江苏省无锡市江阴市高级中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

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江苏省无锡市江阴市高级中学2019_2020学年高一数学下学期期中试题含解析

【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.
（1)如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；
（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；
（3）如果知道两角及一边,用正弦定理.
2.为了解某高中学生的身高情况,现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取24人，高二年级抽取26人．若高三年级共有学生600人，则该校学生总人数为（）
(2）求直线l关于点A(1，1)对称的直线方程．
【答案】（1）7x－y－14＝0;（2）x＋2y－4＝0。
【解析】
【分析】
(1）先求出两直线的交点P（2，0），再求出，即得直线l2的方程；（2）直线l关于点A（1，1)对称的直线和直线l平行,所以设所求的直线方程为x＋2y＋m＝0，求出m的值即得解。
12。古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来,人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中， , ，点满足．设点所构成的曲线为，下列结论正确的是( ）
A。的方程为
B. 在上存在点，使得到点的距离为
【答案】(－3，－1］∪[7,9)
【解析】
由圆的方程知，圆心C(m，2），半径r＝2 ，
所以S△ABC＝ r2sin∠ACB＝20sin∠ACB，
所以当∠ACB＝时，S△ABC取得最大值20，
此时△ABC为等腰直角三角形，｜AB|＝ r＝4 ，
则点C到直线AB的距离为2 ,
所以2 ≤|PC｜〈2 ，

江苏省无锡市江阴市高级中学2019-2020学年高一下学期期中考试语文试卷 (1)

语文试卷注意：本试卷共4页，24小题，满分150分。

考试时间150分钟。

请按照题号将答案填涂或书写在答题卡相对应的答题区域内，将答案直接书写在本试卷上无效。

一、现代文阅读（24分）（一）论述类文本阅读（9分）阅读下面的文字，完成完成1-3题。

唐诗的自然精神刘宁唐诗有诸多丰富的精神特色，其中自然精神对唐诗的浸润十分深刻，甚至可以说，在很大程度上，自然精神塑造了唐诗今后世无限企慕的艺术境界。

自然精神发端于先秦道家自然哲学，老子说“道法自然”，“道”是世界的根本，“道”就是“自然”，它就是它自己的样子，独立而不改。

然而人生和社会常常是背离“道”，背离“自然”的，人应该超脱这种“背离”，去体会恒常不变的本然之道。

被后人誉为古今隐逸诗人之宗的陶渊明，他的诗歌有浓厚的自然之趣，《饮酒》中的“山气日夕佳，飞鸟相与还”，写黄昏中归巢的飞鸟，正是一幅万物归于本然的画卷。

陶渊明用他的方式，展开了诗歌自然之美的隽永画卷，而这幅画卷，正是在唐代呈现出了丰富而灿烂的内容。

唐代超一流的诗人中，王维和李白的诗歌都深受自然精神的影响。

自然精神对王维的影响，主要体现在山水诗方面．贯穿其中的山水审美精神，不以描摹山水之形态为旨归，而是要通过俯仰山水去体会自然之道。

中国的山水诗追求“静”的境界，这个静是哲学上的静，是内心安静澄明的状态，王维的山水诗是展现“静”的绝佳典范。

王维刻画山水，广阔浩渺而辽远，进入一种超脱现实功利的辽远境界，是一种精神之“远”。

王维被称为“诗佛”，他的山水诗对“静”与“远”的刻画，萦绕着深邃的“空”趣。

例如《新晴野望》，描绘一场雨水后天清地朗开阔澄澈的原野，其中“白水明田外，碧峰出山后”两句，写河水映照阳光，远方青翠的山峰因空气清澈而呈现在诗人的眼前，爽朗明澈的诗境，又是精神宁静澄明的写照。

其《汉江临泛>“江流天地外，山色有无中”，写江水浩渺，天水相接相融，远山似有若无，这是山水之远，更是精神之远。

《鹿柴》“空山不见人，但闻人语响”，诗中幽远的山林是充满深邃“空”趣的至静之境。

江苏省江阴市四校2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案

已知函数 .
（1）判断的奇偶性并说明理由；
（2）求证：函数在（-2,2）上是增函数；
（3）若，求实数的取值范围.
21.（本小题12分）
某企业生产，两种产品，根据市场调查和预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图1，产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2.（注：利润与投资单位是万元）
17.（本小题10分）
计算：（1）；
（2） .
18.（本小题10分）
已知集合， .
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值集合.
19.（本小题12分）
已知函数是定义在上的奇函数，当时， .
（1）当时，求函数的解析式；
（2）设，作出的图象，并由图指出的单调区间和值域.
20.（本小题12分）
则对应的图象如图：
……………9分
由图可知的单调增区间为（-2,6），单调减区间为（-4，-2），值域为 .……………12分
20.（1）解：是奇函数………………………………………………………………1分
是奇函数…………………………………………………………………3分
（2）证明：任取 ……………………………………………………4分
13.函数的图象过定点.
14.若函数的定义域为，则实数的取值范围为.
15.设为定义在上的偶函数，在上为增函数，若，则实数的取值范围是.
16.若在上为单调减函数，则实数的取值范围是.
三、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，并把答案写在答题纸的指定区域内）
2019—2020学年第一学期高一期中考试数学学科试题

江苏省无锡市江阴市高级中学2019_2020学年高二数学下学期期中试题含解析

江苏省无锡市江阴市高级中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合()(){}370A x x x =+-≤，8,1B x x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭，则A B =（） A. {}0,1,3 B. {}3,2,1,3,7-- C. {}0,1,3,7 D.{}3,2,0,1,3,7--【答案】C 【解析】【分析】解出集合A 、B ，利用交集的定义可得出集合A B .【详解】()(){}[]3703,7A x x x =+-≤=-，{}8,0,1,3,71B x x N N x ⎧⎫=∈∈=⎨⎬+⎩⎭，{}0,1,3,7A B ∴=.故选：C.【点睛】本题考查交集的计算，涉及一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 2. 已知复数z 满足i •z ＝2+i ，则z 的共轭复数是（） A. ﹣1﹣2i B. ﹣1+2iC. 1﹣2iD. 1+2i【答案】D 【解析】【分析】两边同乘-i ，化简即可得出答案．【详解】i •z ＝2+i 两边同乘-i 得z=1-2i ,共轭复数为1+2i ，选D. 【点睛】(,)z a bi a b R =+∈的共轭复数为z a bi =- 3. 设随机变量(),7XN μ，若()()24P X P X <=>，则（）A. 3μ=，()7=D XB. 6μ=，()=D XC. 3μ=，()=D XD. 6μ=，()7=D X【答案】A 【解析】【分析】根据正态分布及()()24P X P X <=>可知期望与方差. 【详解】因为随机变量(),7X N μ，且()()24P X P X <=>，所以由对称性知2432μ+==，由正态分布(),7X N μ知方差()7=D X .故选：A【点睛】本题主要考查了正态分布2(,)N μδ中，2,μδ的含义，属于容易题.4. 从3名教师和5名学生中，选出4人参加“我和我的祖国”快闪活动．要求至少有一名教师入选，且入选教师人数不多于入选学生人数，则不同的选派方案的种数是（） A. 20 B. 40 C. 60 D. 120【答案】C 【解析】【分析】由题意可分成两类：一名教师和三名学生，两名教师和两名学生，分别利用组合公式计算即可.【详解】由题意可分成两类：（1）一名教师和三名学生，共133530C C =；（2）两名教师和两名学生，共223530C C =；故不同的选派方案的种数是303060+=. 故选：C【点睛】本题考查组合的应用，是简单题，注意分类讨论、正确计算即可． 5. 在5678(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-的展开式中，含3x 的项的系数是（） A. 74 B. 121 C. 74- D. 121-【答案】D【解析】【分析】根据5678(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-，利用通项公式得到含3x 的项为：()+++-333335678()C C C C x ，进而得到其系数，【详解】因为在5678(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-，所以含3x 的项为：()+++-333335678()C C C C x ，所以含3x 的项的系数是的系数是33335678()C C C C -+++，()10203556121=-+++=-，故选：D【点睛】本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题，6. 袋子中装有大小相同的八个小球，其中白球五个，分别编号1、2、3、4、5；红球三个，分别编号1、2、3，现从袋子中任取三个小球，它们的最大编号为随机变量X ，则P (X =3)等于 ( ) A.528B.17C.1556D. 27【答案】D 【解析】3X = 第一种情况表示1个3，1224138314C C P C ⋅== ,第二种情况表示2个3，2124238114C C P C ⋅== ，所以()12312314147P X P P ==+=+= ，故选D. 7. 如图，四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD 两两垂直，2BC BD == ，点E 是CD 的中点，若直线AB 与平面ACD，则点B 到平面ACD 的距离为（）A.23B.23C.23D.43【答案】D 【解析】【分析】根据题意，CD ⊥面ABE,过B 作BF AE ⊥，证明BF ⊥ 面ACD, BAF ∠为直线AB 与平面ACD 所成角，BF 即为B 到平面ACD 的距离，利用三角形等面积即可求解.【详解】由题知AB ⊥面BCD, ∴ AB ⊥CD,又BC=BD ，点E 是CD 的中点， ∴ BE ⊥CD, 且2 又ABBE B =，∴CD ⊥面ABE,过B 作BF AE ⊥于E ，则CD ⊥BF,又AECD=E, ∴BF ⊥ 面ACD, ∴BAF ∠为直线AB 与平面ACD 所成角，BF 即为B 到平面ACD 的距离.∴22tan BE BA θ===,解得BA=4 ,∴222224(2)18,32AE AB BE AE =+=+==,利用ABE △ 等面积知424,22332AE BF BA BE BF ⨯⨯⨯=∴== .故选D.【点睛】本题考查线面角，点面距，过B作BF AE⊥，证明BF⊥面ACD是关键.8. 设函数22, ()6,x x x af xax x a⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是定义在R上的增函数，则实数a取值范围（）A. [)2,+∞ B. []0,3 C. []2,3 D. []2,4【答案】D【解析】【分析】画出函数22y x x=--的图象，结合图象及题意分析可得所求范围．【详解】画出函数22y x x=--的图象如下图所示，结合图象可得，要使函数()22,,6,,x x x axax x a⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是在R上的增函数，需满足22226a a a a ≥⎧⎨--≥-⎩，解得24x ≤≤．所以实数a 取值范围是[]2,4．故选D ．【点睛】解答本题的关键有两个：（1）画出函数的图象，结合图象求解，增强了解题的直观性和形象性；（2）讨论函数在实数集上的单调性时，除了考虑每个段上的单调性之外，还要考虑在分界点处的函数值的大小关系．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9. 用数学归纳法证明21121n n nn ->++对任意(),n k n k N ≥∈的自然数都成立，则以下满足条件的k 的值为（） A .1B. 2C. 3D. 4【答案】CD 【解析】【分析】将各项的值代入验证后可得正确的选项，注意用数学归纳法证明所得的结论.【详解】取1n =，则2111,21312n n n n -==++，21121n n n n ->++不成立；取2n =，则2132,21513n n n n -==++，21121n n n n ->++不成立；取3n =，则2173,21914n n n n -==++，21121n n n n ->++成立；取4n =，则21154,211715n n n n -==++，21121n n n n ->++成立；下证：当3n ≥时，21121n n nn ->++成立. 当3n =，则2173,21914n n n n -==++，21121n n n n ->++成立；设当()3n k k =≥时，有21211k k kk ->++成立，则当1n k =+时，有11213121212121321k k k k k k ++-+-+=-+++，令2121k k t -=+，则1121318=32133k k t t t ++-+=-+++，因为1k t k >+，故11218413214331k k k k k k ++-+>-=++++，因为()()411210432432k k k k k k k ++--=>++++，所以()1121112121+1k k k k k k ++-++>=+++，所以当1n k =+时，不等式也成立，由数学归纳法可知，21121n n n n ->++对任意的3n ≥都成立. 故选：CD.【点睛】本题考查数学归纳法，注意归纳的起点可以通过验证得到，还要注意用数学归纳法证明一般性结论是成立. 10. 下列说法正确的是（）A. 命题“x ∀∈R ，21x >-”的否定是“x ∃∈R ，21x <-”B. 命题“(3,)x ∃∈-+∞，29x ≤”的否定是“(3,)x ∀∈-+∞，29x >”C. “22x y >”是“x y >”必要而不充分条件D. “0m <”是“关于x 方程2x 2x m 0-+=有一正一负根”的充要条件【答案】BD 【解析】【分析】A.根据全称命题的否定的书写规则来判断；B. 根据特称命题的否定的书写规则来判断；C.根据充分性和必要性的概念判断；D. 根据充分性和必要性的概念判断.【详解】解：A.命题“x ∀∈R ，21x >-”的否定是“x ∃∈R ，21x ≤-”，故错误；B.命题“(3,)x ∃∈-+∞，29x ≤”的否定是“(3,)x ∀∈-+∞，29x >”，正确；C.22x y x y >⇔>，x y >不能推出x y >，x y >也不能推出x y >，所以“22x y >”是“x y >”的既不充分也不必要条件，故错误； D.关于x的方程2x 2x m 0-+=有一正一负根44000m m m ->⎧⇔⇔<⎨<⎩，所以“0m <”是“关于x 的方程2x 2x m 0-+=有一正一负根”的充要条件，正确，故选：BD.【点睛】本题考查全称命题，特称命题否定的写法，以及充分性，必要性的判断，是基础题. 11. 已知i 为虚数单位，则下面命题正确的是（） A. 若复数3i z =+，则131010iz =-． B. 复数z 满足21z i -=，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则()2221x y +-=．C. 若复数1z ，2z 满足21z z =，则120z z ≥．D. 复数13z i =-的虚部是3．【答案】ABC 【解析】【分析】直接运算可判断A ；由复数的几何意义和复数模的概念可判断B ；由共轭复数的概念，运算后可判断C ；由复数虚部的概念可判断D ；即可得解.【详解】由()()11333i 3i 3i 1010i i z -===-++-，故A 正确；由z 在复平面内对应的点为(),x y ，则()221z i x y i -=+-=1=，则()2221x y +-=，故B 正确；设复数1z a bi =+，则2z a bi =-，所以()()21220a bi a b z bi z a +-=+=≥，故C 正确；复数13z i =-的虚部是-3，故D 不正确. 故选：A 、B 、C【点睛】本题综合考查了复数的相关问题，属于基础题.12. （多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]3.54-=-，[]2.12=．已知函数()e 11e 2x xf x =-+，则关于函数()()g x f x =⎡⎤⎣⎦的叙述中正确的是（） A. ()g x 是偶函数 B. ()f x 是奇函数 C. ()f x 在R 上是增函数 D. ()g x 的值域是{}1,0,1-【答案】BC 【解析】【分析】举反例说明A 错，用奇函数的定义证明B 正确，用复合函数的单调性说明C 正确，求出函数()f x 的值域，根据高斯函数的定义证明D 错误．【详解】根据题意知，()e 1111e 221ex x xf x =-=-++． ()()e 11101e 2g f ⎡⎤==-=⎡⎤⎣⎦⎢⎥+⎣⎦，()()11111e 12g f ⎡⎤-=-=-=-⎡⎤⎣⎦⎢⎥+⎣⎦，()()11g g ∴≠-，()()11g g ≠--，∴函数()g x 既不是奇函数也不是偶函数，A 错误；()()e 1111e 21e 2x x xf x f x ---=-=-=-++，()f x ∴是奇函数，B 正确；由复合函数的单调性知()1121e x f x =-+在R 上是增函数，C 正确； e 0x >，1e 1x∴+>，()1122f x ∴-<<， ()(){}1,0g x f x ∴==-⎡⎤⎣⎦，D 错误．故选BC ．【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性，考查函数的值域，考查学生的创新意识．由于涉及到新定义函数，有一定的难度．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 13. 已知x ，y 取值如表：画散点图分析可知：y 与x 线性相关，且求得回归方程为ˆ1yx =+，则m =__________．【答案】32【解析】分析：计算,x y ，根据线性回归方程过样本中心点，代入方程求出m 的值．详解：计算x =15×（0+1+3+5+6）=3， y =15×（1+m+3m+5.6+7.4）=1445m+， ∴这组数据的样本中心点是（3，1445m+），又y 与x 的线性回归方程y =x+1过样本中心点，∴1445m+=1×3+1，解得m=32.故填32.点睛：本题考查了回归直线方程过样本中心点的应用问题，属于基础题．14. 已知函数()32sin f x x x =-，若2(3)(3)0f a a f a -+-<，则实数a 的取值范围是__________．【答案】(1,3) 【解析】【分析】确定函数为奇函数，增函数，化简得到233a a a -<-，解得答案.【详解】()32sin f x x x =-，()()32sin f x x x f x -=-+=-，函数为奇函数，'()32cos 0f x x =->，函数单调递增，2(3)(3)0f a a f a -+-<，即2(3)(3)(3)f a a f a f a -<--=-，即233a a a -<-，解得13a <<.故答案为：()1,3.【点睛】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.15. 已知,R a b ∈，且360a b -+=，则128ab+的最小值为_____________. 【答案】14【解析】【分析】由题意首先求得3a b -的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.【详解】由360a b -+=可知36a b -=-，且：312228aa bb -+=+，因为对于任意x ，20x >恒成立，结合均值不等式的结论可得：336122222224aba b ---+≥⨯⨯=⨯=.当且仅当32236a b a b -⎧=⎨-=-⎩，即31a b =-⎧⎨=⎩时等号成立.综上可得128ab +的最小值为14. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．16. 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，“赵爽弦图”如图所示，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成，现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有______种（用数字作答）.【答案】420【解析】【分析】根据题意设五个区域分别为①②③④⑤，再分两步讨论①②③和④⑤的情况，最后由分步计数原理计算即可.【详解】由题意，假设五个区域分别为①②③④⑤，对于区域①②③，三个区域两两相邻，共有3560A =种情况；对于区域④⑤，若④与②颜色相同，则⑤有3种情况，若④与②颜色不同，则④有2种情况，⑤有2种情况，共有224⨯=种情况，所以④⑤共有347+=种情况，则一共有607420⨯=种情况. 故答案为：420【点睛】本题主要考查排列组合的应用和分步乘法计数原理的应用，属于基础题. 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在42nx x 的展开式中，前3项的系数成等差数列，（1）求n 的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）求展开式中含2x -的项的系数. 【答案】（1）8n =（2）358x （3）1256【解析】【分析】（1）根据前3项的系数成等差数列，利用等差数列的定义求得n 的值；（2）根据通项公式、二项式系数的性质求展开式中二项式系数最大的项；（3）在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于2-，求出r 的值，即可求得含2x -的项的系数．【详解】解：（1）因为前3项的系数成等差数列，且前三项系数为0121124n n n C C C ，，，所以1214n n n C C C =+，即2980n n -+=，所以1n =（舍去）或8n =.（2）因为8n =，所以展开式中二项式系数最大的项为第五项，即()4445843582T C x x x == ⎪⎝⎭.（3）通项公式：()384418841,0822r rr rrr r T C x C x r r N x --*+⎛⎫==≤≤∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由3424r-=-，8r ∴=，可得含x 的项的系数为88811()2256C =.【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质． 18. 已知函数f （x ）226kxx k=+（k ＞0）（1）若f （x ）＞m 的解集为{x |x ＜-3，或x ＞-2}，求不等式5mx 2+kx +3＞0的解集；（2）若存在x ＞3，使得f （x ）＞1成立，求k 的取值范围．【答案】（1）3(1,)2-（2）6k > 【解析】【详解】试题分析：（1）根据不等式解集与对应方程根的关系：-3，-2是方程mx 2-2kx +6km =0的根，即利用韦达定理得方程组，解方程组可得m,k 的值，代入不等式5mx 2+kx +3＞0再解一元二次不等式即可（2）不等式有解问题，一般转化为对应函数最值问题：2min (),(3)26x k x x >>- ，再根据基本不等式求最值，即得k 的取值范围．试题解析：解：（1）不等式，∵不等式mx 2-2kx +6km ＜0的解集为{x |x ＜-3，或x ＞-2}，∴-3，-2是方程mx 2-2kx +6km =0的根，∴，故有，∴不等式5mx 2+kx +3＞0的解集为．（2）．存在x ＞3，使得f （x ）＞1成立，即存在x ＞3，使得成立．令，则k ＞g （x ）min ．令2x -6=t ，则t ∈（0，+∞），，当且仅当即6t =时等号成立．所以()min 6g x =故k ∈（6，+∞）．点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.19. 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1AB AC ==，D ，E 分别为1AA ，1B C 的中点．（1）证明：DE ⊥平面11BCC B ；（2）已知1B C 与平面BCD 所成的角为30°，求二面角1D BC B --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）22．【解析】【分析】（1）取BC 中点F ，连接AF 、EF ，根据题目条件，利用线面垂直的判定定理，得出AF ⊥平面11BCC B ，由于E 为1B C 中点，1EFBB ，112EF BB =，可证出四边形ADEF 为平行四边形，得出AF DE ∥，从而可证出DE ⊥平面11BCC B ；（2）设1AB AC ==，12AA a =，根据（1）可知，DE ⊥平面1BCB ，则D 到平面1BCB 距离2DE =，设1B 到面BCD 距离为d ，根据三棱锥等体积法有11B BDCD BCB V V --=，得11133BCB BDC S DE S d ⋅=⋅△△，得d =因为1B C 与平面BCD 所成的角为30°，可求出a =BC ⊥平面DEFA ，进而得出EFD ∠为二面角1D BC B --的平面角，只需求出EFD ∠，即可求出二面角1D BC B --的余弦值．【详解】解：（1）取BC 中点F ，连接AF 、EF ， ∵AB AC =∴AF BC ⊥，∵1BB ⊥平面ABC ，AF ⊂平面ABC ， ∴1BB AF ⊥，而BC ⊂平面11BCC B ，1B B ⊂平面11BCC B ，1BC B B B =∩ ∴AF ⊥平面11BCC B ， ∵E 为1B C 中点，∴1EF BB ，112EF BB =， ∴EFDA ，EF DA =，∴四边形ADEF 为平行四边形，∴AF DE ∥． ∴DE ⊥平面11BCC B ．（2）设1AB AC ==，12AA a =，则BC =2AF =，BD DC ==∴DF ==∴12BDCS BC DF =⋅=△，1112BCB S BB BC =⋅=，D 到平面1BCB 距离2DE =，设1B 到面BCD 距离为d ，由11B BDC D BCB V V --=，得11133BCB BDC S DE S d ⋅=⋅△△，即113232d ⋅=⋅⋅，得d = 因为1B C 与平面BCD 所成的角为30°，所以12sin 30d B C d ===︒，而在直角三角形1B BC 中，1B C ==，解得a =．因为AF ⊥平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ，所以AF BC ⊥，又EF ⊥平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ，所以EF BC ⊥，所以BC ⊥平面DEFA ，∵DF ⊂平面DBC ，EF ⊂平面1B BC 所以EFD ∠为二面角1D BC B --的平面角，而2DA AF ==，可得四边形DAFE 是正方形，所以45EFD ∠=︒，则cos cos45EFD ∠=︒=，所以二面角1D BC B --的余弦值为2．【点睛】本题考查线面垂直的判定定理，以及利用几何法求二面角余弦值，涉及平行四边形的证明、等体积法求距离、棱锥的体积，线面角的应用等知识点，考查推理证明能力和计算能力.20. 交通部门调查在高速公路上的平均车速情况，随机抽查了60名家庭轿车驾驶员，统计其中有40名男性驾驶员，其中平均车速超过90/km h 的有30人，不超过90/km h 的有10人；在其余20名女性驾驶员中，平均车速超过90/km h 的有5人，不超过90/km h 的有15人. （1）完成下面的22⨯列联表，并据此判断是否有99.9%的把握认为，家庭轿车平均车速超过90/km h 与驾驶员的性别有关；平均车速超过90/km h的人数平均车速不超过90/km h 的人数合计男性驾驶员女性驾驶员合计（2）根据这些样本数据来估计总体，随机调查3辆家庭轿车，记这3辆车中，驾驶员为女性且平均车速不超过90/km h 的人数为ξ，假定抽取的结果相互独立，求ξ的分布列和数学期望.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++临界值表：【答案】（1）填表见解析；有99.9%的把握认为，平均车速超过90/km h 与性别有关（2）详见解析【解析】【分析】（1）根据题目所给数据填写22⨯列联表，计算出2K 的值，由此判断出有99.9%的把握认为，平均车速超过90/km h 与性别有关.（2）利用二项分布的知识计算出分布列和数学期望. 【详解】（1）因为2260(3015510)61613.71402035257K ⨯⨯-⨯⨯==≈⨯⨯⨯，13.7110.828>，所以有99.9%的把握认为，平均车速超过90/km h 与性别有关. （2）ξ服从153,60B ⎛⎫⎪⎝⎭，即13,4B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 30033127(0)4464P C ξ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21133127(1)4464P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1223319(2)4464P C ξ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 0333311(3)4464P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以ξ的分布列如下ξ的期望2727913()0123646464644E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本小题主要考查22⨯列联表独立性检验，考查二项分布分布列和数学期望，属于中档题.21. 已知n 为给定的正整数，设201223nn n x a a x a x a x ⎛⎫+=++++ ⎪⎝⎭，x ∈R .（1）若4n =，求01,a a 的值；（2）若13x =，求0()nkk k n k a x =-∑的值.【答案】（1）01681a =，13227a =.（2）23n【解析】【分析】（1）利用二项式定理可求出0a 和1a 的值；（2）利用组合数公式得出11k k n n kC nC --=，可得出()00121213333n kk n kkn nnkk k k nn k k k n k a x nC nC --===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑，然后利用二项式定理即可求得答案.【详解】（1）因为4n =，所以0404216C ()381a ==，1314232C ()327a ==；（2）当13x =时，21C ()()33k k n k k k n a x -=，又因为11!(1)!C C !()!(1)!()!kk n n n n k kn n k n k k n k ---===---，当1n =时，01122()C ()33nk k k n k a x =-==∑；当2n ≥时，0021()()C ()()33n nk k n k kk n k k n k a x n k -==-=-∑∑012121C ()()C ()()3333n nk n k kk n k k n n k k n k --===-∑∑ 1112121()C ()()3333n n k n k kn k n n ---==+-∑ 1111121C ()()333n k n k k n k n n ----==-∑11212()3333n n n n -=-+=，当1n =时，也符合.所以0()nkk k n k a x =-∑的值为23n .【点睛】本题考查二项式定理求指定项的系数，同时也考查了利用二项式定理化简求值，解题的关键就是二项展开式通项和二项式定理的逆用，考查计算能力，属于中等题. 22. 已知函数1()ln f x x a x x=-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】分析：(1)首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对a 进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；(2)根据()f x 存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定2a >，令'()0f x =，得到两个极值点12,x x 是方程210x ax -+=的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.详解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()222111a x ax f x x x x -+=--+-'=. （i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在()0,+∞单调递减.（ii ）若2a >，令()0f x '=得，x =或x =.当0,22a a x ⎛⎛⎫∈⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '<；当x ⎝⎭时，()0f x '>.所以()f x在,⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减，在⎝⎭单调递增. （2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >.由于()f x 的两个极值点12,x x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >.由于()()12121221212121222ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----，所以()()12122f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<. 设函数()12ln g x x x x=-+，由（1）知，()g x 在()0,+∞单调递减，又()10g =，从而当()1,x ∈+∞时，()0g x <. 所以22212ln 0x x x -+<，即()()12122f x f x a x x -<--. 点睛：该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.。

江苏省无锡市江阴市高级中学2019-2020学年高一下学期期中考试英语试卷含答案

江阴市高级中学2019-2020学年高一下学期期中考试英语试卷第一部分听力（共两节，满分30分）第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. Why does the man need a map?A. To tour Manchester.B. To find a restaurant.C. To learn about China.2. What does the woman want to do for vacation?A. Go to the beach.B. Travel to Colorado.C. Learn to snowboard.3. What will the man probably do?A. Take the job.B. Refuse the offer.C. Change the working hours.4. What does the woman say about John?A. He won’t wait for her.B. He won’t come home today.C. He won’t be on time for dinner.5. What will the speakers probably do next?A. Order some boxes.B. Go home and restC. Continue working.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

2023—2024学年江苏省无锡市江阴市华士高级中学高一下学期3月月考数学试卷

2023—2024学年江苏省无锡市江阴市华士高级中学高一下学期3月月考数学试卷一、单选题(★) 1. 已知在四边形ABCD中，则四边形ABCD一定是（）A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形(★★★) 2. 若函数在上恰有两个零点，则的取值范围为（）A．B．C．D．(★) 3. 在△ ABC 中，∠ C=90°，，则与的夹角是 ()A．30°B．60°C．120°D．150°(★★★) 4. 函数的值域为（）A．B．C．D．(★★★) 5. 筒车是一种水利灌溉工具（如图所示），筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为，筒车的半径为，筒车转动的周期为，如图所示，盛水桶在处距水面的距离为. 后盛水桶在处距水面的距离为，若，则直线与水面的夹角为（）A．B．C．D．(★★★) 6. 如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（）A．B．C．D．(★★★★) 7. 已知函数的部分图象如图所示，则函数的零点个数为（）A．7B．9C．11D．13(★★★★) 8. 对于向量，把能够使得取到最小值的点称为的“平衡点”.如图，矩形的两条对角线相交于点，延长至，使得，联结，分别交于两点.下列的结论中，正确的是（）A．的“平衡点”为.B．的“平衡点”为的中点.C．的“平衡点”存在且唯一.D．的“平衡点”必为二、多选题(★★★) 9. 如图，已知点为正六边形的中心，下列结论正确的是（）A．B．C．D．(★★★) 10. 函数图象的对称轴方程可能为（）A．0B．C．D．(★★★) 11. 下列说法中错误的是（）A．若都是非零向量，则“”是“与共线”的充要条件B．若都是非零向量，且，则C．若单位向量满足，则D．若为三角形外心，且，则为三角形的垂心三、填空题(★★★) 12. 已知，则 _____________ ．(★★★) 13. 已知函数的定义域为. 若存在唯一，使得恒成立，则正实数的取值范围是_________ .(★★★) 14. 在正三角形中，由可得到三角恒等式，其中，以此类推，在正边形中，可得到三角恒等式 ______ ；通过上述， ______ ．四、解答题(★★) 15. 设，是不平行的向量，且，．(1)若向量与共线，求实数的值；(2)若，用，的线性组合表示．(★★★) 16. 给出以下三个条件：①直线，是图象的任意两条对称轴，且的最小值为，②，③对任意的，；请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．已知函数，，______．(1)求的表达式；(2)将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递增区间以及在区间上的值域．(★★★) 17. 在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点(1)求的值；(2)记点的横坐标为，若，且，求的值．(★★★) 18. 如图，在中，，，AD与BC相交于点M.设，.(1)试用基底表示向量；(2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，若，，求的值.(★★★★) 19. 已知函数的图象关于直线对称，其最小正周期与函数相同．(1)求的单调递减区间；(2)设函数，证明：有且只有一个零点，且．。

江阴市高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

江阴市高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．下列函数中，既是奇函数又是减函数的为（）A ．y=x+1B ．y=﹣x 2C ．D ．y=﹣x|x|2．若命题p ：∃x 0∈R ，sinx 0=1；命题q ：∀x ∈R ，x 2+1＜0，则下列结论正确的是（）A ．￢p 为假命题B ．￢q 为假命题C ．p ∨q 为假命题D ．p ∧q 真命题3．若复数z 满足=i ，其中i 为虚数单位，则z=（）A ．1﹣iB ．1+iC ．﹣1﹣iD ．﹣1+i4．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知在S n 中有S 17＜0，S 18＞0，那么S n 中最小的是（）A ．S 10B ．S 9C ．S 8D ．S 75．已知点A （0，1），B （3，2），C （2，0），若＝2，则||为（）AD → DB → CD →A ．1 B.43C. D ．2536．如图所示，已知四边形ABCD 的直观图是一个边长为的正方形，则原图形的周长为（）A ．B ．C.D ．7．+（a ﹣4）0有意义，则a 的取值范围是（）A ．a ≥2B ．2≤a ＜4或a ＞4C ．a ≠2D ．a ≠48．执行如图所示的程序框图，若a=1，b=2，则输出的结果是（）A ．9B ．11C ．13D ．159．函数f （x ）=sin ωx+acos ωx （a ＞0，ω＞0）在x=处取最小值﹣2，则ω的一个可能取值是（）A ．2B ．3C ．7D ．910．函数f （x ）=log 2（3x ﹣1）的定义域为（）A ．[1，+∞）B ．（1，+∞）C ．[0，+∞）D ．（0，+∞）11．若动点分别在直线：和：上移动，则中点所),(),(2211y x B y x A 、011=-+y x 2l 01=-+y x AB M 在直线方程为（）A ．B ．C ．D ．06=--y x 06=++y x 06=+-y x 06=-+y x 12．椭圆=1的离心率为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．设有一组圆C k ：（x ﹣k+1）2+（y ﹣3k ）2=2k 4（k ∈N *）．下列四个命题：①存在一条定直线与所有的圆均相切；②存在一条定直线与所有的圆均相交；③存在一条定直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点．其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）． 14．某工厂的某种型号的机器的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元）的统计资料如表：x 681012y 2356根据上表数据可得y 与x 之间的线性回归方程=0.7x+，据此模型估计，该机器使用年限为14年时的维修费用约为万元．　15．设函数有两个不同的极值点，，且对不等式32()(1)f x x a x ax =+++1x 2x 12()()0f x f x +≤恒成立，则实数的取值范围是．16．设数列{a n }满足a 1=1，且a n+1﹣a n =n+1（n ∈N *），则数列{}的前10项的和为．17．设，在区间上任取一个实数，曲线在点处的切线斜率为，则随机()xxf x e =[0,3]0x ()f x ()00,()x f x k 事件“”的概率为_________.0k <18．已知f （x ）＝x （e x ＋a e －x ）为偶函数，则a ＝________．三、解答题19．已知奇函数f （x ）=（c ∈R ）．（Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）当x ∈[2，+∞）时，求f （x ）的最小值．　20．已知f （x ）=x 2+ax+a （a ≤2，x ∈R ），g （x ）=e x ，φ（x ）=．（Ⅰ）当a=1时，求φ（x ）的单调区间；（Ⅱ）求φ（x ）在x ∈[1，+∞）是递减的，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）是否存在实数a ，使φ（x ）的极大值为3？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由．　21．22．设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1．（1）若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围；（2）对于x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，求m的取值范围．　23．计算下列各式的值：（1）（2）（lg5）2+2lg2﹣（lg2）2．24．（本小题满分12分）已知过抛物线的焦点，斜率为2:2(0)C y px p =>11A x y （，）和（）两点，且．22B x y （，）12x x ＜92AB =（I ）求该抛物线的方程；C （II ）如图所示，设为坐标原点，取上不同于的点，以为直径作圆与相交另外一点，O C O S OS C R 求该圆面积的最小值时点的坐标．S江阴市高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】解：y=x+1不是奇函数；y=﹣x2不是奇函数；是奇函数，但不是减函数；y=﹣x|x|既是奇函数又是减函数，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性和函数的单调性，难度不大，属于基础题．2．【答案】A【解析】解：时，sinx0=1；∴∃x0∈R，sinx0=1；∴命题p是真命题；由x2+1＜0得x2＜﹣1，显然不成立；∴命题q是假命题；∴￢p为假命题，￢q为真命题，p∨q为真命题，p∧q为假命题；∴A正确．故选A．【点评】考查对正弦函数的图象的掌握，弧度数是个实数，对∀∈R满足x2≥0，命题￢p，p∨q，p∧q的真假和命题p，q真假的关系．3．【答案】A【解析】解：=i，则=i（1﹣i）=1+i，可得z=1﹣i．故选：A．4．【答案】C【解析】解：∵S16＜0，S17＞0，∴=8（a8+a9）＜0，=17a9＞0，∴a8＜0，a9＞0，∴公差d ＞0．∴S n 中最小的是S 8．故选：C ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　5．【答案】【解析】解析：选C.设D 点的坐标为D （x ，y ），∵A （0，1），B （3，2），＝2，AD → DB →∴（x ，y －1）＝2（3－x ，2－y ）＝（6－2x ，4－2y ），∴即x ＝2，y ＝，{x ＝6－2x ，y －1＝4－2y )53∴＝（2，）－（2，0）＝（0，），CD → 5353∴||＝＝，故选C.CD → 02＋（53）2536．【答案】C【解析】考点：平面图形的直观图.7．【答案】B 【解析】解：∵+（a ﹣4）0有意义，∴，解得2≤a ＜4或a ＞4．故选：B ．　8．【答案】C【解析】解：当a=1时，不满足退出循环的条件，故a=5，当a=5时，不满足退出循环的条件，故a=9，当a=9时，不满足退出循环的条件，故a=13，当a=13时，满足退出循环的条件，故输出的结果为13，故选：C【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．　9．【答案】C【解析】解：∵函数f（x）=sinωx+acosωx（a＞0，ω＞0）在x=处取最小值﹣2，∴sin+acos=﹣=﹣2，∴a=，∴f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+）．再根据f（）=2sin（+）=﹣2，可得+=2kπ+，k∈Z，∴ω=12k+7，∴k=0时，ω=7，则ω的可能值为7，故选：C．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．10．【答案】D【解析】解：要使函数有意义，则3x﹣1＞0，即3x＞1，∴x＞0．即函数的定义域为（0，+∞），故选：D．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．11．【答案】D【解析】考点：直线方程12．【答案】D【解析】解：根据椭圆的方程=1，可得a=4，b=2，则c==2；则椭圆的离心率为e==，故选D．【点评】本题考查椭圆的基本性质：a2=b2+c2，以及离心率的计算公式，注意与双曲线的对应性质的区分．　二、填空题13．【答案】　②④　【解析】解：根据题意得：圆心（k﹣1，3k），圆心在直线y=3（x+1）上，故存在直线y=3（x+1）与所有圆都相交，选项②正确；考虑两圆的位置关系，圆k：圆心（k﹣1，3k），半径为k2，圆k+1：圆心（k﹣1+1，3（k+1）），即（k，3k+3），半径为（k+1）2，两圆的圆心距d==，两圆的半径之差R﹣r=（k+1）2﹣k2=2k+，任取k=1或2时，（R﹣r＞d），C k含于C k+1之中，选项①错误；若k取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误；将（0，0）带入圆的方程，则有（﹣k+1）2+9k2=2k4，即10k2﹣2k+1=2k4（k∈N*），因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确．则真命题的代号是②④．故答案为：②④【点评】本题是一道综合题，要求学生会将直线的参数方程化为普通方程，会利用反证法进行证明，会利用数形结合解决实际问题．14．【答案】　7.5　【解析】解：∵由表格可知=9，=4，∴这组数据的样本中心点是（9，4），根据样本中心点在线性回归直线=0.7x+上，∴4=0.7×9+，∴=﹣2.3，∴这组数据对应的线性回归方程是=0.7x﹣2.3，∵x=14，∴=7.5，故答案为：7.5【点评】本题考查线性回归方程，考查样本中心点，做本题时要注意本题把利用最小二乘法来求线性回归方程的系数的过程省掉，只要求a 的值，这样使得题目简化，注意运算不要出错．　15．【答案】1(,1],22⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：因为,故得不等式,即12()()0f x f x +≤()()()332212121210x x a x x a x x ++++++≤,由于()()()()()221212121212123120x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤⎡⎤++-+++-++≤⎣⎦⎣⎦,令得方程,因 , 故()()2'321f x x a x a =+++()'0f x =()23210x a x a +++=()2410a a ∆=-+>，代入前面不等式,并化简得,解不等式得或，()12122133x x a ax x ⎧+=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩()1a +()22520a a -+≥1a ≤-122a ≤≤因此, 当或时, 不等式成立,故答案为.1a ≤-122a ≤≤()()120f x f x +≤1(,1],22⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦考点：1、利用导数研究函数的极值点；2、韦达定理及高次不等式的解法.【思路点晴】本题主要考查利用导数研究函数的极值点、韦达定理及高次不等式的解法，属于难题.要解答本题首先利用求导法则求出函数的到函数，令考虑判别式大于零，根据韦达定理求出()f x ()'0f x =的值，代入不等式，得到关于的高次不等式，再利用“穿针引线”即可求得实1212,x x x x +12()()0f x f x +≤数的取值范围.111]16．【答案】．【解析】解：∵数列{a n }满足a 1=1，且a n+1﹣a n =n+1（n ∈N *），∴当n ≥2时，a n =（a n ﹣a n ﹣1）+…+（a 2﹣a 1）+a 1=n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴a n =．∴=2．∴数列{}的前n 项的和S n ===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．　17．【答案】35【解析】解析：本题考查几何概率的计算与切线斜率的计算．，由得，，∴随机事件“”的概率为．0001()x x k f x e -'==0()0f x '<01x >0k <2318．【答案】【解析】解析：∵f （x ）是偶函数，∴f （－x ）＝f （x ）恒成立，即（－x ）（e －x ＋a e x ）＝x （e x ＋a e －x ），∴a （e x ＋e －x ）＝－（e x ＋e －x ），∴a ＝－1.答案：－1三、解答题19．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∵f （x ）是奇函数，∴f （﹣x ）=﹣f （x ），∴=﹣=，比较系数得：c=﹣c ，∴c=0，∴f （x ）==x+；（Ⅱ）∵f （x ）=x+，∴f ′（x ）=1﹣，当x ∈[2，+∞）时，1﹣＞0，∴函数f （x ）在[2，+∞）上单调递增，∴f （x ）min =f （2）=．【点评】本题考查了函数的奇偶性问题，考查了函数的单调性、最值问题，是一道中档题．20．【答案】【解析】解：（I）当a=1时，φ（x）=（x2+x+1）e﹣x．φ′（x）=e﹣x（﹣x2+x）当φ′（x）＞0时，0＜x＜1；当φ′（x）＜0时，x＞1或x＜0∴φ（x）单调减区间为（﹣∞，0），（1，+∞），单调增区间为（0，1）；（II）φ′（x）=e﹣x[﹣x2+（2﹣a）x]∵φ（x）在x∈[1，+∞）是递减的，∴φ′（x）≤0在x∈[1，+∞）恒成立，∴﹣x2+（2﹣a）x≤0在x∈[1，+∞）恒成立，∴2﹣a≤x在x∈[1，+∞）恒成立，∴2﹣a≤1∴a≥1∵a≤2，1≤a≤2；（III）φ′（x）=（2x+a）e﹣x﹣e﹣x（x2+ax+a）=e﹣x[﹣x2+（2﹣a）x]令φ′（x）=0，得x=0或x=2﹣a：由表可知，φ（x）极大=φ（2﹣a）=（4﹣a）e a﹣2设μ（a）=（4﹣a）e a﹣2，μ′（a）=（3﹣a）e a﹣2＞0，∴μ（a）在（﹣∞，2）上是增函数，∴μ（a）≤μ（2）=2＜3，即（4﹣a）e a﹣2≠3，∴不存在实数a，使φ（x）极大值为3．21．【答案】一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图），（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】概率与统计．【分析】（1）求解得a=0.03，由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20根据平均数值公式求解即可．（2）X～B（3，），根据二项分布求解P（X=0），P（X=1），P（X=2）=，P（X=3），列出分布列，求解数学期望即可．【解析】解：（1）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10=1解得a=0.03；又由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20，而50个样本小球重量的平均值为：=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（克）故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．（2）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在[5，15]内的0.2；则X～B（3，），X=0，1，2，3；P（X=0）=×（）3=；P（X=1）=×（）2×=；P（X=2）=×（）×（）2=；P（X=3）=×（）3=，∴X的分布列为：X0123P即E（X）=0×=．【点评】本题考查了离散型的随机变量及概率分布列，数学期望的求解，注意阅读题意，得出随机变量的数值，准确求解概率，难度不大，需要很好的计算能力22．【答案】【解析】解：（1）当m=0时，f（x）=﹣1＜0恒成立，当m≠0时，若f（x）＜0恒成立，则解得﹣4＜m＜0综上所述m的取值范围为（﹣4，0]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）要x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，即恒成立．令﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当m＞0时，g（x）是增函数，所以g（x）max=g（3）=7m﹣6＜0，解得．所以当m=0时，﹣6＜0恒成立．当m＜0时，g（x）是减函数．所以g（x）max=g（1）=m﹣6＜0，解得m＜6．所以m＜0．综上所述，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，其中将恒成立问题转化为最值问题是解答此类问题的关键．23．【答案】【解析】解：（1）=…==5…（2）（lg5）2+2lg2﹣（lg2）2=（lg5+lg2）（lg5﹣lg2）+2lg2…=．…24．【答案】【解析】【命题意图】本题考查抛物线标准方程、抛物线定义、直线和抛物线位置关系等基础知识，意在考查转化与化归和综合分析问题、解决问题的能力．因为12y y ≠，20y ≠，化简得12216y y y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以221222256323264y y y =++≥+=，当且仅当2222256y y =即22y ＝16，时等号成立. 24y =±圆的直径,因为21y≥64，所以当21y ＝64即1y =±8时，OS=min OS =，所以所求圆的面积的最小时，点的坐标为．S 168±（，）。

2022-2023学年无锡市江阴市九年级第二学期期中数学试卷及参考答案

无锡市江阴市初三数学九年级第二学期期中考试试卷（试卷总分 150分，考试时间 120分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．0的相反数是 ········································································································································· （ ▲ ） A ．1B ．－1C ． 0D ．以上都不正确2．函数y ＝x ＋5中自变量x 的取值范围是 ···························································· （ ▲ ） A ．x ≠5B ．x ≠－5C ．x ≥－5D ．x ＞－53．下列运算正确的是 ································································································································ （ ▲ ） A ．(－3a 3)2＝9a 5B ．a 9÷a 3＝a 3C ．(a ＋b )2＝a 2＋b 2D ．2a 2b －a 2b ＝a 2b4．在学校3月份开展的环保主题实践活动中，某小组的6位同学捡拾废弃塑料袋的个数分别为5，4，6，8，7，7.这组数据的众数，中位数分别为 ·········································································································· （ ▲ ） A ．8，8B ．6，7C ．7，6D ．7，6.55．反比例函数y ＝m －5x 的图象的每一支上，y 都随x 的增大而增大，那么m 的取值范围是 ······ （ ▲ ）A ．m <0B ．m >0C ．m <5D ．m >56．下列图形是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（ ▲ ）A ．三棱柱B ．圆柱C ．四棱柱D ．三棱锥7．如图，AB ，CD 是⊙O 的两条直径，E 是劣弧BC 的中点，连接BC ，DE ．若∠ABC ＝22°，则∠CDE 的度数 ·················································································································································· （ ▲ ） A ．22︒B ．32︒C ．34︒D ．44︒8．一艘轮船在静水中的速度为30km/h ，它沿江顺流航行144km 与逆流航行96km 所用时间相等，求江水的流速为多少？设江水流速为v km/h ，则符合题意的方程是 ··········································································· （ ▲ ） A ．144963030v v =+- B ．1449630v v=- C ．144963030v v=-+ D ．1449630v v=+ 9．小嘉说：将二次函数y ＝x 2的图象平移或翻折后经过点（2,0）有4种方法： ①向右平移2个单位长度；②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 ③向下平移4个单位长度；④沿x 轴翻折，再向上平移4个单位长度你认为小嘉说的方法中正确的个数有 ·································································································· （ ▲ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个第7题第10题10．如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点F 是CD 上一点，OE ⊥OF 交BC 于点E ，连接AE ，BF 交于点P ，连接OP ．则下列结论：①AE ⊥BF ；②∠OP A ＝45°；③AP －BP ＝ 2 OP ；④若BE :CE ＝2:3，则tan ∠CAE ＝47 ；⑤四边形OECF 的面积是正方形ABCD 面积的14 ．其中正确的结论（ ▲ ）A ．①②④⑤B ．①②③⑤C ．①②③④D ．①③④⑤二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，其中18题第一空1分，第二空2分）11．因式分解：ax 2－4ax ＋4a ＝ ▲ ．12．世界卫生组织2022年4月9日公布的最新数据显示，全球累计新冠确诊病例约为497 000 000人，数据497 000000可用科学记数法表示为 ▲ ．13．如图，以边长为2的等边△ABC 顶点A 为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC 边相切，分别交AB ，AC 于D ，E ，则图中阴影部分的面积是 ▲ ．14．已知12x y =⎧⎨=⎩是方程ax ＋by ＝3的解，则代数式2a ＋4b ﹣5的值为 ▲ ．15．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做EF 将矩形窗框ABCD 分为上下两部分，其中E 为边AB 的黄金分割点，即BE 2＝AE ·AB ．已知AB 为2米，则线段BE 的长为 ▲ 米．16．如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，BE 、CD 相交于点O ，若S △DOE ：S △DOB ＝1：3，当S △ADE ＝2时，四边形DBCE 的面积是 ▲ ．17．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，且点G 在矩形ABCD 的内部，延长BG 交DC 于点F ．若DC ＝5DF ，则BCAB＝ ▲ ． 18．如图，点D 在射线BC 上移动（不含B 点），Rt △ABC ∽Rt △ADE ，∠ACB ＝90°，AB ＝10，BC ＝8，（1）tan ∠ACE ＝ ▲ ；（2）若S △CDE ＝3.6时，则BD ＝ ▲ ．三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．）第13题第15题第16题OE DCBA 第17题GF ED CBA第18题AB CDE19．计算（本题满分8分）（1）02cos 451(2)︒++-；（2）32(1)a a a +-．20．（本题满分8分）（1）解方程：1122x x x x -=--；（2）求不等式组51341233x x x x --⎧⎪-≤-⎪⎨⎩＞的解集．21．（本题满分10分）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且∠CDF ＝∠BDC ，∠DCF ＝∠ACD ．（1）求证：DF ＝CF ；（2）若∠CDF ＝60°，DF ＝6，求矩形ABCD 的面积．22．（本题满分10分）如图，在Rt △ABC 中，90B ∠=︒．（1）利用尺规作图作出点P ，使点P 在线段AC 上，且∠PBC ＝∠A ；（2）在（1）的条件下，若BC ＝4，CP ＝2，求AB 的长．23．（本题满分10分）随着春天气温变暖，某校组织同学们分别到A 、B 、C 、D 四个景点进行春游活动，学校把学生前往四个地方的人数估了统计,得到下列两幅不完整的统计图,如图所示：（1）本次参加春游活动学生总人数有人，在扇形统计图中，去D 景点活动的人数对应扇形的圆心角的度数是度；（2）请你将条形统计图补充完整；（3）本次春游活动中，学校分配给九年级学生甲、乙、丙三辆车，小明与小华都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，求小明与小华同车的概率（要求画出树状图或列表）．FOABCD24．（本题满分10分）无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P 处，测得楼CD 楼顶D 处的俯角为45°，测得楼AB 楼顶A 处的俯角为60°．已知楼AB 和楼CD 之间的距离BC 为100米，楼AB 的高度为10米，从楼AB 的A 处测得楼CD 的D 处的仰角为30°（点A 、B 、C 、D 、P 在同一平面内）．（1）填空：APD ∠=___________度，ADC ∠=___________度；（2）求楼CD 的高度（结果保留根号）；（3）求此时无人机距离地面BC 的高度．25．（本题满分10分）如图，已知半径为5的⊙M 经过x 轴上一点C ，与y 轴交于A 、B 两点，连接AM 、AC ，AC 平分∠OAM ，AO ＋CO ＝6．（1）判断⊙M 与x 轴的位置关系，并说明理由；（2）求AB 的长．26．（本题满分10分）法尔胜酒店有140间客房需安装空调，承包给甲、乙两个工程队合作安装，每间客房都安装同一品牌同样规格的一台空调，已知甲工程队每天比乙工程队多安装5台，甲工程队的安装任务有80台，两队同时安装．问：（1）求甲，乙两个工程队每天各安装多少台空调，才能同时完成任务？（2）法尔胜酒店响应“绿色环保”要求，空调的最低温度设定不低于26℃，每台空调每小时耗电1.5度：据预估，每天至少有100间客房有旅客住宿，旅客住宿时平均每天开空调约8小时，若电费0.8元／度，请你通过计算估计该酒店毎天所有客房空调所用电费W （单位：元）的范围？27．（本题满分10分）如图，二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像与x 轴交于A 、B （4,0）两点（A 在B 的左侧），与y轴交于点C （0,－4），点P 在抛物线上，连接BC ，BP ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P 在第四象限，点D 在线段BC 上，连接PD 并延长交x 轴于点E ，连接CE ，记△DCE 的面积为S 1，△DBP 的面积为S 2，当S 1＝S 2时，求点P 的坐标；（3）如图2，将线段BC 绕点B 顺时针旋转60°，得到线段BP ，点P 是否落在二次函数图像上？通过计算说明理由．28．（本题满分10分）已知，A （3,0），点P 在x 轴上方，且△POA 的面积为3，点B 在射线OP 上，且∠OP A ＝∠OAB ．（1）求OP ·OB 的值；（2）不论P 在何处，过点B 且经过垂直于OP 的直线l 必经过某一定点，请直接写出这个点的坐标；（3）利用（2）中的结论，求OPP A 的最大值．参考答案一、选择题（3分×10）1~5 C C D D C 6~10 B C A D B 二、填空题（3分×8）11．a （x -2）2 12．4.97×108 13． 3 －12 π 14．115． 5 -1 16．1617．2 5 5 18．（1）34 （2） 5，3，4＋31三、解答题（96分）19．（1）原式＝ 2 ＋ 2 －1＋1 ····························· 3分（对一个给1分）＝2 2 ············································· 4分（2）原式＝3a +2a 2－2a ········································ 2分＝2a 2＋a ··········································· 4分20．（1）x =－1 ····················································· 3分经检验，x =－1是原方程的解 ···························· 4分（2）由①式得x ＞－1.5 ······································ 1分由②式得x ≤1不等式组的解集为－1.5＜x ≤1 ··························· 4分 21.（1）略 ·························································· 5分（2）36 3 ···················································· 10分22．（1）图略 ························································ 5分（未标字母扣1分）（2）4 3 ······················································ 5分（过程不完整适当扣分） 23．（1）400 ·························································· 1分108° ··························································· 2分（2）D 有120人，图略 ····································· 4分（3）13 ·························································· 10分（过程不完整适当扣分）24.（1）75 60 ······················································ 4分（2）10+100 33 ··········································· 7分（3）110米 ···················································· 10分25.（1）相切 ························································· 5分（答案1分）（2）6 ··························································· 10分（过程不完整适当扣分） 26.（1）甲20 乙15 ·············································· 5分（2）960≤x ≤1344 ············································· 10分（范围做对一半得2分） 27.（1）y =x 2－3x －4 ·············································· 3分（2）P (3，－4) ···················································· 6分（3）点P （－23＋2，23－2） ······························ 8分不在 ····························································· 10分（说理准确，同等给分） 28.（1）9 ····························································· 4分（2）定点（0,4.5）················································· 7分（3）2 ································································· 10分。

2019-2020学年无锡市江阴市四校高一(下)期中数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年无锡市江阴市四校高一(下)期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知点，若直线与线段AB相交，则k的取值范围是()A. B.C. D.2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A=2B，则sinBsin3B等于()A. ac B. cbC. baD. bc3.若直线与圆相交于两点，且(其中为原点)，则的值为()A. 或B.C. 或D.4.过三点A(1,−1)，B(1,4)，C(4,−2)的圆的方程是()A. x2+y2−7x−3y+2=0B. x2+y2+7x−3y+2=0C. x2+y2+7x+3y+2=0D. x2+y2−7x+3y+2=05.在△ABC中，若a=2，c=4，B=60°，则b等于()A. 2√3B. 12C. 2√7D. 286.若圆与圆的公共弦长为，则的值为A. B. C. D. 无解7.设m，n是两条不同的直线α，β是两个不同的平面，以下判断正确的是()A. 若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αB. 若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥αC. 若m⊥n，n//α，则m⊥αD. 若m//β，β⊥α，则m⊥α8.如图，圆O的直径AB与弦CD交于点E，且E为OA的中点，若OA=2，∠BCD=30°，则线段CE的长为()A. 1B. 3√55C. 3√77D. √62二、单空题（本大题共8小题，共40.0分）9.三条直线l1：x+y−1=0，l2：x−2y+3=0，l3：x−my−5=0围成一个三角形，则m的取值范围是______ ．10.在△ABC中，A=30°，B=120°，b=12，则c=______ ．11.已知正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于________．12.将直线l1：x+y−3=0绕着点P(1,2)按逆时针方向旋转45°后得到直线l2，则l2的方程为______．13.在极坐标系中，点(2,π3)到直线ρcos(x−π6)=0的距离是______ ．14.已知对任意的有恒成立，则的值等于__15.如图所示，AB是⊙O的直径，过圆上一点E作切线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C.若CB=2，CE=4，则AD的长为．16.已知圆，直线，若直线与圆恒有公共点，则实数的最小值是_________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.如图，在各棱长均为2的正三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别为棱A1B1与BB1的中点，M，N为线段C1D上的动点，其中，M更靠近D，且MN=C1N.(1)证明：A1E⊥平面AC1D；(2)若NE与平面BCC1B1所成角的正弦值为√10，求异面直线BM与NE所20成角的余弦值．18.已知△ABC中，2√2(sin2A−sin2C)=(a−b)sinB，外接圆半径为√2．(1)求∠C；(2)求△ABC面积的最大值．19.(本题满分13分)如图，某巡逻艇在处发现北偏东相距海里的处有一艘走私船，正沿东偏南的方向以海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里/小时的速度沿着直线追击．(Ⅰ)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里?(Ⅱ)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船?20.下列命题是否正确，并说明理由：(1)过平面外一点有无数条直线与这个平面平行；(2)过直线外一点可以作无数个平面与已知直线平行．21.设抛物线C：x2=2py(p>0)的准线被圆O：x2+y2=4所截得的弦长为√15，(1)求抛物线C的方程；(2)设点F是抛物线C的焦点，N为抛物线C上的一动点，过N作抛物线C的切线交圆O于P、Q两点，求△FPQ面积的最大值．22.已知直线：y=k(x+2)与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S．(1)试将S表示成的函数S(k)，并求出它的定义域；(2)求S的最大值，并求取得最大值时k的值．【答案与解析】1.答案：B解析：直线横过点，；若直线与线段AB相交，结合图象得，故B为正确答案．考点：1、直线的斜率公式；2、恒过点问题．2.答案：D解析：解：∵A+B+C=π，A=2B，∴sinBsin3B =sinBsin(A+B)=sinBsin(π−C)=sinBsinC．再结合正弦定理得：sinBsinC =bc，所以sinBsin3B =bc．故选：D．由已知及三角形内角和定理，诱导公式可得sinBsin3B =sinBsin(A+B)=sinBsin(π−C)=sinBsinC，再结合正弦定理即可得解．本题主要考查了三角形内角和定理，诱导公式，正弦定理的应用，熟练掌握相关定理是解题的关键，属于基础题．3.答案：A解析：试题分析：圆的圆心，半径是等腰三角形，腰长为1，所以弦长，底边上的高即圆心到直线的距离为考点：直线与圆相交的弦长问题点评：直线与圆相交时圆的半径，圆心到直线的距离，弦长的一半构成的直角三角形三边关系是常用的知识点4.答案：A解析：解：设圆的一般方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，将A(1,−1)，B(1,4)，C(4,−2)三点代入方程得到方程组{1+1+D −E +F =0, 1+16+D +4E +F =0, 16+4+4D −2E +F =0, 解得D =−7，E =−3，F =2，故圆的方程为x 2+y 2−7x −3y +2=0，故选：A ．设圆的一般方程，将点代入可得圆的方程．考查求圆的一般方程，属于基础题．5.答案：A解析：解：∵在△ABC 中，a =2，c =4，B =60°，∴由余弦定理得：b =√a 2+b 2−2abcosB =√4+16−2×2×4×12=2√3，故选：A ．利用余弦定理，把已知的a ，c 和cos B 代入即可求得答案．本题主要考查了余弦定理的应用．余弦定理是解三角形中的一个重要定理，可应用于以下两种需求：当已知三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边．当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角．6.答案：A解析：试题分析：圆的圆心为原点O ，半径．将圆与圆相减，可得，即得两圆的公共弦所在直线方程为．原点O 到的距离d =||，设两圆交于点A 、B ，根据勾股定理可得=()2+()2∴，∴=±2.故选A ..考点：圆与圆的位置关系．7.答案：A解析：解：由m，n是两条不同的直线α，β是两个不同的平面，知：在A中，若m⊥α，n⊥α，则m//n，再由n⊥α，得到m⊥α，故A正确；在B中，若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m与α相交、平行或m⊂α，故B错误；在C中，若m⊥n，n//α，则m与α相交、平行或m⊂α，故C错误；在D中，若m//β，β⊥α，则m与α相交、平行或m⊂α，故D错误．故选：A．在A中，由m⊥α，n⊥α，得m//n，再由n⊥α，得到m⊥α；在B中，m与α相交、平行或m⊂α；在C中，m与α相交、平行或m⊂α；在D中，m与α相交、平行或m⊂α．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．8.答案：C解析：本题考查正余弦定理的应用．由正弦定理可得CEsinB =312，CE=6sinB，AC=4sinB，△ACE中，由余弦定理求出sin B，即可求出线段CE的长．解：连接AC，∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠BCD=30°，∴∠ACE=60°．由正弦定理可得CE sinB =312，∴CE =6sinB ， ∵AC =4sinB ，∴△ACE 中，由余弦定理可得1=(4sinB)2+(6sinB)2−2×4sinB ×6sinB ×12，∴sinB =√714， ∴CE =6sinB =3√77．故选C ．9.答案：(−∞,−4)∪(−4,−1)∪(−1,2)∪(2,+∞)解析：由三条直线中的任意两条平行求得m 的值，再由三条直线相交于一点求得m 的值，则l 1，l 2，l 3不能围成一个三角形的m 的所有取值组成的集合可求．本题考查了两直线平行的条件，考查了两直线交点坐标的求法，是基础题．解：当直线l 1：x +y −1=0平行于l 3：x −my −5=0时，m =−1．当直线l 2：x −2y +3=0平行于l 3：x −my −5=0时，m =2，当三条直线经过同一个点时，由{x +y −1=0x −2y +3=0解得直线l 1与l 2的交点(−13,43) 代入l 3：x −my −5=0，解得m =−4；综上，m 为−1或2或−4时三条直线不能构成三角形．故当三条直线围成三角形时，m 的取值范围(−∞,−4)∪(−4,−1)∪(−1,2)∪(2,+∞)，故答案为：(−∞,−4)∪(−4,−1)∪(−1,2)∪(2,+∞)．10.答案：4√3解析：解：在△ABC中，A=30°，B=120°，则C=30°，由正弦定理，得csin30°=12sin120°，解得c=4√3，故答案为：4√3．易求角C，由正弦定理得csin30°=12sin120°，解出即可．该题考查正弦定理及其应用，熟记定理的内容并能灵活应用是解题关键．11.答案：解析：试题分析：在正三棱柱ABC—A1B1C1中，取A1C1的中点E，则连B1E，B1E垂直于A1C1，所以B1E垂直于平面ACC1A1，连AE，则角B1AE就是AB1与侧面ACC1A1所成角。

江苏省江阴市华士高级中学、成化高级中学、山观高级中学2019-2020学年高一下学期期中联考数学试题(有答案)

注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包含填空题(第1题～第14题，共14题)、解答题(第15题～第20题，共6题)两部分。

本次考试时间为120分钟。

考试结束后，只要将答题卡交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B 铅笔把答题卡上考试证号对应数字框涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再正确涂写。

3．答题时，必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

2019-2020学年度春学期江阴市三校期中联考试卷高一数学试卷命题人：邹少兰复核人：王炜参考公式：()sin sin cos αβαβ±=±．一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）．1．直线1y x =-的倾斜角为 ▲ 度．2．等比数列{}n a 中，28a =，564a =，则3a = ▲ ． 3．已知关于x 的不等式ax －1x ＋1<0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >－12，则实数a ＝ ▲ ．4．已知数列{}n a 的前n 项和2321n S n n =-+，则其通项公式n a ＝ ▲ ．5．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为 ▲ m ． 6．下列四个结论，正确的是 ▲ ．(填序号) ①,a b c d a c b d ><⇒->-； ②0,0a b c d ac bd >><<⇒>； ③330a b a b >>⇒>；④22110a b a b>>⇒>． 7．过点(2,3)P 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 ▲ ．8．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)．第5题图则第8个三角形数是 ▲ ．9．已知过点()1,1P -的直线l 与x 轴正半轴，y 轴负半轴分别交于,C D 两点，O 为坐标原点，若OCD ∆的面积为2，则直线l 方程为 ▲ ．10．已知等差数列{}n a 中，前m （m 为奇数）项的和为77，其中偶数项之和为33，且118m a a -=，则数列{}n a 的通项公式为n a = ▲ ．11．在ABC ∆中，120A =o，4AB =，若点D 在边BC 上，且2BD DC =，273AD =，则AC 的长为 ▲ ．12．已知关于x 的不等式组()222022550x x x k x k ⎧-->⎪⎨+++<⎪⎩的整数解只有2-，则实数k 的取值范围为 ▲ ．13．在ABC ∆中，角A ，B ，C 成等差数列，对边分别为a , b , c ,且2325ac b +=，则边b 的最小值为 ▲ ．14．已知数列{}n a 满足211112311,,4444nn n n n n a a a S a a a a -+⎛⎫=+==+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，仿照课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，可求得54nn n S a -= ▲ ．二、解答题（本题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或步骤，请把过程写在答题卡相应位置）．15．（本小题满分14分）已知关于x 的不等式为2212x ax a ->. (1)当2a =时，求不等式的解集； (2)当a R ∈时，求不等式的解集．▲▲▲▲▲第8题图已知两条直线12:(3)453,:2(5)8l m x y m l x m y ++=-++=．当m 为何值时，1l 与2l ：(1)相交？ (2)平行？ (3)垂直？▲▲▲▲▲17．（本小题满分14分）在等比数列{}n a 中，212a a -=，且22a 为13a 和3a 的等差中项． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设32log 1n n b a =+，且数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T ．▲▲▲▲▲18．（本小题满分16分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知4cos 5A =，5b c =． (1)求sin C ；(2)若ABC ∆的面积3sin sin 2S B C =，求a 的值．▲▲▲▲▲如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min ，在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35．(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？▲▲▲▲▲20．（本小题满分16分）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22n n a S An Bn C +=++．(1)当0A B ==，1C =时，求n a ；(2)若数列{}n a 为等差数列，且1A =，2C =-．①设2nn n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和；②设64n n nT c -=，若不等式8n mc ≥对任意*n N ∈恒成立，求实数m 的取值范围．▲▲▲▲▲2019-2020学年度春学期江阴市三校期中联考试卷高一数学参考答案及评分标准2016.04说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）．1．45；(45o不扣分) 2．16； 3．－2； 4． ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2； 5． 50 2 ；6．①③； 7． 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0； 8．36； 9．20x y --=； 10．323n -+； 11．3； 12．32k -≤<； 13．52； 14．n ；二、解答题（本题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或步骤）．15．解：(1)1{2x x <-或2}3x >；．．．．．．．．．．．．4分 (2)∵12x 2－ax ＞a 2，∴12x 2－ax －a 2＞0，即(4x ＋a )(3x －a )＞0，．．．．．．．．．．．．6分令(4x ＋a )(3x －a )＝0，得：x 1＝－a 4，x 2＝a3.①a ＞0时，－a 4＜a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3； ②a ＝0时， x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； ③a ＜0时，－a 4＞a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4. 综上所述，当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3；．．．．．．．．．．．．8分当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；．．．．．．．．．．．．10分当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4. ．．．．．．．．．．．．14分 (没有综上，不扣分)16．解：当5m =-时，直线2l 垂直于x 轴，此时直线1l 与2l 相交但不垂直. ．．．．．．．2分当5m ≠-时，直线1l 的斜率134m k +=-，直线2l 的斜率225k m=-+. ．．3分由12k k ≠，即3245m m+-≠-+，得1m ≠-且7m ≠-，此时两直线相交. ．．．．．．．．．．．．5分当1m =-时，两直线重合；当7m =-时，两直线平行. ．．．．．．．．．．．．7分当1m ≠-且7m ≠-时，1l 与2l 相交；．．．．．．．．．．．．9分由12=1k k ⋅-，即32145m m +⎛⎫⎛⎫-⋅-=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，得133m =-，此时两直线垂直. ．．．．．．．．．．．．11分(1) 当7m =-时，1l 与2l 平行；．．．．．．．．．．．．12分 (2) 当1m ≠-且7m ≠-时，1l 与2l 相交；．．．．．．．．．．．．13分 (3) 当133m =-时，1l 与2l 垂直. ．．．．．．．．．．．．14分17．解：(1)设该数列的公比为q ，由已知，可得a 1q －a 1＝2,4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，所以，a 1(q －1)＝2，q 2－4q ＋3＝0，解得q ＝3或q ＝1. ．．．．．．．．．．．．3分由于a 1(q －1)＝2，因此q ＝1不合题意，应舍去．故公比q ＝3，首项a 1＝1. ．．．．．．．．．．．．5分所以，数列{}n a 的通项公式为13n n a -= ．．．．．．．．．．．．7分(2)21n b n =-，．．．．．．．．．．．．9分()()1112121n n b b n n +=⋅-⋅+=11122121n n ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭，．．．．．．．．．．．．11分所以1111111111112335572121221n T n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭21nn =+ ．．．．．．．．．．．．14分18．(1)因为4cos ,55A b c ==，所以2222254105c c a c +-=，得32a c =，．．．．．．．．．．．4分所以3sin 325A C ==，故2sin 10C =；．．．．．．．．．．．．8分 (2)因为13sin sin sin 22S ac B C B ==，．．．．．．．．．．．．10分所以3210ac =① ．．．．．．．．．．．．12分又32a c = ②由①②得355c = ．．．．．．．．．．．．16分19.解：(1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45. ．．．．．．．．．．．．1分从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C＝531246313513565⨯⨯⨯=. ．．．．．．．．．．．．3分由正弦定理sin sin AB AC C B =，得12604sin 63sin 565AC AB C B =⨯=⨯＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m. ．．．．．．．．．．．．5分(2)假设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t ) m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，．．．．7分因0≤t ≤1040130，即0≤t ≤8，故当3537t =(min)时，甲、乙两游客距离最短．．．．．．．．．．．．．9分(3)由正弦定理sin sin BC AC A B =，得BC ＝12605sin 63sin 1365AC A B⨯=⨯＝500(m)．．．．11分乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C . 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得5007103350v -≤-≤，解得12506254314v ≤≤，．．．．．．．．．．．．15分所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦(单位：m/min)范围内．．．．．．．．．．．．．16分20．解：(1)因为21n n a S +=，令111,3n a ==．．．．．．．．．．．．1分又1121(2)n n a S n --+=≥，得1220n n n a a a --+=，所以123n n a a -=，．．．．．．．．．．．．2分所以数列{}n a 是等比数列，．．．．．．．．．．．．3分故11233n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．4分(2)①因为数列{}n a 是等差数列，所以()()()21111131+=22222n n n n d a S a n d na d n a d n a d -⎡⎤⎛⎫+=+-++++-⎡⎤⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎣⎦ 22n Bn =+-，．．．．．．．．．．．．5分所以111122222da d a d ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪-=⎩，．．．．．．．．．．．．6分所以21n a n =-，(21)2nn b n =-⋅，．．．．．．．．．．．．7分由错位相减法得()12326n n T n +=-⋅+ ．．．．．．．．．．．．10分 ②646=42n n nn T n c --=则11424652222n n n n nn n nc c ++----=-=．．．．．．．．．．．．12分当1,2n =时，1n n c c +>；当3n ≥时，1n n c c +<；即12345c c c c c <<>>>L 所以当3n =时，()max 34n c =；．．．．．．．．．．．．14分因为不等式8n m c ≥对*n N ∈恒成立所以348m≥，解得：6m ≤. ．．．．．．．．．．．．16分。

江苏省无锡市江阴市江阴初级中学2019-2020学年八年级下学期期中数学试题(word无答案)

江苏省无锡市江阴市江阴初级中学2019-2020学年八年级下学期期中数学试题一、单选题(★) 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．(★) 2. 下列计算正确的是（）A．B．C．D．(★) 3. 根据分式的性质，分式可以变形为（）A．B．C．D．1﹣(★) 4. 一个布袋里装有3个红球，4个黑球，5个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，则下列事件中，发生可能性最大的是( )A．摸出的是红球B．摸出的是黑球C．摸出的是绿球D．摸出的是白球(★) 5. 下列调查中，适合进行普查的是( )A．《王牌对王牌》电视节目的收视率B．防控期间，一个班级每个学生的体温C．一批灯泡的使用寿命D．我国中学生对防疫知识的掌握情况(★★) 6. 已知关于 x的方程的解是负数，那么 m的取值范围是( )A．且B．C．且D．且(★) 7. 如图，已知A为反比例函数（<0）的图像上一点，过点A作AB⊥ 轴，垂足为B.若△OAB的面积为2，则k的值为（）A．2 B. -2B．4C．-4(★★) 8. 如图，在菱形 ABCD中，菱形的边长为5，对角线 AC的长为8，延长 AB至 E， BF平分∠ CBE，点 G是 BF上的任意一点，则△ ACG的面积为（）A．20B．12C．D．24(★★★★) 9. 如图，在Rt△ ABC中，∠ C=90°，把△ ABC绕 AC边的中点 M旋转后得△ DEF，若直角顶点 F恰好落在 AB边上，且 DE边交 AB边于点 G，若 AC=4， BC=3，则 AG的长为( )A．B．C．D．1(★★★★) 10. 如图，在菱形 ABCD中， AB=5 cm，∠ ADC=120°，点 E、 F同时由 A、 C两点出发，分别沿 AB． CB方向向点 B匀速移动(到点 B为止)，点 E的速度为1 cm/s，点 F的速度为2 cm/s，经过 t秒△ DEF为等边三角形，则 t的值为( )A．B．C．D．二、填空题(★) 11. 二次根式中 x的取值范围是____．(★) 12. 老师在黑板上随手写下一串数字“010010001”，则数字“0”出现的频率是____．(★★) 13. 如果正比例函数与反比例函数的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为(－1，2)，那么另一个交点的坐标为____．(★★) 14. 如图，在矩形 ABCD中， E、 F分别是边 AD和 CD的中点， EF=3，则 BD的长为____．(★★) 15. 如图，在正方形 ABCD中， E为 BC上一点，将△ ABE沿 AE折叠至处，与 AC交于点 F，若∠ EFC=67°，则∠ CAE的度数为____．(★★) 16. 如图，△ DEF的三个顶点分别在反比例函数与的图象上，若DB⊥ x轴于 B点，FE⊥ x轴于 C点，若 B为 OC的中点，△ DEF的面积为6，则 m与n的关系式是____．(★★★★) 17. 如图，在正方形 ABCD中， AB= ， E是对角线 AC上的动点，以 DE为边作正方形 DEFG， H是 CD的中点，连接 GH，则 GH的最小值为____．(★) 18. 若分式的值为0，则 a=____．三、解答题(★★) 19. 计算：（1）；（2）(★) 20. 计算或解方程（1）化简分式：；（2）解分式方程：(★) 21. 先化简，再求值：，其中(★) 22. 某校有3600名学生，为了解全校学生的上学方式，该校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了该校部分学生的主要上学方式(参与问卷调查的学生只能从以下六个种类中选择一类)，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．（1）参与本次问卷调查的学生共有人，其中选择 D类的人数有人；（2）在扇形统计图中，求 E类对应的扇形圆心角的度数，并补全 C对应的条形统计图；（3）若将 A、 B、 C． D． E这四类上学方式视为“绿色出行”，请估计该校选择“绿色出行”的学生人数．(★★) 23. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求的长．(★★) 24. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度．线段 AB的端点 A、 B都在格点上，请你仅用无刻度的直尺完成下列作图．（保留必要的作图痕迹，不必写作法）（1）在图①中以 AB为边作一个正方形 ABCD；（2）在图②中以点 A、点 B为顶点作一个面积为15的菱形．(★★) 25. 甲、乙两个服装厂加工同种型号的防护服，甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的1.5倍，两厂各加工600套防护服，甲厂比乙厂要少用4天．（1）求甲、乙两厂每天各加工多少套防护服？（2）已知甲、乙两厂加工这种防护服每天的费用分别是150元和120元，疫情期间，某医院紧急需要3000套这种防护服，甲厂单独加工一段时间后另有安排，剩下任务只能由乙单独完成．如果总加工费不超过6360元，那么甲厂至少要加工多少天？(★★) 26. 如图，已知一次函数 y= mx+ n的图像与 x轴交于点 B，与反比例函数( k﹥0)的图像交于点 C，过点 C作CH⊥ x轴，点 D是反比例函数图像上的一点，直线 CD与 x轴交于点 A，若∠ HCB=∠ HCA，且 BC=10， BA=16．（1）若 OA=11，求 k的值；（2）沿着 x轴向右平移直线 BC，若直线经过 H点时恰好又经过点 D，求一次函数函数 y=mx+ n的表达式．(★★★★★) 27. 如图1，正方形 CEFG绕正方形 ABCD的顶点 C旋转，连接 AF，点 M是 AF中点．（1）当点 G在 BC上时，如图2，连接 BM、 MG，求证： BM= MG；（2）在旋转过程中，当点 B、 G、 F三点在同一直线上，若 AB=5， CE=3，则 MF= ；（3）在旋转过程中，当点 G在对角线 AC上时，连接 DG、 MG，请你画出图形，探究 DG、MG的数量关系，并说明理由．。

江苏省无锡市江阴市高级中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试卷

数学试卷（1）单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）（1）ABC ∆的内角,,C A B 的对边分别为,,a b c ，若,2,3,sin ()3A a bB π====A ．B ．CD （2）为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取24人，高二年级抽取26人．若高三年级共有学生600人，则该校学生总人数为( ) A ．900 B ．1200 C ．1500 D ．1800（3）某人在打靶中，连续射击2次，至多有一次中靶的对立事件是( ) A ．至少有一次中靶 B ．两次都中靶 C ．两次都不中靶 D ．恰有一次中靶（4y经计算得回归方程ˆybx a =+的系数0.7b =，则a =( ) A ．45.0 B ．45.0- C ．35.0- D ．35.0（5）直线260ax y ++=与直线2(1)10x a y a +-+-=平行，则两直线间的距离为( )A ．2B ．1-或2C ．5 D ．5（6）已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则( ) A ．270,75x s =< B ．270,75x s =>C ．270,75x s ><D ．270,75x s <>（7）P 是直线20x y +-=上的一动点，过点P 向圆22C (2)(8)4x y ++-=：引切线，则切线长的最小值为( )A ．B ．C ．2D ．2（8）已知ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222sin sin 2sin ,A B C +=则cos C 的最小值等于( )A B ．2 C ．12 D ．12- （2）多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，选错或漏选不得分）（9）下列说法正确的是( )A ．直线32()y ax a a R =-+∈必过定点(3,2)B ．直线32y x =-在y 轴上的截距为2-C 10y ++=的倾斜角为60°D ．过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为20x y += （10）在ABC ∆中，给出下列4个命题，其中正确的命题是( )A ．若AB <，则sin sin A B < B ．若sin sin A B <，则A B <C ．若A B >，则11tan 2tan 2A B>D ．若A B <，则22cos cos A B >（11）以下对各事件发生的概率判断正确的是( )A ．甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是13B ．从1名男同学和2名女同学中任选2人参加社区服务，则选中一男一女同学的概率为23C ．将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字l ，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的概率是536D ．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是12（12）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点,A B 的距离之比为定值(1)λλ≠的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A -，(4,0)B ，点P满足12PA PB =．设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是( ) A ．C 的方程为22(4)9x y ++=B ．在C 上存在点D ，使得D 到点(1,1)的距离为3 C ．在C 上存在点M ，使得2MO MA = D ．在C 上存在点N ，使得224NO NA +=（3）填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）（13）某产品分一、二、三级，其中只有一级品是正品．若生产中出现二级品的概率为02.0，出现三级品的概率为01.0，则出现正品的概率为______．（14）已知,a b 为正实数且1a b +=，则41a b+的最小值为______．（15）在平面直角坐标系xOy 中，已知过点(2,1)M --的圆C 和直线-10x y +=相切，且圆心在直线2 y x =上，则圆C 的标准方程为______．（16）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,0)P 在圆22C ()(2)40x m y -+-=：内，动直线过点P 且交圆C 于,A B 两点，若ABC ∆的面积的最大值为20，则实数m 的取值范围是_____．（4）解答题（本题共6小题，共70分）（17）（本小题满分10分）已知直线:220l x y +-=．（1）求直线1:2l y x =-关于直线l 对称的直线2l 的方程；（2）求直线l 关于点(1,1)A 对称的直线方程．（18）（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2a B c b =+．（1）求A 的大小；（2）若413a =，12c =，求ABC ∆的面积S ．（19）（本小题满分12分）高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：9[80,0) ,[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]．其中,,a b c 成等差数列且2c a =．物理成绩统计如表．（说明：数学满分150分，物理满分100分）分组 [50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数6920105（2）若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”的同学总数为6人，从数学成绩为“优”的同学中随机抽取2人，求两人恰好均为物理成绩“优”的概率．（20）（本小题满分12分）（1）已知01x <<，求(1)x x -的最大值及取最大值时x 的值；（2）若对一切1x >，均有228(2)15x x m x m --≥+--成立，求实数m 的取值范围．（21）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线3100x y --=与圆222:(0)O x y r r +=>相切．（1）直线l 过点(2,1)且截圆O 所得的弦长为26，求直线l 的方程；（2）已知直线3y =与圆O 交于,A B 两点，P 是圆上异于,A B 的任意一点，且直线,AP BP 与y 轴相交于,M N 点，判断点M 、N 的纵坐标之积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由．（22）（本小题满分12分）“伦敦眼”坐落在英国伦敦泰晤士河畔，是世界上首座观景摩天轮，又称“千禧之轮”，该摩天轮的半径为6（单位：10m ），游客在乘坐舱P 升到上半空鸟瞰伦敦建筑BC ，伦敦眼与建筑之间的距离AB 为12（单位：10m ），游客在乘坐舱P 看建筑BC 的视角为θ．（1）当乘坐舱P 在伦敦眼的最高点D 时，视角30θ=︒，求建筑BC 的高度；（2）当游客在乘坐舱P 看建筑BC 的视角θ为45︒时，拍摄效果最好．若在伦敦眼上可以拍摄到效果最好的照片，求建筑BC 的最低高度．（说明：为了便于计算，数据与实际距离有误差，伦敦眼的实际高度为135m ）答案一、单项选择题1.C2.B3.B4.D5.C6.A7.C8.C二、多项选择题9.ABD 10.ABD 11.BCD 12.BD三、填空题13. 0.97 14.9 15. ()()22122x y+++=16. (3,1][7,9)--U四、解答题（本大题共6题，共70分）17. （本小题满分10分）【解析】（1）由2220y xx y=-⎧⎨+-=⎩解得交点P(2，0)．………………………………………1分在l1上取点M(0，－2)，M关于l的对称点设为N(a，b)，则22202212()12a bba-⎧+⋅-=⎪⎪⎨+⎪-⋅=-⎪⎩，解得1214(,)55N．………………………………………………………………………………4分则214571225lk-==-，又直线l2过点P(2，0)，所以直线l2的方程为7x－y－14＝0．…………………………………………………………5分（2）直线l关于点A(1，1)对称的直线和直线l平行，所以设所求的直线方程为x＋2y＋m＝0．……………………………………………………7分在l上取点B(0，1)，则点B(0，1)关于点A(1，1)的对称点C(2，1)必在所求的直线上，所以2210m+⨯+=，所以m＝－4，即所求的直线方程为x＋2y－4＝0．……………………………………………...………… 10分18.（本小题满分12分）【解析】（1）因为2cos2a B c b=+，由正弦定理可得，2sin cos2sin sinA B C B=+，由三角形内角和定理和诱导公式可得，sin sin(())sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin =+A B A B ，代入上式可得，2sin cos 2sin cos 2cos sin sin A B A B A B B =++，所以2cos sin sin 0A B B +=．………………………………………………………………4分因为sin 0B >，所以2cos 10A +=，即1cos 2A =-．…………………………………5分由于0A π<<，所以23A =π．……………………………………………………………6分（2）因为a =12c =，23A =π所以由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得22208144212cos 3b b π=+-⨯，解得4b =或16b =-（舍）. ……………………………………………….………………10分所以112sin 412sin223S bc A π==⨯⨯=……………………….………………… 12分 19.（本小题满分12分）【解析】（1）由于20.052,a b c ++=2,a c b +=2c a =，解得0.008,a =0.012,b =0.016c =，…………………………..…………………………3分故数学成绩的平均分850.04950.121050.161150.21250.241350.161450.08x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 117.8=（分）………………………………………………………………….………………6分（2）数学成绩为“优”的同学有4人，物理成绩为“优”有5人，因为至少有一个“优”的同学总数为6名同学，故两科均为“优”的人数为3人.…………………………………………………………………………………………………...8分设两科均为“优”的同学为123,,A A A ，物理成绩不是“优”的同学为B ，则从4人中随机抽取2人的所有情况有：12,A A 13,A A 23,A A 1,A B 2,A B 3A B ，符合题意的情况有：12,A A 13,A A 23A A ，故两人恰好均为物理成绩“优”的概率3162P ==.…………………….……………………12分 20.（本小题满分12分）【解析】（1）因为01x <<，所以2(1)1(1)[]24x x x x +--≤=，当且仅当1x x =-，即12x =时等号成立．所以当12x =时，(1)x x -取最大值是14．…………..……………5分（2）不等式可等价转化为247(1)x x m x -+≥-对1x >恒成立，即2471x x m x -+≤-对1x >恒成立，设()24(17)1x x x x g x -+=->，则min ()m g x ≤……………………………………...………7分2247[(1)1]4[(1)1]74()(1)21(1)(1)x x x x g x x x x x -+-+--++===-+----，………..…9分因为1x >，所以10x ->，所以4(1)222(1)x x -+-≥=- （当且仅当3x =等号成立），所以min ()2g x =................................................................... 11分所以2m ≤，所以实数m 的取值范围是(,2]-∞．…………………………………………12分 21.（本小题满分12分）【解析】∵直线x ﹣3y ﹣10=0与圆O ：x 2+y 2=r 2（r ＞0）相切， ∴圆心O 到直线x ﹣3y ﹣10=0的距离为=………………….……………1分（1）记圆心到直线l 的距离为d ，∴2=．……………………………..………2分当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为x=2，满足题意；…………………………...……3分当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ﹣1=k （x ﹣2），即kx ﹣y+（1﹣2k ）=0．∴2d ==，解得k=﹣34，此时直线l 的方程为3x+4y ﹣10=0．………………5分综上，直线l 的方程为x=2或3x+4y ﹣10=0；………………………………………………6分（2）点M 、N 的纵坐标之积为定值10．…………………………………………………… 7分设P （x 1，y 1），∵直线y=3与圆O 交于A 、B 两点，不妨取A （1，3），B （﹣1，3），∴直线PA 、PB 的方程分别为y ﹣3=()11311y x x ---，y ﹣3=()11311y x x -++．令x=0，得M （0，11131x y x --），N （0，11131x y x ++）， ………………………………………9分则221111112111339111M N x y x y x y y y x x x -+-⋅=⋅=-+-（*）． ∵点P （x 1，y 1）在圆C 上，∴221110x y +=，即221110y x =-，代入（*）式，得()221121910101M N x x y y x --⋅==-为定值．………………………………12分22.（本小题满分12分）【解析】（1）当乘坐舱P 在伦敦眼的最高点D 时，30BDC θ∠==︒，此时12AD AB ==，即45ABD ∠=︒，所以105BCD ∠=︒．在等腰三角形ABD中，BD =…….…1分由正弦定理得sin105sin 30BD BC=︒︒，所以12BC ==．所以建筑BC的高度为12（单位：10m ）．……………………………………… 5分（2）设建筑BC 的高度为h （单位：10m ），建立如图所示的直角坐标系，圆22:(6)36M x y +-=，由正弦定理可知2sin 45h R =︒，所以22R h =，即PBC ∆的外接圆的半径为22R h =．由图可知PBC ∆的外接圆的圆心坐标为12,22h h ⎛⎫- ⎪⎝⎭，……………………………………7分所以点P 在圆222:12,12222h h h N x y x ⎛⎫⎛⎫-++-=≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上，而点P 又在圆22:(6)36M x y +-=上，所以2222612662222h h h h ⎛⎫⎛⎫-≤-+-≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得24(32)24(32)h -+≤≤．.............................................................................................11分答：建筑BC 的最低高度为24(32)7（单位：10m ）时，可以拍摄到效果最好的照片．…………………………………………………………………………………………………12分。

江苏省江阴市二中、要塞中学等四校2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案

2019-2020学年第二学期高一期中考试数学学科试题一、单项选择题（本大题共8小题，共40分,每道题仅有一个正确选项）1.直线必过定点（）A. B. C. D.2.已知直线l的方程为，则直线l的倾斜角为（）A. B. C. D.3.已知直线与直线互相垂直，则（）A. -3B. -1C.3D.14.在中，若，则等于A.或B. 或C.或D.5.如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取，两点，从，两点测得建筑物顶端的仰角分别为，，且A，B两点间的距离为，则该建筑物的高度为A. B.C. D.6.选做题(①②选一题解答，若两题都解答，则按①解答得分)①如图，正方体中，异面直线与所成的角是( )A. B. C. D.②圆的点到直线距离的最小值是( )A. B. C. D.7.直线过，且,到的距离相等，则直线的方程是A.B.C.或D.或8.如图，已知，，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上不含端点，则直线的斜率的取值范围为A. B. C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20分，每道题有两个或两个以上正确选项）9.若两条平行直线：与：之间的距离是，则的可能值为A. B. C. D.10.在中，，，，则角的可能取值为A. B. C. D.11.已知直线：，则下列结论正确的是A. 直线l的倾斜角是B. 若直线：，则C. 点到直线的距离是D. 过与直线平行的直线方程是12.如图，设的内角，，所对的边分别为，，，，且.若点是外一点，，，下列说法中，正确的命题是A.的内角B.的内角C.四边形面积的最大值为D.四边形面积无最大值三、填空题（本大题共4小题，共20分,将答案填在答题卡相应位置）13.的内角，，所对的边分别为，，，已知，则的形状是________三角形．14.选做题 (①②选一题解答，若两题都解答，则按①解答得分)①已知球的表面积为，则球的体积为_________．②若点为圆的弦AB中点，则直线方程是______．15.已知直线过点，它在x轴上的截距是在y轴上的截距的倍，则此直线的方程为______．16.的内角，，所对的边分别为，，，已知，．为上一点，，，则的面积为_________．四、解答题（本大题共6小题，共70分,解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，并把答案写在答题卡的指定区域内）17.（本小题10分）在平面直角坐标系中，已知三个顶点坐标.（1）求边上的中线所在直线的方程；（2）求边上的高所在直线的方程．18. （本小题10分）已知直线与．（1）当时，求直线与的交点坐标；（2）若，求a的值．19. （本小题12分）在中，角，，所对的边分别为，，，且．（1）求的值；（2）若的面积为，且，求的周长．20. （本小题12分）选做题(①②选一题解答，若两题都解答，则按①解答得分)①如图，三棱锥中，，，，分别是，的中点．求证：（1）平面；（2）平面平面．②已知点，圆．（1）若直线与圆相交于，两点，且弦的长为，求的值；（2）求过点的圆的切线方程．21. （本小题12分）如图，已知射线，两边夹角为，点，在，上，，．（1）求线段的长度；（2）若，求的最大值．22. （本小题14分）燕山公园计划改造一块四边形区域铺设草坪，其中百米，百米，，，草坪内需要规划4条人行道以及两条排水沟，其中分别为边的中点．（1）若，求排水沟的长；（2）当变化时，求条人行道总长度的最大值．高一期中考试数学试题答案一、单选题1.A ；2.B；3.D；4.C；5.A；6.C；7.D；8.B；二、多选题9.AB；10.AD；11.CD；12. ABC；三、填空题13.等腰；14.①；②;15.或16.四、解答题17.由，，得BC中点D的坐标为， (1)所以直线AD的斜率为， (3)所以BC边上的中线AD所在直线的方程为，即 (5)由，，得BC所在直线的斜率为， (7)所以BC边上的高AH所在直线的斜率为， (8)所以BC边上的高AH所在直线的方程为，即 (10)18.当时，联立，得，，直线与的交点坐标为． ........... (4)，，，解得或． ........... (7)经检验，时，两直线重合........... (10)20.①在中，因为E、F分别是P A、AC的中点，21.所以， ........... (2)22.又平面P AC，平面P A,所以平面........... (4)因为，且点E是P A的中点，所以，........... .. (6)又，，所以， ........... .. (8)因为平面BEF，平面BEF，，所以平面BEF， ........... (10)又平面P AB，所以平面平面BEF． ........... (12)②圆心到直线的距离为=，， ........... .. (2)解得． ........... (4)由题意知圆心的坐标为，半径，当过点M的直线的斜率不存在时，方程为，由圆心到直线的距离，知此时直线与圆相切． (6)当过点M的直线的斜率存在时，设方程为，即．由题意知， ........... (8)解得， ........... (10)方程为． ........... (11)故过点M的圆的切线方程为或 ........... (12)23.在中，由余弦定理得，，所以． ........... .. (2)设，因为，所以， (3)在中，由正弦定理得，因为，所以，， (6)因此 (10)因为，所以．所以当，即时，取到最大值．....... (12)22.因为，，所以，所以， (1)因为，所以：，可得：，在中：，在中：， (4)解得：，即排水沟BD的长为百米； (6)设，设，，由余弦定理得：.，在中，由正弦定理：，得，连接DE，在中，，，由余弦定理：， (10)同理：． (12)设，，则,所以，该函数单调递增，所以时，最大值为，所以4条走道总长度的最大值为百米． (14)。

江苏省无锡市江阴北国中学2019-2020学年高一数学文模拟试卷含解析

江苏省无锡市江阴北国中学2019-2020学年高一数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 方程表示的曲线是（）A. 一个圆B. 两个圆C. 半个圆D. 两个半圆参考答案：D原方程即即或故原方程表示两个半圆．2. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件2n＞n2，跳出循环，确定输出的n值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环n=1，21＞1；第二次循环n=2，22=4．不满足条件2n＞n2，跳出循环，输出n=2．故选：B．3. 过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x+y﹣3=0参考答案：A【考点】圆的切线方程；直线的一般式方程．【专题】直线与圆．【分析】由题意判断出切点（1，1）代入选项排除B、D，推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可．【解答】解：因为过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为（1，1），显然B、D选项不过（1，1），B、D不满足题意；另一个切点的坐标在（1，﹣1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足．故选A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程求法，可以直接解答，本题的解答是间接法，值得同学学习．4. 设a=e0.3，b=0.92，c=ln0.9，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a参考答案：【考点】对数值大小的比较．【专题】数形结合；转化思想；函数的性质及应用．【分析】由于a=e0.3＞1，0＜b=0.92＜1c=ln0.9＜0，即可得出．【解答】解：a=e0.3＞1，0＜b=0.92＜1c=ln0.9＜0，∴c＜b＜a．故选：B．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5. 在上是减函数，则a的取值范围是（）A.[B.[ ]C.(D.( ]参考答案：A6. 已知函数f(n)=其中n∈N，则f(8)等于A.2B.4C.6D.7参考答案：D7. 等比数列{a n}中，那么为( )A. 4B.C.D. 2参考答案：A试题分析：由等比数列的性质得：，所以=4.考点：本题考查等比数列的性质。

江苏省无锡市江阴高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题(WORD版含答案)

江苏省江阴高级中学2019-2020学年下学期期中试题（WORD ）高二数学一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

) 1．已知集合()(){}370A x x x =+-≤，8,1B x x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭，则A B =I （） A ．{}0,1,3 B ．{}3,2,1,3,7-- C ．{}0,1,3,7D ．{}3,2,0,1,3,7--2．已知复数z 满足i •z ＝2+i ，则z 的共轭复数是（）A ．﹣1﹣2iB ．﹣1+2iC ．1﹣2iD ．1+2i3．设随机变量(),7X N μ:，若()()24P X P X <=>，则（）A ．3μ=，()7V X =B ．6μ=，()7V X =C ．3μ=，()7V X =D ．6μ=，()7V X =4．从3名教师和5名学生中，选出4人参加“我和我的祖国”快闪活动．要求至少有一名教师入选，且入选教师人数不多于入选学生人数，则不同的选派方案的种数是（） A ．20B ．40C ．60D ．1205．在5678(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-的展开式中，含3x 的项的系数是（）A ．74B ．121C ．74-D ．121-6．袋子中装有大小相同的八个小球，其中白球五个，分别编号1、2、3、4、5；红球三个，分别编号1、2、3，现从袋子中任取三个小球，它们的最大编号为随机变量X ，则P (X =3)等于 ( )A ．528 B ．17 C ．1556 D ．277．如图，四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD 两两垂直，2BC BD == ，点E 是CD 的中点，若直线AB 与平面ACD 所成角的正切值为24，则点B 到平面ACD 的距离为（）AB ．23CD ．438．设函数22,()6,x x x af x ax x a⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是定义在R 上的增函数，则实数a 取值范围（）A ．[)2,+∞B ．[]0,3C ．[]2,3D ．[]2,4二、多选题 (本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020学年江苏省无锡市江阴市高级中学高二下学期期中数学试题(解析版)

2019-2020学年江苏省无锡市江阴市高级中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．已知集合()(){}370A x x x =+-≤，8,1B x x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭，则A B =I （） A ．{}0,1,3 B ．{}3,2,1,3,7-- C ．{}0,1,3,7 D ．{}3,2,0,1,3,7--【答案】C【解析】解出集合A 、B ，利用交集的定义可得出集合A B I . 【详解】()(){}[]3703,7A x x x =+-≤=-Q ，{}8,0,1,3,71B x x N N x ⎧⎫=∈∈=⎨⎬+⎩⎭，{}0,1,3,7A B ∴=I .故选：C. 【点睛】本题考查交集的计算，涉及一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 2．已知复数z 满足i •z ＝2+i ，则z 的共轭复数是（） A ．﹣1﹣2i B ．﹣1+2iC ．1﹣2iD ．1+2i【答案】D【解析】两边同乘-i ，化简即可得出答案．【详解】i •z ＝2+i 两边同乘-i 得z=1-2i ,共轭复数为1+2i ，选D. 【点睛】(,)z a bi a b R =+∈的共轭复数为z a bi =-3．设随机变量(),7X N μ:，若()()24P X P X <=>，则（）A ．3μ=，()7=D XB ．6μ=，()=D XC ．3μ=，()=D X D ．6μ=，()7=D X【答案】A【解析】根据正态分布及()()24P X P X <=>可知期望与方差. 【详解】因为随机变量(),7X N μ:，且()()24P X P X <=>，所以由对称性知2432μ+==，由正态分布(),7X N μ:知方差()7=D X . 故选：A 【点睛】本题主要考查了正态分布2(,)N μδ中，2,μδ的含义，属于容易题.4．从3名教师和5名学生中，选出4人参加“我和我的祖国”快闪活动．要求至少有一名教师入选，且入选教师人数不多于入选学生人数，则不同的选派方案的种数是（） A ．20 B ．40 C ．60 D ．120【答案】C【解析】由题意可分成两类：一名教师和三名学生，两名教师和两名学生，分别利用组合公式计算即可. 【详解】由题意可分成两类：（1）一名教师和三名学生，共133530C C =；（2）两名教师和两名学生，共223530C C =；故不同的选派方案的种数是303060+=. 故选：C 【点睛】本题考查组合的应用，是简单题，注意分类讨论、正确计算即可．5．在5678(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-的展开式中，含3x 的项的系数是（） A ．74 B ．121 C ．74- D ．121-【答案】D【解析】根据5678(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-，利用通项公式得到含3x 的项为：()+++-333335678()C C C C x ，进而得到其系数，【详解】因为在5678(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-，所以含3x 的项为：()+++-333335678()C C C C x ，所以含3x 的项的系数是的系数是33335678()C C C C -+++，()10203556121=-+++=-，故选：D 【点睛】本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题，6．袋子中装有大小相同的八个小球，其中白球五个，分别编号1、2、3、4、5；红球三个，分别编号1、2、3，现从袋子中任取三个小球，它们的最大编号为随机变量X ，则P (X =3)等于 ( ) A ．528B ．17C．1556D ．27【答案】D【解析】3X = 第一种情况表示1个3，1224138314C C P C ⋅== ,第二种情况表示2个3，2124238114C C P C ⋅== ，所以()12312314147P X P P ==+=+= ，故选D. 7．如图，四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD 两两垂直，2BC BD == ，点E 是CD 的中点，若直线AB 与平面ACD 所成角的正切值为2，则点B 到平面ACD 的距离为（）A ．23B ．23C ．223D ．43【答案】D【解析】根据题意，CD ⊥面ABE,过B 作BF AE ⊥，证明BF ⊥ 面ACD, BAF ∠为直线AB 与平面ACD 所成角，BF 即为B 到平面ACD 的距离，利用三角形等面积即可求解. 【详解】由题知AB ⊥面BCD, ∴ AB ⊥CD,又BC=BD ，点E 是CD 的中点， ∴ BE ⊥CD, 且BE=2 又AB BE B =I ，∴CD⊥面ABE,过B 作BF AE ⊥于E ，则CD ⊥BF,又AE I CD=E, ∴BF ⊥ 面ACD, ∴BAF ∠为直线AB 与平面ACD 所成角，BF 即为B 到平面ACD 的距离.∴22tan 4BE BA BA θ===,解得BA=4 ,∴222224(2)18,32AE AB BE AE =+=+==,利用ABE △ 等面积知424,22332AE BF BA BE BF ⨯⨯⨯=∴== .故选D. 【点睛】本题考查线面角，点面距，过B 作BF AE ⊥，证明BF ⊥ 面ACD 是关键.8．设函数22,()6,x x x af x ax x a⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是定义在R 上的增函数，则实数a 取值范围（）A ．[)2,+∞B ．[]0,3C ．[]2,3D ．[]2,4【答案】D【解析】画出函数22y x x =--的图象，结合图象及题意分析可得所求范围．【详解】画出函数22y x x =--的图象如下图所示，结合图象可得，要使函数()22,,6,,x x x a x ax x a ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是在R 上的增函数，需满足22226a a a a ≥⎧⎨--≥-⎩，解得24x ≤≤．所以实数a 取值范围是[]2,4．故选D ．【点睛】解答本题的关键有两个：（1）画出函数的图象，结合图象求解，增强了解题的直观性和形象性；（2）讨论函数在实数集上的单调性时，除了考虑每个段上的单调性之外，还要考虑在分界点处的函数值的大小关系．二、多选题9．用数学归纳法证明21121n n nn ->++对任意(),n k n k N ≥∈的自然数都成立，则以下满足条件的k 的值为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】CD【解析】将各项的值代入验证后可得正确的选项，注意用数学归纳法证明所得的结论. 【详解】取1n =，则2111,21312n n n n -==++，21121n n n n ->++不成立；取2n =，则2132,21513n n n n -==++，21121n n n n ->++不成立；取3n =，则2173,21914n n n n -==++，21121n n n n ->++成立；取4n =，则21154,211715n n n n -==++，21121n n n n ->++成立；下证：当3n ≥时，21121n n nn ->++成立. 当3n =，则2173,21914n n n n -==++，21121n n n n ->++成立；设当()3n k k =≥时，有21211k k kk ->++成立，则当1n k =+时，有11213121212121321k k k k k k++-+-+=-+++，令2121k k t -=+，则1121318=32133k k t t t ++-+=-+++，因为1k t k >+，故11218413214331k k k kk k ++-+>-=++++，因为()()411210432432k k k k k k k ++--=>++++，所以()1121112121+1k k k k k k ++-++>=+++，所以当1n k =+时，不等式也成立，由数学归纳法可知，21121n n n n ->++对任意的3n ≥都成立. 故选：CD. 【点睛】本题考查数学归纳法，注意归纳的起点可以通过验证得到，还要注意用数学归纳法证明一般性结论是成立.10．下列说法正确的是（）A ．命题“x ∀∈R ，21x >-”的否定是“x ∃∈R ，21x <-”B ．命题“(3,)x ∃∈-+∞，29x ≤”的否定是“(3,)x ∀∈-+∞，29x >”C ．“22x y >”是“x y >”的必要而不充分条件D ．“0m <”是“关于x 的方程2x 2x m 0-+=有一正一负根”的充要条件【答案】BD【解析】A.根据全称命题的否定的书写规则来判断；B. 根据特称命题的否定的书写规则来判断；C.根据充分性和必要性的概念判断；D. 根据充分性和必要性的概念判断. 【详解】解：A.命题“x ∀∈R ，21x >-”的否定是“x ∃∈R ，21x ≤-”，故错误； B.命题“(3,)x ∃∈-+∞，29x ≤”的否定是“(3,)x ∀∈-+∞，29x >”，正确；C.22x y x y >⇔>，x y >不能推出x y >，x y >也不能推出x y >，所以“22x y >”是“x y >”的既不充分也不必要条件，故错误；D.关于x 的方程2x 2x m 0-+=有一正一负根44000m m m ->⎧⇔⇔<⎨<⎩，所以“0m <”是“关于x 的方程2x 2x m 0-+=有一正一负根”的充要条件，正确，故选：BD. 【点睛】本题考查全称命题，特称命题否定的写法，以及充分性，必要性的判断，是基础题. 11．已知i 为虚数单位，则下面命题正确的是（） A ．若复数3i z =+，则131010iz =-． B ．复数z 满足21z i -=，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则()2221x y +-=． C ．若复数1z ，2z 满足21z z =，则120z z ≥． D ．复数13z i =-的虚部是3．【答案】ABC【解析】直接运算可判断A ；由复数的几何意义和复数模的概念可判断B ；由共轭复数的概念，运算后可判断C ；由复数虚部的概念可判断D ；即可得解. 【详解】由()()11333i 3i 3i 1010i i z -===-++-，故A 正确；由z 在复平面内对应的点为(),x y ，则()221z i x y i -=+-=，即1=，则()2221x y +-=，故B 正确；设复数1z a bi =+，则2z a bi =-，所以()()21220a bi a b z bi z a +-=+=≥，故C 正确；复数13z i =-的虚部是-3，故D 不正确. 故选：A 、B 、C 【点睛】本题综合考查了复数的相关问题，属于基础题.12．（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]3.54-=-，[]2.12=．已知函数()e 11e 2xx f x =-+，则关于函数()()g x f x =⎡⎤⎣⎦的叙述中正确的是（） A ．()g x 是偶函数 B ．()f x 是奇函数 C ．()f x 在R 上是增函数 D ．()g x 的值域是{}1,0,1-【答案】BC【解析】举反例说明A 错，用奇函数的定义证明B 正确，用复合函数的单调性说明C 正确，求出函数()f x 的值域，根据高斯函数的定义证明D 错误．【详解】根据题意知，()e 1111e 221e x x xf x =-=-++． ()()e 11101e 2g f ⎡⎤==-=⎡⎤⎣⎦⎢⎥+⎣⎦Q ，()()11111e 12g f ⎡⎤-=-=-=-⎡⎤⎣⎦⎢⎥+⎣⎦，()()11g g ∴≠-，()()11g g ≠--，∴函数()g x 既不是奇函数也不是偶函数，A 错误；()()e 1111e 21e 2x x xf x f x ---=-=-=-++Q ，()f x ∴是奇函数，B 正确；由复合函数的单调性知()1121e x f x =-+在R 上是增函数，C 正确； e 0x >Q ，1e 1x ∴+>，()1122f x ∴-<<，()(){}1,0g x f x ∴==-⎡⎤⎣⎦，D 错误．故选BC ．【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性，考查函数的值域，考查学生的创新意识．由于涉及到新定义函数，有一定的难度．三、填空题13．已知x ，y 取值如表：画散点图分析可知：y 与x 线性相关，且求得回归方程为ˆ1yx =+，则m =__________．【答案】32【解析】分析：计算,x y ，根据线性回归方程过样本中心点，代入方程求出m 的值．详解：计算x =15×（0+1+3+5+6）=3， y=15×（1+m +3m +5.6+7.4）=1445m +， ∴这组数据的样本中心点是（3，1445m+），又y 与x 的线性回归方程$y =x +1过样本中心点，∴1445m+=1×3+1，解得m=32.故填32.点睛：本题考查了回归直线方程过样本中心点的应用问题，属于基础题．14．已知函数()32sin f x x x =-，若2(3)(3)0f a a f a -+-<，则实数a 的取值范围是__________．【答案】(1,3)【解析】确定函数为奇函数，增函数，化简得到233a a a -<-，解得答案. 【详解】()32sin f x x x =-，()()32sin f x x x f x -=-+=-，函数为奇函数， '()32cos 0f x x =->，函数单调递增，2(3)(3)0f a a f a -+-<，即2(3)(3)(3)f a a f a f a -<--=-，即233a a a -<-，解得13a <<. 故答案为：()1,3. 【点睛】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.15．已知,R a b ∈，且360a b -+=，则128ab +的最小值为_____________. 【答案】14【解析】由题意首先求得3a b -的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件. 【详解】由360a b -+=可知36a b -=-，且：312228aa b b -+=+，因为对于任意x ，20x >恒成立，结合均值不等式的结论可得：336122222224aba b ---+≥⨯⨯=⨯=.当且仅当32236a b a b -⎧=⎨-=-⎩，即31a b =-⎧⎨=⎩时等号成立.综上可得128ab +的最小值为14. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．16．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，“赵爽弦图”如图所示，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成，现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有______种（用数字作答）.【答案】420【解析】根据题意设五个区域分别为①②③④⑤，再分两步讨论①②③和④⑤的情况，最后由分步计数原理计算即可. 【详解】由题意，假设五个区域分别为①②③④⑤，对于区域①②③，三个区域两两相邻，共有3560A =种情况；对于区域④⑤，若④与②颜色相同，则⑤有3种情况，若④与②颜色不同，则④有2种情况，⑤有2种情况，共有224⨯=种情况，所以④⑤共有347+=种情况，则一共有607420⨯=种情况. 故答案为：420 【点睛】本题主要考查排列组合的应用和分步乘法计数原理的应用，属于基础题.四、解答题17．在42nx x 的展开式中，前3项的系数成等差数列，（1）求n 的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）求展开式中含2x -的项的系数. 【答案】（1）8n =（2）358x （3）1256【解析】（1）根据前3项的系数成等差数列，利用等差数列的定义求得n 的值；（2）根据通项公式、二项式系数的性质求展开式中二项式系数最大的项；（3）在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于2-，求出r 的值，即可求得含2x -解：（1）因为前3项的系数成等差数列，且前三项系数为0121124n n n C C C ，，，所以1214n n n C C C =+，即2980n n -+=，所以1n =（舍去）或8n =.（2）因为8n =，所以展开式中二项式系数最大的项为第五项，即()4445843582T C x x x == ⎪⎝⎭.（3）通项公式：()384418841,0822r rr rr r r T C x C x r r N x --*+⎛⎫==≤≤∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由3424r-=-，8r ∴=，可得含x 的项的系数为88811()2256C =g . 【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质． 18．已知函数f （x ）226kxx k=+（k ＞0）（1）若f （x ）＞m 的解集为{x |x ＜-3，或x ＞-2}，求不等式5mx 2+kx +3＞0的解集；（2）若存在x ＞3，使得f （x ）＞1成立，求k 的取值范围．【答案】（1）3(1,)2-（2）6k >【解析】【详解】试题分析：（1）根据不等式解集与对应方程根的关系：-3，-2是方程mx 2-2kx +6km =0的根，即利用韦达定理得方程组，解方程组可得m,k 的值，代入不等式5mx 2+kx +3＞0再解一元二次不等式即可（2）不等式有解问题，一般转化为对应函数最值问题：2min (),(3)26x k x x >>- ，再根据基本不等式求最值，即得k 的取值范围．试题解析：解：（1）不等式，∵不等式mx 2-2kx +6km ＜0的解集为{x |x ＜-3，或x ＞-2}，∴-3，-2是方程mx 2-2kx +6km =0的根， ∴，故有，（2）．存在x ＞3，使得f （x ）＞1成立，即存在x ＞3，使得成立．令，则k ＞g （x ）min ．令2x -6=t ，则t ∈（0，+∞），，当且仅当即6t =时等号成立．所以()min 6g x =故k ∈（6，+∞）．点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法. 19．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1AB AC ==，D ，E 分别为1AA ，1B C 的中点．（1）证明：DE ⊥平面11BCC B ；（2）已知1B C 与平面BCD 所成的角为30°，求二面角1D BC B --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）22．【解析】（1）取BC 中点F ，连接AF 、EF ，根据题目条件，利用线面垂直的判定定理，得出AF ⊥平面11BCC B ，由于E 为1B C 中点，1EF BB P ，112EF BB =，可证出四边形ADEF 为平行四边形，得出AF DE ∥，从而可证出DE ⊥平面11BCC B ；（2）设1AB AC ==，12AA a =，根据（1）可知，DE ⊥平面1BCB ，则D 到平面1BCB得11133BCB BDC S DE S d ⋅=⋅△△，得d =1B C 与平面BCD 所成的角为30°，可求出2a =，结合线面垂直的判定定理证出BC ⊥平面DEFA ，进而得出EFD ∠为二面角1D BC B --的平面角，只需求出EFD ∠，即可求出二面角1D BC B --的余弦值．【详解】解：（1）取BC 中点F ，连接AF 、EF ， ∵AB AC =∴AF BC ⊥，∵1BB ⊥平面ABC ，AF ⊂平面ABC ， ∴1BB AF ⊥，而BC ⊂平面11BCC B ，1B B ⊂平面11BCC B ，1BC B B B =∩ ∴AF ⊥平面11BCC B ，∵E 为1B C 中点，∴1EF BB P ，112EF BB =， ∴EF DA P ，EF DA =，∴四边形ADEF 为平行四边形，∴AF DE ∥． ∴DE ⊥平面11BCC B ．（2）设1AB AC ==，12AA a =，则BC =2AF =，BD DC ==∴DF ==∴12BDCS BC DF =⋅=△，1112BCB SBB BC =⋅=V ，D 到平面1BCB 距离2DE =，设1B 到面BCD 距离为d ，由11B BDC D BCB V V --=，得11133BCB BDC S DE S d ⋅=⋅△△，即21212123232a a d +⋅⋅=⋅⋅，得221d a =+，因为1B C 与平面BCD 所成的角为30°，所以1222sin 3021d B C d a ===︒+，而在直角三角形1B BC V 中，2221142B C BB BC a =+=+，所以2242221a a +=+，解得22a =．因为AF ⊥平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ，所以AF BC ⊥，又EF ⊥平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ，所以EF BC ⊥，所以BC ⊥平面DEFA ，∵DF ⊂平面DBC ，EF ⊂平面1B BC 所以EFD ∠为二面角1D BC B --的平面角，而2DA AF ==，可得四边形DAFE 是正方形，所以45EFD ∠=︒，则2cos cos45EFD ∠=︒=，所以二面角1D BC B --的余弦值为22．【点睛】本题考查线面垂直的判定定理，以及利用几何法求二面角余弦值，涉及平行四边形的证明、等体积法求距离、棱锥的体积，线面角的应用等知识点，考查推理证明能力和计算20．交通部门调查在高速公路上的平均车速情况，随机抽查了60名家庭轿车驾驶员，统计其中有40名男性驾驶员，其中平均车速超过90/km h 的有30人，不超过90/km h 的有10人；在其余20名女性驾驶员中，平均车速超过90/km h 的有5人，不超过90/km h 的有15人.（1）完成下面的22⨯列联表，并据此判断是否有99.9%的把握认为，家庭轿车平均车速超过90/km h 与驾驶员的性别有关；（2）根据这些样本数据来估计总体，随机调查3辆家庭轿车，记这3辆车中，驾驶员为女性且平均车速不超过90/km h 的人数为ξ，假定抽取的结果相互独立，求ξ的分布列和数学期望.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中na b c d =+++临界值表：【答案】（1）填表见解析；有99.9%的把握认为，平均车速超过90/km h 与性别有关（2）详见解析【解析】（1）根据题目所给数据填写22⨯列联表，计算出2K 的值，由此判断出有99.9%的把握认为，平均车速超过90/km h 与性别有关. （2）利用二项分布的知识计算出分布列和数学期望.（1）因为2260(3015510)61613.71402035257K ⨯⨯-⨯⨯==≈⨯⨯⨯，13.7110.828>，所以有99.9%的把握认为，平均车速超过90/km h 与性别有关.（2）ξ服从153,60B ⎛⎫⎪⎝⎭，即13,4B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 3033127(0)4464P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 21133127(1)4464P C ξ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1223319(2)4464P C ξ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 0333311(3)4464P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以ξ的分布列如下ξ的期望2727913()0123646464644E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=本小题主要考查22⨯列联表独立性检验，考查二项分布分布列和数学期望，属于中档题.21．已知n 为给定的正整数，设201223nn n x a a x a x a x ⎛⎫+=++++ ⎪⎝⎭L ，x ∈R . （1）若4n =，求01,a a 的值；（2）若13x =，求0()nkk k n k a x =-∑的值.【答案】（1）01681a =，13227a =.（2）23n 【解析】（1）利用二项式定理可求出0a 和1a 的值；（2）利用组合数公式得出11k k n n kC nC --=，可得出()00121213333n kk n kkn nnkk k k nn k k k n k a x nC nC --===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑，然后利用二项式定理即可求得答案. 【详解】（1）因为4n =，所以0404216C ()381a ==，1314232C ()327a ==；（2）当13x =时，21C ()()33k k n k k k n a x -=，又因为11!(1)!C C !()!(1)!()!kk n n n n k kn n k n k k n k ---===---，当1n =时，011022()C ()33nk k k n k a x =-==∑；当2n ≥时，0021()()C ()()33n nk k n k kk n k k n k a x n k -==-=-∑∑012121C ()()C ()()3333n nk n k kk n k k n nk k n k --===-∑∑ 1112121()C ()()3333n n k n k kn k n n ---==+-∑ 1111121C ()()333n k n k k n k n n ----==-∑11212()3333n n n n -=-+=，当1n =时，也符合.所以0()nkk k n k a x =-∑的值为23n .【点睛】22．已知函数1()ln f x x a x x=-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】分析：(1)首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对a 进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；(2)根据()f x 存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定2a >，令'()0f x =，得到两个极值点12,x x 是方程210x ax -+=的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.详解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()222111a x ax f x x x x-+=--+-'=. （i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在()0,+∞单调递减.（ii ）若2a >，令()0f x '=得，2a x =或2a x +=.当x ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '<；当x ⎝⎭时，()0f x '>.所以()f x在,⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减，在⎝⎭单调递增.（2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >.由于()f x 的两个极值点12,x x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >.由于()()1212122121212122ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a ax x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----，所以()()12122f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<. 设函数()12ln g x x x x=-+，由（1）知，()g x 在()0,+∞单调递减，又()10g =，从而当()1,x ∈+∞时，()0g x <.所以22212ln 0x x x -+<，即()()12122f x f x a x x -<--. 点睛：该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.。

2020年江苏省无锡市江阴市四校高一(下)期中数学试卷

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.直线的倾斜角的大小为（）A. B. C. D.2.在△ABC中，，BC=3，，则∠C的大小为（）A. B. C. D.3.点P是直线x+y-2=0上的动点，点Q是圆x2+y2=1上的动点，则线段PQ长的最小值为（）A. B. 1 C. D. 24.方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆，则实数m的取值范围为（）A. B.C. D.5.在△ABC中，若A=60°，a=2，则等于（）A. 1B. 2C. 4D. 46.圆x2+y2+4x-4y-8=0与圆x2+y2-2x+4y+1=0的位置关系（）A. 相交B. 外离C. 内切D. 外切7.直线m，n和平面α，若m，n与平面α都平行，则直线m，n的关系可以是（）A. 相交B. 平行C. 异面D. 以上都有可能8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin A=3sin C cos B，且c=2，则△ABC的面积最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）9.已知m∈R，直线l1：mx+y+3=0，l2：（3m-2）x+my+2=0，若l1∥l2，则实数m的值为______．10.在△ABC中，已知BC=2，AC=，，那么△ABC的面积是______．11.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=1，则PC与底面ABC所成角的正切值为______．12.如果平面直角坐标系中的两点A（a-1，a+1），B（a，a）关于直线L对称，那么直线L的方程为______．13.若圆（x-1）2+（y+1）2=R2上有且仅有三个点到直线4x+3y=11的距离等于1，则半径R的值为______．14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b cos B=a cos C+c cos A，则B=______．15.如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C，测得塔顶的仰角为θ，由C向塔前进30米后到点D，测得塔顶的仰角为2θ，再由D向塔前进10米后到点E后，测得塔顶的仰角为4θ，则塔高为______米．16.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2-4x+2y=0．若直线y=3x+b上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数b的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，DP⊥平面PBC，E，F分别为PA与BC的中点．（1）求证：BC⊥平面PDC；（2）求证：EF∥平面PDC．18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若．（1）求角B的值；（2）若△ABC的面积S=，a=5，求b的值．19.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．（1）求渔船甲的速度；（2）求sinα的值．20.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，底面为正三角形，AB＝AA1，D是BC的中点，P是CC1的中点．求证：（1）A1B∥平面AC1D；（2）B1P⊥平面AC1D．21.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2-4x=0及点A（-1，0），B（1，2）．（1）若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，MN=AB，求直线l的方程；（2）在圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2=12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．22.如图，圆M：，点为直线l：上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A、B．若，求切线所在直线方程；求的最小值；若两条切线PA，PB与y轴分别交于S、T两点，求的最小值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由题意可得直线的斜率k==-，即tanα=-，故α=，故选：D．由直线的方程易得斜率，进而可得倾斜角．本题考查直线的倾斜角，由直线方程得出斜率是解决问题的关键，属基础题．2.【答案】B【解析】【分析】由已知利用正弦定理sin C=，利用大边对大角可求∠C为锐角，即可利用特殊角的三角函数值得解．本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．【解答】解：在△ABC中，∵，BC=3，，∴由正弦定理，可得：sin C===，∵AB＜BC，可得：∠A＞∠C，∠C为锐角，∴∠C=．故选：B．3.【答案】A【解析】解：根据题意，圆x2+y2=1的圆心为（0，0），半径r=1，圆心（0，0）到直线x+y-2=0的距离d==，则线段PQ长的最小值为-1；故选：A．根据题意，分析圆的圆心与半径，求出圆心（0，0）到直线x+y-2=0的距离，结合直线与圆的位置关系分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及点到直线的距离公式，是基础题．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查二元二次方程表示圆的条件，注意圆的一般方程与标准方程的互化,属于基础题目.根据题意，将圆的方程变形为（x+2m）2+（y-1）2=4m2+1-5m，进而可得4m2+1-5m＞0，解可得m的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，方程x2+y2+4mx-2y+5m=0变形为：（x+2m）2+（y-1）2=4m2+1-5m，若其表示圆，则有4m2+1-5m＞0，解可得：m＜或m＞1，即实数m的取值范围为（-∞，）∪（1，+∞）；故选：C．5.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查正弦定理的应用，属于中档题．先由正弦定理求得2R的值，从而求得==2R的值．【解答】解：△ABC中，若A=60°，a=2，则由正弦定理可得（R为△ABC的外接圆半径），∴2R==4，∴==2R=4，故选：C．6.【答案】A【解析】解：根据题意，圆x2+y2+4x-4y-8=0，即（x+2）2+（y-2）2=16，表示以（-2，2）为圆心、半径等于4的圆，圆x2+y2-2x+4y+1=0，即（x-1）2+（y+2）2=4，表示以（1，-2）为圆心、半径等于2的圆；两圆的圆心距d==5，则圆心距大于两圆的半径之差而小于半径之和，故两个圆的位置关系为相交，故选：A．把两个圆的方程化为标准方程，分别求出圆心和半径，再根据两个圆的圆心距为5，大于两圆的半径之差而小于半径之和，可得两个圆的位置关系为相交．本题考查圆与圆的位置关系的判定，涉及圆的一般方程与标准方程，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：若α∥β，m⊂β，n⊂β，则m∥α，n∥α，显然m，n可能平行，也可能相交，若m，n分别在平面α两侧，且m，n在平面α的射影为相交直线，则m，n异面．故选：D．根据m，n是否共面分情况判断．本题考查了空间直线与平面的位置关系，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：∵sin A=3sin C cos B，且c=2，∴由正弦定理可得：a=3c cos B，可得：cos B=，∴由余弦定理可得：=，可得：a2+12=3b2，①∵cos B==，∴sin B===，∴S△ABC=ac sin B=×2×a×sin B=a•=≤3（当b=时，等号成立），即△ABC的面积最大值为3．故选：C．由已知及正弦定理可得可得cos B=，由余弦定理可得a2+12=3b2，由余弦定理可得cos B=，利用同角三角函数基本关系式可求sin B，进而利用三角形面积公式，利用二次函数的性质可求最大值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，二次函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力、转化思想和函数思想的应用，属于中档题．9.【答案】1或2【解析】【分析】根据两直线平行的条件即可求出．本题考查了直线平行，考查了运算能力，属于基础题．【解答】解：直线l1：mx+y+3=0，l2：（3m-2）x+my+2=0，若l1∥l2，∴m2=3m-2，解得m=1或m=2，当m=1时，直线l1：x+y+3=0，l2：x+y+2=0，当m=2时，直线l1：2x+y+3=0，l2：4x+2y+2=0，故答案为：1或2．10.【答案】【解析】解：在△ABC中，由正弦定理得，即，解得sin A=，∴cos A=．∴sin C=sin（A+B）=sin A cos B+cos A sin B==．∴S△ABC===．故答案为．利用正弦定理解出sin A，cos A，根据两角和的正弦公式计算sin C，代入三角形的面积公式求得面积．本题考查了正弦定理，两角和的正弦公式，三角形的面积计算，属于中档题．11.【答案】【解析】解：∵PA⊥底面ABC，∴AC是PC在底面ABC上的射影，∴∠PCA是PC与底面ABC所成的角．∵∠ABC=90°，PA=AB=BC=1，∴AC=，∴tan∠PCA=．即PC与底面ABC所成角的正切值为．故答案为：．根据条件可得∠PCA是PC与底面ABC所成的角，然后根据直角三角形的边角关系求正切值即可．本题主要考查直线和平面所成角的大小求法，利用线面角的定义确定线面角是解决本题的关键．12.【答案】x-y+1=0【解析】解：∵k AB==-1，线段AB的中点为，两点A（a-1，a+1），B （a，a）关于直线L对称，∴k L=1，其准线方程为：y-=x-，化为：x-y+1=0．故答案为：x-y+1=0．利用垂直平分线的性质即可得出．本题考查了垂直平分线的性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】3【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系，注意分析R与圆心到直线的距离之间的关系，属于基础题．根据题意，分析圆的圆心与半径，求出圆心到直线的距离d，结合直线与圆的位置关系分析可得R-d=1，计算即可得答案．【解答】解：根据题意，圆（x-1）2+（y+1）2=R2的圆心为（1，-1），半径为R，圆心（1，-1）到直线4x+3y=11的距离d==2，若圆（x-1）2+（y+1）2=R2上有且仅有三个点到直线4x+3y=11的距离等于1，则R-d=1，解可得：R=3；故答案为3.14.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理和两角和的正弦公式，属于基础题．根据正弦定理和两角和的正弦公式计算即可.【解答】解：∵2b cos B=a cos C+c cos A，由正弦定理可得，2cos B sinB=sin A cos C+sin C cos A=sin（A+C）=sin B.∵sin B≠0，∴cos B=.∵0＜B＜π，∴B= .故答案为.15.【答案】15【解析】解：∵∠CPD=∠EDP-∠DCP=2θ-θ=θ，∴PD=CD=30，∠DPE=∠AEP-∠EDP=4θ-2θ=2θ，∴PE=DE=10，在三角形PDE中由余弦定理得cos2θ===，∴2θ=，∴4θ=，∴sin4θ=，∴PA=PE•sin4θ=10×=15．故答案为：15米．∵∠CPD=∠EDP-∠DCP=2θ-θ=θ，∴PD=CD=30，∠DPE=∠AEP-∠EDP=4θ-2θ=2θ，∴PE=DE=10，在三角形PDE中由余弦定理得cos2θ=，可求出2θ=，4θ=，最后在Rt△PEA中可得．本题考查了解三角形，属中档题．16.【答案】-17≤b≤3【解析】解：圆C：x2+y2-4x+2y=0化为（x-2）2+（y+1）2=5，圆心C（2，-1），半径为r=，如图，设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PACB为正方形，故有PC=，∴圆心到直线y=3x+b的距离小于或等于PC=，即，解得-17≤b≤3．故答案为：-17≤b≤3．由题意可得圆心为C（2，-1），半径r=，设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PACB为正方形，圆心到直线y=3x+b的距离小于或等于PC=，由点到直线的距离公式列式求得实数b的取值范围．本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．17.【答案】证明：（1）∵DP⊥平面PBC，BC⊂平面PBC，∴BC⊥DP，又底面ABCD为矩形，∴BC⊥DC，∵DC∩DP=D，∴BC⊥平面PDC．解：（2）取PD中点G，∵E为PA的中点，∴EG∥AD，且EG=，又F为BC中点，四边形ABCD为矩形，∴FC∥AD，且FC=，∴EG与FC平行且相等，即四边形EGCF为平行四边形，∴EF∥CG，又EF⊄平面PDC，CG⊂平面PDC，∴EF∥平面PDC．【解析】（1）由DP⊥平面PBC，得BC⊥DP，由底面ABCD为矩形，得BC⊥DC，由此能证明BC⊥平面PDC．（2）取PD中点G，由于四边形ABCD为矩形，从而四边形EGCF为平行四边形，进而EF∥CG，由此能证明EF∥平面PDC．本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识，属于基础题．18.【答案】解：（1）△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若．利用正弦定理：，整理得：sin（B+C）=sin B cos C+，则：sin C cos B=sin C sin B，由于sin C≠0，所以tan B=，由于：0＜B＜π，解得：B=．（2）△ABC的面积S=，所以：，解得：ac=20，由于a=5，所以c=4．则：b2=a2+c2-2ac cos B，=25+16-20，=21，解得：b=．【解析】（1）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出结果．（2）利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式．19.【答案】解：（1）依题意，∠BAC=120°，AB=12，AC=10×2=20，∠BCA=α．（2分）在△ABC中，由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos∠BAC（4分）=122+202-2×12×20×cos120°=784．解得BC=28．（6分）所以渔船甲的速度为海里/小时．答：渔船甲的速度为14海里/小时．（7分）（2）方法1：在△ABC中，因为AB=12，∠BAC=120°，BC=28，∠BCA=α，由正弦定理，得．（9分）即．答：sinα的值为．（12分）方法2：在△ABC中，因为AB=12，AC=20，BC=28，∠BCA=α，由余弦定理，得．（9分）即．因为α为锐角，所以=．答：sinα的值为．（12分）【解析】（1）由题意推出∠BAC=120°，利用余弦定理求出BC=28，然后推出渔船甲的速度；（2）方法一：在△ABC中，直接利用正弦定理求出sinα．方法二：在△ABC中，利用余弦定理求出cosα，然后转化为sinα．本题是中档题，考查三角函数在实际问题中的应用，正弦定理、余弦定理的应用，考查计算能力．20.【答案】证明：（1）连接A1C交AC1于点O，连接OD，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，∴侧面AA1C1C是正方形，∴点O是AC1的中点，又点D是BC的中点，故OD是△A1CB的中位线．∴OD∥A1B，又A1B⊄平面AC1D，OD⊂平面AC1D，∴A1B∥平面AC1D．（2）由（1）知，侧面BCC1B1是正方形，又D、P分别为BC、CC1的中点，∴△CC1D△C1B1P，∴∠CDC1=∠C1PB1，∴B1P⊥C1D，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点,∴AD⊥BC，又侧面BCC1B1⊥底面ABC，且侧面BCC1B1∩底面ABC=BC，AD⊂底面ABC，∴AD⊥平面BCC1B1，又B1P⊂平面BCC1B1，∴AD⊥B1P,又AD∩C1D=D，∴B1P⊥平面AC1D．（1）连接A1C交AC1于点O，连接OD，根据OD是△A1CB的中位线可得OD∥A1B，【解析】又A1B⊄平面AC1D，OD⊂平面AC1D，从而证得A1B∥平面AC1D．（2）由（1）知，∴△CC1D△C1B1P，故∠CDC1=∠C1PB1，B1P⊥C1D．再由AD⊥平面BCC1B1，可得AD⊥B1P，从而证得B1P⊥平面AC1D．本题考查证明线面平行、线面垂直的方法，直线和平面平行的判定定理以及直线和平面垂直的判定定理的应用，属于中档题．21.【答案】解：（1）圆C的标准方程为（x-2）2+y2=4，所以圆心C（2，0），半径为2．因为l∥AB，A（-1，0），B（1，2），所以直线l的斜率为，设直线l的方程为x-y+m=0，则圆心C到直线l的距离为d=．因为MN=AB=，而CM2=d2+（）2，所以4=+2，解得m=0或m=-4，故直线l的方程为x-y=0或x-y-4=0．（2）假设圆C上存在点P，设P（x，y），则（x-2）2+y2=4，PA2+PB2=（x+1）2+（y-0）2+（x-1）2+（y-2）2=12，即x2+y2-2y-3=0，即x2+（y-1）2=4，因为|2-2|＜，所以圆（x-2）2+y2=4与圆x2+（y-1）2=4相交，所以点P的个数为2．【解析】本题考查了直线与圆的方程的求法，考查了圆与圆的位置关系，是中档题．（1）求出圆心C到直线l的距离，利用勾股定理建立方程，即可求直线l的方程；（2）求出P的轨迹方程，利用两圆的位置关系，即可得出结论．22.【答案】解：（1）由题意，切线斜率存在，可设切线方程为y-1=k（x+1），即kx-y+k+1=0，则圆心M到切线的距离d==1，解得k=0或-，故所求切线方程为y=1，3x+4y-1=0；（2）连接PM，AB交于点N，设∠MPA=∠MAN=θ，则|AB|=2|AM|cosθ=2cosθ，在Rt△MAP中，sinθ==，∵|PM|≥3，∴（sinθ）max=，∴（cosθ）min=，∴|AB|min=；（3）设切线方程为y-t=k（x+1），即kx-y+k+t=0，PA，PB的斜率为k1，k2，故圆心M到切线的距离d==1，得8k2-6kt+t2-1=0，∴k1+k2=，k1k2=，在切线方程中令x=0可得y=k+t，故|ST|=|（k1+t）-（k2+t）|=|k1-k2|==，∴|ST|min=，此时t=0．故|ST|的最小值为．【解析】（1）设切线方程，利用圆心到切线距离等于半径求得斜率即可得解；（2）连接PM，AB交于N，利用∠MPA=∠MAN，结合正余弦可得最值；（3）利用（1）的方法，得到k的二次方程，结合根与系数关系，用含t的式子表示去表示|ST|，可得最值．此题考查了圆的切线及最值问题，综合性较强，难度较大．。