空间直角坐标系

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空间直角坐标系

长度：使用直角坐标系中的坐标值计算
面积：使用直角坐标系中的坐标值计算
体积：使用直角坐标系中的坐标值计算
角度：使用直角坐标系中的坐标值计算
距离：使用直角坐标系中的坐标值计算
相似性：使用直角坐标系中的坐标值计算
平移：沿某个方向移动一定距离不改变形状的大小和方向
旋转：绕某个轴旋转一定角度改变形状的位置和方向
向量的坐标表示应用：向量的坐标表示方法在物理、工程、计算机科学等领域有着广泛的应用。
向量的模：向量的长度表示为向量的平方和的平方根
向量的数量积：两个向量的点积表示为两个向量的坐标乘积的和
向量的坐标表示方法：用三个坐标值表示向量每个坐标值对应一个坐标轴
向量的数量积的坐标表示方法：用两个向量的坐标乘积的和表示向量的数量积每个坐标乘积对应一个坐标轴
平移：沿坐标轴方向移动保持原点位置不变
旋转和平移的复合：先旋转后平移或先平移后旋转
旋转和平移的逆操作：旋转和平移的逆操作可以恢复原坐标系
空间直角坐标系的表示方法
空间直角坐标系：由三个互相垂直的坐标轴组成通常用x、
y、z表示
点的坐标表示：用三个数字表示分别对应x、 y、z轴上的坐
感谢您的观看
汇报人：
示。
单位长度：平面直角坐标系中的单位长度是固定的通常用1表
示。
空间直角坐标系是三维的平面直角坐标系是二维的
空间直角坐标系中的点可以用三个坐标表示平面直角坐标系中的点可以用两个坐标表示
空间直角坐标系中的点可以通过投影变换转换为平面直角坐标系中的点
平面直角坐标系中的点可以通过升维变换转换为空间直角坐标系中的点
坐标轴：x轴、y轴、z 轴分别代表三个方向的坐标。

空间直角坐标系

第 1 页共 2 页空间直角坐标系1、空间直角坐标系：从空间某一个定点O 引三条且有单位长度的数轴Ox 、Oy 、Oz ，这样的坐标系叫做空间直角坐标系O-xyz ，点O 叫做，x 轴、y 轴、z 轴叫做。

在画空间直角坐标系O-xyz 时，一般使∠xOy=135°，∠yOz=90°。

2、坐标平面：通过每两个坐标轴的平面叫做，分别称为xOy 平面、yOz 平面、 zOx 平面。

3、在空间直角坐标系中，空间一点M 的坐标可以用有序数组(x ，y ，z)来表示，有序数组(x ，y ，z)叫做点M 在空间直角坐标系中的坐标，记作M(x ，y ，z)，其中x 叫做坐标，y 叫做坐标，z 叫做坐标.4、右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，让右手大拇指指向为x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。

注意：(1)在空间直角坐标系中，坐标平面xOy ，xOz ，yOz 上非原点的坐标有什么特点？(2)y 轴、z 轴上非原点的坐标有什么特点？5（1）空间中任意一点),,(1111z y x P 到点),,(2222z y x P 之间的距离公式： 22122122121)()()(z z y y x x P P -+-+-=（2）在空间直角坐标系O-xyz 中，设点P(x ，y ，z)、()111,,z y x A 、()222,,z y x B ，则：点P 到原点O 的距离|OP|=222z y x ++ A 与B 两点间距离公式|AB|=212212212)()()(z z y y x x -+-+- 点A 与B 的中点()000,,z y x P 坐标公式：2,2,2210210210z z z y y y x x x +=+=+= 专题例题与练习：例1. 在空间直角坐标系中，到点M(3，—1，2)，N(0，2，1)距离相等且在y 轴上的点的坐标为___________例2. 与点P(1,3,5)关于原点对称的点是( )A 、(—1，—3，5)B 、(1，—3，5)C 、(—1，3，—5)D 、(—1，—3，—5) 例3. 已知空间两点M(2，3，6)，N(—m ，3，—2n)关于xOy 平面对称，则m+n=_________例4. 如图右侧，已知正方体ABCD －A′B′C′D′的棱长为a ，|BM|=|2MD’|，点N 在A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，试求MN 的长．练习1．若已知点A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，则线段AB 的长为( )A ．4 3B ．2 3C ．4 2D ．3 22．在空间直角坐标系中，点P(－5，－2,3)到x 轴的距离为( )第 2 页共 2 页 A ．5 B.29 C.13 D.343．在空间直角坐标系中，已知点P(x ，y ，z)满足方程(x ＋2)2＋(y －1)2＋(z －3)2＝3，则点P 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．球面D ．线段4．已知点A(－3，1，4)，B(5，－3，－6)，则点B 关于点A 的对称点C 的坐标为________．5．以正方体ABCD －A1B1C1D1的棱AB 、AD 、AA1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC1的中点的坐标为( ) A.(21，1，1). B.(1，21，1). C. (1，1，21). D. (21，21，1).6．空间直角坐标系中，x 轴上到点P(4,1,2)的距离为30的点有( )A ．2个B ．1个C ．0个D ．无数个7．已知A(1，－2,11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形8．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是() A.62 B.3 C.32 D.63。

空间直角坐标系.

表示的曲面称为圆锥面，点 O 称为圆锥的顶点.
(2) y z 坐标面上的抛物线 z = ay2 绕 z 轴旋转所得的曲面方程为
z a( x y ),
2 2
z
该曲面称为旋转抛物面. 其特征是: 当 a < 0 时，旋转抛物面的开口向下. 一般地，
方程
x y z 2 2 a b
2
2
2 2 2
1 2 1 2 2 ( x ) y (z ) 1 . 2 2
1 1 所以，原方程表示球心在 ( , 0 , ) 半径为 1 的 2 2 球面.
2.母线平行于坐标轴的柱面方程
动直线 L 沿给定曲线 C 平行移动形成的曲面，称为柱面，动直线 L 称为柱面的母线，定曲线 C 称为柱面的准线. L 柱面的形成 C
z
一般地，方程
O x
y
四、空间曲线的方程
1.空间曲线的一般方程
F1 ( x , y , z ) 0 F2 ( x , y , z ) 0
称为空间曲线的一般方程例 3 下列方程组表示什么曲线?
2 2 2 x 2 y 2 z 2 25 , x y z 25 , (1) (2) z 3 ; z 0 .
同理，曲线 C 绕 y 轴旋转成的曲面方程为
M
C
f ( y , x z ) 0.
2 2
O
y
旋转曲面的形成
例2
将下列平面曲线绕指定坐标轴旋转，试求
所得旋转曲面方程:
(1) y z 坐标面上的直线 z = ay( a 0 )，绕 z 轴. 绕 z 轴. (2) y z 坐标面上的抛物线 z = ay2( a > 0 )，

空间直角坐标系

空间直角坐标系空间直角坐标系是描述三维空间中物体位置、大小和方向的基本工具，也称为笛卡尔坐标系。

它由三个坐标轴组成，分别为X轴、Y轴和Z轴。

这三个轴互相垂直，并且有着确定的正方向。

在这个坐标系中，每个点都可以用一个三元组(x,y,z)来表示，其中x、y和z分别表示该点在X轴、Y轴和Z轴上的坐标值。

坐标轴在空间直角坐标系中，X轴、Y轴和Z轴互相垂直，并且有着确定的正方向。

通常情况下，我们用右手定则来确定它们的方向。

右手定则是指：用右手握住坐标轴，拇指指向轴正方向，则其余四指的方向依次为轴的负方向。

对于X轴来说，正方向是从左往右，负方向是从右往左。

对于Y轴来说，正方向是从下往上，负方向是从上往下。

对于Z轴来说，正方向是从里往外，负方向是从外往里。

坐标系在空间直角坐标系中，每个点都可以用一个三元组(x,y,z)来表示，其中x、y和z分别表示该点在X轴、Y轴和Z轴上的坐标值。

通过这三个坐标轴的交点，我们就可以确定一个坐标系。

其中，原点是三个坐标轴的交点，XOY平面是X轴和Y轴的交点，以及XOZ平面和YOZ平面。

在三维图形中，我们通常用灰色坐标轴或红色坐标轴来表示三维坐标系。

在计算机中，常常用右手坐标系来表示三维坐标系。

在右手坐标系中，我们用拇指、食指和中指来表示X、Y和Z轴（这三个手指的弹起方向分别为轴正方向），并且让它们呈互相垂直的状态。

这样，我们就可以向空间中标记点、向量等实体了。

空间直角坐标系的应用空间直角坐标系在数学、物理、工程等领域中都有着广泛的应用。

下面以机械加工中的坐标轴为例，介绍空间直角坐标系的应用。

在机械加工中，机床的操作基本上是在三维空间中进行的，因此空间直角坐标系被广泛应用于机械加工中。

在机械加工中，通常会遇到许多坐标系，例如车削中心点坐标系、雕铣中心点坐标系等。

在机械加工中，我们通常要计算刀具与工件的相对位置、切削速度、转速等参数，而这些参数都依赖于空间直角坐标系。

因此，熟练掌握空间直角坐标系是进行机械加工的一个基本要求。

空间直角坐标系

空间直角坐标系空间直角坐标系是一种用来描述物体在三维空间中位置的坐标系统。

它是一种常见且重要的坐标系，被广泛应用于数学、物理、工程等各个领域。

本文将详细介绍空间直角坐标系的定义、特点和使用方法。

一、空间直角坐标系的定义空间直角坐标系是由三个相互垂直的坐标轴构成的，通常用x、y、z表示。

x轴和y轴在水平平面上，z轴垂直于水平平面向上延伸。

在这个坐标系中，每个点可以由一个有序的三元组(x, y, z)唯一确定。

其中，x表示点在x轴上的坐标值，y表示点在y轴上的坐标值，z表示点在z轴上的坐标值。

二、空间直角坐标系的特点1. 三维描述：空间直角坐标系能够准确描述物体在三维空间中的位置。

通过确定点在x、y、z轴上的坐标值，可以得知物体在坐标系中的具体位置。

2. 直角关系：空间直角坐标系中的三个坐标轴彼此垂直。

这意味着任意两个轴的夹角为直角，使得坐标系的描述更加简洁明了。

3. 正负号：在空间直角坐标系中，每个坐标轴都有正负号之分。

通过正负号的不同，可以识别出点在轴的正方向还是负方向上。

三、空间直角坐标系的使用方法1. 坐标表示：在空间直角坐标系中，可以通过坐标表示物体的位置。

例如，一个点的坐标为(2, 3, 4)，表示该点在x轴上的坐标值为2，在y轴上的坐标值为3，在z轴上的坐标值为4。

2. 图形表示：使用空间直角坐标系，可以绘制出物体在三维空间中的图形。

例如，通过连接多个点可以绘制直线、曲线，通过连接多个面可以绘制立方体、圆柱体等。

3. 距离计算：在空间直角坐标系中，可以计算物体之间的距离。

根据勾股定理，可以计算出两点之间的直线距离。

例如，两点A(x1, y1,z1)和B(x2, y2, z2)之间的距离可以用以下公式表示：AB = √[(x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²]。

四、应用举例空间直角坐标系在许多领域有着广泛的应用。

以下是一些例子：1. 建筑设计：在建筑设计中，使用空间直角坐标系可以准确描述建筑物的位置、大小和形状，方便施工和规划工作。

空间直角坐标系

空间直角坐标系在数学和物理学中，空间直角坐标系是一种常用的坐标系统，用于描述三维空间中的点、向量和物体的位置。

它由三个互相垂直的坐标轴（x轴、y轴和z轴）组成，构成了一个三维的直角坐标系。

一、空间直角坐标系的定义空间直角坐标系以原点为起点，通过选定的单位长度建立了三个相互垂直的坐标轴。

x轴代表水平方向，y轴代表垂直于x轴的水平方向，z轴代表竖直方向垂直于x、y轴。

这样，每一个点都可以用三个数字（x，y，z）表示其在空间直角坐标系中的位置。

二、坐标轴的性质和方向在空间直角坐标系中，每个坐标轴都具有以下性质：1. x轴：位于水平方向，从负无穷到正无穷延伸。

正方向为从左往右。

2. y轴：位于垂直于x轴的水平方向，从负无穷到正无穷延伸。

正方向为从前往后。

3. z轴：位于竖直方向，从负无穷到正无穷延伸。

正方向为从下往上。

空间直角坐标系中，x轴和y轴的交点称为原点（O），z轴的正方向与x轴和y轴的正方向形成右手螺旋规则关系。

三、点的表示和距离计算在空间直角坐标系中，任意一点P的坐标为（x，y，z）。

这意味着点P在x轴上的坐标为x，在y轴上的坐标为y，在z轴上的坐标为z。

点P到原点的距离可以由勾股定理计算：距离= √(x² + y² + z²)四、向量和运算在空间直角坐标系中，向量可以用其起点和终点的坐标差来表示。

例如，向量V可以表示为V = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)，其中(x1, y1, z1)为起点坐标，(x2, y2, z2)为终点坐标。

向量的加法和减法可以分别通过坐标的相加和相减进行计算。

例如，向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2)的加法结果为A + B = (x1 +x2, y1 + y2, z1 + z2)。

五、空间坐标系的应用空间直角坐标系在几何学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。

它可以用来描述点、线、面和三维物体的位置关系和运动状态。

空间直角坐标系

分别设|AB|＝1，|AD|＝2，|AA1|＝4，则|CF|＝|AB|＝1，|CE|＝12|AB|＝12，所以|BE|＝|BC|－|CE|＝2－12＝32. 所以点 E 的坐标为(1，32，0)，点 F 的坐标为(1,2,1)．
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空间中点 P 坐标的确定方法 (1)由 P 点分别作垂直于 x 轴、y 轴、z 轴的平面，依次交 x 轴、y 轴、z 轴于点 Px、Py、Pz，这三个点在 x 轴、y 轴、z 轴上的坐标分别为 x、y、z，那么点 P 的坐标就是(x， y，z)． (2)若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点 P 在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题．
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总结 1．求空间对称点的规律方法空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反” 这个结论． 2．空间直角坐标系中，任一点 P(x，y，z)的几种特殊对称点的坐标如下： ①关于原点对称的点的坐标是 P1(－x，－y，－z)；
返回
空间中点的对称
[例 2] (1)点 A(1,2，－1)关于坐标平面 xOy 及 x 轴的对称点的坐标分别是________．
(2)已知点 P(2,3，－1)关于坐标平面 xOy 的对称点为 P1，点 P1 关于坐标平面 yOz 的对称点为 P2，点 P2 关于 z 轴的对称点为 P3，则点 P3 的坐标为________．
返回
②关于x轴(横轴)对称的点的坐标是P2(x，－y，－z)； ③关于y轴(纵轴)对称的点的坐标是P3(－x，y，－z)； ④关于z轴(竖轴)对称的点的坐标是P4(－x，－y，z)； ⑤关于xOy坐标平面对称的点的坐标是P5(x，y，－z)； ⑥关于yOz坐标平面对称的点的坐标是P6(－x，y，z)； ⑦关于xOz坐标平面对称的点的坐标是P7(x，－y，z)．

空间直角坐标系

写出 D, C, A, B 四点的坐标.
解: D( 0, 0, 2),
C( 0, 4, 0), A( 3, 0, 2), 过点 A 的 x 轴的垂面 AB 交 x 轴于点 A, 得 x 坐标为 3;
z
2 D
A
3A O
x
C B
C
4y
B
过点 A 的 y 轴的垂面 AO 交 y 轴于原点,
得 y 坐标为 0;
过点 A 的 z 轴的垂面 AC 交 z 轴于点 D,
得 z 坐标为 2.
例1. 如图, 在长方体 OABC-DABC中, |OA|=3,
|OC|=4, |OD|=2. 写出 D, C, A, B 四点的坐标.
解: D( 0, 0, 2),
C( 0, 4, 0), A( 3, 0, 2), B( 3, 4, 2). 过点 B 的 x 轴的垂面 BA
o
y
y
o
o
y
x
x
课本中采用的是右手直角坐标系, (如图)
二、点的坐标
点P的坐标: P (x, y, z), z 过点P作 x 轴的垂面,
与 x 轴交点的坐标
就是点P的 x 坐标; 过点P作 y 轴的垂面,
z
P● (x, y, z)
与 y 轴交点的坐标
o
y
y
就是点P的 y 坐标;
x
过点P作 z 轴的垂面, x
N22( 1,
1 2
,
12),
N24(
1 2
,
1,
1 2
),
N14( 1, 1, 1 ),
N21(
1 2
,
0,
1 2
),
N23( 0,

知识要点空间直角坐标系

知识要点空间直角坐标系空间直角坐标系是用来描述三维空间中点位置的一种坐标系统。

它由三个坐标轴x、y、z构成，且彼此互相垂直，并在相交点处成为原点O。

在空间直角坐标系中，每个点的位置可由它在每个坐标轴上的投影来确定。

假设特定点P的坐标为(x,y,z)，则在x轴上的投影为x，y轴上的投影为y，z轴上的投影为z。

空间直角坐标系的特点是可以将任意三维空间中的点表示为有序的数对(x,y,z)，并且任意两点之间的距离可以用直线段来表示。

其基本特征有以下几点：1.原点O：空间直角坐标系的交点即为原点O，它的坐标为(0,0,0)。

2.坐标轴：空间直角坐标系有三个互相垂直的坐标轴，分别为x轴、y轴和z轴。

它们分别与三个方向对应：x轴正向为向右，y轴正向为向上，z轴正向为向外。

3. 坐标面：由三个坐标轴所确定的平面称为坐标面。

分别为xoy平面（z = 0）、xoz平面（y = 0）和yoz平面（x = 0）。

4.坐标轴方向：坐标轴方向有正负之分，规定沿着轴线正向的方向为正方向，反向则为负方向。

5.坐标轴长度：不同坐标轴的长度可以任选，但通常选择相等长度，方便计算。

在空间直角坐标系中，我们可以通过以下方法进行基本的空间点运算：1.点的移动：在坐标轴上，点的移动相当于坐标值的变化。

向右移动，坐标值加；向左移动，坐标值减；向上移动，坐标值加；向下移动，坐标值减；向外移动（离原点越来越远），坐标值加；向内移动（离原点越来越近），坐标值减。

2.点的关系：可以通过对比坐标值来判断两个点的相对位置。

若两点的x、y、z坐标值分别相等，则它们重合；若只有一个坐标值相等，则它们在同一坐标轴上；若有两个坐标轴的坐标值相等，则它们在同一平面上；若没有坐标值相等，则它们位于不同的坐标平面中。

3.点的中点坐标：求两点的中点坐标，可以将两个点的对应坐标分别相加然后除以24. 点的距离：可以根据勾股定理来求两点之间的距离。

设两点分别为P(x1, y1, z1)和Q(x2, y2, z2)，则它们之间的距离d为：d =sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)。

空间直角坐标系

四、空间两点间的距离
设 M1( x1 , y1 , z1 )、 M2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点
zR
M1
P o
d = M1M2 = ?
M2
Q 在直角M1 NM2
N 及直角M1PN 中，
y 使用勾股定理知
x
d 2 = M1P 2 + PN 2 + NM2 2 ,
M1P x2 x1 , PN y2 y1 ,
五、典型例题
例 2 设 P 在 x轴上，它到 P1(0, 2,3)的距离为到点 P2 (0,1,1)的距离的两倍，求点 P 的坐标.
解因为 P 在 x轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
PP1 x2 2 2 32 x2 11,
PP2 x2 12 12 x2 2,
PP1 2 PP2 , x2 11 2 x2 2
x 1, 所求点为 (1,0,0), (1,0,0).
六、小结
一、空间直角坐标系二、三个坐标面八个卦限三、空间点的坐标四、空间两点间的距离
NM2 z2 z1 ,
x
zR
M1
P
o
d M1P 2 PN 2 NM2 2
M2
Q N
y
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为 M( x, y, z) , O(0,0,0)
d OM x2 y2 z2 .
五、典型例题
例 1 求证以 M1(4,3,1)、 M2 (7,1,2)、M3 (5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解 M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6, M2M3 M3M1 , 原结论成立.

空间直角坐标系

一、空间向量的基本概念
平面向量
空间向量
定义
具有大小和方向的量
表示法几何表示：有向线段 AB 字母表示: a
向量的模
向量的大小 AB a
相等向量相反向量单位向量零向量
长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相反的向量模为1的向量，没有规定方向模为0的向量，与任何向量共线
空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，
( x y z 1)
判断四点共面，或直线平行于平面
1.下列命题中正确的有：B
(1) p xa yb p 与 a 、b 共面 ; (2) p 与 a 、b 共面 p xa yb ；
(3) MP x MA y MB P、M、A、B共面；
(4) P、M、A、B共面 MP xMA yMB ；
预备知识
数轴Ox上的点M
实数x
O
直角坐标平面上的点M
y
M
x
x
实数对(x，y)
y A(x,y)
Ox
x
一、空间直角坐标系 —Oxyz
z
竖轴
1
纵轴
o
1
1
y
x
右手直角坐标系
横轴
右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 x 轴的正方向，食指指向 y 轴的正方向，如果中指指向 z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
【温故知新】
平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
一对实数1，2，使a＝1e1＋2 e2。
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
五、共面向量
2. 如果两个向量 a,不b 共线，

空间直角坐标系

z D
4
3
O
y
1
D`
x
P3(1, 1,1) z
o
x
P1(1, 1, 1)
P(1,1,1)
y
P2 (1,1, 1)
四、空间点的对称问题：
点M(x,y,z)是空间直角坐标系O-xyz中的一点
(1)与点M关于x轴对称的点: (x,-y,-z) (2)与点M关于y轴对称的点: (-x,y,-z) (3)与点M关于z轴对称的点: (-x,-y,z) (4)与点M关于原点对称的点: (-x,-y,-z)
的坐标．并指出哪些点在坐标轴上，哪些点在坐标平面上．
z
(0，0，1) D '
(1，0，1) A '
C '(0，1，1)
B '(1，1，1)
O(0，0，0) C(0，1，0) y
A(1，0，0) B(1，1，0)
x
三、特殊位置的点的坐标：
z
•C
1
•
E
•
F
B
O• 1 •
•1
A
•D
x
点P的位置
y
原点O
小提示：坐标轴
[答案] A
空间直角坐标系中任意一点的位置如何表示？
二、空间点的坐标：
设点M是空间的一个定点，过点M分别作垂直于x 轴、y 轴和z 轴的平面，依次交x 轴、y 轴和z 轴于点P、Q和R．
z
R M
O
Qy
P
M’
x
二、空间点的坐标：
设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别
是x,y和z,这样空间一点M的坐标可以用有序实
上的点至少有两个
坐标等于0；坐标面

空间直角坐标系

坐标为
0,
7 8
,
1 2
.
P(x,y,z) P(x,y,z) P(x,y,z) P(x,y,z) P(x,y,z) P(x,y,z) P(x,y,z)
空间直角坐标系中的点的对称问题
P1(-x,-y,-z); P2(-x,y,z); P3(x,-y,z); P4(x,y,-z);
P5(x,-y,-z); P6(-x,y,-z); P7(-x,-y,z).
4.3.1 空间直角坐标系
坐标系空间直角坐标系
右手直角坐标系
空间直角坐标系
定义
图示
空间直角坐标系Oxyz,其中点O 叫做① 坐标原点 ,x轴、y 轴、z轴叫做坐标轴,通过每两个坐标轴的平面叫做② 坐标平面 ,分别称为xOy平面、yOz 平面、zOx平面
在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,③ 食指
确定空间中的点的坐标
1.确定空间中的点P(x,y,z)的方法 (1)垂面法:找到点P在三条坐标轴上的射影,方法是过点P作三个平面分别垂直于x 轴、y轴、z轴于A、B、C三点(A、B、C即为点P在三条坐标轴上的射影),点A、 B、C在x轴、y轴、z轴上对应的数分别为a、b、c,则(a,b,c)就是点P的坐标. (2)垂线法:先将P投射(沿与z轴平行的方向)到xOy平面上,记为点P1,由P1P的长度及点P和z轴正方向在xOy平面哪侧确定竖坐标z,再在xOy平面上用同平面直角坐标系中一样的方法确定P1的横坐标x、纵坐标y,最后得出点P的坐标(x,y,z).
2.求空间几何体中的点的坐标 (1)建立适当的空间直角坐标系. ①在几何体中找到三条两两垂直且共点的直线. ②以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系. ③建立的坐标系不同,求出的点的坐标不尽相同. (2)通过解三角形等方法求出相关线段的长度. (3)利用线段长度结合符号写出各点坐标.

空间直角坐标系

05
空间直角坐标系的发展历程
空间直角坐标系的起源和发展
起源：古希腊时期，欧几里得提出平面直角坐标系
发展：16世纪，笛卡尔将平面直角坐标系推广到三维空间
应用：17世纪，牛顿和莱布尼茨使用空间直角坐标系进行科学研究
现代发展：20世纪，空间直角坐标系在物理学、工程学等领域得到广泛应用
04
空间直角坐标系与笛卡尔坐标系的关系
笛卡尔坐标系的概念和性质
笛卡尔坐标系是数学中常用的坐标系之一，由法国数学家笛卡尔提出
笛卡尔坐标系由三个相互垂直的坐标轴组成，通常用x、y、z表示
笛卡尔坐标系中的点可以用三个坐标值（x、y、 z）来表示，这三个坐标值分别对应三个坐标轴上的位置
空间直角坐标系
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汇报人：XXX
目录 /目录
01
空间直角坐标系的定义
02
空间直角坐标系的性质
03
空间直角坐标系的应用
04
空间直角坐标系与笛卡尔坐标系的关系
05
空间直角坐标系的发展历程
01 空间直角坐标系的定义
空间直角坐标系的定义和概念
空间直角坐标系是描述三维空间中点的位置的一种方法
空间直角坐标系由三个互相垂直的坐标轴组成，通常用 x、y、z表示
空间直角坐标系中的点可以用三个坐标值（x、y、z）来表示
空间直角坐标系中的点可以用向量来表示，向量的起点是原点，终点是点所在的位置
空间直角坐标系的构成
原点：空间直角坐标系的中心点坐标轴：x轴、y轴、z轴，分别代表三个相互垂直的方向单位长度：规定每个坐标轴上的单位长度坐标值：表示点在空间中的位置，由三个坐标值组成，分别对应x轴、y轴、z轴上的位置

空间直角坐标系

空间直角坐标系空间直角坐标系是在空间中用直角坐标来表示点的位置的一种坐标系。

它由三个相互垂直的坐标轴构成，分别为x轴、y轴和z轴。

这三个坐标轴通过原点O相交，并按照右手定则确定相互之间的正负方向。

在空间直角坐标系中，每个点P的位置可以用一个有序三元组(x, y, z)来表示。

其中，x表示点P在x轴上的投影长度，y表示点P在y轴上的投影长度，z表示点P在z轴上的投影长度。

这样，我们可以通过三个有序数来确定空间中的一个点的位置。

在空间直角坐标系中，各坐标轴之间的单位长度相等，且x轴与y轴在平面上呈直角，x轴与z轴在另一个平面上也呈直角，y轴与z轴在第三个平面上也呈直角。

这样，我们可以根据坐标轴的正负方向来确定点所在的象限和坐标轴。

空间直角坐标系在几何学、物理学、工程学等学科中广泛应用。

通过直角坐标系，我们可以描述和计算空间中的点、线、面、体等几何对象的位置和性质。

例如，在几何学中，可以通过坐标系方程来表示和研究直线、平面、球面等几何图形；在物理学中，可以利用坐标系对物体的运动、力学性质等进行描述和分析；在工程学中，可以利用坐标系来进行空间设计和布局等。

在空间直角坐标系中，我们还可以进行坐标变换、距离计算、角度计算、曲线方程的表示等操作。

通过坐标变换，我们可以将一个点在一个直角坐标系中的坐标转换到另一个直角坐标系中的坐标。

距离计算可以通过坐标差的运算来求得两点之间的距离。

角度计算可以通过向量的数量积来求得两个向量之间的夹角。

曲线方程的表示可以将曲线上的点的坐标表示为关于一个或多个变量的函数形式。

综上所述，空间直角坐标系是一种用于在空间中表示点位置的坐标系。

它通过三个相互垂直的轴和坐标的正负方向来确定点的位置。

空间直角坐标系在几何学、物理学和工程学等学科中都有广泛的应用，通过坐标系可以进行坐标变换、距离计算、角度计算和曲线方程的表示等操作。

空间直角坐标系课件

原点和坐标轴的确定
原点确定
空间直角坐标系的原点一般选择为观察点的位置。
坐标轴确定
过原点作三条互相垂直的直线，即可确定X、Y、Z轴的方向。其中，X轴指向东，Y轴指向南，Z轴指向高。
02 空间点的坐标表示
CHAPTER
空间点的直角坐标表示
空间点的直角坐标系
使用三维坐标系来表示空间中的点。每个点由三个坐标值x、y、z表示，其中(0,0,0)代表原点。
VS
两点间距离公式
当两点不在同一平面内时，需要利用三维坐标系中的距离公式进行计算。
空间角度的计算
两向量夹角
利用向量的点积和模长可求得两向量之间的夹角，即 $\arccos\left(\frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{| \vec{A}||\vec{B}|}\right)$。
性质
空间直角坐标系是一个正交坐标系，三个坐标轴相互垂直，原点为它们的交点。
空间直角坐标系的建立
确定观察点和坐标轴
选择一个观察点作为原点，以过原点的三条互相垂直的直线作为X、Y、Z 轴。
建立坐标系
标记坐标值
在空间任意一点P处，分别测量其到X 、Y、Z轴的距离，即可得到该点的坐标值。
以原点为中心，以单位长度为间隔，分别在X、Y、Z轴上建立坐标系。
曲面与平面的交线求法
定义法
通过曲面的方程和平面的方程来求解交线。
参数法
将曲面的方程和平面的方程参数化，然后联立方程求解。
05 空间直角坐标系的应用
CHAPTER
空间距离的计算
两点间距离
利用两点坐标可求得两点间的直线距离，即$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$。

1.3.1空间向量直角坐标系

P(x，y，z)关于坐标平面yOz的对称点为P2(－x，y，z)；
P(x，y，z)关于坐标平面xOz的对称点为P3(x，－y，z)．
z
k
i
x
j
O
y
(2)P(x，y，z)关于x轴的对称点为P4(x，－y，－z)；
z
P(x，y，z)关于y轴的对称点为P5(－x，y，－z)；
k
P(x，y，z)关于z轴的对称点为P6(－x，－y，z)．
向量 OA ，且点A的位置由向量 OA
唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯
一的有序实数组(x,y,z),使
=xi+yj+zk.
OA
在单位正交基底{i,j,k} 下与向量 OA
对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空
间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵
一、复习提问
二、空间直角坐标系与坐标表示
1.空间直角坐标系
(1)定义在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k},以点O为原点,分别
以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、
z轴,叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.其中①O叫做
原点,②向量i,j,k都叫做坐标向量,③通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,
)
3．已知A(3，2，－3)，则点A关于M（2，4，-1）的对称点的
（1，6，1）
坐标是_
_
4．已知 e1，e2，e3 是空间直角坐标系中分别与 x 轴、y 轴、z 轴同
向的单位向量，且 p＝e1＋2e2－ 3e3，则 p 的坐标是 ( C )
A．(1，2，3)
B．(－1，－2，3)