【步步高】2014届高考数学一轮复习 1.3.1 量词备考练习苏教版

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【步步高】2014届高考数学一轮复习 3.1.5 空间向量的数量积备考练习苏教版

3.1.5 空间向量的数量积一、基础过关1． “a·b <0”是〈a ，b 〉为钝角的______________条件．2．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝________.3．设A (3,3,1)、B (1,0,5)、C (0,1,0)，则AB 的中点M 到C 的距离CM 的值为________．4．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为________．5．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )，c ＝(1，－x,2)，若(a ＋b )⊥c ，则x ＝________.6．已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a 、b 为邻边的平行四边形的面积为________．7．与a ＝(2，－1,2)共线且满足a·z ＝－18的向量z ＝________.二、能力提升8．已知2a ＋b ＝(0，－5,10)，c ＝(1，－2，－2)，a·c ＝4，|b |＝12，则〈b ，c 〉＝________.9．向量(a ＋3b )⊥(7a －5b )，(a －4b )⊥(7a －2b )，则a 和b 的夹角是________．10．单位向量a ＝(x ，y,0)与向量c ＝(1,1,1)的夹角为π4，求x ＋y 与xy 的值． 11．如图所示，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD . 求证：C 1C ⊥BD .12．已知正四棱锥S —ABCD 的侧棱长为2，底面的边长为3，E 是SA 的中点，求〈BE →，SC →〉．三、探究与拓展13．如图所示，已知线段AB 在平面α内，线段AC ⊥α，线段BD ⊥AB ，线段DD ′⊥α于D ′，如果∠DBD ′＝30°，AB ＝a ，AC ＝BD ＝b ，求CD 的长．答案1．必要不充分 2．13 3．5324．60° 5．－4 6．65 7．(－4,2，－4) 8．120° 9．60°10．解 ∵a 与c 的夹角为π4. ∴cos π4＝a·c |a||c |＝x ，y ，0·1，1，13·x 2＋y 2＝22. 化简得x ＋y ＝62·x 2＋y 2.① 又|a |2＝x 2＋y 2＝1，②将②代入①，得x ＋y ＝62，从而(x ＋y )2＝32，∴xy ＝14. 11．证明设CD →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，依题意，|a |＝|b |，又设CD →，CB →，CC 1→中两两所成夹角为θ，于是BD →＝CD →－CB →＝a －b ，CC 1→·BD →＝c ·(a －b )＝c·a －c·b＝|c||a |cos θ－|c||b |cos θ＝0，所以C 1C ⊥BD . 12．解建立如图所示的空间直角坐标系．由于AB ＝3，SA ＝2，可以求得SO ＝22.则 B ⎝⎛⎭⎪⎫32，32，0， A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，0， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32，0，S ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，22. 由于E 为SA 的中点，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，－34，24，所以BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，－334，24，SC →＝⎝⎛⎭⎪⎫－32，32，－22，因为BE →·SC →＝－1，|BE →|＝2，|SC →|＝2，所以cos 〈BE →，SC →〉＝－12×2＝－12，所以〈BE →，SC →〉＝120°. 13．解由AC ⊥α，可知AC ⊥AB .由∠DBD ′＝30°，可知〈CA →，BD →〉＝60°，∵|CD →|2＝CD →·CD →＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2(CA →·AB →＋CA →·BD →＋AB →·BD →)＝b 2＋a 2＋b 2＋2(0＋b 2cos 60°＋0)＝a 2＋3b 2，∴|CD →|＝a 2＋3b 2，即CD ＝a 2＋3b 2.。

【苏教版】【步步高】2014届高考数学一轮复习备考练习3.1.1平均变化率

§3.1 导数的概念3．1.1 平均变化率一、基础过关1．如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率为________．2．过曲线y ＝2x 上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为________．3．函数y ＝1在[2,5]上的平均变化率是________．4．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为________．5．设函数y ＝f (x )＝x 2－1，当自变量x 由1变为1.1时，函数的平均变化率为________．6．过曲线y ＝f (x )＝x 2＋1上两点P (1,2)和Q (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线，当Δx ＝0.1时，割线的斜率k ＝________.二、能力提升7．甲、乙二人跑步路程与时间关系如右图所示，________跑得快．8．将半径为R 的球加热，若半径从R ＝1到R ＝m 时球的体积膨胀率为28π3，则m 的值为________． 9．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ，②y ＝x 2，③y ＝x 3，④y ＝1x中，平均变化率最大的是________．10．求函数y ＝sin x 在0到π6之间和π3到π2之间的平均变化率，并比较它们的大小． 11．一正方形铁板在0℃时，边长为10 cm ，加热后膨胀．当温度为t ℃时，边长变为10(1＋at ) cm ，a 为常数，试求铁板面积对温度的膨胀率．12．已知气球的体积为V (单位：L)与半径r (单位：dm)之间的函数关系是V (r )＝43πr 3. (1)求半径r 关于体积V 的函数r (V )；(2)比较体积V 从0 L 增加到1 L 和从1 L 增加到2 L 半径r 的平均变化率；哪段半径变化较快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？三、探究与拓展13．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？答案1．－12．13．04．4.15．2.16．2.17．乙8．29．③10．解在0到π6之间的平均变化率为sin π6－sin 0π6－0＝3π；在π3到π2之间的平均变化率为sin π2－sin π3π2－π3＝3(2－3)π. ∵2－3<1，∴3π>3(2－3)π. ∴函数y ＝sin x 在0到π6之间的平均变化率为3π，在π3到π2之间的平均变化率为3(2－3)π，且在0到π6之间的平均变化率较大． 11．解设温度的增量为Δt ，则铁板面积S 的增量为ΔS ＝102[1＋a (t ＋Δt )]2－102(1＋at )2＝200(a ＋a 2t )Δt ＋100a 2(Δt )2，因此ΔS Δt＝200(a ＋a 2t )＋100a 2Δt . 所以铁板面积对温度的膨胀率为200(a ＋a 2t )＋100a 2Δt . 12．解 (1)∵V ＝43πr 3， ∴r 3＝3V 4π，r ＝33V 4π， ∴r (V )＝33V 4π. (2)函数r (V )在区间[0,1]上的平均变化率约为r (1)－r (0)1－0＝33×14π－01≈0.62(dm/L)，函数r (V )在区间[1,2]上的平均变化率约为r (2)－r (1)2－1＝33×24π－33×14π≈0.16(dm/L)．显然体积V 从0 L 增加到1 L 时，半径变化快，这说明随着气球体积的增加，气球的半径增加得越来越慢．13．解山路从A 到B 高度的平均变化率为h AB ＝Δy Δx ＝10－050－0＝15，山路从B 到C 高度的平均变化率为h BC ＝Δy Δx ＝15－1070－50＝14， ∴h BC >h AB ，∴山路从B 到C 比从A 到B 陡峭．。

【苏教版】【步步高】2014届高考数学一轮复习备考练习章末检测(一)

章末检测一、填空题1．下列推理错误的是________．①A ∈l ，A ∈α，B ∈l ，B ∈α⇒l ⊂α②A ∈α，A ∈β，B ∈α，B ∈β⇒α∩β＝AB③l ⊄α，A ∈l ⇒A ∉α④A ∈l ，l ⊂α⇒A ∈α2．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，异面直线AB ，A 1D 1所成的角等于________．3．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是________．4．一个水平放置的圆柱形储油桶(如图所示)，桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的14，则油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是 ________．5．下列命题正确的是________．①若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行；②若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行；③若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行；④若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行．6．在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果EF ，GH 交于一点P ，则下列结论正确的是________．①P 一定在直线BD 上；②P 一定在直线AC 上；③P 一定在直线AC 或BD 上；④P 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上．7．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为________．8．下列四个命题：①若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α；②若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b ；③若a ∥α，则a 平行于α内所有的直线；④若a ∥α，a ∥b ，b ⊄α，则b ∥α.其中正确命题的序号是________．9．如图所示，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．10．如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角大小是______．11．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为________．12．设平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________.13．如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D 所成角的正弦值为________．13题图14题图14．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若P A⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________．二、解答题15．如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝22，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．16．如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)EF∥面ACD；(2)面EFC⊥面BCD.17．ABCD与ABEF是两个全等的正方形，AM＝FN，其中M∈AC，N∈BF.求证：MN∥平面BCE.18．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，AD＝22，P A＝2.求：(1)三角形PCD的面积；(2)异面直线BC与AE所成的角的大小．19．如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．(1)求证：P A∥面BDE；(2)求证：平面P AC⊥平面BDE；(3)若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．20．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，P A⊥底面ABCD，AC＝22，P A＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.(1)证明：PC⊥平面BED；(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．答案1．③2．90°3．24π4．14－12π5．③6．②7．43π8．④9．B 1D 1⊥A 1C 1(答案不唯一)10．90° 11.2612．9 13.10514．a >615．解 S 表面＝S 圆台底面＋S 圆台侧面＋S 圆锥侧面＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×2 2 ＝(42＋60)π.V ＝V 圆台－V 圆锥＝13π(r 21＋r 1r 2＋r 22)h －13πr 21h ′＝13π(25＋10＋4)×4－13π×4×2＝1483π. 16．证明 (1)∵E ，F 分别是AB ，BD 的中点，∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥AD ，∵EF ⊄面ACD ，AD ⊂面ACD ，∴EF ∥面ACD .(2)∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴EF ⊥BD .∵CB ＝CD ，F 是BD 的中点，∴CF ⊥BD .又EF ∩CF ＝F ，∴BD ⊥面EFC .∵BD ⊂面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD .17．证明方法一如图所示，连结AN ，延长交BE 的延长线于P ，连结CP .∵BE ∥AF ，∴FN NB ＝AN NP，由AC ＝BF ，AM ＝FN 得MC ＝NB .∴FN NB ＝AM MC .∴AM MC ＝AN NP， ∴MN ∥PC ，又PC ⊂平面BCE .∴MN ∥平面BCE .方法二如图，作MG ⊥AB 于G ，连结GN ，转证面MNG ∥面CEB . ∵MG ∥BC ，只需证GN ∥BE .∵MG ∥BC ，∴AM AG ＝MC GB. 又AM ＝FN ，AC ＝BF ，∴AM AG ＝FN AG ＝NB GB.∴GN ∥AF ∥BE . ∴面MNG ∥面BCE .又MN ⊂面MNG ，∴MN ∥面BCE .18．解 (1)因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥CD .又AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面P AD ，从而CD ⊥PD .因为PD ＝22＋(22)2＝23，CD ＝2，所以三角形PCD 的面积为12×2×23＝2 3.(2)如图，取PB 中点F ，连结EF 、AF ，则EF ∥BC ，从而∠AEF (或其补角)是异面直线BC 与AE 所成的角．在△AEF 中，由EF ＝2，AF ＝2，连结AC ，因为PC ＝4，在Rt △P AC中，AE ＝12PC ＝2，所以EF 2＋AF 2＝AE 2，所以△AEF 是等腰直角三角形，所以∠AEF ＝45°.因此，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是45°.19．(1)证明连结OE ，如图所示．∵O 、E 分别为AC 、PC 的中点，∴OE ∥P A.∵OE ⊂面BDE ，P A ⊄面BDE ，∴P A ∥面BDE .(2)证明 ∵PO ⊥面ABCD ，∴PO ⊥BD .在正方形ABCD 中，BD ⊥AC ，又∵PO ∩AC ＝O ，∴BD ⊥面P AC .又∵BD ⊂面BDE ，∴面P AC ⊥面BDE .(3)解取OC 中点F ，连结EF .∵E 为PC 中点，∴EF 为△POC 的中位线，∴EF ∥PO .又∵PO ⊥面ABCD ，∴EF ⊥面ABCD .∵OF ⊥BD ，∴OE ⊥BD .∴∠EOF 为二面角E －BD －C 的平面角，∴∠EOF ＝30°.在Rt △OEF 中，OF ＝12OC ＝14AC ＝24a ，∴EF ＝OF ·tan 30°＝612a ， ∴OP ＝2EF ＝66a . ∴V P －ABCD ＝13×a 2×66a ＝618a 3. 20．(1)证明因为底面ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC .又P A ⊥底面ABCD ，所以PC ⊥BD .如图，设AC ∩BD ＝F ，连结EF .因为AC ＝22，P A ＝2，PE ＝2EC ，故PC ＝23，EC ＝233，FC ＝2，从而PC FC ＝6，AC EC ＝ 6. 因为PC FC ＝AC EC，∠FCE ＝∠PCA ，所以△FCE ∽△PCA ，∠FEC ＝∠P AC ＝90°.由此知PC ⊥EF .因为PC 与平面BED 内两条相交直线BD ，EF 都垂直，所以PC ⊥平面BED .(2)解在平面P AB 内过点A 作AG ⊥PB ，G 为垂足．因为二面角A －PB －C 为90°，所以平面P AB ⊥平面PBC .又平面P AB ∩平面PBC ＝PB ，故AG ⊥平面PBC ，AG ⊥BC .因为BC 与平面P AB 内两条相交直线P A ，AG 都垂直，故BC ⊥平面P AB ，于是BC ⊥AB ，所以底面ABCD 为正方形，AD ＝2，PD ＝P A 2＋AD 2＝2 2.设D 到平面PBC 的距离为d .因为AD ∥BC ，且AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，故AD ∥平面PBC ，A 、D 两点到平面PBC 的距离相等，即d ＝AG ＝ 2. 设PD 与平面PBC 所成的角为α，则sin α＝d PD ＝12. 所以PD 与平面PBC 所成的角为30°.。

【苏教版】【步步高】2014届高考数学一轮复习备考练习第一章章末检测.DOC

章末检测一、填空题1．将两个数a＝8，b＝17交换，使a＝17，b＝8，下面语句正确的一组是________．(填序号)2．下列流程图中，语句1将被执行的次数为______．3．下列流程图中，若输入的R＝8，则输出的a＝________.3题图4题图4．阅读如图所示的流程图，运行相应的程序，输出的结果是________．5．给出伪代码如图所示，若该程序执行的结果是3，则输入的x值是________．Read xIf x≥0Theny←xElsey←－xEnd IfPrint y6．阅读下面的流程图，则输出的S为________．7．下面伪代码的输出结果为________．S←1For I From 1 To 9 Step 2S←S＋IEnd ForPrint S8．两个整数1 908和4 187的最大公约数是______．9．执行下面的伪代码时，While循环语句的执行次数是________．N←0While N<20N←N＋1N←N×NEnd WhilePrint N10．下面的流程图的输出结果为________．11．当x＝5，y＝－20时，下面伪代码运行后输出的结果为______．Read x，yIf x<0 Thenx＝y－3Elsey＝y＋3End IfPrint x－y，y－x12．给出一个伪代码：Read xIf x≤0 Thenf(x)←4xElsef(x)←2xEnd IfPrint f(x)根据以上算法，可求得f(－1)＋f(2)＝________.13．下列算法的功能是____________．S←1i←1While S≤2 013i←i＋2S←S×iEnd WhilePrint i14．执行如图所示的流程图，若输入n的值为8，则输出s的值为________．二、解答题15．用辗转相除法求282与470的最大公约数．16．画出计算12＋32＋52＋…＋9992的流程图．17．依次将十个数输入，要求将其中最大的数打印出来．试用伪代码表示问题的算法．18．设计一个算法，将n个数a1，a2，…，a n中的最小数找出来，并用伪代码表示这个算法．19．某中学高中三年级男子体育训练小组2012年5月测试的50米短跑的成绩(单位：s)如下：6.4,6.5,7.0,6.8,7.1，7.3，6.9,7.4,7.5，设计一个算法，从这些成绩中搜索出小于6.8 s 的成绩，并画出流程图．20．已知函数f(x)＝x2－5，画出求方程f(x)＝0在[2,3]上的近似解(精确到0.001)的流程图．答案1．② 2.34 3.4 4．4 5．3或－3 6．30 7．26 8．53 9．3 10．20 11．22，－22 12．0 13．求满足1×3×5×…×n>2 013的最小正整数14．8 15．解辗转相除法：470＝1×282＋188，282＝1×188＋94，188＝2×94，∴282与470的最大公约数为94.16．解流程图如下图17．解用伪代码设计算法如下：`Read Xmax←X,For I From 2 To 10Read XIf X>max Thenmax←XEnd IfEnd forPrint max18．解算法如下：S1x←a1，I←2；S2如果2≤I≤n，那么转S3；否则转S6；S3 输入a I ；S4 如果a I <x ，那么x ←a I ；S5 I ←I ＋1，转S2；S6 输出x . 伪代码为：x ←a 1For I From 2 To nRead a IIf a I <x Thenx ←a IEnd IfEnd ForPrint x19．解算法步骤如下：第一步：i ＝1；第二步：输入一个数据a ；第三步：如果a <6.8，则输出a ，否则，执行第四步；第四步：i ＝i ＋1；第五步：如果i >9，则结束算法，否则执行第二步．流程图如图：20．解本题可用二分法来解决，设x 1＝2，x 2＝3，m ＝x 1＋x 22.步骤如下：S1x1←2，x2←3；S2m←(x1＋x2)/2；S3计算f(m)，如果f(m)＝0，则输出m；如果f(m)>0，则x2←m，否则x1←m；S4若|x2－x1|<0.001，输出m，否则转S2.流程图如图所示：。

【苏教版】【步步高】2014届高考数学一轮复习备考练习第1章1.1正弦定理(一)

第1章解三角形§1.1 正弦定理(一)一、基础过关1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是________．①a sin A ＝b sin B; ②b sin C ＝c sin A ；③ab sin C ＝bc sin B; ④a sin C ＝c sin A .2．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为________三角形．3．在△ABC 中，已知a ∶b ∶c ＝3∶4∶5，则2sin A －sin B sin C＝________. 4．在△ABC 中，若3a ＝2b sin A ，则B ＝________.5．在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π4，sin A ＝13，则a ＝________. 6．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________. 7．已知在△ABC 中，c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a 、b 和B .8．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，求证：a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝2ab sin C .二、能力提升9．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是________． 10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C ＝________.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．12．在△ABC 中，已知a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，求A 的值．三、探究与拓展13．已知△ABC 的外接圆半径为R ，C ＝60°，求a ＋b R的取值范围．答案1．④ 2.直角 3.25 4.π3或23π 5.523 6.1027．解 ∵a sin A ＝c sin C， ∴a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°＝10 2. B ＝180°－(A ＋C )＝180°－(45°＋30°)＝105°.又∵b sin B ＝c sin C， ∴b ＝c sin B sin C ＝10×sin 105°sin 30°＝20sin 75° ＝20×6＋24＝5(6＋2)．8．证明因为左边＝4R 2sin 2 A ·sin 2B ＋4R 2sin 2 B ·sin 2A ＝8R 2sin 2 A sin B cos B ＋8R 2sin 2 B ·sin A cos A＝8R 2sin A sin B (sin A cos B ＋cos A sin B )＝8R 2sin A sin B sin(A ＋B )＝8R 2sin A ·sin B sin C ＝2·(2R sin A )·(2R sin B )·sin C＝2ab sin C ＝右边，∴等式成立．9.⎝⎛⎦⎤0，403 10.120° 11.π612．解 ∵b ＝2a ，∴sin B ＝2sin A ，又∵B ＝A ＋60°，∴sin(A ＋60°)＝2sin A ，即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A ，化简得：sin A ＝33cos A ， ∴tan A ＝33，∴A ＝30°. 13．解 a ＋b R＝2⎝⎛⎭⎫a 2R ＋b 2R ＝2(sin A ＋sin B )＝2(sin A ＋sin(120°－A ))＝2(sin A ＋sin 120°cos A －cos 120°sin A )＝2⎝⎛⎭⎫32sin A ＋32cos A ＝23⎝⎛⎭⎫32sin A ＋12cos A ＝23sin(A ＋30°)．∵A ＋B ＝120°，∴0°＜A ＜120°.∴30°＜A ＋30°＜150°，∴12＜sin(A ＋30°)≤1， ∴3＜a ＋b R≤2 3.。

【步步高】2014届高考数学一轮复习第2章章末检测备考练习苏教版

章末检测一、填空题1．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝________. 2．等比数列{a n }中，a 2，a 6是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，则a 4＝________. 3．若{a n }是等比数列，其公比是q ，且－a 5，a 4，a 6成等差数列，则q ＝________.4．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c 的值为5.“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程都增加2 km ，在达到离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是________秒．6．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10S 5＝12，则S 15S 5＝________.7．已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n＝________.8．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是________． 9．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n a n －1a n －1－a n ＝a n a n ＋1a n －a n ＋1，则此数列的第10项a 10＝________.10．已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1n ，则S 17＋S 33＋S 50＝________.11．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝________.12．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝________.13．已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则56是数列中的第________项．14．等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项的积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 99a 100－1>0，a 99－1a 100－1<0.给出下列结论：①0<q <1；②a 99a 101－1<0；③T 100的值是T n 中最大的；④使T n >1成立的最大自然数n 等于198.其中正确的结论是________．(填写所有正确的序号) 二、解答题15．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等比数列．16．已知数列{log 2(a n －1)} (n ∈N *)为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n<1.17．等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和．18．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n.(1)设b n ＝a n2n －1.证明：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .19．已知正项数列{b n }的前n 项和B n ＝14(b n ＋1)2，求{b n }的通项公式．20．甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a 万元，由于经营方式不同，甲超市前n 年的总销售额为a2(n 2－n ＋2)万元，乙超市第n 年的销售额比前一年销售额多a ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1万元． (1)求甲、乙两超市第n 年销售额的表达式；(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？答案1．88 2.8 3.－1或2 4.1 5．15 6.34 7.2n8.20 9.15 10.1 11．－7 12.313．50 14．①②④15．(1)解设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d ，依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，有(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)．故{b n }的第3项为5，公比为2.由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54·2n －1＝5·2n －3.(2)证明数列{b n }的前n 项和S n ＝541－2n 1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2.所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2. 因此⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是以52为首项，2为公比的等比数列．16．(1)解设等差数列{log 2(a n －1)}的公差为d .由a 1＝3，a 3＝9，得log 2(9－1)＝log 2(3－1)＋2d ，则d ＝1.所以log 2(a n －1)＝1＋(n －1)×1＝n ，即a n ＝2n＋1. (2)证明因为1a n ＋1－a n ＝12n ＋1－2n＝12n ，所以1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＝121＋122＋123＋…＋12n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝1－12n <1.17．解 (1)设数列{a n }的公比为q .由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24，所以q 2＝19.由条件可知q >0，故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1，得2a 1＋3a 1q ＝1，所以a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n＝－(1＋2＋…＋n )＝－n n ＋12.故1b n ＝－2n n ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 1b 1＋1b 2＋…＋1b n＝－2[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1]＝－2n n ＋1. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为－2nn ＋1.18．(1)证明由已知a n ＋1＝2a n ＋2n，得b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n＝a n2n －1＋1＝b n ＋1. ∴b n ＋1－b n ＝1，又b 1＝a 1＝1.∴{b n }是首项为1，公差为1的等差数列． (2)解由(1)知，b n ＝n ，a n2n －1＝b n ＝n .∴a n ＝n ·2n －1.∴S n ＝1＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1两边乘以2得：2S n ＝1·21＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n，两式相减得：－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝2n －1－n ·2n ＝(1－n )2n－1， ∴S n ＝(n －1)·2n＋1. 19．解当n ＝1时，B 1＝b 1，∴b 1＝14(b 1＋1)2，解得b 1＝1.当n ≥2时，b n ＝B n －B n －1 ＝14(b n ＋1)2－14(b n －1＋1)2 ＝14(b 2n －b 2n －1＋2b n －2b n －1)，整理得b 2n －b 2n －1－2b n －2b n －1＝0， ∴(b n ＋b n －1)(b n －b n －1－2)＝0. ∵b n ＋b n －1>0，∴b n －b n －1－2＝0.∴{b n }为首项b 1＝1，公差d ＝2的等差数列． ∴b n ＝2(n －1)＋1＝2n －1，即{b n }的通项b n ＝2n －1. 20．解 (1)设甲、乙两超市第n 年的销售额分别为a n ，b n .则有a 1＝a ，当n ≥2时，a n ＝a 2(n 2－n ＋2)－a2[(n －1)2－(n －1)＋2]＝(n －1)a .∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， n ＝1，n －1a ， n ≥2.b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋…＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1a (n ∈N *)． (2)易知b n <3a ，所以乙将被甲超市收购，由b n <12a n 得：⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1a <12(n －1)a . ∴n ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1>7，∴n ≥7.即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．。

【步步高】2014届高考数学一轮复习习题课正弦定理与余弦定理备考练习苏教版

习题课正弦定理与余弦定理一、基础过关1．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝44°，则此三角形解的情况为________．2．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，sin C ＝________. 3．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a ＝________.4．若△ABC 的内角A 、B 、C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝________.5．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．6．已知△ABC 的面积为23，BC ＝5，A ＝60°，则△ABC 的周长是________．7．在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝sin A －B sin C. 8．在△ABC 中,a ,b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．二、能力提升9．在△ABC 中，若a 2＝bc ，则角A 是________．(从“锐角”、“直角”、“钝角”中选择)10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．11．在△ABC 中，已知a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2)，则角C ＝________.12．已知△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知m ＝(sin C ，sin B cos A )，n ＝(b,2c )，且m ·n ＝0.(1)求A 的大小；(2)若a ＝23，c ＝2，求△ABC 的面积S 的大小．三、探究与拓展 13．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若b a ＋a b ＝6cos C ，求tan C tan A ＋tan C tan B的值．答案1．两解 2.23913 3. 2 4.11165. 3 6．12 7．证明右边＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin A sin C ·cos B －sin B sin C ·cos A ＝a c ·a 2＋c 2－b 22ac －b c ·b 2＋c 2－a 22bc＝a 2＋c 2－b 22c 2－b 2＋c 2－a 22c 2＝a 2－b 2c2 ＝左边．所以a 2－b 2c 2＝sin A －Bsin C .8．解 (1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .①由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以cos A ＝－12，故A ＝120°.(2)由①得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，又sin B ＋sin C ＝1，故sin B ＝sin C ＝12.因为0°＜B ＜90°，0°＜C ＜90°，故B ＝C .所以△ABC 是等腰钝角三角形．9．锐角 10.π6 11.45°或135°12．解 (1)∵m ·n ＝0，∴(sin C ，sin B cos A )·(b,2c )＝0.∴b sin C ＋2c sin B cos A ＝0.∵b sin B ＝csin C ，∴bc ＋2bc cos A ＝0.∵b ≠0，c ≠0，∴1＋2cos A ＝0.∴cos A ＝－12.∵0＜A ＜π，∴A ＝2π3.(2)在△ABC 中，∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴12＝b 2＋4－4b cos 2π3.∴b 2＋2b －8＝0.∴b ＝－4(舍)或b ＝2.∴△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×2×32＝ 3.13．解由b a ＋ab ＝6cos C 得b 2＋a 2＝6ab cos C .化简整理得2(a 2＋b 2)＝3c 2，将tan C tan A ＋tan Ctan B 切化弦，得sin C cos C ·(cos A sin A ＋cos Bsin B )＝sin C cos C ·sin A ＋Bsin A sin B＝sin C cos C ·sin Csin A sin B＝sin 2Ccos C sin A sin B .根据正、余弦定理得sin 2C cos C sin A sin B＝c 2ab ·a 2＋b 2－c 22ab ＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝2c 232c 2－c 2＝4. 故tan C tan A ＋tan C tan B ＝4.。

高考数学一轮复习 1.3.1 量词备考练习苏教版

高考数学一轮复习 1.3.1 量词备考练习苏教版1．3.1 量词一、基础过关1．下列命题：①中国公民都有受教育的权利；②每一个中学生都要接受爱国主义教育；③有人既能写小说，也能搞发明创造；④任何一个数除0，都等于0.其中全称命题的个数是________．2．下列命题中，真命题的序号为________．①∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx (x∈R)是偶函数；②∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx (x∈R)是奇函数；③∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx (x∈R)都是偶函数；④∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx (x∈R)都是奇函数．3．给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，x>0；④对于任意实数x,2x＋1是奇数．其中存在性命题为________(填序号)．4．下列全称命题中真命题的个数为________．①负数没有对数；②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；③二次函数f(x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点；④∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.5．下列命题中，既是真命题又是存在性命题的是________(填序号)．①存在一个α，使tan(90°－α)＝tan α②存在实数x0，使sin x0＝π2③对一切α，sin(180°－α)＝sin α④sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β6．四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．7．判断下列命题是否为全称命题或存在性命题，若是，用符号表示，并判断其真假．(1)对任意实数α，有sin2α＋cos2α＝1；(2)存在一条直线，其斜率不存在；(3)对所有的实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解；(4)存在实数x 0，使得1x 20－x 0＋1＝2. 二、能力提升8．下列4个命题： p 1：∃x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ； p 2：∃x ∈(0,1)，log 12x >log 13x ；p 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >log 12x ； p 4：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <log 13x . 其中的真命题是________．9．下列命题正确的是________(填序号)．①对所有的正实数t, t 为正且t <t ；②存在实数x 0，使x 20－3x 0－4＝0；③不存在实数x ，使x <4且x 2＋5x －24＝0；④存在实数x 0，使得|x 0＋1|≤1且x 20>4.10．关于x 的函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)有以下命题：①∀φ∈R ，f (x ＋2π)＝f (x )；②∃ω∈R ，f (x ＋1)＝f (x )；③∀φ∈R ，f (x )都不是偶函数；④∃φ∈R ，使f (x )是奇函数．其中假命题的序号是__________．11．若命题“∃x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．12．已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0.若命题“p ∧q ”是真命题，求实数a 的取值范围．13．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由；(2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)>0成立，求实数m 的取值范围．三、探究与拓展14．若方程cos 2x ＋2sin x ＋a ＝0有实数解，求实数a 的取值范围．答案1．32．①3．②③4．35．①6．07．解 (1)是全称命题，用符号表示为“∀α∈R ，sin 2α＋cos 2α＝1”，是真命题．(2)是存在性命题，用符号表示为“∃直线l ，l 的斜率不存在”，是真命题．(3)是全称命题，用符号表示为“∀a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解”，是假命题．(4)是存在性命题，用符号表示为“∃x 0∈R ，1x 20－x 0＋1＝2”，是假命题． 8．p 2，p 49．②10．①③11．(－∞，－1)∪(3，＋∞)12．解 ∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，即a ≤x 2，当x ∈[1,2]时恒成立，∴a ≤1.∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，∴Δ＝4a 2－4(2－a )≥0.∴a ≤－2或a ≥1.又p ∧q 为真，故p 、q 都为真，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤1，a ≤－2或a ≥1，∴a ≤－2或a ＝1.13．解 (1)不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )，即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m >－4即可．故存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，此时，只需m >－4.(2)不等式m －f (x 0)>0可化为m >f (x 0)，若存在一个实数x 0，使不等式m >f (x 0)成立，只需m >f (x )min .又f (x )＝(x －1)2＋4，∴f (x )min ＝4，∴m >4.∴实数m 的取值范围是(4，＋∞)． 14．解 ∵cos 2x ＋2sin x ＋a ＝0， ∴a ＝2sin 2x －1－2sin x ＝2(sin 2x －sin x )－1, ∴a ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122－32.又－1≤sin x ≤1，∴－32≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122－32≤3. 故当－32≤a ≤3时，方程a ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122－32有实数解，所以，所求实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.。

【苏教版】【步步高】2014届高考数学一轮复习备考练习：第3章-习题课-空间向量的应用]

习题课空间向量的应用一、基础过关 1．如图所示，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形,∠BAD ＝∠F AB＝90°，BC 綊12AD ,BE 綊错误!F A ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点．（1）证明：四边形BCHG 是平行四边形；（2）C 、D 、F 、E 四点是否共面?为什么？（3)设AB ＝BE ，证明：平面ADE ⊥平面CDE . 2．如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，∠BAD ＝90°,AD ∥BC ,AB ＝BC ＝a ，AD ＝2a ，且P A ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30°角． (1)若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ； (2）求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值． 3．如图所示,在四棱锥O —ABCD 中,底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝错误!,OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点． (1)证明：直线MN ∥平面OCD ；（2）求异面直线AB 与MD 所成角的大小．二、能力提升 4．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，AC⊥AD,AB⊥BC，∠BAC＝45°，P A＝AD＝2，AC＝1.(1)证明：PC⊥AD；（2）求二面角A－PC－D的正弦值;(3）设E为棱P A上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．5．等边△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点,沿DE将△ADE折起，使平面ADE⊥平面BCDE（如图所示)．（1）求证：平面ABC⊥平面ABE；(2)求直线AC与平面ABE所成角的正弦值．三、探究与拓展6．如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的错误!倍，P为侧棱SD上的点．(1）求证：AC⊥SD；（2）若SD⊥平面P AC,求二面角P—AC-D的大小；（3）在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面P AC。

【步步高】高考数学一轮复习习题课备考练习苏教版

习题课一、基础过关1．一个单位有职工160人，其中有业务人员104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，要从中抽取一个容量为20的样本，用分层抽样方法抽出样本，则在20人的样本中应抽取管理人员的人数为________．2．下列抽样中，最适宜用系统抽样法的是________．①某市的4个区共有2 000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200人做样本②从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取5个做样本③从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取200个做样本④从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个做样本3．一段高速公路有300个太阳能标志灯，其中进口的有30个，联合研制的有75个，国产的有195个，为了掌握每个标志灯的使用情况，要从中抽取一个容量为20的样本，若采用分层抽样的方法，抽取的进口的标志灯的数量为________．4．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是________．5．某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本．用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是______．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．6．某校有老师200人，男学生1 200人，女学生1 000人．现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本；已知从女学生中抽取的人数为80人，则n＝________. 7．某学校为了了解2012年高考语文科的考试成绩，计划在高考后对1 200名学生进行抽样调查，其中文科300名考生，理科600名考生，艺术类考生200人，体育类考生70人，外语类考生30人，如果要抽120人作为调查分析对象，则按科目分别应抽多少考生？8．某校500名学生中，O型血有200人，A型血有125人，B型血有125人，AB型血有50人，为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为20的样本．怎样抽取样本？二、能力提升9．某学校有高一学生720人，现从高一、高二、高三这三个年级学生中采用分层抽样的方法，抽取180人进行英语水平测试．已知抽取的高一学生数是抽取的高二学生数、高三学生总数的一半，且高二年级抽取40人，则该校高三学生人数是________．10．某高中在校学生2 000人，高一年级与高二年级人数相同并都比高三年级多1人．为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了“元旦”跑步和登山比赛活动．每人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如下表：其中a∶b∶c＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的5.为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则高二年级参与跑步的学生中应抽取________人．11．某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，该企业统计员制作了如下的统计表格：A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C产品的数量是________件．12．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中的一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的14，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本．(1)在游泳组中，试确定青年人、中年人、老年人分别所占的比例；(2)在游泳组中，试确定青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．三、探究与拓展13．选择合适的抽样方法抽样，写出抽样过程．(1)有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取3个．(2)有30个篮球，其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10个．(3)有甲厂生产的300个篮球，抽取10个．答案1． 4 2.③ 3.2 4.8,16,10,6 5.37 20 6．1927．解从1 200名考生中抽取120人作调查由于各科目考试人数不同，为了更准确地了解情况，可采用分层抽样，抽样时每层所抽人数按1∶10分配．∴300×110＝30(人)，600×110＝60(人)， 200×110＝20(人)，70×110＝7(人)，30×110＝3(人)．所以抽取的文科，理科，艺术类，体育类，外语类考生分别是30人，60人，20人，7人，3人．8．解用分层抽样抽取样本．∵20500＝250，即抽样比为250. ∴200×250＝8,125×250＝5， 50×250＝2. 故O 型血抽8人，A 型血抽5人，B 型血抽5人，AB 型血抽2人．抽样步骤：①确定抽样比250； ②按比例分配各层所要抽取的个体数，O 型血抽8人，A 型血抽5人，B 型血抽5人，AB 型血抽2人．③用简单随机抽样法分别在各种血型中抽取样本，直至取出容量为20的样本．9． 960 10．36 11．80012．解 (1)设登山组人数为x ，在游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a 、b 、c ，则有x ×40%＋3xb 4x ＝47.5%，x ×10%＋3xc 4x＝10%；解得b ＝50%，c ＝10%. 故a ＝100%－50%－10%＝40%，即在游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%、50%、10%.(2)在游泳组中，抽取的青年人人数为200×34×40%＝60(人)；抽取的中年人人数为200×34×50%＝75(人)；抽取的老年人人数为200×34×10%＝15(人)． 13．解 (1)总体容量较小，用抽签法．①将30个篮球编号，号码为00,01， (29)②将以上30个编号分别写在完全一样的小纸条上，揉成小球，制成号签；③把号签放入一个不透明的袋子中，充分搅拌；④从袋子中逐个抽取3个号签，并记录上面的号码；⑤找出和所得号码对应的篮球即可得到样本．(2)总体由差异明显的两个层次组成，需选用分层抽样法．①确定抽取个数．因为3010＝3，所以甲厂生产的应抽取213＝7(个)，乙厂生产的应抽取93＝3(个)；②用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个，乙厂生产的篮球3个．这些篮球便组成了我们要抽取的样本．(3)总体容量较大，样本容量较小，宜用随机数表法．①将300个篮球用随机方式编号，编号为000,001， (299)②在随机数表中随机的确定一个数作为开始，如第8行第4列的数“1”开始．任选一个方向作为读数方向，比如向右读；③从数“1”开始向右读，每次读三位，凡不在000～299中的数跳过去不读，遇到已经读过的数也跳过去不读，便可依次得到10个号码，这就是所要抽取的10个样本个体的号码．。

【步步高】2014届高考数学一轮复习习题课数列求和备考练习苏教版

习题课数列求和一、基础过关1．数列12·5，15·8，18·11，…，13n －1·3n ＋2，…的前n 项和为________．2．已知数列{a n }的通项a n ＝2n ＋1，由b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nn所确定的数列{b n }的前n 项之和是________．3．设数列1，(1＋2)，(1＋2＋4)，…，(1＋2＋22＋…＋2n －1)的前m 项和为2 036，则m 的值为________．4．若1＋3＋5＋…＋2x －111·2＋12·3＋13·4＋…＋1x x ＋1＝132 (x ∈N *)，则x ＝________.5．已知数列{a n }前n 项和为S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 15＋S 22－S 31的值是________．6．在100内所有能被3整除但不能被7整除的正整数之和是________． 7．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1. (1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式a n 和前n 项和S n . 二、能力提升9．数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________.10．数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a n ＋1＝13S n (n ≥1)，则a n ＝____________.11．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n ＝________.12．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 三、探究与拓展13．等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)nln a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 1.n 6n ＋4 2.12n (n ＋5) 3.10 4．11 5.－76 6.1 473 7．解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . 因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，S n ＝3n ＋n n －12×2＝n 2＋2n .所以，a n ＝2n ＋1，S n ＝n 2＋2n .(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝1a 2n －1＝12n ＋12－1＝14·1n n ＋1 ＝14·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以T n ＝14·(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝14·(1－1n ＋1)＝n 4n ＋1，即数列{b n }的前n 项和T n ＝n4n ＋1.8．(1)证明 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2a n ＋1＋1a n ＋1＝2a n ＋2a n ＋1＝2a n ＋1a n ＋1＝2， ∴数列{a n }是等比数列，公比为2，首项为a 1＋1＝2. (2)解由(1)知{a n ＋1}为等比数列， ∴a n ＋1＝(a 1＋1)·2n －1＝2n，∴a n ＝2n－1. ∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋...＋(2n －1)＝(21＋22＋ (2))－n＝21－2n1－2－n ＝2n ＋1－n －2.9．2n－110.⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝113·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －2， n ≥211．2＋ln n12．解 (1)由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝[(a n ＋1－a n )＋(a n －a n －1)＋…＋(a 2－a 1)]＋a 1＝3(22n －1＋22n －3＋…＋2)＋2＝22(n ＋1)－1.而a 1＝2，符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.(2)由b n ＝na n ＝n ·22n －1知S n ＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n ·22n －1，①从而22·S n ＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n ·22n ＋1.② ①－②得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n ·22n ＋1，即S n ＝19[(3n －1)22n ＋1＋2]．13．解 (1)当a 1＝3时，不合题意；当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意；当a 1＝10时，不合题意；因此a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18. 所以公比q ＝3. 故a n ＝2·3n －1.(2)因为b n ＝a n ＋(－1)nln a n＝2·3n －1＋(－1)n ln(2·3n －1)＝2·3n －1＋(－1)n [ln 2＋(n －1)ln 3]＝2·3n －1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nn ln 3，所以S n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n](ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn ]ln 3所以当n 为偶数时，S n ＝2×1－3n1－3＋n 2ln 3＝3n＋n 2ln 3－1；当n 为奇数时，S n ＝2×1－3n1－3－(ln 2－ln 3)＋(n －12－n )ln 3＝3n－n －12ln 3－ln 2－1.综上所述，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋n2ln 3－1，n 为偶数，3n－n －12ln 3－ln 2－1，n 为奇数.。

【苏教版】【步步高】2014届高三数学(理)大一轮复习学案第1章学案2命题及其关系、充分条件与必要条件

学案2 命题及其关系、充分条件与必要条件导学目标： 1.能写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．自主梳理1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． 2．四种命题及其关系(1)四种命题一般地，用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用綈p 和綈q 分别表示p 和q 的否定，于是四种命题的形式就是原命题：若p 则q (p ⇒q )；逆命题：若q 则p (q ⇒p )；否命题：若綈p 则綈q (綈p ⇒綈q )；逆否命题：若綈q 则綈p (綈q ⇒綈p )．(2)四种命题间的关系(3)四种命题的真假性①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．②两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件若p ⇒q ，则p 叫做q 的充分条件；若q ⇒p ，则p 叫做q 的必要条件；如果p ⇔q ，则p 叫做q 的充要条件．自我检测1．(2011·南京模拟)设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x x －1<0，B ＝{x |0<x <3}，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的________条件．答案充分不必要解析 ∵A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x x －1<0＝{x |0<x <1}， B ＝{x |0<x <3}，∴A ≠B .当m ∈A 时，必有m ∈B ；而当m ∈B 时，m ∈A 不一定成立．∴“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分而不必要条件．2．(2009·安徽改编)下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是________．(填序号) ①p ：a ＋c >b ＋d ，q ：a >b 且c >d ；②p ：a >1，b >1，q ：f (x )＝a x －b (a >0，且a ≠1)的图象不过第二象限； ③p ：x ＝1.q ：x 2＝x ；④p ：a >1，q ：f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数．答案 ①解析 ①中，由于a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ，而a ＋c >b ＋d 却不一定推出a >b ，c >d ，故①中p 是q 的必要不充分条件；②中，当a >1，b >1时，函数f (x )＝a x －b 不过第二象限，当f (x )＝a x －b 不过第二象限时，有a >1，b ≥1，故②中p 是q 的充分不必要条件；③中，因为x ＝1时有x 2＝x ，但x 2＝x 时不一定有x ＝1，故③中p 是q 的充分不必要条件；④中p 是q 的充要条件．3．设a 、b 都是非零向量，那么命题“a 与b 共线”是命题“|a ＋b |＝|a |＋|b |”的________条件．答案必要不充分解析 |a ＋b |＝|a |＋|b |⇒a 、b 同向⇒a 与b 共线；反之，当a 与b 共线时，不一定有|a ＋b |＝|a |＋|b |，故a 与b 共线是|a ＋b |＝|a |＋|b |的必要不充分条件．4．与命题“若a ∈M ，则b ∉ M ”等价的命题是____________________．答案若b ∈M ，则a ∉ M解析因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可．5．给出下列命题：①原命题为真，它的否命题为假；②原命题为真，它的逆命题不一定为真；③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真；④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真；⑤“若m >1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ”的逆命题．其中真命题是________．(把你认为正确命题的序号都填在横线上)答案 ②③⑤解析原命题为真，而它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题同真同假，故①④错误，②③正确．又因为不等式mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ，由⎩⎪⎨⎪⎧ m >0Δ＝4(m ＋1)2－4m (m ＋3)<0 ⇒⎩⎨⎧m >0m >1⇒m >1. 故⑤正确．探究点一四种命题及其相互关系例1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．解题导引给出一个命题，判断其逆命题、否命题、逆否命题等的真假时，如果直接判断命题本身的真假比较困难，则可以通过判断它的等价命题的真假来确定．解 (1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．真命题．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．真命题．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．假命题．(3)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．真命题．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧．真命题．逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．真命题．变式迁移1 有下列四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤1，则x 2＋2x ＋q ＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中真命题的序号为________．答案 ①③解析 ①的逆命题是“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，真；②的否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，假；③若q ≤1，则Δ＝4－4q ≥0，所以x 2＋2x ＋q ＝0有实根，其逆否命题与原命题是等价命题，真；④的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假．探究点二充要条件的判断例2 给出下列命题，试分别指出p 是q 的什么条件．(1)p ：x －2＝0；q ：(x －2)(x －3)＝0.(2)p ：两个三角形相似；q ：两个三角形全等．(3)p ：m <－2；q ：方程x 2－x －m ＝0无实根．(4)p ：一个四边形是矩形；q ：四边形的对角线相等．解 (1)∵x －2＝0⇒(x －2)(x －3)＝0；而(x －2)(x －3)＝0⇒x －2＝0.∴p 是q 的充分不必要条件．(2)∵两个三角形相似⇒两个三角形全等；但两个三角形全等⇒两个三角形相似．∴p 是q 的必要不充分条件．(3)∵m <－2⇒方程x 2－x －m ＝0无实根；方程x 2－x －m ＝0无实根⇒m <－2.∴p 是q 的充分不必要条件．(4)∵矩形的对角线相等，∴p ⇒q ；而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴q ⇒p .∴p 是q 的充分不必要条件．变式迁移2 下列各小题中，p 是q 的充要条件的是________．(填序号)①p ：m <－2或m >6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点；②p ：f (－x )f (x )＝1；q ：y ＝f (x )是偶函数； ③p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan β；④p ：A ∩B ＝A ；q ：∁U B ⊆∁U A .答案 ①④解析 ①q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点⇔q ：Δ＝m 2－4(m ＋3)>0⇔q ：m <－2或m >6⇔p ；②当f (x )＝0时，由q ⇒p ；③若α，β＝k π＋π2(k ∈Z )时，显然cos α＝cos β，但tan α≠tan β；④p ：A ∩B ＝A ⇔p ：A ⊆B ⇔q ：∁U A ⊇∁U B .故①④符合题意．探究点三充要条件的证明例3 设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.解题导引有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件”⇒“结论”是证明命题的充分性，由“结论”⇒“条件”是证明命题的必要性．证明要分两个环节：一是充分性；二是必要性．证明 (1)必要性：设方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根x 0，则x 20＋2ax 0＋b 2＝0，x 20＋2cx 0－b 2＝0，两式相减可得x 0＝b 2c －a，将此式代入x 20＋2ax 0＋b 2＝0，可得b 2＋c 2＝a 2，故∠A ＝90°，(2)充分性：∵∠A ＝90°，∴b 2＋c 2＝a 2，b 2＝a 2－c 2.①将①代入方程x 2＋2ax ＋b 2＝0，可得x 2＋2ax ＋a 2－c 2＝0，即(x ＋a －c )(x ＋a ＋c )＝0.将①代入方程x 2＋2cx －b 2＝0，可得x 2＋2cx ＋c 2－a 2＝0，即(x ＋c －a )(x ＋c ＋a )＝0.故两方程有公共根x ＝－(a ＋c )．所以方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°. 变式迁移3 已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0. 证明 (1)必要性：∵a ＋b ＝1，∴a ＋b －1＝0.∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.(2)充分性：∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0，即(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.又ab ≠0，∴a ≠0且b ≠0.∵a 2－ab ＋b 2＝(a －b 2)2＋34b 2>0. ∴a ＋b －1＝0，即a ＋b ＝1.综上可知，当ab ≠0时，a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.转化与化归思想例 (14分)已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且m ∈Z .求两方程的根都是整数的充要条件．【答题模板】解 ∵mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程，∴m ≠0. [2分] 另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，两方程都要有实根，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16(1－m )≥0，Δ2＝16m 2－4(4m 2－4m －5)≥0，解得m ∈[－54，1]． [6分] ∵两根为整数，故和与积也为整数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4m ∈Z 4m ∈Z 4m 2－4m －5∈Z ， [10分]∴m 为4的约数，∴m ＝－1或1，当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根为非整数，而当m ＝1时，两方程均为整数根，∴两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1. [14分]【突破思维障碍】本题涉及到参数问题，先用转化思想将生疏复杂的问题化归为简单、熟悉的问题解决，两方程有实根易想Δ≥0.求出m 的范围，要使两方程根都为整数可转化为它们的两根之和与两根之积都是整数．【易错点剖析】易忽略一元二次方程这个条件隐含着m ≠0，不易把方程的根都是整数转化为两根之和与两根之积都是整数．1．研究命题及其关系时，要分清命题的题设和结论，把命题写成“如果……，那么……”的形式，当一个命题有大前提时，必须保留大前提，只有互为逆否的命题才有相同的真假性．2．在解决充分条件、必要条件等问题时，要给出p 与q 是否可以相互推出的两次判断，同时还要弄清是p 对q 而言，还是q 对p 而言．还要分清否命题与命题的否定的区别．3.本节体现了转化与划归的数学思想。

【苏教版】【步步高】2014届高考数学一轮复习备考课件章末复习课(二)

＝(PF1－PF2)2＋2PF1· PF2(1－cos 60° )，即4c2＝c2＋PF1· PF2. 1 又 SPF F＝12 3，∴ PF1· PF2sin 60° ＝12 3， 2 1 2 即PF1· PF2＝48.
由①②，得c2＝16，c＝4，
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①
②
则a＝2，b2＝c2－a2＝12， x2 y2 ∴所求的双曲线方程为 4 －12＝1.
y＝kx－4，由 2 y ＝4x
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得ky2－4y－16k＝0，
42 2 2 2 ∴y1＋y2＝(y1＋y2) －2y1y2＝＋32>32.
k
2 ∴y1 ＋y2 2的最小值为32.
4 ∴y1＋y2＝，y1y2＝－16. k

练一练· 当堂检测、目标达成落实处
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线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利用数形结合的思想去解决有关的最值问题．
研一研· 题型解法、解题更高效
x2 y2 跟踪训练3 已知椭圆＋＝1，F1、F2分别是椭圆的 9 5 左、右焦点，点 A(1,1)为椭圆内一点，点P为椭圆上一点，求PA＋PF1的最大值．

2 x2 x (2)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－ 2 2
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y2＝k (k≠0)，
22 将点(2，－2)代入得k＝ 2 －(－2)2＝－2， y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 2 － 4 ＝1.
研一研· 题型解法、解题更高效
题型二
“设而不求”思想
例2 (1)过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A、B两点，求弦AB的长． (2)若直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A、B 两点，且线段 AB中点的横坐标为2，求线段 AB的长．

【苏教版】【步步高】2014届高考数学一轮复习备考练习第一章§1.4算法案例

§1.4算法案例一、基础过关1．若Int(x)表示不超过x的最大整数，对于下列等式：①Int(10.01)＝10；②Int(－1)＝－1；③Int(－5.2)＝－5.其中正确的有________个．2．对下列不等式：①Mod(2,3)＝3；②Mod(3,2)＝2；③Mod(2,3)＝1；④Mod(3,2)＝1.成立的有______(写出成立的等式的序号)．3．若Int(x)表示不超过x的最大整数，则Int(0.35)＝________，Int(－0.01)＝__________，Int(0)＝________.4．1 037和425的最大公约数是________．5．如果a，b是整数，且a>b>0，r＝Mod(a，b)，则a与b的最大公约数与下面的________相等．(填写正确答案的序号)①r；②b；③b－r；④b与r的最大公约数．6．已知a＝333，b＝24，则使得a＝bq＋r(q，r均为自然数，且0≤r<b)成立的q和r的值分别为________．7．求319,377,116的最大公约数．8．设计求被6除余4，被10除余8，被9除余4的最小正整数的算法流程图，并写出伪代码．二、能力提升9．下面的说法：①若f(a)f(b)<0(a≠b)，则方程f(x)＝0在区间(a，b)上一定有根；②若f(a)f(b)>0(a≠b)，则方程f(x)＝0在区间(a，b)上一定没有根．③连续不间断的函数y＝f(x)，若f(a)f(b)<0(a≠b)，则方程f(x)＝0在区间(a，b)上只有一个根．其中不正确的说法有________个．10．用二分法求方程x2－2＝0的近似根(误差不超过0.001)的一个算法补充完整：S1令f(x)＝x2－2，因为f(1)<0，f(2)>0，所以设x1＝1，x2＝2；S2令m＝____________，判断f(m)是否为0，若f(m)＝0，则m即为所求；若否，则判断________的符号；S3若____________，则x1←m；否则x2←m；S4判断____________<0.001是否成立，若是，则x1，x2之间的任意值均为满足条件的近似根，若否，________.11．1 624与899的最大公约数是________．12．在平面直角坐标系中作出函数f (x )＝1x 和g (x )＝lg x 的图象，根据图象判断方程lg x ＝1x的解的范围，再将用二分法求这个方程的近似解(误差不超过0.001)的算法用伪代码表示．三、探究与拓展13．有3个连续的自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，求满足要求的一组三个连续自然数的算法，画出流程图并写出伪代码．答案1．2 2.④ 3.0 －1 0 4．17 5．④ 6．13,217．解用辗转相除法377＝319×1＋58319＝58×5＋2958＝29×2∴377与319的最大公约数为29，116＝29×4∴116与29的最大公约数为29，∴377,319,116的最大公约数为29.8．解流程图：伪代码：n ←1While Mod(n,6)≠4 orMod(n,10)≠8 orMod(n,9)≠4n ←n ＋1End WhilePrint n9．3 10.x 1＋x 22f (x 1)f (m ) f (x 1)f (m )>0 |x 1－x 2| 转S2 11．29 12．解图象为设h (x )＝1x－lg x . ∵h (2)＝12－lg 2>0，h (3)＝13－lg 3<0， ∴h (x )＝0在(2,3)内有解．伪代码为：13．解算法：S1 取m ＝1；S2 当m 不能被15整除，或m ＋1不能被17整除，或m ＋2不能被19整除，则m ←m ＋1，转S2；否则输出m ，m ＋1，m ＋2，算法结束．算法流程图如下：伪代码如下：m←1While Mod(m,15)≠2 orMod(m＋1,17)≠0 orMod(m＋2,19)≠0 m←m＋1End WhilePrint m，m＋1，m＋2。

【步步高】2014届高考数学一轮复习章末检测备考练习苏教版

章末检测一、填空题1．已知平面α和平面β的法向量分别为m ＝(3,1，－5)，n ＝(－6，－2,10)，则平面α、β的位置关系为________．2．已知向量a ＝(0,2,1)，b ＝(－1,1，－2)，则a 与b 的夹角为________． 3．，则用向c ＝AA1→，b ＝AD →，a ＝AB →中，已知1D 1C 1B 1A —ABCD 如图，在平行六面体______________.＝BD1→可表示向量c ，b ，a 量 4．已知P 和不共线三点A ，B ，C 四点共面且对于空间任一点O ，都有OP →＝2OA →＋OB →＋λOC →，则λ＝________.5．已知A (2,1,0)，点B 在平面xOz 内，若直线AB 的方向向量是(3，－1,2)，则点B 的坐标是________．6．平面α的法向量为m ＝(1,0，－1)，平面β的法向量为n ＝(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为______．7．若平面α的法向量为n ，直线l 的方向向量为a ，直线l 与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是________．(填序号) ①cos θ＝n ·a|n||a|②cos θ＝|n ·a||n||a|③sin θ＝n ·a|n||a|④sin θ＝|n ·a||n||a|8．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 是________三角形．(填“锐角”、“直角”、“钝角”)9．在以下命题中，不．正确的个数为________． ①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ②对a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝2OA →－2OB →－OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面；④|(a ·b )·c |＝|a|·|b|·|c |.10．法向量为n ＝(1，－1,1)的平面α过点M (1,2，－1)，则平面α上任意一点P 的坐标(x ，y ，z )满足的方程为____________．11．设E ，F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A 1ECF 成60°角的对角线的数目是________．12．如图，AB ＝AC ＝BD ＝1，AB ⊂面M ，AC ⊥面M ，BD ⊥AB ，BD 与面M 成30°角，则C 、D 间的距离为________．13．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC 、AD 的中点，则AE →·AF →的值为____________． 14．＝ABC ，∠1AA ＝BC ＝AB ，ABC ⊥底面1AA 中，1C 1B 1A —ABC 如图所示，在三棱柱．________所成的角为1BC 和EF 的中点，则直线1BB 、AB 分别是棱F 、E °，点90 二、解答题 15．、MB →、PA →的中点，问向量PC 是M 的底面是平行四边形，如图，ABCD —P 已知四棱锥是否可以组成一个基底，并说明理由．MD →16．的中点，AB ，1D 1C 分别是N 、M 中，1D 1C 1B 1A —ABCD 如图所示，在平行六面体.NF ∥ME ，试证明1FC 12＝CF 上且1CC 在F ，1EA 2＝AE 上且1AA 在E 17．试.m ＝CP 上一点，1CC 是侧棱P 中，1D 1C 1B 1A —CD AB 的正方体1如图，在棱长为.°60所成角为1B 1BDD 与平面AP 使得直线m 确定 18．已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，AB ＝2，AA 1＝1，直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角为30°，F 为A 1B 1的中点．求二面角A —BF —D 的余弦值． 19．如图，⊥平面PA °，且120＝BAD 菱形，∠的32中，底面是边长为ABCD －P 在四棱锥的中点．PD ，PB 分别为N ，M ，62＝PA ，ABCD (1)证明：MN ∥平面ABCD ；(2)过点A 作AQ ⊥PC ，垂足为点Q ，求二面角A －MN －Q 的平面角的余弦值． 20．的中点．1DD 是棱E 中，1D 1C 1B 1A —ABCD 如图所示，在正方体值；所成的角的正弦1A 1ABB 和平面BE 求直线(1) ？证明你的结论．BE 1A ∥平面F 1B ，使F 上是否存在一点1D 1C 在棱(2) 答案1．α∥β 2．90°3．－a ＋b ＋c 4．－2 5．(5,0,2)6．60°或120°7．④8．锐角 9．410．x －y ＋z ＋2＝0 11．412．213．14a 2 14．60°15.不可以组成一个基底，理由如下：MD →、MB →、PA → 解连结AC 、BD 相交于点O ，∵ABCD 是平行四边形， ∴O 是AC 、BD 的中点，，)MB →＋MD →(12＝MO →中，BDM 在△ ，MB →＋MD →＝PA →，即PA →12＝MO →的中点，则AC 是O 的中点，PC 是M 中，PAC 在△共面．MB →、MD →与PA →即不可以组成一个基底．MD →、MB →、PA →∴ 16．证明由平行六面体的性质ME →A1E →＋D1A1→＋MD1→＝ A1A→13＋AD →－C1D1→12＝，AA1→13－AD →－AB →12＝－ NF →CF →＋BC →＋NB →＝ CC1→13＋AD →＋AB →12＝，AA1→13＋AD →＋AB →12＝不共线，F ，N ，E ，M ，又NF →＝－ME →∴ ∴ME ∥NF .17．解建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，P (0,1，m )，C (0,1,0)，．(0,0,1)1D ，(1,1,1)1B ，(0,0,0)D ．1,1,0)－(＝AC →，)m ，1,1－(＝AP →，(0,0,1)＝BB1→，1,0)，－1－(＝BD →则知，0＝BB1→·AC →，0＝BD →·AC →又由 AC →的一个法向量．D 1D 1BB 为平面，θ所成的角为D 1D 1BB 与平面AP 设|AP →·AC →||AP →||AC →|＝|〉AC →，AP →〈|cos ＝θsin 则 22＋m2·2＝.63＝m ，解得32°＝sin 60＝22＋m2·2依题意得.°60所成角为1B 1BDD 与平面AP 时，直线63＝m 故当 18．解，可得1＝1AA ，2＝AB 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，由已知A 以点 A (0,0,0)，B (2,0,0)，F (1,0,1)．°，30＝DBA 所成的角为∠B 1B 1AA 与平面BD ，从而直线B 1B 1AA ⊥平面AD 又，233＝AD ，∴2＝AB 又 .⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，233，0D 从而易得的一个法向BDF 是平面)z ，y ，x (＝n ，设(0,1,0)＝m 的一个法向量为B 1B 1AA 易知平面量，BF→，⎝⎛⎭⎪⎪⎫－2，233，0＝BD →，1,0,1)－(＝，⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0－2x ＋233y ＝0，即⎩⎨⎧n ·BF →＝0n ·BD→＝0则，1)，3，(1＝n ，可得1＝z 令 .155＝m ·n|m||n|〉＝n ，m 〈cos ∴ .155的余弦值为D —BF —A 二面角即 19．(1)证明连结BD ，因为M ，N 分别是PB ，PD 的中点，所以MN是△PBD的中位线，所以MN∥BD.又因为MN⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.(2)解方法一连结AC交BD于O，以O为原点，OC，OD所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系O—xyz，如图所示．在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，6.＝AB3＝BD，32＝AB＝AC得又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AC.在直角△PAC中，，PC⊥AQ，62＝PA，32＝AC得QC＝2，PQ＝4.由此知各点坐标如下：，(0,3,0)D，0,0)，3(C，3,0)，－(0B，0,0)，3－(A.⎝⎛⎭⎪⎪⎫33，0，263Q，⎝⎛⎭⎪⎪⎫－32，32，6N，⎝⎛⎭⎪⎪⎫－32，－32，6M，)60,2，3－(P设m＝(x，y，z)为平面AMN的法向量，，⎝⎛⎭⎪⎪⎫32，－32，6＝AM→由AN→知⎝⎛⎭⎪⎪⎫32，32，6＝⎩⎪⎨⎪⎧32x－32y＋6z＝，32x＋32y＋6z＝0.．1)，－，2(2＝m得，1＝－z取设n＝(x，y，z)为平面QMN的法向量，，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－536，－32，63＝QM →由 QN→知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－536，32，63＝ ⎩⎪⎨⎪⎧－536x －32y ＋63z＝0，－536x ＋32y ＋63z ＝0.．0,5)，2(2＝n ，得5＝z 取 .3333＝m ·n|m|·|n|〉＝n ，m 〈cos 于是 .3333的平面角的余弦值为Q －MN －A 所以二面角方法二如图所示，在菱形ABCD 中， ∠BAD ＝120°，得AC ＝AB ＝BC ＝CD ＝DA ，.AB 3＝BD 又因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AB ， PA ⊥AC ，PA ⊥AD . 所以PB ＝PC ＝PD . 所以△PBC ≌△PDC .而M ，N 分别是PB ，PD 的中点，.AN ＝PD 12＝PB 12＝AM ，且NQ ＝MQ 所以取线段MN 的中点E ，连结AE ，EQ ，则AE ⊥MN ，QE ⊥MN ，所以∠AEQ 为二面角A －MN －Q 的平面角．，62＝PA ，32＝AB 由故在△AMN 中，AM ＝AN ＝3， .332＝AE ，得3＝BD 12＝MN 在Rt △PAC 中，AQ ⊥PC ， 4.＝PQ ，2＝QC ，22＝AQ 得在△PBC 中，，56＝PB2＋PC2－BC22PB ·PC ＝BPC ∠cos 得MQ ＝PM2＋PQ2－2PM ·PQcos ∠BPC .5＝，5＝NQ ＝MQ 中，MQN 在等腰△ MN ＝3，.112＝MQ2－ME2＝QE 得，112＝QE ，332＝AE 中，AEQ 在△ ，22＝AQ AE2＋QE2－AQ22AE ·QE＝AEQ ∠cos 得 .3333＝ .3333的平面角的余弦值为Q －MN －A 所以二面角 20．解 (1)为单位正交基底建立空间直角坐标AA1→，AD →，AB →如图所示，以1.设正方体的棱长为系O —xyz .依题意，得B (1,0,0)，，(0,1,0)D ，(0,0,0)A ，⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12E，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1，12＝BE →所以 AD→．(0,1,0)＝中，1D 1C 1B 1A —ABCD 在正方体，1A 1ABB ⊥平面AD 因为的一个法向量．1A 1ABB 是平面AD →所以，θ所成的角为1A 1ABB 和平面BE 设直线 .23＝132×1＝|BE →·AD →||BE →|·|AD →|＝θsin 则 .23所成的角的正弦值为1A 1ABB 和平面BE 故直线 .BE 1A ∥平面F 1B ，使F 上存在点1D 1C 在棱(2) 证明如下：.⎝⎛⎭⎪⎫－1，1，12＝BE →，1,0,1)－(＝BA1→，(0,0,1)1A 依题意，得，0＝BE →·n ，0＝BA1→·n 的一个法向量，则由BE 1A 是平面)z ，y ，x (＝n 设 ⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－x ＋y ＋12z ＝0.得．(2,1,2)＝n ，得2＝z 取.z 12＝y ，z ＝x 所以上的点，1D 1C 是棱F 设则F (t,1,1) (0≤t ≤1)．．1,1,0)－t (＝B1F →，所以(1,0,1)1B 又而B 1F ⊄平面A 1BE ，于是B 1F ∥平面A 1BE ⇔B1F →·n ＝0⇔(t －1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t －1)＋1＝0⇔t ＝12⇔F 为棱C 1D 1的中点．这说明在棱C 1D 1上存在点F (C 1D 1的中点)，使B 1F ∥平面A 1BE .。

【苏教版】【步步高】2014届高考数学一轮复习备考练习第一章§1.2.2选择结构

1.2.2 选择结构一、基础过关1．选择结构不同于顺序结构的特征是含有________．2．下列算法中，含有选择结构的是________．①求两个数的积②求点到直线的距离③解一元二次方程④已知梯形两底和高求面积3．下列关于选择结构的描述，不正确的个数是________．①选择结构的出口有两个，但在执行时，只有一个出口是有效的；②选择结构的判断条件要写在判断框内；③选择结构根据条件是否成立，选择不同的分支执行4．中山市的士收费办法如下：不超过2公里收7元(即起步价7元)，超过2公里的里程每公里收2.6元，另每车次超过2公里收燃油附加费1元(不考虑其他因素)．相应收费系统的流程图如图所示，则①处应填________．5．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋1 (x >0)0 (x ＝0)x ＋6 (x <0)的流程图如图所示，则①②③的填空分别为①________、②________、③________.6．如图是求实数x的绝对值的算法流程图，则判断框①中可填________．7．画出计算函数y＝|2x－3|的函数值的流程图．(x由键盘输入)二、能力提升8．输入－5，按图中所示流程图运行后，输出的结果是________．9．给出一个流程图，如图所示，其作用是输入x的值，输出相应的y的值．若要使输入的x的值与输出的y的值相等，则输入的这样的x的值有________个．10．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ， x ≥22－x ， x <2，如图表示的是给定x 的值，求其对应的函数值y 的流程图．①处应填写________；②处应填写________．11．画出解不等式ax >b (b ≥0)的流程图．三、探究与拓展12.有一城市，市区为半径为15 km 的圆形区域，近郊区为距中心15～25 km的范围内的环形地带，距中心25 km 以外的为远郊区，如右图所示．市区地价每公顷100万元，近郊区地价每公顷60万元，远郊区地价为每公顷20万元，输入某一点的坐标为(x ，y )，求该点的地价，写出公式并画出流程图．答案1．判断框 2.③ 3.0 4．y ←8＋2.6(x －2) 5．y ←x 2＋1 x ＝0 y ←0 6．x ≥07．解流程图如图：8．1 9.3 10．x <2 y ←log 2x11．解流程图如图：12．解设点(x ，y )与市中心的距离为r ，则r ＝x 2＋y 2，由题意知r 与地价p 的关系为p ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 100，0<r ≤15，60，15<r ≤25，20，r >25.流程图如下：。

【步步高】2014届高考数学一轮复习 1.3.1 量 词备考练习 苏教版

【步步高】2014届高考数学一轮复习 3.1.5 空间向量的数量积备考练习 苏教版