(江苏专用)2019高考数学二轮复习第二篇第21练圆锥曲线的定义、方程与性质课件理

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2019高考数学考点突破——圆锥曲线：曲线与方程含解析

曲线与方程【考点梳理】1．曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线. 2．求动点的轨迹方程的基本步骤【考点突破】考点一、直接法求轨迹方程【例1】已知△ABC 的顶点B (0，0)，C (5，0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为________.[答案] (1) A (2) (2，2)[解析] 设A (x ，y )，由题意可知D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2.又∵|CD |＝3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝9，即(x －10)2＋y 2＝36，由于A ，B ，C 三点不共线，∴点A 不能落在x 轴上，即y ≠0， ∴点A 的轨迹方程为(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0). 【类题通法】直接法求轨迹方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．【对点训练】在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A (－1，1)关于原点O 对称，P 是动点且直线AP 与BP 的斜率之积等于－13，则动点P 的轨迹方程为________________．[答案] x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)[解析] 因为点B 与点A (－1，1)关于原点O 对称，所以点B 的坐标为(1，－1)．设点P 的坐标为(x ，y )，由题意得y －1x ＋1·y ＋1x －1＝－13，化简得x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)，故动点P 的轨迹方程为x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)．考点二、相关点(代入)法求轨迹方程【例2】设F (1,0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN ―→＝2MP ―→，PM ―→⊥PF ―→，当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程．[解析] 设M (x 0,0)，P (0，y 0)，N (x ，y )，∵PM ―→⊥PF ―→，PM ―→＝(x 0，－y 0)，PF ―→＝(1，－y 0)， ∴(x 0，－y 0)·(1，－y 0)＝0， ∴x 0＋y 20＝0.由MN ―→＝2MP ―→，得(x －x 0，y )＝2(－x 0，y 0)， ∴⎩⎨⎧x －x 0＝－2x 0，y ＝2y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x ，y 0＝12y ，∴－x ＋y 24＝0，即y 2＝4x .故所求的点N 的轨迹方程是y 2＝4x . 【类题通法】代入法求轨迹方程的四个步骤 (1)设出所求动点坐标P (x ，y )．(2)寻找所求动点P (x ，y )与已知动点Q (x ′，y ′)的关系．(3)建立P ，Q 两坐标间的关系，并表示出x ′，y ′. (4)将x ′，y ′代入已知曲线方程中化简求解．【对点训练】如图，已知P 是椭圆x 24＋y 2＝1上一点，PM ⊥x 轴于点M .若PN ―→＝λNM ―→. (1)求N 点的轨迹方程；(2)当N 点的轨迹为圆时，求λ的值．[解析] (1)设点P ，点N 的坐标分别为P (x 1，y 1)，N (x ，y )，则M 的坐标为(x 1，0)，且x ＝x 1， ∴PN ―→＝(x －x 1，y －y 1)＝(0，y －y 1)， NM ―→＝(x 1－x ，－y )＝(0，－y )，由PN ―→＝λNM ―→得(0，y －y 1)＝λ(0，－y )． ∴y －y 1＝－λy ，即y 1＝(1＋λ)y .∵P (x 1，y 1)在椭圆x 24＋y 2＝1上，则x 214＋y 21＝1， ∴x 24＋(1＋λ)2y 2＝1，故x 24＋(1＋λ)2y 2＝1即为所求的N 点的轨迹方程．(2)要使点N 的轨迹为圆，则(1＋λ)2＝14，解得λ＝－12或λ＝－32.∴当λ＝－12或λ＝－32时，N 点的轨迹是圆．考点三、定义法求轨迹方程【例3】已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程.[解析] 由已知得圆M 的圆心为M (－1，0)，半径r 1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞|MN|＝2.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x24＋y23＝1(x≠－2).【变式1】将本例的条件“动圆P与圆M外切并且与圆N内切”改为“动圆P与圆M、圆N都外切”，求圆心P的轨迹方程.[解析]由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R，因为圆P与圆M，N都外切，所以|PM|－|PN|＝(R＋r1)－(R＋r2)＝r1－r2＝－2，即|PN|－|PM|＝2，又|MN|＝2，所以点P的轨迹方程为y＝0(x<－2).【变式2】把本例中圆M的方程换为：(x＋3)2＋y2＝1，圆N的方程换为：(x－3)2＋y2＝1，求圆心P的轨迹方程.[解析]由已知条件可知圆M和N外离，所以|PM|＝1＋R，|PN|＝R－1，故|PM|－|PN|＝(1＋R)－(R－1)＝2<|MN|＝6，由双曲线的定义知点P的轨迹是双曲线的右支，其方程为x2－y28＝1(x>1).【变式3】在本例中，若动圆P过圆N的圆心，并且与直线x＝－1相切，求圆心P 的轨迹方程.[解析]由于点P到定点N(1，0)和定直线x＝－1的距离相等，所以根据抛物线的定义可知，点P的轨迹是以N(1，0)为焦点，以x轴为对称轴、开口向右的抛物线，故其方程为y2＝4x.【类题通法】应用定义法求轨迹方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．【对点训练】设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|＋|EB|为定值；(2)求点E的轨迹方程，并求它的离心率．[解析](1)证明：因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，所以∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.(2)由圆A方程(x＋1)2＋y2＝16，知A(－1,0)．又B(1,0)，因此|AB|＝2，则|EA|＋|EB|＝4>|AB|.由椭圆定义，知点E的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(不含与x轴的交点)，所以a＝2，c＝1，则b2＝a2－c3＝3.所以点E的轨迹方程为x24＋y23＝1(y≠0)．故曲线方程的离心率e＝ca＝1 2.。

高中数学第二章圆锥曲线复习课件苏教选修21

2 y2
2 －b 2
=1 (a>0,b>0)
渐近线方程： y= ±
b a
x
焦点在y轴： y ya
2 2
－x b
2 2
=1 (a>0,b>0)
y
渐近线方程： y= ± a x
b
b
F2●
求法1：
把对应方程中的
-c ●
-a
F1
O -b
a
c
●
F2
x
O
x
“1”改为“0”，然后求出即得。
F1●
求法2：
提示：渐近线为：x ± y ab
*顶点：双曲线与它的对称轴的两个交点，叫做双曲线的顶点。
*实轴、虚轴：线段A1A2、 B1B2分别叫做双曲线的实轴和虚轴。
y
B2
F● A1O
1 B1
A2 ●
F2
x
a、b分别叫做双曲线的实半轴长和虚半轴长。
返回
四、双曲线的离心率
离心率：双曲线的焦距与实轴长的比：
e= c
a
叫做双曲线的离心率。
a
y
(1)离心率的取值范围：
因为 a > c > 0，所以1 >e >0
o
返回
x
(2)离心率对椭圆形状的影响： ①e 越接近 1, c 就越接近a, 从而b就越小,椭圆就越扁; ②e 越接近 0, c 就越接近0, 从而b就越大,椭圆就越圆; ③特例：e =0，则 a = b，则 c=0，两个焦点重合，椭
注
(1)椭圆与双曲线中，若焦点在x轴上，则左焦点对左准线，右焦点对右准线；
(2)椭圆与双曲线中，焦点在x轴，准线方程为x=± a 2

2019届高考数学(理)二轮复习提优导学案(江苏专用)：第1部分二轮课时专题5 解析几何 2 圆锥曲线

第2讲圆锥曲线【课前热身】第2讲圆锥曲线(本讲对应学生用书第45~47页)1.(选修2-1 P32练习3改编)已知椭圆的焦点分别为F1(-2，0)，F2(2，0)，且经过点P53-22⎛⎫⎪⎝⎭，，则椭圆的标准方程为.【答案】210x+26y=1【解析】设椭圆方程为22xa+22yb=1，由题意得2222259144-4a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，解得a2=10，b2=6，所以所求方程为210x+26y=1.2.(选修2-1 P47练习2改编)若双曲线的虚轴长为12，离心率为54，则双曲线的标准方程为.【答案】264x-236y=1或264y-236x=1【解析】由b=6，ca=54，结合a2+b2=c2，解得a=8，c=10，由于对称轴不确定，所以双曲线标准方程为264x-236y=1或264y-236x=1.3.(选修2-1 P47练习3改编)已知双曲线x 2-22y m=1(m>0)的一条渐近线方程为x+0，则实数m= .【答案】3【解析】双曲线x 2-22y m=1(m>0)的渐近线方程为y=±mx ，又因为该双曲线的一条渐近线方程为x+0，所以m=3.4.(选修2-1 P53练习2改编)设抛物线y 2=mx 的准线与直线x=1的距离为3，则抛物线的标准方程为 .【答案】y 2=8x 或y 2=-16x【解析】当m>0时，准线方程为x=-4m=-2，所以m=8，此时抛物线方程为y 2=8x ；当m<0时，准线方程为x=-4m=4，所以m=-16，此时抛物线方程为y 2=-16x. 所以所求抛物线方程为y 2=8x 或y 2=-16x.5.(选修2-1 P37练习6改编)若一个椭圆长轴的长、短轴的长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 .【答案】35【解析】由题意知2b=a+c ，又b 2=a 2-c 2，所以4(a 2-c 2)=a 2+c 2+2ac.所以3a 2-2ac-5c 2=0，所以5c 2+2ac-3a 2=0.所以5e 2+2e-3=0，解得e=35或e=-1(舍去).【课堂导学】求圆锥曲线的标准方程例1(2019·扬州中学)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)的离心率为32，以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点P(0，1)，Q(0，2)，设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上.【分析】(1)利用直线与圆相切求出b的值，然后利用离心率可求出a的值，从而求出椭圆方程.(2)解出两直线的交点，验证满足椭圆方程即可.【解答】(1)由题意知椭圆C的短半轴长为圆心到切线的距离，即22因为离心率e=ca=32，所以ba21-ca⎛⎫⎪⎝⎭12，所以a=2所以椭圆C的标准方程为28x+22y=1.(2)由题意可设M，N两点的坐标分别为(x0，y0)，(-x0，y0)，则直线PM的方程为y=-1yxx+1，①直线QN的方程为y=-2-yxx+2. ②设点T的坐标为(x，y).联立①②解得x0=2-3xy，y=3-42-3yy.因为28x+22y=1，所以2182-3xy⎛⎫⎪⎝⎭+213-422-3yy⎛⎫⎪⎝⎭=1，整理得28x+2(3-4)2y=(2y-3)2，所以28x+292y-12y+8=4y2-12y+9，即28x+22y=1，所以点T的坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上.【点评】求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)的形式.变式已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点.(1)求椭圆C的方程；(2)已知动点P到定点Q(20)的距离与点P到定直线l：x=2222，求动点P的轨迹C'的方程.【分析】本题主要考查椭圆的定义和椭圆的标准方程等基础知识，以及利用直接法和待定系数法求椭圆方程的基本方法.【解答】(1)依题意，可设椭圆C的方程为22xa+22yb=1(a>b>0)，且可知左焦点为F'(-2，0)，从而有22'358ca AF AF=⎧⎨=+=+=⎩，，解得24.ca=⎧⎨=⎩，又a2=b2+c2，所以b2=12，故椭圆C的方程为216x+212y=1.(2)设点P(x，y)，依题意，得22(-2)|-22|x yx+=22，整理，得24x+22y=1，所以动点P的轨迹C'的方程为24x+22y=1.【点评】本题第一问已知焦点即知道了c，再利用椭圆定义先求得2a的值，再利用椭圆中a，b，c的关系，求得b的值，从而得椭圆方程.本题还可以利用待定系数法设椭圆方程为22xa+22-4ya=1，代入已知点求解，显然没有利用定义来得简单.求离心率的值或范围例2(1)(2019·徐州三校调研)如图(1)，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2分别为椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为.(例2(1))(2)(2019·临川一中质检)如图(2)，已知点A，F分别是2 2 xa-22yb=1(a>0，b>0)的左顶点与右焦点，过A，F作与x轴垂直的直线分别与两条渐近线交于P，Q，R，S，若S△ROS=2S△POQ，则双曲线的离心率为.(例2(2))(3)(2019·金陵中学)已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1，F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若PF1=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1·e2的取值范围是.【点拨】依题设得出关于a，b，c的等式或不等式，再消去b.【答案】75(2)2(3)13∞⎛⎫+⎪⎝⎭，【解析】(1)由题意知直线A1B2的方程为-xa+yb=1，直线B1F的方程为xc+-yb=1.联立方程组解得T2()--ac b a ca c a c+⎛⎫⎪⎝⎭，.又M()-2(-)ac b a ca c a c⎛⎫+⎪⎝⎭，在椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)上，故22(-)ca c+22()4(-)a ca c+=1，即e2+10e-3=0，解得e=275.(2)由题意，得A(-a，0)，F(c，0)，直线PQ，RS的方程分别为x=-a，x=c，与渐近线y=±ba x 联立，可求得P(-a，b)，Q(-a，-b)，R-bcca⎛⎫⎪⎝⎭，，Sbcca⎛⎫⎪⎝⎭，，则S△ROS=12·2bca·c=2bca，S△POQ =12a·2b=ab，于是由S△ROS=2S△POQ，得2bca=2ab，即22ca=2，所以e=2.(3)设椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2m，则2c=PF2=2a-10，2m=10-2c，a=c+5，m=5-c，所以e1e2=5cc+·5-cc=2225-cc=2125-1c.又由三角形性质知2c+2c>10，又由已知得2c<10，c<5，所以52<c<5，1<225c<4，0<225c-1<3，所以e1e2=2125-1c>13.变式1(2019·苏北四市期末)已知椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)，点A，B1，B2，F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB2与直线B1F的交点恰好在椭圆的右准线上，则该椭圆的离心率为.(变式1)【答案】12【解析】如图，A(-a，0)，B1(0，-b)，B2(0，b)，F(c，0)，设点M2Mayc⎛⎫⎪⎝⎭，.由2ABk=k AM，得ba=2Myaac+，所以y M=b1ac⎛⎫+⎪⎝⎭.由1FBk=k FM，得bc=2-Myacc，所以y M =2-b a c c c ⎛⎫⎪⎝⎭. 从而b 1a c⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2-b a c c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，整理得2e 2+e-1=0，解得e=12.变式2 (2019·泰州期末)若双曲线22x a -22y b=1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e= .【答案】53【解析】由双曲线的性质“焦点到渐近线的距离等于b ”，得b=2a c+，所以a 2+22a c +⎛⎫ ⎪⎝⎭=c 2，整理得3c 2-2ac-5a 2=0，所以3e 2-2e-5=0，解得e=53.变式3 (2019·泰州中学)如图，椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)的右焦点为F ，其右准线l 与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是 .(变式3)【答案】112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】方法一：由题意知椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，所以PF=FA ，而FA=2a c -c ，PF ≤a+c ，所以2a c -c ≤a+c ，即a 2≤ac+2c 2.又e=ca，所以2e 2+e ≥1，所以2e 2+e-1≥0，即(2e-1)(e+1)≥0.又0<e<1，所以12≤e<1.方法二：设点P(x，y).由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，所以PF=FA.由椭圆第二定义，2-PFaxc=e，所以PF=2ac e-ex=a-ex，而FA=2ac-c，所以a-ex=2ac-c，解得x=21-aa ce c⎛⎫+⎪⎝⎭.由于-a≤x≤a，所以-a≤21-aa ce c⎛⎫+⎪⎝⎭≤a.又e=ca，所以2e2+e-1≥0，即(2e-1)(e+1)≥0.又0<e<1，所以12≤e<1.直线与圆锥曲线问题例3(2019·南通一调)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)过点A(2，1)，离心率为3 2.(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：y=kx+m(k≠0)与椭圆相交于B，C两点(异于点A)，线段BC被y轴平分，且AB⊥AC，求直线l的方程.(例3)【点拨】联立方程化归为一元二次方程的根与系数问题.【解答】(1)由条件知椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)的离心率为e=c a =32，所以b 2=a 2-c 2=14a 2.又点A (2，1)在椭圆上，所以24a +21b =1，解得2282.a b ⎧=⎨=⎩，所以所求椭圆的方程为28x +22y =1.(2)将y=kx+m (k ≠0)代入椭圆方程，得(1+4k 2)x 2+8mkx+4m 2-8=0， ①由线段BC 被y 轴平分，得x B +x C =-2814mkk +=0，因为k ≠0，所以m=0.因为当m=0时，B ，C 关于原点对称，设B (x ，kx )，C (-x ，-kx )，由方程①，得x 2=2814k +，又因为AB ⊥AC ，A (2，1)，所以AB uuu r ·A C uuu r =(x-2)(-x-2)+(kx-1)(-kx-1)=5-(1+k 2)x 2=5-228(1)14k k ++=0，所以k=±12，由于k=12时，直线y=12x 过点A (2，1)，故k=12不符合题设. 所以直线l 的方程为y=-12x.【点评】解析几何包含两个主要问题，即已知曲线求方程和已知方程研究曲线的性质.对解析几何的复习，要在牢固掌握与解析几何有关的基本概念基础上，把上述两个问题作为复习和研究的重点，把握坐标法思想的精髓.变式 (2019·南通、扬州、泰州、淮安三模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的离心率为22，长轴长为4，过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2+y 2=a 2于相异两点P ，Q.(1)若直线l的斜率为12，求APAQ的值；(2)若PQu u u r=λAPuuu r，求实数λ的取值范围.(变式)【解答】(1)由条件知2222422acaa b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，，解得22.ab=⎧⎪⎨⎪⎩，所以椭圆的方程为24x+22y=1，圆的方程为x2+y2=4.由题知直线l的方程为y=12(x+2)，即x=2y-2，联立方程组222-224x yx y=⎧⎨+=⎩，，消去x，得3y2-4y=0，所以y P=4 3.由222-24x yx y=⎧⎨+=⎩，，消去x，得5y2-8y=0，所以y Q=85.所以APAQ=PQyy=43×58=56.(2)因为PQu u u r=λAPuuu r，且APuuu r，PQu u u r同向，则λ=PQAP=-AQ APAP=AQAP-1，设直线l：y=k(x+2)，联立方程组224(2)x yy k x⎧+=⎨=+⎩，，消去x，得(k2+1)y2-4ky=0，所以y Q =241k k +，同理y P =2421k k +，λ=AQ AP -1=QP y y -1=2241421k k k k ++-1=1-211k +.因为k 2>0，所以0<λ<1.即实数λ的取值范围是(0，1).【课堂评价】1.(2019·泰州期末)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22x -y 2=1的实轴长为 .【答案】22【解析】根据双曲线的方程知a=22a=22.(2019·镇江期末)以抛物线y 2=4x 的焦点为焦点，以直线y=±x 为渐近线的双曲线的标准方程为 .【答案】212x -212y =1【解析】由题意设双曲线的标准方程为22x a -22y b=1，y 2=4x 的焦点为(1，0)，即c=1，则双曲线的焦点为(1，0).因为y=±x 为双曲线的渐近线，则b a =1，又a 2+b 2=c 2，所以a 2=12，b 2=12，故双曲线的标准方程为212x-212y=1.3.(2019·南京、盐城一模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C经过点P(1，3)，则其焦点到准线的距离为.【答案】92【解析】由题意可设抛物线C的方程为y2=2px(p>0)，因为曲线C过点P(1，3)，所以9=2p，解得p=92，从而其焦点到准线的距离为p=92.4.(2019·苏中三校联考)设椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与椭圆C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率为.(第4题)【答案】33【解析】如图，连接AF1，因为OD∥AB，O为F1F2的中点，所以D为BF1的中点.又AD⊥BF1，所以AF1=AB.所以AF1=2AF2.设AF2=n，则AF1=2n，F1F2=3所以e=ca=1212F FAF AF=33nn=33.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第23~24页.【检测与评估】第2讲圆锥曲线一、填空题1.(2019·苏锡常镇调研)若双曲线x2+my2=1过点(2)，则该双曲线的虚轴长为.2.(2019·苏州调查)已知双曲线2xm-25y=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为.3.(2019·徐州、连云港、宿迁三检)已知点F是抛物线y2=4x的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，则直线AF的斜率为.4.(2019·普陀区调研)离为1，则该椭圆的离心率为.5.(2019·西安模拟)已知椭圆24x+22yb=1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若BF2+AF2的最大值为5，则b的值是.6.(2019·盐城中学)设椭圆22xm+..=1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的短轴长为 .7.(2019·丹阳中学)设A ，B 分别是椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右顶点，点P 是椭圆C 上异于A ，B 的一点，若直线AP 与BP 的斜率之积为-13，则椭圆C 的离心率为 .8.(2019·淮阴四校调研)已知椭圆C ：22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是 .二、解答题9.(2019·扬州期末)如图，已知椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，M 在PF 1上，且满足1F M u u u u r =λMP u u u r(λ∈R )，PO ⊥F 2M ，O 为坐标原点.(1)若椭圆方程为28x +24y =1，且P (2，2)，求点M 的横坐标；(2)若λ=2，求椭圆离心率e 的取值范围.(第9题)10.(2019·赣榆中学)如图，椭圆长轴端点为A ，B ，O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且AF u u u r ·FB u u u r=1，|OF u u u r |=1.(1)求椭圆的标准方程.(2)记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使得点F 恰为△PQM的垂心?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.(第10题)11.如图，椭圆C：2 2 xa+22yb=1(a>b>0)的一个焦点为F(1，0)，且过点622⎛⎫⎪⎪⎭，.(1)求椭圆C的方程；(2)已知A，B为椭圆上的点，且直线AB垂直于x轴，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M，求证：点M恒在椭圆C上.(第11题)【检测与评估答案】第2讲圆锥曲线一、填空题1. 4【解析】将点(22)代入可得2+4m=1，即m=-14，故双曲线的标准方程为21x-24y=1，即虚轴长为4.2.y=±2x3，所以m=4.而双曲线的渐近线方程为x ，即y=±2x.3. 43 【解析】抛物线y 2=4x 的准线方程为x=-1，焦点F (1，0)，设点A (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，由题意得x 0+1=5，所以x 0=4，所以20y=4x 0=16，y 0=4，从而点A (4，4)，直线AF 的斜率k=4-04-1=43.4.2 【解析】不妨设椭圆方程为22x a +22y b =1(a>b>0)，则有222-1b a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2221b a b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，　②则①÷②得e=2.5.【解析】由题意知a=2，所以BF 2+AF 2+AB=4a=8，因为BF 2+AF 2的最大值为5，所以AB 的最小值为3，当且仅当AB ⊥x 轴时，取得最小值，此时A 3-2c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，B3--2c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，代入椭圆方程得24c +294b =1.又c 2=a 2-b 2=4-b 2，所以24-4b +294b =1，即1-24b +294b =1，所以24b =294b ，解得b 2=3，所以6.4【解析】由题意可知抛物线y 2=8x 的焦点为(2，0)，所以c=2.因为离心率为12，所以a=4，所以47.【解析】由题意知A (-a ，0)，B (a ，0)，取P (0，b )，则k AP ·k BP =b a×-b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-13，故a 2=3b 2，所以e 2=222-a b a =23，即e=3.8. 1132⎛⎫ ⎪⎝⎭，∪112⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】6个不同的点有两个为短轴的两个端点，另外4个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称、左右对称.不妨设P 在第一象限，PF 1>PF 2，当PF 1=F 1F 2=2c 时，PF 2=2a-PF 1=2a-2c ，即2c>2a-2c ，解得e=c a >12.又因为e<1，所以12<e<1.当PF 2=F 1F 2=2c 时，PF 1=2a-PF 2=2a-2c ，即2a-2c>2c ，且2c>a-c ，解得13<e<12.综上可得13<e<12或12<e<1.二、解答题9. (1) 因为28x +24y =1，所以F 1(-2，0)，F 2(2，0)，所以k OP=22F Mk1F M k=4，所以直线F 2M 的方程为x-2)，直线F 1M 的方程为y=4(x+2).联立-2)(2)4y x y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，，解得x=65，所以点M 的横坐标为65.(2) 设P (x 0，y 0)，M (x M ，y M ).因为1FM u u u u r=2MPuuu r ，所以1FM u u u u r =23(x 0+c ，y 0)=(x M +c ，y M )，所以M 00212-333x c y ⎛⎫⎪⎝⎭，，2F M u u u u r =00242-333x c y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为PO ⊥F 2M ，O P uuu r=(x 0，y 0)，所以2023x -43cx 0+223y =0，即20x +20y =2cx 0.联立方程2200022002221x y cx x y a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 0，得c 220x -2a 2cx 0+a 2(a 2-c 2)=0，解得x 0=()a a c c +或x 0=(-)a a c c .因为-a<x 0<a ，所以x 0=(-)a a c c ∈(0，a )，所以0<a 2-ac<ac ，解得e>12.综上，椭圆离心率e 的取值范围为112⎛⎫ ⎪⎝⎭，.10. (1) 设椭圆方程为22x a +22y b=1(a>b>0)，则c=1.因为AF uuu r ·F B uuu r=1，即(a+c )(a-c )=1=a 2-c 2，所以a 2=2，故椭圆方程为22x +y 2=1.(2) 假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 恰为△PQM 的垂心，则设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，因为M (0，1)，F (1，0)，故k PQ =1，于是可设直线l 的方程为y=x+m.联立2222y x m x y =+⎧⎨+=⎩，，得3x 2+4mx+2m 2-2=0，则x 1+x 2=-43m ，x 1x 2=22-23m .因为MP uuu r·FQ u u u r=0=x 1(x 2-1)+y 2(y 1-1)，又y i =x i +m (i=1，2)，得x 1(x 2-1)+(x 2+m )(x 1+m-1)=0，即2x 1x 2+(x 1+x 2)(m-1)+m 2-m=0，所以2·22-23m -43m(m-1)+m 2-m=0，解得m=-43或m=1(舍去). 经检验m=-43符合条件，所以直线l 的方程为y=x-43.11. (1) 由题意得2222212312-c a b a b c =⎧⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩，，，解得a 2=4，b 2=3，故椭圆C 的方程为24x +23y =1.(2) 因为F (1，0)，N (4，0).设A (m ，n )，M (x 0，y 0)，则B (m ，-n )，n ≠0，则直线AF 的方程为y=-1nm (x-1)，直线BN 的方程为y=4-nm (x-4)，解得点M 的坐标为5-832-52-5m n m m ⎛⎫⎪⎝⎭，. 代入椭圆方程中，得204x +203y =25-82-54m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭+232-53n m ⎛⎫⎪⎝⎭=222(5-8)124(2-5)m n m +.由24m+23n=1，得n2=321-4m⎛⎫⎪⎝⎭，代入上式得24x+23y=1.所以点M恒在椭圆C上.。

高中数学第2章圆锥曲线与方程2.1圆锥曲线课件苏教版选修2

解析答案
课堂小结
1.一个平面截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线；当平面不经过顶点与圆锥面的轴垂直时，截得的图形是一个圆. 改变平面的位置，观察截得的图形变化情况，可得到三种重要的曲线，即椭圆、双曲线和抛物线，统称为圆锥曲线. 2.椭圆定义中，常数>F1F2不可忽视，若常数<F1F2，则这样的点不存在；若常数＝F1F2，则动点的轨迹是线段F1F2. 3.双曲线定义中，若常数>F1F2，则这样的点不存在；若常数＝F1F2，则动点的轨迹是以F1、F2为端点的两条射线. 4.抛物线定义中F∉l，若F∈l，则点的轨迹是经过点F且垂直于l的直线.
(2)指出轨迹的焦点和焦距.
解椭圆的焦点为B、C，焦距为10.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，动圆M 过B点且与圆A内切，求证：圆心M的轨迹是椭圆. 证明设MB＝r. ∵圆M与圆A内切，圆A的半径为10， ∴两圆的圆心距MA＝10－r，即MA＋MB＝10(大于AB). ∴圆心M的轨迹是以A、B两点为焦点到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小于1，则点P的轨迹为_抛__物__线___. 解析依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线.
解析答案
12345
5. 到定直线 x ＝－ 2 的距离比到定点 (1,0) 的距离大 1 的点的轨迹是 _抛__物__线___. 解析到定点(1,0)和定直线x＝－1的距离相等，所以点的轨迹是以(1,0)为焦点的抛物线.
解析答案
题型三抛物线定义的应用例3 已知动点M的坐标(x，y)满足方程2(x－1)2＋2(y－1)2＝(x＋y＋6)2，试确定动点M的轨迹.

圆锥曲线的定义[上学期]--江苏教育出版社

Y P M F1 O F2 X
__ X
2
__ Y
2
例4、若过椭圆 a2 + b2 = 1(a＞b＞0)的左焦点F 1 、倾斜角为60°的直线交椭圆于A、B两点，且 |AF1|=2|BF1|，求椭圆的离心率。
Y A1 C
__ X
2
__ Y
2
A
B1
B
L
X
F1
O
小结：
1、本节的重点是掌握圆锥曲线的定义在解题中的应用，要注意两个定义的区别和联系。
Y
__ X2
__ Y
2
P1
F1
P
O F2
P2
X
L
L
例2、若点A的坐标为（3，2），F为抛物线Y =2X的焦点，点M在抛物线上移动。求|MA|+|MF|的最小值 Y
M A(3,2) O
2
M1
F
X
L
例3、P为椭圆 a 2 + b2 = 1上一点,F2Байду номын сангаас为其一个焦点，求证以F2P为直径的圆与以它长轴为直径的圆相切。
2、利用圆锥曲线的定义解题时，要注意曲线之间的共性和个性。 3、利用圆锥曲线的定义解题时，要加强数形结合、化归思想的训练，以得到解题的最佳途径。作业
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台就被一人给拦住了。“你就是白绫？”那人的目光从慕容凌娢身上扫过，眼前的这个人似乎跟自己的想象有些差距。“是。”慕容凌娢感觉此人来着不善，谨慎的后退了一步，“公子有何吩咐？”“曲子弹的不错，就是不知道脸长得怎么样，是不是真的像传言那样……” 那人又向前走了两步，伸手要取下慕容凌娢的面纱，“小美人，陪我喝几杯吧。”“我……”慕容凌娢迅速躲开那人的手，有些紧张， “我只卖艺，不陪酒……”“哦？身在此处，又何必装作清高的样子。”这跟清高完全没有关系啊！慕容凌娢欲哭无泪，看来来这儿的人都把此处当作青楼了……现在躲也不是，不躲也不是，慕容凌娢只得用双手护住脸，很笨的方法，让她显得有些狼狈。“这位兄台且慢。” 正在那人的手即将碰到慕容凌娢面纱的时候，一个身着青色长衫的男子缓缓走来，俊美而又分明的五官上带着笑意，站在慕容凌娢身前，无意间隔开了两人的距离。“原来是张公子，失敬失敬。”那人尴尬的收回手，“张公子怎有闲情来此地？”“和朋友一起来的。”他嘴角上扬，露出一抹清新俊逸的笑容，“方才白姑娘已经答应今晚陪我了，没错吧？”“是……”要把两人放在一起比较，慕容凌娢觉得眼前的这个张公子更像个好人。因为她坚信，颜值高的人根本没必要干坏事，靠脸吃饭就行了。不管怎么说，先承认下来便是了。“既然如此，我也不便打扰，告辞了。”那人很识相的离开了。“多谢公子出手相救，小女子无以为报，来世必当做牛做马，青山不改，绿水长流，后会有期……”以防假戏真做，慕容凌娢拱手说了一大长串感谢的话，扭头就走。(从君行小剧场)慕容凌娢：“笄筱玦你给我出来，解释一下为什么始终都是这一个套路？”笄筱玦：“正所谓‘我走过最长的路，就是你的套路’不知道你说的这个套路是哪个套路呢？”慕容凌娢：“呃……”韩哲轩：“就是整天摊上事儿，然后被配角帮忙摆平的套路啊。”笄筱玦：“正所谓‘世上本没有套路，用的次数多了，便成了套路’……”慕容凌娢/韩哲轩：“说人话！”笄筱玦：“差不多的剧情，人物不一样，不算是重复啦～怎么会是套路呢？”慕容凌娢：“……”韩哲轩：“就当作历史的惊人相似度吧。”(古风一言)当青梅竹马各自为家，谁还记当年花前月下。第053章谈人生还是谈理想？“是……”要把两人放在一起比较，慕容凌娢觉得眼前的这个张公子更像个好人。因为她坚信，颜值高的人根本没必要干坏事，靠脸吃饭就行了。不管怎么说，先承认下来便是了。“既然如此，我也不便打扰，告辞了。”那人很识相的离开了。“多谢公子出手相救，小女子无以为报，来世必当做牛做马，青山不改，绿水长流，后会有期。”以防假戏

2019二卷数学圆锥曲线

2019二卷数学圆锥曲线
2019年高考数学二卷的圆锥曲线部分，是许多考生心中的痛点。

圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，它涉及的知识点广泛，对思维能力要求高，因此难度较大。

在2019年的高考数学二卷中，圆锥曲线部分更是成为了一个难点，许多考生在此部分失分严重。

圆锥曲线部分主要考察了椭圆的性质、标准方程以及直线与椭圆的位置关系等知识点。

其中，最让考生头疼的是计算问题。

由于涉及到的数学公式较多，计算过程繁琐，很多考生在解题过程中出现了错误，导致最终答案不准确。

为了更好地掌握圆锥曲线部分的知识点，考生需要在平时的学习中多加练习。

通过大量的练习，考生可以逐渐掌握解题技巧，提高计算能力和思维敏捷度。

此外，考生还需要注重基础知识的学习，掌握椭圆的基本性质和标准方程，以便在解题时能够灵活运用。

除了练习和基础知识的学习，考生还需要注意一些细节问题。

例如，在解题过程中要仔细审题，避免因为看错题目或理解错误而导致失分。

同时，考生还需要注意计算的准确性和速度，在考试时合理安排时间，避免因为时间不够而影响最终成绩。

总之，2019年高考数学二卷的圆锥曲线部分难度较大，需要考生在平时的学习中多加练习，注重基础知识的学习和细节问题的处理。

只有这样，考生才能够在考试中取得更好的成绩。

2019年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2双曲线2.2.1双曲线的定义与标准方程讲义含解析湘教版选修2_1

2．2.1 双曲线的定义与标准方程[读教材·填要点]1．双曲线的定义的点的轨迹叫|)2F 1F |小于(的定值0的绝对值为大于距离之差的2F ，1F 平面上到两个定点焦距．叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的2F ，1F 定点作双曲线．这两个2．双曲线的标准方程[小问题·大思维]1．双曲线的定义中，为什么要规定定值小于|F 1F 2|？若定值等于|F 1F 2|或等于0或大于|F 1F 2|，点的轨迹又是怎样的曲线？提示：(1)如果定义中定值改为等于|F 1F 2|，此时动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线(包括端点)．(2)如果定义中定值为0，此时动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线．(3)如果定义中定值改为大于|F 1F 2|，此时动点轨迹不存在．2．在双曲线的定义中，如果将“差的绝对值”改为“差”，那么点的轨迹还是双曲线吗？提示：不是．是双曲线的一支．3．若方程x2m －y2n＝1表示双曲线，m ，n 应满足什么条件？提示：若方程x2m －y2n＝1表示双曲线，则m ·n >0.在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三内角A ，B ，C 满足sin B －sin A ＝12sin C ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程，并指明表示什么曲线．[自主解答] 如图所示，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理得sin A ＝a2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .∵sin B －sin A ＝12sin C ，∴b －a ＝c2.从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝22＜|AB |.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支． ∵a ＝2，c ＝22， ∴b 2＝c 2－a 2＝6.∴顶点C 的轨迹方程为x22－y26＝1(x ＞2)．故C 点的轨迹为双曲线的右支且除去点(2，0)．解答此类问题要注意定义中的两个关键性条件：(1)差的绝对值是定值，(2)常数大于0小于两定点间的距离．同时具备这两个条件才是双曲线．1．已知F 1，F 2分别是双曲线x29－y216＝1的左、右焦点，若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32.试求△F 1PF 2的面积．解：因为P 是双曲线左支上的点，所以|PF 2|－|PF 1|＝6，两边平方得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100.在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝100－1002|PF1|·|PF2|＝0，所以∠F 1PF 2＝90°，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上；(2)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5且焦点在坐标轴上．[自主解答] (1)∵焦点在x 轴上，c ＝6， ∴设所求双曲线方程为x2λ－y26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1. ∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线方程是x25－y 2＝1.(2)设双曲线的标准方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，∵双曲线过P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－116，n ＝19.∴所求双曲线方程为y29－x216＝1.1．双曲线标准方程的两种求法(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a ，b ，c ，再写出双曲线的标准方程．(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程y2a2－x2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a ，b 均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可． 2．求双曲线标准方程的两个关注点(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)定量：“定量”是指确定a 2，b 2的具体数值，常根据条件列方程求解．2．求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)a ＝4，经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4103；(2)经过点(3,0)，(－6，－3)．解：(1)当焦点在x 轴上时，设所求标准方程为x216－y2b2＝1(b >0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝－1615×1609<0，不符合题意；当焦点在y 轴上时，设所求标准方程为y216－x2b2＝1(b >0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝9，∴所求双曲线的标准方程为y216－x29＝1.(2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋0＝1，36m ＋9n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝－13，∴所求双曲线的标准方程为x29－y23＝1.设P 为双曲线x 2－y212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．6 3B ．12C ．12 3D ．24[自主解答] 如图所示，∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，且|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝4. 又∵|F 1F 2|＝2c ＝213， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×6×4＝12.[答案] B在解决与焦点三角形有关的问题的时候，首先要注意定义条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用．其次是要利用余弦定理、勾股定理等知识进行运算．在运算过程中要注意整体思想的应用和一些变形技巧的应用．若本例中的|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2改为PF ―→1·PF ―→2＝0，求△PF 1F 2的面积．解：由题意PF ―→1·PF ―→2＝0，则PF 1⊥PF 2，∴△PF 1F 2为直角三角形． ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2，又∵||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，|F 1F 2|2＝4c 2＝4(a 2＋b 2)＝4(1＋12)＝52，∴4＋2|PF 1|·|PF 2|＝52，∴|PF 1|·|PF 2|＝24，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12.3．双曲线x29－y216＝1的两个焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，求点P 的坐标．解：由双曲线的方程知：a ＝3，b ＝4，c ＝5，不妨设点P 在第一象限，坐标为(x ，y )，F 1为左焦点，那么：⎩⎪⎨⎪⎧|PF1|－|PF2|＝6， ①|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100. ②由①得：(|PF 1|－|PF 2|)2＝36.所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝36.∴|PF 1||PF 2|＝32.在直角三角形PF 1F 2中，|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|·y ＝32，所以y ＝165，代入双曲线的方程得：x ＝3415，即点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫3415，165，再根据双曲线的对称性得点P 的坐标还可以是⎝⎛⎭⎪⎫－3415，165，⎝ ⎛⎭⎪⎫3415，－165，⎝⎛⎭⎪⎫－3415，－165.解题高手多解题条条大路通罗马，换一个思路试一试设双曲线与椭圆x227＋y236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的方程．[解] 法一：∵椭圆的焦点在y 轴上，由题意可设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意知c 2＝36－27＝9，c ＝3.又点A 的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有⎩⎪⎨⎪⎧42a2－15b2＝1，a2＋b2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝4，b2＝5.所以双曲线方程为y24－x25＝1.法二：将点A 的纵坐标代入椭圆方程得A (±15，4)，又两焦点分别为F 1(0,3)，F 2(0，－3)．所以2a ＝|15－＋＋－15－＋－|＝4，a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，所以双曲线方程为y24－x25＝1.法三：由题意设双曲线方程为x227－λ＋y236－λ＝1(27＜λ＜36)，将A (±15，4)代入得1527－λ＋1636－λ＝1.解得λ＝32或λ＝0(舍去)．∴所求双曲线的方程为y24－x25＝1.1．若双曲线E ：x29－y216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3解析：由双曲线的定义有||PF 1|－|PF 2||＝|3－|PF 2||＝2a ＝6，∴|PF 2|＝9或|PF 2|＝－3(舍去)．答案：B2．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0B.⎝⎛⎭⎪⎫52，0C.⎝⎛⎭⎪⎫62，0 D.()3，0解析：将双曲线方程化为标准方程为x 2－y212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12.∴c ＝a2＋b2＝62，故右焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0.答案：C3．平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( )A.x216－y29＝1(x ≤－4) B.x29－y216＝1(x ≤－3)C.x216－y29＝1(x ≥4) D.x29－y216＝1(x ≥3)解析：由题意，得c ＝5，a ＝3，∴b ＝4， ∴P 点的轨迹方程是x29－y216＝1(x ≥3)．答案：D4．若方程x21＋k －y21－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________．解析：由题意知，(1＋k )(1－k )>0，即－1<k <1.答案：(－1,1)5．若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0,3)，则实数k 的值为________．解析：由8kx 2－ky 2＝8，得x21k －y28k＝1.又∵焦点在y 轴上，∴a 2＝－8k ，b 2＝－1k.∵c ＝3，由c 2＝a 2＋b 2得9＝－8k －1k，∴k ＝－1.答案：－16．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a ＝5，c ＝7；(2)以椭圆x225＋y29＝1的长轴端点为焦点，且经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，94.解：(1)由题设知a ＝5，c ＝7，则b 2＝c 2－a 2＝24.由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程是x225－y224＝1 或y225－x224＝1.(2)因为椭圆x225＋y29＝1的长轴端点为A 1(－5,0)，A 2(5，0)，所以所求双曲线的焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．由双曲线的定义知，||PF 1|－|PF 2||＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ＋＋⎝ ⎛⎭⎪⎫94－02－－＋⎝ ⎛⎭⎪⎫94－02＝8，即2a ＝8，则a ＝4.又c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2＝9，故所求双曲线的标准方程为x216－y29＝1.一、选择题1．双曲线x2m2＋12－y24－m2＝1的焦距是( )A ．4B ．22C ．8D ．与m 有关解析：c 2＝m 2＋12＋4－m 2＝16，∴c ＝4,2c ＝8.答案：C2．已知方程x2m2＋n －y23m2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)解析：由题意得(m 2＋n )(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，即m 2＝1，所以－1<n <3.答案：A3．已知点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，动点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2.当点P 的纵坐标是12时，点P 到坐标原点的距离是( )A.62B.32C.3D ．2解析：因为动点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2为定值，又2<22，所以P 点的轨迹为双曲线的一支．因为2a ＝2，所以a ＝1.又因为c ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝1.所以P 点轨迹为x 2－y 2＝1的一支．当y ＝12时，x 2＝1＋y 2＝54，则P 点到原点的距离为|PO |＝x2＋y2＝54＋14＝62.答案：A4．已知双曲线C ：x29－y216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为C 右支上的一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 1的面积等于( )A ．24B ．36C ．48D ．96解析：依题意得|PF 2|＝|F 1F 2|＝10，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝6，|PF 1|＝16，因此△PF 1F 2的面积等于12×16×102－⎝ ⎛⎭⎪⎫1622＝48.答案：C 二、填空题5．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y2m －x29＝1的一个焦点，则m ＝________.解析：由点F (0,5)可知该双曲线y2m －x29＝1的焦点落在y 轴上，所以m >0，且m ＋9＝52，解得m ＝16. 答案：166．已知双曲线的两个焦点分别为F 1(－3,0)和F 2(3,0)，且P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，1在双曲线右支上，则该双曲线的方程是______________．解析：法一：利用双曲线定义．2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝1214＋1－ 14＋1＝552－52＝25，∴a ＝5，b 2＝c 2－a 2＝4. 故所求方程为x25－y24＝1.法二：待定系数法．设双曲线方程为x2a2－y29－a2＝1，则有254a2－19－a2＝1，∴4a 4－65a 2＋225＝0.∴a 2＝5或a 2＝454>9(舍去)．∴双曲线方程为x25－y24＝1.答案：x25－y24＝17．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x24－y212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.答案：48．已知F 是双曲线x24－y212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．解析：设右焦点为F 1，依题意，|PF |＝|PF 1|＋4，∴|PF |＋|PA |＝|PF 1|＋4＋|PA |＝|PF 1|＋|PA |＋4≥|AF 1|＋4＝5＋4＝9.答案：9三、解答题9．若方程x25－m ＋y2m2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，求实数m 的取值范围．解：∵方程x25－m ＋y2m2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，∴⎩⎪⎨⎪⎧5－m ＜0，m2－2m －3＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞5，m ＞3或m ＜－1.∴m ＞5.即m 的取值范围是(5，＋∞)．10．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判断△MF 1F 2的形状．解：(1)椭圆的方程可化为x29＋y24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝ 5.故可设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧9a2－4b2＝1，a2＋b2＝5.解得a 2＝3，b 2＝2.故双曲线的标准方程为x23－y22＝1.(2)不妨设M 在双曲线的右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2 3.又|MF1|＋|MF2|＝63，解得|MF1|＝43，|MF2|＝2 3.又|F1F2|＝2c＝25，因此在△MF1F2中，|MF1|边最长，由余弦定理可得cos∠MF2F1＝|MF2|2＋|F1F2|2－|MF1|2 2|MF2|·|F1F2|＝3＋5－32×23×25＝－215<0.所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2是钝角三角形．。

2019届高考数学二轮复习圆锥曲线定值定点问题和存在性问题(非韦达定理类)(带解析)

m2 y0 2 n 2 x0 2 y0 2 n 2
4
M , P 在圆 C： x 2 y 2 R2 上， n2 R2 m2 , y02 R2 x02 ，
则 xE xF
m2 ( R 2 x0 2 ) ( R 2 m2 ) x0 2 R 2 (m2 x0 2 ) R2 ( R 2 x0 2 ) ( R 2 m2 ) (m2 x0 2 )
x0 2 m2 2 2 ) b (1 ) x0 b 2 (m2 x0 2 ) a2 a2 a 2 （定值） 2 2 2 x b m (m2 x0 2 ) b 2 (1 02 ) b 2 (1 2 ) 2 a a a
…………. 12 分
xE xF 是与 MN 和点 P 位置无关的定值
当 2 a ﹥2 c 时，轨迹是椭圆，当 2 a =2 c 时，轨迹是一条线段 F1 F2 当 2 a ﹤2 c 时，轨迹不存在焦点在 x 轴上时：
的轨迹叫双曲线.即 MF1 MF2 2a 当 2 a ﹤2 c 时，轨迹是双曲线当 2 a =2 c 时，轨迹是两条射线当 2 a ﹥2 c 时，轨迹不存在
x2 y2 1 a2 b2
y2 x2 1 a2 b2
焦点在 x 轴上时：
x2 y2 1 a2 b2
y2 x2 1 a2 b2
标准方程
焦点在 y 轴上时：
焦点在哪一坐标轴上注：是根据项的正负来判断焦点所在的位置实轴长 2a，虚轴长 2b （实半轴 a ，虚半轴 b）
．
2.（静安一模理 12）已知椭圆 C :
x2 y2 1 的上、下焦点分别为 F1 、 F2 ，过椭圆 C 上一点 P(1, 2 ) 作倾斜角互 2 4

2019高考数学(文)精讲二轮第二讲圆锥曲线的方程与性质

第二讲圆锥曲线的方程与性质考点一圆锥曲线的定义与标准方程圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)；(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M . [对点训练]1．(2018·江西九江模拟)F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的左、右焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( )A ．7 B.74 C.72 D.752[解析] 由题意可得，a ＝3，b ＝7，c ＝2，|AF 1|＋|AF 2|＝6. ∴|AF 2|＝6－|AF 1|.在△AF 1F 2中，|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|·|F 1F 2|·cos45°＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8，∴(6－|AF 1|)2＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8，解得|AF 1|＝72，∴△AF 1F 2的面积S ＝12×72×22×22＝72，故选C.[答案] C2．(2018·河南新乡二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA →＝2AF →，且|BF →|＝4，则双曲线C 的方程为( )A.x 26－y 25＝1B.x 28－y 212＝1C.x 28－y 24＝1 D.x 24－y 26＝1 [解析] 不妨设B (0，b )，由BA →＝2AF →，F (c,0)，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2c 3，b 3，代入双曲线C 的方程可得49×c 2a 2－19＝1，即49·a 2＋b 2a 2＝109，∴b 2a 2＝32，①又|BF →|＝b 2＋c 2＝4，c 2＝a 2＋b 2， ∴a 2＋2b 2＝16，②由①②可得，a 2＝4，b 2＝6，∴双曲线C 的方程为x 24－y 26＝1，故选D. [答案] D3．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝6xB ．y 2＝8xC ．y 2＝16x D ．y 2＝152x[解析] 设M (x ，y )，因为|OF |＝p2，|MF |＝4|OF |，所以|MF |＝2p ，由抛物线定义知x ＋p2＝2p ，所以x ＝32p ，所以y ＝±3p ，又△MFO的面积为43，所以12×p2×3p＝43，解得p＝4(p＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y2＝8x，故选B.[答案] B4．(2018·安徽淮南三校联考)已知双曲线x24－y22＝1右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A(0，2)，则△APF周长的最小值为( ) A．4＋ 2 B．4(1＋2)C．2(2＋6) D.6＋3 2[解析] 由题意知F(6，0)，设左焦点为F0，则F0(－6，0)，由题可知△APF的周长l为|PA|＋|PF|＋|AF|，而|PF|＝2a＋|PF0|，∴l＝|PA|＋|PF0|＋2a＋|AF|≥|AF0|＋|AF|＋2a＝(0＋6)2＋(2－0)2＋(6－0)2＋(0－2)2＋2×2＝42＋4＝4(2＋1)，当且仅当A、F0、P三点共线时取得“＝”，故选B.[答案] B[快速审题] 看到求圆锥曲线方程，想到待定系数法、定义法；看到椭圆和双曲线上一点与两焦点构成的三角形，想到定义的应用．求解圆锥曲线标准方程的思路方法(1)定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程．(2)计算，即利用定义或待定系数法求出方程中的a2，b2或p.考点二圆锥曲线的几何性质1．在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝ca＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2. 2．在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2. 3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .[解析] (1)解法一：由题意知，e ＝ca ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，所以ba＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±bax ＝±2x ，故选A.解法二：由e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，得ba ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x ，故选A.(2)设|F 1F 2|＝2c ，|AF 1|＝m ，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，所以|AB |＝|AF 1|＝m ，|BF 1|＝2m .由椭圆的定义可知△F 1AB 的周长为4a ，所以4a ＝2m ＋2m ，m ＝2(2－2)a . 所以|AF 2|＝2a －m ＝(22－2)a .因为|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2，所以4(2－2)2a 2＋4(2－1)2a 2＝4c 2，所以e 2＝9－62，e ＝6－3，故选D. [答案] (1)A (2)D[探究追问1] 本例(2)中若椭圆改为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)过F 2的直线与双曲线交于A ，B 两点，其他条件不变，则双曲线离心率e 的值为________．[解析] 如图所示：因为|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 1|＝|AF 2|＋|BF 2|，所以|BF 2|＝2a ，|BF 1|＝4a .所以|AF 1|＝22a ，|AF 2|＝22a －2a . 因为|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2，所以(2c )2＝(22a )2＋(22a －2a )2，所以e 2＝5－22，e ＝5－2 2. [答案]5－2 2[探究追问2] 在本例(2)中若条件变为“在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)中，A 1，A 2是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点，若在线段BF 上存在点P ，使得△PA 1A 2构成以A 1A 2为斜边的直角三角形”，则双曲线离心率e 的取值范围是________．[解析] 由题意知以线段A 1A 2为直径的圆和线段BF 有公共点，则原点到直线BF 的距离小于或等于a ，又直线BF 的方程为x c ＋yb＝1，即bx ＋cy －bc ＝0，所以|－bc |b 2＋c2≤a ，整理得a 4－3a 2c 2＋c 4≤0，即e 4－3e 2＋1≤0，解得3－52≤e 2≤3＋52，又e >1，所以1<e ≤5＋12.[答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤1，5＋12应用圆锥曲线性质的2个要点(1)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式．建立关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．(2)求双曲线渐近线方程关键在于求b a 或ab的值，也可将双曲线等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到．[对点训练]1．(2018·临汾二模)若直线y ＝－3x 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C 的离心率为( )A.32B.3－12C.3－1 D ．4－2 3[解析] 设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，由题意可得|OF 2|＝|OA |＝|OB |＝|OF 1|＝c .由y ＝－3x 得∠AOF 2＝2π3，∠AOF 1＝π3，∴|AF 2|＝3c ，|AF 1|＝c .由椭圆的定义知，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，∴c ＋3c ＝2a ，∴e ＝ca＝3－1，故选C.[答案] C2．(2018·南昌调研)已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0[解析] 由题意，不妨设|PF 1|>|PF 2|，则根据双曲线的定义得， |PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a . 在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，而c >a ，所以|PF 2|<|F 1F 2|，所以∠PF 1F 2＝30°，所以(2a )2＝(2c )2＋(4a )2－2×2c ×4a cos30°，得c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x ，即2x ±y ＝0，故选A.[答案] A考点三抛物线中的最值问题抛物线中的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．[解题指导]⎦⎥⎤(1)|PQ |≥|PC |－1 |PF |＝d―→|PQ |＋d 的最值―→|PC |＋|PF |的最值―→利用三角形法则求解 (2)作图形―→|PF |转化为P 到准线的距离―→利用三角形法则求解[解析] (1)由题意得圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心C (0,4)，半径r ＝1，抛物线的焦点F (1,0)．由抛物线的几何性质可得：点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是|CF |－r ＝1＋16－1＝17－1，故选C.(2)过P 作PM ⊥l 于M ，则由抛物线定义知|PM |＝|PF |，故|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PM |. 当A 、P 、M 三点共线时，|PA |＋|PM |最小，此时点P 坐标为(2,2)，故选C.[答案] (1)C (2)C与抛物线最值有关问题的两种转化(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”解决．[对点训练]1．(2018·郑州检测)已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( )A.34B.32C ．1D ．2 [解析] 由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过点A 作AA 1⊥l 交l 于点A 1，过点B 作BB 1⊥l 交l 于点B 1，设弦AB 的中点为M ，过点M 作MM 1⊥l 交l 于点M 1，则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.因为|AB |≤|AF |＋|BF |(F 为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，所以|AA 1|＋|BB 1|≥6，2|MM 1|≥6，|MM 1|≥3，故点M 到x 轴的距离d ≥2，故选D.[答案] D2．已知点F 为抛物线y 2＝－8x 的焦点，O 为坐标原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且|AF |＝4，则|PA |＋|PO |的最小值为( )A ．6B ．2＋4 2C ．213D ．4 3[解析] 由已知可得抛物线y 2＝－8x 的焦点为F (－2,0)，准线方程为x ＝2.设点A 的坐标为(x 0，y 0)，根据抛物线的定义可得2－x 0＝4，所以x 0＝－2，y 0＝±4.O 关于准线的对称点为O ′(4,0)，则当点P 为AO ′与准线x ＝2的交点时，|PA |＋|PO |有最小值，且最小值为|AO ′|＝213，故选C.[答案] C1．(2018·浙江卷)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( )A ．(－2，0)，(2，0)B ．(－2,0)，(2,0)C ．(0，－2)，(0，2)D ．(0，－2)，(0,2)[解析] ∵a 2＝3，b 2＝1，∴c ＝a 2＋b 2＝2.又∵焦点在x 轴上，∴双曲线的焦点坐标为(－2,0)，(2,0)，故选B.[答案] B2．(2018·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1 D.x 29－y 23＝1 [解析] ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，∴e 2＝1＋b 2a 2＝4，∴b 2a2＝3，即b 2＝3a 2，∴c 2＝a 2＋b 2＝4a 2，由题意可设A (2a,3a )，B (2a ，－3a )，∵b 2a2＝3，∴渐近线方程为y ＝±3x ，则点A 与点B 到直线3x －y ＝0的距离分别为d 1＝|23a －3a |2＝23－32a ，d 2＝|23a ＋3a |2＝23＋32a ，又∵d 1＋d 2＝6，∴23－32a ＋23＋32a ＝6，解得a ＝3，∴b 2＝9，∴双曲线的方程为x 23－y 29＝1，故选C.[答案] C3．(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23B.12C.13D.14[解析] 由题意易知直线AP 的方程为y ＝36(x ＋a )，①直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．② 联立①②得y ＝35(a ＋c )，如图，过P 向x 轴引垂线，垂足为H ，则PH ＝35(a ＋c )．因为∠PF 2H ＝60°，PF 2＝F 1F 2＝2c ，PH ＝35(a ＋c )，所以sin60°＝PHPF 2＝35(a ＋c )2c ＝32，即a ＋c ＝5c ，即a ＝4c ，所以e ＝c a ＝14，故选D.[答案] D4．(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F (c,0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是________．[解析] 双曲线的一条渐近线方程为bx －ay ＝0，则F (c,0)到这条渐近线的距离为|bc |b 2＋(－a )2＝32c ，∴b ＝32c ，∴b 2＝34c 2，又b2＝c 2－a 2，∴c 2＝4a 2，∴e ＝ca＝2.[答案] 25．(2018·北京卷)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________．[解析]解法一：如图是一个正六边形，A ，B ，C ，D 是双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点，F 1，F 2为椭圆M 的两个焦点．∵直线AC 是双曲线N 的一条渐近线，且其方程为y ＝3x ，∴nm＝ 3.设m ＝k ，则n ＝3k ，则双曲线N 的离心率e 2＝k 2＋(3k )2k＝2. 连接F 1C ，在正六边形ABF 2CDF 1中，可得∠F 1CF 2＝90°，∠CF 1F 2＝30°.设椭圆的焦距为2c ，则|CF 2|＝c ，|CF 1|＝3c ，再由椭圆的定义得|CF 1|＋|CF 2|＝2a ，即(3＋1)c ＝2a ，∴椭圆M 的离心率e 1＝ca＝23＋1＝2(3－1)(3＋1)(3－1)＝3－1. 解法二：双曲线N 的离心率同解法一．由题意可得C 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c 2，32c ，代入椭圆M 的方程，并结合a ，b ，c 的关系，联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32c 2b 2＝1，a 2－b 2＝c 2，解得ca ＝3－1⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＝3＋1舍去.[答案]3－1 2圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以选择、填空题的形式考查，常出现在第4～11或15～16题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等．热点课题15 几何情境下的圆锥曲线问题[感悟体验]1．(2018·福建福州质检)已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，|F1F2|＝6，P是E右支上的一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的内切圆与边AF2的切点为Q.若|AQ|＝3，则E的离心率是( )A．2 3 B. 5 C. 3 D. 2[解析] 如图所示，设PF 1、PF 2分别与△PAF 2的内切圆切于M 、N ，依题意，有|MA |＝|AQ |，|NP |＝|MP |，|NF 2|＝|QF 2|，|AF 1|＝|AF 2|＝|QA |＋|QF 2|，2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝(|AF 1|＋|MA |＋|MP |)－(|NP |＋|NF 2|)＝2|QA |＝23，故a ＝3，从而e ＝c a ＝33＝3，故选C.[答案] C 2.(2018·贵阳监测)已知点P 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)左支上一点，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，且PF 1⊥PF 2，PF 2与两条渐近线相交于M 、N 两点(如图)，点N 恰好平分线段PF 2，则双曲线的离心率是________．[解析] 由题意可知，ON 为△PF 1F 2的中位线，∴PF 1∥ON ，∴tan ∠PF 1F 2＝tan ∠NOF 2＝k ON ＝ba，∴⎩⎪⎨⎪⎧|PF 2||PF 1|＝b a ，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝2a ，|PF 2|＝2b .又|PF 2|－|PF 1|＝2a ，∴2b －2a ＝2a ，b ＝2a ，c ＝a 2＋b 2＝5a ，e ＝ca＝ 5. [答案]5专题跟踪训练(二十五)一、选择题1．(2018·广西三市第一次联合调研)若抛物线y 2＝2px (p >0)上的点A (x 0，2)到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于( )A.12 B ．1 C.32D ．2 [解析] 由题意3x 0＝x 0＋p 2，x 0＝p 4，则p 22＝2，∵p >0，∴p ＝2，故选D.[答案] D2．(2018·深圳一模)过点(3,2)且与椭圆3x 2＋8y 2＝24有相同焦点的椭圆方程为( )A.x 25＋y 210＝1B.x 210＋y 215＝1C.x 215＋y 210＝1D.x 210＋y 25＝1 [解析] 椭圆3x 2＋8y 2＝24的焦点为(±5，0)，可得c ＝5，设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得9a 2＋4b2＝1，又a 2－b 2＝5，得b 2＝10，a 2＝15，所以所求的椭圆方程为x 215＋y 210＝1，故选C.[答案] C3．(2018·福州模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，且其离心率e ＝32，则该双曲线的方程为( )A.x 24－y 25＝1B.x 25－y 24＝1C.y 24－x 25＝1 D.y 25－x 24＝1 [解析] 易知抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，所以双曲线的右顶点是(2,0)，所以a ＝2.又双曲线的离心率e ＝32，所以c ＝3，b 2＝c 2－a 2＝5，所以双曲线的方程为x 24－y 25＝1，故选A.[答案] A4．(2018·合肥二模)若中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线离心率为3，则此双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±22xC ．y ＝±2xD ．y ＝±12x[解析] 根据题意，该双曲线的离心率为3，即e ＝ca＝3，则有c ＝3a ，进而b ＝c 2－a 2＝2a .又由该双曲线的焦点在y 轴上，则其渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x ，故选B.[答案] B5．(2018·郑州一模)已知双曲线y 24－x 2＝1的两条渐近线分别与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB的面积为1，则p 的值为( )A ．1 B. 2 C ．2 2 D ．4[解析] 双曲线y 24－x 2＝1的两条渐近线方程是y ＝±2x ，抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程是x ＝－p2，故A ，B 两点的纵坐标分别是y＝±p .又△AOB 的面积为1，∴12·p2·2p ＝1.∵p >0，∴得p ＝2，故选B.[答案] B6．(2018·东北三校联考)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线l 与E 的左支交于P ，Q 两点，若|PF 1|＝2|F 1Q |，且F 2Q ⊥PQ ，则E 的离心率是( )A.52B.72C.153D.173[解析] 设|F 1Q |＝t (t >0)，则|PF 1|＝2t ，由双曲线的定义有，|F 2Q |＝t ＋2a ，|PF 2|＝2t ＋2a ，又F 2Q ⊥PQ ，所以△F 1F 2Q ，△PQF 2都为直角三角形．由勾股定理有⎩⎪⎨⎪⎧|F 1Q |2＋|QF 2|2＝|F 1F 2|2，|PQ |2＋|QF 2|2＝|PF 2|2，即⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋(t ＋2a )2＝4c 2，(3t )2＋(t ＋2a )2＝(2t ＋2a )2，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2a 3，c ＝173a .故离心率e ＝c a ＝173，故选D. [答案] D7．(2018·长沙一模)A 是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，F 是抛物线的焦点，O 为坐标原点，当|AF |＝4时，∠OFA ＝120°，则抛物线的准线方程是( )A ．x ＝－1B ．y ＝－1C ．x ＝－2D ．y ＝－2[解析] 过A 向准线作垂线，设垂足为B ，准线与x 轴的交点为D .因为∠OFA ＝120°，所以△ABF 为等边三角形，∠DBF ＝30°，从而p ＝|DF |＝2，因此抛物线的准线方程为x ＝－1，故选A.[答案] A8．(2018·陕西西安三模)已知圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0与双曲线x2a2－y 2b 2＝1的渐近线相切，则双曲线的离心率为( ) A. 3 B ．2 3 C ．2 2 D.233[解析] 将圆的一般方程x 2＋y 2－4x ＋3＝0化为标准方程(x －2)2＋y 2＝1.由圆心(2,0)到直线bax －y ＝0的距离为1，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪2b a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1，解得⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝13，所以双曲线的离心率为e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝233，故选D.[答案] D9．(2018·宁夏银川一中二模)已知直线y ＝233x 和椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)交于不同的两点M ，N ，若M ，N 在x 轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率为( )A.22B.32C.33D.23[解析] 由题意可知，M ，N 在x 轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则M 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，则b 2a ＝233c ，则3b 2＝23ac ，即3c 2＋23ac －3a 2＝0.上式两边同除以a 2，整理得3e 2＋23e －3＝0，解得e ＝－3或e ＝33.由0<e <1，得e ＝33，故选C.[答案] C10．(2018·杭州第一次质检)设双曲线x 24－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交双曲线左支于A ，B 两点，则|BF 2|＋|AF 2|的最小值为( )A.192B ．11C ．12D ．16 [解析] 由双曲线定义可得|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝4，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝4，两式相加可得|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＋8，由于AB 为经过双曲线的左焦点与左支相交的弦，而|AB |min ＝2b 2a＝3，故|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＋8≥3＋8＝11，故选B.[答案] B11．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A.32 B ．3 C ．2 3 D ．4 [解析]由双曲线C ：x 23－y 2＝1可知其渐近线方程为y ＝±33x ，∴∠MOx＝30°，∴∠MON ＝60°，不妨设∠OMN ＝90°，则易知焦点F 到渐近线的距离为b ，即|MF |＝b ＝1，又知|OF |＝c ＝2，∴|OM |＝3，则在Rt △OMN 中，|MN |＝|OM |·tan∠MON ＝3，故选B.[答案] B12．(2018·济宁模拟)如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1PA 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，5＋14B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5＋14，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，5－12D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5－12，1 [解析] 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∠B 1PA 2为钝角可转化为B 2A 2→，F 2B 1→所夹的角为钝角，则(a ，－b )·(－c ，－b )<0，得b 2<ac ，即a 2－c 2<ac ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c a －1>0，即e 2＋e －1>0，e >5－12或e <－5－12，又0<e <1，∴5－12<e <1，故选D. [答案] D 二、填空题13．(2018·成都摸底测试)已知双曲线x 2a 2－y 22＝1(a >0)和抛物线y 2＝8x 有相同的焦点，则双曲线的离心率为________．[解析] 易知抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，所以双曲线x 2a 2－y22＝1的焦点为(2,0)，则a 2＋2＝22，即a ＝2，所以双曲线的离心率e＝c a ＝22＝ 2. [答案]214．(2018·湖北八校联考)如图所示，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－5,0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝6，则椭圆C 的方程为________．[解析] 由题意可得c ＝5，设右焦点为F ′，连接PF ′，由|OP |＝|OF |＝|OF ′|知，∠PFF ′＝∠FPO ，∠OF ′P ＝∠OPF ′，∴∠PFF ′＋∠OF ′P ＝∠FPO ＋∠OPF ′，∴∠FPO ＋∠OPF ′＝90°，即PF ⊥PF ′.在Rt △PFF ′中，由勾股定理，得|PF ′|＝|FF ′|2－|PF |2＝102－62＝8，由椭圆的定义，得|PF |＋|PF ′|＝2a ＝6＋8＝14，从而a ＝7，a 2＝49，于是b 2＝a 2－c 2＝49－52＝24，∴椭圆C 的方程为x 249＋y 224＝1.[答案]x 249＋y 224＝1 15．(2018·西安四校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线分别交双曲线的两条渐近线于P 、Q 两点，若P 恰为线段F 1Q 的中点，且QF 1⊥QF 2，则此双曲线的渐近线方程为____________．[解析] 根据题意，P 是线段F 1Q 的中点，QF 1⊥QF 2，且O 是线段F 1F 2的中点，故OP ⊥F 1Q ，而两条渐近线关于y 轴对称，故∠POF 1＝∠QOF 2，又∠POF 1＝∠POQ ，所以∠QOF 2＝60°，渐近线的斜率为±3，故渐近线方程为y ＝±3x .[答案] y ＝±3x 16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．[解析] 由已知条件易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝⎛⎭⎪⎪⎫32a ，b 2，F (c,0)，∴BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c ＋32a ，－b 2，CF →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫c －32a ，－b 2，由∠BFC ＝90°，可得BF →·CF →＝0，所以⎝⎛⎭⎪⎪⎫c －32a ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c ＋32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0，c 2－34a 2＋14b 2＝0，即4c 2－3a 2＋(a 2－c 2)＝0，亦即3c 2＝2a 2，所以c 2a 2＝23，则e ＝c a ＝63.[答案] 63。

(江苏专用)2021高考数学二轮复习第二篇第21练圆锥曲线的定义、方程与性质试题理

第21练圆锥曲线的定义、方程与性质[明晰考情] 1.命题角度：圆锥曲线的定义、方程与几何性质是高考考察的热点.2.题目难度：中等偏难.考点一圆锥曲线的定义及标准方程方法技巧 (1)应用圆锥曲线的定义解题时，一定不要无视定义中的隐含条件.(2)凡涉及椭圆或双曲线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到焦点距离，一般可以利用定义进展转化.(3)求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算〞.A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，那么椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是________. 答案 y 2－x 248＝1(y ≤－1)解析由两点间距离公式，可得AC ＝13，BC ＝15，AB ＝14，因为A ，B 都在椭圆上，所以AF ＋AC ＝BF ＋BC ，AF －BF ＝BC －AC ＝2<14，故F 的轨迹是以A ，Bc ＝7，a ＝1，得b 2＝48，所以F 的轨迹方程是y 2－x 248＝1(y ≤－1).x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，离心率为 2.假设经过F 和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，那么该双曲线的方程为________. 答案x 28－y 28＝1 解析由e ＝2知a ＝b ，且c ＝2a . ∴双曲线渐近线方程为y ＝±x .又k PF ＝4－00＋c ＝4c ＝1，∴c ＝4，那么a 2＝b 2＝c 22＝8.故双曲线方程为x 28－y 28＝1.y ＝116x 2，A ，B 是该抛物线上两点，且AB ＝24，那么线段AB 的中点P 离x 轴最近时点P 的纵坐标为________. 答案 8解析由题意得抛物线的标准方程为x 2＝16y ，焦点F (0,4)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AB ≤AF ＋BF ＝(y 1＋4)＋(y 2＋4)＝y 1＋y 2＋8， ∴y 1＋y 2≥16，那么线段AB 的中点P 的纵坐标y ＝y 1＋y 22≥8，∴线段AB 的中点P 离x 轴最近时点P 的纵坐标为8.4.(2021·如皋调研)椭圆C ：x 24＋y 23＝1的右顶点为A ，点M (2,4)，过椭圆C 上任意一点P 作直线MA 的垂线，垂足为H ，那么2PM ＋PH 的最小值为________. 答案 217－2解析在椭圆中，a ＝2，c ＝1，所以椭圆的右焦点为F (1，0)，右准线方程为x ＝4. 过点P 作右准线的垂线，设垂足为G ，那么PH ＝PG －2，由椭圆的第二定义得e ＝PF PG ＝12，所以PG ＝2PF .因此2PM ＋PH ＝2PM ＋2PF －2＝2(PM ＋PF )－2≥2MF －2＝217－2，当且仅当M ，P ，F 三点共线时等号成立，所以2PM ＋PH 的最小值为217－2. 考点二圆锥曲线的几何性质方法技巧 (1)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，就是确立一个关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式.(2)要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.5.(2021·全国Ⅱ改编)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，那么其渐近线方程为________. 答案 y ＝±2x解析双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为bx ±ay ＝0.又∵离心率c a ＝a 2＋b 2a＝3，∴a 2＋b 2＝3a 2，∴b ＝2a (a ＞0，b ＞0). ∴渐近线方程为2ax ±ay ＝0，即y ＝±2x .x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上存在点M ，使得右焦点F 关于直线OM (O 为双曲线的中心)的对称点在y 轴上，那么该双曲线的离心率的取值范围是______.答案 (2，＋∞)解析假设存在点M ，使得右焦点F 关于直线OM (O 为双曲线的中心)的对称点在y 轴上，那么只要这个双曲线上存在点M ，使得OM 的斜率的绝对值为1即可，所以只要渐近线的斜率的绝对值大于1，也就是离心率大于 2.7.(2021·全国Ⅲ改编)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，OF 2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P .假设PF 1＝6OP ，那么C 的离心率为________. 答案3解析如图，过点F 1向OP 的反向延长线作垂线，垂足为P ′，连结P ′F 2，由题意可知，四边形PF 1P ′F 2为平行四边形，且△PP ′F 2是直角三角形.因为F 2P ＝b ，F 2O ＝c ，所以OP ＝a . 又PF 1＝6a ＝F 2P ′，PP ′＝2a ，所以F 2P ＝2a ＝b ，所以c ＝a 2＋b 2＝3a ，所以e ＝c a＝ 3.xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B两点，假设AF ＋BF ＝4OF ，那么该双曲线的渐近线方程为________. 答案 y ＝±22x 解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，∵y 1,2＝2pb 2±4p 2b 4－4a 4b 22a 2，∴y 1＋y 2＝2pb 2a 2. 又∵AF ＋BF ＝4OF ，∴y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×p2，即y 1＋y 2＝p ，∴2pb2a 2＝p ，即b 2a 2＝12，∴b a ＝22，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 考点三圆锥曲线的综合问题方法技巧 (1)圆锥曲线范围、最值问题的常用方法定义性质转化法；目标函数法；条件不等式法.(2)圆锥曲线中的定值、定点问题可以利用特例法寻求突破，然后对一般情况进展证明. x 22＋m －y 2m ＋1＝1表示椭圆，那么实数m 的取值范围是________. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1 解析由x 22＋m －y 2m ＋1＝1转化成标准方程为x 22＋m ＋y 2－(m ＋1)＝1，假设焦点在x 轴上，那么2＋m ＞－(m ＋1)＞0，解得－32＜m ＜－1；假设焦点在y 轴上，那么－(m ＋1)＞2＋m ＞0，解得－2＜m ＜－32.综上可知，m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1. F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin∠MF 2F 1＝13，那么E 的离心率为________. 答案2解析如图，因为MF 1与x 轴垂直，所以MF 1＝b 2a.又sin∠MF 2F 1＝13，所以MF 1MF 2＝13，即MF 2＝3MF 1.由双曲线的定义得2a ＝MF 2－MF 1＝2MF 1＝2b2a，所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2，所以离心率e ＝c a＝ 2.y ＝ax 2 (a >0)的焦点F 作一条直线交抛物线于A ，B 两点，假设线段AF ，BF 的长分别为m ，n ，那么mnm ＋n＝________.答案14a解析显然直线AB 的斜率存在，故设直线方程为y ＝kx ＋14a ，与y ＝ax 2联立，消去y 得ax2－kx －14a＝0，设A (x 1，ax 21)，B (x 2，ax 22)，因为x 1,2＝k ±k 2＋12a，所以x 1＋x 2＝k a ，x 1x 2＝－14a2，x 21＋x 22＝k 2a 2＋12a 2，m ＝ax 21＋14a ，n ＝ax 22＋14a ，∴mn ＝14a ·k 2＋1a ，m ＋n ＝k 2＋1a ，∴mn m ＋n ＝14a .x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，且△F 1AB 的面积为2－32，点P 为椭圆上的任意一点，那么1PF 1＋1PF 2的取值范围为________.答案 [1，4]解析由得2b ＝2，故b ＝1， ∵△F 1AB 的面积为2－32，∴12(a －c )b ＝2－32， ∴a －c ＝2－3，又a 2－c 2＝(a －c )(a ＋c )＝b 2＝1， ∴a ＝2，c ＝3， ∴1PF 1＋1PF 2＝PF 1＋PF 2PF 1·PF 2＝4PF 1(4－PF 1)＝4－PF 21＋4PF 1，又2－3≤PF 1≤2＋3， ∴1≤－PF 21＋4PF 1≤4， ∴1≤1PF 1＋1PF 2≤4，即1PF 1＋1PF 2的取值范围为[]1，4.O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，那么OP →·FP →的取值范围为________. 答案 [3＋23，＋∞)解析由题意，得22＝a 2＋1，即a ＝3，设P (x ，y )，x ≥3，FP →＝(x ＋2，y )，那么OP →·FP →＝(x ＋2)x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342－74，因为x ≥3，所以OP →·FP →的取值范围为[3＋23，＋∞).2.假设椭圆的对称轴是坐标轴，且短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到同侧顶点的距离为3，那么椭圆的方程为________________. 答案x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1解析由题意，得⎩⎨⎧a ＝2c ，a －c ＝3，所以⎩⎨⎧a ＝23，c ＝ 3.所以b 2＝a 2－c 2＝9.所以当椭圆焦点在x 轴上时，椭圆的方程为x 212＋y 29＝1；当椭圆焦点在y 轴上时，椭圆的方程为x 29＋y 212＝1. 故椭圆的方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.A (1,2)，B (－1,2)，动点P 满足AP →⊥BP →.假设双曲线x 2a2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，那么双曲线离心率的取值范围是________. 答案 (1,2)解析设P (x ，y )，由题设条件，得动点P 的轨迹方程为(x －1)(x ＋1)＋(y －2)(y －2)＝0，即x 2＋(y －2)2＝1，它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆.又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax ，即bx ±ay ＝0，由题意，可得2aa 2＋b2>1，即2a c>1，所以e ＝ca<2，又e >1，故1<e <2.解题秘籍 (1)椭圆的焦点位置不明确时，要分焦点在x 轴上或y 轴上进展讨论.(2)范围问题要注意圆锥曲线上点的坐标的范围和几何意义，不要忽略离心率本身的限制条件.1. (2021·全国Ⅰ改编)椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2,0)，那么C 的离心率为________.答案22解析 ∵a 2＝4＋22＝8，∴a ＝22，∴e ＝c a ＝222＝22.x 2a 2＋y 25＝1(a ＞5)的焦点为F 1，F 2，且离心率e ＝23，假设点P 在椭圆上，PF 1＝4，那么PF 2的值为________. 答案 2解析椭圆x 2a 2＋y 25＝1(a ＞5)，椭圆的焦点在x 轴上，b ＝5，c ＝a 2－5，那么离心率e ＝c a ＝23，即a 2－5a 2＝49，解得a 2＝9，a ＝3， ∴椭圆的长轴长为2a ＝6，由椭圆的定义可知，PF 1＋PF 2＝4＋PF 2＝6， ∴PF 2＝2.F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，那么k ＝________.答案 2解析因为抛物线方程是y 2＝4x ，所以F (1,0). 又因为PF ⊥x 轴，所以P (1,2)，把P 点坐标代入曲线方程y ＝k x (k >0)，即k1＝2，所以k ＝2.y 2＝2px (p ＞0)的焦点作直线交抛物线于P ，Q 两点，假设线段PQ 中点的横坐标为3，PQ ＝10，那么抛物线的方程是________. 答案 y 2＝8x解析设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知，PQ ＝PF ＋QF ＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝(x 1＋x 2)＋p ，∵线段PQ 中点的横坐标为3，又PQ ＝10， ∴10＝6＋p ，可得p ＝4， ∴抛物线的方程为y 2＝8x .l 过点A (－1,0)且与⊙B ：x 2＋y 2－2x ＝0相切于点D ，以坐标轴为对称轴的双曲线E 过点D ，一条渐近线平行于l ，那么E 的方程为________. 答案 3y 22－x 22＝1解析直线l 的斜率存在，可设直线方程为y ＝k (x ＋1)，⊙B ：x 2＋y 2－2x ＝0的圆心为(1,0)，半径为1，由相切可得圆心到直线的距离d ＝|k ＋k －0|1＋k 2＝1，即k ＝±33，所以直线l 的方程为y ＝±33(x ＋1)，故渐近线方程为y ＝±33x ，联立直线l 和圆的方程，解得x ＝12，y ＝±32，即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，±32，设双曲线方程为y 2－13x 2＝m (m ≠0)，代入点D ，解得m ＝23，所以双曲线方程为3y 22－x22＝1.Γ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为l ，圆C ：(x －a )2＋y 2＝8与l 交于A ，B 两点，假设△ABC 是等腰直角三角形，且OB →＝5OA →(其中O 为坐标原点)，那么双曲线Γ的离心率为________. 答案133解析双曲线的渐近线方程为y ＝bax ，圆(x －a )2＋y 2＝8的圆心为(a,0)，半径r ＝22，由于∠ACB ＝π2，由勾股定理得AB ＝(22)2＋(22)2＝4，故OA ＝14AB ＝1.在△OAC ，△OBC 中，由余弦定理得cos∠BOC ＝a 2＋1－82a ＝52＋a 2－810a ，解得a 2y ＝b a x 的距离为2，得ab c＝2，结合c2＝a 2＋b 2，解得c ＝133，故离心率为c a ＝13313＝133.7.(2021·天津改编)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，BA ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，那么双曲线的方程为________. 答案x 23－y 29＝1 解析如图，不妨设A 在B 的上方，那么A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a .其中的一条渐近线为bx －ay ＝0，那么d 1＋d 2＝bc －b 2＋bc ＋b 2a 2＋b 2＝2bcc ＝2b ＝6，∴b ＝3.又由e ＝c a＝2，知a 2＋b 2＝4a 2，∴a ＝ 3. ∴双曲线的方程为x 23－y 29＝1.F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得PF 1＋PF 2＝3b ，PF 1·PF 2＝94ab ，那么该双曲线的离心率为________.答案 53解析不妨设P 为双曲线右支上一点，PF 1＝r 1，PF 2＝r 2.根据双曲线的定义，得r 1－r 2＝2a ，又r 1＋r 2＝3b ，故r 1＝3b ＋2a 2，r 2＝3b －2a2.又r 1·r 2＝94ab ，所以3b ＋2a 2·3b －2a 2＝94ab ，解得b a ＝43(负值舍去)，故e ＝c a＝a 2＋b 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋1＝53. F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，那么PM ＋PF 1的最大值为________.答案 15解析因为椭圆x 225＋y 216＝1中，a ＝5，b ＝4，所以c ＝3，得焦点为F 1(－3,0)，F 2(3,0).根据椭圆的定义，得PM ＋PF 1＝PM ＋(2a －PF 2)＝10＋(PM －PF 2).因为PM －PF 2≤MF 2，当且仅当P 在MF 2的延长线上时等号成立，此时PM ＋PF 1的最大值为10＋5＝15.F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .假设M 为FN 的中点，那么FN ＝________. 答案 6解析如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .由题意知，F (2,0)，FO ＝AO ＝2.∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ， ∴MP ＝12FO ＝1.又BP ＝AO ＝2， ∴MB ＝MP ＋BP ＝3.由抛物线的定义知MF ＝MB ＝3，故FN ＝2MF ＝6.y 2＝2px (p >0)上的一点M (1，t )(t >0)到焦点的距离为5，双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的左顶点为A ，假设双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，那么实数a 的值为________. 答案 3解析由题意知1＋p2＝5，∴p ＝8. ∴M (1,4)，由于双曲线的左顶点A (－a,0)，且直线AM 平行于一条双曲线的渐近线，∴41＋a ＝3a ，那么a ＝3. C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是椭圆上异于长轴端点的任意一点，假设M 是线段PF 1上一点，且满足MF 1＝2PM →，MF 2·OP →＝0，那么椭圆C 的离心率的取值范围为________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析设P (x ，y )(y ≠0)，取MF 1的中点N ，由MF 1＝2PM →知，NF 1＝12PN →，解得点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2c 3，y 3，又MF 2·OP →＝0，所以MF 2⊥OP →，连结ON ，由三角形的中位线可知ON →⊥OP →，即(x ，y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2c 3，y 3＝0，整理得(x －c )2＋y 2＝c 2(y ≠0)，所以点P 的轨迹为以(c,0)为圆心，c 为半径的圆(去除两点(0,0)，(2c,0))，要使得圆与椭圆有公共点，那么a －c ＜c ，所以e ＝c a ＞12，又0<e <1，所以椭圆的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.。

2019江苏高考中的圆锥曲线(解答题型)-PPT文档资料

2
x1＋x2 －3kt t 则 x0＝ 2 ＝，y ＝kx0＋t＝， 1＋3k2 0 1＋3k2
3kt t －， ∴H 1＋3k2 1＋3k2.
1 ∵|DP|＝|DQ|，∴DH⊥PQ，即 kDH＝－k . t ＋2 1＋3k2 1 2 ∴ ＝－，化简得 t ＝ 1 ＋ 3 k ，② k 3kt － 2－0 1＋3k 由①②得，1<t<4.综上，t∈(－2,4)．
[师生共研]
2 a ＝9 5， 5 c (1)由题设可知 5 c ＝3. a
所以 a＝3，c＝ 5. 又 b2＝a2－c2，所以 b2＝4. x2 y2 所以椭圆的标准方程为 9 ＋ 4 ＝1. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由得 P(x1＋x2，y1＋y2)．
2
(2)由题意知 D(0，－2)，设直线 l 的斜率为 k，当 k＝0 时，显然－2<t<2；当 k≠0 时，设直线 l：y＝kx＋t， y x ＋＝1，联立12 4 y＝kx＋t，消去 y 得(1＋3k2)x2＋6ktx＋3t2－12＝0，由 Δ>0 可得，t2<4＋12k2.① 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，PQ 的中点为 H(x0，y0)，
y＝kx－1， 2 由x y2 4 ＋ 3 ＝1，
消去 y 并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0， 8k2 则 x1＋x2＝ 2. 3＋4k 设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，线段 MN 的中点为 Q(x3， y3)， x1＋x2 －3 k 4k2 则 x3＝ 2 ＝，y ＝k(x3－1)＝ . 3＋4k2 3 3＋4k2 线段 MN 的垂直平分线的方程为

圆锥曲线的定义[上学期] 江苏教育出版社(PPT)3-3

抛物线——平面内与一定点F和一定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点。直线l 叫做抛物线的准线。
2、第二定义点M（x，y）到定点F的距离与它到定直线l的距离的比是常数e（e＞0）的点的轨迹，0<e<1时是椭圆; e=1 时是抛物线; e>1时是双曲线.e为离心率。
二氢钾倍溶液～次，或者，并喷洒地果壮蒂灵加大营养输送量，促进果实发育，提高花生的产量。在此期间，如遇干旱，要及时灌水 [] 。抗重茬方法、冬前深耕。太康风沙多且大，最好不在冬天深耕，但迫于倒不开茬口还要种植花生，就要进行冬前深耕在上冻前进行，深度厘米以上，随后耙地镇压，并使
土壤平整，防治；诺拓铝材诺拓铝材；水分散失 [8] 。、增施腐熟有机肥。腐熟有机肥在深耕前施入，每亩至少千克，最好 ~ 千克，方法是撒施，然后深耕。肥料以羊粪、鸡粪最好，其次是猪粪，再次是其他肥料 [8] 。、适当补充微量元素肥料。播种施用氮、磷、钾大量元素的同时，适当补充硼、铝、锰、铁、锌等微量元素 [8] 。、地膜栽培。地膜栽培可以促进土壤微生物的繁殖，对重茬花生有显著的增产效果 [8] 。、选用耐重茬品种、施用重茬肥。选用耐重茬品种、施用重茬肥可提高产量和品质，所以一定要选择国家审定的耐重茬品种，并严把质量关，再选择重茬肥 [8] 。、做好病虫草害防治工作。病虫草害是影响花生产量和品质的重要限制因子，所以要做好防治工作，作业质量要高，不可马虎 [8] 。整地施肥、整地。秋季前茬收割后，灭茬，秋翻、耙、压后做成新垄。准备地膜覆盖栽培的地块，做成底宽～8cm、畦高cm，畦面宽～cm的畦，畦与畦中间做成~cm宽，cm高的小垄，以备播种时取土用 [] 。、施肥基肥：根据地力、产量水平等进行配方施肥。一般m产千克荚果左右的花生田施有机肥~千克、纯氮~千克、五氧化二磷~8千克、氧化钾~千克 [] 。叶面喷肥：中后期喷磷酸二氢钾，浓度为.% [] 。中耕培土中耕与培土是密不可分的，中耕在一定条件上促进培土。其主要作用是：首先，疏松地表土，改善地表层的土质状况和通气状况，促进花生根瘤和根系的发育。其次，能缩短果针入土的距离。果针能及时入土，并形成适合果荚的发育的土层。除此之外，还能再次对杂草进行消除 [] 。科学浇水花生是相对耐旱的植物，一般在正常年份中不需要进行浇水管理，但是如果遇上极为干旱的天气，尤其是在花针期缺水，就要对花生进行科学并及时的灌溉。在开花下针期间，如果地表- 厘米处的土壤含水量低于土壤正常含水量的一半时，就要及时的对花生进行灌溉。在花生成熟期，此时对土壤的含水量要求较低，如果此时的土壤含水量大于土壤正常含水量的五分之二时，要及时对土壤进行排水，以免造成花生烂果或者是发芽，造成花生减产 [] 。病虫防治

2019数学选修2-1苏教版：第2章圆锥曲线与方程§2-1

§2.1圆锥曲线学习目标 1.了解当一个平面截一个圆锥面时，所截得的图形的各种情况.2.初步掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其几何特征.3.通过平面截圆锥面的实验和对有关天体运动轨道的了解，知道圆锥曲线在我们身边广泛存在．知识点一椭圆的定义观察图形，思考下列问题：思考1如图，把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点F1，F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？答案椭圆思考2图中移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？答案PF1＋PF2是常数(大于F1F2)．梳理平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．知识点二双曲线的定义观察图示，若固定拉链上一点F1或F2，拉开或闭拢拉链，拉链头M经过的点可画出一条曲线，思考下列问题：思考1图中动点M的几何性质是什么？答案|MF1－MF2|为一个正常数．思考2若MF1－MF2＝F1F2，则动点M的轨迹是什么？答案以F2为端点，向F2右边延伸的射线．梳理平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．知识点三抛物线的定义观察图形，思考下列问题：思考如图，定点C和定直线EF，用三角板画出到定点的距离等于到定直线的距离的动点D的轨迹．则动点D的轨迹是什么？其满足什么条件？答案抛物线，动点D到定点C和定直线EF距离相等，且C不在EF上．梳理平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．1．平面内到两定点的距离之和为常数的点的轨迹是椭圆．(×)2．平面内到两定点的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线．(×)3．抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等．(√)。

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