人教备战中考数学提高题专题复习一元二次方程练习题及详细答案
人教版数学中考复习一元二次方程专题练习题含答案
人教版数学初三中考复习一元二次方程专题练习题1．以下方程中，必定是一元二次方程的是()A ．3x2＋2x－1＝0B． 5x2－ 6y－3＝0C．ax2－x ＋2＝0D．3x2－2x－ 1＝ 02．若对于x 的方程 (a－2)x2－2ax＋ a＋ 2＝0 是一元二次方程， a 的是 () A．2B．－2C． 0D．不等于 2 的随意数3．将一元二次方程2＝－ 2x＋5 化一般形式，其一次系数与常数的和____．3x4．将一元二次方程 y(2y－ 3)＝(y＋2)(y－ 2)化一般形式，并写出它的二次系数、一次系数和常数．．下表是某同学求代数式x 2＋x 的的状况，依据表格可知方程x2＋x＝2 的解是 ()5x⋯－3－ 2－ 1012⋯x2＋x⋯620026⋯A. x＝－ 2B． x＝1C．x＝－ 2 和 x＝ 1D．x＝－ 1 和 x＝ 06．已知对于 x 的方程 x2＋ x＋ 2a－1＝0 的一个根是 0， a＝ ______．7．若对于 x 的一元二次方程ax2－bx－ 2018＝ 0 有一根 x＝－ 1， a＋b＝______．8．今年我市划大城区地面，有一方形地，它的短 60 m，若将短增到与相等 (不 )，使大后的地的形状是正方形，大后的地面比本来增添 1600 m2，大后的正方形地 x m，下边所列方程正确的选项是 ( ) A． x(x－ 60)＝1600 B． x(x＋60)＝1600 C．60(x＋60)＝1600 D．60(x－ 60)＝16009.有 x 支球参加球比，共比了 45 ，每两之都比一，以下方程中切合意的是 ()11A .2x(x －1)＝45 B. 2x(x＋ 1)＝45C．x(x －1)＝ 45D．x(x ＋1)＝4510．如所示的形的面24，依据中的条件，可列出方程： _______________________．11．以下方程中是对于 x 的一元二次方程的是 ()212A ．x ＋2＝0B． ax ＋ bx＋c＝0xD．x(x －1)＝x2＋2xC．(x－1)(x＋ 2)＝112．若对于 x 的一元二次方程 (a－ 1)x2＋x＋ |a| －1＝0 的一个根是 0，数 a 的 () A．－ 1B．0C．1D．－1 或 113．已知 m 是对于 x 的方程 x2－2x－3＝0 的一个根， 2m2－ 4m＝ ______．14 ．若方程 (m － 2)x2＋ m x ＝ 1 是对于 x的一元二次方程，m 的取范是______________________．15．小明用 30 厘米的铁丝围成一个斜边长等于13 厘米的直角三角形，设该直角三角形的一条直角边长为x厘米，则另一条直角边长为__________厘米，可列出方程：．16．依据以下问题列出一元二次方程，并将其化成一般形式．(1)某市 2015 年均匀房价为每平方米8000 元， 2017 年均匀房价降到每平方米7000 元，求这两年均匀房价年均匀降低率；(2)如图，在一块长为 22 米，宽为 17 米的矩形地面上，要修筑相同宽的两条相互垂直的道路 (两条道路各与矩形的一边平行 )，节余部分种上草坪，使草坪面积为 300 平方米，求道路的宽；1 元，则每日可多销售(3)某种服饰均匀每日可销售20 件，每件盈余 30 元，若单价每件降价5 件，假如每日要盈余1445 元，求每件服饰应降价多少元．17．一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的一个根是 1，且 a，b 知足等式 b＝ a－1＋ 1－a＋2，求这个一元二次方程．18．已知对于 x 的方程 (k2－9)x2＋(k＋3)x＝0.(1)当 k 为何值时，此方程是一元一次方程？(2)当 k 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．19．若 x2a＋b－ 3x a－b＋ 1＝ 0 是对于 x 的一元二次方程，求 a，b 的值．下边是两位同学的解法．2a＋b＝2，a＝1，甲：依据题意，得解得a－ b＝ 1，b＝0.2a＋b＝2，2a＋ b＝ 1，乙：依据题意，得或a－ b＝ 1a－b＝2，a＝ 1，a＝ 1，解得或b＝0b＝－ 1.你以为上述两位同学的解法能否正确？为何？假如都不正确，请给出正确的解法．答案：1. D2. D3.－ 34.解：一般形式为 y2－3y＋ 4＝ 0，二次项系数是 1，一次项系数是－ 3，常数项是 45.C16.27.20188. A9. A10.(x＋1)2－ 1＝ 2411. C12. A13. 614.m≥0且 m≠ 215. (17－ x)x2＋ (17－ x)2＝13216.解： (1) 设这两年均匀房价年均匀降低率为 x ，依据题意得 8000(1 －x) 2＝7000，化成一般形式为 8x2－16x＋1＝0(2) 设道路的宽为 x 米，则 (22 －x)(17 － x) ＝300，化成一般形式为 x2－39x＋ 74＝0(3) 设每件应降价 x 元，则 (20 ＋5x)(30 －x) ＝1445，化成一般形式为x2－ 26x＋169＝017.解： a＝1，b＝2，c＝－ 3，此方程为 x2＋ 2x－3＝0k2－9＝0，18. (1)解：由题意得解得k＝3，∴ k＝3时，此方程是一元一次方程k＋3≠0，(2)解：由题意得 k2－9≠0，则 k≠± 3，∴k≠±3时，此方程是一元二次方程，二次项系数、一次项系数和常数项分别为 k2－9，k＋3，019.解：都不正确，均考虑不全面．正确解法以下：要使x2a＋b－3x a－b＋1＝0 是对于 x 的一2a＋b＝2， 2a＋b＝2， 2a＋b＝2， 2a＋b＝1，或2a＋ b＝ 0，元二次方程，则或a－ b＝ 1或或解得a－b＝2a－b＝0a－ b＝ 2a－b＝2，422a＝3，a＝1，a＝3，a＝1，a＝3，或或或或42＝2＝－b＝－3b 0b＝3b1b＝－3。
中考数学复习专项提升练习：一元二次方程(含答案)
中考数学复习专项提升练习：一元二次方程一、选择题1．在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）A．2x2+x=1x−5B．x2−3x+2C．−5x2+3y−2=0D．y2=162．用配方法解一元二次方程式x2+4x-5=0，此方程可变形为（ ）A．（x+2）2=9B．（x-2）2=9C．（x+2）2=1D．（x-2）2=13．已知3x2=12，则x的值为（ ）A．4B．9C．2D．±24．关于x的一元二次方程(a−2)x2+x+a2−4=0的一个根是0，则a的值为（ ）A．2B．−2C．2或−2D．05．如果关于x的一元二次方程k2x2−(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）A．k>－14B．k>－14且k≠0C．k<－14D．k≥－14且k≠06．设一元二次方程x2−3x+2=0的两根为x1,x2，则x1+x2−x1x2的值为（ ）A．1B．−1C．0D．37．据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ）A．3.2(1−x)2=3.7B．3.2(1+x)2=3.7C．3.7(1−x)2=3.2D．3.7(1+x)2=3.28．已知α，β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足1α+1β=−1 ，则m的值是（ ）A．3B．1C．3或−1D．−3或1二、填空题9．m＝ 时，关于x的方程(m+1)x m2+1+mx+5=0是一元二次方程．10．已知一元二次方程x2+mx+1=0有两个相等的实数根，则m的值为 ．11．三角形的两边长分别为6和8，第二边长是方程x2−12x+20=0的一个实根，则第三边长为 ．12．已知α，β是一元二次方程x2−2023x−2024=0的两个根，则α2−2024α−β的值等于 . 13．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1640张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为 ．三、解答题14．解方程：（1）3x2−10x+6=0；（2）5(x+3)2=2(x+3)．15．已知关于x的一元二次方程x2−(m+3)x+3m=0．（1）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；（2）若一元二次方程的两根为x1，x2，且满足x21+x22−x1x2=19，求m的值．16．方程14x2−kx+k2+2k−3=0是关于x的一元二次方程．（1）若这个方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若等腰三角形ABC的三边分别用a、b、c表示，其中一边a长为4，另外两边b、c长恰好是这方程的两个根，求△ABC的周长．17．如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？（2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．18．某租赁公司拥有80辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为300元时，可全部租出．每辆车的日租金每增加5元，未租出的车将增加1辆．租出的车每辆每天的维护费为15元，未租出的车每辆每天的维护费为5 元．（1）当每辆车的日租金定为300元时，公司的当日日收益（租金收入扣除维护费）是多少元？（2）当每辆车的日租金定为360元时，能租出多少辆？（3）当每辆车的日租金定为多少元时，租赁公司的日收益（租金收入扣除维护费）可达23360元？参考答案1．D2．A3．D4．B5．B6．A7．B8．A9．110．±211．1012．113．（x﹣1）x=164014．（1）解：3x2−10x+6=0，∵a=3，b=−10，c=6，∴b2−4ac=(−10)2−4×3×6=28>0，∴x=−b±b2−4ac2a =10±286=5±73，∴x1=5+73，x2=5−73；（2）解：5(x+3)2=2(x+3)，5(x+3)2−2(x+3)=0，(x+3)(5x+13)=0，x+3=0或5x+13=0，解得x1=−3，x2=−135．15．（1）证明：∵Δ=b2−4ac =[−(m+3)]2−12m=m2+6m+9−12m=m2−6m+9=(m−3)2；又∵(m−3)2≥0，∴b2−4ac≥0，∴无论m取任何实数，方程总有实数根；（2）解：∵x1+x2=m+3，x1⋅x2=3m，x21+x22−x1x2=19，∴(x1+x2)2−3x1x2=19，∴(m+3)2−3×3m=19，整理得m2−3m−10=0，解得m=5或m=−2，故m的值为5或−2．16．（1）解：∵方程14x2−kx+k2+2k−3=0有两个不相等的实数根∴Δ=b2−4ac=(−k)2−4×14(k2+2k−3)>0解得：k<32（2）解：①当b=c时，则Δ=b2−4ac=(−k)2−4×14(k2+2k−3)=0，解得k=32，把k=32代入原方程得：14x2−32x+94=0方程可化为x2−6x+9=0解方程得x1=x2=3，所以b=c=3，△ABC的周长=4+3+3=10；②当a=b=4或a=c=4时，把x=4代入方程14x2−kx+k2+2k−3=0，可解得k=1当k=1时，方程化为14x2−x=0，解得x1=0，x2=4．x1=0即为c=0或b=0，不符合题意，舍去。
人教备战中考数学提高题专题复习一元二次方程练习题及答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1y x =-，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1y x =-的零点．己知函数222(3)y x mx m =--+(m m 为常数)． （1）当m =0时，求该函数的零点；（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点；（3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且121114xx +=-，此时函数图象与x 轴的交点分 别为A 、B(点A 在点B 左侧)，点M 在直线10y x =-上，当MA+MB 最小时，求直线AM 的函数解析式． 【答案】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．（2）见解析,（3）AM 的解析式为112y x =--． 【解析】【分析】（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x 2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可； （3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标，个、作点B 关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB 最小时，直线AM 的函数解析式【详解】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．（2）令y=0，得△=∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根． 即无论m 取何值，该函数总有两个零点．（3）依题意有，由解得．∴函数的解析式为． 令y=0，解得∴A()，B(4,0) 作点B 关于直线10y x =-的对称点B’，连结AB’，则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点．易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C （10,0），D （0,10）．连结CB’，则∠BCD=45°∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45°∴∠BCB’=90°即B’（106-，）设直线AB’的解析式为y kx b =+，则20{106k b k b -+=+=-，解得112k b =-=-， ∴直线AB’的解析式为112y x =--， 即AM 的解析式为112y x =--．2．已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程2(1)320k x x a -+-=②有实数根，又k 为正整数，求代数式2216k k k -+-的值． 【答案】0.【解析】【分析】 由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ，又由于关于x 的方程（k -1）x 2+3x -2a =0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求出k ，最后代入所求代数式计算即可求解．【详解】解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2则12123940x x x x a a +-⎧⎪⎨⎪-≥⎩＝＝＝ ， 由条件，知12121211x x x x x x ++==3， 即33a -=，且94a ≤， 故a ＝－1，则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0，Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则22106k k k -=+-. Ⅱ.当k -1≠0时，∆=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则178k ≤， 又k 是正整数，且k≠1，则k =2，但使2216k k k -+-无意义. 综上，代数式2216k k k -+-的值为0 【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，3．已知关于x 的方程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由？【答案】存在，n=0.【解析】【分析】在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n ，要注意n 的值要使方程②的根是整数.【详解】若存在n 满足题意.设x1，x2是方程①的两个根，则x 1+x 2=2n ，x 1x 2=324n +-，所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2， 由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0， ①若4n 2+3n+2=-n+1，解得n=-12，但1-n=32不是整数，舍. ②若4n 2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-14(舍)， 综上所述，n=0.4．已知关于x 的二次函数22(21)1y x k x k =--++的图象与x 轴有2个交点.（1）求k 的取值范围；（2）若图象与x 轴交点的横坐标为12,x x ，且它们的倒数之和是32-，求k 的值. 【答案】（1）k ＜-34；（2）k=﹣1【解析】试题分析：（1）根据交点得个数，让y=0判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式△= b2-4ac的范围可求解出k的值；（2）利用y=0时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到k 的值.试题解析：（1）∵二次函数y=x2-（2k-1）x+k2+1的图象与x轴有两交点，∴当y=0时，x2-（2k-1）x+k2+1=0有两个不相等的实数根．∴△=b2-4ac=[-（2k-1）]2-4×1×（k2+1）＞0．解得k＜-34；（2）当y=0时，x2-（2k-1）x+k2+1=0．则x1+x2=2k-1，x1•x2=k2+1，∵=== 32-，解得：k=-1或k=13-（舍去），∴k=﹣15．关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）S的值能为2，此时k的值为2．【解析】试题分析：（1）本题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．试题解析：（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1,x=有一个解；②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，△=（2k）²-4×2（k-1）=4k²-8k＋8="4(k-1)" ²＋4＞0方程有两不等根综合①②得不论k为何值，方程总有实根（2）∵x ₁＋x ₂＝,x ₁ x ₂=∴S=++ x1+x2= == ==2k-2=2，解得k=2， ∴当k=2时，S 的值为2∴S 的值能为2，此时k 的值为2．考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．6．用适当的方法解下列一元二次方程：（1）2x 2＋4x －1＝0；（2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0.【答案】（1）x 1＝－1＋62x 2＝－1－622）y 1＝－14，y 2＝32. 【解析】试题分析：（1）根据方程的特点，利用公式法解一元二次方程即可；（2）根据因式分解法，利用平方差公式因式分解，然后再根据乘积为0的方程的解法求解即可.试题解析：（1）∵a=2，b=4，c=-1∴△=b 2-4ac=16+8=24＞0∴24b b c a -±-42461-±=- ∴x 1＝－16，x 2＝－16 （2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0[(y+2)+(3y-1)][ (y+2)-(3y-1)]=0即4y+1=0或-2y+3=0解得y 1＝－14，y 2＝32.7．已知x=﹣1是关于x 的方程x 2+2ax+a 2=0的一个根，求a 的值．【答案】1【解析】试题分析：根据一元二次方程解的定义，把x=﹣1代入x 2+2ax+a 2=0得到关于a 的一元二次方程1﹣2a+a2=0，然后解此一元二次方程即可．试题解析：把x=﹣1代入x2+2ax+a2=0得1﹣2a+a2=0，解得a1=a2=1，所以a的值为1.8．已知关于x的方程x2﹣(k+3)x+3k＝0．(1)若该方程的一个根为1，求k的值；(2)求证：不论k取何实数，该方程总有两个实数根．【答案】(1)k＝1；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）把x＝1代入方程，即可求得k的值；（2）求出根的判别式是非负数即可.【详解】(1)把x＝1代入方程x2﹣(k+3)x+3k＝0得1﹣(k﹣3)+3k＝0，1﹣k﹣3+3k＝0解得k＝1；(2)证明：==-+=1,(3),3a b k c k24∆=-b ac∴△＝(k+3)2﹣4•3k ＝(k﹣3)2≥0，所以不论k取何实数，该方程总有两个实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题关键.9．重庆市旅游文化商店自制了一款文化衫，每件成本价为20元，每天销售150件：（1）若要每天的利润不低于2250元，则销售单价至少为多少元？（2）为了回馈广大游客，同时也为了提高这种文化衫的认知度，商店决定在“五一”节当天开展促销活动，若销售单价在（1）中的最低销售价的基础上再降低m%，则日销售量可以在150件基础上增加m件，结果当天的销售额达到5670元；要使销售量尽可能大，求出m的值．【答案】（1）销售单价至少为35元；（2）m=16．【解析】试题分析：（1）根据利润的公式列出方程，再求解即可；（2）销售价为原销售价×（1﹣m%），销售量为（150+m），列出方程求解即可．试题解析：（1）设销售单价至少为x 元，根据题意列方程得，150（x ﹣20）=2250，解得x=35，答：销售单价至少为35元；（2）由题意得：35×（1﹣m%）（150+m ）=5670， 150+m ﹣150×m%﹣m%×m=162， m ﹣m 2=12， 60m ﹣3m 2=192，m 2﹣20m+64=0，m 1=4，m 2=16，∵要使销售量尽可能大，∴m=16．【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．10．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答： （1）每千克茶叶应降价多少元？（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的 几折出售？【答案】（1）每千克茶叶应降价30元或80元；（2）该店应按原售价的8折出售．【解析】【分析】（1）设每千克茶叶应降价x 元，利用销售量×每件利润=41600元列出方程求解即可； （2）为了让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折．【详解】（1）设每千克茶叶应降价x 元．根据题意，得：（400﹣x ﹣240）（200+10x ×40）=41600． 化简，得：x 2﹣10x +240=0．解得：x 1=30，x 2=80．答：每千克茶叶应降价30元或80元．（2）由（1）可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元．此时，售价为：400﹣80=320（元），320100%80% 400⨯=．答：该店应按原售价的8折出售．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．。
人教版数学中考复习《一元二次方程》专题练习题含答案
人教版数学 初三中考复习 一元二次方程 专题练习题1．下列方程中，一定是一元二次方程的是( )A ．3x 2＋2x －1＝0B ．5x 2－6y －3＝0C ．ax 2－x ＋2＝0D ．3x 2－2x －1＝02．若关于x 的方程(a －2)x 2－2ax ＋a ＋2＝0是一元二次方程，则a 的值是( )A ．2B ．－2C ．0D ．不等于2的任意实数3．将一元二次方程3x 2＝－2x ＋5化为一般形式，其一次项系数与常数项的和为____．4．将一元二次方程y(2y －3)＝(y ＋2)(y －2)化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．2x 2＋x ＝2的解是( )＝－1和x ＝06．已知关于x 的方程x 2＋x ＋2a －1＝0的一个根是0，则a ＝______． 7．若关于x 的一元二次方程ax 2－bx －2018＝0有一根为x ＝－1，则a ＋b ＝______．8．今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60 m ，若将短边增长到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1600 m 2，设扩大后的正方形绿地边长为x m ，下面所列方程正确的是( )A ．x(x －60)＝1600B ．x(x ＋60)＝1600C ．60(x ＋60)＝1600D ．60(x －60)＝16009. 有x 支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是( )A .12x(x －1)＝45 B. 12x(x ＋1)＝45 C ．x(x －1)＝45 D ．x(x ＋1)＝4510．如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程：_______________________．11．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( )A ．x 2＋1x 2＝0B ．ax 2＋bx ＋c ＝0C ．(x －1)(x ＋2)＝1D ．x(x －1)＝x 2＋2x12．若关于x 的一元二次方程(a －1)x 2＋x ＋|a|－1＝0的一个根是0，则实数a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－1或113．已知m 是关于x 的方程x 2－2x －3＝0的一个根，则2m 2－4m ＝______．14．若方程(m －2)x 2＋m x ＝1是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是______________________．15．小明用30厘米的铁丝围成一个斜边长等于13厘米的直角三角形，设该直角三角形的一条直角边长为x 厘米，则另一条直角边长为__________厘米，可列出方程：___________________________．16．根据下列问题列出一元二次方程，并将其化成一般形式．(1)某市2015年平均房价为每平方米8000元，2017年平均房价降到每平方米7000元，求这两年平均房价年平均降低率；(2)如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米，求道路的宽；(3)某种服装平均每天可销售20件，每件盈利30元，若单价每件降价1元，则每天可多销售5件，如果每天要盈利1445元，求每件服装应降价多少元．17．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根是1，且a ，b 满足等式b ＝a －1＋1－a ＋2，求这个一元二次方程．18．已知关于x 的方程(k 2－9)x 2＋(k ＋3)x ＝0.(1)当k 为何值时，此方程是一元一次方程？(2)当k 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．19．若x 2a ＋b －3x a －b ＋1＝0是关于x 的一元二次方程，求a ，b 的值．下面是两位同学的解法．甲：根据题意，得⎩⎨⎧2a ＋b ＝2，a －b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝0.乙：根据题意，得⎩⎨⎧2a ＋b ＝2，a －b ＝1或⎩⎨⎧2a ＋b ＝1，a －b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝0或⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1.你认为上述两位同学的解法是否正确？为什么？如果都不正确，请给出正确的解法．答案：1. D2. D3. －34. 解：一般形式为y 2－3y ＋4＝0，二次项系数是1，一次项系数是－3，常数项是45. C6. 127. 20188. A9. A10. (x ＋1)2－1＝2411. C12. A13. 614. m≥0且m≠215. (17－x) x 2＋(17－x)2＝13216. 解：(1)设这两年平均房价年平均降低率为x ，根据题意得8000(1－x)2＝7000，化成一般形式为8x 2－16x ＋1＝0(2)设道路的宽为x 米，则(22－x)(17－x)＝300，化成一般形式为x 2－39x ＋74＝0(3)设每件应降价x 元，则(20＋5x)(30－x)＝1445，化成一般形式为x 2－26x ＋169＝017. 解：a ＝1，b ＝2，c ＝－3，此方程为x 2＋2x －3＝018. (1) 解：由题意得⎩⎨⎧k 2－9＝0，k ＋3≠0，解得k ＝3，∴k ＝3时，此方程是一元一次方程 (2) 解：由题意得k 2－9≠0，则k≠±3，∴k≠±3时，此方程是一元二次方程，二次项系数、一次项系数和常数项分别为k 2－9，k ＋3，019. 解：都不正确，均考虑不全面．正确解法如下：要使x 2a ＋b －3x a －b ＋1＝0是关于x 的一元二次方程，则⎩⎨⎧2a ＋b ＝2，a －b ＝2或⎩⎨⎧2a ＋b ＝2，a －b ＝1或⎩⎨⎧2a ＋b ＝2，a －b ＝0或⎩⎨⎧2a ＋b ＝1，a －b ＝2或⎩⎨⎧2a ＋b ＝0，a －b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝－23或⎩⎨⎧a ＝1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝23或⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝－43。
人教备战中考数学复习《一元二次方程》专项综合练习含答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根．()1求k 的取值范围；()2设方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足221223x x +=，求k 的值．【答案】（1）134k ≤；（2）2k =-． 【解析】 【分析】()1根据方程有实数根得出()()22[2k 1]41k 38k 50=---⨯⨯-=-+≥，解之可得．()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】 解：()1关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根，0∴≥，即()()22[21]4134130k k k ---⨯⨯-=-+≥，解得134k ≤． ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-，2123x x k =-，()222222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+， 221223x x +=，224723k k ∴-+=，解得4k =，或2k =-，134k ≤， 4k ∴=舍去， 2k ∴=-． 【点睛】本题考查了一元二次方程2ax bx c 0(a 0,++=≠a ，b ，c 为常数)根的判别式.当0>，方程有两个不相等的实数根；当0=，方程有两个相等的实数根；当0<，方程没有实数根.以及根与系数的关系．2．观察下列一组方程：20x x -=①；2320x x -+=②；2560x x -+=③；27120x x -+=④；⋯它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．()1若2560x kx ++=也是“连根一元二次方程”，写出k 的值，并解这个一元二次方程；()2请写出第n 个方程和它的根．【答案】（1）x 1＝7，x 2＝8.（2）x 1＝n －1，x 2＝n . 【解析】 【分析】（1）根据十字相乘的方法和“连根一元二次方程”的定义,找到56是7与8的乘积,确定k 值即可解题,（2）找到规律,十字相乘的方法即可求解. 【详解】解：(1)由题意可得k ＝－15，则原方程为x 2－15x ＋56＝0，则(x －7)·(x －8)＝0，解得x 1＝7，x 2＝8.(2)第n 个方程为x 2－(2n －1)x ＋n(n －1)＝0，(x －n)(x －n ＋1)＝0，解得x 1＝n －1，x 2＝n. 【点睛】本题考查了用因式分解法求解一元二次方程,与十字相乘联系密切,连根一元二次方程是特殊的十字相乘,中等难度,会用十字相乘解题是解题关键.3．设m 是不小于﹣1的实数，关于x 的方程x 2+2（m ﹣2）x+m 2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x 1、x 2，（1）若x 12+x 22=6，求m 值；（2）令T=121211mx mx x x +--，求T 的取值范围．【答案】（1）2）0＜T≤4且T≠2． 【解析】 【分析】由方程方程由两个不相等的实数根求得﹣1≤m ＜1，根据根与系数的关系可得x 1+x 2=4﹣2m ，x 1•x 2=m 2﹣3m+3；（1）把x 12+x 22=6化为（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=6，代入解方程求得m 的值，根据﹣1≤m ＜1对方程的解进行取舍；（2）把T 化简为2﹣2m ，结合﹣1≤m ＜1且m≠0即可求T 得取值范围. 【详解】∵方程由两个不相等的实数根， 所以△=[2（m ﹣2）]2﹣4（m 2﹣3m+3） =﹣4m+4＞0，所以m ＜1，又∵m 是不小于﹣1的实数， ∴﹣1≤m ＜1∴x 1+x 2=﹣2（m ﹣2）=4﹣2m ，x 1•x 2=m 2﹣3m+3； （1）∵x 12+x 22=6， ∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=6，即（4﹣2m ）2﹣2（m 2﹣3m+3）=6 整理，得m 2﹣5m+2=0解得m=；∵﹣1≤m＜1所以m=．（2）T=+=====2﹣2m．∵﹣1≤m＜1且m≠0所以0＜2﹣2m≤4且m≠0即0＜T≤4且T≠2．【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．4．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．【答案】（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【解析】【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：400（1﹣x）2=361，解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%； （2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．5．关于x 的一元二次方程(k -2)x 2-4x +2=0有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；(2)如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程x 2-4x +k =0与x 2+mx -1=0有一个相同的根，求此时m 的值．【答案】（1）k ＜4且k ≠2.（2）m =0或m =83-. 【解析】 分析：（1）由题意，根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式列出关于k 的不等式组，解不等式组即可求得对应的k 的取值范围；（2）由（1）得到符合条件的k 的值，代入原方程，解方程求得x 的值，然后把所得x 的值分别代入方程x 2+mx -1=0即可求得对应的m 的值. 详解：(1)∵一元二次方程(k-2)x 2-4x+2=0有两个不相等的实数根， ∴△=16-8(k-2)=32-8k ＞0且k-2≠0. 解得：k ＜4且k≠2.(2)由(1)可知，符合条件的：k=3， 将k=3代入原方程得：方程x 2-4x+3=0， 解此方程得：x 1=1，x 2=3.把x=1时，代入方程x 2+mx-1=0，有1+m-1=0，解得m=0. 把x=3时，代入方程x 2+mx-1=0，有9+3m-1=0，解得m=83-. ∴m=0或m=83-.点睛：（1）知道“在一元二次方程20?(0)ax bx c a ++=≠中，当△=240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根；当△=240b ac -=时，方程有两个相等的实数根；△=240b ac -<时，方程没有实数根”是正确解答第1小题的关键；（2）解第2小题时，需注意相同的根存在两种情况，解题时不要忽略了其中任何一种情况.6．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【答案】（1）4元或6元；（2）九折. 【解析】 【详解】解：（1）设每千克核桃应降价x 元.根据题意，得（60﹣x ﹣40）（100+x2×20）=2240， 化简，得 x 2﹣10x+24=0，解得x 1=4，x 2=6. 答：每千克核桃应降价4元或6元.（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元. ∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元.此时，售价为：60﹣6=54（元），54100%=90%60⨯. 答：该店应按原售价的九折出售.7．已知：关于x 的一元二次方程221(1)204x m x m +++-=.（1）若此方程有两个实数根，求没m 的最小整数值； （2）若此方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足22211221184x x x m x +=--，求m 的值. 【答案】（1）-4；（2）m=3 【解析】 【分析】（1）利用根的判别式的意义得到△≥0，然后解不等式得到m 的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；（2）利用根与系数的关系得到12(1)x x m +=-+，212124x x m =-，然后解关于m 的一元二次方程，即可确定m 的值． 【详解】解：（1）∵221(1)204x m x m +++-=有两个实数根，∴221(1)41(2)04m m ∆=+-⨯⨯-≥， ∴290m +≥， ∴92m ≥-； ∴m 的最小整数值为：4m =-；（2）由根与系数的关系得：12(1)x x m +=-+，212124x x m =-， 由22212121184x x x x m ++=-得： ()22211121844m m m ⎛⎫⎡⎤-+--=- ⎪⎣⎦⎝⎭∴22150m m +-=， 解得：3m =或5m =-； ∵92m ≥-， ∴3m =. 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，则12bx x a +=-，12c x x a=．也考查了根的判别式．解题的关键是熟练掌握根与系数的关系和根的判别式.8．已知关于x 的方程x 2﹣(k +3)x +3k ＝0． (1)若该方程的一个根为1，求k 的值；(2)求证：不论k 取何实数，该方程总有两个实数根． 【答案】(1)k ＝1；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）把x ＝1代入方程，即可求得k 的值； （2）求出根的判别式是非负数即可. 【详解】(1)把x ＝1代入方程x 2﹣(k +3)x +3k ＝0得1﹣(k ﹣3)+3k ＝0， 1﹣k ﹣3+3k ＝0 解得k ＝1； (2)证明：1,(3),3a b k c k ==-+= 24b ac ∆=-∴ △＝(k +3)2﹣4•3k ＝(k ﹣3)2≥0，所以不论k 取何实数，该方程总有两个实数根． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题关键.9．如图，在四边形 ABCD 中， AD //BC ， C 90∠=︒ ， BC 16=， DC 12= ，AD 21= ，动点P 从点D 出发，沿线段 DA 的方向以每秒2个单位长的速度运动；动点Q 从点 C 出发，在线段 CB 上以每秒1个单位长的速度向点 B 运动；点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点 P 运动到点 A 时，点Q 随之停止运动，设运动的时间为t 秒）.（1）当 t 2=时，求 BPQ 的面积；（2）若四边形ABQP 为平行四边形，求运动时间 t . （3）当 t 为何值时，以 B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？ 【答案】（1）S 84=；（2）t 5= ；（3）7t 2=或163. 【解析】 【分析】（1）过点P 作PM BC ⊥于M ，则PM=DC ，当t=2时，算出BQ ，求出面积即可；（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，AP BQ =，即212t 16t -=-，解出即可；（3）以 B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况，①PQ BQ =，②BP BQ =，③PB PQ =分别求出t 即可. 【详解】解 ：（1）过点P 作PM BC ⊥于M ，则四边形PDCM 为矩形.∴PM DC 12==， ∵QB 16t =-， 当t=2时，则BQ=14，则1S QB PM 2=⨯=12×14×12=84； （2）当四边形ABQP 是平行四边形时，AP BQ =,即212t 16t -=-： 解得：t 5=∴当t 5=时，四边形ABQP 是平行四边形.（3）由图可知，CM=PD=2t ，CQ=t ，若以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，可以分为以下三种情况：①若PQ BQ =，在Rt PMQ 中，222PQ 12t =+，由22PQ BQ =得()2221216t t +=- 解得：7t 2=； ②若BP BQ =，在Rt PMB 中，()222PB 16212t =-+，由22PB BQ ?=得()()222 1621216t t -+=- ，即2332t 1440t -+=，此时，()232431447040=--⨯⨯=-<△ , 所以此方程无解，所以BP BQ ≠ ；③若PB PQ =，由22PB PQ ?=得()2222 12162t 12t +=-+ , 得 1163t =，216t =（不合题意，舍去）； 综上所述，当7t 2=或163时，以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形. 【点睛】本题是对四边形即可中动点问题的考查，熟练掌握动点中线段的表示、平行四边形和等腰三角形的性质及判断是解决本题的关键，难度适中.10．若两个一次函数的图象与x 轴交于同一点，则称这两个函数为一对“x 牵手函数”，这个交点为“x 牵手点”．（1）一次函数y ＝x ﹣1与x 轴的交点坐标为 ；一次函数y ＝ax +2与一次函数y ＝x ﹣1为一对“x 牵手函数”，则a ＝ ；（2）已知一对“x 牵手函数”：y ＝ax +1与y ＝bx ﹣1，其中a ，b 为一元二次方程x 2﹣kx +k ﹣4＝0的两根，求它们的“x 牵手点”．【答案】（1）（1，0），a ＝﹣2；（2）“x 牵手点”为（12-，0）或（12，0）. 【解析】 【分析】（1）根据x 轴上点的坐标特征可求一次函数y=x-1与x 轴的交点坐标；把一次函数y=x-1与x 轴的交点坐标代入一次函数y=ax+2可求a 的值；（2）根据“x 牵手函数”的定义得到a+b=0，根据根与系数的关系求得k=0，可得方程x 2-4=0，解得x 1=2，x 2=-2，再分两种情况：①若a=2，b=-2，②若a=-2，b=2，进行讨论可求它们的“x 牵手点”． 【详解】解：（1）当y ＝0时，即x ﹣1＝0，所以x ＝1，即一次函数y ＝x ﹣1与x 轴的交点坐标为（1，0）， 由于一次函数y ＝ax+2与一次函数y ＝x ﹣1为一对“x 牵手函数”， 所以0＝a+2， 解得a ＝﹣2；（2）∵y＝ax+1与y＝bx﹣1为一对“x牵手函数”∴11a b-=，∴a+b＝0．∵a，b为x2﹣kx+k﹣4＝0的两根∴a+b＝k＝0，∴x2﹣4＝0，∴x1＝2，x2＝﹣2．①若a＝2，b＝﹣2则y＝2x+1与y＝﹣2x﹣1的“x牵手点”为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭；②若a＝﹣2，b＝2则y＝﹣2x+1与y＝2x﹣1的“x牵手点”为（12，0 ）∴综上所述，“x牵手点”为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭或（12，0）【点睛】本题考查了根与系数的关系、一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征的运用．。
中考数学总复习《一元二次方程(解答题专练)》专项提升练习(附带答案)
中考数学总复习《一元二次方程（解答题专练）》专项提升练习(附带答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、解答题1．某种病毒在其生长过程中，在保证自身稳定性的前提下，每隔半小时繁殖出若干个新的病毒，如果由最初的一个病毒经过1h后变成了841个病毒，求一个病毒每半小时繁殖出多少个病毒.2．某种音乐播放器MP3原来每只售价400元，经过连续两次降价后，现在每只售价为256元.求平均每次降价的百分率.3．某公司今年销售一种产品，1月获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月的利润比2月的利润增加4.8万元，假设该产品每月利润的增长率相同，求这个增长率.4．某种计算机CPU(中央处理器)经过7，8月连续两次降价，每片售价由2 500元降到了1600元.已知每次降价的百分率相同.（1）求每次降价的百分率.（2）若9月继续保持相同的百分率降价，则这款CPU在9月的售价为多少元? 5．已知关于x的一元二次方程x2−(k−2)x+(1−k)=0.（1）求证：不论k为何值时此方程总有两个实数根；（2）当方程的一个根为x1=5时求方程的另一个根x2及k的值．6．小明同学在寒假社会调查实践活动期间，对某罐头加工厂进行采访，获得了该厂去年的部分生产信息如下：①该厂1月罐头加工量为a吨.②该厂3月的加工量比1月增长了44%.③该厂第一季度共加工罐头182吨.④该厂从4月开始设备整修更新，加工量每月按相同的百分率开始下降.⑤6月设备整修更新完毕，此月加工量为1月的2.1倍，与5月相比增长了46.68吨.利用以上信息，求：（1）该厂第一季度加工量的月平均增长率.（2）a的值.（3）该厂第二季度的总加工量7．某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨（1）求4月份再生纸的产量；（2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加m%.5月份每吨再生纸的利润比上月增加m%，则5月份再生纸项目月利润达到662万元求m的值；（3）若4月份每吨再生纸的利润为1 200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润．8．已知关于x的二次函数y=(x−2a)(x−b−1).（1）该函数的图象与x轴只有一个交点，求a与b之间的关系.（2）若a=1当x>3时y随x的增大而增大，求b的取值范囲.（3）若a=m，b=1−m该函数的象不经过第三累限，求m的取值范围. 9．如图所示，△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.P，Q分别从A，B同时出发.（1）经过几秒，P、Q间的距离等于6cm？（2）线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，说明理由.（3）几秒时△PBQ与△ABC相似？10．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC 和Rt△BED边长，易知AE=√2，这时我们把关于x的形如ax2+√2cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b=0必有实数根；（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是6√2，求△ABC面积．二、综合题11．如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时能围成一个面积为640m2的羊圈？（2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．12．某农场要建一个饲养场（矩形ABCD）两面靠现有墙（AD位置的墙最大可用长度为21米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）.建成后木栏总长45米，设饲养场（矩形ABCD）的一边AB长为x米.（1）饲养场另一边BC=米（用含x的代数式表示）；（2）若饲养场ABCD的面积为180平方米，求x的值；（3）饲养场ABCD的面积能围成面积比180m2更大的吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由.13．如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹．（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的1780（1）求配色条纹的宽度；（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．14．2020年，某家庭纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展养殖业，到2022年，家庭收入为3600元．（1）求该家庭2020年到2022年人均收入的年平均增长率．（2）若年平均增长率保持不变，2023年家庭年收入是否达到4200元？15．如图所示，四边形ABCD为矩形AB=6cm，AD=4cm若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时另一点也同时停止．设运动的时间为t(s)．（1）当t为何值时△PDQ的面积为6cm2？（2）是否存在t使△PDQ为等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．16．已知关于x的一元二次方程：x2-（2k+1）x+4（k-1）＝0．2（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．17．定义：当x取任意实数，函数值始终不小于一个常数时称这个函数为“恒心函数”，这个常数称为“恒心值”.（1）判断：函数y=x2+2x+2是否为“恒心函数”，如果是，求出此时的“恒心值”，如果不是，请说明理由；（2）已知“恒心函数”y=3|ax2+bx+c|+2①当a>0，c<0时此时的恒心值为；②若三个整数a、b、c的和为12，且ba =cb，求a的最大值与最小值，并求出此时相应的b、c的值；（3）“恒心函数”y=ax2+bx+c(b>a)的恒心值为0，且a+b+ca+b>m恒成立，求m的取值范围.参考答案一、解答题1．某种病毒在其生长过程中，在保证自身稳定性的前提下，每隔半小时繁殖出若干个新的病毒，如果由最初的一个病毒经过1h后变成了841个病毒，求一个病毒每半小时繁殖出多少个病毒.【答案】解：设一个病毒每半小时繁衍x个病毒根据题意得1+x+（1+x）x=841整理得：x2+2x-840=0解得：x1=28，x2=-30（舍去）故一个病毒每半小时繁衍28个病毒.2．某种音乐播放器MP3原来每只售价400元，经过连续两次降价后，现在每只售价为256元.求平均每次降价的百分率.【答案】解：设平均每次降价的百分率为x依题意，得：400（1-x）2=256解得：x1=0.2=20%，x2=1.8（不合题意，舍去）；故平均每次降价的百分率为20%.3．某公司今年销售一种产品，1月获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月的利润比2月的利润增加4.8万元，假设该产品每月利润的增长率相同，求这个增长率.【答案】解：设这个增长率为x依题意得：20（1+x）2-20（1+x）=4.8解得： x1=0.2=20%，x2=-1.2（不合题意，舍去）；故这个增长率是20%.4．某种计算机CPU(中央处理器)经过7，8月连续两次降价，每片售价由2 500元降到了1600元.已知每次降价的百分率相同.（1）求每次降价的百分率.（2）若9月继续保持相同的百分率降价，则这款CPU在9月的售价为多少元? 【答案】（1）解：设每次下降的百分率为x依题意，得：2500（1-x）2=1600解得：x1=0.2=20%，x2=1.8（不合题意，舍去）；故每次下降的百分率为20%.（2）解：1600×（1-20%）=1280（元）；故若9月份继续保持相同的百分率降价，则这种品牌的手机售价为1280元.5．已知关于x的一元二次方程x2−(k−2)x+(1−k)=0.（1）求证：不论k为何值时此方程总有两个实数根；（2）当方程的一个根为x1=5时求方程的另一个根x2及k的值．【答案】（1）证明：∵x2−(k−2)x+(1−k)=0∴Δ=[−(k−2)]2−4×1×(1−k)=k2−4k+4−4+4k=k2≥0∴不论k为何值时此方程总有两个实数根；（2）解：将x1=5代入x2−(k−2)x+(1−k)=0，得52−5(k−2)+(1−k)= 0解得k=6∴原方程为x2−4x−5=0解得x1=5，x2=−1．6．小明同学在寒假社会调查实践活动期间，对某罐头加工厂进行采访，获得了该厂去年的部分生产信息如下：①该厂1月罐头加工量为a吨.②该厂3月的加工量比1月增长了44%.③该厂第一季度共加工罐头182吨.④该厂从4月开始设备整修更新，加工量每月按相同的百分率开始下降.⑤6月设备整修更新完毕，此月加工量为1月的2.1倍，与5月相比增长了46.68吨.利用以上信息，求：（1）该厂第一季度加工量的月平均增长率.（2）a的值.（3）该厂第二季度的总加工量【答案】（1）解：设第一季度加工量的月平均增长率为x由题意得（1+x）2=1.44解得：x1=0.2，x2=-2.2（不合题意，舍去）故第一季度加工量的月平均增长率为20%.（2）解：由题意得a+1.2a+1.44a=182解得：a=50；故该厂一月份的加工量a的值是50.（3）解：六月份产量为50×2.1=105吨五月份产量为105-46.68=58.32吨设从三月到五月逐月下降的百分率为y由题意得50×1.44×（1-y）2=58.32解得：y1=0.1，y2=1.9（不合题意，舍去）；∴从三月到五月逐月下降的百分率为10%∴四月产量为72×0.9=64.8（吨）∴第二季度总产量为64.8+58.32+105=228.12（吨）；故该厂第二季度的总加工量是228.12吨.7．某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨（1）求4月份再生纸的产量；（2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加%，则5月份再生纸项目月利润达到66 m%.5月份每吨再生纸的利润比上月增加m2万元求m的值；（3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润．【答案】（1）解：设3月份再生纸的产量为x吨，则4月份再生纸的产量为(2x-100)吨，依题意得x+2x-100=800 ，解得x= 300∴2x-100= 2x300- 100=500，即4月份再生纸的产量为500吨．（2）解：依题意得1 000(1+ m% ) ×500( 1 +m%)= 660 0002整理得m2+300m-6 400=0，解得m1= 20，m2=-320(不合题意，舍去)，即m的值为20．（3）解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a吨依题意得1 200(1+y)2·a(1+y)=(1+25%)×1 200(1+y)·a∴1200(1+y)2=1 500．即6月份每吨再生纸的利润是1500元8．已知关于x的二次函数y=(x−2a)(x−b−1).（1）该函数的图象与x轴只有一个交点，求a与b之间的关系.（2）若a=1，当x>3时y随x的增大而增大，求b的取值范囲.（3）若a=m，b=1−m该函数的象不经过第三累限，求m的取值范围. 【答案】（1）解：当该函数的图象与x轴只有一个交点时(x-2a)(x-b-1)=0只有一个根∴2a=b+1；（2）解：当a=1时二次函数与x轴两交点的横坐标为2和b+1；∵函数的二次项系数大于0∴函数的开口向上∵当x>3时y随x的增大而增大∴b+1≤3+3-2解得b≤3；（3）解：∵a=m，b=1−m∴二次函数为y=(x-2m)(x+m-2)∵该图象不经过第三象限∴当与x轴只有一个交点时2m=2-m；解得m=23当与x轴有两个交点时2m+2-m>0且2m(2-m)≥0解得0≤m≤2；∴m=2或0≤m≤2.39．如图所示，△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm点P从点A开始沿AB 边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动P，Q分别从A，B同时出发.（1）经过几秒P、Q间的距离等于6cm？（2）线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，说明理由.（3）几秒时△PBQ与△ABC相似？【答案】（1）解：设经过x秒PQ=6cm，依题意有(6−x)2+(2x)2=36解得x1=0（舍去）x2=2.4故经过24秒PQ=6cm；（2）解：设经过y秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分，依题意有△ABC的面积=12×6×8=24cm2，12(6−y)⋅2y=12，y2−6y+12=0∵Δ=b2−4ac=36−4×12=−12<0∴此方程无实数根∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分；（3）解：设经过秒时△PBQ与△ABC相似①△PBQ∽△ABC时∴BPBA =BQBC∴6−t6=2t8∴t=2.4②当△PBQ∽△CBA时∴BPBC =BQBA∴6−t8=2t6∴t=1811综上所述，1811秒或2.4秒时△PBQ与△ABC相似.10．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC 和Rt△BED边长，易知AE=√2，这时我们把关于x的形如ax2+√2cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b=0必有实数根；（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是6√2，求△ABC面积．【答案】（1）解：当a＝3，b＝4，c＝5时勾系一元二次方程为3x2+5√2x+4＝0；（2）证明：根据题意，得Δ＝（√2c）2﹣4ab＝2c2﹣4ab∵a2+b2＝c2∴2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0即△≥0∴勾系一元二次方程ax2+√2cx+b=0必有实数根；（3）解：当x＝﹣1时有a﹣√2c+b＝0，即a+b＝√2c∵2a+2b+√2c＝6√2，即2（a+b）+√2c＝6√2∴3√2c＝6√2∴c＝2∴a2+b2＝c2＝4，a+b＝2√2∵（a+b）2＝a2+b2+2ab∴ab＝2ab＝1．∴S△ABC＝12二、综合题11．如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时能围成一个面积为640m2的羊圈？（2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．【答案】（1）解：设矩形ABCD的边AB=x m，则边BC=70−2x+2=(72−2x)m．根据题意，得x(72−2x)=640．化简，得x2−36x+320=0．解得x1=16，x2=20．当x=16时72−2x=72−32=40；当x=20时72−2x=72−40=32．答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时能围成一个面积为640m2的羊圈．（2）解：不能，理由如下：由题意，得x(72−2x)=650．化简，得x2−36x+325=0．∵Δ=(−36)2−4×325=−4<0∴一元二次方程没有实数根．∴羊圈的面积不能达到650m2．12．某农场要建一个饲养场（矩形ABCD）两面靠现有墙（AD位置的墙最大可用长度为21米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）.建成后木栏总长45米，设饲养场（矩形ABCD）的一边AB长为x米.（1）饲养场另一边BC=米（用含x的代数式表示）；（2）若饲养场ABCD的面积为180平方米，求x的值；（3）饲养场ABCD的面积能围成面积比180m2更大的吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由.【答案】（1）（48-3x）（2）解：由题意得：x（48-3x）=180解得：x1=6，x2=10∵1＜48-3x≤21，1＜x≤15∴9≤x≤15∴x=10.（3）能，理由如下设饲养场ABCD的面积为S，则有：S=x（48-3x）=-3x2+48x=-3（x-8）2+192∵由（2）可知9≤x≤15∴由二次函数的性质可知，当x=9时S有最大值189m2∴饲养场ABCD的面积能围成面积比180m2更大的，其最大面积为189m2.13．如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹．（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的1780（1）求配色条纹的宽度；（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．【答案】（1）解：设条纹的宽度为x米．依题意得2x×5+2x×4﹣4x2= 1780×5×4解得：x1= 174（不符合，舍去），x2= 14．答：配色条纹宽度为14米（2）解：条纹造价：1780×5×4×200=850（元）其余部分造价：（1﹣1780）×4×5×100=1575（元）∴总造价为：850+1575=2425（元）答：地毯的总造价是2425元14．2020年，某家庭纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展养殖业，到2022年，家庭收入为3600元．（1）求该家庭2020年到2022年人均收入的年平均增长率．（2）若年平均增长率保持不变，2023年家庭年收入是否达到4200元？【答案】（1）解：设该家庭2020年到2022年人均收入的年平均增长率为x，根据题意得2500(1+x)2=3600解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2（舍去）∴该家庭2020年到2022年人均收入的年平均增长率为20%；（2）解：3600×(1+20%)=4320元4320>4200∴若年平均增长率保持不变，2023年家庭年收入能达到4200元．15．如图所示，四边形ABCD为矩形AB=6cm，AD=4cm若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时另一点也同时停止．设运动的时间为t(s)．（1）当t为何值时△PDQ的面积为6cm2？（2）是否存在t使△PDQ为等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：由题意可得：AQ=t，BP=2t∵四边形ABCD为矩形AB=6cm，AD=4cm∴DQ=4−t，AP=6−2t，∠A=90°(4−t)(6−2t)=6∴12∴t2−7t+6=0解得：t=1或t=6；∵0≤t≤3∴t=6不符合题意，则t=1∴当t=1s时△PQD的面积为6cm2．（2）解：由题意可得：DQ=4−t，AP=6−2t，AQ=t∴PQ2=AQ2+AP2=t2+(6−2t)2∵△PDQ为钝角三角形；且为等腰三角形∴DQ=PQ∴(4−t)2=t2+(6−2t)2∴t2−4t+5=0∴Δ=(−4)2−4×1×5=16−20=−4<0∴方程无解∴不存在t使△PDQ为等腰三角形．）＝0．16．已知关于x的一元二次方程：x2-（2k+1）x+4（k-12（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．)【答案】（1）证明：Δ=(2k+1)2−4×1×4(k−12＝4k2-12k+9＝（2k-3）2∵无论k取什么实数值，（2k-3）2≥0∴△≥0∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；（2）解：∵x=2k+1±(2k−3)2∴x1＝2k-1，x2＝2∵b，c恰好是这个方程的两个实数根故设b=2k-1，c＝2当a 、b 为腰， 则a=b=4，即2k-1=4， 解得：k =52，此时三角形的周长＝4+4+2＝10；当b 、c 为腰时 b=c=2，此时b+c=a ， 故此种情况不存在； 综上所述，△ABC 的周长为10．17．定义：当x 取任意实数，函数值始终不小于一个常数时称这个函数为“恒心函数”，这个常数称为“恒心值”.（1）判断：函数y =x 2+2x +2是否为“恒心函数”，如果是，求出此时的“恒心值”，如果不是，请说明理由；（2）已知“恒心函数”y =3|ax 2+bx +c|+2 ①当a >0，c <0时此时的恒心值为 ；②若三个整数a 、b 、c 的和为12，且ba =cb ，求a 的最大值与最小值，并求出此时相应的b 、c 的值；（3）“恒心函数”y =ax 2+bx +c(b >a)的恒心值为0，且a+b+c a+b>m 恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1）解：y =x 2+2x +2=(x +1)2+1≥1 ∴函数y =x 2+2x +2为“恒心函数”，“恒心值”为1. （2）①2②由题可知{a +b +c =12b a=c b} ∴{a +c =12−bac =b 2}∴设a 、c(a ≠c)为方程x 2+(b −12)x +b 2=0的两根 Δ=(b −12)2−4b 2＞0∴b 2+8b −48＜0 ∴−12＜b ＜4∴b=−11，−10⋯3经验证，“b=−8，a=16，c=4”、“a=b=c=4”和“b=−8，a=4，c= 16”符合条件综上a max=16，b=−8，c=4a min=4，b=4，c=4或a min=4，b=−8，c=16（3）解：由题可知即c=b 24a∴a+b+c a+b=1+c a+b=1+b2 4a a+b=1+b24a(a+b)＞1+b24b(b+b)=98∴m≤98。
人教备战中考数学一元二次方程的综合复习附答案
一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．(1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q 两点之间的距离是多少cm？(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C 同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？(3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？【答案】（1）PQ=62cm；（2）85s或245s；（3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为12cm2．【解析】试题分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，∴cm；∴经过2s时P、Q两点之间的距离是；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，∴16-5x=±8，∴x1=85，x2=245；∴经过85s或245sP、Q两点之间的距离是10cm；（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．①当0≤y≤163时，则PB=16-3y，∴12PB•BC=12，即12×（16-3y）×6=12，解得y=4；②当163＜x≤223时，BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则1 2BP•CQ=12（3y-16）×2y=12，解得y1=6，y2=-23（舍去）；③223＜x≤8时，QP=CQ-PQ=22-y，则1 2QP•CB=12（22-y）×6=12，解得y=18（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2．考点：一元二次方程的应用．2．已知关于x的方程230x x a++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x的方程2(1)320k x x a-+-=②有实数根，又k为正整数，求代数式2216kk k-+-的值．【答案】0.【解析】【分析】由于关于x的方程x2+3x+a=0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a的方程求出a，又由于关于x的方程（k-1）x2+3x-2a=0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求出k ，最后代入所求代数式计算即可求解．【详解】解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2则12123940x x x x a a +-⎧⎪⎨⎪-≥⎩＝＝＝ ， 由条件，知12121211x x x x x x ++==3， 即33a -=，且94a ≤， 故a ＝－1，则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0，Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则22106k k k -=+-. Ⅱ.当k -1≠0时，∆=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则178k ≤， 又k 是正整数，且k≠1，则k =2，但使2216k k k -+-无意义. 综上，代数式2216k k k -+-的值为0 【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，3．解方程：(x+1)(x ﹣3)=﹣1．【答案】x 1x 2=1【解析】试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可.试题解析：整理得：x 2﹣2x=2，配方得：x 2﹣2x+1=3，即（x ﹣1）2=3，解得：x 1，x 2=14．已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=有两个实数根. (1)求k 的取值范围；(2)若方程的两实数根分别为1x ，2x ，且221212615x x x x +=-，求k 的值.【答案】（1）32k ≥ （2）4【解析】试题分析：根据方程的系数结合根的判别式即可得出230k ∆=-≥ ，解之即可得出结论. 根据韦达定理可得：212121114x x k x x k ，+=+⋅=+ ，结合221212615x x x x +=- 即可得出关于k 的一元二次方程，解之即可得出k 值，再由⑴的结论即可确定k 值.试题解析：因为方程有两个实数根，所以()22114112304k k k ⎛⎫⎡⎤∆=-+-⨯⨯+=-≥⎪⎣⎦⎝⎭ ， 解得32k ≥. 根据韦达定理，()221212111141 1.114k k x x k x x k +-++=-=+⋅==+， 因为221212615x x x x +=-，所以()212128150x x x x +-+=，将上式代入可得 ()2211811504k k ⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭，整理得2280k k --= ，解得 1242k k ，==- ，又因为32k ≥，所以4k =.5．小王经营的网店专门销售某种品牌的一种保温杯，成本为30元/只，每天销售量y（只）与销售单价x （元）之间的关系式为y ＝﹣10x+700（40≤x≤55），求当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元【解析】【分析】表示出一件的利润为（x ﹣30）,根据总利润=单件利润乘以销售数量,整理成顶点式即可解题.【详解】设每天获得的利润为w 元，根据题意得：w ＝（x ﹣30）y ＝（x ﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x 2+1000x ﹣21000＝﹣10（x ﹣50）2+4000．∵a ＝﹣10＜0，∴当x ＝50时，w 取最大值，最大值为4000．答：当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元．【点睛】本题考查了一元二次函数的实际应用,中等难度,熟悉函数的性质是解题关键.6．某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映:若售价每降价1元，每星期可多卖10箱．设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），每星期的销售量为y箱．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到3570元？（3）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元?【答案】(1)y=-10x+780；(2) 57；(3)当售价为59元时，利润最大，为3610元【解析】【分析】（1）根据售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设售价x元,则多销售的数量为60-x,（2）解一元二次方程即可求解,（3）表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解.【详解】解：（1）∵售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），则y=180+10（60-x）=-10x+780,(40≤x≤60),(2)依题意得：（x-40）(-10x+780)=3570,解得：x=57,∴当每箱售价为57元时，每星期的销售利润达到3570元.（3）设每星期的利润为w，W=（x-40）(-10x+780)=-10（x-59）2+3610,∵-10 0,二次函数向下,函数有最大值,当x=59时, 利润最大，为3610元.【点睛】本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,熟悉二次函数的实际应用是解题关键.7．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣12）＝0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值多少？【答案】（1）详见解析；（2）k＝32或2．【解析】【分析】（1）计算判别式的值，利用完全平方公式得到△＝（2k﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用求根公式解方程得到x1＝2k﹣1，x2＝2，再根据等腰三角形的性质得到2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，然后分别解关于k的方程即可．【详解】（1）∵△＝（2k+1）2﹣4×4（k﹣12）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2≥0，∴该方程总有实数根；（2）() 2k12k3 x=2±＋﹣∴x1＝2k﹣1，x2＝2，∵a、b、c为等腰三角形的三边，∴2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，∴k＝32或2．【点睛】本题考查了根的判别式以及等腰三角形的性质，分a是等腰三角形的底和腰两种情况是解题的关键.8．解方程：（x2+x）2+（x2+x）＝6．【答案】x1＝﹣2，x2＝1【解析】【分析】设x2+x＝y，将原方程变形整理为y2+y﹣6＝0，求得y的值，然后再解一元二次方程即可．【详解】解：设x2+x＝y，则原方程变形为y2+y﹣6＝0，解得y1＝﹣3，y2＝2．①当y＝2时，x2+x＝2，即x2+x﹣2＝0，解得x1＝﹣2，x2＝1；②当y＝﹣3时，x2+x＝﹣3，即x2+x+3＝0，∵△＝12﹣4×1×3＝1﹣12＝﹣11＜0，∴此方程无解；∴原方程的解为x1＝﹣2，x2＝1．【点睛】本题考查了换元法和一元二次方程的解法，设出元化简原方程是解答本题的关键.9．将进货单价为40元的商品按50元售出，能售出500件，如果该商品涨价1元，其销售量就要减少10件，为了赚取8000元的利润，售价应定为多少元？这时应进货多少件？【答案】要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件．【解析】【分析】设每件商品涨价x元，能赚得8000元的利润；销售单价为(50)x+元，销售量为(50010)x-件；每件的利润为根据为（50+x-40）元，根据总利润=销售量×每个利润，可列方程求解【详解】解：设每件商品涨价x 元，则销售单价为(50)x +元，销售量为(50010)x -件． 根据题意，得(50010)[(50)40]8000x x -+-=．解得110x =，230x =．经检验，110x =，230x =都符合题意．当10x =时，5060x +=，50010400x -=；当30x =时，5080x +=，50010200x -=．所以，要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，关键看到售价和销售量的关系，然后以利润做为等量关系列方程求解10．若两个一次函数的图象与x 轴交于同一点，则称这两个函数为一对“x 牵手函数”，这个交点为“x 牵手点”．（1）一次函数y ＝x ﹣1与x 轴的交点坐标为 ；一次函数y ＝ax +2与一次函数y ＝x ﹣1为一对“x 牵手函数”，则a ＝ ；（2）已知一对“x 牵手函数”：y ＝ax +1与y ＝bx ﹣1，其中a ，b 为一元二次方程x 2﹣kx +k ﹣4＝0的两根，求它们的“x 牵手点”．【答案】（1）（1，0），a ＝﹣2；（2）“x 牵手点”为（12-，0）或（12，0）. 【解析】【分析】（1）根据x 轴上点的坐标特征可求一次函数y=x-1与x 轴的交点坐标；把一次函数y=x-1与x 轴的交点坐标代入一次函数y=ax+2可求a 的值；（2）根据“x 牵手函数”的定义得到a+b=0，根据根与系数的关系求得k=0，可得方程x 2-4=0，解得x 1=2，x 2=-2，再分两种情况：①若a=2，b=-2，②若a=-2，b=2，进行讨论可求它们的“x 牵手点”．【详解】解：（1）当y ＝0时，即x ﹣1＝0，所以x ＝1，即一次函数y ＝x ﹣1与x 轴的交点坐标为（1，0），由于一次函数y ＝ax+2与一次函数y ＝x ﹣1为一对“x 牵手函数”，所以0＝a+2，解得a ＝﹣2；（2）∵y ＝ax+1与y ＝bx ﹣1为一对“x 牵手函数” ∴11a b-=，∴a+b＝0．∵a，b为x2﹣kx+k﹣4＝0的两根∴a+b＝k＝0，∴x2﹣4＝0，∴x1＝2，x2＝﹣2．①若a＝2，b＝﹣2则y＝2x+1与y＝﹣2x﹣1的“x牵手点”为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭；②若a＝﹣2，b＝2则y＝﹣2x+1与y＝2x﹣1的“x牵手点”为（12，0 ）∴综上所述，“x牵手点”为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭或（12，0）【点睛】本题考查了根与系数的关系、一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征的运用．。
人教中考数学提高题专题复习一元二次方程练习题含详细答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知关于x 的方程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由？【答案】存在，n=0.【解析】【分析】在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n ，要注意n 的值要使方程②的根是整数.【详解】若存在n 满足题意.设x1，x2是方程①的两个根，则x 1+x 2=2n ，x 1x 2=324n +-，所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2， 由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0， ①若4n 2+3n+2=-n+1，解得n=-12，但1-n=32不是整数，舍. ②若4n 2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-14(舍)， 综上所述，n=0.2．解方程：（2x+1）2=2x+1．【答案】x=0或x=12-. 【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可.试题解析：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0，∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x （2x+1）=0，则x=0或2x+1=0，解得：x=0或x=﹣12．3．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg ，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg ，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．（1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg ，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，例如润滑用油量为89kg时，用油的重复利用率为61.6%．①润滑用油量为80kg，用油量的重复利用率为多少？②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？【答案】（1）28（2）①76%②75，84%【解析】试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，进而得出答案；（2）①利用润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案；②首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，得出等式求出答案．试题解析：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg）；（2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%；②设润滑用油量是x千克，则x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x）]}=12，整理得：x2﹣65x﹣750=0，（x﹣75）（x+10）=0，解得：x1=75，x2=﹣10（舍去），60%+1.6%（90﹣x）=84%，答：设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%．考点：一元二次方程的应用4．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨52m%，购买数量和原计划一样：“美团”网上的购买价格比原有价格下降了920m元，购买数量在原计划基础上增加15m%，最终，在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%，求出m的值．【答案】（1）120；（2）20．【解析】试题分析：（1）本题介绍两种解法：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，解出即可；解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价；（2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a 个礼盒，表示在“大众点评”网上的购买实际消费总额：120a （1﹣25%）（1+52m %），在“美团”网上的购买实际消费总额：a [120（1﹣25%）﹣920m ]（1+15m %）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m %”列方程解出即可． 试题解析：（1）解：解法一：设标价为x 元，列不等式为0.8x •80≤7680，x ≤120； 解法二：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）．答：每个礼盒在花店的最高标价是120元；（2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a 个礼盒，由题意得：120×0.8a （1﹣25%）（1+52m %）+a [120×0.8（1﹣25%）﹣920m ]（1+15m %）=120×0.8a （1﹣25%）×2（1+ 152m %），即72a （1+ 52m %）+a （72﹣ 920m ）（1+15m %）=144a （1+152m %），整理得：0．0675m 2﹣1.35m =0，m 2﹣20m =0，解得：m 1=0（舍），m 2=20．答：m 的值是20． 点睛：本题是一元二次方程的应用，第二问有难度，正确表示出“大众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键．5．解方程： 2212x x 6x 9-=-+（） 【答案】124x x 23==-， 【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可.试题解析：因式分解，得2212x x 3-=-（）（）开平方，得12x x 3-=-，或12x x 3-=--（）解得124x x 23==-， 6．解方程：2332302121x x x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．【答案】x=15或x=1 【解析】【分析】 设321x y x =-，则原方程变形为y 2-2y-3=0, 解这个一元二次方程求y ，再求x ． 【详解】 解：设321x y x =-，则原方程变形为y 2-2y-3=0． 解这个方程，得y 1=-1,y 2=3, ∴3121x x =--或3321x x =-． 解得x=15或x=1． 经检验：x=15或x=1都是原方程的解． ∴原方程的解是x=15或x=1． 【点睛】考查了还原法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．7．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m+3）x+m 2=0有两根α，β．（1）求m 的取值范围；（2）若111αβ+=-，则m 的值为多少？【答案】（1）14m ≥；（2）m 的值为3． 【解析】【分析】（1）根据△≥0即可求解,（2）化简11αβ+,利用韦达定理求出α+β，αβ,代入解方程即可. 【详解】解：（1）由题意知，（2m+3）2﹣4×1×m 2≥0，解得：m≥-34； （2）由根与系数的关系得：α+β=﹣（2m+3），αβ=m 2，∵111αβ+=-，即αβαβ+=-1, ∴2m 3m2+﹣（）=-1,整理得m 2﹣2m ﹣3=0 解得：m 1=﹣1，m 1=3，由（1）知m≥-34， ∴m 1=﹣1应舍去，∴m 的值为3．【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式以及韦达定理，对根进行判断是正确解题的关键.8．已知关于x 的方程x 2－（m ＋2）x ＋（2m －1）=0。
中考数学复习《一元二次方程》专项提升训练题-附答案
中考数学复习《一元二次方程》专项提升训练题-附答案学校:班级:姓名:考号:一、选择题1．把x2−5x=31配方，需在方程的两边都加上（）A．5B．25C．2.5D．2542．方程x2−8x+16=0根的情况是（）．A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根3．若x=0是关于x的一元二次方程(m−1)x2+2x+m2−1=0的解，则m的值为（）A．m=±1B．m=0C．m=1D．m=−14．一元二次方程3x2−mx−3=0有一根是x=1，则另一根是（）A．x=1B．x=−1C．x=2D．x=45．关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个实根，则实数k的取值范围是（）A．k≤1B．k<1C．k≤1且k≠0D．k<1且k≠06．在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某小组成员之间共互赠了30本图书，若设该组共有x名同学，那么依题意可列出的方程是（）A．x(x−1)=30B．x(x+1)=30x(x−1)=30C．2x(x−1)=30D．127．若a是方程3x2−6x−2=10的一个解，则2a2−4a−2031的值是（）A．2023 B．－2023 C．2022 D．－20228．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条线，一共开了21条线，则这个航空公司共有飞机场（）A．4个B．5个C．6个D．7个二、填空题9．若关于x的方程(m−1)⋅x2+x+m2−1=0，有一根为0，则m=．10．已知抛物线y=x2+2x+k−1与x轴有两个交点，则k的取值范围是．11．若x1、x2是一元二次方程x2+2x＝3的两根，则x1•x2的值是．12．游行队伍有8行12列，后又增加了69人，要使得队伍增加的行数和列数相同，需要增加行。
13．已知关于x的方程ax2+bx+c=0的两根为x1=1，x2=2，则方程a(x+2)2+b(x+2)+c=0的两根之和为．14．解方程：（1）x2−2x=99；（2）(x+3)2=−2(x+3)15．已知关于x的一元二次方程x2+(3−k)x+2−k=0.（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程恰有一个根大于1，求k的取值范围．16．关于x的一元二次方程x2−(2m−1)x+m2−2m=0有实数根.（1）求m的取值范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且满足x12+x22−x1x2=9，求m的值.17．某公司投资建了一商场，共有商铺30间，据预测，当每间租金定为10万元，可全部租出，每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间，该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元．（1）当每间商铺的年租金为l3万元时，能租出多少间？（2）若从减少空铺的角度来看，当每间商铺的年租金为多少万元时，该公司的年收益为275万元？18．重庆奉节脐橙，柚子非常出名，奉节大力发展经济作物．其中果树种植已经具有规模性了，今年受气1．D2．B3．D4．B5．C6．A7．B8．D9．m=±110．k<211．-312．313．-114．（1）解：∵x2−2x=99∴x2−2x+1=100，即(x−1)2=100∴x−1=10或x−1=−10解得：x1=11（2）解：∵(x+3)2=−2(x+3)∴(x+3)2+2(x+3)=0∴(x+3)(x+5)=0∴x+3=0或x+5=0解得：x1=−315．（1）证明：∵Δ=(3−k)2−4×(2−k)=k2−2k+1=(k−1)2≥0∴方程总有两个实数根；（2）解：∵x2+(3−k)x+2−k=(x+1)(x+2−k)=0∴x1=−1∵方程有一个根大于1∴k−2>1，解得：k>3∴k的取值范围为k>3.16．（1）解：关于x的一元二次方程x2−(2m−1)x+m2−2m=0有实数根∴Δ=b2−4ac=[−(2m−1)]2−4(m2−2m)=4m+1≥0解得m≥−14.（2）解：∵x1+x2=2m−1x1x2=m2−2m∴x12+x22−x1x2=(x1+x2)2−3x1x2=(2m−1)2−3(m2−2m)=m2+2m+1 .∵x12+x22−x1x2=9∴m2+2m+1=9，即(m+1)2=9解得m=2或m=−4 .由（1）知m≥−14∴m=2 .17．（1）解：∵（130000﹣100000）÷5000=6∴能租出30﹣6=24（间）（2）解：设每间商铺年租金增加x万元所以（30﹣）（10+x）﹣（30﹣）×1﹣×0.5=275解得x1=5，x2=0.5∴每间商铺的年租金为10.5万元或15万元∴若从减少空铺的角度来看，当每间商铺的年租金为10.5万元时，该公司的年收益为275万元18．解：（1）设今年柚子xkg由题意得：4200－x≤6x解得：x≥600答：该果农今年收获柚子至少600kg．（2）由题意知：1000×（1－a%）×15+2000×（1+2a%）×10×（1－56a%）＝1000×15+2000×10令a%＝m15×（1－m）+20×（1+2m）（1－56m）＝15+20100m2－25m＝0解得：10m =（不合题意，舍去），20.25m =＝25% ∴a ＝25。
人教备战中考数学提高题专题复习一元二次方程练习题附详细答案
一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．(1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q 两点之间的距离是多少cm？(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C 同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？(3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？【答案】（1）PQ=62cm；（2）85s或245s；（3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为12cm2．【解析】试题分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，∴PQ=62cm；∴经过2s时P、Q两点之间的距离是62cm；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，∴16-5x=±8，∴x1=85，x2=245；∴经过85s或245sP、Q两点之间的距离是10cm；（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．①当0≤y≤163时，则PB=16-3y，∴12PB•BC=12，即12×（16-3y）×6=12，解得y=4；②当163＜x≤223时，BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则1 2BP•CQ=12（3y-16）×2y=12，解得y1=6，y2=-23（舍去）；③223＜x≤8时，QP=CQ-PQ=22-y，则1 2QP•CB=12（22-y）×6=12，解得y=18（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2．考点：一元二次方程的应用．2．阅读下列材料计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）（+），令+＝t，则：原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣+t2＝在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题：（1）计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）×（+）（2）因式分解：（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4（3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝3【答案】（1）；（2）（a2﹣5a+5）2；（3）x1＝0，x2＝﹣4，x3＝x4＝﹣2【解析】【分析】（1）仿照材料内容，令+＝t代入原式计算．（2）观察式子找相同部分进行换元，令a2﹣5a＝t代入原式进行因式分解，最后要记得把t换为a．（3）观察式子找相同部分进行换元，令x2+4x＝t代入原方程，即得到关于t的一元二次方程，得到t的两个解后要代回去求出4个x的解．【详解】（1）令+＝t，则：原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣﹣t+t2+＝（2）令a2﹣5a＝t，则：原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2（3）令x2+4x＝t，则原方程转化为：（t+1）（t+3）＝3t2+4t+3＝3t（t+4）＝0∴t1＝0，t2＝﹣4当x2+4x＝0时，x（x+4）＝0解得：x1＝0，x2＝﹣4当x2+4x＝﹣4时，x2+4x+4＝0（x+2）2＝0解得：x3＝x4＝﹣2【点睛】本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程．利用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算．3．解下列方程：（1）x 2﹣3x=1．（2）12（y+2）2﹣6=0． 【答案】(1)12313313,22x x +-== ;(2)12223,223y y =-+=-- 【解析】试题分析：（1）利用公式法求解即可；（2）利用直接开方法解即可；试题解析：解：（1）将原方程化为一般式，得x 2﹣3x ﹣1=0，∵b 2﹣4ac=13＞0∴． ∴12313313,22x x +-==． （2）（y+2）2=12， ∴或，∴12223,223y y =-+=--4．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%．（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠．【解析】【分析】（1）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可； （2）分别求出两种方式的增长率，然后比较即可.【详解】（1）设平均每次下调x%，则7000（1﹣x ）2=5670，解得：x 1=10%，x 2=190%（不合题意，舍去）；答：平均每次下调的百分率为10%．（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x ）2=（1﹣10%）2=81%． ∵80.75%＜81%，∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．5．从图象来看，该函数是一个分段函数，当0≤x≤m 时，是正比例函数，当x ＞m 时是一次函数．【小题1】只需把x代入函数表达式，计算出y的值，若与表格中的水费相等，则知收取方案．6．已知关于x的一元二次方程有两个实数x2+2x+a﹣2=0，有两个实数根x1，x2．（1）求实数a的取值范围；（2）若x12x22+4x1+4x2=1，求a的值．【答案】（1）a≤3；（2）a=﹣1．【解析】试题分析：（1）由根的个数，根据根的判别式可求出a的取值范围；（2）根据一元二次方程根与系数的关系，代换求值即可得到a的值.试题解析：（1）∵方程有两个实数根，∴△≥0，即22﹣4×1×（a﹣2）≥0，解得a≤3；（2）由题意可得x1+x2=﹣2，x1x2=a﹣2，∵x12x22+4x1+4x2=1，∴（a﹣2）2﹣8=1，解得a=5或a=﹣1，∵a≤3，∴a=﹣1．7．已知关于x的方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)如果m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．【答案】(1)m＜3；(2)m＝2．【解析】【分析】（1）根据题意得出△＞0，代入求出即可；（2）求出m=1或2，代入后求出方程的解，即可得出答案．【详解】（1）∵方程有两个不相等的实数根．∴△＝4﹣4(m﹣2)＞0．∴m＜3；（2）∵m＜3 且 m为正整数，∴m＝1或2．当 m＝1时，原方程为 x2﹣2x﹣1＝0．它的根不是整数，不符合题意，舍去；当 m＝2时，原方程为 x2﹣2x＝0．∴x(x﹣2)＝0．∴x1＝0，x2＝2．符合题意．综上所述，m＝2．【点睛】本题考查了根的判别式和解一元二次方程，能根据题意求出m的值和m的范围是解此题的关键．8．如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？【答案】羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米.【解析】试题分析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．试题解析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米．根据题意得（100﹣4x）x=400，解得 x1=20，x2=5．则100﹣4x=20或100﹣4x=80．∵80＞25，∴x2=5舍去．即AB=20，BC=20考点：一元二次方程的应用．9．已知关于x的方程x2﹣(k+3)x+3k＝0．(1)若该方程的一个根为1，求k的值；(2)求证：不论k取何实数，该方程总有两个实数根．【答案】(1)k＝1；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）把x＝1代入方程，即可求得k的值；（2）求出根的判别式是非负数即可.【详解】(1)把x＝1代入方程x2﹣(k+3)x+3k＝0得1﹣(k﹣3)+3k＝0，1﹣k﹣3+3k＝0解得k＝1；(2)证明：==-+=1,(3),3a b k c k24∆=-b ac∴△＝(k+3)2﹣4•3k ＝(k﹣3)2≥0，所以不论k取何实数，该方程总有两个实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题关键.10．已知：关于x的方程x2－4mx＋4m2－1＝0.(1)不解方程，判断方程的根的情况；(2)若△ABC为等腰三角形，BC＝5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．2【答案】(1) 有两个不相等的实数根（2）周长为13或17【解析】试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=4＞0，由此可得出：无论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据等腰三角形的性质及△＞0，可得出5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根，将x=5代入原方程可求出m值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出结论．试题解析：解：（1）∵△=（﹣4m）2﹣4（4m2﹣1）=4＞0，∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）∵△＞0，△ABC为等腰三角形，另外两条边是方程的根，∴5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根．将x=5代入原方程，得：25﹣20m+4m2﹣1=0，解得：m1=2，m2=3．当m=2时，原方程为x2﹣8x+15=0，解得：x1=3，x2=5．∵3、5、5能够组成三角形，∴该三角形的周长为3+5+5=13；当m=3时，原方程为x2﹣12x+35=0，解得：x1=5，x2=7．∵5、5、7能够组成三角形，∴该三角形的周长为5+5+7=17．综上所述：此三角形的周长为13或17．点睛：本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入x=5求出m值．。
人教备战中考数学复习一元二次方程专项综合练含答案
一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．解方程：（2x+1）2=2x+1．【答案】x=0或x=1 2 .【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可.试题解析：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0，∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x（2x+1）=0，则x=0或2x+1=0，解得：x=0或x=﹣12．2．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0．（1）求证：对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．【答案】（1）证明见解析；（2）m的值为±2，方程的另一个根是5．【解析】【分析】（1）先把方程化为一般式，利用根的判别式△=b2-4ac证明判断即可；（2）根据方程的根，利用代入法即可求解m的值，然后还原方程求出另一个解即可.【详解】（1）证明：∵（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0，∴x2﹣7x+12﹣m2=0，∴△=（﹣7）2﹣4（12﹣m2）=1+4m2，∵m2≥0，∴△＞0，∴对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；（2）解：∵方程的一个根是2，∴4﹣14+12﹣m2=0，解得m=±，∴原方程为x2﹣7x+10=0，解得x=2或x=5，即m的值为±，方程的另一个根是5．【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当△=b2-4ac＜0时，方程没有实数根.3．关于x 的一元二次方程()22210x k x k +-+=有两个不等实根1x ，2x . （1）求实数k 的取值范围；（2）若方程两实根1x ，2x 满足121210x x x x ++-=，求k 的值.【答案】(1) k ＜14;(2) k=0. 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式得出△＞0，求出不等式的解集即可；（2）根据根与系数的关系得出x 1+x 2=-（2k-1）=1-2k ，x 1•x 2=k 2，代入x 1+x 2+x 1x 2-1=0，即可求出k 值．【详解】解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2+（2k-1）x+k 2=0有两个不等实根x 1，x 2， ∴△=（2k-1）2-4×1×k 2=-4k+1＞0，解得：k ＜14， 即实数k 的取值范围是k ＜14； （2）由根与系数的关系得：x 1+x 2=-（2k-1）=1-2k ，x 1•x 2=k 2，∵x 1+x 2+x 1x 2-1=0，∴1-2k+k 2-1=0，∴k 2-2k=0∴k=0或2，∵由（1）知当k=2方程没有实数根，∴k=2不合题意，舍去，∴k=0．【点睛】本题考查了解一元二次方程根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根的判别式和根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意用根与系数的关系解题时要考虑根的判别式，以防错解．4．阅读下面的例题，范例：解方程x 2﹣|x|﹣2=0，解：（1）当x≥0时，原方程化为x 2﹣x ﹣2=0，解得：x 1=2，x 2=﹣1（不合题意，舍去）． （2）当x ＜0时，原方程化为x 2+x ﹣2=0，解得：x 1=﹣2，x 2=1（不合题意，舍去）． ∴原方程的根是x 1=2，x 2=﹣2请参照例题解方程x 2﹣|x ﹣10|﹣10=0．【答案】x 1=4，x 2=﹣5．【解析】【分析】分为两种情况：当x≥10时，原方程化为x 2﹣x=0，当x ＜10时，原方程化为x 2+x ﹣20=0，分别求出方程的解即可．【详解】当x ≥10时，原方程化为x 2﹣x+10﹣10=0，解得x 1=0（不合题意，舍去），x 2=1（不合题意，舍去）；当x ＜10时，原方程化为x 2+x ﹣20=0，解得x 3=4，x 4=﹣5，故原方程的根是x 1=4，x 2=﹣5．【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，解此题的关键是能正确去掉绝对值符号．5．已知1x 、2x 是关于x 的方程222(1)50x m x m -+++=的两个不相等的实数根.(1)求实数m 的取值范围;(2)已知等腰ABC ∆的一边长为7，若1x 、2x 恰好是ABC ∆另外两边长，求这个三角形的周长.【答案】（1）m>2; (2)17【解析】试题分析：（1）由根的判别式即可得；（2）由题意得出方程的另一根为7，将x =7代入求出x 的值，再根据三角形三边之间的关系判断即可得．试题解析：解：（1）由题意得△=4（m +1）2﹣4（m 2+5）=8m －16＞0，解得：m ＞2； （2）由题意，∵x 1≠x 2时，∴只能取x 1=7或x 2=7，即7是方程的一个根，将x =7代入得：49﹣14（m +1）+m 2+5=0，解得：m =4或m =10．当m =4时，方程的另一个根为3，此时三角形三边分别为7、7、3，周长为17； 当m =10时，方程的另一个根为15，此时不能构成三角形；故三角形的周长为17．点睛：本题主要考查判别式、三角形三边之间的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键．6．为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？【答案】共有35名同学参加了研学游活动．【解析】试题分析：由该班实际共支付给旅行社3150元，可以判断出参加的人数在30人以上，等量关系为：（100﹣在30人基础上降低的人数×2）×参加人数=3150，得到相关解后根据人均活动费用不得低于80元作答即可．试题解析：∵100×30=3000＜3150，∴该班参加研学游活动的学生数超过30人．设九（1）班共有x 人去旅游，则人均费用为[100﹣2（x ﹣30）]元，由题意得： x[100﹣2（x ﹣30）]=3150，整理得x 2﹣80x+1575=0，解得x 1=35，x 2=45，当x=35时，人均旅游费用为100﹣2（35﹣30）=90＞80，符合题意．当x=45时，人均旅游费用为100﹣2（45﹣30）=70＜80，不符合题意，应舍去． 答：该班共有35名同学参加了研学旅游活动．考点：一元二次方程的应用．7．今年以来猪肉价格不断走高，引起了民众与区政府的高度关注，当市场猪肉的平均价格每 千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．据统计：从今年年初至 11月 10 日，猪排骨价格不断走高，11 月 10 日比年初价格上涨了 75%．今年 11 月 10 日某市 民于 A 超市购买 5 千克猪排骨花费 350 元．（1）A 超市 11 月排骨的进货价为年初排骨售价的32倍，按 11 月 10 日价格出售，平均一天能销售出 100 千克，超市统计发现：若排骨的售价每千克下降 1 元，其日销售量就增加 20千克，超市为了实现销售排骨每天有 1000 元的利润，为了尽可能让顾客优惠应该将排骨的 售价定位为每千克多少元？（2）11 月 11 日，区政府决定投入储备猪肉并规定排骨在 11 月 10 日售价的基础上下调 a %出售，A 超市按规定价出售一批储备排骨，该超市在非储备排骨的价格不变情况下，该天的两种猪排骨总销量比 11 月 10 日增加了 a %，且储备排骨的销量占总销量的57，两种排骨销售的总金额比 11 月 10 日提高了128a %，求 a 的值． 【答案】（1）售价为每千克65元；（2）a =35.【解析】【分析】 （1）先根据题意计算出11月10的售价和11月的进货价，设每千克降价x 元，则每千克的利润为10-x 元，日销量为100+20x 千克，根据销量×单利润=总利润列出方程求解，并根据为了尽可能让顾客优惠，对所得的解筛选；（2）根据销售总金额=储备排骨销售单价×储备排骨销售数量+非储备排骨销售单价×非储备排骨销售数量，即可得出关于a 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：（1）11月10日的售价为350÷5=70元/千克年初的售价为：350÷5÷175％=40元/千克，11月的进货价为： 340602元/千克设每千克降价x 元，则每千克的利润为70-60-x=10-x 元，日销量为100+20x 千克 则(10020)(10)1000x x ，解得10x =，25x =因为为了尽可能让顾客优惠，所以降价5元，则售价为每千克65元.（2）根据题意可得52170(1%)100(1%)70100(1%)701001%7728a a a a ⎛⎫-++⨯+=⨯+ ⎪⎝⎭解得135a =,20a =(舍去)所以a =35.【点睛】 本题考查一元二次方程的应用，（1）中理清销售量随着单价的变化而变化的数量关系是解题关键；（2）中在求解时有些难度，可先设令%a t =，解方程求出t 后再求a 的值.8．如图，一艘轮船以30km/h 的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以10km/h 的速度由东向西移动，距台风中心200km 的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km ，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离AB=300km ． （1）如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？（2）如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？（3）假设轮船航向不变，轮船航行速度不变，求受到台风影响的时间为多少小时？【答案】（1）如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区．（2）经过1515就会进入台风影响区；（3）15【解析】【分析】（1）作出肯定回答：这艘轮船不改变航向，那么它能进入台风影响区．（2）首先假设轮船能进入台风影响区，进而利用勾股定理得出等式求出即可．（3）将轮船刚好进入台风影响区和刚好离开台风影响的两个时间节点相减，即能得出受影响的时间长.【详解】解：（1）如图易知AB′=300﹣10t ，AC′=400﹣30t ，当B′C′=200时，将受到台风影响，根据勾股定理可得：(300﹣10t )2+(400﹣30t )2=2002，整理得到：t 2﹣30t +210=0，解得t =15±15， 由此可知，如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区．（2）由（1）可知经过(15﹣15)h 就会进入台风影响区； （3）由（1）可知受到台风影响的时间为:15+15﹣（15﹣15）=215 h ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于x 的等式是解题关键．9．已知:如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =cm ，6BC =cm.直线PE 从B 点出发，以2 cm/s 的速度向点A 方向运动，并始终与BC 平行，与线段AC 交于点E .同时，点F 从C 点出发，以1cm/s 的速度沿CB 向点B 运动，设运动时间为t (s) (05t <<) .(1)当t 为何值时，四边形PFCE 是矩形?(2)当ABC ∆面积是PEF ∆的面积的5倍时，求出t 的值;【答案】（1）3011t =；（2）552t ±=。
人教备战中考数学一元二次方程综合题及详细答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．解方程： 2212x x 6x 9-=-+（） 【答案】124x x 23==-， 【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可.试题解析：因式分解，得2212x x 3-=-（）（）开平方，得12x x 3-=-，或12x x 3-=--（）解得124x x 23==-， 2．已知关于x 的一元二次方程()220x m x m -++=（m 为常数）（1）求证：不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是2，求m 的值及方程的另一个根．【答案】(1)见解析；(2) 即m 的值为0，方程的另一个根为0.【解析】【分析】（1）可用根的判别式，计算判别式得到△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4＞0，则方程有两个不相等实数解，于是可判断不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的另一个根为t ，利用根与系数的关系得到2+t=21m + ,2t=m,最终解出关于t 和m 的方程组即可.【详解】(1)证明：△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4，∵无论m 为何值时m 2≥0，∴m 2+4≥4＞0，即△＞0，所以无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根.(2)设方程的另一个根为t ， ()220x m x m -++=根据题意得2+t=21m + ,2t=m ， 解得t=0，所以m=0，即m 的值为0，方程的另一个根为0.【点睛】本题考查根的判别式和根于系数关系，对于问题（1）可用根的判别式进行判断，在判断过程中注意对△的分析，在分析时可借助平方的非负性；问题（2）可先设另一个根为t ，用根于系数关系列出方程组，在求解.3．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？【答案】（1）两次下降的百分率为10%；（2）要使每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则商品应降价2.5元．【解析】【分析】（1）设每次降价的百分率为 x ，（1﹣x ）2 为两次降价后的百分率，40元 降至 32.4元 就是方程的等量条件，列出方程求解即可；（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可【详解】解：（1）设每次降价的百分率为 x ．40×（1﹣x ）2＝32.4x ＝10%或 190%（190%不符合题意，舍去）答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 32.4元，两次下降的百分率为10%；（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元， 由题意，得()4030y (448)5100.5y --⨯+= 解得：1y ＝1.5，2y ＝2.5，∵有利于减少库存，∴y ＝2.5．答：要使商场每月销售这种商品的利润达到 510 元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 2.5 元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．4．为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？【答案】共有35名同学参加了研学游活动．【解析】试题分析：由该班实际共支付给旅行社3150元，可以判断出参加的人数在30人以上，等量关系为：（100﹣在30人基础上降低的人数×2）×参加人数=3150，得到相关解后根据人均活动费用不得低于80元作答即可．试题解析：∵100×30=3000＜3150，∴该班参加研学游活动的学生数超过30人．设九（1）班共有x人去旅游，则人均费用为[100﹣2（x﹣30）]元，由题意得：x[100﹣2（x﹣30）]=3150，整理得x2﹣80x+1575=0，解得x1=35，x2=45，当x=35时，人均旅游费用为100﹣2（35﹣30）=90＞80，符合题意．当x=45时，人均旅游费用为100﹣2（45﹣30）=70＜80，不符合题意，应舍去．答：该班共有35名同学参加了研学旅游活动．考点：一元二次方程的应用．5．已知关于x的方程x2﹣(k+3)x+3k＝0．(1)若该方程的一个根为1，求k的值；(2)求证：不论k取何实数，该方程总有两个实数根．【答案】(1)k＝1；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）把x＝1代入方程，即可求得k的值；（2）求出根的判别式是非负数即可.【详解】(1)把x＝1代入方程x2﹣(k+3)x+3k＝0得1﹣(k﹣3)+3k＝0，1﹣k﹣3+3k＝0解得k＝1；(2)证明：1,(3),3==-+=a b k c k24∆=-b ac∴△＝(k+3)2﹣4•3k ＝(k﹣3)2≥0，所以不论k取何实数，该方程总有两个实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题关键.6．某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m （单位：件）是关于时间t （单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表：这20天中，该产品每天的价格y （单位：元/件）与时间t 的函数关系式为：1254y t =+（t 为整数），根据以上提供的条件解决下列问题：（1）直接写出m 关于t 的函数关系式；（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a 元（4a <）给希望工程，通过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，求a 的取值范围.【答案】（1）2100m t =-+；（2）在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元；（3）2.54a ≤<.【解析】【分析】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，即可确定一次函数关系式；（2）根据日利润=日销售量×每件利润列出函数解析式，然后根据函数性质求最大值，即可确定答案； （3）根据20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a 的取值范围【详解】（1）设该函数的解析式为:m=kx+b由题意得:98=k b 94=3k b +⎧⎨+⎩解得:k=-2,b=100∴m 关于t 的函数关系式为:2100m t =-+.（2）设前20天日销售利润为W 元，由题意可知，()1210025204W t t ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭21151002t t =-++ ()2115612.52t =--+ ∵102<，∴当15t =时，612.5W =最大. ∴在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元.（3）由题意得：()1210025204W t t a ⎛⎫=-++-- ⎪⎝⎭()211525001002t a t a =-+++-， ∴对称轴为：152t a =+，∵每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，且120t ≤≤，∴15220a +≥，∴ 2.5a ≥，∴2.54a ≤<.【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，掌握解决最值问题的方法是解答本题的关键.7．如图，一艘轮船以30km/h 的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以10km/h 的速度由东向西移动，距台风中心200km 的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km ，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离AB=300km ．（1）如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？（2）如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？（3）假设轮船航向不变，轮船航行速度不变，求受到台风影响的时间为多少小时？【答案】（1）如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区．（2）经过1515就会进入台风影响区；（3）15【解析】【分析】（1）作出肯定回答：这艘轮船不改变航向，那么它能进入台风影响区．（2）首先假设轮船能进入台风影响区，进而利用勾股定理得出等式求出即可．（3）将轮船刚好进入台风影响区和刚好离开台风影响的两个时间节点相减，即能得出受影响的时间长.【详解】解：（1）如图易知AB′=300﹣10t ，AC′=400﹣30t ，当B′C′=200时，将受到台风影响，根据勾股定理可得：(300﹣10t )2+(400﹣30t )2=2002，整理得到：t 2﹣30t +210=0，解得t =15±15， 由此可知，如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区． （2）由（1）可知经过(15﹣15)h 就会进入台风影响区；（3）由（1）可知受到台风影响的时间为:15+15﹣（15﹣15）=215 h ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于x 的等式是解题关键．8．阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a 的形式。
备战中考数学专题训练---一元二次方程的综合题分类及答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知关于x 的二次函数22(21)1y x k x k =--++的图象与x 轴有2个交点.（1）求k 的取值范围；（2）若图象与x 轴交点的横坐标为12,x x ，且它们的倒数之和是32-，求k 的值. 【答案】（1）k ＜-34 ；（2）k=﹣1 【解析】试题分析：（1）根据交点得个数，让y=0判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式△= b 2-4ac 的范围可求解出k 的值；（2）利用y=0时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到k 的值.试题解析：（1）∵二次函数y=x 2-（2k-1）x+k 2+1的图象与x 轴有两交点，∴当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0有两个不相等的实数根．∴△=b 2-4ac=[-（2k-1）]2-4×1×（k 2+1）＞0．解得k ＜-34； （2）当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0．则x 1+x 2=2k-1，x 1•x 2=k 2+1，∵=== 32-， 解得：k=-1或k= 13-（舍去），∴k=﹣12．已知为正整数，二次方程的两根为，求下式的值：【答案】【解析】由韦达定理，有，．于是，对正整数，有原式=3．关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）S的值能为2，此时k的值为2．【解析】试题分析：（1）本题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．试题解析：（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1,x=有一个解；②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，△=（2k）²-4×2（k-1）=4k²-8k＋8="4(k-1)" ²＋4＞0方程有两不等根综合①②得不论k为何值，方程总有实根（2）∵x ₁＋x ₂＝,x ₁ x ₂=∴S=++ x1+x2=====2k-2=2，解得k=2，∴当k=2时，S的值为2∴S 的值能为2，此时k 的值为2．考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．4．沙坪坝区各街道居民积极响应“创文明城区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A ，B 两个社区，B 社区居民人口数量不超过A 社区居民人口数量的2倍． （1）求A 社区居民人口至少有多少万人？（2）街道工作人员调查A ，B 两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A 社区有1.2万人知晓，B 社区有1.5万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A 社区的知晓人数平均月增长率为m %，B 社区的知晓人数第一个月增长了45m %，第二月在第一个月的基础上又增长了2m %，两个月后，街道居民的知晓率达到92%，求m 的值．【答案】（1）A 社区居民人口至少有2.5万人；（2）m 的值为50．【解析】【分析】（1）设A 社区居民人口有x 万人，根据“B 社区居民人口数量不超过A 社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可；（2）A 社区的知晓人数+B 社区的知晓人数=7.5×92%，据此列出关于m 的方程并解答．【详解】解：（1）设A 社区居民人口有x 万人，则B 社区有（7.5-x ）万人，依题意得：7.5-x ≤2x ，解得x ≥2.5．即A 社区居民人口至少有2.5万人；（2）依题意得：1.2（1+m %）2+1.5×（1+45m %）+1.5×（1+45m %）（1+2m %）=7.5×92%， 解得m =50答：m 的值为50．【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相关数据的数量关系，列出不等式或方程．5．已知关于x 的一元二次方程()220x m x m -++=（m 为常数） （1）求证：不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是2，求m 的值及方程的另一个根．【答案】(1)见解析；(2) 即m 的值为0，方程的另一个根为0.【解析】【分析】（1）可用根的判别式，计算判别式得到△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4＞0，则方程有两个不相等实数解，于是可判断不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的另一个根为t ，利用根与系数的关系得到2+t=21m + ,2t=m,最终解出关于t 和m 的方程组即可.【详解】(1)证明：△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4，∵无论m 为何值时m 2≥0，∴m 2+4≥4＞0，即△＞0，所以无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根.(2)设方程的另一个根为t ， ()220x m x m -++=根据题意得2+t=21m + ,2t=m ， 解得t=0，所以m=0，即m 的值为0，方程的另一个根为0.【点睛】本题考查根的判别式和根于系数关系，对于问题（1）可用根的判别式进行判断，在判断过程中注意对△的分析，在分析时可借助平方的非负性；问题（2）可先设另一个根为t ，用根于系数关系列出方程组，在求解.6．关于x 的方程()2204k kx k x +++=有两个不相等的实数根． ()1求实数k 的取值范围；()2是否存在实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）1k >-且0k ≠；（2）不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根．【解析】【分析】()1由于方程有两个不相等的实数根，所以它的判别式0>，由此可以得到关于k 的不等式，解不等式即可求出k 的取值范围. ()2首先利用根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再由方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，可以得出关于k 的等式，解出k 值，然后判断k 值是否在()1中的取值范围内.【详解】解：()1依题意得2(2)404k k k =+-⋅>， 1k ∴>-，又0k ≠，k ∴的取值范围是1k >-且0k ≠；()2解：不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，理由是：设方程()2204k kx k x +++=的两根分别为1x ，2x ， 由根与系数的关系有：1212214k x x k x x +⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 又因为方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，212k k +∴-=， 43k ∴=-， 由()1知，1k >-，且0k ≠，43k ∴=-不符合题意， 因此不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根．【点睛】本题重点考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系。
人教备战中考数学提高题专题复习一元二次方程练习题附答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．【答案】（1）12k ≤；（2）3k = 【解析】试题分析：（1）方程有两个实数根，可得240b ac ∆=-≥，代入可解出k 的取值范围； （2）由韦达定理可知，()2121221,x x k x x k +=-=，列出等式，可得出k 的值． 试题解析：(1)∵Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴－8k ＋4≥0，∴k ≤12； (2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴2(k －1)＝1－k 2，∴k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3.2．某建材销售公司在2019年第一季度销售,A B 两种品牌的建材共126件，A 种品牌的建材售价为每件6000元，B 种品牌的建材售价为每件9000元.（1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，求至多销售A 种品牌的建材多少件？（2）该销售公司决定在2019年第二季度调整价格，将A 种品牌的建材在上一个季度的基础上下调%a ，B 种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨%a ；同时，与（1）问中最低销售额的销售量相比，A 种品牌的建材的销售量增加了1%2a ，B 种品牌的建材的销售量减少了2%3a ，结果2019年第二季度的销售额比（1）问中最低销售额增加2%23a ，求a 的值.【答案】（1）至多销售A 品牌的建材56件;(2)a 的值是30.【解析】【分析】（1）设销售A 品牌的建材x 件，根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，列不等式求解；（2）根据题意列出方程求解即可.【详解】（1）设销售A 品牌的建材x 件.根据题意，得()60009000126966000x x +-≥，解这个不等式，得56x ≤，答：至多销售A 品牌的建材56件.（2）在（1）中销售额最低时，B 品牌的建材70件，根据题意，得()()()12260001%561%90001%701%6000569000701%2323a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+++⨯-=⨯+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令%a y =，整理这个方程，得21030y y -=， 解这个方程，得1230,10y y ==， ∴10a =（舍去），230a =，即a 的值是30.【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．3．由图看出，用水量在m 吨之内，水费按每吨1.7元收取，超过m 吨，需要加收．4．已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=有两个实数根. (1)求k 的取值范围；(2)若方程的两实数根分别为1x ，2x ，且221212615x x x x +=-，求k 的值.【答案】（1）32k ≥（2）4 【解析】试题分析： 根据方程的系数结合根的判别式即可得出230k ∆=-≥ ，解之即可得出结论. 根据韦达定理可得：212121114x x k x x k ，+=+⋅=+ ，结合221212615x x x x +=- 即可得出关于k 的一元二次方程，解之即可得出k 值，再由⑴的结论即可确定k 值.试题解析：因为方程有两个实数根，所以()22114112304k k k ⎛⎫⎡⎤∆=-+-⨯⨯+=-≥ ⎪⎣⎦⎝⎭， 解得32k ≥. 根据韦达定理，()221212111141 1.114k k x x k x x k +-++=-=+⋅==+，因为221212615x x x x +=-，所以()212128150x x x x +-+=，将上式代入可得 ()2211811504k k ⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭，整理得2280k k --= ，解得 1242k k ，==- ，又因为32k ≥，所以4k =.5．关于x 的一元二次方程(k -2)x 2-4x +2=0有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程x 2-4x +k =0与x 2+mx -1=0有一个相同的根，求此时m 的值．【答案】（1）k ＜4且k ≠2.（2）m =0或m =83-.【解析】分析：（1）由题意，根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式列出关于k 的不等式组，解不等式组即可求得对应的k 的取值范围；（2）由（1）得到符合条件的k 的值，代入原方程，解方程求得x 的值，然后把所得x 的值分别代入方程x 2+mx -1=0即可求得对应的m 的值.详解：(1)∵一元二次方程(k-2)x 2-4x+2=0有两个不相等的实数根，∴△=16-8(k-2)=32-8k ＞0且k-2≠0.解得：k ＜4且k≠2.(2)由(1)可知，符合条件的：k=3，将k=3代入原方程得：方程x 2-4x+3=0，解此方程得：x 1=1，x 2=3.把x=1时，代入方程x 2+mx-1=0，有1+m-1=0，解得m=0.把x=3时，代入方程x 2+mx-1=0，有9+3m-1=0，解得m=83-.∴m=0或m=83-.点睛：（1）知道“在一元二次方程20?(0)ax bx c a ++=≠中，当△=240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根；当△=240b ac -=时，方程有两个相等的实数根；△=240b ac -<时，方程没有实数根”是正确解答第1小题的关键；（2）解第2小题时，需注意相同的根存在两种情况，解题时不要忽略了其中任何一种情况.6．为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？【答案】共有35名同学参加了研学游活动．【解析】试题分析：由该班实际共支付给旅行社3150元，可以判断出参加的人数在30人以上，等量关系为：（100﹣在30人基础上降低的人数×2）×参加人数=3150，得到相关解后根据人均活动费用不得低于80元作答即可．试题解析：∵100×30=3000＜3150，∴该班参加研学游活动的学生数超过30人． 设九（1）班共有x 人去旅游，则人均费用为[100﹣2（x ﹣30）]元，由题意得： x[100﹣2（x ﹣30）]=3150，整理得x 2﹣80x+1575=0，解得x 1=35，x 2=45，当x=35时，人均旅游费用为100﹣2（35﹣30）=90＞80，符合题意．当x=45时，人均旅游费用为100﹣2（45﹣30）=70＜80，不符合题意，应舍去． 答：该班共有35名同学参加了研学旅游活动．考点：一元二次方程的应用．7．已知关于x 的方程()()212310k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根1x ，2x ． ()1求k 的取值范围．()2是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？【答案】(1)1312k <且1k ≠；(2) k 不存在,理由见解析 【解析】【分析】（1）因为方程（k ﹣1）x 2+（2k ﹣3）x +k +1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．得出其判别式△＞0，可解得k 的取值范围；（2）假设存在两根的值互为相反数，根据根与系数的关系，列出对应的不等式即可求出k 的值．【详解】（1）方程（k ﹣1）x 2+（2k ﹣3）x +k +1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2，可得：k ﹣1≠0且△=﹣12k +13＞0，解得：k ＜1312且k ≠1； （2）假设存在两根的值互为相反数，设为 x 1，x 2．∵x 1+x 2=0，∴﹣231k k --=0，∴k =32． 又∵k ＜1312且k ≠1，∴k 不存在． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x 1，x 2是方程x 2+px +q =0的两根时，x 1+x 2=﹣p ，x 1x 2=q ．8．解方程：x 2－2x ＝2x ＋1.【答案】x 1＝2－5 ，x 2＝2＋5.【解析】 试题分析：根据方程，求出系数a 、b 、c ，然后求一元二次方程的根的判别式，最后根据求根公式242b b ac x a-±-=求解即可. 试题解析：方程化为x 2－4x －1＝0.∵b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×(－1)＝20，∴x ＝420±＝2±5 ， ∴x 1＝2－5 ，x 2＝2＋5.9． ∵1.7×35=59.5，1.7×80=136＜151∴这家酒店四月份用水量不超过m 吨（或水费是按y=1.7x 来计算的），五月份用水量超过m 吨（或水费是按来计算的） 则有151=1.7×80+（80－m ）×即m 2－80m+1500=0解得m 1=30，m 2=50．又∵四月份用水量为35吨，m 1=30＜35，∴m 1=30舍去．∴m=50【解析】10．已知关于x 的一元二次方程（a+c ）x 2+2bx+（a ﹣c ）=0，其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【答案】(1) △ABC 是等腰三角形；(2)△ABC 是直角三角形；(3) x 1=0，x 2=﹣1．【解析】试题分析：（1）直接将x=﹣1代入得出关于a ，b 的等式，进而得出a=b ，即可判断△ABC 的形状；（2）利用根的判别式进而得出关于a ，b ，c 的等式，进而判断△ABC 的形状； （3）利用△ABC 是等边三角形，则a=b=c ，进而代入方程求出即可．试题解析：（1）△ABC 是等腰三角形；理由：∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，∴4b2﹣4a2+4c2=0，∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形；（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：2ax2+2ax=0，∴x2+x=0，解得：x1=0，x2=﹣1．考点：一元二次方程的应用．。
人教备战中考数学一元二次方程(大题培优 易错 难题)附详细答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．解下列方程：（1）x 2﹣3x=1．（2）12（y+2）2﹣6=0． 【答案】(1)12313313,22x x +-== ;(2)12223,223y y =-+=-- 【解析】试题分析：（1）利用公式法求解即可；（2）利用直接开方法解即可；试题解析：解：（1）将原方程化为一般式，得x 2﹣3x ﹣1=0，∵b 2﹣4ac=13＞0∴． ∴12313313,22x x +-==． （2）（y+2）2=12， ∴或，∴12223,223y y =-+=--2．已知关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +k 2+1＝0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k ＝2，求该矩形的对角线L 的长．【答案】（1）k ＞34；（215 【解析】【分析】（1）根据关于x 的方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，得出△＞0，再解不等式即可；（2）当k=2时，原方程x 2-5x+5=0，设方程的两根是m 、n ，则矩形两邻边的长是m 、n ，利用根与系数的关系得出m+n=5，mn=522m n +，利用完全平方公式进行变形即可求得答案.【详解】（1）∵方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝[－(2k ＋1)]2－4×1×(k 2＋1)＝4k －3＞0，∴k ＞34；(2)当k ＝2时，原方程为x 2－5x ＋5＝0，设方程的两个根为m ，n ，∴m ＋n ＝5，mn ＝5，∴==. 【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．3．计算题（1）先化简，再求值：21x x -÷（1+211x -），其中x=2017． （2）已知方程x 2﹣2x+m ﹣3=0有两个相等的实数根，求m 的值．【答案】（1）2018；（2）m=4【解析】分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.详解：（1）21x x -÷（1+211x -） =2221111x x x x -+÷-- =()()22111x x x x x+-⋅- =x+1，当x=2017时，原式=2017+1=2018（2）解：∵方程x 2﹣2x+m ﹣3=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m ﹣3）=0，解得，m=4点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.4．如图，在Rt ABC 中，90B =∠，10AC cm =，6BC cm =，现有两点P 、Q 的分别从点A 和点B 同时出发，沿边AB ，BC 向终点C 移动．已知点P ，Q 的速度分别为2/cm s ，1/cm s ，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设P ，Q 两点移动时间为xs ．问是否存在这样的x ，使得四边形APQC 的面积等于216cm ？若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由．【答案】假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ，理由见解析【解析】【分析】根据题意，列出BQ 、PB 的表达式，再列出方程，判断根的情况.【详解】解：∵90B ∠=，10AC =，6BC =，∴8AB =．∴BQ x =，82PB x =-；假设存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于216cm ， 则()1168821622x x ⨯⨯--=， 整理得：2480x x -+=，∵1632160=-=-<，∴假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程根的判别方法、理解方程的意义是本题的解题关键.5．已知关于x 的一元二次方程()2211204x m x m +++-=． ()1若此方程有两个实数根，求m 的最小整数值；()2若此方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足22212121184x x x x m ++=-，求m 的值． 【答案】（1）m 的最小整数值为4-；（2）3m =【解析】【分析】（1）根据方程有两个实数根得0∆≥,列式即可求解,（2）利用韦达定理即可解题.【详解】（1）解：()22114124m m ⎛⎫∆=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭22218m m m =++-+29m =+方程有两个实数根0∴∆≥，即290m +≥92m ∴≥- ∴ m 的最小整数值为4-（2）由根与系数的关系得：()121x x m +=-+，212124x x m =- 由22212121184x x x x m ++=-得：()22211121844m m m ⎛⎫⎡⎤-+--=- ⎪⎣⎦⎝⎭13m ∴=，25m =- 92m ≥- 3m ∴=【点睛】本题考查了根的判别式和韦达定理,中等难度,熟悉韦达定理是解题关键.6．阅读下面的例题，范例：解方程x 2﹣|x|﹣2=0，解：（1）当x≥0时，原方程化为x 2﹣x ﹣2=0，解得：x 1=2，x 2=﹣1（不合题意，舍去）． （2）当x ＜0时，原方程化为x 2+x ﹣2=0，解得：x 1=﹣2，x 2=1（不合题意，舍去）． ∴原方程的根是x 1=2，x 2=﹣2请参照例题解方程x 2﹣|x ﹣10|﹣10=0．【答案】x 1=4，x 2=﹣5．【解析】【分析】分为两种情况：当x≥10时，原方程化为x 2﹣x=0，当x ＜10时，原方程化为x 2+x ﹣20=0，分别求出方程的解即可．【详解】当x≥10时，原方程化为x 2﹣x+10﹣10=0，解得x 1=0（不合题意，舍去），x 2=1（不合题意，舍去）；当x ＜10时，原方程化为x 2+x ﹣20=0，解得x 3=4，x 4=﹣5，故原方程的根是x 1=4，x 2=﹣5．【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，解此题的关键是能正确去掉绝对值符号．7．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？【答案】(1)2000；(2)2米【解析】【分析】（1）设未知数，根据题目中的的量关系列出方程；（2）可以通过平移，也可以通过面积法，列出方程【详解】解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，根据题意得：4600022000x-﹣46000220001.5x-= 4解得：x=2000，经检验，x=2000是原方程的解;答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；（2）设人行道的宽度为x米，根据题意得，（20﹣3x）（8﹣2x）=56解得：x=2或x=263（不合题意，舍去）．答：人行道的宽为2米．8．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，若点P从点A沿AB边向B点以1 cm/s的速度移动，点Q从B点沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，两点同时出发．(1)问几秒后，△PBQ的面积为8cm²？(2)出发几秒后，线段PQ的长为42cm ?(3)△PBQ的面积能否为10 cm2？若能，求出时间；若不能，请说明理由．【答案】(1) 2或4秒2 cm；(3)见解析.【解析】【分析】（1）由题意，可设P、Q经过t秒，使△PBQ的面积为8cm2，则PB=6-t，BQ=2t，根据三角形面积的计算公式，S △PBQ=12BP×BQ ，列出表达式，解答出即可； （2）设经过x 秒后线段PQ 的长为42cm ，依题意得AP=x ，BP=6-x ，BQ=2x ，利用勾股定理列方程求解；（3）将△PBQ 的面积表示出来，根据△=b 2-4ac 来判断．【详解】(1)设P ，Q 经过t 秒时，△PBQ 的面积为8 cm 2，则PB ＝6－t ，BQ ＝2t ，∵∠B ＝90°，∴12(6－t)× 2t ＝8， 解得t 1＝2，t 2＝4， ∴当P ，Q 经过2或4秒时，△PBQ 的面积为8 cm 2；(2)设x 秒后，PQ ＝42 cm ，由题意，得(6－x)2＋4x 2＝32，解得x 1＝25，x 2＝2， 故经过25秒或2秒后，线段PQ 的长为42 cm ； (3)设经过y 秒，△PBQ 的面积等于10 cm 2，S △PBQ ＝12×(6－y)× 2y ＝10， 即y 2－6y ＋10＝0， ∵Δ＝b 2－4ac ＝36－4× 10＝－4＜ 0，∴△PBQ 的面积不会等于10 cm 2.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练的掌握一元二次方程的应用是本题解题的关键.9．如图，在四边形 ABCD 中， AD //BC ， C 90∠=︒ ， BC 16=， DC 12= ， AD 21= ，动点P 从点D 出发，沿线段 DA 的方向以每秒2个单位长的速度运动；动点Q 从点 C 出发，在线段 CB 上以每秒1个单位长的速度向点 B 运动；点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点 P 运动到点 A 时，点Q 随之停止运动，设运动的时间为t 秒）.（1）当 t 2=时，求 BPQ 的面积；（2）若四边形ABQP 为平行四边形，求运动时间 t . （3）当 t 为何值时，以 B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？【答案】（1）S 84=；（2）t 5= ；（3）7t 2=或163. 【解析】【分析】（1）过点P 作PM BC ⊥于M ，则PM=DC ，当t=2时，算出BQ ，求出面积即可；（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，AP BQ =，即212t 16t -=-，解出即可；（3）以 B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况，①PQ BQ =，②BP BQ =，③PB PQ =分别求出t 即可.【详解】解 ：（1）过点P 作PM BC ⊥于M ，则四边形PDCM 为矩形.∴PM DC 12==，∵QB 16t =-，当t=2时，则BQ=14，则1S QB PM 2=⨯=12×14×12=84； （2）当四边形ABQP 是平行四边形时，AP BQ =, 即212t 16t -=-：解得：t 5=∴当t 5=时，四边形ABQP 是平行四边形.（3）由图可知，CM=PD=2t ，CQ=t ，若以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，可以分为以下三种情况：①若PQ BQ =，在Rt PMQ 中，222PQ 12t =+，由22PQ BQ =得()2221216t t +=- 解得：7t 2= ； ②若BP BQ =，在Rt PMB 中，()222PB 16212t =-+，由22PB BQ ?=得()()222 1621216t t -+=- ，即2332t 1440t -+=，此时，()232431447040=--⨯⨯=-<△ ,所以此方程无解，所以BP BQ ≠ ；③若PB PQ =，由22PB PQ ?=得()2222 12162t 12t +=-+ ,得116 3t=，216t=（不合题意，舍去）；综上所述，当7t2=或163时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形.【点睛】本题是对四边形即可中动点问题的考查，熟练掌握动点中线段的表示、平行四边形和等腰三角形的性质及判断是解决本题的关键，难度适中.10．∵1.7×35=59.5，1.7×80=136＜151∴这家酒店四月份用水量不超过m吨（或水费是按y=1.7x来计算的），五月份用水量超过m吨（或水费是按来计算的）则有151=1.7×80+（80－m）×即m2－80m+1500=0解得m1=30，m2=50．又∵四月份用水量为35吨，m1=30＜35，∴m1=30舍去．∴m=50【解析】。
备战中考数学一元二次方程(大题培优 易错 难题)及答案解析
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2． （1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．【答案】（1）12k ≤；（2）3k = 【解析】试题分析：（1）方程有两个实数根，可得240b ac ∆=-≥，代入可解出k 的取值范围； （2）由韦达定理可知，()2121221,x x k x x k +=-=，列出等式，可得出k 的值．试题解析：(1)∵Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴－8k ＋4≥0，∴k ≤12； (2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴2(k －1)＝1－k 2， ∴k 1＝1，k 2＝－3. ∵k ≤12，∴k ＝－3.2．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1y x =-，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1y x =-的零点． 己知函数222(3)y x mx m =--+(m m 为常数)．（1）当m =0时，求该函数的零点；（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点； （3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且121114x x +=-，此时函数图象与x 轴的交点分 别为A 、B(点A 在点B 左侧)，点M 在直线10y x =-上，当MA+MB 最小时，求直线AM 的函数解析式．【答案】（1）当m =0和 （2）见解析,（3）AM 的解析式为112y x =--． 【解析】 【分析】（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x 2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可； （3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标，个、作点B 关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB 最小时，直线AM 的函数解析【详解】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．（2）令y=0，得△=∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根．即无论m 取何值，该函数总有两个零点． （3）依题意有，由解得．∴函数的解析式为．令y=0，解得∴A()，B(4,0)作点B 关于直线10y x =-的对称点B’，连结AB’， 则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点．易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C （10,0），D （0,10）． 连结CB’，则∠BCD=45° ∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45° ∴∠BCB’=90° 即B’（106-，）设直线AB’的解析式为y kx b =+，则20{106k b k b -+=+=-，解得112k b =-=-， ∴直线AB’的解析式为112y x =--， 即AM 的解析式为112y x =--．3．如图，在△ABC 中，AB ＝6cm ，BC ＝7cm ，∠ABC ＝30°，点P 从A 点出发，以1cm/s 的速度向B 点移动，点Q 从B 点出发，以2cm/s 的速度向C 点移动．如果P 、Q 两点同时出发，经过几秒后△PBQ 的面积等于4cm 2？【答案】经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．【解析】【分析】作出辅助线，过点Q作QE⊥PB于E，即可得出S△PQB=12×PB×QE，有P、Q点的移动速度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE关于t的表达式，代入面积公式，即可得出答案．【详解】解：如图，过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°．∵∠ABC＝30°，∴2QE＝QB．∴S△PQB＝12•PB•QE．设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2，则PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t．根据题意，12•（6﹣t）•t＝4．t2﹣6t+8＝0．t2＝2，t2＝4．当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2．答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，注意对所求的值进行检验，对于不合适的值舍去．4．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC和△DEF，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF 的斜边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．（1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；（2）如图2，李晨同学连接FC，编制了如下问题，请你回答：①∠FCD的最大度数为；②当FC∥AB时，AD= ；③当以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边时，AD= ;④△FCD的面积s的取值范围是 .【答案】（1）2；（2）① 60°；②；③；④.【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出AC的长，即可得到AD的长.（2）①当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，据此求解即可.②过点F作FH⊥AC于点H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质求解即可.③过点F作FH⊥AC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示，根据勾股定理列式求解.④设AD=x，把△FCD的面积s表示为x的函数，根据x的取值范围来确定s的取值范围.试题解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC=，∴AC=12.∵CD=10，∴AD=2.（2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°.∵当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，∴∠FCD的最大度数=∠DEF="60°."② 如图，过点F作FH⊥AC于点H，∵∠EDF=30°， EF=2，∴DF=. ∴DH=3，FH=.∵FC∥AB，∠A=45°，∴∠FCH="45°." ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.∵AC=12，∴AD=.③如图，过点F作FH⊥AC于点H，设AD=x，由②知DH=3，FH=，则HC=.在Rt△CFH中，根据勾股定理，得.∵以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边，∴，即，解得.④设AD=x，易知，即.而，当时，；当时，.∴△FCD的面积s的取值范围是.考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含30度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.5．沙坪坝区各街道居民积极响应“创文明城区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．（1）求A社区居民人口至少有多少万人？（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1.5万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了45m%，第二月在第一个月的基础上又增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到92%，求m的值．【答案】（1）A社区居民人口至少有2.5万人；（2）m的值为50．【解析】【分析】（1）设A社区居民人口有x万人，根据“B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可；（2）A社区的知晓人数+B社区的知晓人数=7.5×92%，据此列出关于m的方程并解答．【详解】解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.5-x）万人，依题意得：7.5-x≤2x，解得x≥2.5．即A社区居民人口至少有2.5万人；（2）依题意得：1.2（1+m%）2+1.5×（1+45m%）+1.5×（1+45m%）（1+2m%）=7.5×92%，解得m=50答：m的值为50．【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相关数据的数量关系，列出不等式或方程．6．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．【答案】（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【解析】【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：400（1﹣x）2=361，解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%；（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．7．关于x的一元二次方程(k-2)x2-4x+2=0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2-4x+k=0与x2+mx-1=0有一个相同的根，求此时m的值．【答案】（1）k＜4且k≠2.（2）m=0或m=8 3 .【解析】分析：（1）由题意，根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式列出关于k的不等式组，解不等式组即可求得对应的k的取值范围；（2）由（1）得到符合条件的k 的值，代入原方程，解方程求得x 的值，然后把所得x 的值分别代入方程x 2+mx -1=0即可求得对应的m 的值. 详解：(1)∵一元二次方程(k-2)x 2-4x+2=0有两个不相等的实数根， ∴△=16-8(k-2)=32-8k ＞0且k-2≠0. 解得：k ＜4且k≠2.(2)由(1)可知，符合条件的：k=3， 将k=3代入原方程得：方程x 2-4x+3=0， 解此方程得：x 1=1，x 2=3.把x=1时，代入方程x 2+mx-1=0，有1+m-1=0，解得m=0. 把x=3时，代入方程x 2+mx-1=0，有9+3m-1=0，解得m=83-. ∴m=0或m=83-.点睛：（1）知道“在一元二次方程20?(0)ax bx c a ++=≠中，当△=240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根；当△=240b ac -=时，方程有两个相等的实数根；△=240b ac -<时，方程没有实数根”是正确解答第1小题的关键；（2）解第2小题时，需注意相同的根存在两种情况，解题时不要忽略了其中任何一种情况.8． ∵1.7×35=59.5，1.7×80=136＜151∴这家酒店四月份用水量不超过m 吨（或水费是按y=1.7x 来计算的）， 五月份用水量超过m 吨（或水费是按来计算的）则有151=1.7×80+（80－m ）×即m 2－80m+1500=0 解得m 1=30，m 2=50．又∵四月份用水量为35吨，m 1=30＜35，∴m 1=30舍去． ∴m=50 【解析】9．元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元. （1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x 元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x 的值.【答案】（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2）x 的值为2或7. 【解析】 【分析】（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解. 【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为a 元/千克, b 元/千克.由题得：()()18344282a b a b +=⎧⎨+++=⎩ 解之得：108a b =⎧⎨=⎩答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克 （2）由题意得：()()()()410010214010960x x x x +-++-= 解之得：12x =，27x =经检验，12x =，27x =均符合题意 答：x 的值为2或7. 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.10．解方程：(x ＋1)(x －1)＝x.【答案】x 1，x 2 【解析】试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可.试题解析：(x ＋1)(x －1)＝x 2-2x-1=0 ∵a=1，b=-c=-1 ∴△=b 2-4ac=8+4=12＞0∴x=2b a-±∴x1x 2.。
人教 备战中考数学(一元二次方程提高练习题)压轴题训练及答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．观察下列一组方程：20x x -=①；2320x x -+=②；2560x x -+=③；27120x x -+=④；⋯它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．()1若2560x kx ++=也是“连根一元二次方程”，写出k 的值，并解这个一元二次方程； ()2请写出第n 个方程和它的根．【答案】（1）x 1＝7，x 2＝8.（2）x 1＝n －1，x 2＝n .【解析】【分析】（1）根据十字相乘的方法和“连根一元二次方程”的定义,找到56是7与8的乘积,确定k 值即可解题,（2）找到规律,十字相乘的方法即可求解.【详解】解：(1)由题意可得k ＝－15，则原方程为x 2－15x ＋56＝0，则(x －7)·(x －8)＝0，解得x 1＝7，x 2＝8.(2)第n 个方程为x 2－(2n －1)x ＋n(n －1)＝0，(x －n)(x －n ＋1)＝0，解得x 1＝n －1，x 2＝n.【点睛】本题考查了用因式分解法求解一元二次方程,与十字相乘联系密切,连根一元二次方程是特殊的十字相乘,中等难度,会用十字相乘解题是解题关键.2．已知两条线段长分别是一元二次方程28120x x -+=的两根，（1）解方程求两条线段的长。
（2）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成等腰三角形，求等腰三角形的面积。
（3）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成直角三角形，求直角三角形的面积。
【答案】（1）2和6；（2）3）83【解析】【分析】（1）求解该一元二次方程即可;（2）先确定等腰三角形的边，然后求面积即可；（3）设分为两段分别是x 和6x -，然后用勾股定理求出x ，最后求面积即可.【详解】解：（1）由题意得()()260x x --=，即：2x =或6x =，∴两条线段长为2和6；（2）由题意，可知分两段为分别为3、3，则等腰三角形三边长为2，3，3，∴此等腰三角形面积为122⨯⨯= （3）设分为x 及6x -两段()22226x x +=- ∴83x =， ∴2823x S ∆==， ∴面积为83.【点睛】本题考查了一元二次方程、等腰三角形、直角三角形等知识，考查知识点较多，灵活应用所学知识是解答本题的关键.3．已知1x 、2x 是关于x 的方程222(1)50x m x m -+++=的两个不相等的实数根.(1)求实数m 的取值范围;(2)已知等腰ABC ∆的一边长为7，若1x 、2x 恰好是ABC ∆另外两边长，求这个三角形的周长.【答案】（1）m>2; (2)17【解析】试题分析：（1）由根的判别式即可得；（2）由题意得出方程的另一根为7，将x =7代入求出x 的值，再根据三角形三边之间的关系判断即可得．试题解析：解：（1）由题意得△=4（m +1）2﹣4（m 2+5）=8m －16＞0，解得：m ＞2； （2）由题意，∵x 1≠x 2时，∴只能取x 1=7或x 2=7，即7是方程的一个根，将x =7代入得：49﹣14（m +1）+m 2+5=0，解得：m =4或m =10．当m =4时，方程的另一个根为3，此时三角形三边分别为7、7、3，周长为17； 当m =10时，方程的另一个根为15，此时不能构成三角形；故三角形的周长为17．点睛：本题主要考查判别式、三角形三边之间的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键．4．已知关于x 的一元二次方程x 2+(k +1)x +214k ＝0 有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；(2)当k 取最小整数时，求此时方程的解．【答案】(1)k ＞﹣12；(2)x 1＝0，x 2＝﹣1． 【解析】【分析】(1)由题意得△＝(k +1)2﹣4×14k 2＞0，解不等式即可求得答案； (2)根据k 取最小整数，得到k ＝0，列方程即可得到结论．【详解】 (1)∵关于x 的一元二次方程x 2+(k +1)x +214k ＝0 有两个不相等的实数根， ∴△＝(k +1)2﹣4×14k 2＞0， ∴k ＞﹣12； (2)∵k 取最小整数，∴k ＝0，∴原方程可化为x 2+x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．5．已知关于x 的方程mx 2+(3﹣m)x ﹣3=0(m 为实数，m≠0)．(1) 试说明：此方程总有两个实数根．(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值.【答案】(1)()2243b ac m -=+≥0；(2)m=-1,-3.【解析】分析: （1）先计算判别式得到△=（m -3）2-4m •（-3）=（m +3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）利用公式法可求出x 1=3m ，x 2=-1，然后利用整除性即可得到m 的值． 详解: （1）证明：∵m ≠0，∴方程mx 2+（m -3）x -3=0（m ≠0）是关于x 的一元二次方程，∴△=（m -3）2-4m ×（-3）=（m +3）2，∵（m +3）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵x =()()332m m m --±+ ， ∴x 1=-3m，x 2=1， ∵m 为正整数，且方程的两个根均为整数，∴m =-1或-3．点睛: 本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．6．关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣(n ﹣1)＝0有两个不相等的实数根．(1)求n 的取值范围；(2)若n 为取值范围内的最小整数，求此方程的根．【答案】(1)n ＞0；(2)x 1＝0，x 2＝2．【解析】【分析】(1)根据方程有两个不相等的实数根可知240b ac ∆=-> ，即可求出n 的取值范围； （2）根据题意得出n 的值，将其代入方程，即可求得答案.【详解】(1)根据题意知，[]224(2)41(1)0b ac n ∆=-=--⨯⨯-->解之得：0n >；(2)∵0n > 且n 为取值范围内的最小整数，∴1n =，则方程为220x x -=，即(2)0x x -=，解得120,2x x ==．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，明确和掌握一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根与24b ac ∆=-的关系（①当>0∆ 时，方程有两个不相等的实数根；②当0∆= 时方程有两个相等的实数根；③当∆<0 时，方程无实数根）是解题关键.7．“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法． 例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n 有多少个点？我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；所以容易求出图10、图n 中黑点的个数分别是 、 ．请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：（1）第5个点阵中有 个圆圈；第n 个点阵中有 个圆圈．（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．【答案】60个，6n个；（1）61；3n2﹣3n+1，（2）小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．【解析】分析：根据规律求得图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个；（1）第2个图中2为一块，分为3块，余1，第2个图中3为一块，分为6块，余1；按此规律得：第5个点阵中5为一块，分为12块，余1，得第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，（2）代入271，列方程，方程有解则存在这样的点阵．详解：图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个，故答案为：60个，6n个；（1）如图所示：第1个点阵中有：1个，第2个点阵中有：2×3+1=7个，第3个点阵中有：3×6+1=17个，第4个点阵中有：4×9+1=37个，第5个点阵中有：5×12+1=60个，…第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，故答案为：60，3n2﹣3n+1；（2）3n2﹣3n+1=271，n2﹣n﹣90=0，（n﹣10）（n+9）=0，n1=10，n2=﹣9（舍），∴小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．点睛：本题是图形类的规律题，采用“分块计数”的方法解决问题，仔细观察图形，根据图形中圆圈的个数恰当地分块是关键．8．解方程：（x2+x）2+（x2+x）＝6．【答案】x1＝﹣2，x2＝1【解析】【分析】设x2+x＝y，将原方程变形整理为y2+y﹣6＝0，求得y的值，然后再解一元二次方程即可．【详解】解：设x2+x＝y，则原方程变形为y2+y﹣6＝0，解得y1＝﹣3，y2＝2．①当y＝2时，x2+x＝2，即x2+x﹣2＝0，解得x1＝﹣2，x2＝1；②当y＝﹣3时，x2+x＝﹣3，即x2+x+3＝0，∵△＝12﹣4×1×3＝1﹣12＝﹣11＜0，∴此方程无解；∴原方程的解为x1＝﹣2，x2＝1．【点睛】本题考查了换元法和一元二次方程的解法，设出元化简原方程是解答本题的关键.9．已知：关于x的方程x2－4mx＋4m2－1＝0.(1)不解方程，判断方程的根的情况；(2)若△ABC为等腰三角形，BC＝5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．2【答案】(1) 有两个不相等的实数根（2）周长为13或17【解析】试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=4＞0，由此可得出：无论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据等腰三角形的性质及△＞0，可得出5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根，将x=5代入原方程可求出m值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出结论．试题解析：解：（1）∵△=（﹣4m）2﹣4（4m2﹣1）=4＞0，∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）∵△＞0，△ABC为等腰三角形，另外两条边是方程的根，∴5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根．将x =5代入原方程，得：25﹣20m +4m 2﹣1=0，解得：m 1=2，m 2=3．当m =2时，原方程为x 2﹣8x +15=0，解得：x 1=3，x 2=5．∵3、5、5能够组成三角形，∴该三角形的周长为3+5+5=13；当m =3时，原方程为x 2﹣12x +35=0，解得：x 1=5，x 2=7．∵5、5、7能够组成三角形，∴该三角形的周长为5+5+7=17．综上所述：此三角形的周长为13或17．点睛：本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入x =5求出m 值．10．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答： （1）每千克茶叶应降价多少元？（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的 几折出售？【答案】（1）每千克茶叶应降价30元或80元；（2）该店应按原售价的8折出售．【解析】【分析】（1）设每千克茶叶应降价x 元，利用销售量×每件利润=41600元列出方程求解即可； （2）为了让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折．【详解】（1）设每千克茶叶应降价x 元．根据题意，得：（400﹣x ﹣240）（200+10x ×40）=41600． 化简，得：x 2﹣10x +240=0．解得：x 1=30，x 2=80．答：每千克茶叶应降价30元或80元．（2）由（1）可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元．此时，售价为：400﹣80=320（元），320100%80%400⨯=． 答：该店应按原售价的8折出售．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．。
人教中考数学复习《一元二次方程》专项综合练习含详细答案
一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．(1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q 两点之间的距离是多少cm？(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C 同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？(3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？【答案】（1）PQ=62cm；（2）85s或245s；（3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为12cm2．【解析】试题分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，∴PQ=62cm；∴经过2s时P、Q两点之间的距离是62cm；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，∴16-5x=±8，∴x1=85，x2=245；∴经过85s或245sP、Q两点之间的距离是10cm；（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．①当0≤y≤163时，则PB=16-3y，∴12PB•BC=12，即12×（16-3y）×6=12，解得y=4；②当163＜x≤223时，BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则1 2BP•CQ=12（3y-16）×2y=12，解得y1=6，y2=-23（舍去）；③223＜x≤8时，QP=CQ-PQ=22-y，则1 2QP•CB=12（22-y）×6=12，解得y=18（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2．考点：一元二次方程的应用．2．阅读下列材料计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）（+），令+＝t，则：原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣+t2＝在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题：（1）计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）×（+）（2）因式分解：（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4（3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝3【答案】（1）；（2）（a2﹣5a+5）2；（3）x1＝0，x2＝﹣4，x3＝x4＝﹣2【解析】【分析】（1）仿照材料内容，令+＝t代入原式计算．（2）观察式子找相同部分进行换元，令a2﹣5a＝t代入原式进行因式分解，最后要记得把t换为a．（3）观察式子找相同部分进行换元，令x2+4x＝t代入原方程，即得到关于t的一元二次方程，得到t的两个解后要代回去求出4个x的解．【详解】（1）令+＝t，则：原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣﹣t+t2+＝（2）令a2﹣5a＝t，则：原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2（3）令x2+4x＝t，则原方程转化为：（t+1）（t+3）＝3t2+4t+3＝3t（t+4）＝0∴t1＝0，t2＝﹣4当x2+4x＝0时，x（x+4）＝0解得：x1＝0，x2＝﹣4当x2+4x＝﹣4时，x2+4x+4＝0（x+2）2＝0解得：x3＝x4＝﹣2【点睛】本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程．利用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算．3．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k ＝2，求该矩形的对角线L 的长．【答案】（1）k ＞34；（2 【解析】【分析】（1）根据关于x 的方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，得出△＞0，再解不等式即可；（2）当k=2时，原方程x 2-5x+5=0，设方程的两根是m 、n ，则矩形两邻边的长是m 、n ，利用根与系数的关系得出m+n=5，mn=5，利用完全平方公式进行变形即可求得答案.【详解】（1）∵方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝[－(2k ＋1)]2－4×1×(k 2＋1)＝4k －3＞0，∴k ＞34； (2)当k ＝2时，原方程为x 2－5x ＋5＝0，设方程的两个根为m ，n ，∴m ＋n ＝5，mn ＝5，∴==.【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．4．已知x 1、x 2是关于x 的﹣元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根．（1）求a 的取值范围；（2）若（x 1+1）（x 2+1）是负整数，求实数a 的整数值．【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a 的值为7、8、9或12．【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x 1+x 2=﹣26a a + ，x 1x 2=6a a + ，由（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=﹣66a - 是是负整数，即可得66a -是正整数．根据a 是整数，即可求得a 的值2． 【详解】（1）∵原方程有两实数根，∴，∴a≥0且a≠6． （2）∵x 1、x 2是关于x 的一元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根，∴x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，∴（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=﹣+1=﹣． ∵（x 1+1）（x 2+1）是负整数，∴﹣是负整数，即是正整数．∵a 是整数，∴a ﹣6的值为1、2、3或6，∴a 的值为7、8、9或12．【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a 的不等式是解此题的关键．5．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x+a ﹣1=0．（1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x 1，x 2，求a 的取值范围；（3）若方程两个实数根x 1，x 2满足[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，求a 的值．【答案】（1）123,4x x =-=（2）54a ≤（3）-4【解析】分析：（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案；（2）根据判别式即可求出a 的范围；（3）根据根与系数的关系即可求出答案．详解：（1）把a =﹣11代入方程，得x 2﹣x ﹣12=0，（x +3）（x ﹣4）=0，x +3=0或x ﹣4=0，∴x 1=﹣3，x 2=4；（2）∵方程有两个实数根12x x ，，∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a ﹣1）≥0，解得54a ≤：； （3）∵12x x ，是方程的两个实数根，222211221122101011x x a x x a x x a x x a -+-=-+-=∴-=--=-，，，．∵[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，∴221122229x x x x ⎡⎤⎡⎤+-+-=⎣⎦⎣⎦，把22112211x x a x x a -=--=-， 代入，得：[2+a ﹣1][2+a ﹣1]=9，即（1+a ）2=9，解得：a =﹣4，a =2（舍去），所以a 的值为﹣4．点睛：本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系．6．按上述方案，一家酒店四、五两月用水量及缴费情况如下表所示，那么，这家酒店四、五两月的水费分别是按哪种方案计算的？并求出的值.月份用水量（吨）水费（元）四月3559.5五月80151【答案】7．沙坪坝区各街道居民积极响应“创文明城区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．（1）求A社区居民人口至少有多少万人？（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1.5万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了4m%，第二月在第一个月的基础上又增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到592%，求m的值．【答案】（1）A社区居民人口至少有2.5万人；（2）m的值为50．【解析】【分析】（1）设A社区居民人口有x万人，根据“B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可；（2）A社区的知晓人数+B社区的知晓人数=7.5×92%，据此列出关于m的方程并解答．【详解】解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.5-x）万人，依题意得：7.5-x≤2x，解得x≥2.5．即A社区居民人口至少有2.5万人；（2）依题意得：1.2（1+m %）2+1.5×（1+45m %）+1.5×（1+45m %）（1+2m %）=7.5×92%， 解得m =50答：m 的值为50．【点睛】 本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相关数据的数量关系，列出不等式或方程．8．观察下列一组方程：20x x -=①；2320x x -+=②；2560x x -+=③；27120x x -+=④；⋯它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．()1若2560x kx ++=也是“连根一元二次方程”，写出k 的值，并解这个一元二次方程； ()2请写出第n 个方程和它的根．【答案】（1）x 1＝7，x 2＝8.（2）x 1＝n －1，x 2＝n .【解析】【分析】（1）根据十字相乘的方法和“连根一元二次方程”的定义,找到56是7与8的乘积,确定k 值即可解题,（2）找到规律,十字相乘的方法即可求解.【详解】解：(1)由题意可得k ＝－15，则原方程为x 2－15x ＋56＝0，则(x －7)·(x －8)＝0，解得x 1＝7，x 2＝8.(2)第n 个方程为x 2－(2n －1)x ＋n(n －1)＝0，(x －n)(x －n ＋1)＝0，解得x 1＝n －1，x 2＝n.【点睛】本题考查了用因式分解法求解一元二次方程,与十字相乘联系密切,连根一元二次方程是特殊的十字相乘,中等难度,会用十字相乘解题是解题关键.9．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mx ﹣2＝0…①（1）若x ＝﹣1是方程①的一个根，求m 的值和方程①的另一根；（2）对于任意实数m ，判断方程①的根的情况，并说明理由．【答案】（1）方程的另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析.【解析】试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m 的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断．(1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=1∴2--2=0． ∴∴另一根是2；(2)∵，∴方程①有两个不相等的实数根．考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根10．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，若点P从点A沿AB边向B点以1 cm/s的速度移动，点Q从B点沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，两点同时出发．(1)问几秒后，△PBQ的面积为8cm²？(2)出发几秒后，线段PQ的长为42cm ?(3)△PBQ的面积能否为10 cm2？若能，求出时间；若不能，请说明理由．【答案】(1) 2或4秒2 cm；(3)见解析.【解析】【分析】（1）由题意，可设P、Q经过t秒，使△PBQ的面积为8cm2，则PB=6-t，BQ=2t，根据三角形面积的计算公式，S△PBQ=12BP×BQ，列出表达式，解答出即可；（2）设经过x秒后线段PQ的长为2cm，依题意得AP=x，BP=6-x，BQ=2x，利用勾股定理列方程求解；（3）将△PBQ的面积表示出来，根据△=b2-4ac来判断．【详解】(1)设P，Q经过t秒时，△PBQ的面积为8 cm2，则PB＝6－t，BQ＝2t，∵∠B＝90°，∴12(6－t)× 2t＝8，解得t1＝2，t2＝4，∴当P，Q经过2或4秒时，△PBQ的面积为8 cm2；(2)设x秒后，PQ＝2 cm，由题意，得(6－x)2＋4x2＝32，解得x1＝25，x2＝2，故经过25秒或2秒后，线段PQ的长为2 cm；(3)设经过y秒，△PBQ的面积等于10 cm2，S△PBQ＝12×(6－y)× 2y＝10，即y2－6y＋10＝0，∵Δ＝b2－4ac＝36－4× 10＝－4＜ 0，∴△PBQ的面积不会等于10 cm2.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练的掌握一元二次方程的应用是本题解题的关键.。
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一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．【答案】（1）12k ≤；（2）3k = 【解析】试题分析：（1）方程有两个实数根，可得240b ac ∆=-≥，代入可解出k 的取值范围； （2）由韦达定理可知，()2121221,x x k x x k +=-=，列出等式，可得出k 的值． 试题解析：(1)∵Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴－8k ＋4≥0，∴k ≤12； (2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴2(k －1)＝1－k 2，∴k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3.2．已知关于x 的二次函数22(21)1y x k x k =--++的图象与x 轴有2个交点.（1）求k 的取值范围；（2）若图象与x 轴交点的横坐标为12,x x ，且它们的倒数之和是32-，求k 的值. 【答案】（1）k ＜-34 ；（2）k=﹣1 【解析】试题分析：（1）根据交点得个数，让y=0判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式△= b 2-4ac 的范围可求解出k 的值；（2）利用y=0时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到k 的值.试题解析：（1）∵二次函数y=x 2-（2k-1）x+k 2+1的图象与x 轴有两交点，∴当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0有两个不相等的实数根．∴△=b 2-4ac=[-（2k-1）]2-4×1×（k 2+1）＞0．解得k ＜-34； （2）当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0．则x 1+x 2=2k-1，x 1•x 2=k 2+1，∵=== 32-，解得：k=-1或k= 13-（舍去），∴k=﹣13．解方程：（3x+1）2=9x+3．【答案】x 1=﹣13，x 2=23． 【解析】试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可.试题解析：方程整理得：（3x+1）2﹣3（3x+1）=0，分解因式得：（3x+1）（3x+1﹣3）=0，可得3x+1=0或3x ﹣2=0，解得：x 1=﹣13，x 2=23． 点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点，然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择即可.4．解方程：2332302121x x x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭． 【答案】x=15或x=1 【解析】【分析】 设321x y x =-，则原方程变形为y 2-2y-3=0, 解这个一元二次方程求y ，再求x ． 【详解】 解：设321x y x =-，则原方程变形为y 2-2y-3=0． 解这个方程，得y 1=-1,y 2=3, ∴3121x x =--或3321x x =-． 解得x=15或x=1． 经检验：x=15或x=1都是原方程的解． ∴原方程的解是x=15或x=1． 【点睛】考查了还原法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．5．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC和△DEF，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF 的斜边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．（1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；（2）如图2，李晨同学连接FC，编制了如下问题，请你回答：①∠FCD的最大度数为；②当FC∥AB时，AD= ；③当以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边时，AD= ;④△FCD的面积s的取值范围是 .【答案】（1）2；（2）① 60°；②；③；④.【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出AC的长，即可得到AD的长.（2）①当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，据此求解即可.②过点F作FH⊥AC于点H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质求解即可.③过点F作FH⊥AC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示，根据勾股定理列式求解.④设AD=x，把△FCD的面积s表示为x的函数，根据x的取值范围来确定s的取值范围.试题解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC=，∴AC=12.∵CD=10，∴AD=2.（2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°.∵当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，∴∠FCD的最大度数=∠DEF="60°."② 如图，过点F作FH⊥AC于点H，∵∠EDF=30°， EF=2，∴DF=. ∴DH=3，FH=.∵FC∥AB，∠A=45°，∴∠FCH="45°." ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.∵AC=12，∴AD=.③如图，过点F作FH⊥AC于点H，设AD=x，由②知DH=3，FH=，则HC=.在Rt△CFH中，根据勾股定理，得.∵以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边，∴，即，解得.④设AD=x，易知，即.而，当时，；当时，.∴△FCD的面积s的取值范围是.考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含30度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.6．将m看作已知量，分别写出当0<x<m和x>m时，与之间的函数关系式；7．解下列方程：(1)2x2－4x－1＝0(配方法)；(2)(x＋1)2＝6x＋6.【答案】(1)x1＝16x2＝161＝－1，x2＝5.【解析】试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可.试题解析：(1)由题可得，x 2－2x ＝12，∴x 2－2x ＋1＝32. ∴(x －1)2＝32.∴x －1＝.∴x 1＝1x 2＝1 (2)由题可得，(x ＋1)2－6(x ＋1)＝0，∴(x ＋1)(x ＋1－6)＝0.∴x ＋1＝0或x ＋1－6＝0.∴x 1＝－1，x 2＝5.8．已知关于x 的一元二次方程x 2+(k +1)x +214k ＝0 有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；(2)当k 取最小整数时，求此时方程的解．【答案】(1)k ＞﹣12；(2)x 1＝0，x 2＝﹣1． 【解析】【分析】 (1)由题意得△＝(k +1)2﹣4×14k 2＞0，解不等式即可求得答案； (2)根据k 取最小整数，得到k ＝0，列方程即可得到结论．【详解】 (1)∵关于x 的一元二次方程x 2+(k +1)x +214k ＝0 有两个不相等的实数根， ∴△＝(k +1)2﹣4×14k 2＞0， ∴k ＞﹣12； (2)∵k 取最小整数，∴k ＝0，∴原方程可化为x 2+x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．9．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣12）＝0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值多少？【答案】（1）详见解析；（2）k＝32或2．【解析】【分析】（1）计算判别式的值，利用完全平方公式得到△＝（2k﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用求根公式解方程得到x1＝2k﹣1，x2＝2，再根据等腰三角形的性质得到2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，然后分别解关于k的方程即可．【详解】（1）∵△＝（2k+1）2﹣4×4（k﹣12）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2≥0，∴该方程总有实数根；（2）() 2k12k3 x=2±＋﹣∴x1＝2k﹣1，x2＝2，∵a、b、c为等腰三角形的三边，∴2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，∴k＝32或2．【点睛】本题考查了根的判别式以及等腰三角形的性质，分a是等腰三角形的底和腰两种情况是解题的关键.10．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【答案】(1) △ABC是等腰三角形；(2)△ABC是直角三角形；(3) x1=0，x2=﹣1．【解析】试题分析：（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC 的形状；（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；（3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．试题解析：（1）△ABC是等腰三角形；理由：∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，∴4b2﹣4a2+4c2=0，∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形；（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：2ax2+2ax=0，∴x2+x=0，解得：x1=0，x2=﹣1．考点：一元二次方程的应用．。
人教备战中考数学提高题专题复习一元二次方程练习题含详细答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知关于x 的方程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由？【答案】存在，n=0. 【解析】 【分析】在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n ，要注意n 的值要使方程②的根是整数. 【详解】 若存在n 满足题意.设x1，x2是方程①的两个根，则x 1+x 2=2n ，x 1x 2=324n +-，所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2， 由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0，①若4n 2+3n+2=-n+1，解得n=-12，但1-n=32不是整数，舍.②若4n 2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-14(舍)，综上所述，n=0.2．解下列方程：(1)2x 2－4x －1＝0(配方法)； (2)(x ＋1)2＝6x ＋6.【答案】(1)x 1＝1x 2＝11＝－1，x 2＝5. 【解析】试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可. 试题解析：(1)由题可得，x 2－2x ＝12，∴x 2－2x ＋1＝32.∴(x －1)2＝32.∴x －1＝.∴x 1＝1x 2＝1(2)由题可得，(x ＋1)2－6(x ＋1)＝0，∴(x ＋1)(x ＋1－6)＝0. ∴x ＋1＝0或x ＋1－6＝0. ∴x 1＝－1，x 2＝5.3．已知关于x 的一元二次方程()220x m x m -++=（m 为常数）（1）求证：不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是2，求m 的值及方程的另一个根． 【答案】(1)见解析；(2) 即m 的值为0，方程的另一个根为0. 【解析】 【分析】（1）可用根的判别式，计算判别式得到△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4＞0，则方程有两个不相等实数解，于是可判断不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的另一个根为t ，利用根与系数的关系得到2+t=21m + ,2t=m,最终解出关于t 和m 的方程组即可. 【详解】 (1)证明：△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4， ∵无论m 为何值时m 2≥0， ∴m 2+4≥4＞0， 即△＞0，所以无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根. (2)设方程的另一个根为t ，()220x m x m -++=根据题意得2+t=21m + ,2t=m ， 解得t=0， 所以m=0，即m 的值为0，方程的另一个根为0. 【点睛】本题考查根的判别式和根于系数关系，对于问题（1）可用根的判别式进行判断，在判断过程中注意对△的分析，在分析时可借助平方的非负性；问题（2）可先设另一个根为t ，用根于系数关系列出方程组，在求解.4．已知关于x 的一元二次方程()2211204x m x m +++-=． ()1若此方程有两个实数根，求m 的最小整数值；()2若此方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足22212121184x x x x m ++=-，求m 的值．【答案】（1）m 的最小整数值为4-；（2）3m = 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个实数根得0∆≥,列式即可求解,（2）利用韦达定理即可解题. 【详解】（1）解：()22114124m m ⎛⎫∆=+-⨯⨯-⎪⎝⎭22218m m m =++-+29m =+方程有两个实数根0∴∆≥，即290m +≥92m ∴≥-∴ m 的最小整数值为4-（2）由根与系数的关系得：()121x x m +=-+，212124x x m =- 由22212121184x x x x m ++=-得：()22211121844m m m ⎛⎫⎡⎤-+--=- ⎪⎣⎦⎝⎭13m ∴=，25m =-92m ≥-3m ∴=【点睛】本题考查了根的判别式和韦达定理,中等难度,熟悉韦达定理是解题关键.5．已知关于x 的方程x 2﹣2x +m ﹣2＝0有两个不相等的实数根． (1)求m 的取值范围；(2)如果m 为正整数，且该方程的根都是整数，求m 的值． 【答案】(1)m ＜3；(2)m ＝2． 【解析】 【分析】（1）根据题意得出△＞0，代入求出即可；（2）求出m=1或2，代入后求出方程的解，即可得出答案． 【详解】（1）∵方程有两个不相等的实数根． ∴△＝4﹣4(m ﹣2)＞0．∴m＜3；（2）∵m＜3 且 m为正整数，∴m＝1或2．当 m＝1时，原方程为 x2﹣2x﹣1＝0．它的根不是整数，不符合题意，舍去；当 m＝2时，原方程为 x2﹣2x＝0．∴x(x﹣2)＝0．∴x1＝0，x2＝2．符合题意．综上所述，m＝2．【点睛】本题考查了根的判别式和解一元二次方程，能根据题意求出m的值和m的范围是解此题的关键．6．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？【答案】(1)2000；(2)2米【解析】【分析】（1）设未知数，根据题目中的的量关系列出方程；（2）可以通过平移，也可以通过面积法，列出方程【详解】解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，根据题意得：4600022000x-﹣46000220001.5x-= 4解得：x=2000，经检验，x=2000是原方程的解;答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；（2）设人行道的宽度为x米，根据题意得，（20﹣3x）（8﹣2x）=56解得：x=2或x=263（不合题意，舍去）．答：人行道的宽为2米．7．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【答案】（1）4元或6元；（2）九折.【解析】【详解】解：（1）设每千克核桃应降价x元.根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+x2×20）=2240，化简，得 x2﹣10x+24=0，解得x1=4，x2=6.答：每千克核桃应降价4元或6元.（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元.此时，售价为：60﹣6=54（元），54100%=90% 60.答：该店应按原售价的九折出售.8．为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？【答案】共有35名同学参加了研学游活动．【解析】试题分析：由该班实际共支付给旅行社3150元，可以判断出参加的人数在30人以上，等量关系为：（100﹣在30人基础上降低的人数×2）×参加人数=3150，得到相关解后根据人均活动费用不得低于80元作答即可．试题解析：∵100×30=3000＜3150，∴该班参加研学游活动的学生数超过30人．设九（1）班共有x人去旅游，则人均费用为[100﹣2（x﹣30）]元，由题意得：x[100﹣2（x﹣30）]=3150，整理得x2﹣80x+1575=0，解得x1=35，x2=45，当x=35时，人均旅游费用为100﹣2（35﹣30）=90＞80，符合题意．当x=45时，人均旅游费用为100﹣2（45﹣30）=70＜80，不符合题意，应舍去．答：该班共有35名同学参加了研学旅游活动．考点：一元二次方程的应用．9．某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m （单位：件）是关于时间t （单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表：这20天中，该产品每天的价格y （单位：元/件）与时间t 的函数关系式为：1254y t =+（t 为整数），根据以上提供的条件解决下列问题： （1）直接写出m 关于t 的函数关系式；（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a 元（4a <）给希望工程，通过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，求a 的取值范围.【答案】（1）2100m t =-+；（2）在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元；（3）2.54a ≤<. 【解析】 【分析】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，即可确定一次函数关系式；（2）根据日利润=日销售量×每件利润列出函数解析式，然后根据函数性质求最大值，即可确定答案；（3）根据20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a 的取值范围 【详解】（1）设该函数的解析式为:m=kx+b由题意得:98=k b94=3k b +⎧⎨+⎩解得:k=-2,b=100∴m 关于t 的函数关系式为:2100m t =-+. （2）设前20天日销售利润为W 元，由题意可知，()1210025204W t t ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭21151002t t =-++()2115612.52t =--+ ∵102<，∴当15t =时，612.5W =最大.∴在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元. （3）由题意得：()1210025204W t t a ⎛⎫=-++--⎪⎝⎭()211525001002t a t a =-+++-，∴对称轴为：152t a =+，∵每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，且120t ≤≤， ∴15220a +≥， ∴ 2.5a ≥， ∴2.54a ≤<. 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，掌握解决最值问题的方法是解答本题的关键.10．若两个一次函数的图象与x 轴交于同一点，则称这两个函数为一对“x 牵手函数”，这个交点为“x 牵手点”．（1）一次函数y ＝x ﹣1与x 轴的交点坐标为 ；一次函数y ＝ax +2与一次函数y ＝x ﹣1为一对“x 牵手函数”，则a ＝ ；（2）已知一对“x 牵手函数”：y ＝ax +1与y ＝bx ﹣1，其中a ，b 为一元二次方程x 2﹣kx +k ﹣4＝0的两根，求它们的“x 牵手点”．【答案】（1）（1，0），a ＝﹣2；（2）“x 牵手点”为（12-，0）或（12，0）. 【解析】 【分析】（1）根据x 轴上点的坐标特征可求一次函数y=x-1与x 轴的交点坐标；把一次函数y=x-1与x 轴的交点坐标代入一次函数y=ax+2可求a 的值；（2）根据“x 牵手函数”的定义得到a+b=0，根据根与系数的关系求得k=0，可得方程x 2-4=0，解得x 1=2，x 2=-2，再分两种情况：①若a=2，b=-2，②若a=-2，b=2，进行讨论可求它们的“x 牵手点”． 【详解】解：（1）当y ＝0时，即x ﹣1＝0，所以x ＝1，即一次函数y ＝x ﹣1与x 轴的交点坐标为（1，0）， 由于一次函数y ＝ax+2与一次函数y ＝x ﹣1为一对“x 牵手函数”， 所以0＝a+2， 解得a ＝﹣2；（2）∵y ＝ax+1与y ＝bx ﹣1为一对“x 牵手函数”∴11a b -=， ∴a+b ＝0．∵a，b为x2﹣kx+k﹣4＝0的两根∴a+b＝k＝0，∴x2﹣4＝0，∴x1＝2，x2＝﹣2．①若a＝2，b＝﹣2则y＝2x+1与y＝﹣2x﹣1的“x牵手点”为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭；②若a＝﹣2，b＝2则y＝﹣2x+1与y＝2x﹣1的“x牵手点”为（12，0 ）∴综上所述，“x牵手点”为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭或（12，0）【点睛】本题考查了根与系数的关系、一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征的运用．。
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一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1y x =-，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1y x =-的零点． 己知函数222(3)y x mx m =--+(m m 为常数)．（1）当m =0时，求该函数的零点；（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点； （3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且121114xx +=-，此时函数图象与x 轴的交点分 别为A 、B(点A 在点B 左侧)，点M 在直线10y x =-上，当MA+MB 最小时，求直线AM 的函数解析式．【答案】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-． （2）见解析,（3）AM 的解析式为112y x =--． 【解析】 【分析】（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x 2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可； （3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标，个、作点B 关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB 最小时，直线AM 的函数解析式 【详解】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．（2）令y=0，得△=∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根．即无论m 取何值，该函数总有两个零点． （3）依题意有，由解得．∴函数的解析式为．令y=0，解得∴A()，B(4,0)作点B 关于直线10y x =-的对称点B’，连结AB’， 则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点．易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C （10,0），D （0,10）． 连结CB’，则∠BCD=45° ∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45° ∴∠BCB’=90° 即B’（106-，）设直线AB’的解析式为y kx b =+，则20{106k b k b -+=+=-，解得112k b =-=-， ∴直线AB’的解析式为112y x =--， 即AM 的解析式为112y x =--．2．阅读下列材料 计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）（+），令+＝t ，则：原式＝（1﹣t ）（t +）﹣（1﹣t ﹣）t ＝t +﹣t 2﹣+t 2＝在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题： （1）计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）×（+）（2）因式分解：（a 2﹣5a +3）（a 2﹣5a +7）+4 （3）解方程：（x 2+4x +1）（x 2+4x +3）＝3 【答案】（1）；（2）（a 2﹣5a +5）2；（3）x 1＝0，x 2＝﹣4，x 3＝x 4＝﹣2【解析】 【分析】（1）仿照材料内容，令+＝t 代入原式计算．（2）观察式子找相同部分进行换元，令a 2﹣5a ＝t 代入原式进行因式分解，最后要记得把t 换为a ．（3）观察式子找相同部分进行换元，令x 2+4x ＝t 代入原方程，即得到关于t 的一元二次方程，得到t 的两个解后要代回去求出4个x 的解． 【详解】 （1）令+＝t ，则： 原式＝（1﹣t ）（t +）﹣（1﹣t ﹣）t ＝t +﹣t 2﹣﹣t +t 2+＝（2）令a 2﹣5a ＝t ，则：原式＝（t +3）（t +7）+4＝t 2+7t +3t +21+4＝t 2+10t +25＝（t +5）2＝（a 2﹣5a +5）2 （3）令x 2+4x ＝t ，则原方程转化为： （t +1）（t +3）＝3 t 2+4t +3＝3 t （t +4）＝0 ∴t 1＝0，t 2＝﹣4 当x 2+4x ＝0时， x （x +4）＝0 解得：x 1＝0，x 2＝﹣4 当x 2+4x ＝﹣4时， x 2+4x +4＝0 （x +2）2＝0 解得：x 3＝x 4＝﹣2 【点睛】本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程．利用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算．3．某建材销售公司在2019年第一季度销售,A B 两种品牌的建材共126件，A 种品牌的建材售价为每件6000元，B 种品牌的建材售价为每件9000元.（1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，求至多销售A 种品牌的建材多少件？（2）该销售公司决定在2019年第二季度调整价格，将A 种品牌的建材在上一个季度的基础上下调%a ，B 种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨%a ；同时，与（1）问中最低销售额的销售量相比，A 种品牌的建材的销售量增加了1%2a ，B 种品牌的建材的销售量减少了2%3a ，结果2019年第二季度的销售额比（1）问中最低销售额增加2%23a ，求a 的值.【答案】（1）至多销售A 品牌的建材56件;(2)a 的值是30. 【解析】 【分析】（1）设销售A 品牌的建材x 件，根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，列不等式求解；（2）根据题意列出方程求解即可. 【详解】（1）设销售A 品牌的建材x 件.根据题意，得()60009000126966000x x +-≥， 解这个不等式，得56x ≤， 答：至多销售A 品牌的建材56件.（2）在（1）中销售额最低时，B 品牌的建材70件， 根据题意，得()()()12260001%561%90001%701%6000569000701%2323a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+++⨯-=⨯+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令%a y =，整理这个方程，得21030y y -=，解这个方程，得1230,10y y ==， ∴10a =（舍去），230a =， 即a 的值是30. 【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．4．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%．（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠． 【解析】 【分析】（1）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可； （2）分别求出两种方式的增长率，然后比较即可. 【详解】（1）设平均每次下调x%，则7000（1﹣x ）2=5670，解得：x 1=10%，x 2=190%（不合题意，舍去）； 答：平均每次下调的百分率为10%．（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x ）2=（1﹣10%）2=81%．∵80.75%＜81%，∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．5．如图，在Rt ABC 中，90B =∠，10AC cm =，6BC cm =，现有两点P 、Q 的分别从点A 和点B 同时出发，沿边AB ，BC 向终点C 移动．已知点P ，Q 的速度分别为2/cm s ，1/cm s ，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设P ，Q 两点移动时间为xs ．问是否存在这样的x ，使得四边形APQC 的面积等于216cm ？若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由．【答案】假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ，理由见解析 【解析】 【分析】根据题意，列出BQ 、PB 的表达式，再列出方程，判断根的情况. 【详解】解：∵90B ∠=，10AC =，6BC =， ∴8AB =．∴BQ x =，82PB x =-；假设存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于216cm ， 则()1168821622x x ⨯⨯--=， 整理得：2480x x -+=， ∵1632160=-=-<，∴假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程根的判别方法、理解方程的意义是本题的解题关键.6．关于x 的方程()2204kkx k x +++=有两个不相等的实数根． ()1求实数k 的取值范围；()2是否存在实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）1k >-且0k ≠；（2）不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根．【解析】 【分析】()1由于方程有两个不相等的实数根，所以它的判别式0>，由此可以得到关于k 的不等式，解不等式即可求出k 的取值范围.()2首先利用根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再由方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，可以得出关于k 的等式，解出k 值，然后判断k 值是否在()1中的取值范围内.【详解】解：()1依题意得2(2)404kk k =+-⋅>， 1k ∴>-， 又0k ≠，k ∴的取值范围是1k >-且0k ≠；()2解：不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，理由是：设方程()2204kkx k x +++=的两根分别为1x ，2x ， 由根与系数的关系有：1212214k x x kx x +⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又因为方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，212k k +∴-=， 43k ∴=-，由()1知，1k >-，且0k ≠，43k ∴=-不符合题意，因此不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根． 【点睛】本题重点考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系。
7．（问题）如图①，在a×b×c （长×宽×高，其中a ，b ，c 为正整数）个小立方块组成的长方体中，长方体的个数是多少？ （探究）探究一：（1）如图②，在2×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2=232⨯=3条线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为3×1×1=3． （2）如图③，在3×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2+3=342⨯=6条线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为6×1×1=6． （3）依此类推，如图④，在a×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2+…+a=()a a 12+线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为______． 探究二：（4）如图⑤，在a×2×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC上有1+2=232⨯=3条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+×3×1=()3a a 12+．（5）如图⑥，在a×3×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC上有1+2+3=342⨯=6条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为______． （6）依此类推，如图⑦，在a×b×1个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．探究三：（7）如图⑧，在以a×b×2个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC 上有()b b 12+条线段，棱AD 上有1+2=232⨯=3条线段，则图中长方体的个数为()3a a 12+×()b b 12+×3=()()3ab a 1b 14++．（8）如图⑨，在a×b×3个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC上有()b b 12+条线段，棱AD 上有1+2+3=342⨯=6条线段，则图中长方体的个数为______．（结论）如图①，在a×b×c 个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______． （应用）在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______． （拓展）如果在若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论． 【答案】探究一：（3）()a a 12+ ；探究二：（5）3a （a+1）；（6）()()ab a 1b 14++ ；探究三：（8）()()3ab a 1b 12++ ；【结论】：①()()()abc a 1b 1c 18+++ ；【应用】：180；【拓展】：组成这个正方体的小立方块的个数是64，见解析. 【解析】 【分析】（3）根据规律，求出棱AB ，AC ，AD 上的线段条数，即可得出结论； （5）根据规律，求出棱AB ，AC ，AD 上的线段条数，即可得出结论； （6）根据规律，求出棱AB ，AC ，AD 上的线段条数，即可得出结论； （8）根据规律，求出棱AB ，AC ，AD 上的线段条数，即可得出结论； (结论)根据规律，求出棱AB ，AC ，AD 上的线段条数，即可得出结论； (应用)a=2，b=3，c=4代入(结论)中得出的结果，即可得出结论； (拓展)根据(结论)中得出的结果，建立方程求解，即可得出结论．【详解】解：探究一、（3）棱AB 上共有()a a 12+线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+ ×1×1=()a a 12+ ，故答案为()a a 12+ ；探究二：（5）棱AB 上有()a a 12+ 条线段，棱AC 上有6条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+ ×6×1=3a （a+1），故答案为3a （a+1）； （6）棱AB 上有()a a 12+ 条线段，棱AC 上有()b b 12+条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+ ×()b b 12+×1=()()ab a 1b 14++，故答案为()()ab a 1b 14++；探究三：（8）棱AB 上有()a a 12+ 条线段，棱AC 上有()b b 12+条线段，棱AD 上有6条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+ ×()b b 12+×6=()()3ab a 1b 12++，故答案为()()3ab a 1b 12++；(结论)棱AB 上有()a a 12+ 条线段，棱AC 上有()b b 12+条线段，棱AD 上有()c c 12+条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+×()b b 12+×()c c 12+=()()()abc a 1b 1c 18+++，故答案为()()()abc a 1b 1c 18+++；(应用)由(结论)知，()()()abc a 1b 1c 18+++，∴在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为()()()2342131418⨯⨯⨯+⨯+⨯+=180，故答案为为180；拓展：设正方体的每条棱上都有x 个小立方体，即a=b=c=x ， 由题意得33(1)8x x +=1000， ∴[x （x+1）]3=203， ∴x （x+1）=20，∴x 1=4，x 2=-5（不合题意，舍去） ∴4×4×4=64所以组成这个正方体的小立方块的个数是64． 【点睛】解此题的关键在于根据已知得出规律，题目较好，但有一定的难度，是一道比较容易出错的题目．8．已知关于x 的一元二次方程()2211204x m x m +++-=． ()1若此方程有两个实数根，求m 的最小整数值；()2若此方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足22212121184x x x x m ++=-，求m 的值．【答案】（1）m 的最小整数值为4-；（2）3m = 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个实数根得0∆≥,列式即可求解,（2）利用韦达定理即可解题. 【详解】（1）解：()22114124m m ⎛⎫∆=+-⨯⨯-⎪⎝⎭22218m m m =++-+29m =+方程有两个实数根0∴∆≥，即290m +≥92m ∴≥-∴ m 的最小整数值为4-（2）由根与系数的关系得：()121x x m +=-+，212124x x m =- 由22212121184x x x x m ++=-得：()22211121844m m m ⎛⎫⎡⎤-+--=- ⎪⎣⎦⎝⎭13m ∴=，25m =-92m ≥- 3m ∴=【点睛】本题考查了根的判别式和韦达定理,中等难度,熟悉韦达定理是解题关键.9．自2018年1月10日零时起，高铁开通，某旅行社为吸引广大市民组团去仙都旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过10人，人均旅游费用为200元，如果人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150元．()1如果某单位组织12人参加仙都旅游，那么需支付旅行社旅游费用________元； () 2现某单位组织员工去仙都旅游，共支付给该旅行社旅游费用2625元，那么该单位有多少名员工参加旅游？【答案】（1）2280；（2）15【解析】【分析】对于（1）根据人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求解；对于（2）设这次旅游可以安排x 人参加，而由10×200＝2000＜2625，可以得出人数大于10人，则根据x 列出方程：（10＋x ）（200－5x ）＝2625，求出x ，然后根据人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求出x 的范围，最后得出x 的值.【详解】（1）2280()2因为1020020002625⨯=<．因此参加人比10人多，设在10人基础上再增加x 人，由题意得：()()1020052625x x +-=．解得 15x = 225x =，∵2005150x -≥，∴010x <≤，经检验 15x =是方程的解且符合题意，225x =（舍去）．1010515x +=+=答：该单位共有15名员工参加旅游．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，根据题意作出判断，列出一元二次方程，求解方程，舍去不符合题意的解，从而得出结果.10．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答： （1）每千克茶叶应降价多少元？（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的 几折出售？【答案】（1）每千克茶叶应降价30元或80元；（2）该店应按原售价的8折出售．【解析】【分析】（1）设每千克茶叶应降价x 元，利用销售量×每件利润=41600元列出方程求解即可； （2）为了让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折．【详解】（1）设每千克茶叶应降价x 元．根据题意，得：（400﹣x ﹣240）（200+10x ×40）=41600． 化简，得：x 2﹣10x +240=0．解得：x 1=30，x 2=80．答：每千克茶叶应降价30元或80元．（2）由（1）可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元．此时，售价为：400﹣80=320（元），320100%80%400⨯=． 答：该店应按原售价的8折出售．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．。