3.1.1平行四边形的性质2
平行四边形的性质与计算方法
平行四边形的性质与计算方法1. 平行四边形的定义平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形。
在平行四边形中，对边相等，对角线互相平分，并且对角线的交点是四边形的中点。
2. 平行四边形的性质2.1 对边性质- 平行四边形的对边相等。
即，AB = CD，AD = BC。
- 平行四边形的对边互相平行。
即，AB ∥ CD，AD ∥ BC。
2.2 对角线性质- 平行四边形的对角线互相平分。
即，AC平分BD，BD平分AC，交点为O（AC的中点，BD的中点）。
2.3 角性质- 平行四边形的内角和为180度。
即，∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 180度。
- 平行四边形的内角互补。
即，∠A + ∠C = 180度，∠B + ∠D = 180度。
2.4 边性质- 平行四边形的对边相等。
即，AB = CD，AD = BC。
- 平行四边形的同位角相等。
即，∠A = ∠C，∠B = ∠D。
3. 平行四边形的计算方法3.1 周长计算平行四边形的周长等于四边的长度之和。
即，周长 = AB + BC + CD + DA。
3.2 面积计算平行四边形的面积可通过以下两种方式计算：- 根据底边和高计算面积：面积 = 底边长度 ×垂直到底边的高。
- 根据邻边和夹角计算面积：面积 = 邻边1长度 ×邻边2长度 ×sin(夹角)。
4. 平行四边形的性质应用举例4.1 示例一：计算平行四边形ABCD的周长和面积。
已知AB = 3cm，BC = 4cm，∠B = 60度。
- 周长 = AB + BC + CD + DA = 3cm + 4cm + 3cm + 4cm = 14cm。
- 面积 = 邻边1 ×邻边2 × sin(夹角) = 3cm × 4cm × sin(60度) = 6√3 cm²。
4.2 示例二：已知平行四边形ABCD的面积为20cm²，AD = 5cm，求垂直到AD的高的长度。
小学数学认识几何形的平行四边形
小学数学认识几何形的平行四边形在小学数学学习中，几何形状是一个重要的概念。
而平行四边形是其中一个常见的几何形状之一。
本文将介绍小学生对平行四边形的认识，包括平行四边形的定义、性质及应用。
同时，文章将适当增加内容以满足字数限制，并保持文章排版整洁美观，语句通顺流畅。
1. 平行四边形的定义平行四边形是指四边形的对边是平行的。
即四边形的两对对边分别是平行的。
如果用线段ABCD表示一个四边形，我们可以表示为AB∥ CD 且 AD ∥ BC。
这样的四边形就是平行四边形。
2. 平行四边形的性质2.1 相等对边：在平行四边形中，两对相对的边长是相等的。
也就是说，AB = CD，AD = BC。
2.2 相等内角：在平行四边形中，两对相对的内角是相等的。
也就是说，∠A = ∠C，∠B = ∠D。
2.3 对角线平分：在平行四边形中，对角线互相平分。
即AC平分BD，BD平分AC。
2.4 对角线长度关系：在平行四边形中，对角线长度符合关系定理，即AC² + BD² = 2AB² + 2AD²。
3. 平行四边形的应用3.1 建筑设计：平行四边形的性质在建筑设计中起到重要作用。
设计师可以利用平行四边形的性质来布置房间内的家具、制作房间平面图等。
3.2 经济学：平行四边形有助于解决经济学中的优化问题。
比如，生产者可能希望在规定的资源条件下，通过调整产量和成本来实现最大利润。
这时可以使用平行四边形模型来分析生产过程中的关系。
3.3 地理学：平行四边形的概念也常常用于地球的地理学中。
比如，当我们研究地球上的纬度和经度时，纬线和经线形成了平行四边形网格，帮助我们更好地定位和导航。
总结：平行四边形是小学数学中的一个重要概念，通过对平行四边形的定义、性质及应用的介绍，可以帮助小学生更好地理解和应用这一概念。
同时，我们也看到了平行四边形在不同领域中的实际应用，如建筑设计、经济学和地理学等。
通过学习平行四边形，小学生能够培养几何思维和创造力，为将来的数学学习打下坚实基础。
平行4边形的特征
平行四边形的特征1. 什么是平行四边形平行四边形是一种特殊的四边形，它具有一些独特的特征和性质。
平行四边形的定义是：具有两对平行的对边的四边形。
也就是说，平行四边形的对边是平行的，且对边之间的长度相等。
2. 平行四边形的特征平行四边形具有以下几个重要的特征：2.1 对边性质平行四边形的最显著特征就是它的对边是平行的。
这意味着平行四边形的任意两条对边之间都是平行的。
对边的平行性质可以用符号表示为：AB ∥ CD，BC ∥ AD。
其中，AB和CD是平行四边形的两条对边，BC和AD是另外一对对边。
2.2 对角线性质平行四边形的对角线是指连接非相邻顶点的线段。
平行四边形具有以下对角线性质：•对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分，即对角线的交点是对角线的中点。
例如，对角线AC和BD的交点O是AC和BD的中点。
•对角线等长：平行四边形的对角线相等长，即AC = BD。
这是因为平行四边形的两对对边长度相等。
2.3 边长性质平行四边形的边长性质是指平行四边形的相邻边相等。
平行四边形的相邻边是指共享一个顶点的两条边。
例如，AB = CD，BC = AD。
2.4 内角性质平行四边形的内角性质是指平行四边形的内角和为180度。
平行四边形的内角分为两对相对角和两对邻角。
相对角是指不相邻的两个角，邻角是指共享一条边的两个角。
平行四边形的内角性质可以用符号表示为：∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 180°。
3. 平行四边形的分类根据平行四边形的性质，我们可以将平行四边形分为以下几种特殊情况：3.1 矩形矩形是一种特殊的平行四边形，它具有以下特征：•对边平行：矩形的对边是平行的。
•对角线相等：矩形的对角线相等长。
•内角为直角：矩形的内角都是直角，即90度。
•边长相等：矩形的相邻边相等。
3.2 正方形正方形是一种特殊的矩形，它具有以下特征：•对边平行：正方形的对边是平行的。
•对角线相等：正方形的对角线相等长。
平行四边形的性质
平行四边形的性质教案标题：探寻平行四边形的性质引言：平行四边形是我们初中数学中的重要内容之一。
它具有丰富的性质和应用场景，良好地掌握平行四边形的性质对于今后的学习和生活都具有重要意义。
本教案将从不同角度探讨平行四边形的性质，帮助学生全面理解和应用。
一、角度性质平行四边形的内角和为 360°。
在这一小节中，我们将深入探讨平行四边形的角度性质。
1.1 基础性质平行四边形的对边是平行的，所以它的内角和为 360°。
通过构造、推理和证明，我们将说明这一性质的原理和应用方法，为后续的学习打下牢固基础。
1.2 角的分类平行四边形内的角可以根据角的大小和性质进行分类。
我们将介绍对顶角、同位角和内错角，并解释它们的定义和特点。
通过数学推理和实际问题的应用，学生将深入理解这些角的性质。
二、边长性质平行四边形的边长性质是我们研究平行四边形的重要内容之一。
2.1 对边关系平行四边形的对边是平行的，我们将介绍对边相等的概念，并通过实例展示如何应用对边关系解决实际问题。
同时，我们还将探讨平行四边形中对边的比例关系。
2.2 等腰性质平行四边形的对边相等，并且相邻的两个内角互补，我们将利用这一特点研究平行四边形的等腰性质。
通过构造和推理，学生将学会判断和证明平行四边形的等腰性质。
三、对角线性质平行四边形的对角线性质是研究平行四边形的关键内容之一。
3.1 交点性质平行四边形的对角线交于一点，并且交点将对角分成互补角。
我们将引导学生观察和发现这一性质，并通过实例探讨对角线交点的位置及其相关应用。
3.2 中点关系平行四边形的对角线相交于一点，并将对角分成相等的两部分。
我们将介绍对角线中点的概念，并通过构造和推导，帮助学生理解对角线中点与平行四边形边长的关系。
四、应用和综合题平行四边形的性质在解决实际问题中具有广泛的应用。
这一小节将呈现一些实际问题，并通过分析和解决这些问题，培养学生的综合应用能力。
总结：通过本节课的学习，希望学生能够全面理解平行四边形的性质，掌握相关的概念和方法，并能够应用于实际问题中。
平行四边形的4个特征
平行四边形的4个特征1. 什么是平行四边形？平行四边形是一种特殊的四边形，它具有一些独特的特征和性质。
平行四边形的定义是：具有两组对边分别平行的四边形。
换句话说，平行四边形的相邻边是平行的，相对边长相等。
2. 平行四边形的特征平行四边形有以下四个重要的特征：2.1 对边平行平行四边形的最显著特征是它的对边是平行的。
具体来说，平行四边形的相邻边都是平行的，这意味着它的两组对边都是平行的。
这是平行四边形与其他四边形的主要区别之一。
2.2 对角线互相平分平行四边形的第二个特征是它的对角线互相平分。
换句话说，平行四边形的两条对角线相交于它们的中点。
这意味着对角线的长度相等，并且将平行四边形分成两个相等的三角形。
2.3 相邻角互补平行四边形的第三个特征是它的相邻角互补。
相邻角是指共享一个顶点且一个边是公共边的两个角。
在平行四边形中，相邻角的度数和为180度。
这是因为平行四边形的两组对边是平行的，所以相邻角是同位角，它们的度数和为180度。
2.4 对边长度相等平行四边形的最后一个特征是它的对边长度相等。
换句话说，平行四边形的相对边长是相等的。
这是由于平行四边形的两组对边都是平行的，所以它们的长度必须相等。
3. 平行四边形的性质除了上述特征之外，平行四边形还具有一些其他的性质，这些性质进一步揭示了它的特殊性。
3.1 对角线的长度关系平行四边形的对角线具有一定的长度关系。
具体来说，平行四边形的对角线互相平分，并且长度相等。
这意味着平行四边形的对角线是等长的。
3.2 相对角的性质平行四边形的相对角具有一些特殊的性质。
首先，相对角的度数相等。
其次，相对角是补角。
也就是说，平行四边形的相对角的度数和为180度。
3.3 对边的性质平行四边形的对边具有一些特殊的性质。
首先，对边的长度相等。
其次，对边是平行的。
这意味着平行四边形的两组对边分别平行。
3.4 相邻角的性质平行四边形的相邻角也有一些特殊的性质。
首先，相邻角的度数和为180度。
平行四边形的性质与定理
平行四边形的性质与定理平行四边形是指具有两组对边平行的四边形。
在数学中，平行四边形具有一些特殊的性质与定理，下面将逐一介绍。
1. 平行四边形定义平行四边形是一种特殊的四边形，其两组对边分别平行。
如果将平行四边形的对边延长，它们将永不相交。
2. 平行四边形的性质2.1 对边性质平行四边形的对边长度相等。
即，对边AB与CD长度相等，对边AD与BC长度相等。
2.2 对角线性质平行四边形的对角线互相平分。
即，对角线AC和BD相交于O点，且AO = OC，BO = OD。
2.3 到任意点的距离性质平行四边形上的任意一点到相邻两边的距离之差相等。
即，从点P到AB的距离减去从点P到CD的距离等于从点P到BC的距离减去从点P到AD的距离。
2.4 内角和性质平行四边形的内角和为360°。
即，∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°。
3. 平行四边形的定理3.1 对边定理如果一个四边形的对边分别平行且长度相等，那么这个四边形是平行四边形。
对边定理可以用于判断一个四边形是否为平行四边形。
3.2 邻补角定理在平行四边形中，相邻的内角互补，即相邻的内角之和为180°。
例如，∠A + ∠B = 180°，∠B + ∠C = 180°，以此类推。
3.3 余补角定理在平行四边形中，对角互补，即对角之和为180°。
例如，∠A +∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°。
3.4 对顶角定理在平行四边形中，对顶角相等。
即，∠A = ∠C，∠B = ∠D。
4. 平行四边形的应用平行四边形的性质与定理在几何应用中有广泛的应用。
4.1 建筑设计平行四边形的性质可用于建筑设计中的墙体、天花板、地板等结构的布置。
设计师可以利用平行四边形的特性来构建更美观、稳定的建筑。
4.2 求解几何问题在解题过程中，利用平行四边形的性质可以简化许多几何问题。
例如，通过对边性质可以判断两条线段是否平行，通过对角线性质可以判断四边形是否为平行四边形。
了解平行四边形和梯形的性质
了解平行四边形和梯形的性质平行四边形和梯形是初中数学中的基本几何概念。
它们具有一些独特的性质和规律，对于我们深入理解几何形状的特点和应用具有重要意义。
本文将介绍平行四边形和梯形的定义、性质及相关的数学定理。
1. 平行四边形的性质平行四边形是由四条边和四个角组成的几何形状，具有以下性质：1.1 对边平行性质平行四边形的对边两两平行，即任意一对相对的边都是平行的。
1.2 对角线性质平行四边形的对角线互相平分，即对角线的交点将对角线分成两等分。
1.3 同底角性质平行四边形的对边平行，所以同一边上的两个相邻内角和是180度。
1.4 同位角性质平行四边形的对边平行，所以对应的内角是相等的。
2. 梯形的性质梯形也是由四条边和四个角组成的几何形状，具有以下性质：2.1 底边平行性质梯形的底边是两边中较长的边，梯形的两个底边是平行的。
2.2 上底角性质梯形的两个上底角是相等的。
2.3 下底角性质梯形的两个下底角是相等的。
2.4 对角线性质梯形的对角线互相平分，即对角线的交点将对角线分成两等分。
3. 相关定理在研究平行四边形和梯形的性质时，还有一些重要的定理需要了解：3.1 平行四边形的性质定理如果一个四边形的对边是平行的并且相等，则这个四边形是平行四边形。
3.2 梯形的性质定理如果一个四边形有两个边是平行的，那么这个四边形是梯形。
3.3 梯形的中线定理在梯形中，两个中线的长度相等，且平行于底边。
3.4 万能定理如果一个四边形的一对对边是平行且相等，那么这个四边形是平行四边形。
总结：通过了解平行四边形和梯形的定义、性质，我们可以更深入地理解这两种几何形状的特点。
平行四边形的对边平行，对角线互相平分，同位角相等；梯形的底边平行，对角线互相平分，上底角相等，下底角相等。
同时，还有一些相关的数学定理可以应用于求解问题。
掌握这些知识，有助于我们在解题过程中灵活运用几何概念，提高数学能力。
平行四边形的性质(对边平行)
平行四边形的性质（对边平行）平行四边形是几何学中的一种特殊四边形，其具有特定的性质和特征。
其中最重要的性质就是其对边是平行的，即对边平行性质。
本文将对平行四边形的对边平行性质进行详细阐述和探讨。
1. 平行四边形的定义平行四边形是一种具有两组对边平行的四边形。
简单来说，它的两对对边分别平行且相等。
与此同时，平行四边形的两组对角线长度相等且互相平分。
2. 对边平行性质的证明对边平行性质可以通过多种方法进行证明。
下面我们给出一种常见的证明方法：假设ABCD是一个平行四边形，其中AB∥CD，AD∥BC。
我们需要证明AC∥BD。
首先，我们假设AC与BD不平行，即它们相交于一点O。
连接AO和DO，分别延长线段AO和DO，分别与BC和AD相交于点E和F。
根据平行线性质，我们可以得出∠ABO = ∠CDO和∠DAO =∠CBO。
又由于平行四边形的性质，我们知道∠ADO = ∠BCO和∠BDA = ∠CBA。
进一步观察可以发现，∠BDA + ∠BDA = 180°，而∠ABO +∠BDA + ∠CDA = 180°。
结合以上两个等式，可以得出∠CDA = ∠CDO。
再结合平行线性质，我们可以得出AC∥BD，这与我们的假设相矛盾。
因此，AC与BD是平行的，证明完成。
3. 对边平行性质的应用对边平行性质在几何学中有着广泛的应用。
下面我们介绍其中两个重要的应用场景：3.1 平行线的判定对边平行性质可以用来判定两条直线是否平行。
如果两个四边形的对边平行，那么这两条直线也是平行的。
这种判定方法在解决平行线问题时非常有效。
3.2 平行四边形的面积计算由于平行四边形的对边平行且相等，我们可以利用其面积计算公式进行求解。
平行四边形的面积等于其中一条对角线长度乘以与该对角线垂直的高度。
4. 平行四边形的其他性质除了对边平行性质外，平行四边形还具有其他一些重要的性质：4.1 邻边互补性平行四边形的相邻两边是互补角，即它们的和为180度。
平行四边形的性质与分类
平行四边形的性质与分类平行四边形是一个具有特殊性质的四边形，其四条边两两平行。
本文将介绍平行四边形的性质和分类。
1. 基本性质平行四边形的基本性质包括以下几点：- 两对对边分别平行- 两对对边相等- 对角线互相平分- 对角线相等以上性质是平行四边形的重要特点，可以通过这些性质来判断一个四边形是否为平行四边形。
2. 分类平行四边形可以根据其边长和角度分类。
2.1 边长分类根据边长的不同，平行四边形可以分为以下几种情况：- 一般平行四边形：四边不等长- 矩形：四边相等，四个角都为直角- 正方形：四边相等，四个角都为直角，边长相等- 菱形：四边相等，没有角为直角2.2 角度分类根据角度的不同，平行四边形可以分为以下几种情况：- 一般平行四边形：四个角都不为直角- 矩形：四个角都为直角- 菱形：四个角都相等，但不为直角- 平行四边形的角度之和为360度，而不论其是什么形状。
3. 性质运用平行四边形的性质常常用于解决几何问题。
以下是一些常见的应用场景：3.1 面积计算平行四边形的面积计算公式为：面积 = 底边长 ×高其中，底边长为任意一条边的长度，高为这条边到其它平行边的垂直距离。
通过这个公式，我们可以方便地计算平行四边形的面积。
3.2 判断是否为平行四边形通过观察四边形的边长和角度可以判断其是否为平行四边形。
如果四边形的对边平行且对角线相等，则可以确定为平行四边形。
3.3 构造平行四边形利用平行四边形的性质，我们可以通过一些已知条件来构造平行四边形。
例如，已知一个四边形的两对对边相等和平行，我们可以通过画出对角线使得其互相平分来得到一个平行四边形。
综上所述，平行四边形具有独特的性质和分类。
通过对平行四边形的性质的了解，我们可以更好地理解和解决与平行四边形相关的几何问题。
平行四边形的性质
平行四边形的性质平行四边形是一个具有特殊性质的四边形形状。
在本文中，我们将探讨平行四边形的定义、性质以及相关的定理。
1. 定义：平行四边形是指有四条边都相互平行的四边形。
这意味着对于平行四边形ABCD，边AB与边CD平行，边AD与边BC平行。
2. 性质：平行四边形具有以下性质：2.1 对角线性质：平行四边形的两条对角线相等，即对角线AC与对角线BD相等。
2.2 边性质：平行四边形的对边相等且平行，即边AB与边CD相等且平行，边AD与边BC相等且平行。
2.3 角性质：平行四边形的对角线相交处所成的角相等，即∠CAB = ∠CDA，∠BCD = ∠BAC。
2.4 对角性质：平行四边形的每个对角的两个邻角互补，即∠CAB + ∠DAC = 180°，∠BCD + ∠BDA = 180°。
3. 定理：在考察平行四边形时，我们还可以利用一些定理来判断和证明相关性质。
3.1 平行四边形的基本定理：如果一个四边形的对边相等且平行，那么这个四边形是一个平行四边形。
依据这个定理，我们可以通过观察对边是否相等且平行来判断一个四边形是否为平行四边形。
3.2 平行四边形的推论定理：基于平行四边形的基本定理，我们可以得出以下推论定理：3.2.1 平行四边形的对边平分定理：平行四边形的对边等分对角线，即对边AB与CD平分对角线AC和BD，对边AD与BC平分对角线AB和CD。
3.2.2 平行四边形的同位角定理：平行四边形的同位角互相等，即对边的内角相等，对边的外角相等。
3.2.3 垂直平行四边形定理：如果一个四边形既是平行四边形又是矩形，那么这个四边形就是垂直平行四边形。
4. 应用：平行四边形的性质在几何学和物理学中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，平行四边形的性质可以用来确定墙面是否水平，从而保证建筑物的结构稳定。
在力学中，平行四边形的性质可以用来分析力的平衡和作图。
总之，平行四边形是一个具有特殊性质的四边形，它的对角线相等，对边平行且相等，以及对角线相交处所成的角相等。
3.1.1 平行四边形与中心对称图形
探究
平行四边形的对边有什么关系？对角有 什么关系？
图 3-5
每位同学量一量自己画的平行四边形(或者图 3-5中的□ABCD)的四条边的长度、四个角的大小. 由此你能对平行四边形的对边关系、对角关系作出 什么猜测？
我猜平行四边形的
对边 相等 .
我猜平行四边形的
对角 相等 .
这些猜测对吗？ 如图3-6，四边形ABCD是平行四边形， 从AB∥DC能得出什么结论？ 前面已学过：两条 平行线被第三条直线所 截，同位角相等，内错 角相等.
量一量OA，OC，OB，OD的长度，有哪些线 段相等？AC与BD相等吗？你能作出什么猜测？
交点O是每条对角 线的中点，但是两条 对角线并不相等.
图 3-10
这个猜测对吗？
即，是否对于任何一个平行四边形， 都有对角线的交点是每条对角线的中点？
在图3-10中，为了探讨是否有OA=OC，考 察OA，OB在哪个三角形中，OC，OD在哪个三 角形中？
本章内容 第3章
四 边 形
本节内容 本课内容 3.1
平行四边形与中心对称 图形
——3.1.1 平行四边形的性质 和中心对称图形
观察
1.日常生活中哪些物体的形状是四边形？ 2. 四边形有什么特征？
课桌面，黑板，门框„„
它有四条边 、四个顶点.
四边形
两组对边分别平行
平行四边形
说一说
除了上面这些物体，你还能说出日常生活中 哪些物体的形状或者图案中包含平行四边形吗？
则平行四边形的周长为 5+5+7+7=24(m). 答：这块平行四边形草地的周长为24m.
动脑筋
由图3-8，直线l1与l2平行，AB，CD是l1与l2之 间的任意两条平行线段.试问：AB与CD是否相等？ 为什么？
九上 第三章3.1.1平行四边形
B DCA 3.1.1平行四边形——平行四边形性质与等腰梯形性质一、学习过程：（一）、平行四边形的性质回顾交流： 提出问题：什么是平行四边形？平行四边形有哪些性质(要求学生从边、角、对角线、对称性上描述)？如何运用公理和已有的定理证明它们？ 平行四边形的性质：（1）边：平行四边形的两组对边 ； （2）角：平行四边形的对角 ，邻角 ； （3）对角线：平行四边形的两条对角线互相 ； （4）对称性：平行四边形是 图形；（二）等腰梯形的性质及判定 回顾交流：1、等腰梯形定义： ；2、等腰梯形的性质：（1）腰： ； （2）角： ； （3）对角线： ； （4）对称性：等腰梯形是 图形； 范例讲解：例 证明：等腰梯形在同一底上的两个角相等。
已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC 。
求证：∠ B=∠C ， ∠ A=∠D分析：利用转化思维把梯形转化为平行四边形，证明同一底上的两个底角相等这是一个将代证问题转化为一个已证问题的例子，体现了数学中的类比、转化的思想，转化的方法是平移一腰。
平移一腰是梯形中常的辅助线。
拓展：这个命题的逆命题是什么？成立吗？如果成立，请你证明它。
基础训练：1、 在平行四边形ABCD 中，已知∠A ＝40°，则∠B ＝ ，∠C ＝ ，∠D ＝ .2、□ABCD 中，∠A ︰ ∠B ︰ ∠C ︰ ∠D 的值可以是（ ）A 、1︰2︰3︰4B 、1︰2︰2︰1C 、2︰2︰1︰1D 、 2︰1︰2 ︰13、在□ABCD 中， ∠A +∠C=900 ， ∠A = ，∠B= 。
4、如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，那么图中的全等三角形共有（ ） A 、1对 B 、2对 C 、 3对 D 、 4对 5、下列命题中：①有两个角相等的梯形是等腰梯形 ②有两条边相等的梯形是等腰梯形③两条对角线相等的梯形是等腰梯形 ④等腰梯形上、下底中点连线，把梯形分成面积相等的两部分。
3.1.1 平行四边形的性质和中心对称图形 第2课时
学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必 须从不自满开始。对自己，“学而不厌”，对人家， “诲人不倦”，我们应取这种态度。 —— 毛泽东
【解析】选B.由平行四边形的性质易 解析】 B.由平行四边形的性质易 证,AB=CD=4,BC=AD=5, △AEO≌△CFO,所以OE=OF=1.5，AE=CF, 所以四边形 AEO≌△CFO,所以OE=OF=1.5， 所以OE=OF=1.5 EFCD的周长为:CD+DE+EF+FC=CD+BC+EF=4+5+3=12. EFCD的周长为:CD+DE+EF+FC=CD+BC+EF=4+5+3=12. 的周长为
O B C
如图，把两张完全相同的平行四边形纸片叠合在一起, 如图，把两张完全相同的平行四边形纸片叠合在一起,在 它们的中心O钉一个图钉，将一个平行四边形绕O 它们的中心O钉一个图钉，将一个平行四边形绕O旋转 180° 你发现了什么? 180°，你发现了什么?
A O D C
B
A O ● B C
D
中心对称图形 如果一个图形Ｇ绕一个点Ｏ 180° 如果一个图形Ｇ绕一个点Ｏ转180°，所得到的像与 原来的图形Ｇ互相重合，那么图形Ｇ叫做中心对称图形， 原来的图形Ｇ互相重合，那么图形Ｇ叫做中心对称图形， 中心对称图形 点Ｏ叫做图形Ｇ的对称中心，此时也称图形Ｇ关于点Ｏ 叫做图形Ｇ的对称中心，此时也称图形Ｇ关于点Ｏ 对称。 对称。
□ABCD绕它的中心O旋转180°后与自身重合，这时我们 ABCD绕它的中心 旋转180 后与自身重合， 绕它的中心O 180°
ABCD是中心对称图形， 对称中心。 说□ABCD是中心对称图形，点O叫对称中心。对角线的交 点是它的对称中心. 点是它的对称中心.
初中数学知识归纳平行四边形的性质与判定
初中数学知识归纳平行四边形的性质与判定初中数学知识归纳：平行四边形的性质与判定平行四边形是初中数学中常见的基础几何形状之一。
它具有一些独特的性质和判定方法。
本文将对平行四边形的性质进行归纳，并介绍相关的判定方法。
1. 平行四边形的定义平行四边形是指具有两对相对平行的边的四边形。
其中，相对平行的边两两平行且长度相等。
平行四边形具有四个内角和四个外角。
2. 平行四边形的性质2.1 对角线性质平行四边形的对角线互相平分，并且两条对角线的交点是对角线的中点。
这意味着平行四边形具有对称性质，对称轴为对角线。
2.2 内角性质平行四边形的内角对应相等。
即，如果两条平行边中的一对内角相等，则另外一对内角也相等。
可以通过证明对顶角相等来推导内角对应相等的性质。
2.3 外角性质平行四边形的外角对应相等。
即，如果两条平行边中的一对外角相等，则另外一对外角也相等。
外角的度数等于其对应的内角的补角。
3. 平行四边形的判定方法3.1 对边判定若一条边与另外一条边平行，则这两条边所在的四边形就是平行四边形。
这种判定方法是最简单和直观的。
3.2 对角线判定若一条对角线平分另外一条对角线，并且这条平分线同时也是平行四边形的一条边，则可以判断这个四边形为平行四边形。
3.3 紧凑型判定若一组相邻边的对角线互相平分，并且这条对角线同时也是平行四边形的一条边，则可以判断这个四边形为平行四边形。
4. 平行四边形的应用平行四边形在解决实际问题时有广泛的应用。
以下列举其中几个常见的应用场景：4.1 面积计算由于平行四边形的性质，可以利用其高度和底边长来计算面积。
通过将平行四边形分割成三角形或矩形，再进行相应的计算，得到平行四边形的面积。
4.2 相似性判断在解决相似性的问题时，平行四边形也经常被用到。
通过观察两个或多个图形的边长比例，结合平行四边形的性质，可以判断它们的相似性。
4.3 平行线问题平行四边形的平行性质可用于解决平行线问题。
通过观察平行四边形的边之间的关系，并结合对应角等于内角对应的性质，可以推导出平行线之间的关系。
四边形的性质与计算
四边形的性质与计算在几何学中，四边形是指具有四条边和四个顶点的多边形。
四边形作为一种基本的几何图形，具有独特的性质和计算方法。
本文将介绍四边形的常见性质以及相关的计算方法。
一、四边形的基本性质1.1 四边形的定义四边形是由四条线段所围成的平面图形，它有四个内角和四个外角。
四边形的内角和等于360度，即∠A+∠B+∠C+∠D=360°。
1.2 四边形的特殊性质1.2.1 平行四边形平行四边形是指具有对边平行的四边形。
平行四边形的相邻内角互补，即∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°。
1.2.2 矩形矩形是一种特殊的平行四边形，具有四个直角。
矩形的对角线相等且垂直于边，对角线的长度可以通过勾股定理计算。
1.2.3 正方形正方形是一种特殊的矩形，具有四个相等的内角和四条相等的边。
正方形的对角线相等且互相平分。
1.2.4 菱形菱形是具有四个相等边的平行四边形。
菱形的对角线垂直且互相平分，对角线长度可以通过勾股定理计算。
二、四边形的计算方法2.1 周长四边形的周长是指四条边的长度之和。
对于已知边长的四边形，可以直接将边长相加即可得到周长。
2.2 面积四边形的面积是指该图形所覆盖的平面区域。
不同类型的四边形计算面积的方法各有不同。
2.2.1 平行四边形的面积平行四边形的面积可以通过底边长度和高的乘积来计算，即S=底边长度×高。
2.2.2 矩形的面积矩形的面积可以通过底边长度和高的乘积来计算，即S=长×宽。
2.2.3 正方形的面积正方形的面积可以通过边长的平方来计算，即S=边长×边长。
2.2.4 菱形的面积菱形的面积可以通过对角线的乘积再除以2来计算，即S=(对角线1×对角线2)/2。
2.3 对角线的长度对角线是指连接四边形相对顶点的线段。
对于特定的四边形，可以通过已知条件或勾股定理来计算对角线的长度。
2.4 内角的度数已知四边形的内角度数可以通过求解方程或使用三角函数来计算。
平行四边形点与点之间的距离
平行四边形点与点之间的距离1.引言1.1 概述平行四边形是几何学中一个基本的概念，它具有独特的性质和特点。
在平行四边形的研究中，点与点之间的距离起着至关重要的作用。
本文将重点探讨平行四边形点与点之间的距离，以及这一概念在确定平行四边形性质上的应用。
平行四边形是一种特殊的四边形，其中对边两两平行。
根据平行四边形的性质，我们可以得出许多有趣的结论。
但要探究这些性质，首先需要了解点与点之间的距离概念。
在平面几何中，点与点之间的距离是指两个点之间的直线段的长度。
通过计算两点之间的距离，我们可以衡量它们之间的远近，并在平行四边形的研究中得出一些重要的结论。
在本文中，我们将介绍平行四边形的定义和一些基本性质，以及点与点之间距离的概念。
随后，我们将探讨通过点与点之间的距离计算来确定平行四边形的性质，以及点与点之间的距离在平行四边形研究中的重要作用。
随着文章的发展，我们将深入研究平行四边形的各个方面，并通过具体例子和证明来加深理解。
在最后的结论部分，我们将总结本文的主要观点，并强调通过点与点之间的距离计算可以揭示平行四边形的特性，以及点与点之间的距离在平行四边形的研究中的重要性。
通过本文的阅读，读者将能够更好地理解平行四边形点与点之间的距离，掌握计算距离的方法，并通过距离的研究来进一步揭示平行四边形的性质和特点。
1.2文章结构【1.2 文章结构】本文将按照以下结构进行叙述和论述：首先，在引言中，我们将对平行四边形点与点之间的距离进行概述，明确文章的目的。
接下来，在正文部分，我们将详细介绍平行四边形的定义与性质，并深入探讨点与点之间距离的概念。
最后，在结论部分，我们将总结通过点与点之间的距离计算所能确定的平行四边形的性质，并强调点与点之间的距离在平行四边形的研究中的重要作用。
在讨论平行四边形点与点之间的距离之前，我们将对平行四边形的定义与性质进行详细介绍。
我们将说明平行四边形的定义，即具有两对平行的对边的四边形。
怎么理解每相临两个平行四边形的公共边互相平行-概述说明以及解释
怎么理解每相临两个平行四边形的公共边互相平行-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分：平行四边形是平面几何中常见的几何图形之一，具有许多重要的性质和特点。
其中一个重要的性质就是当两个平行四边形相邻时，它们公共边上的线段互相平行。
本文将探讨如何理解这一性质，并给出相应的证明过程。
理解这一性质对于解决几何问题以及推导其他性质都具有重要的意义。
在接下来的正文部分，我们将详细介绍平行四边形的定义、特点以及公共边的性质分析，以及如何证明两个平行四边形的公共边互相平行。
通过本文的学习，读者将更加深入地理解平行四边形的性质，提高对几何学的理解和解题能力。
1.2 文章结构:本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，我们将简要介绍本文的概述、文章结构以及目的。
在正文部分，将首先介绍平行四边形的定义和特点，然后对公共边的性质进行分析，最后提供两个平行四边形公共边互相平行的证明。
在结论部分，我们将总结平行四边形公共边互相平行的重要性，并通过应用实例展示其具体应用场景。
最后，我们将进行结论和展望，对本文内容进行总结并展望未来可能的研究方向。
整体结构清晰，逻辑严谨，希望可以帮助读者更好地理解每相邻两个平行四边形的公共边互相平行的概念。
1.3 目的：本文旨在深入探讨两个相邻平行四边形的公共边互相平行的性质及其证明方法。
通过对平行四边形的定义和特点进行梳理，分析公共边的性质，进而推导出两个平行四边形公共边互相平行的结论。
本文的目的是帮助读者更加深入地理解平行四边形的性质，提高其数学思维和证明能力。
同时，通过应用实例展示，展示平行四边形公共边互相平行的重要性和实际应用价值，最终得出结论并展望未来研究方向。
通过本文的阐述，希望读者能够更加全面地理解平行四边形的性质和应用，并在数学学习中有所启发和提高。
2.正文2.1 平行四边形的定义和特点平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形。
在平行四边形中，相对的边长相等，对角线相交于中点，且对角线互相平分。
3.1.1平行四边形的性质(2)湘教版
C O
B
2012年3月13日星期二
D
18
如图，在平面直角坐标系中， 如图，在平面直角坐标系中， OBCD的顶点 的顶点 O﹑B﹑D的坐标如图所示，则顶点 的 ﹑ ﹑ 的坐标如图所示 则顶点C的 的坐标如图所示，
Y
坐标为（ C ） 坐标为（
A. (3,7) C. (7,3) B. (5,3)
D(2,3)
老大 老二 老三 老四
当四个孩子看到时，争论不休， 当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地 同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？ 少，同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？
2012年3月13日星期二 12
A
老大 老二
●
D O
M 老三
老四
B
C
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13
说一说
如图， 如图，在 ABCD中， 中 BD=14cm,
10
平行四边形的性质： 平行四边形的性质：
平行四边形的对角线互相平分 平行四边形的对角线互相平分. 对角线互相平分 符号语言： 符号语言： ∵四边形ABCD是平行四边形 四边形ABCD ABCD是平行四边形
∴ OA=OC A
O
D C
B
OB=OD
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11
一位饱经苍桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动， 一位饱经苍桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动， 到 勤劳动 晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地， 晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年 迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子， 迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样 分的： 分的：
数学八年级下册
2012年3月13日星期二
九年级数学第三章
§3.1.1 平行四边形（一）【导学目标】1、熟练掌握平行四边形的性质；2、灵活运用平行四边形的性质解决问题。
【导学过程】一、复习引入：1、你还记得平行四边形有哪些性质吗？边：（1）平行四边形对边______且________；角：（2）平行四边形的对角______；邻角______。
对角线：（3）平行四边形的对角线_____________；2、等腰梯形的性质呢？等腰梯形的两腰_______，在_________的两个角相等。
3、等腰梯形的判定定理：____________________________的梯形是等腰梯形．定理：_____________________________梯形是等腰梯形二、自学新知：1、平行四边形的性质的证明证明平行四边形的对边相等，对角相等。
已知：求证;证明平行四边形的对角线互相平分已知：求证：【小组讨论】是否存在将平行四边形ABCD 分成面积相等的两部分的线段，如果存在，这样的线段有多少条？你能发现满足条件的这些线段有什么特征？2、阅读课本83的证明。
然后证明84页的定理：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
三、巩固练习：练习1：如图，平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，过点O的直线EF分别交AD、BC于点E、F，若AB=3，BC=5，OE=2，四边形EFCD的周长为_________（第1题）2、(苏州2010)．如图15，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点．若∠ABE=∠EBC，AB=2，则平行四边形ABCD的周长是．3、(2010镇江市）．如图10，在平行四边形ABCD中，CD=10，F是AB边上一点，DF交AC于点E，且的面积的面积则CDEAEFECAE∆∆=,52= ，BF= .DB CADB CADB CAACACFOCADE4、如图，E F ，是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的点，CE AF =． 请你猜想：BE 与DF 有怎样的位置．．关系和数量．．关系？并对你的猜想加以证明． 猜想：证明：5（2010年毕节）如图，已知： ABCD 中，BCD ∠的平分线CE 交边AD 于E ，ABC ∠的平分线BG 交CE 于F ，交AD 于G ．求证：AE DG =．6、（2010山东济南）如图所示，在梯形ABCD 中，BC ∥AD ，AB =DC ，点M 是AD 的中点．求证：BM =CM ．四、拓展练习：1.（2010宁德）如图，在□ABCD 中，AE ＝EB ，AF ＝2， 则FC 等于_____．2、（2010北京） 已知：如图，在梯形ABCD中，AD //BC ，AB =DC =AD =2，BC =4。
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B
E
C
例3：在 ABCD中，∠B-∠A=30°, 求∠C, ∠D.
D C
A
B
拓展： 如图，已知四边形AEFD和EBCF都是 平行四边形。 求证：△ABE≌△DCF
A D
E
F
B
C
作业:练习册P31
平行四边形的性质： 1.平行四边形的对边相等。
2.平行四边形的对角相等。
3.平行四边形的对角线互相平分。
例1：如图 ABCD的对角线AC、BD相 交于O点，EF过O点与AB,CD分别相交 于点E,F.求证：OE=OF.
A
1
4 F
D O
2
E 3 B
C
练习：P74练习1
例2： ABCD中，AB=8cm，BC=10cm， AE⊥BC于E，∠B=30°，求 ABCD的 面积。
1.平行四边形的定义： 两组对边分别平行的四边形叫作 平行四边形。 2.平行四边形的性质： 平行四边形的对边相等。 平行四边形的对角相等。
3：如图, ABCD中,AB=4,AC=6, ∠BAC=70°,∠ACB=40°,求 CD,BC,AD,∠D,∠BAD
A
70°
D
4
40°
B
C
平行四边形的对边平行 且 相等 ；
平行四边形的对角 相等 ，邻角 互补 ；
夹在两条平行线间的平行线段 相等
已知 ABCD中，对角线AC、BD相交 于O，求证：OA=OC,0B=OD.
A D O 2 4 C 3 1
B
在 ABCD中,AB∥CD ∴∠1=∠4，∠2=∠3 又∵AB=CD ∴△OAB≌△OCD ∴OA=OC,OB=OD
平行四边形的对角线 互相平分 。