2020届南京市、盐城市高三第三次模拟考试数学试题(附加卷)(定稿)
江苏省盐城市2020届高三第三次模拟考试(6月)+数学+Word版含答案
若函数 f(x)＝Msin(ωx＋φ)(M>0，ω>0，0<φ<π)的最小值是－2，最小正周期是 2π，
π 且图象经过点 N( ，1)．
3
(1) 求 f(x)的解析式；
(2) 在△ABC 中，若 f(A)＝8，f(B)＝10，求 cos C 的值．
5
13
16. (本小题满分 14 分) 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是菱形，PC⊥BC，点 E 是 PC 的中点，且平面 PBC⊥平面 ABCD.求证： (1) PA∥平面 BDE； (2) 平面 PAC⊥平面 BDE.
11. 若集合 P＝{(x，y)|x2＋y2－4x＝0}，Q＝{(x，y)||x＋2|≥ 15}，则 P∩Q 表示的曲线 y
的长度为________．
m＋ex，x>0，
12. 若函数 f(x)＝
的图象上存在关于原点对称的相异两点，则实数 m 的最
e2x－1，x≤0
大值是________．
13. 在△ABC 中，AB＝10，AC＝15，∠A 的平分线与边 BC 的交点为 D，点 E 为边 BC
的中点．若A→B·A→D＝90，则 A→B·A→E的值是________．
14. 若实数 x，y 满足 4x2＋4xy＋7y2＝1，则 7x2－4xy＋4y2 的最小值是________．
二、 解答题：本大题共 6 小题，共 90 分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤．
15. (本小题满分 14 分)
数学附加题(满分 40 分，考试时间 30 分钟)
21. 【选做题】 在 A，B，C 三小题中只能选做两题，每小题 10 分，共 20 分．若多做，
江苏省盐城市2020届高三第三次模拟考试数学试题 (含答案)
盐城市2020届高三年级第三次模拟考试数学Ⅰ参考公式：一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}{}11,022<<-=<-=x x N x x x M , 则M 与N 的并集．．N M = ▲ . 2．设复数()0>+=a i a z ，若2=z z ,则正实数a 的值为 ▲ .3．某电视台对一节目的喜爱程度进行网络调查，共有12000人参与调查，喜爱、一般、不 喜爱的人分别为6000人、5000人、1000 人，为进一步了解被调查人的具体想法，现利 用分层抽样的方法抽取60人，则抽取不喜爱的人数为 ▲ .4．某校志愿者小组有2名男生和1名女生，现从中任选2人参加活动，则女生入选的概率是 ▲ .5．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ▲ .6．若双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的离心率为2.则其两条渐近线所成的锐角为 ▲ .7．设三棱锥ABC P -的体积为1V ，点N M ,分别满足MB PM 2=，NC PN =，记三棱锥BMN A -的体积为2V ，则12V V = ▲ . 8．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 若c a ca b B A 2,sin sin =+=则A cos = ▲ . 9．已知数列{}{}n n b a 、满足,log 2n n a b =且数列{}n b 是等差数列.若9,2103==b b ,则数列{}n a 的前n 项和n S = ▲ .10．若函数()()θ+=x x f 2sin 关于直线4π=x 对称，则θ的最小正值．．．．为 ▲ . 11．若存在．．实数()4,0∈x ，使不等式01623<+-ax x 成立，则实数a 的取值范围是 ▲ . 12．在锐角ABC △中，已知AH 是BC 边上的高，且满足AC AB AH 3231+=,则ABAC 的取 值范围是 ▲ . 13．设函数()xb ax x x f 222⋅+-=，若函数()x f y =与函数()()x f f y =都有零点，且它 们的零点完全相同，则实数a 的取值范围是 ▲ .14．若圆()16:221=+-y m x C 与圆()16:222=+-y n x C 相交，点P 为其在x 轴下方的交点，且8-=mn ，则点P 到直线01=-+y x 距离的最大值为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）若sin cos 22x x m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，cos 22x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设3()2f x m n =⋅-． （1）求函数()f x 在[]π，0上的单调减区间；（2）在△ABC ，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若)()(B f A f =，b a 2=，求B sin 的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，AC AA =1，11AC B A ⊥，设O 为AC 1与A 1C 的交点，点P 为BC 的中点．求证：（1）OP ∥平面ABB 1A 1；（2）平面1ACC ⊥平面OCP ．17．（本小题满分14分）如图1是淋浴房示意图，它的底座是由正方形截去一角得到，这一角是一个与正方形两邻边相切的圆的41圆弧（如图2），现已知正方形的边长是1米，设该底座的面积为S 平方米，周长为l 米（周长是指图．．．．．2．的实线部分．．．．．），圆的半径为r 米.设计的理想要求是面积S 尽可能大，周长l 尽可能小.但显然S 、l 都是关于r 的减函数，于是设lS r f =)(，当)(r f 的值越大，满意度就越高.试问r 为何值时，该淋浴房底座的满意度最高？（解答时．．．π以．3．代入运算．．．．）．18．（本小题满分16分）如图，A 、B 为椭圆C ：1222=+y ax 短轴的上、下顶点，P 为直线l ：2=y 上一动点，连接P A 并延长交椭圆于点M ，连接PB 交椭圆于点N .已知直线MA ，MB 的斜率之积恒为21-． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）求直线MN 与x 轴平行，求直线MN 的方程；（3）求四边形AMBN 面积的最大值，并求对应的点P 的坐标．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足121+=-+n a a n n ．（1）若数列{}n a 的首项为1a ，其中301<<a ，且1a ，2a ，3a 构成公比小于0的等比数列，求1a 的值；（2）若n a 是公差为d （d >0）的等差数列{}n b 的前n 项和，求1a 的值；（3）若1a =1，22-=a ，且数列{}1-2n a 单调递增，数列{}n a 2单调递减，求数列{}n a 的通项公式．20．（本小满分16分） 设函数xe x xf )()(ϕ=，)(ln )(x x x g ϕ=，其中)(x ϕ恒不为0. （1）设2)(x x =ϕ，求函数)(x f 在1=x 处的切线方程；（2）若0x 是函数)(x f 与)(x g 的公共极值点，求证：0x 存在且唯一；（3）设b ax x +=)(ϕ，是否存在实数a ，b ，使得0)()(<'⋅'x g x f 在()∞+，0上恒成立？若存在，请求出实数a ，b 满足的条件；若不存在，请说明理由．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）直线l 经矩阵M=⎢⎣⎡θθsin cos ⎥⎦⎤-θθcos sin （其中()πθ，0∈）作用变换后得到直线x y l 2:='，若直线l 与直线l '垂直，求θ的值.B.[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程112x y t ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，（t 为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=，设P 为上动点，求直线l 被曲线C 截得的弦长．C ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）若实数a b c ，，满足243a b c ++=，求111123a b c +++++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）已知某高校综合评价有两步：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试.只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格.现有A ，B ，C 三名学生报名参加该高校的综合评价，假设A ，B ，C 三位学生材料初审合格的概率分别是31，21，41；面试合格的概率分别是21，31，32. （1）求A ，B 两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率；（2）记随机变量X 为A ，B ，C 三位同学获得该高校综合评价录取资格的人数，求X 的概率分布与数学期望.23.（本小题满分10分）设集合{}n T n ,,3,2,1⋅⋅⋅=（其中*∈≥N n n ,3），将n T 的所有3元子集（含有3个元素的子集）中的最小元素的和记为n S .（1）求3S ，4S ，5S 的值；（2）试求n S 的表达式.。
南京市、盐城市高三第三次模拟考试数学试题(附加卷)(定稿)
南京市、盐城市2021届高三第三次模拟考试数学附加题考前须知：1．附加题供选考物理的考生使用． 2．本试卷共40分 ,考试时间30分钟．3．答题前 ,考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题卡．．．上．考试结束后 ,交答复题卡． 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题 ,每题10分 ,共20分．请在答．题．卡指定区域．．．．．内．作答．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4 -1：几何证明选讲如图 ,P A ,PB 是⊙O 的切线 ,切点分别为A ,B ,线段OP 交⊙O 于点C ．假设P A ＝12 ,PC ＝6 ,求AB 的长．B ．选修4 -2：矩阵与变换矩阵M ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 1 对应的变换将点A (1 ,1)变为A' (0 ,2) ,将曲线C ：xy ＝1变为曲线C'．(1 )求实数a ,b 的值； (2 )求曲线C' 的方程．C ．选修4 -4：坐标系与参数方程圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos(θ－π6) ,点M 的极坐标为(6 ,π6) ,直线l 过点M ,且与圆C 相切 ,求l的极坐标方程．D ．选修4 -5：不等式选讲解不等式x |x －4|－3＜0．ABP OC (第21题A )【必做题】第22题、第23题 ,每题10分 ,共20分．请在答．题卡指定区域内．．．．．．．作答．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题总分值10分)如图 ,三棱锥P －ABC 中 ,P A ⊥平面ABC ,△ABC 是边长为2的正三角形 ,D ,E 分别为PB ,PC 中点．(1 )假设P A ＝2 ,求直线AE 与PB 所成角的余弦值； (2 )假设平面ADE ⊥平面PBC ,求P A 的长．23．(本小题总分值10分)如图 ,一颗棋子从三棱柱的一个顶点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为13 ,刚开始时 ,棋子在上底面点A 处 ,假设移了n 次后 ,棋子落在上底面顶点的概率记为p n ．(1 )求p 1 ,p 2的值；(2 )求证：i =1∑n14P i －1＞n 2n ＋1．ABCDEF(第23题 )ABCEDP(第22题 )。
2020盐城三模高三调研考试数学试题含答案
2020盐城三模盐城市2020届高三年级第三次模拟考试数学Ⅰ参考公式：一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}{}11,022<<-=<-=x x N x x x M , 则M 与N 的并集．．N M = ▲ .2．设复数()0>+=a i a z ，若2=z z ,则正实数a 的值为 ▲ .3．某电视台对一节目的喜爱程度进行网络调查，共有12000人参与调查，喜爱、一般、不 喜爱的人分别为6000人、5000人、1000 人，为进一步了解被调查人的具体想法，现利 用分层抽样的方法抽取60人，则抽取不喜爱的人数为 ▲ .4．某校志愿者小组有2名男生和1名女生，现从中任选2人参加活动，则 女生入选的概率是 ▲ .5．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ▲ .6．若双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的离心率为2.则其两条渐近线所成的锐角为 ▲ .7．设三棱锥ABC P -的体积为1V ，点N M ,分别满足2=，NC PN =，记三棱锥BMN A -的体积为2V ，则12V V = ▲ .8．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 若c a ca bB A 2,sin sin =+=则A cos = ▲ . 9．已知数列{}{}n n b a 、满足,log 2n n a b =且数列{}n b 是等差数列.若9,2103==b b ,则数列 {}n a 的前n 项和n S = ▲ .10．若函数()()θ+=x x f 2sin 关于直线4π=x 对称，则θ的最小正值．．．．为 ▲ . 11．若存在．．实数()4,0∈x ，使不等式01623<+-ax x 成立，则实数a 的取值范围是 ▲ . 12．在锐角ABC △中，已知AH 是BC 边上的高，且满足3231+=,则ABAC的取 值范围是 ▲ .13．设函数()xb ax x x f 222⋅+-=，若函数()x f y =与函数()()x f f y =都有零点，且它们的零点完全相同，则实数a 的取值范围是 ▲ .14．若圆()16:221=+-y m x C 与圆()16:222=+-y n x C 相交，点P 为其在x 轴下方的交点，且8-=mn ，则点P 到直线01=-+y x 距离的最大值为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）若sin cos 22x x m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，cos 22x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设3()f x m n =⋅-． （1）求函数()f x 在[]π，0上的单调减区间；（2）在△ABC ，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若)()(B f A f =，b a 2=，求B sin 的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，AC AA =1，11AC B A ⊥，设O 为AC 1与A 1C 的交点，点P 为BC 的中点． 求证：（1）OP ∥平面ABB 1A 1；（2）平面1ACC ⊥平面OCP ．17．（本小题满分14分）如图1是淋浴房示意图，它的底座是由正方形截去一角得到，这一角是一个与正方形两邻边相切的圆的41圆弧（如图2），现已知正方形的边长是1米，设该底座的面积为S 平方米，周长为l 米（周长是指图．．．．．2．的实线部分．．．．．），圆的半径为r 米.设计的理想要求是面积S 尽可能大，周长l 尽可能小.但显然S 、l 都是关于r 的减函数，于是设lSr f =)(，当)(r f 的值越大，满意度就越高.试问r 为何值时，该淋浴房底座的满意度最高？（解答时．．．π以．3．代入运算．．．．）．18．（本小题满分16分）如图，A 、B 为椭圆C ：1222=+y ax 短轴的上、下顶点，P 为直线l ：2=y 上一动点，连接P A 并延长交椭圆于点M ，连接PB 交椭圆于点N .已知直线MA ，MB 的斜率之积恒为21-． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）求直线MN 与x 轴平行，求直线MN 的方程；（3）求四边形AMBN 面积的最大值，并求对应的点P 的坐标．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足121+=-+n a a n n ．（1）若数列{}n a 的首项为1a ，其中301<<a ，且1a ，2a ，3a 构成公比小于0的等比数列，求1a 的值；（2）若n a 是公差为d （d >0）的等差数列{}n b 的前n 项和，求1a 的值；（3）若1a =1，22-=a ，且数列{}1-2n a 单调递增，数列{}n a 2单调递减，求数列{}n a 的通项公式．20．（本小满分16分）设函数xe x xf )()(ϕ=，)(ln )(x xx g ϕ=，其中)(x ϕ恒不为0. （1）设2)(x x =ϕ，求函数)(x f 在1=x 处的切线方程；（2）若0x 是函数)(x f 与)(x g 的公共极值点，求证：0x 存在且唯一；（3）设b ax x +=)(ϕ，是否存在实数a ，b ，使得0)()(<'⋅'x g x f 在()∞+，0上恒成立？若存在，请求出实数a ，b 满足的条件；若不存在，请说明理由．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）直线l 经矩阵M=⎢⎣⎡θθsin cos ⎥⎦⎤-θθcos sin （其中()πθ，0∈）作用变换后得到直线x y l 2:='，若直线l 与直线l '垂直，求θ的值.B.[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程112x y t ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，（t 为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=，设P 为上动点，求直线l 被曲线C 截得的弦长．C ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）若实数a b c ，，满足243a b c ++=，求111123a b c +++++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分10分）已知某高校综合评价有两步：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试.只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格.现有A ，B ，C 三名学生报名参加该高校的综合评价，假设A ，B ，C 三位学生材料初审合格的概率分别是31，21，41；面试合格的概率分别是21，31，32. （1）求A ，B 两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率；（2）记随机变量X 为A ，B ，C 三位同学获得该高校综合评价录取资格的人数，求X 的概率分布与数学期望.23.（本小题满分10分）设集合{}n T n ,,3,2,1⋅⋅⋅=（其中*∈≥N n n ,3），将n T 的所有3元子集（含有3个元素的子集）中的最小元素的和记为n S . （1）求3S ，4S ，5S 的值； （2）试求n S 的表达式.江苏省盐城市2020届高三年级第三次模拟调研考试。
江苏省盐城市 2020届高三第三次模拟考试(6月)(数学)含答案
2020届高三模拟考试试卷数学(满分160分，考试时间120分钟)2020．6 参考公式：锥体体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为高．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 若集合A ＝{x|x ≤m}，B ＝{x|x ≥－1}，且A ∩B ＝{m}，则实数m 的值为________．2. 已知i 为虚数单位，复数z 满足z(3＋i)＝10，则|z|的值为________．3. 从数字0，1，2中任取两个不同的数字构成一个两位数，则所得的两位数大于10的概率为________．4. 如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，图中小矩形从左向右所对应的区间依次为[0，50)，[50，100)，[100，150)，[150，200)，[200，250]．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内这种面包的日销售量少于100个的天数为________天．5. 执行如图所示的流程图，输出k 的值为________．6. 若双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线为y ＝±2x，则其离心率的值为________．7. 若三棱柱ABCA 1B 1C 1的体积为12，点P 为棱AA 1上一点，则四棱锥PBCC 1B 1的体积为________． 8. “ω＝2”是“函数f(x)＝sin(ωx＋π6)的图象关于点(5π12，0)对称”的__________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)9. 在△ABC 中，C ＝B ＋π4，AB ＝324AC ，则tan B 的值为________．10. 若数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ＝2n －1＋(－1)n(2n －1)，则2a 100－S 100的值为________．11. 若集合P ＝{(x ，y)|x 2＋y 2－4x ＝0}，Q ＝{(x ，y)||x ＋2|y≥15}，则P ∩Q 表示的曲线的长度为________．12. 若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋e x，x>0，e 2x －1，x ≤0的图象上存在关于原点对称的相异两点，则实数m 的最大值是________．13. 在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝15，∠A 的平分线与边BC 的交点为D ，点E 为边BC 的中点．若AB →·AD →＝90，则 AB →·AE →的值是________．14. 若实数x ，y 满足4x 2＋4xy ＋7y 2＝1，则7x 2－4xy ＋4y 2的最小值是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)若函数f(x)＝Msin(ωx＋φ)(M>0，ω>0，0<φ<π)的最小值是－2，最小正周期是2π，且图象经过点N(π3，1)．(1) 求f(x)的解析式；(2) 在△ABC中，若f(A)＝85，f(B)＝1013，求cos C的值．16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PC⊥BC，点E是PC的中点，且平面PBC⊥平面ABCD.求证：(1) PA∥平面BDE；(2) 平面PAC⊥平面BDE.17. (本小题满分14分)如图，在一旅游区内原有两条互相垂直且相交于点O的道路l1，l2，一自然景观的边界近似为圆形，其半径约为1千米，景观的中心C到l1，l2的距离相等，点C到点O的距离约为10千米．现拟新建四条游览道路方便游客参观，具体方案：在线段OC上取一点P，新建一条道路OP，并过点P新建两条与圆C 相切的道路PM，PN(M，N为切点)，同时过点P新建一条与OP垂直的道路AB(A，B分别在l1，l2上)．为促进沿途旅游经济，新建道路长度之和越大越好，求新建道路长度之和的最大值．(所有道路宽度忽略不计)18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系中，椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的短轴长为2，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，过点F 2的动直线与椭圆交于点P ，Q ，过点F 2与PQ 垂直的直线与椭圆C 交于A ，B 两点．当直线AB 过原点时，PF 1＝3PF 2.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若点H(3，0)，记直线PH ，QH ，AH ，BH 的斜率依次为k 1，k 2，k 3，k 4. ①若k 1＋k 2＝215，求直线PQ 的斜率；②求(k 1＋k 2)(k 3＋k 4)的最小值．19. (本小题满分16分)如果存在常数k使得无穷数列{a n}满足a mn＝ka m a n恒成立，则称{a n}为P(k)数列．(1) 若数列{a n}是P(1)数列，a6＝1，a12＝3，求a3；(2) 若等差数列{b n}是P(2)数列，求{b n}的通项公式；(3) 是否存在P(k)数列{c n}，使得c2 020，c2 021，C2 022，…是等比数列？若存在，请求出所有满足条件的数列{c n}；若不存在，请说明理由．20. (本小题满分16分)设函数f(x)＝－3ln x＋x3＋ax2－2ax.(1) 当a＝0时，求函数f(x)的单调递增区间；(2) 若函数f(x)在x＝1时取极大值，求实数a的取值范围；(3) 设函数f(x)的零点个数为m，试求m的最大值．2020届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2b 1.若矩阵A 属于特征值3的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求该矩阵属于另一个特征值的特征向量．B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知直线l ：ρcos θ＋2ρsin θ＝m(m 为实数)，曲线C ：ρ＝2cos θ＋4sin θ，当直线l 被曲线C 截得的弦长取最大值时，求实数m 的值．C. (选修45：不等式选讲)已知实数x ，y ，z 满足x ＋y ＋2z ＝1，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，过点P(2，0)作直线l 与抛物线交于A ，B 两点，当直线l 与x 轴垂直时AB 的长为4 2.(1) 求抛物线的方程；(2) 若△APF 与△BPO 的面积相等，求直线l 的方程．23. 若有穷数列{a n }共有k 项(k ≥2)，且a 1＝1，a r ＋1a r ＝2（r －k ）r ＋1，当1≤r ≤k －1时恒成立．设T k ＝a 1＋a 2＋…＋a k .(1) 求T2，T3；(2) 求T k.2020届高三模拟考试试卷(盐城)数学参考答案及评分标准1. －12. 103. 344. 125. 46. 57. 88. 充分不必要9. 2 10. 299 11. 2π312. 1＋e 213. 1752 14. 3815. 解：(1) 因为f(x)的最小值是－2，所以M ＝2.(2分) 因为f(x)的最小正周期是2π，所以ω＝1.(4分)又由f(x)的图象经过点N(π3，1)，可得f(π3)＝1，sin(π3＋φ)＝12，所以φ＋π3＝2k π＋π6或φ＋π3＝2k π＋5π6，k ∈Z.又0<φ<π，所以φ＝π2，故f(x)＝2sin(x ＋π2)，即f(x)＝2cos x ．(6分)(2) 由(1)知f(x)＝2cos x. 又f(A)＝85，f(B)＝1013，故2cos A ＝85，2cos B ＝1013，即cos A ＝45，cos B ＝513.因为在△ABC 中，A ，B ∈(0，π)， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－（45）2＝35，sin B ＝1－cos 2B ＝1－（513）2＝1213，(10分)所以cos C ＝cos[π－(A ＋B)]＝－cos(A ＋B)＝－(cos Acos B －sin Asin B)＝－(45×513－35×1213)＝1665.(14分)16. 证明：(1) 设AC ∩BD ＝O ，连结OE ， 因为底面ABCD 是菱形，故O 为BD 中点． 因为点E 是PC 的中点，所以AP ∥OE. (2分)因为OE ⊂平面BDE ，AP ⊄平面BDE ，所以AP ∥平面BDE.(6分)(2) 因为平面PBC ⊥平面ABCD ，PC ⊥BC ，平面PBC ∩平面ABCD ＝BC ，PC ⊂平面PBC ， 所以PC ⊥平面ABCD.(9分) 又BD ⊂平面ABCD ，所以PC ⊥BD. 因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD.又PC ⊥BD ，AC ∩PC ＝C ，AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ， 所以BD ⊥平面PAC. (12分)又BD ⊂平面BDE ，所以平面PAC ⊥平面BDE.(14分)17. 解：连结CM ，设∠PCM ＝θ，则PC ＝1cos θ，PM ＝PN ＝tan θ，OP ＝OC －PC ＝10－1cos θ，AB ＝2OP ＝20－2cos θ.设新建的道路长度之和为f(θ)，则f(θ)＝PM ＋PN ＋AB ＋OP ＝2tan θ－3cos θ＋30.(6分)由1<PC ≤10得110≤cos θ<1.设cos θ0＝110，θ0∈(0，π2)，则θ∈(0，θ0]，sin θ0＝31110，f ′(θ)＝2－3sin θcos 2θ. 令f′(θ)＝0得sin θ＝23.(10分)设sin θ1＝23，θ1∈(0，θ0]，则θ，f ′(θ)，f(θ)的情况如下表：θ (0，θ1) θ1 (θ1，θ0]f′(θ) ＋0 －f(θ)极大由表可知当θ＝θ1此时sin θ＝23，cos θ＝53，tan θ＝25，f(θ)＝30－ 5.(13分)答：新建道路长度之和的最大值为30－5千米．(14分) 注：定义域扩展为(0，π2)，求出最值后验证也可．18. 解：(1) 因为椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的短轴长为2，所以b ＝1.当直线AB 过原点时，PQ ⊥x 轴，所以△PF 1F 2为直角三角形． 由定义知PF 1＋PF 2＝2a ，而PF 1＝3PF 2，故PF 1＝32a ，PF 2＝12a.由PF 21＝PF 22＋F 1F 22得94a 2＝14a 2＋4c 2＝14a 2＋4(a 2－1)，化简得a 2＝2，故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (4分)(2) ① 设直线PQ ：y ＝k(x －1)，代入到椭圆方程得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋(2k 2－2)＝0. 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2， (6分)所以k 1＋k 2＝y 1x 1－3＋y 2x 2－3＝k[（x 1－1）（x 2－3）＋（x 2－1）（x 1－3）]（x 1－3）（x 2－3），化简可得k 1＋k 2＝2k 8k 2＋7＝215，(10分)解得k ＝1或k ＝78，即为直线PQ 的斜率．(12分)②当这两条直线中有一条与坐标轴垂直时，(k 1＋k 2)(k 3＋k 4)＝0. 当两条直线与坐标轴都不垂直时，由①知k 1＋k 2＝2k 8k 2＋7，同理可得k 3＋k 4＝－2k8＋7k 2，(14分)故(k 1＋k 2)(k 3＋k 4)＝－4k 256k 4＋56＋113k 2＝－456（k 2＋1k 2）＋113≥－456×2k 2×1k2＋113＝－4225，当且仅当k 2＝1k 2，即k ＝±1时取等号．综上，(k 1＋k 2)(k 3＋k 4)的最小值为－4225.(16分)19. 解：(1) 由数列{a n }是P(1)数列得a 6＝a 2a 3＝1，a 12＝a 2a 6＝3，可得a 3＝13.(2分)(2) 由{b n }是P(2)数列知b mn ＝2b m b n 恒成立，取m ＝1得b n ＝2b 1b n 恒成立． 当b 1＝0，b n ＝0时满足题意，此时b n ＝0.当b 1≠0时，由b 1＝2b 21，可得b 1＝12，取m ＝n ＝2得b 4＝2b 22.设公差为d ，则12＋3d ＝2(12＋d)2，解得d ＝0或d ＝12.综上，b n ＝0或b n ＝12或b n ＝n2，经检验均合题意．(8分)(3) (解法1)假设存在满足条件的P(k)数列{c n }，不妨设该等比数列c 2 020，c 2 021，c 2 022，…的公比为q ， 则有c 2 020×2 020＝kc 2 020·c 2 020⇒c 2 020·q 2 020×2 020－2 020＝kc 2 020·c 2 020，可得q2 020×2 020－2 020＝kc 2 020 ①，c 2 020×2 021＝kc 2 020·c 2 021⇒c 2 020·q 2 020×2 021－2 020＝kc 2 020·c 2 020·q ，可得q2 020×2 021－2 021＝kc 2 020 ②.综合①②可得q ＝1，(10分)故c 2 020×2 020＝c 2 020，代入c 2 020×2 020＝kc 2 020·c 2 020得c 2 020＝1k ，则当n ≥2 020时c n ＝1k .(12分)又c 2 020＝kc 1·c 2 020⇒c 1＝1k.当1<n<2 020时，不妨设n i≥2 020，i ∈N *且i 为奇数， 由c ni ＝c n ×ni －1＝kc n ×c ni －1＝kc n ×c n ×ni －2＝k 2(c n )2×c ni －2＝…＝k i －1(c n )i.而c ni ＝1k ，所以1k ＝k i －1(c n )i ，(c n )i＝(1k )i ，c n ＝1k.综上，满足条件的P(k)数列{c n }有无穷多个，其通项公式为c n ＝1k .(16分)(解法2)同解法1得，当n ≥2 020时c n ＝1k.当1<n<2 020时，c n ×2 020＝kc n c 2 020，而c n ×2 020＝1k ，c 2 020＝1k ，故c n ＝1k ，以下同解法1.(解法3)假设存在满足条件的P(k)数列{c n }，显然{c n }的所有项及k 均不为零，c 1＝1k ，不妨设该等比数列c 2 020，c 2 021，c 2 022，…的公比为q ， 当1≤n ≤2 018时，c n ×2 020＝kc n c 2 020，c (n ＋1)×2 020＝kc n ＋1c 2 020， 两式相除可得c n ＋1c n ＝c （n ＋1）×2 020c n ×2 020＝q 2 020，故当1≤n ≤2 019时，{c n }也为等比数列，(10分)故c n ＝c 1×q2 020(n －1)＝1k ×q 2 020(n －1)，则c 2＝1k ×q 2 020，c 4＝1k ×q 6 060. 由c 4＝k(c 2)2得q2 020＝1，且当1≤n ≤2 019时c n ＝1k，(12分)则c 2 020＝kc 2c 1 010＝k ×1k ×1k ＝1k ，c 2 025＝kc 5c 405＝k ×1k ×1k ＝1k ，所以c 2 025c 2 020＝1＝q 5，所以q ＝1，故当n ≥2 020时c n ＝1k.综上，满足条件的P(k)数列{c n }有无穷多个，其通项公式为c n ＝1k.(16分)20. 解：(1) 当a ＝0时，f(x)＝－3ln x ＋x 3，所以f′(x)＝－3x ＋3x 2＝3(x 3－1x)，(1分)由f′(x)＝0得x ＝1，当x ∈(0，1)时，f ′(x)<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0， 所以函数f(x)的单调增区间为(1，＋∞)．(3分)(2) 由题意得f′(x)＝－3x ＋3x 2＋2ax －2a ＝3（x －1）x [x 2＋(2a 3＋1)x ＋1]．令g(x)＝x 2＋(2a 3＋1)x ＋1(x>0)，则f′(x)＝3（x －1）x g(x)．当2a 3＋1≥0，即a ≥－32时，g(x)>0恒成立，得f(x)在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，所以x ＝1是函数f(x)的极小值点；当Δ＝(2a 3＋1)2－4<0，即－92<a<32时，此时g(x)>0恒成立，f(x)在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，所以x ＝1是函数f(x)的极小值点；当Δ＝(2a 3＋1)2－4＝0，即a ＝－92或a ＝32时，易得f(x)在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，所以x ＝1是函数f(x)的极小值点；(6分)当Δ＝(2a 3＋1)2－4>0时，解得a<－92或a>32(舍去)，当a<－92时，设g(x)的两个零点为x 1，x 2，所以x 1x 2＝1，不妨设0<x 1<x 2.又g(1)＝2a 3＋3<0，所以0<x 1<1<x 2，故f′(x)＝3x(x －x 1)(x －1)(x －x 2)．当x ∈(0，x 1)时，f ′(x)<0；当x ∈(x 1，1)时，f ′(x)>0；当x ∈(1，x 2)时，f ′(x)<0； 当x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x)>0；所以f(x)在(0，x 1)上递减，在(x 1，1)上递增，在(1，x 2)上递减，在(x 2，＋∞)上递增； 所以x ＝1是函数f(x)极大值点．综上所述a<－92.(10分)(3) ① 由(2)知当a ≥－92时，函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故函数f(x)至多有两个零点，欲使f(x)有两个零点，需f(1)＝1－a<0，得a>1，此时f(x)＝－3ln x ＋x 3＋ax 2－2ax>－3ln x －2ax ，f(1a )>3ln a －2，当a>e 时，f(1a )>0，此时函数f(x)在(0，1)上恰有1个零点；(12分)又当x>2时，f(x)＝－3ln x ＋x 3＋ax(x －2)>－3ln x ＋x 3. 由(1)知φ(x)＝－3ln x ＋x 3在(1，＋∞)上单调递增，所以f(e)>－3＋e 3>0，故此时函数f(x)在(1，＋∞)上恰有1个零点； 由此可知当a>e 时，函数f(x)有两个零点．(14分)②当a<－92时，由(2)知f(x)在(0，x 1)上递减，在(x 1，1)上递增，在(1，x 2)上递减，在(x 2，＋∞)上递增；而0<x 1<1，所以f(x 1)＝－3ln x 1＋x 31＋ax 1(x 1－2)>0， 此时函数f(x)也至多有两个零点．综上①②所述，函数f(x)的零点个数m 的最大值为2.(16分)2020届高三模拟考试试卷(盐城) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：由题意知Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝3，b ＋1＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，(4分) 所以矩阵A 的特征多项式f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2 －2λ－1＝(λ－1)2－4.由f(λ)＝0，解得λ＝3或λ＝－1.(8分)当λ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2y ＝0，－2x －2y ＝0，令x ＝1，则y ＝－1，所以矩阵A 的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.(10分)B. 解：由题意知直线l 的直角坐标方程为x ＋2y －m ＝0.(2分)又曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋4sin θ，即ρ2＝2ρcos θ＋4ρsin θ， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －4y ＝0， 所以曲线C 是圆心为(1，2)的圆，(8分)当直线l 被曲线C 截得的弦长最大时，得1＋2×2－m ＝0，解得m ＝5.(10分) C. 解：由柯西不等式有(12＋12＋22)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋y ＋2z)2＝1，(6分) 所以x 2＋y 2＋z 2≥16(当且仅当x 1＝y 1＝z 2，即x ＝y ＝16，z ＝13时取等号)，(8分)所以x 2＋y 2＋z 2的最小值是16.(10分)22. 解：(1) 当直线l 与x 轴垂直时AB 的长为42，又P(2，0)，取A(2，22)，(1分) 所以(22)2＝2p·2，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x.(2分) (2) 由题意知S △APF ＝12·FP ·|y A |＝12|y A |，S △BPO ＝12·OP ·|y B |＝|y B |.因为S △APF ＝S △BPO ，所以|y A |＝2|y B |.(4分)当k AB ＝0时，直线AB 与抛物线不存在两个交点，所以k AB ≠0， 故设直线AB 的方程为x ＝my ＋2，代入抛物线方程得y 2－4my －8＝0, 所以y A ＋y B ＝4m ，y A y B ＝－8.(6分)当y A >0，y B <0时，y A ＝－2y B ，－2y 2B＝－8，所以y B ＝－2，x B ＝y 2B4＝1，所以k PB ＝2，直线AB 的方程为2x －y －4＝0.(8分) 当y A <0，y B >0时，同理可得直线AB 的方程为2x ＋y －4＝0. 综上所述，直线AB 的方程为2x±y－4＝0.(10分)23. 解：(1) 当k ＝2时，r ＝1，由a 2a 1＝2（1－2）1＋1＝－1，得a 2＝－1，T 2＝0.(1分)当k ＝3时，r ＝1或2，由a 2a 1＝2（1－3）1＋1＝－2，得a 2＝－2.由a 3a 2＝2（2－3）2＋1＝－23，得a 3＝43，T 3＝13.(3分) (2) 因为a r ＋1a r ＝2（r －k ）r ＋1，由累乘法得a 2a 1·a 3a 2·…·a r ＋1a r ＝2（1－k ）2·2（2－k ）3·…·2（r －k ）r ＋1，所以a r ＋1＝(－2)r（k －1）2·（k －2）3·…·（k －r ）r ＋1＝(－2)rk ！k （r ＋1）！（k －r －1）！，(5分) 所以a r ＋1＝1－2kC r ＋1k (－2)r ＋1.(6分)当r ＝0时，a 1＝1也适合a r ＋1＝1－2k C r ＋1k (－2)r ＋1，所以T k ＝1－2k [C 1k (－2)1＋C 2k (－2)2＋…＋C k k (－2)k]，(8分)即T k ＝1－2k [C 0k (－2)0＋C 1k (－2)1＋C 2k (－2)2＋…＋C k k (－2)k－1]，所以T k ＝1－2k [(1－2)k －1]＝12k [1－(－1)k]．(10分)。
江苏省盐城市2020届高三数学三模试题(解析版)
江苏省盐城市2020届高三年级第三次模拟考试数学试题2020．5第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合M ＝{}220x x x -<，N ＝{}11x x -<<，则M 与N 的并集M N ＝ ．2．设复数z a i =+(a ＞0)，若2zz =，则正实数a 的值为 ．3．某电视台对一节目的喜爱程度进行网络调查，共有12000人参与调查，喜爱、一般、不喜爱的人分别为6000人、5000人、1000 人，为进一步了解被调查人的具体想法，现利用分层抽样的方法抽取60人，则抽取不喜爱的人数为 ．4．某校志愿者小组有2名男生和1名女生，现从中任选2人参加活动， 则女生入选的概率是 ．5．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ．6．若双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为 ． 第5题 7．设三棱锥P —ABC 的体积为V 1，点M ，N 分别满足PM 2MB =，PN NC =，记三棱锥A —BMN 的体积为V 2，则21V V ＝ ． 8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ba c=+，2a c =，则cosA ＝ ．9．已知数列{}n a 、{}n b 满足2log n n b a =，且数列{}n b 是等差数列，若32b =，109b =，则数列{}n a 的前n 项和n S ＝ ． 10．若函数()sin(2)f x x θ=+关于直线4x π=对称，则θ的最小正值为 ．11．若存在实数x ∈(0，4)，使不等式32160x ax -+<成立，则实数a 的取值范围是 ．12．在锐角△ABC 中，已知AH 是BC 边上的高，且满足12AH AB AC 33=+，则AC AB的取值范围是 ．13．设函数2()22xf x x ax b =-+⋅，若函数()y f x =与函数(())y f f x =都有零点，且它们的零点完全相同，则实数a 的取值范围是 ．14．若圆C 1：22()16x m y -+=与圆C 2：22()16x n y -+=相交，点P 为其在x 轴下方的交点，且mn ＝﹣8，则点P 到直线x ＋y ﹣1＝0距离的最大值为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）若m ＝(sin2x，cos 2x )，n ＝(cos 2x 2x )，设3()f x m n =⋅-．（1）求函数()f x 在[0，π]上的单调减区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(A)(B)f f =，2a b =，求sinB 的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ，A 1B ⊥AC 1，设O 为AC 1与A 1C 的交点，点P 为BC 的中点．求证：（1）OP ∥平面ABB 1A 1； （2）平面ACC 1⊥平面OCP ．17．（本小题满分14分）如图1是淋浴房示意图，它的底座是由正方形截去一角得到，这一角是一 个与正方形两邻边相切的圆的14圆弧（如图2）．现已知正方形的边长是1米，设该底座的面积为S 平方米，周长为l 米（周长是指图2中实线部分），圆的半径为r 米．设计的理想要求是面积S 尽可能大，周长l 尽可能小，但显然S 、l 都是关于r 的减函数，于是设()Sf r l=，当()f r 的值越大，满意度就越高．试问r 为何值时，该淋浴房底座的满意度最高？（解答时π以3代入运算）18．（本小题满分16分）如图，A 、B 为椭圆C ：2221x y a+=短轴的上、下顶点，P 为直线l ：y ＝2上一动点，连接PA 并延长交椭圆于点M ，连接PB 交椭圆于点N ，已知直线MA ，MB 的斜率之积恒为12-．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线MN 与x 轴平行，求直线MN 的方程；（3）求四边形AMBN 面积的最大值，并求对应的点P 的坐标．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足121n n a a n +-=+．（1）若数列{}n a 的首项为1a ，其中103a <<，且1a ，2a ，3a 构成公比小于0的等比数列，求1a 的值；（2）若n a 是公差为d (d ＞0)的等差数列{}n b 的前n 项和，求1a 的值；（3）若11a =，22a =-，且数列{}21n a -单调递增，数列{}2n a 单调递减，求数列{}n a 的通项公式．20．（本小题满分16分）设函数()()xx f x e ϕ=，ln ()()xg x x ϕ=，其中()x ϕ恒不为0． （1）设2()x x ϕ=，求函数()f x 在x ＝1处的切线方程；（2）若0x 是函数()f x 与()g x 的公共极值点，求证：0x 存在且唯一；（3）设()x ax b ϕ=+，是否存在实数a ，b ，使得()()0f x g x ''⋅<在(0，+∞)上恒成立?若存在，请求出实数a ，b 满足的条件；若不存在，请说明理由．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换直线l 经矩阵M ＝cos sin sin cos θθθθ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦(其中θ∈(0，π))作用变换后得到直线l ′：y ＝2x ，若直线l 与l ′垂直，求θ的值．B ．选修4—4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．C ．选修4—5：不等式选讲若正数a ，b ，c 满足243a b c ++=，求111123a b c +++++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）已知某高校综合评价有两步：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试．只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，现有A ，B ，C 三名学生报名参加该高校的综合评价，假设A ，B ，C 三位学生材料初审合格的概率分别是13，12，14；面试合格的概率分别是12，13，23． （1）求A ，B 两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率；（2）记随机变量X 为A ，B ，C 三位学生获得该高校综合评价录取资格的人数，求X 的概率分布与数学期望．23．（本小题满分10分）设集合n T ＝{1，2，3，…，n }(其中n ≥3，n N *∈)，将n T 的所有3元子集（含有3个元素的子集）中的最小元素的和记为n S ．（1）求3S ，4S ，5S 的值；（2）试求n S 的表达式．江苏省盐城市2020届高三年级第三次模拟考试数学试题解析第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合M ＝{}220x x x -<，N ＝{}11x x -<<，则M 与N 的并集M N ＝ ．答案：(﹣1，2)考点：集合并集运算解析：∵集合M ＝{}220x x x -<，∴M ＝(0，2)，又∵N ＝{}11x x -<<，∴MN ＝(﹣1，2)2．设复数z a i =+(a ＞0)，若2zz =，则正实数a 的值为 ． 答案：1 考点：复数解析：∵z a i =+，∴2()()12zz a i a i a =-+=+=，又∵a ＞0，∴a ＝1．3．某电视台对一节目的喜爱程度进行网络调查，共有12000人参与调查，喜爱、一般、不喜爱的人分别为6000人、5000人、1000 人，为进一步了解被调查人的具体想法，现利用分层抽样的方法抽取60人，则抽取不喜爱的人数为 ． 答案：5考点：分层抽样 解析：601000512000⨯=．4．某校志愿者小组有2名男生和1名女生，现从中任选2人参加活动，则女生入选的概率是 ． 答案：23考点：随机事件的概率解析：3人中任选两人有三种情况，其中女生入选的情况有2种，故女生入选的概率是23． 5．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ．答案：13 考点：伪代码解析：第一步：I ＝3，S ＝5； 第一步：I ＝5，S ＝9；第一步：I ＝7，S ＝13；此时I ＞6，输出S 的值为13．6．若双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为 ．答案：3π 考点：双曲线的简单性质解析：∵2c a =，∴224c a =，故2224a b a +=，b a=∴两条渐近线方程为：y =， ∴两条渐近线所成的锐角为3π． 7．设三棱锥P —ABC 的体积为V 1，点M ，N 分别满足PM 2MB =，PN NC =，记三棱锥A —BMN 的体积为V 2，则21V V ＝ ．答案：16考点：三棱锥的体积 解析：首先得S △BMN ＝16S △PBC ，且点A 到平面BMN 与点A 到平面PBC 的距离相等， 故21V V ＝16． 8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ba c=+，2a c =，则cosA ＝ ．答案：4考点：正余弦定理 解析：∵sin sin A b B a c =+，∴a bb a c=+，把2a c =代入得，b =，∴222222cos 24b c a A bc +-===． 9．已知数列{}n a 、{}n b 满足2log n n b a =，且数列{}n b 是等差数列，若32b =，109b =，则数列{}n a 的前n 项和n S ＝ ． 答案：21n-考点：等差数列的通项公式，等比数列的前n 项和解析：∵{}n b 是等差数列，且32b =，109b =，∴1n b n =-， ∴12n n a -=，故{}n a 是的前n 项和212121n n n S -==--． 10．若函数()sin(2)f x x θ=+关于直线4x π=对称，则θ的最小正值为 ．答案：2π 考点：三角函数的对称性解析：由题意得，242k ππθ⨯+=，k ∈Z ， 则22k ππθ=-+，k ∈Z ，所以θ的最小正值为2π． 11．若存在实数x ∈(0，4)，使不等式32160x ax -+<成立，则实数a 的取值范围是 ． 答案：(6，+∞)考点：函数与不等式（存在性问题）解析：∵∃x ∈(0，4)，是不等式32160x ax -+<成立， ∴2min 162()a x x>+， 令216()f x x x=+，则322(8)()x f x x -'=，当x ∈(0，2)，()0f x '<，()f x 单调递减， 当x ∈(2，4)，()0f x '>，()f x 单调递增， 故min ()(2)12f x f ==，212a >，故6a >． 12．在锐角△ABC 中，已知AH 是BC 边上的高，且满足12AH AB AC 33=+，则ACAB的取值范围是 ． 答案：，1) 考点：平面向量与解三角形 解析：由题意知AH ⊥BC ，且CH ＝13BC ， 在Rt △ACH 中，3cos 3aCH aC AC b b===，在△ABC 中，222cos 2a b c C ab +-=， 所以22223a b c a ab b +-=，化简得222330a c b =->，得1b c<，∵△ABC 是锐角三角形，∴2222233b c a c b +>=-，得2b c >，∴12b c <<，即AC AB的取值范围是(2，1)． 13．设函数2()22xf x x ax b =-+⋅，若函数()y f x =与函数(())y f f x =都有零点，且它们的零点完全相同，则实数a 的取值范围是 ．答案：(﹣2，0] 考点：函数与方程解析：假设0x 既是()y f x =的零点，也是(())y f f x =的零点，则0()0f x =，0(())0f f x =，即(0)0f =，则b ＝0，∴2()2f x x ax =-，令()0f x =，解得10x =，22x a =， ∴(())0f f x =，解得()0f x =或()2f x a =， ①当a ＝0时，符合题意；②当a ≠0时，方程()2f x a =无解，即方程2220x ax a --=无解， ∴244(2)0a a --<，解得20a -<<， 综上所述，﹣2＜a ≤0．14．若圆C 1：22()16x m y -+=与圆C 2：22()16x n y -+=相交，点P 为其在x 轴下方的交点，且mn ＝﹣8，则点P 到直线x ＋y ﹣1＝0距离的最大值为 ．答案：2考点：直线与圆综合 解析：由题意可知2p m nx +=，代入圆C 1得p y ==，∵mn ＝﹣8，∴p y ==所以点P 在圆228x y +=上，其中0y <，求得圆心O 到直线x ＋y ﹣1＝0的距离是2，故点P 到直线x ＋y ﹣1＝0的距离的最大值是22=． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）若m ＝(sin2x，cos 2x )，n ＝(cos 2x 2x )，设3()2f x m n =⋅-．（1）求函数()f x 在[0，π]上的单调减区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(A)(B)f f =，2a b =，求sinB 的值．解：（1）∵m ＝(sin2x，cos 2x )，n ＝(cos 2x 2x )，∴23()sin cos 2222x x x f x m n =⋅-=-1sin 22x =-1sin cos 22x x =+ sin coscos sin33x x ππ=+sin()3x π=+由322232k x k πππππ+≤+≤+，k ∈Z ， 解得72266k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z ， 又∵x ∈[0，π]，∴解得6x ππ≤≤，∴函数()f x 在[0，π]的单调减区间为[6π，π]，（2）由（1）知()sin()3f x x π=+，其对称轴为6x k ππ=+，k ∈Z ，当x ∈[0，π]，对称轴方程为6x π=，∵()()f A f B =，2a b =，即A B >，∴3A B π+=，sin 2sin A B =，∴sin()2sin 3B B π-=sincos cossin 2sin 33B B B ππ-=，∴1cos sin 2sin 22B B B -=， 即cosB B =，∵22sin cos 1B B +=，且B 为锐角，sin B ＞0解得sin B =． 16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ，A 1B ⊥AC 1，设O 为AC 1与A 1C 的交点，点P 为BC 的中点．求证：（1）OP ∥平面ABB 1A 1； （2）平面ACC 1⊥平面OCP ．解：（1）∵在三棱柱中，平面ACC 1A 1是平行四边形， ∴O 为A 1C 的中点，又∵P 为BC 的中点， ∴OP ∥A 1B ，∵A 1B ⊂平面ABB 1A 1，OP ⊄平面ABB 1A 1， ∴OP ∥平面ABB 1A 1，（2）∵平面ACC 1A 1是平行四边形，且AA 1＝AC ， ∴平面ACC 1A 1是菱形， ∴AC 1⊥A 1C ，即AC 1⊥OC ， ∵A 1B ⊥AC 1，且OP ∥A 1B ，∴AC 1⊥OP ，又AC 1⊥OC ，OP OC ＝O ，∴AC 1⊥平面OCP ， ∵AC 1⊂平面ACC 1，∴平面ACC 1⊥平面OCP ．17．（本小题满分14分）如图1是淋浴房示意图，它的底座是由正方形截去一角得到，这一角是一 个与正方形两邻边相切的圆的14圆弧（如图2）．现已知正方形的边长是1米，设该底座的面积为S 平方米，周长为l 米（周长是指图2中实线部分），圆的半径为r 米．设计的理想要求是面积S 尽可能大，周长l 尽可能小，但显然S 、l 都是关于r 的减函数，于是设()Sf r l=，当()f r 的值越大，满意度就越高．试问r 为何值时，该淋浴房底座的满意度最高？（解答时π以3代入运算）解：44244222rrl r r ππ-=-+=-=-， 222241()11444r r S r r ππ-=--=-=-，所以22144()16242r r f r r r --==--，(0,1]r ∈， 22164()2(8)r r f r r -+'=-，令()0f r '=，解得8r =-(0,1]故8r =-时，()f r 取得最大值．答：当8r =-时，该淋浴房底座的满意度最高． 18．（本小题满分16分）如图，A 、B 为椭圆C ：2221x y a+=短轴的上、下顶点，P 为直线l ：y ＝2上一动点，连接PA 并延长交椭圆于点M ，连接PB 交椭圆于点N ，已知直线MA ，MB 的斜率之积恒为12-． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线MN 与x 轴平行，求直线MN 的方程；（3）求四边形AMBN 面积的最大值，并求对应的点P 的坐标．解：（1）A(0，1)，B(0，﹣1)，设M(x ，y)，则2221x y a=-2222(1)(1)1112MA MBy y y k k x x a -+-⋅===-=-，22a = 因此，椭圆C 的标准方程为：2212x y +=； （2）设M(m ，n)，则N(﹣m ，n)，((0,2)m ∈(1)11122(1)1p m AM x y n y n m n BN x y n ⎧=-⎪⎪-⇒==⇒=⎨-⎪=+⎪+⎩：：，故直线MN 的方程为：12y =；（3）设P(t ，2)，t ≠022110122AP y x x t y x y ⎧=+=⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪+=⎩：或2222224422(,)2222t x t t t M t t t y t -⎧=⎪-+⎪+⇒⎨+++⎪=⎪+⎩22310122BP y x x t y x y ⎧=-=⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪+=⎩：或22222212121818(,)18181818t x t t t N t t t y t ⎧=⎪-+⎪+⇒⎨++-+⎪=⎪+⎩22222261412412()1636221821820AMBNt t t t t t S AB t t t t t t+-=⋅+=+=++++++四边形令6)t x t +=∈+∞，则216()8AMBN x S f x x ==+四边形，)x ∈+∞ 22216(8)()0(8)x f x x -'=<+，故()f x在)+∞上递减，故x =6t t=，即t =max ()f x = 即AMBN S 四边形因此，四边形AMBN，对应的点P 的坐标为(，2)． 19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足121n n a a n +-=+．（1）若数列{}n a 的首项为1a ，其中103a <<，且1a ，2a ，3a 构成公比小于0的等比数列，求1a 的值；（2）若n a 是公差为d (d ＞0)的等差数列{}n b 的前n 项和，求1a 的值；（3）若11a =，22a =-，且数列{}21n a -单调递增，数列{}2n a 单调递减，求数列{}n a 的通项公式．解：（1）由题意知：2132122133958a a a a a a a a ⎧-=-⎪-=⇒=⎨⎪=⎩；（2）由题意知：11b a =，1(1)n b a n d =+-11121n n n a a b a dn n ++-==+=+对任意n N *∈均成立，其中d ＞0，111132512370d a d a a d d a d ⎧+=⎪+==⎧⎪⇒⎨⎨=+=⎩⎪⎪>⎩此时，11121n n n a a b a dn n ++-==+=+对任意n N *∈均成立，故11a =；（3）由题意知：135211n a a a a -=<<<<<，24622n a a a a =->>>>>故21n k =-时，1121241n n n n k k a a a a a a k ++--=-=-=- 2n k =时，121241n n k k a a a a k ++-=-=+ 则：21212k k a a +--=，故21131532123()()()21k k k a a a a a a a a k ---=+-+-++-=-即n 为奇数时，n a n =，又n 为奇数时，11211n n n a a n a n ++-=+⇒=-- 即n 为偶数时，n a n =- 综上，1(1)n n a n -=-⋅．20．（本小题满分16分）设函数()()xx f x e ϕ=，ln ()()xg x x ϕ=，其中()x ϕ恒不为0． （1）设2()x x ϕ=，求函数()f x 在x ＝1处的切线方程；（2）若0x 是函数()f x 与()g x 的公共极值点，求证：0x 存在且唯一；（3）设()x ax b ϕ=+，是否存在实数a ，b ，使得()()0f x g x ''⋅<在(0，+∞)上恒成立?若存在，请求出实数a ，b 满足的条件；若不存在，请说明理由．解：（1）2()x x f x e =，1(1)f e =，22()x x x f x e -'=，1(1)f e'=故在x ＝1处的切线方程为：0x ey -=；（2）()()()xx x f x eϕϕ'-'=，2()()ln ()()x x xxg x x ϕϕϕ'-'=由题意知0000()0ln 10()0f x x xg x '=⎧⇒-=⎨'=⎩：令()ln 1h x x x =-，x ＞0，()ln 1h x x '=+1(0,)x e -∈时，()0h x '<；1(,)x e -∈+∞时，()0h x '>故()h x 在1(0,)e -递减，1(,)e -+∞递增又(0,1)x ∈时，()1h x <-，故()h x 在(0，1)上无零点 (1)10h =-<，()10h e e =->，故(1)()0h g e <又()h x 在[1,)+∞递增，因此，()h x 在(1，e)上存在唯一零点 ∴0x 存在且唯一；（3）由题意知：()x ax b ϕ=+在(0,)+∞上无零点当a ＝0时，则b ≠0，11()()0x xb f x g x e bx xe -''=⋅=-<，符合题意； 又1(1)(1)0b f g e a b-''=⋅<+，则b(a ＋b)＞0，故b ≠0 当a ≠0时，要使()x ax b ϕ=+在(0,)+∞上无零点，显然ab ＞02ln ()()0()x ba a xa axb x f x g x e ax b +---''=⋅<+在(0,)+∞上恒成立即()(ln )0bax b a a x a x+---<在(0,)+∞上恒成立 令()F x ax b a =+-，(0,)x ∈+∞，()ln bG x a x a x=--，(0,)x ∈+∞ ,0a b >①时，max{0,1}b x a>-时，()0F x >11max{,}ax b e+>时，ln 1a x a ->，1bx->-，故()0G x >因此，11max{1,,}a bx b e a+>-时，()()0F x G x >与题意不符，舍去；,0a b <②时，max{0,1}b x a>-时，()0F x <11max{,}ax b e->-时，ln 1a x a -<-，1bx-<，故()0G x < 因此，11max{1,,}a bx b e a->--时，()()0F x G x >与题意不符，舍去； 综上，存在a ＝0，b ≠0符合题意．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换直线l 经矩阵M ＝cos sin sin cos θθθθ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦(其中θ∈(0，π))作用变换后得到直线l ′：y ＝2x ，若直线l 与l ′垂直，求θ的值．解：在l 上任取一点P(x ，y)，设P 经矩阵M 变换后得到点P′(x′，y′)故cos sin sin cos x x y y x y θθθθ'=-⎧⎨'=+⎩，又P′在直线l ′：y ＝2x 上，即y′＝2x′则sin cos 2cos 2sin x y x y θθθθ+=-即直线l ：(sin 2cos )(2sin cos )0x y θθθθ-++=因为l 与l ′垂直，故sin 2cos 1=cos 02sin cos 2θθθθθ-⇒=+又(0,)θπ∈，故2πθ=．B ．选修4—4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为112x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．解：直线l的直角坐标方程为：10x ++=，曲线C 的直角坐标方程为：222x y +=，圆心为C(0，0)，半径r， 圆心C 到直线l的距离12d ==所以直线l 被曲线C截得的弦长为=C ．选修4—5：不等式选讲若正数a ，b ，c 满足243a b c ++=，求111123a b c +++++的最小值． 解：因为正数a ，b ，c 满足243a b c ++=，所以2(1)4(2)(3)16a b c +++++=，所以1111111[2(1)4(2)(3)]()12316123a b c a b c a b c ++=+++++⋅++++++++，211121)1616+≥+=当且仅当237a =，107b -=，277c -=时，取最小值1116+．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）已知某高校综合评价有两步：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试．只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，现有A ，B ，C 三名学生报名参加该高校的综合评价，假设A ，B ，C 三位学生材料初审合格的概率分别是13，12，14；面试合格的概率分别是12，13，23．（1）求A ，B 两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率；（2）记随机变量X 为A ，B ，C 三位学生获得该高校综合评价录取资格的人数，求X 的概率分布与数学期望．解：（1）记“A ，B 两位考生有且只有一位考生获得录取资格”为事件MA 考生获得录取资格的概率为111326⨯=；B 考生获得录取资格的概率为111236⨯=； 所以15515()666618P M =⨯+⨯= 答：A ，B 两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率为518； （2）随机变量X 可能的取值为：0，1，2，3C 考生获得录取资格的概率为121436⨯=，由（1）得A ，B 两位考生获得录取资格的概率均为16， 所以A ，B ，C 三位考生获得高校综合评价录取资格的人数X ~ B(3，16)， 则0335125(0)()6216P X C ===，1235175(1)()()66216P X C ===， 2235115(2)()()66216P X C ===，33311(3)()6216P X C ===， 随机变量X 的概率分布表如下：数学期望为：125751511()01232162162162162E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（人） 答：X 的数学期望为12人．23．（本小题满分10分）设集合n T ＝{1，2，3，…，n }(其中n ≥3，n N *∈)，将n T 的所有3元子集（含有3个元素的子集）中的最小元素的和记为n S ．（1）求3S ，4S ，5S 的值；（2）试求n S 的表达式．解：（1）3{1,2,3}T =，其所有三元子集为{1,2,3}，故31S =；4{1,2,3,4}T =，其所有三元子集为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，故45S =；5{1,2,3,4,5}T =，，其所有三元子集为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,4,5}，{3,4,5}，故515S =；（2）{1,2,3,,}n T n =的所有三元子集中：最小元素为1的三元子集个数为21n C -最小元素为2的三元子集个数为22n C - 最小元素为3的三元子集个数为23n C - ……最小元素为n ﹣2的三元子集个数为22C 222222234321(2)(3)(4)32n n n n S n C n C n C C C C ---=-+-+-++++ 23222222334321(3)()(4)32n n n C n C C n C C C C ---=+-++-++++ 232222244321(3)(4)32n n n C n C n C C C C ---=+-+-++++ 23322222444321(4)()32n n n C C n C C C C C ---=++-+++++ 233222245321(4)32n n n C C n C C C C ---=++-++++ ……4333445n C C C C =++++ 43355n C C C =+++41n C +=．。
江苏省盐城市2020届高三年级三模数学试卷及答案
数学Ⅰ
参考公式：
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答．题．卡．相．应．位．置．上．．
1．已知集合 M x x2 2x 0 , N x 1 x 1 , 则 M 与 N 的并．集．M N = ▲ .
大，周长 l 尽可能小.但显然 S、l 都是关于 r 的减函数，于是设 f (r) S ，当 f (r) 的值越大， l
满意度就越高.试问 r 为何值时，该淋浴房底座的满意度最高？（解．答．时． 以．3．代．入．运．算．）．
3
18．（本小题满分 16 分）
如图，A、B
为椭圆
C：
x a
2 2
y2
1短轴的上、下顶点，P 为直线 l： y
…………13 分
答：当 r 8 2 15 时，该淋浴房的满意度最高.
…………14 分
18．解：（1）由椭圆 C
:
x2 a2
y2
1 ，所以
A(0,1) ， B(0, 1)
，设 M (x0 ,
y0 ) ，
则 y0 1 y0 1 1 ，
x0
x0
2
…………2 分
所以
y02
1
1 2
x02
，又
x02 a2
求证：（1）OP∥平面 ABB1A1；
（2）平面 ACC1 ⊥平面 OCP ．
17．（本小题满分 14 分） 如图 1 是淋浴房示意图，它的底座是由正方形截去一角得到，这一角是一个与正方形两邻边
1
相切的圆的 圆弧（如图 2），现已知正方形的边长是 1 米，设该底座的面积为 S 平方米，
4
周长为 l 米（周．长．是．指．图．2．的．实．线．部．分．），圆的半径为 r 米.设计的理想要求是面积 S 尽可能
江苏省盐城市2020届高三数学第三次模拟考试(6月)试题[含答案]
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江苏省盐城市2020届高三数学第三次模拟考试（6月）试题(满分160分，考试时间120分钟)2020．6 参考公式：锥体体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为高．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 若集合A ＝{x|x≤m}，B ＝{x|x≥－1}，且A∩B＝{m}，则实数m 的值为________．2. 已知i 为虚数单位，复数z 满足z(3＋i)＝10，则|z|的值为________．3. 从数字0，1，2中任取两个不同的数字构成一个两位数，则所得的两位数大于10的概率为________．4. 如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，图中小矩形从左向右所对应的区间依次为[0，50)，[50，100)，[100，150)，[150，200)，[200，250]．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内这种面包的日销售量少于100个的天数为________天．5. 执行如图所示的流程图，输出k 的值为________．6. 若双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线为y ＝±2x，则其离心率的值为________．7. 若三棱柱ABCA 1B 1C 1的体积为12，点P 为棱AA 1上一点，则四棱锥PBCC 1B 1的体积为________．8. “ω＝2”是“函数f(x)＝sin (ωx＋π6)的图象关于点(5π12，0)对称”的__________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)9. 在△ABC 中，C ＝B ＋π4，AB ＝324AC ，则tan B 的值为________．10. 若数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ＝2n －1＋(－1)n(2n －1)，则2a 100－S 100的值为________．11. 若集合P ＝{(x ，y)|x 2＋y 2－4x ＝0}，Q ＝{(x ，y)||x ＋2|y≥15}，则P∩Q 表示的曲线的长度为________．12. 若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋e x，x>0，e 2x －1，x ≤0的图象上存在关于原点对称的相异两点，则实数m 的最大值是________．13. 在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝15，∠A 的平分线与边BC 的交点为D ，点E 为边BC 的中点．若AB →·AD →＝90，则 AB →·AE →的值是________．14. 若实数x ，y 满足4x 2＋4xy ＋7y 2＝1，则7x 2－4xy ＋4y 2的最小值是________． 二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)若函数f(x)＝Msin (ωx＋φ)(M>0，ω>0，0<φ<π)的最小值是－2，最小正周期是2π，且图象经过点N(π3，1)．(1) 求f(x)的解析式；(2) 在△ABC 中，若f(A)＝85，f(B)＝1013，求cos C 的值．16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是菱形，PC ⊥BC ，点E 是PC 的中点，且平面PBC⊥平面ABCD.求证：(1) PA∥平面BDE ；(2) 平面PAC⊥平面BDE.17. (本小题满分14分)如图，在一旅游区内原有两条互相垂直且相交于点O的道路l1，l2，一自然景观的边界近似为圆形，其半径约为1千米，景观的中心C到l1，l2的距离相等，点C到点O的距离约为10千米．现拟新建四条游览道路方便游客参观，具体方案：在线段OC上取一点P，新建一条道路OP，并过点P新建两条与圆C相切的道路PM，PN(M，N为切点)，同时过点P新建一条与OP垂直的道路AB(A，B分别在l1，l2上)．为促进沿途旅游经济，新建道路长度之和越大越好，求新建道路长度之和的最大值．(所有道路宽度忽略不计)如图，在平面直角坐标系中，椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的短轴长为2，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，过点F 2的动直线与椭圆交于点P ，Q ，过点F 2与PQ 垂直的直线与椭圆C 交于A ，B 两点．当直线AB 过原点时，PF 1＝3PF 2.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若点H(3，0)，记直线PH ，QH ，AH ，BH 的斜率依次为k 1，k 2，k 3，k 4.① 若k 1＋k 2＝215，求直线PQ 的斜率；② 求(k 1＋k 2)(k 3＋k 4)的最小值．如果存在常数k使得无穷数列{a n}满足a mn＝ka m a n恒成立，则称{a n}为P(k)数列．(1) 若数列{a n}是P(1)数列，a6＝1，a12＝3，求a3；(2) 若等差数列{b n}是P(2)数列，求{b n}的通项公式；(3) 是否存在P(k)数列{c n}，使得c2 020，c2 021，C2 022，…是等比数列？若存在，请求出所有满足条件的数列{c n}；若不存在，请说明理由．设函数f(x)＝－3ln x＋x3＋ax2－2ax.(1) 当a＝0时，求函数f(x)的单调递增区间；(2) 若函数f(x)在x＝1时取极大值，求实数a的取值范围；(3) 设函数f(x)的零点个数为m，试求m的最大值．2020届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2b 1.若矩阵A 属于特征值3的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求该矩阵属于另一个特征值的特征向量．B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知直线l ：ρcos θ＋2ρsin θ＝m(m 为实数)，曲线C ：ρ＝2cos θ＋4sin θ，当直线l 被曲线C 截得的弦长取最大值时，求实数m 的值．C. (选修45：不等式选讲)已知实数x ，y ，z 满足x ＋y ＋2z ＝1，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，过点P(2，0)作直线l 与抛物线交于A ，B 两点，当直线l 与x 轴垂直时AB 的长为4 2.(1) 求抛物线的方程；(2) 若△APF 与△BPO 的面积相等，求直线l 的方程．23. 若有穷数列{a n }共有k 项(k≥2)，且a 1＝1，a r ＋1a r ＝2（r －k ）r ＋1，当1≤r≤k－1时恒成立．设T k ＝a 1＋a 2＋…＋a k .(1) 求T 2，T 3； (2) 求T k .2020届高三模拟考试试卷(盐城)数学参考答案及评分标准1. －12. 103. 34 4. 12 5. 4 6.5 7. 8 8. 充分不必要 9. 2 10. 29911. 2π312. 1＋e 213. 1752 14. 3815. 解：(1) 因为f(x)的最小值是－2，所以M ＝2.(2分)因为f(x)的最小正周期是2π，所以ω＝1.(4分)又由f(x)的图象经过点N(π3，1)，可得f(π3)＝1，sin(π3＋φ)＝12，所以φ＋π3＝2k π＋π6或φ＋π3＝2k π＋5π6，k ∈Z .又0<φ<π，所以φ＝π2，故f(x)＝2sin(x ＋π2)，即f(x)＝2cos x ．(6分)(2) 由(1)知f(x)＝2cos x. 又f(A)＝85，f(B)＝1013，故2cos A ＝85，2cos B ＝1013，即cos A ＝45，cos B ＝513.因为在△ABC 中，A ，B ∈(0，π)， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－（45）2＝35，sin B ＝1－cos 2B ＝1－（513）2＝1213，(10分)所以cos C ＝cos[π－(A ＋B)]＝－cos(A ＋B)＝－(cos Acos B －sin Asin B)＝－(45×513－35×1213)＝1665.(14分)16. 证明：(1) 设AC∩BD＝O ，连结OE ， 因为底面ABCD 是菱形，故O 为BD 中点． 因为点E 是PC 的中点，所以AP∥OE. (2分)因为OE ⊂平面BDE ，AP ⊄平面BDE ，所以AP∥平面BDE.(6分)(2) 因为平面PB C⊥平面ABCD ，PC ⊥BC ，平面PBC∩平面ABCD ＝BC ，PC ⊂平面PBC ， 所以PC⊥平面ABCD.(9分)又BD ⊂平面ABCD ，所以PC⊥BD.因为四边形ABCD 是菱形，所以AC⊥BD.又PC⊥BD，AC ∩PC ＝C ，AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，所以BD⊥平面PAC. (12分)又BD ⊂平面BDE ，所以平面PAC⊥平面BDE.(14分)17. 解：连结CM ，设∠PCM＝θ，则PC ＝1cos θ，PM ＝PN ＝tan θ，OP ＝OC －PC ＝10－1cos θ，AB ＝2OP ＝20－2cos θ.设新建的道路长度之和为f(θ)，则f(θ)＝PM ＋PN ＋AB ＋OP ＝2tan θ－3cos θ＋30.(6分)由1<PC≤10得110≤cos θ<1.设cos θ0＝110，θ0∈(0，π2)，则θ∈(0，θ0]，sin θ0＝31110，f ′(θ)＝2－3sin θcos 2θ. 令f ′(θ)＝0得sin θ＝23.(10分)设sin θ1＝23，θ1∈(0，θ0]，则θ，f ′(θ)，f (θ)的情况如下表：θ (0，θ1) θ1 (θ1，θ0]f′(θ) ＋0 －f (θ)极大由表可知当θ＝θ1时f(θ)有最大值，此时sin θ＝23，cos θ＝53，tan θ＝25，f (θ)＝30－ 5.(13分)答：新建道路长度之和的最大值为30－5千米．(14分)注：定义域扩展为(0，π2)，求出最值后验证也可．18. 解：(1) 因为椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的短轴长为2，所以b ＝1.当直线AB 过原点时，PQ ⊥x 轴，所以△PF 1F 2为直角三角形． 由定义知PF 1＋PF 2＝2a ，而PF 1＝3PF 2，故PF 1＝32a ，PF 2＝12a.由PF 21＝PF 22＋F 1F 22得94a 2＝14a 2＋4c 2＝14a 2＋4(a 2－1)，化简得a 2＝2，故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (4分)(2) ① 设直线PQ ：y ＝k(x －1)，代入到椭圆方程得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋(2k 2－2)＝0. 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2， (6分)所以k 1＋k 2＝y 1x 1－3＋y 2x 2－3＝k[（x 1－1）（x 2－3）＋（x 2－1）（x 1－3）]（x 1－3）（x 2－3），化简可得k 1＋k 2＝2k 8k 2＋7＝215，(10分)解得k ＝1或k ＝78，即为直线PQ 的斜率．(12分)② 当这两条直线中有一条与坐标轴垂直时，(k 1＋k 2)(k 3＋k 4)＝0. 当两条直线与坐标轴都不垂直时， 由①知k 1＋k 2＝2k 8k 2＋7，同理可得k 3＋k 4＝－2k8＋7k2，(14分) 故(k 1＋k 2)(k 3＋k 4)＝－4k256k 4＋56＋113k 2＝－456（k 2＋1k2）＋113≥－456×2k 2×1k2＋113＝－4225， 当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时取等号．综上，(k 1＋k 2)(k 3＋k 4)的最小值为－4225.(16分)19. 解：(1) 由数列{a n }是P(1)数列得a 6＝a 2a 3＝1，a 12＝a 2a 6＝3，可得a 3＝13.(2分)(2) 由{b n }是P(2)数列知b mn ＝2b m b n 恒成立，取m ＝1得b n ＝2b 1b n 恒成立． 当b 1＝0，b n ＝0时满足题意，此时b n ＝0.当b 1≠0时，由b 1＝2b 21，可得b 1＝12，取m ＝n ＝2得b 4＝2b 22.设公差为d ，则12＋3d ＝2(12＋d)2，解得d ＝0或d ＝12.综上，b n ＝0或b n ＝12或b n ＝n2，经检验均合题意．(8分)(3) (解法1)假设存在满足条件的P(k)数列{c n }，不妨设该等比数列c 2 020，c 2 021，c 2 022，…的公比为q ，则有c 2 020×2 020＝kc 2 020·c 2 020⇒c 2 020·q 2 020×2 020－2 020＝kc 2 020·c 2 020，可得q 2 020×2 020－2 020＝kc 2020 ①，c 2 020×2 021＝kc 2 020·c 2 021⇒c 2 020·q 2 020×2 021－2 020＝kc 2 020·c 2 020·q ，可得q 2 020×2 021－2 021＝kc 2 020 ②.综合①②可得q ＝1，(10分)故c 2 020×2 020＝c 2 020，代入c 2 020×2 020＝kc 2 020·c 2 020得c 2 020＝1k ，则当n≥2 020时c n ＝1k .(12分)又c 2 020＝kc 1·c 2 020⇒c 1＝1k.当1<n<2 020时，不妨设n i≥2 020，i ∈N *且i 为奇数，由c ni ＝c n ×ni －1＝kc n ×c ni －1＝kc n ×c n ×ni －2＝k 2(c n )2×c ni －2＝…＝k i －1(c n )i. 而c ni ＝1k ，所以1k ＝k i －1(c n )i ，(c n )i＝(1k )i ，c n ＝1k.综上，满足条件的P(k)数列{c n }有无穷多个，其通项公式为c n ＝1k .(16分)(解法2)同解法1得，当n≥2 020时c n ＝1k.当1<n<2 020时，c n ×2 020＝kc n c 2 020，而c n ×2 020＝1k ，c 2 020＝1k ，故c n ＝1k ，以下同解法1.(解法3)假设存在满足条件的P(k)数列{c n }，显然{c n }的所有项及k 均不为零，c 1＝1k ，不妨设该等比数列c 2 020，c 2 021，c 2 022，…的公比为q ，当1≤n≤2 018时，c n ×2 020＝kc n c 2 020，c (n ＋1)×2 020＝kc n ＋1c 2 020， 两式相除可得c n ＋1c n ＝c （n ＋1）×2 020c n ×2 020＝q 2 020，故当1≤n≤2 019时，{c n }也为等比数列，(10分) 故c n ＝c 1×q2 020(n －1)＝1k ×q 2 020(n －1)，则c 2＝1k ×q 2 020，c 4＝1k ×q 6 060. 由c 4＝k(c 2)2得q2 020＝1，且当1≤n≤2 019时c n ＝1k，(12分)则c 2 020＝kc 2c 1 010＝k×1k ×1k ＝1k ，c 2 025＝kc 5c 405＝k×1k ×1k ＝1k ，所以c 2 025c 2 020＝1＝q 5，所以q＝1，故当n≥2 020时c n ＝1k.综上，满足条件的P(k)数列{c n }有无穷多个，其通项公式为c n ＝1k.(16分)20. 解：(1) 当a ＝0时，f(x)＝－3ln x ＋x 3，所以f′(x)＝－3x ＋3x 2＝3(x 3－1x)，(1分)由f′(x)＝0得x ＝1，当x∈(0，1)时，f ′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0，所以函数f(x)的单调增区间为(1，＋∞)．(3分)(2) 由题意得f′(x)＝－3x ＋3x 2＋2ax －2a ＝3（x －1）x [x 2＋(2a 3＋1)x ＋1]．令g(x)＝x 2＋(2a 3＋1)x ＋1(x>0)，则f′(x)＝3（x －1）xg(x)．当2a 3＋1≥0，即a≥－32时，g(x)>0恒成立，得f(x)在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，所以x ＝1是函数f(x)的极小值点；当Δ＝(2a 3＋1)2－4<0，即－92<a<32时，此时g(x)>0恒成立，f(x)在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，所以x ＝1是函数f(x)的极小值点；当Δ＝(2a 3＋1)2－4＝0，即a ＝－92或a ＝32时，易得f(x)在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，所以x ＝1是函数f(x)的极小值点；(6分)当Δ＝(2a 3＋1)2－4>0时，解得a<－92或a>32(舍去)，当a<－92时，设g(x)的两个零点为x 1，x 2，所以x 1x 2＝1，不妨设0<x 1<x 2.又g(1)＝2a 3＋3<0，所以0<x 1<1<x 2，故f′(x)＝3x(x －x 1)(x －1)(x －x 2)．当x∈(0，x 1)时，f ′(x)<0；当x∈(x 1，1)时，f ′(x)>0；当x∈(1，x 2)时，f ′(x)<0；当x∈(x 2，＋∞)时，f ′(x)>0；所以f(x)在(0，x 1)上递减，在(x 1，1)上递增，在(1，x 2)上递减，在(x 2，＋∞)上递增； 所以x ＝1是函数f(x)极大值点． 综上所述a<－92.(10分)(3) ① 由(2)知当a≥－92时，函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故函数f(x)至多有两个零点，欲使f(x)有两个零点，需f(1)＝1－a<0，得a>1，此时f(x)＝－3ln x ＋x 3＋ax 2－2ax>－3ln x －2ax ，f(1a )>3ln a －2，当a>e 时，f(1a )>0，此时函数f(x)在(0，1)上恰有1个零点；(12分)又当x>2时，f(x)＝－3ln x ＋x 3＋ax(x －2)>－3ln x ＋x 3.由(1)知φ(x)＝－3ln x ＋x 3在(1，＋∞)上单调递增，所以f(e)>－3＋e 3>0，故此时函数f(x)在(1，＋∞)上恰有1个零点； 由此可知当a>e 时，函数f(x)有两个零点．(14分)② 当a<－92时，由(2)知f(x)在(0，x 1)上递减，在(x 1，1)上递增，在(1，x 2)上递减，在(x 2，＋∞)上递增；而0<x 1<1，所以f(x 1)＝－3ln x 1＋x 31＋ax 1(x 1－2)>0， 此时函数f(x)也至多有两个零点．综上①②所述，函数f(x)的零点个数m 的最大值为2.(16分)2020届高三模拟考试试卷(盐城) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：由题意知Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝3，b ＋1＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，(4分) 所以矩阵A 的特征多项式f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2 －2λ－1＝(λ－1)2－4.由f(λ)＝0，解得λ＝3或λ＝－1.(8分)当λ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2y ＝0，－2x －2y ＝0，令x ＝1，则y ＝－1，所以矩阵A 的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.(10分)B. 解：由题意知直线l 的直角坐标方程为x ＋2y －m ＝0.(2分)又曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋4sin θ，即ρ2＝2ρcos θ＋4ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －4y ＝0， 所以曲线C 是圆心为(1，2)的圆，(8分)当直线l 被曲线C 截得的弦长最大时，得1＋2×2－m ＝0，解得m ＝5.(10分)C. 解：由柯西不等式有(12＋12＋22)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x＋y ＋2z)2＝1，(6分) 所以x 2＋y 2＋z 2≥16(当且仅当x 1＝y 1＝z 2，即x ＝y ＝16，z ＝13时取等号)，(8分)所以x 2＋y 2＋z 2的最小值是16.(10分)22. 解：(1) 当直线l 与x 轴垂直时AB 的长为42，又P(2，0)，取A(2，22)，(1分)所以(22)2＝2p·2，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x.(2分)(2) 由题意知S △APF ＝12·FP ·|y A |＝12|y A |，S △BPO ＝12·OP ·|y B |＝|y B |.因为S △APF ＝S △BPO ，所以|y A |＝2|y B |.(4分)当k AB ＝0时，直线AB 与抛物线不存在两个交点，所以k AB ≠0，故设直线AB 的方程为x ＝my ＋2，代入抛物线方程得y 2－4my －8＝0, 所以y A ＋y B ＝4m ，y A y B ＝－8.(6分)当y A >0，y B <0时，y A ＝－2y B ，－2y 2B＝－8，所以y B ＝－2，x B ＝y 2B4＝1，所以k PB ＝2，直线AB 的方程为2x －y －4＝0.(8分)当y A <0，y B >0时，同理可得直线AB 的方程为2x ＋y －4＝0. 综上所述，直线AB 的方程为2x±y－4＝0.(10分)23. 解：(1) 当k ＝2时，r ＝1，由a 2a 1＝2（1－2）1＋1＝－1，得a 2＝－1，T 2＝0.(1分)当k ＝3时，r ＝1或2，由a 2a 1＝2（1－3）1＋1＝－2，得a 2＝－2.由a 3a 2＝2（2－3）2＋1＝－23，得a 3＝43，T 3＝13.(3分) (2) 因为a r ＋1a r ＝2（r －k ）r ＋1，由累乘法得a 2a 1·a 3a 2·…·a r ＋1a r＝2（1－k ）2·2（2－k ）3·…·2（r －k ）r ＋1， 所以a r＋1＝(－2)r（k －1）2·（k －2）3·…·（k －r ）r ＋1＝(－2)rk ！k （r ＋1）！（k －r －1）！，(5分)所以a r ＋1＝1－2kC r ＋1k (－2)r ＋1.(6分)当r ＝0时，a 1＝1也适合a r ＋1＝1－2k C r ＋1k (－2)r ＋1，所以T k ＝1－2k [C 1k (－2)1＋C 2k (－2)2＋…＋C k k (－2)k]，(8分)即T k ＝1－2k[C 0k (－2)0＋C 1k (－2)1＋C 2k (－2)2＋…＋C k k (－2)k－1]， 所以T k ＝1－2k [(1－2)k －1]＝12k [1－(－1)k]．(10分)。
江苏省盐城市2020届高三年级第三次模拟考试数学试题含附加题(解析版)
江苏省盐城市2020届高三年级第三次模拟考试数学试题第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合M ＝{}220x x x -<，N ＝{}11x x -<<，则M 与N 的并集M U N ＝ ． 2．设复数z a i =+(a ＞0)，若2zz =，则正实数a 的值为 ．3．某电视台对一节目的喜爱程度进行网络调查，共有12000人参与调查，喜爱、一般、不喜爱的人分别为6000人、5000人、1000 人，为进一步了解被调查人的具体想法，现利用分层抽样的方法抽取60人，则抽取不喜爱的人数为 ． 4．某校志愿者小组有2名男生和1名女生，现从中任选2人参加活动， 则女生入选的概率是 ．5．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ．6．若双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为 ． 第5题7．设三棱锥P —ABC 的体积为V 1，点M ，N 分别满足PM 2MB =u u u r u u u r ，PN NC =u u u r u u u r，记三棱锥A —BMN 的体积为V 2，则21V V ＝ ． 8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ba c=+，2a c =，则cosA ＝ ．9．已知数列{}n a 、{}n b 满足2log n n b a =，且数列{}n b 是等差数列，若32b =，109b =，则数列{}n a 的前n 项和n S ＝ ． 10．若函数()sin(2)f x x θ=+关于直线4x π=对称，则θ的最小正值为 ．11．若存在实数x ∈(0，4)，使不等式32160x ax -+<成立，则实数a 的取值范围是 ．12．在锐角△ABC 中，已知AH 是BC 边上的高，且满足12AH AB AC 33=+u u u r u u u r u u u r ，则AC AB的取值范围是 ．13．设函数2()22xf x x ax b =-+⋅，若函数()y f x =与函数(())y f f x =都有零点，且它们的零点完全相同，则实数a 的取值范围是 ．14．若圆C 1：22()16x m y -+=与圆C 2：22()16x n y -+=相交，点P 为其在x 轴下方的交点，且mn ＝﹣8，则点P 到直线x ＋y ﹣1＝0距离的最大值为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）若m u r ＝(sin 2x，cos 2x )，n r ＝(cos 2x 2x )，设()2f x m n =⋅-u r r ．（1）求函数()f x 在[0，π]上的单调减区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(A)(B)f f =，2a b =，求sinB 的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ，A 1B ⊥AC 1，设O 为AC 1与A 1C 的交点，点P 为BC 的中点．求证：（1）OP ∥平面ABB 1A 1； （2）平面ACC 1⊥平面OCP ．17．（本小题满分14分）如图1是淋浴房示意图，它的底座是由正方形截去一角得到，这一角是一 个与正方形两邻边相切的圆的14圆弧（如图2）．现已知正方形的边长是1米，设该底座的面积为S 平方米，周长为l 米（周长是指图2中实线部分），圆的半径为r 米．设计的理想要求是面积S 尽可能大，周长l 尽可能小，但显然S 、l 都是关于r 的减函数，于是设()Sf r l，当()f r 的值越大，满意度就越高．试问r 为何值时，该淋浴房底座的满意度最高？（解答时π以3代入运算）18．（本小题满分16分）如图，A 、B 为椭圆C ：2221x y a+=短轴的上、下顶点，P 为直线l ：y ＝2上一动点，连接PA 并延长交椭圆于点M ，连接PB 交椭圆于点N ，已知直线MA ，MB 的斜率之积恒为12-． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线MN 与x 轴平行，求直线MN 的方程；（3）求四边形AMBN 面积的最大值，并求对应的点P 的坐标．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足121n n a a n +-=+．（1）若数列{}n a 的首项为1a ，其中103a <<，且1a ，2a ，3a 构成公比小于0的等比数列，求1a 的值；（2）若n a 是公差为d (d ＞0)的等差数列{}n b 的前n 项和，求1a 的值；（3）若11a =，22a =-，且数列{}21n a -单调递增，数列{}2n a 单调递减，求数列{}n a 的通项公式．20．（本小题满分16分）设函数()()xx f x e ϕ=，ln ()()xg x x ϕ=，其中()x ϕ恒不为0． （1）设2()x x ϕ=，求函数()f x 在x ＝1处的切线方程；（2）若0x 是函数()f x 与()g x 的公共极值点，求证：0x 存在且唯一；（3）设()x ax b ϕ=+，是否存在实数a ，b ，使得()()0f x g x ''⋅<在(0，+∞)上恒成立?若存在，请求出实数a ，b 满足的条件；若不存在，请说明理由．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换直线l 经矩阵M ＝cos sin sin cos θθθθ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦(其中θ∈(0，π))作用变换后得到直线l ′：y ＝2x ，若直线l 与l ′垂直，求θ的值．B ．选修4—4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．C ．选修4—5：不等式选讲若正数a ，b ，c 满足243a b c ++=，求111123a b c +++++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）已知某高校综合评价有两步：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试．只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，现有A，B，C三名学生报名参加该高校的综合评价，假设A，B，C三位学生材料初审合格的概率分别是13，12，14；面试合格的概率分别是12，13，23．（1）求A，B两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率；（2）记随机变量X为A，B，C三位学生获得该高校综合评价录取资格的人数，求X 的概率分布与数学期望．23．（本小题满分10分）设集合n T ＝{1，2，3，…，n }(其中n ≥3，n N *∈)，将n T 的所有3元子集（含有3个元素的子集）中的最小元素的和记为n S ．（1）求3S ，4S ，5S 的值； （2）试求n S 的表达式．江苏省盐城市2020届高三年级第三次模拟考试数学试题解析第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合M ＝{}220x x x -<，N ＝{}11x x -<<，则M 与N 的并集M U N ＝ ． 答案：(﹣1，2) 考点：集合并集运算解析：∵集合M ＝{}220x x x -<，∴M ＝(0，2)，又∵N ＝{}11x x -<<，∴M U N ＝(﹣1，2)2．设复数z a i =+(a ＞0)，若2zz =，则正实数a 的值为 ． 答案：1 考点：复数 解析：∵z a i =+，∴2()()12zz a i a i a =-+=+=， 又∵a ＞0，∴a ＝1．3．某电视台对一节目的喜爱程度进行网络调查，共有12000人参与调查，喜爱、一般、不喜爱的人分别为6000人、5000人、1000 人，为进一步了解被调查人的具体想法，现利用分层抽样的方法抽取60人，则抽取不喜爱的人数为 ． 答案：5 考点：分层抽样 解析：601000512000⨯=．4．某校志愿者小组有2名男生和1名女生，现从中任选2人参加活动，则女生入选的概率是 ． 答案：23考点：随机事件的概率解析：3人中任选两人有三种情况，其中女生入选的情况有2种，故女生入选的概率是23． 5．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ．答案：13 考点：伪代码解析：第一步：I ＝3，S ＝5；第一步：I ＝5，S ＝9；第一步：I ＝7，S ＝13；此时I ＞6，输出S 的值为13．6．若双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为 ．答案：3π 考点：双曲线的简单性质解析：∵2c a =，∴224c a =，故2224a b a +=，b a=∴两条渐近线方程为：y =， ∴两条渐近线所成的锐角为3π． 7．设三棱锥P —ABC 的体积为V 1，点M ，N 分别满足PM 2MB =u u u r u u u r ，PN NC =u u u r u u u r，记三棱锥A —BMN 的体积为V 2，则21V V ＝ ． 答案：16考点：三棱锥的体积 解析：首先得S △BMN ＝16S △PBC ，且点A 到平面BMN 与点A 到平面PBC 的距离相等， 故21V V ＝16． 8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ba c=+，2a c =，则cosA ＝ ．考点：正余弦定理解析：∵sin sin A b B a c =+，∴a bb a c=+，把2a c =代入得，b =，∴222222cos24b c a A bc +-===． 9．已知数列{}n a 、{}n b 满足2log n n b a =，且数列{}n b 是等差数列，若32b =，109b =，则数列{}n a 的前n 项和n S ＝ ． 答案：21n -考点：等差数列的通项公式，等比数列的前n 项和解析：∵{}n b 是等差数列，且32b =，109b =，∴1n b n =-， ∴12n n a -=，故{}n a 是的前n 项和212121n n n S -==--． 10．若函数()sin(2)f x x θ=+关于直线4x π=对称，则θ的最小正值为 ．答案：2π 考点：三角函数的对称性 解析：由题意得，242k ππθ⨯+=，k ∈Z ， 则22k ππθ=-+，k ∈Z ，所以θ的最小正值为2π． 11．若存在实数x ∈(0，4)，使不等式32160x ax -+<成立，则实数a 的取值范围是 ． 答案：(6，+∞)考点：函数与不等式（存在性问题）解析：∵∃x ∈(0，4)，是不等式32160x ax -+<成立， ∴2min 162()a x x>+， 令216()f x x x=+，则322(8)()x f x x -'=，当x ∈(0，2)，()0f x '<，()f x 单调递减， 当x ∈(2，4)，()0f x '>，()f x 单调递增， 故min ()(2)12f x f ==，212a >，故6a >．12．在锐角△ABC 中，已知AH 是BC 边上的高，且满足12AH AB AC 33=+u u u r u u u r u u u r ，则ACAB的取值范围是 ． 答案：(2，1) 考点：平面向量与解三角形 解析：由题意知AH ⊥BC ，且CH ＝13BC ， 在Rt △ACH 中，3cos 3aCH aC AC b b===，在△ABC 中，222cos 2a b c C ab +-=， 所以22223a b c a ab b +-=，化简得222330a c b =->，得1b c<，∵△ABC 是锐角三角形，∴2222233b c a c b +>=-，得2b c >，1b c <<，即ACAB的取值范围是1)． 13．设函数2()22xf x x ax b =-+⋅，若函数()y f x =与函数(())y f f x =都有零点，且它们的零点完全相同，则实数a 的取值范围是 ． 答案：(﹣2，0] 考点：函数与方程解析：假设0x 既是()y f x =的零点，也是(())y f f x =的零点，则0()0f x =，0(())0f f x =，即(0)0f =，则b ＝0，∴2()2f x x ax =-，令()0f x =，解得10x =，22x a =， ∴(())0f f x =，解得()0f x =或()2f x a =，①当a ＝0时，符合题意；②当a ≠0时，方程()2f x a =无解，即方程2220x ax a --=无解， ∴244(2)0a a --<，解得20a -<<， 综上所述，﹣2＜a ≤0．14．若圆C 1：22()16x m y -+=与圆C 2：22()16x n y -+=相交，点P 为其在x 轴下方的交点，且mn ＝﹣8，则点P 到直线x ＋y ﹣1＝0距离的最大值为 ．答案：2考点：直线与圆综合 解析：由题意可知2p m nx +=，代入圆C 1得p y ==，∵mn ＝﹣8，∴p y ==所以点P 在圆228x y +=上，其中0y <，求得圆心O 到直线x ＋y ﹣1＝0的距离是2，故点P 到直线x ＋y ﹣1＝0的距离的最大值是22=． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）若m u r ＝(sin 2x，cos 2x )，n r ＝(cos 2x 2x )，设()2f x m n =⋅-u r r ．（1）求函数()f x 在[0，π]上的单调减区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(A)(B)f f =，2a b =，求sinB 的值．解：（1）∵m u r ＝(sin 2x，cos 2x )，n r ＝(cos 2x 2x )，∴2()sin cos 22222x x x f x m n =⋅-=-u r r1sin 22x =-1sin 2x x =sin coscos sin33x x ππ=+sin()3x π=+由322232k x k πππππ+≤+≤+，k ∈Z ， 解得72266k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z ， 又∵x ∈[0，π]，∴解得6x ππ≤≤，∴函数()f x 在[0，π]的单调减区间为[6π，π]， （2）由（1）知()sin()3f x x π=+，其对称轴为6x k ππ=+，k ∈Z ，当x ∈[0，π]，对称轴方程为6x π=，∵()()f A f B =，2a b =，即A B >，∴3A B π+=，sin 2sin A B =，∴sin()2sin 3B B π-=sincos cossin 2sin 33B B B ππ-=，∴1cos sin 2sin 22B B B -=，即cosB B =，∵22sin cos 1B B +=，且B 为锐角，sin B ＞0解得sin 14B =． 16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ，A 1B ⊥AC 1，设O 为AC 1与A 1C 的交点，点P 为BC 的中点．求证：（1）OP ∥平面ABB 1A 1； （2）平面ACC 1⊥平面OCP ．解：（1）∵在三棱柱中，平面ACC 1A 1是平行四边形， ∴O 为A 1C 的中点，又∵P 为BC 的中点， ∴OP ∥A 1B ，∵A 1B ⊂平面ABB 1A 1，OP ⊄平面ABB 1A 1， ∴OP ∥平面ABB 1A 1，（2）∵平面ACC 1A 1是平行四边形，且AA 1＝AC ， ∴平面ACC 1A 1是菱形， ∴AC 1⊥A 1C ，即AC 1⊥OC ， ∵A 1B ⊥AC 1，且OP ∥A 1B ，∴AC 1⊥OP ，又AC 1⊥OC ，OP I OC ＝O ， ∴AC 1⊥平面OCP ， ∵AC 1⊂平面ACC 1， ∴平面ACC 1⊥平面OCP ．17．（本小题满分14分）如图1是淋浴房示意图，它的底座是由正方形截去一角得到，这一角是一 个与正方形两邻边相切的圆的4圆弧（如图2）．现已知正方形的边长是1米，设该底座的面积为S 平方米，周长为l 米（周长是指图2中实线部分），圆的半径为r 米．设计的理想要求是面积S 尽可能大，周长l 尽可能小，但显然S 、l 都是关于r 的减函数，于是设()Sf r l=，当()f r 的值越大，满意度就越高．试问r 为何值时，该淋浴房底座的满意度最高？（解答时π以3代入运算）解：44244222rrl r r ππ-=-+=-=-， 222241()11444r r S r r ππ-=--=-=-，所以22144()16242r r f r r r --==--，(0,1]r ∈， 22164()2(8)r r f r r -+'=-，令()0f r '=，解得8r =-(0,1]故8r =-时，()f r 取得最大值．答：当8r =-时，该淋浴房底座的满意度最高． 18．（本小题满分16分）如图，A 、B 为椭圆C ：2221x y a+=短轴的上、下顶点，P 为直线l ：y ＝2上一动点，连接PA 并延长交椭圆于点M ，连接PB 交椭圆于点N ，已知直线MA ，MB 的斜率之积恒为12-． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线MN 与x 轴平行，求直线MN 的方程；（3）求四边形AMBN 面积的最大值，并求对应的点P 的坐标．解：（1）A(0，1)，B(0，﹣1)，设M(x ，y)，则2221x y a=-2222(1)(1)1112MA MBy y y k k x x a -+-⋅===-=-，22a = 因此，椭圆C 的标准方程为：2212x y +=； （2）设M(m ，n)，则N(﹣m ，n)，(m ∈U(1)11122(1)1p m AM x y n y n m n BN x y n ⎧=-⎪⎪-⇒==⇒=⎨-⎪=+⎪+⎩：：，故直线MN 的方程为：12y =；（3）设P(t ，2)，t ≠022110122AP y x x t y x y ⎧=+=⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪+=⎩：或2222224422(,)2222t x t t t M t t t y t -⎧=⎪-+⎪+⇒⎨+++⎪=⎪+⎩22310122BP y x x t y x y ⎧=-=⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪+=⎩：或22222212121818(,)18181818t x t t t N t t t y t ⎧=⎪-+⎪+⇒⎨++-+⎪=⎪+⎩22222261412412()1636221821820AMBNt t t t t t S AB t t t t t t+-=⋅+=+=++++++四边形令6)t x t +=∈+∞，则216()8AMBN x S f x x ==+四边形，)x ∈+∞ 22216(8)()0(8)x f x x -'=<+，故()f x在)+∞上递减，故x =6t t=，即t =max ()f x = 即AMBN S 四边形因此，四边形AMBN，对应的点P 的坐标为(，2)． 19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足121n n a a n +-=+．（1）若数列{}n a 的首项为1a ，其中103a <<，且1a ，2a ，3a 构成公比小于0的等比数列，求1a 的值；（2）若n a 是公差为d (d ＞0)的等差数列{}n b 的前n 项和，求1a 的值；（3）若11a =，22a =-，且数列{}21n a -单调递增，数列{}2n a 单调递减，求数列{}n a 的通项公式．解：（1）由题意知：2132122133958a a a a a a a a ⎧-=-⎪-=⇒=⎨⎪=⎩；（2）由题意知：11b a =，1(1)n b a n d =+-11121n n n a a b a dn n ++-==+=+对任意n N *∈均成立，其中d ＞0，111132512370d a d a a d d a d ⎧+=⎪+==⎧⎪⇒⎨⎨=+=⎩⎪⎪>⎩此时，11121n n n a a b a dn n ++-==+=+对任意n N *∈均成立，故11a =；（3）由题意知：135211n a a a a -=<<<<<L L ，24622n a a a a =->>>>>L L 故21n k =-时，1121241n n n n k k a a a a a a k ++--=-=-=- 2n k =时，121241n n k k a a a a k ++-=-=+ 则：21212k k a a +--=，故21131532123()()()21k k k a a a a a a a a k ---=+-+-++-=-L即n 为奇数时，n a n =，又n 为奇数时，11211n n n a a n a n ++-=+⇒=-- 即n 为偶数时，n a n =- 综上，1(1)n n a n -=-⋅．20．（本小题满分16分）设函数()()xx f x e ϕ=，ln ()()xg x x ϕ=，其中()x ϕ恒不为0． （1）设2()x x ϕ=，求函数()f x 在x ＝1处的切线方程；（2）若0x 是函数()f x 与()g x 的公共极值点，求证：0x 存在且唯一；（3）设()x ax b ϕ=+，是否存在实数a ，b ，使得()()0f x g x ''⋅<在(0，+∞)上恒成立?若存在，请求出实数a ，b 满足的条件；若不存在，请说明理由．解：（1）2()x x f x e =，1(1)f e =，22()x x x f x e -'=，1(1)f e'=故在x ＝1处的切线方程为：0x ey -=；（2）()()()xx x f x eϕϕ'-'=，2()()ln ()()x x xxg x x ϕϕϕ'-'=由题意知0000()0ln 10()0f x x xg x '=⎧⇒-=⎨'=⎩：令()ln 1h x x x =-，x ＞0，()ln 1h x x '=+1(0,)x e -∈时，()0h x '<；1(,)x e -∈+∞时，()0h x '>故()h x 在1(0,)e -递减，1(,)e -+∞递增又(0,1)x ∈时，()1h x <-，故()h x 在(0，1)上无零点 (1)10h =-<，()10h e e =->，故(1)()0h g e <又()h x 在[1,)+∞递增，因此，()h x 在(1，e)上存在唯一零点 ∴0x 存在且唯一；（3）由题意知：()x ax b ϕ=+在(0,)+∞上无零点当a ＝0时，则b ≠0，11()()0x xb f x g x e bx xe -''=⋅=-<，符合题意； 又1(1)(1)0b f g e a b-''=⋅<+，则b(a ＋b)＞0，故b ≠0 当a ≠0时，要使()x ax b ϕ=+在(0,)+∞上无零点，显然ab ＞02ln ()()0()x ba a xa axb x f x g x e ax b +---''=⋅<+在(0,)+∞上恒成立即()(ln )0bax b a a x a x+---<在(0,)+∞上恒成立 令()F x ax b a =+-，(0,)x ∈+∞，()ln bG x a x a x=--，(0,)x ∈+∞ ,0a b >①时，max{0,1}b x a>-时，()0F x >11max{,}ax b e+>时，ln 1a x a ->，1bx->-，故()0G x >因此，11max{1,,}a bx b e a+>-时，()()0F x G x >与题意不符，舍去；,0a b <②时，max{0,1}b x a>-时，()0F x <11max{,}ax b e->-时，ln 1a x a -<-，1bx-<，故()0G x < 因此，11max{1,,}a bx b e a->--时，()()0F x G x >与题意不符，舍去； 综上，存在a ＝0，b ≠0符合题意．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换直线l 经矩阵M ＝cos sin sin cos θθθθ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦(其中θ∈(0，π))作用变换后得到直线l ′：y ＝2x ，若直线l 与l ′垂直，求θ的值．解：在l 上任取一点P(x ，y)，设P 经矩阵M 变换后得到点P′(x′，y′)故cos sin sin cos x x y y x y θθθθ'=-⎧⎨'=+⎩，又P′在直线l ′：y ＝2x 上，即y′＝2x′则sin cos 2cos 2sin x y x y θθθθ+=-即直线l ：(sin 2cos )(2sin cos )0x y θθθθ-++=因为l 与l ′垂直，故sin 2cos 1=cos 02sin cos 2θθθθθ-⇒=+又(0,)θπ∈，故2πθ=．B ．选修4—4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．解：直线l的直角坐标方程为：10x ++=，曲线C 的直角坐标方程为：222x y +=，圆心为C(0，0)，半径r， 圆心C 到直线l的距离12d ==所以直线l 被曲线C截得的弦长为=C ．选修4—5：不等式选讲若正数a ，b ，c 满足243a b c ++=，求111123a b c +++++的最小值． 解：因为正数a ，b ，c 满足243a b c ++=，所以2(1)4(2)(3)16a b c +++++=，所以1111111[2(1)4(2)(3)]()12316123a b c a b c a b c ++=+++++⋅++++++++，211121)1616+≥+=当且仅当a =，b =，c =．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）已知某高校综合评价有两步：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试．只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，现有A ，B ，C 三名学生报名参加该高校的综合评价，假设A ，B ，C 三位学生材料初审合格的概率分别是13，12，14；面试合格的概率分别是12，13，23． （1）求A ，B 两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率；（2）记随机变量X 为A ，B ，C 三位学生获得该高校综合评价录取资格的人数，求X 的概率分布与数学期望．解：（1）记“A ，B 两位考生有且只有一位考生获得录取资格”为事件MA 考生获得录取资格的概率为111326⨯=；B 考生获得录取资格的概率为111236⨯=； 所以15515()666618P M =⨯+⨯= 答：A ，B 两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率为518； （2）随机变量X 可能的取值为：0，1，2，3 C 考生获得录取资格的概率为121436⨯=，由（1）得A ，B 两位考生获得录取资格的概率均为16， 所以A ，B ，C 三位考生获得高校综合评价录取资格的人数X ~ B(3，16)， 则0335125(0)()6216P X C ===，1235175(1)()()66216P X C ===， 2235115(2)()()66216P X C ===，33311(3)()6216P X C ===， 随机变量X 的概率分布表如下：数学期望为： 125751511()01232162162162162E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（人） 答：X 的数学期望为12人．23．（本小题满分10分）设集合n T ＝{1，2，3，…，n }(其中n ≥3，n N *∈)，将n T 的所有3元子集（含有3个元素的子集）中的最小元素的和记为n S ．（1）求3S ，4S ，5S 的值； （2）试求n S 的表达式．解：（1）3{1,2,3}T =，其所有三元子集为{1,2,3}，故31S =；4{1,2,3,4}T =，其所有三元子集为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，故45S =；5{1,2,3,4,5}T =，，其所有三元子集为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,4,5}，{3,4,5}，故515S =；（2）{1,2,3,,}n T n =L 的所有三元子集中： 最小元素为1的三元子集个数为21n C - 最小元素为2的三元子集个数为22n C - 最小元素为3的三元子集个数为23n C - ……最小元素为n ﹣2的三元子集个数为22C222222234321(2)(3)(4)32n n n n S n C n C n C C C C ---=-+-+-++++L 23222222334321(3)()(4)32n n n C n C C n C C C C ---=+-++-++++L232222244321(3)(4)32n n n C n C n C C C C ---=+-+-++++L 23322222444321(4)()32n n n C C n C C C C C ---=++-+++++L 233222245321(4)32n n n C C n C C C C ---=++-++++L ……4333445n C C C C =++++L 43355n C C C =+++L 41n C +=．。
江苏省盐城市2020届高三第三次模拟考试数学试题
盐城市2020届高三年级第三次模拟考试数学Ⅰ参考公式：一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}{}11,022<<-=<-=x x N x x x M , 则M 与N 的并集．．N M Y = ▲ .2．设复数()0>+=a i a z ，若2=z z ,则正实数a 的值为 ▲ .3．某电视台对一节目的喜爱程度进行网络调查，共有12000人参与调查，喜爱、一般、不 喜爱的人分别为6000人、5000人、1000 人，为进一步了解被调查人的具体想法，现利 用分层抽样的方法抽取60人，则抽取不喜爱的人数为 ▲ .4．某校志愿者小组有2名男生和1名女生，现从中任选2人参加活动，则 女生入选的概率是 ▲ .5．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ▲ .6．若双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的离心率为2.则其两条渐近线所成的锐角为 ▲ .7．设三棱锥ABC P -的体积为1V ，点N M ,分别满足2=，NC PN =，记三棱锥BMN A -的体积为2V ，则12V V = ▲ . 8．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 若c a ca bB A 2,sin sin =+=则A cos = ▲ .9．已知数列{}{}n n b a 、满足,log 2n n a b =且数列{}n b 是等差数列.若9,2103==b b ,则数列 {}n a 的前n 项和n S = ▲ .10．若函数()()θ+=x x f 2sin 关于直线4π=x 对称，则θ的最小正值．．．．为 ▲ . 11．若存在．．实数()4,0∈x ，使不等式01623<+-ax x 成立，则实数a 的取值范围是 ▲ . 12．在锐角ABC △中，已知AH 是BC 边上的高，且满足AC AB AH 3231+=,则ABAC的取 值范围是 ▲ .13．设函数()xb ax x x f 222⋅+-=，若函数()x f y =与函数()()x f f y =都有零点，且它们的零点完全相同，则实数a 的取值范围是 ▲ .14．若圆()16:221=+-y m x C 与圆()16:222=+-y n x C 相交，点P 为其在x 轴下方的交点，且8-=mn ，则点P 到直线01=-+y x 距离的最大值为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）若sin cos 22x x m ⎛⎫= ⎪⎝⎭u r ，，cos 22x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭r，设()2f x m n =⋅-u r r ．（1）求函数()f x 在[]π，0上的单调减区间；（2）在△ABC ，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若)()(B f A f =，b a 2=，求B sin 的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，AC AA =1，11AC B A ⊥，设O 为AC 1与A 1C 的交点，点P 为BC 的中点． 求证：（1）OP ∥平面ABB 1A 1；（2）平面1ACC ⊥平面OCP ．17．（本小题满分14分）如图1是淋浴房示意图，它的底座是由正方形截去一角得到，这一角是一个与正方形两邻边相切的圆的41圆弧（如图2），现已知正方形的边长是1米，设该底座的面积为S 平方米，周长为l 米（周长是指图．．．．．2．的实线部分．．．．．），圆的半径为r 米.设计的理想要求是面积S 尽可能大，周长l 尽可能小.但显然S 、l 都是关于r 的减函数，于是设lSr f =)(，当)(r f 的值越大，满意度就越高.试问r 为何值时，该淋浴房底座的满意度最高？（解答时．．．π以．3．代入运算．．．．）．18．（本小题满分16分）如图，A 、B 为椭圆C ：1222=+y ax 短轴的上、下顶点，P 为直线l ：2=y 上一动点，连接P A 并延长交椭圆于点M ，连接PB 交椭圆于点N .已知直线MA ，MB 的斜率之积恒为21-． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）求直线MN 与x 轴平行，求直线MN 的方程；（3）求四边形AMBN 面积的最大值，并求对应的点P 的坐标．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足121+=-+n a a n n ．（1）若数列{}n a 的首项为1a ，其中301<<a ，且1a ，2a ，3a 构成公比小于0的等比数列，求1a 的值；（2）若n a 是公差为d （d >0）的等差数列{}n b 的前n 项和，求1a 的值；（3）若1a =1，22-=a ，且数列{}1-2n a 单调递增，数列{}n a 2单调递减，求数列{}n a 的通项公式．20．（本小满分16分）设函数xe x xf )()(ϕ=，)(ln )(x xx g ϕ=，其中)(x ϕ恒不为0. （1）设2)(x x =ϕ，求函数)(x f 在1=x 处的切线方程；（2）若0x 是函数)(x f 与)(x g 的公共极值点，求证：0x 存在且唯一；（3）设b ax x +=)(ϕ，是否存在实数a ，b ，使得0)()(<'⋅'x g x f 在()∞+，0上恒成立？若存在，请求出实数a ，b 满足的条件；若不存在，请说明理由．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）直线l 经矩阵M=⎢⎣⎡θθsin cos ⎥⎦⎤-θθcos sin （其中()πθ，0∈）作用变换后得到直线x y l 2:='，若直线l 与直线l '垂直，求θ的值.B.[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程112x y t ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，（t 为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=，设P 为上动点，求直线l 被曲线C 截得的弦长．C ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）若实数a b c ，，满足243a b c ++=，求111123a b c +++++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分10分）已知某高校综合评价有两步：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试.只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格.现有A ，B ，C 三名学生报名参加该高校的综合评价，假设A ，B ，C 三位学生材料初审合格的概率分别是31，21，41；面试合格的概率分别是21，31，32. （1）求A ，B 两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率；（2）记随机变量X 为A ，B ，C 三位同学获得该高校综合评价录取资格的人数，求X 的概率分布与数学期望.23.（本小题满分10分）设集合{}n T n ,,3,2,1⋅⋅⋅=（其中*∈≥N n n ,3），将n T 的所有3元子集（含有3个元素的子集）中的最小元素的和记为n S . （1）求3S ，4S ，5S 的值； （2）试求n S 的表达式.。
南京市2020届高三年级数学第三次模拟考试含附加及参考答案
南京市2020届高三年级数学第三次模拟考试含附加及参考答案work Information Technology Company.2020YEAR南京市2020届高三年级第三次模拟考试数 学注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置．．．．上） 1．已知集合A ＝{x |2＜x ＜4}，B ＝{x |1＜x ＜3}，则A ∪B ＝ ▲ ． 2．若z ＝a 1＋i＋i (i 是虚数单位)是实数，则实数a 的值为 ▲ ． 3．某校共有教师300人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为125的样本，则从男学生中抽取的人数为 ▲ ．4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ▲ ．5．将甲、乙、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为 ▲ ．6．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ) (其中ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，则f (π2)的值为 ▲ ．7．已知数列{a n }为等比数列．若a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－2成等差数列，则{a n }的前n 项和为 ▲ ．（第6题图）8．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ．若以F 为圆心，a 为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于A ，B 两点，且AB ＝2b ，则该双曲线的离心率为 ▲ ．9．若正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则三棱锥A －B 1CD 1的体积为 ▲ ．10．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2， x ≤0，f (－x )，x ＞0，g (x )＝f (x －2)．若g (x －1)≥1，则x 的取值范围为 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝2上两个动点，且OA →⊥OB →．若A ，B 两点到直线l ：3x ＋4y －10＝0的距离分别为d 1，d 2，则d 1＋d 2的最大值为 ▲ ．12．若对任意a ∈[e ，＋∞) (e 为自然对数的底数) ，不等式x ≤e ax ＋b 对任意x ∈R 恒成立，则实数b 的取值范围为 ▲ ．13．已知点P 在边长为4的等边三角形ABC 内，满足AP →＝λAB →＋μAC →，且2λ＋3μ＝1，延长AP 交边BC 于点D ．若BD ＝2DC ，则PA →·PB →的值为 ▲ ．14．在△ABC 中，∠A ＝π3，D 是BC 的中点．若AD ≤22BC ，则sin B sin C 的最大值为 ▲ ．二、解答题:本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指．定区域．．．内． 15．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．求证：（1）EF∥平面PCD；（2）平面PAB⊥平面PCD．16．(本小题满分14分)已知向量m＝(cos x，sin x)，n＝(cos x，－sin x)，函数f(x)＝m·n＋1 2．（1）若f(x2)＝1，x∈(0，π)，求tan(x＋π4)的值；（2）若f(α)＝－110，α∈(π2，3π4)，sinβ＝7210，β∈(0，π2)，求2α＋β的值．17．(本小题满分14分)如图，港口A在港口O的正东100海里处，在北偏东方向有一条直线航道OD，航道和正东方向之间有一片以B为圆心，半径85海里的圆形暗礁群（在这片海域行船有触礁危险），其中OB＝2013海里，tan∠AOB＝2 3，cos∠AOD＝55．现一艘科考船以105海里/小时的速度从O出发沿OD方向行驶，经过2个小时后，一艘快艇以50海里/小时的速度准备从港口A 出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇．（1）若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由；（2）在无触礁危险的情况下，若快艇再等x小时出发，求x的最小值．18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)经过点 (－2，0)和 (1，32)，椭圆C上三点A，M，B与原点O构成一个平行四边形AMBO．（1）求椭圆C的方程；（2）若点B是椭圆C的左顶点，求点M的坐标；（3）若A，M，B，O四点共圆，求直线AB的斜率．19．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝e xx2－ax＋a(a∈R) ，其中e为自然对数的底数．(第18题图)(第17题图)（1）若a＝1，求函数f(x)的单调减区间；（2）若函数f(x)的定义域为R，且f(2)＞f(a)，求a的取值范围；（3）证明：对任意a∈(2，4)，曲线y＝f(x)上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线经过坐标原点．20．(本小题满分16分)若数列{a n}满足n≥2，n∈N*时，a n≠0，则称数列{a na n＋1}(n∈N*)为{a n}的“L数列”．（1）若a1＝1，且{a n}的“L数列”为{12n}，求数列{a n}的通项公式；（2）若a n＝n＋k－3(k＞0)，且{a n}的“L数列”为递增数列，求k的取值范围；（3）若a n＝1＋p n－1，其中p＞1，记{a n}的“L数列”的前n项和为S n，试判断是否存在等差数列{c n}，对任意n∈N*，都有c n＜S n＜c n＋1成立，并证明你的结论．南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学附加题注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题．．卡．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 0，a ∈R ．若点P (1，1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，－2)．（1）求矩阵A ；（2）求点Q (0，3)经过矩阵A 的2次变换后对应点Q ′的坐标．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝1＋t (t 为参数)，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．C ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b 为非负实数，求证：a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域．．．．．．．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝3，AC ＝4，B 1C ⊥AC 1．（1）求AA 1的长．（2）试判断在侧棱BB 1上是否存在点P ，使得直线PC 与平面AA 1C 1C 所成角和二面角B －A 1C －A 的大小相等，并说明理由．(第22题图) A 1CABB 1C 1P23．(本小题满分10分)口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球．现有一抽奖游戏规则如下：抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球，最多取球2n＋1(n∈N*)次．若取出白球的累计次数达到n＋1时，则终止取球且获奖，其它情况均不获奖．记获奖概率为P n．（1）求P1；（2）证明：P n＋1＜P n．南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{x|1＜x＜4} 2．2 3．60 4．10 5．23 6． 37．2－2 8．62 9．83 10．[2，4] 11．6 12． [－2，＋∞)13．－9414．38二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本小题满分14分)证明：(1)取PC中点G，连接DG、FG．在△PBC中，因为F，G分别为PB，PC的中点，所以GF∥BC，GF＝1 2BC．因为底面ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE ∥BC ，DE ＝12BC ， ······························································· 2分所以GF ∥DE ，GF ＝DE ，所以四边形DEFG 为平行四边形， 所以EF ∥DG ． ······························································· 4分 又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD ． ······································································ 6分(2)因为底面ABCD 为矩形，所以CD ⊥AD ．又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD ． ····················································· 10分 因为PA ⊂平面PAD ，所以CD ⊥PA ． ·································· 12分又因为PA ⊥PD ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，PD ∩CD ＝D ，所以PA ⊥平面PCD ．因为PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PCD ． ·················· 14分16．(本小题满分14分)解：(1) 因为向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(cos x ，－sin x )，所以 f (x )＝m ·n ＋12＝cos 2x －sin 2x ＋12＝cos2x ＋12． ····················· 2分因为f (x 2)＝1，所以cos x ＋12＝1，即cos x ＝12．又因为x ∈(0，π) ，所以x ＝π3， ················································· 4分所以tan(x ＋π4)＝tan(π3＋π4)＝tan π3＋ tan π41－tan π3tanπ4＝－2－3． ······················ 6分(2)若f (α)＝－110，则cos2α＋12＝－110，即cos2α＝－35．因为α∈(π2，3π4)，所以2α∈(π，3π2)，所以sin2α＝－1－cos 22α＝－45．··························································································· 8分 因为sin β＝7210，β∈(0，π2)，所以cos β＝1－sin 2β＝210， ········· 10分 所以cos(2α＋β)＝cos2αcos β－sin2αsin β＝(－35)×210－(－45)×7210＝22．·························································································· 12分 又因为2α∈(π，3π2)，β∈(0，π2)，所以2α＋β∈(π，2π)， 所以2α＋β的值为7π4． ························································ 14分17．(本小题满分14分)解：如图，以O 为原点，正东方向为x 轴，正北方向轴，建立直角坐标系xOy ．因为OB ＝2013，tan ∠AOB ＝23，OA ＝100，所以点B (60，40)，且A (100，0)． 2分(1)设快艇立即出发经过t 小时后两船相遇于点C ， 则OC ＝105(t ＋2)，AC ＝50t ． 因为OA ＝100，cos ∠AOD ＝55， 所以AC 2＝OA 2＋OC 2－2OA ·OC ·cos ∠AOD ， 即(50t )2＝1002＋[105(t ＋2)]2－2×100×105(t ＋2)×55．化得t 2＝4，解得t 1＝2，t 2＝－2（舍去）， ················································· 4分 所以OC ＝405． 因为cos ∠AOD ＝55，所以sin ∠AOD ＝255，所以C (40，80)， 所以直线AC 的方程为y ＝－43(x －100)，即4x ＋3y －400＝0． ·························· 6分因为圆心B 到直线AC 的距离d ＝|4×60＋3×40－400|42＋32＝8，而圆B 的半径r ＝85，所以d ＜r ，此时直线AC 与圆B 相交，所以快艇有触礁的危险．答：若快艇立即出发有触礁的危险． ·························································· 8分 (2)设快艇所走的直线AE 与圆B 相切，且与科考船相遇于点E ． 设直线AE 的方程为y ＝k (x －100)，即kx －y －100k ＝0．因为直线AE 与圆B 相切，所以圆心B 到直线AC 的距离d ＝|60k －40－100k |12＋k 2＝85，即2k 2＋5k ＋2＝0，解得k ＝－2或k ＝－12． ················································ 10分由（1）可知k ＝－12舍去．因为cos ∠AOD ＝55，所以tan ∠AOD ＝2，所以直线OD 的方程为y ＝2x ． 由⎩⎨⎧y ＝2x ， y ＝－2(x －100)，解得⎩⎨⎧x ＝50，y ＝100，所以E (50，100)，所以AE ＝505，OE ＝505， ·································································· 12分 此时两船的时间差为505105－50550＝5－5，所以x ≥5－5－2＝3－5．答：x 的最小值为(3－5)小时．································································ 14分18．(本小题满分16分)解：(1)因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(－2，0)和 (1，32)，所以a ＝2，1a 2＋34b 2＝1，解得b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1． ············································ 2分(2)因为B 为左顶点，所以B (－2，0)．因为四边形AMBO 为平行四边形，所以AM ∥BO ，且AM ＝BO ＝2． · 4分设点M (x 0，y 0)，则A (x 0＋2，y 0)．因为点M ，A 在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 024＋y 02＝1， (x 0＋2)24＋y 02＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1， y 0＝±32， 所以M (－1，±32)． ·························································· 6分(3) 因为直线AB 的斜率存在，所以设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2． ······································ 8分因为平行四边形AMBO ，所以OM →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)． 因为x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝k ·－8km1＋4k 2＋2m ＝2m1＋4k 2， 所以M (－8km 1＋4k 2，2m1＋4k 2)． ···················································· 10分 因为点M 在椭圆C 上，所以将点M 的坐标代入椭圆C 的方程， 化得4m 2＝4k 2＋1．① ·························································· 12分 因为A ，M ，B ，O 四点共圆，所以平行四边形AMBO 是矩形，且OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0．因为y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 1＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4 k21＋4k 2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝4m 2－41＋4k 2＋m 2－4k 21＋4k 2＝0，化得5m 2＝4k 2＋4．② ···· 14分 由①②解得k 2＝114，m 2＝3，此时△＞0，因此k ＝±112． 所以所求直线AB 的斜率为±112． ······································· 16分19． (本小题满分16分)解：(1)当a ＝1时，f (x )＝e xx 2－x ＋1，所以函数f (x )的定义域为R ，f'(x )＝e x (x －1)(x －2)(x 2－x ＋1)2．令f'(x )＜0，解得1＜x ＜2，所以函数f (x )的单调减区间为(1，2)． ····································· 2分 (2)由函数f (x )的定义域为R ，得x 2－ax ＋a ≠0恒成立，所以a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜4． ··········································· 4分 方法1由f (x )＝e x x 2－ax ＋a ，得f'(x )＝e x(x －a )(x －2)(x 2－ax ＋a )2．①当a ＝2时，f (2)＝f (a )，不符题意． ②当0＜a ＜2时，因为当a ＜x ＜2时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(a ，2)上单调递减， 所以f (a )＞f (2)，不符题意． ················································ 6分 ③当2＜a ＜4时，因为当2＜x ＜a 时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(2，a )上单调递减， 所以f (a )＜f (2)，满足题意．综上，a 的取值范围为(2，4)． ············································ 8分方法2由f (2)＞f (a )，得e 24－a ＞e aa．因为0＜a ＜4，所以不等式可化为e 2＞e aa(4－a )．设函数g (x )＝e xx(4－x )－e 2， 0＜x ＜4． ···································· 6分因为g'(x )＝e x ·－(x －2)2x 2≤0恒成立，所以g (x )在(0，4)上单调递减．又因为g (2)＝0，所以g (x )＜0的解集为(2，4)．所以，a的取值范围为(2，4)． ············································· 8分(3)证明：设切点为(x0，f(x0))，则f'(x0)＝e(x0－2)(x0－a) (x02－ax0＋a)2，所以切线方程为y－ex02－ax0＋a＝e(x0－2)(x0－a)(x02－ax0＋a)2×(x－x0)．由0－ex02－ax0＋a＝e(x0－2)(x0－a)(x02－ax0＋a)2×(0－x0)，化简得x03－(a＋3)x02＋3ax0－a＝0． ····································· 10分设h(x)＝x3－(a＋3)x2＋3ax－a，a∈(2，4)，则只要证明函数h(x)有且仅有三个不同的零点．由(2)可知a∈(2，4)时，函数h(x)的定义域为R，h'(x)＝3x2－2(a＋3)x＋3a．因为△＝4(a＋3)2－36a＝4(a－32)2＋27＞0恒成立，所以h'(x)＝0有两不相等的实数根x1和x2，不妨x1＜x2．因为所以函数h(x)最多有三个零点．··········································· 12分因为a∈(2，4)，所以h(0)＝－a＜0，h(1)＝a－2＞0，h(2)＝a－4＜0，h(5)＝50－11a＞0，所以h(0)h(1)＜0，h(1)h(2)＜0，h(2)h(5)＜0．因为函数的图象不间断，所以函数h(x)在(0，1)，(1，2)，(2，5)上分别至少有一个零点．综上所述，函数h(x)有且仅有三个零点．······························· 16分20．(本小题满分16分)解：(1) 因为{a n }的“L 数列”为{12n }，所以a n a n ＋1＝12n ，n ∈N *，即a n ＋1a n＝2n ，所以n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝2(n -1)＋(n －2)＋…＋1＝2．又a 1＝1符合上式，所以{a n }的通项公式为a n ＝2，n ∈N *． ········· 2分 (2)因为a n ＝n ＋k －3(k ＞0)，且n ≥2，n ∈N *时，a n ≠0，所以k ≠1． 方法1设b n ＝a n a n ＋1，n ∈N *，所以b n ＝n ＋k －3(n ＋1)＋k －3＝1－1n ＋k －2．因为{b n }为递增数列，所以b n ＋1－b n ＞0对n ∈N*恒成立，即1n ＋k －2－1n ＋k －1＞0对n ∈N*恒成立． ······························· 4分因为1n ＋k －2－1n ＋k －1＝1(n ＋k －2)(n ＋k －1)，所以1n ＋k －2－1n ＋k －1＞0等价于(n ＋k －2)(n ＋k －1)＞0．当0＜k ＜1时，因为n ＝1时，(n ＋k －2)(n ＋k －1)＜0，不符合题意． 6分当k ＞1时，n ＋k －1>n ＋k －2>0，所以(n ＋k －2)(n ＋k －1)＞0， 综上，k 的取值范围是(1，＋∞)． ··········································· 8分 方法2 令f (x )＝1－1x ＋k －2，所以f (x )在区间(－∞，2－k )和区间(2－k ，＋∞)上单调递增． 当0＜k ＜1时，f (1)＝1－1k －1＞1，f (2)＝1－1k ＜1，所以b 2＜b 1，不符合题意． ····· 6分当k ＞1时，因为2－k ＜1，所以f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以{b n }单调递增，符合题意．综上，k 的取值范围是(1，＋∞)． ··········································· 8分(3)存在满足条件的等差数列{c n }，证明如下：因为a k a k ＋1＝1＋p k －11＋p k ＝1p ＋1－1p 1＋p k，k ∈N*， ································· 10分所以S n ＝n p ＋(1－1p )·(11＋p ＋11＋p 2＋…＋11＋p n －1＋11＋p n)．又因为p ＞1，所以1－1p ＞0，所以n p ＜S n ＜n p ＋(1－1p )·(1p ＋1p 2＋…＋1pn －1＋1p n)， 即n p ＜S n ＜n p ＋1p ·[1－(1p)n ]． ···················································· 14分 因为1p ·[1－(1p )n ]＜1p ，所以np ＜S n ＜n ＋1p．设c n ＝np ，则c n ＋1－c n ＝n ＋1p －n p ＝1p，且c n ＜S n ＜c n ＋1，所以存在等差数列{c n }满足题意． ········································· 16分南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换解：(1) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0a ． ······················································ 2分 因为点P (1，1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，－2)，所以a ＝－2，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0． ··············································································· 4分 (2)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 2， ····················· 6分 所以A 2⎣⎡⎦⎤03=⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 2 ⎣⎡⎦⎤03=⎣⎢⎡⎦⎥⎤－36， 所以，点Q ′的坐标为(－3，6)． ················································ 10分B ．选修4—4：坐标系与参数方程解：由l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝1＋t (t 为参数)得直线l 方程为x －3y ＋3＝0． 2分 曲线C 上的点到直线l 的距离d ＝|1＋cos θ－ 3 sin θ＋3|2················ 4分 ＝|2cos(θ＋π3)＋1＋3|2． ·························································· 6分 当θ＋π3＝2k π，即θ＝－π3＋2k π(k ∈Z )时， ···································· 8分 曲线C 上的点到直线l 的距离取最大值3＋32． ··························· 10分 C ．选修4—5：不等式选讲证明：因为a ，b 为非负实数， 所以a 3＋b 3－ab (a 2＋b 2)＝a 2a (a －b )＋b 2b (b －a )＝(a －b )[(a )5－(b )5]． ·················································· 4分 若a ≥b 时，a ≥b ，从而(a )5≥(b )5，得(a －b )·[(a )5－(b )5]≥0． ···························································· 6分 若a ＜b 时，a ＜b ，从而(a )5＜(b )5，得(a －b )·[(a )5－(b )5]＞0． ···························································· 8分 综上，a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)． ··············································· 10分22．（本小题满分10分）解：(1)因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，所以AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC ．又AB ⊥AC ，所以以{AB →，AC →，AA 1→}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A —xyz ．设AA 1＝t (t ＞0)，又AB ＝3，AC ＝4，则A (0，0，0)，C 1(0，4，t )，B 1(3，0，t )，C (0，4，0)，所以AC 1→＝(0，4，t )，B 1C →＝(－3，4，－t )． ································ 2分因为B 1C ⊥AC 1，所以B 1C →·AC 1→＝0，即16－t 2＝0，解得t ＝4，所以AA 1的长为4． ································································ 4分(2)由(1)知B (3，0，0)，C (0，4，0)，A 1(0，0，4)，所以A 1C →＝(0，4，－4)，BC →＝(－3，4，0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面A 1CB 的法向量，则n ·A 1C →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎨⎧4y －4z ＝0，－3x ＋4y ＝0．取y ＝3，解得z ＝3，x ＝4，所以n ＝(4，3，3)为平面A 1CB 的一个法向量．又因为AB ⊥面AA 1C 1C ，所以AB →＝(3，0，0)为平面A 1CA 的一个法向量，则cos ＜n ，AB →＞＝AB →·n |AB →|·|n |＝123·42＋32＋32＝434， ······················ 6分 所以sin ＜n ，AB →＞＝317． 设P (3，0，m )，其中0≤m ≤4，则CP →＝(3，－4，m )．因为AB →＝(3，0，0)为平面A 1CA 的一个法向量，所以cos ＜CP →，AB →＞＝AB →·CP →|AB →|·|CP →|＝93·32＋(－4)2＋m2＝3m 2＋25， 所以直线PC 与平面AA 1C 1C 的所成角的正弦值为3m 2＋25． ··········· 8分 因为直线PC 与平面AA 1C 1C 所成角和二面角B －A 1C －A 的大小相等， 所以3m 2＋25＝317，此时方程无解，。
江苏省南京市、盐城市2020届高三数学第三次调研考试(5月)试题
江苏省南京市、 盐城市 2020 届高三数学第三次调研考试 （ 5 月）试题( 满分 160 分，考试时间 120 分钟 )2020 ． 5 一、 填空题：本大题共 14 小题，每题 5 分，共 70 分．1. 已知会合 U ＝ {x|1<x<6 ，x ∈ N} ， A ＝ {2 ， 3} ，则 ?U A ＝ ________．2. 若复数 z 知足 z(1 ＋ i) ＝1，此中 i 为虚数单位， 则 z 在复平面内对应的点在第 ________象限．3. 已知某商场在一周内某商品日销售量的茎叶图以下图，那么这一周该商品日销售量的均匀数为 ________．4. 一个算法的伪代码以下图，履行此算法，输出S 的值为 ________．2x － y ＋1≥0，5. 若实数 x ， y 知足 2x ＋y ≥0，则 x ＋ 3y 的最小值为 ________．x ≤ 1，6. 从 1，2，3，4，5 这 5 个数字中随机抽取3 个不一样的数字，则这后能构成等差数列的概率为 ________．x ， x ≤ 0，7. 2 23) ＝ ________．若函数 f(x) ＝ 则 f(log f （ x － 2）， x>0，8. 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，且 2S n ＝ 3n － 1， n ∈ N * . 若 b n ＝log 3 个数字经适合排序3a n ，则b 1＋ b 2＋ b 3 ＋b 4 的值为 ________．π9. 已知函数 f(x) ＝ 2sin ( ωx ＋ 6 ) ，此中 ω>0. 若 x 1， x 2 是方程 f(x) ＝ 2 的两个不一样的π实数根，且 |x 1－x 2| 的最小值为π，则当x ∈[0 ， 2 ] 时， f(x) 的最小值为 ________．x 2 y 210. 在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线a 2－b 2＝1(a>0 ，b>0) 的右焦点 F 作一条渐近线的平行线，交另一条渐近线于点 P. 若线段 PF 的中点恰幸亏此双曲线上，则此双曲线的离心 率为 ________．11. 有一个体积为 2 的长方体，它的长、宽、高挨次为 a ，b ， 1. 现将它的长增添 1，宽增添 2，且体积不变，则所得新长方体高的最大值为 ________．12. 已知向量 a ，b ， c 是同一平面内的三个向量，此中 a ， b 是夹角为 60°的两个单位向量．若向量 c 知足 c ·( a ＋2b ) ＝－ 5，则 |c| 的最小值为 ________．13. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知 MN 是圆 C ：(x － 1) 2＋ (y －2) 2＝ 2 的一条弦，且 CM ⊥CN ，πP 是 MN 的中点．当弦 MN 在圆 C 上运动时，直线 l ：x － 3y － 5＝0 上存在两点 A ，B ，使得∠ APB ≥ 2 恒成立，则线段 AB 长度的最小值是 ________．1 2 114. 已知函数 f(x) ＝2x － aln x ＋ x － 2，对随意 x ∈[1 ，＋∞ ) ，当 f(x) ≥mx 恒成即刻实数 m的最大值为1，则实数二、解答题：本大题共演算步骤．a 的取值范围是 ________．6 小题，共 90 分 .解答时应写出必需的文字说明、证明过程或15. (本小题满分14 分)ccos A 已知a， b， c分别是△ ABC 三个角A， B， C 所对的边，且知足acos B＋ bcos A＝cos C.(1)求证： A＝ C；→→(2)若 b＝2，且 BA· BC＝ 1，求 sin B 的值．16.( 本小题满分 14 分 )在四棱锥PABCD中， PA⊥平面 ABCD， AD∥ BC， AB＝ 1， BC＝ 2，∠ ABC＝ 60° .(1)求证：平面 PAC⊥平面 PAB；(2)设平面 PBC∩平面 PAD＝l ，求证： BC∥l.17.( 本小题满分 14 分 )如图，某摩天轮底座中心 A 与邻近的景观内某点 B 之间的距离 AB为 160 m．摩天轮与景观之间有一建筑物，此建筑物由一个底面半径为 15 m 的圆柱体与一个半径为 15 m 的半球体构成．圆柱的底面中心 P 在线段 AB上，且 PB为 45 m．半球体球心 Q到地面的距离 PQ为 15 m．把摩天轮看作一个半径为 72 m的圆 C，且圆 C 在平面 BPQ内，点 C 到地面的距离 CA为 75 m．该摩天轮匀速旋转一周需要 30 min，若某旅客乘坐该摩天轮 ( 把旅客看作圆 C 上一点 ) 旋转一周，求该旅客能看到点 B 的时长． ( 只考虑此建筑物对旅客视野的遮挡)18. ( 本小题满分16 分)在平面直角坐标系x2y222 xOy 中，已知椭圆 C：2＋2＝1(a>b>0)过点(1，) ，离心率为.A ，a b22B 分别是椭圆C的上、下极点，M是椭圆C 上异于 A， B 的一点．(1)求椭圆 C 的方程；→→(2) 若点 P 在直线 x－ y＋ 2＝0 上，且 BP＝ 3BM，求△ PMA的面积；(3) 过点 M作斜率为 1 的直线分别交椭圆 C 于另一点N，交 y 轴于点 D，且点 D 在线段→→OA上 ( 不包含端点O， A)，直线 NA与直线 BM交于点 P，求 OD· OP的值．19. ( 本小题满分 16 分 )a已知函数 f(x)＝ ln x ＋ x ＋ 1， a ∈ R.(1) 若函数 f(x) 在 x ＝ 1 处的切线为 y ＝2x ＋ b ，求 a ， b 的值； (2) 记 g(x) ＝ f(x) ＋ ax ，若函数 g(x) 在区间 (0 ，1) 上有最小值，务实数 a 的取值范围；2(3) 当 a ＝0 时，对于 x 的方程 f(x)＝ bx 2 有两个不相等的实数根， 务实数 b 的取值范围．20.( 本小题满分 16 分 )已知数列 {a n} 的前 n 项和为 S n. 若存在正整数r ，t ，且 r<t，使得 S r＝ t ，S t＝r同时成立，则称数列 {a n} 为“ M(r ， t) 数列”．(1)若首项为 3，公差为 d 的等差数列 {a n} 是“ M(r ， 2r) 数列”，求 d 的值；(2) 已知数列 {a n} 为等比数列，公比为q.①若数列 {a n} 为“ M(r ， 2r) 数列”， r ≤4，求 q 的值；②若数列 {a n} 为“ M(r， t) 数列”， q∈ ( －1， 0) ，求证： r 为奇数， t 为偶数 .2020 届高三模拟考试一试卷数学附带题( 满分 40 分，考试时间 30 分钟 )21. 【选做题】 在 A ， B ， C 三小题中只好选做两题，每题 10 分，共 20 分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤．A. ( 选修 42：矩阵与变换 )2 1已知矩阵 M ＝ .1 22(1) 求 M ；(2) 求矩阵 M 的特点值和特点向量．B. ( 选修 44：坐标系与参数方程 )π在极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为ρ cos( θ＋ 3 ) ＝ 1，以极点 O 为坐标原点，极轴Ox 所在的直线为 x 轴成立平面直角坐标系，曲线 x ＝rcos α＋ 2，C 的参数方程为 ( 此中 αy ＝rsin α－ 1 为参数， r>0) ．若直线 l 与曲线 C 订交于 A ，B 两点，且 AB ＝ 3，求 r 的值．C. ( 选修 45：不等式选讲 )若 x ， y ， z 为实数，且 x 2＋ 4y 2＋9z 2＝ 6，求 x ＋ 2y ＋ 6z 的最大值．【必做题】第 22，23题，每题 10 分，共 20 分．解答时应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在平面直线坐标系xOy 中，已知抛物线 y2＝ 2px(p>0) 及点 M(2， 0) ，动直线 l 过点(1)求 p 的值；(2) 若 l 与 x 轴不垂直，设线段AB中点为 C，直线 l 1经过点 C 且垂直于y 轴，直线l 2经过点 M且垂直于直线l ，记 l 1， l 2订交于点P，求证：点P 在定直线上．23.对由 0 和 1 这两个数字构成的字符串，作以下规定：按从左向右的次序，当第一个子串“ 010”的最后一个 0 所在数位是第 k(k ∈ N*，且 k≥3) 位，则称子串“ 010”在第 k 位出现；再持续从第 k＋ 1 位按从左往右的次序找子串“ 010”，若第二个子串“ 010”的最后一个0 所在数位是第k＋ m位 ( 此中 m≥3，且 m∈ N* ) ，则称子串“ 010”在第k＋ m位出现；；这样不停地重复下去．如：在字符串中，子串“010”在第5位和第9 位出现，而不是在第 7 位和第 11 位出现．记在 n 位由 0，1 构成的全部字符串中，子串“ 010”在第 n 位出现的字符串的个数为 f(n) ．(1)求 f(3) ， f(4) 的值；(2)求证：对随意的正整数 n，f(4n ＋ 1) 是 3 的倍数．2020 届高三模拟考试一试卷(南京)数学参照答案及评分标准3231. {4，5}2.四3. 304.45. －56. 57. 48.69.－1 10. 211. 157412.713. 210＋ 214. (－∞， 1]a b c15. (1) 证明：由正弦定理sin A＝sin B＝sin C＝ 2R，得 a＝ 2Rsin A ， b＝ 2Rsin B ，c ＝ 2Rsin C ，ccos A，得 (sin Acos B ＋ sin Bcos A)cos C＝ sin Ccos A，(2代入 acos B ＋ bcos A ＝cos C分 )即 sin(A ＋B)cos C ＝ sin Ccos A.因为 A＋ B＝π－ C，所以 sin (A＋ B)＝ sin C，所以 sin Ccos C＝sin Ccos A．(4 分)因为 C 是△ ABC的内角，所以 sin C ≠ 0，所以 cos C ＝ cos A.因为 A， C是△ ABC的内角，所以A＝C.(6分 )2222a ＋ c －b a －2(2) 解：由 (1)知 A＝ C，所以 a＝ c，所以 cos B ＝2ac＝a2 .(8分 )→ →222分 )因为 BA· BC＝ 1，所以 a cos B ＝ a －2＝ 1，所以 a ＝ 3.(101所以 cos B ＝3.(12分)因为 B∈(0 ，π ) ，所以 sin B ＝1－ cos 2B＝232.(14分 )16. 证明： (1)因为 PA⊥平面 ABCD， AC平面 ABCD，所以 PA⊥AC.(2分 )因为 AB＝ 1， BC＝ 2，∠ ABC＝60°，由余弦定理，22∠ ABC＝223.(4分 )得 AC＝ AB＋ BC－2AB·BCcos 1 ＋2－2×1×2cos 60 °＝222222因为 1＋( 3)＝ 2，即 AB＋AC＝ BC，所以 AC⊥AB.(6 分 )因为 AC⊥PA，且 PA∩AB＝ A， PA平面 PAB， AB平面 PAB，所以 AC⊥平面 PAB.又 AC平面PAC，所以平面PAC⊥平面PAB.(8分)(2)因为 BC∥AD， AD平面 PAD， BC平面 PAD，所以 BC∥平面 PAD.(10 分 )因为 BC平面 PBC，且平面 PBC∩平面 PAD＝ l ，所以 BC∥l.(14 分 )17.解：以点 B 为坐标原点， BP 所在直线为 x 轴，成立以下图平面直角坐标系，则 B(0 ， 0) ， Q(45，15) ， C(160， 75) ．过点 B 作直线 l 与圆 Q 相切，与圆 C 交于点 M ， N ，设直线 l 的方程为 y ＝ kx ，即 kx － y ＝ 0，则点 Q 到 l 的距离为 |45k － 15|＝ 15，k 2＋ 13解得 k ＝ 4或 k ＝ 0( 舍去 ) ．3所以直线 l 的方程为 y ＝ 4x ，即 3x － 4y ＝ 0.(4 分 )|3 ×160－4×75|分 ) 点 C(160 ，75) 到直线 l 的距离 CH ＝ 2＋（－ 4） 2 ＝ 36.(6 336 1 在 Rt △ CHM 中，因为 CH ＝ 36， CM ＝ 72，所以 cos ∠ MCH ＝72＝ 2.(8 分 )π π 2π 因为∠ MCH ∈(0 ，2 ) ，所以∠ MCH ＝3 ，所以∠ MCN ＝2∠MCH ＝ 3 ，(12 分)2π3所以所用时长为 30× 2π ＝ 10 min.(13 分 )答：该旅客能看到点 B 的时长为 10 min.(14 分 )2 218. 解： (1) 因为椭圆过点 (1 ， 2 ) ，离心率为2 ，1 1 b2 2 1 2 2所以 a 2＋ 2b 2＝1， a 2＝ 1－ e ＝ 2，解得 a ＝ 2， b ＝ 1，所以椭圆 C 的方程为x 2＋ y 2＝ 1.(2 分 )2(2) 由 (1) 知 B(0 ，－ 1) ，设 M(x 0， y 0) ， P(x ， y) ． → → ＝ 3x 0，y ＝ 3y 0＋ 2. 由 BP ＝ 3BM ，得 (x ， y ＋ 1) ＝ 3(x 0， y 0＋ 1) ，则 x 因为 P 在直线 x － y ＋ 2＝ 0 上，所以 y 0＝x 0 ①.(4 分 ) x 222 0 2 因为 M 在椭圆 C 上，所以2 ＋ y 0＝1，将①代入上式，得x 0＝ 3.(6 分 )所以 |x 0| ＝ 66，，进而 |x P | ＝3所以S ＝S －S ＝2×2×6－ 2× 2× 3＝3 .(8 分) △ PMA △PAB△ MAB1162 6(3) ( 解法 1) 由 (1) 知， A(0 ，1) ， B(0，－ 1) ．设 D(0， m)， 0＜ m ＜1， M(x 1，y 1) ， N(x 2， y 2) ．因为 MN 的斜率为 1，所以直线 MN 的方程为 y ＝x ＋ m.y ＝ x ＋m ，x 22 2联立方程组消去 y ，得 3x＋ 4mx ＋ 2m － 2＝ 0，2 ＋y 2＝ 1，4m2m 2－ 2所以 x 1＋ x 2＝－ 3 ， x 1· x 2＝3. (10分 )y 1＋ 1y 2－ 1直线 MB 的方程为 y ＝ x1x －1，直线 NA 的方程为 y ＝ x 2 x ＋ 1，（ y 1＋ 1）x 2＋（ y 2－ 1） x 1联立解得 y P ＝ （ y ＋ 1）x －（ y － 1） x .(12 分 )1122将 y 1＝ x 1＋ m ， y 2＝ x 2＋ m 代入，得2241 2 1 2 2 12·2m － 2 4m＋（ x － x ））3－ 3－ 3＋（ x － x2x x ＋ m （ x ＋ x ）＋ x － x2121 y P ＝ ＝4m＝＝x 1＋ x 2＋ m （x 2－ x 1）4m－ 3＋ m （ x －x ）－ 3 ＋ m （ x － x ）21211.(14 分 )m→ →1所以 OD · OP ＝ (0 ， m) ·(x P ， y P ) ＝my P ＝m · m ＝1.(16 分)2x 02(解法 2) 由(1) 知， A(0 ， 1) ，B(0 ，－ 1) ．设 M(x 0， y 0) ，则 2 ＋y 0＝ 1.因为直线 MN 的斜率为1，所以直线 MN 的方程为 y ＝ x － x ＋ y，则 D(0， y － x ) ．0 00 0y ＝ x － x 0＋y 0，联立方程 x22消去 y ，得20 0 00 2－ 2＝0，3x －4(x－ y )x ＋ 2(x－ y)2 ＋ y ＝ 1，4（ x 0－ y 0） ，(10 分 )所以 x ＋ x ＝N3所以 x N ＝ x －4y， y N ＝－ 2x 0 ＋y ，33y －12x 0 ＋y ＋ 3N所以直线 NA 的方程为 y ＝ x Nx ＋1＝4y 0－ x 0x ＋ 1，y ＋ 1直线 MB 的方程为 y ＝ 0x －1，x 02 2＋ 2y2y＋ x ＋ x0 0 联立解得 y ＝0 .(12分 )2y － x － x y － 2x ＋ 2yP222x 02＝ 1，因为2＋ y所以 y P ＝2＋ x 0＋2y 0＝1， (14 分)0 ＋ 2y 00 0（2＋ x）（ y－ x ）y －x→ →PP)1 ＝ 1.(16 分)所以 OD · OP ＝(0 ， y－ x ) ·(x ， y ) ＝ － xy － x1 a119. 解： (1) f ′(x) ＝ x － x 2，则 f ′(1) ＝ 1－ a ＝2，解得 a ＝－ 1，则 f(x) ＝ ln x －x ＋1，此时 f(1) ＝ ln 1－ 1＋ 1＝ 0，则切点坐标为 (1 ，0) ，代入切线方程，得b＝－ 2，所以 a＝－ 1， b＝－ 2.(2 分 )ax2＋ x－ aa1a(2) g(x) ＝f(x) ＋ ax＝ ln x ＋x＋ ax＋ 1， g′ (x)＝x－x2＋a＝x2.111①当 a＝ 0 时， g′ (x) ＝x＞0，则 g(x) 在区间 (0 ，2) 上为增函数，则g(x) 在区间 (0 ，2)上无最小值． (4 分 )2＋ x－ a＝ 0 的鉴别式2＞ 0，②当 a≠0时，方程 ax＝ 1＋ 4a则方程有两个不相等的实数根，设为x1，x2，x ＜ 0＜ x .由韦达定理得 x x ＝－ 1，则两根一正一负，不如设1212设函数 m(x) ＝ ax2＋ x－ a(x ＞ 0) ，(i)若 a＞0，11 a 12当 x2∈ (0 ，2) 时， m(0) ＝－ a＜0， m(2) ＝4＋2－ a＞0，解得 0＜ a＜3.此时当221x∈(0 ， x ) 时， m(x) ＜0，则 g(x) 递减；当x∈(x ，2) 时， m(x) ＞ 0，则 g(x) 递增，当 x＝ x2时， g(x) 取极小值，即为最小值．111(6 分)当 x2≥时， x∈ (0， ) ， m(x) ＜ 0，则 g(x) 在 (0 ， ) 上单一递减，无最小值．222(ii)若 a＜ 0，当 x∈(0 ， x2) 时， m(x) ＞ 0，则 g(x) 递加；当 x∈(x 2，＋∞ ) 时， m(x) ＜ 0，则 g(x) 递减，1在区间(0 ，2) 上， g(x)不会有最小值．所以a＜ 0 不知足条件．21综上，当0＜ a＜ 3时， g(x) 在区间 (0 ， 2) 上有最小值． (8 分 )222记 h(x) ＝ ln x ＋ 1－bx 2， x＞ 0，则 h′(x) ＝ 1－ 2bx＝－ 2bx ＋ 1x x.①当 b≤0时， h′(x) ＞ 0 恒成立，即则函数 h(x) 至多只有一个零点，即方程所以 b≤0不切合题意．(10 分 )②当 b＞ 0 时，h(x) 在 (0 ，＋∞ ) 上为增函数，2f(x)＝bx至多只有一个实数根，1当 x∈(0 ，) 时， h′ (x) ＞ 0，所以函数 h(x) 递加；2b当 x∈(1，＋∞ ) 时， h′(x) ＜ 0，所以函数 h(x) 递减，2b则 h(x) max＝ h(1)＝ ln 1 ＋1.2b2b2要使方程 f(x)＝ bx2有两个不相等的实数根，1 1 1e则 h(2b) ＝ ln2b＋2＞ 0，解得 0＜ b＜2.(12分 )e1b(i) 当 0＜b＜2时， h( e) ＝－e2＜0.1 2122b－ e211又 ( e) － (2b )＝2be2 ＜0，则e＜2b，所以存在独一的x11分 )∈( e ，2b ) ，使得 h(x ) ＝ 0.(14111(ii) h(b ) ＝ ln因为 k ′(b) ＝－1 1b ＋ 1－ b ＝－1 1 1－ bb ＋ b 2＝ b 21 1 e ln b ＋ 1－b ，记 k(b) ＝－ ln b ＋ 1－b ，0＜ b ＜ 2. e，则 k(b) 在(0 ， 1) 上为增函数，在 (1 ，2) 上为减函数，1则 k(b) max ＝ k(1) ＝ 0，则 h( b ) ≤0.1 2122－b 1 1又 ( b ) － (2b ) ＝ 2b 2 ＞ 0，即 b ＞2b ，11所以存在独一的x 2∈(2b ， b ] ，使得 h(x 2) ＝ 0.综上，当 0＜ b ＜ e时，方程 f(x) ＝ bx 2 有两个不相等的实数根． (16 分)220. (1) 解：因为 {a n } 是 M(r ，2r) 数列，所以 S r ＝ 2r ，且 S 2r ＝ r.r （ r － 1） 由 S ＝ 2r ，得 3r ＋d ＝ 2r. 因为 r ＞ 0，所以 (r － 1)d ＝－ 2(*) ．r22r （ 2r － 1）(**) ．由 S 2r ＝ r ，得 6r ＋d ＝ r. 因为 r ＞ 0，所以 (2r －1)d ＝－ 52由 (*) 和 (**) ，解得 r ＝ 3， d ＝－ 1.(2 分)(2) ①解： (i) 若 q ＝ 1，则 S r ＝ ra 1， S t ＝ta 1.因为 {a n } 是 M(r ， 2r) 数列，所以 ra 1＝ 2r (*) ， 2ra 1＝ r(**) ．1由 (*) 和 (**) ，得 a 1＝2 且 a 1＝ 2，矛盾，所以 q ≠1.(3 分 ) (ii) 当 q ≠1，因为 {a } 是 M(r ， 2r) 数列，所以 S ＝ 2r ，且 S ＝r ，nr2r即a 1（ 1－ q r）a 1（ 1－ q 2r）1－ q＝ 2r (*)，＝ r (**) ．1－ q由 (*) 和 (**) ，得 q r ＝－ 1 .(5 分)211当 r ＝ 1 时， q ＝－ ；当 r ＝ 2，4 时，无解；当 r ＝ 3 时， q ＝－.2321 1综上， q ＝－ 2或 q ＝－.(6 分)32②证明：因为 {a n } 是 M(r ， t) 数列， q ∈( － 1， 0) ，所以 S r ＝t ，且 S t ＝r ，a 1（ 1－ q r ） a 1（1－ q t ）即 1－ q ＝ t ，且 1－ q ＝ r ，1－ q rtr t两式作商，得 1－ q t ＝r ，即 r(1 － q ) ＝ t(1 － q ) ．(8 分) (i) 若 r 为偶数， t 为奇数，则 r(1 － |q| r ) ＝ t(1 ＋ |q| t ) ．因为 r ＜ t ， 0＜ 1－ |q| r ＜ 1， 1＋ |q| t ＞ 1，所以 r(1 － |q| r ) ＜ t(1 ＋ |q| t ) ，这与 r(1 －|q| r ) ＝ t(1 ＋ |q| t ) 矛盾，所以假定不可立． (10 分 ) (ii) 若 r 为偶数， t 为偶数，则 r(1 － |q| r ) ＝ t(1 － |q| t ) ．设函数 y ＝x(1 － a x ) ，0＜ a ＜ 1，则 y ′＝ 1－ a x － xa x ln a.当 x ＞ 0 时， 1－ a x ＞ 0，－ xa x ln a ＞ 0，所以 y ＝ x(1 － a x ) 在 (0 ，＋∞ ) 上递加．因为 r ＜ t ，所以 r(1 － |q| r ) ＜ t(1 － |q| t ) ，这与 r(1 －|q| r ) ＝ t(1 － |q| t ) 矛盾，所以假定不可立． (12 分 )(iii) 若 r 为奇数， t 为奇数，则 r(1 ＋|q| r ) ＝ t(1 ＋ |q| t ) ．设函数x x xy ＝x(1 ＋ a ) ，0＜ a ＜ 1，则 y ′＝ 1＋ a ＋ xa ln a.设 g(x) ＝ 1＋ a x ＋ xa x ln a ，则 g ′(x) ＝ a xln a(2 ＋ xln a) ．2 x 令 g ′(x) ＝ 0，得 x ＝－ ln a . 因为 a ＞0， ln a ＜ 0，所以当 x ＞－2，g ′ (x) ＞0，则 g(x) 在区间 ( － 2 ，＋∞ ) 上递加；ln a ln a2 2当 0＜ x ＜－ ln a ，g ′ (x) ＜ 0，则 g(x) 在区间 (0 ，－ ln a ) 上递减，所以 g(x) 2 2min ＝ g( － ln a ) ＝ 1－ a －ln a .22因为－ ln a ＞ 0，所以 a － ln a ＜ 1, 所以 g(x) min ＞ 0， 进而 g(x) ＞ 0 在 (0 ，＋∞ ) 上恒成立， 所以 y ＝ x(1 ＋ a x ) ， 0＜ a ＜ 1 在 (0 ，＋∞ ) 上单一递加． 因为 r ＜ t ，所以 r(1 ＋ |q| r ) ＜ t(1 ＋ |q| t ) ，这与 r(1 －|q| r ) ＝ t(1 － |q| t ) 矛盾，所以假定不可立． (14 分)(iv) 若 r 为奇数， t 为偶数．由①知，存在等比数列 {a n } 为“ M(1， 2) 数列”．综上， r 为奇数， t 为偶数． (16 分 )2020 届高三模拟考试一试卷 ( 南京 ) 数学附带题参照答案及评分标准21. A. 解： (1)M 2＝2 1 2 1 5 4分)1 21 2＝.(44 5(2) 矩阵 M 的特点多项式为f( λ) ＝λ－ 2 － 1－ 1 ＝( λ－ 1)( λ－ 3) ．λ－ 2令 f( λ) ＝ 0，解得 M 的特点值为 λ 1＝ 1，λ 2＝ 3.(6 分 )①当 λ＝ 1 时， 2 1 x x ，得 x ＋ y ＝ 0，1 2 y ＝ x ＋ y ＝ 0.y令 x ＝ 1，则 y ＝－ 1，于是矩阵 M 的一个特点向量为1.(8 分)－ 1②当 λ＝ 3 时，2 1 x ＝ 3xx －y ＝ 0，12 y y，得x － y ＝0.1 令 x ＝ 1，则 y ＝ 1，于是矩阵 M 的一个特点向量为.11， 3，分别对应一个特点向量为11所以，矩阵的特点值为 ， .(10 分 )M－1 1B. 解：直线 l 的直角坐标方程为 x － 3y － 2＝ 0.(2 分)曲线 C 的一般方程为 (x － 2) 2＋ (y ＋ 1) 2＝ r 2.(4 分 )|2 ＋ 3－2|3因为圆心 C(2，－ 1) 到直线 l 的距离 d ＝1＋ 3＝2，(6分)2AB 2所以 r ＝ d ＋（ 2 ） ＝ 3.(10 分 )C. 解：由柯西不等式，得 [x 2＋(2y) 2＋ (3z) 2](1 2＋ 12＋ 22) ≥(x ＋ 2y ＋ 6z) 2.(4 分) 因为 x 2＋ 4y 2＋ 9z 2＝ 6，所以 (x ＋ 2y ＋6z) 2≤ 36， (6 分 ) 所以－ 6≤x ＋ 2y ＋6z ≤6.x 2y 3z当且仅当 ＝ ＝时，不等式取等号，1121212此时 x ＝ 1， y ＝ ， z ＝ 或 x ＝－ 1， y ＝－ ， z ＝－ ， (8 分)2 3 2 3所以 x ＋ 2y ＋ 6z 的最大值为 6.(10 分 )22. (1)解：因为 l 过 M(2， 0) ，且当 l 垂直于 x 轴时， AB ＝ 4，所以抛物线经过点(2 ， 2) ，代入抛物线方程，得4＝2p ×2，解得 p ＝1.(2 分)(2)证明：设直线l 的方程为 y ＝ k(x －2)(k ≠0) ， A(x ， y1) ，B(x ， y ) ．122联立y 2＝2x ，2－ 4k ＝0，消去 x ，得 ky －2yy ＝k （ x － 2），则 y ＋ y 212＝ k ， y y ＝－ 4.(4 分 )1 2y 1 ＋ y 2 1l1分 )因为点 C 为 AB 中点，所以 y ＝2＝ k ，则直线1的方程为 y ＝ k .(6C因为直线 l过点 M 且与 l 垂直，则直线 l122的方程为 y ＝－ k (x －2) ．1y＝k，联立1(8分 )y＝－k（ x－ 2），x＝ 1，1解得 1 即 P(1， )，y＝，kk所以点 P 在定直线 x＝ 1 上． (10 分 )23. (1)解：在 3 位数字符串中，子串“ 010”在第 3 位出现有且只有 1 个，即 010，所以 f(3)＝ 1.(2分)在 4 位数字符串中，子串“ 010”在第 4 位出现有 2 个，即 0010 与 1010，所以 f(4)＝ 2.(4分)*(2) 证明：当 3 位是 010 时，前 n－ 3 个数位上，每个数位上n≥5且 n∈N时，当最后的数字都有两种可能，即0 和 1，所以共有2n－3种可能．因为当最后 3位是 010 时，若最后 5 位是 01010，且前 n－ 2 位形成的字符串中是子串“010”是在第 n－ 2 位出现，此时不知足条件．所以 f(n)＝ 2n－3－ f(n － 2) ， n≥ 5 且 n∈ N* .(6 分)因为 f(3)＝ 1，所以 f(5) ＝ 3.下边用数学概括法证明f(4n＋1)是 3的倍数．①当 n＝ 1 时， f(5) ＝ 3 是 3 的倍数；②假定当 n＝k(k ∈ N* ) 时， f(4k ＋1) 是 3 的倍数，那么当 n＝k＋ 1 时，f(4(k ＋ 1) ＋ 1) ＝ f(4k＋ 3)＋ 5) ＝24k＋2－ f(4k＝24k＋2－ [24k－f(4k ＋ 1)]＝3×24k＋ f(4k＋1) ．(8 分)4k因为 f(4k＋ 1)的倍数，所以f(4k ＋ 5) 是 3 的倍数．是 3 的倍数，且 3×2也是 3这就是说，当n＝ k＋ 1 时， f(4(k ＋ 1) ＋5) 是 3的倍数．由①②可知，对随意的正整数n， f(4n＋1)是 3的倍数． (10 分 )。
江苏省盐城市2020届高三年级第三次模拟考试数学试题含答案
盐城市2020届高三年级第三次模拟考试数学Ⅰ参考公式：一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}{}11,022<<-=<-=x x N x x x M , 则M 与N 的并集．．N M Y = ▲ .2．设复数()0>+=a i a z ，若2=z z ,则正实数a 的值为 ▲ .3．某电视台对一节目的喜爱程度进行网络调查，共有12000人参与调查，喜爱、一般、不 喜爱的人分别为6000人、5000人、1000 人，为进一步了解被调查人的具体想法，现利 用分层抽样的方法抽取60人，则抽取不喜爱的人数为 ▲ .4．某校志愿者小组有2名男生和1名女生，现从中任选2人参加活动，则 女生入选的概率是 ▲ .5．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ▲ .6．若双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的离心率为2.则其两条渐近线所成的锐角为 ▲ .7．设三棱锥ABC P -的体积为1V ，点N M ,分别满足2=，NC PN =，记三棱锥BMN A -的体积为2V ，则12V V = ▲ . 8．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 若c a ca bB A 2,sin sin =+=则A cos = ▲ .9．已知数列{}{}n n b a 、满足,log 2n n a b =且数列{}n b 是等差数列.若9,2103==b b ,则数列 {}n a 的前n 项和n S = ▲ .10．若函数()()θ+=x x f 2sin 关于直线4π=x 对称，则θ的最小正值．．．．为 ▲ . 11．若存在．．实数()4,0∈x ，使不等式01623<+-ax x 成立，则实数a 的取值范围是 ▲ . 12．在锐角ABC △中，已知AH 是BC 边上的高，且满足AC AB AH 3231+=,则ABAC的取 值范围是 ▲ .13．设函数()xb ax x x f 222⋅+-=，若函数()x f y =与函数()()x f f y =都有零点，且它们的零点完全相同，则实数a 的取值范围是 ▲ .14．若圆()16:221=+-y m x C 与圆()16:222=+-y n x C 相交，点P 为其在x 轴下方的交点，且8-=mn ，则点P 到直线01=-+y x 距离的最大值为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）若sin cos 22x x m ⎛⎫= ⎪⎝⎭u r ，，cos 22x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭r，设()2f x m n =⋅-u r r ．（1）求函数()f x 在[]π，0上的单调减区间；（2）在△ABC ，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若)()(B f A f =，b a 2=，求B sin 的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，AC AA =1，11AC B A ⊥，设O 为AC 1与A 1C 的交点，点P 为BC 的中点． 求证：（1）OP ∥平面ABB 1A 1；（2）平面1ACC ⊥平面OCP ．17．（本小题满分14分）如图1是淋浴房示意图，它的底座是由正方形截去一角得到，这一角是一个与正方形两邻边相切的圆的41圆弧（如图2），现已知正方形的边长是1米，设该底座的面积为S 平方米，周长为l 米（周长是指图．．．．．2．的实线部分．．．．．），圆的半径为r 米.设计的理想要求是面积S 尽可能大，周长l 尽可能小.但显然S 、l 都是关于r 的减函数，于是设lSr f =)(，当)(r f 的值越大，满意度就越高.试问r 为何值时，该淋浴房底座的满意度最高？（解答时．．．π以．3．代入运算．．．．）．18．（本小题满分16分）如图，A 、B 为椭圆C ：1222=+y ax 短轴的上、下顶点，P 为直线l ：2=y 上一动点，连接P A 并延长交椭圆于点M ，连接PB 交椭圆于点N .已知直线MA ，MB 的斜率之积恒为21-． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）求直线MN 与x 轴平行，求直线MN 的方程；（3）求四边形AMBN 面积的最大值，并求对应的点P 的坐标．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足121+=-+n a a n n ．（1）若数列{}n a 的首项为1a ，其中301<<a ，且1a ，2a ，3a 构成公比小于0的等比数列，求1a 的值；（2）若n a 是公差为d （d >0）的等差数列{}n b 的前n 项和，求1a 的值；（3）若1a =1，22-=a ，且数列{}1-2n a 单调递增，数列{}n a 2单调递减，求数列{}n a 的通项公式．20．（本小满分16分）设函数xe x xf )()(ϕ=，)(ln )(x xx g ϕ=，其中)(x ϕ恒不为0. （1）设2)(x x =ϕ，求函数)(x f 在1=x 处的切线方程；（2）若0x 是函数)(x f 与)(x g 的公共极值点，求证：0x 存在且唯一；（3）设b ax x +=)(ϕ，是否存在实数a ，b ，使得0)()(<'⋅'x g x f 在()∞+，0上恒成立？若存在，请求出实数a ，b 满足的条件；若不存在，请说明理由．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）直线l 经矩阵M=⎢⎣⎡θθsin cos ⎥⎦⎤-θθcos sin （其中()πθ，0∈）作用变换后得到直线x y l 2:='，若直线l 与直线l '垂直，求θ的值.B.[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程112x y t ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，（t 为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ，设P 为上动点，求直线l 被曲线C 截得的弦长．C ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）若实数a b c ，，满足243a b c ++=，求111123a b c +++++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分10分）已知某高校综合评价有两步：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试.只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格.现有A ，B ，C 三名学生报名参加该高校的综合评价，假设A ，B ，C 三位学生材料初审合格的概率分别是31，21，41；面试合格的概率分别是21，31，32. （1）求A ，B 两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率；（2）记随机变量X 为A ，B ，C 三位同学获得该高校综合评价录取资格的人数，求X 的概率分布与数学期望.23.（本小题满分10分）设集合{}n T n ,,3,2,1⋅⋅⋅=（其中*∈≥N n n ,3），将n T 的所有3元子集（含有3个元素的子集）中的最小元素的和记为n S . （1）求3S ，4S ，5S 的值； （2）试求n S 的表达式.盐城市2020届高三年级第三次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1. ()1,2- 2. 1 3. 5 4. 23 5. 13 6. 3π 7.168.6 9.21n- 10. 2π 11. ()6,+∞ 12. 2⎫⎪⎪⎝⎭13. (]2,0- 14.522二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15.解：（1）23313()cos 3sin =sin +22223x x x f x m n x x x π⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭u r r ， .............4分当32+2232k x k k Z πππππ+≤≤+∈，时函数()f x 单调递减，即722,66k x k k Z ππππ+≤≤+∈, 又因为[0,]x π∈，所以函数()f x 在[0,]π上的减区间为[,]6ππ ...............6分（2）由()()f A f B =得sin +sin +33A B ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又2a b =,所以A B >，所以+++=33A B πππ，得+=3A B π， ...........8分 由2a b =及正弦定理得sin 2sin A B =,所以sin 2sin 3B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,即sincos cos sin 2sin 33B B B ππ-=，解得cos B B ， ...........12分又22sin +cos =1B B ，得23sin =28B ,又因为,所以sin =14B ...........14分sin 0B >16．证明：（1）因为在平行四边形11ACC A 中，O 为1AC 与1A C 的交点，所以O 为1A C 的中点， 又因为点P 为BC 的中点，所以OP∥1A B ， ...............4分又OP ⊄平面11ABB A ，1A B ⊂平面11ABB A ，所以OP ∥平面11ABB A . ...............6分（2）由（1）知OP∥1A B，又11A B AC ⊥，所以1AC OP ⊥, ...............8分在平行四边形11ACC A 中1AA AC =，所以四边形11ACC A 为菱形，所以11AC AC ⊥, ............10分又1,OP A C ⊂平面OCP ，且1OP AC O =I ,所以1AC ⊥平面OCP , ............12分又1AC ⊂平面1AC C，所以平面1AC C ⊥平面OCP ． ............14分17．解：周长1122(1)2442l r r r π=+-+⋅=-， 面积222111()144S r r r π=--=-， (4)分所以221144()12(8)42r r f r r r --==--，(0,1)r ∈， …………6分令8r x -=，则224(8)4(8)30()16()16222x x x f r x x x ----===-+≤-，…………10分 当且仅当60x x=时，即x =，()f r 最大，此时8r =-， …………13分 答：当8r =-时，该淋浴房的满意度最高. …………14分18．解：（1）由椭圆222:1x C y a+=，所以(0,1)A ，(0,1)B -，设00(,)M x y ，则00001112y y x x -+⋅=-， …………2分所以2200112y x =-，又220021x y a +=，解得22a =，所以椭圆的方程为2212x y +=. …………4分 （2）设(,2)P t ，当0t =时，0M N x x ==，不符题意，所以0t ≠， 所以1PA k t =，直线PA 的方程为：11y x t=+，即x ty t =-， …………6分代入椭圆方程得到22()12ty t y -+=，即222(1)2(1)0t y y -+-=， 解得1A y =，2222M t y t -=+，同理221818N t y t -=+， …………8分因直线MN 与x 轴平行，所以2222218218t t t t --=++，解得26t =，12M y =， 所以直线MN的方程为12y =. …………10分 （3）由（2）222112M t x t t -=++，解得242M t x t -=+，同理21218N tx t =+， …………12分所以四边形AMBN 的面积2241212()2218M N t t S x x t t =⋅+=+++， 根据对称性，不妨设0t >，则3224241216(6)2182036t t t t S t t t t +=+=++++， …………14分所以22266161636620()8t t t t S t t t t++=⋅=⋅++++，设(6m t m t =+≥，则211161616=16888m S m m m =⋅=⋅≤⋅++ 当且仅当6t t=即t =，所以四边形AMBN 面积的最大值为，此时点(2)P . …………16分19．（1）因121n n a a n +-=+，所以213a a -=±，即213a a =±，又103a <<，且前三项是公比小于0的等比数列，所以2130a a =-<， …………2分325a a -=±，即3250a a =+>，所以312a a =+所以2111(3)(2)a a a -=+，解得198a =. …………4分 （2）因na 是等差数列{}n b 的前n项和，所以1121n n n a a b n ++-==+， …………6分又111n b b dn dn a +=+=+，所以121dn a n +=+， …………8分当121dn a n +=--时，1(2)10d n a +++=，所以2d =-，不符题意； 当121dn a n +=+时，1(2)10d n a -+-=，所以2d =，11a =. …………10分（3）因为数列{}21n a -单调递增，所以...531<<<a a a ； 因为数列{}2n a 单调递增，所以...642>>>a a a ； 又因为21a a >，所以......531246<<<<<<<a a a a a a 因121n n a a n +-=+,所以21241n n a a n +-=+；同理22141n n a a n --=-+，所以21212n n a a +--=， 又11a =，所以2112(1)21n a n n -=+-=-， …………14分所以2(21)(41)n a n n --=--，22n a n =-， 所以数列{}n a 的通项公式为,21,2n n n k a n n k=-⎧=⎨-=⎩（*k N ∈）. …………16分20．解：（1）因2()x x ϕ=，所以2()x x f x e=，22222()x x x xxe x e x x f x e e --'==， …………2分所以1(1)f e '=，又1(1)f e= 所以函数()f x 在1x =处的切线方程为11(1)y x e e-=-，即1y x e=. …………4分 （2）因()()xx f x eϕ=，所以2()()()()()x xxxx e x e x x f x eeϕϕϕϕ''--'==，又ln ()()x g x x ϕ=，所以21()()ln ()()x x x x g x x ϕϕϕ'-'=， …………6分 因0x 是函数()f x 与()g x 的公共极值点，所以0()0f x '=，0()0g x '=， 即00()()x x ϕϕ'=，00001()()ln x x x x ϕϕ'= 因()0x ϕ≠，所以001ln x x =， …………8分 令1()ln h x x x=-，则0x 是()h x 的零点， 因()h x 在(0,)+∞上单调递增，所以()h x 至多有一个零点， 又1(1)ln101h =-<，1()ln 0h e e e=->，且函数()h x 在()0,+∞上连续不间断，由零点存在性定理可知，()h x 的零点x 唯一存在，得证. …………10分（3）（3）因为()x ax b ϕ=+，由（2）得()xax a bf x e-+-'=，2ln ()()ba a x x g x x ϕ+-'=，记()m x ax a b =-+-，()ln bn x a a x x=+- ①当0a =时，()m x b =-，()bn x x=，若0b =，则()()0m x n x ==，此时'()='()=0f x g x ，不符题意；若0b ≠，()m x 与()n x 符号相反，此时'()'()0f x g x ⋅<，满足题意. …………12分②当0a >时，若a bx a->，则()0m x <， 若0b >，当1x >时，则()ln ln bn x a a x a b a x x=+-<+- 由ln 0a b a x +-<，得ln a bx a+>，所以a b ax e+>，所以0max ,1,a ba ab x x e a +⎧⎫->=⎨⎬⎩⎭时，()0m x <，()0n x <， 此时函数'()0f x <与'()0g x <，'()'()0f x g x ⋅>，不符题意（舍）； 若0b <，则()ln ln bn x a a x a a x x=+-<- 由ln 0a a x -<，得ln 1x >，所以x e > 所以0max ,a b x x e a -⎧⎫>=⎨⎬⎩⎭时，()0m x <，()0n x <，此时函数'()0f x <与'()0g x <，'()'()0f x g x ⋅>，不符题意（舍）； …………14分③当0a <时，若a bx a->，则()0m x >， 若0b >，则()ln ln bn x a a x a a x x=+->- 由ln 0a a x ->，得ln 1x >，所以x e >，所以0max ,a b x x e a -⎧⎫>=⎨⎬⎩⎭时，()0m x >，()0n x >，此时函数'()0f x >与'()0g x >，'()'()0f x g x ⋅>，不符题意（舍）； 若0b <，当1x >时，则()ln +ln bn x a a x a b a x x=+->-， 由+ln 0a b a x ->，得a bax e+>，所以0max ,1,a ba ab x x e a +⎧⎫->=⎨⎬⎩⎭时，()0m x >，()0n x >， 此时函数'()0f x >与'()0g x >，'()'()0f x g x ⋅>，不符题意（舍）；综上所述，当0a =且0b ≠时，函数()f x 与()g x 满足'()'()0f x g x ⋅<在(0,)+∞上恒成立. ……16分附加题答案21(A)解：法1：平面列向量关于原点逆时针旋转α所对应的变换矩阵为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=αααααcos sin sin cos )(M ..……4分直线l 经矩阵⎥⎥⎦⎤-⎢⎢⎣⎡=θθθθcos sin sin cos M 作用，即顺时针旋转θ以后得到直线'l ，且),0('πθ∈⊥，l l ， 所以2πθ= (10)分法2：在直线l 上任取一点),(y x P ，经过矩阵M 作用后得到点)','('y x P ，则⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅+⋅⋅-⋅=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤-⎢⎢⎣⎡''cos sin sin cos cos sin sin cos y x y x y x y x θθθθθθθθ .…………6分又点)','('y x P 在直线x y l 2:'=上，所以)sin (cos 2cos sin y x y x ⋅-⋅⨯=⋅+⋅θθθθ 即x y ⋅-=⋅+)sin cos 2()sin 2(cos θθθθ ..…………8分因为，'l l ⊥所以21sin 2cos sin cos 2-=+-θθθθ，所以θθθθcos sin 2sin 2cos 4--=-，所以,0cos =θ因为),0(πθ∈，所以2πθ=. ..…………10分21(B)解：直线l 的直角坐标方程为：013=++y x ， (2)分曲线C 的直角坐标方程为：222=+y x .圆心为)0,0(C ，半径2=r ， ..…………6分圆心C 到直线l 的距离21)3(1122=+=d ， 所以直线l被曲线C截得的弦长为6)21()2(222=-. ..…………10分21(C)解：因为正数c b a ,,满足,342=++c b a 所以16)3()2(4)1(2=+++++c b a . 所以)312111()]3()2(4)1(2[161312111+++++⋅+++++=+++++c b a c b a c b a ， 162611)122(1612+=++≥...…………8分当且仅当721627,72810,723224-=-=-=c b a 时，取最小值162611+ ...…………10分 22. 解：(1) 记“A,B 两位考生有且只有一位考生获得录取资格”为事件M . A 考生获得录取资格的概率为612131=⨯；B 考生获得录取资格的概率为613121=⨯； 所以18561656561)(=⨯+⨯=M P . 答：A,B两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率为185...…………4分 (2) 随机变量X 可能的取值为：0，1，2，3 C 考生获得录取资格的概率为613241=⨯,由(1)得A,B 两位考生获得录取资格的概率均为61. 所以A,B,C 三位考生获得高校综合评价录取资格的人数)61,3(~B X .则,216125)65()0(303===C X P ,21675)61()65()1(1213=⋅==C X P ,21615)61()65()2(2123=⋅==C X P ,2161)61()3(333===C X P随机变量X 的概率分布表如下：21216108216132161522167512161250)(==⨯+⨯+⨯+⨯=X E (人). ..…………8分 答：X的数学期望为21人. ..…………10分 注：(1) 如果随机变量X 的概率分布列写成：)3,2,1,0()61()65()(33=⋅==-k C k X P k k k ，可酌情给分。
江苏省盐城市2020届高三第三次模拟考试(6月) 数学 Word版含答案
2020届高三模拟考试试卷数 学(满分160分，考试时间120分钟)2020．6 参考公式：锥体体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为高．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 若集合A ＝{x|x ≤m}，B ＝{x|x ≥－1}，且A ∩B ＝{m}，则实数m 的值为________．2. 已知i 为虚数单位，复数z 满足z(3＋i)＝10，则|z|的值为________．3. 从数字0，1，2中任取两个不同的数字构成一个两位数，则所得的两位数大于10的概率为________．4. 如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，图中小矩形从左向右所对应的区间依次为[0，50)，[50，100)，[100，150)，[150，200)，[200，250]．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内这种面包的日销售量少于100个的天数为________天．5. 执行如图所示的流程图，输出k 的值为________．6. 若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线为y ＝±2x ，则其离心率的值为________．7. 若三棱柱ABCA 1B 1C 1的体积为12，点P 为棱AA 1上一点，则四棱锥PBCC 1B 1的体积为________．8. “ω＝2”是“函数f(x)＝sin (ωx ＋π6)的图象关于点(5π12，0)对称”的__________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)9. 在△ABC 中，C ＝B ＋π4，AB ＝324AC ，则tan B 的值为________．10. 若数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ＝2n －1＋(－1)n (2n －1)，则2a 100－S 100的值为________． 11. 若集合P ＝{(x ，y)|x 2＋y 2－4x ＝0}，Q ＝{(x ，y)||x ＋2|y≥15}，则P ∩Q 表示的曲线的长度为________．12. 若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋e x ，x>0，e 2x －1，x ≤0的图象上存在关于原点对称的相异两点，则实数m 的最大值是________．13. 在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝15，∠A 的平分线与边BC 的交点为D ，点E 为边BC 的中点．若AB →·AD →＝90，则 AB →·AE →的值是________．14. 若实数x ，y 满足4x 2＋4xy ＋7y 2＝1，则7x 2－4xy ＋4y 2的最小值是________． 二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)若函数f(x)＝Msin (ωx ＋φ)(M>0，ω>0，0<φ<π)的最小值是－2，最小正周期是2π，且图象经过点N(π3，1)．(1) 求f(x)的解析式；(2) 在△ABC中，若f(A)＝85，f(B)＝1013，求cos C的值．16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PC⊥BC，点E是PC的中点，且平面PBC⊥平面ABCD.求证：(1) PA∥平面BDE；(2) 平面PAC⊥平面BDE.17. (本小题满分14分)如图，在一旅游区内原有两条互相垂直且相交于点O的道路l1，l2，一自然景观的边界近似为圆形，其半径约为1千米，景观的中心C到l1，l2的距离相等，点C到点O的距离约为10千米．现拟新建四条游览道路方便游客参观，具体方案：在线段OC上取一点P，新建一条道路OP，并过点P新建两条与圆C相切的道路PM，PN(M，N为切点)，同时过点P新建一条与OP垂直的道路AB(A，B分别在l1，l2上)．为促进沿途旅游经济，新建道路长度之和越大越好，求新建道路长度之和的最大值．(所有道路宽度忽略不计)如图，在平面直角坐标系中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的短轴长为2，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，过点F 2的动直线与椭圆交于点P ，Q ，过点F 2与PQ 垂直的直线与椭圆C 交于A ，B 两点．当直线AB 过原点时，PF 1＝3PF 2.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若点H(3，0)，记直线PH ，QH ，AH ，BH 的斜率依次为k 1，k 2，k 3，k 4.① 若k 1＋k 2＝215，求直线PQ 的斜率；② 求(k 1＋k 2)(k 3＋k 4)的最小值．如果存在常数k使得无穷数列{a n}满足a mn＝ka m a n恒成立，则称{a n}为P(k)数列．(1) 若数列{a n}是P(1)数列，a6＝1，a12＝3，求a3；(2) 若等差数列{b n}是P(2)数列，求{b n}的通项公式；(3) 是否存在P(k)数列{c n}，使得c2 020，c2 021，C2 022，…是等比数列？若存在，请求出所有满足条件的数列{c n}；若不存在，请说明理由．设函数f(x)＝－3ln x＋x3＋ax2－2ax.(1) 当a＝0时，求函数f(x)的单调递增区间；(2) 若函数f(x)在x＝1时取极大值，求实数a的取值范围；(3) 设函数f(x)的零点个数为m，试求m的最大值．2020届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2b 1.若矩阵A 属于特征值3的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求该矩阵属于另一个特征值的特征向量．B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知直线l ：ρcos θ＋2ρsin θ＝m(m 为实数)，曲线C ：ρ＝2cos θ＋4sin θ，当直线l 被曲线C 截得的弦长取最大值时，求实数m 的值．C. (选修45：不等式选讲)已知实数x ，y ，z 满足x ＋y ＋2z ＝1，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，过点P(2，0)作直线l 与抛物线交于A ，B 两点，当直线l 与x 轴垂直时AB 的长为4 2.(1) 求抛物线的方程；(2) 若△APF 与△BPO 的面积相等，求直线l 的方程．23. 若有穷数列{a n }共有k 项(k ≥2)，且a 1＝1，a r ＋1a r ＝2（r －k ）r ＋1，当1≤r ≤k －1时恒成立．设T k ＝a 1＋a 2＋…＋a k .(1) 求T 2，T 3； (2) 求T k .2020届高三模拟考试试卷(盐城) 数学参考答案及评分标准1. －12. 103. 34 4. 12 5. 4 6.5 7. 8 8. 充分不必要 9. 2 10. 299 11.2π312. 1＋e 2 13.1752 14. 3815. 解：(1) 因为f(x)的最小值是－2，所以M ＝2.(2分)因为f(x)的最小正周期是2π，所以ω＝1.(4分)又由f(x)的图象经过点N(π3，1)，可得f(π3)＝1，sin(π3＋φ)＝12，所以φ＋π3＝2k π＋π6或φ＋π3＝2k π＋5π6，k ∈Z .又0<φ<π，所以φ＝π2，故f(x)＝2sin(x ＋π2)，即f(x)＝2cos x ．(6分)(2) 由(1)知f(x)＝2cos x. 又f(A)＝85，f(B)＝1013，故2cos A ＝85，2cos B ＝1013，即cos A ＝45，cos B ＝513.因为在△ABC 中，A ，B ∈(0，π)， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－（45）2＝35，sin B ＝1－cos 2B ＝1－（513）2＝1213，(10分)所以cos C ＝cos[π－(A ＋B)]＝－cos(A ＋B)＝－(cos Acos B －sin Asin B)＝－(45×513－35×1213)＝1665.(14分)16. 证明：(1) 设AC ∩BD ＝O ，连结OE ， 因为底面ABCD 是菱形，故O 为BD 中点． 因为点E 是PC 的中点，所以AP ∥OE. (2分)因为OE ⊂平面BDE ，AP ⊄平面BDE ，所以AP ∥平面BDE.(6分)(2) 因为平面PBC ⊥平面ABCD ，PC ⊥BC ，平面PBC ∩平面ABCD ＝BC ，PC ⊂平面PBC ，所以PC ⊥平面ABCD.(9分)又BD ⊂平面ABCD ，所以PC ⊥BD.因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD.又PC ⊥BD ，AC ∩PC ＝C ，AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ， 所以BD ⊥平面PAC. (12分)又BD ⊂平面BDE ，所以平面PAC ⊥平面BDE.(14分)17. 解：连结CM ，设∠PCM ＝θ，则PC ＝1cos θ，PM ＝PN ＝tan θ，OP ＝OC －PC ＝10－1cos θ，AB ＝2OP ＝20－2cos θ.设新建的道路长度之和为f(θ)，则f(θ)＝PM ＋PN ＋AB ＋OP ＝2tan θ－3cos θ＋30.(6分)由1<PC ≤10得110≤cos θ<1.设cos θ0＝110，θ0∈(0，π2)，则θ∈(0，θ0]，sin θ0＝31110，f ′(θ)＝2－3sin θcos 2θ.令f′(θ)＝0得sin θ＝23.(10分)设sin θ1＝23，θ1∈(0，θ0]，则θ，f ′(θ)，f (θ)的情况如下表：由表可知当θ＝θ1时f(θ)有最大值，此时sin θ＝23，cos θ＝53，tan θ＝25，f (θ)＝30－ 5.(13分)答：新建道路长度之和的最大值为30－5千米．(14分) 注：定义域扩展为(0，π2)，求出最值后验证也可．18. 解：(1) 因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的短轴长为2，所以b ＝1.当直线AB 过原点时，PQ ⊥x 轴，所以△PF 1F 2为直角三角形． 由定义知PF 1＋PF 2＝2a ，而PF 1＝3PF 2，故PF 1＝32a ，PF 2＝12a.由PF 21＝PF 22＋F 1F 22得94a 2＝14a 2＋4c 2＝14a 2＋4(a 2－1)，化简得a 2＝2， 故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (4分)(2) ① 设直线PQ ：y ＝k(x －1)，代入到椭圆方程得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋(2k 2－2)＝0. 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2， (6分)所以k 1＋k 2＝y 1x 1－3＋y 2x 2－3＝k[（x 1－1）（x 2－3）＋（x 2－1）（x 1－3）]（x 1－3）（x 2－3），化简可得k 1＋k 2＝2k 8k 2＋7＝215，(10分) 解得k ＝1或k ＝78，即为直线PQ 的斜率．(12分)② 当这两条直线中有一条与坐标轴垂直时，(k 1＋k 2)(k 3＋k 4)＝0. 当两条直线与坐标轴都不垂直时，由①知k 1＋k 2＝2k8k 2＋7，同理可得k 3＋k 4＝－2k 8＋7k 2，(14分)故(k 1＋k 2)(k 3＋k 4)＝－4k 256k 4＋56＋113k 2＝－456（k 2＋1k2）＋113≥－456×2k 2×1k2＋113＝－4225， 当且仅当k 2＝1k 2，即k ＝±1时取等号．综上，(k 1＋k 2)(k 3＋k 4)的最小值为－4225.(16分)19. 解：(1) 由数列{a n }是P(1)数列得a 6＝a 2a 3＝1，a 12＝a 2a 6＝3，可得a 3＝13.(2分)(2) 由{b n }是P(2)数列知b mn ＝2b m b n 恒成立，取m ＝1得b n ＝2b 1b n 恒成立． 当b 1＝0，b n ＝0时满足题意，此时b n ＝0.当b 1≠0时，由b 1＝2b 21，可得b 1＝12，取m ＝n ＝2得b 4＝2b 22. 设公差为d ，则12＋3d ＝2(12＋d)2，解得d ＝0或d ＝12.综上，b n ＝0或b n ＝12或b n ＝n2，经检验均合题意．(8分)(3) (解法1)假设存在满足条件的P(k)数列{c n }，不妨设该等比数列c 2 020，c 2 021，c 2 022，…的公比为q ，则有c 2 020×2 020＝kc 2 020·c 2 020⇒c 2 020·q 2 020×2 020－2 020＝kc 2 020·c 2 020，可得q 2 020×2 020－2 020＝kc 2 020 ①，c 2 020×2 021＝kc 2 020·c 2 021⇒c 2 020·q 2 020×2 021－2 020＝kc 2 020·c 2 020·q ，可得q 2 020×2 021－2 021＝kc 2 020 ②.综合①②可得q ＝1，(10分)故c 2 020×2 020＝c 2 020，代入c 2 020×2 020＝kc 2 020·c 2 020得c 2 020＝1k ，则当n ≥2 020时c n ＝1k .(12分)又c 2 020＝kc 1·c 2 020⇒c 1＝1k.当1<n<2 020时，不妨设n i ≥2 020，i ∈N *且i 为奇数，由c ni ＝c n ×ni －1＝kc n ×c ni －1＝kc n ×c n ×ni －2＝k 2(c n )2×c ni －2＝…＝k i －1(c n )i . 而c ni ＝1k ，所以1k ＝k i －1(c n )i ，(c n )i ＝(1k )i ，c n ＝1k.综上，满足条件的P(k)数列{c n }有无穷多个，其通项公式为c n ＝1k .(16分)(解法2)同解法1得，当n ≥2 020时c n ＝1k.当1<n<2 020时，c n ×2 020＝kc n c 2 020，而c n ×2 020＝1k ，c 2 020＝1k ，故c n ＝1k ，以下同解法1.(解法3)假设存在满足条件的P(k)数列{c n }，显然{c n }的所有项及k 均不为零，c 1＝1k ，不妨设该等比数列c 2 020，c 2 021，c 2 022，…的公比为q ，当1≤n ≤2 018时，c n ×2 020＝kc n c 2 020，c (n ＋1)×2 020＝kc n ＋1c 2 020， 两式相除可得c n ＋1c n ＝c （n ＋1）×2 020c n ×2 020＝q 2 020，故当1≤n ≤2 019时，{c n }也为等比数列，(10分) 故c n ＝c 1×q 2 020(n－1)＝1k ×q 2 020(n －1)，则c 2＝1k ×q 2 020，c 4＝1k×q 6 060. 由c 4＝k(c 2)2得q 2 020＝1，且当1≤n ≤2 019时c n ＝1k，(12分)则c 2 020＝kc 2c 1 010＝k ×1k ×1k ＝1k ，c 2 025＝kc 5c 405＝k ×1k ×1k ＝1k ，所以c 2 025c 2 020＝1＝q 5，所以q＝1，故当n ≥2 020时c n ＝1k.综上，满足条件的P(k)数列{c n }有无穷多个，其通项公式为c n ＝1k.(16分)20. 解：(1) 当a ＝0时，f(x)＝－3ln x ＋x 3，所以f′(x)＝－3x ＋3x 2＝3(x 3－1x)，(1分)由f′(x)＝0得x ＝1，当x ∈(0，1)时，f ′(x)<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0，所以函数f(x)的单调增区间为(1，＋∞)．(3分) (2) 由题意得f′(x)＝－3x ＋3x 2＋2ax －2a ＝3（x －1）x [x 2＋(2a 3＋1)x ＋1]． 令g(x)＝x 2＋(2a3＋1)x ＋1(x>0)，则f′(x)＝3（x －1）xg(x)．当2a 3＋1≥0，即a ≥－32时，g(x)>0恒成立，得f(x)在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，所以x ＝1是函数f(x)的极小值点；当Δ＝(2a 3＋1)2－4<0，即－92<a<32时，此时g(x)>0恒成立，f(x)在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，所以x ＝1是函数f(x)的极小值点；当Δ＝(2a 3＋1)2－4＝0，即a ＝－92或a ＝32时，易得f(x)在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，所以x ＝1是函数f(x)的极小值点；(6分)当Δ＝(2a 3＋1)2－4>0时，解得a<－92或a>32(舍去)，当a<－92时，设g(x)的两个零点为x 1，x 2，所以x 1x 2＝1，不妨设0<x 1<x 2.又g(1)＝2a 3＋3<0，所以0<x 1<1<x 2，故f′(x)＝3x(x －x 1)(x －1)(x －x 2)．当x ∈(0，x 1)时，f ′(x)<0；当x ∈(x 1，1)时，f ′(x)>0；当x ∈(1，x 2)时，f ′(x)<0；当x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x)>0；所以f(x)在(0，x 1)上递减，在(x 1，1)上递增，在(1，x 2)上递减，在(x 2，＋∞)上递增； 所以x ＝1是函数f(x)极大值点． 综上所述a<－92.(10分)(3) ① 由(2)知当a ≥－92时，函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故函数f(x)至多有两个零点，欲使f(x)有两个零点，需f(1)＝1－a<0，得a>1，此时f(x)＝－3ln x ＋x 3＋ax 2－2ax>－3ln x －2ax ，f(1a )>3ln a －2，当a>e 时，f(1a )>0，此时函数f(x)在(0，1)上恰有1个零点；(12分)又当x>2时，f(x)＝－3ln x ＋x 3＋ax(x －2)>－3ln x ＋x 3. 由(1)知φ(x)＝－3ln x ＋x 3在(1，＋∞)上单调递增，所以f(e)>－3＋e 3>0，故此时函数f(x)在(1，＋∞)上恰有1个零点； 由此可知当a>e 时，函数f(x)有两个零点．(14分)② 当a<－92时，由(2)知f(x)在(0，x 1)上递减，在(x 1，1)上递增，在(1，x 2)上递减，在(x 2，＋∞)上递增；而0<x1<1，所以f(x1)＝－3ln x1＋x31＋ax1(x1－2)>0，此时函数f(x)也至多有两个零点．综上①②所述，函数f(x)的零点个数m的最大值为2.(16分)2020届高三模拟考试试卷(盐城) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：由题意知Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝3，b ＋1＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，(4分) 所以矩阵A 的特征多项式f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2 －2λ－1＝(λ－1)2－4.由f(λ)＝0，解得λ＝3或λ＝－1.(8分)当λ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2y ＝0，－2x －2y ＝0，令x ＝1，则y ＝－1，所以矩阵A 的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.(10分)B. 解：由题意知直线l 的直角坐标方程为x ＋2y －m ＝0.(2分)又曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋4sin θ，即ρ2＝2ρcos θ＋4ρsin θ， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －4y ＝0， 所以曲线C 是圆心为(1，2)的圆，(8分)当直线l 被曲线C 截得的弦长最大时，得1＋2×2－m ＝0，解得m ＝5.(10分) C. 解：由柯西不等式有(12＋12＋22)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋y ＋2z)2＝1，(6分) 所以x 2＋y 2＋z 2≥16(当且仅当x 1＝y 1＝z 2，即x ＝y ＝16，z ＝13时取等号)，(8分)所以x 2＋y 2＋z 2的最小值是16.(10分)22. 解：(1) 当直线l 与x 轴垂直时AB 的长为42，又P(2，0)，取A(2，22)，(1分) 所以(22)2＝2p·2，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x.(2分) (2) 由题意知S △APF ＝12·FP ·|y A |＝12|y A |，S △BPO ＝12·OP ·|y B |＝|y B |.因为S △APF ＝S △BPO ，所以|y A |＝2|y B |.(4分)当k AB ＝0时，直线AB 与抛物线不存在两个交点，所以k AB ≠0，故设直线AB 的方程为x ＝my ＋2，代入抛物线方程得y 2－4my －8＝0, 所以y A ＋y B ＝4m ，y A y B ＝－8.(6分) 当y A >0，y B <0时，y A ＝－2y B ，－2y 2B ＝－8，所以y B ＝－2，x B ＝y 2B4＝1，所以k PB ＝2，直线AB 的方程为2x －y －4＝0.(8分)当y A <0，y B >0时，同理可得直线AB 的方程为2x ＋y －4＝0. 综上所述，直线AB 的方程为2x±y －4＝0.(10分)23. 解：(1) 当k ＝2时，r ＝1，由a 2a 1＝2（1－2）1＋1＝－1，得a 2＝－1，T 2＝0.(1分)当k ＝3时，r ＝1或2，由a 2a 1＝2（1－3）1＋1＝－2，得a 2＝－2.由a 3a 2＝2（2－3）2＋1＝－23，得a 3＝43，T 3＝13.(3分) (2) 因为a r ＋1a r ＝2（r －k ）r ＋1，由累乘法得a 2a 1·a 3a 2·…·a r ＋1a r ＝2（1－k ）2·2（2－k ）3·…·2（r －k ）r ＋1， 所以a r ＋1＝(－2)r （k －1）2·（k －2）3·…·（k －r ）r ＋1＝(－2)r k ！k （r ＋1）！（k －r －1）！，(5分)所以a r ＋1＝1－2kC r ＋1k (－2)r ＋1.(6分) 当r ＝0时，a 1＝1也适合a r ＋1＝1－2kC r ＋1k (－2)r ＋1， 所以T k ＝1－2k [C 1k (－2)1＋C 2k (－2)2＋…＋C k k (－2)k ]，(8分) 即T k ＝1－2k [C 0k (－2)0＋C 1k (－2)1＋C 2k (－2)2＋…＋C k k (－2)k－1]， 所以T k ＝1－2k [(1－2)k －1]＝12k [1－(－1)k ]．(10分)。
江苏省南京盐城市2020届高三年级第三次模拟考试数学含答案
三棱锥
A
BMN
的体积为
V2
，则
V2 V1
=
▲
.
8．在 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 sin A b , a 2c 则 cos A = ▲ . sin B a c
9．已知数列 an、bn满足 bn log2 an , 且数列 bn是等差数列.若 b3 2, b10 9 ,则数列
中的最小元素的和记为 Sn . （1）求 S3 ， S4 ， S5 的值； （2）试求 Sn 的表达式.
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盐城市 2020 届高三年级第三次模拟考试
数学Ⅰ
参考公式： 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答．题．卡．相．应．位．置．上．．
1．已知集合 M x x2 2x 0 , N x 1 x 1 , 则 M 与 N 的并．集．M N = ▲ .
写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22.（本小题满分10分）
已知某高校综合评价有两步：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面
试；若材料初审合格，则进入第二步面试.只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格.
现有A，B，C三名学生报名参加该高校的综合评价，假设A，B，C三位学生材料初审合格的概率分
f ( f (x)) f (x)[ f (x) 2a] (x 2 2ax)(x 2 2ax 2a) 0 的解与x 2 2ax 0 的解相同 ①4a2 8a 0 a (2, 0)；② 2a 0 a 0； 综上，a (2, 0]．
14．若圆 C1 : x m2 y2 16 与圆 C2 : x n2 y2 16 相交，点 P 为其在 x 轴下方的交点，且 mn 8 ，
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南京市、盐城市2019-2020届高三第三次模拟考试
数学附加题
注意事项：
1．附加题供选考物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．
3．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题卡．．．上．考试结束后，交回答题卡． 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答．题卡指定
．．．．区域内．．．
作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲
如图，P A ，PB 是⊙O 的切线，切点分别为A ，B ，线段OP 交⊙O 于点C ．若P A ＝12，PC ＝6，求AB 的长．
B ．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵M ＝ ⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤1 a b 1 对应的变换将点A (1，1)变为A' (0，2)，将曲线C ：xy ＝1变为曲线C'．
（1）求实数a ，b 的值； （2）求曲线C' 的方程．
C ．选修4—4：坐标系与参数方程
已知圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos(θ－π6)，点M 的极坐标为(6，π
6)，直线l 过点M ，且与圆C 相
切，求l 的极坐标方程．
D ．选修4—5：不等式选讲
解不等式x |x －4|－3＜0．
A
B
P O
C （第21题A ）
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．请在答．题卡指定区域内．．．．．．．
作答．解答应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．
22．(本小题满分10分)
如图，三棱锥P －ABC 中，已知P A ⊥平面ABC ，△ABC 是边长为2的正三角形，D ，E 分别为PB ，PC 中点．
（1）若P A ＝2，求直线AE 与PB 所成角的余弦值； （2）若平面ADE ⊥平面PBC ，求P A 的长．
23．(本小题满分10分)
如图，一颗棋子从三棱柱的一个顶点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为1
3，刚开始时，棋子
在上底面点A 处，若移了n 次后，棋子落在上底面顶点的概率记为p n ．
（1）求p 1，p 2的值； （2）求证：i =1∑n
14P i －1＞n 2
n ＋1
．
A
B
C
D
E
F
（第23题）
A
B
C
E
D
P
（第22题）。