2015北京一模数学操作题26题

2015中考一模操作题
1.在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，E 是OC 上任意一点，AG BE ⊥于点G ，交BD 于点F ．
(1)如图1,若四边形ABCD 是正方形,判断AF 与BE 的数量关系;
明明发现，AF 与BE 分别在AOF △和BOE △中，可以通过证明AOF △和
BOE △全等,得到AF 与BE 的数量关系;
请回答：AF 与BE 的数量关系是 .
(2) 如图2,若四边形ABCD 是菱形, 120ABC ∠=︒,请参考明明思考问题的方法，求
AF
BE
的值.
2. 阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB 于D ，交AC 于E ．已知CD ⊥BE ，CD =3，BE =5，求BC +DE 的值．
小明发现，过点E 作EF ∥DC ，交BC 延长线于点F ，构造△BEF ，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
图1 图2 图3
请回答：BC +DE 的值为_______． 参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，已知□ABCD 和矩形ABEF ，AC 与DF 交于点G ，AC =BF =DF ，求∠AGF 的度数．
3. 小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =60°，CD 平分∠ACB ，试判断BC 和AC 、AD 之间的数量关系．
小明发现，利用轴对称做一个变化，在BC 上截取CA′=CA ，连接DA′，得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2）．
图1 图2
请回答：（1）在图2中，小明得到的全等三角形是△ ≌△ ；
（2）BC 和AC 、AD 之间的数量关系是 ．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，BC =CD =10，AC =17，AD =9． 求AB 的长．
4.小敏在数学课外小组活动中遇到这样一个问题： 如果α，β都为锐角，且1tan 2α=
，1
tan 3
β=，求αβ+的度数． 小敏是这样解决问题的：如图1，把α，β放在正方形网格中，使得ABD α∠=，
CBE β∠=，且BA ，BC 在直线BD 的两侧，连接AC ，可证得△ABC 是等腰直角三角形，因
此可求得αβ+=∠ABC = °.
请参考小敏思考问题的方法解决问题：
如果α，β都为锐角，当tan 4α=，3tan 5
β=时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON=αβ-，由此可得αβ-=______°.
A'
D
D
C
C
A
A
图3
D
C
B
A
5.如图1，在锐角△ABC 中，AD 、BE 、CF 分别为△ABC 的高，求证：∠AFE =∠ACB . 小明是这样思考问题的：如图2，以BC 为直径做半⊙O ，则点F 、E 在⊙O 上， ∠BFE +∠BCE =180°，所以∠AFE =∠ACB .
请回答：若∠ABC =40，则∠AEF 的度数是 . 参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在锐角△ABC 中，AD 、BE 、CF 分别为△ABC 的高，求证：∠BDF =∠CDE .
6.（1）请你根据下面画图要求，在图①中完成画图操作并填空．
如图①，△ABC 中，∠BAC =30°，∠ACB =90°，∠PAM =∠A ． 操作：（1）延 长BC ．
（2）将∠PAM 绕点A 逆时针方向旋转60°后，射线AM 交BC 的延长线于点D ． （3）过点D 作DQ//AB ．
（4）∠PAM 旋转后，射线AP 交DQ 于点G ． （5）连结BG ．
图1 图2 图3
结论：AB
AG
= ．
（2）如图②，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=36°，进行如下操作：将△ABC绕点
A按逆时针方向旋转α度角，并使各边长变为原来的n倍（n >1），得到△''
AB C.
当点B、C、'B在同一条直线上，且四边形''
ABB C为平行四边形时（如图③），求α和n的值．
7.问题情境：
（1）如图1，等边△ABC，∠CAB和∠CBA的平分线交于点O，将顶角为120°的等腰
三角形纸片（纸片足够大）的顶点与点O重合，已知OA=2，则图中重叠部分△OAB的面积是．
探究：
（2）在（1）的条件下，将纸片绕O点旋转至如图2所示位置，纸片两边分别与AB，AC交于点E，F，求图2中重叠部分的面积．
（3）如图3，若∠ABC=α（0°＜α＜90°），点O在∠ABC的角平分线上，且BO=2，以O为顶点的等腰三角形纸片（纸片足够大）与∠ABC的两边AB，AC分别交于点E、F，
∠EOF=180°﹣α，直接写出重叠部分的面积．（用含α的式子表示）
图①图②图③
8.小军遇到这样一个问题：如图1，△ABC 中，AB ＝6，AC ＝4，点D 为BC 的中点，求
AD 的取值范围．
小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题．他的做法是：如图2，延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连接BE ，构造△BED ≌△CAD ，经过推理和计算使问题得到解决．
参考小军思考问题的方法，解决问题：
如图3，△ABC 中，E 为AB 中点，P 是CA 延长线上一点，连接PE 并延长交BC 于点D ．求证：PA •CD ＝PC •BD ．
9.学习了三角形全等的判定方法（即“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL ”）后，小聪继
续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
小聪将命题用符号语言表示为：在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ．
小聪想：要想解决问题，应该对∠B 进行分类研究．
∠B 可分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
第一种情况：当∠B 是直角时，如图1，
在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ， ∠B =∠E =90°，根据“HL”定理，可以知道 Rt △ABC ≌Rt △DEF ．
图1
A
B C
A
B
D
C
E
图2
图3
E A
B
P
图1
图2
第二种情况：当∠B 是锐角时，如图2，BC =EF ，∠B =∠E<90°，在射线EM 上有点D ，使DF =AC ，画出符合条件的点D ，则△ABC 和△DEF 的关系是 ；
A ．全等
B ．不全等
C ．不一定全等 第三种情况：当∠B 是钝角时，如图3，在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ， ∠B =∠E >90°，求证：△ABC ≌△DEF ．
10. 小聪遇到这样一个有关角平分线的问题：如图1，在△ABC 中， ∠A =2∠B，CD 平分∠A CB ，AD=2.2，AC=3.6 求BC 的长.
小聪思考：因为
边上取点E ，使
这样很容易得到△DEC ≌△DAC ，经过推理能使问题得到解决（如图2）. 请回答：
（1）△BDE 是_________三角形.
（2）BC 的长为__________.
参考小聪思考问题的方法，解决问题： 如图
3，已知△ABC 中，AB=AC, ∠A =20°， BD 平分∠ABC,BD=2.3,BC=2. 求
AD 的长.
11. 小红遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD 中，︒=∠=∠90C A ，
︒=∠60D ，34=AB ，3=BC ，求AD 的长．
图3
C E
D C B A B
C
图1 图2
E
小红发现，延长AB 与DC 相交于点E ，通过构造Rt△ADE ，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）． 请回答：AD 的长为 ．
参考小红思考问题的方法，解决问题：
如图3，在四边形ABCD 中，2
1
tan =
A ，︒=∠=∠135C
B ， 9=AB ，3=CD ，求B
C 和A
D 的长．
图3。