多准则决策(姜启源.敦煌2012-7)
多准则决策(敦煌2012-7)-文档资料
决策矩阵标准化时先对费用型属性值作倒数变换:
归一化
1
rij m dij
1
d i 1
ij
最大化 rij
1 dij
max i
1 dij
min i
dij
dij
注意非单调性属性的标准化处理
• 线性性 对于明显呈非线性的属性值（如边际效益 递减），需先拟合合适的函数作变换.
3．属性权重
X1, X2, …, Xn的权重 w (w1, w2 ,, wn )T
MADM ：为了一个特定的目的在若干备选方案中 确定一个最优的，或者对这些方案按照优劣进行排 序，或者给出优劣程度的数量结果, 而方案的优劣 由若干属性给以定量或定性的表述。
MODM ：为了若干特定的（一般是相互矛盾的） 目标在若干备选方案中确定一个一定意义下最优的， 而备选方案集合由一些约束条件给定。
~ 层次分析法
决策矩阵标准化 属性值的物理意义(包括量纲)各不相同
d11 d1 j d1n
D
dm1 dmj dmn
dij作比例 尺度变换
rij
dij
m
dij
i 1
R的列和为1~
归一化
r11 r1 j r1n
R
0 rij 1
rm1 rmj rmn
rij
dij
i
MODM又称多目标优化或目标规划
多属性决策（MADM）与多目标决策 （MODM）应用领域非常广泛
• MADM ：国家综合实力评价、大学排名榜、公司 新厂址选择、教师绩效考核、2011B题各区交警平台 设置的合理性评价、2010D题学生宿舍设计方案的评 价 、2009B题病床安排的合理性指标… …
多准则决策问题的评估方法
多准则决策问题的评估方法1. 引言在现实生活中，我们经常面临各种复杂的决策问题，而这些问题通常涉及到多个准则。
多准则决策问题是指在决策过程中涉及到多个目标或准则，我们需要综合考虑这些准则之间的相互关系，以做出最优的决策。
针对这一问题，评估方法的选择显得尤为重要，它能够帮助我们全面、深入地分析问题，并找到最佳的解决方案。
2. 多准则决策问题的定义与挑战多准则决策问题是指在决策过程中，需要同时考虑多个目标或准则。
与传统的单一准则决策问题相比，多准则决策问题更加复杂，因为我们需要在多个准则之间进行权衡，而且这些准则之间往往存在相互影响和冲突。
面临多准则决策问题时，我们往往需要寻找一种方法来将各个准则量化，并确定它们之间的相对重要性。
我们也需要考虑到决策结果对于不同利益相关者的影响，以及不同准则间可能存在的权衡关系。
3. 多准则决策问题的评估方法在评估多准则决策问题时，我们可以采用多种不同的方法。
下面介绍几种常见的评估方法。
（1）模糊综合评价法模糊综合评价法是一种常用的多准则决策评估方法，它基于模糊集理论，并利用专家判断或意见调查的方式，将各个准则的评价结果通过模糊数学的方法进行综合。
在使用模糊综合评价法时，我们首先需要建立评价指标体系，然后通过专家评分或调查问卷的形式，将各个评价指标进行模糊化处理，最后利用模糊综合评估的方法对各个准则进行综合评价。
（2）层次分析法层次分析法是一种常用的多准则决策评估方法，它通过将问题拆解成多个层次和多个准则，利用专家判断或意见调查的方式，构建准则之间的相对重要性矩阵，进而对各个准则进行综合评估和排序。
在使用层次分析法时，我们首先需要建立层次结构，明确各个层次和准则之间的关系。
通过专家对各个准则之间的相对重要性进行成对比较，并构建成对比较矩阵。
利用特征向量方法对成对比较矩阵进行一致性检验和权重计算，得到各个准则的权重。
（3）TOPSIS法TOPSIS（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）法是一种常用的多准则决策评估方法，它通过计算决策方案与理想解的接近程度和决策方案与负理想解的远离程度，对各个决策方案进行排序和选择。
层次分析法论文
层次分析法论文 Prepared on 24 November 2020层次分析法应用于城市购房决策中的实例分析濮长飞南京晓庄学院04数本2班摘要：本文针对消费者购房这一具体问题，基于高等代数矩阵内容，立足于数学建模，通过具体实例的分析详细描述了采用层次分析法解决多目标决策问题的方法和步骤，为消费者的购房决策提供科学合理的办法。
关键词：成对比较矩阵；特征根；特征向量；层次分析法随着经济的发展，收入水平的增加，消费者对商品房的要求也在增加。
目前多数消费者购房有的因为工作，有的是为了改善居住环境，还有的是为了投资。
不管是什么原因，由于涉及金额巨大，购房需慎之又慎，以免花钱买后悔。
针对消费者的需求，房地产开发商也在不断地推出新的楼盘。
这些楼盘往往各有各的特点，这使得消费者经常因选房而筋疲力尽，生怕捡了芝麻丢了西瓜。
究其原因，主要是考虑的因素太多，价格、交通、环境等等。
如就价格而言，甲比乙便宜；而就交通而言，乙又不如甲，这就使得购房者难以做出孰优孰劣的判断。
但是，所有的购房者都想买到物美价廉的房子，这是总目标，如果我们能够对备选房源“物美价廉”的程度进行量化，就能通过简单的数值比较做出决策。
运用统计学中的层次分析法就能轻松解决这一决策难题。
一、层次分析法概述1 简介层次分析法是美国运筹学家萨蒂在20世纪70年代提出的一种实用的定性和定量相结合的多准则决策方法。
它是把复杂的决策按照目标层、准则层、子准则层、方案层的顺序表示为一个有序的递阶层次结构，通过人们的比较判断，计算各种决策方案在不同准则及总目标之下的相对重要性权重，从而把难以量化的各种方案定量化，以得到各种方案的相对优劣的排序值，并据此做出最后的决策。
2 层次分析法的基本步骤第一步：根据问题的性质和要求，提出一个总目标。
将目标逐层分解为几个层次，建立层次结构模型。
第二步：对同一层次的各元素关于上一层次某一准则的重要性进行两两比较并赋权值，构造成对比较矩阵。
数学模型第四版姜启源
盟军(英)
盟军(美一) 强化
盟军 缺口 (预备队)
原地 待命
德军 撤退 进攻
东进 盟 军 (美三 )
双方应该如何决策 ？
模型假设
? 博弈参与者为两方（盟军和德军）
? 盟军有3种使用其预备队的行动：强化缺口，原地 待命，东进；德军有 2种行动：向西进攻或向东撤退 .
? 博弈双方完全理性 ，目的都是使战斗中己方获得
(p*, q*): 混合(策略)纳什均衡(Mixed NE) 最优值均为 2/5
模型评述
?? 0 M ??1
0 ?? 0?
?占优(dominate) ：盟军的行动 2占优于1
??? 1 1?? （前面的非常数和博弈 M' 类似）
?混合策略似乎不太可行 ! 但概率可作为参考. ----现实：盟军让预备队原地待命（行动 2），而德军
O
x
vb=vs 1 vs
单一价格战略效率为
1x
? ? ? ? x 0 (vb ? vs )dvsdvb ? 3x(1 ? x) ? 3 / 4
? ?1 0
vb 0
(vb
?
vs )dvs dvb
x＝0.5
效率最大 (3/4)
线性价格战略
卖方报价 ps(vs) ＝ as+csvs; 买方报价 pb(vb) ＝ab+cbvb．
多个决策主体
博弈模型 合作博弈
决策主体的决策 行为发生直接相 互作用 (相互影响 )
博弈模型 (Game Theory)
非合作博弈
静态、动态 信息完全、不完全
军事、政治、经济、企业管理和社会科学中应用广泛
11.1 进攻与撤退的抉择
背 ? 1944年6月初，盟军在诺曼底登陆成功 . 景 ? 到8月初的形势：
数学建模实例—-汽车购买决策
购买汽车的选择摘要“我没有车我没有房”攒了几年钱终于有钱买车了，但我又担心买不到最称心的车子，于是我们团队就试图用数学建模的方法解决这个问题。
对于这种关键因素难以量化的问题，我们决定用最适合的层次分析法。
首先，考虑到课题目标除了“做出购买决定”之外还要评出配置最高、最舒适、最漂亮的车子，所以我们将这个决策问题分成四层：首层是目标层，即本课题最重要的目标—购买汽车的决策，第二层是准则层，分成“舒适”“配置”“美观”“价格”四个准则，这样做的好处是便于达到课题的二级目标。
第三层是次准则层，将准则层的四大准则细分为八个准则，需要指出的是“价格”因为无法细分我们将它设定为同时属于二三层。
第四层，即最后一层是方案层，有三套方案供选择。
当思维过程转化为层次结构之后，从层次结构的第二层开始，对于从属于或影响上一层每个因素的同一层诸因素，用层次比较法和1-9比较尺度构造成对比较阵，直到最下层。
对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应特征向量，利用一致性指标，随机一致性指标和一致性比率做一致性检验，若检验通过，特征向量即为权向量；若不通过则需重新构造【1】。
最后组合权向量并做一致性检验。
都通过之后就便得到了一个决策。
此刻我们做的是重新审视模型讨论模型的局限以及不完整之处，力求改进，直到做出满意的模型。
Ⅰ问题重述工作五年后，你决定要购买一辆汽车，预算十万左右。
在汽车网上浏览了很久，初步确定将从三种价格相当的车型中选购一种。
一般在购买汽车时考虑的标准可能包括：品牌、配置、动力、耗油量大小、舒适程度和外观美观情况等等。
（以上提到的标准仅供参考，因人而异（1 ）不同的标准在你心目中的比重也许是不同的，请用定量的方法将其按比重的高低进行排序。
（2 ）请用定量的方法说明哪种车配置最好、哪种车最舒适、哪种车最漂亮？（3 ）建立数学模型，用确定的量化方法作出购买决定。
Ⅱ问题分析本题要求用定量的方法研究购买汽车的决策。
而购买汽车，人们多半是凭经验或者主观判断的提出决策方案。
第4章--数学规划模型-姜启源
第4章 数学规划模型在上一章中我们看到，建立优化模型要确定优化的目标和寻求的决策。
用x 表示决策变量，)(x f 表示目标函数。
实际问题一般对决策变量x 的取值范围有限制，不妨记作x ∈Ω，Ω称为可行域。
优化问题的数学模型可表示为∈x x f Max Min ),()(或Ω在第3章x 通常是1维或2维变量，Ω通常是1维或2维的非负域。
实际中的优化问题通常有多个决策变量，用n 维向量T n x x x x ),,,(21 =表示，目标函数)(x f 是多元函数，可行域Ω比较复杂，常用一组不等式（也可以有等式）)(x g i ≤0 (i =1,2, …,m )来界定，称为约束条件。
一般地，这类模型可表述成如下形式=z Min x)(x f s.t.)(x g i ≤m i ,,2,1,0 =这里的s. t. (subject to)是“受约束于”的意思。
显然，上述模型属于多元函数的条件极值问题的范围，然而许多实际问题归结出的这种形式的优化模型，其决策变量个数n 和约束条件个数m 一般较大，并且最优解往往在可行域的边界上取得，这样就不能简单地用微分法求解，数学规划是解决这类问题的有效方法。
需要指出的是，本章无意涉及数学规划（或运筹学）的具体计算方法，仍然着重于从数学建模的角度，介绍如何建立若干实际优化问题的模型，并且在用现成的数学软件求解后，对结果作一些分析。
4．1 奶制品的生产和销售企业内部的生产计划有各种不同的情况。
从空间层次来看，在工厂级要根据外部需求和内部设备、人力、原料等条件，以最大利润为目标制订产品的生产计划，在车间级则要根据产品生产计划、工艺流程、资源约束及费用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计划。
从时间层次看，若在短时间内认为外部需求和内部资源等不随时间变化，可制订单阶段生产计划，否则就要制订多阶段生产计划。
本节选择几个单阶段生产计划的实例，说明如何建立这类问题的数学规划模型，并利用软件求解的输出对结果作一些分析。
统计学：多准则决策分析法 (MCDM)
B2
B3
A5
A3
A4
B1
B2
B3
B1
B2
B3 B1
B2
B3
3.案例分析
正反矩阵比较
例2的旅游问题中，第二层A的各因素对目标层Z 的影响两两比较结果如下：
Z A1 A2 A3 A4 A5 A1 1 1/2 4 3 3 A2 2 1 7 5 5 A3 1/4 1/7 1 1/2 1/3 A4 1/3 1/5 2 1 1 A5 1/3 1/5 3 1 1
故最后的决策应为去桂林。
4. AHP法优点和局限性
1 系统性 层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判 断、综合的思维方式进行决策 ，成为继机理分析、统计 分析之后发展起来的系统分析的重要工具。
实用性 层次分析法把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传 统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广，同 时，这种方法使得决策者与决策分析者能够相互沟通，决 策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性。
A5 B1 B2 B3 B1 1 1 1/4 B2 1 1 1/4 B3 4 4 1
3.案例分析
（2）构造成 对比较矩阵
1
A
2 1
4
1
2 1 1
7
1 1
3 5 1 1 3 5
1 B2 3
1 3 1
1 18 3
8 3 1
1 1 3
B3
1 1
1 1
3
3 3 1
4 7 1
2
3
5 1 2
按照我国的投资 计划管理体制
1.2 为什么要进行项目评估
项目决策的科学化管 理
提高项目效益的重要 手段
最新多准则决策的基本概念ppt课件
第一节 多准则决策的基本概念
一、引言
多准则决策(multiple criteria decision making, MCDM)起源可以追溯到1896年Pareto提出的Pareto最 优概念；但直到1951年Koopmans才将有效点的概念 引入决策领域；同年，Kuhn和Tucker引入向量优化的 概念。多准则决策作为规范决策方法引入决策领域则 是在20世纪60年代，以查恩斯（Charnes）和库伯 （Cooper）在目标规划上的研究和Roy提出的 ELECTRE方法为代表。
案例，教材P157，自己阅读
层次分析法（AHP）是重要的综合性多属性分析方法，不 重复讲解，希望个人仔细阅读，加深理解。P164
设二维效用函数W=W(u1,u2) 为二维效用函数，按距离规则， W=W(u1,u2) 应该满足的条件： ① W(1,1)=1; ② W(0,0)=0 ③ 0<W(1,u2)<1,0<u2<1
0<W(u1,1)<1,0<u1<1 ④ W(u1,u2) 的取值与距离 d (1u1)2(1u2)2 成线性关系。
5混合规则当各目标效用之间的关系比较复杂时可以考虑混合规则???????????????????niiiucwnnucucuuwucucuuwccuuuuuuwccucucucucuuw1221121221121212121212122112211211101011???????维效用合并公式维时混合规则的推广到是乘法规则公式近似于当是加法规则时且当是代换规则时且当案例教材p157自己阅读层次分析法ahp是重要的综合性多属性分析方法不重复讲解希望个人仔细阅读加深理解
4 决策形势 多目标决策问题的基础是决策形势（或称决策情况），它说
多准则决策
SAW
SAW
(R最大化) (R归一化)
0.266
0.269
0.226
0.223
0.272
0.274
0.236
0.234
WP
0.269 0.219 0.276 0.236
TOPSIS
0.350 0.146 0.334 0.170
A3与A1（A4与A2）差别不大，A3，A1明显优于A4，A2 用各种方法得到的结果没有显著差别
R的列最小值为0 （最大值为1）
属性值(对决策优劣)的性质
• 单调性 效益型属性值单调增 费用型属性值单调减
决策矩阵标准化时先对费用型属性值作倒数变换:
归一化
最大化
注意非单调性属性的标准化处理
• 线性性 对于明显呈非线性的属性值（如边际效益 递减），需先拟合合适的函数作变换.
3．属性权重 X1, X2, …, Xn的权重
4．综合方法---由决策矩阵与属性权重得到最终决策
各种方法的详细步骤参看：
Hwang C.L. and Yoon K. Multiple Attribute Decision Making——Methods and Applications . Berlin/Heidelberg/New York Springer-Verlag ,1981
区间 尺度
严重不妥!
5. AHP与MAUT的争论——二者的公理化系统有区别 • AHP允许排序逆转而MAUT不允许. • MAUT需要偏好排序的传递性而AHP不需要.
徐玖平，吴巍编著 多属性决策的理论与方法. 北京 清华大学出版社 2006
确定
随机
模糊
粗糙
4．综合方法---由决策矩阵与属性权重得到最终决策
多目标决策
乘法规则多维合并公式
n维效用空间中，除Q*的并合效用值为1以外，凸多面体效用空间的其他2n-1个顶点的总效用值均等于0。公式：一般公式： 对数形式：ρi为正常数。
举例
例如，某管理信息系统的运行功能与可靠性二子目标效用的并合关系，符合乘法法则。功能强而可靠性差的系统，或者可靠性好而功能差的系统，起总体运行质量都是差的，两者之间不能相互代替和补偿。
制定多目标决策的过程
明确问题，标明目标和辨别属性
实施或重新评价ຫໍສະໝຸດ 多维效用并合方法 多目标决策问题有s 个评价准则，有 m 个可行方案ai（i=1,2,……,m）。相应的效用函数为u1,u2,……,us，在s 个评价准则下的效用值分别是uj(i),j=1,2,……,s。将s 个分效用并合为总效用，并依据总效用对可行方案进行评价选优。这种多目标决策方法，称为多维效用并合方法。主要用来解决序列型多层次目标准则体系问题。
多维并合的距离规则计算公式
n维效用空间是2n个顶点的凸多面体，其中必有一点Q*(1,1,……,1)为最大值点,即W(Q*)=1。也必有一点Q(0,0,……,0)为最小值点。N维效用空间任一点Q与点Q*的距离为d。点Q*与Q之间的距离为 ，于是：
代换规则
二维效用并合的代换规则适合如下情况：二效用对决策主体具有同等重要性，只要其中一个目标的效用取得最大值，无论其它效用取何值，即使取得最低水平，并合效用也达到最高水平，与二效用达到最高水平一样，形象的说，代换规则反映了效用之间的“一好遮百丑”的特征。
返回
评价准则和效用函数
不同的评价准则度量单位各异，变化方向不同，如何给出可行方案关于全部目标的满意度，是多目标决策的关键。为此，必须将不同度量单位的准则，化为无量纲统一的数量标度，并按特定的法则和逻辑过程进行归纳和综合，建立各可行方案之间具有可比性的数量关系。如：效用和效用函数
姜启源数学建模资料
姜启源数学建模资料姜启源数学建模资料第三章简单的优化模型3.1 3.2 3.3 3.4 存贮模型生猪的出售时机森林救火最优价格3.5 血管分支 3.6 消费者均衡 3.7 冰山运输姜启源数学建模资料静态优化模型现实世界中普遍存在着优化问题静态优化问题指最优解是数不是函数静态优化问题指最优解是数(不是函数不是函数) 建立静态优化模型的关键之一是根据建模目的确定恰当的目标函数求解静态优化模型一般用微分法姜启源数学建模资料问题3.1存贮模型配件厂为装配线生产若干种产品，配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。
备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。
该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。
生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。
已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费件生产准备费已知某产品日需求量元每日每件1元试安排该产品的生产计划，每日每件元。
试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次(生产周期),每次产量多少，使总费用最小。
),每次产量多少一次(生产周期),每次产量多少，使总费用最小。
不只是回答问题，而且要建立生产周期、要不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系。
求需求量、准备费、贮存费之间的关系。
姜启源数学建模资料问题分析与思考日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件元。
件准备费日需求元贮存费每日每件1元每天生产一次，每次每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费件无贮存费，准备费5000元。
元每天费用5000元元每天费用 10天生产一次，每次天生产一次，天生产一次每次1000件，贮存费件贮存费900+800+…+100 =4500 准备费5000元，总计元，准备费元总计9500元。
元平均每天费用950元元平均每天费用 50天生产一次，每次天生产一次，天生产一次每次5000件，贮存费件贮存费4900+4800+…+100 =122500元，准备费元准备费5000元，总计元总计127500元。
多属性决策(第一章)
zij
yij y y
max j
y
min j min j
对成本型属性j，令
zij
y y
max j max j
yij
min j
y
3 区间型属性的变换 ' y , y y • 设给定的最优属性区间为 ， 为无 j '' 法容忍下限，y j为无法容忍上限，则
0 j * j
有以下几种。
• 1 线性变换 • 原始的决策矩阵为 Y y ，变换后的决策矩阵记 ,n y 为 Z z ，i 1,, m, j 1,。设 是决策矩阵第j列中 y min 的最大值， 是决策矩阵第j列中的最小值。若j j 为效益型属性，则 max •
ij
ij
max j
illj德尔菲法又名专家意见法是依据系统的程序采用匿名发表意见的方式即团队成员之间不得互相讨论不发生横向联系只能与调查人员发生关系以反覆的填写问卷以集结问卷填写人的共识及搜集各方意见可用来构造团队沟通流程应对复杂任务难题的管理技德尔菲法delphimethod是在20世纪40年代由o
第一章 决策概念与过程
四 权值确定方法－－最小二乘法
首先由决策人把目标的重要性作成对比较，设有n个 1 C n(n 1) 次，把第j个目标的相 目标，则需比较 2 对重要性记为 aij ，并认为，这就是属性i的权 i a 和属性j的权 j 之比的近似值， n个目标 的成对比较的结果为矩阵A：
2ห้องสมุดไป่ตู้n
1 y 0j yij y 0j y 'j 1 zij * '' * 1 yij y j y j y j 0
证据理论与层次分析法相结合的威胁评估排序模型
设 Bel 1 和 Bel 2 是同一识别框架 Θ 上的两个 信度函数 , m1 和 m2 分别是其对应的基本可信度 分配 ,焦元分别为 A 1 , A 2 , …, A k 和 B 1 , B 2 , …, B n , 若
A ∩B = <
i j
∑ m1 ( A i ) m2 ( B j ) < 1 。那么 , 由 ( 4 ) 式定义
A1 A2 A3
( km) 410 (1) < 160 (6) 180 (6) 260 (4)
( m/ s) 710 (4) 805 (5) 80 (1)
( km) 118 (6) 215 (4) 016 (7) 318 (2)
的函数 m :2Θ →[ 0 ,1 ]
0
m ( A) =
A ∩B = A
在现代防空作战中 , 指挥员对来袭的空中目 标威胁度进行估计 ,选择威胁最大的目标抗击 ,是 防空作战中重要的决策活动之一 。由于影响目标 威胁程度评估的因素众多 ,既包含定量因素 ,又有 定性描述因素 , 并且这些因素相互之间的关系复 杂 , 导致威胁评估与排序一直是难点也是热点 。 尤其是部分因素不确定或完全 “未知” 的情形 , 更 是一个棘手的问题 。对于含有部分因素不确定的 威胁评估排序 , 国内许多学者通常使用模糊综合 评价方法并结合作战原则 、 实战经验 、 战例分析及 个人偏好等进行抽象和简化 。但这样将导致损失 许多信息 , 常出现 “分级” 不清 , 评价不合理的情 况 。利用证据理论对不确定性问题处理具有优越 性 ,结合层次分析法 ,能较好地解决部分因素未知
目标速度 Rj 下 , 目标 A 1 , A 2 , …, A i 具有同样的 值 : r1 j = r2 j = … = rij ( 1 Φ i Φ n ) , 则令 Hkj = { A 1 , A 2 , …, A i } , 很明显 Hkj < E , 并且令 Hkj ∩Hsj = Φ Φ) 。由 于 部 分 因 素 未 知 , 有 ( k ≠ s , Hkj , Hsj ≠
数学模型姜启源-第四章(第五版)
除加工能力外均为紧约束
30元可增加1桶牛奶，3元可增加1h时间，应否投资？现投资150元，可赚 回多少？
结果解释
Global optimal solution found. Objective value:
2) x1 x5 x2 x6 50
z=2400
数
z=c (常数) ~等值线
z=0
在B(20,30)点得到最优解.
目标函数和约束条件是线性函数 可行域为直线段围成的凸多边形 目标函数的等值线为直线
最优解一定在凸多边形的某 个顶点取得.
模型求解
model: max = 72*x1+64*x2; [milk] x1 + x2<50; [time] 12*x1+8*x2<480; [cpct] 3*x1<100; end
x4 0.75 x6 x1, , x6 0
模型求解
Global optimal solution found.
Objective value:
软件实现 LINGO
2) x1 x5 x2 x6 50
3
4
3460.800
Total solver iterations:
Variable
Value
增加1h时间使利润增长
X3 0.000000
19.20000
3.26
X4 0.000000
x1 x2 50 12 x1 8x2 480 3x1 100
x1 , x2 0
线性 规划 模型 (LP)
模型分析与假设
比 xi对目标函的“贡献”与 例 xi取值成正比
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n
v Rw , v ( v1 , , v m )
T
• 对决策矩阵采用不同的标准化方法（归一化、 最大化），得到的结果会有差别. • 隐含假设：属性相互独立，各属性值对整体评价 的影响可以叠加，因而各个属性具有互补性.
2. 加权积法（WP, Weighted Product ） 将SAW的算术加权平均改为几何加权平均：
多属性决策(MADM)的一般步骤
• 要素：备选方案组与属性集合、决策矩阵、 属性权重、综合方法. 1. 备选方案组与属性集合 备选方案组：由实际问题决定. 确定属性集合的原则： • 全面考虑，选取影响力（或重要性）强的. • 属性间尽量独立（至少相关性不太强）.
• 不选难以辨别方案优劣的（即使影响力很强）.
c ik c , d ik d
时Ai 优于Ak,
应用过程中几种主要方法的比较
例 选择战斗机 4种方法对方案的优劣排序
方法 SAW 2 4 WP 2 4 TOPSIS 1 4 ELECTRE 1 3
方案
A1 A2
A3
A4
1
3
1
3
2
3
1
3
方案排序基本一致：A3，A1优于A4，A2
例 选择战斗机 用SAW，WP，TOPSIS 计算的数值结果
用各种方法得到的结果没有显著差别
几种方法的集成
与其寻找最好方法，不如将几种方法的结果加以集成.
• 甄选：利用占优法、和取法、字典序法等将被占优 的、不可接受的方案删除. • 排序或计算：分别利用SAW, WP, TOPSIS等对方 案按照优劣排序或计算数值结果. • 集成：对几种方法得到的排序或数值结果进行集成.
接近理想解的排序法
删除选择法
1. 简单加权和法（SAW, Simple Additive Weighting ）
R ( rij ) m n
w ( w1 , w 2 , , w n )
T
方案Ai 对n个属性的综合取值为
vi
v
j 1
n
ij
rij w j , i 1, 2 , , m 或
最大化
rij max
i
1 d ij 1 d ij
i 1
m
1 d ij
min d ij
i
d ij
注意非单调性属性的标准化处理 • 线性性 对于明显呈非线性的属性值（如边际效益 递减），需先拟合合适的函数作变换.
3．属性权重
X1, X2, …, Xn的权重 w ( w 1 , w 2 , , w n ) 属性权重的获取 • 根据决策目标通过经验、调查等先验地给出 • 层次分析法：用成对比较矩阵解出特征向量 • 信息熵法 (借用信息论中熵的概念)
j 1
n
Fj
E [ 0 . 824 F [ 0 . 176
0 . 986 0 . 014
1 ] 0 ]
以上方法的综合
记偏于主观与偏于客观的方法得到的权重分别为
w
(1 )
( w1 , w 2 , , w n ) ,
(1 ) (1 ) (1 ) T
w
(2)
( w1 , w 2 , , w n )
北京 清华大学出版社 2006
确定
随机
模糊
粗糙
4．综合方法---由决策矩阵与属性权重得到最终决策 按照决策者掌握的属性信息量的多少将方法分类 • 没有任何属性信息 • 给定各属性的最低水平 • 已知各属性权重的顺序 • 已知各属性权重的数值 简单加权和法 占优法 合取法 字典序法 线性分配法 加权积法 最大最小法 析取法 排列法
MODM又称多目标优化或目标规划
多属性决策（MADM）与多目标决策 （MODM）应用领域非常广泛
• MADM ：国家综合实力评价、大学排名榜、公司 新厂址选择、教师绩效考核、2011B题各区交警平台 设置的合理性评价、2010D题学生宿舍设计方案的评 价 、2009B题病床安排的合理性指标… … • MODM：选择收益大且风险小的投资组合、照顾乘 客和航空公司双方利益的航班安排、 2011B题交警平 台设置要考虑出警时间和工作量均衡、2009B题病床安 排方案要考虑公平和效率两方面、2009 D题会议筹备 要考虑预订宾馆、会议室的数量、费用、距离等…
备选 方案 A1 A2 属性
A3 A4
X1 2.0 2.5 1.8 2.2
X2 1.5 2.7 2.0 1.8
X3 20 18 21 20
X4 5.5 6.5 4.5 5.0
X5
中 低 高 中
X6
很高 中 高 中
例 选择战斗机
对X5, X6表述的量化： 2 . 0 1 . 5 20 5 . 5 5 9 “很高”、“高”、 2 . 5 2 . 7 18 6 . 5 3 5 D “中”、“低”、 1 . 8 2 . 0 21 4 . 5 7 7 “很低” 记分 2 . 2 1 . 8 20 5 . 0 5 5 9,7,5,3,1， 设有m个备选方案A1, A2,…, Am, n个属性X1, X2, …, Xn Ai对Xj的取值 dij ~ 属性值
d ij min
i 1 , 2 , m
d ij d ij
max
d ij min
i 1 , 2 , m
R的列最小值为0 （最大值为1）
属性值(对决策优劣)的性质 • 单调性 归一化
rij
效益型属性值单调增
费用型属性值单调减
决策矩阵标准化时先对费用型属性值作倒数变换:
1 d ij
，
T
j 1
n
wj 1
偏于主观 偏于客观
熵 ~ 信息论中衡量不确定性的指标，信息量的(概率) 分布越趋于一致，不确定性越大.
将归一化决策矩阵R列向量 ~ A1,…, Am对Xj的属性值
r1 j , r2 j , , rmj ( rij 1 )
i 1 m
视为信息量的分布
• 信息熵法
• 多目标决策（MODM, Multiple Objective Decision Making ）
多属性决策(MADM)与多目标决策(MODM)概述
MADM ：为了一个特定的目的在若干备选方案中 确定一个最优的，或者对这些方案按照优劣进行排 序，或者给出优劣程度的数量结果, 而方案的优劣 由若干属性给以定量或定性的表述。 MODM ：为了若干特定的（一般是相互矛盾的） 目标在若干备选方案中确定一个一定意义下最优的， 而备选方案集合由一些约束条件给定。
多准则决策及其在 数学建模中的应用
dx dt rx
清华大学 姜启源
jiangqy@
提要
• 多准则决策概述 • 多属性决策的一般步骤 • 多属性决策应用过程中几种 主要方法的比较
• 层次分析法与多属性决策和 多属性效用理论的关系
多准则决策（MCDM, Multiple Criteria Decision Making） • 多属性决策（MADM, Multiple Attribute Decision Making） 【多属性效用理论（MAUT, Multi-Attribute Utility Theory）】
• 尽量选可量化的，定性的也要能明确区分档次. • 若数量太多（如大于7个），应将它们分层.
2．决策矩阵——备选方案对每一属性的属性值
例 选择战斗机 (4种型号)
X1~最高速度(马赫), X2航程(千海里), X3~最大载荷(千磅) X4~价格(百万美元), X5~可靠性, X6 ~机动性.
各方案对属性的定量取值或定性表述
0 rij 1
dij作比例 尺度变换
rij
d ij
i 1
m
rij
d ij
i 1 , 2 , m
rij
d ij
d ij
max
d ij
i 1
m
d ij
2
R的列和为1~ 归一化 dij作区间 尺度变换
rij
R的列最大值 为1~最大化
i 1 , 2 , m
R的列模为1~ 模一化
4．综合方法---由决策矩阵与属性权重得到最终决策 各种方法的详细步骤参看： Hwang C.L. and Yoon K. Multiple Attribute Decision Making——Methods and Applications . Berlin/Heidelberg/New York Springer-Verlag ,1981 徐玖平，吴巍编著 多属性决策的理论与方法.
方法方 案 A1 SAW SAW (R最大化) (R归一化) 0.266 0.269 WP 0.269 TOPSIS 0.350
A2 A3 A4
0.226 0.272 0.236
0.223 0.274 0.234
0.219 0.276 0.236
0.146 0.334 0.170
A3与A1（A4与A2）差别不大，A3，A1明显优于A4，A2
c,d
TOPSIS方法等价于简单加权和法的情况:
将欧氏距离改为街区距离, 且决策矩阵归一化或最大化 4. 删除选择法（ELECTRE） • 比较每一对方案 {Ai , Ak}的加权属性值vij和 vkj, 按照 vij≥vkj和vij<vkj 将属性集分为一致集和矛盾集. • 利用属性值和权重定义一致性指标cik和矛盾性指标dik, cik越大, dik越小, Ai越优于Ak . • 确定度量cik ,dik的阈值 c , d , 由此决定删除和选择的方案.
“多属性决策(MADM)方法选择本身就是一个MADM问题”
平均法
Borda数法