新课标九年级数学竞赛辅导讲座第一讲 走进追问求根公式
九年级数学上册 21.2 一元二次方程求根公式推导课件 新人教版
ax2bxc0a0
(1)当b2 4ac 0
解: 两边同时乘以 4 a 得： 2axb b2 4ac
4 a 2x2 4 a b x 4 a c 0
2ax222axb4ac
配方得：
2axb b24ac
b b2 4ac x
2a
2 a x 2 2 2 a x b b 2 b 2 4 a c (2)当b2 4ac 0时
ax2bxc0a0
小游戏：排一排（先独立完成再分组讨论）
x2bx c
1 当ab 2 4 a c 0 时 a
x b 2a
解得：x
解 ：a0x2bxc0
a0,4a2 a0 a b2 4ac的值有三种情况：
2当b2 4ac0时
解得：x1 x2
移项得：x2 bx (3)当b2 4ac 0时， a
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
a0,4a2 0 b2 4ac的值有三种情况：
1当 b 2 4 ac 0时
x b 2a
b2 4ac 2a
解 得 ： x b b2 4ac
2a
2当b2 4ac0时
解得：x1 x2
b 2a
(3)当b2
2a
0，方程无实数根
四、解法欣赏
二、温故而知新
请用配方法解方程：
2x24x10
解: 二次项系数化为1得：
一化
x 2 2x 1 0
二移
移项得：
x
2
2 x
2
1
2
配方得： x22x12112
三配 四开
2
即 (x1)2 1
五解
2
开方得：x 1 2
2
解得：x1
《求根公式推导》PPT课件1-九年级上册数学部编版
5 x2 4x 8 4x 11
解：化为一般式 x2 3 0 .
a 1,b 0,c 3.
b2 4ac 02 413 12.
x 0 12 2 3 ,
21
2
x1 x2 3.
6 x2x 4 58x
解：化为一般式 2x2 4x 5 0 . a 2,b 4, c 5.
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
0时,它的根是:
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
当 b2 4ac 0 时，方程有 实数根吗
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
学习是件很愉快的事
公式法
b2 4ac 42 4 25 56.
x 4 2 14 4 2 14 ,
22
4
x1
2 2
14 , x2
2 2
14 .
b
x1
x2
; 2a
（3）当 b2 4ac 0时，一元二次方程 ax2 bx c 0（a 0）没有实数根．
一般地，式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式。通 常用希腊字母△表示它，即△= b2-4ac。
由上可知当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时， 方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根。
配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方。
x2＋px＋ ( p )2 = －q＋ ( p )2
方程右边
开方：根据平方根的2 意义，方程两边2 开平方。是非负数
( x+ p )2 =－q＋ ( p )2
2
2
求解：解一元一次方程。
九年级数学上册 21.2 一元二次方程求根公式推导课件1 新人教版
教学反思
• 2.从方程的观点来看，当公式中的三个量 为常数时 ，则它是关于第四个量的方程. 比如 a，b，c 为确定的数值时，它便是关 于 x 的方程. 当 a，b，c，x 中不只有一个 变量时，若视其中一个字母为变量，其余 的为常数，则它是关于这个变量的一元方 程；若视其中两个字母为变量，其余的为 常数，则它是关于这两个变量的二元方程.
教学过程
利 用 配 方 法 解 方 程 ： x 2 2 x 3 0
• 问题1：
x2 2x3
两边加上一次项系数一半的平方
x22x131 (x1)2 4
x12
x13，x2 1
教学过程
利 用 配 方 法 解 方 程 ： 2 x 2 7 x - 4 0
先• 问将二题次2项：系数化为1 x2 7 x 2 0
学生类比、由特殊到一般、由一般到特殊的数学 思想.
题目分析
重点：一元二次方程求根公式的推导.
• 难点：理解求根公式的推导过程和判 别式的意义.
学情分析
• 初三学生已经有等式性质、平方根、直 接开平方法、配方法等知识储备，有了 一定的逻辑推理能力.直接开平方法具 有局限性，配方法虽然通用，但稍显麻 烦，因此需要一个简便易用的通法来求 解一元二次方程.
2 x2 7 x 2
2
x2 7x49249 2 16 16
x
7 4
2
x2 4
教学过程
解 方 程 ： a x 2 b x c 0 (a 0 )
• 问题3：
一 元 二 次 方 程 求 根 公 式 ： x bb 2 4 a c 2 a
教学反思
• 1.从运算的角度看，公式包容了初中阶段 所学过的全部种代数运算：加、减、乘、 除、乘方、开方，体现了公式的和谐统一. 通过运算可以完美地解决根的存在性、根 的个数、根的求法三个问题，可以说是 “万能”求根公式. 它向我们展示了抽象性、 一般性和简洁性等数学的美和魅力.
【九年级】九年级数学竞赛一元二次方程的整数解讲座
【九年级】九年级数学竞赛一元二次方程的整数解讲座在数学课外活动中，在各类数学竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有：从求根开始，得到根的有理表达式，并用积分除法求解；从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设△=)，通过穷举，逼近求解；从魏达定理出发，从根与系数的关系中剔除参数，得到关于二者的不定方程，并借助因子分解和因子分解进行求解；从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解．注：一元二次方程的整数根问题不仅涉及方程的解、判别式、威达定理等与方程有关的知识，还涉及整数除法、奇数、偶数、素数、合数等整数知识【例题求解】[例1]如果方程的解是整数，则限定整数有一个值思路点拨用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确．注：对于带有系数和参数的方程问题，如果未指定为二次方程，应注意它可能是一个主方程。
根据问题设置条件，看是否应该分类讨论【例2】已知、为质数且是方程的根，那么的值是()a、不列颠哥伦比亚省。
思路点拨由韦达定理、的关系式，结合整数性质求出、、的值．试着确定所有的有理数，使方程有根，只有整数根思路点拨由于方程的类型未确定，所以应分类讨论．当时，由根与系数关系得到关于r的两个等式，消去r，利用因式(数)分解先求出方程两整数根．【例4】当它是整数时，关于的方程是否有有理根？如果是，计算值；如果没有，请解释原因思路点拨整系数方程有有理根的条件是为完全平方数．允许△ = （整数）解不定方程并讨论注：一元二次方程(a≠0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．[例5]如果关于的方程至少有一个整数根，则找到非负整数的值思路点拨因根的表示式复杂，从韦达定理得出的的两个关系式中消去也较困难，又因的次数低于的次数，故可将原方程变形为关于的一次方程．学术培训1．已知关于的方程的根都是整数，那么符合条件的整数有．2.如果已知方程有两个素数解，那么M=3．给出四个命题：①整系数方程(a≠0)中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程(a≠0)中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程(a≠0)的根只能是无理数；④若、、均为奇数，则方程没有有理数根，其中真命题是．4.如果已知一元二次方程（一个整数）的两个实根是，，，那么=5．设rn为整数，且4<m<40，方程有两个整数根，求m的值及方程的根．(山西省竞赛题)6.根据方程式（a）≠ 0）至少有一个整数根，请查找7．求使关于的方程的根都是整数的值．8.当它是正整数时，两个关于素数的方程。
初三奥数辅导 追问求根公式
一、追问求根公式类型综述1．指数函数方程类：()1)()(=xQ x P的形式其（整数）解情况有三大类：注：有值肯定有意义！横线的地方表示多数情况下此类题考的方向，也有例外．2．含绝对值方程类：)()(xPxQ=或表示成0)()(=±xQxP的形式其解有两类：即分别讨论)(xQ＞0与)(xQ＜0的情况．这里有技巧：①次数（P（x））＜次数（Q（x））时先讨论)(xP＞O，x的取值范围，然后放在)(xQ里进行分析，去绝对值符号；②次数（P（x））＞次数（Q（x））时分Q（x）＞0与Q（x）＜0两种情况进行讨论解题：3．含有公因式的方程类：)()()()(xLxPxQxP⋅=⋅的形式其解有两类：在保证各函数有意义前提下，①0)(=xP时的解；②0)(≠xP时新方程)()(xLxQ=的解．注：切忌眼高手低．【例4】解方程1)1(+=+⋅ttt解之得：11-=或t4．次数待定的关于x的方程类：mx2 +=)(xP0 的形式其解有两类：即分析方程最高次项系数为0；与不为0的情况，【例5】解关于x的方程xa)1(-202=+-aax解：)i当,01=-a即1=a时，原方程即为2112=⇒=+-xx)ii当,01≠-a即1≠a时，=∆)2(a2aa⋅--)1(4a4=①0≥∆时，方程有解．即4a0≥⇒0≥a 时，方程有解121-±=a aa x 、 ②∆＜0时，即a ＜0时，方程无解． 5． 两个函数公共根类型：),1(0)( =x F a 与)2(0)( =x F b 有公共根，求),(b a G 的值． 这里有两类：①有且只有一个公共根；②有一个公共根．解题方法是：)i 设出公共根，用的式子、含b a 将此公共根表示出来，联立（1）与（2），求解．)ii 利用因式分解，各自求出方程根的表达式，再联立考虑． 【例6】是否存在某个实数m ，使得方程 x 202=++mx 和 x 202=++m x 有且只有一个公共的实根？如果存在，求出这个公共根，并求出实数m 的值；如果不存在，请说明理由．解：假设存在此实数根，不妨设为x 0 ，则2)2(02020020020-=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=++m x m m x x mx x （*） 由于只有一个公共根，则显然,2≠m 若不然，（*）式就有无数个解，且2=m 代入∀已知方程均无解，故此唯一实数根x 0,1= 且.2=m【例7】设关于x 的二次方程x a )1(-2a (-2a x ()2++2)1(0)2 =+a 及x b )1(- 2 b (-2b x ()2++2)2(0)2 =+b （其中a 、b 皆为正整数，且)b a ≠有一公共根，求abab b a b a --++的值．解：因为已知二次方程，且a 、b 皆为正整数所以a ＞1b Λ＞1 ；进而由（1）得：[]0)()2()1(=-⋅+--a x a x aa x =⇒1 ，122-+=a a x 由（2）得：[]0)()2()1(=-⋅+--b x b x bb x =⇒3 ，124-+=b b x ,b a ≠ （已知）∴1212-+=-+=a a b b b a 或 均31102=-⋅-=---⇒）（），即（b a b a ab 由整数因数法得 ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-=-⎩⎨⎧=-=-244211313111b a b a b a b a 或或 ．．．．．．．．（*） 而目标代数式a b abb a b a --++a b a b a b ab a b a b b a b a ba b a b a b a =++=++=11将（*）式值代入得：2564224=⨯6． 一元二次方程根与系数关系：已知,0)(=x P 求)(x Q 的值．类型 课本P1，例2．及P3，2小题 7． 二元二次函数类型：已知.0),(,0),(21==y x y x F F求),(y x G 值．课本P3，3小题．8． 一元二次函数根与图象类型：数形结合，表格法记ax x f =)(2c bx ++，假设0)(=x f 有解，可能有唯一解、两个解．那么)(x f 的图像为：x 3．23 3．243．25 3．26 ax 2c bx ++06.0- 02.0-0．030．07判断方程ax 2c bx ++0=)0(≠a 一个解x 的范围是（ ）9． 一元多次方程类型：实数范围内可以因式分解的类型，引入)(x f 符号有四类：①公式法：例如)(x f =0；其中)(x f 可以写成完全平方、平方差、立方差、等等形式的．②双十字相乘法：③求根法：④待定系数法．（ 详见：初二数学 因式分解 拔高）二、判别式注意几个地方：1． 已知关于x 的方程，还是关于x 的一元几次方程．6P ，例1、（1）；8P ，4题．（若变关于x 的一元二次方程为关于x 的方程有实数根呢？）,9P 11题，13题，14题；10P ，18题．2． 取完全正确限制条件．6P ，例1、（1）．8P ，2题．5题（角大写字母对应小写字母边）． 3． 降主为宾，提宾为主．6P ，例1、（2）． 4． 数形结合，考虑周全． 7P ，例2，例5．5． 欲擒故纵法． ,9P 14题．（涉及到补集问题） 6． 判别式与概率,9P 10题三、充满活力的韦达定理前提：取完全正确限制条件．1．韦达定理内容及延伸11P ，右侧．；14P ，13题．； 2．运用韦达定理求参数的值或范围．11P ，例1，（1）．；12P ，例4．；13P ，1题．2题．4题．5题．6题．； 14P ，10题．15题．16题；24P ，1题，2题．3．运用韦达定理求代数式的值或范围．11P ，例1，（2）．；12P ，例4．；13P ，7题．；14P ，10题．16题．； 4．根与三角形．13P ，3题．5题．；14P ，11题．14题．； 5．数轴标根法这属于不等式的问题，在次数稍高判别式中用处比较大． 例如，0)2)(1)(3)(2)(1(≥++---x x x x x 怎么解呢？ 6．引入函数名)(x f 结合图像解题法 12P ，例5．；14P ，15题．； 7．奇质数、偶质数12P ，例2．；14P ，12题．； 8．整数因数法浅谈（涉及因式分解）．14P ，9题．； 四、一元二次方程的应用注意：1．若已知t ＞0，t -12＞0；又已知t 2=（t -12）2则直接⇒t =t -12⇒t =6．2．归纳推理 （1）、平面中任意n 条直线相交，则所得交点个数最多 个，最少 个。
数学人教版九年级上册解一元二次方程(求根公式)
第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.2 公式法(第1课时)学习目标1.经历推导求根公式的过程,加强推理技能训练,进一步发展逻辑思维能力.2.会用公式法解简单系数的一元二次方程.3.进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法.学习过程一、设计问题,创设情境用配方法解下列方程,并回忆用配方解一元二次方程的步骤是什么.(1)x2+x-1=0;(2)2x2+8x-3=0.二、信息交流,揭示规律你能用配方法求解ax2+bx+c=0(a≠0)吗?推导求根公式:ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0),师生共同规范步骤(见课件):解:移项,得ax2+bx=二次项系数化为1,得x2+x=配方,得x2+x+()2=-+()2即=∵b2-4ac≥0且4a2>0∴-≥0直接开平方,得x+=±即x=由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根.归纳:一般地,对于ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时,方程有两个根,为. 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.用公式法解一元二次方程的前提:1.必须是一般形式的一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0).2.b2-4ac≥0.三、运用规律,解决问题【例1】运用公式法解一元二次方程:2x2+x-6=0;依次完成下列各空.a=,b=,c=.b2-4ac==.x==.即x1=,x2=.【例2】解方程5x2-4x-12=0.跟踪练习(1)2x2+5x-3=0;(2)(x-2)(3x-5)=0;(3)4x2-3x+1=0.四、变式训练,深化提高用公式法解方程:题组一:1.x2+3=2x.2.x2-x-1=03.2x2-2x+1=0题组二:课本第12页练习第1题.(1)x2+x-6=0(2)x2-x-=0(3)3x2-6x-2=0(4)4x2-6x=0(5)x2+4x+8=4x+11 (6)x(2x-4)=5-8x五、反思小结,观点提炼1.公式法解方程的判别式和求根公式是什么?2.解题步骤是什么?3.需要注意什么问题?。
人教版九年级数学上册 第一讲 二次根式方程 讲义
人教版九年级数学上册第一讲二次根式方程讲义简介本讲义将介绍九年级数学上册的第一讲内容，即二次根式方程。
二次根式方程是数学中的重要概念，在解决实际问题和数学推理中起着重要作用。
本讲义将从理论和实践两个方面讲解二次根式方程的基本概念和求解方法。
二次根式方程的定义和性质- 二次根式方程是形如 $ax^2 + bx + c = 0$ 的方程，其中 $a$、$b$、$c$ 是已知的实数，且 $a \neq 0$。
- 二次根式方程的解可以分为以下几种情况：- 当 $b^2 - 4ac > 0$ 时，方程有两个不相等的实数解；- 当 $b^2 - 4ac = 0$ 时，方程有两个相等的实数解；- 当 $b^2 - 4ac < 0$ 时，方程没有实数解，但可以有复数解。
- 二次根式方程的解可以用因式分解、配方法或求根公式来求解。
二次根式方程的解法1. 因式分解法：对于形如 $(x - p)(x - q) = 0$ 的二次根式方程，可以直接通过因式分解求解。
将方程转化为 $(x - p) = 0$ 和 $(x - q) = 0$，从而得到解 $x = p$ 和 $x = q$。
2. 配方法：对于一般的二次根式方程 $ax^2 + bx + c = 0$，可以通过配方法将其转化为完全平方形式，进而求解。
具体步骤如下：- 将方程两边同时乘以 $4a$，得到 $4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0$；- 将方程两边同时加上 $b^2$，得到 $4a^2x^2 + 4abx + b^2 +4ac = b^2$；- 将左边整理为 $(2ax + b)^2$ 的形式，右边整理为 $b^2 -4ac$ 的形式；- 对方程开根号，得到 $2ax + b = \pm \sqrt{b^2 - 4ac}$；- 移项，得到 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
3. 求根公式：对于一般的二次根式方程 $ax^2 + bx + c = 0$，可以直接使用求根公式来求解。
《求根公式推导》PPT课件3-九年级上册数学部编版
Х=
=
Х1=
Х2=0
（4）解：移项，得4x²+4x+1=0
a=4，b=4，c=1，b²-4ac=4²-4×4×1=0
X=
=-
X1=X2 =-
用公式法解一元二次方程的步骤:
1、把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值. 2、求出b2-4ac的值. 3、代入求根公式 :
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a 2
此类方程一定有实数根么？
必须符合什么条件？
2
当b2-4ac≥0时，
x b 2a
b 4ac 4a 2
即
b
b2 4ac
x
2a
2a
一元二次方程的 求根公式
b b2 4ac
x 2a
(a≠0, b2-4ac≥0)
接求得方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做公式
法（quadratic formula）.
（1） 2x2 5x 3 0
解：a= 2
-5
3
，b= ，c=_____ .
b2 4ac (5)2 4 2 3 1
x b
b2 4ac
2a
(5) 22
1
=
51 4
x1
51 6 3 4 42
当b2-4ac＜0时，
方程ax2+bx+c=0无实数根。
一般地,对于一元二次方程 ax2 bx c 0a( 0 ), 如果 b2 4ac 0 ,那么方程的两个根为 x b b2 4ac
九年级一元二次方程求根公式的推导 人教版优质课课件
Δ＝0 此方程有两个 相等的实数根
归纳总结 判别一元二次方程根的情况的思维过程：
一化___一__般_式______ 二确__系__数__（_a_、__b_、_ c） 三求___Δ_＝__b_²－__4_a_c_ 四判__与__0_的__大_小__关__系 五结论_实__数_根__的__情__况_
题组3：（课堂检测：针对性检测，独立完成后展示）
c
1、一元二次方程 x²-2x=0根的判别式的值为（ ）
A 4 B2
C0
D -4
2、关于x的一元二次方程 x²-2x+m=0有两个实数根，则m的取值范围
是___m__≤_1_________
3、无论p取何值，方程（x-3）(x-2)- p²=0总有两个不相等的实数根吗？ 给出答案并说明理由。
解：无论p取任何值，此方程总有两个不相等的实数根，理由如下 原方程可化为x²－5x＋6－p² ＝0
Δ＝b²－4ac＝（－5） －4×（6－p² ）＝1＋4p² ∵p²²≥0 ∴1＋4p² ＞0 ∴Δ＝1＋4p² ＞0 ∴原方程总有两个不相等的实数根
课堂小结：（组内说说自己的收获）
1、知识梳理 2、方法总结 3、题型归纳
文字表述步骤
所编方程
回忆：用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
用配方法解一元二次方程的一般式
解：移项，得
ax2 bx c，
二次项系数化为1，得 x2 b x c ，
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b
b2 4ac 4a 2
.
小结
通过探究学习，完成以下知识梳理
题组1
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新课标九年级数学竞赛辅导讲座第一讲 走进追问求根公式
形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法．而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法． 求根公式a
ac b b x 2422,1-±-=内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美．
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决．解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法．
【例题求解】
【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个．
思路点拨 从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程．
【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ）
A ． 一4
B ．8
C ．6
D ．0
思路点拨 求出1x 、2x 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213x x -=，2223x x -=．
【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a ．
思路点拨 因不知晓原方程的类型，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论．
【例4】 设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和．
思路点拨 通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解．
【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x a
d d c c b b a =+=+=+=+1111， 试求x 的值．
思路点拨 运用连等式，通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示，由解方程求得x 的值．
注： 一元二次方程常见的变形形式有：
(1)把方程02=++c bx ax （0≠a ）直接作零值多项式代换；
(2)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax --=2，代换后降次；
(3)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2，代换后使之转化关系或整体地消去x ．
解合字母系数方程02=++c bx ax 时，在未指明方程类型时，应分0=a 及0≠a 两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如222
x x x ==．
学历训练
1．已知a 、b 是实数，且0262=-++b a ，那么关于x 的方程1)2(22-=++a x b x a 的根为 ．
2．已知0232=--x x ，那么代数式11)1(23-+--x x x 的值是 ．
3．若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则y x +的值为 ．
4．若两个方程02=++b ax x 和02=++a bx x 只有一个公共根，则( )
A ．b a =
B ．0=+b a
C ．1=+b a
D ．1-=+b a
5．当分式4
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2++-x x 有意义时，x 的取值范围是( ) A ．1-<x B ．4>x C ．41<<-x D ．1-≠x 且4≠x
6．方程011)1(=+-++x x x x 的实根的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
7．解下列关于x 的方程：
(1)03)12()1(2=-+-+-m x m x m ；
(2)012=--x x ； (3)x x x 26542-=-+．
8．已知0222=--x x ，求代数式)1)(3()3)(3()1(2--+-++-x x x x x 的值．
9．是否存在某个实数m ，使得方程022=++mx x 和022=++m x x 有且只有一个公共的实根?如果存在，求出这个实数m 及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由．
注： 解公共根问题的基本策略是：当方程的根有简单形式表示时，利用公共根相等求解，当方程的根不便于求出时，可设出公共根，设而不求，通过消去二次项寻找解题突破口．
10．若0152=+-x x ，则15
39222+++-x x x ＝ ．
11．已知m 、n 是有理数，方程02=++n mx x 有一个根是25-，则n m +的值为 ．
12．已知a 是方程020002=--x x 的一个正根。
则代数式a
200012000120003+++的值为 ． 13．对于方程m x x =+-222，如果方程实根的个数恰为3个，则m 值等于( )
A ．1 n ．2 C ．3 D ．2．5
14．自然数n 满足16162472)22()22(2-+--=--n n n n n n ，这样的n 的个数是( )
A ．2
B ．1
C ．3
D ．4
15．已知a 、b 都是负实数，且
0111=--+b a b a ，那么a b 的值是( ) A ．215+ B ．251- C ．2
51+- D ．251-- 16．已知3819-=x ，求15823
18262234+-++--x x x x x x 的值．
17．已知m 、n 是一元二次方程0720012=++x x 的两个根，求)
82002)(62000(22++++n m m m 的值．
18．在一个面积为l 的正方形中构造一个如下的小正方形：将正方形的
各边n 等分，然后将每个顶点和它相对顶点最近的分点连结起来，如图所示，若小正方形面积为3281
1，求n 的值． 19．已知方程0132=+-x x 的两根α、β也是方程024=+-q px x 的根，
求p 、q 的值．
20．如图，锐角△ABC 中，PQRS 是△ABC 的内接矩形，且S △ABC =n S 矩形PQRS ，其中n 为不
小于3的自然数．求证：
AB
BS 需为无理数．
参考答案。