重庆市2018届高考第三次诊断性考试数学试题(理)含答案

2018年全国卷3理科数学试题及参考答案-

绝密★启用前试题类型：新课标Ⅲ2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}|10A x x =-≥，{}0,1,2B =，则A B = ( ) A ．{}0 B ．{}1 C ．{}1,2 D ．{}0,1,2 【答案】C【解析】:1A x ≥，{}1,2A B ∴= 【考点】交集2．()()12i i +-=( )A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i + 【答案】D【解析】()()21223i i i i i +-=+-=+【考点】复数的运算3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫做榫头，凹进部分叫做卯眼，图中的木构件右边的小长方体是榫头. 若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )【答案】A【解析】注意咬合，通俗点说就是小长方体要完全嵌入大长方体中，嵌入后最多只能看到小长方体的一个面，而B 答案能看见小长方体的上面和左面，C 答案至少能看见小长方体的左面和前面，D 答案本身就不对，外围轮廓不可能有缺失【考点】三视图 4.若1sin 3α=，则cos 2α=( ) A ．89 B ．79 C ．79- D ．89- 【答案】B【解析】27cos 212sin 9αα=-= 【考点】余弦的二倍角公式5.522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为( )A ．10B ．20C ．40D ．80 【答案】C【解析】522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的第1r +项为：()521035522rr r r r r C x C x x --⎛⎫= ⎪⎝⎭，故令2r =，则10345240r r r C x x -=【考点】二项式定理俯视方向D.C. B.A.6．直线20x y ++=分别与x 轴、y 轴交于点,A B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是( )A ．[]2,6B ．[]4,8 C． D．⎡⎣【答案】A【解析】()()2,0,0,2A B --，AB ∴=，可设()2,P θθ+，则4P ABd πθ-⎛⎫==+∈ ⎪⎝⎭[]12,62ABP P AB P AB S AB d ∆--∴=⋅=∈ 注：P AB d -的范围也可以这样求：设圆心为O ，则()2,0O，故P AB O AB O AB d d d ---⎡∈+⎣，而O AB d -==，P AB d -∴∈ 【考点】点到直线距离、圆上的点到直线距离最值模型(圆的参数方程、三角函数) 7．422y x x =-++的图像大致为( )【答案】DxxxxyyyyD.C.B.A.OO11OO111111【解析】()12f =，排除A 、B ；()32'42212y x x x x =-+=-，故函数在0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭单增，排除C【考点】函数图像辨识(按照奇偶性、特殊点函数值正负、趋势、单调性(导数)的顺序来考虑)8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10为成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p =( )A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3 【答案】B【解析】由题意得X 服从二项分布，即()~10,X p ，由二项分布性质可得()101 2.4DX p p =-=，故0.4p =或0.6，而()()()()64446610104161P x C p p P x C p p ==-<==-即()221p p -<，故0.5p >0.6p ∴=【考点】二项分布及其方差公式9.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC ∆的面积为2224a b c+-，则C =( )A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π【答案】C 【解析】2221sin 24ABCa b c S ab C ∆+-==，而222cos 2a b c C ab+-= 故12cos 1sin cos 242ab C ab C ab C ==，4C π∴= 【考点】三角形面积公式、余弦定理10.设,,,A B C D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且其面积为D ABC -的体积最大值为( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】如图，O为球心，F为等边ABC∆的重心，易知OF⊥底面ABC，当,,D O F三点共线，即DF⊥底面ABC时，三棱锥D ABC-的高最大，体积也最大. 此时：6ABCABCABS∆∆⎫⎪⇒==等边，在等边ABC∆中，233BF BE AB===，在Rt OFB∆中，易知2OF=，6DF∴=，故()max163D ABCV-=⨯=【考点】外接球、椎体体积最值11.设12,F F是双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的左，右焦点，O是坐标原点，过2F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若1PF=，则C的离心率为( )AB．2CD【答案】C【解析】渐近线OP的方程为：by xa=，利用点到直线的距离公式可求得2PF b=，(此结论可作为二级结论来记忆)，在Rt ABC∆中，易得OP a=，1PF∴=，在1POF∆中，由余弦定理可得：22216cos2a c aPOFac+-∠=，又2cosaPOFc∠= 22262a c a aac c+-∴+=，故cea==【考点】双曲线几何性质、余弦定理解三角形OF ECBAD12. 设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则( )A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+ 【答案】B【解析】首先由0.2log y x =单调递减可知0.20.20.20log 1log 0.3log 0.21a =<=<=，同理可知21b -<<-，0,0a b ab ∴+<<，排除C 、D 其次：利用作商法：0.30.30.311log 0.2log 2log 0.41a b ab a b+=+=+=<(注意到0ab <) a b ab ∴+>【考点】利用对数函数单调性确定对数范围、作商法比较大小二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知向量()1,2a = ，()2,2b =- ，()1,c λ=. 若()//2c a b + ，则_______.λ= 【答案】12【解析】()24,2a b +=，故24λ=【考点】向量平行的坐标运算14. 曲线()1xy ax e =+在点()0,1处的切线斜率为2-，则______.a =【答案】3-【解析】()'1x xy ae ax e =++，12k a ∴=+=-【考点】切线斜率的计算方法15.函数()cos 36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0,π的零点个数为_________.【答案】3【解析】[]0,x π∈，3,3666t x ππππ⎡⎤=+∈+⎢⎥⎣⎦，由cos y t =图像可知，当35,,222t πππ=时cos 0t =，即()f x 有三个零点或者：令362x k πππ+=+，则93k x ππ=+，当0,1,2k =时，[]0,x π∈，故3个零点【考点】换元法(整体法)、余弦函数的图像与性质16. 已知点()1,1M -和抛物线2:4C y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与抛物线交于,A B 两点，若90AMB ∠= ，则_______.k =【答案】2 【解析】(1) 常规解法：设直线方程为1x my =+，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩可求121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，由()()12121212110MB MA y y y y x x x x ⋅=-++++++= ，可得12m =，故2k =(2) 二级结论：以焦点弦为直径的圆与准线相切设AB 中点为N ，则由二级结论可知NM ⊥准线，1N M y y ∴==，故22A B N y y y +==，由点差法可得，42A B k y y ==+ 进一步可得二级结论：AB M k y p ⋅=【考点】直线与抛物线联立(二级结论、点差法)三.解答题：共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.. 第17~21题为必考题，每个试题考生必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分. 17. (12分)等比数列{}n a 中，1531,4a a a ==. (1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为{}n a 的前n 项和. 若63m S =，求m . 【答案】(1)12n n a -=或()12n n a -=-；(2)6m =【解析】(1)25334a a a q ==，2q ∴=±，∴12n n a -=或()12n n a -=-(2) 当2q =时，()()112631mmS -==-，解得6m =当2q =-时，()()112633mm S --==，得()2188m-=-无解综上：6m =【考点】等比数列通项公式与前n 项和公式 18. (12分)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式. 为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人. 第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：第一种生产方式第二种生产方式8655689 9 7 627012234 5 6 6 89 8 7 7 6 5 4 3 3281445 2 11 009(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k ≥ 0.0500.010 0.001k3.8416.63510.828【答案】(1)第二组生产方式效率更高；(2)见解析；(3)有；【解析】(1)第二组生产方式效率更高；从茎叶图观察可知，第二组数据集中在70min~80min 之间，而第一组数据集中在80min~90min 之间，故可估计第二组的数据平均值要小于第一组数据平均值，事实上168727677798283838485868787888990909191928420E +++++++++++++++++++==同理274.7E =，21E E < ，故第二组生产方式效率更高 (2)由茎叶图可知，中位数7981802m +==，且列联表为：超过m 不超过m第一种生产方式15 5 第二种生产方式515(3)由(2)可知()22224015510 6.63520202020K -==>⨯⨯⨯，故有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异【考点】茎叶图、均值及其意义、中位数、独立性检验 19．(12分)如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧 CD所在的平面垂直，M 是CD 上异于,C D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)当三棱锥M ABC -体积的最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值.【答案】(1)见解析；【解析】(1)ABCD CDM BC DCM BC DM DM BMC ADN BMC BC CD MC DM ⎫⊥⎫⇒⊥⇒⊥⎬⎪⇒⊥⇒⊥⊥⎬⎭⎪⊥⎭(这边只给出了证明的逻辑结构，方便大家阅读，考试还需要写一些具体的内容)(2)ABC S ∆ 恒定，故要使M ABC V -最大，则M ABC d -最大，结合图象可知M 为弧 CD中点时，M ABC V -最大. 此时取CD 的中点O ，则MO DC ⊥，故MO ⊥面ABCD ，故可建立如图所示空间直角坐标系则：()0,0,1M ，()2,1,0A -，()2,1,0B ，()0,1,0C ，()0,1,0D -MBCDA()()0,2,0,2,1,1AB MA ==--，∴平面MAB 的法向量为()11,0,2n = ，易知平面MCD 的法向量为()21,0,0n =，故12cos ,5n n <>== ， ∴面MAB 与面MCD【考点】面面垂直的判定、三棱锥体积最值、二面角的求法 20. (12分)已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于,A B 两点，线段AB 的中点为()()1,0M m m >.(1)证明：12k <-； (2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=. 证明,,FA FP FB 成等差数列，并求该数列的公差. 【答案】(1)见解析；(2)28d =±【解析】(1) 点差法：设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩相减化简可得： 1212121234y y y y x x x x -+⋅=--+，34OM AB k k ⋅=-(此公式可以作为点差法的二级结论在选填题中直接用)，34m k ∴=-，易知中点M 在椭圆内，21143m +<，代入可得12k <-或12k >，又0m >，0k ∴<，综上12k <-联立法：设直线方程为y kx n =+，且()()1122,,,A x y B x y ，联立22143x y y kx n⎧⎪+=⎨⎪=+⎩可得，()2224384120k x knx n +++-=，则122212284341243kn x x k n x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，()121226243ny y k x x n k +=++=+224143343M M kn x k n y m k -⎧==⎪⎪+∴⎨⎪==⎪+⎩，两式相除可得34m k =-，后续过程和点差法一样(如果用∆算的话比较麻烦)(2) 0FP FA FB ++= ，20FP FM ∴+= ，即()1,2P m -，214143m ∴+=，()304m m ∴=>∴71,4k n m k =-=-=，由(1)得联立后方程为2171404x x -+=，1,2114x ∴=±， ()22121223c a c a cFA FB x x a x x a c a c a ⎛⎫⎛⎫∴+=-+-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(此处用了椭圆的第二定义，否则需要硬算，计算量太大)而32FP =2FA FB FP ∴+=故,,FA FP FB成等差数列.221212214c a c a c d FA FB x x x x a c a c a ⎛⎫⎛⎫=±-=±---=±-=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭28d ∴=±【考点】点差法、直线与椭圆联立求解、等差数列、椭圆的第二定义21. (12分)已知函数()()()22ln 12f x x ax x x =+++-.(1)若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >，()0f x >； (2)若0x =是()f x 的极大值点，求a . 【答案】(1)见解析；(2)16a =-【解析】(1)常规方法：当0a =时，()()()()2ln 121f x x x x x =++->-，()()1'ln 111f x x x∴=++-+ ()()2''1xf x x ∴=+，当10x -<<时，()''0f x <；当0x >时，()''0f x >()'f x ∴在()1,0-上单调递减，在()0,+∞上单调递增，而()'00f =， ∴()'0f x ≥恒成立，()f x ∴单调递增，又()00f = ∴当10x -<<时，()0f x <；当0x >，()0f x >改进方法：若0a =，则()()()()()22ln 122ln 12x f x x x x x x x ⎡⎤=++-=++-⎢⎥+⎣⎦令()()2ln 12x g x x x =+-+，则()()()()22214'01212x g x x x x x =-=>++++ 所以()g x 在()0,+∞单增，又因为()00g = 故当10x -<<时，()()00g x g <=，即()0f x <；当0x >时，()()00g x g >=，即()0f x >；方法对比：若直接求导，那么完全处理掉对数经常需要二次求导，而方法二提出()2x +之后对数单独存在，一次求导就可消掉对数(2) 方法一：极大值点的第二充要条件：已知函数y =()f x 在0x x =处各阶导数都存在且连续，0x x =是函数的极大值点的一个充要条件为前21n -阶导数等于0，第2n 阶导数小于0()()()22ln 12f x x ax x x =+++-()()()21'21ln 111ax f x ax x x +∴=+++-+，()'00f ∴=()()()2234''2ln 11ax ax xf x a x x ++∴=+++，()''00f ∴=()()232661'''1ax ax x a f x x +-++∴=+0x =是()f x 的极大值点，()'''0610f a ∴=+=，16a ∴=-，下证：当16a =-时，0x =是()f x 的极大值点，()()()3163'''1x x f x x -+=+，所以()''f x 在()1,0-单增，在()0,+∞单减进而有()()''''00f x f ≤=，从而()'f x 在()1,-+∞单减，当()1,0x ∈-时，()()''00f x f >=，当()0,x ∈+∞时，()()''00f x f <= 从而()f x 在()1,0-单增，在()0,+∞单减，所以0x =是()f x 的极大值点.方法二： 0x =是()f x 的极大值点，所以存在0δ>，使得在()(),00,δδ- ，()()00f x f <=，即()()22ln 120x ax x x +++-<当()0,x δ∈时，()ln 10x +>，故()()()()2222ln 122ln 1ln 1xx x x x x a x x x +--+-++<=+，当(),0x δ∈-时，()ln 10x +<，故()()()222ln 1ln 1x x x a x x -++>+即()()()()()()()()()()()22000022ln 11ln 1limlimln 121ln 11ln 111lim lim 42642ln 144ln 141x x x x x x x x x x a x x x x x x x x x x x x x x →→→→-++-++==++++--++===-++++++++(洛必达法则，极限思想)【考点】导数的应用(二)选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22. 选修44-：坐标系与参数方程(10分)在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O 交于,A B 两点.(1) 求α的取值范围；(2) 求AB 中点P 的轨迹的参数方程.【答案】(1)3,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；(2)23,,44222x y αππαα⎧=⎛⎫⎪⎛⎫∈⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⎪⎩【解析】(1)当2πα=时，直线:0l x =，符合题意；当2πα≠时，设直线:l y kx =-1d =<，即()(),11,k ∈-∞-+∞ ，又tan k α=，3,,4224ππππα⎛⎫⎛⎫∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上，3,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(2)可设直线参数方程为cos 3,44sin x t y t αππαα=⎧⎛⎫⎪⎛⎫∈⎨ ⎪ ⎪=+⎝⎭⎪⎝⎭⎩，代入圆的方程可得：2sin 10t α-+=122P t t t α+∴==cos 3,44sin x y ααππααα⎧=⎛⎫⎪⎛⎫∈⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+⎪⎩即点P的轨迹的参数方程为23sin 2,,244x y ππααα⎧⎛⎫=⎪⎛⎫∈⎨⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪=⎩(也可以设直线的普通方程联立去做，但是要注意讨论斜率不存在的情况) 【考点】参数方程、直线的斜率，轨迹方程23. 选修45-：不等式选讲(10分)已知函数()211f x x x =++-. (1)画出()y f x =的图像；(2)当[)0,x ∈+∞时，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值. 【答案】(1)见解析；(2)5【解析】(1)()13,212,123,1x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤≤⎨⎪>⎪⎪⎩，图象如下(2)由题意得，当0x ≥时，ax b +的图象始终在()f x 图象的上方，结合(1)中图象可知，3,2a b ≥≥，当3,2a b ==时，a b +最小，最小值为5，【考点】零点分段求解析式、用函数图象解决恒成立问题xy21.531-0.5O。

重庆市2018届高三下学期第三次诊断性考试数学(理)试卷(解析版)

2018年普通高等学校招生全国统一考试5月调研测试卷理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由已知，结合子集的概念，可以确定参数的取值范围.详解：因为，所以，故选D.点睛：该题考查的是有关子集的概念，以及根据包含关系，确定有关参数的取值范围的问题，可以借助数轴来完成.2. 已知为虚数单位，复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，从而求得复数的值.详解：由，得，解得，即，故选A.点睛：该题考查的是有关复数的运算问题，在求解的过程中，需要先用加减法合并，之后用除法运算法则求得结果.3. 设命题，则为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：首先根据特称命题的否定是全称命题，结合其形式，求得结果.详解：因为为：，故选C.点睛：该题考查的是有关含有一个量词的命题的否定形式，在解题的过程中，需要明确特称命题的否定是全称命题，即可得结果.4. 已知随机变量，若，则实数（）A. 0B. 1C. 2D. 4【答案】C【解析】分析：根据正太分布对称性确定，进而解得.详解：因为，所以,因为，所以选C.点睛：正态分布下两类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.5. 山城农业科学研究所将5种不同型号的种子分别试种在5块并成一排的试验田里，其中两型号的种子要求试种在相邻的两块试验田里，且均不能试种在两端的试验田里，则不同的试种方法数为（）A. 12B. 24C. 36D. 48【答案】B【解析】分析：先确定两型号的种子种法，再对剩下3型号全排列，即得结果.详解：因为两型号的种子试种方法数为种，所以一共有,选B.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.6. 已知抛物线的焦点为，以为圆心的圆与抛物线交于两点，与抛物线的准线交于两点，若四边形为矩形，则矩形的面积是（）A. B. C. D. 3【答案】A【解析】分析：首先根据题的条件，四边形为矩形，可以得到对边是平行且相等的，所以得到两条边是关于圆心对称的，从而可以求得圆心到直线的距离，从而求得其横坐标，代入抛物线的方程，可以求得点M和点N的坐标，从而求得矩形的边长，之后应用矩形的面积公式求得结果.详解：根据题意，四边形为矩形，可得，从而得到圆心到准线的距离与到的距离是相等的，所以有M点的横坐标为3，代入抛物线方程，从而求得，所以，从而求得四边形的面积为.点睛：该题考查的是有关抛物线及圆的有关性质以及矩形的面积公式，在解题的过程中，MN和PQ关于圆心对称是最关键的一步，此时可以求得点M的横坐标，借助于抛物线的方程，求得其纵坐标，从而求得对应的边长，利用面积公式，求得结果.7. 已知实数满足不等式组，且的最大值是最小值的2倍，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先根据题中所给的约束条件画出相应的可行域，结合目标函数的形式，结合其几何意义，能够判断出最优解的位置，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得到z的最值，再由最大值是最小值的2倍列式求得结果.详解：根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，如图所示：作出直线，平移直线，由图可知，当直线经过点D时，直线在y轴上的截距最小，此时取得最大值，由，可得，所以的最大值是1，当直线经过点B时，直线在y轴上的截距最大，此时取得最小值，由，可得，所以的最小值是，因为的最大值是最小值的2倍，所以，解得，故选B.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中，需要先画出约束条件对应的可行域，之后结合目标函数的形式得到其对应的几何意义，从而判断出其最优解，联立方程组求得最值，根据2倍关系找出其满足的等量关系式，最后求得结果.8. 《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.根据该问题设计程序框图如下，若输入，则输出的值是（）A. 8B. 9C. 12D. 16【答案】B【解析】分析：首先需要分清该框图所要解决的问题是关于对应量的求和问题，在求和时需要分析项之间的关系，从而可以发现其为等差数列求和问题，理清等差数列的首项与公差，利用求和公式求得结果，得到关于n的不等式，求解即可得结果.详解：输入，运行过程中，，此时向右走，，接着向右走，，依次运行，可以发现，其为以204为首项，以12.5为公差的等差数列的求和问题，，令，结合n的取值情况，解得，故选B.点睛：该题表面上是解决的程序框图运行之后的输出结果的问题，实际上是解决的等差数列的求和问题，在解题的过程中，需要明确对应的等差数列的首项与公差，以及等差数列的求和公式，解对应的不等式即可得结果.9. 一个正三棱柱的三视图如图所示，若该三棱柱的外接球的表面积为，则侧视图中的的值为（）A. 6B. 4C. 3D. 2【答案】C【解析】分析：首先通过观察几何体的三视图，还原几何体，得知其为一个正三棱柱，结合直三棱柱的外接球的球心在上下底面外心连线的中点处，利用外接球的表面积，得到底面边长所满足的关系式，求得其边长，再根据侧视图中对应的边长与底面边长的关系，求得结果.详解：根据题中所给的几何体的三视图，可以得到该几何体是一个正三棱柱，设其底面边长为，则底面正三角形的外接圆的半径为，设该三棱锥的外接球的半径为R，结合正三棱锥的外接球的球心在上下底面的外心连线的中点处，则有，因为该三棱柱的外接球的表面积为，则有，从而解得，因为侧视图中对应的边为底面三角形的边的中线，求得，故选C.点睛：该题考查的是有关利用三视图还原几何体，以及与外接球相关的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有球的表面积公式、直棱柱的外接球的球心的位置、外接球的半径与棱柱的高以及底面三角形的外接圆的半径的关系，将其整合，得到x所满足的等量关系式，求得结果.10. 已知圆的方程为，过第一象限内的点作圆的两条切线，切点分别为，若，则的最大值为（）A. 3B.C.D. 6【答案】B【解析】分析：首先应用向量的数量积的定义式，得到，利用圆的切线的性质，结合勾股定理，得到，从而得到，之后利用基本不等式的变形求得结果，注意等号成立的条件.详解：根据题意，结合向量数量积的定义式，可求得，所以可求得，即，结合基本不等式，可得，当且仅当时取等号，故选B.点睛：该题考查的是有关向量的数量积的定义式、勾股定理、基本不等式，在求解的过程中，利用向量的数量积的定义式求得是解决该题的突破口，之后求得，下一步就是应用基本不等式的变形求得结果，对于小题，也可以直接凭经验当两者相等的时候取得最值.11. 已知双曲线的左右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线相交于两点，其中为坐标原点，若与圆相切，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：首先根据题中的条件，确定出圆的半径的大小，根据数轴上的点的坐标，求得，根据直线与圆相切，求得相关的线段长，在直角三角形中，求得，利用诱导公式，结合余弦定理，求得，最后利用离心率的公式求得结果. 详解：根据题意，有，因为若与圆相切，所以，所以由勾股定理可得，所以，所以，由余弦定理可求得，所以，，故选C.点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，在解题的过程中，需要借助于双曲线的定义，结合题中所涉及的焦点三角形，利用直线与圆的有关性质，利用余弦定理求得相关的量，求得结果.12. 已知函数，等差数列满足：，则下列可以作为的通项公式的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先根据导数研究三次函数对称点，再结合等差数列等距性性质判断与验证满足条件的数列. 详解：因为，所以，因此函数关于对称，而时，，因此，满足题意，选A.点睛：三次函数的一阶导数得函数极值点，三次函数的二阶导数得函数拐点，即对称中心.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13. 函数的最大值是__________．【答案】【解析】分析：先根据二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数，再根据三角函数有界性求最值.详解：因为，所以即最大值是.点睛：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．14. 已知，且的展开式中常数项为5，则__________．【答案】【解析】分析：先根据二项展开式的通项公式求常数项是哪一项，再根据常数项为5解a.详解：因为，所以因此.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.15. 在如图所示的矩形中，点分别在边上，以为折痕将翻折为，点恰好落在边上，若，则折痕__________．【答案】【解析】分析：首先设出，根据题中的条件，得到，结合诱导公式得到，根据翻折的时候三角形全等以及诱导公式及倍角公式，可得，从而求得其值，最后在中，利用相关量找到等量关系式，求得结果.详解：根据题意，设，根据，得到，同时可得，从而得到，根据翻折的问题，可得在直角三角形中，有，解得，所以折痕.点睛：该题考查的是有关三角形翻折所对应的结果，在解题的过程中，注意对图像特征的挖掘，注意找寻相等的量，结合诱导公式、倍角公式以及直角三角形中锐角三角函数值的表示，得到边之间的等量关系式，最后求得结果.16. 已知点为的内心，，若，则__________．【答案】【解析】分析：先根据三角形内心向量性质得，再根据向量表示唯一性确定x,y值，即得结果.详解：因为点为的内心，所以,其中O为任一点，a,b,c为三角形三边.因此,所以点睛:三角形中有关“心”的向量表示：内心I：；重心G：，外心P：.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在中，为锐角，且.（1）求；（2）若的面积为，求边上的高.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）先根据诱导公式、二倍角公式化简得，再根据为锐角得；（2）先根据面积公式得，再根据余弦定理得，最后根据等面积法求高.详解：解：（1）；（2），由余弦定理有：，由面积公式有：.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18. 从某校高三年级中随机抽取100名学生，对其高校招生体检表中的视图情况进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知从这100人中随机抽取1人，其视力在的概率为.（1）求的值；（2）若某大学专业的报考要求之一是视力在0.9以上，则对这100人中能报考专业的学生采用按视力分层抽样的方法抽取8人，调查他们对专业的了解程度，现从这8人中随机抽取3人进行是否有意向报考该大学专业的调查，记抽到的学生中视力在的人数为，求的分布列及数学期望.【答案】（1）,（2）见解析【解析】分析：(1)先根据小长方形的面积等于对应区间概率得b，再根据所有小长方形面积和为1求区间[0.9,1.1]概率，除以组距即得a,(2)先根据分层抽样得确定视力在的人数为3，再确定随机变量的取法，分别利用组合数求对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.详解：解：（1）；（2）的可能取值为0，1，2，3，概率为：，，所以其分布列如下：则.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，第二步是“探求概率”，第三步是“写分布列”，第四步是“求期望值”. 19. 如图，三棱柱中，.（1）求证：为等腰三角形；（2）若平面平面，且，求二面角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：(1)设中点为，根据计算得，再根据由线面垂直判定定理得面，即得，最后改好等腰三角形性质得结果，（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组求解两平面法向量，由向量数量积得向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系确定结果.详解：解：（1）设中点为，连接，又设，则，又因为，所以，又因为，所以面，所以，又因为为中线，所以为等腰三角形；（2）设以中点为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，设，则，故，设面的法向量，则有，同理得：面的法向量，设所求二面角为，则，故.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20. 已知椭圆的离心率为，且右焦点与抛物线的焦点重合.（1）求椭圆的的方程；（2）设点为圆上任意一点，过作圆的切线与椭圆交于两点，证明：以为直径的圆经过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）（2）见解析【解析】分析：(1)根据条件列方程组，解得a,b，（2）先设切线方程，再根据圆心到切线距离等于半径得，联立直线方程与椭圆方程，由韦达定理计算为零，进而确定以为直径的圆经过原点. 详解：解：（1）由题意有：；（2）由对称性，猜测该定点为，设该切线方程为，则有，联立方程有：，，所以，即原点以在为直径的圆上.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21. 已知函数.（1）若直线与曲线相切，求的值；（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】分析：(1)根据导数几何意义得，再根据切点既在曲线上，也在切线上得，最后利用导数确定函数单调性进而得，解得，（2）不等式恒成立问题一般转化为对应函数最值问题，即求最小值非负，根据隐零点化简得最小值，再根据导数研究最小值函数单调性，根据单调性确定最小值函数非负时的条件，即得的取值范围.详解：解：（1），则有：，令，则在上单调递增，在上单调递减，又因为，所以；（2）令，则原命题等价于恒成立，又，设，则在上单减，在上单增，故只需，令，所以在上单调递增，在上单调递减，又，∴，即.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.（1）求直线与曲线的直角坐标方程；（2）设点，直线与曲线交于不同的两点，求的值.【答案】（1）（2）【解析】分析：第一问应用极坐标与平面直角坐标之间的转换关系，求得直线与曲线的直角坐标方程；第二问结合题中所给的直线方程，发现其过点，且倾斜角为，写出直线的参数方程，将直线的参数方程代入曲线方程，得到关于t的一元二次方程，利用韦达定理，结合直线方程中参数的几何意义，求得结果. 详解：（1）；（2）考虑直线方程，则其参数方程为（为参数），代入曲线方程有：，则有.点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，在解题的过程中，需要明确极坐标与平面直角坐标的转换关系，再者就是需要正确理解直线的参数方程中参数t的几何意义，并能应用其几何意义来解决有关问题，再者就是对韦达定理要熟练掌握.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于的不等式的解集为，求实数的值.【答案】（1）（2）或.【解析】分析：第一问首先利用绝对值的意义，先将绝对值符号去掉，将函数化为分段函数的形式，之后结合图像找出不等式的解集；第二问结合不等式解集的形式，端点值往往都是不等式对应方程的根，求出之后验证即可.详解：（1）结合函数图像有：；（2）由题意知或，经检验，两种情况均符合题意，所以或.点睛：该题考查的是有关含绝对值的不等式的解法问题，再者就是已知不等式的解集求有关参数值的问题，在求解的过程中，注意应用绝对值的意义去掉绝对值符号，再者就是注意不等式的解集的端点值是对应方程的根的应用.。

2018 年全国 III 卷数学(理)答案及解析

a1 = 1 ，
an = 2n −1 或 an =
( −2 )
n −1
S = 63 ， (2) mn −1 ∴ 当通项公式为 an = 2 时， 1 − 2
(1 − 2 ) = 63
m
，得 m =6
当通项公式为
an =
( −2 )
n −1
1 − ( −2 )m = 63 m −1) 2m = 188 ( + 1 2 时，，得 ,
− x + x + 2 的图像大致为（ 7.函数 y =
4 2
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D 【考点】函数图像以及性质【难易程度】基础题【解析】当 x=1 时，函数值大于 0，排除 A、B;因为 F(x)=F(-x)，函数为偶函数，图像关于 y 轴
−4 x 3 + 2 x =0 ,解得 x=0、、对称，令F '( x) =
,函数在（-∞，
）单调递增，（
，0）
单调递减，（0，）单调递增，（，+∞）单调递减，故选 D。
8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为体的 10 位成员中使用移动支付的人数， A. 0.7 【答案】B 【考点】二项分布概率与方差【难易程度】基础题【解析】使用移动支付符合二项分布， B.0.6
是带卯眼的木构件的俯视图可以是（
）
A.
B.
C. 【答案】A 【考点】三视图【难易程度】基础题
D.
【解析】卯眼的空间立体图如图，同时需要注意在三视图中，看不见的线用虚线表示，故答案选 A
4、若
，则
（
）
A. 【答案】B

2018年重庆某校区高三下学期诊断性考试数学试题卷(理科)20180331

一、选择题.（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1．如图所示的 Venn 图中， A, B 是非空集合，定义集合 A B 为阴影部分表示的集合，若 x, y R, A { x y lgx lg 2 x , B y y 3x , x 0 ，则 A B
秘密★启用前
2018 年重庆某校区高三下期诊断性考试数学试题卷（理科）
2018.3.31
数学试题共 4 页，共 23 个小题。满分 150 分。考试时间 120 分钟。注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
A.
7 3
B.
28 9
C.
14 7 9
D.
4 3
第 2 页共 6 页
9．某班班会准备从含甲、乙的 7 人中选取 4 人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺 ) 序有( A．720 种 B．520 种 C．600 种 D．360 种 10．函数 f ( x) sin 2 x e ln | x| 的图象的大致形状是（）
2
的一条对称轴为
쀀th
㘠，当取得最小值时， n D.
n
A.
B.
n
C.
n
第 1 页共 6 页
5．已知等比数列 an 的前 n 项和为 S n ，且 S n

重庆市2018届高中高考第三次诊断性考试数学试卷试题文包括答案.docx

2018 年普通高等学校招生全国统一考试5 月调研测试卷文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 个小题 , 每小题 5 分 , 共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1. 设集合 A x | xa , B ,2 ，若 AB ，则实数 a 的取值范围是（）A ． a 2B． a 2 C ． a2D ． a 22. 已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 iz2z 1 ，则 z （）A ．2 1 i B．2 1iC ． 2 iD ． 2 i55553. 设函数 f x2x 4 , x 4，若 f a1 ，则 a （）log 2 x1 , x84A ． 1B．11C ． 3D ． 1 或 1182824. 设命题 p : x Q,2 x ln x 2 ，则 p 为（）A ． x Q,2 x ln x2C ．x Q,2 x ln x 2B ． x Q,2 x ln x 2 D．x Q,2 x ln x25. 设函数 f xsin x cosx, f x 的导函数记为f x ，若 fx 0 2 f x 0 ，则 tan x 0 （）A ． -1B．1C. 1D．336. 已知抛物线 y 24x 的焦点为 F ，以 F 为圆心的圆与抛物线交于M 、 N 两点，与抛物线的准线交于 P 、 Q两点，若四边形 MNPQ 为矩形，则矩形 MNPQ 的面积是（）A ． 16 3B ． 12 3C.4 3D ． 37. 记 5 个互不相等的正实数的平均值为 x ，方差为 A ，去掉其中某个数后，记余下4 个数的平均值为y ，方差为 B ，则下列说法中一定正确的是（）A ．若 x y ，则 AB B．若 x y ，则 A BC. 若 xy ，则 AB D．若 xy ，则 ABx y208. 已知实数x, y满足不等式组x a，且 z2x y 的最大值是最小值的 2 倍，则a（）x yA．3B．5C.6D．4 46539.《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢. 根据该问题设计程序框图如下，若输入 a 103, b 97 ，则输出n的值是（）A．8B．9 C.12D．1610. 一个正三棱柱的三视图如图所示，若该三棱柱的外接球的表面积为32，则侧视图中的x 的值为（）A．6B．4 C. 3D．211.已知圆O 的方程为x2y21，过第一象限内的点P a,b作圆O 的两条切线PA, PB，切点分别为A, B ，若 PO PA 8 ，则 ab 的最大值为（）A ． 3B ． 3 2C.4 2D． 612. 已知双曲线 C :x 2y 2 1 a 0, b0 的左右焦点分别为F , F ，以 OF 为直径的圆 M 与双曲线 C 相a2b 21 22交于 A, B 两点，其中 O 为坐标原点，若AF 1 与圆 M 相切，则双曲线 C 的离心率为（）A ．2 3 62B ．26 C.3 26 D ． 3 2 2 6222第Ⅱ卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上13. 已知向量 a, b 满足： a 1,b 1,2, a b ，则 2ab．14.3 tan100 1．（用数字作答）sin1015. 已知数列a n 中，对nN * ，有 a n a n 1 a n 2 C ，其中 C 为常数，若 a 52, a 73,a 9 4，则a 1 a 2a100．16. 在如图所示的矩形ABCD 中，点 E 、 P 分别在边 AB 、 BC 上，以 PE 为折痕将PEB 翻折为PEB ，点B 恰好落在边 AD 上，若 sinEPB1, AB 2 ，则折痕 PE．3三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知等比数列a n 的前 n 项和为 S n ，若 a 4 , a 3 , a 5 成等差数列，且 S k 33,S k 1 63 .（ 1）求 k 及 a n ；（ 2）求数列 na n 的前 n 项和 .18. 如图，在底面为正方形的四棱锥 P ABCD 中， PA 平面 ABCD ， AC 与 BD 交于点 E ，点 F 是 PD 的中点 .（ 1）求证： EF / / 平面 PBC ；（ 2）若PA 2 AB 2 ，求点 F 到平面PBC的距离.19.某校有高三文科学生 1000 人，统计其高三上期期中考试的数学成绩，得到频率分布直方图如下：（ 1）求出图中a的值，并估计本次考试低于120 分的人数；（ 2）假设同组的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计本次考试不低于120 分的同学的平均数（其结果保留一位小数） .x2y2b02，经过椭圆 C 的右焦点的弦中最短弦长为 2.20. 已知椭圆C :22 1 a的离心率为a b2（ 1）求椭圆的C的方程；（ 2）已知椭圆C的左顶点为A, O为坐标原点，以AO为直径的圆上是否存在一条切线l 交椭圆 C 于不同的两点 M , N ，且直线 OM 与 ON 的斜率的乘积为7？若存在，求切线 l 的方程；若不存在，请说明理由.2, g x11621. 已知函数f x x a ln x a R .x x（ 1）当a 1时，证明：f x g x x 1 ；（ 2）证明：存在实数 a ，使得曲线y f x与 y g x 有公共点，且在公共点处有相同的切线.请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4 ：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cossin 1，曲线 C 的极坐标方程为sin 28cos.（ 1）求直线 l 与曲线 C 的直角坐标方程；（ 2）设点 M0,1 ，直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 P, Q ，求 MP MQ 的值 .23. 选修 4-5 ：不等式选讲已知函数f x x a2x .（ 1）当 a3 时，求不等式 f x 3 的解集；（ 2）若关于 x 的不等式f x0 的解集为 x | x2 ，求实数 a 的值 .试卷答案一、选择题1-6: DAACDA 7-12: ABBCBC二、填空题13. 314. -415. 9616.278三、解答题17. 解：（1） 2a 3a 4 a 52 q q 2q 2 q 1 0 q 2 或 q 1 ，① q 1时： a k1Sk 1S k96 ，这与 S k 33 矛盾；a 1 1q k 1② q 2 时：S k 11 q63 a 1 3, k 5 a n32 n 1 ；ak 1a 1 q k96（ 2） b nna n3n n 12，则有：T n b 1 b 2 b 3b n 1 b n3 2 02n 1n 2n 122n2，2 T n 32 12n 1n 1n222n 2，所以， 3T n312n 1nn2222 2，112n1 3n 1所以， T nnnn1 22 332 .18. 解：（1）因为 E, F 分别是 DP , DB 的中点，∴ EF / / PB ，所以 EF / / 面 PBC ；（ 2）设点 F 到面 PBC 的距离为 d ，则点 D 到面 PBC 的距离为 2d ，在直角PAB 中，PBPA 2 AB 25 ，又 V P BCD1 1 1 1 21，VD PCB11 1 5 2d，32332由VP BCDV DPCB得d55 .19. 解：（1）利用频率和为 1 得： a 0.0075 ，低于 120 分的人共有： 1000 10075 50 775 ；（ 2） 125 10013570 145 50 132.8 .225225 225e c2x 2y 220. 解：（1）由题意有：a 21；2b 2 422a（ 2）设切线方程为 y kx b ，则有 dk b 1k 1 b 1，k 2 12 bykx b联立方程有：x 2y 2 1 2k 2 1 x 24kbx 2b 2 4，4 2斜率乘积为y 1 y 2 k 2 x 1 x 2 kb x 1 x 2b 27 b2 32k2 14 0 ，x 1 x 2x 1 x216代入 k1 b1有： b232 1 b 2 2 114 0b 24 7b 2 2 0，2 b4b 2所以， b 2 或 b142 时， k3 2 时， k37 ，① b；② b；44③ b14 时， k5 14；④ b14 5 14；728时， k287所以直线为 y3 x 2, y 3 x 2, y5 14 x 14 , y 5 14 x 14 .4428728721. 解：（1） f xg xx 11 ln11，令 t1 ，则有 t ln t 1 ，xxx令 h tt ln t 1ht1 1 ，所以 h t 在 0,1 上单调递减，在 1,上单调递增，t则 ht h 1 0 ，所以原命题成立；（ 2）根据题意，即存在x 0 , a 满足：x 02 1 a ln x 0x 0x 011 1axxx ln x 0 0 ，21 ax 0x 0x 01x 02x 02x 0令m xx1x 1ln x m x1 1xxx 2 ln x，所以 m x 在 0,1 上单调递增，在 1,上单调递减，又因为 m 12 0 ，且 x时， m x，所以，存在 x 0 ，使得 m x 0 0 ，即存在 a ，使得原命题成立 .22. 解：（1）cossin1x y 1, sin 28cosy 2 8x ；x2 t（ 2）考虑直线方程x y 1，则其参数方程为2（ t 为参数），2y 1t22 t 22 t 1 t 2代入曲线方程有：185 2t 1 0 ，222则有 MPMQt t2 10 2 .123. 解：（1） fxx 3 2x 3x 3, x 3x0,；x 3, x 结合函数图像有：3（ 2）由题意知f 20 a 2 或 a6 ，经检验，两种情况均符合题意，所以a 2 或 a6 .。

重庆市巴蜀中学2018届高三三诊考试理数试题Word版含答案

重庆市巴蜀中学2018届高三三诊考试理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|60}A x x x =+-<，{2,1,0,1,2}B =--，那么A B =（）A ．{2,1,0,1}--B ．{2,1,1}--C ．{1,1,2}-D ．{1,0,1,2}-2.等差数列{}n a 满足11a =，233a a +=，则1234567a a a a a a a ++++++=（）A ． 7B ．14C ． 21D ．283.已知(2,1)a =，(,1)b m =-，且()a a b ⊥-，则实数m =（）A ．1B ．2C ． 3D ． 44.设,a b 是空间中不同的直线，,αβ是不同的平面，则下列说法正确的是（）A ．//,a b b α⊂，则//a αB ．,,//a b αβαβ⊂⊂，则//a bC. ,,//,//a b b αααββ⊂⊂，则//αβ D ．//,a αβα⊂，则//a β5.实数,x y 满足220110x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩且2z x y =-，则z 的最大值为（）A ． -7B ． -1 C. 5 D ．76.若20a xdx =⎰，则二项式61()a x x +-展开式中的常数项是（）A ． 20B ．-20 C. -540 D ．5407.已知流程图如图所示，该程序运行后，若输出的a 值为16，则循环体的判断框内①处应填（）A ．2B ． 3 C. 4 D ．58.设01a <<，0b c >>，则下列结论不正确的是（）A ．b c a a <B ．a a b c > C. log log a a b c < D ．a abc > 9.函数2()(1cos 2)cos ,f x x x x R =-∈，设()f x 的最大值是A ，最小正周期为T ，则()f AT 的值等于（）A ．14B ．12C. 1 D ．0 10.如图，某几何体的三视图都是直角三角形，若几何体的最大棱长为2，则该几何体的外接球的体积是（）A B ．43π C. 4π D ．6π11.等比数列{}n a 的前n 项和1132n n S c +=+（c 为常数），若23n n a S λ≤+恒成立，则实数λ的最大值是（）A ． 3B ．4 C. 5 D ．6 12.设A 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点，(,0)F c 是右焦点，若抛物线224a y x c=-的准线l 上存在一点P ，使30APF ∠=，则双曲线的离心率的范围是（）A ．[2,)+∞B ．(1,2] C. (1,3] D ．[3,)+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知i 为虚数单位，复数z 满足22iz z i +=-，则||z = ．14.已知1Ω是集合22{(,)|1}x y x y +≤所表示的区域，2Ω是集合{(,)|||||1}x y x y +≤所表示的区域，向区域1Ω内随机的投一个点，则该点落在区域2Ω内的概率为．15.设直线1y kx =+与圆2220x y x my ++-=相交于,A B 两点，若点,A B 关于直线:0l x y +=对称，则||AB = ．16.若两曲线21y x =-与ln 1y a x =-存在公切线，则正实数a 的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在三角形ABC 中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，满足(2)cos cos b c A a C -=.（1）求角A ；（2）若a =5b c +=，求三角形ABC 的面积.18. 渝州集团对所有员工进行了职业技能测试从甲、乙两部门中各任选10名员工的测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图所示.（1）若公司决定测试成绩高于85分的员工获得“职业技能好能手”称号，求从这20名员工中任选三人，其中恰有两人获得“职业技能好能手”的概率；（2）公司结合这次测试成绩对员工的绩效奖金进行调整（绩效奖金方案如下表），若以甲部门这10人的样本数据来估计该部门总体数据，且以频率估计概率，从甲部门所有员工中任选3名员工，记绩效奖金不小于3a 的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.19. 如图，正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA =2AB =，,D E 分别为棱11,AC B C 的中点，,M N 分别为线段1AC 和BE 的中点.（1）求证：直线//MN 平面ABC ；（2）求二面角C BD E --的余弦值.20. 已知点P 在圆C ：224x y +=上，而Q 为P 在x 轴上的投影，且点N 满足PN NQ =，设动点N 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）若,A B 是曲线E 上两点，且||2AB =，O 为坐标原点，求AOB ∆的面积的最大值.21. 已知函数2()2ln 2f x x x x ax =-+，其中0a >.（1）设()g x 是()f x 的导函数，求函数()g x 的极值；（2）是否存在常数a ，使得[1,)x ∈+∞时，()0f x ≤恒成立，且()0f x =有唯一解，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线l 过定点(1,0)-，且倾斜角为α（0απ<<），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为cos (cos 8)ρθρθ=+.（1）写出l 的参数方程和C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，且||AB =α的值.23.选修4-5：不等式选讲设函数()|1|f x x x m =++-的最小值是3-.（1）求m 的值；（2）若11m a b +=，是否存在正实数,a b 满足7(1)(1)2a b ++=？并说明理由.重庆市巴蜀中学2018届高三三诊考试理数试题答案一、选择题：1-6 ：A B C D C C ；7-12 ： B D B B C A二、填空题13、2 14、2π1516、(0,2]e 三、解答题17.解：（Ⅰ）由正弦定理得：()2sin sin cos sin cos B C A A C -= 2sin cos sin cos sin cos sin sin 02cos 13B A C A A C BB A A π∴=+=≠∴=∴=（2）7a =，由余弦定理得 ()22222cos 31325135,4311sin 422ABC a b c bc A b c bc b c bc S bc A ∆=+-=+-=-+=∴==∴==⋅= 所以三角形ABC18.解：（Ⅰ）20名员工中85分以上有5人，215151320538C C p C ⋅==（Ⅱ）甲部门中任选一人绩效工资不低于a 3的概率为25, 所以ξ的可能取值为3,2,1,0=ξ ()30332705125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()12132354155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()21232336255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()3332835125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ξ的分布列为：ξ的期望为()2754368150601231251251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯== 19.解：（Ⅰ）取棱1CC 的中点F ，连,MF NF ，则//,//MF AC NF BCMF ⊄平面ADC ，AC ⊂平面ADC//MF ∴平面ADC ，同理//NF 平面ADC又MF NF F ⋂=，且MF ⊂平面MNF ，NF ⊂平面MNF∴平面//MNF 平面ADC又MN ⊂平面MNF MN ∴//平面ADC（Ⅱ）取线段BC 的中点O ，连AO ，则AO BC ⊥，连OE ，则1//OE BB ，又因为1BB ⊥平面ABC ，所以OE ⊥平面ABC以O 为坐标原点，分别以OB ，OE ,OA 为,y,x z 轴正方向建立空间直角坐标系O xyz -.设2,AB =则1AA AO = 各点坐标如下：O ，(1,0,0)C -,11(B 2D - , E平面BCD 即平面Oxz ∴取平面ADB 的一个法向量为(0,1,0)m =设平面BDE 的法向量为000(,,)n x y z =，则 0n AD ⋅=， 10n DB ⋅=又33(,0,),B (1,22DBE =-=- ∴ 000030,20x z x⎧=⎪⎨⎪-+=⎩ 令0x =得平面1ADB的一个法向量为(3,1,3)n= ∴ cos ,13m n <>==故二面角1B AD B --的余弦值为1320解: （Ⅰ）设()4,,22=+∴p p p p y x y x P ,PQ x ⊥轴，所以(),0,p x Q又设()','y x N ,由=有⎪⎩⎪⎨⎧=='2'y y x x p p 代入.1'4'42222=+=+y x y x 有即曲线E 的方程为1422=+y x （Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 方程为：t kx y +=，联立⎩⎨⎧+==+tkx y y x 4422得()()014814222=-+++t ktx x k ，故()22212214114,418k t x x k kt x x +-=+-=+，由4()()()()22222212112251144AB k x x k x x x x ⎡⎤==+-=++-⎣⎦，得()()()14141422222++-+=k k k t ，故原点O 到直线AB 的距离21k td +=，∴21221kt d S +=⨯=，令22141k u k +=+，则()1241-u 41-222+-=+=u u S ，又∵[)22214341,411k u k k+==-∈++，当1,22max ==S u 时.当斜率不存在时，AOB ∆不存在，综合上述可得AOB ∆面积的最大值为1.21.解：（Ⅰ） )(222ln 2)(x g a x x x f =+-+='xx x x g 1222)(--=-=' )(x g 在)1,0(单增；在),1(+∞单减，极大值 a g 2)1(=,没有极小值（Ⅱ）由（Ⅰ）知： 02)1(>='a f ，且)(x f '在),1(+∞单减，且+∞→x 时0)(<'x f 则必然存在10>x ，使得)(x f 在),1(0x 单增，),(0+∞x 单减；且0222ln 2)(000=+-+='a x x x f ，即001ln x x a +--= ①此时：当),1[+∞∈x 时，由题意知：只需要找实数a 使得0)()(0max ==x f x f 0200002ln 2)(ax x x x x f +-= 将①式带入知：)1ln (2ln 22ln 2)(0002000020000x x x x x x ax x x x x f +--+-=+-=02020=-=x x 得到20=x ，从而2ln 11ln 00-=+--=x x a .22.选项44-：坐标系及参数方程解：（Ⅰ）⎩⎨⎧=+-=ααsin cos 1:t y t x l x y C 8:2= 把直线方程代入抛物线方程得：08cos 8sin 22=+-ααt tααα221221sin 8,sin cos 8==+t t t t ()108sin sin 6444222122121=-=-+=-=ααt t t t t t AB 65621sin 41sin ,02sin 3sin 20224παπααααα==∴=∴=∴=-+∴或，23.选项45-：不等式选讲解：（Ⅰ）因为()21,111,1x m x f x x x m m x +-≥-⎧=++-=⎨--<-⎩，所以min 132y m m =--=-⇒=.（Ⅱ）112,a b +=21a b ab ab ∴+=≥⇒≥ 7(1)(1)1312a b a b ab ab ++=+++=+= 516ab ∴=<，矛盾. 所以不存在正实数,a b 满足条件.。

重庆市巴蜀中学2018年高考数学三诊试卷(理科)Word版含答案

重庆市巴蜀中学2018年高考数学三诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设U=R ，若集合A={0，1，2}，B={x|x 2﹣2x ﹣3＞0}，则A∩∁U B=（）A ．{0，1}B ．{0，2}C ．{1，2}D ．{0，1，2}2．已知复数z 满足z （1+i ）=i 2016，则|z|=（）A ．1B ．C ．D ．23．已知a=30.6，b=log 2，c=cos300°，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a4．下列命题中真命题的个数为（）①两个变量x ，y 的相关系数r 越大，则变量x ，y 的相关性越强；②从4个男生3个女生中选取3个人，则至少有一个女生的选取种数为31种．③命题p ：∀x ∈R ，x 2﹣2x ﹣1＞0的否定为¬p：∃x 0∈R ，x 02﹣2x 0﹣1≤0．A ．0B ．1C ．2D ．35．执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输入的P 值为（）A ．2B ．3C ．4D ．56．直线l ：kx ﹣y+1=0被圆x 2+y 2﹣4y=0截得的最短弦长为（）A ．B ．3C ．D ．27．已知x 、y 满足，则z=|3x+y|的最大值为（）A ．1B ．6C ．7D ．108．已知f （x ）=Asin （2x+ϕ），（A ＞0，|ϕ|＜），对任意x 都有f （x ）≤f （）=2，则g （x ）=Acos（2x+ϕ）在区间[0，]上的最大值与最小值的乘积为（）A ．B ．C ．﹣1D ．09．在区间[﹣1，1]内任取两个数x 、y ，记事件“x +y ≤1”的概率为p 1，事件“|x ﹣y|≤1”的概率为p 2，事件“y≤x 2”的概率为p 3，则（）A ．p 1＜p 2＜p 3B ．p 2＜p 3＜p 1C ．p 1＜p 3＜p 2D ．p 3＜p 2＜p 110．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A ．2πB ．4πC ．π D ．5π11．已知双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0），焦距为2c ，若l 1：y=（x ﹣c ）与C 的左右两支交于一点，l 2：y=2（x+c ）与C 的左支交于两点，则双曲线的离心率的范围是（）A ．（1，3）B ．（2，3）C ．（1，2）D ．（，3）12．定义在R 上的偶函数f （x ）的导函数为f'（x ），对定义域内的任意x ，都有2f （x ）+xf'（x ）＜2成立，则使得x 2f （x ）﹣4f （2）＜x 2﹣4成立的x 的范围为（）A ．{x|x ≠±2}B ．（﹣2，2）C ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．已知=（3，﹣4），=（3，t ），向量在方向上的投影为﹣3，则t=______．14．已知（x+）n 的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则其展开式各项系数之和等于______．15．在四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=1，AA 1=3，直线AD 1，DC 1所成角的正弦值为______．16．△ABC 中，∠A=π，AB=2，BC=，D 在BC 边上，AD=BD ，则AD=______．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n +n ﹣4（n ∈N *）（1）求{a n }的通项公式；（2）设T n 为数列{}的前n 项，证明：1≤T n ＜（n ∈N *）．18．某汽车公司为调查4S 店个数与该公司汽车销量的关系，对同等规模的A ，B ，C ，D ，E 五座城市的4S（2）现要从A ，B ，E 三座城市的9家4S 店中选取4家做深入调查，求A 城市中被选中的4S 店个数X 的分布列和期望．（ =， =﹣）．19．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知AB=AC=AA 1=，BC=4，A 1在底面ABC 的射影是线段BC 的中点O ．（Ⅰ）证明：在侧棱AA 1上存在一点E ，使得OE ⊥平面BB 1C 1C ，并求出AE 的长；（Ⅱ）求二面角A 1﹣B 1C ﹣C 1的余弦值．20．如图，已知椭圆C 1： +y 2=1，曲线C 2：y=x 2﹣1与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C 2相交于A ，B 两点，直线MA ，MB 分别与C 1相交于D ，E 两点，直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2（1）求k 1k 2的值；（2）记△MAB ，△MDE 的面积分别为S 1，S 2，若=λ，求λ的取值范围．21．已知f（x）=（2﹣a）x﹣2（1+lnx）+a，g（x）=．（1）若a=1，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e2]上方程f（x）=g（x）总存在两个不等的实数根，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（2，1），求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知正实数a，b，x，y满足a+b=1（1）求a2+2b2的最小值；（2）求证：（ax+by）（ay+bx）≥xy．重庆市巴蜀中学2018年高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的B=（）1．设U=R，若集合A={0，1，2}，B={x|x2﹣2x﹣3＞0}，则A∩∁UA．{0，1} B．{0，2} C．{1，2} D．{0，1，2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：B={x|x2﹣2x﹣3＞0}={x|x＞3或x＜﹣1}，B={x|﹣1≤x≤3}，则∁U则A∩∁B={0，1，2}，U故选：D2．已知复数z满足z（1+i）=i2016，则|z|=（）A．1 B．C．D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由z（1+i）=i2016，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算即可得答案．【解答】解：由z（1+i）=i2016，得==．则|z|=．故选：B．3．已知a=30.6，b=log，c=cos300°，则a，b，c的大小关系为（）2A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】分别估算每个数的大小，然后比较．【解答】解：a=30.6＞1，b=log＜0，c=cos300°=cos60°=0.5＞0，2故b＜c＜a；故选B．4．下列命题中真命题的个数为（）①两个变量x ，y 的相关系数r 越大，则变量x ，y 的相关性越强；②从4个男生3个女生中选取3个人，则至少有一个女生的选取种数为31种．③命题p ：∀x ∈R ，x 2﹣2x ﹣1＞0的否定为¬p：∃x 0∈R ，x 02﹣2x 0﹣1≤0．A ．0B ．1C ．2D ．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据相关性系数的性质进行判断，②利用排列组合的公式进行求解即可③根据全称命题的否定是特称命题进行判断．【解答】解：①两个变量x ，y 的相关系数|r|越大，则变量x ，y 的相关性越强，故①错误，②从4个男生3个女生中选取3个人，则至少有一个女生的选取种数﹣=35﹣4=31种，故②正确， ③命题p ：∀x ∈R ，x 2﹣2x ﹣1＞0的否定为¬p：∃x 0∈R ，x 02﹣2x 0﹣1≤0，正确，故③正确，故正确的是②③，故选：C ．5．执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输入的P 值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【考点】循环结构．【分析】根据输入A 的值，然后根据S 进行判定是否满足条件S ≤2，若满足条件执行循环体，依此类推，一旦不满足条件S ≤2，退出循环体，求出此时的P 值即可．【解答】解：S=1，满足条件S ≤2，则P=2，S=1+=满足条件S ≤2，则P=3，S=1++=满足条件S ≤2，则P=4，S=1+++=不满足条件S ≤2，退出循环体，此时P=4故选：C6．直线l ：kx ﹣y+1=0被圆x 2+y 2﹣4y=0截得的最短弦长为（）A．B．3 C．D．2【考点】直线与圆的位置关系．【分析】利用配方法将圆的方程化为标准式，求出圆心坐标和半径，判断出直线l过定点且在圆内，可得当l⊥PC时直线l被圆截得的弦最短，由弦长公式求出即可．【解答】解：由x2+y2﹣4y=0得x2+（y﹣2）2=4，∴圆心坐标是C（0，2），半径是2，∵直线l：kx﹣y+1=0过定点P（0，1），且在圆内，∴当l⊥PC时，直线l被圆x2+y2﹣4y=0截得的最短弦长为2=2，故选：A．7．已知x、y满足，则z=|3x+y|的最大值为（）A．1 B．6 C．7 D．10【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，确定目标函数经过的点，利用几何意义求出目标函数的最大值，【解答】解：作出不等式组表示的可行域如图：目标函数z=|3x+y|经过可行域内的点A时，z最大，可得A（3，1）时，取得最大值|3×3+1|=10．故选：D．8．已知f（x）=Asin（2x+ϕ），（A＞0，|ϕ|＜），对任意x都有f（x）≤f（）=2，则g（x）=Acos（2x+ϕ）在区间[0，]上的最大值与最小值的乘积为（）A ．B ．C ．﹣1D ．0【考点】三角函数的最值．【分析】求出f （x ）的表达式，从而求出g （x ）的表达式，根据三角函数的性质求出g （x ）的最大值和最小值即可，从而求出其乘积即可．【解答】解：f （x ）=Asin （2x+ϕ），（A ＞0，|ϕ|＜），若对任意x 都有f （x ）≤f （）=2，则A=2，f （）=2sin （2×+φ）=2，∴φ=，∴g （x ）=2cos （2x+），x ∈[0，]，2x+∈[，]，∴2x+=时，g （x ）最大，最大值是，2x+=π时，g （x ）最小，最小值是﹣2，故g （x ）max •g（x ）min =﹣2，故选：A ．9．在区间[﹣1，1]内任取两个数x 、y ，记事件“x +y ≤1”的概率为p 1，事件“|x ﹣y|≤1”的概率为p 2，事件“y≤x 2”的概率为p 3，则（）A ．p 1＜p 2＜p 3B ．p 2＜p 3＜p 1C ．p 1＜p 3＜p 2D ．p 3＜p 2＜p 1【考点】几何概型．【分析】作出每个事件对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式进行计算比较即可．【解答】解：分别作出事件对应的图象如图（阴影部分）则阴影部分的面积S 1=4﹣=，S 2=4﹣×2=3，S 3==（）=， ∴S 3＜S 2＜S 1，即P 3＜P 2＜P 1，故选：D ．10．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A ．2πB ．4πC ．πD ．5π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，结合直观图判断外接球球心的位置，求出半径，代入球的表面积公式计算即可．【解答】解：由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，高为1，底面为等腰直角三角形，斜边长为2，如图：∴△ABC 的外接圆的圆心为斜边AC 的中点D ，OD ⊥AC ，且OD ⊂平面SAC ，∵SA=1，AC=2，∴SC 的中点O 为外接球的球心，∴半径R=，∴外接球的表面积S=4π×=5π．故选：D ．11．已知双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0），焦距为2c ，若l 1：y=（x ﹣c ）与C 的左右两支交于一点，l 2：y=2（x+c ）与C 的左支交于两点，则双曲线的离心率的范围是（）A ．（1，3）B ．（2，3）C ．（1，2）D ．（，3）【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的性质结合直线和双曲线的位置关系，得到直线斜率和渐近线斜率之间的关系即可得到结论．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x ，焦点坐标F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），则直线l 1：y=（x ﹣c ）过双曲线的右焦点F 2（c ，0），l 2：y=2（x+c ）过双曲线的左焦点F 1（﹣c ，0），若l 1：y=（x ﹣c ）与C 的左右两支交于一点，则直线的斜率满足．l 2：y=2（x+c ）与C 的左支交于两点，则直线的斜率2满足＜2，即＜＜2，则离心率e===，∵＜＜2，∴3＜（）2＜8，4＜1+（）2＜9，则2＜＜3，即2＜e ＜3，故离心率的取值范围是（2，3），故选：B12．定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f'（x），对定义域内的任意x，都有2f（x）+xf'（x）＜2成立，则使得x2f（x）﹣4f（2）＜x2﹣4成立的x的范围为（）A．{x|x≠±2} B．（﹣2，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质的对称性，进行求解即可．【解答】解：当x＞0时，由2f（x）+xf'（x）＜2得2f（x）+xf′（x）﹣2＜0可知：两边同乘以x得：2xf（x）﹣x2f′（x）﹣2x＜0设g（x）=x2f（x）﹣x2则g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）﹣2x＜0，恒成立：∴g（x）在（0，+∞）单调递减，由x2f（x）﹣4f（2）＜x2﹣4∴x2f（x）﹣x2＜4f（2）﹣4即g（x）＜g（2），∵f（x）是偶函数，∴g（x）=x2f（x）﹣x2也是偶函数，则不等式g（x）＜g（2）等价为g（|x|）＜g（2），即|x|＞2；则x＞2或x＜﹣2，即实数x的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），故选：C二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．已知=（3，﹣4），=（3，t），向量在方向上的投影为﹣3，则t= 6 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据投影的定义即可求出．【解答】解：∵ =（3，﹣4），=（3，t），∴•=9﹣4t，||=5，∵向量在方向上的投影为﹣3，∴==﹣3，解得t=6，故答案为：614．已知（x+）n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则其展开式各项系数之和等于729 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】由（x+）n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，可得n=6．令x=1，即可得出．【解答】解：∵（x+）n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，∴n=6．令x=1，可得：则其展开式各项系数之和=36=729．故答案为：729．15．在四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=1，AA 1=3，直线AD 1，DC 1所成角的正弦值为．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】取四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为直棱柱，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AD 1，DC 1所成角的正弦值．【解答】解：取四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为直棱柱，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，建立空间直角坐标系，∵AB=BC=1，AA 1=3，∴A （1，0，0），D 1（0，0，3），D （0，0，0），C 1（0，1，3），=（﹣1，0，3），=（0，1，3），设直线AD 1，DC 1所成角为θ，cos θ===，∴sin θ==．∴直线AD 1，DC 1所成角的正弦值为．故答案为：．16．△ABC 中，∠A=π，AB=2，BC=，D 在BC 边上，AD=BD ，则AD= ．【考点】三角形中的几何计算．【分析】在△ABC 中，根据条件的正弦定理求出角B 、C ，由边角关系和内角和定理求出∠BAD 、∠ADB ，在△ABD 中，由正弦定理和特殊角的三角函数值求出AD ．【解答】解：如图所示：∵在△ABC 中，∠A=π，AB=2，BC=，∴由正弦定理得，则sin ∠C===，∵∠A 是钝角，且0＜∠C ＜π，∴∠C=，则∠B=π﹣∠A ﹣∠C==，∵AD=BD ，∴∠BAD=∠B=，则∠ADB=π﹣∠B ﹣∠BAD=，在△ABD 中，由正弦定理得，∴AD====，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n +n ﹣4（n ∈N *）（1）求{a n }的通项公式；（2）设T n 为数列{}的前n 项，证明：1≤T n ＜（n ∈N *）．【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．【分析】（1）当n ≥2时利用a n =S n ﹣S n ﹣1计算可知a n =2a n ﹣1﹣1，进而可构造首项、公比均为2的等比数列{a n ﹣1}，计算即得结论；（2）通过（1）放缩可知＜，进而利用等比数列的求和公式计算即得结论．【解答】（1）解：∵S n =2a n +n ﹣4，∴当n=1时，a 1=3，当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=（2a n +n ﹣4）﹣（2a n ﹣1+n ﹣5），即a n =2a n ﹣1﹣1，变形，得：a n ﹣1=2（a n ﹣1﹣1），∴数列{a n ﹣1}是首项、公比均为2的等比数列，∴a n ﹣1=2n ，即a n =1+2n ；（2）证明：由（1）可知： =＜，当n ≥2时，T n ＜1++…+=﹣＜，又∵T n ≥T 1=1，∴1≤T n ＜（n ∈N *）．18．某汽车公司为调查4S 店个数与该公司汽车销量的关系，对同等规模的A ，B ，C ，D ，E 五座城市的4S（1）根据该统计数据进行分析，求y 关于x 的线性回归方程；（2）现要从A ，B ，E 三座城市的9家4S 店中选取4家做深入调查，求A 城市中被选中的4S 店个数X 的分布列和期望．（ =， =﹣）．【考点】线性回归方程．【分析】（I ）根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；（II ）X 的取值为0，1，2，3，分别计算各取值的概率，得出X 的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由==4， ==30，==2.7，=﹣=30﹣2.7×4=19.2，y 关于x 的回归方程为=2.7x+19.2，（2）X 的可能取值0，1，2，3，P （X=0）==，P （X=1）==，P （X=2）==，P （X=3）==，E （X ）=0×+1×+2×+3×=，E （X ）=．19．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知AB=AC=AA 1=，BC=4，A 1在底面ABC 的射影是线段BC 的中点O ．（Ⅰ）证明：在侧棱AA 1上存在一点E ，使得OE ⊥平面BB 1C 1C ，并求出AE 的长；（Ⅱ）求二面角A 1﹣B 1C ﹣C 1的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）连接AO ，在△AOA 1中，作OE ⊥AA 1于点E ，因为AA 1∥BB 1，所以，OE ⊥BB 1，证明BC ⊥OE ，可得结论，AE=；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面B 1CC 1的一个法向量、平面A 1B 1C 的法向量，利用向量的夹角公式求二面角A 1﹣B 1C ﹣C 1的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：连接AO ，在△AOA 1中，作OE ⊥AA 1于点E ，因为AA 1∥BB 1，所以，OE ⊥BB 1 因为A 1O ⊥平面ABC ，所以BC ⊥平面AA 1O ，所以BC ⊥OE ，所以OE ⊥平面BB 1CC又AO==1，AA 1=得AE==．（Ⅱ）解：如图，分别以OA ，OB ，OA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则A （1，0，0），B （0，2，0），C （0，﹣2，0），A 1（0，0，2）由=，得点E 的坐标是（，0，），由（Ⅰ）知平面B 1CC 1的一个法向量为=（，0，）设平面A 1B 1C 的法向量是=（x ，y ，z ），由得可取=（2，1，﹣1），所以cos ＜，＞==．20．如图，已知椭圆C 1： +y 2=1，曲线C 2：y=x 2﹣1与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C 2相交于A ，B 两点，直线MA ，MB 分别与C 1相交于D ，E 两点，直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2（1）求k 1k 2的值；（2）记△MAB ，△MDE 的面积分别为S 1，S 2，若=λ，求λ的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设过原点的直线l ：y=tx ，联立，得x 2﹣ty ﹣1=0，从而求出=0，由此能求出k 1k 2．（2）设直线MA ：y=k 1x ﹣1，直线MB ：y=﹣x ﹣1，联立，得A （），联立，得D （，），同理，得B （﹣，﹣1），E （，），由此能求出λ的取值范围．【解答】解：（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），E （x 3，y 3），E （x 4，y 4），过原点的直线l ：y=tx ，联立，得x 2﹣ty ﹣1=0，=（x 1，y 1+1），=（x 2，y 2+1），=x 1x 2+（y 1+1）（y 2+1）=（t 2+1）x 1x 2+t （x 1+x 2）+1=0，∴⊥，∴k 1k 2=﹣1．（2）设直线MA ：y=k 1x ﹣1，直线MB ：y=﹣x ﹣1，联立，得A （），联立，得D （，），同理，得B （﹣，﹣1），E （，），=（），=（﹣，），=（，），=（，），∴S 1=||，S 2=|×+×|=，∴λ==（4k 12++17）≥．当且仅当，即k 1=±1时，取等号，∴λ的取值范围[，+∞）．21．已知f （x ）=（2﹣a ）x ﹣2（1+lnx ）+a ，g （x ）=．（1）若a=1，求函数f （x ）在（1，f （1））处的切线方程；（2）若对任意给定的x 0∈（0，e]，在（0，e 2]上方程f （x ）=g （x 0）总存在两个不等的实数根，求实数a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f （1），f′（1），求出切线方程即可；（2）求出g （x ）的范围，得到f （x ）=g （x 0）⇔（2﹣a ）（x ﹣1）﹣g （x 0）=2lnx ，记h （x ）=（2﹣a ）（x ﹣1）﹣g （x 0），根据函数的单调性求出a 的范围即可．【解答】解：（1）a=1时，f （x ）=x ﹣2（1+lnx ）+1，f′（x ）=1﹣=，f （1）=0，f′（1）=﹣1，故切线方程是：y=﹣x+1；（2）g′（x ）=（1﹣x ）e 1﹣x ，g （x ）在（0，1）递增，在（1，e ）递减，而g （0）=0，g （1）=1，g （e ）=e 2﹣e ＞0，∴g （x ）∈（0，1]，f （x ）=g （x 0）⇔（2﹣a ）（x ﹣1）﹣g （x 0）=2lnx ，记h （x ）=（2﹣a ）（x ﹣1）﹣g （x 0），h （1）=﹣g （x 0）＜0，h′（x ）=（2﹣a ）﹣，①a≥2﹣时，h （x ）在（0，e 2]递减，不可能有两个零点，②a＜2﹣时，h （x ）在（0，）递减，在（，e 2]递增，h （）＞a ﹣2﹣（a ﹣3）﹣g （x 0）≥0，h （x ）有2个零点，必有h （e 2）≥0⇒a ≤2﹣，综上：a ≤2﹣．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ=4cos θ．（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为（2，1），求|PA|+|PB|．【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I ）将ρ=4cos θ两边同乘ρ，根据直角坐标与极坐标的对应关系得出直角坐标方程；（II ）将直线的参数方程代入圆的普通方程，根据参数的几何意义与根与系数的关系得出|PA|+|PB|．【解答】解：（I ）∵ρ=4cos θ，∴ρ2=4ρcos θ，∴圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2=4x ，即（x ﹣2）2+y 2=4．（II ）设点A 、B 对应的参数分别为t 1，t 2，将代入（x ﹣2）2+y 2=4整理得，∴，即t 1，t 2异号．∴|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=|t 1﹣t 2|==．[选修4-5：不等式选讲]23．已知正实数a ，b ，x ，y 满足a+b=1（1）求a 2+2b 2的最小值；（2）求证：（ax+by ）（ay+bx ）≥xy ．【考点】不等式的证明．【分析】（1）方法一、求得0＜a ＜1，化原式=3（a ﹣）2+，由二次函数的最值求法，可得最小值；方法二、运用柯西不等式可得[a 2+（b ）2][12+（）2]≥（a•1+b•）2，化简即可得到最小值；（2）将不等式的左边展开，合并，运用重要不等式x 2+y 2≥2xy ，整理即可得证．【解答】解：（1）解法一、由a+b=1，可得b=1﹣a ，且a ＞0，b ＞0，可得0＜a ＜1，则a 2+2b 2=a 2+2（1﹣a ）2=3a 2﹣4a+2=3（a ﹣）2+，当a=∈（0，1）时，取得最小值；解法二、由柯西不等式可得（a 2+2b 2）（1+）=[a 2+（b ）2][12+（）2]≥（a•1+b•）2=（a+b ）2=1，即有a 2+2b 2≥，当且仅当a=2b=，取得最小值；（2）证明：由正实数a ，b ，x ，y 满足a+b=1，可得（ax+by ）（ay+bx ）=abx 2+aby 2+a 2xy+b 2xy=ab （x 2+y 2）+（a 2+b 2）xy≥2abxy+（a 2+b 2）xy=xy （a 2+b 2+2ab ）=xy （a+b ）2=xy ，则（ax+by ）（ay+bx ）≥xy ．。

2018年全国卷3理科数学试题及参考答案

绝密★启用前试题类型：新课标Ⅲ2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}|10A x x =-≥，{}0,1,2B =，则A B = ( ) A ．{}0 B ．{}1 C ．{}1,2 D ．{}0,1,2 【答案】C【解析】:1A x ≥，{}1,2A B ∴= 【考点】交集2．()()12i i +-=( )A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i + 【答案】D【解析】()()21223i i i i i +-=+-=+【考点】复数的运算3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫做榫头，凹进部分叫做卯眼，图中的木构件右边的小长方体是榫头. 若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )【答案】A【解析】注意咬合，通俗点说就是小长方体要完全嵌入大长方体中，嵌入后最多只能看到小长方体的一个面，而B 答案能看见小长方体的上面和左面，C 答案至少能看见小长方体的左面和前面，D 答案本身就不对，外围轮廓不可能有缺失【考点】三视图 4.若1sin 3α=，则cos 2α=( ) A ．89 B ．79 C ．79- D ．89- 【答案】B【解析】27cos 212sin 9αα=-= 【考点】余弦的二倍角公式5.522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为( )A ．10B ．20C ．40D ．80 【答案】C【解析】522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的第1r +项为：()521035522rr r r r r C x C x x --⎛⎫= ⎪⎝⎭，故令2r =，则10345240r r r C x x -=【考点】二项式定理俯视方向D.C. B.A.6．直线20x y ++=分别与x 轴、y 轴交于点,A B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是( )A ．[]2,6B ．[]4,8 C． D．⎡⎣【答案】A【解析】()()2,0,0,2A B --，AB ∴=，可设()2,P θθ+，则4P ABd πθ-⎛⎫==+∈ ⎪⎝⎭[]12,62ABP P AB P AB S AB d ∆--∴=⋅=∈ 注：P AB d -的范围也可以这样求：设圆心为O ，则()2,0O，故P AB O AB O AB d d d ---⎡∈+⎣，而O AB d -==，P AB d -∴∈ 【考点】点到直线距离、圆上的点到直线距离最值模型(圆的参数方程、三角函数) 7．422y x x =-++的图像大致为( )【答案】DxxxxyyyyD.C.B.A.OO11OO111111【解析】()12f =，排除A 、B ；()32'42212y x x x x =-+=-，故函数在0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭单增，排除C【考点】函数图像辨识(按照奇偶性、特殊点函数值正负、趋势、单调性(导数)的顺序来考虑)8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10为成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p =( )A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3 【答案】B【解析】由题意得X 服从二项分布，即()~10,X p ，由二项分布性质可得()101 2.4DX p p =-=，故0.4p =或0.6，而()()()()64446610104161P x C p p P x C p p ==-<==-即()221p p -<，故0.5p >0.6p ∴=【考点】二项分布及其方差公式9.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC ∆的面积为2224a b c+-，则C =( )A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π【答案】C 【解析】2221sin 24ABCa b c S ab C ∆+-==，而222cos 2a b c C ab+-= 故12cos 1sin cos 242ab C ab C ab C ==，4C π∴= 【考点】三角形面积公式、余弦定理10.设,,,A B C D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且其面积为D ABC -的体积最大值为( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】如图，O为球心，F为等边ABC∆的重心，易知OF⊥底面ABC，当,,D O F三点共线，即DF⊥底面ABC时，三棱锥D ABC-的高最大，体积也最大. 此时：6ABCABCABS∆∆⎫⎪⇒==等边，在等边ABC∆中，233BF BE AB===，在Rt OFB∆中，易知2OF=，6DF∴=，故()max163D ABCV-=⨯=【考点】外接球、椎体体积最值11.设12,F F是双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的左，右焦点，O是坐标原点，过2F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若1PF=，则C的离心率为( )AB．2CD【答案】C【解析】渐近线OP的方程为：by xa=，利用点到直线的距离公式可求得2PF b=，(此结论可作为二级结论来记忆)，在Rt ABC∆中，易得OP a=，1PF∴=，在1POF∆中，由余弦定理可得：22216cos2a c aPOFac+-∠=，又2cosaPOFc∠= 22262a c a aac c+-∴+=，故cea==【考点】双曲线几何性质、余弦定理解三角形OF ECBAD12. 设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则( )A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+ 【答案】B【解析】首先由0.2log y x =单调递减可知0.20.20.20log 1log 0.3log 0.21a =<=<=，同理可知21b -<<-，0,0a b ab ∴+<<，排除C 、D 其次：利用作商法：0.30.30.311log 0.2log 2log 0.41a b ab a b+=+=+=<(注意到0ab <) a b ab ∴+>【考点】利用对数函数单调性确定对数范围、作商法比较大小二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知向量()1,2a = ，()2,2b =- ，()1,c λ=. 若()//2c a b + ，则_______.λ= 【答案】12【解析】()24,2a b +=，故24λ=【考点】向量平行的坐标运算14. 曲线()1xy ax e =+在点()0,1处的切线斜率为2-，则______.a =【答案】3-【解析】()'1x xy ae ax e =++，12k a ∴=+=-【考点】切线斜率的计算方法15.函数()cos 36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0,π的零点个数为_________.【答案】3【解析】[]0,x π∈，3,3666t x ππππ⎡⎤=+∈+⎢⎥⎣⎦，由cos y t =图像可知，当35,,222t πππ=时cos 0t =，即()f x 有三个零点或者：令362x k πππ+=+，则93k x ππ=+，当0,1,2k =时，[]0,x π∈，故3个零点【考点】换元法(整体法)、余弦函数的图像与性质16. 已知点()1,1M -和抛物线2:4C y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与抛物线交于,A B 两点，若90AMB ∠= ，则_______.k =【答案】2 【解析】(1) 常规解法：设直线方程为1x my =+，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩可求121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，由()()12121212110MB MA y y y y x x x x ⋅=-++++++= ，可得12m =，故2k =(2) 二级结论：以焦点弦为直径的圆与准线相切设AB 中点为N ，则由二级结论可知NM ⊥准线，1N M y y ∴==，故22A B N y y y +==，由点差法可得，42A B k y y ==+ 进一步可得二级结论：AB M k y p ⋅=【考点】直线与抛物线联立(二级结论、点差法)三.解答题：共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.. 第17~21题为必考题，每个试题考生必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分. 17. (12分)等比数列{}n a 中，1531,4a a a ==. (1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为{}n a 的前n 项和. 若63m S =，求m . 【答案】(1)12n n a -=或()12n n a -=-；(2)6m =【解析】(1)25334a a a q ==，2q ∴=±，∴12n n a -=或()12n n a -=-(2) 当2q =时，()()112631mmS -==-，解得6m =当2q =-时，()()112633mm S --==，得()2188m-=-无解综上：6m =【考点】等比数列通项公式与前n 项和公式 18. (12分)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式. 为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人. 第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：第一种生产方式第二种生产方式8655689 9 7 627012234 5 6 6 89 8 7 7 6 5 4 3 3281445 2 11 009(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k ≥ 0.0500.010 0.001k3.8416.63510.828【答案】(1)第二组生产方式效率更高；(2)见解析；(3)有；【解析】(1)第二组生产方式效率更高；从茎叶图观察可知，第二组数据集中在70min~80min 之间，而第一组数据集中在80min~90min 之间，故可估计第二组的数据平均值要小于第一组数据平均值，事实上168727677798283838485868787888990909191928420E +++++++++++++++++++==同理274.7E =，21E E < ，故第二组生产方式效率更高 (2)由茎叶图可知，中位数7981802m +==，且列联表为：超过m 不超过m第一种生产方式15 5 第二种生产方式515(3)由(2)可知()22224015510 6.63520202020K -==>⨯⨯⨯，故有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异【考点】茎叶图、均值及其意义、中位数、独立性检验 19．(12分)如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧 CD所在的平面垂直，M 是CD 上异于,C D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)当三棱锥M ABC -体积的最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值.【答案】(1)见解析；【解析】(1)ABCD CDM BC DCM BC DM DM BMC ADN BMC BC CD MC DM ⎫⊥⎫⇒⊥⇒⊥⎬⎪⇒⊥⇒⊥⊥⎬⎭⎪⊥⎭(这边只给出了证明的逻辑结构，方便大家阅读，考试还需要写一些具体的内容)(2)ABC S ∆ 恒定，故要使M ABC V -最大，则M ABC d -最大，结合图象可知M 为弧 CD中点时，M ABC V -最大. 此时取CD 的中点O ，则MO DC ⊥，故MO ⊥面ABCD ，故可建立如图所示空间直角坐标系则：()0,0,1M ，()2,1,0A -，()2,1,0B ，()0,1,0C ，()0,1,0D -MBCDA()()0,2,0,2,1,1AB MA ==--，∴平面MAB 的法向量为()11,0,2n = ，易知平面MCD 的法向量为()21,0,0n =，故12cos ,5n n <>== ， ∴面MAB 与面MCD【考点】面面垂直的判定、三棱锥体积最值、二面角的求法 20. (12分)已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于,A B 两点，线段AB 的中点为()()1,0M m m >.(1)证明：12k <-； (2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=. 证明,,FA FP FB 成等差数列，并求该数列的公差. 【答案】(1)见解析；(2)28d =±【解析】(1) 点差法：设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩相减化简可得： 1212121234y y y y x x x x -+⋅=--+，34OM AB k k ⋅=-(此公式可以作为点差法的二级结论在选填题中直接用)，34m k ∴=-，易知中点M 在椭圆内，21143m +<，代入可得12k <-或12k >，又0m >，0k ∴<，综上12k <-联立法：设直线方程为y kx n =+，且()()1122,,,A x y B x y ，联立22143x y y kx n⎧⎪+=⎨⎪=+⎩可得，()2224384120k x knx n +++-=，则122212284341243kn x x k n x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，()121226243ny y k x x n k +=++=+224143343M M kn x k n y m k -⎧==⎪⎪+∴⎨⎪==⎪+⎩，两式相除可得34m k =-，后续过程和点差法一样(如果用∆算的话比较麻烦)(2) 0FP FA FB ++= ，20FP FM ∴+= ，即()1,2P m -，214143m ∴+=，()304m m ∴=>∴71,4k n m k =-=-=，由(1)得联立后方程为2171404x x -+=，1,2114x ∴=±， ()22121223c a c a cFA FB x x a x x a c a c a ⎛⎫⎛⎫∴+=-+-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(此处用了椭圆的第二定义，否则需要硬算，计算量太大)而32FP =2FA FB FP ∴+=故,,FA FP FB成等差数列.221212214c a c a c d FA FB x x x x a c a c a ⎛⎫⎛⎫=±-=±---=±-=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭28d ∴=±【考点】点差法、直线与椭圆联立求解、等差数列、椭圆的第二定义21. (12分)已知函数()()()22ln 12f x x ax x x =+++-.(1)若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >，()0f x >； (2)若0x =是()f x 的极大值点，求a . 【答案】(1)见解析；(2)16a =-【解析】(1)常规方法：当0a =时，()()()()2ln 121f x x x x x =++->-，()()1'ln 111f x x x∴=++-+ ()()2''1xf x x ∴=+，当10x -<<时，()''0f x <；当0x >时，()''0f x >()'f x ∴在()1,0-上单调递减，在()0,+∞上单调递增，而()'00f =， ∴()'0f x ≥恒成立，()f x ∴单调递增，又()00f = ∴当10x -<<时，()0f x <；当0x >，()0f x >改进方法：若0a =，则()()()()()22ln 122ln 12x f x x x x x x x ⎡⎤=++-=++-⎢⎥+⎣⎦令()()2ln 12x g x x x =+-+，则()()()()22214'01212x g x x x x x =-=>++++ 所以()g x 在()0,+∞单增，又因为()00g = 故当10x -<<时，()()00g x g <=，即()0f x <；当0x >时，()()00g x g >=，即()0f x >；方法对比：若直接求导，那么完全处理掉对数经常需要二次求导，而方法二提出()2x +之后对数单独存在，一次求导就可消掉对数(2) 方法一：极大值点的第二充要条件：已知函数y =()f x 在0x x =处各阶导数都存在且连续，0x x =是函数的极大值点的一个充要条件为前21n -阶导数等于0，第2n 阶导数小于0()()()22ln 12f x x ax x x =+++-()()()21'21ln 111ax f x ax x x +∴=+++-+，()'00f ∴=()()()2234''2ln 11ax ax xf x a x x ++∴=+++，()''00f ∴=()()232661'''1ax ax x a f x x +-++∴=+0x =是()f x 的极大值点，()'''0610f a ∴=+=，16a ∴=-，下证：当16a =-时，0x =是()f x 的极大值点，()()()3163'''1x x f x x -+=+，所以()''f x 在()1,0-单增，在()0,+∞单减进而有()()''''00f x f ≤=，从而()'f x 在()1,-+∞单减，当()1,0x ∈-时，()()''00f x f >=，当()0,x ∈+∞时，()()''00f x f <= 从而()f x 在()1,0-单增，在()0,+∞单减，所以0x =是()f x 的极大值点.方法二： 0x =是()f x 的极大值点，所以存在0δ>，使得在()(),00,δδ- ，()()00f x f <=，即()()22ln 120x ax x x +++-<当()0,x δ∈时，()ln 10x +>，故()()()()2222ln 122ln 1ln 1xx x x x x a x x x +--+-++<=+，当(),0x δ∈-时，()ln 10x +<，故()()()222ln 1ln 1x x x a x x -++>+即()()()()()()()()()()()22000022ln 11ln 1limlimln 121ln 11ln 111lim lim 42642ln 144ln 141x x x x x x x x x x a x x x x x x x x x x x x x x →→→→-++-++==++++--++===-++++++++(洛必达法则，极限思想)【考点】导数的应用(二)选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22. 选修44-：坐标系与参数方程(10分)在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O 交于,A B 两点.(1) 求α的取值范围；(2) 求AB 中点P 的轨迹的参数方程.【答案】(1)3,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；(2)23,,44222x y αππαα⎧=⎛⎫⎪⎛⎫∈⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⎪⎩【解析】(1)当2πα=时，直线:0l x =，符合题意；当2πα≠时，设直线:l y kx =-1d =<，即()(),11,k ∈-∞-+∞ ，又tan k α=，3,,4224ππππα⎛⎫⎛⎫∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上，3,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(2)可设直线参数方程为cos 3,44sin x t y t αππαα=⎧⎛⎫⎪⎛⎫∈⎨ ⎪ ⎪=+⎝⎭⎪⎝⎭⎩，代入圆的方程可得：2sin 10t α-+=122P t t t α+∴==cos 3,44sin x y ααππααα⎧=⎛⎫⎪⎛⎫∈⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+⎪⎩即点P的轨迹的参数方程为23sin 2,,244x y ππααα⎧⎛⎫=⎪⎛⎫∈⎨⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪=⎩(也可以设直线的普通方程联立去做，但是要注意讨论斜率不存在的情况) 【考点】参数方程、直线的斜率，轨迹方程23. 选修45-：不等式选讲(10分)已知函数()211f x x x =++-. (1)画出()y f x =的图像；(2)当[)0,x ∈+∞时，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值. 【答案】(1)见解析；(2)5【解析】(1)()13,212,123,1x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤≤⎨⎪>⎪⎪⎩，图象如下(2)由题意得，当0x ≥时，ax b +的图象始终在()f x 图象的上方，结合(1)中图象可知，3,2a b ≥≥，当3,2a b ==时，a b +最小，最小值为5，【考点】零点分段求解析式、用函数图象解决恒成立问题xy21.531-0.5O。

2018年全国卷3理科数学试题及参考答案

绝密★启用前试题类型：新课标Ⅲ2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}|10A x x =-≥，{}0,1,2B =，则A B = ( ) A ．{}0 B ．{}1 C ．{}1,2 D ．{}0,1,2 【答案】C【解析】:1A x ≥，{}1,2A B ∴= 【考点】交集2．()()12i i +-=( )A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i + 【答案】D【解析】()()21223i i i i i +-=+-=+【考点】复数的运算3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫做榫头，凹进部分叫做卯眼，图中的木构件右边的小长方体是榫头. 若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )【答案】A【解析】注意咬合，通俗点说就是小长方体要完全嵌入大长方体中，嵌入后最多只能看到小长方体的一个面，而B 答案能看见小长方体的上面和左面，C 答案至少能看见小长方体的左面和前面，D 答案本身就不对，外围轮廓不可能有缺失【考点】三视图 4.若1sin 3α=，则cos 2α=( ) A ．89 B ．79 C ．79- D ．89- 【答案】B【解析】27cos 212sin 9αα=-= 【考点】余弦的二倍角公式5.522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为( )A ．10B ．20C ．40D ．80 【答案】C【解析】522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的第1r +项为：()521035522rr r r r r C x C x x --⎛⎫= ⎪⎝⎭，故令2r =，则10345240r r r C x x -=【考点】二项式定理俯视方向D.C. B.A.6．直线20x y ++=分别与x 轴、y 轴交于点,A B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是( )A ．[]2,6B ．[]4,8 C． D．⎡⎣【答案】A【解析】()()2,0,0,2A B --，AB ∴=，可设()2,P θθ+，则4P ABd πθ-⎛⎫==+∈ ⎪⎝⎭[]12,62ABP P AB P AB S AB d ∆--∴=⋅=∈ 注：P AB d -的范围也可以这样求：设圆心为O ，则()2,0O，故P AB O AB O AB d d d ---⎡∈+⎣，而O AB d -==，P AB d -∴∈ 【考点】点到直线距离、圆上的点到直线距离最值模型(圆的参数方程、三角函数) 7．422y x x =-++的图像大致为( )【答案】DxxxxyyyyD.C.B.A.OO11OO111111【解析】()12f =，排除A 、B ；()32'42212y x x x x =-+=-，故函数在0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭单增，排除C【考点】函数图像辨识(按照奇偶性、特殊点函数值正负、趋势、单调性(导数)的顺序来考虑)8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10为成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p =( )A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3 【答案】B【解析】由题意得X 服从二项分布，即()~10,X p ，由二项分布性质可得()101 2.4DX p p =-=，故0.4p =或0.6，而()()()()64446610104161P x C p p P x C p p ==-<==-即()221p p -<，故0.5p >0.6p ∴=【考点】二项分布及其方差公式9.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC ∆的面积为2224a b c+-，则C =( )A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π【答案】C 【解析】2221sin 24ABCa b c S ab C ∆+-==，而222cos 2a b c C ab+-= 故12cos 1sin cos 242ab C ab C ab C ==，4C π∴= 【考点】三角形面积公式、余弦定理10.设,,,A B C D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且其面积为D ABC -的体积最大值为( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】如图，O为球心，F为等边ABC∆的重心，易知OF⊥底面ABC，当,,D O F三点共线，即DF⊥底面ABC时，三棱锥D ABC-的高最大，体积也最大. 此时：6ABCABCABS∆∆⎫⎪⇒==等边，在等边ABC∆中，233BF BE AB===，在Rt OFB∆中，易知2OF=，6DF∴=，故()max163D ABCV-=⨯=【考点】外接球、椎体体积最值11.设12,F F是双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的左，右焦点，O是坐标原点，过2F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若1PF=，则C的离心率为( )AB．2CD【答案】C【解析】渐近线OP的方程为：by xa=，利用点到直线的距离公式可求得2PF b=，(此结论可作为二级结论来记忆)，在Rt ABC∆中，易得OP a=，1PF∴=，在1POF∆中，由余弦定理可得：22216cos2a c aPOFac+-∠=，又2cosaPOFc∠= 22262a c a aac c+-∴+=，故cea==【考点】双曲线几何性质、余弦定理解三角形OF ECBAD12. 设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则( )A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+ 【答案】B【解析】首先由0.2log y x =单调递减可知0.20.20.20log 1log 0.3log 0.21a =<=<=，同理可知21b -<<-，0,0a b ab ∴+<<，排除C 、D 其次：利用作商法：0.30.30.311log 0.2log 2log 0.41a b ab a b+=+=+=<(注意到0ab <) a b ab ∴+>【考点】利用对数函数单调性确定对数范围、作商法比较大小二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知向量()1,2a = ，()2,2b =- ，()1,c λ=. 若()//2c a b + ，则_______.λ= 【答案】12【解析】()24,2a b +=，故24λ=【考点】向量平行的坐标运算14. 曲线()1xy ax e =+在点()0,1处的切线斜率为2-，则______.a =【答案】3-【解析】()'1x xy ae ax e =++，12k a ∴=+=-【考点】切线斜率的计算方法15.函数()cos 36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0,π的零点个数为_________.【答案】3【解析】[]0,x π∈，3,3666t x ππππ⎡⎤=+∈+⎢⎥⎣⎦，由cos y t =图像可知，当35,,222t πππ=时cos 0t =，即()f x 有三个零点或者：令362x k πππ+=+，则93k x ππ=+，当0,1,2k =时，[]0,x π∈，故3个零点【考点】换元法(整体法)、余弦函数的图像与性质16. 已知点()1,1M -和抛物线2:4C y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与抛物线交于,A B 两点，若90AMB ∠= ，则_______.k =【答案】2 【解析】(1) 常规解法：设直线方程为1x my =+，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩可求121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，由()()12121212110MB MA y y y y x x x x ⋅=-++++++= ，可得12m =，故2k =(2) 二级结论：以焦点弦为直径的圆与准线相切设AB 中点为N ，则由二级结论可知NM ⊥准线，1N M y y ∴==，故22A B N y y y +==，由点差法可得，42A B k y y ==+ 进一步可得二级结论：AB M k y p ⋅=【考点】直线与抛物线联立(二级结论、点差法)三.解答题：共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.. 第17~21题为必考题，每个试题考生必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分. 17. (12分)等比数列{}n a 中，1531,4a a a ==. (1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为{}n a 的前n 项和. 若63m S =，求m . 【答案】(1)12n n a -=或()12n n a -=-；(2)6m =【解析】(1)25334a a a q ==，2q ∴=±，∴12n n a -=或()12n n a -=-(2) 当2q =时，()()112631mmS -==-，解得6m =当2q =-时，()()112633mm S --==，得()2188m-=-无解综上：6m =【考点】等比数列通项公式与前n 项和公式 18. (12分)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式. 为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人. 第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：第一种生产方式第二种生产方式8655689 9 7 627012234 5 6 6 89 8 7 7 6 5 4 3 3281445 2 11 009(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k ≥ 0.0500.010 0.001k3.8416.63510.828【答案】(1)第二组生产方式效率更高；(2)见解析；(3)有；【解析】(1)第二组生产方式效率更高；从茎叶图观察可知，第二组数据集中在70min~80min 之间，而第一组数据集中在80min~90min 之间，故可估计第二组的数据平均值要小于第一组数据平均值，事实上168727677798283838485868787888990909191928420E +++++++++++++++++++==同理274.7E =，21E E < ，故第二组生产方式效率更高 (2)由茎叶图可知，中位数7981802m +==，且列联表为：超过m 不超过m第一种生产方式15 5 第二种生产方式515(3)由(2)可知()22224015510 6.63520202020K -==>⨯⨯⨯，故有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异【考点】茎叶图、均值及其意义、中位数、独立性检验 19．(12分)如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧 CD所在的平面垂直，M 是CD 上异于,C D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)当三棱锥M ABC -体积的最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值.【答案】(1)见解析；【解析】(1)ABCD CDM BC DCM BC DM DM BMC ADN BMC BC CD MC DM ⎫⊥⎫⇒⊥⇒⊥⎬⎪⇒⊥⇒⊥⊥⎬⎭⎪⊥⎭(这边只给出了证明的逻辑结构，方便大家阅读，考试还需要写一些具体的内容)(2)ABC S ∆ 恒定，故要使M ABC V -最大，则M ABC d -最大，结合图象可知M 为弧 CD中点时，M ABC V -最大. 此时取CD 的中点O ，则MO DC ⊥，故MO ⊥面ABCD ，故可建立如图所示空间直角坐标系则：()0,0,1M ，()2,1,0A -，()2,1,0B ，()0,1,0C ，()0,1,0D -MBCDA()()0,2,0,2,1,1AB MA ==--，∴平面MAB 的法向量为()11,0,2n = ，易知平面MCD 的法向量为()21,0,0n =，故12cos ,5n n <>== ， ∴面MAB 与面MCD【考点】面面垂直的判定、三棱锥体积最值、二面角的求法 20. (12分)已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于,A B 两点，线段AB 的中点为()()1,0M m m >.(1)证明：12k <-； (2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=. 证明,,FA FP FB 成等差数列，并求该数列的公差. 【答案】(1)见解析；(2)28d =±【解析】(1) 点差法：设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩相减化简可得： 1212121234y y y y x x x x -+⋅=--+，34OM AB k k ⋅=-(此公式可以作为点差法的二级结论在选填题中直接用)，34m k ∴=-，易知中点M 在椭圆内，21143m +<，代入可得12k <-或12k >，又0m >，0k ∴<，综上12k <-联立法：设直线方程为y kx n =+，且()()1122,,,A x y B x y ，联立22143x y y kx n⎧⎪+=⎨⎪=+⎩可得，()2224384120k x knx n +++-=，则122212284341243kn x x k n x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，()121226243ny y k x x n k +=++=+224143343M M kn x k n y m k -⎧==⎪⎪+∴⎨⎪==⎪+⎩，两式相除可得34m k =-，后续过程和点差法一样(如果用∆算的话比较麻烦)(2) 0FP FA FB ++= ，20FP FM ∴+= ，即()1,2P m -，214143m ∴+=，()304m m ∴=>∴71,4k n m k =-=-=，由(1)得联立后方程为2171404x x -+=，1,2114x ∴=±， ()22121223c a c a cFA FB x x a x x a c a c a ⎛⎫⎛⎫∴+=-+-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(此处用了椭圆的第二定义，否则需要硬算，计算量太大)而32FP =2FA FB FP ∴+=故,,FA FP FB成等差数列.221212214c a c a c d FA FB x x x x a c a c a ⎛⎫⎛⎫=±-=±---=±-=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭28d ∴=±【考点】点差法、直线与椭圆联立求解、等差数列、椭圆的第二定义21. (12分)已知函数()()()22ln 12f x x ax x x =+++-.(1)若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >，()0f x >； (2)若0x =是()f x 的极大值点，求a . 【答案】(1)见解析；(2)16a =-【解析】(1)常规方法：当0a =时，()()()()2ln 121f x x x x x =++->-，()()1'ln 111f x x x∴=++-+ ()()2''1xf x x ∴=+，当10x -<<时，()''0f x <；当0x >时，()''0f x >()'f x ∴在()1,0-上单调递减，在()0,+∞上单调递增，而()'00f =， ∴()'0f x ≥恒成立，()f x ∴单调递增，又()00f = ∴当10x -<<时，()0f x <；当0x >，()0f x >改进方法：若0a =，则()()()()()22ln 122ln 12x f x x x x x x x ⎡⎤=++-=++-⎢⎥+⎣⎦令()()2ln 12x g x x x =+-+，则()()()()22214'01212x g x x x x x =-=>++++ 所以()g x 在()0,+∞单增，又因为()00g = 故当10x -<<时，()()00g x g <=，即()0f x <；当0x >时，()()00g x g >=，即()0f x >；方法对比：若直接求导，那么完全处理掉对数经常需要二次求导，而方法二提出()2x +之后对数单独存在，一次求导就可消掉对数(2) 方法一：极大值点的第二充要条件：已知函数y =()f x 在0x x =处各阶导数都存在且连续，0x x =是函数的极大值点的一个充要条件为前21n -阶导数等于0，第2n 阶导数小于0()()()22ln 12f x x ax x x =+++-()()()21'21ln 111ax f x ax x x +∴=+++-+，()'00f ∴=()()()2234''2ln 11ax ax xf x a x x ++∴=+++，()''00f ∴=()()232661'''1ax ax x a f x x +-++∴=+0x =是()f x 的极大值点，()'''0610f a ∴=+=，16a ∴=-，下证：当16a =-时，0x =是()f x 的极大值点，()()()3163'''1x x f x x -+=+，所以()''f x 在()1,0-单增，在()0,+∞单减进而有()()''''00f x f ≤=，从而()'f x 在()1,-+∞单减，当()1,0x ∈-时，()()''00f x f >=，当()0,x ∈+∞时，()()''00f x f <= 从而()f x 在()1,0-单增，在()0,+∞单减，所以0x =是()f x 的极大值点.方法二： 0x =是()f x 的极大值点，所以存在0δ>，使得在()(),00,δδ- ，()()00f x f <=，即()()22ln 120x ax x x +++-<当()0,x δ∈时，()ln 10x +>，故()()()()2222ln 122ln 1ln 1xx x x x x a x x x +--+-++<=+，当(),0x δ∈-时，()ln 10x +<，故()()()222ln 1ln 1x x x a x x -++>+即()()()()()()()()()()()22000022ln 11ln 1limlimln 121ln 11ln 111lim lim 42642ln 144ln 141x x x x x x x x x x a x x x x x x x x x x x x x x →→→→-++-++==++++--++===-++++++++(洛必达法则，极限思想)【考点】导数的应用(二)选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22. 选修44-：坐标系与参数方程(10分)在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O 交于,A B 两点.(1) 求α的取值范围；(2) 求AB 中点P 的轨迹的参数方程.【答案】(1)3,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；(2)23,,44222x y αππαα⎧=⎛⎫⎪⎛⎫∈⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⎪⎩【解析】(1)当2πα=时，直线:0l x =，符合题意；当2πα≠时，设直线:l y kx =-1d =<，即()(),11,k ∈-∞-+∞ ，又tan k α=，3,,4224ππππα⎛⎫⎛⎫∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上，3,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(2)可设直线参数方程为cos 3,44sin x t y t αππαα=⎧⎛⎫⎪⎛⎫∈⎨ ⎪ ⎪=+⎝⎭⎪⎝⎭⎩，代入圆的方程可得：2sin 10t α-+=122P t t t α+∴==cos 3,44sin x y ααππααα⎧=⎛⎫⎪⎛⎫∈⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+⎪⎩即点P的轨迹的参数方程为23sin 2,,244x y ππααα⎧⎛⎫=⎪⎛⎫∈⎨⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪=⎩(也可以设直线的普通方程联立去做，但是要注意讨论斜率不存在的情况) 【考点】参数方程、直线的斜率，轨迹方程23. 选修45-：不等式选讲(10分)已知函数()211f x x x =++-. (1)画出()y f x =的图像；(2)当[)0,x ∈+∞时，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值. 【答案】(1)见解析；(2)5【解析】(1)()13,212,123,1x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤≤⎨⎪>⎪⎪⎩，图象如下(2)由题意得，当0x ≥时，ax b +的图象始终在()f x 图象的上方，结合(1)中图象可知，3,2a b ≥≥，当3,2a b ==时，a b +最小，最小值为5，【考点】零点分段求解析式、用函数图象解决恒成立问题xy21.531-0.5O。

重庆市2018届高三下学期第三次模拟数学(理)试卷Word版含解析

重庆市2018届高三下学期第三次模拟数学（理）试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数的对应点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|y=lg（x﹣1）}，则（∁U A）∩B等于( )A．{x|x＞2或x＜0} B．{x|1＜x＜2} C．{x|1≤x≤2}D．{x|1＜x≤2}3．已知向量=（2，﹣1），=（3，x）．若•=3，则x=( )A．6 B．5 C．4 D．34．重庆一中学有三个年级共430人，其中初一年级有160人，初二年级人数是初三年级人数的2倍，为了解该校初中生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中有初一年级学生32人，则该样本中的初三年级人数为( )A．32 B．36 C．18 D．865．一个几何体的俯视图是半径为l的圆，其主视图和侧视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A．3πB．4πC．5πD．7π6．下列说法中正确的是( )A．若命题p：∀x∈R有x2＞0，则￢p：∀x∈R有x2≤0B．若p是q的充分不必要条件，则￢p是￢q的必要不充分条件C．若命题p：＞0，则￢p：≤0D．方程ax2+x+a=0有唯一解的充要条件是a=±7．设等差数列{a n}和等比数列{b n}首项都是1，公差和公比都是2，则a+a+a=( ) A．24 B．25 C．26 D．278．给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是( )A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜209．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的渐近线方程为( )A．y=±3x B．y=±2x C．y=±（+1）x D．y=±（﹣1）x10．已知函数f（x）满足f（0）=1，且对于任意实数x，y∈R都有：f（xy+1）=f（x）f（y）﹣f（y）﹣x+2，若x∈[1，3]，则的最大值为( )A．B．C．D．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．根据如下样本数据x 3 4 5 6 7y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0得到的回归方程为=bx+a．若a=7.9，则b的值为__________．12．已知x是三角形的内角，且sinx﹣cos（x﹣π）=，则cos2x=__________．13．要分配甲、乙、丙、丁、戊5名同学去参加三项不同的教学活动，其中活动一和活动二各要2人，活动三要1人，每人只能参加一项活动，且甲，乙两人不能参加同一活动，则一共有___________种不同的分配方法．一、考生注意：（14）、（15）、题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．一、选做题14．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数，0≤φ≤π）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C与θ=（ρ＞0）所表示的图形的交点的直角坐标是__________．一、选做题14．已知关于x的不等式|x+2|+|x﹣2|≤a2解集为空集，则a的取值范围为__________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣m（x∈R），函数f（x）的最大值为2．（1）求实数m的值；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边是a、b、c，．若A为锐角，且满足f（A）=0，sinB=3sinC，△ABC 的面积为，求边长a．18．退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势．某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20～80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]绘制频率分布直方图，如图所示．若规定年龄分布在[20，40）岁的人为“青年人”，[40，60）为“中年人”，[60，80]为“老年人”．（Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；（Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20﹣80年龄段的人口分布的概率．从该城市20﹣80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．19．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC=2AD=4，AB=CD=，∠DBC=45°（1）证明：BD⊥平面PAC；（2）若二面角A﹣PC﹣D的大小为60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．20．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（e为自然对数的底数），a＞0．（1）若a=1，求函数f（x）在x=0处的切线方程；（2）若f（x）≥0对任意x∈R恒成立，求实数a的取值集合．21．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）过点A（1，），其焦距为2．（1）求椭圆C1的方程；（2）已知F1，F2分别是椭圆的左右焦点，P 为直线x=2 上一点．直线PF1，PF2与圆x2+y2=1的另外一个交点分别为M、N 两点，求证：直线MN 恒过一定点．22．已知数列{a n}中，a1=，a n=（n≥2，n∈N）．（1）证明数列{﹣1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）证明：a1a2…a n＜2•n!．（注意：n!=1×2×3×…×n，n∈N+）．重庆市2018届高三下学期第三次模拟数学（理）试卷答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数的对应点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：利用复数的除法运算，将复数表示出来，根据复数的几何意义，即可得到答案．解答：解：复数=，∴复数在复平面内对应的点为（1，﹣2），故复数的对应点位于第四象限．故选：D．点评：本题考查了复数的代数表示法以及几何意义，考查了复数的代数形式的乘法运算，解题时要认真审题．复数的几何意义是复数和复平面内的点是一一对应关系．属于基础题．2．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|y=lg（x﹣1）}，则（∁U A）∩B等于( ) A．{x|x＞2或x＜0} B．{x|1＜x＜2} C．{x|1≤x≤2}D．{x|1＜x≤2}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：求出集合A中的一元二次不等式的解集，确定出集合A，由全集R，求出集合A的补集，然后求出集合B中对数函数的定义域确定出集合B，求出集合A补集与集合B的交集即可．解答：解：由集合A中的不等式x2﹣2x＞0，因式分解得：x（x﹣2）＞0，解得：x＞2或x＜0，所以集合A={x|x＞2或x＜0}，又全集U=R，∴C u A={x|0≤x≤2}，又根据集合B中的对数函数可得：x﹣1＞0，解得x＞1，所以集合B={x|x＞1}，则（C u A）∩B={x|1＜x≤2}．故选D点评：此题属于以一元二次不等式的解法及对函数的定义域为平台，考查了补集及交集的运算，是一道基础题．也是2015届高考中常考的题型．3．已知向量=（2，﹣1），=（3，x）．若•=3，则x=( )A．6 B．5 C．4 D．3考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意，=（2，﹣1），=（3，x）．•=3，由数量积公式可得到方程6﹣x=3，解此方程即可得出正确选项．解答：解：∵向量=（2，﹣1），=（3，x）．•=3，∴6﹣x=3，∴x=3．故选D点评：本题考查数量积的坐标表达式，熟练记忆公式是解本题的关键，是基础题．4．重庆一中学有三个年级共430人，其中初一年级有160人，初二年级人数是初三年级人数的2倍，为了解该校初中生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中有初一年级学生32人，则该样本中的初三年级人数为( )A．32 B．36 C．18 D．86考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．解答：解：∵一年级有160人，初二年级人数是初三年级人数的2倍，∴一年级有160人，初二年级年级为180人，初三年级人数为90人，在抽取的样本中有初一年级学生32人，则该样本中的初三年级人数为人，故选：C．点评：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．5．一个几何体的俯视图是半径为l的圆，其主视图和侧视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A．3πB．4πC．5πD．7π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与半球的组合体，结合图中数据，求出它的表面积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底部为圆柱，上部为半球的组合体，且圆柱的底面圆半径为1，高为1，半球的半径为1；所以该组合体的表面积为2π×1×1+π×12+×4π×12=5π．故选：C．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了求几何体的表面积的应用问题，是基础题目．6．下列说法中正确的是( )A．若命题p：∀x∈R有x2＞0，则￢p：∀x∈R有x2≤0B．若p是q的充分不必要条件，则￢p是￢q的必要不充分条件C．若命题p：＞0，则￢p：≤0D．方程ax2+x+a=0有唯一解的充要条件是a=±考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：A项利用存在性和全称量词的否定来判断．B项利用原命题和逆否命题同真假判断C项用不等式解集的补集思路处理．D项考虑二次项系数为0的情况．解答：解：对于A项，若命题p：∀x∈R有x2＞0，则￢p：∃x0∈R有x02≤0．故A错．对于B项，p是q的充分不必要条件，即p⇒q，则￢q⇒￢p，∴￢p是￢q的必要不充分条件．故B对．对于C项，若命题p：＞0，则￢p：≤0或x=0．故C错．对于D项，当a=0时，方程ax2+x+a=0为x=0．为一次函数．也满足唯一解的条件．故D错．故选：B点评：本题主要考查逻辑用语中四种命题的判定和否定，基础题型．7．设等差数列{a n}和等比数列{b n}首项都是1，公差和公比都是2，则a+a+a=( ) A．24 B．25 C．26 D．27考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列求出b2，b3，b4，然后利用等差数列求解即可．解答：解：等比数列{b n}首项是1，公比是2，∴b2=2，b3=4，b4=8，等差数列{a n}首项是1，公差是2，∴a+a+a=a 2+a4+a8=3a1+11d=3+11×2=25．故选：B．点评：本题考查等差数列以及等比数列的通项公式的应用，考查计算能力．8．给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是( )A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜20考点：循环结构．专题：压轴题；图表型．分析：结合框图得到i表示的实际意义，要求出所需要的和，只要循环10次即可，得到输出结果时“i”的值，得到判断框中的条件．解答：解：根据框图，i﹣1表示加的项数当加到时，总共经过了10次运算，则不能超过10次，i﹣1=10执行“是”所以判断框中的条件是“i＞10”故选A点评：本题考查求程序框图中循环结构中的判断框中的条件：关键是判断出有关字母的实际意义，要达到目的，需要对字母有什么限制．9．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的渐近线方程为( )A．y=±3x B．y=±2x C．y=±（+1）x D．y=±（﹣1）x考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，可得|BF1|=2a，求出B的坐标，代入双曲线方程，即可求出双曲线的渐近线方程．解答：解：∵过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，∴|BF1|=2a，设切点为T，B（x，y），则利用三角形的相似可得∴x=，y=∴B（，）代入双曲线方程，整理可得b=（+1）a，∴双曲线的渐近线方程为y=±（+1）x，故选：C．点评：本题考查双曲线的渐近线方程，考查学生的计算能力，比较基础．10．已知函数f（x）满足f（0）=1，且对于任意实数x，y∈R都有：f（xy+1）=f（x）f（y）﹣f（y）﹣x+2，若x∈[1，3]，则的最大值为( )A．B．C．D．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用；不等式．分析：利用赋值法，先令y=x，x=y，两式相减得到f（x）﹣f（y）+y﹣x=0，再令y=0，求出f（x）=x+1，代入化简，利用基本不等式即可求出最值．解答：解：f（xy+1）=f（x）f（y）﹣f（y）﹣x+2，①，交换x，y的位置得到f（yx+1）=f（y）f（x）﹣f（x）﹣y+2，②由①﹣②得f（x）﹣f（y）+y﹣x=0，再令y=0，则f（x）﹣f（0）﹣x=0，∵f（0）=1，∴f（x）=x+1，∴==≤，当且仅当x=∈[1，3]取等号，∴则的最大值为．故选：A．点评：本题主要考查了抽象函数式的解法，以及基本不等式的应用，属于中档题．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．根据如下样本数据x 3 4 5 6 7y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0得到的回归方程为=bx+a．若a=7.9，则b的值为﹣1.4．考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：由题意可得和，由回归直线过点（，）可得b值，可得答案．解答：解：由题意可得=（3+4+5+6+7）=5，=（4+2.5﹣0.5+0.5﹣2）=0.9，∵回归方程为=bx+a．若a=7.9，且回归直线过点（5，0.9），∴0.9=5b+7.9，解得b=﹣1.4，故答案为：﹣1.4点评：本题考查线性回归方程，涉及平均值的计算和回归方程的性质，属基础题．12．已知x是三角形的内角，且sinx﹣cos（x﹣π）=，则cos2x=﹣．考点：二倍角的余弦；三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：条件即sinx+cosx=，平方可得2sinxcosx=﹣，求得sinx的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2x 的值．解答：解：∵x是三角形的内角，且sinx﹣cos（x﹣π）=sinx+cosx=，平方可得2sinxcosx=﹣，∴sinx=，∴cos2x=1﹣2sin2x=1﹣2×=﹣，故答案为：﹣．点评：本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．13．要分配甲、乙、丙、丁、戊5名同学去参加三项不同的教学活动，其中活动一和活动二各要2人，活动三要1人，每人只能参加一项活动，且甲，乙两人不能参加同一活动，则一共有24_种不同的分配方法．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：间接法：先求出活动一和活动二各要2人，活动共有三要1人的方法种数，去掉甲，乙两人参加同一活的方法种数即可．解答：解：由题意把甲、乙、丙、丁、戊5人分配去参加三项不同的活动，其中活动一和活动二各要2人，活动三要1人共有=30种方法，其中甲，乙两人参加同一活动+=6种方法，故符合题意得方法共30﹣6=24种，故答案为：24．点评：本题考查排列组合的应用，间接法是解决问题的关键，属中档题．一、考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14．过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC与圆交于B，C．若PA=6，AC=8，BC=9，则AB=4．考点：圆周角定理；相似三角形的判定．专题：计算题．分析：由已知中PA是圆的切线，PBC是圆的割线，可得△PAB∽△PCA，结合已知和相似三角形对应边相等，先求出PB长，进而可得AB的长．解答：解：∵PA是圆的切线，PBC是圆的割线，∴∠PAB=∠PCA，又∴∠P=∠P，∴△PAB∽△PCA，∴PB：PA=PA：PC，即PA2=PB•PC=PB•（PB+BC），即36=PB•（PB+9），解得PB=3，又由AB：AC=PA：PC得：AB：8=6：12，解得：AB=4，故答案为：4．点评：本题考查的知识点是弦切角定理，相似三角形的判定与性质，难度不大，属于基础题．一、选做题15．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数，0≤φ≤π）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C与θ=（ρ＞0）所表示的图形的交点的直角坐标是．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：曲线C的参数方程为（φ为参数，0≤φ≤π），化为直角坐标方程，再化为极坐标方程ρ=2cosθ，联立，解得即可得出．解答：解：曲线C的参数方程为（φ为参数，0≤φ≤π），化为（x﹣1）2+y2=1，（y≥0），化为极坐标ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ，联立，解得，ρ=1，∴两图形的交点直角坐标为：．故答案为：．点评：本题考查了参数方程化为直角坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．一、选做题16．已知关于x的不等式|x+2|+|x﹣2|≤a2解集为空集，则a的取值范围为（﹣2，2）．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：利用绝对值的几何意义求出最小值，然后求解a的范围．解答：解：|x+2|+|x﹣2|≥|x+2+2﹣x|=4，关于x的不等式|x+2|+|x﹣2|≤a2解集为空集，可得a2＜4，解得a∈（﹣2，2）．故答案为：（﹣2，2）．点评：本题考查绝对值不等式的解法，函数的最值的应用，考查计算能力．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣m（x∈R），函数f（x）的最大值为2．（1）求实数m的值；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边是a、b、c，．若A为锐角，且满足f（A）=0，sinB=3sinC，△ABC 的面积为，求边长a．考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的值域表示出f（x）的最大值，根据最大值为2求出m的值即可；（2）由（1）确定出的f（x）解析式，以及f（A）=0，求出A的度数，利用正弦定理化简sinB=3sinC，得到b=3c，再利用三角形面积公式列出关系式，把sinA的值代入得到bc=3，联立求出b与c的值，利用余弦定理求出a的值即可．解答：解：（1）∵f（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣m=（cos2x+1）+sin2x﹣m=2sin（2x+）+﹣m，∴函数f（x）在2x+=时取得最大值，即2+﹣m=2，解得：m=；（2）∵f（A）=0，∴2sin（2A+）=0，即sin（2A+）=0，由A为锐角，解得：A=，∵sinB=3sinC，由正弦定理得b=3c①，∵△ABC的面积为，∴S△ABC=bcsinA=bcsin=，即bc=3②，联立①②，解得：b=3，c=1，∵a2=b2+c2﹣2bc•cosA=32+12﹣2×3×1×cos，∴a=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势．某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20～80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]绘制频率分布直方图，如图所示．若规定年龄分布在[20，40）岁的人为“青年人”，[40，60）为“中年人”，[60，80]为“老年人”．（Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；（Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20﹣80年龄段的人口分布的概率．从该城市20﹣80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由频率分布直方图能估算所调查的600人的平均年龄．（Ⅱ）由频率分布直方图知“老年人”所点频率为，依题意，X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．解答：解：（Ⅰ）由频率分布直方图估算所调查的600人的平均年龄为：25×0.1+35×0.2+45×0.3+55×0.2+65×0.1+75×0.1=48（岁）．（Ⅱ）由频率分布直方图知“老年人”所点频率为，∴从该城市20～80年龄段市民中随机抽取1人，抽到“老年人”的概率为，依题意，X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）=，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴X的分布列为：X 0 1 2 3PEX==．点评：本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年2015届高考中都是必考题型之一．19．在四棱锥P﹣ABCD中， PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC=2AD=4，AB=CD=，∠DBC=45°（1）证明：BD⊥平面PAC；（2）若二面角A﹣PC﹣D的大小为60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）在底面梯形中，通过求解直角三角形求得DE=3，得到BE=DE，进一步得到AC⊥BD．再由PA⊥平面ABCD得，PA⊥BD，由线面垂直的判定得答案；（2）法一、找出二面角APCD的平面角，求解直角三角形得到AP=，再求出四边形ABCD的面积，代入体积公式得答案；解法二、由（1）知AC⊥BD．以O为原点，OB，OC所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系Oxyz，求出所用点的坐标，设点P（0，﹣，t）（t＞0）．由二面角A﹣PC﹣D的大小为60°，借助于空间向量求得t，即得到AP．再求出四边形ABCD的面积，代入棱锥体积公式得答案．解答：（1）证明：设O为AC与BD的交点，作DE⊥BC于点E．由四边形ABCD是等腰梯形得，CE==1，DE=，∴BE=DE，从而得∠DBC=∠BCA=45°，∴∠BOC=90°，即AC⊥BD．由PA⊥平面ABCD得，PA⊥BD，∴BD⊥平面PAC；（2）解：法一、作OH⊥PC于点H，连结DH．如图1所示．由（1）知DO⊥平面PAC，故DO⊥PC．∴PC⊥平面DOH，从而得PC⊥OH，PC⊥DH．故∠DHO是二面角APCD的平面角，∴∠DHO=60°．在Rt△DOH中，由DO=，得OH=．在Rt△PAC中，=．设PA=x，可得=．解得x=，即AP=．∵四边形ABCD为等腰梯形，且BC=2AD=4，AB=CD=，∴，∴；解法二、由（1）知AC⊥BD．以O为原点，OB，OC所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图2所示．由题意知各点坐标如下：A（0，﹣，0），B（2，0，0），C（0，2，0），D（﹣，0，0）．由PA⊥平面ABCD，得PA∥z轴，故设点P（0，﹣，t）（t＞0）．设=（x，y，z）为平面PDC的法向量，由=（﹣，﹣2，0），=（﹣，，﹣t）知，取y=1，得=（﹣2，1，）．又平面PAC的一个法向量为=（1，0，0），于是cosθ===，解得t=，即AP=．∵四边形ABCD为等腰梯形，且BC=2AD=4，AB=CD=，∴，∴．点评：本题主要考查空间线面关系、二面角的度量、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，训练了利用空间向量求空间角的问题，是中档题．20．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（e为自然对数的底数），a＞0．（1）若a=1，求函数f（x）在x=0处的切线方程；（2）若f（x）≥0对任意x∈R恒成立，求实数a的取值集合．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求函数f（x）在x=0处的切线方程；（2）根据不等式恒成立转化为求函数f（x）的最小值，求函数的导数，利用导数进行求解即可．解答：解：（1）若a=1，则f（x）=e x﹣ax﹣1，有f（0）=0，f′（x）=e x﹣1，所以斜率为f′（0）=0，所以切线为y=0．（2）求导：f′（x）=e x﹣a，令f′（x）＞0，解得x＞lna，所以函数在（lna，+∞）递增，（﹣∞，lna）递减，所以在x=lna，取得最小值．故f（x）≥0恒成立，等价于f（x）min≥0，即f（lna）=a﹣alna﹣1≥0成立．令h（a）=a﹣alna﹣1，h′（a）=﹣lna，所以知h（a）在（0，1）递增，（1，+∞）递减．有h（a）max=h（1）=0，所以当0＜a＜1或a＞1时，h（a）＜0，所以a=1时，f（x）≥0对任意x∈R恒成立．所以实数a的取值集合为{1}．点评：本题主要考查导数的综合应用，以及函数切线的求解，利用导数的几何意义，求函数的导数是解决本题的关键．21．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）过点A（1，），其焦距为2．（1）求椭圆C1的方程；（2）已知F1，F2分别是椭圆的左右焦点，P 为直线x=2 上一点．直线PF1，PF2与圆x2+y2=1的另外一个交点分别为M、N 两点，求证：直线MN 恒过一定点．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由椭圆的定义求得椭圆方程．（2）设P（2，t），直线PF1：，由得：9x2+t2（x2+2x+1）=9，根据题目条件求得．解答：解：（1）由题意知，c=1，左右焦点坐标为F1（﹣1，0），F2（1，0）所以2a=|AF1|+|AF2|=2，所以椭圆标准方程为（2）设P（2，t），直线PF1：，由得：9x2+t2（x2+2x+1）=9，即（t2+9）x2+2t2x+t2﹣9=0，﹣1×，∴，∴同理可得：N（），∴，直线MN的方程为：，∴直线MN恒过定点T（）．点评：本题主要考查椭圆方程的求法和直线与圆锥曲线的综合问题，属于中档题，再2015届高考中经常涉及．22．已知数列{a n}中，a1=，a n=（n≥2，n∈N）．（1）证明数列{﹣1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）证明：a1a2…a n＜2•n!．（注意：n!=1×2×3×…×n，n∈N+）．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由a n=（n≥2，n∈N）．两边取倒数：即可化为=，利用等比数列的通项公式即可得出；（2）欲证原结论，只需证＜•…•，先用数学归纳法证：•…•≥﹣…﹣，即可得出．解答：证明：（1）由a n=（n≥2，n∈N）．两边取倒数：=，化为=，∴数列是首项﹣1=﹣，公比q=等比数列，∴﹣1=，∴a n=．（2）欲证原结论，只需证＜•…•，现先用数学归纳法证：•…•≥﹣…﹣，（*）当n=1时，左右两边显然相等．假设n=k时，•…•≥﹣…﹣，则n=k+1时，•…•≥（﹣…﹣），∵（﹣…﹣）=﹣…﹣+•=﹣…﹣+≥﹣…﹣﹣．由数学归纳法可知：（*）对于∀n∈N*都成立．又﹣…﹣=1﹣=1﹣＞，故原命题成立．点评：本题考查了“取倒数法”、等比数列的通项公式、“数学归纳法”、不等式的性质、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

重庆市江津巴县长寿等七校联盟2018届高三第三次诊断性联考数学(理)试卷(Word版含答案)

七校高2017级第三次诊断性考试数学(理科)试题试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分共150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑.3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上. 4．考试结束后，将答题卷交回.第I 卷（选择题，60分）一、选择题。

共12题，每题5分，共60分。

每小题有且只有一个选项是正确的。

1．已知集合()(){|220}M x x x =-+≤，{}x y x N lg ==，则MN 为（）A ．[]2,2-B ．()+∞,0C ．[]2,0D ．(]2,02．复数i435+的共轭复数为（） A ．i 43-B ．i 5453- C ．i 43+D ．i 5453+3．在△ABC 中，“B A 2sin 2sin =”是“B A =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．向量,()()⊥+⊥+=2,,2=（） A ．4B ．22C ．2D ．25．设等比数列{}n a 满足,12=a 且9,,642-a a a 成等差数列，则=8a （）A ．64B ．36C ．32D ．166．排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)即先胜3局者获胜，甲乙两队比赛，甲在每局比赛获胜的概率都相等为23，已知前2局中乙队以2:0领先，则最后乙队获胜的概率是（） A ．94 B ．278C ．279 D ．8140 7．执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是（） A ．21＞sB ．53＞sC ．107＞sD ．54＞s8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A BC DA．54 B．60C．72 D．669．设yx,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥--≤+-75313yxyxyx，则yxz24-=的最大值是（）A．16 B．8 C．4 D．2010．如图正方体1111ABCD A B C D-的棱长为1，点E在线段1BB和线段11A B上移动，EABθ∠=0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，过直线,AE AD的平面ADFE将正方体分成两部分，记棱BC所在部分的体积为()θV，则函数(),0,2V Vπθθ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的大致图像是（）11．点A是抛物线21:2(0)C y px p=>与双曲线22222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的一条渐近线的一个交点，若点A到抛物线1C的焦点的距离为p，则双曲线2C的离心率等于（）A．6B．5C．3D．212．已知函数315(),()ln44f x x ax ag x x⎛⎫=++<-=-⎪⎝⎭，用m i n{},m n表示nm,中的最小值，设函数()(){}()min ,(0)h x f x g x x =>，则()x h 的零点个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（非选择题，90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

(完整word版)2018重庆高考理科数学试题及答案,推荐文档

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2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()
(1)
18.下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折现图。