第五讲 几何元素相对位置2013

5.1、直线与平面平行 例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。
有多少解？
a
b n
有无数解
c m
●
b
n
a
●
c
m
5.1、直线与平面平行 例2、过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。
b
a
cm
●
n
正平线
a
b
c m
●
n
唯一解
5.1、直线与平面平行 例3、试判断直线AB是否平行于平面 CDE。
3、求交线 ⅠⅡ与AB的 交点K。
c
k
2
b
d
5.2、直线与平面相交 d 判别可见性。 a 1’(2’)
3
c
k
4
X
a
2
b
e e
O
c
1 k 3(4)
d
b
5.3、平面与平面平行
P E D F C B A S
若平面内的两相交直线对应地平行于另一平 面内的两相交直线，则这两个平面平行。
5.3、平面与平面平行 例5： 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试 过点K作一平面平行于已知平面 。
●
还可通过重影点判别可见性。
●
5.2、直线与平面相交
2）直线为特殊位置
b
k a b k● 2 m(n) ● 1
● ●
m
空间及投影分析： c 直线MN为铅垂线，其水平 投影积聚成一个点，故交点K的 水平投影也积聚在该点上。
●
n
1(2)
a
c
作图： ① 求交点
② 判别可见性
用面上取点法
点Ⅰ位于平面上，在前； 点Ⅱ位于MN上，在后。故k 2为不可见。
c
b a
d
X
ee aOdc结论：直线AB不平行于定平面
b
5.2、直线与平面相交
直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。
P B
要讨论的问题：
A
K
● 求直线与平面的交点。
● 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可 见性。
5.2、直线与平面相交
1、积聚性法
V P K PH H
当平面或直线的投影有积聚性时，交点的两个 投影中有一个可直接确定，另一个投影可用在直线 上或平面上取点的方法求出。
5.4、直线与平面的垂直问题 d 作图过程:
a
1
k c X
所求距离
2
b
e O
c
b
1
d
k
2
a
e
5.5、平面与平面相交 1、一个平面具有集聚性
V M B K F m C PH c f L N b k a l H
m c X f n m f
b
k
l
a
P
k b
a l
O
c
n
n
求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,由 于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交线可直接求出。
5.2、直线与平面相交
2、辅助平面法
一般位置直线与一般位置平面相交，其投影 都没积聚性，则采用辅助平面法。
E
A
K
2
1
D
C
B
过AB作平面P垂直于H投影面
例4、直线AB与平面ΔCDE相交，求交线判可见性。 d a 作题步骤： 2’
c
1’ k
1、过AB作 铅垂平面P。 b
e
X
PH
a
1
O 2、求P平面 与ΔCDE的 交线ⅠⅡ。 e
A
D
利用求一 般位置线面交 点的方法找出 交线上的两个 点，将其连线 即为两平面的 交线。
作题步骤
c k
b 2 l
e d QV
1
X
f f
b
l k
a O 2 a
1、用直线 与平面求交 点的方法求 出两平面的 两个共有点 K 、L 。 2、连接两 个共有点， 画出交线KL。
d
c
1 e
a s
d
m b
X
n c c r r
f
k
e
O
b m a
n
d f
k s
e
5.4、直线与平面的垂直问题
V A C E B D
几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂 直于属于该平面的一切直线。
5.4、直线与平面的垂直问题
V A C E B n a k e c b O a k n
定理：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直 于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂 直于属于该平面的正平线的正面投影。
d
X
D
d
e
c b
5.4、直线与平面的垂直问题
V f
n
A
C E D d B X d
c
a b
k
O
f
a c b
k
n
定理（逆）：若一直线垂直于属于平面的水平线的水平 投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面 投影、则直线必垂直于该平面。
5.2、直线与平面相交 1）平面为特殊位置 空间及投影分析 b n 平面ABC是一铅垂面， 其水平投影积聚成一条直 k 1(2) 线，该直线与mn的交点即 a ● 为K点的水平投影。 c m 作 图 ① 求交点 m ●2 c ② 判别可见性 ● 由水平投影可知，KN段 k 1 b a n 在平面前，故正面投影 上kn为可见。
p’ q’
p q
5.6、平面与平面的垂直问题
A
P
B
几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含这 条直线的所有平面都垂直于该平面。
5.6、平面与平面的垂直问题
A
A
Ⅰ Ⅱ
B
Ⅰ
B
Ⅱ
两平面垂直 两平面不垂直
反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的 任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。
例:平面由 BDF给定，试过定点K作已知平面的 垂面 h
5.5、平面与平面相交
判别可见性
3 c 4
X
b k 1 ( 2 )
n
l
e
a b 2
O
m m 3 c
(4 )
e
a
k
l
利用重 影点判 别可见 性, 注意过 交点可 见性发 生改变.
1
n
5.5、平面与平面相交 2）三面共点法
当表示两个平面的图形投影分离时,用此方法求交线.
5.5、平面与平面相交 例：求平面P、Q的交线
5.4、直线与平面的垂直问题
例6：试过定点M作平面（ BDF）的垂线。
n
f c a m
b
f
d
m c a
d
b
5.4、直线与平面的垂直问题 例7：试过定点K作特殊位置平面的法线。
h PV k SV
k
h
h
k
k
h
k h
QH
h
k
5.4、直线与平面的垂直问题 例8：过空间一点作已知直线的垂面 e′ a′ c′ b′
第五章
几何元素的 相对位置
第五章 几何元素 的相对位置
5.1、直线与平面平行 5.2、直线与平面相交 5.3、平面与平面平行 5.4、直线与平面垂直 5.5、平面与平面相交 5.6、平面与平面垂直 5.7、平面与投影面的夹角
5.1、直线与平面平行
P A
B
定理：
若一直线平行于平面上的某一直线， 则该直线与此平面必相互平行。
f
c a X d f a b g k
k
c g
O
d
b
h
5.7、平面与投影面的夹角
A
C
D
E
B
平面与投影面的夹角等于平面对该投影面 的最大斜度线与投影面的夹角。
5.7、平面与投影面的夹角
作图：
b’
a’
α X
c’
a
O 平面对H面 最大斜度线
面上水平线
c b
f′
c
f
a
b
e
5.4、直线与平面的垂直问题 例9:求点C 到直线AB的距离。
a
c X c
b O
b
a
5.4、直线与平面的垂直问题 空间分析：
A
K C
P
B
过C点作直线AB的垂线CK一定在过C点并且与AB垂直的 平面P内，过C点作一平面与直线AB垂直，求出该平面与AB 的交点K，最后求出垂线CK的实长即为所求。
5.5、平面与平面相交 平面可见性的判别
V m b k
l
M
B K F L N n
X
c
f
n
a k b a
l
O
m
f c H n
m
C c
k a
f
l
对于二平面之一具有集聚性的情况，可直观判断 可见性
5.5、平面与平面相交 2、两一般位置平面相交求交线的方法 1）线面穿点法
B
F
K L E C