微积分6.5

2.定 B( p, q ) = ∫0 x 义
1
p −1
(1 − x )
q −1
dx ( p > 0, q > 0)
1. 特点： 特点： B ( p , q ) = B ( q , p );
Γ( p)Γ(q) ( . 2. B 函数与 Γ 函数的关系 B p,q) = Γ( p+q) 11 2 算 例 计 B( , ). key : π . 22
1 1 1 在x = 0点无界 = ∫0 xdx × lnx0 x lim 定 ∀ε > 0, f ( x )在[a + ε , b]上可积， f ( x ) = ∞ , 如果 义 上可积， →a x
1
f ( x )dx存在, 则称此极限值为 f ( x )在(a , b]上的 ε →0 a +ε b b 瑕积分, 瑕积分 记为 ∫ab f (x)dx = εlim∫a+ε f (x)dx 0 →+ 此时称广义积分 ∫ f ( x ) dx 存在或收敛 .
a
若 lim
两 广 积 都 敛 ,原 广 积 收 . 当 个 义 分 收 时原 义 分 敛 定 给 了 穷 积 的 算 法 义 出 无 限 分 计 方 ： b 1.计算常义积分 ∫ f ( x ) dx; b a 2.求极限 lim ∫ f ( x ) dx , 确定敛散性 .
b→ +∞ a
∫ab f ( x )dx存在, 称广义积分 ∫a f ( x )dx存在或收敛 . b→ +∞ +∞ 不存在， 若 lim ∫ f ( x )dx不存在， 称 ∫ f ( x )dx不存在或发散 . a b→ +∞ a b b 同理可定义， − 同理可定义，∫ ∞ f (x)dx =lim∫ f (x)dx a→ −∞ a c +∞ +∞ ∫−∞ f (x)dx =∫−∞ f (x)dx + ∫c f (x)dx
§6.5
广义积分初步
有限； 定积分的两个必要条件 ： 1. 积分区间 [a , b] 有限； 2. f ( x ) 在 [a,b] 上有界 . 若条件满足 , 称为常义积分 . 若条件不满足 , 称为广义积分 .
1 由 线 例 求 曲 y = e−x , y轴 x轴 成 开 曲 梯 的 积 及 围 的 口 边 形 面 . y +∞ − x 解 S = ∫ e dx 0 b −x b −x 1 = lim e dx = lim ( − e )
b→ +∞ 0
b→ +∞ b
∫
b→ +∞
0
= lim (1 − e ) = 1
−bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
bx
∫a
+∞
f ( x )dx ,
－－无穷区间上的广义 ∫−∞ f ( x )dx , ∫−∞ f ( x )dx －－无穷区间上的广义积分
+∞
无 穷 积 ) 一、无穷区间上的广义积分 (无 限 分 定 设 f ( x ) 在 [a , b] 上可积， 义 上可积， 则定义 f ( x ) 在 [a ,+∞ )上 b +∞ 的广义积分为 ∫ f (x)dx = lim ∫ f (x)dx
b −x
2
2 ∫ 例 求 xe dx.
-x2 0
+∞
b
b
2
2
散 E :(1)∫ cos xdx;(2)∫ x−2 ln xdx. key:(1)发 ;(2)1. x
0 1
+∞
+∞
dx 4 论 例 讨 ∫ 的 散 ( p为 数 . p积分 敛 性 实 ) p 1 x b 1 1− p b −p x 1 解1. p ≠ 1时, 原式 = lim ∫1 x dx = lim b→ +∞ 1 − p b→ +∞ + ∞，1 − p > 0时， 1 1− p (b − 1) = 1 = lim b→ +∞ 1 − p ， − p < 0时， 1 p−1 b dx b 2. p = 1时, lim ∫ = lim ln x 1 = blim ln b = +∞ → +∞ b→ +∞ 1 x b→ +∞ 时 发 散 p ≤1 ， +∞ dx 1 ∫1 xp = 收 时 ( 敛 p > 1 ，p − 1 ) 1 +∞ dx p = < 1, 积分发散 . (1)∫ 2 1 x 3 +∞ dx p = > 1, 积分收敛 . (2)∫ 2 1 x x
如 例 ∫ e dx = −e 0
+∞ −x
−x +∞ 0
(表 − lim e−x +1) =1. 示
x→ +∞
3. 积 的 元 在 穷 积 中 成 。 定 分 换 法 无 限 分 也 立
e 6 ∫ dx . 例 求-∞ 2x 1+e
+∞ x
π key : . 2
二、无界函数的广义积分 (瑕积分) 瑕积分)
若 lim ∫
b a
lim ∫ +
b
同理可定义右端点 b处无界及 ∀c ∈ ( a , b )处无界的情形 :
ε →0+ a + ε
f ( x )dx不存在， 称 ∫ f ( x )dx不存在或发散 . 不存在，
a
b
当两个广义积分都收敛 时, 原广义积分收敛 .
∫a f (x)dx =εlim∫a f (x)dx 0 →+ c b b ∫a f (x)dx =∫a f (x)dx + ∫c f (x)dx
1 算 (3 例 计 (1)∫ x e dx;(2)∫ x e dx(λ > 0)；)∫ e dx.
3 −x 4 −λx 0 0 0
+∞
+∞
+∞ −x2
解 (1)原式 = Γ(4) = 3! ( 2)令λx = u, λdx = du, x = 0, u = 0; x → +∞ , u → +∞ . 1 +∞ 4 −u 1 4! 原式 = 5 ∫0 u e du = 5 Γ(5) = 5 λ λ λ ( 3)令x 2 = u, x = 0, u = 0; x → +∞ , u → +∞ . du x = u , dx = . 2 u 1 −1 +∞ 1 1 1 π −u 2 原式 = ∫0 u e du = Γ( ) = 2 2 2 2 1 Γ( ) = π 2
1
应 牛 莱 尼 公 、 元 和 部 分 计 在 用 顿 布 茨 式 换 法 分 积 法 算 时 须 出 点 被 函 的 函 在 点 的 按 必 指 瑕 ， 积 数 原 数 瑕 处 值 1 lnx 照 等 数 续 来 。 求0 初 函 连 性 求 ∫ xdx.
dx 3 明 0 例 证 ∫ q 当 < q <1 收 ,q ≥1 发 . q积分 时 敛 时 散 0 x 解 1 1−q 1 1 −q x ε 1.q ≠ 1时, 原式 = lim ∫ x dx = εlim → 0+ 1 − q ε →0+ ε 1 1 − q > 0时， ， 1 1− q (1 − ε ) = 1 − q = lim ε → 0+ 1 − q ∞， 1 − q < 0时， 1 dx 1 = lim ln x ε = − lim ln ε = +∞ 2.q = 1时, lim ∫ ε → 0+ ε →0+ + ε → 0+ ε x ， 散 1 dx 发 q ≥1时 ∫0 xq = 收 q <1时 ( 1 ) 敛 1− q
+∞
概率论中的重要极限
x e dx = − ∫
− x +∞ 0 +∞
t −x
+∞
0
x t de − x
t +∞ 0
=−x e
+ ∫ e dx = t ∫ 0
−x
Γ x t −1e − x dx = tΓ(t )
Γ Γ Γ 特别地， 特别地， (n + 1) =nΓ(n) = n( n − 1)Γ( n − 1) = L = n!Γ(1) = n! 5 Γ( ) Γ(6) 1 算 ;(2) 2 . 例 计 (1) 1 2Γ(3) 3 3 3 1 1 Γ( ) Γ( ) ⋅ Γ( ) 3 2 5! 2 2 =2 2 2 = 解 (1)原式 = = 30 ( 2)原式 = 1 1 4 2 ⋅ 2! Γ( ) Γ( ) 2 2
b
b−ε
义 出 瑕 分 计 方 ： 定 给 了 积 的 算 法 1.寻找瑕点 ( 特别要注意内部瑕点 );
2.利用定义计算积分并求 极限 , 确定敛散性 .
例 求 lnxdx. key : −1 1 ∫ 0 1 1 2 ∫ 例 求 2dx. key : 发散 -1 x 8 1 2 dx x E : (1)∫ x ;(2)∫ dx. key :(1)π;(2) . 1 −1 1− x2 3 x −1 与 穷 积 一 ， 积 具 类 于 积 的 质 无 限 分 样 瑕 分 有 似 定 分 性
1
三、 Γ函数 (含参变量的广义积分 ) 含参变量的广义积分
特点： 特点：1. 积分区间是无穷区间 ; 2. t > 0 时, Γ( t ) 收敛 . 3. Γ 函数的递推公式 Γ(t +1) = tΓ(t)
Γ( t + 1) = ∫
+∞ 0 t
1.定 Γ( t ) = ∫ x t −1e − x dx ( t > 0) 义 0
b
b→ +∞ a +∞
1 1 −x 2 −x 解原式 = lim ∫0 xe dx = lim ∫ e dx = lim ( − e ) b→ +∞ b→ +∞ 2 b→ +∞ 0 2 0 2 1 1 = lim (1 − e − b ) = b→ +∞ 2 2 +∞ 1 3 dx. 例 求I = ∫ 2 -∞ 1+ x b 1 π b dx = lim (arctan x 0 ) = lim arctan b = 解I1 = lim ∫0 2 b→ +∞ b→ +∞ b→ +∞ 2 1+ x 0 1 π 0 I 2 = lim ∫ dx = lim (arctan x a ) = − lim arctan a = 2 a → −∞ a → −∞ a 1 + x a → −∞ 2 0 +∞ 1 1 π π I=∫ dx + ∫ dx = + = π 0 1 + x2 −∞ 1 + x 2 2 2