九年级数学上册 24.2.2 直线和圆的位置关系(3)切线长定理课件 (新版)新人教版.ppt

r 2S ； abc
r abc 2
只适合于直角三角形
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随堂检测
1.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，如
果AP=4, ∠APB= 40 ° ,则∠APO= 20 ° ,PB= 4 .
A
A
P
O
O
B 第1题
B
C
第2题
2.如图，已知点O是△ABC 的内心，且∠ABC= 60 °,
110 °
部．
O
C
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典例精析
例1 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，点A、B是切点，在弧 AB上任取一点C，过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、
E.已知PA=7，∠P=40°.则
⑴ △PDE的周长是 14 ；
⑵ ∠DOE= 70°. P
DA
C
O
E B
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典例精析
例2 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且
∠ACB= 80 °,则∠BOC=
.
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随堂检测
3.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点为A、B,∠P= 50 °，
点C是⊙O上异于A、B的点，则∠ACB= 65 °或115 °.
A
A
P
F
E
O
O
B 第3题
BD
C
第4题
4.△ABC的内切圆⊙O与三边分别切于D、E、F三点，如
图，已知AF=3,BD+CE=12,则△ABC的周长是 30 .
A
A
B
C
B
C
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课堂探究
问题2 如何作圆，使它和已知三角形的各边都相切？
已知：△ABC. 求作：和△ABC的各边都相切的圆.
A
N
作法：
1.作∠B和∠C的平分线BM和CN， 交点为O. M 2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.
O
B
D
3.以O为圆心，OD为半径作圆O.
⊙O就是所求的圆.
C
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课堂探究
概念学习
2、如右下图，正三角形的内切圆半径
为1，那么三角形的边长为
.
23
4
课堂探究
一 切线长的定义
1.切线长的定义：
经过圆外一点作圆的切线， 这点和切点之间的线段的长叫做切
A
线长．
O
2.切线长与切线的区别在哪里？
①切线是直线，不能度量.
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分 别是圆外一点和切点，可以度量．
P
5
课堂探究
思二考：切P线A为长⊙定O理的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点
A重合的点为B． ➢ OB是⊙O的一条半径吗？
➢ PB是⊙O的切线吗？
A
➢ PA、PB有何关系？
➢ ∠APO和∠BPO有何关系？ O.
P
B
（利用图形轴对称性解释）
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课堂探究
切线长定理:
A
从圆外一点引圆的两条切
线，它们的切线长相等，圆心
B
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP.
（2）写出图中与∠OAC相等的角；
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC. （3）写出图中所有的全等三角形；
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP.
（4）写出图中所有的等腰三角形.△ABP △AOB
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课堂探究
练一练 PA、PB是⊙O的两条切线，A,B是切点，OA=3.
和这一点的连线平分两条切线
O
P
的夹角.
B
几何语言:
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB ∠OPA=∠OPB
注意 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.
7
课堂探究
拓展结论
PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切
A
点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于
C.
E OCD
P
（1）写出图中所有的垂直关系；
AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.
想一想：图中你能找出哪些相等的线段？
A
理由是什么？
F
解:设AF=xcm，则AE=xcm.
E O
∴CE=CD=AC-AE=9-x(cm)，
BF=BD=AB-AF=13-x(cm). C 由 BD+CD=BC，可得
D
B
(13-x)+(9-x)=14， 解得 x=4. ∴ AF=4(cm)，BD=9(cm)，CE=5(cm).
2
本节目标
1.掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算 与证明.（重点）
2.了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念. 3.学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想. （难点）
3
预习反馈
1、如左下图，PA、PB分别切⊙O于
A、B两点，如果∠P=60°，PA=2，
那么AB的长为2 .
C
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课堂探究
填一填：
名称
确定方法
外心：三角形 外接圆的圆心
三角形三边 中垂线的交
点
B
三角形三条
内心：三角形 内切圆的圆心
角平分线的 交点
B
图形 A
性质
1.OA=OB=OC 2.外心不一定
在三角形的内
部．
O
1.到三边的距离相
等；
2.OA、OB、OC分
A
别平分∠BAC、 ∠ABC、∠ACB
3.内心在三角形内
人教版九年级上册数学
24.2.2 直线和圆的位置关系(3) 切线长定理
1
情境导入
问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线（如左图所示），
如果点C是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？
问题2 过圆外一点作圆的切线，可以作几条？请欣赏小颖同学的作法！ （见右图所示）
A
P O
B
A
O.
O1
P
B
直径所对的圆周角是直角.
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随堂检测
A
5.直角三角形的两直角边分别是3cm ,4cm,试问：
（1）它的外接圆半径是 5cm;内切圆半径是 1cm？
（2）若移动点O的位置，使⊙O保持与△ABC的边AC、
方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某 条边上，从而建立方程.
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本课小结
切线长 切线长 定理
三角形 内切圆
原理 作用
图形的轴对称性
提供了证线段和 角相等的新方法
辅助线
有关概念
• 分别连接圆心和切点； • 连接两切点； • 连接圆心和圆外一点.
内心概念及性质
应用
重要结论
运用切线长定理，将相等线段转化 集中到某条边上，从而建立方程.
（1）若AP=4,则OP= 5 ;
（2）若∠BPA=60 °,则OP= 6 .
A
O
P
B
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课堂探究
要点归纳
（1）分别连接圆心和切点； （2）连接两切点； （3）连接圆心和圆外一点.
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课堂探究
三角形的内切圆及内心
问题1 一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆 形的用料，使截出的圆与三角形各边都相切呢？
1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心. 3.这个三角形叫做圆的外切三角形. 4.三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点.
A
D
F
I
┐
பைடு நூலகம்
B
E
三角形的内心到三角形的三边的距离相等.
⊙O是△ABC的内切圆，
点O是△ABC的内心， △ABC是⊙O的外切三角形.