《二次函数图像和性质(交点式)》专题

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专题15 二次函数的图象及其性质(课件)

C. s=2t2-2t+1符合二次函数定义；D. y x2 1 不符合二次函数定义． x
故答案为：C．
典型例题
知识点1：二次函数的概念
【例2】（4分）（2019·甘肃庆阳）将二次函数y＝x2－4x＋5化成 y＝a(x－h)2＋k的形式为________．
【答案】 y＝(x－2)2＋1．【分析】将二次函数y＝x2－4x＋5按照配方法化成y＝a(x－h)2＋k的形式即可．【解答】y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1．
知识点2：二次函数的图象和性质
典型例题
【例7】（3分）（2021•山西10/23）抛物线的函数表达式为y=3(x-2)2+1，若将x轴
向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角
坐标系中的函数表达式为（）
A．y=3(x+1)2+3 B．y=3(x-5)2+3
C．y=3(x-5)2-1
知识点梳理
知识点2：二次函数的图象和性质
1. 二次函数的图象：
二次函数的图象是一条关于 x b 对称的曲线，这条曲线叫抛物线．
2a
（顶1点）是二（次函b 数，y＝4aacx2＋b2b）x＋．c当(aa≠>00)的时图，象抛是物抛线物的线开，口抛向物上线，的函对数称有轴最是小直值线；当x a<20ba时，，

中职教育数学《二次函数图像和性质复习》课件 (2)

x
b 2a
时，y随x的增大而减小；
当
x
b 2a
时，y随x的增大而增大。
(6)抛物线 yax2bxc与x轴的交点情况可由对应的一元二次方程ax2bxc0 的根的判别式判定： ① △＞0有两个交点抛物线与x轴相交； ② △＝0有一个交点抛物线与x轴相切； ③ △＜0没有交点抛物线与x轴相离。
二次函数的图象及性质
（a≠0)
（2）顶点式：y=a(x-h)2+k（a≠0)
（3）交点式：y=a(x-x1)(x-x2) （a≠0)
二次函数解析式
二次函数的解析式有两种形式： 1. 一般式： y=ax2+bx+c (a,b,c是常数,a≠0) 2. 顶点式： y=a(x-h)2+k (a,h,k是常数,a≠0)
当已知抛物线上任意三点时，通常解析式设为一般式，列出三元一次方程组求出待定系数。
a>0 在对称轴右侧，y随x的增大而增大
性 a<0 在对称轴左侧，y随x的增大而增大
在对称轴右侧，y随x的增大而减小
y x
y x
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。
(1)a决定抛物线形状及开口方向，若 a 相等，则形状相同。 ①a＞0开口向上； ②a＜0开口向下。
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。

青岛版九年级数学下册《二次函数的图像与性质》PPT课件(3篇)

2
2个单位
y 1 x2 2
向右-1 平移 y 1 (x 2)2
2个-2 单位
2
顶点(－2,0)
向左平移 2个单位
顶点(0,0)
向右-3 平移 2个-4 单位
顶点(2,0)
直线x=－2
向左平移对称轴:y轴向右平移 2个单位即直线: x=0 2个单位
直线x=2
一般地,抛物线y=a(x－h)2有如下特点:
1、若将抛物线y=-2（x-2）2的图象的顶点移到原点，则下列平移方法正确的是（ C ） A、向上平移2个单位 B、向下平移2个单位 C、向左平移2个单位 D、向右平移2个单位
2、抛物线y=4（x-3）2的开口方向向上，对称轴是直线x=3，顶点坐标是（3，0），抛物线是最低点，当x= 3 时，y有最小值，其值为 0 。抛物线与x轴交点坐标（3，0），与y轴交点坐标（0，36）。
后，得到抛物线y=(x-3)2
5、把抛物线y=x2+mx+n向左平移4个单位，得到抛
物线y=(x-1)2,则m= -10 ,n=wk.baidu.com25 .
6.已知二次函数y=8(x -2)2 当 x>2 时，y随x的增大而增大, 当 x<2 时，y随x的增大而减小.
7.抛物线y=3(x-8)2最小值 0 .
8.抛物线y=-3(x+2)2与x轴y轴的交点坐标分别为 (-2,0) (0,-12).

二次函数的交点式

二次函数之交点式
一、回归反馈
• 1.根据二次函数的图象和性质。
二次函数
y ax2 bx c
对称轴
顶点
与坐标轴交点
一般式ห้องสมุดไป่ตู้
与y轴交与点（
）
顶点式
一、回归反馈
• 2.用十字相乘法分解因式： 2 2 x 2 x 3 x ① ② 4x 3 ③
2 x 2 8x 6
• 3.若一元二次方程有两实数根，则抛物线与 X轴交点坐标是 .
二、探索归纳
1.根据如下因式分解的结果，改写下列二次函数： 2 2 2 2 x 8x 6 x 2 x 3 x 4 x 3 ① ② ③
解原式=（x-3）*（x+1）解原式 =（x+3）*（x+1）解原式 =（x+3）*（x+1）
2.求出上述抛物线与X轴的交点坐标： 2 2 2 y 2 x 8x 6 y x 4 x 3 ① y x 2x 3 ② ③
坐标（
）
坐标（
）
坐标（
）
二、探索归纳
• 3.归纳： 0）， 0 • ⑴二次函数与X轴交点坐标是（ x1，），（ x2，则该函数还可以表示为的形式； • ⑵反之若二次函数是 y ax x x x 的形式，则该抛物线与 x轴的交点坐标是，故我们把这种形式的二次函数关系式称为式. • ⑶二次函数的图象与 x轴有2个交点的前提条件是，因此这也是式存在的前提条件.

中考数学一轮复习课件二次函数的图象和性质2

13.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A（0，2），且抛物线上任意不同两点 M （ x1 ， y1 ）， N （ x2 ， y2 ）都满足：当 x1 ＜ x2 ＜ 0 时，（x1－x2）（y1－y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1－x2）（y1－y2）＜0.以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且B在C的左侧，△ABC有一个内角为60°. 求抛物线的解析式.
（3）解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解
析式.
已知条件
常设表达式
抛物线上任意三点一般式：y＝ax2＋bx＋c
与x轴的两个交点A （x1，0），B（x2， 0）＋任意一点
交点式：y＝a（x－x1）（x－x2）
已知条件
常设表达式
与x轴的一个交点＋对称轴＋任意一点顶点C（h，k）＋任意一点
（2）平移的规律：
平移前的解析式移动方向平移后的解析式
向左平移m个单位
y＝a（x－h）2＋k 向右平移m个单位
y＝a（x－h＋ m）2＋k
y＝a（x－h－ m）2＋k
规律左加 ⁠ 右减
平移前的解析式移动方向平移后的解析式
向上平移m个 y＝a（x－h）2＋
单位
k＋m
y＝a（x－h）2＋k
7.已知二次函数y＝（x＋m－3）（x－m）＋3，点A（x1，y1）， B（x2，y2）（x1＜x2）是其图象上两点（ B ） A.若x1＋x2＞3，则y1＞y2 B.若x1＋x2＜3，则y1＞y2 C.若x1＋x2＞－3，则y1＞y2 D.若x1＋x2＜－3，则y1＜y2

2021年中考数学第十二讲二次函数的图像和性质(33PPT)

2
(或向左)平移m个单位,得到抛物线C1,顶点为D1,C与C1相交于点Q,若∠DQD1=60°,
则m等于( A )
A.±4 3 C.-2或2 3
B.±2 3 D.-4或4 3
2.(2020·玉林中考)把二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象作关于x轴的对称变换,
所得图象的解析式为y=-a(x-1)2+4a,若(m-1)a+b+c≤0,则m的最大值是( D )
正确的是
(C)
A.向左平移2个单位,向下平移2个单位
B.向左平移1个单位,向上平移2个单位
C.向右平移1个单位,向下平移1个单位
D.向右平移2个单位,向上平移1个单位
3.(2020·临沂中考)已知抛物线y=ax2-2ax-3+2a2(a≠0). (1)求这条抛物线的对称轴; (2)若该抛物线的顶点在x轴上,求其解析式; (3)设点P(m,y1),Q(3,y2)在抛物线上,若y1<y2,求m的取值范围.
A.-4
B.0
C.2
D.6
3.(2020·南京中考)下列关于二次函数y=-(x-m)2+m2+1(m为常数)的结论:①该函数的图象与函数y=-x2的图象形状相同;②该函数的图象一定经过点(0,1); ③当x>0时,y随x的增大而减小;④该函数的图象的顶点在函数y=x2+1的图象上. 其中所有正确结论的序号是___①__②__④____.

【初升高数学衔接教材】第7讲二次函数的图象和性质(解析版)

【第7讲】二次函数的图象和性质

编写：廖云波初审：谭光垠终审：谭光垠廖云波

【基础知识回顾】

知识点1 二次函数的图象与解析式二次函数可以表示成以下两种形式：

1．一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；

2．顶点式：y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，其中顶点坐标是(－h ，k )．

3．交点式：y ＝a (x －x 1) (x －x 2) (a ≠0)，其中x 1，x 2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标．今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．

知识点2 二次函数的最值

二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：

当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值；

当0a <时，函数在2b

x a =-处取得最大值244ac b a

-，无最小值．

今后解决二次函数问题时，要善于借助函数图象，利用数形结合的思想方法解决问题．

【合作探究】

探究一求二次函数解析式

【例1-1】已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．

【解析】∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∵顶点的纵坐标为2．

又顶点在直线y ＝x ＋1上，所以，2＝x ＋1，∵x ＝1．∵顶点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为2(2)1(0)y a x a =-+<，

二次函数的图像与性质专题练习

二次函数的图像与性质

一、二次函数概念：

1．二次函数的概念：一般地，形如2

y ax bx c

=++（a b c

，，是常数，0

a≠）的函数，叫做二次函数。

【说明】这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0

a≠，而b c

，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．

2. 二次函数2

=++的结构特征：

y ax bx c

⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．

⑵a b c

，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．

二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：2

=的性质：

y ax

a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2

y ax c

=+的性质：

上加下减。

3. ()2

y a x h =-的性质：

左加右减。 4. ()2

y a x h k =-+的性质： 5. 二次函数2y ax bx c =++的性质

1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b

x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭

，．

当2b x a <-

时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b

x a

=-时，y 有最小值2

44ac b a

-．

2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b

x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭

，．当

2b x a <-

时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b

x a

=-时，y 有最大值2

44ac b a -．

九年级数学第二十二章第1节《二次函数的图象和性质》解答题专题 (11)含解析

第二十二章第1节《二次函数的图象和性质》解答题专题 (11)

1．有这样一道题：“已知二次函数y=ax 2+bx+c 图象过P(1，－4)，且有c=－3a ，……求证这个二次函数的图象必过定点A(－1，0).”题中“……”部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字. (1)你能根据题中信息求这个二次函数表达式吗？若能，请求出；若不能，请说明理由. (2)请你根据已有信息，在原题“……”处添上一个适当的条件，把原题补充完整 2．函数2

(-1)1y x m x =-+的图象的对称轴为直线1x =. （1）求m 的值；

（2）将函数2

(-1)1y x m x =-+的图象向右平移2个单位得到新的函数图象G ．

①直接写出函数图象G 的表达式；

②设直线()-22t t m y x =+>与x 轴交于点A 与y 轴交于点B,当线段AB 与图象G 只有一个公共点时直接写出t 的取值范围.

3．（1）若抛物线2

3y x x a =++与x 轴只有一个交点，求实数a 的值；（2）已知点()3,0在抛物线()2

33y x

k x k =-++-上，求此抛物线的对称轴．

4．已知抛物线24y ax bx =+-经过点(1,0),(4,0)A B -，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线上一点，且在第四象限内，连接AC BC CD BD 、、、．（1）求抛物线的函数解析式，并写出对称轴；（2）当4BCD AOC S S ∆∆=时，求点D 的坐标；

（3）在（2）的条件下，如果点E 是x 轴上一点，点F 是抛物线上一点，当以点

二次函数的图像和性质(共48张PPT)

1、二次函数的图像和性质
函数
二次函数 y＝ax2＋bx＋c
(a，b，c 为常数，a≠0)
a<0
a>0
图象
13
开口对称轴、顶点
抛物线开口向抛物线开口向
上，并向上无限下，并向下无限
延伸
延伸
对称轴是x＝－
b 2a
，顶点坐标是
－2ba，4ac4－a b2
14
增减性
在对称轴的左侧，在对称轴的左侧，即
A．
B．
C．
D．
26
解析
A、对于直线 y=ax+b 来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线 y=ax2﹣bx 来说，对称轴 x= ＞0，应在 y 轴的右侧，故不合题意，图形错误；
B、对于直线 y=ax+b 来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线 y=ax2﹣bx 来说，对称轴 x= ＜0，应在 y 轴的左侧，故不合题意，图形错误；
21
典型例题
1、二次函数图像
例1．二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，那么一次函数 y=ax+b 的图象大致是
A．
B．
C．
D．
22
解析
∵y=ax2+bx+c 的图象的开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴在 y 轴的左侧， ∴b＞0， ∴一次函数 y=ax+b 的图象经过一，二，三象限．故选 A．

二次函数图像与性质总结(含答案)

二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：

2. 2y ax c =+的性质：上加下减。

3. ()2

y a x h =-的性质：

左加右减。

4. ()2

y a x h k =-+的性质：

二、二次函数图象的平移

1. 平移步骤：

方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2

y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，

处，具体平移方法如下：

【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：

⑴c bx ax y ++=2

沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2

变成

m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）

⑵c bx ax y ++=2

沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2

变成

c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）

三、二次函数()2

y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较

从解析式上看，()2

y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2

2424b ac b y a x a a -⎛

初三数学复习《二次函数》(专题复习)PPT课件

对称轴是函数图像的垂直平分线
04
二次函数的实际应用
最大值与最小值问题
最大值与最小值问题
在二次函数中，可以通过求导数或配方法来找到函数的最大值和最小值。这些方法在解决实际问题时非常有用，例如在建筑、工程和经济学等领域中，需要计算最优解以实现成本最低或效益最大化。
求解方法
对于开口向上的二次函数，最小值出现在顶点处；对于开口向下的二次函数，最大值出现在顶点处。通过求导数或配方法可以找到顶点坐标，进而求出最大值或最小值。
面积问题
面积问题
在二次函数中，可以通过求函数与坐标轴的交点来计算图形的面积。例如，当函数与x轴交于两点时，可以计算这两点之间的面积；当函数与y轴交于一点时，可以计算这一点与原点之间的面积。这些方法在解决实际问题时非常有用，例如在计算利润、产量等方面。
求解方法
求出二次函数与x轴和y轴的交点坐标，然后根据这些坐标计算图形的面积。对于更复杂的问题，可能需要使用积分或其他数学方法来求解。
生活中的二次函数
生活中的二次函数
二次函数在现实生活中有着广泛的应用，例如物体自由落体运动、抛物线运动、弹簧振动等。这些现象都可以用二次函数来描述和解释。通过了解二次函数在生活中的应用，可以更好地理解数学与现实世界的联系，提高数学应用能力。
VS
举例说明
例如，在物理学中，物体自由落体运动可以用二次函数来描述和计算；在经济学中，二次函数可以用来描述商品价格与需求量之间的关系；在工程学中，二次函数可以用来计算最优设计方案等。

二次函数图像和性质总结(附答案解析)

二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：

2. 2y ax c =+的性质：上加下减。

3. ()2

y a x h =-的性质：

左加右减。

4. ()2

y a x h k =-+的性质：

二、二次函数图象的平移

1. 平移步骤：

方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2

y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，

处，具体平移方法如下：

【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：

⑴c bx ax y ++=2

沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2

变成

m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）

⑵c bx ax y ++=2

沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2

变成

c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）

三、二次函数()2

y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较

从解析式上看，()2

y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2

2424b ac b y a x a a -⎛

⎫=++ ⎪⎝

(完整版)二次函数图像与性质专题复习

二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：

2. 2y ax c =+的性质：上加下减。

3. ()2

y a x h =-的性质：

左加右减。

4. ()2

y a x h k =-+的性质：

二、二次函数图象的平移

1. 平移步骤：

方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2

y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，

处，具体平移方法如下：

【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：

⑴c bx ax y ++=2

沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2

变成

m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）

⑵c bx ax y ++=2

沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2

变成

c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）

三、二次函数()2

y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较

从解析式上看，()2

y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2

2424b ac b y a x a a -⎛

⎫=++ ⎪⎝

九年级数学上册第22章二次函数22.1二次函数的图象和性质22.1.4二次函数y=ax2bxc的图像和性质习题课件

题型六求二次函数的最值
例题9 已知函数y=x2-2x-3, 当自变量x分别在下列取值范围内时, 求函数的最大值和最小值： (1)0＜x＜2；(2)2≤x≤3.
分析首先确定二次函数的图像的对称轴, 然后根据对称轴的位置及自变量的取值范围确定函数的最值.
解由y=x2-2x-3=(x-1)2-4, 得图像的对称轴为直线x=1. (1)∵a=1＞0, ∴图像的开口向上, ∴当x=1时, 函数有最小值-4, 无最大值. (2)∵a=1＞0, 对称轴为直线x=1, ∴当x＞1时y 随着x的增大而增大, ∴当x=2时函数有最小值22-2×2-3=-3, 当x=3时函数有最大值32-2×3-3=0.
题型五系数相关的两函数图像的推断
例题5 函数y=ax+b(a≠0)和y=ax2+bx+c(a≠0) 在同一平面直角坐标系内的图像可能是( C ).
分析
a的 b的函数y=ax+b(a≠0)的图像函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像结
取值取值
特征
特征
论
b>0 经过第一、二、三象限开口向上, 对称轴在y轴左侧 a>0
解 ∵二次函数的图像经过点A(-1, 3), B(3, 3), ∴二次函数图像的对称轴为直线x=1, ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+k(a≠0). 将A(-1, 3), C(2, 6)代入函数解析式, 得 3=4a+k, 6=a+k, 解得 a=-1, k=7. ∴二次函数的解析式为y=-(x-1)2+7, 即y= -x2+2x+6.

二次函数的图像与性质课件

根的性质
若x1和x2是一元二次方程的两个根，则它们满足方程的根与系数关系，且当a > 0时，若Δ ≥ 0，则x1 * x2 > 0；若a < 0时，若Δ ≥ 0，则x1 * x2 < 0。
韦达定理应用
韦达定理内容
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)的两个根x1和x2，有x1^2 + x2^2 = (x1 + x2)^2 - 2x1 * x2 = b^2/a^2 - 2c/a。
顶点式
交点式
$y = a(x - x_1)(x - x_2)$，其中 $x_1$、$x_2$是与$x$轴的交点横坐标，$a neq 0$。
$y = a(x - h)^2 + k$，其中$(h, k)$ 是顶点坐标，$a neq 0$。
二次函数系数意义
$a$的意义
决定抛物线的开口方向和开口大小。当$a > 0$时，抛物线向上开口；当$a < 0$时，抛物线向下开口；$|a|$越大，抛物线开口
REPORTING
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对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)，其判别式为Δ = b^2 - 4ac。
判别式与根的关系
当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实根（即一个重根）；当Δ < 0时，方程无实根。

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