高三数学一轮复习精品教案4：2.2 函数的单调性与最值教学设计
高三一轮复习：函数的单调性
高三一轮复习：函数的单调性第一篇：高三一轮复习：函数的单调性高三一轮复习：函数的单调性教学设计一、【教学目标】【知识目标】：使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，学会利用函数图像理解和研究函数的性质，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．【能力目标】通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．【德育目标】通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．二、【教学重点】函数单调性的概念、判断、证明及应用．函数的单调性是函数的最重要的性质之一，它在今后解决初等函数的性质、求函数的值域、不等式及比较两个数的大小等方面有广泛的实际应用，三、【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义或导数证明函数的单调性．由于判断或证明函数的单调性，常常要综合运用一些知识（如不等式、因式分解、配方及数形结合的思想方法等）所以判断或证明函数的单调性是本节课的难点.【教材分析】函数的单调性是函数的重要性质之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性的联系在一起，所以本节课在教材中的作用如下（1）函数的单调性一节中的知识是它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及其他函数单调性的理论基础。
（2）函数的单调性是培养学生数学能力的良好题材，同时还要综合利用前面的知识解决函数单调性的一些问题，有利于学生数学能力的提高。
（3）函数的单调性有着广泛的实际应用。
在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个数学教学。
因此“函数的单调性”在中学数学内容里占有十分重要的地位。
它体现了函数的变化趋势和变化特点，在利用函数观点解决问题中起着十分重要的作用，为培养创新意识和实践能力提供了重要方式和途径。
高中数学教案函数的单调性与最值
高中数学教案函数的单调性与最值高中数学教案：函数的单调性与最值一、引言函数是数学中的一个重要概念，它描述了数值之间的关系。
而函数的单调性以及最值则是我们研究函数性质时的关键内容。
本教案将重点介绍函数的单调性以及最值的概念、性质和计算方法，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
二、函数的单调性1. 定义函数的单调性指的是在定义域上的变化趋势。
具体而言，若函数在其定义域上递增，则称为函数的单调递增；若函数在其定义域上递减，则称为函数的单调递减。
2. 判断方法（1）对于函数y=f(x)，当x1 < x2时，比较f(x1)与f(x2)的大小关系： - 若f(x1) < f(x2)，则函数递增；- 若f(x1) > f(x2)，则函数递减；- 若f(x1) = f(x2)，则函数不单调。
（2）对于一阶导数存在的函数，可以通过导函数的正负性判断函数的单调性：- 若导函数f'(x) > 0，则函数递增；- 若导函数f'(x) < 0，则函数递减；- 若导函数f'(x) = 0，可以进一步分析。
3. 经典例题（1）求函数f(x)=x^2的单调性。
解：由f'(x) = 2x，当x > 0时，f'(x) > 0；当x < 0时，f'(x) < 0。
因此，函数f(x)=x^2在x > 0时单调递增，在x < 0时单调递减。
（2）求函数f(x)=3x^4-4x^3的单调性。
解：由f'(x) = 12x^3-12x^2 = 12x^2(x-1)，可知当x < 0时，f'(x) < 0；当0 < x < 1时，f'(x) > 0；当x > 1时，f'(x) > 0。
因此，函数f(x)=3x^4-4x^3在x < 0时单调递减，在0 < x < 1时单调递增，在x > 1时单调递增。
高三数学一轮复习优质教案6：2.2 函数的单调性与最值教学设计
2.2 函数的单调性与最值『复习指导』本讲复习首先回扣课本，从“数”与“形”两个角度来把握函数的单调性和最值的概念，复习中重点掌握：(1)函数单调性的判断及其应用；(2)求函数最值的各种基本方法；对常见题型的解法要熟练掌握．基础梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f (x )在区间D上是减函数图象描述自左向右图象是上升的自左向右图象是下降的(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意x∈I，都有f(x)≤M；①对于任意x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.结论M为最大值M为最小值助学微博一个防范函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数y ＝1x 分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”连接． 两种形式设任意x 1，x 2∈『a ，b 』且x 1＜x 2，那么 ①f x 1－f x 2x 1－x 2＞0⇔f (x )在『a ，b 』上是增函数；f x 1－f x 2x 1－x 2＜0⇔f (x )在『a ，b 』上是减函数．②(x 1－x 2)『f (x 1)－f (x 2)』＞0⇔f (x )在『a ，b 』上是增函数；(x 1－x 2)『f (x 1)－f (x 2)』＜0⇔f (x )在『a ，b 』上是减函数． 两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． 四种方法 函数单调性的判断(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数． (3)导数法：利用导数研究函数的单调性． (4)图象法：利用图象研究函数的单调性．双基自测1．设f (x )为奇函数，且在(－∞，0)内是减函数，f (－2)＝0，则xf (x )＜0的解集为( )． A ．(－2,0)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(0,2) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,0)∪(0,2)2．(2011·湖南)已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3.若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )．A ．『2－2，2＋2』B ．(2－2，2＋2)C ．『1,3』D ．(1,3)3．(2012·保定一中质检)已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( )． A ．(－1,1) B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)4．(2011·江苏)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是______．5．若x ＞0，则x ＋2x的最小值为________．考向一 函数的单调性的判断『例1』试讨论函数f (x )＝xx 2＋1的单调性．『审题视点』 可采用定义法或导数法判断．『答案』 法一 f (x )的定义域为R ，在定义域内任取x 1＜x 2， 都有f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 21＋1－x 2x 22＋1＝x 1－x 21－x 1x 2x 21＋1x 22＋1，其中x 1－x 2＜0，x 21＋1＞0，x 22＋1＞0.①当x 1，x 2∈(－1,1)时，即|x 1|＜1，|x 2|＜1，∴|x 1x 2|＜1，则x 1x 2＜1,1－x 1x 2＞0，f (x 1)－f (x 2)＜0，f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )为增函数． ②当x 1，x 2∈(－∞，－1』或『1，＋∞)时， 1－x 1x 2＜0，f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )为减函数．综上所述，f (x )在『－1,1』上是增函数，在(－∞，－1』和『1，＋∞)上是减函数． 法二 ∵f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x x 2＋1′＝x 2＋1－x x 2＋1′x 2＋12＝x 2＋1－2x 2x 2＋12＝1－x 2x 2＋12，∴由f ′(x )＞0解得－1＜x ＜1.由f ′(x )＜0解得x ＜－1或x ＞1，∴f (x )在『－1,1』上是增函数，在(－∞，－1』和『1，＋∞)上是减函数．判断(或证明)函数单调性的主要方法有：(1)函数单调性的定义；(2)观察函数的图象；(3)利用函数和、差、积、商和复合函数单调性的判断法则；(4)利用函数的导数等． 『训练1』 讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性． 『答案』 设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝ax －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1， f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝ax 2－x 1x 1－1x 2－1当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递增．考向二 利用已知函数的单调区间求参数的值(或范围)『例2』已知函数f (x )＝x 2＋ax (a >0)在(2，＋∞)上递增，求实数a 的取值范围．『审题视点』 求参数的范围转化为不等式恒成时要注意转化的等价性．『答案』 法一 设2<x 1<x 2，由已知条件f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22＋ax 2＝(x 1－x 2)＋a x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2－ax 1x 2<0恒成立．即当2<x 1<x 2时，x 1x 2>a 恒成立．又x 1x 2>4，则0<a ≤4.法二 f (x )＝x＋a x ，f ′(x )＝1－ax 2＞0得f (x )的递增区间是(－∞，－a )，(a ，＋∞)，根据已知条件a ≤2，解得0<a ≤4.已知函数的解析式，能够判断函数的单调性，确定函数的单调区间，反之已知函数的单调区间可确定函数解析式中参数的值或范围，可通过列不等式或解决不等式恒成立问题进行求解．『训练2』 函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )．A ．a ＝－3B ．a <3C ．a ≤－3D ．a ≥－3『解析』y ＝x －5x －a －2＝1＋a －3x －a ＋2，需⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0，a ＋2≤－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <3，a ≤－3，∴a ≤－3. 『答案』C考向三 利用函数的单调性求最值『例3』►已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在『－3,3』上的最大值和最小值．『审题视点』 抽象函数单调性的判断，仍须紧扣定义，结合题目作适当变形． (1)证明 法一 ∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R 总有 f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )， ∴令x ＝y ＝0，得f (0)＝0. 再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )． 在R 上任取x 1＞x 2，则x 1－x 2＞0， f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)． 又∵x ＞0时，f (x )＜0，而x 1－x 2＞0，∴f (x 1－x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)． 因此f (x )在R 上是减函数． 法二 设x 1＞x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2) ＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)． 又∵x ＞0时，f (x )＜0，而x 1－x 2＞0， ∴f (x 1－x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在R 上为减函数． (2)解 ∵f (x )在R 上是减函数， ∴f (x )在『－3,3』上也是减函数，∴f (x )在『－3,3』上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)． 而f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2.∴f (x )在『－3,3』上的最大值为2，最小值为－2.对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x 1，x 2在所给区间内比较f (x 1)－f (x 2)与0的大小，或f x 1f x 2与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x 1＝x 2·x 1x 2或x 1＝x 2＋x 1－x 2等．『训练3』 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x ＞1时，f (x )＜0.(1)求f (1)的值； (2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在『2,9』上的最小值． 『答案』 (1)令x 1＝x 2＞0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0. (2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＞x 2，则x 1x 2＞1，由于当x ＞1时，f (x )＜0，所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＜0，即f (x 1)－f (x 2)＜0，因此f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)∵f (x )在『0，＋∞)上是单调递减函数． ∴f (x )在『2,9』上的最小值为f (9)． 由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得，f ⎝⎛⎭⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2.∴f (x )在『2,9』上的最小值为－2.规范解答2——如何解不等式恒成立问题『问题研究』 在恒成立的条件下，如何确定参数的范围是历年来高考考查的重点内容，近年来在新课标地区的高考命题中，由于三角函数、数列、导数知识的渗透，使原来的分离参数法、根的分布法增添了思维难度，因而含参数不等式的恒成立问题常出现在综合题的位置. 『解决方案』 解决这类问题的关键是将恒成立问题进行等价转化，使之转化为函数的最值问题，或者区间根的分布问题，进而运用最值原理或者区间根原理使问题获解，常用方法还有函数性质法，分离参数法等.『示例』►(本题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈『－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．利用函数性质求f (x )的最值，从而解不等式f (x )min ≥a ，得a 的取值范围．解题过程中要注意a 的范围的讨论．『解答示范』 ∵f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，∴此二次函数图象的对称轴为x ＝a (1分) (1)当a ∈(－∞，－1)时，f (x )在『－1，＋∞)上单调递增， ∴f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.(3分)要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ， 解得a ≥－3，即－3≤a ＜－1.(6分)(2)当a ∈『－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2.(8分) 要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ， 即2－a 2≥a (10分)解得－2≤a ≤1，即－1≤a ≤1.(11分)综上所述，实数a 的取值范围为『－3,1』(12分)本题是利用函数的性质求解恒成立问题，主要的解题步骤是研究函数的性质，由于导数知识的运用，拓展了这类问题深度和思维的广度，因此，解答问题时，一般的解题思路是先通过对函数求导，判断导函数的符号，从而确定函数在所给区间上的单调性，得到区间上对应的函数最值．『试一试』 当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________． 『解析』法一 当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0可化为：m <－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ， 又函数f (x )＝－⎝⎛⎭⎫x ＋4x 在(1,2)上递增， 则f (x )>－5， 则m ≤－5.法二 设g (x )＝x 2＋mx ＋4当－m 2≤32，即m ≥－3时，g (x )＜g (2)＝8＋2m ， 当－m 2＞32，即m ＜－3时，g (x )＜g (1)＝5＋m 由已知条件可得：⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥－3，8＋2m ≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－3，5＋m ≤0.解得m ≤－5『答案』(－∞，－5』答案双基自测1． 『答案』C 2．『解析』函数f (x )的值域是(－1，＋∞)，要使得f (a )＝g (b )，必须使得－x 2＋4x －3＞－1.即x 2－4x ＋2＜0，解得2－2＜x ＜2＋ 2. 『答案』B 3．『解析』由已知条件：⎪⎪⎪⎪1x >1，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧|x |<1，x ≠0，解得－1<x <1，且x ≠0. 『答案』C4．『解析』要使y ＝log 5(2x ＋1)有意义，则2x ＋1＞0，即x ＞－12，而y ＝log 5u 为(0，＋∞)上的增函数，当x ＞－12时，u ＝2x ＋1也为增函数，故原函数的单调增区间是⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 『答案』⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ 5．『解析』∵x ＞0，则x ＋2x≥2x ·2x＝2 2 当且仅当x ＝2x ，即x ＝ 2时，等号成立，因此x ＋2x 的最小值为2 2.『答案』2 2。
高考数学一轮复习 第二章 函数2.2函数的单调性与最值教学案 理
2.2 函数的单调性与最值考纲要求1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2．会运用函数图象理解和研究函数的性质．. 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2当x 1＜x 2时，都有__________，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数 当x 1＜x 2时，都有__________，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是__________自左向右看图象是__________ (2)如果函数y ＝f (x )在某个区间上是__________或__________，则称y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，这一区间叫做y ＝f (x )的单调区间．2．函数的最值 前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件对于任意x ∈I ，都有__________；存在x 0∈I ，使得__________. 对于任意x ∈I ，都有__________； 存在x 0∈I ，使得__________．结论 M 为最大值 M 为最小值 1．下列函数中，在(0,3)上是增函数的是( )．A ．f (x )＝3xB ．f (x )＝－x ＋3C ．f (x )＝xD ．f (x )＝x 2－6x ＋4 2．下列函数f (x )中满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”的是( )．A ．f (x )＝e xB ．f (x )＝1xC ．f (x )＝(x －2)2D ．f (x )＝ln(x ＋3)3．若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为( )． A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．14．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)的实数x 的取值范围是__________．5．(2012课标全国高考)设函数f (x )＝x ＋12＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝__________.一、函数单调性的判断及应用【例1】已知函数f (x )＝x 2＋1－ax ，其中a ＞0. (1)若2f (1)＝f (－1)，求a 的值；(2)证明：当a ≥1时，函数f (x )在区间[0，＋∞)上为单调减函数； (3)若函数f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，求a 的取值范围． 方法提炼1．判断或证明函数的单调性，最基本的方法是利用定义或利用导数．利用定义的步骤是：设元取值→作差(商)变形→确定符号(与1比较大小)→得出结论； 利用导数的步骤是：求导函数→判断导函数在区间上的符号→得出结论．2．两个增(减)函数的和函数仍是增(减)函数，但两个增函数的差、积、商的函数单调性不确定，同样两个减函数的差、积、商的函数单调性也不确定．3．对于复合函数y ＝f [g (x )]，如果内、外层函数单调性相同，那么y ＝f [g (x )]为增函数，如果内、外层函数单调性相反，那么y ＝f [g (x )]为减函数，即“同增异减”．4．函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．请做演练巩固提升1 二、求函数的单调区间【例2－1】 定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1＜0，则( )．A ．f (3)＜f (－2)＜f (1)B ．f (1)＜f (－2)＜f (3)C ．f (－2)＜f (1)＜f (3)D ．f (3)＜f (1)＜f (－2)【例2－2】 求函数y ＝13log (x 2－4x ＋3)的单调区间．方法提炼1．求函数的单调区间与确定单调性的方法：(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．(4)图象法：如果函数是以图象形式给出的，或者函数的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．2．求复合函数y ＝f [g (x )]的单调区间的步骤： (1)确定函数定义域；(2)将复合函数分解成两个基本初等函数； (3)分别确定两基本初等函数的单调性；(4)按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．3．函数的单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式的形式表示；一个函数如果有多个单调区间应分别写，分开表示，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接．请做演练巩固提升4 三、求函数的最值【例3－1】 对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b .函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x－2|}(x ∈R )的最小值是__________．【例3－2】 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x ＞1时，f (x )＞0.(1)求f (1)的值，并判断f (x )的单调性；(2)若f (4)＝2，求f (x )在[5,16]上的最大值．方法提炼1．求函数值域与最值的常用方法：(1)先确定函数的单调性，再由单调性求值域或最值．(2)图象法：先作出函数在给定区间上的图象，再观察其最高、最低点，求出最值． (3)配方法：对于二次函数或可化为二次函数形式的函数，可用配方法求解．(4)换元法：对较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求值域或最值．(5)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后，再用基本不等式求出最值．(6)导数法：先求导，然后求在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出值域或最值． 2．对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应条件，对任意x 1，x 2在所给区间内比较f (x 1)－f (x 2)与0的大小或f x 1f x 2与1的大小(f (x )＞0)．有时根据需要，需作适当的变形：如x 1＝x 2·x 1x 2或x 1＝x 2＋x 1－x 2等．请做演练巩固提升2四、抽象函数的单调性与不等式【例4】 已知定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，②当x ＞0时，f (x )＞－1.(1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是单调增函数；(2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式：f (x 2＋2x )＋f (1－x )＞4. 方法提炼1．函数的单调性与不等式有直接的联系，对函数单调性的考查常常与解不等式、求函数值域、图象等相结合．2．解有关抽象函数不等式问题的步骤：(1)确定函数f (x )在给定区间上的单调性(或奇偶性)； (2)将函数不等式转化为f (A )＜f (B )的形式；(3)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f ”，转化成一般的不等式或不等式组；(4)解不等式或不等式组求得解集．提醒：解此类问题易忽视A ，B 的取值范围，即忽视f (x )所在的单调区间的约束． 请做演练巩固提升3未弄清分段函数的单调性而致误【典例】 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x 的取值范围是__________．解析：可结合函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0的图象以及f (1－x 2)＞f (2x )的条件，得出1－x 2与2x 之间的大小关系，进而求得x 的取值范围．也可分1－x 2≥0,1－x 2＜0讨论求解．方法一：画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0的图象，由图象可知，若f (1－x 2)＞f (2x )，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，1－x 2>2x ，即⎩⎨⎧－1<x <1，－1－2<x <－1＋2，得x ∈(－1，2－1)．方法二：当x ＜－1时，1－x 2＜0,2x ＜0，则f (1－x 2)＝1，f (2x )＝1，无解；当x ＝－1时，1－x 2＝0，则f (0)＝1，f (－2)＝1，不等式不成立；当－1＜x ≤0时，1－x 2＞0，f (1－x 2)＞f (2x )化为(1－x 2)2＋1＞1，恒成立，当0＜x ≤1时，1－x 2≥0,2x ＞0，原不等式化为(1－x 2)2＋1＞(2x )2＋1，即(x ＋1)2＜2，∴0＜x ＜2－1.当x ＞1时，1－x 2＜0，无解． 综上知：－1＜x ＜2－1. 答案：(－1，2－1) 答题指导：1．在解答本题时有两大误区：(1)误将f (1－x 2)，f (2x )中的x当成分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0中的x ，从而造成失误；(2)仅考虑函数单调性，由f (1－x 2)＞f (2x )，得1－x 2＞2x ，却忽略了1－x 2＞0而失误． 2．解决分段函数的单调性问题时，还有以下几点，在备考中要高度关注： (1)抓住对变量所在区间的讨论；(2)保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系． (3)弄清最终结果取并还是交．1．(2012陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )．A ．y ＝x ＋1B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |2．已知函数f (x )＝a x＋log a x (a ＞0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( )．A ．12B ．14C ．2D ．4 3．定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上递增，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则满足f (log 18x )＞0的x 的取值范围是__________．4．求函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调区间．5．已知函数f (x )＝1a －1x(a ＞0，x ＞0)，试判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性．参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)f (x 1)＜f (x 2) f (x 1)＞f (x 2) 逐渐上升的 逐渐下降的 (2)增函数 减函数 2．f (x )≤M f (x 0)＝M f (x )≥M f (x 0)＝M 基础自测 1．C 2．B3．B 解析：∵f (x )＝(x －1)2＋m －1在[3，＋∞)上为单调增函数，且f (x )在[3，＋∞)上的最小值为1，∴f (3)＝1，即22＋m －1＝1，m ＝－2.故选B.4．(－1,0)∪(0,1) 解析：由函数f (x )为R 上的减函数且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x >1，x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |<1，x ≠0.∴0＜x ＜1或－1＜x ＜0.5．2 解析：f (x )＝(x ＋1)2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin xx 2＋1， 设g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (－x )＝－g (x )， ∴g (x )是奇函数．由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0， ∴M ＋m ＝[g (x )＋1]max ＋[g (x )＋1]min ＝2＋g (x )max ＋g (x )min ＝2. 考点探究突破【例1】 (1)解：由2f (1)＝f (－1)，可得22－2a ＝2＋a ，得a ＝23.(2)证明：任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1＜x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 12＋1－ax 1－x 22＋1＋ax 2＝x 12＋1－x 22＋1－a (x 1－x 2)＝x 12－x 22x 12＋1＋x 22＋1－a (x 1－x 2)＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2x 12＋1＋x 22＋1－a . ∵0≤x 1＜x 12＋1，0＜x 2＜x 22＋1，∴0＜x 1＋x 2x 12＋1＋x 22＋1＜1. 又∵a ≥1，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，∴f (x )在[0，＋∞)上为单调减函数． (3)解：任取1≤x 1＜x 2， f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2x 12＋1＋x 22＋1－a . ∵f (x )在区间[1，＋∞)上单调递增， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0. 又x 1－x 2＜0，那么必须有x 1＋x 2x 12＋1＋x 22＋1－a ＞0恒成立．∵1≤x 1＜x 2⇒2x 12≥x 12＋1,2x 22＞x 22＋1，∴2x 1≥x 12＋1，2x 2＞x 22＋1.∴2(x 1＋x 2)＞x 12＋1＋x 22＋1.∴x 1＋x 2x 12＋1＋x 22＋1＞22.∴0＜a ≤22. 【例2－1】 A 解析：由题意得，在[0，＋∞)上f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＜0，故f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且满足n ∈N *时，f (－2)＝f (2),3＞2＞1＞0，得f (3)＜f (－2)＜f (1)，故选A.【例2－2】 解：令u ＝x 2－4x ＋3，原函数可以看作y ＝13log u 与u ＝x 2－4x ＋3的复合函数．令u ＝x 2－4x ＋3＞0，则x ＜1或x ＞3.∴函数y ＝13log (x 2－4x ＋3)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．又u ＝x 2－4x ＋3的对称轴为x ＝2，且开口向上，∴u ＝x 2－4x ＋3在(－∞，1)上是单调减函数，在(3，＋∞)上是单调增函数．而函数y ＝13log u 在(0，＋∞)上是单调减函数，∴y ＝13log (x 2－4x ＋3)的单调减区间为(3，＋∞)，单调增区间为(－∞，1)．【例3－1】32解析：本题实质上是一个求分段函数最值的问题，将函数化为分段函数，利用数形结合法求解． f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，x ≥12，|x －2|，x <12，当x ＝12时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32.【例3－2】 解：(1)令x 1＝x 2＞0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0. 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)， 且x 1＞x 2，则x 1x 2＞1， 由于当x ＞1时，f (x )＞0， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x2＞0，即f (x 1)－f (x 2)＞0， 因此f (x 1)＞f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递增函数．(2)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数，∴f (x )在[5,16]上的最大值为f (16)． 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x2＝f (x 1)－f (x 2)，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫164＝f (16)－f (4)， 而f (4)＝2，所以f (16)＝4. ∴f (x )在[5,16]上的最大值为4.【例4】 解：(1)令x ＝y ＝0得f (0)＝－1. 在R 上任取x 1＞x 2， 则x 1－x 2＞0，f (x 1－x 2)＞－1.又f (x 1)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1＞f (x 2)， 所以，函数f (x )在R 上是增函数． (2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5.由f (x 2＋2x )＋f (1－x )＞4得f (x 2＋x ＋1)＞f (3)．又函数f (x )在R 上是增函数，故x 2＋x ＋1＞3，解之，得x ＜－2或x ＞1，故原不等式的解集为{x |x ＜－2，或x ＞1}． 演练巩固提升1．D 解析：选项A 中的函数是非奇非偶函数；选项B 中的函数是减函数；选项C 中的函数在每个单调区间上都是减函数；选项D 中的原函数可化为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，作出其图象如下图所示，由图象可知该函数既是奇函数又是增函数．2．C 解析：由题意可知函数f (x )＝a x＋log a x 在[1,2]上是单调函数，所以其最大值与最小值之和为f (1)＋f (2)＝a ＋log a 1＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6，整理可得a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3(舍去)，故a ＝2，选C.3．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) 解析：由f (x )＝f (－x )＝f (|x |)得18(|log |)f x ＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13， 于是18|log |x ＞13⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－3log 2x ＞13⇒|log 2x |＞1⇒log 2x ＜－1或log 2x ＞1 ⇒0＜x ＜12或x ＞2.4．解：原函数等价于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3，x ≥0，－x 2－2x ＋3，x <0，作出如下函数图象：由函数图象可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．5．解：设x 1＞x 2＞0，则Δx ＝x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0， ∵Δy ＝f (x 1)－f (x 2) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2＝Δx x 1x 2＞0，Δy ＞0， 因此，函数f (x )是在(0，＋∞)上的单调增函数．。
函数的单调性与最值教案
函数的单调性与最值教案一、教学目标：1. 理解函数单调性的概念，能够判断简单函数的单调性。
2. 掌握利用单调性求函数的最值的方法。
3. 能够运用函数的单调性和最值解决实际问题。
二、教学内容：1. 函数单调性的定义与判断方法。
2. 利用单调性求函数的最值。
3. 函数单调性和最值在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 函数单调性的判断方法。
2. 利用单调性求函数的最值。
四、教学方法与手段：1. 采用讲授法，讲解函数单调性的定义与判断方法。
2. 利用数形结合法，结合图形讲解函数的单调性和最值。
3. 运用实例法，分析实际问题中的函数单调性和最值。
五、教学过程：1. 引入：通过举例，让学生感受函数的单调性和最值在实际问题中的重要性。
2. 讲解：讲解函数单调性的定义与判断方法，结合图形进行分析。
3. 练习：让学生练习判断一些简单函数的单调性。
4. 讲解：讲解如何利用单调性求函数的最值，结合实例进行分析。
5. 练习：让学生练习求解一些函数的最值。
6. 总结：总结本节课的主要内容，强调函数单调性和最值在实际问题中的应用。
7. 作业布置：布置一些有关函数单调性和最值的练习题，巩固所学知识。
六、教学拓展：1. 引导学生思考函数单调性与其他数学概念的联系，如导数、极限等。
2. 探讨函数单调性在高等数学中的应用，如微分方程、最优化问题等。
七、案例分析：1. 分析实际问题，引导学生运用函数的单调性和最值解决实际问题。
2. 举例说明函数单调性和最值在经济学、物理学、工程学等领域的应用。
八、课堂互动：1. 组织学生进行小组讨论，分享各自在练习中的心得体会。
2. 邀请学生上台展示自己的解题过程，互相学习和交流。
九、教学评价：1. 课堂讲解：评价学生对函数单调性和最值的理解程度。
2. 练习作业：评价学生运用函数单调性和最值解决实际问题的能力。
十、教学反思：1. 反思本节课的教学内容、教学方法是否适合学生的学习需求。
2. 针对学生的学习情况，调整教学策略，提高教学效果。
高三数学一轮复习精品教案1：2.2函数的单调性与最值教学设计
2.2函数的单调性与最值1．增函数、减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果对于任意x1，x2∈D，且x1<x2，则有：(1)f(x)在区间D上是增函数⇔f(x1)<f(x2)；(2)f(x)在区间D上是减函数⇔f(x1)>f(x2)．2．单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．3．函数的最值1．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．2．两函数f(x)，g(x)在x∈(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也为增(减)函数，但f(x)·g(x)，1f x等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．『试一试』1．(2013·苏锡常镇二调)函数f(x)＝2x＋log2x(x∈『1,2』)的值域为________．『解析』因为y＝2x，y＝log2x在定义域内均为增函数，所以y＝2x＋log2x在『1,2』上单调递增，故f(x)∈『2,5』．『答案』『2,5』2．函数f (x )＝x 2－2x (x ∈『－2,4』)的单调增区间为______；f (x )max ＝________. 『解析』函数f (x )的对称轴x ＝1，单调增区间为『1,4』，f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8. 『答案』『1,4』 81．判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数； (3)图像法：如果f (x )是以图像形式给出的，或者f (x )的图像易作出，可由图像的直观性判断函数单调性．(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性． 2．求函数最值的五个常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． (4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． 提醒：在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域． 『练一练』1．(2013·南京第一学期调研)命题甲：函数f (x )是奇函数，乙：函数f (x )在定义域上是增函数．对于函数：(1)f (x )＝－1x；(2)f (x )＝tan x ；(3)f (x )＝x |x |；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1， x ≥0，－2－x ＋1， x <0.能使甲、乙均为真命题的所有函数的序号是________．『解析』(1)(2)不满足在定义域上是增函数，(3)(4)满足，且(3)(4)是奇函数． 『答案』(3)(4)2．函数f (x )＝1x 2＋1在区间『2,3』上的最大值是________，最小值是________．『答案』15 110考点一求函数的单调区间1.函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．『解析』要使y ＝log 5(2x ＋1)有意义，则2x ＋1>0，即x >－12，而y ＝log 5u 为(0，＋∞)上的增函数，当x >－12时，u ＝2x ＋1也为R 上的增函数，故原函数的单调增区间是⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 『答案』⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ 2．函数y ＝x －|1－x |的单调增区间为________．『解析』y ＝x －|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥1，2x －1， x <1.作出该函数的图像如图所示．由图像可知，该函数的单调增区间是(－∞，1』． 『答案』(－∞，1』3．设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x，f x ≤k ，k ，f x ＞k ，取函数f (x )＝2－|x |.当k ＝12时，函数f k (x )的单调递增区间为________．『解析』由f (x )>12，得－1<x <1.由f (x )≤12，得x ≤－1或x ≥1.所以f 12(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥1，12，－1＜x ＜1，2x，x ≤－1.故f 12(x )的单调递增区间为(－∞，－1)．『答案』(－∞，－1)『备课札记』『类题通法』求函数单调区间的方法与判断函数单调性的方法相同即(1)定义法；(2)复合法；(3)图像法；(4)导数法．考点二函数单调性的判断『典例』 试讨论函数f (x )＝x ＋kx(k >0)的单调性．『解析』法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x 1，x 2，令x 1<x 2，那么f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫x 2＋k x 2－⎝⎛⎭⎫x 1＋k x 1＝(x 2－x 1)＋k ⎝⎛⎭⎫1x 2－1x 1＝(x 2－x 1)x 1x 2－k x 1x 2. 因为0<x 1<x 2，所以x 2－x 1>0，x 1x 2>0. 故当x 1，x 2∈(k ，＋∞)时，f (x 1)<f (x 2)， 即函数在(k ，＋∞)上单调递增． 当x 1，x 2∈(0，k )时，f (x 1)>f (x 2)， 即函数在(0，k )上单调递减．考虑到函数f (x )＝x ＋kx (k >0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－k )上单调递增，在(－k ，0)上单调递减．综上，函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减． 法二：f ′(x )＝1－kx2.令f ′(x )>0得x 2>k ，即x ∈(－∞，－k )或x ∈(k ，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－k )和(k ，＋∞)．令f ′(x )<0得x 2<k ，即x ∈(－k ，0)或x ∈(0，k )，故函数的单调减区间为(－k ，0)和(0，k )．故函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减． 『备课札记』 『类题通法』1．利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后要注意差式的分解变形彻底． 2．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确． 『针对训练』判断函数g (x )＝－2xx －1在 (1，＋∞)上的单调性．『解析』任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则g (x 1)－g (x 2)＝－2x 1x 1－1－－2x 2x 2－1＝2x 1－x 2x 1－1x 2－1，由于1<x1<x2，所以x1－x2<0，(x1－1)(x2－1)>0，因此g(x1)－g(x2)<0，即g(x1)<g(x2)．故g(x)在(1，＋∞)上是增函数．考点三函数单调性的应用函数单调性的应用比较广泛是每年高考的重点和热点内容.归纳起来常见的命题角度有：1求函数的值域或最值；2比较两个函数值或两个自变量的大小；3解函数不等式；4求参数的取值范围或值.角度一求函数的值域或最值1．已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－23.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在『－3,3』上的最大值和最小值．『解析』(1)证明：∵函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，∴令x＝y＝0，得f(0)＝0.再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．又∵当x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2)．因此f(x)在R上是减函数．(2)∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在『－3,3』上也是减函数，∴f(x)在『－3,3』上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在『－3,3』上的最大值为2，最小值为－2.『备课札记』角度二 比较两个函数值或两个自变量的大小2．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则f (x 1)________f (x 2)(填“>”或“<”)『解析』∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0，当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0， 即f (x 1)<0，f (x 2)>0. 『答案』<角度三 解函数不等式3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为________．『解析』作出函数f (x )的图像，如图所示，则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a 2－4)>f (3a )，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4，所以不等式的解集为(－1,4)． 『答案』(－1,4)角度四 求参数的取值范围或值4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2x ，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <2满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为____________． 『解析』函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，a －2×2≤⎝⎛⎭⎫122－1，由此解得a ≤138， 即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，138 . 『答案』⎝⎛⎦⎤－∞，138 『类题通法』 1．含“f ”不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内． 2．比较函数值大小的思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于填空题能数形结合的尽量用图像法求解．『课堂练通考点』1．(2013·无锡期末)已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．『解析』令m ＝ax －1，则函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增等价于m ＝ax －1在(1,2)上单调递增，且ax －1>0在(1,2)上恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －1≥0，即a ≥1.『答案』『1，＋∞)2．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是________．『解析』由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图像可知函数的单调减区间是『1,2』． 『答案』『1,2』3．已知函数f (x )为R 上的减函数，若m <n ，则f (m )______f (n )(填“>”或“<”)；若f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，则实数x 的取值范围是________．『解析』由题意知f (m )>f (n )；⎪⎪⎪⎪1x >1，即|x |<1，且x ≠0.故－1<x <1且x ≠0. 『答案』> (－1,0)∪(0,1)4．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2(x ＋2)在区间『－1,1』上的最大值为________．『解析』由于y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在『－1,1』上递增，所以f (x )在『－1,1』上单调递减，故f (x )在『－1,1』上的最大值为f (－1)＝3.『答案』35．函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是递增的，求实数a 的取值范围．『解析』f (x )＝ax ＋1x ＋2＝a x ＋2＋1－2a x ＋2＝1－2ax ＋2＋a .任取x 1，x 2∈(－2，＋∞)，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝1－2a x 1＋2－1－2ax 2＋2＝1－2a x 2－x 1x 1＋2x 2＋2.∵函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是递增的，∴f (x 1)－f (x 2)<0.∵x 2－x 1>0，x 1＋2>0，x 2＋2>0，∴1－2a <0，a >12，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞.。
高考数学一轮复习 第二章 函数 2.2 函数的单调性与最值教学案 苏教版-苏教版高三全册数学教学案
第二节 函数的单调性与最值[最新考纲] 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．1．函数的单调性 (1)单调函数的定义增函数 减函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2定义当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间I 上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y ＝f (x )在区间I 上具有单调性．单调增区间和单调减区间统称为单调区间．2．函数的最值前提函数y ＝f (x )的定义域为A ，存在x 0∈A条件 任意x ∈A ，都有 f (x )≤f (x 0) 任意x ∈A ，都有 f (x )≥f (x 0) 结论 f (x 0)为y ＝f (x )的最大值f (x 0)为y ＝f (x )的最小值记法 y max ＝f (x 0)y min ＝f (x 0)[常用结论]1．函数单调性的结论 (1)对∀x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，f x 1－f x 2x 1－x 2＞0⇔f (x )在D 上是增函数；f x 1－f x 2x 1－x 2＜0⇔f (x )在D 上是减函数．(2)对勾函数y ＝x ＋a x(a ＞0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，减区间为[－a ，0)和(0，a ]．(3)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．(4)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减〞． 2．函数最值存在的2个结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值． (2)开区间上的“单峰〞函数一定存在最大(小)值．一、思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(2)假设定义在R 上的函数f (x )有f (－1)＜f (3)，那么函数f (x )在R 上为增函数．( ) (3)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，那么函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( ) (4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．( ) [答案](1)× (2)× (3)× (4)√ 二、教材改编1．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上( ) A ．递减 B ．递增 C ．先递减后递增D ．先递增后递减C [因为函数y ＝x 2－6x ＋10的图象为抛物线，且开口向上，对称轴为直线x ＝3，所以函数y ＝x 2－6x ＋10在(2,3)上为减函数，在(3,4)上为增函数．]2．以下函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( ) A ．y ＝|x | B ．y ＝3－x C ．y ＝1xD ．y ＝－x 2＋4A [y ＝3－x 在R 上递减，y ＝1x在(0，＋∞)上递减，y ＝－x 2＋4在(0，＋∞)上递减，应选A.]3．假设函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，那么k 的取值X 围是________．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12 [因为函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，所以2k ＋1＜0， 即k ＜－12.]4．函数f (x )＝2x －1，x ∈[2,6]，那么f (x )的最大值为________，最小值为________． 2 25 [易知函数f (x )＝2x －1在x ∈[2,6]上为减函数，故f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25.]考点1 确定函数的单调性(区间) 确定函数单调性的4种方法(1)定义法．利用定义判断．(2)导数法．适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．(3)图象法．由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和〞或“，〞连接，不能用“∪〞连接．(4)性质法．利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减〞的原那么时，需先确定简单函数的单调性．求函数的单调区间(1)函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32和[2，＋∞) C ．(－∞，1]和⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32和[2，＋∞) (2)函数y ＝x 2＋x －6的单调递增区间为________，单调递减区间为________． (1)B(2)[2，＋∞) (－∞，－3] [(1)y ＝|x 2－3x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，－x 2－3x ＋2，1＜x ＜2.如下图，函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32和[2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1]和⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2.应选B.(2)令u ＝x 2＋x －6，那么y ＝x 2＋x －6可以看作是由y ＝u 与u ＝x 2＋x －6复合而成的函数． 令u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.易知u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在[0，＋∞)上是增函数，所以y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)．](1)求复合函数的单调区间的步骤一般为：①确定函数的定义域；②求简单函数的单调区间；③求复合函数的单调区间，其依据是“同增异减〞．(2)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间．含参函数的单调性[一题多解]判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1＜a ＜3)在x ∈[1,2]上的单调性．[解] 法一：(定义法)设1≤x 1＜x 2≤2，那么f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－⎝⎛⎭⎪⎫ax 21＋1x 1 ＝(x 2－x 1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax 1＋x 2－1x 1x 2，由1≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0,2＜x 1＋x 2＜4， 1＜x 1x 2＜4，－1＜－1x 1x 2＜－14. 又1＜a ＜3，所以2＜a (x 1＋x 2)＜12， 得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2＞0，从而f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)，故当a ∈(1,3)时，f (x )在[1,2]上单调递增． 法二：(导数法)因为f ′(x )＝2ax －1x 2＝2ax 3－1x2， 因为1≤x ≤2，∴1≤x 3≤8， 又1＜a ＜3， 所以2ax 3－1＞0，所以f ′(x )＞0，所以函数f (x )＝ax 2＋1x(其中1＜a ＜3)在[1,2]上是增函数．定义法证明函数单调性的一般步骤：①任取x 1，x 2∈D ，且x 1＜x 2；②作差f (x 1)－f (x 2)；③变形(通常是因式分解和配方)；④定号(即判断f (x 1)－f (x 2)的正负)；⑤下结论(即指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性)．1.函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是( )A ．[1,2]B ．[－1,0]C ．(0,2]D ．[2，＋∞)A [由题意得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x ＜2，当x ≥2时，[2，＋∞)是函数f (x )的单调递增区间；当x ＜2时，(－∞，1]是函数f (x )的单调递增区间，[1,2]是函数f (x )的单调递减区间．] 2．判断并证明函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性． [解] 法一：(定义法)设－1＜x 1＜x 2＜1，f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a x 2－x 1x 1－1x 2－1，由于－1＜x 1＜x 2＜1，所以x 2－x 1＞0，x 1－1＜0，x 2－1＜0， 故当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上递减；当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递增． 法二：(导数法)f ′(x )＝a x －1－ax x －12＝－ax －12，所以当a ＞0时，f ′(x )＜0，当a ＜0时，f ′(x )＞0， 即当a ＞0时，f (x )在(－1,1)上为单调减函数， 当a ＜0时，f (x )在(－1,1)上为单调增函数．考点2 函数的最值求函数最值的5种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等〞的条件后用基本不等式求出最值．(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．(1)假设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a 2x ≤0，x ＋1x ＋a x ＞0的最小值为f (0)，那么实数a 的取值X 围是( )A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2](2)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．(3)函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．(1)D (2)3 (3)14 [(1)当x ＞0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，等号成立．故当x ＝1时取得最小值2＋a ， ∵f (x )的最小值为f (0)，∴当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2单调递减，故a ≥0， 此时的最小值为f (0)＝a 2，故2＋a ≥a 2，得－1≤a ≤2. 又a ≥0，得0≤a ≤2.应选D.(2)∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上单调递减，∴f (x )max ＝f (－1)＝3－log 21＝3.(3)令t ＝x ，那么t ≥0，所以y ＝t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，当t ＝12，即x ＝14时，y max ＝14.][逆向问题] 假设函数f (x )＝－a x ＋b (a ＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，那么a ＝________，b ＝________.1 52 [∵f (x )＝－a x ＋b (a ＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是增函数， ∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (x )max ＝f (2)＝2.即⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝12，－a2＋b ＝2，解得a ＝1，b ＝52.](1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．如本例(3)．(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．如本例(1)．(3)假设函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，那么必在区间的端点处取得最值．如本例(2)；假设函数f (x )在区间[a ，b ]上不单调，那么最小值为函数f (x )在该区间内的极小值和区间端点值中最小的值，最大值为函数f (x )在该区间内的极大值和区间端点值中最大的值．1.函数f (x )＝x 2＋4x 的值域为________．(－∞，－4]∪[4，＋∞) [当x ＞0时，f (x )＝x ＋4x≥4，当且仅当x ＝2时取等号；当x ＜0时，－x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ≥4，即f (x )＝x ＋4x≤－4，当且仅当x ＝－2时取等号，所以函数f (x )的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．]2．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，那么函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．1 [法一：(图象法)在同一坐标系中，作函数f (x )，g (x )图象， 依题意，h (x )的图象如下图．易知点A (2,1)为图象的最高点， 因此h (x )的最大值为h (2)＝1.法二：(单调性法)依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0＜x ≤2，－x ＋3，x ＞2.当0＜x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数， 当x ＞2时，h (x )＝3－x 是减函数， 所以h (x )在x ＝2时取得最大值h (2)＝1.]考点3 函数单调性的应用比较大小比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，假设自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，那么a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＞a ＞bB ．c ＞b ＞aC ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞cD [根据可得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数．所以a＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，f (2)＞f (2.5)＞f (3)，所以b ＞a ＞c .]本例先由[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0得出f (x )在(1，＋∞)上是减函数，然后借助对称性，化变量－12，2,3于同一单调区间，并借助单调性比较大小．解不等式求解含“f 〞的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))＞f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f 〞，得到一般的不等式g (x )＞h (x )(或g (x )＜h (x ))．此时要特别注意函数的定义域．定义在[－2,2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )＞f (2a －2)，那么实数a 的取值X 围为( )A ．[－1,2)B ．[0,2)C ．[0,1)D ．[－1,1)C [因为函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，所以函数在[－2,2]上单调递增，所以－2≤2a －2＜a 2－a ≤2，解得0≤a ＜1，应选C.]本例在求解时，应注意隐含条件为a 2－a ∈[－2,2]，2a －2∈[－2,2]．[教师备选例题]f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，那么不等式f (x )＋f (x －8)≤2的解集为________．(8,9] [因为2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2可得f [x (x －8)]≤f (9)，f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －8>0，x x －8≤9，解得8<x ≤9.]根据函数的单调性求参数利用单调性求参数的X 围(或值)的方法(1)视参数为数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与单调区间比较求参数．(2)需注意假设函数在区间[a ，b ]上是单调的，那么该函数在此区间的任意子集上也是单调的．(1)(2019·某某模拟)函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，那么a 的取值X 围是( )A ．a ＝－3B ．a ＜3C ．a ≤－3D ．a ≥－3(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x ＞4.假设函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，那么实数a 的取值X 围是( )A ．(－∞，1]B ．[1,4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]∪[4，＋∞)(1)C (2)D [(1)y ＝x －a －2＋a －3x －a －2＝1＋a －3x －a －2＝1＋a －3x －a ＋2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －3＜0，a ＋2≤－1，得a ≤－3.所以a 的取值X 围是a ≤－3.(2)作出函数f (x )的图象如下图 ，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4，应选D.]分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．如本例(2)．1.假设函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调，那么a 的取值X 围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]B [因为函数f (x )＝2|x －a |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2a ＋3，x ≥a ，－2x ＋2a ＋3，x ＜a ，且函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调，所以a ＞1.所以a 的取值X 围是(1，＋∞)．应选B.]2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln x ＋1，x ＞0，假设f (2－x 2)＞f (x )，那么实数x 的取值X 围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)D [因为当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，所以函数的图象是一条连续的曲线．因为当x ≤0时，word - 11 - / 11 函数f (x )＝x 3为增函数，当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数， 所以函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)＞f (x )等价于2－x 2＞x ， 即x 2＋x －2＜0，解得－2＜x ＜1.]3．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－a x ＋1，x ＜1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＞0成立，那么a 的取值X 围是( )A ．(1,2) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 C [由条件得f (x )为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2－a ＞0，a ＞1，2－a ×1＋1≤a ，解得32≤a ＜2， 所以a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2.应选C.]。
高三数学一轮复习精品学案4：2.2 函数的单调性与最值
2.2函数的单调性与最值『高考新动向』 一、考纲点击1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义； 2．会运用函数图象理解和研究函数的单调性、最值。
二、热点、难点提示1.确定函数单调性、单调区间及应用函数单调性求值域、最值，比较或应用函数值大小，是高考的热点及重点.2.常与函数的图象及其他性质交汇命题.3.题型多以选择题、填空题形式出现，若与导数交汇则以解答题形式出现. 『考纲全景透析』 一、函数的单调性 （1）单调函数的定义 增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ,如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1,x 2，改变量⊿x = x 2- x 1>0当x 1< x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x1< x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D 上是增函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的（2）单调区间的定义若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间。
注：①单调区间是定义域的子区间②函数的单调性反映在图象上是在某一区间上是上升的或下降的；而最大（小）值反映在图象上为其最高（低）点的纵坐标的值。
二、函数的最值前提设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意x∈I，都有f(x)≤M存在x0∈I，使得f(x0)=M 对于任意x∈I，都有f(x)≥M 存在x0∈I，使得f(x0)=M结论M为最大值M为最小值注：函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素；任何一个函数，其值域必定存在，但其最值不一定存在。
相关提示：①函数的单调区间与该函数定义域间的关系函数的单调区间是该函数定义域的子集；函数的定义域不一定是函数的单调区间。
《函数的单调性与最大值》教学设计
《函数的单调性与最大值》教学设计教学设计：函数的单调性与最值一、教学目标：1.了解函数的单调性的概念，能够判断函数在一些区间内的单调性。
2.理解函数的最值的概念，能够求解函数在一些区间上的最大值和最小值。
3.能够运用函数的单调性和最值的概念解决实际问题。
二、教学内容：1.函数的单调性：A.单调递增与单调递减的概念及判断方法。
B.设计一些示例，让学生观察函数图像，并判断函数在一些区间内的单调性。
2.函数的最大值和最小值：A.最大值和最小值的概念及求解方法。
B.设计一些函数并给出定义域，让学生求解函数在一些区间上的最大值和最小值。
3.实际问题的解决：A.设计一些实际问题，例如求解函数在一些时间段内的最大速度、最小成本等，让学生运用函数的单调性和最值的概念解决问题。
三、教学过程：1.引入：通过展示一个山峰的图片，并问：“在山峰的哪个位置有最高点？在山谷的哪个位置有最低点？”引导学生思考什么是最值。
2.导入函数的单调性概念：A.讲解函数的单调递增与单调递减的定义。
B.给出函数图像，让学生判断函数在一些区间内的单调性。
C.给出一些判断函数单调性的例题，让学生独立完成并讲解思路和答案。
3.引入函数的最值概念：A.讲解函数的最大值和最小值的定义。
B.给出一个函数图像，让学生找出函数在一些区间上的最大值和最小值。
C.给出一些求解函数最值的例题，让学生独立完成并讲解思路和答案。
4.实际问题的解决：A.给出一个实际问题，例如一辆汽车的速度随时间的变化函数，让学生运用函数的单调性和最值的概念求解汽车在一些时间段内的最大速度。
B.设计几个类似的实际问题，让学生分组讨论解决方法，并展示解决过程和答案。
5.小结与拓展：A.总结函数的单调性与最值的概念。
B.引导学生思考函数单调性与最值的应用领域，例如应用于经济学、物理学等领域。
C.布置相关的作业，要求学生运用函数的单调性和最值的概念解决实际问题。
四、教学评价与反思：1.对于函数的单调性的判断，可以通过让学生观察函数图像，找出函数的增减规律，提高学生的图形观察能力。
高三数学一轮复习精品教案1：2.2函数的单调性与最值教学设计
2.2函数的单调性与最值1．增函数、减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果对于任意x1，x2∈D，且x1<x2，则有：(1)f(x)在区间D上是增函数⇔f(x1)<f(x2)；(2)f(x)在区间D上是减函数⇔f(x1)>f(x2)．2．单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．3．函数的最值1．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．2．两函数f(x)，g(x)在x∈(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也为增(减)函数，但f(x)·g(x)，1f x等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．『试一试』1．(2013·苏锡常镇二调)函数f(x)＝2x＋log2x(x∈『1,2』)的值域为________．『解析』因为y＝2x，y＝log2x在定义域内均为增函数，所以y＝2x＋log2x在『1,2』上单调递增，故f(x)∈『2,5』．『答案』『2,5』2．函数f (x )＝x 2－2x (x ∈『－2,4』)的单调增区间为______；f (x )max ＝________. 『解析』函数f (x )的对称轴x ＝1，单调增区间为『1,4』，f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8. 『答案』『1,4』 81．判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数； (3)图像法：如果f (x )是以图像形式给出的，或者f (x )的图像易作出，可由图像的直观性判断函数单调性．(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性． 2．求函数最值的五个常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． (4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． 提醒：在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域． 『练一练』1．(2013·南京第一学期调研)命题甲：函数f (x )是奇函数，乙：函数f (x )在定义域上是增函数．对于函数：(1)f (x )＝－1x；(2)f (x )＝tan x ；(3)f (x )＝x |x |；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1， x ≥0，－2－x ＋1， x <0.能使甲、乙均为真命题的所有函数的序号是________．『解析』(1)(2)不满足在定义域上是增函数，(3)(4)满足，且(3)(4)是奇函数． 『答案』(3)(4)2．函数f (x )＝1x 2＋1在区间『2,3』上的最大值是________，最小值是________．『答案』15 110考点一求函数的单调区间1.函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．『解析』要使y ＝log 5(2x ＋1)有意义，则2x ＋1>0，即x >－12，而y ＝log 5u 为(0，＋∞)上的增函数，当x >－12时，u ＝2x ＋1也为R 上的增函数，故原函数的单调增区间是⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 『答案』⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ 2．函数y ＝x －|1－x |的单调增区间为________．『解析』y ＝x －|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥1，2x －1， x <1.作出该函数的图像如图所示．由图像可知，该函数的单调增区间是(－∞，1』． 『答案』(－∞，1』3．设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x，f x ≤k ，k ，f x ＞k ，取函数f (x )＝2－|x |.当k ＝12时，函数f k (x )的单调递增区间为________．『解析』由f (x )>12，得－1<x <1.由f (x )≤12，得x ≤－1或x ≥1.所以f 12(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥1，12，－1＜x ＜1，2x，x ≤－1.故f 12(x )的单调递增区间为(－∞，－1)．『答案』(－∞，－1)『备课札记』『类题通法』求函数单调区间的方法与判断函数单调性的方法相同即(1)定义法；(2)复合法；(3)图像法；(4)导数法．考点二函数单调性的判断『典例』 试讨论函数f (x )＝x ＋kx(k >0)的单调性．『解析』法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x 1，x 2，令x 1<x 2，那么f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫x 2＋k x 2－⎝⎛⎭⎫x 1＋k x 1＝(x 2－x 1)＋k ⎝⎛⎭⎫1x 2－1x 1＝(x 2－x 1)x 1x 2－k x 1x 2. 因为0<x 1<x 2，所以x 2－x 1>0，x 1x 2>0. 故当x 1，x 2∈(k ，＋∞)时，f (x 1)<f (x 2)， 即函数在(k ，＋∞)上单调递增． 当x 1，x 2∈(0，k )时，f (x 1)>f (x 2)， 即函数在(0，k )上单调递减．考虑到函数f (x )＝x ＋kx (k >0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－k )上单调递增，在(－k ，0)上单调递减．综上，函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减． 法二：f ′(x )＝1－kx2.令f ′(x )>0得x 2>k ，即x ∈(－∞，－k )或x ∈(k ，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－k )和(k ，＋∞)．令f ′(x )<0得x 2<k ，即x ∈(－k ，0)或x ∈(0，k )，故函数的单调减区间为(－k ，0)和(0，k )．故函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减． 『备课札记』 『类题通法』1．利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后要注意差式的分解变形彻底． 2．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确． 『针对训练』判断函数g (x )＝－2xx －1在 (1，＋∞)上的单调性．『解析』任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则g (x 1)－g (x 2)＝－2x 1x 1－1－－2x 2x 2－1＝2x 1－x 2x 1－1x 2－1，由于1<x1<x2，所以x1－x2<0，(x1－1)(x2－1)>0，因此g(x1)－g(x2)<0，即g(x1)<g(x2)．故g(x)在(1，＋∞)上是增函数．考点三函数单调性的应用函数单调性的应用比较广泛是每年高考的重点和热点内容.归纳起来常见的命题角度有：1求函数的值域或最值；2比较两个函数值或两个自变量的大小；3解函数不等式；4求参数的取值范围或值.角度一求函数的值域或最值1．已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－23.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在『－3,3』上的最大值和最小值．『解析』(1)证明：∵函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，∴令x＝y＝0，得f(0)＝0.再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．又∵当x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2)．因此f(x)在R上是减函数．(2)∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在『－3,3』上也是减函数，∴f(x)在『－3,3』上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在『－3,3』上的最大值为2，最小值为－2.『备课札记』角度二 比较两个函数值或两个自变量的大小2．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则f (x 1)________f (x 2)(填“>”或“<”)『解析』∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0，当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0， 即f (x 1)<0，f (x 2)>0. 『答案』<角度三 解函数不等式3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为________．『解析』作出函数f (x )的图像，如图所示，则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a 2－4)>f (3a )，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4，所以不等式的解集为(－1,4)． 『答案』(－1,4)角度四 求参数的取值范围或值4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2x ，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <2满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为____________． 『解析』函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，a －2×2≤⎝⎛⎭⎫122－1，由此解得a ≤138， 即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，138 . 『答案』⎝⎛⎦⎤－∞，138 『类题通法』 1．含“f ”不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内． 2．比较函数值大小的思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于填空题能数形结合的尽量用图像法求解．『课堂练通考点』1．(2013·无锡期末)已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．『解析』令m ＝ax －1，则函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增等价于m ＝ax －1在(1,2)上单调递增，且ax －1>0在(1,2)上恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －1≥0，即a ≥1.『答案』『1，＋∞)2．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是________．『解析』由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图像可知函数的单调减区间是『1,2』． 『答案』『1,2』3．已知函数f (x )为R 上的减函数，若m <n ，则f (m )______f (n )(填“>”或“<”)；若f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，则实数x 的取值范围是________．『解析』由题意知f (m )>f (n )；⎪⎪⎪⎪1x >1，即|x |<1，且x ≠0.故－1<x <1且x ≠0. 『答案』> (－1,0)∪(0,1)4．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2(x ＋2)在区间『－1,1』上的最大值为________．『解析』由于y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在『－1,1』上递增，所以f (x )在『－1,1』上单调递减，故f (x )在『－1,1』上的最大值为f (－1)＝3.『答案』35．函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是递增的，求实数a 的取值范围．『解析』f (x )＝ax ＋1x ＋2＝a x ＋2＋1－2a x ＋2＝1－2ax ＋2＋a .任取x 1，x 2∈(－2，＋∞)，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝1－2a x 1＋2－1－2ax 2＋2＝1－2a x 2－x 1x 1＋2x 2＋2.∵函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是递增的，∴f (x 1)－f (x 2)<0.∵x 2－x 1>0，x 1＋2>0，x 2＋2>0，∴1－2a <0，a >12，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞.。
高三数学一轮复习精品教案10：§2.2函数的单调性与最值教学设计
§2.2函数的单调性与最值考点梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，①若f (x 1)＜f (x 2)，则f (x )在区间D 上是增函数；②若f (x 1)＞f (x 2)，则f (x )在区间D 上是减函数．(2)单调性、单调区间的定义若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间．2．函数的最值一般地，设y ＝f (x )的定义域为A .如果存在x 0∈A ，使得对于任意的x ∈A ，都有f (x )≤f (x 0)，那么称f (x 0)为y ＝f (x )的最大值，记为y max ＝f (x 0)；如果存在x 0∈A ，使得对于任意的x ∈A ，都有f (x )≥f (x 0)，那么称f (x 0)为y ＝f (x )的最小值，记为y min ＝f (x 0)．一个命题规律求函数的单调区间及单调性的应用，如应用单调性求值域、比较大小、解(或证明)不等式等．运用定义法或导数法判断或证明函数的单调性等．函数的单调性是高考的热点问题． 函数单调性的四种判断方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．(3)导数法：利用导数研究函数的单调性．(4)图象法：利用图象研究函数的单调性．考点自测1．函数f (x )＝1＋x －1－x 的最大值为M ，最小值为m ，则M m＝________. 『解析』由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥0，1－x ≥0得－1≤x ≤1.因为f (x )在『－1,1』上是单调增函数，所以M ＝f (1)＝2，m ＝f (－1)＝－2，所以M m＝－1. 『答案』－12．已知函数f (x )＝x －k x(k >0，x >0)，则f (x 2＋1)与f (x )的大小关系是________． 『解析』因为f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且x 2＋1≥2x >x (x >0)，所以f (x 2＋1)>f (x )． 『答案』f (x 2＋1)>f (x )3．已知函数f (x )＝2x ＋ln x ，若f (x 2＋2)≤f (3x )，则x 的取值范围是________．『解析』因为f (x )是定义域(0，＋∞)上的增函数，所以由f (x 2＋2)≤f (3x )，得x 2＋2≤3x ，即x 2－3x ＋2≤0，解得1≤x ≤2.『答案』『1,2』4．函数f (x )＝2x ＋log 2x (x ∈『1,2』)的值域为________．『解析』因为2x 与log 2x 都是『1,2』上的增函数，所以f (x )＝2x ＋log 2x 是『1,2』上的增函数，所以f (1)≤f (x )≤f (2)，即2≤f (x )≤5.『答案』『2,5』5．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间『1,2』上都是减函数，则a 的取值范围是________．『解析』f (x )在『a ，＋∞)上是减函数，对于g (x )，只有当a >0时，它有两个减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间『1,2』是f (x )和g (x )的减区间的子集即可，则a 的取值范围是0＜a ≤1.『答案』(0,1』考向一 函数单调性的判断例1 试讨论函数f (x )＝ax x －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性． 审题视点 可利用定义或导数法讨论函数的单调性．解 设－1<x 1<x 2<1，f (x )＝a x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1， f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1 ＝a 2112(1)(1)x x x x --- 当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上递增．方法总结』：证明函数的单调性用定义法的步骤：取值—作差—变形—确定符号—下结论．训练1 已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．(1)证明 任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝1212(2)(2)x x x x ---+. ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增．(2)解 任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝2112()()()a x x x a x a ---， ∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1.综上所述知0<a ≤1.考向二 函数单调性的应用例2已知f (x )是定义在『－1,1』上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈『－1,1』，a ＋b ≠0时，有()()f a f b a b++>0成立． (1)判断f (x )在『－1,1』上的单调性，并证明它；(2)解不等式：f ⎝⎛⎭⎫x ＋12<f ⎝⎛⎭⎫1x －1； (3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈『－1,1』恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)任取x 1，x 2∈『－1,1』，且x 1<x 2，则－x 2∈『－1,1』，∵f (x )为奇函数，∴f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2) ＝1212()()()f x f x x x +-+-·(x 1－x 2)， 由已知得1212()()()f x f x x x +-+->0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在『－1,1』上单调递增．(2)∵f (x )在『－1,1』上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋12<1x －1，－1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1≤1.∴－32≤x ＜－1. (3)∵f (1)＝1，f (x )在『－1,1』上单调递增．∴在『－1,1』上，f (x )≤1.问题转化为m 2－2am ＋1≥1，即m 2－2am ≥0，对a ∈『－1,1』成立．下面来求m 的取值范围．设g (a )＝－2m ·a ＋m 2≥0.①若m ＝0，则g (a )＝0≥0，对a ∈『－1,1』恒成立．②若m ≠0，则g (a )为a 的一次函数，若g (a )≥0，对a ∈『－1,1』恒成立，必须g (－1)≥0，且g (1)≥0，∴m ≤－2，或m ≥2.∴m 的取值范围是m ＝0或m ≥2或m ≤－2.方法总结：函数单调性的应用，主要有两个方面，即应用单调性求字母取值范围，二是应用单调性比较数值大小或解函数不等式．训练 2 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，2x －x 2，x <0，若f (1－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是________．(2)已知函数f (x )＝2－ax a －1(a ≠1)是区间(0,1』上的减函数，则实数a 的取值范围为________． 『解析』(1)画图象或求导，可知函数f (x )是R 上的增函数，于是由f (1－a 2)>f (a )，得1－a 2>a ，即a 2＋a －1<0，解得－1－52<a <－1＋52. (2)由题意，当x ＝1时，2－ax ＝2－a ≥0，所以a ≤2且a ≠1，a ≠0.若a <0，则2－ax 是增函数，要使f (x )是区间(0,1』上的减函数，必有a －1<0，即a <1. 所以a <0.若a >0，则2－ax 是减函数，要使f (x )是区间(0,1』上的减函数，必有a －1>0，即a >1. 所以1<a ≤2.综上，得a 的取值范围是(－∞，0)∪(1,2』．『答案』(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－52，－1＋52 (2)(－∞，0)∪(1,2』考向三 函数的最值及其应用例3 已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x，x ∈『1，＋∞)． (1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值； (2)若对任意x ∈『1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，在『1，＋∞)上为增函数，f (x )min ＝f (1)＝72. (2)当x ∈『1，＋∞)时，由f (x )＝x 2＋2x ＋a x>0恒成立，得x 2＋2x ＋a >0，即a >－x 2－2x 在x ∈『1，＋∞)上恒成立．因为当x ＝1时，(－x 2－2x )max ＝－3，所以a >－3.方法总结： 不等式m ＞f (x )恒成立⇔m ＞f (x )max ，m ＜f (x )恒成立⇔m ＜f (x )min .训练3 若对任意x ∈(0,1』，函数f (x )＝x |x －a |－2的值恒为负数，则实数a 的取值范围是________．『解析』由f (x )＝x |x －a |－2<0，x ∈(0,1』，得|x －a |<2x ，即x －2x <a <x ＋2x .因为x －2x在(0,1』上单调递增，x ＋2x在(0,1』上单调递减，所以x ＝1时，⎝⎛⎭⎫x －2x max ＝－1，⎝⎛⎭⎫x ＋2x min ＝3，所以－1<a <3.『答案』(－1,3)课堂训练一、填空题1.下列函数中：①f (x )＝1x；②f (x )＝(x －1)2；③f (x )＝e x ；④f (x )＝ln(x ＋1)，满足“对任意x 1x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的函数序号是________．『解析』由题意，即判断哪些函数是(0，＋∞)内的减函数．仅f (x )＝1x符合题意． 『答案』①2.下列函数中：①y ＝－x ＋1；②y ＝x ；③y ＝x 2－4x ＋5；④y ＝2x，在区间(0,2)上为增函数的是________(填所有正确的编号)．『解析』y ＝－x ＋1在R 上递减；y ＝x 在R ＋上递增；y ＝x 2－4x ＋5在(－∞，2』上递减，在『2，＋∞)上递增，y ＝2x在R ＋上递减． 『答案』②3.若函数f (x )＝x 2＋(a 2－4a ＋1)x ＋2在区间(－∞，1』上是减函数，则a 的取值范围是________．『解析』因为f (x )是二次函数且开口向上，所以要使f (x )在(－∞，1』上是单调递减函数，则必有－a 2－4a ＋12≥1，即a 2－4a ＋3≤0，解得1≤a ≤3. 『答案』『1,3』4.下列函数：①y ＝x 3；②y ＝|x |＋1；③y ＝－x 2＋1；④y ＝ 2－|x |.既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数序号是________．『解析』y ＝x 3是奇函数，y ＝－x 2＋1与y ＝2－|x |在(0，＋∞)上是减函数． 『答案』②5.已知f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，且f (x )在(－1,1)上是减函数，则不等式f (1－x )＋f (1－x 2)＜0的解集为________．『解析』由f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，及f (1－x )＋f (1－x 2)＜0，得f (1－x )＜－f (1－x 2)，所以f (1－x )＜f (x 2－1)．又因为f (x )在(－1,1)上是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －1＜1－x ＜1，－1＜1－x 2＜1，解得0＜x ＜1.1－x ＞x 2－1.故原不等式的解集为(0,1)．『答案』(0,1)6.已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，y ＝f (x )是减函数，若|x 1|＜|x 2|，则结论：①f (x 1)－f (x 2)＜0；②f (x 1)－f (x 2)＞0；③f (x 1)＋f (x 2)＜0；④f (x 1)＋f (x 2)＞0中成立的是________(填所有正确的编号)．『解析』由题意，得f (x )在『0，＋∞)上是增函数，且f (x 1)＝f (|x 1|)，f (x 2)＝f (|x 2|)，从而由0≤|x 1|＜|x 2|，得f (|x 1|)＜f (|x 2|)，即f (x 1)＜f (x 2)，f (x 1)－f (x 2)＜0，只能①是正确的． 『答案』①二、解答题7.已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)． (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值． (1)证明 法一 设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0.因为f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫1a －1x 2－⎝⎛⎭⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，所以f (x 2)>f (x 1)，因此f (x )在(0，＋∞)上是增函数．法二 因为f (x )＝1a －1x， 所以f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫1a －1x ′＝1x 2>0，所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数．(2)解 因为f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2， 又f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上单调递增，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (2)＝2，故a ＝25. 8．已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－23. (1)求证：f (x )在R 上是减函数．(2)求f (x )在『－3,3』上的最大值和最小值．(1)证明 法一 因为函数f (x )对于任意x ，y ∈R 总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，所以令x ＝y ＝0，得f (0)＝0.再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )．在R 上任取x 1＞x 2，则x 1－x 2＞0，f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)．又由x ＞0时，f (x )＜0，而x 1－x 2＞0，所以f (x 1－x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．因此f (x )在R 上是减函数．法二 设x 1＞x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)．又由x ＞0时，f (x )＜0，而x 1－x 2＞0，所以f (x 1－x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )在R 上为减函数．(2)解 因为f (x )在R 上是减函数，所以f (x )在『－3,3』上也是减函数，所以f (x )在『－3,3』上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)．而f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2.所以f (x )在『－3,3』上的最大值为2，最小值为－2.。
高考数学一轮复习 函数的单调性与最值教案
山东省泰安市肥城市第三中学高考数学一轮复习函数的单调性与最值教案理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．、会用函数图象理解和研究函数的性质．f(④导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．求一个函数的最值时，应首先考虑函数．若函数y ＝ax 与y ＝－x b在(0，＋∞)上都是减函数，则，＋∞)上是 ( B )．增函数 B ．减函数 C ．先增后减其中能推出函数y ＝f (x )为增函数的命题为__①_③5.已知函数2()2f x x x =-答案：a＞0:f(x)为减函数。
0:f(x)为增函数。
(x)f(1-x)+f(1-x²)<f(x)∴{m|}f(a)单调递增f(x)时，，．若2()2f x x ax =-+与()1ag x x =+在区间[]1,2上都是减函数，()0,1 B.(]0,1 C.．如果函数f (x )＝ax 3在区间(－∞，的取值范围是___-410_______． )的= 19 .f(x2)-f(x1)>0-g=2x2-1/x1+2x1-1/x2=(x2-x1)(2x1x2-1)/X1+1>1,f(X1+1)-f(X1)=f(X1)+f(1)-f(X1)=f(1)=-2/3<0精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
高三数学大一轮复习 2.2函数的单调性与最值教案 理 新
§2.2函数的单调性与最值2014高考会这样考 1.以选择或填空题的形式考查函数的单调性；2.考查求函数最值的几种常用方法；3.利用函数的单调性求参数的取值范围．复习备考要这样做 1.从数、形两种角度理解函数的单调性与最值；2.判断复合函数的单调性；3.含参函数的最值，对参数进行讨论．1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .(4)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .结论M 为最大值 M 为最小值[难点正本 疑点清源] 1． 函数的单调性是局部性质函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特 征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调． 2． 函数的单调区间的求法函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的 定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数 函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调 性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间． 3． 单调区间的表示单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不 能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．1． (2012·安徽)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.答案 －6解析 f (x )＝|2x ＋a |＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x ≥－a2，－2x －a ，x <－a2.作出函数图象，由图象知：函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a2，＋∞， ∴－a2＝3，∴a ＝－6.2． (2011·江苏)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是______________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ 3． (课本改编题)函数f (x )＝2xx ＋1在[1,2]的最大值和最小值分别是__________． 答案 43，1解析 f (x )＝2x x ＋1＝2x ＋1－2x ＋1＝2－2x ＋1在[1,2]上是增函数，∴f (x )max ＝f (2)＝43，f (x )min＝f (1)＝1.4． 已知函数y ＝f (x )在R 上是减函数，A (0，－2)、B (－3,2)在其图象上，则不等式－2<f (x )<2的解集为________． 答案 (－3,0)解析 画一个草图，数形结合，得不等式的解集为(－3,0)．5． 如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A ．a >－14B ．a ≥－14C ．－14≤a <0D ．－14≤a ≤0答案 D解析 当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，＋4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a <0，且－1a ≥4，解得0>a ≥－14.综合上述－14≤a ≤0.题型一 函数单调性的判断 例1 试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性． 思维启迪：可利用定义或导数法讨论函数的单调性． 解 设－1<x 1<x 2<1，f (x )＝a x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝ax 2－x 1x 1－1x 2－1当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递增．探究提高 证明函数的单调性用定义法的步骤：取值—作差—变形—确定符号—下结论．(1)已知a >0，函数f (x )＝x ＋a x(x >0)，证明函数f (x )在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数； (2)求函数y ＝x 2＋x －6的单调区间． 解 (1)设x 1，x 2是任意两个正数，且0<x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋a x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 2 ＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )． 当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，又x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数； 当a ≤x 1<x 2时，x 1x 2>a ，又x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．(2)令u ＝x 2＋x －6，y ＝x 2＋x －6可以看作有y ＝u 与u ＝x 2＋x －6的复合函数． 由u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.∵u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在(0，＋∞)上是增函数．∴y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)． 题型二 利用函数单调性求参数 例2 若函数f (x )＝ax －1x ＋1在(－∞，－1)上是减函数，求实数a 的取值范围． 思维启迪：利用函数的单调性求参数的取值范围，解题思路为视参数为已知数，依据函 数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参． 解 f (x )＝ax －1x ＋1＝a －a ＋1x ＋1，设x 1<x 2<－1， 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫a －a ＋1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a ＋1x 2＋1＝a ＋1x 2＋1－a ＋1x 1＋1＝a ＋1x 1－x 2x 2＋1x 1＋1，又函数f (x )在(－∞，－1)上是减函数， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，由于x 1<x 2<－1， 所以x 1－x 2<0，x 1＋1<0，x 2＋1<0， 所以a ＋1<0，即a <－1. 故a 的取值范围是(－∞，－1)．探究提高 已知函数的单调性确定参数的值或范围，可以通过解不等式或转化为不等式 恒成立问题求解；需注意的是，若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的 任意子集上也是单调的．(1)若函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 是R 上的减函数，则a 的取值范围为____________． (2)函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是 ( )A ．a ＝－3B ．a <3C ．a ≤－3D ．a ≥－3 答案 (1)⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 (2)C 解析 (1)因为函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 是R 上的减函数，所以2a －1<0，解得a <12，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12. (2)y ＝x －5x －a －2＝1＋a －3x －a ＋2，由函数在(－1，＋∞)上单调递增， 有{ a －3<0a ＋2≤－1，解得a ≤－3. 题型三 利用函数的单调性求最值例3 已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．思维启迪：问题(1)对于抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值，证明f (x )为单调减函数的首选方法是用单调性的定义来证．问题(2)用函数的单调性即可求最值．(1)证明 方法一 ∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，∴令x ＝y ＝0， 得f (0)＝0.再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )． 在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)．又∵当x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 因此f (x )在R 上是减函数． 方法二 设x 1>x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2) ＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)． 又∵当x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0， ∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在R 上为减函数． (2)解 ∵f (x )在R 上是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上也是减函数，∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)． 而f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2. ∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.探究提高 对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质 和相应的条件，对任意x 1，x 2在所给区间内比较f (x 1)－f (x 2)与0的大小，或f x 1f x 2与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x 1＝x 2·x 1x 2或x 1＝x 2＋x 1－x 2等；利用函数单调性可以求函数最值．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值； (2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值． 解 (1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1， 由于当x >1时，f (x )<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0， 即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数． ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)． 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x2＝f (x 1)－f (x 2)得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.忽视函数的定义域致误典例：(10分)求函数y ＝log 13(x 2－3x )的单调区间．易错分析 忽视函数的定义域，认为x 的范围是全体实数，导致错误． 规范解答解 设t ＝x 2－3x ，由t >0，得x <0或x >3，即函数的定义域为(－∞，0)∪(3，＋∞)．[2分]函数t 的对称轴为直线x ＝32，故t 在(－∞，0)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增．[6分]而函数y ＝log 13t 为单调递减函数，由复合函数的单调性可知，函数y ＝log 13(x 2－3x )的单调递增区间是(－∞，0)，单调递减区间是(3，＋∞)．[10分]温馨提醒 函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．如果是复合函数，应该根据复合函数单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，根据同增异减的法则求解函数的单调区间．由于思维定势的原因，容易忽视定义域，导致错误． 2.函数的单调性与最值典例：(12分)(2012·太原模拟)函数f (x )对任意的m 、n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x >0时，恒有f (x )>1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2.审题视角(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．应该构造出f(x2)－f(x1)并与0比较大小．(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本小题的切入点．要构造出f(M)<f(N)的形式．规范解答(1)证明设x1<x2，∴x2－x1>0，∵当x>0时，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1.[2分]f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，[4分]∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0⇒f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上为增函数．[6分](2)解∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，[8分]f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)<2＝f(1)，[10分]∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5<1⇒－3<a<2，即a∈(－3,2)．[12分]解函数不等式的问题一般步骤：第一步：确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：解不等式或不等式组确定解集；第五步：反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．温馨提醒本题对函数的单调性的判断是一个关键点．不会运用条件x>0时，f(x)>1.构造不出f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1的形式，找不到问题的突破口．第二个关键应该是将不等式化为f(M)<f(N)的形式．解决此类问题的易错点：忽视M、N的取值范围，即忽视f(x)所在的单调区间的约束.方法与技巧1．可以根据定义判断或证明函数的单调性．2．求函数的单调区间首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．常用方法：根据定义，利用图象和单调函数的性质；利用导数的性质．3．复合函数的单调性对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．失误与防范1．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示．2．两函数f(x)、g(x)在x∈(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也为增(减)函数，但f(x)·g(x)，1f x等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比.(时间：60分钟)A组专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列函数中，在(－∞，0)上为增函数的是 ( ) A．y＝1－x2 B．y＝x2＋2xC．y＝11＋xD．y＝xx－1答案 A解析∵y＝1－x2的对称轴为x＝0，且开口向下，∴(－∞，0)为其单调递增区间．2． (2012·徐州模拟)已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是 ( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34 答案 D解析 当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5，在(－∞，3)上是减函数；当a ≠0时，由⎩⎨⎧a >0－4a －34a≥3，得0<a ≤34.综上，a 的取值范围是0≤a ≤34.3． 已知f (x )＝⎩⎨⎧a xx >1⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2 x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8) 答案 B解析 因为f (x )是R 上的单调递增函数， 所以可得⎩⎨⎧a >1，4－a 2>0，a ≥4－a2＋2.解得4≤a <8，故选B.点评 本小题的易错点：易忽视条件a ≥4－a2＋2的应用．4． 给定函数①y ＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是 ( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 答案 B解析 ①函数y ＝x 12在(0，＋∞)上为增函数，故在(0,1)上也为增函数；②y ＝log 12(x ＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故在(0,1)上也为减函数；③y ＝|x －1|在(0,1)上为减函数；④y ＝2x ＋1在(－∞，＋∞)上为增函数，故在(0,1)上也为增函数．二、填空题(每小题5分，共15分)5． f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为__________；f (x )max ＝________.答案 [1,4] 8解析 函数f (x )的对称轴：x ＝1，单调增区间为[1,4]， f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8.6． 函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是__________． 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4 解析 函数f (x )的定义域是(－1,4)，u (x )＝－x 2＋3x ＋4＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋254的减区间为 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4，∵e>1， ∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4. 7． 若函数f (x )＝a |x －b |＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a 、b 的取值范围是____________．答案 a >0且b ≤0解析 要使f (x )在[0，＋∞)上为增函数，则a >0且x －b ≥0恒成立，即b ≤x ，∴b ≤0.三、解答题(共25分)8． (12分)已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)， (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数；(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值． (1)证明 设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∵f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1 ＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0， ∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数．(2)解 ∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2， 又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2.∴易得a ＝25. 9． (13分)已知函数f (x )＝x 2＋a x (x ≠0，a ∈R )．(1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2(x ≠0)为偶函数；当a ≠0时，f (－x )≠f (x )，f (－x )≠－f (x )，∴f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)设x 2>x 1≥2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22－a x 2＝x 1－x 2x 1x 2[x 1x 2(x 1＋x 2)－a ]， 由x 2>x 1≥2，得x 1x 2(x 1＋x 2)>16，x 1－x 2<0， x 1x 2>0.要使f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，只需f (x 1)－f (x 2)<0，即x 1x 2(x 1＋x 2)－a >0恒成立，则a ≤16.B 组 专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1． 已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a ，在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f x x 在区间(1，＋∞)上一定 ( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数答案 D解析 由题意知a <1，∴g (x )＝f x x ＝x ＋a x－2a ， 当a <0时，显然g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，当a >0时，g (x )在[a ，＋∞)上是增函数，故在(1，＋∞)上为增函数，∴g (x )在(1，＋∞)上一定是增函数．2． 已知定义在R 上的增函数f (x )，满足f (－x )＋f (x )＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值 ( )A ．一定大于0B ．一定小于0C ．等于0D ．正负都有可能答案 A解析 ∵f (－x )＋f (x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )．又∵x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，∴x 1>－x 2，x 2>－x 3，x 3>－x 1.又∵f (x 1)>f (－x 2)＝－f (x 2)，f (x 2)>f (－x 3)＝－f (x 3)，f (x 3)>f (－x 1)＝－f (x 1)，∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>－f (x 2)－f (x 3)－f (x 1)．∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0.3． 已知函数f (x )＝{ x 2＋4x ， x ≥0，4x －x 2， x <0，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案 C解析 由题意知f (x )在R 上是增函数，由题意得2－a 2>a ，解得－2<a <1.二、填空题(每小题4分，共12分)4． 设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是__________． 答案 [1，＋∞)解析 f (x )＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2－1x ＋2a， 其对称中心为(－2a ，a )．∴{ 2a 2－1>0－2a ≤－2⇒{ 2a 2－1>0a ≥1⇒a ≥1. 5． 已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是______________． 答案 (－1,0)∪(0,1)解析 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x >1， ∴1x >1或1x<－1，∴0<x <1或－1<x <0. 6． 设x 1，x 2为y ＝f (x )的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：①(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0；②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0；③f x 1－f x 2x 1－x 2>0； ④f x 1－f x 2x 1－x 2<0. 其中能推出函数y ＝f (x )为增函数的命题为________．(填序号)答案 ①③解析 依据增函数的定义可知，对于①③，当自变量增大时，相对应的函数值也增大， 所以①③可推出函数y ＝f (x )为增函数．三、解答题(13分)7． (2012·鞍山调研)已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a＋b ≠0时，有f a ＋f b a ＋b>0成立． (1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明它；(2)解不等式：f (x ＋12)<f (1x －1)； (3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2，则－x 2∈[－1,1]，∵f (x )为奇函数，∴f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f x 1＋f －x 2x 1＋－x 2·(x 1－x 2)， 由已知得f x 1＋f －x 2x 1＋－x 2>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在[－1,1]上单调递增．(2)∵f (x )在[－1,1]上单调递增，∴⎩⎨⎧ x ＋12<1x －1，－1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1≤1.∴－32≤x <－1. (3)∵f (1)＝1，f (x )在[－1,1]上单调递增．∴在[－1,1]上，f (x )≤1.问题转化为m 2－2am ＋1≥1，即m 2－2am ≥0，对a ∈[－1,1]恒成立．设g (a )＝－2m ·a ＋m 2≥0.①若m＝0，则g(a)＝0≥0，对a∈[－1,1]恒成立．②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1，1]恒成立，必须有g(－1)≥0且g(1)≥0，∴m≤－2或m≥2.∴m的取值范围是m＝0或m≥2或m≤－2.。
高三数学一轮复习精品教案3：2.2函数的单调性与最值教学设计
第2课时函数的单调性与最值1．理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性．2．理解函数的最大(小)值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大(小)值．『梳理自测』一、函数的单调性1．下列函数f(x)中满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”的是()A．f(x)＝1x B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝e2D．f(x)＝ln(x＋1)2．函数y＝x2＋2x－3(x＞0)的单调增区间是() A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，－3』『答案』1.A 2.A◆以上题目主要考查了以下内容：(1)单调函数的定义(2)若函数y ＝f(x)在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f(x)的单调区间．二、函数的最值1．(教材改编)f(x)＝x 2－2x(x ∈『－2，4』)的最小值为________，最大值为________． 2．(教材改编)函数f(x)＝2xx ＋1在『1，2』的最大值为________，最小值为________． 『答案』1.－1 8 2.43 1◆以上题目主要考查了以下内容：『指点迷津』1．函数的单调性是局部性质函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．如y ＝x 2在(－∞，＋∞)上不具有单调性 .2．f(x)在区间『a ，b 』上单调递增与函数f(x)的单调递增区间为『a ，b 』的含义不同． 3．函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．4．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．如函数y ＝1x 的单调减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)是错误的．考向一 判断函数的单调性判断函数f(x)＝axx ＋1在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．『审题视点』 利用单调性定义证明．『典例精讲』 当a ＞0时，函数y ＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增． 当a ＜0时，函数y ＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减． 证明如下：设－1＜x 1＜x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝ax 1x 1＋1－ax 2x 2＋1＝ax 1（x 2＋1）－ax 2（x 1＋1）（x 1＋1）（x 2＋1）＝a （x 1－x 2）（x 1＋1）（x 2＋1） ∵－1＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1＋1＞0，x 2＋1＞0.∴当a ＞0时，f(x 1)－f(x 2)＜0，即f(x 1)＜f(x 2)， ∴函数y ＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增． 同理当a ＜0时，f(x 1)－f(x 2)＞0，即f(x 1)＞f(x 2)， ∴函数y ＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．『类题通法』 (1)判定(或证明)函数单调性的主要方法有： ①能画出图象的函数，用图象法． ②能作差变形的用定义法． ③能求导的函数用导数法．④由基本初等函数通过加、减运算或复合运算构成的函数，用转化法． (2)判断函数的单调性应先求定义域；(3)用定义法判断(或证明)函数单调性的一般步骤为：取值—作差—变形—判号—定论，其中变形为关键，而变形的方法有因式分解、配方法等．1．试讨论函数f(x)＝axx －1(a≠0)在(－1，1)上的单调性． 『解析』设－1＜x 1＜x 2＜1， f(x)＝a x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，f(x 1)－f(x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a x 2－x 1（x 1－1）（x 2－1） 当a ＞0时，f(x 1)－f(x 2)＞0， 即f(x 1)＞f(x 2)，函数f(x)在(－1，1)上递减； 当a ＜0时，f(x 1)－f(x 2)＜0， 即f(x 1)＜f(x 2)，函数f(x)在(－1，1)上递增．考向二 求函数的单调区间求下列函数的单调区间． (1)函数f(x)＝x ＋ax (a ＞0)(x ＞0)；(2)函数y ＝x 2＋x －6.『审题视点』 (1)用定义法，(2)用复合函数法． 『典例精讲』 (1)设x 1＜x 2， f(x 1)－f(x 2)＝x 1＋a x 1－(x 2＋ax 2)＝(x 1－x 2)＋a （x 2－x 1）x 1x 2＝(x 1－x 2)·（x 1x 2－a ）x 1x 2当0＜x 1＜x 2＜a 时，x 1x 2＜a ， ∴f(x 1)－f(x 2)＞0.在(0，a)上，f(x)是减函数．当a ＜x 1＜x 2时，x 1x 2＞a ，f(x 1)－f(x 2)＜0， ∴f(x)在(a ，＋∞)上是增函数，∴f(x)＝x ＋ax(a ＞0)的增区间为(a ，＋∞)，减区间为(0，a)．(2)令u ＝x 2＋x －6，y ＝x 2＋x －6可以看作有y ＝u 与u ＝x 2＋x －6的复合函数． 由u ＝x 2＋x －6≥0，得x≤－3或x≥2.∵u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3』上是减函数，在『2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在(0，＋∞)上是增函数．∴y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3』，单调增区间为『2，＋∞)． 『类题通法』 求单调区间的方法(首先求定义域) 1．定义法：注意证明函数单调性只能用定义和导数法． 2．图象法：图象上升区间为增区间； 图象下降区间为减区间．3．导数法：f′(x)＞0的解的区间为增区间； f′(x)＜0的解的区间为减区间．4．复合函数法：按复合函数“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．2．(1)函数f(x)＝log 5(2x ＋1)的单调增区间为________． (2)函数y ＝x －|1－x|的单调增区间为________．『解析』(1)函数f(x)的定义域为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，令t ＝2x ＋1(t ＞0)，因为y ＝log 5t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝2x ＋1在⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上为增函数，所以函数f(x)＝log 5(2x ＋1)的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. (2)y ＝x －|1－x|＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x≥1，2x －1，x ＜1.作出该函数的图象如图所示．由图象可知，该函数的单调增区间是(－∞，1』，无单调减区间． 『答案』(1)⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ (2)(－∞，1』 考向三 利用函数的单调性解不等式(2014·山东济宁二模)定义在R 上的偶函数f (x )在『0，＋∞)上递增，f ⎝⎛⎭⎫13＝0，则满足f (log 18x )＞0的x 的取值范围是( )A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，18∪⎝⎛⎭⎫12，2 D.⎝⎛⎭⎫0，12 『审题视点』 根据单调性剥去“f ”符号转化为对数不等式． 『典例精讲』 由f (x )＝f (－x )＝f (|x |) 得f (|log 18x |)＞f ⎝⎛⎭⎫13，于是|log 18x |＞13，解出答案，可知选B.『答案』 B『类题通法』 根据函数y ＝f (x )的单调性，由x 1、x 2的大小，可比较f (x 1)与f (x 2)的大小．反之知f (x 1)与f (x 2)的大小，可得x 1与x 2的大小，即剥去“f ”符号解不等式．3．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈『0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1＜0，则( )A ．f (3)＜f (－2)＜f (1)B ．f (1)＜f (－2)＜f (3)C ．f (－2)＜f (1)＜f (3)D ．f (3)＜f (1)＜f (－2)『解析』选 A.由题意得，在『0，＋∞)上，f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1＜0，故f (x )在『0，＋∞)上单调递减，且满足n ∈N *时，f (－2)＝f (2)，3＞2＞1＞0，得f (3)＜f (－2)＜f (1)，故选A.考向四 函数的最值及应用(2014·昆明模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈『1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈『1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围． 『审题视点』 (1)利用单调性求最小值． (2)当x ∈『1，＋∞)时，f (x )min ＞0，求a . 『典例精讲』 (1)当a ＝12，f (x )＝x ＋12x ＋2，∴f ′(x )＝1－12x 2， 当x ∈『1，＋∞)时，f ′(x )＞0恒成立， ∴f (x )在『1，＋∞)上是增函数，∴当x＝1时，f(x)取最小值，f(1)＝72.故f(x)min＝72.(2)要使f(x)＞0，x∈『1，＋∞)恒成立，即x2＋2x＋a＞0，x∈『1，＋∞)恒成立．设g(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1，∴当x∈『1，＋∞)时，g(x)min＝3＋a.∴3＋a＞0，∴a＞－3即可，∴a∈(－3，＋∞)．『类题通法』 1.求函数最值的常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．2．恒成立问题的解法(1)m＞f(x)恒成立⇔m＞f(x)max；(2)m＜f(x)恒成立⇔m＜f(x)min.4．(2014·荆州市高三质量检测)函数f(x)＝|x3－3x2－t|，x∈『0，4』的最大值记为g(t)，当t在实数范围内变化时，g(t)的最小值为________．『解析』令g(x)＝x3－3x2－t，则g′(x)＝3x2－6x，令g′(x)≥0，则x≤0或x≥2，在『0，2』上g(x)为减函数，在『2，4』上g(x)为增函数，故f(x)的最大值g(t)＝max{|g(0)|，|g(2)|，|g(4)|}，又|g(0)|＝|t|，|g(2)|＝|4＋t|，|g(4)|＝|16－t|，在同一坐标系中分别作出它们的图象，由图象可知，在y＝16－t(t≤16)与y＝4＋t(t≥－4)的交点处，g(t)取得最小值，由16－t＝4＋t，得2t＝12，t＝6，∴g(t)min＝10.『答案』10求函数在闭区间上最值和单调性应用(2014·郑州市高三质检)已知函数f (x )＝1－xax＋ln x . (1)当a ＝12时，求f (x )在『1，e 』上的最大值和最小值；(2)若函数g (x )＝f (x )－14x 在『1，e 』上为增函数，求正实数a 的取值范围．『审题视点』 (1)利用求导法求极值再与f (1)，f (e)比较得最值． (2)g (x )在『1，e 』上递增可转化为g ′(x )≥0在『1，e 』上恒成立，求解a . 『思维流程』a ＝12时，化简f (x )．求导，并求出f ′(x )＝0的根． 判断单调性，确定极值点． 求极值，并确定最值． 确定g (x )并求导．转化题意，求解g ′(x )≥0恒成立问题． 利用二次函数求a 的范围． 『规范解答』 (1)当a ＝12时，f (x )＝2（1－x ）x＋ln x ，f ′(x )＝x －2x2，令f ′(x )＝0，得x ＝2，∴当x ∈『1，2)时，f ′(x )＜0，故f (x )在『1，2)上单调递减； 当x ∈(2，e 』时，f ′(x )＞0，故f (x )在(2，e 』上单调递增，∴f (x )在区间『1，e 』上有唯一的极小值点， 故f (x )min ＝f (x )极小值＝f (2)＝ln 2－1.3分 又∵f (1)＝0，f (e)＝2－ee＜0.∴f (x )在区间『1，e 』上的最大值f (x )max ＝f (1)＝0.5分综上可知，函数f (x )在『1，e 』上的最大值是0，最小值是ln 2－1.6分(2)∵g (x )＝f (x )－14x ＝1－x ax ＋ln x －14x ，∴g ′(x )＝－ax 2＋4ax －44ax 2(a ＞0)，设φ(x )＝－ax 2＋4ax －4，由题意知，只需φ(x )≥0在『1，e 』上恒成立即可满足题意.9分∵a ＞0，函数φ(x )的图象的对称轴为x ＝2，∴只需φ(1)＝3a －4≥0，即a ≥43即可．故正实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫43，＋∞.12分『规范建议』 (1)区分极值与最值．(2)正确转化题意，如本题(2)中转化为g ′(x )≥0恒成立时求a 的范围．切记不能去掉“＝”号．1．(2012·高考陕西卷)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3 C ．y ＝1x D ．y ＝x |x |『答案』D2．(2013·高考北京卷)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1x B ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝lg|x |『解析』选C.利用偶函数的定义及函数单调性的判断方法求解． A 项，y ＝1x 是奇函数，故不正确；B 项，y ＝e －x 为非奇非偶函数，故不正确；C ，D 两项中的两个函数都是偶函数，且y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上是减函数，y ＝lg|x |在(0，＋∞)上是增函数，故选C.3．(2013·高考全国大纲卷)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞是增函数，则a 的取值范围是( )A ．『－1，0』B ．『－1，＋∞)C ．『0，3』D ．『3，＋∞)『解析』选D.由题意知f ′(x )≥0对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞恒成立，又f ′(x )＝2x ＋a －1x2，所以2x ＋a －1x 2≥0对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞恒成立，分离参数得a ≥1x 2－2x ，若满足题意，需a ≥⎝⎛⎭⎫1x 2－2x max.令h (x )＝1x 2－2x ，x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞.因为h ′(x )＝－2x 3－2，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，h ′(x )＜0，即h (x )在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递减，所以h (x )＜h ⎝⎛⎭⎫12＝3，故a ≥3. 4．(2012·高考安徽卷)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是『3，＋∞)，则a ＝________．『解析』f (x )＝|2x ＋a |＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x ≥－a2；－2x －a ，x ＜－a2.由图象可知，单调增区间为『－a2，＋∞)．∴－a2＝3，a ＝－6.『答案』－6。
高考数学一轮复习 2.2函数的单调性与最值教案-人教版高三全册数学教案
第二节 函数的单调性与最值教学目标：知识与技能：理解函数的单调性，最大（小）值及几何意义 ；会运用函数的图象理解和研究图象的性质过程与方法：会画初等函数的图象，能利用图象的单调性研究函数的性质情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验数形结合思想，感受图形解题。
教学重点：函数的单调性，最大（小）值教学难点：利用图象的单调性研究函数教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.增函数、减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I ，区间D ⊆I,如果对于任意x1,x2∈D,且x1<x2,都有:(1)f(x)在区间D 上是增函数⇔f(x1)<f(x2)(2)f(x)在区间D 上是减函数⇔f(x1)>f(x2)2.单调性、单调区间若函数y=f(x)在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间．3．函数的最值设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在M ∈R,① 对于任意的x ∈I,都有f(x)≤M （或f(x)≥M ）② 存在x0∈I,使得f(x0)=M则称M 是f(x)的最大（或小）值二．例题讲解【典例1】(1)函数f(x)=log2(x2-4)的单调递减区间为_______. (2)试讨论函数 x ∈(-1,1)的单调性(其中a ≠0).【思路点拨】(1)根据复合函数的单调性求解.(2)用定义法或导数法求解.答案：（1） (-∞,-2)(2)方法一(定义法):设x1,x2∈(-1,1)且x1＜x2,则 ∵-1＜x1＜x2＜1,∴x2-x1＞0,x12-1＜0,x22-1＜0,-1＜x1x2＜1,x1x2+1＞0,∴因此当a ＞0时,f(x1)-f(x2)＞0. ()2ax f x ,x 1=-()()12122212ax ax f x f x x 1x 1-=---()()()21122212a x x x x 1x 1(x 1)-+=--21122212(x x )(x x 1)0.(x 1)(x 1)-+--＞即f(x1)＞f(x2),此时函数在(-1,1)上为减函数;当a ＜0时,f(x1)-f(x2)＜0.即f(x1)＜f(x2),此时函数在(-1,1)上为增函数.方法二(导数法)：当a ＞0时,f ′(x)<0;当a ＜0时,f ′(x)>0.∴当a ＞0时,f(x)在(-1,1)上为减函数;当a ＜0时,f(x)在(-1,1)上为增函数.【互动探究】若将本题(1)中的函数改为 试求函数f(x)的单调递减区间.【解析】函数f(x)的定义域为(-1,+∞),令t=x+1,因为 在t ∈(0,+∞)上是减函数,t=x+1在x ∈(-1,+∞)上为增函数,所以函数 的单调递减区间为(-1,+∞). 【典例2】(1)设函数g(x)=x2-2(x ∈R), 则f(x)的值域是( ) (A)［ ］∪(1,+∞) (B)［0,+∞) (C)［ ) (D)［ ］∪(2,+∞) 【变式训练】用定义法判断函数.【解析】由x2-1≥0得x ≥1或x≤-1,即函数的定义域为(-∞,-1］∪［1,+∞).设x1＜x2,则∵x1-x2＜0,∴当x1,x2∈(-∞,-1］时,x1+x2＜0,则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)＞f(x2),故函数在(-∞,-1］上是减函数.当x1,x2∈［1,+∞)时,x1+x2＞0,则f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)＜f(x2),故函数在［1,+∞)上是增函数.【小结】求函数最值的五种常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. ()()()()()2222222a x 12ax a x 1f x x 1x 1---+'==--()()12f x log x 1,=+12y log t =()12f x log (x 1)=+()()()()()g x x 4,x g x ,f x g x x,x g x ,⎧++⎪=⎨-≥⎪⎩＜9,04-9,4+∞9,04-y =()()12f x f x -=22x x x x -+==0,+>(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．【提醒】在求函数的值域时,应先确定函数的定义域. 【变式训练】(1)函数 在区间［a,b ］上的最大值是1,最小值是31 ， 则a+b=________.【解析】易知f(x)在［a,b ］上为减函数,答案：6【典例3】(1)(2014·某某模拟)若函数f(x)为R 上的增函数,且f(ax+1)≤f(x-2)对任意x∈[21 ,2]都成立,则实数a 的取值X 围是. (2)已知 满足对任意x1≠x2,都有 成立，那么a 的取值X 围是______.【思路点拨】(1)根据单调性转化不等式求解,注意定义域.(2)寻找f(x)是增函数满足的条件,列不等式组求解.【规X 解答】(1)因为f(x)为R 上的增函数,所以由f(ax+1)≤f(x-2)得ax+1≤x-2,即a ≤1-x 3 在[ 21 ,2]上恒成立, 令g(x)=1- x 3 ,则由于g(x)在[ 21 ,2]上为增函数, 所以g(x)min=g( 21 )=1- =-5, 所以a ≤-5,即a ∈(-∞,-5].答案:(-∞,-5] 2)∵对任意x1≠x2,都有 成立,∴函数f(x)是R 上的增函数.答案：【小结】 ()1f x x 1=-()()1f a 1,1,a 1111f b ,.3b 13⎧⎧==⎪⎪⎪-∴⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪-⎩即a 2,a b 6.b 4,=⎧∴∴+=⎨=⎩()()x 2a x 1x 1f x a x 1⎧-+⎪=⎨≥⎪⎩，＜，，，()()1212f x f x 0x x --＞312()()1212f x f x 0x x --＞()12a 0,a 1,a 2a 11,⎧∴-⎪⎨⎪≥-⨯+⎩＞＞3a 2.2∴≤＜“f ”不等式的解法根据函数的单调性，解含有“f ”的不等式时，要根据函数的性质，转化为如“f(g(x))>f(h(x))”的形式，再利用单调性，转化为具体不等式求解，但要注意函数的定义域比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解.对于分段函数的单调性,不仅要注意每一段上的单调性,还应注意端点处函数值的大小关系.【变式训练】已知函数 若f(2-a2)>f(a)，则实数a 的取值X 围是( ) (A)(-∞,-1)∪(2,+∞) (B)(-1,2)(C)(-2,1) (D)(-∞,-2)∪(1,+∞)【解析】选由f(x)的图象可知f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数，由f(2-a2)>f(a)得2-a2>a,即a2+a-2<0,解得-2<a<1.三．课堂练习与作业思考辨析，考点自测，知能巩固()22x 4x,x 0,f x 4x x ,x 0,⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩()()()2222x 4x x 24,x 0,C.f x 4x x x 24,x 0,⎧+=+-≥⎪=⎨-=--+<⎪⎩。
高三数学一轮 2.2 函数的单调性与最值导学案 理 北师大版
学案5 函数的单调性与最值导学目标： 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会用定义判断函数的单调性，会求函数的单调区间及会用单调性求函数的最值．自主梳理 1．单调性(1)定义：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)(f (x 1)>f (x 2))，那么就说f (x )在区间D 上是______________．(2)单调性的定义的等价形式：设x 1，x 2∈[a ，b ]，那么(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0⇔f x 1 －f x 2x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是________；(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))<0⇔f x 1 －f x 2x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是________．(3)单调区间：如果函数y ＝f (x )在某个区间上是增函数或减函数，那么说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的__________．(4)函数y ＝x ＋a x(a >0)在 (－∞，－a )，(a ，＋∞)上是单调________；在(－a ，0)，(0，a )上是单调______________；函数y ＝x ＋a x(a <0)在______________上单调递增． 2．最值一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M (f (x )≥M )；②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .那么，称M 是函数y ＝f (x )的____________．自我检测1．(2011·杭州模拟)若函数y ＝ax 与y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增 2．设f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a 为实数，则有 ( )A ．f (a )<f (2a )B ．f (a 2)<f (a )C ．f (a 2＋a )<f (a )D ．f (a 2＋1)>f (a ) 3．下列函数在(0,1)上是增函数的是 ( )A ．y ＝1－2xB ．y ＝x －1C ．y ＝－x 2＋2x D ．y ＝54．(2011·合肥月考)设(a ，b )，(c ，d )都是函数f (x )的单调增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是 ( )A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定5．当x ∈[0,5]时，函数f (x )＝3x 2－4x ＋c 的值域为 ( )A ．[c,55＋c ]B ．[－43＋c ，c ]C ．[－43＋c,55＋c ]D ．[c,20＋c ]探究点一 函数单调性的判定及证明例1 设函数f (x )＝x ＋ax ＋b(a >b >0)，求f (x )的单调区间，并说明f (x )在其单调区间上的单调性．变式迁移1 已知f (x )是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有f (x )>0，且f (5)＝1，设F (x )＝f (x )＋1f x ，讨论F (x )的单调性，并证明你的结论．探究点二 函数的单调性与最值例2 (2011·烟台模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．变式迁移2 已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．探究点三 抽象函数的单调性例3 (2011·厦门模拟)已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．变式迁移3 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2.分类讨论及数形结合思想例 (12分)求f (x )＝x 2－2ax －1在区间[0,2]上的最大值和最小值． 【答题模板】解 f (x )＝(x －a )2－1－a 2，对称轴为x ＝a .(1) 当a <0时，由图①可知，f (x )min ＝f (0)＝－1，f (x )max ＝f (2)＝3－4a .[3分](2)当0≤a <1时，由图②可知，f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2，f (x )max ＝f (2)＝3－4a .[6分](3)当1<a ≤2时，由图③可知，f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2，f (x )max ＝f (0)＝－1.[9分](4)当a >2时，由图④可知，f (x )min ＝f (2)＝3－4a ，f (x )max ＝f (0)＝－1. 综上，(1)当a <0时，f (x )min ＝－1，f (x )max ＝3－4a ；(2)当0≤a <1时，f (x )min ＝－1－a 2，f (x )max ＝3－4a ；(3)当1<a ≤2时，f (x )min ＝－1－a 2，f (x )max ＝－1； (4)当a >2时，f (x )min ＝3－4a ，f (x )max ＝－1.[12分] 【突破思维障碍】(1)二次函数的单调区间是由图象的对称轴确定的．故只需确定对称轴与区间的关系．由于对称轴是x ＝a ，而a 的取值不定，从而导致了分类讨论．(2)不是应该分a <0,0≤a ≤2，a >2三种情况讨论吗？为什么成了四种情况？这是由于抛物线的对称轴在区间[0,2]所对应的区域时，最小值是在顶点处取得，但最大值却有可能是f (0)，也有可能是f (2)．1．函数的单调性的判定与单调区间的确定常用方法有：(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)单调性的运算性质．2．若函数f (x )，g (x )在区间D 上具有单调性，则在区间D 上具有以下性质： (1)f (x )与f (x )＋C 具有相同的单调性．(2)f (x )与af (x )，当a >0时，具有相同的单调性，当a <0时，具有相反的单调性．(3)当f (x )恒不等于零时，f (x )与1f x具有相反的单调性．(4)当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，则f (x )＋g (x )是增(减)函数．(5)当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，则f (x )·g (x )当两者都恒大于零时，是增(减)函数；当两者都恒小于零时，是减(增)函数．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011·泉州模拟)“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．(2009·天津)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ， x ≥0，4x －x 2， x <0，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)3．(2009·宁夏，海南)用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为 ( )A ．4B ．5C ．6D ．74．(2011·丹东月考)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]5．(2011·葫芦岛模拟)已知定义在R 上的增函数f (x )，满足f (－x )＋f (x )＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值 ( )A ．一定大于0B ．一定小于06．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．7．设f (x )是增函数，则下列结论一定正确的是________(填序号)．①y ＝[f (x )]2是增函数；②y ＝1f x是减函数；③y ＝－f (x )是减函数； ④y ＝|f (x )|是增函数．8．设0<x <1，则函数y ＝1x ＋11－x的最小值是________．三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·湖州模拟)已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．10．(12分)已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．11．(14分)(2011·鞍山模拟)已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时，有f a ＋f ba ＋b>0成立．(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明它；(2)解不等式：f (x ＋12)<f (1x －1)；(3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．答案 自主梳理1．(1)增函数(减函数) (2)增函数 减函数 (3)单调区间 (4)递增 递减 (－∞，0)，(0，＋∞) 2.最大(小)值自我检测 1．B [由已知得a <0，b <0.所以二次函数对称轴为直线x ＝－b2a<0，且图象开口向下．]2．D [∵a 2＋1>a ，f (x )在R 上单调递增，∴f (a 2＋1)>f (a )．]3．C [常数函数不具有单调性．]4．D [在本题中，x 1，x 2不在同一单调区间内，故无法比较f (x 1)与f (x 2)的大小．]5．C [∵f (x )＝3(x －23)2－43＋c ，x ∈[0,5]，∴当x ＝23时，f (x )min ＝－43＋c ；当x ＝5时，f (x )max ＝55＋c .]课堂活动区例1 解题导引 对于给出具体解析式的函数，判断或证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义(基本步骤为：取点，作差或作商，变形，判断)来求解．可导函数则可以利用导数求解．有些函数可以转化为两个或多个基本初等函数，利用其单调性可以方便求解．解 在定义域内任取x 1，x 2，且使x 1<x 2， 则Δx ＝x 2－x 1>0，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋a x 2＋b －x 1＋ax 1＋b＝x 2＋a x 1＋b － x 2＋b x 1＋ax 1＋b x 2＋b＝ b －a x 2－x 1 x 1＋b x 2＋b. ∵a >b >0，∴b －a <0，∴(b －a )(x 2－x 1)<0， 又∵x ∈(－∞，－b )∪(－b ，＋∞)，∴只有当x 1<x 2<－b ，或－b <x 1<x 2时，函数才单调．当x 1<x 2<－b ，或－b <x 1<x 2时，f (x 2)－f (x 1)<0，即Δy <0.∴y ＝f (x )在(－∞，－b )上是单调减函数，在(－b ，＋∞)上也是单调减函数．变式迁移1 解 在R 上任取x 1、x 2，设x 1<x 2，∴f (x 2)>f (x 1)，F (x 2)－F (x 1)＝[f (x 2)＋1f x 2 ]－[f (x 1)＋1f x 1 ]＝[f (x 2)－f (x 1)][1－1f x 1 f x 2 ]， ∵f (x )是R 上的增函数，且f (5)＝1，∴当x <5时，0<f (x )<1，而当x >5时f (x )>1； ①若x 1<x 2<5，则0<f (x 1)<f (x 2)<1，∴0<f (x 1)f (x 2)<1，∴1－1f x 1 f x 2<0，∴F (x 2)<F (x 1)；②若x 2>x 1>5，则f (x 2)>f (x 1)>1，∴f (x 1)·f (x 2)>1，∴1－1f x 1 f x 2>0，∴F (x 2)>F (x 1)．综上，F (x )在(－∞，5)为减函数，在(5，＋∞)为增函数．例2 解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x＋2，设x 1，x 2∈[1，＋∞)且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋12x 1－x 2－12x 2＝(x 1－x 2)(1－12x 1x 2)∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，又∵1<x 1<x 2，∴1－12x 1x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2) ∴f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数，∴f (x )在区间[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72.(2)方法一 在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋a x>0恒成立，等价于x 2＋2x ＋a >0恒成立．设y ＝x 2＋2x ＋a ，x ∈[1，＋∞)， y ＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1递增， ∴当x ＝1时，y min ＝3＋a ，于是当且仅当y min ＝3＋a >0时，函数f (x )恒成立， 故a >－3.方法二 f (x )＝x ＋a x＋2，x ∈[1，＋∞)，当a ≥0时，函数f (x )的值恒为正，满足题意，当a <0时，函数f (x )递增；当x ＝1时，f (x )min ＝3＋a ，于是当且仅当f (x )min ＝3＋a >0时，函数f (x )>0恒成立， 故a >－3.方法三 在区间[1，＋∞)上f (x )＝x 2＋2x ＋a x>0恒成立等价于x 2＋2x ＋a >0恒成立．即a >－x 2－2x 恒成立．又∵x ∈[1，＋∞)，a >－x 2－2x 恒成立，∴a 应大于函数u ＝－x 2－2x ，x ∈[1，＋∞)的最大值．∴a >－x 2－2x ＝－(x ＋1)2＋1.当x ＝1时，u 取得最大值－3，∴a >－3. 变式迁移2 解 设1<x 1<x 2.∵函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数，∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a 2－(x 2－a x 2＋a2)＝(x 1－x 2)(1＋ax 1x 2)<0.又∵x 1－x 2<0，∴1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2恒成立．∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1，－x 1x 2<－1.∴a ≥－1，∴a 的取值范围是[－1，＋∞)．例3 解题导引 (1)对于抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值说明抽象函数的特点．证明f (x )为单调减函数，首选方法是用单调性的定义来证．(2)用函数的单调性求最值．(1)证明 设x 1>x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2) ＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2) ＝f (x 1－x 2)又∵x >0时，f (x )<0.而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在R 上为减函数． (2)解 ∵f (x )在R 上是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上也是减函数，∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)． 又∵f (3)＝f (2＋1)＝f (2)＋f (1)＝f (1)＋f (1)＋f (1) ∴f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2.∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2. 变式迁移3 解 (1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1， 由于当x >1时，f (x )<0，∴f (x 1x 2)<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)， ∴函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)由f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)得f (93)＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2.由于函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数， ∴当x >0时，由f (|x |)<－2，得f (x )<f (9)，∴x >9； 当x <0时，由f (|x |)<－2，得f (－x )<f (9)， ∴－x >9，故x <－9，∴不等式的解集为{x |x >9或x <－9}． 课后练习区1．A [f (x )对称轴x ＝a ，当a ≤1时f (x )在[1，＋∞)上单调递增．∴“a ＝1”为f (x )在[1，＋∞)上递增的充分不必要条件．]2．C [由题知f (x )在R 上是增函数，由题得2－a 2>a ，解得－2<a <1.] 3．C [由题意知函数f (x )是三个函数y 1＝2x，y 2＝x ＋2，y 3＝10－x 中的较小者，作出三个函数在同一坐标系之下的图象(如图中实线部分为f (x )的图象)可知A (4,6)为函数f (x )图象的最高点．]4．D [f (x )在[a ，＋∞)上是减函数，对于g (x )，只有当a >0时，它有两个减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f (x )和g (x )的减区间的子集即可，则a 的取值范围是0<a ≤1.]5．A [∵f (－x )＋f (x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )． 又∵x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0， ∴x 1>－x 2，x 2>－x 3，x 3>－x 1. 又∵f (x 1)>f (－x 2)＝－f (x 2)， f (x 2)>f (－x 3)＝－f (x 3)， f (x 3)>f (－x 1)＝－f (x 1)，∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>－f (x 2)－f (x 3)－f (x 1)． ∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0.]6．[0，32]解析 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－ x －3 x x ≥0x －3 x x <0 .画图象如图所示：可知递增区间为[0，32]．7．③解析 举例：设f (x )＝x ，易知①②④均不正确． 8．4解析 y ＝1x ＋11－x ＝1x 1－x ，当0<x <1时，x (1－x )＝－(x －12)2＋14≤14.∴y ≥4.9．(1)证明 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x，设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0.f (x 1)－f (x 2)＝(a －1x 1)－(a －1x 2)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2<0.………………………………………………………………………(5分)∴f (x 1)<f (x 2)，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．……………………………………………………………………………………………(6分)(2)解 由题意a －1x<2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h (x )＝2x ＋1x，则a <h (x )在(1，＋∞)上恒成立．……………………………………………………………………………………………(8分)∵h ′(x )＝2－1x 2，x ∈(1，＋∞)，∴2－1x2>0，∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增．…………………………………………………………(10分)故a ≤h (1)，即a ≤3.∴a 的取值范围为(－∞，3]．…………………………………………………………(12分)10．解 设f (x )的最小值为g (a )，则只需g (a )≥0， 由题意知，f (x )的对称轴为－a2.(1)当－a2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，得a ≤73.又a >4，故此时的a 不存在．……………………………………………………………(4分)(2)当－a2∈[－2,2]，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f (－a 2)＝3－a －a 24≥0得－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2.……………………………………………………………(8分)(3)当－a2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0得a ≥－7. 又a <－4，故－7≤a <－4.综上得所求a 的取值范围是－7≤a ≤2.………………………………………………(12分)11．解 (1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2， 则－x 2∈[－1,1]，∵f (x )为奇函数， ∴f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2) ＝f x 1 ＋f －x 2 x 1＋ －x 2·(x 1－x 2)，由已知得f x 1 ＋f －x 2x 1＋ －x 2>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在[－1,1]上单调递增．……………………………………………………………(4分)(2)∵f (x )在[－1,1]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12<1x －1，－1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1<1.……………………………… 8分∴－32≤x <－1.……………………………………………………………………………(9分)(3)∵f (1)＝1，f (x )在[－1,1]上单调递增． ∴在[－1,1]上，f (x )≤1.…………………………………………………………………(10分)问题转化为m 2－2am ＋1≥1，即m 2－2am ≥0，对a ∈[－1,1]成立． 下面来求m 的取值范围．设g (a )＝－2m ·a ＋m 2≥0.①若m ＝0，则g (a )＝0≥0，自然对a ∈[－1,1]恒成立． ②若m ≠0，则g (a )为a 的一次函数，若g (a )≥0，对a ∈[－1,1]恒成立，必须g (－1)≥0，且g (1)≥0，∴m ≤－2，或m ≥2.∴m 的取值范围是m ＝0或|m |≥2.……………………………………………………(14分)。
高三数学一轮复习优质教案7：2.2 函数的单调性与最值教学设计
2.2 函数的单调性与最值一、基础知识要打牢『知识能否忆起』一、函数的单调性 1．单调函数的定义 增函数减函数定义 设函数f (x )的定义域为I .如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2 当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2) ，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象逐渐上升自左向右看图象逐渐下降2．单调区间的定义若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．二、函数的最值 前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件 ①对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M①对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论 M 为最大值M 为最小值『小题能否全取』1．(2012·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3 C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |2．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) A ．k >12B ．k <12C ．k >－12D ．k <－123．(教材习题改编)函数f (x )＝11－x 1－x的最大值是( )A.45B.54C.34D.434．(教材习题改编)f (x )＝x 2－2x (x ∈『－2,4』)的单调增区间为________；f (x )max ＝________.5．已知函数f (x )为R 上的减函数，若m <n ，则f (m )______f (n )；若f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，则实数x 的取值范围是______．1.函数的单调性是局部性质从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．2．函数的单调区间的求法函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．『注意』 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．二、高频考点通关考点一函数单调性的判断典题导入『例1』 证明函数f (x )＝2x －1x在(－∞，0)上是增函数．『自主解答』 设x 1，x 2是区间(－∞，0)上的任意两个自变量的值，且x 1<x 2. 则f (x 1)＝2x 1－1x 1，f (x 2)＝2x 2－1x 2，f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫2x 1－1x 1－⎝⎛⎭⎫2x 2－1x 2＝2(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫1x 2－1x 1＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫2＋1x 1x 2由于x 1<x 2<0，所以x 1－x 2<0,2＋1x 1x 2>0，因此f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在(－∞，0)上是增函数．由题悟法对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法： (1)结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)证明；(2)可导函数则可以利用导数证明．对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行．以题试法1．判断函数g (x )＝－2x x －1在 (1，＋∞)上的单调性．『答案』任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2， 则g (x 1)－g (x 2)＝－2x 1x 1－1－－2x 2x 2－1＝2x 1－x 2x 1－1x 2－1，由于1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0， 因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)． 故g (x )在(1，＋∞)上是增函数．考点二求函数的单调区间典题导入『例2』 (2012·长沙模拟)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x，f x ≤k ，k ，f x ＞k ，取函数f (x )＝2－|x |.当k ＝12时，函数f k (x )的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)『自主解答』 由f (x )>12，得－1<x <1.由f (x )≤12，得x ≤－1或x ≥1.所以f 12(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥1，12，－1＜x ＜1，2x，x ≤－1.故f 12(x )的单调递增区间为(－∞，－1)．『答案』 C一题多变 若本例中f (x )＝2－|x |变为f (x )＝log 2|x |，其他条件不变，则f k (x )的单调增区间为________．『解析』函数f (x )＝log 2|x |，k ＝12时，函数f k (x )的图象如图所示，由图示可得函数f k (x )的单调递增区间为(0， 2 』．『答案』(0， 2 』由题悟法求函数的单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间．以题试法2．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．『1,2』 B ．『－1,0』 C ．『0,2』D ．『2，＋∞)『解析』选A 由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象可知函数的单调减区间是『1,2』．考点三单调性的应用典题导入『例3』 (1)若f (x )为R 上的增函数，则满足f (2－m )<f (m 2)的实数m 的取值范围是________．(2)(2012·安徽高考)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是『3，＋∞)，则a ＝________. 『自主解答』 (1)∵f (x )在R 上为增函数，∴2－m <m 2. ∴m 2＋m －2>0.∴m >1或m <－2.(2)由f (x )＝⎩⎨⎧－2x －a ，x <－a2，2x ＋a ，x ≥－a2，可得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫－a2，＋∞，故3＝－a2，解得a ＝－6. 『答案』 (1)(－∞，－2)∪(1，＋∞) (2)－6由题悟法单调性的应用主要涉及利用单调性求最值，进行大小比较，解抽象函数不等式，解题时要注意：一是函数定义域的限制；二是函数单调性的判定；三是等价转化思想与数形结合思想的运用．以题试法3．(1)(2013·孝感调研)函数f (x )＝1x －1在『2,3』上的最小值为________，最大值为________． (2)已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)，若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝__________. 『解析』(1)∵f ′(x )＝－1x －12<0，∴f (x )在『2,3』上为减函数，∴f (x )min ＝f (3)＝13－1＝12，f (x )max ＝12－1＝1. (2)由反比例函数的性质知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上单调递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f 2＝2，即⎩⎨⎧1a －2＝12，1a －12＝2，解得a ＝25.『答案』(1)12 1 (2)25三、解题训练要高效A 、全员必做题1．(2012·广东高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝x ＋1x2．若函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在『－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2』上递减，则f (1)＝( ) A ．－7 B ．1 C ．17D ．253．(2013·佛山月考)若函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增4．“函数f (x )在『a ，b 』上为单调函数”是“函数f (x )在『a ，b 』上有最大值和最小值”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．(2012·青岛模拟)已知奇函数f (x )对任意的正实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，恒有(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0，则一定正确的是( )A ．f (4)>f (－6)B ．f (－4)<f (－6)C ．f (－4)>f (－6)D ．f (4)<f (－6)6．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x <0时，f (x )>0，则函数f (x )在『a ，b 』上有( )A ．最小值f (a )B ．最大值f (b )C ．最小值f (b )D ．最大值f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 27．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．8．(2012·台州模拟)若函数y ＝|2x －1|，在(－∞，m 』上单调递减，则m 的取值范围是________．9．若f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．10．求下列函数的单调区间： (1)y ＝－x 2＋2|x |＋1；(2)y ＝a 1－2x －x 2(a >0且a ≠1)． 11．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．12．(2011·上海高考)已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中常数a ，b 满足ab ≠0. (1)若ab >0，判断函数f (x )的单调性； (2)若ab <0，求f (x ＋1)>f (x )时x 的取值范围．B 、重点选做题1．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12 B ．f ⎝⎛⎭⎫12<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫13 C ．f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)D ．f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫132．(2012·黄冈模拟)已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则mM 的值为( )A.14B.12C.22D.323．函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对一切x >0，y >0都有f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )，当x >1时，有f (x )>0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性并加以证明； (3)若f (4)＝2，求f (x )在『1,16』上的值域．教师备选题1．求函数f (x )＝x 2＋x －6的单调区间．2．定义在R 上的函数f (x )满足：对任意实数m ，n ，总有f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，且当x >0时，0<f (x )<1.(1)试求f (0)的值；(2)判断f (x )的单调性并证明你的结论；(3)设A ＝{(x ，y )|f (x 2)·f (y 2)>f (1)}，B ＝{(x ，y )|f (ax －y ＋2)＝1，a ∈R}，若A ∩B ＝∅，试确定a 的取值范围．答案『小题能否全取』1．『解析』选D 由函数的奇偶性排除A ，由函数的单调性排除B 、C ，由y ＝x |x |的图象可知此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选D.2．『解析』选D 函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 是减函数，则2k ＋1<0，即k <－12.3．『解析』选D ∵1－x (1－x )＝x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34，∴0<11－x 1－x ≤43. 4．『解析』函数f (x )的对称轴x ＝1，单调增区间为『1,4』，f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8. 『答案』『1,4』 85．『解析』由题意知f (m )>f (n )；⎪⎪⎪⎪1x >1，即|x |<1，且x ≠0.故－1<x <1且x ≠0. 『答案』> (－1,0)∪(0,1) 三、解题训练要高效A 、全员必做题1．『解析』选A 选项A 的函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．『解析』选D 依题意，知函数图象的对称轴为x ＝－－m 8＝m8＝－2，即 m ＝－16，从而f (x )＝4x 2＋16x ＋5，f (1)＝4＋16＋5＝25.3．『解析』选B ∵y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，∴a <0，b <0，∴y ＝ax 2＋bx 的对称轴方程x ＝－b2a<0，∴y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上为减函数．4．『解析』选A 若函数f (x )在『a ，b 』上为单调递增(减)函数，则在『a ，b 』上一定存在最小(大)值f (a )，最大(小)值f (b )．所以充分性满足；反之，不一定成立，如二次函数f (x )＝x 2－2x ＋3在『0,2』存在最大值和最小值，但该函数在『0,2』不具有单调性，所以必要性不满足，即“函数f (x )在『a ，b 』上单调”是“函数f (x )在『a ，b 』上有最大值和最小值”的充分不必要条件．5．『解析』选C 由(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0知f (x )在(0，＋∞)上递增，所以f (4)<f (6)⇔f (－4)>f (－6)．6．『解析』选C ∵f (x )是定义在R 上的函数，且 f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，∴f (0)＝0，令y ＝－x ，则有f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0.∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )是R 上的奇函数．设x 1<x 2，则x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)>0.∴f (x )在R 上是减函数．∴f (x )在『a ，b 』有最小值f (b )． 7． 『解析』y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ，x >0，x 2－3x ，x ≤0. 作出该函数的图象，观察图象知递增区间为⎣⎡⎦⎤0，32. 『答案』⎣⎡⎦⎤0，32 8．『解析』画出图象易知y ＝|2x －1|的递减区间是(－∞，0』，依题意应有m ≤0. 『答案』(－∞，0』9．『解析』设x 1>x 2>－2，则f (x 1)>f (x 2)， 而f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋1x 1＋2－ax 2＋1x 2＋2＝2ax 1＋x 2－2ax 2－x 1x 1＋2x 2＋2＝x 1－x 22a －1x 1＋2x 2＋2>0，则2a －1>0.得a >12.『答案』⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 10．『答案』(1)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －12＋2，x ≥0，－x ＋12＋2，x <0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1』和『0,1』，单调递减区间为『－1,0』和『1，＋∞)．(2)令g (x )＝1－2x －x 2＝－(x ＋1)2＋2，所以g (x )在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减．当a >1时，函数y ＝a 1－2x －x 2的增区间是(－∞，－1)，减区间是(－1，＋∞)； 当0<a <1时，函数y ＝a 1－2x －x 2的增区间是(－1，＋∞)，减区间是(－∞，－1)． 11．『答案』(1)证明：设x 1<x 2<－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2x 1－x 2x 1＋2x 2＋2.∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)设1<x 1<x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a x 2－x 1x 1－a x 2－a.∵a >0，x 2－x 1>0， ∴要使f (x 1)－f (x 2)>0， 只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立， ∴a ≤1.综上所述，a 的取值范围为(0,1』． 12．『答案』(1)当a >0，b >0时，任意x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝a (2x 1－2x 2)＋b (3x 1－3x 2)．∵2x 1<2x 2，a >0⇒a (2x 1－2x 2)<0， 3x 1<3x 2，b >0⇒b (3x 1－3x 2)<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，函数f (x )在R 上是增函数． 同理，当a <0，b <0时，函数f (x )在R 上是减函数． (2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x >0，当a <0，b >0时，⎝⎛⎭⎫32x >－a 2b， 则x >log 1.5⎝⎛⎭⎫－a 2b ； 同理，当a >0，b <0时，⎝⎛⎭⎫32x <－a 2b ， 则x <log 1.5⎝⎛⎭⎫－a 2b . B 、重点选做题1．『解析』选C 由f (2－x )＝f (x )可知，f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x ≥1时，f (x )＝ln x ，可知当x ≥1时f (x )为增函数，所以当x <1时f (x )为减函数，因为⎪⎪⎪⎪12－1<⎪⎪⎪⎪13－1<|2－1|，所以f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)．2． 『解析』选C 显然函数的定义域是『－3,1』且y ≥0，故y 2＝4＋21－x x ＋3＝4＋2－x 2－2x ＋3＝4＋2－x ＋12＋4，根据根式内的二次函数，可得4≤y 2≤8，故2≤y ≤22，即m ＝2，M ＝22，所以m M ＝22. 3．『答案』(1)∵当x >0，y >0时，f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )，∴令x ＝y >0，则f (1)＝f (x )－f (x )＝0.(2)设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1， ∵x 2>x 1>0.∴x 2x 1>1，∴f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1>0. ∴f (x 2)>f (x 1)，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(3)由(2)知f (x )在『1,16』上是增函数．∴f (x )min ＝f (1)＝0，f (x )max ＝f (16)，∵f (4)＝2，由f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )，知f ⎝⎛⎭⎫164＝f (16)－f (4)，∴f (16)＝2f (4)＝4，∴f (x )在『1,16』上的值域为『0,4』．教师备选题1．『答案』设u＝x2＋x－6，y＝u.由x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.结合二次函数的图象可知，函数u＝x2＋x－6在(－∞，－3』上是递减的，在『2，＋∞)上是递增的．又∵函数y＝u是递增的，∴函数f(x)＝x2＋x－6在(－∞，－3』上是递减的，在『2，＋∞)上是递增的．2．『答案』(1)在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，令m＝1，n＝0，得f(1)＝f(1)·f(0)．因为f(1)≠0，所以f(0)＝1.(2)任取x1，x2∈R，且x1<x2.在已知条件f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，若取m＋n＝x2，m＝x1，则已知条件可化为：f(x2)＝f(x1)·f(x2－x1)．由于x2－x1>0，所以0<f(x2－x1)<1.为比较f(x2)，f(x1)的大小，只需考虑f(x1)的正负即可．在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，令m＝x，n＝－x，则得f(x)·f(－x)＝1.因为当x>0时，0<f(x)<1，所以当x<0时，f(x)＝1f－x>1>0.又f(0)＝1，所以综上可知，对于任意的x1∈R，均有f(x1)>0.所以f(x2)－f(x1)＝f(x1)『f(x2－x1)－1』<0.所以函数f(x)在R上单调递减．(3)f(x2)·f(y2)>f(1)，即x2＋y2<1.f(ax－y＋2)＝1＝f(0)，即ax－y＋2＝0.由A∩B＝∅，得直线ax－y＋2＝0与圆面x2＋y2<1无公共点，所以2a2＋1≥1，解得－1≤a≤1.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.2 函数的单调性与最值
一、内容及其解析
（一）内容：函数的单调性与最值。
（二）『解析』本节课要学的内容有函数的单调性与最值的应用指的是利用函数的单调性的定义及其几何意义，能够判断或证明一个函数指定区间上的单调性及如何求出函数的单调区间。
同时能将定义逆运用，通过知道函数的指定区间的单调性求未知条件。
由于它还与函数的最值有必要的联系,并且我们已经初步学习了函数的最值，所以本节课还将单调性与最值进行综合应用，即利用函数的单调性求最值。
教学的重点是利用判断函数区间上单调性从而求出函数在该区间上的最值问题。
二、目标及其解析
（一）教学目标
1．继续掌握函数的单调性及最值。
2. 能够利用函数的单调性及最值进行综合运用。
（二）解析
1. 继续理解函数的单调性及最值就是指能够熟练掌握函数的单调性及最值借助图象、表格、自然语言和数学符号语言，建立增（减）函数及最值的概念，同时理解函数单调性与最值的联系；
2. 能够利用函数的单调性及最值进行综合运用就是指能利用函数的单调性的概念求单调区间，或证明确定区间上的单调性进而求出函数在该区间上的最值。
三、问题诊断分析
在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是如何用定义证明函数的单调性，证明过程中如何将定义中的文字语言转化成数学语言。
产生这一问题的原因是：单调性本身就是函数的一个重要的性质。
要解决这一问题，就要在练习的过程中强化学生的这种思想，其中关键是加强练习，单调性掌握了，最值问题就迎刃而解了。
四、教学过程设计
问题1：利用定义判断或者是证明函数的单调性。
1．1 判断函数f(x)=x+5在区间（-∞，+∞）上的单调性.
1．2 证明函数x
x x f 1)(+=在（0,1）上是减函数。
设计意图：通过这些问题，让学生理解利用定义判断或证明函数的单调性的四个步骤（取值、作差变形、定号、下结论）。
『题例』：
例1、证明函数3()f x x x =+在R 上是增函数。
例2、证明函数()f x x =-在定义域上是减函数.
问题2：函数1)(2++-=mx x x f 在区间『1,4』上是单调函数，求实数m 的取值范围？ 设计意图：函数单调性的逆运用，能够通过知道函数的单调性求未知条件。
问题3：
3.1 已知函数],2,3[,1
2)(--∈+=x x x x f 求函数的最大值和最小值。
设计意图：先证明函数在区间上的单调性，再利用函数的单调性求区间上的最值。
五．课堂目标检测
六．小结
1、利用定义证明函数的单调性：
①任取12,x x D ∈，且12x x <；
②作差12()()f x f x -；
③变形（通常是因式分解，通分、配方、分子有理化）。
④定号（即判断差12()()f x f x -的正负）
⑤下结论
2，利用函数的单调性求最值
①在给定区间上，若函数单调增，则x 最大时函数f (x )取最大值，x 最小时函数f (x )取最小值。
②在给定区间上，若函数单调减，则x 最大时函数f (x )取最小值，x 最小时函数f (x )取最大值。