高二数学第一学期期末联考模拟试卷

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【典型题】高二数学上期末模拟试卷附答案

【典型题】高二数学上期末模拟试卷附答案一、选择题1．将1000名学生的编号如下：0001，0002，0003，…，1000，若从中抽取50个学生，用系统抽样的方法从第一部分0001，0002，…，0020中抽取的号码为0015时，抽取的第40个号码为（） A ．0795B ．0780C ．0810D ．08152．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（） A ．320B ．720C ．316D ．253．如果数据121x +、221x +、L 、21n x +的平均值为5，方差为16，则数据：153x -、253x -、L 、53n x -的平均值和方差分别为（）A ．1-，36B ．1-，41C ．1，72D ．10-，1444．学校为了解新课程标准提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响情况，随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示：将阅读时间不低于30分钟的观众称为“阅读霸”，则下列命题正确的是（） A ．抽样表明，该校有一半学生为阅读霸 B ．该校只有50名学生不喜欢阅读 C ．该校只有50名学生喜欢阅读 D ．抽样表明，该校有50名学生为阅读霸5．在半径为2圆形纸板中间，有一个边长为2的正方形孔，现向纸板中随机投飞针，则飞针能从正方形孔中穿过的概率为（） A ．4π B ．3πC ．2πD ．1π6．在长为10cm 的线段AB 上任取一点C ，作一矩形，邻边长分別等于线段AC 、CB 的长，则该矩形面积小于216cm 的概率为（） A ．23B ．34C ．25D ．137．某校从高一(1)班和(2)班的某次数学考试(试卷满分为100分)的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本，如茎叶图所示.若分别从(1)班、(2)班的样本中各取一份，则(2)班成绩更好的概率为( )A．1636B．1736C．12D．19368．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设D为BE中点，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（）A．17B．14C．13D．4139．从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（）A．27B．57C．29D．5910．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是 ( )．A．①B．②④C．③D．①③11．如图，边长为2的正方形有一内切圆.向正方形内随机投入1000粒芝麻，假定这些芝麻全部落入该正方形中，发现有795粒芝麻落入圆内，则用随机模拟的方法得到圆周率的近似值为()A．3.1B．3.2C．3.3D．3.412．小赵和小王约定在早上7:00至7:15之间到某公交站搭乘公交车去上学，已知在这段时间内，共有2班公交车到达该站，到站的时间分别为7:05，7:15，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为（）A ．13B ．49C ．59D ．23二、填空题13．已知实数]9[1x ∈，，执行如图所示的流程图，则输出的x 不小于55的概率为________．14．在[1,1]-上随机地取一个数k ，则事件“直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相离”发生的概率为_______。

陕西省西安市5校2023-2024学年高二上学期1月期末联考数学试卷(含解析)

陕西省西安市5校2023-2024学年高二上学期1月期末联考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．若,A. B.2．如图,在平行六面体中,若,则有序实数组( )A. B. C. D.A.始终过定点B.若，则或C.若，则或2D.当时，始终不过第三象限5．已知直线与圆,则圆C 上的点到直线l 的距离的最小值为( )6．过圆上的动点作圆的两条切线,两个切点之间的线段称为切点弦,则圆C 不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为( )(,5,21)A x x x --(1,2,2B x x +-191111ABCD A B C D -11D M xAB y AD z AA =++(,,)x y z =11(,,1)22-11(,,1)2211(1)22--,,11(1)22---,,2l 21,33⎛⎫⎪⎝⎭12//l l 1a =3-12l l ⊥0a =0a >1l :60l x y -+=22:(1)(1)8C x y -+-=2264x y +=22:16C x y +=A. B. C. D.7．已知椭圆,则下列关于椭圆C 的说法正确的是( )C.长轴长为4D.椭圆C 上的点的横坐标取值范围为8．意大利数学家斐波那契在1202年所著的《算盘全书》中,记载有数列,.若将数列的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列,则数列的前100项和为( )A.100B.99C.67D.669．设数列的前n 项和为,则“对任意,”是“数列为递增数列”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不是充分也不是必要条件10．已知,函数,若在上是单调减函数,则a 的取值范围是( )A. B. C.D.11．设点P 在曲线上,点Q 在曲线A. C.二、多项选择题12．若函数,则( )A.函数只有极大值没有极小值 B.函数只有最大值没有最小值C.函数只有极小值没有极大值D.函数只有最小值没有最大值三、填空题13．圆的圆心到直线的距离____________.14．已知N 为抛物线上的任意一点,M 为圆上的一点,,则4π6π8π12π22:143x y C +=)5,0±[]1,1-{}12:1n F F F ==()123n n n F F F n --=+≥{}n F {}n a {}n a {}n a n S *n ∈N 0n a >{}n S 0a ≥()()22x f x x ax e =-()f x []1,1-30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10,2⎛⎫⎪⎝⎭1e 12x y =⋅+ln(2y x =-2ln -ln 2)-2+ln ln 2)()e 23x f x x =-+()f x ()f x ()f x ()f x 22:2440C x y x y +--+=:43170l x y -+=d =24x y =()2254x y +-=()0,1A 2MN15．定义在R 上的奇函数的导函数满足,且,若,则不等式的解集为___________.四、双空题16．在四棱锥中,面,四边形为直角梯形,,,则平面与平面夹角的余弦值为__________,异面直线与的距离为___________．五、解答题17．如图,三棱柱的侧棱底面,,E 是棱上的动点,F 是的中点,,,．（1）当E 是棱的中点时,求证：平面;（2）在棱上是否存在点E ,使得二面角的长;若不存在,请说明理由．18．已知圆心为C 的圆经过点,.（1）求圆C 的标准方程;（2）已知在圆C 外,求a 的取值范围.19．如图1,已知抛物线的方程为,直线l 的方程为,直线l 交抛物线于,两点,O 为坐标原点.()f x ()()f x f x '<()()21f x f x +=-()2019e f =-()e x f x <P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD ABC BAD ∠=∠=4AD ==2AB BC ==PAB PCD PB CD 111ABC A B C -1AA ⊥ABC 90ACB ∠=︒1CC AB 1AC =2BC =14AA =1CC //CF 1AEB 1CC 1A EB --CE ()1,1A ()2,2,(0,2)B D -(),1P a τ2x y =1y kx =+τ()11,A x y ()22,B x y ()12x x <（1）若,求的面积的大小;（2）的大小是否是定值？证明你的结论;（3）如图2,过点A ,B 分别作抛物线的切线和（两切线交点为P ）,,分别与x 轴交于M ,N ,求面积的最小值.20．已知等差数列的公差为d ,等比数列的公比为q ,若,且,,,成等差数列．（1）求数列,的通项公式;（2）记,数列的前n 项和为,数列的前n 项和为,若对任意正整数n ,恒成立,求实数m 的取值范围．21．已知函数．（1）求函数的单调区间与极值;（2）求函数在区间上的最值．0k =AOB △AOB ∠AP BP AP BP MNP △{}n a {}n b 2d q ==1a 1b 2a 2b {}n a {}n b n n b c a ={}n c n S 11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n T 99(21)n n S n T m ≥++()2()e 61x f x x x =-+()f x ()f x [0,6]参考答案1．答案：C解析：因为, ,所以,当故选：C.2．答案：C解析：由题意得,结合可得,故,故选：C.3．答案：B 解析：如图所示：先固定D 不动，分别作D 关于和的对称点，，连接，设分别与和交于点，利用几何关系可知与的交点即为三角形的垂心O ，从而，，即，(,5,21)A x x x --(1,2,2)B x x +-()1,23,33AB x x x =---+=87x =1111()()2D M AM AD AB AD AA AD =-=+-+11122AB AD AA =--11D M xAB y AD z AA =++ 11,,122x y z ==-=-11(1)22(,,)x y z -=-,,AC BC 1D 2D 12D D 12D D AC BC EF CD BE ABC BO AC ⊥ AO BC ⊥ 0BO AC ⋅= 0AO BC ⋅=解析：，，，即始终过定点，故A 正确.若，当则与重合，故B 错误.或，故C 正确.当时，直线始终过点，斜率为负，不会过第三象限，故D 正确.故选：B.5．答案：B解析：圆, 圆心为,半径圆心到直线的距离为,直线和圆相离,故圆C 上的点到直线l 的距离的最小值为故选:B.6．答案：A解析：设圆的动点为,过P 作圆C 的切线,切点分别为A ,B ,()2:2310l ax a y ---=(2)310a x y y -+-=2021(,31033x y y -=⎧⇒⎨-=⎩2l 21,33⎛⎫⎪⎝⎭12//l l 1a =1l 2l 1(32)00a a a a ⨯+⨯-=⇒= 2a =0a >11:1l y x a=-+()0,122:(1)(1)8C x y -+-=(1,1)C r =d r ==>d r -==2264x y +=(),P m n则过P ,A ,B 的圆是以直径的圆,该圆的方程为：.由可得的直线方程为：.原点到直线,故圆C不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为,故选：A.7．答案：C,可知,,所以由方程可知,焦点在x 轴上,故焦点坐标为,故B 错误;长轴长为,故C 正确;因焦点在x 轴上,所以椭圆C 上的点的横坐标的取值范围是,即为,故D 错误.故选：C.8．答案：C解析：因为数列中的奇数除以2所得的余数都是1,偶数除以2所得的余数都是0,因为,且,所以为奇数,为奇数,为偶数,为奇数,为奇数,为偶数,,为奇数,为奇数,为偶数,为奇数,,所以,,,,,,,,,,,,所以数列是周期数列,周期为3,所以数列的前100项和为：.PO ()()0x x m y y n -+-=()()22160x y x x m y y n ⎧+=⎪⎨-+-=⎪⎩AB 16mx ny +=mx ny +=24π213y +=2a =b =1=c e a ==()1,0±24a =[,]a a -[2],2-{}n F 121F F ==()122n n n F F F n --=+≥1F 2F 3F 4F 5F F 6 97F 98F 99F 100F 11a =21a =30a =41a =51a =60a = 971a =981a =990a =1001a = {}n a {}n a 123133()33(110)167a a a a +++=+++=故选：C.9．答案：A解析：数列中,对任意,,则,所以数列为递增数列,充分性成立;当数列为递增数列时,,即,所以,,如数列-1,2,2,2,,不满足题意,必要性不成立;所以“对任意,”是“数列为递增数列”的充分不必要条件.故选：A.10．答案：C解析：因为所以因为在上是单调减函数所以即所以当时,恒成立当时,令{}n a *n ∈N 0n a >11,2n n n n S S a S n --=+>≥{}n S {}n S 1,2n n S S n ->≥11n n n S a S --+>0n a >2n ≥ *n ∈N 0n a >{}n S ()()22xf x x ax e =-()()()2'222x xf x x a e x ax e =-+-()2222x e x x ax a =+--()f x []1,1-()()2'2220x f x e x x ax a =+--≤22220x x ax a +--≤()2221x x a x +≤+1x =-10-≤-1,1]（2221)x xa x +≥+（()21121)x a x +-≥+（()()111221a x x ≥+-+()()112g x x =+-()()112g x x =+-在上为增函数,所以即所以选：C.11．答案：B解析：函数与函数互为反函数,函数与函数的图象关于直线对称,的最短距离的2倍,设曲线上斜率为1的切线为,得,即切点为,,切线到直线的距离P ,Q 两点间的最短距离为．故选：B．12．答案：CD解析：,单调递增,由,则,,;,,,函数有唯一极小值,即最小值,没有极大值、最大值.故选：CD.13．答案：3解析：由已知可得圆的标准方程为,圆心为,(1,1]-()()max 314g x g ==34a ≥1e 12x y =+ln(22)y x =-∴1e 12xy =+ln(22)y x =-y x =y x =1e 12x y =+y x b =+1e 2x y '=1x =ln 2x =()ln 2,2∴2ln 2b =-∴2ln 2y x =+-y x =d ∴)22ln2d =-()e 2x f x '=-()0ln 2f x x '=⇒=(),ln 2x ∈-∞()0f x '<()f x ]()ln 2,x ∈+∞()0f x '>()f x Z ∴()f x ()()22121x y -+-=()1,2所以圆心到直线的距离,故答案为：3.14．答案：解析：根据题意可得抛物线与圆都关于y 轴对称,且圆的圆心坐标为,半径为2.因为,圆下方与y 轴交点坐标为,取线段中点E ,中点D ,可得,连接,,画出示意图如上图所示.因为C 、E 分别为和的中点,所以,所以,所以当且仅当D 、M 、N 三点共线时取到等号,此时M点为线段与圆的交点.因为N为抛物线上的任意一点,设,,因为,当1535d =24x y =()2254x y +-=()2254x y +-=()0,5B ()0,1A ()2254x y +-=()0,3C AM BC ()0,4D MD CE DN AB AM //CE 112BM =ACE MBD ∠=∠ACE =△△()2MN MA MN MD +=+≥DN 24x y =()N m 0m ≥()0,4D ==2m ==故答案为：15．答案：解析：令,所以在R 上递减,又,则即,所以是以4为周期周期函数,又,则,所以,则,所以不等式的解集为,故答案为：.解析：第一空,⊥面,,面,,．又,,,两两垂直．以A 为原点,所在直线为x 轴,所在直线为y 轴,所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,如图所示,的()1,+∞()g x =()()()0ex f x f x g x '-'=<()g x ()()21f x f x +=-()2f x +=()()()142f x f x f x +=-=+()f x ()()()201911e f f f =-=-=-()1e f =()()()()1111e ex f x f g x g =<==1x >()e x f x <()1,+∞()1,+∞PA ABCD AB AD ⊂ABCD ∴PA AB ⊥PA AD ⊥ BAD ∠=BA AD ⊥∴PA AB AD ∴AB AD AP则,,,,,,,,,设,分别为平面与平面的法向量,则,即,令,取,,即,令,取,则设平面与平面的夹角为,则平面与平面第二空,如图,取中点M ,连接,,,,四边形为平行四边形,,面,面,面,与的距离为到面的距离,即点C 到面的距离．设点C 到面的距离为h ,()0,0,0A ()2,0,0B ()2,2,0C ()0,4,0D ()0,0,4P ()0,0,4PA =- ()2,0,4PB =- ()2,2,4PC =-()0,4,4PD =- ()111,,x n y z = ()222,,m x y z = PAB PCD 00n PA n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 11140240z x z -=⎧⎨-=⎩11y =()0,1,0n = 00m PC m PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 222222240440x y z y z +-=⎧⎨-=⎩21z =()1,1,1m = cos n m ⋅= PAB PCD θcos θ=∴PAB AD BM PM //BC MD BC MD =∴BCDM //CD BM ∴BM ⊂ PBM CD ⊄PBM //CD ∴PBM PB ∴CD CD PBM PBM PBM,,由,,解得,异面直线与17．答案：（1）证明见解析;（2）存在,.解析：（1）证明：取的中点G ,连接、．、G 分别是、的中点,且,在三棱柱中,且,为中点,则且,且,所以,四边形为平行四边形,则,平面,平面,平面;（2）以C 为坐标原点,射线、、分别为x 轴、y 轴、z 轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系,的12222BCM S =⨯⨯=△162PBM S =⨯=△P BCM C PBM V V --=12463h ⨯=⨯43h =∴PB 1CE =1AB EG FG F AB 1AB 1//FG BB ∴112FG BB =111ABC A B C -11//BB CC 11BB CC =E 1CC 1//CE BB 112CE BB =//CE FG ∴CE FG =FGEC //CF EG CF ⊄ 1AEB EG ⊂1AEB //CF ∴1AEB CA CB 1CC C xyz -则、、,,设,平面的一个法向量为,则,由,得,令,可得,易得平面的一个法向量为,二面角,即整理得,,解得.因此,在棱上存在点E,使得二面角．18．答案：（1）;（2）.解析：（1）设圆C 的标准方程为：,代入,,,得,解得：,()0,0,0C ()1,0,0A ()10,2,4B ()11,2,4AB =- ()()0,0,04E m m ≤≤1AEB ()1,,n x y z = ()1,0,AE m =- 11100n AB n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 2400x y z x mz -++=⎧⎨-+=⎩2z =()12,4,2n m m =- 1EBB ()21,0,0n = 1A EB --121212cos ,n n n n n n ⋅=<>==⋅ 23250m m +-=04m ≤≤ 1m =1CC 1A EB --1=22(3)(2)25x y +++=(,7)(1,)-∞-+∞ 222()()(0)x a y b R R -+-=>()1,1A ()2,2B -(0,2)D ()()()()()()22222222211222a b R a b R a b R ⎧-+-=⎪⎪-+--=⎨⎪-+-=⎪⎩325a b R =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以圆C 的标准方程为：;（2）因为在圆C 外,所以,又因为,,解得或,所以a 的取值范围为：.19．答案：（1）1（2）见解析解析：（1）当时,直线l 的方程为,由解得,,,所以.（2）由（1）中发现等腰直角三角形,猜测.证明：,得,即,,所以,所以为定值.（3）,,对函数求导得到,所以方程为,整理得,同理方程为,分别令得到,,,解得,为22(3)(2)25x y +++=(),1P a ||5PC R >=(3,2)C --||PC =5>1a >7a <-(,7)(1,)-∞-+∞ 0k =1y =21x y y ⎧=⎨=⎩1y =11x =-21x =△211⨯=AOB △90AOB ∠=︒2212121212OA OB x x y y x x x x ⋅=+=+ 21y kx y x=+⎧⎨=⎩210x kx --=121x x =-240k ∆=+>110OA OB ⋅=-+= 90AOB ∠=︒()211,A x x ()222,B x x 2y x =2y x '=AP ()21112y x x x x -=-2112y x x x =-BP 2222y x x x =-0y =1,02x M ⎛⎫ ⎪⎝⎭2,02x N ⎛⎫ ⎪⎝⎭21122222y x x x y x x x ⎧=-⎨=-⎩1212,2x x P x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭由第（2）小题,,得到,所以所以20．答案：（1）,（2）解析：（1）因为,,成等差数列,所以①,又因为,,成等差数列,所以,得②,由①②得,．所以,.（2）,..令,则,则,所以,当时,,当时,所以的最小值为.又恒成立,所以,．21．答案：（1）单调递增区间是,,单调递减区间是,极大值是,极小值是（2）最大值为,最小值为．解析：（1）．令,得或;令,得,所以的单调递增区间是,单调递减区间是．210x kx --=12121x x k x x +=⎧⎨=-⎩12121244x x x x S x x --===≥△21n a n =-2nn b =376m ≤-1a 1b 2a 11112d b a a =+=+1b 2a 2b 1221322b b a b +==11322a b +=11a =12b =21n a n =-2n n b =221n n b a =⨯-()2322222224n n n S n n +=++++-=-- 111111(21)(21)22121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭111111111123352121221n T n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭ 99(2 1) n n n S n T A =-+22249921004n n n A n n n ++=---=--()32212100(1)210021004225n n n n n n A A n n ++++-=-+-+=-=-4n ≤1<n n A A +5n ≥1>n n A A +n A 75210054376A =-⨯-=-99(21)n n m S n T ≤-+376m ≤-(,1)-∞-(5,)+∞(1,5)-18e -54e -6e 54e -()2()e 45e (5)(1)x x f x x x x x =--=-+'()0f x '>1x <-5x >()0f x '<15x -<<()f x (,1),(5,)-∞-+∞(1,5)-所以的极大值是,的极小值是．（2）因为,由（1）知,在区间上,有极小值,所以函数在区间上的最大值为,最小值为．()f x 1(1)8e f --=()f x 5(5)4e f =-6(0)1,(6)e f f ==[0,6]()f x 5(5)4e f =-()f x [0,6]6e 54e -。

黑龙江省龙东地区五校2023-2024学年高二上学期期末联考数学试卷

0,b
0) 经过点 P
2,
6 ，直线 y
2x 是双曲线 C 的一
条渐近线.
(1)求双曲线 C 的方程；
(2)设圆 O : x2 y 2 2 上一动点 M 处的切线交双曲线 C 于 A, B 两点，试判断 MA MB 是否
为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.
试卷第 4页，共 5页
黑龙江省龙东地区五校 2023-2024 学年高二上学期期末联考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知经过点 A4,1 和点 B 2,3 的直线的方向向量为 2, m ，则实数 m 的值为（）
A． 1
B． 1
C．1
D． 4
2．已知抛物线 x2 2 py( p 0) 上的点 P x0,3 到其焦点的距离为 5，则 p （）
A．1
B．2
C．4
3．设随机变量
X
B
3,
2 3
，则
D3X
1
（
）
A．2
B．3
C．6
D．8 D．7
4．希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统
偶尔或不网购经常网购合计
男性 40
60
100
女性 20
80
100
试卷第 3页，共 5页
合计 60
140
200
(1)依据小概率值 0.01的独立性检验，能否认为我市市民网购的情况与性别有关联？ (2)用分层抽样的方法，从偶尔或不网购和经常网购的市民中随机抽取 10 人，再从这 10 人中随机抽取 3 人赠送礼品，设其中经常网购的人数为 X ，求随机变量 X 的分布列和

2023-2024学年湖北省新高考联考协作体高二上学期期末考试数学试卷+答案解析

2023-2024学年湖北省新高考联考协作体高二上学期期末考试数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.抛物线的焦点坐标为()A.B.C.D.2.若等比数列的第2项和第6项分别为3和12，则的第4项为()A.4B.C.6D.3.两条平行直线与间的距离为()A. B.1C.D.4.假设，，且A 与B 相互独立，则()A.B.C.D.5.已知空间向量，则B 点到直线AC 的距离为()A. B.C.D.6.过内一点的2023条弦的弦长恰好可以构成一个公差为的等差数列，则公差d 的最大值为()A.B.C.D.7.已知椭圆，过右焦点F 作直线与椭圆C 交于A 、B 两点，以AB 为直径画圆，则该圆与直线的位置关系为()A.相交B.相切C.相离D.不确定8.如图，在空间直角坐标系中，正四棱柱的底面边长为4，高为2，O 为上底面中心，E ，F ，G 分别为棱AD 、AB 、的中点.若平面OEF 与平面OBG 的交线为l ，则l 的方向向量可以是()A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.若数列的前n项和为，则下列命题正确的是()A.数列为等差数列B.数列为单调递增数列C.数列为单调递增数列D.数列为等差数列10.已知点和，过P点的两条直线分别与相切于A，B两点，则以下命题正确的是()A.B.C.P、A、Q、B均在圆上D.A，B所在直线方程为11.在棱长为2的正方体中，点P满足，、，则()A.当时，点P到平面的距离为B.当时，点P到平面的距离为C.当时，存在点P，使得D.当时，存在点P，使得平面PCD12.已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线C上两点A，B关于坐标原点对称，点P为双曲线C右支上一动点，记直线PA，PB的斜率分别为，，若，则下列说法正确的是()A.B.若，则的面积为C.若，则的内切圆半径为D.以为直径的圆与圆相切三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高二数学第一学期期末联考高二数学试题

第一学期期末联考高二数学试题一、选择题（每题5分；共60分）1、过点A （2；3）且与直线20x y --=垂直的直线方程是A. 10x y -+=B. 50x y ++=C. 50x y --=D. 50x y +-= 2、若,αβ是空间的两个不同平面；则它们公共点的个数是3、圆22(2)5x y ++=关于原点（0；0）对称的圆的方程为A. 22(2)5x y -+=B. 22(2)5x y +-=C. 22(2)(2)5x y +++=D. 22(2)5x y ++=4、以椭圆221169x y +=的焦点为顶点；顶点为焦点的双曲线方程是 A.221169x y -= B. 221916x y -= C. 22179x y -= D. 22179y x -= 5、若2221(0)x y a a-=>双曲线的一条准线方程为32x =；则该双曲线的离心率为A.2 B. 32 C. 2 D. 36、若正三角形的一个顶点位于坐标原点；另外两个顶点在抛物线22(0)y px p =>上；则这个正三角形的面积是A.2B. 2C. 248p D. 236p7、已知,m n 是两个不同的直线；,αβ是两个不同的平面；给出下列四个命题（1）若m ∥α；n ∥α；则m ∥n （2）若m ∥α；n ⊥α；则m ⊥n （3）若m ⊥n ；m ⊥α；则n ∥α （4）若m ⊂α；n ⊂β；m ∥n 则α∥β 其中真命题的个数是8、如如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图；A 、B 、C 是展开图上的三点；则在正方体盒子中；∠ABC 的值为 A.180 B. 120 C.60 D.459、设M 为平面上以A （4；1）；B （－1；－6）；C （－3；2）为顶点的三角形区域（包括边界）；则43z x y =-在M 上的最大值和最小值分别是A.14；－18B.－14；－18C.18；14D.18；－1410、设12,F F 是椭圆2214x y +=的两个焦点；点P 在椭圆上；且12F PF ∆的面积为1；则12PF PF ⋅的值是A.1B.0C.1211、如图；在正方体1111ABCD A BC D -中；P 是侧面11BB C C 内一个动点；若P 到直线BC 与直线11C D的距离相等；则动点P 的轨迹所在的曲线是12、设2()2f x x =-；若0,()()a b f a f b <<=；则ab 的取值范围是A.(0,2)B. (0,2]C. (0,4]D. 二、填空题（每题4分；共24分）13、不等式11x +>的解集为 .14、双曲线221169x y -=的渐近线方程为 . 15、在正方体1111ABCD A BC D -各表面的对角线中；与体对角线垂直的面对角线共有条16、若抛物线的顶点在原点；对称轴为y 轴；焦点在直线2120x y ++=上；则抛物线的方程为 .17、如图；长方体1111ABCD A BC D -中；12,1A A AB AD ===；点E 、F 、G 分别是11,,DD AB CC 的中点；则异面直线1A E 与GF 所成的角的大小为CBACABCDA1B1C1D1EGF18、直线30mx ny +-=与圆223x y +=没有公共点；若以(,)m n 为的P 的坐标；则过点P的一条直线与椭圆22173x y +=的公共点有个三、解答题（共66分）19、（本题12分）已知以（2；－1）为圆心的圆C 与直线30x y ++=相切求（1）圆C 的方程（2）x 轴被圆C 所截得的弦长20、（本题12分）如图；在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中；E 、F 分别是棱11,AA CC 的中点（1）求点E 到面对角线BD 的距离（2）求证：四边形1BED F 是菱形21（本题14分）如图；已知点P 是边长为1的正方体ABCD 所在平面外一点；且PA ⊥面ABCD ；点E 为PD 中点（1）求证：PB ∥面EAC ；（2）求异面直线PB 与AC 所成角的取值范围22、已知椭圆C 的中心在原点；焦点在x 轴上；离心率是12；且左顶点与右焦点F 的距离为3（1）求椭圆方程；（2）过点F 的直线交椭圆与A 、B 两点；A 、B 在右准线l 上的射影分别为M 、N ；求证：AN 与BM 的交点在x 轴上A B C D A1B1C1D1EFD23、（本题14分）已知定点A （－2；0）；B （2；0）；曲线E 上任意一点P 满足2PA PB -= (1)求曲线E 的方程；(2)延长PB 与曲线E 交于另一点Q ；求PQ 的最小值；（3）若直线l 的方程为1()2x a a =≤；延长PB 与曲线E 交于另一点Q ；如果存在某一位置；使得PQ 的中点R 在l 上的射影C 满足PC ⊥QC ；求a 的取值范围。

天一大联考2024届高二上数学期末检测模拟试题含解析

【解析】设点 A 与 B 的坐标，进而可表示 k1 与 k2 ，再结合两点在椭圆上，可得 k1 k2 的值.
【详解】设点 A x1, y1 与 B x2, y2 ，
则 x1 x2 1， y1 y2 n ，
2
2
y1 y2
所以 k1
y1 y2 x1 x2
，
k2
n 1
2 x1 x2
8、C
【解析】求出导函数，判断导数的正负，从而得出结论
【详解】 f (x) ln x 1，
0 x 1 时， f (x) 0 ， f (x) 递减， x 1 时， f (x) 0 ， f (x) 递增，
e
e
而
f
1 e
ln
1 e
1
0，
所以切线斜率可能为正数，也可能为负数，还可以为 0，
则倾斜角可为锐角，也可为钝角，还可以为 0 ，
19．（12 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形， AD//BC ， ADC 90 ，平面 PAD 底面 ABCD， Q 为 AD 的中点， M 是棱 PC 上的点， PA PD 2 ， BC 1 AD 1， CD 3 .
2
（1）求证：平面 MQB 平面 PAD ；（2）若 PM 3PC ，求异面直线 AP 与 BM 所成角余弦值；（3）在线段 PC 上是否存在一点 M ，使二面角 M BQ C 大小为 30 ?若存在，请指出点 M 的位置，若不存在，
1．直线
AB 过椭圆
x2 4
y2 2
1内一点 P1, n ，若点 P 为弦
AB 的中点，设 k1 为直线
AB 的斜率，k2 为直线 OP 的斜
率，则 k1 k2 的值为（）

高二数学第一学期期末模拟卷

第2题高二数学第一学期期末模拟卷（一）一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1.抛物线22y x =的焦点坐标是．2．下面的流程图判断框中应填入，可以计算2222246100++++．3.命题“x x R x 21,2≥+∈∀”的否定是．4.“a>2”是“方程x 2a+1 + y 22-a=1 表示的曲线是双曲线”的条件(填“充分不必要，.必要不充分，充要条件，既不充分也不必要”).5. 已知变量x 与变量y 之间的一组数据如表，则y 与x 的线性回归方程y=b x +a 必过点 .6.甲、乙两个总体各抽取一个样本，若甲样本均值为15，乙样本均值为17，甲样本方差为3，乙样本方差为２，则总体 (填写“甲”或“乙”)波动小．7.如果质点A 的位移S 与时间t 满足方程32S t =(位移单位:米，时间单位:秒),则质点在3t =时的瞬时速度为米/秒.8.从[0，1]之间选出两个数，这两个数的平方和大于1的概率是 . 9. 设函数()1x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P,则实数a 的取值范围是 .10.已知一纸箱内装有某种矿泉水12瓶，其中有2瓶不合格，若质检人员从该纸箱内随机抽出2瓶，则检测到不合格产品的事件概率是 .11.中心在原点,长轴长为8,准线方程为8x =±的椭圆标准方程为． 12．设点P 是曲线)0(ln 2>-=x x x y 上的任意一点，则点P 到直线2:-=x y l 距离的最小值是 .13. P 是双曲线22x y 1916－＝的右支上一点，M 、N 分别是圆（x ＋5）2＋y 2＝4和（x －5）2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为 . 14.有如下四个命题：命题①：方程221(0)mx ny m n +=>>表示焦点在x 轴上的椭圆；命题②：20a b +=是直线230ax y ++=和直线20x by ++=互相垂直的充要条件；命题③：方程221(0)mx ny m n -=>>的双曲线；命题④：“全等三角形的面积相等”的否命题.其中真命题的序号是 .（写出所有真命题的序号）二．解答题：本大题共6小题，每小题15分,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0）。

第一学期期末联考高二数学试题

第一学期期末联考高二数学试题一、选择题〔每题5分,共60分〕1、过点A 〔2,3〕且与直线20x y --=垂直的直线方程是A. 10x y -+=B. 50x y ++=C. 50x y --=D. 50x y +-= 2、假设,αβ是空间的两个不同平面,那么它们公共点的个数是 A.只能是0个 B.0或1个 C.无数个 D.0或无数个 3、圆22(2)5x y ++=关于原点〔0,0〕对称的圆的方程为A. 22(2)5x y -+= B. 22(2)5x y +-= C. 22(2)(2)5x y +++= D. 22(2)5x y ++=4、以椭圆221169x y +=的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线方程是 A.221169x y -= B. 221916x y -= C. 22179x y -= D. 22179y x -= 5、假设2221(0)x y a a -=>双曲线的一条准线方程为32x =,那么该双曲线的离心率为B. 32C. D. 6、假设正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线22(0)y px p =>上,那么这个正三角形的面积是A.2B. 2C. 248pD. 236p7、,m n 是两个不同的直线,,αβ是两个不同的平面,给出以下四个命题〔1〕假设m ∥α,n ∥α,那么m ∥n 〔2〕假设m ∥α,n ⊥α,那么m ⊥n 〔3〕假设m ⊥n ,m ⊥α,那么n ∥α 〔4〕假设m ⊂α,n ⊂β,m ∥n 那么α∥β 其中真命题的个数是A.0个B.1个C.2个D.3个8、如如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图,A 、B 、C 是展开图上的三点,那么在正方体盒子中,∠ABC 的值为 A.180 B.120 C. 60 D. 45 9、设M 为平面上以A 〔4,1〕,B 〔－1,－6〕,C 〔－3,2〕为顶点的三角形区域〔包括边界〕,那么43z x y =-在M 上的最大值和最小值分别是A.14,－18B.－14,－18C.18,14D.18,－1410、设12,F F 是椭圆2214x y +=的两个焦点,点P 在椭圆上,且12F PF ∆的面积为1,那么12PF PF ⋅的值是A.1B.0C.12D.211、如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,P 是侧面11BB C C 内一个动点,假设P 到直线BC 与直线11C D的距离相等,那么动点P 的轨迹所在的曲线是 A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线12、设2()2f x x =-,假设0,()()a b f a f b <<=,那么ab 的取值范围是 A.(0,2) B. (0,2] C. (0,4]D. 二、填空题〔每题4分,共24分〕13、不等式11x +>的解集为 .14、双曲线221169x y -=的渐近线方程为 . 15、在正方体1111ABCD A B C D -各外表的对角线中,与体对角线垂直的面对角线共有条16、假设抛物线的顶点在原点,对称轴为y 轴,焦点在直线2120x y ++=上,那么抛物线的方程为 .17、如图,长方体1111ABCD A B C D -中,12,1A A AB AD ===, 点E 、F 、G 分别是11,,DD AB CC 的中点,那么异面直线1A E 与GF 所成的角的大小为CBACABCDA1B1C1D1EGF18、直线30mx ny +-=与圆223x y +=没有公共点,假设以(,)m n 为的P 的坐标,那么过点P 的一条直线与椭圆22173x y +=的公共点有个三、解做题〔共66分〕19、〔此题12分〕以〔2,－1〕为圆心的圆C 与直线30x y ++=相切求〔1〕圆C 的方程〔2〕x 轴被圆C 所截得的弦长20、〔此题12分〕如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,E 、F 分别是棱11,AA CC 的中点〔1〕求点E 到面对角线BD 的距离〔2〕求证：四边形1BED F 是菱形21〔此题14分〕如图,点P 是边长为1的正方体ABCD 所在平面外一点,且PA ⊥面ABCD,点E 为PD 中点〔1〕求证：PB ∥面EAC ；〔2〕求异面直线PB 与AC 所成角的取值范围22、椭圆C 的中央在原点,焦点在x 轴上,离心率是12,且左顶点与右焦点F 的距离为3 〔1〕求椭圆方程；〔2〕过点F 的直线交椭圆与A 、B 两点,A 、B 在右准线l 上的射影分别为M 、N,求证：AN与BM 的交点在x 轴上23、〔此题14分〕定点A 〔－2,0〕,B 〔2,0〕,曲线E 上任意一点P 满足2PA PB -=A B C D A1B1C1D1EFD(1)求曲线E的方程；(2)延长PB与曲线E交于另一点Q,求PQ的最小值；〔3〕假设直线l的方程为1()2x a a=≤,延长PB与曲线E交于另一点Q,如果存在某一位置,使得PQ的中点R在l上的射影C满足PC⊥QC,求a的取值范围。

广东省部分学校2024-2025学年高二上学期第一次联考数学试卷(含答案解析)

广东省部分学校2024-2025学年高二上学期第一次联考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知()()2,1,3,1,1,1a b =-=- ，若()a a b λ⊥-，则实数λ的值为（）A ．2-B ．143-C ．73D ．22．P 是被长为1的正方体1111ABCD A B C D -的底面1111D C B A 上一点，则1PA PC ⋅的取值范围是（）A ．11,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．11,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦3．已知向量()4,3,2a =- ，()2,1,1b = ，则a 在向量b上的投影向量为（）A ．333,,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．333,,244⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．333,,422⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()4,2,24．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA ，1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()102A G λλ=<<，则点G 到平面1D EF 的距离为（）AB C ．3D 5．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为平行四边形，,M N 分别为棱,BC PD 上的点，13CM CB =，PN ND =，设AB a =，AD b =，AP c = ，则向量MN 用{},,a b c 为基底表示为（）A ．1132a b c++B ．1162a b c-++C ．1132a b c -+D ．1162a b c--+ 6．在四面体OABC 中，空间的一点M 满足1146OM OA OC λ=++ ．若,,MA MB MC共面，则λ=（）A ．12B ．13C ．512D ．7127．已知向量()()1,21,0,2,,a t t b t t =--=，则b a - 的最小值为（）AB C D8．“长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日.小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球O ）.如图：已知粽子三棱锥P ABC -中，PA PB AB AC BC ====，H 、I 、J 分别为所在棱中点，D 、E 分别为所在棱靠近P 端的三等分点，小玮同学切开后发现，沿平面CDE 或平面HIJ 切开后，截面中均恰好看不见肉馅.则肉馅与整个粽子体积的比为（）.A ．π9B ．π18C ．π27D ．π54二、多选题9．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点，F 为11A D 的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（）A ．13DB =B ．向量AE 与1AC uuu r 所成角的余弦值为5C ．平面AEF 的一个法向量是()4,1,2-D ．点D 到平面AEF 10．在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB AA =，点P 满足][1([0,1,0,])1BP BC BB λμλμ=+∈∈，则下列说法正确的是（）A ．当1λ=时，点P 在棱1BB 上B ．当1μ=时，点P 到平面ABC 的距离为定值C ．当12λ=时，点P 在以11,BC B C 的中点为端点的线段上D ．当11,2λμ==时，1A B ⊥平面1AB P 11．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达・芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（）A ．122CG AB AA =+ B ．直线CQ 与平面1111D C B A 所成角的正弦值为23C ．点1C 到直线CQ 的距离是3D ．异面直线CQ 与BD 三、填空题12．正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点．在直线1CC 上求一点N ，当CN 的长为时，使1⊥MN AB ．13．四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且1PD =，3AB =，G 是ABC V 的重心，则PG 与平面PAD 所成角θ的正弦值为.14．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮那，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形.若25m AB =，10m BC =，且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面与平面ABCD 的夹角的正切值均为5，则该五面体的所有棱长之和为.四、解答题15．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AB 上移动.(1)当点E 在棱AB 的中点时，求平面1D EC 与平面1DCD 所成的夹角的余弦值；(2)当AE 为何值时，直线1A D 与平面1D EC 所成角的正弦值最小，并求出最小值.16．如图所示，直三棱柱11ABC A B C -中，11,92,0,,CA CB BCA AA M N ︒==∠==分别是111,A B A A 的中点．(1)求BN 的长；(2)求11cos ,BA CB的值．(3)求证：BN ⊥平面1C MN ．17．如图，在四棱维P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==(1)求直线PB 与平面PCD 所成角的正切值；(2)在PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由．18．如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，点M ，N 分别是边BC ，CD 的中点，1AC BD O ⋂=，AC MN G ⋂=．沿MN 将CMN 翻折到PMN 的位置，连接PA ，PB ，PD ，得到如图2所示的五棱锥P ABMND -．(1)在翻折过程中是否总有平面PBD ⊥平面PAG ？证明你的结论；(2)若平面PMN ⊥平面MNDB ，线段PA 上是否存在一点Q ，使得平面QDN 与平面PMN 所成Q 的位置；若不存在，请说明理由．19．如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，PA ⊥平面,60ABCD ABC ∠= ，11,,2PA AB E F ==分别是线段BD 和PC 上的动点，且()01BE PFBD PC λλ==<≤．(1)求证：//EF 平面PAB ；(2)求直线DF 与平面PBC 所成角的正弦值的最大值；(3)若直线AE与线段BC交于M点，AH PM于点H，求线段CH长的最小值．参考答案：题号12345678910答案C BADDDCBBCDBCD题号11答案BC1．C【分析】利用两个向量垂直的性质，数量积公式即求得λ的值．【详解】向量()()2,1,3,1,1,1a b =-=-若()a a b λ⊥-，则2()(419)(213)0a a b a a b λλλ⋅-=-⋅=++-++=，73λ∴=．故选：C ．2．B【分析】建立空间直角坐标系，写出各点坐标，同时设点P 的坐标为(),,x y z ，用坐标运算计算出1PA PC ⋅，配方后可得其最大值和最小值，即得其取值范围．【详解】如图，以点D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则1,0,0，()10,1,1C ，设(),,P x y z ，01x ≤≤，01y ≤≤，1z =，()1,,1PA x y ∴=--- ，()1,1,0PC x y =--，()()2222111111222PA PC x x y y x x y y x y ⎛⎫⎛⎫∴⋅=----=-+-=-+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当12x y ==时，1PA PC ⋅ 取得最小值12-，当0x =或1，0y =或1时，1PA PC ⋅取得最大值0，所以1PA PC ⋅ 的取值范围是1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：B.3．A【分析】根据投影向量公式计算可得答案.【详解】向量a 在向量b上的投影向量为()()()2242312333cos ,2,1,12,1,13,,222b a b a a b b b b ⋅⨯+⨯-⎛⎫⋅⋅=⋅=⋅== ⎪⎝⎭r r rr r r r r r .故选：A.4．D【分析】建立空间直角坐标系，由点到平面的距离公式计算即可．【详解】以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()2,,2G λ，()10,0,2D ，()2,0,1E ，()2,2,1F ，所以()12,0,1ED =- ，()0,2,0= EF ，()0,,1EG λ=．设平面1D EF 的法向量为(),,n x y z = ，则12020n ED x z n EF y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取1x =，得()1,0,2n =r，所以点G 到平面1D EF的距离为EG n d n ⋅== ，故选：D ．5．D【分析】利用空间向量的线性运算结合图形计算即可.【详解】由条件易知()11113232MN MC CD DN BC BA DP AD BA AP AD =++=++=++-()11113262b ac b a b c =-+-=--+.故选：D 6．D【分析】根据给定条件，利用空间向量的共面向量定理的推论列式计算即得.【详解】在四面体OABC 中，,,OA OB OC不共面，而1146OM OA OB OC λ=++ ，则由,,MA MB MC ，得11146λ++=，所以712λ=.故选：D 7．C【分析】计算出b a -=≥ .【详解】因为()()1,21,0,2,,a t t b t t =--=，所以b a -=当0t =时，等号成立，故ba -.故选：C.8．B【分析】设1PFCF ==，易知PA PB AB AC BC =====，且23FG =，设肉馅球半径为r ，CG x =，根据中点可知P 到CF 的距离4d r =，sin 4dPFC r PF∠==，根据三角形面积公式及内切圆半径公式可得1x =，结合余弦定理可得1cos 3PFC ∠=，进而可得3PC =，sin 3PFC ∠=，可得内切球半径且可知三棱锥为正三棱锥，再根据球的体积公式及三棱锥公式分别求体积及比值.【详解】如图所示，取AB 中点为F ，PF DE G ⋂=，为方便计算，不妨设1PF CF ==，由PA PB AB AC BC ====，可知3PA PB AB AC BC =====，又D 、E 分别为所在棱靠近P 端的三等分点，则2233FG PF ==，且AB PF ⊥，AB CF ⊥、PF CF F = ，PF ，CF ⊂平面PCF ，即AB ⊥平面PCF ，又AB ⊂平面ABC ，则平面PCF ⊥平面ABC ，设肉馅球半径为r ，CG x =，由于H 、I 、J 分别为所在棱中点，且沿平面HIJ 切开后，截面中均恰好看不见肉馅，则P 到CF 的距离4d r =，sin 4d PFC r PF∠==，12414233GFC r S r =⋅⋅⋅=△，又2132GFC rS x ⎛⎫=++⋅ ⎪⎝⎭ ，解得：1x =，故22241119cos 223213CF FG CG PFC CF FG +-+-∠===⋅⋅⋅⋅，又2222111cos 21132P PF CF PC PC F F C P F C +-+⋅-∠=⋅=⋅⋅，解得PC =，sin 3PFC ∠=，所以：4sin 31rPFC ∠==，解得6r =，343V r =π=球，由以上计算可知：P ABC -为正三棱锥，故111sin 4332ABC V S d AB AC BAC r =⋅⋅=⋅⋅⋅∠⋅粽11432332627=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=，=.故选：B.9．BCD【分析】先写出需要的点的坐标，然后利用空间向量分别计算每个选项即可.【详解】由题可知，2,0,0,()0,0,0D,()2,2,1E,()1,0,2F,()12,2,2B,()10,2,2C，所以1DB==A错误；()0,2,1AE=,()12,2,2AC=-，所以111·cos,AE ACAE ACAE AC=B正确；()0,2,1AE=,()1,0,2AF=-，记()4,1,2n=-，则0,0AE AFn n==，故,AE AFn n⊥⊥，因为AE AF A⋂=,,AE AF⊂平面AEF，所以()4,1,2n=-垂直于平面AEF，故选项C正确；B =2,0,0，所以点D到平面AEF的距离·21DA ndn===，故选项D正确；故选：BCD10．BCD【分析】对于A，由1CP BP BC BBμ==-即可判断；对于B，由[]11,0,1B P BP BB BCλλ=-=∈和11//B C平面ABC即可判断；对于C，分别取BC和11B C的中点D和E，由BP BD=+1BBμ即1DP BBμ=即可判断；对于D，先求证1A E⊥平面11BB C C，接着即可求证1B P⊥平面1A EB，进而即可求证1A B⊥平面1AB P.【详解】对于A，当1λ=时，[]1,0,1CP BP BC BBμμ=-=∈，又11CC BB=，所以1CP CCμ=即1//CP CC，又1CP CC C=，所以1C C P、、三点共线，故点P在1CC上，故A错误；对于B ，当1μ=时，[]11,0,1B P BP BB BC λλ=-=∈，又11B C BC =，所以111B P B C λ= 即111//B P B C ，又1111B B C P B = ，所以11B C P 、、三点共线，故点P 在棱11B C 上，由三棱柱性质可得11//B C 平面ABC ，所以点P 到平面ABC 的距离为定值，故B 正确；对于C ，当12λ=时，取BC 的中点11,D B C 的中点E ，所以1//DE BB 且1DE BB =，BP BD =+[]1,0,1BB μμ∈ ，即1DP BB μ= ，所以DP E D μ= 即//DP DE，又DP DE D ⋂=，所以D E P 、、三点共线，故P 在线段DE 上，故C 正确；对于D ，当11,2λμ==时，点P 为1CC 的中点，连接1,A E BE ，由题111A B C △为正三角形，所以111A E B C ⊥，又由正三棱柱性质可知11A E BB ⊥，因为1111BB B C B = ，111BB B C ⊂、平面11BB C C ，所以1A E ⊥平面11BB C C ，又1B P ⊂平面11BB C C ，所以11A E B P ⊥，因为1111B C BB CC ==，所以11B E C P =，又111π2BB E B C P ∠=∠=，所以111BB E B C P ≌，所以111B EB C PB ∠=∠，所以1111111π2PB C B EB PB C C PB ∠+∠=∠+∠=，设BE 与1B P 相交于点O ，则1π2B OE ∠=，即1BE B P ⊥，又1A E BE E = ，1A E BE ⊂、平面1A EB ，所以1B P ⊥平面1A EB ，因为1A B ⊂平面1A EB ，所以11B P A B ⊥，由正方形性质可知11A B AB ⊥，又111AB B P B = ，11B P AB ⊂、平面1AB P ，所以1A B ⊥平面1AB P ，故D 正确.故选：BCD.【点睛】思路点睛：对于求证1A B ⊥平面1AB P ，可先由111A E B C ⊥和11A E BB ⊥得1A E ⊥平面11BB C C ，从而得11A E B P ⊥，接着求证1BE B P ⊥得1B P ⊥平面1A EB ，进而11B P A B ⊥，再结合11A B AB ⊥即可得证1A B ⊥平面1AB P .11．BC【分析】A 选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到122AB AA CG +≠ ；B 选项，求出平面的法向量，利用线面角的夹角公式求出答案；C 选项，利用空间向量点到直线距离公式进行求解；D 选项，利用异面直线夹角公式进行求解.【详解】A 选项，以A 为坐标原点，1,,DA AB AA所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()()10,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,2,0,1,2,1,1,0A B A G Q C ----，()()()110,1,1,1,1,1,1,0,0B C D --，()()()10,2,2,0,1,0,0,0,1CG AB AA =-==，则()()()1220,2,00,0,20,2,2AB AA CG +=+=≠，A 错误；B 选项，平面1111D C B A 的法向量为()0,0,1m =，()()()0,1,21,1,01,2,2CQ =---=-，设直线CQ 与平面1111D C B A 所成角的大小为θ，则2sin cos ,3CQ m CQ m CQ m θ⋅===⋅，B 正确；C 选项，()10,0,1CC =，点1C 到直线CQ 的距离为3d ==，C 正确；D 选项，()()()1,0,00,1,01,1,0BD =--=--，设异面直线CQ 与BD 所成角大小为α，则cos cos ,6CQ BD CQ BD CQ BDα⋅=====⋅，D 错误.故选：BC 12．18/0.125【分析】根据正三柱性质建立空间直角坐标系，利用向量垂直的坐标表示可得结果.【详解】取11B C 的中点为1M ，连接1,MM AM ，由正三棱柱性质可得11,,AM MM BM MM AM BM ⊥⊥⊥，因此以M 为坐标原点，以1,,AMBM MM 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：易知()11,0,0,0,,2,0,0,022A B M ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设CN 的长为a ，且0a >，可得10,,2N a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；易知1110,,,,,2222MN a AB ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若1⊥MN AB ,则1112022MN AB a ⋅=-⨯+= ,解得18a =，所以当CN 的长为18时，使1⊥MN AB .故答案为：1813．23【分析】建立空间直角坐标系，求出平面PAD 的一个法向量m 及PG，由PG 与平面PAD 所成角θ，根据sin cos ,m PG m PG m PGθ⋅==⋅即可求解.【详解】因为PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，所以,,DA DC DP 两两垂直，以D 为坐标原点，,,DA DC DP的方向分别为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()0,0,1P ，()3,0,0A ，()3,3,0B ，()0,3,0C ，则重心()2,2,0G ，因而()2,2,1PG =- ，()3,0,0DA = ，()0,0,1DP =，设平面PAD 的一个法向量为(),,m x y z =，则300m DA x m DP z ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令1y =则()0,1,0m = ，则22sin cos ,133m PG m PG m PG θ⋅====⨯⋅，故答案为：23.14．117m【分析】先根据线面角的定义求得5tan tan EMO EGO ∠=∠，从而依次求EO ，EG ，EB ，EF ，再把所有棱长相加即可得解．【详解】如图，过E 做EO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，过E 分别做EG BC ⊥，EM AB ⊥，垂足分别为G ，M ，连接OG ，OM ，由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为EMO ∠和EGO ∠，所以5tan tan EMO EGO ∠=∠．因为EO ⊥平面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ，所以EO BC ⊥，因为EG BC ⊥，EO ，EG ⊂平面EOG ，EO EG E = ，所以⊥BC 平面EOG ，因为OG ⊂平面EOG ，所以BC OG ⊥，同理，OM BM ⊥，又BM BG ⊥，故四边形OMBG 是矩形，所以由10BC =得5OM =，所以EO 5OG =，所以在直角三角形EOG 中，EG =在直角三角形EBG 中，5BG OM ==，8EB ==，又因为55255515EF AB =--=--=，所有棱长之和为2252101548117⨯+⨯++⨯=．故答案为：117m15．(2)当2AE =时，直线1A D 与平面1D EC 【分析】（1）以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面1D EC 的一个法向量，平面1DCD 的一个法向量，利用向量法可求平面1D EC 与平面1DCD 所成的夹角的余弦值；（2）设AE m =，可求得平面1D EC 的一个法向量，直线的方向向量1DA，利用向量法可得sin θ=.【详解】（1）以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，当点E 在棱AB 的中点时，则1(0,0,1),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,0),(1,0,0)E C D A D ，则1(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)ED EC DA =--=-=，设平面1D EC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则1·0·0n ED x y z n EC x y ⎧=--+=⎪⎨=-+=⎪⎩ ，令1x =，则1,2y z ==，所以平面1D EC 的一个法向量为(1,1,2)n =，又平面1DCD 的一个法向量为(1,0,0)DA =，所以·cos ,·DA n DA n DA n=== 所以平面1D EC 与平面1DCD（2）设AE m =，则11(0,0,1),(1,,0),(0,2,0),(0,0,0),(1,0,1)E m C D A D ，则11(1,,1),(1,2,0),(02),(1,0,1)ED m EC m m DA =--=--≤≤=，设平面1D EC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则1·0·(2)0n ED x my z n EC x m y ⎧=--+=⎪⎨=-+-=⎪⎩ ，令1y =，则2,2x m z =-=，所以平面1D EC 的一个法向量为(2,1,2)n m =-，设直线1A D 与平面1D EC 所成的角为θ，则11||sin ||||n DA n DA θ===令4[2,4]m t -=∈，则sin θ=当2t =时，sin θ取得最小值，最小值为5.16．(2)10(3)证明见解析【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，根据空间两点间距离公式，即得答案；（2）根据空间向量的夹角公式，即可求得答案；（3）求出1C M ，1C N，BN 的坐标，根据空间位置关系的向量证明方法，结合线面垂直的判定定理，即可证明结论.【详解】（1）如图，建立以点O 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z轴的空间直角坐标系．依题意得(0,1,0),(1,0,1)B N ，∴BN == （2）依题意得，()()()()111,0,2,0,1,0,0,0,0,0,1,2A B C B ，∴1(1,1,2)BA =- ，1(0,1,2)CB =，113BA CB =⋅，1BA1CB所以11111cos ,BA CB BA CB BA CB ⋅=⋅（3）证明：()()()10,0,2,0,1,0,1,0,1C B N ，11,,222M ⎛⎫⎪⎝⎭．∴111,,022C M ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()11,0,1C N =- ，()1,1,1BN =-，∴1111(1)10022C M BN ⋅=⨯+⨯-+⨯= ，1110(1)(1)10C N BN ⋅=⨯+⨯-+-⨯=，∴1C M BN ⊥ ，1C N BN ⊥，即11,C M BN C N BN ⊥⊥，又1C M ⊂平面1C MN ，1C N ⊂平面1C MN ，111= C M C N C ，∴BN ⊥平面1C MN ．17．(2)存在点M ，使得//BM 平面PCD ，14AM AP =.【分析】（1）取AD 的中点为O ，连接,PO CO ，由面面垂直的性质定理证明⊥PO 平面ABCD ，建立空间直角坐标系求解直线PB 与平面PCD 所成角的正切值即可；（2）假设在PA 上存在点M ，使得()01PM PA λλ=≤≤，由线面平行，转化为平面的法向量与直线的方向向量垂直，求解参数即可.【详解】（1）取AD 的中点为O ，连接,PO CO ，因为PA PD =，所以PO AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以⊥PO 平面ABCD ，又AC CD =，所以CO AD ⊥，PA PD ⊥，2AD =，所以1PO =，AC CD ==2CO =，所以以O 为坐标原点，分别以,,OC OA OP 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，0,0,1，()2,0,0C ，()0,1,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0D -，所以()2,0,1PC =- ，()0,1,1PD =--，()1,1,1PB =- ，设平面PCD 的一个法向量为 =s s ，则00PC m PD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，200x z y z -=⎧⎨--=⎩，令1,x =则2,2z y ==-，所以()1,2,2m =-，设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，sin cos ,m PB m PB m PB θ⋅====，所以cos 3θ==，所以tan θ所以直线PB 与平面PCD所成角的正切值2.（2）在PA 上存在点M ，使得()01PM PA λλ=≤≤，所以()0,1,1PA =- ，所以()0,,PM PA λλλ==-，所以()0,,1M λλ-，所以()1,1,1BM λλ=---，因为//BM 平面PCD ，所以BM m ⊥ ，即()()121210λλ---+-=，解得34λ=，所以存在点M ，使得//BM 平面PCD ，此时14AM AP =.18．(1)总有平面PBD ⊥平面PAG ，证明详见解析(2)存在，Q 是PA 的靠近P 的三等分点，理由见解析.【分析】（1）通过证明BD ⊥平面PAG 来证得平面PBD ⊥平面PAG .（2）建立空间直角坐标系，利用平面QDN 与平面PMN 所成角的余弦值来列方程，从而求得Q 点的位置.【详解】（1）折叠前，因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，由于,M N 分别是边BC ，CD 的中点，所以//MN BD ，所以MN AC ⊥，折叠过程中，,,,,MN GP MN GA GP GA G GP GA ⊥⊥⋂=⊂平面PAG ，所以MN ⊥平面PAG ，所以BD ⊥平面PAG ，由于BD ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面PAG .（2）存在，理由如下：当平面PMN ⊥平面MNDB 时，由于平面PMN 平面MNDB MN =，GP ⊂平面PMN ，GP MN ⊥，所以GP ⊥平面MNDB ，由于AG ⊂平面MNDB ，所以GP AG ⊥，由此以G 为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，依题意可知())(),2,0,,0,1,0,P D B N PB --=- ()A，(PA = ，设()01PQ PA λλ=≤≤ ，则(()(),0,3,0,GQ GP PQ GP PA λ=+=+=+-= ，平面PMN 的法向量为()11,0,0n = ，()(),DQ DN ==，设平面QDN 的法向量为()2222,,n x y z = ，则()2222222200n DQ x y z n DN y ⎧⋅=-++=⎪⎨⎪⋅=+=⎩ ，故可设()21n λλ=--+ ，设平面QDN 与平面PMN 所成角为θ，由于平面QDN 与平面PMN所成角的余弦值为13，所以1212cos n n n n θ⋅==⋅解得13λ=,所以当Q 是PA 的靠近P 的三等分点时，平面QDN 与平面PMN 所成角的余弦值为13.19．(1)证明见解析(2)8(3)5【分析】（1）根据条件建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量证明线面关系即可；（2）利用空间向量研究线面夹角，结合二次函数的性质计算最大值即可；（3）设BM tBC = ，利用空间向量基本定理及三点共线的充要条件得出AH ，利用向量模长公式及导数研究函数的单调性计算最值即可.【详解】（1）由于四边形ABCD 是菱形，且60ABC ∠= ，取CD 中点G ，则AG CD ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，可以A 为中心建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()2,0,0,,,0,0,1,B C D P G -，所以()()()1,,2,0,1PC BD BP =-=-=- ，由()01BE PF BD PCλλ==<≤，可知,,BE BD PF PC EF EB BP PF BD BP PC λλλλ==∴=++=-++ ()42,0,1λλ=--，易知()AG = 是平面PAB 的一个法向量，显然0EF AG ⋅= ，且EF ⊄平面PAB ，即//EF 平面PAB；（2）由上可知()()()1,,DP PF DF λλλλ+==+-=+- ，设平面PBC 的一个法向量为(),,n x y z =r，则200n BP x z n PC x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令1x =，则2,3z y ==，2n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设直线DF 与平面PBC 所成角为α，则sin cos ,n DF n DF n DF α⋅==⋅ ，易知35λ=时，()2min 165655λλ-+=，即此时sin α取得最大值8；（3）设()(](),0,0,12,0BM t BC t t AM AB BM t ==-∈⇒=+=- ，由于,,H M P 共线，不妨设()1AH xAM x AP =+- ，易知AM AP ⊥，则有()()22010AH PM AH AM AP x AM x AP ⋅=⋅-=⇒--= ，所以22114451x t t AM ==-++ ，则()()2CH CA AH t x x =+=--- ，即()()2222454454655445t CH t t x t x t t --=-+-++=+-+ 记()(]()2450,1445t f t t t t --=∈-+，则()()()2228255445t t f t t t --+'=-+，易知22550t t -+>恒成立，所以()0f t '<，即()f t 单调递减，所以()()min 9155f t f CH ≥=-⇒==.。

【新结构】湖南省湘东九校2024年7月高二期末联考数学试题+答案解析

【新结构】湖南省湘东九校2024年7月高二期末联考数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合或，，则A.B. C.D.2.已知向量，，若，则实数A.2B.C.D.3.若为纯虚数，R ，则A. B. C.2 D.34.设为数列的前n 项和，若，则A.4B.C.8D.5.设，，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.如图，在中，，，，P 为内一点，且，则A. B.C. D.7.已知，为曲线C ：的焦点，则下列说法错误的是A.若，则曲线C 的离心率B.若，则曲线C 的离心率C.若曲线C 上恰有两个不同的点P ，使得，则D.若，则曲线C 上存在四个不同的点P ，使得8.已知函数，则与图象的所有交点的横坐标之和为A.0B.C.D.2二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列命题中正确的是()A.已知随机变量X服从二项分布，若，，则B.若随机变量，且，则C.一组数据1，3，5，7，9，11，13的第60百分位数为7D.若样本数据，，…，的平均数为3，则，，…，的平均数为1010.已知函数的部分图象如图中实线所示，图中圆C与的图象交于M，N两点，且M点在y轴上，则下列命题中正确的是A.函数的最小正周期是B.函数在上单调递减C.函数的图象向左平移个单位后关于直线对称D.若圆C的半径为，则11.已知正三棱柱的棱长均为2，M为棱上靠近点C的四等分点，N为棱AC的中点，则A.直线直线B.点N到平面的距离为C.平面平面D.以M为球心，2为半径的球面与该棱柱的棱公共点的个数为8三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在的展开式中，的系数是________.13.已知点为抛物线E：上一点，若抛物线E在点M处的切线恰好与圆C：相切，则________.14.若函数的四个零点成等差数列，则________.四、解答题：本题共5小题，共77分。

2022-2023学年度(上)高二数学期末模拟卷1答案及解析

2022-2023 学年第一学期期末模拟考试 1高二数学卷参考答案及解析1．A【分析】根据向量共线定理，结合空间向量线性关系的坐标关系列方程求参数，即可得结果.【详解】由题设，存在R λ∈使a b λ= ，则21239x y λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，可得163213x y λ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩，所以134623x y +=-=-.故选：A 2．C【分析】根据等差数列的前n 项和公式及等差数列性质:若m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+即可得到结果.【详解】解:由题知1122S =,即()1111161111222a a S a +===,62a ∴=,13961184a a a a a ∴+++==.故选:C 3．B【分析】F 为AC 中点，连接,PF EF ，根据中位线性质及线线角定义知,PE BC 夹角为PEF ∠或其补角，结合已知确定其余弦值，应用向量数量积的定义求PE BC ⋅即可.【详解】若F 为AC 中点，连接,PF EF ，又E 是棱AB 中点，所以//EF BC 且2BC EF =，故,PE BC 夹角为PEF ∠或其补角，因为正四面体-P ABC 各棱长为4，故四面体各面均为等边三角形，所以3PF PE ==2EF =，且cos 23PEF ∠=，而,PE BC为PEF ∠的补角，故||||cos 234423PE BC PE BC PEF ⋅=-⋅∠=-⨯⨯=- .故选：B 4．A【分析】根据题意和椭圆的定义可知：动点P 的轨迹是以12(2,0),(2,0)F F -为焦点，长轴长为8的椭圆，进而求解.【详解】因为12(2,0),(2,0)F F -，所以12=F F 4，又12F F 是1PF 与2PF 的等差中项，所以121228PF PF F F +==，则点P 到定点12F F ，的距离之和为8，（大于12=F F 4），所以动点P 的轨迹是以12(2,0),(2,0)F F -为焦点，1228a PF PF =+=，则4,2a c ==，22212b a c =-=，所以椭圆方程为：2211612x y +=，故选：A .5．C【分析】利用勾股定理列方程，求得球的半径，进而求得球的表面积.【详解】如图1，设棱台为1111ABCD A B C D -，如图2，该棱台外接球的球心为O ，半径为R ，上底面中心为1O ，下底面中心为2O ，则由题意121O O =，22AO =，111A O =，1OA OA R ==，当O 在12O O 下方时，设2OO h =，则在2AOO 中，有：224R h =+（1），在11A OO 中，有：()2211R h =++（2），联立（1）、（2）得1h =，25R =，所以刍童外接球的表面积为20π．同理，当O 在12O O 中间时，设1OO h =，则有221R h =+，()2214R h =-+，解得2h =，不满足题意，舍去．综上所述：当刍童外接球的表面积为20π．故选：C 6．D【分析】根据给定条件，求出点P 的轨迹，再利用两圆有公共点的充要条件求解作答.【详解】设点(,)P x y ，由2PA PB =2222(1)2(2)x y x y ++=-+22(3)4x y -+=，即点P 的轨迹是以点0(3,0)C 为圆心，2为半径的圆，而圆C 的圆心(2,)C m ，半径为12，依题意，圆0C 与圆C 有公共点，即有0112222CC -≤≤+，即2925144m ≤+≤，而0m >，解得52122m ≤≤，所以实数m的取值范围是22⎥⎣⎦.故选：D 7．D【分析】利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，得到118a =，1433nn n a a -=⨯-，变形后得到3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，首项为6，公差为4，从而求出()423nn a n =+⋅，故代入2n a ≥整理得3nn≥，利用作差法得到3nn 单调递减，最小值为13，列出不等式求出答案.【详解】当1n =时，2111332a S a ==-，解得：118a =，当2n ≥时，111333322n n n n n n n a S a a S --+==-+--，整理得1433nn n a a -=⨯-，方程两边同除以3n ，得11343n n n n a a ---=，又163a =，故3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，首项为6，公差为4，所以()123644nn n n a =+-=+，故()423nn a n =+⋅，经验证，满足要求，所以2n a ≥为()2423nn +⋅≥故3nn≥，对任意N n +∈恒成立，111113123333n n n n n n n n n +++++---==，当1n ≥时，111120333n n n n n n+++--=<，故1133n nn n++<，3n n 单调递减，当1n =时，3n n 取得最大值13，故13≥，解得：136k ≥，则k 的最小值为136.故选：D 8．A【分析】当AC 、BD 有一条不存在斜率时，直接求得四边形ABCD 的面积.当AC 、BD 都存在斜率时，设出直线,AC BD 的方程，利用弦长公式求得,AC BD ，由此求得四边形ABCD 的面积的表达式，求得面积的取值范围，从而计算出正确结论.【详解】依题意2,1,a b c ===设点()0y在椭圆上，则(22014y +=，解得012=±y .①当AC 、BD 有一条不存在斜率时，()11222222ABCD S ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭.②当AC 、BD 都存在斜率时，设AC 方程1l：(y k x =，BD 方程2l：1(y x k=-+，1l与椭圆联立得22(14y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并化简得()2222141240k x x k +++-=，则22121222124,1414k x x x x k k --+=⋅=++，AC=224(1)14k k +=+.同理可得224(1)4k BD k +=+，∴2222114(1)4(1)22144ABCDk k S AC BD k k ++=⋅⋅=⨯⨯++2242228(1)8112541749()124k k k k +==++--++，22210,11,011k k k ≥+≥<≤+，故当21112k =+，即21k =时ABCD S 取得最小值83225254=，由于21252599(0)42444--+=-=，824=，所以32,225ABCD S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.综上所述，ABCD S 的最大值为2，最小值为3225，则最大值与最小值之差为321822525-=.故选：A【点睛】求解直线和圆锥曲线位置关系的题目，要注意判断直线的斜率是否存在，必要时要进行分类讨论.9．BC【分析】根据椭圆的标准方程，可判断A 项；求出a ，b ，c 的值，可判断B ，C 项；代入判断D 项.【详解】由已知，椭圆的焦点在y 轴上，a =2，b =c =1，则长轴长为2a =4，离心率为12c e a ==.将点代入椭圆方程左边得22312143⎛⎫ ⎪⎝⎭+≠，不满足，即点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭不在椭圆上.故选：BC.10．AD【分析】由题意画出图形，证明四边形1CAD V 与四边形1CBC V 是平面图形，再结合所有棱长相等得新的组合体是斜三棱柱，也是五面体．【详解】将两个正三角形侧面VAB 与△111V A B 按对应顶点粘合成一个正三角形以后，如图，取AB 中点E ，11C D 的中点F ，连接CE ，VE ，VF ，ABC 是正三角形，CE AB ∴⊥，VAB △是正三角形，VE AB ∴⊥，CE V E E = ，,CE VE ⊂平面VEC ,AB ∴⊥平面VEC ，△111V C D 是正三角形，11VF C D ∴⊥，又11//AB C D ，AB VF ∴⊥，而VE V F V = ，,VE VF ⊂平面VEF ,则AB ⊥平面VEF ，∴四边形VCEF 是平面四边形，由CE VF =，VC EF =，得四边形VCEF 为平行四边形，则//VC EF ，又1//AD EF ，1//VC AD ∴，同理可得1//VC BC ，再由所有棱长相等，可得几何体为斜三棱柱，也是五面体．故选：AD ．11．BC【分析】利用(3)(1)f f ≠-可判断A;根据函数满足的性质推得14,Z x k k =+∈和34,Z x k k =+∈皆为()f x 的图象的对称轴，可判断B;数形结合判断C;数形结合，将3()20f x x -+=的实数根个数问题转化为函数图象的交点问题，判断D.【详解】由题意可知当[1,3]x ∈时，2()2f x x x =-+，故()()2211211,33233f f =-+⨯==-+⨯=-，则(3)(1)f f ≠-，即()f x 的图象不关于点(2,0)对称，A 错误；由于函数()f x 满足(4)()f x f x +=，故4为函数的周期；函数(1)f x +为偶函数，则()f x 的图象关于直线1x =对称，即有(2)()f x f x -=，则(4)(2),(4)(2)f x f x f x f x +=-∴+=-，故()f x 的图象也关于直线3x =对称，由于4为函数的周期，故14,Z x k k =+∈和34,Z x k k =+∈皆为()f x 的图象的对称轴，当505k =时，342023x k =+=，故B 正确；由函数性质作出函数的图象如图，可知函数值域为[3,1]-，C 正确；方程3()20f x x -+=的根即()y f x =与1(2)3y x =-的图象的交点的横坐标，因为当5x =-时，17(52)333y =--=->-，当7x =-时，1(92)33y =--=-，当5x =时，1(52)13y =-=，所以()y f x =与1(2)3y x =-的图象共有7个交点，即方程3()20f x x -+=的实数根个数为7，故D 错误，故选：BC .【点睛】方法点睛：（1）抽象函数的奇偶性以对称性结合问题，往往要采用赋值法，推得函数周期性；（2）方程根的个数问题，往往采用数形结合，将根的问题转化为函数图象交点问题.12．BD【分析】连AC 交BD 于E ，根据面积关系推出2AE EC =，根据平面向量知识推出BE =1233BA BC + ，结合()()1122n nn n BD a BA a BC -+=-++ ，推出11222n n n n a a +-=-，即11222n n n n a a +--=-，求出1242n n a n -=-+，()22nna n =-+⋅，根据等比数列的定义可判断A ；根据等差数列的定义可判断B ，根据数列的单调性可判断C ；利用错位相减法求出n S ，可判断D.【详解】如图，连AC 交BD 于E，则1sin 21sin 2ABD BD AE AEB S S BD EC CED ⋅⋅=⋅⋅△△BCD ÐÐ=2AEEC=，即2AE EC =，所以2AE EC =，所以()2BE BA BC BE -=- ，所以BE = 1233BA BC +，设BD tBE =(1)t >，因为()()1122n nn n BD a BA a BC -+=-++ ，所以()()111122n nn n BE a BA a BC t t -+=-++ ，()()1111231223n n n n a t a t-+⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以()11222n n n n a a -++=-，所以11222n n n n a a +-=-，即11222n nn n a a +--=-，又12a =，所以122a =，所以12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公差为2-的等差数列，所以()1221242n n an n -=--=-+，所以()()124222n n n a n n -=-+⋅=-+⋅，因为()11(1)222222n n n n a n n a n n ++-+⋅-+==-+⋅-+不是常数，所以{}n a 不为等比数列，故A 不正确；因为()()()111122(1)21212222n n n n n n n n n a a n n n ++++-+⋅-+⋅-=-=-+--+=-，所以2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，故B 正确；因为1n n a a +-=()1(1)222n nn n +-+⋅--+⋅=2n n -⋅，所以{}n a 为递减数列，故C 不正确；因为()1231202(1)222nn S n =⨯+⨯+-⨯++-+⋅ ，所以()234121202(1)222n n S n +=⨯+⨯+-⨯++-+⋅ ，所以()()23412222222n n n S n +-=-++++--+⋅ ，所以()()1142222263212n n n n S n n ++-⨯-=---+⋅=+-⋅-，所以()1326n n S n +=--，故D 正确.故选：BD 13【分析】根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径即可求解.r r Þ=14【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面1AEC 的法向量后可求线面距.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()1111,0,0,1,,0,1,1,1,,0,0,1,022A E C F C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1111,,0,1,,022EC FC ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故1//EC FC ，而1EC ⊂平面1AEC ，⊄FC 平面1AEC ，故//FC 平面1AEC ，故直线FC 到平面1AEC 的距离为即为F 到平面1AEC 的距离.设平面1AEC 的法向量为(),,n x y z =，又10,,12AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，故102102y z x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，取2y =，则()1,2,1n =- ，而()0,0,1FE = ，故F 到平面1AEC 1666=，6615．20【分析】作出图形，分析可知6PM PC =+，1PQ PC ≤+，利用基本不等式可求得2PM PQ的最小值.【详解】如下图所示：在双曲线221916x y -=中，3a =，4b =，225c a b =+=，圆()2251x y -+=的圆心为()5,0C ，半径长为1r =，所以，双曲线221916x y -=的左、右焦点分别为M 、C ，由双曲线的定义可得26PM PC a PC =+=+，1PQ PC ≤+，所以，()()()226252511011020111PC PM PC PC PQPC PC PC+≥=+++≥+⋅+=+++，当且仅当Q 为射线PC 与圆C 的交点，且4PC =时，等号成立，故2PM PQ的最小值是20.故答案为：20.16．2(1)n S n a =+【解析】根据已知条件知数列{}1n n a a +-是首项为1a -，公差为d 的等差数列，可求出11(1)n n a a a n d +-=-+-，再根据已知条件转化求出等差数列{}2n a ､{}21n a -的通项公式，再利用分组求和即可得解.【详解】2111a a a a -=-=-Q 又211n n n n a a a a d +++-=-+，即211n n n n a a a a d+++---=∴数列{}1n n a a +-是首项为1a -，公差为d 的等差数列，11(1)n n a a a n d +∴-=-+-①，又{}{}221,n n a a -分别构成等差数列，根据①式可得221[1(22)](2)n n a a a n d n --=±-+-≥②，212[1(21)](1)n n a a a n d n +-=±-+-≥③，2221[12](1)n n a a a nd n ++-=±-+≥④，由②+③，得2121[1(21)][1(22)](1)n n a a a n d a n d n +--=±-+-±-+-≥，又{}21n a -是等差数列，所以2121n n a a +--必为常数，所以2121[1(21)][1(22)](2)n n a a a n d a n d d n +--=-+---+-=≥，或2121[1(21)][1(22)](2)n n a a a n d a n d d n +--=--+-+-+-=-≥，由①得321a a a d -=-+，即32(1)a a a d -=±-+，2a a =Q ，3(1)a a d a ∴=±-++，又11a =，311(1)a a a a d ∴-=-±-+，即31a a d -=-或312(1)a a a d -=-+(舍去)，2121n n a a d +-∴-=-，{}21n a -∴是首项为1，公差为d -的等差数列，211(1)n a n d -∴=--，同理，由③+④得，222[12][1(21)](1)n n a a a nd a n d n +-=±-+±-+-≥，所以222n n a a d +-=或222n n a a d +-=-，321a a a d -=-+-Q ，43(12)a a a d -=±-+，421(12)a a a d a d ∴-=-+-±-+，即42a a d -=或42223a a a d -=-+-(舍去)，222n n a a d +∴-=，{}2n a ∴是首项为a ，公差为d 的等差数列，2(1)n a a n d ∴=+-，从而21221221()k k k k a a a a a k N *-+++=+=+∈，所以2122(1)(1)(1)n n S a a a a a n a =+++=++++=+ .故答案为：2(1)n S n a =+【点睛】方法点睛：本题考查递推关系求等差数列求通项公式，分组求数列和，求数列的和常用的方法有：（1）分组求和法；（2）倒序相加法；（3）11n n n b a a +=（数列{}n a 为等差数列）：裂项相消法；（4）等差⨯等比数列：错位相减法，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题.17．(1)72n a n =-；(2)21622n n n +-++-.【分析】(1)设{}n a 公差为d ，根据91027,40S S =-=-列出关于首项和公差的方程组，求得首项和公差，根据等差数列通项公式即可求n a ；(2)利用分组求和法求n T 即可.【详解】（1）设{}n a 公差为d ，由91027,40S S =-=-得，1198927210910402a d a d ⨯⎧+=-⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩，解得152a d =⎧⎨=-⎩，∴52(1)72n a n n =--=-；（2）由2nn n b a =+得722n n b n =-+，∴1212(12)(1)5(2)22622122n n n n n n n T S n n n ++--=+=⨯+⨯-+-=-++--.18．(1)点P 不在圆上，证明见解析(2)x ＝0或3x ＋4y －8＝0．【分析】(1)将点的坐标导入圆的方程与1比较大小即可.(2)已知弦长，求直线方程，求出圆心到直线的距离，用垂径定理，解直角三角形即可，特别要注意斜率不为0的情况.【详解】（1）点P 不在圆上．证明如下：∵3PC =<，∴由圆的定义可知点P 是在圆C 的内部，不在圆上；（2）由直线与圆的位置关系可知，圆心C 到直线l的距离2d ==，①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时202d =--=，满足题意；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 为y ＝kx ＋2，即kx －y ＋2＝0，又∵2d =，解得34k =-，此时直线l 为3x ＋4y －8＝0，综上所述：直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y －8＝0．19．(1)2213x y +=(2)20x -=或20x -=【分析】（1）已知可得：ca=2a =（2）直线l 的方程为2x ty =+且与椭圆相交于()11,A x y ，()22,B x y ，联立22233x ty x y =+⎧⎨+=⎩，由根与系数的关系以及弦长公式求解即可；（3）过原点O 作圆M 的切线y kx =，设()00,M x y ，利用圆心到直线的距离等于半径，结合已知条件求解即可【详解】（1）由已知可得：c e a ==2a =所以a =c =又222321b a c =-=-=，所以椭圆C 的方程为2213x y +=.（2）易知，直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为2x ty =+且与椭圆相交于()11,A x y ，()22,B x y 由22233x ty x y =+⎧⎨+=⎩，消去x 可得()223410t y ty +++=，()21210t ∆=->.所以21t >，由韦达定理可得：12243t y y t -+=+，12213y y t =+AB ===.所以42712270t t --=即23t =或297t =-（舍），所以t =.所以直线l 的方程为20x -=或20x -=.（3）过原点O 作圆M 的切线y kx =，设()00,M x y ，圆的半径为()0r r >，由圆心()00,M x y 到直线0kx y -=的距离等于半径，可得0021y kx r k -=+.即()()222001k r y kx +=-，即()22222000020x r k x y k y r --+-=.（*）由已知OP k ，OQ k 即为方程（*）的两个根，所以由韦达定理可得：22022013OP OQy r k k x r -⋅==--，所以2220034x y r +=.因为()00,M x y 在椭圆上，所以220013x y +=，即220033x y +=.所以234r =，即32r =.所以圆M 的半径为32r =.20．(1)见解析(2)存在，14λ=【分析】（1）根据三角形中位线得线线平行，即可证明线面平行，（2）根据空间向量，利用法向量的夹角即可求解.【详解】（1）连接1AC 交1AC 于点O ,由于四边形11ACC A 为矩形，所以O 为1AC 的中点，又点D 是棱BC 的中点，故在1A BC 中，OD 是1A BC 的中位线，因此1//OD A B ,OD ⊂平面1AC D ，1A B ⊄平面1AC D ,所以1//A B 平面1AC D（2）由1AA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥可知，三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，且底面为直角三角形，故以A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系;则()()()()()10,0,0,0,0,2,4,0,0,0,4,0,2,2,0,A A B C D 由()01AM AC λλ=<<得()0,4,0M λ,()()14,0,2,2,2,0A B BD =-=-,设平面1BA D 的法向量为(),,m x y z =，则1420220m A B x z x y m BD⎧⊥-=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⊥⎩⎪⎩，取2z =，得()1,1,2m = ，()()10,4,2,2,42,0A M DM λλ=-=--,设平面1A DM 的法向量为()111,,x n y z =，则()111114202420y z n A Mx y n DMλλ⎧-=⊥⎧⎪⇒⎨⎨-+-=⊥⎪⎩⎩ ，取12z λ=，得()211,2n λλ=- ，，故1cos ,2m n m n m n ⋅== ，化简得()()2821=04121=0λλλλ+-⇒-+由于01λ<<，所以14λ=，故棱上AC 存在点M ，其中14AM AC = ，即14λ=，使得平面1BAD 与平面1A DM 所成角的大小为60°.21．(1)见解析(2)2m =或3或4【分析】（1）由n a 与n S 的关系得出n a ，再由等差中项的性质得出q （m ）的所有可能值；（2）利用错位相减法得出n T ，再结合不等式的性质得出m 的所有可能值．(1)由11a =及n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列得1n n S nq -=，故121(1),2n n n n n a S S nq n q n ---=-=-- ，且当1n =时亦满足.由12,,m m m a a a ++成等差数列得11212(1)(1)(2)(1)m m m m m mm q mq mq m q m q m q ---+⎡⎤+-=--++-+⎣⎦化简并整理得2(1)[(2)(1)]0q m q m -+--=解得1q =或12m q m -=+，因此，当1m =时，1q =；当2m ≥时，12m q m -=+.(2)当1q =时，34T >，所以12m q m -=+，2m ≥由于1212,2n nn n T q nq qT q q nq-=+++=+++ ()211111n nnnn q T q qqq q n n qq ---=---=++++ 故222211(2)(1)(1)1(1)9n n n q nq m T q q q q +=--<=----从而当4m ≤时，4n T <对任意*n ∈N 恒成立，当5m ≥时，47q ，则2344584443141344777777T ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫>++⨯++=-⨯>⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦综上，2m =或3或422．(1)124【分析】（1）联立直线l 与双曲线方程，根据点T 是MN 的中点，列方程求解即可.（2）联立直线l 与双曲线方程，表示出BN 的长，根据点到直线的距离公式表示出三角形的高，从而得到三角形面积表达式，即可求得结果.（1）设()()1122,,,A x y B x y联立直线l 与双曲线方程()221102y k x x y ⎧=-+⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得()()22212412(1)0k x k k x k -----=，由韦达定理可知，()221212222144,1212k k k x x x x k k ---+=⋅=--联立直线l 与其中一条渐近线方程()11y k x y x ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，解得2x =即2N x =2M x 则21224412M N k k x x x x k -+==+-，则可知AB 的中点与MN 中点重合.由于()1,1T 是MN 的中点，所以()241212k k k -=-，解得12k =；（2）()11y k x =-+与2212x y -=联立，消去y 得()()22212412(1)20k xk k x k ------=由（1）知，2AB MNBN AM -==.或()12OBN OAB OMN S S S =-由于AB MN =，所以BN =又O到直线的距离d =，所以12OBNS BN d=⋅==整理得2OBN S =令11,12t k ⎛⎫=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则2222212241142(1)k t t k t t t --+-==-+--，当12t =，即12k =时，2212(1)k k --的最大值为2，所以OBN S。

安徽省五市2023-2024学年高二上学期期末联考数学试卷(含解析)

安徽省五市2023-2024学年高二上学期期末联考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．直线的倾斜角为( )A.45°B.60°C.135°D.150°2．在空间直角坐标系中，已知点，，，若向量与向量共线，则m 的值为( )3．已知等差数列满足，则( )A.10B.8C.6D.44．如图，三棱柱中，，，，点M 为四边形的中心点，则( )B.D.5．已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的焦点坐标分别为( )A.， B.， C.， D.，6．已知数列的前n项和为，前n 项积为，满足，则( )A.45B.50C.55D.607．已知点F 为抛物线的焦点，直线与该抛物线交于A ,B 两点，点M 为的中点，过点M 向该抛物线的准线作垂线，垂足为.若20x y ++=()0,0,1A ()1,2,3B (),,2C m n ABBC{}n a 1356a a a ++=24a a +=111ABC A B C -AB a = AC b = 1AA c =11BCC B AM =1122b c ++ 1122a b c++1122b c +-1122a b c--222:14y x C b -=20x =()3,0()3,0-()0,3()0,3-()1,0()1,0-()0,1()0,1-{}n a n S n T 21n n S a =-1224log T T =22(0)y px p =>:21l y x =+AB 1M 1||MM =( )A.2B.3C.4D.58．已知函数表示不超过x 的最大整数，，，数列的前n 项和为，则( )A.673B.747C.769D.821二、多项选择题9．在空间直角坐标系中，已知向量，，则下列结论正确的是( )A.向量关于平面的对称向量的坐标为B.若，则D.若，10．已知椭圆的上顶点为B ，左、右焦点分别为，，则下列说法正确的是( )A.若，则C.当时，过点D.若直线与椭圆C 的另一个交点为A ，，则11．已知等差数列的前n 项和为，且满足，，现将数列与数列的公共项从小到大排列可以得到新数列，则下列说法正确的是( )A. B. C. D.数列的前10项和为12．点A ,B 为圆上的两点，点为直线上的一个动点p =()[]f x x =41n a n =-[]2log n n b a ={}n b n S 100S =Oxyz ()2,2,1a =-(),,2b x y = a Ozx ()2,2,1a b ⊥ 20x y -+=225x y +=a b ⊥ 2x =-1y =-222:1(1)x C y a a +=>1F 2F 12BF BF ⊥a =2=2a =F 1BF 112BF F A = 232a ={}n a n S 11a =238a a +={}n a {}1n S -{}n b 21n a n =-21n S n =-10399b =1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭102122():21M x y -+=()1,P t -:1l x =-，则下列说法正确的是( )A.当，且为圆直径时，面积的最大值为3B.从点向圆C.A ,B 为圆M上的任意两点，在直线l 上存在一点P ，使得D.当三、填空题13．已知直线，，则直线，之间距离的最大值为______.14．过点的直线l 被圆：所截得的弦长的最小值为______.15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为4，直线与双曲线C 交于P ，Q 两点，点M 为双曲线C 在第一象限上的点，记直线、的斜率分别为、，且，若的面积为、的斜率分别为、，则______.16．已知抛物线，过该抛物线焦点F 的直线l 与该抛物线相交于A ,B两点（其中点A 在第一象限），当直线l 的倾斜角为，O 为坐标原点，则面积的最小值为______.四、解答题17．已知直线l 过点.（1）若直线l 在y 轴上的截距b 、在x 轴上的截距的a 满足，求直线l 的方程；（2）若直线l 与两坐标轴的正半轴分别交于A ,B 两点，O 为坐标原点，当的面积最小时，求直线l 的方程.18．已知数列的前n 项和为，满足.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n 项和.19．如图，三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，的0t =AB PAB △P M π3APB ∠=(1,2P -+1+1:1l y kx =+()2:2l y k x =-1l 2l ()3,122450x y x +--=2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>1F 2F :l y kx =MP MQ MP k MQ k 3MP MQ k k ⋅=12MF F △1MF 2MF 1MF k 2MF k 12MF MF k k +=22(0)y px p =>602OAB △()1,23b a =OAB △{}n a n S 2n S n ={}n a 2n n n b a ={}n b n T P ABC -ABC PA PC ==（1）证明：；（2）若，点F 为的中点，求平面与平面的夹角的余弦值.20．已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆C 上任意一点，点P 到距离的最大值为.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知过点的两条不同的直线，关于x 轴对称，直线，与椭圆C 在x轴上方分别交于M 、N 两点.直线是否过x 轴上一定点？若过，求出此定点；若不过，请说明理由.21．已知数列的前n 项和为，前n 项积为，满足.（1）求，和；22．已知点，圆，点，点的轨迹为曲线C ，点A 为曲线C 上一点且在y 轴右侧，曲线C 在点A 处的切线l 与圆交于M ，N 两点，设直线，的倾斜角分别为,.（1）求曲线C 的方程；AC BP ⊥2PB =PB ACF PBC 2222:1(0)x y C a b a b +=>>1F 2F 1F )21+1F 1l 2l 1l 2l MN {}n a n S n T ()*12n n T a n =-∈N 1T 2T n T 11122n n S +⎛⎫-+<<⎪⎝⎭()12,0F -222:(2)10F x y -+=(,P x y 2(),P x y 2F 1F M 1F N αβ参考答案1．答案：C解析：根据题意：，所以该直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，且，可得.故选：C 2．答案：B解析：根据题意：，，与共线，所以，可得故选：B 3．答案：D解析：由，得到，即，所以，故选：D.4．答案：A解析：根据题意，，又，所以，故选：A.5．答案：B解析：已知双曲线的渐近线方程为，对照202x y y x ++=⇔=--1-α0180α︒≤<︒tan 1135αα=-⇔=︒()1,2,2AB = ()1,2,1BC m n =---AB BC()()1,2,11,2,2BC AB m n λλ=⇔---= λ==1356a a a ++=336a =32a =24324a a a +==1111()22AM AB BM AB BC AB BB BC =+=+=++BC AC AB =-1111111222222AM AB BB AC a b c =++=++ 222:14y x C b -=220y x x by b =±⇔±=，可得，所以，所以该双曲线的焦点坐标分别为，.故选：B.6．答案：D解析：根据题意：，，两式作差可得，当时，，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以，所以，故选：D.7．答案：B解析：根据题意，过点A ,B 分别向该抛物线的准线作垂线，垂足分别为，，所以设，，，联立.故选：B.20x =25b =2549c =+=()0,3()0,3-21n n S a =-1121n n S a --=-12n n a a -=1n =11a ={}n a 2n n a -=()()44156056128922a a a a a =⋅⋅⋅⋅=⋅==1224log 60T T =1A 1B 111||||2||AA BB MM +==()11,A x y ()22,B x y 121222p px x x x p +++=++()221224421021y px x p x x x y x ⎧=⇒+-+=⇒+=⎨=+⎩1227322p AF BF x x p p p -+=++=+=⇒=8．答案：A解析：根据题意分析可得：，，，，，，，，，所以.故选：A 9．答案：AC解析：对于选项A:根据题意可知向量关于平面的对称向量的坐标为,故A 正确；对于选项B:若，则，即，故B 错误；，故C 正确；对于选项D:若或，故D 错误.故选：AC.10．答案：ABD解析：对于A 项，若，则对于B项，由可解得：，故B 项正确；对于C 项，时，椭圆，因过点的直线被椭圆C 所截的弦长的最小[][]1212log log 31b a ===[][]2222log log 72b a ===[][]3232log log 113b a ===[][]4242log log 153b a ===584b b ~=9165b b ~=17326b b ~=33647b b ~=651008b b ~=10012324458616732836673S =++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()2,2,1a =-Ozx ()2,2,1a b ⊥ 2220a b x y ⋅=-+= 10x y -+=225x y =⇔+=a b ⊥ 2210251x y x x y y -+==-⎧⇒⎨+==-⎩12x y =⎧⎨=⎩1BF BF ⊥1c ==a =22221e a a -==2a =2a =22:14x C y +=1F 1=≠对于D 项，如图，因为，，设点，由可得，解得：，代入椭圆，故选：ABD.11．答案：ACD解析：设等差数列的公差为d ，，由解得：，故，，故A 项正确，B 项错误；将数列列举出来为：数列列举出来为：故共同项依次有：,即，故，则，C 项正确；，故选：ACD.12．答案：ABD解析：对A ：当，为直径时，为点A 的纵坐标），所以当点A 为或时，三角形面积最大，的()0,1B ()1,0F c -(,)A m n 112BF F A =(,1)2(,)c m c n --=+31,22c A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭222:x C y a +=114==2={}n a 11a =231238a a a d +=+=2d =12(1)21n a n n =+-=-()21212n n n S n +-=={}n a 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37,, {}1n S -0,3,8,15,24,35,,3,15,35, 13,35,57,(21)(21)n n ⨯⨯⨯-⨯+ 2(21)(21)41n b n n n =-⨯+=-1041001399b =⨯-=()()21111141212122121n n n n n ⎛⎫===⨯- ⎪--+-+⎝⎭11111111111323521921221⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+⨯-++⨯-=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 0t =AB 1122PAB S PM =⨯△A ()2,1()2,1-PAB，所以A 正确；对B ：设，交与点N ，由圆的切线性质，则，，当点P 在处时，最大，此时对C ：当点在处，且，为切线时，最大，此时所以不存在符合的点，C 错误；对D ：设的中点D，则设小圆半径为，D 正确.()1max 1232PAB S PM r =⨯⨯=△APM θ∠=AB PM Rt Rt BNP MNB :△△ABM APM θ∠=∠=2cos θθ()1,0-θsin θ=θ==P ()1,0-PA PB APB ∠1sin 3APM ∠=<APM <2APB APM =∠<AB MD ⊥=+r 1PM r =+=+ +1+解析：由题意可知：直线的斜率为k ，过定点；直线的斜率为k ，过定点；可知14．答案：判断可知点在圆内，而圆，若直线l 斜率存在时，设，圆心到直线的距离为，若，则，若,，则，解得或直线l 斜率存在时，，若直线l 斜率不存在时，即，圆心到直线的距离为，综上所述，圆心所以所截的弦长的最小值为故答案为：15．答案：解析：1:1l y kx =+()0,1A ()2:2l y k x =-()2,0B 1//l l ()3,122450x y x +--=2222450(2)9x y x x y +--=⇔-+=:31l y kx k =-+()2,031y kx k =-+d )2221210d k k d -++-=1d =0k =0d >1d ≠()224410d ∆=--≥01d <<1d <≤max d =1=-:3l x =()2,03x =1d =(2,0=设，，，根据题意，可得，联立，化简得，所以,所以，又，可得，，所以双曲线，的面积为代入双曲线C 的方程可得，所以故答案为：.解析：如图所示，分别过A ,B 向准线作垂线，垂足分别为、，过B 作的垂线，垂足为M ，当直线l 的倾斜角为，，即，(),M M M x y 0M x >0M y >2c =22221x y a by kx⎧-=⎪⎨⎪=⎩()2222220b a k x a b --=2k <120x x +=12x x =()()()()222222222222222121222222212123M M M MP MQ M M M MM k kx y kx y k x x y b k a b b x k x x b x x x x x a a k b a a b a k b x ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭--+⋅====-=--++2224a b c +==21a =23b =22:13y C x -=12MF F △2M M c y y ⨯=⇔=M x =12MF MF k k +==A 'B 'AA '602()601cos 60p BF BF p ︒=-⇔+︒=3232p =⨯=设，，满足，，设直线，代入抛物线方程，可得，，所以，当时，三角形.17．答案：（1）或；（2）解析：（1）根据题意：直线l 在y轴上的截距是在x 轴上的截距的3倍，当直线l 不过原点，将代入可得所以直线l 的方程为；当直线l 过原点，所以直线l 的方程为即.综上，直线l 的方程为或；（2）设直线l 的方程为，所以，，()11,A x y ()22,B x y 2116y x =2226y x =3:2AB x my =+26y x =2690y my --=121269y y my y +=⎧⎨=-⎩()1219222OAB p S y y =⨯+≥△0m =350x y +-=20x y -=240x y +-=(0,013ya =()1,2n =350x y +-=(0,02=()221y x -=-20x y -=350x y +-=20x y -=()21(0)y k x k -=-<21,0A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭()0,2B k -所以，当且仅当，（舍），所以直线l 的方程为即.18．答案：（1）；（2）解析：（1）根据题意：，当时，，两式相减即得：，因时，，满足上式，故；（2），则，，两式相减可得：，故.19．答案：（1）证明见解析；如图，取的中点O ，连接，，因为，所以，又因为底面是边长为2的等边三角形，()1214124422OAB S k k k k ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯-=⨯--≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△k -=2442OAB k k =⇔=⇔=-△2k =()()221y x -=--240x y +-=21n a n =-()12326n n T n +=-⨯+2n S n =2n ≥21(1)n S n -=-22(1)21n a n n n =--=-1n =11a =21n a n =-()2212n n n n b a n ==-⋅2121232(21)2,n n n T b b b n =+++=⨯+⨯++-⨯ ()23121232212n n T n +=⨯+⨯++-⨯ ()21122222212n n n T n +-=⨯+⨯++⨯--⨯ ()()()111412122212632212n n n n T n n -++--=⨯+⨯--⨯=-+-⨯-()12326n n T n +=-⨯+AC PO BO PA PC =PO AC ⊥ABC所以，又,平面，可得平面，又平面，所以.（2）因为，所以，因为，由可得：，又，,平面，所以平面，如图，以，，分别为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系.则，，，，，因，，设平面的法向量，则，取，得，则，又，，设平面的法向量，则取，得.设平面与平面的夹角为，则故平面与平面.BO AC ⊥PO BO O = ,PO BO ⊂POB AC ⊥POB BP ⊂POB AC BP ⊥PA PC ==1AO =1PO =BO =2PB =222PO BO PB +=PO BO ⊥PO AC ⊥BO AC O = ,BO AC ⊂ABC PO ⊥ABC OA OB OP()1,0,0A ()B ()1,0,0C -()0,0,1P 12F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭()2,0,0AC =- 1(2AF =-ACF ()1,,n x y z = 1120102AC n x AF n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ 1y =z =0x =1(0,1,n =()1,0,1PC =--()1PB =- PBC ()2,,n x y z = 220,0PC n x z PB n z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩1y =z ==2(=ACF PBC θ1212cos n n n n θ⋅===⋅ ACF PBC；（2）是，解析：（1）根据题意，，解得，又，；（2）根据题意可得：设直线的方程为，联立，设直线与椭圆C 的交点为，，可得：由对称性可知：，直线的方程为，设直线与x 轴交点为，所以，可得：，所以直线过定点.的214y +=()4,0-c e a ==2c +=+a =2=22224a b c b =+⇔=214y +=1l ()2y k x =+()()2222222128880184y k x k x k x k x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩1l ()11,M x y ()22,M x y '1212x x x x ⎧+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩()22,N x y -2l ()2y k x =-+MN (),0T t ()()1212121222TM TN k x k x y y k k x t x t x t x t+-+-=⇔=⇔=----()()()()1221220x x t x x t ⇔+-++-=()()22212122216168162240401212k tk k x x t x x t t k k--+-+-=⇔+-=++24160412t t k--⇔=⇔=-+MN ()4,0-21．答案：（1），（2）证明见解析解析：（1）当时，当时，数列的前n 项积为，满足，时，，，数列是首项为4，公比为2的等比数列，时，（2）先证明左边：即证明，又由，解得又所以，1T =217=n T =1n =111112T a T a =-⇔==2n =2212222312127T a a a a a T =-⇔=-⇔=⇔= {}n a n T ()*12n n T a n =-∈N ∴2n ≥1n T =112n T -=⨯+11121n T -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭n =14=11n T ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭∴1111422n n n n T T -++=⨯=⇔=1n =1T =n =111222n n n S +⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭n T =12n n T a =-n a =11212112122n n n n n a ++--=>=--123111142111111111222222222212nn n n n n S ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦>-+-++-=-=-+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-再证明右边：22．答案：（1）；根据题意：，，，根据定义可得，，所以曲线C 的轨迹方程为；（2）根据题意：，，当l 的斜率不存在时，，此时，，，当l 的斜率存在时，设，，()1212121221n n n n n a +--=<=--∴n S <2213y x -=()12,0F -(22,0F 12224a c F =<==221(0,0)y a b b-=>>221a a =⇔=242c c =⇔=222b c a b =-⇔=2213y x -=()12,0F -()22,0F :1l x =()1,3M ()1,3N -110F M F N ⋅=β=()11,M x y ()22,N x y设直线，联立直线l 与圆可得：，，所以代入韦达定理可知，因为直线l 与曲线C 相切，联立，，所以，故得，:l y kx m =+2F ()()1222221212460(2)10x x y kx m k x km x m x y x x ⎧+⎪=+⎧⎪⇒++-+-=⇒⎨⎨-+=⎩⎪=⎪⎩()()()22222Δ244161616244240km k m km k m =--+-=-++-+>()()()()()22111212121222124F M F N x x y y k x x km x x m ⋅=+++=++++++()()()22221122234262411m k km F M F N m km m k k -+-⋅=-++⋅++=++ ()22222132303y x k x kmx m y kx m ⎧-=⎪⇒----=⎨⎪=+⎩()230k -≠22Δ030k m =⇔--=110F M F N ⋅=β=。

高二数学第一学期期末模拟卷

第2题高二数学第一学期期末模拟卷（一）一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1.抛物线22y x =的焦点坐标是．2．下面的流程图判断框中应填入，可以计算2222246100++++．3.命题“x x R x 21,2≥+∈∀”的否定是．4.“a>2”是“方程x 2a+1+y 22-a=1 表示的曲线是双曲线” 的条件(填“充分不必要，.必要不充分，充要条件，既不充分也不必要”). 5. 已知变量x 与变量y 之间的一组数据如表，则y 与x 的线性回归方程y=b x +a 必过点 .6.甲、乙两个总体各抽取一个样本，若甲样本均值为15，乙样本均值为17，甲样本方差为3，乙样本方差为２，则总体 (填写“甲”或“乙”)波动小．7.如果质点A 的位移S 与时间t 满足方程32S t =(位移单位:米，时间单位:秒),则质点在3t =时的瞬时速度为米/秒.8.从[0，1]之间选出两个数，这两个数的平方和大于1的概率是 . 9. 设函数()1x af x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P,则实数a 的取值范围是 .10.已知一纸箱内装有某种矿泉水12瓶，其中有2瓶不合格，若质检人员从该纸箱内随机抽出2瓶，则检测到不合格产品的事件概率是 .11.中心在原点,长轴长为8,准线方程为8x =±的椭圆标准方程为．12．设点P 是曲线)0(ln 2>-=x x x y 上的任意一点，则点P 到直线2:-=x y l 距离的最小值是 .13. P 是双曲线22x y 1916－＝的右支上一点，M 、N 分别是圆（x ＋5）2＋y 2＝4和（x －5）2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为 . 14.有如下四个命题：命题①：方程221(0)mx ny m n +=>>表示焦点在x 轴上的椭圆；命题②：20a b +=是直线230ax y ++=和直线20x by ++=互相垂直的充要条件；命题③：方程221(0)mx ny m n -=>>命题④：“全等三角形的面积相等”的否命题.其中真命题的序号是 .（写出所有真命题的序号）二．解答题：本大题共6小题，每小题15分,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0）。

2024-2025学年广东省部分学校高二(上)第一次联考数学试卷(含答案)

2024-2025学年广东省部分学校高二（上）第一次联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知a =(−2,1,3),b =(−1,1,1)，若a ⊥(a−λb )，则实数λ的值为( )A. −2B. −143C. 73D. 22.点P 是棱长为1的正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1上一点，则PA ⋅PC 1的取值范围是( )A. [−1,−14]B. [−12,−14]C. [−1,0]D. [−12,0]3.已知向量a =(4,3,−2),b =(2,1,1)，则向量a 在向量b 上的投影向量c =( )A. (3,32,32)B. (32,34,34)C. (34,38,38)D. (4,2,2)4.在棱长为2的正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G =λ(0<λ<2)，则点G 到平面D 1EF 的距离为( )A. 2 3B. 2C. 2 23D. 2 555.已知四棱锥P−ABCD ，底面ABCD 为平行四边形，M ，N 分别为棱BC ，PD 上的点，CM CB =13，PN =ND ，设AB =a ，AD =b ，AP =c ，则向量MN 用{a ,b ,c }为基底表示为( )A. a +13b +12c B. −a +16b +12cC. a−13b +12cD. −a−16b +12c 6.在四面体OABC 中，空间的一点M 满足OM =14OA +16OB +λOC ，若MA ,MB ,MC 共面，则λ=( )A. 12B. 13C. 512D. 7127.已知a =(1−t,2t−1,0),b =(2,t,t)，则|b−a |的最小值是( )A. 5 B. 6 C. 2 D. 38.“长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日.小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球(与其四个面均相切的球，图中作为球O).如图：已知粽子三棱锥P−ABC 中，PA =PB =AB =AC =BC ，H 、I 、J 分别为所在棱中点，D 、E 分别为所在棱靠近P 端的三等分点，小玮同学切开后发现，沿平面CDE 或平面HIJ 切开后，截面中均恰好看不见肉馅.则肉馅与整个粽子体积的比为( )A. 2 39π B. 318π C. 2 327π D. 354π二、多选题：本题共3小题，共18分。

高二数学第一学期期末联考模拟试卷

高二数学第一学期期末联考模拟试卷一、填空题（5*14=70） 1．写出下面这个命题的否定“，012=+-x x ”⇒2．双曲线2183222-=-y x 的焦距等于． 3．大豆栽培试验中，测得株龄（周）与株高y （cm ）的数据如下：则y 对x 的线性回归方程为．4．已知命题p ：0=ab 、q ：022=+b a ，则p 是q 的条件．5．如果执行右图的程序框图，那么输出的S 等于．6．某校有学生2000人，其中高三学生500人，为了了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本，则样本中高三学生的人数为．7．若抛物线px y 22=的焦点与椭圆12622=+y x 的右焦点重合，则p 的值为．则这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的． 9．如图，在一个边长为 a ，b )0(>>b a 的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为a 31，a 21，高为b ，向该矩形内随机投一点，则所投点落在梯形内部的概率为 .10．For x From —100 To 190 Step 10，该程序共执行循环次. 11．函数x x x f ln )(=（0>x ）的单调递增区间是．12．设1F 、2F 是椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的两个焦点，P 为椭圆上一动点，M 为P 1F 的中点，P 1F ＝4，则OM 的长＝． 13．在平面直角坐标系xoy 中，已知△ABC 的顶点A ()0,4-、C ()0,4，顶点B 在椭圆192522=+y x 上，则=+B C A sin sin sin ． 14．已知函数c bx ax x x f +++=22131)(23，当()1,0∈x 时，函数)(x f 取得极大值，当()2,1∈x 时，函数)(x f 取得极小值，则12--=a b u 取值范围为 . 二、解答题（12+12+15+15+18+18=90）15．设12)(+=x x f ，)]([)(1x f f x f =，……，)]([)(1x f f x f n n -=（N x ∈，2≥n ）求)(1x f ，)(2x f ，)(3x f ，…，并由此归纳出)(x f n 的表达式（不需要证明）.16．盒子中只装有4只白球、5只黑球，从中任意取出一只球，（1）“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？（2）“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？（3）“取出的球是白球或是黑球”是什么事件，它的概率是多少？（2）根据以上数据，试判断他们谁更优秀.18．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升），关于行驶速度x （千米/时）的函数，解析式可以表示为8080312800013+-=x x y （1200≤<x ），已知甲、乙两地相距100千米，（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？19．已知双曲线C 的中心在原点，抛物线x y 522=的焦点是双曲线C 的一个焦点，且双曲线过点)3,1(，直线l ：1+=kx y 与双曲线C 交于A 、B 两点，（1）求双曲线的方程；（2）k 为何值时，OB OA ⊥.20．点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA ⊥PF ，（1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值.安丰高级中学高二数学期末模拟试卷答案一填空题 1 2,10x R x x∀∈-+≠ 2 20 3 2.48.8y x ∧=-+4 必要不充分条件5 25506 507 48 70 951210 30 11 [1e，+∞） 12 a-2 13 54 14 (14,1)二解答题15 解 )(1x f =4x+3，)(2x f =8x+7，)(3x f =16x+15, (1)1()(1)22n n n f x x ++=+-16 解（1）“取出的球是黄球”在题设条件下不可能发生，因此它是不可能事件它的概率为0；（2）“取出的是白球”是随机事件，它的概率为49；（3）“取出的是白球或黑球”在题设条件下必然发生，它的概率为1。

2022-2023学年湖北省新高考联考协作体高二上学期期末模拟数学试题(解析版)

2022-2023学年湖北省新高考联考协作体高二上学期期末模拟数学试题一、单选题1．已知复数12i z =+，212i z =-+，则112z z z -=（） A ．1 B．C ．2D【答案】B【分析】结合复数的运算法则和模长公式即可求解.【详解】∵()()()()122i 12i 2i 5i i 12i 12i 12i 5z z +--+-====--+-+--，∴1122i i zz z -=++= 故选：B2．设x 、y ∈R ，向量(),1,1a x =，()1,,1b y =，()3,6,3c =-且a c ⊥，//b c ，则a b +=（） A．B．C ．4 D ．3【答案】D【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出x 、y 的值，求出向量a b +的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.【详解】因为a c ⊥，则3630a c x ⋅=-+=，解得1x =，则()1,1,1a =，因为//b c ，则136y=-，解得=2y -，即()1,2,1b =-，所以，()2,1,2a b +=-，因此，413a b +=+=. 故选：D.3．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a = A ．12- B ．10-C ．10D ．12【答案】B【详解】分析：首先设出等差数列{}n a 的公差为d ，利用等差数列的求和公式，得到公差d 所满足的等量关系式，从而求得结果3d =-，之后应用等差数列的通项公式求得51421210a a d =+=-=-，从而求得正确结果.详解：设该等差数列的公差为d ，根据题中的条件可得32433(32)224222d d d ⨯⨯⨯+⋅=⨯++⨯+⋅，整理解得3d =-，所以51421210a a d =+=-=-，故选B.点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差d 的值，之后利用等差数列的通项公式得到5a 与1a d 和的关系，从而求得结果.4．如图，在三棱锥O ABC -中，设,,OA a OB b OC c ===，若,2AN NB BM MC ==，则MN =（）A ．112263a b c +-B ．112263a b c -+C ．111263a b c --D ．111263a b c ++【答案】A【分析】利用空间向量的加法、减法和数乘运算求解. 【详解】解：MN BN BM =-1223BA BC =-， ()()1223OA OB OC OB =---， 112263OA OB OC =+-， 112263a b c =+-，故选：A5．已知抛物线C ：28y x =，点P 为抛物线上任意一点，过点P 向圆D ：22430x y x +-+=作切线，切点分别为A ，B ，则四边形PADB 的面积的最小值为（） A ．1 B ．2 C 3D 5【答案】C【分析】由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接PD ，则Rt 2PAD PADB S S PA ==四边形△，而21PA PD =-PD 最小时，四边形PADB 的面积最小，再抛物线的定义转化为点P 到抛物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果【详解】如图，连接PD ，圆D ：()2221x y -+=，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，则Rt 2PAD PADB S S PA ==四边形△．又21PA PD =-，所以当四边形PADB 的面积最小时，PD 最小．过点P 向抛物线的准线2x =-作垂线，垂足为E ，则PD PE =，当点P 与坐标原点重合时，PE 最小，此时2PE =．故()()2min min13PADB S PD =-=四边形．故选：C6．直线20x y +-=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆22420x y x +++=，则PAB 面积的取值范围是（） A ．[2,32] B ．[22,32] C ．[2,6] D ．[4,12]【答案】C【分析】由题意首先求得AB 的长度，然后确定圆上的点到直线AB 的距离'd ，最后确定三角形面积的取值范围.【详解】解：因为()()2,0,0,2A B ，所以22AB =. 圆的标准方程22(2)2x y ++=，圆心()2,0C -，圆心C 到直线AB 的距离为2d =所以，点P 到直线AB 的距离d '的取值范围为：[2,32]，所以[]12,62PABSAB d '=∈. 故选:C.7．过椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>左焦点(),0F c -作倾斜角为π6的直线l ，与椭圆C 交于A 、B 两点，其中P 为线段AB 的中点，线段PF，则椭圆C 的离心率为（） AB ．12CD【答案】D【分析】设()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y，利用点差法，化简可得020x a =，结合已知条件可得12P c ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，将其代入上式化简可求得结果. 【详解】设()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，由题意得2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减，得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，因为P 为线段AB 的中点，且直线AB 的倾斜角为π6，所以020x a +=．因为(),0F c -，直线AB 的倾斜角为π6，PF =，易知点P在第二象限，则0π1cos )(62c x c =-=-，0πsin 6y ==，所以12P c ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以22316203c c a b -+=，得223a b ，所以2223()a a c =-，即2223a c =，所以c e a =．故选：D.8．已知12,F F 分别为双曲线22:1412x y C -=的左､右焦点，E 为双曲线C 的右顶点. 过2F 的直线与双曲线C 的右支交于,A B 两点（其中点A 在第一象限），设,M N 分别为1212,AF F BF F 的内心，则ME NE -的取值范围是（）A．,∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B．⎛ ⎝⎭C．⎛ ⎝⎭D．⎛⎫⎛⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭【答案】B【分析】设1212,,AF AF F F 上的切点分别为,,H I J ，利用双曲线定义及内心性质可得2M J x x ==，同理可得2N x =，设直线AB 的倾斜角为θ，由,A B 均在双曲线右支结合渐近线斜率可得π2π,33θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则通过()()πtan tan 22M c a N c E E a θθ-=----化简讨论范围即可.【详解】由题意，2,4a b c ===，()2,0E ，设1212,,AF AF F F 上的切点分别为,,H I J ，则1122,,AH AI F H F J F I F J ===，由124AF AF -=得()()1212124J J AH F H AI F I F H F I F J F J c x c x +-+=-=-=+--=， ∴2J x =，即J 与E 重合，又MJ ⊥x 轴，故2M x =，同理可得2N x =. 设直线AB 的倾斜角为θ，∵,A B 均在双曲线右支，则tan baθ<-或[)tan ,0,πb a θθ>∈，即tan θ<或tan θ>π2π,33θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∵22π,22EF M EF N θθ-∠=∠=，则()()()()cos sin π2cos 22tan tan 22sin sin cos 22M c E NE c a c a c a a θθθθθθθθ⎛⎫ ⎪-=---=--=-⎪ ⎪⎭- ⎝，当π2θ=时，0ME NE -=；当π2θ≠，()24430,tan tan 3ME NE c a θθ⎛⎫⎛⎫=-=∈⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭. 综上， ME NE -的取值范围是⎛ ⎝⎭.故选：B二、多选题9．某市新冠肺炎疫情工作取得阶段性成效，为加快推进各行各业复工复产，对当地进行连续11天调研，得到复工复产指数折线图（如图所示），下列说法错误．．的是（）A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加B．这11天期间，复产指数的极差大于复工指数的极差C．第3天至第11天复工复产指数均超过80％D．第9天至第11天复工指数的增量大于复产指数的增量【答案】ABD【分析】特例法否定选项A；比较两指数极差判断选项B；读图判断选项CD.【详解】选项A：第8天比第7天的复工指数和复产指数均低.判断错误；选项B：这11天期间，两指数的最大值相近，但复工指数比复产指数的最小值低得多，所以复工指数的极差大于复产指数的极差. 判断错误；选项C：第3天至第11天复工复产指数均超过80％. 判断正确；选项D ：第9天至第11天复工指数的增量小于复产指数的增量.判断错误. 故选：ABD10．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且214S a =，2a 是11a +与312a 的等差中项，数列{}nb 满足1nn n n a b S S +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则下列命题正确的是（）A ．数列{}n a 的通项公式123n n a -=⨯B ．31n n s =-C ．数列{}n b 的通项公式为()()1233131nn nn b +⨯=--D ．n T 的取值范围是11,86⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】ABD【分析】根据已知条件求出等比数列{}n a 的公比和首项，进而可以求得n a 和n S ；利用裂项相消法可得111133131n nn b +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭和n T ，讨论数列{}n T 的单调性，即可得出n T 的范围. 【详解】A ：由214S a =可得213a a =，所以等比数列{}n a 的公比3q =，所以113n n a a -=⨯.由2a 是11a +与312a 的等差中项，可得2131212a a a =++，即()2111123132a a a ⨯=++⨯，解得12a =，所以123n n a -=⨯，所以A 正确；B ：()()1121331113n nnn a q S q-⨯-===---，所以B 正确；C ：()()111123111331313131n n n n n n n n n a b S S -+++⨯⎛⎫===- ⎪⋅----⎝⎭，所以C 不正确；D ：12n n T b b b =++⋅⋅⋅+1223111111111111113313133131331313231n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以数列{}n T 是递增数列，得11110326n T T ⎛⎫≤<⨯-= ⎪⎝⎭，所以1186n T ≤<，所以D 正确.故选：ABD.11．已知圆22:4C x y +=，直线():34330l m x y m ++-+=，(R m ∈)．则下列四个命题正确的是（） A ．直线l 恒过定点()3,3-B ．当0m =时，圆C 上有且仅有三个点到直线l 的距离都等于1 C ．圆C 与曲线22680x y x y m +--+=恰有三条公切线，则16m =D ．当13m =时，直线l 上一个动点P 向圆C 引两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，则直线AB 经过点164,99⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】ACD【解析】利用相交直线系方程和圆系方程可判断AD 的正误，根据圆心到直线的距离可判断B 的正误，根据两圆外切可判断C 的正误.【详解】直线():34330l m x y m ++-+=可化为：():34330l x y m x +-++=，由343030x y x +-=⎧⎨+=⎩可得33x y =-⎧⎨=⎩，故直线l 恒过定点()3,3-，故A 正确.当0m =时，直线:3430l x y +-=，圆心到该直线的距离为003355d +-==，因为715R d -=>，故圆C 上有且仅有四个点到直线l 的距离都等于1，故B 错. 因为圆C 与曲线22680x y x y m +--+=恰有三条公切线，故两圆外切，故252CO ====+16m =，故C 正确.当13m =时，直线:490l x y ++=，设(),49P a a --，则以OP 为直径的圆的方程为()()490x x a y y a -+++=，而圆22:4C x y +=，故AB 的直线方程为()4940ax a y -+++=，整理得到()4940a x y y -+++=，由4=0940x y y -+⎧⎨+=⎩可得16949x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故直线AB 经过点164,99⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：对于含参数的直线方程，可通过化简其方程，以便于求出定点坐标，而切点弦，则需要利用圆系来求其方程，过圆外一点及两个切点的圆的方程可由直径式方程得到.12．如图，过双曲线222:1(0)y C x b b-=>右支上一点P 作双曲线的切线l 分别交两渐近线于A 、B 两点，交x 轴于点D ，12,F F 分别为双曲线的左、右焦点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是（）A ．2min ||21AB b =+B ．OAP OBP S S =△△C ．AOB S b =△D ．若存在点P ，使121cos 4F PF ∠=，且122F D DF =，则双曲线C 的离心率2e = 【答案】BCD【分析】联立切线方程与渐近线方程，求出,A B 的坐标，即可得2202(1)1AB b x =+-0x 的取值范围即可得min ||2AB b =，从而可判断A ，由中点坐标公式可判断P 是,A B 的中点，由此可判断BC ，由余弦定理结合122F D DF =可判断D.【详解】先求双曲线2221y x b-=上一点00(,)P x y 的切线方程：不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得）.由2221y x b -=，得222y b x b -2222y b x b'=-则在00(,)P x y 的切线斜率22022200b x y y b x b '==-，所以在点00(,)P x y 处的切线方程为：20000()b x y y x x y -=- 又有220021y x b-=，化简即可得切线方程为： 0021y y x x b -=.不失一般性，设00(,)P x y 是双曲线在第一象限的一点， 11(,)A x y 是切线与渐近线在第一象限的交点， 22(,)B x y 是切线与渐近线在第四象限的交点,双曲线的渐近线方程是y bx ±=，联立：0021y y x x b y bx⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得：20000(,)b b A bx y bx y --，联立：0021y y x x b y bx⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，解得：20000(,)b b B bx y bx y -++，则AB =又因为01x ≥，所以AB≥2b =，即min ||2AB b =，A 错误；由220000000000,22b b b b bx y bx y bx y bx y x y -++-+-+==，可知00(,)P x y 是,A B 的中点，所以OAP OBP S S =△△，B 正确；易知点D 的坐标为01(,0)x ，则221200000111()22AOBADOBDOb b SSSOD y y b x bx y bx y =+=⨯⨯-=⨯⨯+=-+，当点00(,)P x y 在顶点(1,0)时，仍然满足AOB S b =△，C 正确；因为1201(,0),(,0),(,0)F c F c D x -，所以101(,0)F D c x =+，201(,0)DF c x =-，因为122F D DF =，则00112()c c x x +=-，解得03c x =，即03x c=，代入220021y x b -=，得222029b y b c=-，所以222222212223999()6b b PF c b c b c c c c=++-=+++- 2222299(1)6(1)16c c c c c -=+++--=， 222222222223999()6b b PF c b c b c c c c=-+-=+-+- 2222299(1)6(1)4c c c c c-=+-+--=，所以2222212121212164451cos 224244PF PF F F c c F PF PF PF +-+--∠====⨯⨯⨯⨯，所以24c =，2c =，所以离心率2ce a==，D 正确. 故选：BCD【点睛】关键点点睛：利用导数几何意义求得在双曲线上一点00(,)P x y 的切线方程，并联立渐近线方程，求得,A B 的坐标，判断出P 是AB 中点.三、填空题13．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．【答案】0.18【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是30.60.50.520.108,⨯⨯⨯= 前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是220.40.60.520.072,⨯⨯⨯= 综上所述，甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q =+=【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算． 14．我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题: “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何”根据这一数学思想，所有被 3除余 2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列{}n a ，所有被 5 除余 2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列{}n b ，把数列{}n a 与{}n b 的公共项按从小到大的顺序排列组成数列{}n c ，则数列{}n c 的第10项是数列{}n b 的第______项. 【答案】28【分析】根据给定的条件，求出数列{}n a ，{}n b 的通项公式，再推导出数列{}n c 的通项即可计算作答.【详解】依题意，数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为31,53n n a n b n =-=-，令,,N k m a b k m *=∈，即有3153k m -=-，则522233m m k m -+==-，因此23,N m p p *+=∈，即32,N m p p *=-∈，有32p p c b -=，于是得数列{}n c 的通项为325(32)31513n n c b n n -==--=-，10137c =，由53137n -=得：28n =，所以数列{}n c 的第10项是数列{}n b 的第28项. 故答案为：2815．如图1所示，拋物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点．图2是图1的轴截面，A ，B 两点关于抛物线的对称轴对称，F 是抛物线的焦点，AFB ∠是馈源的方向角，记为θ，焦点F 到顶点的距离f 与口径d 的比值fd称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线馈源的方向角2π3θ=，则其焦径比为______．【答案】34【分析】理解题意，根据抛物线有关知识求解【详解】设抛物线的方程为()220y px p =>，则2p f =．设()00,A x y ，因为2π3θ=，所以00222p p AF x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以06p x =，所以033y p =，所以02323d y p ==，故其焦径比324233pf d p==．故答案为：3416．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，11,2,2,60AB AD AA BAD ===∠=︒，点P 是半圆弧11A D 上的动点(不包括端点)，点Q 是半圆弧BC 上的动点(不包括端点)，若三棱锥P BCQ -的外接球表面积为S ，则S 的取值范围是__．【答案】2541π,π44⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】先由余弦定理求出BD AB BD ⊥，确定BC 的中点E 为三棱锥P BCQ -的外接球球心O 在平面BCQ 的投影，再证明出M 为AD 的中点，N 为11B C 的中点，即EN ⊥平面ABCD ，故球心在线段EN 上，从而确定当点P 与点N 重合时，三棱锥P BCQ -的外接球半径最小，点P 与1A 或1D 重合，此时PN 最长，故三棱锥P BCQ -的外接球半径最大，画出图形，求出相应的外接球半径和表面积，最后结合点P 是半圆弧11A D 上的动点(不包括端点)，故最大值取不到，求出表面积的取值范围.【详解】因为1,2,60AB AD BAD ==∠=︒，由余弦定理得：BD = 因为222AB BD AD +=，由勾股定理逆定理得：AB BD ⊥，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面1AB =为平行四边形，故BD ⊥CD ，点Q 是半圆弧BC 上的动点(不包括端点)，故BC 为直径，取BC 的中点E ，则E 为三棱锥P BCQ -的外接球球心O 在平面BCQ 的投影，设BC 与AD 相交于点M ，11A D 与11B C 相交于点N ，连接EM ，ED ，则EM =ED因为60BCD ∠=︒，故30CBD ∠=︒，260DEM DBC ∠=∠=︒，故三角形DEM 为等边三角形，1122DM DE BC AD ===，即M 为AD 的中点，同理可得：N 为11B C 的中点，连接EN ，则EN ⊥平面ABCD ，故球心在线段EN 上，显然，当点P 与点N 重合时，三棱锥P BCQ -的外接球半径最小，假如点P 与1A 或1D 重合，此时PN 最长，故三棱锥P BCQ -的外接球半径最大，如图1，点P 与点N 重合，连接OC ，设ON R =，则OE =2-R ，OC R =，由勾股定理得：222OE EC OC +=，即()2221R R -+=，解得：54R =，此时外接球表面积为2254ππ4R =；如图2，当点P 与1A 或1D 重合时，连接11,,A O A N OC ，其中2211112A N A B B N =+=，设OE h =，则2ON h =-，由勾股定理得：()2221122AO A N ON h =+=+-，2221OC OE EC h =+=+，故()22221h h +-=+，解得：54h =，此时外接球半径为25411164OC =+=，故外接球表面积为41414ππ164⨯=，但因为点P 是半圆弧11A D 上的动点(不包括端点)，故最大值取不到，综上：S 的取值范围是2541π,π44⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：2541π,π44⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】几何体外接球问题，通常要找到几何体的一个特殊平面，利用正弦定理或几何性质找到其外心，求出外接圆的半径，进而找到球心的位置，根据半径相等列出方程，求出半径，再求解外接球表面积或体积.四、解答题17．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且111,n n a a S +==．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 满足24n n b n a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)21,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩；(2)1414939n n n T +⎛⎫=+-⋅ ⎪⎝⎭．【分析】（1）利用()12n n n S S a n --=≥求解即，注意验证1n =时是否符合；（2）利用错位相减法求和即可.【详解】（1）因为1n n a S +=，所以当2n ≥时，1nn a S -=，由此可得()11n n n n n a a S S a +--=-=，所以12n n a a +=，其中121a S ==，所以当2n ≥时，22222n n n a a --=⋅=，11a =不符合上式，所以21,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩. （2）由（1）得2224424n n n n b n a n n -=⋅=⋅=⋅， 1231142434(1)44n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅，221141424(2)4(1)44n n n n T n n n -+=⨯+⨯++-⋅+-⋅+⋅，可得()21114144134444441433nn n n n n T n n n +++⨯-⎛⎫-=+++-⋅=-⋅=-+-⋅ ⎪-⎝⎭，所以1414939n n n T +⎛⎫=+-⋅ ⎪⎝⎭． 18．某校在2021年的综合素质冬令营初试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，并将成绩共分成五组：第1组[75,80)，第2组[80,85)，第3组[85,90)，第4组[90,95)，第5组[95,100]，得到的频率分布直方图如图所示．且同时规定成绩小于85分的学生为“良好”，成绩在85分及以上的学生为“优秀”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格，面试通过者将进入复试．(1)根据样本频率分布直方图估计样本的众数；(2)如果用分层抽样的方法从“良好”和“优秀”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人发言，那么这两人中至少有一人是“优秀”的概率是多少？如果第三、四、五组的人数成等差数列，规定初试时笔试成绩得分从高到低排名在前18%的学生可直接进入复试，根据频率分布直方图估计初试时笔试成绩至少得到多少分才能直接进入复试？【答案】(1)82.5 (2)910；初试时笔试成绩至少得到93分才能直接进入复试【分析】（1）根据最高小长方形底边中点对应的横坐标为众数，即可得到答案；（2）先计算出5人中“良好”的学生和“优秀”的学生的人数，再古典概型的公式即可求解；由第三、四、五组的人数成等差数列和“优秀”学生的频率为0.6，列方程组求出,m n ，接着判断出初试时笔试成绩得分从高到低排名在18%的学生分数在第四组，设为至少x 分能进入面试，由此可得(95)0.040.0250.18x -⨯+⨯=，即可求解.【详解】（1）根据样本频率分布直方图估计样本的众数为1(8085)82.52+=；（2）“良好”的学生频率为(0.010.07)50.4+⨯=，“优秀”学生频率为10.40.6-=；由分层抽样可得“良好”的学生有50.42⨯=人，“优秀”的学生有3人，将三名优秀学生分别记为A ，B ，C ，两名良好的学生分别记为a ，b ，则这5人中选2人的基本事件有：,,,,,,,,,AB AC BC Aa Ab Ba Bb Ca Cb ab 共10种，其中至少有一人是“优秀”的基本事件有：,,,,,,,,AB AC BC Aa Ab Ba Bb Ca Cb 共9种，所以至少有一人是“优秀”的概率是910P =由第三、四、五组的人数成等差数列得(0.02)54025400.022n m n m +⨯⨯=⨯⨯⇒+=，①又三，四，五组的频率和为(0.02)50.6n m ++⨯=，② 由①②可得0.04,0.06m n ==第五组人数频率为0.0250.110%⨯==，第四、五组人数的频率为(0.020.04)50.330%+⨯==，故初试时笔试成绩得分从高到低排名在18%的学生分数在第四组，设至少得x 分能进入面试，则(95)0.040.0250.1893x x -⨯+⨯=⇒=，即根据频率分布直方图估计初试时笔试成绩至少得到93分才能直接进入复试． 19．已知抛物线2:2C y px =的焦点为()0,2,F P y 是抛物线C 上一点，且4PF =.(1)求抛物线C 的标准方程；(2)直线():20l y x m m =+≠与抛物线C 交于,M N 两点，若以MN 为直径的圆过原点O ，求直线l 的方程.【答案】(1)28y x =； (2)216=-y x .【分析】（1）根据抛物线的定义，到焦点的距离与到准线的距离相等，转化焦半径，可得p ，从而求出抛物线方程；（2）直线与抛物线相交，采用标准计算步骤设而不求的思想可解得. 【详解】（1）抛物线2:2C y px =的准线为2p x =-，所以242pPF =+=，解得4p =，所以抛物线C 的标准方程为28y x =.（2）设()()1122,,,M x y N x y ，联立28y x =与2y x m =+，消去x 得2440,Δ16160y y m m -+==->，即1m <；由韦达定理有：12124,4y y y y m +==，因为以MN 为直径的圆过原点O ，所以12120OM ON x x y y ⋅=+=，即1212022y m y m y y --⋅+=，化简可得：()2121250444m m y y y y -++=，代入韦达定理得：()25440444m m m ⨯-⨯+=，解得16m =-或0m =（舍去），所以直线l 的方程为216=-y x .20．如图，⊥AE 平面ABCD ，//BF 平面ADE ，//CF AE ，AD AB ⊥，1AB AD ==，2AE BC ==.（Ⅰ）求证：//AD BC ；（Ⅱ）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）49.【分析】（Ⅰ）由//CF AE ，可得//CF 平面ADE ，从而有平面//BCF 平面ADE ，结合，面面平行的性质可得//AD BC ；（Ⅱ）依题意，以A 为原点，分别以AB ，AD ，AE 的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系，可得(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(1,2,0)C ，(0,1,0)D ，(0,0,2)E ，利用法向量即可求出答案．【详解】（Ⅰ）证：依题意//CF AE ，CF ⊄平面ADE ，AE ⊂平面ADE ， ∴//CF 平面ADE ，又//BF 平面ADE ，BF CF F ⋂=，∴平面//BCF 平面ADE ， ∴平面BCF ⋂平面ABCD AD =，平面ADE 平面ABCD BC =， ∴//AD BC ；（Ⅱ）解：依题意，可以建立以A 为原点，分别以AB ，AD ，AE 的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(1,2,0)C ，(0,1,0)D ，(0,0,2)E ， (1,1,0)BD =-，(1,0,2)BE =-，(1,2,2)CE =--，设(,,)n x y z =为平面BDE 的法向量，则00n BD n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即020x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，不妨令1z =，可得(2,2,1)n =，因此有4cos ,9||CE n CE n CE n ⋅〈〉==-‖，∴直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49．【点睛】本题主要考查线线平行的证明，考查向量法求线面角，属于中档题．21．过双曲线Γ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 1的动直线l 与Γ的左支交于A ，B 两点，设Γ的右焦点为F 2.(1)若2ABF △是边长为4的正三角形，求此时Γ的标准方程； (2)若存在直线l ，使得22AF BF ⊥，求Γ的离心率的取值范围. 【答案】(1)2212y x -=； (2)(5,12⎤+⎦.【分析】（1）结合图像，分别求得122,4AF AF ==，1223F F =，从而求得,,a b c ，由此双曲线Γ的标准方程可求；（2）联立方程，由韦达定理得12y y +与12y y ，再由22AF BF ⊥推得221212()2(140)y y m m y y c ++-=+，由此得到关于,,a b c 的一个齐次方程，可求得离心率e 的范围，再由y 1y 2<0，得到关于,,a b c 的另一个齐次方程，缩小离心率e 的范围，从而得到Γ的离心率的取值范围.【详解】（1）依题意，结合双曲线的对称性得122,4AF AF ==，1223F F =，所以2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝2，a ＝1，12223==c F F ，3c =，b 2＝c 2－a 2＝2，此时Γ的标准方程为2212y x -=.（2）依题意知直线l 的斜率不为0，设l 的方程为x ＝my －c ，联立22221x my c x y a b=-⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x ，得22222420()b m a y b cmy b --+=，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则2122222b cm y y b m a +=-，412222b y y b m a =-，由AF 2⊥BF 2得220AF BF =⋅，故(x 1－c )(x 2－c )＋y 1y 2＝0，即(my 1－2c )(my 2－2c )＋y 1y 2＝0，整理得()()2212121240m y y cm y y c +-++=，即(m 2＋1)b 4－4m 2c 2b 2＋4c 2(b 2m 2－a 2)＝0，则(m 2＋1)b 4＝4a 2c 2，所以2224411a c m b+=≥，故4a 2c 2≥(c 2－a 2)2，所以c 4＋a 4－6a 2c 2≤0，两边除以4a ，得e 4－6e 2＋1≤0，解得233e -≤≤＋又因为e >1，所以(2211e ≤≤+，故11e ≤≤又A ，B 在左支且l 过F 1，所以y 1y 2<0，即42220b b m a <-，故222a m b <，所以222242411a c a m b b+=<+，所以()22224222224a c a b b b a b b c <+=+=，即4a 2<b 2＝c 2－a 2，则225a c <，故e 2>5，即e >1e ≤e ∈.22．已知椭圆Γ：()222210x y a b a b +=>>的长轴长为k 的直线l 与椭圆Γ有两个不同的交点A ，B (1)求椭圆Γ的方程；(2)若直线l 的方程为：y x t =+，椭圆上点31,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭关于直线l 的对称点N （与M 不重合）在椭圆Γ上，求t 的值；(3)设()2,0P -，直线PA 与椭圆Γ的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆Γ的另一个交点为D ，若点C ，D 和点71,42Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭三点共线，求k 的值；【答案】(1)2213x y +=(2)12(3)2【分析】（1）利用题给条件求得a b 、的值，即可求得椭圆Γ的方程；（2）先求得点M 关于直线l 的对称点N 的坐标，并代入椭圆Γ的方程，即可求得t 的值；（3）先利用设而不求的方法求得点C ，D 的坐标，再利用向量表示点C ，D 和点Q 三点共线，进而求得k 的值【详解】（1）椭圆Γ：()222210x y a b a b +=>>的长轴长为则a =cac =1b =则椭圆Γ的方程为2213x y +=；（2）设椭圆上点31,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭关于直线l 的对称点(,)N s n 则132********n s t n s ⎧+-⎪=+⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎪+⎩，解之得1232s t n t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，则13(,)22N t t --+ 由N 在椭圆Γ上，可得22112233t t ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-+ ⎪⎭+=⎝，整理得22520t t -+=，解之得12t =或2t = 当2t =时31,22N ⎛⎫- ⎪⎝⎭与点M 重合，舍去.则12t = （3）设11223344(,)(,)(,)(,)A x y B x y C x y D x y ，，，，则222211223333x y x y +=+=，又()2,0P -，则1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+ 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得2222111(13)121230k x k x k +++-= 则2113211213k x x k +=-+，则2131211213k x x k =--+ 又1112y k x =+，则211131211112271247132y x x x x x y x ⎛⎫ ⎪+--⎝⎭=--=+⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，则13147y y x =+，则11117124747x y C x x ⎛⎫--⎪++⎝⎭, 令则2222PB y k k x ==+，直线PB 的方程为2(2)y k x =+ 由222(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得2222222(13)121230k x k x k +++-= 则2224221213k x x k +=-+，则2242221213k x x k =--+又2222y k x =+，则222242222212271247132y x x x x x y x ⎛⎫ ⎪+--⎝⎭=--=+⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，则24247y y x =+，则22227124747x y D x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭, 则()11111117127111,,474472447472x y y QC x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+-=- ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ ()22222227127111,,474472447472x y y QD x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+-=- ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭由点C ，D 和点71,42Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭三点共线，可得//QC QD 则()()21122111110447472447472y y x x x x ⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭整理得21212()y y x x -=-，则21212y y k x x -==- 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。

高二数学上期末考试模拟试题

1
A.
5
1
B.
5
26
2
C.
D.
5
5
5、空间四边形 OABC 中，OB＝OC， AOB
AOC ，则 COS OA ,BC 3
1
2
1
A.
B.
C.
D.0
2
2
2
6、设 A (1, 2,11) ，B (4,2,3) ，C (6, 1,4) ，则 ABC 的形状是
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
7、若 x, y R, 且 x2 y2 2x 4 y 0 ，则 x 2 y 的最大值是
D1
N
A1
M
E
C1
B1 F
D A
C B
19、在棱长为 a 的正方体 ABCD —A 1B1C1D1 中 E、F 分别是 AB 、BC 的中点， EF 交 BD 于 N。问：棱 BB 1上是否存在点 M ，使 D1M ⊥平面 B1EF，并说明理由；若存在，试求 A 1N 与 D1M 所成角。
D1
C1
A1 B1
3
请把选择题答案填入下表：
题号
1
2
3
4
答案
3
C.
2
5
6
7
2
D.
2
8
9
10 11 12
班级
姓名
学号
分数
二、填空题（共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分）.将正确答案直接填在横线上 .
13.在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， BC1 与平面 BDD1B1 所成角的大小为
.
x2 y2 14.设双曲线 a2 b 2 1 a 0, b 0 的右准线与两条渐近线交于

高二上期期末检测数学模拟试题(参考答案)

高二上期期末检测模拟试题数学试题参考答案一、单选题（本大题共8小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1、【答案】B2、【答案】D解析：由题意，得存在实数x ，y ，使得AD x AB y AC =+成立，即(5,6,)(2,1,3)(1,4,2)x y λ−=−+−−，所以52,64,32,x y x y x y λ=− −=−+ =− 解得2,1,8,x y λ==− = 故选D. 3、【答案】C解析：由535S S =，且21(21)n n S n a −=−，得()312355a a a a =++，所以120a a +=，设等差数列{}n a 的公差为d ，则()()341248a a a a d +−+==，所以121d a ==−，，所以5147a a d =+=. 4、【答案】A 5、【答案】D解析：()57134a a a a +=+，则4q = ，∴4624a q a ==故选：D 6、【答案】D 7、【答案】C小题，共9、【答案】ACD解析：因为数列是一类特殊的函数，其自变量n +∈N ，故数列的图象是一群孤立的点，A 正确；数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…的对应项不一样，故不是同一数列，B 错误；，…前四项的规律，可知一个通项公式可以是()1nna n n +=∈+N ，C 正确； 10、【答案】ABD解析：当倾斜角为90°时，斜率不存在，故A 选项正确；设(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(),m n ，则满足212122n mn m − =−+ =+ ，解得：11m n = = ，故点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(1,1)，B 正确；当在x 轴和y 轴上截距都等于0时，此时直线为y x =，故C 错误；直线20x y −−=与两坐标轴的交点坐标为()2,0与()0,2−，故与两坐标轴围成的三角形的面积为12222××=，D 正确. 故选：ABD. 11、【答案】BC解析：因为双曲线22:1169x y C −=，所以5c =，又因为12112102022P P F P F S c y y =⋅=⋅⋅= ，所以4P y =，所以选项A 错误；将其代入22:1169x y C −=得2241169x −=，即20||3x =，由对称性，不妨取P 的坐标为20,43，可知2133PF =，由双曲线定义可知1213372833PF PF ++ 所以121337|||350|33PF PF +=+=，所以选项B 正确；由对称性，对于上面点P ，在12PF F 中，12371321033PF c PF =>=>=，且24012020553PF k −==>−，所以12PF F 为钝角三角形，选项C 正确；因为122920tan tan 22PF F b S θθ===，所以9πtan tan 2206θ=<=，即π26θ<，所以12π3F PF θ∠=<，所以选项D 错误（余弦定理也可以解决）； 12、【答案】ABD 解析：作出如图所示图形:对A,由抛物线定义及题意得222sin 302M M py py +==− , 即2212MM py p y+= =−,解得3p =,故A 正确; 对B,3p =,则30,2F,当直线l 的斜率不存在时,显然不合题意,设()11,M x y ,()22,N x y ,设直线l 的方程为y kx =22py =得2690x kx −−=,则12126,9x x k x x +==−, 121322MON S x x =×−=△当且仅当0k =时等号成立,故B 正确;对C,121212123322OM ON x x y y x x kx kx ⋅=+=+++ ()()()221212393919162424k x x k x x k k k =++++=−++⋅+故MON ∠钝角,则不存在直线l ,使得90OMF ONF ∠+∠>°,故C 错误; 对D,26x y =,即216y x =,故13y x ′=,1x ,在点N 2x ,为121x x =−,故相切的两条直线互相垂直,故D 正确.故选:ABD.三、填空题（本大题共4小题，共20分） 13、【答案】解析：将2220x y x ++=化为标准式得()2211x y ++=，故半径为1；圆心()1,0−到直线y kx =，由弦长为1可得1=，解得k =.故答案为：.14、【答案】33,84解析：设00(,)P x y ,则有2200143x y +=,即2200443x y −=.①由题意知12(2,0),(2,0)A A −,设直线1PA 的斜率为1k ,直线2PA 的斜率为2k ,则001200,22y y k k x x ==+−, 所以212204y k k x ⋅=−.② 由①②得1234k k ⋅=−.因为2[2,1]k ∈−−,所以1k 的取值范围为33,84,故选B.15、【答案】21nn + 解析：由题意，11a =，当(,1]x n n ∈+时，{}1x n =+，(22{},21x x n n n n ⋅∈+++ ，{{}}x x ⋅的取值依次为2221,2,,21n n n n n n ++++++ ，…，221n n ++，共1n +个，即11n n a a n +=++，由此可得(1)1211123,22(1)1n n n n a n a n n n n + =++++===− ++，所以1211121n n a a a n +++=+ . 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16、【答案】解析：本题考查抛物线、双曲线的几何性质，直线与抛物线的位置关系.由题意得,02p F，设直线l 的方程为2p x my =+，()11,A x y ，()22,B x y .由22,,2y px p x my = =+消去x 得2220y mpy p −−=，0∆>， 122y y mp ∴+=①，212y y p ⋅=−②.又||(3||AF FB =+，即(3AF FB =+，1122,(3,22p p x y x y∴−−=+−,12(3y y ∴=−+③.将③代入①得21)y mp +=−④，将③代入②得222(3y p +=⑤，再由④⑤解得21m =，故直线l 的斜率1k =±.又抛物线22(0)y px p =>的焦点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的右焦点，2p c ∴=.∴直线l 的方程即为()y k x c =−. 由双曲线的左焦点(,0)c −到直线l的距离2d b =>，解得c >，即222c b >.又222b c a =−,()2222c c a ∴>−,即ce a=<, 又1e >，∴双曲线的离心率e ∈. 17、【答案】(1).依题意得()()12111410,28,a d a d a a d +=+=+因为0d ≠，解得12,2.a d ==所以()2122n a n n =+−×=.(2).由(1)得()2222n n n S n n +==+，所以211111nS n n n n ==−++. 所以11111111223111n n T nn n n =−+−++−=−=+++…. 解析：18、【答案】（解析:（1）1BB ⊥ 平面ABC ,BC ⊂平面ABC , 1BB BC ∴⊥,平面111//A B C 平面ABC , 1BB ∴⊥平面111A B C , 11B C ⊂ 平面111A B C , 111BB B C ∴⊥11111tan B C C BB BB∴∠==1tan B CB ∠==111C BB B CB ∴∠=∠, 1190CBC B CB ∴∠+∠=°, 即11BC B C ⊥,又111A B BB ⊥,1111A B B C ⊥,1111BB B C B = ,1BB ⊂平面11BCC B ,11C B ⊂平面11BCC B , 11A B ∴⊥平面11BCC B , 111A B BC ∴⊥,1111A B B C B = ,1B C ⊂平面11A B C ,11A B ⊂平面11A B C , 1BC ∴⊥平面11A B C , 1A C ⊂ 平面11A B C ,11BC A C ∴⊥.（2）如图,作1A H AC ⊥于H ,在直角梯形11ABB A 中,得1AA =同理可得1CC =在等腰梯形11ACC A 中,()1112AH AC AC =−=则1A H ==1112A AC S AC A H ∴=⋅=△设B 到平面1A AC 的距离为d , 由11A ABC B A AC V V −−=,1113ABC A AC S BB S d ⋅=⋅△△, 则11ABC A AC S BB dS ⋅=△△又1A B =所以直线1A B 与平面1ACC A =.19、【答案】(1)圆C 的方程为22(3)(1)9x y −+−=或22(3)(1)9x y +++= (2)反射光线所在直线的方程为29150x y +−= 解析：(1)设圆222:()()(0)C x a y b r r −+−=>.由题意，得30a b −=①，||r a =②，227r +=③. 由①得3a b =，则3||r b =，代入③得21b =.当1b =时，3a =，3r =，∴圆22:(3)(1)9C x y −+−=；当1b =−时，3a =−，3r =，∴圆22:(3)(1)9C x y +++=.综上所述，圆C 的方程为22(3)(1)9x y −+−=或22(3)(1)9x y +++=. (2) 圆C 与y 轴正半轴相切， ∴圆22:(3)(1)9C x y −+−=. 设(1,2)M −−关于直线4y x =+的对称点为(,)M x y ′，则21,1214,22y x y x + =− + −− =+ 解得6,3,x y =− = (6,3)M ′∴−，∴反射光线所在直线的斜率1336k −==+∴反射光线所在直线的方程为23(6)9y x −=−+，即29150x y +−=.20、【答案】解析：解法一：取CD 的中点T ，连接AT ，可得AT CD ⊥，所以AB AT ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，故以P A ，AB ，AT 所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图.可得(,0,0)B a ，1,02C a ，1,02D a −，(0,0,)P b . (1)设平面PBD 的法向量为()111,,x y z =m ，因为(,0,)PB a b =− ，3,02BD a a =−，所以11110,30,2ax bz ax ay −=−=令1x b =，则(,)b a =m ；设平面P AC 的法向量为()222,,x y z =n ，因为(0,0,)AP b =，1,02AC a =，所以2220,10,2bz ax = = 令21y =，则(n .所以0⋅=m n ，从而平面PBD ⊥平面P AC .(2)易得1,04O a，3,08M a，设平面OPM 的法向量为()1333,,x y z =n ，因为1,,4OP a b =−，1,08OM a =，所以333331410,8ax ay bz ax −+= 31y =，则1(n ；设平面PMD 的法向量为()2444,,x y z =n ，因为1,2PD a b =−−，7,08MD a =−，所以4444410,270,8ax bz ax −−=−=令47y b =，则2,7)b =n .设二面角O PM D −−的平面角为θ，由tan θ=θ=所以1cos cos ,θ=n =解法二：过点O 作//OT PA ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以OT ⊥平面ABCD .因为四边形ABCD 为菱形，所以OC OD ⊥，如图，以OC ，OD ，OT 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，(1,0,0)A −，(1,0,0)C ，(0,B ，D ，(1,0,)P b −.(1)设平面PBD 的法向量为()111,,x y z =m ，因为(1,)PB b =− ，(0,BD =，所以11110,0,x bz −−= = 令11z =，则(,0,1)b =m ；设平面P AC 的法向量为()222,,x y z =n ，因为平面P AC 即为xOz 平面，所以(0,1,0)=n .所以0⋅=m n ，从而平面PBD ⊥平面P AC . (2)易得1,0,02M.设平面OPM 的法向量为()1333,,x y z =n ，因为(1,0,)OP b − ，1,0,02OM=，所以3330,10,2x bz x −+== 可取1(0,1,0)=n ；设平面PMD 的法向量为()2444,,x y z =n ，因为)PD b =− ，12MD=−，所以444440,10,2x bz x +−= −=令4y b =，则2,b =n .设二面角O PM D −−的平面角为θ，则tan θ=θ=所以1cos cos ,θ=n解得b =CD ==12112111222111111113333333222242n n n n n T b b b −−−=−+−++−=−+++++=+++++22、【答案】(1)标准方程为. (2)存在，点(0,0)M .2212x y +=解析：(1)因为椭圆E，所以c a =，所以直线1l 的斜率为-1.如图，设E 的右焦点为F ，右顶点为P ，上顶点为Q ，过点P 作于点D ，则π||14PD PFD ∠=，所以，即1a c c −=−=，解得，则1,b a ==.故椭圆E 的标准方程为.(2)由题意可得点O 是线段AB 的中点. 又||||AC BC =，所以OA OC ⊥.①当直线AC 的斜率存在时，设直线AC 的方程为()()1122,,,,y kx m A x y C x y =+，由2212x y y kx m+==+ ，得()222214220k x kmx m +++−=，则()()222(4)421220km k m ∆=−+−>，即22210k m −+>. 由根与系数的关系可得2121222422,2121km m x x x x k k −+=−=++，由OA OC ⊥可得12120x x y y +=，即()()12120x x kx m kx m +++=，即()()22121210k x x km x x m++++=，所以()()2222222122402121k m k m m k k +−−+=++，故22312k m =−. 假设存在点()0,0M x 满足条件，设点M 到直线AC 的距离为d ，则()()2200222213kx m kx m d k m++==+，,a b c 1PD l ⊥|||PF PD =1c =2212x y +=当00x =时，2d 为定值23，即d ②当直线AC 的斜率不存在时，根据椭圆的对称性可得11x y =，所以221112x x +=，故2123x =，点(0,0)到直线AC综上可得，存在点(0,0)M ，使得点M 到直线AC。