第七章季节性时间序列模型
季节性时间序列分析方法
第七章季节性时间序列分析方法由于季节性时间序列在经济生活中大量存在，故将季节时间序列从非平稳序列中抽出来，单独作为一章加以研究，具有较强的现实意义。
本章共分四节：简单随机时间序列模型、乘积季节模型、季节型时间序列模型的建立、季节调整方法X-11程序。
本章的学习重点是季节模型的一般形式和建模。
§1 简单随机时序模型在许多实际问题中，经济时间序列的变化包含很多明显的周期性规律。
比如：建筑施工在冬季的月份当中将减少，旅游人数将在夏季达到高峰，等等，这种规律是由于季节性（seasonality）变化或周期性变化所引起的。
对于这各时间数列我们可以说，变量同它上一年同一月（季度，周等）的值的关系可能比它同前一月的值的相关更密切。
一、季节性时间序列1．含义：在一个序列中，若经过S个时间间隔后呈现出相似性，我们说该序列具有以S为周期的周期性特性。
具有周期特性的序列就称为季节性时间序列，这里S为周期长度。
注：①在经济领域中，季节性的数据几乎无处不在，在许多场合，我们往往可以从直观的背景及物理变化规律得知季节性的周期，如季度数据（周期为4）、月度数据（周期为12）、周数据（周期为7）；②有的时间序列也可能包含长度不同的若干种周期，如客运量数据（S=12，S=7）2．处理办法：（1）建立组合模型；（1）将原序列分解成S个子序列（Buys-Ballot 1847）对于这样每一个子序列都可以给它拟合ARIMA模型，同时认为各个序列之间是相互独立的。
但是这种做法不可取，原因有二：（1）S 个子序列事实上并不相互独立，硬性划分这样的子序列不能反映序列{}t x 的总体特征；（2）子序列的划分要求原序列的样本足够大。
启发意义：如果把每一时刻的观察值与上年同期相应的观察值相减，是否能将原序列的周期性变化消除？（或实现平稳化），在经济上，就是考查与前期相比的净增值，用数学语言来描述就是定义季节差分算子。
定义：季节差分可以表示为S t t t S t S t X X X B X W --=-=∇=)1(。
季节时间序列SARIMA模型
12Lnyt= (1+1 L) (1+1 L12) ut
● 这种模型也称作航线模型（air line model） ，首次被 Box 采用。 【例】(1-1.20L+0.66 L2) (1-0.33L4) 4 yt = (1-1.16L+ 0.97 L2) (1-0.95L4)vt
(14.4) (-8.8) (2.8) (55.9) (86.1) (-32.9)
季节时间序列SARIMA模型
1.9 季节时间序列模型 在某些时间序列中，存在明显的周期性变化。这种周期是由于季节性变化（包 括季度、月度、周度等变化）或其他一些固有因素引起的。这类序列称为季节性序 列。经济领域中，季节性时间序列更是常见。如季度时间序列、月度时间序列、周 度时间序列等。这里主要研究的是季度和月度时间序列。 中国季度 GDP 序列（yt，亿元人民币，1992:1~2009:1）见图。序列明显存在 以 4 个季度为周期的变化。在每年的第 4 季度，由于受接近年终的影响，GDP 额 比其他季度要增加很多。 描述这类序列的模型称作季节时间序列模型 (seasonal ARIMA model) ，用 SARIMA 表示。季节时间序列模型也称作乘积季节模型（ multiplicative seasonal model） 。因为模型的最终形式是用因子相乘的形式表示。 ● SARIMA 方法可以为任何周期的经济时间序列建模。
syt = (1-Ls)yt = yt - yt- s
● 对于非平稳季节性时间序列，进行有限次的季节差分和非季节差分，总可以转 换成一个平稳的序列。 ● 若原序列长度用 T 表示， 经过一次季节差分和一次非季节差分， 序列将丢失 s+1 个观测值，序列长度变为 T- s-1。
季节性时间序列分析方法
季节性时间序列分析方法在经济领域中得到的观测数据一般都具有较强的随时间变化的趋势，如果是季度或月度数据又有明显的季节变化规律。
因此研究经济时间序列必须考虑其趋势性和季节性的特点，既要考虑趋势变动，又要考虑季节变动，建立季节模型。
第一节 简单的时间序列模型一、 季节时间序列序列是季度数据或月度数据（周，日）表现为周期的波动。
二、随机季节模型例1 假定t x 是一个时间序列，通过一次季节差分后得到的平稳序列，且遵从一阶自回归季节模型,即有 t s s t t t x B x x w )1(-=-=-1tt s t w w 或 1(1)s t t B w 将t w =t s x )B (-1代入则有1(1)(1)s s t t B B x SARIMA(1,1,0)更一般的情况，随机序列模型的表达式为11(1)(1)(1)s s S t t B B x B SARIMA(1,1,1)第二节 乘积模型值得注意的是t a 不一定是白噪声序列。
因为我们仅仅消除了不同周期相同周期点之间具有的相关部分，相同周期而不同周期点之间的也有一定的相关性。
所以，在此情况下，模型有一定的拟合不足，如果假设t 是),(q p ARMA 模型，则1(1)(1)s s t t B B x 式可以改为1()(1)(1)()s s t t B B B x B如果序列}{t x 遵从的模型为()()()()s d D s s t t B U B x B V B （3.26） 其中ks k s s s B BB B U ΓΓΓ----= 2211)(ms m s s s B B B B V H H H ----= 2211)(p p B B B φφΦ---= 11)(q q B B B θθΘ---= 11)(d d B )1(-=∇D s D s B )1(-=∇则称（3.26）为乘积季节模型，记为),,(),,(q d p m D k ARIMA ⨯。
季节性时间序列模型
季节性时间序列模型季节性时间序列模型通常包括四个主要组成部分：趋势、周期、季节和残差。
趋势表示数据的长期增长或下降趋势，可以是线性或非线性的。
周期表示数据中的循环模式，例如月度或年度循环。
季节表示数据在特定季节中的重复模式，例如每年夏季销售增长。
残差表示无法通过趋势、周期和季节解释的部分，即剩余误差。
为了建立季节性时间序列模型，首先需要对数据进行季节性分解，以提取趋势、周期和季节成分。
常用的方法包括移动平均法和指数平滑法。
移动平均法通过计算一系列连续时间段内的平均值来平滑数据，并提取趋势和周期成分。
指数平滑法则通过加权计算最近一段时间内的数据，赋予更高的权重，以反映近期数据的影响力，进而提取趋势成分。
一旦趋势、周期和季节成分被提取，可以使用这些成分来预测未来的值。
最常用的方法是加法模型和乘法模型。
加法模型中，趋势、周期和季节成分相加得到预测值。
乘法模型中，趋势、周期和季节成分相乘得到预测值。
具体选择哪种模型取决于数据的性质。
季节性时间序列模型还可以通过调整模型参数和增加复杂度来提高预测性能。
常用的技术包括自回归（AR）模型、移动平均（MA）模型和自回归移动平均（ARMA）模型。
这些模型通过考虑多个时间点的数据来提高预测的准确性。
季节性时间序列模型在实际应用中具有广泛的价值。
例如，在销售领域，可以使用季节性时间序列模型预测未来几个月的销售量，以制定合理的库存管理策略。
在经济学中，可以使用该模型预测未来几个季度的经济增长率，以指导政府的宏观调控政策。
然而，季节性时间序列模型也面临一些挑战和限制。
首先，它依赖于数据中的季节性模式，如果季节性模式发生变化，则模型的准确性可能会下降。
其次，模型的复杂度和参数调整可能会带来计算上的困难。
此外，模型所能提供的准确度也取决于数据的质量和可用性。
总的来说，季节性时间序列模型是一种强大的工具，可以用于分析和预测数据中的季节性变化。
通过合理的调整和选择模型参数，可以提高预测的准确性。
时间序列分析课件-07-ARIMA模型、疏系数模型、季节模型
差分平稳
• 对原序列作一阶差分消除趋势，再作4步差分消除季节效 应的影响，差分后序列的时序图如下
白噪声检验
延迟阶数 6 12 18
2统计量 43.84 51.71 54.48
P值 <0.0001 <0.0001 <0.0001
差分后序列自相关图
差分后序列偏自相关图
模型拟合
• 定阶
– ARIMA((1,4),(1,4),0)
【例】1964年——1999年中国纱年产量序列 蕴含着一个近似线性的递增趋势。对该序 列进行一阶差分运算
xt xt xt1
考察差分运算对该序列线性趋势信息的提取 作用
差分前后时序图
• 原序列时序图
• 差分后序列时序图
例
• 尝试提取1950年——1999年北京市民用车 辆拥有量序列的确定性信息
P值 0.0178 0.1060 0.1344
拟合ARMA模型
• 偏自相关图
建模
• 定阶
– ARIMA(0,1,1)
• 参数估计
(1 B)xt 4.99661 (1 0.70766 B) t
Var(t ) 56.48763
• 模型检验
– 模型显著 – 参数显著
例续：对中国农业实际国民收入指数序列做 为期10年的预测
模型检验
残差白噪声检验
参数显著性检验
延迟 阶数
6 12 18 结果
2统 计量
P值
4.50 0.2120
9.42 0.4002
20.58 0.1507
模型显著
待估 参数
2统 计量
P值
1 -4.66 <0.0001
12 23.03 <0.0001 1 -6.81 <0.0001
季节性分析方法
yt M
t
Tt S t I t Tt
St It
平均数趋势整理法
建立趋势预测模型
根据年的月平均数,建立年趋势直线模型：
ˆ T t = a + bt
其中t是以年为单位
用最小平方法估计参数a,b,幵取序列{ y }的中点年为时 间原点.再把此模型转变为月趋势直线模型
(t )
Tˆt = a 0 + b 0 t b a0 = a + 24 , b0 = b 12
时间序列分析模型
加法模型
Y=T+S+C+I
乘法模型 Y=T×S×C×I
Y T
T S I T
S I
时间序列的分解分析
分解步骤：
① 分析和测定现象变动的长期趋势，求趋势值T。 ② 对时间序列进行调整，即减去或除以T，得出丌包含趋势 变动的时间序列资料。 乘法模型：
Y T T S I T S I
同月平均数与季节指数对比
元/吨 1.04 1.02 1 0.98 0.96 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 季节指数 同月平均 3400 3350 3300 3250 3200 3150 3100 3050 3000
yt M
t
Tt S t I t Tt
St It
计算季节比率及其平均数
y Mt tBiblioteka Tt St
It
S
Tt
t
It
计算季节指数
yt M
t
Tt S t I t Tt
St It
移动平均趋势剔除法
移动平均季节指数
第七章 季节时间序列分析
② 阶数判定要点： ◇差分与季节差分阶数d、D的选取，可采 用试探的方法，一般宜较低阶（如1、2、 3阶）.对于某一组d、D，计算差分后序列 的SACF与SPACF，若呈现较好的截尾或拖 尾性，则d、D适宜.此时若增大d、D，相 应SACF与SPACF会呈现离散增大及不稳定 状态； ◇通常D不会超过1阶，特别对S=12的月份 数据（B-J）； ◇SARIMA模型应慎重使用，特别序列长度 不够理想时（B-J）.
• 构造原理
– 短期相关性用低阶ARIMA(p,d,q)模型提取 – 季节相关性用以周期步长S为单位的 ARIMA(P,D,Q)模型提取 – 假设短期相关和季节效应之间具有乘积关系.
（一） 乘积季节模型的一般形式
1、 et 可能是平稳的，也可能是非平稳的，
不妨设一般情况，
et 适合ARIMA（p，d，q）
季节差分后序列ACF、PACF特征
（1）若季节差分后序列适合MA模型: S=12 Xt-Xt-12=(1- 12B12)et=(1- 1B)(1-12B12)at =at- 1at-1- 12at-12+ 112at-12-1 季节差分后，适应MA(13)，其中i=0 （i=2,3,…,11）,ACF截尾（k=1,11,12,13不 为零，其余显著为零），PACF拖尾. 1 0 12 0 11 13 1112
（2）D阶季节差分 s)X sXt=Xt-Xt-s=（1-B t
s D Xt=（1-Bs) dXt s 2 Xt =(1-Bs) 2Xt=(1-2 Bs+ B 2s)Xt Xt=Xt-Xt-1 sXt=Xt-Xt-s a D: a:相减的时期 D:差分的阶数
设s D Xt=Wt ，则s D Xt-s=Wt-s 若Wt适合AR(1) Wt 1Wt s t , (1 1Bs )Wt t
季节ARIMA模型
2.8 季节时间序列模型在某些时间序列中，存在明显的周期性变化。
这种周期是由于季节性变化（包括季度、月度、周度等变化）或其他一些固有因素引起的。
这类序列称为季节性序列。
比如一个地区的气温值序列（每隔一小时取一个观测值）中除了含有以天为周期的变化，还含有以年为周期的变化。
在经济领域中，季节性序列更是随处可见。
如季度时间序列、月度时间序列、周度时间序列等。
处理季节性时间序列只用以上介绍的方法是不够的。
描述这类序列的模型之一是季节时间序列模型(seasonal ARIMA model)，用SARIMA表示。
较早文献也称其为乘积季节模型（multiplicative seasonal model）。
设季节性序列（月度、季度、周度等序列都包括其中）的变化周期为s，即时间间隔为s的观测值有相似之处。
首先用季节差分的方法消除周期性变化。
季节差分算子定义为，s = 1- Ls若季节性时间序列用y t表示，则一次季节差分表示为s y t = (1- L s) y t = y t- y t - s对于非平稳季节性时间序列，有时需要进行D次季节差分之后才能转换为平稳的序列。
在此基础上可以建立关于周期为s的P阶自回归Q阶移动平均季节时间序列模型（注意P、Q 等于2时，滞后算子应为(L s)2 = L2s。
P (L s) s D y t = Q(L s) u t(2.60)对于上述模型，相当于假定u t是平稳的、非自相关的。
当u t非平稳且存在ARMA成分时，则可以把u t描述为p (L)du t = q (L) v t(2.61)其中v t为白噪声过程，p, q分别表示非季节自回归、移动平均算子的最大阶数，d表示u t的一阶（非季节）差分次数。
由上式得u t = p-1(L)-d q (L) v t(2.62)把(2.62) 式代入(2.60) 式，于是得到季节时间序列模型的一般表达式。
p(L) P(L s) (d s D y t) = q(L) Q(L s) v t(2.63)其中下标P, Q, p, q分别表示季节与非季节自回归、移动平均算子的最大滞后阶数，d, D分别表示非季节和季节性差分次数。
季节性时间序列模型
成分，自回归或移动平均仅仅消除了不同周期相同周期
点之间具有的相关部分，时间序列还可能存在长期趋势，
相同周期的不同周期点之间也有一定的相关性，所以，
模型可能有一定的拟合不足，如果假设 （p,d,q）模型，则式(8.8)可以改为
是aAt RIMA
(
(8.9)
B)U
(
B
S
)d
S
D
X
t
(B)V (BS )t
检验一个时间序列是否具有季节性是十分必要的，如果一个时间序列季 节性显著，那么拟合适应的季节时间序列模型是合理的，否则会有欠拟 合之嫌。如果不是一个具有显著季节性的时间序列，即使是一个月度数 据资料，也不应该拟合季节性时间序列模型。下面我们讨论如何识别一 个时间序列的季节性。
一、季节性时间序列自相关函数和偏自相关函数的检验 根据Box-Jenkins的建模方法，自相关函数和偏自相关函数的特征是识
三、X-11过程
简介
X-11过程是美国国情调查局编制的时间序列季节调整过 程。它的基本原理就是时间序列的确定性因素分解方法
因素分解
长期趋势起伏 季节波动 不规则波动 交易日影响
模型
加法模型 乘法模型
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方法特色
普遍采用移动平均的方法
用多次短期中心移动平均消除随机波动 用周期移动平均消除趋势 用交易周期移动平均消除交易日影响
月份 7 8 9 10 11 12
季节指数 0.929 0.940 1.001 1.054 1.100 1.335
季节指数图
季节调整后的序列图
xt Sˆt
Tt
It
(4)拟合长期趋势
Tˆt 1015.522 20.93178t
季节ARIMA模型
2.8 季节时间序列模型在某些时间序列中，存在明显的周期性变化。
这种周期是由于季节性变化（包括季度、月度、周度等变化）或其他一些固有因素引起的。
这类序列称为季节性序列。
比如一个地区的气温值序列（每隔一小时取一个观测值）中除了含有以天为周期的变化，还含有以年为周期的变化。
在经济领域中，季节性序列更是随处可见。
如季度时间序列、月度时间序列、周度时间序列等。
处理季节性时间序列只用以上介绍的方法是不够的。
描述这类序列的模型之一是季节时间序列模型(seasonal ARIMA model)，用SARIMA表示。
较早文献也称其为乘积季节模型（multiplicative seasonal model）。
设季节性序列（月度、季度、周度等序列都包括其中）的变化周期为s，即时间间隔为s的观测值有相似之处。
首先用季节差分的方法消除周期性变化。
季节差分算子定义为，∆s = 1- L s若季节性时间序列用y t表示，则一次季节差分表示为∆s y t = (1- L s) y t = y t- y t - s对于非平稳季节性时间序列，有时需要进行D次季节差分之后才能转换为平稳的序列。
在此基础上可以建立关于周期为s的P阶自回归Q阶移动平均季节时间序列模型（注意P、Q 等于2时，滞后算子应为(L s)2 = L2s。
A P (L s) ∆s D y t =B Q(L s) u t(2.60)对于上述模型，相当于假定u t是平稳的、非自相关的。
当u t非平稳且存在ARMA成分时，则可以把u t描述为Φp (L)∆d u t = Θq (L) v t(2.61)其中v t为白噪声过程，p, q分别表示非季节自回归、移动平均算子的最大阶数，d表示u t的一阶（非季节）差分次数。
由上式得u t = Φp-1(L)∆-dΘq (L) v t(2.62)把(2.62) 式代入(2.60) 式，于是得到季节时间序列模型的一般表达式。
Φp(L) A P(L s) (∆d∆s D y t) = Θq(L) B Q(L s) v t(2.63)其中下标P, Q, p, q分别表示季节与非季节自回归、移动平均算子的最大滞后阶数，d, D分别表示非季节和季节性差分次数。
第七章__季节性时间序列分析方法
三、季节性模型的建模方法
利用B－J建模型方法来建立季节性时间序 列模型，首先需要判明周期性，即S的取 值，然后根据自相关和偏自相关函数提 供的信息来判别模型的类型（AR、MA 和ARMA）和阶数，最后进行参数估计 和检验，具体步骤可概括如下：
第一步，对时间序列进行差分和季节差分以得到 一个平稳序列。 第二步，计算差分后序列的自相关和偏自相关函 数，选择一个暂定（尝试性的）模型。 第三步，由差分序列的适当自相关和偏自相关值 求得模型的初始估计值。并将这些估计值作为 最小二乘估计的初始值，对模型参数进行最小 二乘估计。 第四步，对估计得到的暂定模型的剩余进行适应 性检验，决定是否接受暂定模型。当模型的适 应性检验表明暂定模型不是最优模型时，可根
2.(1 B12 ) X t (1 1 B)(1 12 B12 )at
显然这个模型也是由两个模型组合而成：一个是 （ 1 B12 ) X t (1 12 B12 )et 它刻画不同年份同月的资料之间 的相关关系；另一个是 et (1 1 B)at 它表示同年不同月份 之间几乎不存在依赖关系，但受前一期扰动的影响，即时间 序列资料消除了季节因素之后适合一个MA（ 1 ）模型。
推而广之，季节模型的 ARMA形式 U ( B S )Wt V ( B S )et
D 或 U ( B S ) S X t V ( B S )et
(7.1.5) (7.1.6)
其中， U ( B S ) 1 u1 B S u2 B 2 S u p B pS V ( B S ) 1 v1 B S v2 B 2 S vq B qS 这里，et 是原序列消除了周期点 之间相关部分（即季节 分量）之后 的剩余序列。et 不一定独立。因为我们 仅消除了不同周期的同 一周期点上 的相关部分，作为响应 系统，除了不同周期的 同一周期点之间具有一 定相关 随机季节模型有一定的 不足，在一定程度上说 它是一个不完备的模型 。
{时间管理}第七章季节性时间序列分析方法
（时间管理）第七章季节性时间序列分析方法第七章季节性时间序列分析方法由于季节性时间序列于经济生活中大量存于，故将季节时间序列从非平稳序列中抽出来，单独作为壹章加以研究，具有较强的现实意义。
本章共分四节：简单随机时间序列模型、乘积季节模型、季节型时间序列模型的建立、季节调整方法X-11程序。
本章的学习重点是季节模型的壹般形式和建模。
§1简单随机时序模型于许多实际问题中，经济时间序列的变化包含很多明显的周期性规律。
比如：建筑施工于冬季的月份当中将减少，旅游人数将于夏季达到高峰，等等，这种规律是由于季节性（seasonality）变化或周期性变化所引起的。
对于这各时间数列我们能够说，变量同它上壹年同壹月（季度，周等）的值的关系可能比它同前壹月的值的关联更密切。
一、季节性时间序列1．含义：于壹个序列中，若经过S个时间间隔后呈现出相似性，我们说该序列具有以S为周期的周期性特性。
具有周期特性的序列就称为季节性时间序列，这里S为周期长度。
注：①于经济领域中，季节性的数据几乎无处不于，于许多场合，我们往往能够从直观的背景及物理变化规律得知季节性的周期，如季度数据（周期为4）、月度数据（周期为12）、周数据（周期为7）；②有的时间序列也可能包含长度不同的若干种周期，如客运量数据（S=12，S=7）2．处理办法：（1）建立组合模型；（1）将原序列分解成S个子序列（Buys-Ballot1847）对于这样每壹个子序列均能够给它拟合ARIMA模型，同时认为各个序列之间是相互独立的。
可是这种做法不可取，原因有二：（1）S个子序列事实上且不相互独立，硬性划分这样的子序列不能反映序列的总体特征；（2）子序列的划分要求原序列的样本足够大。
启发意义：如果把每壹时刻的观察值和上年同期相应的观察值相减，是否能将原序列的周期性变化消除？（或实现平稳化），于经济上，就是考查和前期相比的净增值，用数学语言来描述就是定义季节差分算子。
季节模型
23
季节模型SARIMA
第三步，由差分序列的适当自相关和偏自相关值求 得模型的初始估计值。 第四步，对估计得到的暂定模型的剩余平方和进行 适应性检验，决定是否接受暂定模型。当适应性检验表 明暂定模型不是最优模型时，可根据检验所提供的有关 模型改进的信息，重新拟合改进模型，并对其进行适应 性检验，直到得到最优模型为止。
ARIMA建模
——季节模型
季节模型SARIMA
在某些时间序列中，由于季节性变化 ( 包括季度、月 度、周度等变化 )或其他一些固有因素的变化，会存 在一些明显的周期性，这类序列称为季节性序列。 季节性序列更是随处可见。 描 述 这 类 序 列 的 模 型 之 一 是 季 节 时 间 序 列 模 型 (seasonal ARIMA model)，用SARIMA表示。
1.16 1.06 0.96 0.86 0.76 1981
图2 工业总产值的趋势·循环要素 TC 图形
1.11 1.06 1.00 0.95 0.89 1981
1983
1985
1987
1989
1991
1993
1995
1997
1983
1985
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1995
1997
图3 工业总产值的季节变动要素 S 图形
d
季节模型SARIMA
季节性模型的建模方法 利用 B-J 建模方法来建立季节性时间序列模型，首先需 要判明周期性，即 S 的取值，然后根据自相关和偏自相关函 数提供的信息来判断模型的类型和阶数，最后进行参数估计 和检验。具体的步骤概括如下： 第一步，对时间序列进行差分和季节差分，以得到一个 平稳序列。 第二步，计算差分后序列的自相关和偏自相关函数，选 择一个暂定（尝试性的）模型。
季节性时间序列分析方法
季节性时间序列分析方法Revised at 2 pm on December 25, 2020.第七章季节性时间序列分析方法由于季节性时间序列在经济生活中大量存在，故将季节时间序列从非平稳序列中抽出来，单独作为一章加以研究，具有较强的现实意义。
本章共分四节：简单随机时间序列模型、乘积季节模型、季节型时间序列模型的建立、季节调整方法X-11程序。
本章的学习重点是季节模型的一般形式和建模。
§1 简单随机时序模型在许多实际问题中，经济时间序列的变化包含很多明显的周期性规律。
比如：建筑施工在冬季的月份当中将减少，旅游人数将在夏季达到高峰，等等，这种规律是由于季节性（seasonality）变化或周期性变化所引起的。
对于这各时间数列我们可以说，变量同它上一年同一月（季度，周等）的值的关系可能比它同前一月的值的相关更密切。
一、季节性时间序列1．含义：在一个序列中，若经过S个时间间隔后呈现出相似性，我们说该序列具有以S为周期的周期性特性。
具有周期特性的序列就称为季节性时间序列，这里S为周期长度。
注：①在经济领域中，季节性的数据几乎无处不在，在许多场合，我们往往可以从直观的背景及物理变化规律得知季节性的周期，如季度数据（周期为4）、月度数据（周期为12）、周数据（周期为7）；②有的时间序列也可能包含长度不同的若干种周期，如客运量数据（S=12，S=7）2．处理办法：（1）建立组合模型；（1） 将原序列分解成S 个子序列（Buys-Ballot 1847）对于这样每一个子序列都可以给它拟合ARIMA 模型，同时认为各个序列之间是相互独立的。
但是这种做法不可取，原因有二：（1）S 个子序列事实上并不相互独立，硬性划分这样的子序列不能反映序列{}t x 的总体特征；（2）子序列的划分要求原序列的样本足够大。
启发意义：如果把每一时刻的观察值与上年同期相应的观察值相减，是否能将原序列的周期性变化消除（或实现平稳化），在经济上，就是考查与前期相比的净增值，用数学语言来描述就是定义季节差分算子。
非平稳和季节时间序列模型分析方法
非平稳和季节时间序列模型分析方法非平稳时间序列是指在时间序列数据中，均值、方差、自相关函数等统计性质随时间变化的数据。
这种时间序列模型常常由于其自身的特性而较难进行分析和预测。
不过，季节时间序列是非平稳时间序列的一种特殊类型，其特点是在数据中存在明显的季节性变化。
对于这种时间序列，可以采用不同的分析方法进行预测和建模。
一、非平稳时间序列分析方法：1.差分法：差分法是通过对序列数据进行相邻时间点的差分，使得序列转变为平稳时间序列。
差分法有一阶差分、二阶差分等。
通过差分法可以使得序列的单位根等统计性质得到稳定。
2.滑动平均法：滑动平均法基于序列的平均值，将序列转化为平稳时间序列。
该方法通过计算序列的滑动平均值来消除序列的变化趋势。
3.指数平滑法：指数平滑法是一种通过加权平均的方法来消除序列的变化趋势。
指数平滑法可以根据实际情况选择不同的权重系数来进行计算。
4.回归分析：对于非平稳时间序列，通过引入自变量，建立回归模型来描述序列的变化。
回归分析可以通过多个变量的关系来解释序列的变动。
二、季节时间序列分析方法：1.季节分解法：季节分解法是将季节时间序列分解为长期趋势、季节性和随机成分的组合。
这种方法可以将季节性的变动独立出来，从而更好地进行建模和预测。
2.季节移动平均法：季节移动平均法通过计算时间序列在相邻季节的平均值，消除序列的季节性变动。
这种方法可以降低季节时间序列的变化趋势。
3.季节差分法：季节差分法是将季节时间序列转化为其相邻时间点的差分。
通过差分法可以去除序列的季节性变化，使得序列更为平稳。
4.季节ARIMA模型：季节ARIMA模型是一种结合了季节差分和ARIMA 模型的方法。
该方法可以同时考虑序列的季节性变化和非平稳性，通过建立ARIMA模型来进行预测和分析。
以上所述是常用的非平稳和季节时间序列模型分析方法。
根据实际情况，我们可以选择合适的方法来分析和预测时间序列数据，以提高分析的准确性。
季节性时间序列模型PPT课件
数据。
SARIMA模型
02
季节性自回归积分滑动平均模型，适用于具有明显季节性的时
间序列数据。
SARIMA-X模型
03
基于SARIMA模型的扩展，适用于具有特定季节性和非季节性
特征的时间序列数据。
季节性时间序列模型的参数
AR参数
自回归模型的参数，用于描述时间序列数据 的自相关关系。
P参数
季节性自回归模型的参数，用于描述时间序 列数据的季节性特征。
在股票价格的时间序列分析中，可以使用季节性自回归积分滑动 平均模型（SARIMA）等季节性时间序列模型来拟合数据，并预 测未来的股票价格走势。
通过对股票价格的时间序列数据进行季节性分析和预测，可以帮 助投资者制定更加科学和有效的投资策略，提高投资收益。
案例二：气温变化的季节性分析
01
气温变化的季节性分析是另一个应用季节性时间序列模型的案例。通过对气温 历史数据的季节性分析，可以了解气温变化的规律和趋势，为气象预测和气候 变化研究提供支持。
感谢您的观看
02
03
季节性时间序列模型的分类：根据不同 的分类标准，季节性时间序列模型可以 分为不同的类型。常见的分类标准包括 模型的复杂度、季节性周期的长度等。 常见的季节性时间序列模型包括季节性 自回归积分滑动平均模型（SARIMA）、 季节性指数平滑模型（SEAS）等。
季节性时间序列模型的应用实例： SARIMA模型在股票市场预测中取得 了较好的效果；SEAS模型在电力需求 预测中得到了广泛应用。这些应用实 例证明了季节性时间序列模型在数据 分析和预测中的实用性和有效性。
对未来研究方向的展望
改进现有模型的性能
尽管现有的季节性时间序列模型取得 了一定的成果，但仍存在一些局限性 ，如对异常值的敏感性、对非平稳数 据的适应性等。未来的研究可以针对 这些局限性，对现有模型进行改进， 提高模型的预测精度和稳定性。
季节模型原理
季节模型原理季节模型是一种用来描述和预测时间序列数据中季节性变化的模型。
它的原理是基于季节性的周期性变化，通过分析历史数据中的季节性变化规律来预测未来的趋势。
季节模型在许多领域都有广泛的应用，比如气象预测、经济预测、销售预测等。
季节性是自然界和社会经济活动中普遍存在的一种周期性变化现象。
这种周期性变化通常是由自然因素、人类活动或其他因素引起的。
比如，在气象学中，每年的四季交替变化就是一种季节性变化；在经济学中，各行各业的销售额也会随着季节的变化而有所波动。
季节模型的目的就是通过对这种周期性变化的分析，来预测未来的趋势。
季节模型的原理可以用数学公式来表示，但在本文中我们将避免使用数学公式。
简单来说，季节模型可以分为两个部分：趋势分量和季节分量。
趋势分量描述了数据的长期趋势，比如是否有增长或下降的趋势。
季节分量描述了数据在不同季节中的周期性变化，比如每年的四季或每周的星期几。
为了建立季节模型，我们首先需要收集一段时间内的历史数据。
这段时间可以是几个月、一年甚至更长的时间。
然后，我们需要对这些数据进行分析，找出其中的季节性变化规律。
这可以通过统计方法、数据可视化或其他分析工具来实现。
一旦我们找到了季节性变化规律，我们就可以使用这些规律来预测未来的趋势。
具体来说，我们可以根据历史数据中季节性变化的幅度和周期，来预测未来相同时间段内的数据。
比如，如果我们发现某个月份的销售额每年都有增长的趋势，我们就可以预测未来该月份的销售额也会增长。
然而，季节模型并不是万能的。
它只适用于具有明显季节性变化的数据，对于没有明显季节性变化的数据，季节模型的效果可能不理想。
此外，季节模型也无法考虑其他因素对数据的影响，比如竞争对手的活动、政策变化等。
因此，在使用季节模型进行预测时，我们还需要结合其他因素进行综合分析。
总结一下，季节模型是一种用来描述和预测时间序列数据中季节性变化的模型。
它通过分析历史数据中的季节性变化规律，来预测未来的趋势。
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如果序列的季节指数都近似等于1，那就说明 该序列没有明显的季节效应
例1 季节指数的计算
季节指数图
四、综合分析
常用综合分析模型
加法模型
乘法模型
xt Tt St It
混合模型
xt Tt St I t
a) xt St Tt It b) xt St (Tt It )
(4)拟合长期趋势
Tˆt 1015.522 20.93178t
(5)残差检验
xt Sˆt
Tˆt
It
(6)短期预测
xˆt (l) Sˆtl Tˆtl
五、X-11过程
简介
X-11过程是美国国情调查局编制的时间序列季节调整过程。 它的基本原理就是时间序列的确定性因素分解方法
因素分解
长期趋势起伏 季节波动 不规则波动 交易日影响
模型
加法模型 乘法模型
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方法特色
普遍采用移动平均的方法
用多次短期中心移动平均消除随机波动 用周期移动平均消除趋势 用交易周期移动平均消除交易日影响
例2 续
对1993年——2000年中国社会消费品零售总 额序列使用X-11过程进行季节调整
(3)计算季节指数
月份 1 2 3 4 5 6
季节指数 0.982 0.943 0.920 0.911 0.925 0.951
月份 7 8 9 10 11 12
季节指数 0.929 0.940 1.001 1.054 1.100 1.335
季节指数图
季节调整后的序列图
xt Sˆt
Tt
It
1996 1909.1 1911.2 1860.1 1854.8 1898.3
1966 1888.7 1916.4 2083.5 2148.3 2290.1 2848.6
1997 2288.5 2213.5 2130.9 2100.5 2108.2 2164.7 2102.5 2104.4 2239.6
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例2 对1993年——2000年中国社会消费品零售总额
序列进行确定性时序分析
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1993 977.5 892.5 942.3 941.3 962.2 1005.7 963.8 959.8 1023.3 1051.1 1102 1415.5
第七章 季节模型
第一节 季节时间序列的重要特征 第二节 季节时间序列模型
一、季节时间序列表示
案例：下表是某地区2001－2005年的旅游业产值。
年 份
1季 2季 3季 4季
2001 25.2 17.1 12.6 19.3
2002 24.4 18.4 14.1 18.9
2003 23.8 19.4 13.8 21.0
季节指数的计算
计算周期内各期平均数
计算总平均数
n
xik
xk
i 1
n
, k 1,2,, m
计算季节指数
nm
xik
x i1 k 1 nm
Sk
xk x
, k 1,2,, m
季节指数的理解
季节指数反映了该季度与总平均值之间的一 种比较稳定的关系
如果这个比值大于1，就说明该季度的值常常 会高于总平均值
1.一阶自回归季节模型
Wt 1Wts et 或 (11BS )Wt et 若还原为X t序列，有： (11BS )SD X t et
2.一阶移动平均季节模型
Wt et 1ets 或 Wt (11BS )et 还原为 X t序列，有：SD X t (11BS )et
2004 26.0 19.1 15.7 21.6
2005 25.1 18.6 15.1 20.8
二、季节时间序列重要特征 周期性Leabharlann 时序图三、季节指数
季节指数的概念
所谓季节指数就是用简单平均法计算的周期内各 时期季节性影响的相对数
季节模型
xij x S j Iij
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3.季节性的SARIMA
U (BS )Wt V (BS )et
或
U
(
B
S
)
D S
X
t
V (BS )et
其中，U (BS ) 1 1BS 2B2S k BkS
V (BS ) 1 1BS 2B2S mBmS
这里，et是原序列消除了周期点之间相关部分（即季 节分量）之后的剩余序列。et不一定独立。因为我们 仅消除了不同周期的同一周期点上的相关部分，作为 响应系统，除了不同周期的同一周期点之间具有一定 相关关系外，同一周期的不同周期点之间也有可能具 有一定的相关关系。因此，随机季节模型有一定的不 足，在一定程度上说它是一个不完备的模型。
2348 2454.9 2881.7
1998 2549.5 2306.4 2279.7 2252.7 2265.2
2326 2286.1 2314.6 2443.1
2536 2652.2 3131.4
1999 2662.1 2538.4 2403.1 2356.8
2364 2428.8 2380.3 2410.9 2604.3 2743.9 2781.5 3405.7
1994 1192.2 1162.7 1167.5 1170.4 1213.7 1281.1 1251.5
1286 1396.2 1444.1 1553.8 1932.2
1995 1602.2 1491.5 1533.3 1548.7 1585.4 1639.7 1623.6 1637.1
1756 1818 1935.2 2389.5
选择模型（无交易日影响）
xt Tt St It
X11过程获得的季节指数图
季节调整后的序列图
趋势拟合图
随机波动序列图
第二节 季节性时间序列模型
一、随机季节模型 二、乘积季节模型 三、常见的随机季节模型
一、 随机季节模型
随机季节模型，是对季节性随机序列中不同 周期的同一周期点之间的相关关系的拟合。 （列关系）
2000 2774.7
2805 2627 2572 2637 2645 2597 2636 2854 3029 3108 3680
(1)绘制时序图
(2)选择拟合模型
长期递增趋势和以年为固定周期的季节波动 同时作用于该序列，因而尝试使用混合模型 （b）拟合该序列的发展
xt St (Tt It )