2015届中考人教版数学考前热点冲刺指导《第16讲 三角形与全等三角形》(31ppt)
中考数学复习第四单元三角形第16课时几何初步及平行线相交线
cm. 5
图16-6
第十四页，共四十页。
基
础
知
识
巩
固
4. [七上P163习题第1题改编]已知∠α=34°30',则它的补角(bǔ jiǎo)的度数是
145.5
°.
5. [七上P156练一练第2题改编]如图16-7,OC是∠AOE内的一条射线,OB是∠AOC的平分
线,OD是∠COE的平分线,∠AOC=40°,∠COE=20°,则∠BOD
C
)
基
础
知
识
巩
固
考向二 相交(xiāngjiāo)直线与垂直
例2 [2018·益阳]如图16-15,直线AB,CD相交(xiāngjiāo)于点O,EO⊥CD.下列说法错误的是
(
高
频
考
向
探
究
)
A.∠AOD=∠BOC
B.∠AOE+∠BOD=90°
C.∠AOC=∠AOE
图16-15
D.∠AOD+∠BOD=180°
高
频
考
向
探
究
图16-19
(2)已知∠A=100°,那么∠A的补角为
°. 80
第三十页，共四十页。
) B
基
础
知
识
巩
固
| 考向精练
( jīngliàn) |
1. [2019·常州]如果∠α=35°,那么(nàme)∠α的余角等于
2. [2018·黔三州]若∠α=35°,则∠α的补角为
高
频
考
向
探
究
第三十一页，共四十页。
D.5条
高
频
考
中考人教版数学考前热点冲刺指导课件：《第16讲 三角形与全等三角形》 (共31张PPT)
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/142021/9/142021/9/142021/9/149/14/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月14日星期二2021/9/142021/9/142021/9/14 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/142021/9/142021/9/149/14/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/142021/9/14September 14, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/142021/9/142021/9/142021/9/14
第16讲 三角形与全等三 角形
┃考点自主梳理与热身反馈 ┃ 考点1 三角形的分类及重要线段
钝角 直角三角形 三角形
内
直角
外
顶点
第16讲┃ 三角形与全等三角形
三角形 的中线 三角形的 角平分线 三角形的 中位线
三角形的中线平分三角形的面积
三角形的角平分线的交点到三角形的__三__边___距 离相等
第16讲┃ 三角形与全等三角形
14.如图16－11，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BE＝CF，∠B ＝∠1.
求证：AC＝DF.(要求：写出证明过程中的重要依据)
图16－11
第16讲┃ 三角形与全等三角形
证明：∵BE＝CF， ∴BE＋EC＝CF＋EC， 即BC＝EF. 在△ABC和△DEF中，
第16讲 三角形与全等三角形
B.线段CD是△ABC的AB边上的高线
C.线段AD是△ABC的BC边上的高线
D.线段AD是△ABC的AC边上的高线
2.(2022凉山)下列长度的三条线段能组成三角形的是(
A.3,4,8
B.5,6,11
C.5,6,10
D.5,5,10
3.(2022广东)下列图形中有稳定性的是(
直角顶点
条高相交于
;钝角三角形的三条高相交于三角形的
外部
中线
三角形的三条中线相交于 一点 ,这个交点叫做三角形的重
相等
心,每一条中线都将三角形分成面积
的两部分
角平
分线
三角形的三条角平分线相交于 一点 ,这个交点是三角形的
内心 ,这个点到三边的距离
相等
定义 连接三角形两边 中点 的线段叫做三角形的中位线
(1)在证明两个三角形全等时,多注意观察图形,充分挖掘题目中的隐含条件,如有些对应边、角的
条件常常通过公共角(或边)、对顶角、平行、互余(或互补)、角(或线段)的和差等条件间接给出.
(2)在证明线段或角相等时,常寻找线段或角是否在两个三角形中,若在两个三角形中,可尝试证明
全等解决问题;证明两三角形边上的中线、高或对应角的角平分线相等,也可通过证全等三角形获
识点也为证明等腰三角形、三角形全等或相似提供必要的角相等的条件,注意综合图形中该隐含
条件的挖掘.
2.几个常见结论
(1)如图①所示,BD 与 CD 为△ABC 一内角与一外角的平分线,则有结论∠D= ∠A;
(2)如图②所示,BE 与 CE 为△ABC 两外角的平分线,则有结论∠E=90°- ∠A;
已知两角→找任意一边→ASA 或 AAS
中考数学一轮复习 第16课 全等三角形(拓展) 导学案
全等三角形（拓展）【考点梳理】：一、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
二、全等三角形的判定（1）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简称：“SAS ”）。
（2）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简称：“ASA ”）。
（3）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（简称：“AAS ”）。
（4）有三边对应相等的两个三角形全等（简称：“SSS ”）。
（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称：“HL ”）。
三、全等三角形的性质（1）全等三角形的对应角相等，对应线段（边、高、中线、角平分线）相等。
（2）全等三角形的周长相等、面积相等。
【思想方法】数形结合，分类讨论【考点一】：全等三角形的判定【例题赏析】（1）（2015•贵州省贵阳,第8题3分）如图，点E ，F 在AC 上，AD=BC ，DF=BE ，要使△ADF ≌△CBE ，还需要添加的一个条件是（ ）A ．∠A=∠CB ． ∠D=∠BC ． AD ∥BC D ． DF ∥BE考点： 全等三角形的判定与性质．分析： 利用全等三角形的判定与性质进而得出当∠D=∠B 时，△ADF ≌△CBE ． 解答： 解：当∠D=∠B 时，在△ADF 和△CBE 中∵， ∴△ADF ≌△CBE （SAS ），故选：B ．点评： 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键．（2）（2015•湖北十堰，第10题3分）如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 、F 分别在AB AD 上，若CE=3，且∠ECF=45°，则CF 的长为（ ）A ．2B ． 3C ．D ．考点： 全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．分析： 首先延长FD 到G ，使DG=BE ，利用正方形的性质得∠B=∠CDF=∠CDG=90°，CB=CD ；利用SAS 定理得△BCE ≌△DCG ，利用全等三角形的性质易得△GCF ≌△ECF ，利用勾股定理可得AE=3，设AF=x ，利用GF=EF ，解得x ，利用勾股定理可得CF ．解答： 解：如图，延长FD 到G ，使DG=BE ；连接CG 、EF ；∵四边形ABCD 为正方形，在△BCE 与△DCG 中，，∴△BCE ≌△DCG （SAS ），∴CG=CE ，∠DCG=∠BCE ，∴∠GCF=45°，在△GCF 与△ECF 中，，∴△GCF ≌△ECF （SAS ），∴GF=EF ，∵CE=3，CB=6，∴BE===3， ∴AE=3，设AF=x ，则DF=6﹣x ，GF=3+（6﹣x ）=9﹣x ，∴EF==， ∴（9﹣x ）2=9+x 2，∴x=4，即AF=4，∴GF=5，∴DF=2，∴CF===2，故选A ．点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理等，构建全等三角形，利用方程思想是解答此题的关键．【考点二】：全等三角形的性质【例题赏析】（2015，广西柳州，14，3分）如图，△ABC≌△DEF，则EF= 5 ．考点：全等三角形的性质．分析：利用全等三角形的性质得出BC=EF，进而求出即可．解答：解：∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF则EF=5．故答案为：5．点评：此题主要考查了全等三角形的性质，得出对应边是解题关键．【考点三】：角平分线的性质与判定【例题赏析】（2015•广东茂名8，3分）如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为（）A． 6 B． 5 C． 4 D． 3考点：角平分线的性质．分析：过点P作PE⊥OB于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE=PD 从而得解．解答：解：如图，过点P作PE⊥OB于点E，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于D，∴PE=PD，∵PD=6，∴PE=6，即点P到OB的距离是6．故选：A．点评：熟记性质是解题的关键．【考点四】：尺规作图【例题赏析】（2015，广西玉林，21，6OM平分∠BOA ，然后证明你的结论（不要求写已知、求证）考点：作图—基本作图；全等三角形的判定与性质．分析：根据图中尺规作图的痕迹可知，OC=OD，CM=DM，答案．解答：解：结论：OM平分∠BOA，证明：由作图的痕迹可知，OC=OD，CM=DM，在△COM和△DOM中，，∴△COM≌△DOM，∴∠COM=∠DOM，∴OM平分∠BOA．点评：本题考查的是角平分线的作法和全等三角形的判定和性质，骤和全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．【考点五】：有关全等三角形的探索题【例题赏析】（2015•辽宁省盘锦,第25题14分）如图1，△ABC和△AED 角形，∠BAC=∠EAD=90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上．（1）请直接写出线段BE与线段CD的关系：BE=CD ；（2）如图2，将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转角α（0＜α＜360°），①（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；②当AC=ED时，探究在△ABC旋转的过程中，是否存在这样的角α，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角α的度数；若不存在，请说明理由．考点：几何变换综合题．分析：（1）根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC，AE=AD，再根据等量关系可得线段BE 与线段CD的关系；（2）①根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC，AE=AD，根据旋转的性质可得∠BAE=∠CAD，根据SAS可证△BAE≌△CAD，根据全等三角形的性质即可求解；②根据平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC=45°，再根据等腰直角三角形的性质即可求解．解答：解：（1）∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD，∴AE﹣AB=AD﹣AC，∴BE=CD；（2）①∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD，由旋转的性质可得∠BAE=∠CAD，在△BAE与△CAD中，，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE=CD；②∵以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=45°，∵AC=ED，∴∠CAD=45°，∴角α的度数是45°．点评：考查了几何变换综合题，【真题专练】1.（2015•青海，第10题2分）如图，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是（只需写一个，不添加辅助线）．2.（2015•贵州省黔东南州,第13题4分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD．请添加一个适当的条件，使△ABD≌△CDB．（只需写一个）3.（2015•齐齐哈尔,第13题3分）如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD=AE，BC∥EF 要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是．（只填一个即可）4．（2015，福建南平，21，分）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD 垂足分别为E，F．求证：BE=CF．5.（2015，广西河池，21，8分）如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=AD(1)作∠A的角平分线交CD于E;(2)过B作CD的垂线，垂足为F;(3)请写出图中两对全等三角形(不添加任何字母),并选择其中一对加以证明.6.（2015•湖北十堰，第18题6分）.如图，CA=CD，∠B=∠E，∠BCE=∠ACD．求证：AB=DE8.（2015•辽宁阜新）（第17题，12分）如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ．（1）如图a，求证：△BCP≌△DCQ；（2）如图，延长BP交直线DQ于点E．①如图b，求证：BE⊥DQ；②如图c，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．9.（2015•营口，第25题14分）【问题探究】（1）如图1，锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB AD=AC，∠BAE=∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD的长．（3）如图3，在（2）的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．10.（2015•齐齐哈尔,第10题3分）如图，在钝角△ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC 的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于点M，取BC中点D，AC中点N，连接DN、DE、DF．下列结论：①EM=DN；②S△CDN=12S四边形ABDN；③DE=DF；④DE⊥DF．其中正确的结论的个数是（）A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个【真题演练参考答案】1.（2015•青海，第10题2分）如图，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是AC=DF （只需写一个，不添加辅助线）．考点：全等三角形的判定．专题：开放型．分析：求出BC=EF，∠ABC=∠DEF，根据SAS推出两三角形全等即可．解答：解：AC=DF，理由是：∵BF=CE，∴BF+FC=CE+FC，∴BC=EF，∵AB∥DE，∴∠ABC=∠DEF，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS），故答案为：AC=DF．点评：本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，答案不唯一．2.（2015•贵州省黔东南州,第13题4分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD．请添加一个适当的条件AB=CD ，使△ABD≌△CDB．（只需写一个）考点：全等三角形的判定．专题：开放型．分析：先根据平行线的性质得∠ABD=∠CDB，加上公共边BD，所以根据“SAS”判断△ABD ≌△CDB时，可添加AB=CD．解答：解：∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，而BD=DB，∴当添加AB=CD时，可根据“SAS”判断△ABD≌△CDB．故答案为AB=CD．点评：本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边3.（2015•齐齐哈尔,第13题3分）如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD=AE，BC∥EF，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是BC=EF或∠BAC=∠EDF ．（只填一个即可）考点：全等三角形的判定．专题：开放型．分析： BC=EF或∠BAC=∠EDF，若BC=EF，根据条件利用SAS即可得证；若∠BAC=∠EDF，根据条件利用ASA即可得证．解答：解：若添加BC=EF，∵BC∥EF，∴∠B=∠E，∵BD=AE，∴BD﹣AD=AE﹣AD，即BA=ED，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）；若添加∠BAC=∠EDF，∵BC∥EF，∴∠B=∠E，∵BD=AE，∴BD﹣AD=AE﹣AD，即BA=ED，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），故答案为：BC=EF或∠BAC=∠EDF点评：此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．4．（2015，福建南平，21，分）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：BE=CF．考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：要证BE=CF，可运用矩形的性质结合已知条件证BE、CF所在的三角形全等．解答：证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AC=BD，则BO=CO．（2分）∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，∴∠BEO=∠CFO=90°．又∵∠BOE=∠COF，∴△BOE≌△COF．（4分）∴BE=CF．（5分）点评：本题主要考查矩形的性质及三角形全等的判定方法．解此题的主要错误是思维顺势，想当然，由ABCD是矩形，就直接得出OB=OD，对对应边上的高的“对应边”理解不透彻．5.（2015，广西河池，21，8分）如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=AD(1)作∠A的角平分线交CD于E;(2)过B作CD的垂线，垂足为F;(3)请写出图中两对全等三角形(.第21题解:(3)△ACE≌△ADE,△ACE≌△CFB证明:△ACE≌△ADE∵AE是∠A的平分线,∴∠CAE=∠DAE,又AC=AD,AE为公共边,∴△ACE≌△ADE(SAS).6.（2015•湖北十堰，第18题6分）.如图，CA=CD，∠B=∠E，∠BCE=∠ACD．求证：AB=DE．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：如图，首先证明∠ACB=∠DCE，这是解决问题的关键性结论；然后运用AAS公理证明△ABC≌△DEC，即可解决问题．解答：解：如图，∵∠BCE=∠ACD，∴∠ACB=∠DCE；在△ABC与△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS），∴AB=DE．点评：该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是牢固掌握全等三角形的判定方法，这是灵活运用、解题的基础和关键．7.（2015•重庆A20，7分）如图，在△ABD和△FEC中，点B,C,D,E在同一直线上，且AB=FE,BC=DE,∠B=∠E。
人教版数学江西中考新突破教材同步复习课件16、全等三
2
►知识点二 全等三角形的判定与证明思路
1．全等三角形的判定 (1)“边角边”或“SAS”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2)“角边角”或“ASA”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3)“角角边”或“AAS”：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等． (4)“边边边”或“SSS”：三边对应相等的两个三角形全等． (5)“斜边、直角边”或“HL”公理：①斜__边_____和一条②直__角__边____对应相等的两 个直角三角形全等．
15
∠ABC＝∠BAD， B．在△ABC 与△BAD 中，AB＝BA，
已知两角找找任夹一边角→对AS边A→AAS
5
【注意】寻找全等三角形中的对应关系：(1)通过全等三角形中的对应边寻找对 应角，或由对应角寻找对应边．(2)由全等三角形角或边的大小寻找对应元素，最长 边与最长边是对应边，最短边与最短边是对应边；最大角与最大角是对应角，最小 角与最小角是对应角．(3)通过平移或旋转前后对应关系等寻找对应元素，平移或旋 转前后的图形是全等图形，故对应角相等，对应边相等．(4)特殊的对应角或对应 边，如：对顶角对应相等，公共边相等，平行线中内错角相等，同位角相等．
8
证明两条线段或两个角相等，常用的方法是证明这两条线段或这两个角所在的 三角形全等．当所证的线段或角，不在两个全等三角形中时，可通过添加辅助线的 方法构造全等三角形．它的解题步骤是：先证全等，再利用全等三角形的性质解 题．
9
1.(2016成都)如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝ 24°，则∠B＝_______. 120°
12
∠1＝∠2， 在△EOP 与△FOP 中，∠OEP＝∠OFP＝90°，
数学中考第一轮复习讲义：数学中考第一轮复习讲义：第16讲 三角形
第十六讲三角形1、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做 。
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做 。
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做 （简称 ）。
2．三角形的中位线三角形的中位线平行于 ，并且等于 ．3.三角形的三边关系定理及推论三角形三边关系：任意两边之和 第三边；任意两边之差 第三边．4、三角形的内角和定理及推论（1）三角形内角和：三角形三内角之和等于 ．（2）三角形外角的性质：(1)三角形的一个外角 任何一个和它不相邻的内角；(3)三角形的一个外角 与它不相邻的两内角之和．5．三角形的分类：(1)按边分：三角形分为 和等腰三角形；等腰三角形又分为 及 .(2)按角分：三角形直角三角形和斜三角形；斜三角形又分为： 和 .1．（2017•宁德）在△ABC 中，AB=5，AC=8，则BC 长不可能是（ ）A ．4B ．8C ．10D ．132．（2017广西河池）三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（ ）A ．中线B ．角平分线C ．高D．中位线3．（2017贵州）如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（ ）A．120°B．90°C．100°D．30°4．（2017年江苏扬州）若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是（ ）A．6B．7C．11D．125. （2017贵州安顺）三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于．6．（2017浙江湖州）已知一个多边形的每一个外角都等于72°，则这个多边形的边数是．7．如图，在△ABC中，∠A=50°，O是△ABC内一点，且∠ABO=20°，∠ACO=30°，求∠BOC的度数．知识点一：三角形的三边关系【例题】小华要从长度分别为5cm 、6cm 、11cm 、16cm 的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是： 6 ， 11 ， 16 （单位：cm ）．【考点】三角形三边关系．【分析】首先得到每三根组合的情况，再根据三角形的三边关系进行判断．【解答】解：每三根组合，有5，6，11；5，6，16；11，16，5；11，6，16四种情况．根据三角形的三边关系，得其中只有11，6，16能组成三角形．【点评】此题要特别注意看是否符合三角形的三边关系．【变式】在下列长度的四根木棒中，能与4cm 、9cm 长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）A ．4cmB ．5cmC ．9cmD ．13cm【考点】三角形三边关系．【分析】易得第三边的取值范围，看选项中哪个在范围内即可．【解答】解：设第三边为c ，则9+4＞c ＞9﹣4，即13＞c ＞5．只有9符合要求．故选C ．【点评】已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．知识点二、三角形的内角和.【例题】已知△ABC 中，∠A=2（∠B+∠C），则∠A 的度数为（ ）A ．100°B ．120°C ．140°D ．160°【考点】三角形内角和定理．【分析】根据三角形的内角和定理和已知条件即可得到∠A 的方程，从而求解．【解答】解：∵∠A=2（∠B+∠C），∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A+∠A=180°，∠A=120°．故选B．【点评】此题考查了三角形的内角和定理．【变式】(2017湖北宜昌)如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是（ ）A．①②B．①③C．②④D．③④【考点】L3：多边形内角与外角．【分析】根据多边形的内角和定理即可判断．【解答】解：∵①剪开后的两个图形是四边形，它们的内角和都是360°，③剪开后的两个图形是三角形，它们的内角和都是180°；∴①③剪开后的两个图形的内角和相等，故选B．题型三、三角形主要线段【例题】下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）A．B．C．D．【考点】三角形的角平分线、中线和高．【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项D．故选D．【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键．【变式】如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）A．B．C．D．【考点】三角形的角平分线、中线和高．【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．【解答】解：为△ABC中BC边上的高的是A选项．故选A．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．知识点四、三角形的内角和、外角性质【例题】（2017湖南株洲）如图，在△ABC中，∠BAC=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，则∠BAD=（ ）A．145°B．150°C．155°D．160°【考点】K7：三角形内角和定理．【分析】根据三角形内角和定理求出x，再根据三角形的外角的等于不相邻的两个内角的和，即可解决问题．【解答】解：在△ABC中，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，∴6x=180，∴x=30，∵∠BAD=∠B+∠C=5x=150°，故选B．【变式】（2017江苏徐州）正六边形的每个内角等于 120 °．【考点】L3：多边形内角与外角．【分析】根据多边形内角和公式即可求出答案．【解答】解：六边形的内角和为：（6﹣2）×180°=720°，∴正六边形的每个内角为： =120°，故答案为：120°【典例解析】【例题1】已知三角形两边长分别为3和9，则此三角形的第三边的长可能是（ ）A．4B．5C．11D．15【考点】三角形三边关系．【分析】已知三角形的两边长分别为3和9，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围．【解答】解：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得9﹣3＜x＜9+3，即6＜x＜12．因此，本题的第三边应满足6＜x＜12，把各项代入不等式符合的即为答案．只有11符合不等式，故答案为11．故选C．【点评】此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．【例题2】若P是△ABC内任一点，则∠BPC与∠A的大小关系是 ∠BPC＞∠A ．【考点】三角形的外角性质．【分析】如图，延长BP交AC于D．根据△PDC外角的性质知∠BPC＞PDC；根据△ABD外角的性质知∠PDC＞∠A，所以易证∠BPC＞∠A．【解答】证明：如图，延长BP交AC于D．∵∠BPC＞PDC，∠PDC＞∠A，∴∠BPC＞∠A．故答案是：∠BPC＞∠A．【点评】本题考查了三角形的外角的性质．解题时是结合三角形的内角和与外角的关系来证明结论的．【例题3】一个凸多边形的内角和与外角和相等，它是 四 边形．【考点】多边形内角与外角．【分析】任何多边形的外角和是360度，因而这个多边形的内角和是360度．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．【解答】解：根据题意，得（n﹣2）•180=360，解得n=4，则它是四边形．【点评】已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．【例题4】如图，AB∥CD，∠A=38°，∠C=80°，求∠M．【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．【分析】先根据平行线的性质得出∠MEB 的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵AB∥CD，∠C=80°，∴∠MEB=∠C=80°．又∵∠A=38°，∴∠M=∠MEB﹣∠A=80°﹣38°=42°．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．热点1：如图，已知在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A，BD 是AC 边上的高，求∠DBC的度数．【考点】三角形内角和定理．【专题】数形结合．【分析】根据三角形的内角和定理与∠C=∠ABC=2∠A，即可求得△ABC 三个内角的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠DBC 的度数．【解答】解：∵∠C=∠ABC=2∠A，∴∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180°，∴∠A=36°．则∠C=∠ABC=2∠A=72°．又BD是AC边上的高，则∠DBC=90°﹣∠C=18°．【点评】此题主要是三角形内角和定理的运用．三角形的内角和是180°．热点2：如图，∠B=42°，∠A+10°=∠1，∠ACD=64°，求证：AB∥CD．【考点】三角形内角和定理；平行线的判定．【专题】证明题．【分析】在△ABC中，∠B=42°即已知∠A+∠1=180°﹣42°=138°，又∠A+10°=∠1可以求出∠A的大小，只要能得到∠A=64°，根据内错角相等，两直线平行，就可以证出结论．【解答】证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠1=180°，∠B=42°，∴∠A+∠1=138°，又∵∠A+10°=∠1，∴∠A+∠A+10°=138°，解得：∠A=64°．∴∠A=∠ACD=64°，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．【点评】本题首先利用三角形内角和定理和∠A与∠1的关系求出∠A的度数，然后再利用平行线的判定方法得证．热点3：如图，△ABC中，分别延长△ABC的边AB、AC到D、E，∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律：（1）若∠A=50°，则∠P= 65 °；（2）若∠A=90°，则∠P= 45 °；（3）若∠A=100°，则∠P= 40 °；（4）请你用数学表达式归纳∠A与∠P的关系，并说明理由．【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．【分析】（1）若∠A=50°，则有∠ABC+∠ACB=130°，∠DBC+∠BCE=360°﹣130°=230°，根据角平分线的定义可以求得∠PBC+∠PCB的度数，再利用三角形的内角和定理即可求得∠P的度数．（2）（3）和（1）的解题步骤相似．（4）利用角平分线的性质和三角形的外角性质可求出∠BCP=（∠A+∠ABC），∠CBP=（∠A+∠ACB）；再利用三角形内角和定理便可求出∠A与∠P的关系．【解答】解：（1）∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，∠DBC+∠BCE=360°﹣130°=230°，又∵∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，∴，，∴=115°，∴∠P=65°．同理得：（2）45°；（3）40°（4）∠P=90°﹣∠A．理由如下：∵BP平分∠DBC，CP平分∠BCE，∴∠DBC=2∠CBP，∠BCE=2∠BCP又∵∠DBC=∠A+∠ACB∠BCE=∠A+∠ABC，∴2∠CBP=∠A+∠ACB，2∠BCP=∠A+∠ABC，∴2∠CBP+2∠BCP=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A，∴∠CBP+∠BCP=90°+∠A又∵∠CBP+∠BCP+∠P=180°，∴∠P=90°﹣∠A．【点评】本题主要考查三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质以及角平分线的定义，熟练掌握性质和定义是解题的关键．一．选择题1. 下列各组线段的长为边，能组成三角形的是（ ）A ．2cm ，3cm ，4cmB ．2cm ，3cm ，5cmC ．2cm ，5cm ，10cmD ．8cm ，4cm ，4cm2. 下列图形中具有稳定性的是（ ）A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形3．在△ABC 中，∠A=∠B=∠C，则此三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形4. 如图，△ABC 中，AD 为△ABC 的角平分线，BE 为△ABC 的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（ ）A ．59°B ．60°C ．56°D ．22°5．不能作为正多边形的内角的度数的是（ ）A ．120°B ．（128）°C ．144°D ．145°6．四边形中，如果有一组对角都是直角，那么另一组对角一定（ ）A ．都是钝角B ．都是锐角C ．是一个锐角、一个钝角D．互补二．填空题7. 若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足+（b﹣2）2=0，则第三边c的取值范围是．8. 从n边形的一个顶点出发可以引 n﹣3 条对角线，这些对角线将这个多边形分成个三角形．9. 如图，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=34°．则∠DAE 的大小是度．10．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C 处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB等于度．三．解答题.11.一个多边形的每一个内角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为m：n，其中m，n是互质的正整数，求这个多边形的边数（用m，n表示）及n 的值．12 ．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，试问BE∥DF吗？为什么？13. 如图，有甲、乙、丙、丁四个小岛，甲、乙、丙在同一条直线上，而且乙、丙在甲的正东方，丁岛在丙岛的正北方，甲岛在丁岛的南偏西52°方向，乙岛在丁岛的南偏东40°方向．那么，丁岛分别在甲岛和乙岛的什么方向？14. 如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数．15. 已知等腰三角形的周长是16cm．（1）若其中一边长为4cm，求另外两边的长；（2）若其中一边长为6cm ，求另外两边长；（3）若三边长都是整数，求三角形各边的长．【知识归纳】1、三角形中的主要线段（1）三角形的角平分线。
中考数学复习第四单元三角形第16课时几何初步及平行线相交线
,那么α,β互为补角
180°
性质:同角(或等角)的补角⑮
相等(xiāngděng)
第五页，共四十页。
基
础
知
识
巩
固
(续表)
定义
角平分线
高
频
考
向
探
究
一条射线把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做
这个角的平分线
角平分线上的点到角两边的距离⑯
定理
逆定理
∠1 = ∠2
即
⇒PE⑰
⊥ , ⊥
5.线段的和、差:如图16-1,AD=AB+BC+CD,AB=AD-DB=AC-BC.
图16-1
第二页，共四十页。
基
础
知
识
巩
固
6.线段的中点:把一条线段分成两条相等的线段的点叫做线段的中点.线段中点的几何表
示:如图16-2,M是线段AB的中点,则有:
(1)AM=MB;
1
高
频
考
向
探
究
1
(2)AM=2AB 或 BM=2AB;
C.垂线段最短
D.过一点有且只有一条直线和已知直线平行
图16-12
[答案] B
[解析]根据题意,建筑工人的目的是确定(quèdìng)直的参照线,即直线,故选B.
第二十页，共四十页。
基
础
知
识
巩
固
高
频
考
向
探
究
| 考向精练
( jīngliàn)
|
1.如图16-13,在直线(zhíxiàn)l上有A,B,C三点,则图中线段共有
组成的图形叫做角,这个公共
顶点(dǐngdiǎn)
备战 中考数学基础复习 第16课 三角形及全等三角形课件ppt（40张ppt）
【考点3】全等三角形的证明与计算 例3.(2020·无锡)如图,已知AB∥CD,AB=CD,BE=CF. 求证:(1)△ABF≌△DCE; (2)AF∥DE.
【证明】(1)∵AB∥CD,∴∠B=∠C,
∵BE=CF,∴BE-EF=CF-EF,
即BF=CE,在△ABF和△DCE中,
AB DC，
B C， ABF≌ DCE SAS;
变式.在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC于点D.
(1)如图1,点M,N分别在AD,AB上,且∠BMN=90°,当∠AMN=30°,AB=2时,求线段 AM的长; (2)如图2,点E,F分别在AB,AC上,且∠EDF=90°,求证:BE=AF; (3)如图3,点M在AD的延长线上,点N在AC上,且∠BMN=90°,求证:AB+AN= 2 AM.
4.(2020·苏州)如图,在△ABC中,∠BAC=108°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋 转得到△AB′C′.若点B′恰好落在BC边上,且AB′=CB′,求∠C′的度数.
【解析】设∠C′=x°. 根据旋转的性质,得∠C=∠C′=x°,AC′=AC, AB′=AB.∴∠AB′B=∠B. ∵AB′=CB′,∴∠C=∠CAB′=x°. ∴∠AB′B=∠C+∠CAB′=2x°. ∴∠B=2x°. ∵∠C+∠B+∠CAB=180°,∠BAC=108°, ∴x+2x+108=180.解得x=24. ∴∠C′的度数为24°.
五、三角形中的三条重要线段 1.中线:三角形的三条中线的交点在三角形的___内____部,这个交点叫做三角形 的___重__心____. 2.角平分线:三角形的三条角平分线的交点在三角形的___内____部. 3.高:___锐__角____三角形的三条高的交点在三角形的内部;直角三角形的三条高 的交点是___直__角__顶__点____;___钝__角____三角形的三条高所在直线的交点在三角形
中考导练讲义第16讲等腰、等边及直角三角形
第16讲等腰、等边及直角三角形【章节知识清单】ABC中，∠C=90°，∠A=30°的垂直平分线交AC于【章节典例解析】【例题1】（2017•宁德）如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D ，E 分别在边BC 和AC 上，若AD=AE ，则下列结论错误的是（ ）A ．∠ADB=∠ACB +∠CAD B ．∠ADE=∠AEDC ．∠CDE=∠BADD ．∠AED=2∠ECD【考点】KH ：等腰三角形的性质．【分析】由三角形的外角性质、等腰三角形的性质得出选项A 、B 、C 正确，选项D 错误，即可得出答案．【解答】解：∵∠ADB 是△ACD 的外角， ∴∠ADB=∠ACB +∠CAD ，选项A 正确； ∵AD=AE ，∴∠ADE=∠AED ，选项B 正确； ∵AB=AC ， ∴∠B=∠C ，∵∠ADC=∠ADE +∠CDE=∠B +∠BAD ，∠AED=∠CDE +∠C ， ∴∠CDE +∠C +∠CDE=∠B +∠BAD ， ∴∠CDE=∠BAD ，选项C 正确；∵∠AED=∠ECD +∠CDE ，∠ECD ≠∠CDE ，DcDc∴选项D错误；故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的外角性质是解决问题的关键．【例题2】（2017山东聊城）如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【考点】KW：等腰直角三角形．【分析】根据等腰直角三角形的判定即可得到结论．【解答】解：如图所示，使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是3，故选B．【例题3】（2017浙江义乌）如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是x=0或x=4﹣4或4＜x＜4．【考点】KI：等腰三角形的判定．【分析】分三种情况讨论：先确定特殊位置时成立的x值，①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；②如图2，构建腰长为4的等腰直角△OMC，和半径为4的⊙M，发现M在点D的位置时，满足条件；③如图3，根据等腰三角形三种情况的画法：分别以M、N为圆心，以MN为半径画弧，与OB的交点就是满足条件的点P，再以MN为底边的等腰三角形，通过画图发现，无论x取何值，以MN为底边的等腰三角形都存在一个，所以只要满足以MN为腰的三角形有两个即可．【解答】解：分三种情况：①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；②如图2，以M为圆心，以4为半径画圆，当⊙M与OB相切时，设切点为C，⊙M与OA交于D，∴MC⊥OB，∵∠AOB=45°，∴△MCO是等腰直角三角形，∴MC=OC=4，∴OM=4，当M与D重合时，即x=OM﹣DM=4﹣4时，同理可知：点P恰好有三个；③如图3，取OM=4，以M为圆心，以OM为半径画圆，则⊙M与OB除了O外只有一个交点，此时x=4，即以∠PMN为顶角，MN为腰，符合条件的点P有一个，以N圆心，以MN为半径画圆，与直线OB相离，说明此时以∠PNM为顶角，以MN为腰，符合条件的点P不存在，还有一个是以NM为底边的符合条件的点P；点M沿OA运动，到M1时，发现⊙M1与直线OB有一个交点；∴当4＜x＜4时，圆M在移动过程中，则会与OB除了O外有两个交点，满足点P恰好有三个；综上所述，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是：x=0或x=4﹣4或4．故答案为：x=0或x=4﹣4或4．【例题4】（2017哈尔滨）已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE，BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．（1）如图1，求证：AE=BD；（2）如图2，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形．【分析】（1）根据全等三角形的性质即可求证△ACE≌△BCD，从而可知AE=BD；（2）根据条件即可判断图中的全等直角三角形；【解答】解：（1）∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，DC=EC，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，在△ACE与△BCD中，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，（2）∵AC=DC，∴AC=CD=EC=CB，△ACB≌△DCE（SAS）；由（1）可知：∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC∴∠DOM=90°，∵∠AEC=∠CAE=∠CBD，∴△EMC≌△BCN（ASA），∴CM=CN，∴DM=AN，△AON≌△DOM（AAS），∵DE=AB，AO=DO，∴△AOB≌△DOE（HL）【章节典例习题】1.（2017浙江湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，点P是Rt△ABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于（）A．1 B．C．D．22.（2017湖北荆州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．75°3.（2017山东滨州）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN 恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．14.（2017绥化）在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=BC，则△ABC的顶角的度数为30°或150°或90°．5.（2017•乐山）在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，对角线AC平分∠BAD．（1）如图1，若∠DAB=120°，且∠B=90°，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．（2）如图2，若将（1）中的条件“∠B=90°”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）如图3，若∠DAB=90°，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．6.（2017浙江义乌）已知△ABC，AB=AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD=AE，设∠BAD=α，∠CDE=β．（1）如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．①如果∠ABC=60°，∠ADE=70°，那么α=20°，β=10°，②求α，β之间的关系式．（2）是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，求出这个关系式（求出一个即可）；若不存在，说明理由．【章节典例习题】参考答案1.（2017浙江湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，点P是Rt△ABC 的重心，则点P到AB所在直线的距离等于（）A．1 B．C．D．2【考点】K5：三角形的重心；KW：等腰直角三角形．【分析】连接CP并延长，交AB于D，根据重心的性质得到CD是△ABC的中线，PD=CD，根据直角三角形的性质求出CD，计算即可．【解答】解：连接CP并延长，交AB于D，∵P是Rt△ABC的重心，∴CD是△ABC的中线，PD=CD，∵∠C=90°，∴CD=AB=3，∵AC=BC，CD是△ABC的中线，∴CD⊥AB，∴PD=1，即点P到AB所在直线的距离等于1，故选：A．2.（2017湖北荆州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．75°【考点】KH：等腰三角形的性质；KG：线段垂直平分线的性质．【分析】根据三角形的内角和定理，求出∠C，再根据线段垂直平分线的性质，推得∠A=∠ABD=30°，由外角的性质求出∠BDC的度数，从而得出∠CBD=45°．【解答】解：∵AB=AC，∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=75°，∵AB的垂直平分线交AC于D，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=30°，∴∠BDC=60°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．故选B．3.（2017山东滨州）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN 恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KF：角平分线的性质．【分析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．【解答】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．∵∠PEO=∠PFO=90°，∴∠EPF+∠AOB=180°，∵∠MPN+∠AOB=180°，∴∠EPF=∠MPN，∴∠EPM=∠FPN，∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，∴PE=PF，在△POE和△POF中，，∴△POE≌△POF，∴OE=OF，在△PEM和△PFN中，，∴△PEM≌△PFN，∴EM=NF，PM=PN，故（1）正确，=S△PNF，∴S△PEM=S四边形PEOF=定值，故（3）正确，∴S四边形PMON∵OM+ON=OE+ME+OF﹣NF=2OE=定值，故（2）正确，MN的长度是变化的，故（4）错误，故选B．4.（2017绥化）在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=BC，则△ABC的顶角的度数为30°或150°或90°．【考点】KO：含30度角的直角三角形；KH：等腰三角形的性质．【分析】分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可．【解答】解：①BC为腰，∵AD⊥BC于点D，AD=BC，∴∠ACD=30°，如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°，②BC为底，如图3，∵AD⊥BC于点D，AD=BC，∴AD=BD=CD，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，∴∠BAD+∠CAD=×180°=90°，∴顶角∠BAC=90°，综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．故答案为：30°或150°或90°．5.（2017•乐山）在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，对角线AC平分∠BAD．（1）如图1，若∠DAB=120°，且∠B=90°，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．（2）如图2，若将（1）中的条件“∠B=90°”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）如图3，若∠DAB=90°，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）结论：AC=AD+AB，只要证明AD=AC，AB=AC即可解决问题；（2）（1）中的结论成立．以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，只要证明△DAC≌△BEC即可解决问题；（3）结论：．过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，只要证明△ACE是等腰直角三角形，△DAC≌△BEC即可解决问题；【解答】解：（1）AC=AD+AB．理由如下：如图1中，在四边形ABCD中，∠D+∠B=180°，∠B=90°，∴∠D=90°，∵∠DAB=120°，AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC=60°，∵∠B=90°，∴，同理．∴AC=AD+AB．（2）（1）中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB 延长线于点E，∵∠BAC=60°，∴△AEC为等边三角形，∴AC=AE=CE，∵∠D+∠B=180°，∠DAB=120°，∴∠DCB=60°，∴∠DCA=∠BCE，∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，∴∠D=∠CBE，∵CA=CB，∴△DAC≌△BEC，∴AD=BE，∴AC=AD+AB．（3）结论：．理由如下：过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，∵∠D+∠B=180°，∠DAB=90°，∴DCB=90°，∵∠ACE=90°，∴∠DCA=∠BCE，又∵AC平分∠DAB，∴∠CAB=45°，∴∠E=45°．∴AC=CE．又∵∠D+∠B=180°，∠D=∠CBE，∴△CDA≌△CBE，∴AD=BE，∴AD+AB=AE．在Rt△ACE中，∠CAB=45°，∴，∴．【点评】本题考查四边形综合题、等边三角形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．6.（2017浙江义乌）已知△ABC，AB=AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD=AE，设∠BAD=α，∠CDE=β．（1）如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．①如果∠ABC=60°，∠ADE=70°，那么α=20°，β=10°，②求α，β之间的关系式．（2）是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，求出这个关系式（求出一个即可）；若不存在，说明理由．【考点】KY：三角形综合题．【分析】（1）①先利用等腰三角形的性质求出∠DAE，进而求出∠BAD，即可得出结论；②利用等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得出结论；（2）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，同（1）的方法即可得出结论；②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，同（1）的方法即可得出结论．【解答】解：（1）①∵AB=AC，∠ABC=60°，∴∠BAC=60°，∵AD=AE，∠ADE=70°，∴∠DAE=180°﹣2∠ADE=40°，∴α=∠BAD=60°﹣40°=20°，∴∠ADC=∠BAD+∠ABD=60°+20°=80°，∴β=∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=10°，故答案为：20，10；②设∠ABC=x，∠AED=y，∴∠ACB=x，∠AED=y，在△DEC中，y=β+x，在△ABD中，α+x=y+β=β+x+β，∴α=2β；（2）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，如图1设∠ABC=x，∠ADE=y，∴∠ACB=x，∠AED=y，在△ABD中，x+α=β﹣y，在△DEC中，x+y+β=180°，∴α=2β﹣180°，②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，如图2，同①的方法可得α=180°﹣2β．。
中考数学复习 第四单元 三角形 第16课时 几何初步及平行线、相交线课件
A.x=p+y-q+180° C.x=p+q+y
图 16-13 B.x=p+q-y+180° D.x=2p+2q-y+90°
[答案] B [解析] 如图,分别过点 C,D 作 CM,DN 平行于 AB,EF,则∠BAC=∠ACM=p, ∠MCD+∠NDC=180°,∠NDE=∠DEF=q, ∴∠NDC=∠CDE-∠NDE=y-q, ∠MCD=∠ACD-∠ACM=x-p, ∴x-p+y-q=180°,即 x=p+q-y+180°.
[答案]D [解析]∵直线 m∥n,∴∠2=∠ABC+ ∠1=30°+20°=50°.
A.20°
B.30°
图 16-11 C.45°
D.50°
课堂考点探究
2.[2018·泸州] 如图 16-12,直线 a∥b,直线 c 分别交 a,b 于 点 A,C,∠BAC 的平分线交直线 b 于点 D,若∠1=50°,则∠2 的度数是 ( )
UNIT FOUR
第四单元 三角形
第 16 课时 几何初步及平行线、 相交线
课前双基巩固
考点聚焦
考点一 三种基本图形——直线、射线、线段
1.直线基本事实:① 两点 确定一条直线. 2.线段基本事实:两点之间,② 线段 最短. 3.两点间的距离:连接两点间的线段的③ 长度 ,叫做这两点的距离.
课前双基巩固
[答案]D [解析] 根据同位角的定义,得∠B 的同位 角是∠4,故选 D.
6.[2018·金华、丽水]如图 16-4,∠B 的同位角可以是 ( )
A.∠1
B.∠2
图 16-4 C.∠3
D.∠4
(沪科版)中考数学总复习课件【第16讲】三角形与全等三角形
第16讲┃三角形与全等三角形
经典示例
例2 [2014·成都] 如图 16－1，为估计池塘两岸边 A，B
两点间的距离， 在池塘的一侧选取点 O， 分别取 OA ， OB 的中点 M，
64 N，测得 MN＝32 m，则 A，B 两点间的距离是________ m.
图 16 － 1 讲┃三角形与全等三角形 第 16
8．[2014·黄石] 如图16－5，一张矩形纸片，剪去部分后 得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是( C )
A．30° B．60° C．90° D．120°
图16－5
第16讲┃三角形与全等三角形
9．[2014·孝感] 如图16－6，直线l1∥l2，l3⊥l4，∠1＝ 44°，那么∠2的度数为( A )
角平 AE 是 △ABC 的 角 平 分 线 分线 ∠BAE＝∠CAE 高 AF 是△ABC 的高
BFA＝∠CFA＝90°
第16讲┃三角形与全等三角形
概念：连接三角形两边的中点的线段 性质：三角形的中位线平行于第三边， 中位 并且等于第三边的一半．GH 是△ABC 的 线 1 中位线 GH BC 2
经典示例
例1 [2012·长沙] 现有长度分别为 3 cm ，4 cm，7 cm，9 cm 的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角 形的个数是( B )
A．1 B．2
C．3 D．4
第16讲┃三角形与全等三角形
[解析] 可以用枚举法得出四条木棒的所有组合：3 cm，
4 cm，7 cm和3 cm，4 cm，9 cm和3 cm，7 cm，9 cm和4 cm，
第16讲┃三角形与全等三角形
一副三角板叠在一起如图 16－11 放置， 最小锐角的顶点 D 恰好放 在等腰直角三角板的斜边 AB 上， BC 与 DE 交于点 M.如果∠ADF＝100°， 那么∠BMD 为________度．
中考数学复习 第四单元 三角形 第16课时 几何初步及平行线 相交线课件
考点四 平行线
1.平行线的定义、判定与性质
平行线
在同一平面内,㉕ 不相交 的两条直线
的定义 叫做平行线
基本
经过直线外一点,有且只有㉖ 一条 直
事实
线与这条直线平行
推论
若a∥c,b∥c,则㉗ a∥b
平行线 的判定
平行线 的性质
同位角㉘ 相等 ,两直线平行
内错角㉙ 相等 ,两直线平行 同旁内角㉚ 互补 ,两直线平行 两直线平行,同位角㉛ 相等 两直线平行,内错角㉜ 相等 两直线平行,同旁内角㉝ 互补
角平分线
（续表）
一条射线把这个角分成两个相等的角,这条射线 定义
叫做这个角的平分线
角平分线上的点到角两边的距离⑯ 相等 ,
定理 即
⇒PE⑰ = PF
逆定理
到角两边距离相等的点在这个角的平分线上,即 ⇒∠1=∠2
考点三 相交线
1.三线八角
对顶角
性质:对顶角相等. 举例:∠1与∠3,∠2与∠4,∠5与∠7,∠6与⑱ ∠8
角板按图中所示位置摆放,保持两条斜
边互相平行,则∠1= ( )
A.30°
B.25°
C.20°
D.15°
[答案] D [解析]如图,过点C作CD∥AF,则 CD∥EB,∴∠BCD=∠B=45°, ∠ACD=∠A=30°, ∴∠1=45°-30°=15°,故选D.
图16-22
2.[2019·泰安]如图16-23,直线l1∥l2, ∠1=30°, 则∠2+∠3= ( )
A.130°
B.135°
C.140°
D.145°
[答案] B [解析]如图,∵a∥b,∴∠3=∠2=45°. ∵∠1+∠3=180°, ∴∠1=180°-∠3=180°-45°=135°. 故选B.
最新人教版中考数学复习知识点梳理——第16课时 全等三角形
{找两角的夹边（ASA），
（3）已知两角 找夹边以外的任意一边（AAS）.
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中考考点精讲精练
考点1 全等三角形的概念和性质(5年3考）
典型例题
1. （2020淄博）如图4-16-1，若△ABC≌△ADE，则下列结论一定成立的
是
（B ）
A. AC=DE
B. ∠BAD=∠CAE
C. AB=AE
D. ∠ABC=∠AED
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续表
概 （4）角角边：__两__角____和其中一角的___对__边___对应相等的两个三角 念 形全等（可简写成“AAS”）. 定 （5）斜边直角边：___斜__边___和一条__直__角__边__对应相等的两个直角三 理 角形全等（可简写成“HL”）.
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续表
方 4. 证明三角形全等的思路归纳
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2. （2019广州）如图4-16-11，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，
FC∥AB.求证：△ADE≌CFE．
证明：∵FC∥AB，
∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F.
在△ADE与△CFE中，
∠A=∠FCE，
∠ADE=∠F，
DE=FE,
∴△ADE≌△CFE（AAS）．
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3. （2018广州）如图4-16-12，AB与CD相交于点E，AE=CE，DE=BE．求证：
4. 如图4-16-4，AC,BD相交于点O，△ABO≌△ADO.下列结论正确的有
（D ）
①AC⊥BD;
②CB=CD;
③△ABC≌△ADC;
④AC平分∠BAD.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
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中考数学精华复习三角形与全等三角形完美
第16讲┃ 三角形与全等三角形
11．如图16－8，给出下列四组条件： ①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF； ②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF； ③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F； ④AC＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠E； 其中能使△ABC≌△DEF的条件共有( D )
A．1组
B．2组
图16－8 C．3组
图16－4
[解析] 如图，根据题意可知∠5＝90°， ∴∠3＋∠4＝90°，∴∠1＋∠2＝2∠5＋∠3＋∠4＝2×90°＋90° ＝270°.
第16讲┃ 三角形与全等三角形
考点3 全等三角形的定义及性质
定义 性质
如果两个三角形能够完全_重__合___，那么这 两个三角形全等，即对应边相__等____，对应
第16讲┃ 三角形与全等三角形
6．若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，那么这个三
角形是( B )
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
第16讲┃ 三角形与全等三角形
7．如图16－4，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边 形，则∠1＋∠2＝___27_0____度．
考点2 三角形的边和角
三角形边 的关系
三角形的内角 和与外角和
三角形外 角性质
三角形任意两边之和__大_于_____第三 边，任意两边之差_小__于_____第三边 三角形内角和等于_1_8_0_°__，外角和为
_3_6_0_°__ ①三角形的一个外角__等_于___与它不相 邻的两个内角的和；②三角形的一个 外角大于与__它__不__相__邻_的__任何一个内角
_三__边___对应相等的两三角形全等 斜边和一条直角边对应相等的两个直角
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第16段的长分别如下，以各组线段为边，能组成三角形 的是( C ) A．1，2，3 B． 2 ， 5 ， 8 C．3，4，5 D．4，5，10 5．一个三角形的两条边长分别为3和7，且第三边的边长为整 数，这样的三角形的周长的最小值是( B ) A．14 B．15 C．16 D．17
第16讲
三角形与全等三 角形
┃考点自主梳理与热身反馈 ┃ 考点1 三角形的分类及重要线段
钝角
直角三角形 三角形 内
直角 顶点
外
第16讲┃ 三角形与全等三角形
三角形 三角形的中线平分三角形的面积 的中线 三边 距 三角形的 三角形的角平分线的交点到三角形的_______ 角平分线 离相等 三角形的 三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边 中位线 的_______ 一半
第16讲┃ 三角形与全等三角形
1．如图16－1所示，图中三角形共有( C
)
A．1个
B． 2 个
图16－1 C．3个
D．4个
第16讲┃ 三角形与全等三角形
2．小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别 是4，9，12，如何求这个三角形的面积”？小明提示说：“可 通过作最长边上的高来求解”．小华根据小明的提示作出下列 图形，其中正确的是( C )
第16讲┃ 三角形与全等三角形
14.如图16－11，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BE＝CF，∠B ＝∠1. 求证：AC＝DF.(要求：写出证明过程中的重要依据)
图16－11
第16讲┃ 三角形与全等三角形
证明：∵BE＝CF， ∴BE＋EC＝CF＋EC， 即BC＝EF. 在△ABC和△DEF中， AB＝DE， ∠B＝∠1， BC＝EF， ∴△ABC≌△DEF(SAS)． ∴AC＝DF(全等三角形对应边相等)．
第16讲┃ 三角形与全等三角形
7．如图16－4，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边 270 形，则∠1＋∠2＝________ 度．
图16－4
[解析] 如图，根据题意可知∠5＝90° ， ∴∠3＋∠4＝90° ，∴∠1＋∠2＝2∠5＋∠3＋∠4＝2×90° ＋90° ＝270° .
第16讲┃ 三角形与全等三角形
图16－2
第16讲┃ 三角形与全等三角形
3．要测量池塘两侧的两点A、B之间的距离，可以取一个能直接 到达A、B的点C，连接CA、CB，分别在线段CA、CB上取中点D、 E，连接DE，测得DE＝35 m，则可得A、B之间的距离为( B ) A．30 m B．70 m C．105 m D．140 m
图16－3
考点3
全等三角形的定义及性质
重合 ，那么这 如果两个三角形能够完全______ 两个三角形全等，即对应边相等 ______，对应 相等 的三角形全等 角______ 相等 ，对应角 全等三角形对应边_______ 相等 _______
定义
性质
第16讲┃ 三角形与全等三角形
8.如图16－5，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′＝30°，则 ∠ACA′的度数为( B ) A．20° B．30° C．35° D．40°
图16－5
第16讲┃ 三角形与全等三角形
9.如图16－6所示，若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝3， 则EC的长为( A ) A．2 B．3 C．5 D．2.5
图16－6
第16讲┃ 三角形与全等三角形
考点4
全等三角形的判定
SAS ASA 两边和它们的______ 夹角 对应相等的两个三 角形全等 夹边 对应相等的两个三 两角和它们的______ 角形全等 对边 对应相等 两个角和其中一个角的______ 的两个三角形全等 三边 对应相等的两三角形全等 ______ 斜边和一条直角边对应相等的两个直角 三角形全等
13．如图16－10，在△ABC和△BAD中，BC＝AD，请你再补充一个 AC ＝BD或∠CBA＝∠DAB只 条件，要使△ABC≌△BAD.你补充的条件是 ____________________( 填一个)．
图16－10
[解析] 欲证两三角形全等，已有条件：BC＝AD，AB＝BA， 所以补充两边夹角∠CBA＝∠DAB便可以根据SAS证明； 补充AC＝BD便可以根据SSS证明．
[解析] 设第三边的长为x，则7－3＜x＜7＋3，所以4＜x＜10.又x为 整数，所以x可取5,6,7,8，所以这个三角形的周长的最小值为15.
第16讲┃ 三角形与全等三角形
6．若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，那么这个三 角形是( B ) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
判定 定理
AAS SSS HL
第16讲┃ 三角形与全等三角形
10.如图16－7，已知∠1＝∠2，要得到△ABD≌△ACD，还 需从下列条件中补选一个，则错误的选法是( B )
图16－7 A．AB＝AC C．∠ADB＝∠ADC B．DB＝DC D．∠B＝∠C
第16讲┃ 三角形与全等三角形
11．如图16－8，给出下列四组条件： ①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF； ②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF； ③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F； ④AC＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠E； 其中能使△ABC≌△DEF的条件共有( D
第16讲┃ 三角形与全等三角形
考点2
三角形的边和角
三角形边 的关系 三角形的内角 和与外角和 三角形外 角性质
大于 三角形任意两边之和________ 第三 小于 边，任意两边之差________ 第三边 180° ，外角和为 三角形内角和等于______ ______ 360° ①三角形的一个外角______ 等于 与它不相 邻的两个内角的和；②三角形的一个 外角大于与它不相邻的 ___________任何一个内角
)
A．1组
B．2组
图16－8 C．3组
D．4组
第16讲┃ 三角形与全等三角形
12．如图16－9，已知AC⊥BD于点P，AP＝CP，请增加一个条 件，使△ABP≌△CDP(不能添加辅助线)，你增加的条件是 ________．
图16－9
答案不唯一，如：BP＝DP或AB＝CD或∠A＝∠C或∠B＝∠D
第16讲┃ 三角形与全等三角形