ye e d yC
Cy ye y
【例4】如图所示，平行于 y 轴的动直线被曲线 3 y x ( x 0) 截下的线段PQ之长数值上 y = f (x)与 等于阴影部分的面积, 求曲线 f (x) . y y x3 Q 【解】

x
0
y d x x3 y
两边求导得 解此微分方程
dx
y y 3 x
2
P
y f ( x)
o
x
x
Ce x 3 x 2 6 x 6 2 dx ye C 3 x e d x 由 y | x 0 0, 得 C 6
a1 h b1k c1 0 k， h满足： a 2 h b2 k c2 0
例 如 ( x y 1) dx (4 y x 1) dy 0
x y 1 0 得 x 1，y 0 解方程组 4 y x 1 0 令 t x 1，s y 原方程化为 ( t s ) dt (4 s t ) ds 0 2y 2 2 通解为 ln[4 y ( x 1) ] arctan( ) C． x 1